Olasılık Teorisi Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir üretim tesisinde görevli kalite kontrol mühendisi, elektronik sensörlerden gelen arıza sinyallerini ve ölçüm değerlerini (voltaj, sıcaklık vb.) analiz etmektedir. Mühendis, sistemde karşılaşılan hataların birbirleriyle olan bağlantılarını istatistiksel olarak değerlendirmektedir.

Sensör verileri üzerinden yapılan bu istatistiksel değerlendirmeler kapsamında, değişkenler ve olaylar arası ilişkiler ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

İki arıza olayının aynı anda gerçekleşme olasılığı sıfır ise (ayrık olaylar) ve her iki arızanın da tek başına görülme olasılığı sıfırdan büyükse, bu iki arıza olayı istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.

Üretilen parçaların voltaj (

X

) ve akım (

Y

) değerleri için

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliğinin sağlanması, bu iki elektriksel değişkenin kesinlikle bağımsız olduğunu gösterir.

Ölçülen iki farklı performans değişkeni arasındaki kovaryans değerinin sıfır (

Cov(X,Y)=0

) bulunması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak birbirlerinden tamamen bağımsız olduğu anlamına gelir.

Sistemdeki üç farklı hatanın (

A

,

B

ve

C

) karşılıklı (tam) bağımsız olması, bu hataların ikişerli olarak da bağımsız olmasını gerektirir; ancak hataların sadece ikişerli bağımsız olması karşılıklı bağımsızlığı garanti etmez.

Sistemdeki

A

ve

B

arızaları için,

B

arızasının gerçekleştiği bilindiğinde

A

arızasının gerçekleşme olasılığı (koşullu olasılık)

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

bağıntısı ile hesaplanır.

Show answer & explanation

Answer: Sistemdeki üç farklı hatanın ( $A$ , $B$ ve $C$ ) karşılıklı (tam) bağımsız olması, bu hataların ikişerli olarak da bağımsız olmasını gerektirir; ancak hataların sadece ikişerli bağımsız olması karşılıklı bağımsızlığı garanti etmez.

Answer

Sistemdeki olayların karşılıklı (tam) bağımsız olması, ikişerli olarak bağımsız olmalarını zorunlu kılar; ancak ikişerli bağımsızlık, karşılıklı bağımsızlık için yeterli değildir.

Olasılık teorisinde, ikiden fazla olayın söz konusu olduğu durumlarda 'karşılıklı (tam) bağımsızlık' en güçlü şarttır. Karşılıklı bağımsızlık kuralı, olayların hem kendi içlerindeki tüm ikili kesişimlerinde bağımsızlık kuralını hem de üçlü kesişimde çarpım kuralını sağlamasını gerektirir. Bu yüzden karşılıklı bağımsız olaylar her zaman ikişerli bağımsızdır. Fakat sadece

P(A \cap B) = P(A)P(B)

,

P(B \cap C) = P(B)P(C)

ve

P(A \cap C) = P(A)P(C)

şartlarının (ikişerli bağımsızlığın) sağlanması,

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

eşitliğini garanti edemez.

Step-by-Step Solution

1

Ayrıklık ve bağımsızlık kavramlarının analizi

Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez (

P(A \cap B) = 0

). Eğer bu olayların tekil olasılıkları sıfırdan büyükse, çarpımları sıfır olmaz.

P(A \cap B) \neq P(A)P(B)

olduğundan, olasılıkları sıfırdan büyük ayrık olaylar birbirine bağımlıdır.

Olayların birbirini dışlamasının bağımsızlık anlamına gelmediğini ispatlamak.

2

Beklenen değer çarpımı ve kovaryans ilişkisinin incelenmesi

Değişkenler için

E[XY]=E[X]E[Y]

veya

Cov(X,Y)=0

olması, sadece bu iki değişken arasında doğrusal bir ilişki (korelasyon) bulunmadığını kanıtlar. Bağımsızlık ise çok daha katı bir kavramdır ve doğrusal olmayan ilişkilerin de bulunmamasını gerektirir.

Sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli koşul olmadığını açıklamak.

3

Koşullu olasılık hesaplamasının kontrolü

B

olayı koşulu altında

A

'nın gerçekleşme olasılığı arandığında, evren (örnek uzay)

B

olayı ile sınırlandırılır. Bu yüzden paydada

P(B)

yer almalıdır.

Koşullu olasılık tanımındaki payda mantığını doğrulamak.

4

İkişerli ve karşılıklı bağımsızlık ilişkisinin belirlenmesi

Olayların karşılıklı bağımsızlığı tüm alt kesişimlerin bağımsızlığını (ikişerli bağımsızlık dâhil) ve

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

kuralını sağlarken; sadece ikişerli bağımsızlık üçlü kesişim şartının sağlandığını kesinleştirmez.

Bağımsızlık hiyerarşisini doğru konumlandırmak.

Key Concept

İkişerli ve Karşılıklı Bağımsızlık, Kovaryans-Bağımsızlık İlişkisi

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Bir araştırma merkezinde $5$ kıdemli araştırmacı ve $7$ asistan çalışmaktadır. Bu kişiler arasından $3$ kıdemli araştırmacı ve $2$ asistandan oluşan $5$ kişilik bir özel proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak bu ekipteki kıdemli araştırmacılardan biri 'proje yöneticisi', asistanlardan biri ise 'veri sorumlusu' olarak görevlendirilecektir.

Buna göre, bu proje ekibi ve ekip içi görevlendirmeler kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

210

420

840

1260

2520

Show answer & explanation

Answer: 1260

Answer

Proje ekibi ve görevlendirmeler toplam 1260 farklı şekilde oluşturulabilir.

Bu sorunun çözümünde hem kombinasyon (seçme) hem de permütasyon (görev atama) kuralları bir arada kullanılmalıdır. İlk grup için 5 kişiden 3'ü seçilir ve bu 3 kişiden 1'ine görev atanır (

\binom{5}{3} \times 3 = 30

). İkinci grup için 7 kişiden 2'si seçilir ve bu 2 kişiden 1'ine görev atanır (

\binom{7}{2} \times 2 = 42

). İki grubun seçimleri bağımsız olduğundan sonuçlar çarpılır:

30 \times 42 = 1260

. (Alternatif olarak: Önce 5 kişiden 1 yönetici seçilip kalan 4 kişiden 2 ekip üyesi seçilir:

5 \times \binom{4}{2} = 30

. Önce 7 kişiden 1 veri sorumlusu seçilip kalan 6 kişiden 1 ekip üyesi seçilir:

7 \times \binom{6}{1} = 42

. Çarpımları yine 1260'tır.)

Step-by-Step Solution

1

Kıdemli araştırmacıların seçimi ve yöneticinin belirlenmesi durumlarını hesaplama.

5 kıdemli araştırmacıdan 3'ü seçilir:

\binom{5}{3} = 10

. Seçilen bu 3 kişi arasından 1 yönetici seçilir:

\binom{3}{1} = 3

. Toplam durum:

10 \times 3 = 30

.

Yöneticinin kim olacağı farklı bir organizasyon oluşturduğu için, seçilen kişilerin kendi içindeki rol dağılımı da (veya önce yöneticiyi sonra kalanları seçme işlemi) hesaba katılmalıdır.

2

Asistanların seçimi ve veri sorumlusunun belirlenmesi durumlarını hesaplama.

7 asistandan 2'si seçilir:

\binom{7}{2} = 21

. Seçilen bu 2 kişi arasından 1 veri sorumlusu seçilir:

\binom{2}{1} = 2

. Toplam durum:

21 \times 2 = 42

.

Veri sorumlusunun seçimi de asistanlar arasında farklı görevlendirmeler yaratır, bu nedenle kombinasyon değeri olası görevli sayısıyla çarpılmalıdır.

3

İki bağımsız seçimin birleştirilerek toplam farklı durum sayısının bulunması.

30 \times 42 = 1260

Kıdemli araştırmacıların seçimi ile asistanların seçimi birbirinden bağımsız olaylardır. Temel sayma kuralı (çarpma kuralı) gereği durum sayıları çarpılır.

Key Concept

Kombinasyon, Permütasyon ve Çarpma Kuralı

Alternative Method

Görevlileri ilk başta tüm adaylar arasından seçip, geriye kalan üyeleri seçmek de geçerli bir yöntemdir. Yöneticinin 5 adaydan seçilmesi

\binom{5}{1} = 5

farklı şekilde, kalan 4 adaydan 2 kıdemli üye seçilmesi

\binom{4}{2} = 6

farklı şekilde olur (

5 \times 6 = 30

). Veri sorumlusunun 7 adaydan seçilmesi

\binom{7}{1} = 7

farklı şekilde, kalan 6 adaydan 1 asistan seçilmesi

\binom{6}{1} = 6

farklı şekilde olur (

7 \times 6 = 42

). Çarpım yine

30 \times 42 = 1260

olarak bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlanan $A, B$ ve $C$ olayları için aşağıdaki olasılık değerleri verilmiştir:

- $P(A) = 0,30$
- $P(B) = 0,40$
- $P(C) = 0,20$

$A$ ve $B$ olaylarının bağımsız olaylar, $B$ ve $C$ olaylarının ise birbirlerinden ayrık olaylar olduğu bilinmektedir. Ayrıca $P(A \cap C) = 0,05$ 'tir.

Buna göre, $A, B$ veya $C$ olaylarından en az birinin gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cup B \cup C)$ kaçtır?

0,65

0,85

0,73

0,77

0,90

Show answer & explanation

Answer: 0,73

Answer

Doğru değer 0,73'tür. Üç olayın birleşim kuralında bağımsızlık ve ayrıklık özelliklerinin doğru kullanılmasıyla bu değere ulaşılır.

Üç olayın birleşim olasılığını hesaplarken

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)

formülü kullanılır. Soru metnindeki özellikler incelendiğinde;

A

ve

B

bağımsız olduğu için

P(A \cap B) = 0,30 \times 0,40 = 0,12

'dir.

B

ve

C

ayrık olduğu için

P(B \cap C) = 0

'dır.

B

ve

C

olayları birlikte gerçekleşemediğine göre üçünün birlikte gerçekleşmesi de imkansızdır; yani

P(A \cap B \cap C) = 0

'dır. Değerler yerine konduğunda

0,30 + 0,40 + 0,20 - 0,12 - 0,05 - 0 + 0 = 0,73

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Üç olayın birleşimi için genel olasılık kuralı (Kolmogorov aksiyomlarından türetilen) formülünü yazmak.

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)

En az birinin gerçekleşme olasılığını bulmak için, ortak gerçekleşen durumların (kesişimlerin) fazladan toplanmasını engellemek gerekir.

2

A ve B olaylarının bağımsızlık özelliğini kullanarak kesişim olasılıklarını hesaplamak.

P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,30 \times 0,40 = 0,12

Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tekil olasılıklarının matematiksel çarpımına eşittir.

3

B ve C olaylarının ayrıklık özelliğinden yararlanarak ikili ve üçlü kesişim olasılıklarını belirlemek.

Ayrık oldukları için

P(B \cap C) = 0

'dır.

A \cap B \cap C

olayı,

B \cap C

'nin bir alt kümesi olduğundan

P(A \cap B \cap C) = 0

olur.

Ayrık olayların ortak elemanı yoktur; aynı anda gerçekleşemezler ve kesişim olasılıkları her zaman sıfırdır.

4

Bulunan tüm değerleri birleşim olasılığı formülünde yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak.

P(A \cup B \cup C) = 0,30 + 0,40 + 0,20 - 0,12 - 0,05 - 0 + 0 = 0,73

Bilinmeyen tüm kesişim olasılıkları aksiyomlar ve olay özellikleri kullanılarak bulunduktan sonra aritmetik işlem tamamlanır.

Key Concept

Olasılık aksiyomları üzerinden birleşim kuralları, ayrık (mutually exclusive) ve bağımsız (independent) olayların kavramsal ayrımı

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Bir yazılım projesindeki hata takip sistemine göre, rastgele seçilen bir kod modülünde arayüz hatası ( $A$ ) bulunma olasılığı $0,25$ olarak belirlenmiştir. Aynı modülde arayüz hatası veya veritabanı hatası ( $V$ ) bulunma olasılığının ise $0,55$ olduğu hesaplanmıştır.

Arayüz hatası ile veritabanı hatasının bulunması olaylarının bağımsız olaylar olduğu bilindiğine göre, bu kod modülünde veritabanı hatası bulunma olasılığı ( $P(V)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,10

0,30

0,40

0,45

0,80

Show answer & explanation

Answer: 0,40

Answer

Doğru değer 0,40'tır.

Doğru yanıt 0,40 değeridir. Olasılık teorisi aksiyomlarına göre iki olayın birleşimi

P(A \cup V) = P(A) + P(V) - P(A \cap V)

kuralı ile bulunur. Olayların bağımsız olduğu belirtildiği için

P(A \cap V)

ifadesi yerine

P(A) \cdot P(V)

yazılabilir. Veriler denkleme yerleştirildiğinde

0,55 = 0,25 + P(V) - (0,25 \cdot P(V))

eşitliği oluşur. Sağ taraf

P(V)

parantezine alındığında

0,55 = 0,25 + 0,75 \cdot P(V)

şekline dönüşür. Bu denklem çözüldüğünde

0,75 \cdot P(V) = 0,30

ve nihayetinde

P(V) = 0,40

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık aksiyomlarına göre birleşim olasılığı formülünü yazma

P(A \cup V) = P(A) + P(V) - P(A \cap V)

denklemi kurulur.

İki olayın birleşiminin olasılığını hesaplarken, kesişim bölgesinin iki kez sayılmasını engellemek için genel olasılık toplama kuralı kullanılmalıdır.

2

Bağımsız olaylar kuralını formüle uygulama

P(A \cap V) = P(A) \cdot P(V)

eşitliği birleşim formülüne entegre edilir.

Soruda olayların bağımsız olduğu belirtilmiştir. Bağımsız olaylarda iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

3

Verilen olasılık değerlerini denkleme yerleştirme

0,55 = 0,25 + P(V) - 0,25 \cdot P(V)

eşitliği elde edilir.

Soru metninde verilen

P(A) = 0,25

ve

P(A \cup V) = 0,55

değerleri formülde yerine konularak, bilinmeyen

P(V)

tek değişkene indirgenir.

4

Denklemi çözerek

P(V)

değerini hesaplama

0,55 - 0,25 = P(V) \cdot (1 - 0,25) \implies 0,30 = 0,75 \cdot P(V) \implies P(V) = 0,40

olarak hesaplanır.

Matematiksel işlemler tamamlanarak istenen marjinal olasılık sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Olasılık aksiyomları ve bağımsız olaylarda birleşim formülü

Question 5Question →

Bir bakanlık, yerel yönetimlerin sunduğu projeleri üç farklı teşvik fonu kapsamında değerlendirmektedir: Altyapı ( $A$ ), İstihdam ( $B$ ) ve Çevre ( $C$ ).

İncelenen projeler için aşağıdaki olasılıklar belirlenmiştir:
- Bir projenin Altyapı fonu alma olasılığı $0,40$ 'tır.
- Bir projenin İstihdam fonu alma olasılığı $0,30$ 'dur.
- Bir projenin Çevre fonu alma olasılığı $0,35$ 'tir.

Mevzuat gereği, bir proje aynı anda hem Altyapı hem de İstihdam fonundan yararlanamamaktadır. Bununla birlikte, bir projenin hem Altyapı hem de Çevre fonu alma olasılığı $0,15$ ; hem İstihdam hem de Çevre fonu alma olasılığı ise $0,10$ olarak hesaplanmıştır.

Bu bilgilere göre, rastgele seçilen bir projenin hiçbir fon alamama olasılığı kaçtır?

0,80

0,32

0,20

0,27

0,30

Show answer & explanation

Answer: $0,20$

Answer

Doğru değer

0,20

'dir. Üç fon olayının birleşim olasılığı hesaplanıp

1

'den çıkarılmalıdır.

Doğru yanıt olan

0,20

, üç olayın birleşim kümesinin tümleyeninin olasılığıdır. Mevzuatta belirtilen "Altyapı ve İstihdam fonu aynı anda alınamaz" ifadesi,

A

ve

B

olaylarının ayrık (kesişimi boş küme) olduğunu belirtir; dolayısıyla

P(A \cap B) = 0

alınmalıdır. İçerme-Dışarma prensibine göre en az bir fon alma olasılığı

P(A \cup B \cup C) = 0,40 + 0,30 + 0,35 - 0 - 0,15 - 0,10 = 0,80

olarak bulunur. Hiçbir fon alamama durumu bunun tümleyeni olduğu için

1 - 0,80 = 0,20

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen olasılık değerlerini matematiksel notasyona dönüştürün.

P(A) = 0,40

,

P(B) = 0,30

,

P(C) = 0,35

. Kesişimler:

P(A \cap C) = 0,15

ve

P(B \cap C) = 0,10

.

Olayları modellemek ve formülde yerine koyulacak parametreleri belirlemek için gereklidir.

2

Ayrık olaylar kuralını tanımlayın.

Altyapı ve İstihdam fonları aynı anda alınamadığı için bu olaylar ayrıktır. Bu nedenle

P(A \cap B) = 0

ve dolayısıyla

P(A \cap B \cap C) = 0

olur.

Olasılık fonksiyonu aksiyomlarına göre (Kolmogorov), kesişimleri boş küme olan ayrık olayların birlikte gerçekleşme olasılığı sıfırdır.

3

İçerme-Dışarma Prensibini kullanarak projenin en az bir fon alma olasılığını (birleşim) hesaplayın.

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)

formülünden

0,40 + 0,30 + 0,35 - 0 - 0,15 - 0,10 + 0 = 0,80

bulunur.

Örnek uzaydaki kesişen olayların toplam olasılığını doğru bulmak için çift sayılan kesişim bölgelerinin çıkarılması gerekir.

4

Hiçbir fon alamama olasılığını bulmak için tümleyen (kompleman) kuralını uygulayın.

P((A \cup B \cup C)^c) = 1 - P(A \cup B \cup C) = 1 - 0,80 = 0,20

.

Olasılık aksiyomlarına göre, bir olayın gerçekleşmeme olasılığı

1

eksi olayın gerçekleşme olasılığıdır.

Key Concept

Aksiyomatik Olasılık ve İçerme-Dışarma Prensibi

Question 6Question →

Olasılık teorisi kapsamında olayların ve rastgele değişkenlerin bağımsızlık özellikleri incelendiğinde, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu olaylar kesinlikle bağımsızdır.

Üç veya daha fazla olayın kendi aralarında ikişerli olarak bağımsız olması, bu olayların karşılıklı (tam) bağımsız olduklarını kesin olarak gösterir.

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip iki olay bağımsız ise, bu olaylar ayrık olamazlar.

İki rastgele değişken arasındaki kovaryans sıfır (

Cov(X,Y)=0

) ise, bu değişkenler kesinlikle bağımsızdır.

Bağımsız A ve B olayları için, B olayı bilindiğinde A'nın gerçekleşme olasılığı

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

formülüyle ifade edilir.

Show answer & explanation

Answer: Sıfırdan büyük olasılıklara sahip iki olay bağımsız ise, bu olaylar ayrık olamazlar.

Answer

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip iki olayın bağımsız olmaları durumunda ayrık olamayacaklarını belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip bağımsız iki olayın kesişiminin olasılığı, bu olayların ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Olayların olasılıkları sıfırdan büyük (

>0

) olduğu için, çarpımları da sıfırdan büyük olacaktır. Kesişimin olasılığı sıfırdan büyük olduğunda olayların kesişim kümesi boş olamaz; dolayısıyla bu olaylar ayrık olamazlar.

Step-by-Step Solution

1

Bağımsızlık ve ayrıklık tanımlarını matematiksel olarak ifade etmek.

İki olay bağımsız ise

P(A \cap B) = P(A)P(B)

olur. İki olay ayrık ise

P(A \cap B) = 0

olur.

Kavramlar arasındaki ilişkiyi olasılık özellikleri üzerinden kıyaslamak.

2

Sıfırdan büyük olasılıklara sahip bağımsız olayların kesişimini analiz etmek.

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

iken olaylar bağımsızsa,

P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0

sonucu elde edilir.

Çarpımın sıfırdan büyük olması, kesişim olasılığının sıfır olmadığını gösterir.

3

Elde edilen kesişim olasılığı sonucunu ayrıklık durumuyla karşılaştırmak.

P(A \cap B) > 0

olduğu için bu olayların kesişim kümesi boş olamaz. Dolayısıyla aynı anda gerçekleşebilirler ve ayrık değildirler.

Ayrık olayların kesişim olasılığının her zaman sıfır olması kuralını uygulamak.

4

Diğer ifadelerdeki kavram yanılgılarını tespit etmek.

Kovaryansın bağımsızlık için yeterli olmadığı, ikişerli bağımsızlığın karşılıklı bağımsızlığı garanti etmediği ve koşullu olasılık paydasının yanlış olduğu belirlenir.

Çeldiricilerin içerdiği temel istatistiksel ve olasılıksal hataları ayıklamak.

Key Concept

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Kovaryans İlişkisi

Estimated Time:1m 0s

Question 7Question →

Bir $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ olasılık uzayında, $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ azalan bir olaylar dizisini ( $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \dots$ ) göstermektedir.

Her $n \geq 1$ için, $A_n$ olayının olasılığı $P(A_n) = \frac{3n+2}{8n+1}$ olarak verilmiştir.

$B = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ olmak üzere; $B$ olayı ile örnek uzaydaki başka bir $C$ olayı için aşağıdaki olasılıklar bilinmektedir:
- $P(B \cup C) = \frac{5}{6}$
- $P(B \cap C) = \frac{1}{8}$

Buna göre, $B$ olayının gerçekleşmediği bilindiğine göre $C$ olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{11}{24}

\frac{7}{12}

\frac{11}{15}

\frac{11}{14}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{11}{15}$

Answer

İstenen olasılık değeri

\frac{11}{15}

'tir.

Soruda iki temel olasılık teorisi prensibi sınanmaktadır. İlk olarak, azalan bir dizinin sonsuz kesişiminin olasılığı, dizinin olasılıklarının limitine eşittir (Süreklilik aksiyomu). Buradan

P(B) = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{8n+1} = \frac{3}{8}

bulunur. İkinci adımda, 'B'nin gerçekleşmediği bilindiğine göre C'nin gerçekleşme olasılığı' olan

P(C | B^c)

istenmektedir. Bunun için

P(C \cap B^c)

değeri,

P(B \cup C) = P(B) + P(C \cap B^c)

ayrık birleşim özelliği ile

\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{11}{24}

olarak hesaplanır. Son olarak koşullu olasılık denkleminde bu değer

P(B^c) = \frac{5}{8}

ile oranlanır ve

\frac{11/24}{5/8} = \frac{11}{15}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılığın süreklilik aksiyomunu kullanarak B olayının olasılığını hesaplamak

P(B) = \frac{3}{8}

A_n

azalan bir olaylar dizisi olduğundan,

B

kümesi bu dizinin sonsuz kesişimidir. Olasılık fonksiyonunun süreklilik aksiyomu gereği

P(B) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)

olur.

\lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{8n+1} = \frac{3}{8}

olarak bulunur.

2

Koşullu olasılık için pay kısmında gerekli olan kesişim (

C \cap B^c

) olasılığını bulmak

P(C \cap B^c) = \frac{11}{24}

Olasılık aksiyomlarından türetilen kümelerin ayrık birleşimi kuralı gereği

P(B \cup C) = P(B) + P(C \cap B^c)

formülü geçerlidir. Bu denklemde değerler yerine konduğunda

\frac{5}{6} = \frac{3}{8} + P(C \cap B^c) \implies P(C \cap B^c) = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}

elde edilir.

3

İstenen koşullu olasılık değerini (

P(C | B^c)

) hesaplamak

P(C | B^c) = \frac{11}{15}

Soruda '

B

olayının gerçekleşmediği bilindiğine göre' ifadesi yer aldığından koşullu olasılık tanımı uygulanır.

P(C | B^c) = \frac{P(C \cap B^c)}{P(B^c)}

formülü kullanılır. Paydaya gelecek olan değer

P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

'dir. Sonuç:

\frac{11/24}{5/8} = \frac{11}{24} \cdot \frac{8}{5} = \frac{11}{15}

bulunur.

Key Concept

Olasılıkta süreklilik aksiyomu (limit kuralları), küme işlemleri (ayrık olaylar) ve koşullu olasılık formülünün sentezi.

Question 8Question →

Bir liman işletmesi müdürlüğünde, yanaşma onayı bekleyen $4$ farklı ticari yük gemisi ve $3$ farklı yolcu gemisi bulunmaktadır. Liman idaresi, bu gemiler arasından $2$ ticari yük gemisi ve $1$ yolcu gemisi seçecek ve seçilen bu $3$ gemiyi, limandaki $3$ farklı boş rıhtıma (Rıhtım A, Rıhtım B, Rıhtım C) tahsis edecektir.

Buna göre, gemilerin seçimi ve rıhtımlara tahsisi işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

18

36

108

210

216

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Gemilerin seçimi ve rıhtımlara tahsisi işlemi toplam 108 farklı şekilde yapılabilir.

Bu problem iki aşamalıdır: Önce gruplardan uygun sayıda gemi seçilmeli (kombinasyon), sonra seçilen bu gemiler spesifik konumlara yerleştirilmelidir (permütasyon). Ticari gemilerin seçimi

\binom{4}{2} = 6

yolla, yolcu gemisinin seçimi

\binom{3}{1} = 3

yolla yapılır. Seçilen toplam 3 geminin birbirinden farklı 3 rıhtıma yanaştırılması ise

3! = 6

yolla gerçekleşir. Toplam durum sayısı

6 \times 3 \times 6 = 108

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

4

farklı ticari gemi arasından

2

tanesini sırasız olarak seçme

\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6

farklı şekilde seçilir.

Hangi gemilerin limana alınacağını belirlerken henüz rıhtım tahsisi yapılmadığından sadece seçim (kombinasyon) uygulanır.

2

3

farklı yolcu gemisi arasından

1

tanesini sırasız olarak seçme

\binom{3}{1} = 3

farklı şekilde seçilir.

Yolcu gemileri grubundan istenilen kontenjanın seçimi (kombinasyon) yapılır.

3

Seçilen toplam

3

gemiyi,

3

farklı boş rıhtıma tahsis etme

3! = 6

farklı şekilde sıralanır.

Rıhtımlar (A, B, C) birbirinden farklı olduğu için gemilerin hangi rıhtıma yanaşacağı önemlidir, bu yüzden sıralama (permütasyon) kullanılır.

4

Tüm bağımsız adımları temel sayma kuralı (çarpma) ile birleştirme

6 \times 3 \times 6 = 108

Seçim ve tahsis işlemleri birbirine bağlı ardışık olaylar olduğundan olasılıklar birbiriyle çarpılır.

Key Concept

Sayma Kuralları: Seçim (Kombinasyon) ve Sıralamanın (Permütasyon) Birlikte Kullanımı

Question 9Question →

Bir kamu kurumunun proje değerlendirme kuruluna sunulan projelerin %30'u 'Yüksek Nitelikli', %70'i ise 'Standart Nitelikli' olarak sınıflandırılmaktadır. Kurulun ön inceleme aşamasında kullandığı yapay zeka destekli bir önceliklendirme sistemi, yüksek nitelikli projelerin %90'ına 'Öncelikli Onay' işareti koyarken, standart nitelikli projelerin %15'ine yanlışlıkla 'Öncelikli Onay' işareti koymaktadır.

Buna göre, sistem tarafından 'Öncelikli Onay' işareti konulmuş bir projenin gerçekte 'Standart Nitelikli' olma olasılığı kaçtır?

0,105

0,150

0,280

0,700

0,720

Show answer & explanation

Answer: 0,280

Answer

0,280

Soruda, bir projenin 'Öncelikli Onay' aldığı bilindiğine göre, 'Standart Nitelikli' olma olasılığı istenmektedir. Bu problem Bayes Teoremi kullanılarak çözülür. Öncelikle projenin 'Öncelikli Onay' alma toplam olasılığı hesaplanır: Yüksek Nitelikli ve Onaylı olma olasılığı (0,30 × 0,90 = 0,270) ile Standart Nitelikli ve Onaylı olma olasılığı (0,70 × 0,15 = 0,105) toplanır. Toplam olasılık 0,270 + 0,105 = 0,375 olarak bulunur. İstenen koşullu olasılık ise, Standart Nitelikli ve Onaylı olma olasılığının toplam Onay olasılığına bölünmesiyle elde edilir: 0,105 / 0,375 = 0,280.

Step-by-Step Solution

1

Olayları tanımlama ve verilen olasılıkları matematiksel notasyona çevirme.

P(Y) = 0,30, P(S) = 0,70, P(Onay|Y) = 0,90, P(Onay|S) = 0,15 olarak belirlenir.

Bayes teoremini uygulayabilmek için metindeki istatistiksel verileri modellemek.

2

Toplam Olasılık Teoremi kullanılarak bir projenin herhangi bir şekilde 'Öncelikli Onay' alma olasılığını (payda) hesaplama.

P(Onay) = P(Onay|Y)P(Y) + P(Onay|S)P(S) = (0,90 × 0,30) + (0,15 × 0,70) = 0,270 + 0,105 = 0,375

Yeni kısıtlanan örnek uzayın, yani sadece onay alan projelerin oluşturduğu toplam hacmi bulmak.

3

Bayes Teoremi'ni uygulayarak 'Öncelikli Onay' alındığı bilindiğinde 'Standart Nitelikli' olma koşullu olasılığını bulma.

P(S|Onay) = P(S ∩ Onay) / P(Onay) = 0,105 / 0,375 = 0,280

Yeni bilgi (onay işareti) ışığında projenin standart nitelikli olduğuna dair sonul (posterior) olasılığı hesaplamak.

Key Concept

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi

Question 10Question →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, içme suyu kalitesini izlemek amacıyla üç farklı ilçeden (X, Y ve Z) su numuneleri toplamaktadır. Toplanan numunelerin %20'si X ilçesinden, %50'si Y ilçesinden ve %30'u Z ilçesinden gelmektedir.

Yapılan laboratuvar analizleri sonucunda numunelerde mikrobiyolojik kirliliğe rastlanma olasılıkları X ilçesi için %5, Y ilçesi için %2 ve Z ilçesi için %10 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen bir su numunesinde mikrobiyolojik kirlilik tespit edildiği bilindiğine göre, bu numunenin Z ilçesinden gelmiş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{100}

\frac{1}{20}

\frac{1}{10}

\frac{3}{10}

\frac{3}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{5}$

Answer

İlgili koşullu olasılık değeri

\frac{3}{5}

'tir.

Soruda, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (kirlilik), bu olaya yol açan belirli bir sebebin (Z ilçesi) olasılığı sorulmaktadır. Bu durum Bayes teoreminin klasik bir uygulamasıdır. Önce toplam olasılık kuralı ile numunenin kirli olma ihtimali (

0.05

) hesaplanmış, ardından Z ilçesinin kirliliğe katkısı (

0.03

) bu toplam değere oranlanarak

\frac{3}{5}

sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Olayları tanımlayıp verilen olasılık değerlerini matematiksel notasyona dökme.

P(X) = 0.20

,

P(Y) = 0.50

,

P(Z) = 0.30

ve kirlilik olayı (

K

) için

P(K|X) = 0.05

,

P(K|Y) = 0.02

,

P(K|Z) = 0.10

.

Bayes teoreminde kullanılacak olan marjinal ve koşullu olasılık bileşenlerini belirlemek.

2

Toplam olasılık kuralını kullanarak rastgele seçilen bir numunenin kirli çıkma olasılığını (

P(K)

) hesaplama.

P(K) = P(X)P(K|X) + P(Y)P(K|Y) + P(Z)P(K|Z) = (0.20 \times 0.05) + (0.50 \times 0.02) + (0.30 \times 0.10) = 0.01 + 0.01 + 0.03 = 0.05

.

Koşullu olasılık formülündeki paydayı (tüm olası kirlilik durumlarının toplam olasılığını) bulmak.

3

Bayes formülünü uygulayarak kirli olduğu bilinen numunenin Z ilçesinden gelme koşullu olasılığını (

P(Z|K)

) hesaplama.

P(Z|K) = \frac{P(Z \cap K)}{P(K)} = \frac{0.03}{0.05} = \frac{3}{5}

.

Soruda istenen 'kirlilik şartı altında Z ilçesi olma' olasılığını nihai olarak elde etmek.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı

Estimated Time:1m 30s

Question 11Question →

Bir olasılık uzayında tanımlı $K$ , $L$ ve $M$ olayları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• $K$ ile $L$ olayları bağımsızdır.
• $L$ ile $M$ olayları ayrık olaylardır.
• $P(K) = \frac{2}{5}$
• $P(L) = \frac{1}{2}$
• $P(M) = \frac{3}{10}$
• $P(K \cup M) = \frac{3}{5}$

Buna göre, $K$ veya $M$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, $L$ olayının da gerçekleşmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{29}{60}

\frac{7}{12}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{3}$

Answer

\frac{1}{3}

Soruda istenen olasılık formülü

P(L \mid K \cup M)

'dir. Koşullu olasılık tanımına göre bu ifade

\frac{P(L \cap (K \cup M))}{P(K \cup M)}

şeklinde açılır. Kümelerdeki dağılma özelliğinden pay kısmı

P((L \cap K) \cup (L \cap M))

olur.

L

ve

M

ayrık olaylar olduğu için kesişimleri boş kümedir ve

P(L \cap M) = 0

'dır.

K

ve

L

olayları ise bağımsız olduğundan

P(L \cap K) = P(L) \times P(K) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

olarak hesaplanır. Payda değeri olan

P(K \cup M) = \frac{3}{5}

soruda doğrudan verilmiştir. İfadeler oranlandığında

\frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İstenen olasılığı koşullu olasılık formülü ile ifade etme

P(L \mid K \cup M) = \frac{P(L \cap (K \cup M))}{P(K \cup M)}

Soruda '

K

veya

M

gerçekleştiğinde

L

'nin gerçekleşme olasılığı' sorulduğu için koşullu olasılık kuralları gereklidir.

2

Payda kısmındaki koşul olasılığını belirleme

P(K \cup M) = \frac{3}{5}

Soruda

K

veya

M

'nin birleşim olasılığı (

K \cup M

) doğrudan

\frac{3}{5}

olarak verilmiştir.

3

Pay kısmındaki kesişim işlemini kümelerde dağılma özelliği kullanarak açma

P(L \cap (K \cup M)) = P((L \cap K) \cup (L \cap M))

Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliğini kullanmak hesaplamayı alt bileşenlere ayırır.

4

Ayrık ve bağımsız olay özelliklerini uygulayarak payı hesaplama

L

ve

M

ayrık olduğu için

P(L \cap M) = 0

'dır.

K

ve

L

bağımsız olduğu için

P(L \cap K) = P(L) \times P(K) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

'tir. İki alt olay ayrık olduğundan pay

\frac{1}{5} + 0 = \frac{1}{5}

olarak bulunur.

Ayrık (mutually exclusive) olayların kesişim olasılığı sıfırdır. Bağımsız olayların kesişim olasılığı ise marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.

5

Hesaplanan değerleri koşullu olasılık formülünde yerine koyma

P(L \mid K \cup M) = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}

Pay ve payda değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bağımsızlık, Ayrık Olaylar ve Koşullu Olasılık Formülleri

Question 12Question →

Bir kamu kurumunun veri merkezinde $5$ farklı veritabanı sunucusu ve $4$ farklı uygulama sunucusu bulunmaktadır. Yeni bulut altyapısına geçiş projesi kapsamında, bu sunucular arasından $3$ veritabanı ve $2$ uygulama sunucusu seçilecek ve tek tek (ardışık olarak) taşınacaktır.

Sistem kararlılığını sağlamak amacıyla, taşınacak $5$ sunuculuk dizilimin ilk ve son sırasında mutlaka birer veritabanı sunucusu olması gerekmektedir.

Buna göre, bu taşıma işlemi kaç farklı sıralamayla gerçekleştirilebilir?

60

360

720

2160

7200

Show answer & explanation

Answer: 2160

Answer

İşlem, doğru kombinasyonlarla seçimin yapılması ve ardından kısıtlara uygun permütasyonun hesaplanması ile elde edilen 2160 farklı sıralamadır.

Doğru yanıt, problemin iki temel aşamasını (seçme ve sıralama) eksiksiz içerir.

5

veritabanı arasından

3

'ü,

4

uygulama sunucusu arasından

2

'si seçilir (

\binom{5}{3} \times \binom{4}{2} = 60

). Sonrasında bu

5

sunucu dizilirken,

3

veritabanı sunucusundan ikisi başa ve sona

P(3,2) = 6

şekilde, kalan

3

sunucu ise ortaya

3! = 6

şekilde yerleşir. Çarpım kuralı ile

60 \times 6 \times 6 = 2160

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Taşınacak sunucuların seçilmesi

\binom{5}{3} \times \binom{4}{2} = 10 \times 6 = 60

farklı seçim yapılabilir.

Hangi sunucuların taşınacağını belirlemek için sıra gözetmeksizin kombinasyon kullanılır.

2

İlk ve son sıradaki sunucuların yerleştirilmesi

Seçilen 3 veritabanı sunucusundan 2'si ilk ve son sıraya

P(3,2) = 3 \times 2 = 6

farklı şekilde yerleştirilir.

Kısıt gereği 1. ve 5. sırada veritabanı sunucusu olmalıdır. Burada sıra önemli olduğu için permütasyon kullanılır.

3

Kalan sunucuların ortadaki sıralara yerleştirilmesi

Geriye kalan 1 veritabanı ve 2 uygulama sunucusu (toplam 3 sunucu), ortadaki 3 sıraya

3! = 6

farklı şekilde sıralanır.

Uçlara yerleşim yapıldıktan sonra kalan sunucular herhangi bir kısıt olmaksızın kendi aralarında dizilir.

4

Toplam durumu hesaplamak için çarpım kuralının uygulanması

60 \times 6 \times 6 = 2160

farklı sıralama bulunur.

Birbirine bağlı bağımsız adımların her birinin olasılıkları çarpılarak toplam gerçekleşme sayısı bulunur.

Key Concept

Kısıtlı Durumlarda Permütasyon ve Kombinasyonun Birlikte Kullanımı

Estimated Time:2m 0s

Question 13Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde yürütülen sistem güvenilirliği analizinde, ana sunucunun ( $A$ ) günlük donanımsal arıza verme olasılığı $0,15$ ve yedek sunucunun ( $B$ ) günlük donanımsal arıza verme olasılığı $0,10$ olarak raporlanmıştır.

Sistem mimarisindeki özel bir güvenlik protokolü sayesinde, her iki sunucunun aynı gün içinde arıza vermesi teknik olarak imkânsız hâle getirilmiştir ( $A$ ve $B$ olayları ayrıktır).

Buna göre, rastgele seçilen bir günde bu kuruma ait sunucuların hiçbirinin arıza vermeme olasılığı kaçtır?

0,015

0,235

0,250

0,750

0,765

Show answer & explanation

Answer: 0,750

Answer

Doğru cevap 0,750 değeridir.

Olasılık aksiyomlarına göre ayrık olayların kesişim olasılığı sıfırdır. Bu nedenle sunuculardan en az birinin arıza yapma olasılığı

P(A \cup B) = 0,15 + 0,10 = 0,25

'tir. Soruda 'hiçbirinin' arıza vermemesi istendiği için bu değerin tümleyeni olan

1 - 0,25 = 0,750

doğru sonuçtur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen olasılık değerlerini ve olayların özelliklerini matematiksel olarak ifade etme.

P(A) = 0,15

ve

P(B) = 0,10

. Olaylar ayrık (mutually exclusive) olduğu için

P(A \cap B) = 0

olur.

Soruda her iki sunucunun aynı anda arıza vermesinin imkânsız olduğu belirtilmiştir, bu durum ayrık olayların tanımıdır.

2

Kolmogorov'un 3. aksiyomunu (toplamsallık) kullanarak en az bir sunucunun arıza verme olasılığını hesaplama.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,15 + 0,10 - 0 = 0,250

.

Sistemin herhangi bir yerinde arıza olma durumu, bu iki olayın birleşimidir.

3

İstenen "hiçbirinin arıza vermemesi" durumunu bulmak için birleşim olayının tümleyenini hesaplama.

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,250 = 0,750

.

Hiçbir sunucunun arıza vermemesi, evrensel kümeden (olasılık toplamı 1) en az birinin arıza yaptığı durumların çıkarılmasıyla bulunur (Aksiyom 2).

Key Concept

Olasılık Fonksiyonu Aksiyomları ve Tümleyen Kuralı

Question 14Question →

Bir vergi dairesinde incelenen beyannamelerin $\%40$ 'ı Kurumlar Vergisi, $\%60$ 'ı ise Gelir Vergisi beyannamesidir. Yapılan rutin denetimlerde, Kurumlar Vergisi beyannamelerinin $\%5$ 'inde, Gelir Vergisi beyannamelerinin ise $\%10$ 'unda usulsüzlük tespit edilmiştir.

Rastgele seçilen ve usulsüzlük tespit edildiği bilinen bir beyannamenin, Kurumlar Vergisi beyannamesi olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{50}

\frac{1}{20}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{4}$

Answer

Rastgele seçilen ve usulsüzlük tespit edildiği bilinen beyannamenin Kurumlar Vergisi olma olasılığı

\frac{1}{4}

'tür.

Soruda bir olayın gerçekleştiği (usulsüzlük tespit edildiği) bilindiğinde, bunun belirli bir kaynaktan (Kurumlar Vergisi) gelme olasılığı sorulmaktadır. Bu durum Bayes teoreminin klasik bir uygulamasıdır. Toplam usulsüzlük olasılığı 0.08'dir. Bu usulsüzlüklerin 0.02'lik kısmı Kurumlar vergisinden, 0.06'lık kısmı Gelir vergisinden gelmektedir. Dolayısıyla, usulsüz olanların içindeki Kurumlar Vergisi payı 0.02 / 0.08 = 1/4 olur.

Step-by-Step Solution

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayın.

P(K) = 0.40

,

P(G) = 0.60

,

P(U|K) = 0.05

,

P(U|G) = 0.10

Problemde verilen bilgileri matematiksel notasyona çevirmek, Bayes teoreminin uygulanmasını sağlar.

2

Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak rastgele seçilen bir beyannamede usulsüzlük bulunma olasılığını

P(U)

hesaplayın.

P(U) = P(K) \cdot P(U|K) + P(G) \cdot P(U|G) = (0.40 \cdot 0.05) + (0.60 \cdot 0.10) = 0.02 + 0.06 = 0.08

Koşullu olasılık formülünün paydasını oluşturacak olan, herhangi bir beyannamenin usulsüz olma genel olasılığına ihtiyaç vardır.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak

P(K|U)

koşullu olasılığını hesaplayın.

P(K|U) = \frac{P(K \cap U)}{P(U)} = \frac{0.02}{0.08} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Soruda, usulsüzlük tespit edildiği bilindiğine göre (koşul), beyannamenin Kurumlar Vergisi'ne ait olma olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

Question 15Question →

Bir kamu kurumunun istatistiksel analiz raporunda, risk modellemelerinde kullanılan olaylar ve rastgele değişkenler arasındaki teorik ilişkiler değerlendirilmektedir. Olasılık teorisindeki bağımsızlık kavramı ve bunun diğer istatistiksel ölçütlerle ilişkisi dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi olasılık aksiyomlarına ve teoremlerine göre kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

olayları istatistiksel olarak birbirinden bağımsız ise, bu olayların tümleyenleri olan

A'

ve

B'

olayları da daima birbirinden bağımsızdır.

Meydana gelme olasılıkları sıfırdan büyük olan ve ortak hiçbir kesişim noktası bulunmayan (ayrık) iki olay, olasılık teorisine göre istatistiksel olarak bağımsızdır.

İki rastgele değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçen kovaryans değerinin sıfır olması (

Cov(X,Y) = 0

), bu değişkenlerin her zaman tam bağımsız olduğunu gösterir.

Bir örnek uzayındaki

A

,

B

ve

C

olaylarının ikişerli olarak bağımsızlık şartını sağlaması, bu üç olayın karşılıklı (toplu) olarak da bağımsız olmaları için yeterli bir koşuldur.

Bağımlı iki olaydan

A

'nın gerçekleştiği bilindiğinde

B

'nin koşullu olasılığı olan

P(B|A)

hesaplanırken, formüldeki paydaya koşul olayı olan

A

'nın olasılığı yerine

B

'nin olasılığı yazılmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: $A$ ve $B$ olayları istatistiksel olarak birbirinden bağımsız ise, bu olayların tümleyenleri olan $A'$ ve $B'$ olayları da daima birbirinden bağımsızdır.

Answer

İki olayın bağımsız olması durumunda, bu olayların tümleyenlerinin de kendi aralarında bağımsız olacağını ifade eden seçenek kesinlikle doğrudur.

Bağımsızlık teorisine göre, eğer iki olay (

A

ve

B

) bağımsız ise, bu durum diğer kombinasyonlara da yansır:

A

ile

B'

,

A'

ile

B

, ve

A'

ile

B'

de kendi aralarında bağımsız olmak zorundadır. Matematiksel olarak,

P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')

eşitliği De Morgan kuralları ve olasılık aksiyomları kullanılarak kesin bir şekilde kanıtlanır.

Step-by-Step Solution

1

Ayrıklık (kesişimin boş küme olması) ile bağımsızlık kavramlarının olasılık değerleri üzerinden teorik olarak karşılaştırılması.

Eğer iki olay ayrıksa

P(A \cap B) = 0

'dır. Olasılıklar sıfırdan büyükken

0 \neq P(A)P(B)

olacağı için ayrık olaylar bağımsız değil, tam tersine bağımlıdır.

Bağımsızlık yanılgılarını elemek için

P(A \cap B) = P(A)P(B)

genel şartının sınanması gerekir.

2

Kovaryansın sıfır olmasının bağımsızlık üzerindeki etkisinin değerlendirilmesi.

Kovaryans yalnızca doğrusal (lineer) ilişkiyi ölçer. Bağımsız değişkenlerin kovaryansı sıfırdır ancak kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garanti etmez (

Y=X^2

gibi simetrik dağılımlı doğrusal olmayan ilişkilerde kovaryans sıfırdır ancak bağımlılık tamdır).

İstatistiksel modellemede yapılan en yaygın kavramsal hatanın (kovaryans = bağımsızlık) matematiksel altyapısının çürütülmesi.

3

İkişerli bağımsızlık ile karşılıklı (toplu) bağımsızlık koşullarının ayrıştırılması.

Olayların kendi aralarında ikili olarak bağımsız olması, üçünün birden kesişiminin olasılığının çarpımlarına eşit olacağı anlamına gelmez. Dolayısıyla ikişerli bağımsızlık, toplu bağımsızlık için yeterli değildir.

Çoklu olay analizlerinde bağımsızlığın her alt küme ve tüm küme için ayrı ayrı sağlanması gerektiğinin gösterilmesi.

4

Bağımsız olayların tümleyenlerinin bağımsızlık analizinin yapılması.

A

ve

B

bağımsız ise

P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)] = (1-P(A))(1-P(B)) = P(A')P(B')

elde edilir. Tümleyenler de bağımsızdır.

Teorik olasılık aksiyomlarının cebirsel açılımıyla doğru bilginin doğrudan kanıtlanması.

Key Concept

Bağımsızlık Teorisi, Olasılık Aksiyomları ve Kavramsal Yanılgılar

Question 16Question →

Olasılık teorisinde olayların ve rastgele değişkenlerin bağımsızlık, ayrıklık ve koşullu ilişkileri üzerine yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

bağımsız olaylar olmak üzere, eğer

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

eşitliği geçerliyse, bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı mutlaka sıfıra eşittir.

İki olay birbirini dışlayan (ayrık) nitelikte ise, ortak kesişimleri boş küme olacağından bu olaylar istatistiksel olarak her zaman birbirinden bağımsızdır.

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır olması (

Cov(X,Y)=0

), bu iki değişkenin istatistiksel olarak tamamen bağımsız olduğunu kesin olarak gösterir.

İki olayın koşullu olasılığı hesaplanırken,

A

olayının gerçekleştiği bilindiğinde

B

olayının gerçekleşme olasılığı her zaman

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

eşitliği ile bulunur.

Aynı örnek uzayda tanımlı

A

,

B

ve

C

olayları ikişerli olarak bağımsız iseler, bu üç olayın ortak gerçekleşme olasılığı daima

P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)

olarak ifade edilir.

Show answer & explanation

Answer: $A$ ve $B$ bağımsız olaylar olmak üzere, eğer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ eşitliği geçerliyse, bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı mutlaka sıfıra eşittir.

Answer

Bağımsız olaylarda birleşim olasılığı iki olayın olasılıkları toplamına eşitse, olaylardan en az birinin olasılığının sıfır olması gerektiğini ifade eden seçenek.

Olasılık teorisinin temel toplama kuralına göre

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliği geçerlidir. Seçenekteki öncülde verilen durumun sağlanabilmesi için

P(A \cap B) = 0

olmalıdır. Aynı zamanda

A

ve

B

'nin bağımsız olduğu bilgisi de verilmiştir; bağımsız olayların kesişim olasılığı kendi marjinal olasılıklarının çarpımlarına eşittir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Bu iki durum birleştirildiğinde

P(A)P(B) = 0

denklemi ortaya çıkar. Matematik kuralları gereği, iki sayının çarpımının sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin değerinin sıfır olması kesin bir zorunluluktur.

Step-by-Step Solution

1

Genel olasılık toplama kuralını yaz.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliği elde edilir.

Herhangi iki olayın birleşiminin olasılığını bulmak için temel aksiyomdur.

2

Verilen

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

şartını genel kural ile karşılaştır.

P(A \cap B) = 0

sonucu çıkarılır.

Eşitliğin sağlanabilmesi için kesişim olasılığının çıkarıldığı terimin sıfır olması gerekir.

3

Bağımsızlık tanımını kesişim olasılığına uygula.

P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0

denklemi kurulur.

Soruda olayların bağımsız olduğu belirtildiğinden çarpım kuralı geçerlidir.

4

Denklemin matematiksel sonucunu yorumla.

P(A)=0

veya

P(B)=0

olmalıdır.

İki gerçel sayının çarpımı sıfır ise, çarpanlardan en az biri mutlaka sıfırdır.

Key Concept

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Olasılık Aksiyomları

Question 17Question →

Sağlık Bakanlığı, bir ildeki $5$ adet A-sınıfı ve $4$ adet B-sınıfı hastane arasından genel denetim programına alınmak üzere $2$ adet A-sınıfı ve $1$ adet B-sınıfı hastane seçecektir.

Belirlenen bu $3$ hastanenin her birine, denetimi yürütmek üzere kurumda görevli $6$ başdenetçiden biri atanacaktır. Her hastaneye tam olarak bir başdenetçi atanacak ve hiçbir başdenetçi birden fazla hastanede görevlendirilmeyecektir.

Buna göre, hastanelerin seçimi ve başdenetçilerin atanması işlemi toplam kaç farklı şekilde gerçekleştirilebilir?

800

1680

4800

9600

10080

Show answer & explanation

Answer: $4800$

Answer

Doğru yanıt

4800

'dür.

İşlem, mantıksal olarak iki bağımsız faza ayrılır: Birinci fazda sadece hastanelerin belirlenmesi (kombinasyon) gerçekleştirilir.

5

A-sınıfından

2

'si

\binom{5}{2} = 10

,

4

B-sınıfından

1

'i

\binom{4}{1} = 4

farklı şekilde seçilir ve toplam

40

farklı hastane grubu oluşturulur. İkinci fazda, belirlenen bu farklı ve kimliği belli

3

hastaneye

6

denetçinin atanması işlemi (permütasyon) yapılır. Her denetçinin gideceği yer belli bir sıra belirttiğinden

P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120

farklı atama yapılabilir. Temel sayma ilkesi gereği

40 \times 120 = 4800

toplam durum bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A-sınıfı ve B-sınıfı hastanelerin seçilebileceği farklı durum sayısını hesaplamak.

A-sınıfı için:

\binom{5}{2} = 10

. B-sınıfı için:

\binom{4}{1} = 4

. Birlikte seçilme durumu:

10 \times 4 = 40

.

Hastanelerin denetim listesine alınmasında sıralama (hangi hastanenin 1. veya 2. seçildiği) önemli olmadığından kombinasyon kullanılır. İki işlem birlikte gerçekleştiği için sonuçlar çarpılır.

2

Seçilmiş olan

3

hastaneye görevlendirilecek başdenetçilerin atanma durum sayısını hesaplamak.

P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} = 6 \times 5 \times 4 = 120

.

Hastaneler birbirinden farklı (örneğin X Hastanesi, Y Hastanesi) kurumlar olduğu için, Ali'nin X'e, Ayşe'nin Y'ye atanması ile tam tersi durum birbirinden farklı atamalardır. Bu yüzden sadece seçme değil, sıralama işlemi de içerdiğinden permütasyon kullanılır.

3

Hastane seçimi ve denetçi atanması işlemlerini birleştirerek toplam durumu bulmak.

40 \times 120 = 4800

.

Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereğince, ardışık ve bağımsız olarak gerçekleşen bu iki ana adımın durum sayıları birbiriyle çarpılır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Permütasyon (Sıralama/Atama) İlkelerinin Birlikte Kullanımı

Question 18Question →

Ticaret Bakanlığı bünyesinde düzenlenecek $5$ günlük bir e-ihracat eğitim programı için, her gün farklı bir uzmanın sunum yapacağı bir takvim oluşturulacaktır. Bu program için kurum içinden $4$ uzman ve kurum dışından $6$ uzman aday olarak belirlenmiştir.

Programa tam olarak $2$ kurum içi ve $3$ kurum dışı uzman seçilecektir. Ayrıca, seçilen $2$ kurum içi uzmanın sunum yapacağı günlerin ardışık olmaması (peş peşe gelmemesi) gerekmektedir.

Buna göre, bu eğitim programının sunum takvimi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

120

720

5760

8640

14400

Show answer & explanation

Answer: $8640$

Answer

Eğitim programının sunum takvimi, verilen kısıtlamalar altında toplam

8640

farklı şekilde oluşturulabilir.

Doğru çözüm için problem iki ana aşamaya bölünmelidir: Seçim ve Sıralama. Seçim aşamasında

\binom{4}{2} \times \binom{6}{3} = 120

farklı eğitmen kadrosu belirlenir. Sıralama aşamasında ise yan yana olmama koşulunu sağlamak için boşluk (gap) yöntemi kullanılır.

3

kurum dışı uzman

3! = 6

şekilde sıralanır. Bu dizilim

4

adet boşluk yaratır (_ D _ D _ D _).

2

kurum içi uzman bu

4

boşluğa

P(4,2) = 12

farklı şekilde yerleşir. Her bir grup için

6 \times 12 = 72

geçerli takvim dizilişi vardır. Toplam durum:

120 \times 72 = 8640

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kurum içi uzmanlar arasından programda yer alacak

2

kişinin seçilmesi.

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6

farklı seçim yapılabilir.

Sıralama gözetmeksizin bir alt küme seçimi yapıldığı için kombinasyon kullanılır.

2

Kurum dışı uzmanlar arasından programda yer alacak

3

kişinin seçilmesi.

\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

farklı seçim yapılabilir.

Aynı şekilde sıralama önemli olmadığından kombinasyon kullanılır.

3

Olası tüm eğitmen grubu kombinasyonlarının hesaplanması.

6 \times 20 = 120

farklı

5

kişilik uzman grubu oluşturulabilir.

Her iki seçim birbirinden bağımsız aşamalar olduğu için Çarpma Kuralı uygulanır.

4

Seçilen

3

kurum dışı uzmanın günlere yerleştirilmesi.

3! = 6

farklı şekilde sıralanırlar.

Ardışık olmama kısıtını sağlamak için (Boşluk Yöntemi), önce herhangi bir kısıtı olmayan kurum dışı uzmanlar sıralanır.

5

Seçilen

2

kurum içi uzmanın, kurum dışı uzmanların oluşturduğu boşluklara yerleştirilmesi.

Kurum dışı uzmanlar

4

adet boşluk (baş, aralar ve son) yaratır.

2

kurum içi uzman bu

4

boşluğa

P(4,2) = 4 \times 3 = 12

farklı şekilde yerleşebilir.

Kurum içi uzmanların yan yana gelmemesi için aralarındaki boşluklara yerleşmeleri ve her uzmanın farklı bir birey olması nedeniyle permütasyon kullanılması gerekir.

6

Seçilen

5

kişilik belirli bir grubun kurallara uygun diziliş sayısının hesaplanması.

6 \times 12 = 72

farklı geçerli diziliş vardır.

Kurum dışı uzmanların diziliş sayısı ile kurum içi uzmanların bu dizilişteki boşluklara yerleşim sayısı çarpılır.

7

Toplam olası takvim sayısının hesaplanması.

120 \times 72 = 8640

toplam takvim oluşturulabilir.

Olası uzman grubu sayısı (

120

) ile her bir grubun kurallara uygun diziliş sayısı (

72

) çarpılır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Permütasyon (Sıralama) Kavramlarının Birlikte Kullanımı ve Boşluk Yöntemi

Question 19Question →

Kamu İhale Kurumu, büyük çaplı bir alım projesini değerlendirmek üzere iki aşamalı bir komisyon yapısı oluşturacaktır. Kurumun elinde görevlendirilmeye uygun $7$ mali uzman, $5$ hukuk müşaviri ve $4$ başmüfettiş bulunmaktadır.

- Birinci Aşama: Değerlendirme alt kurulu oluşturulmak üzere, mali uzmanlar arasından $3$ kişi ve hukuk müşavirleri arasından $2$ kişi seçilecektir. Bu kurulda hiyerarşik bir görev dağılımı yapılmayacaktır.
- İkinci Aşama: Süreci denetlemek üzere, başmüfettişler arasından bir kişi 'Denetim Başkanı', bir kişi 'Başkan Vekili' ve bir kişi 'Raportör' unvanıyla görevlendirilecektir.

Verilen bu bilgilere göre, kurum bu komisyon ve denetim yapısını kaç farklı şekilde oluşturabilir?

1400

3168

8400

16800

100800

Show answer & explanation

Answer: $8400$

Answer

Komisyon ve denetim yapısı toplam

8400

farklı şekilde oluşturulabilir.

Soruda birinci aşamada hiyerarşi bulunmadığı açıkça belirtilmiştir, bu nedenle alt kurul üyelerinin belirlenmesi salt bir seçim işlemidir ve kombinasyon ile

\binom{7}{3} \times \binom{5}{2} = 350

olarak hesaplanır. İkinci aşamada ise belirli unvanlara atama yapılacağı için seçilen kişilerin dizilimi önem kazanır, bu nedenle permütasyon ile

P(4,3) = 24

olarak hesaplanır. İki aşama birbirini tamamladığı için sonuçlar çarpılarak

350 \times 24 = 8400

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Mali uzmanlar arasından

3

kişinin ve hukuk müşavirleri arasından

2

kişinin seçilme durumunu hesapla.

\binom{7}{3} = 35

ve

\binom{5}{2} = 10

. Alt kurul için

35 \times 10 = 350

durum vardır.

Birinci aşamada görevler arasında bir hiyerarşi veya sıralama farkı olmadığı için sadece 'seçme' işlemi (kombinasyon) yapılır.

2

Başmüfettişler arasından unvanlı

3

kişinin görevlendirilme durumunu hesapla.

P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24

farklı görevlendirme yapılabilir.

İkinci aşamada seçilen kişilerin hangi unvanı (Başkan, Başkan Vekili, Raportör) alacağı önemlidir. Sıralama ve pozisyon farkı olduğu için 'dizilim' işlemi (permütasyon) kullanılır.

3

Saymanın temel ilkesi (çarpım kuralı) gereği elde edilen durum sayılarını çarp.

350 \times 24 = 8400

bulunur.

Birinci ve ikinci aşamadaki seçimler birbirinden bağımsız ardışık işlemler olduğundan, toplam olasılıklar bu değerlerin çarpımı ile elde edilir.

Key Concept

Permütasyon ve Kombinasyonun Birlikte Kullanımı ve Saymanın Çarpım Kuralı

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Bir kamu kurumunun açtığı uzman yardımcılığı sınavına başvuran adayların değerlendirilmesi süreci bir istatistiksel deney olarak modellenmiştir. Başvuran tüm adayların oluşturduğu örnek uzay $S$ ile gösterilmektedir.

Deneyde tanımlanan olaylar şunlardır:
$A$ : Seçilen adayın İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi (İİBF) mezunu olması
$B$ : Seçilen adayın Mühendislik Fakültesi mezunu olması
$C$ : Seçilen adayın ileri düzeyde yabancı dil sertifikasına sahip olması
$D$ : Seçilen adayın herhangi bir yabancı dil belgesinin bulunmaması

Kurumun başvuru şartları gereği, veri tabanına her aday için yalnızca tek bir lisans mezuniyeti girilebilmektedir.

Bu bilgilere göre, aşağıdaki olaylardan hangisi kesinlikle imkânsız olayı (boş kümeyi) ifade eder?

A \cap (C \cup D)

(A \cap B) \cup (C \cap D)

(A \cup B)^c \cap C

B \cap C^c \cap D^c

(A \cup C) \cap D

Show answer & explanation

Answer: $(A \cap B) \cup (C \cap D)$

Answer

İmkânsız olay, birbirini dışlayan (ayrık) olayların kesişimlerinin birleşiminden oluşan

(A \cap B) \cup (C \cap D)

ifadesidir.

Doğru yanıt incelendiğinde; bir adayın sisteme yalnızca tek bir bölüm girebilmesi kuralı gereği hem İİBF hem Mühendislik mezunu olması imkânsızdır, bu nedenle A ve B'nin kesişimi boş kümedir (A ∩ B = ∅). Benzer şekilde, ileri düzey belgeye sahip olmak ile hiç belgeye sahip olmamak tamamen çelişen durumlardır, bu nedenle C ve D'nin kesişimi de boş kümedir (C ∩ D = ∅). İki boş kümenin birleşimi her zaman boş kümeyi (imkânsız olayı) ifade eder.

Step-by-Step Solution

1

Mezuniyet olayları (A ve B) arasındaki ilişkiyi belirle.

A \cap B = \emptyset

Sisteme her aday için yalnızca tek bir lisans mezuniyeti girilebildiğinden, bir adayın aynı anda hem İİBF hem Mühendislik mezunu sayılması (iki durumun aynı anda gerçekleşmesi) imkânsızdır. Bu iki olay ayrıktır.

2

Yabancı dil olayları (C ve D) arasındaki ilişkiyi belirle.

C \cap D = \emptyset

Bir adayın hem 'ileri düzeyde sertifikası olması' hem de 'hiçbir belgesinin bulunmaması' mantıksal olarak aynı anda var olamaz. Dolayısıyla bu iki olay da ayrıktır.

3

Seçeneklerdeki küme işlemlerini (olayları) analiz et.

(A \cap B) \cup (C \cap D) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset

Ayrı ayrı imkânsız olaylar olan (A ∩ B) ve (C ∩ D)'nin birleşimi yine imkânsız olayı (boş kümeyi) verir.

Key Concept

Ayrık Olaylar (Mutually Exclusive Events) ve Örnek Uzay

Estimated Time:1m 30s

Olasılık Teorisi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution