Oran ve Regresyon Tahminleyicileri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 5

Question 81Question →

Bir Tarım İl Müdürlüğü, bölgesindeki $N = 400$ elma bahçesinin toplam üretim miktarının ( $Y$ , ton) bahçe alanına ( $X$ , hektar) olan oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 40$ bahçe seçmiştir. Örneklemden elde edilen özet veriler şu şekildedir:

\sum_{i=1}^{40} y_i = 200 \text{ ton}, \quad \sum_{i=1}^{40} x_i = 100 \text{ hektar}, \quad s_d^2 = \frac{\sum_{i=1}^{40} (y_i - \hat{R}x_i)^2}{n-1} = 4,0

Buna göre, kitle oranı tahmini ( $\hat{R}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $v(\hat{R})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{R} = 2,0

ve

v(\hat{R}) = 0,0144

\hat{R} = 2,0

ve

v(\hat{R}) = 0,0160

\hat{R} = 0,5

ve

v(\hat{R}) = 0,0144

\hat{R} = 2,0

ve

v(\hat{R}) = 0,1200

\hat{R} = 2,0

ve

v(\hat{R}) = 0,0014

Show answer & explanation

Answer: $\hat{R} = 2,0$ ve $v(\hat{R}) = 0,0144$

Answer

Kitle oranı tahmini

\hat{R} = 2,0

ve bu tahminin varyansı

v(\hat{R}) = 0,0144

olarak bulunur.

Doğru seçenekte, önce

\hat{R} = 200/100 = 2,0

olarak hesaplanmış, ardından

n/N = 0,1

olduğu için varyans formülüne

0,9

düzeltme çarpanı dahil edilerek

v(\hat{R}) = (0,9 \times 4,0) / (40 \times 2,5^2) = 0,0144

sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle oranı tahminini hesapla

\hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} = \frac{200}{100} = 2,0

Oran tahminleyicisi, ilgilenilen değişkenin örneklem toplamının yardımcı değişkenin örneklem toplamına bölünmesiyle elde edilir.

2

Yardımcı değişkenin örneklem ortalamasını bul

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{100}{40} = 2,5

Varyans formülünde paydada yer alan

\bar{x}^2

terimi için önce ortalama hesaplanmalıdır.

3

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) belirle

f = \frac{40}{400} = 0,1 \Rightarrow (1-f) = 0,9

İadesiz seçimde

n/N > 0,05

olduğu için SKD çarpanı (

1 - n/N

) varyansa eklenmelidir.

4

Oran tahmincisinin varyansını hesapla

v(\hat{R}) = \frac{1-f}{n \cdot \bar{x}^2} \cdot s_d^2 = \frac{0,9}{40 \cdot (2,5)^2} \cdot 4,0 = \frac{3,6}{40 \cdot 6,25} = \frac{3,6}{250} = 0,0144

Bulunan değerler oran varyansı formülüne yerleştirilerek nihai sonuç elde edilir.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve SKD Kullanımı

Practice More

Oran tahminleyicisinin yansız olup olmadığını ve hangi durumlarda regresyon tahminleyicisinden daha etkin olduğunu inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 82Question →

Bir yayınevi deposunda bulunan $N = 1000$ kitabın toplam sayfa sayısını ( $y$ ) tahmin etmek istemektedir. Kitapların ağırlığı ( $x$ ) yardımcı değişken olarak belirlenmiş ve tüm kitaplar için ortalama ağırlığın $\bar{X} = 500$ gram olduğu bilinmektedir. Depodan rastgele seçilen $n = 50$ kitaplık bir örneklem için hesaplanan istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İstatistik	Değer
Örneklem ortalama sayfa sayısı ( $\bar{y}$ )	$200$
Örneklem ortalama ağırlık ( $\bar{x}$ )	$480$ gram
Regresyon katsayısı ( $b$ )	$0,5$

Buna göre, regresyon tahminleyicisi kullanılarak depodaki kitapların toplam sayfa sayısı tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

190.000

200.000

208.333

210.000

210

Show answer & explanation

Answer: 210.000

Answer

Regresyon tahminleyicisi kullanılarak depodaki toplam sayfa sayısı tahmini 210.000 olarak hesaplanır.

Regresyon tahminleyicisi formülüne göre kitle ortalaması tahmini

\bar{y}_{reg} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})

şeklinde hesaplanır. Verilen değerler yerleştirildiğinde

\bar{y}_{reg} = 200 + 0,5(500 - 480) = 210

bulunur. Kitle toplamı tahmini ise

\hat{Y}_{reg} = N \cdot \bar{y}_{reg} = 1000 \cdot 210 = 210.000

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle ortalaması tahmini için regresyon formülünü uygula.

\bar{y}_{reg} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x}) = 200 + 0,5(500 - 480) = 210

Yardımcı değişken bilgisini kullanarak örneklem ortalamasını kitle parametresine doğru düzeltmek için.

2

Elde edilen ortalama tahminini kitle büyüklüğü (

N

) ile çarp.

\hat{Y}_{reg} = N \times \bar{y}_{reg} = 1000 \times 210 = 210.000

Birim başına düşen ortalama değerden hareketle kitledeki toplam değeri bulmak için.

Key Concept

Regresyon Tahminleyicisi ile Kitle Toplamı Tahmini

Hints

1

Regresyon tahmininde yardımcı değişken (

x

) ve ilgilenilen değişken (

y

) arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanmalısın.

2

Önce kitle ortalaması tahmini (

\bar{y}_{reg}

) için

\bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x})

formülünü uygula, ardından toplam için

N

ile çarp.

3

Verilenlere göre ortalama sayfa sayısı 200'dür ve ağırlıktaki 20 gramlık fazlalık (

\bar{X}-\bar{x} = 20

)

0,5

katsayısıyla sayfa sayısına

+10

ekler.

Practice More

Eğer regresyon katsayısı

b

verilmeseydi, kovaryans ve varyans değerlerinden

b = s_{xy} / s_x^2

formülüyle hesaplamanız gerekebilirdi.

Estimated Time:45s

Question 83Question →

Bir kamu kurumu, bünyesinde çalışan $N = 1000$ personelin aylık toplam eğitim giderlerinin ( $Y$ ) personelin toplam kıdem yılına ( $X$ ) olan oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 200$ personeli incelemeye almıştır. Araştırma sonucunda elde edilen veriler şu şekildedir:

Parametre / İstatistik	Değer
Yardımcı değişkenin kitle ortalaması ( $\bar{X}$ )	$10$ yıl
Örneklem artıklarının varyansı ( $s_d^2$ )	$500$

Buna göre, kitle oran tahminleyicisinin tahmini varyansı ( $v(\hat{r})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,02

0,025

0,20

0,004

2,00

Show answer & explanation

Answer: 0,02

Answer

Kitle oran tahminleyicisinin tahmini varyansı 0,02 olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan 0,02 değerine ulaşmak için

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{X}^2} s_d^2

formülünde

1-f = 0,8

,

n = 200

,

\bar{X}^2 = 100

ve

s_d^2 = 500

değerleri yerleştirilmiştir.

(0,8 \times 500) / (200 \times 100) = 400 / 20000 = 0,02

sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme oranını (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (

SKD

) belirleyin.

f = n/N = 200/1000 = 0,2

ve

SKD = 1 - f = 0,8

İadesiz örneklemede örnekleme oranı 0,05'ten büyük olduğu için SKD kullanılmalıdır.

2

Oran tahminleyicisinin varyans formülünü yazın.

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{X}^2} s_d^2

Oran tahminleyicisi varyansı, yardımcı değişkenin kitle ortalamasının karesine bölünmüş artık varyansının SKD ile düzeltilmesiyle bulunur.

3

Değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

v(\hat{r}) = \frac{0,8}{200 \times 10^2} \times 500 = \frac{400}{20000} = 0,02

Varyans değeri hesaplanırken tüm birimlerin (SKD, n ve X-bar karesi) doğru işlenmesi gerekir.

Key Concept

Oran tahminleyicisi varyans hesaplamasında sonlu kitle düzeltme çarpanı (SKD) ve yardımcı değişkenin kitle ortalamasının etkisi.

Alternative Method

Varyans katsayılarını (

C_y, C_x

) kullanarak varyans tahmini yapılabilir, ancak bu soruda sapma varyansı (

s_d^2

) doğrudan verildiği için en kısa yol standart varyans formülüdür.

Estimated Time:45s

Question 84Question →

Bir bakanlık, iki farklı bölgeden oluşan bir kitlede ortalama yıllık balık üretim miktarını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmaktadır. Tahmin işleminde teknelerin motor gücü ( $x$ ) yardımcı değişken olarak belirlenmiş ve ayrı oran tahminleyicisi (separate ratio estimator) kullanılmasına karar verilmiştir.

Tabakalara ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Tabaka Ağırlığı ( $W_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Yardımcı Değişken Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	Yardımcı Değişken Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )
1. Bölge	$0,7$	$200$	$100$	$110$
2. Bölge	$0,3$	$150$	$50$	$60$

Bu verilere göre, ayrı oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

185

200

206,8

208

215

Show answer & explanation

Answer: 208

Answer

Ayrı oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini 208'dir.

Ayrı oran tahminleyicisi formülü

\bar{y}_{RS} = \sum W_h \hat{R}_h \bar{X}_h

şeklindedir. Verilen değerler yerine konulduğunda

0,7 \times (200/100) \times 110 + 0,3 \times (150/50) \times 60 = 154 + 54 = 208

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Her tabaka için ayrı ayrı örneklem oranlarını (

\hat{R}_h

) hesaplayınız.

1. Bölge için

\hat{R}_1 = \frac{200}{100} = 2

; 2. Bölge için

\hat{R}_2 = \frac{150}{50} = 3

.

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabakanın kendi oran bilgisini kullanmayı gerektirir.

2

Her tabaka için oran tahminleyicisi değerlerini (

\bar{y}_{Rh}

) bulunuz.

1. Bölge için

\bar{y}_{R1} = 2 \times 110 = 220

; 2. Bölge için

\bar{y}_{R2} = 3 \times 60 = 180

.

Tabaka bazlı tahminler, hesaplanan oranların o tabakaya ait kitle yardımcı değişken ortalaması ile çarpılmasıyla bulunur.

3

Tabaka tahminlerini ağırlıkları ile çarparak toplayınız.

\bar{y}_{RS} = (0,7 \times 220) + (0,3 \times 180) = 154 + 54 = 208

.

Kitle ortalaması tahmini, tabaka bazlı tahminlerin ağırlıklı ortalamasıdır.

Key Concept

Tabakalı örneklemede ayrı oran tahminleyicisi, her tabaka için oranların bağımsız hesaplanıp kitle karakteristikleri ile birleştirilmesi prensibine dayanır.

Question 85Question →

Bir ilçe tarım müdürlüğü, bölgesindeki $N = 800$ elma bahçesinin bu yılki toplam elma üretimini tahmin etmek amacıyla bir araştırma yürütmektedir. Bahçelerin toplam alanı $\tau_X = 16.000$ dekar olarak bilinmektedir. Rastgele seçilen $n = 40$ bahçelik bir örneklemde, bahçe başına ortalama üretim $\bar{y} = 120$ ton ve bahçe başına ortalama alan $\bar{x} = 24$ dekar olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak bu bölgedeki toplam elma üretimi ( $\hat{\tau}_{Y, ratio}$ ) kaç ton olarak tahmin edilir?

80.000

96.000

100

3.200

120

Show answer & explanation

Answer: 80.000

Answer

Oran tahminleyicisi kullanılarak tahmin edilen kitle toplamı 80.000 tondur.

Oran tahminleyicisi kullanılarak kitle toplamı tahmin edilirken, örneklemden hesaplanan oran (

\hat{R} = 120/24 = 5

) ile yardımcı değişkenin bilinen kitle toplamı (

\tau_X = 16.000

) çarpılır. Bu işlem sonucunda

5 \times 16.000 = 80.000

ton sonucuna ulaşılır. Bu yöntem, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasında yüksek pozitif korelasyon olduğu ve regresyon doğrusunun orijinden geçtiği varsayıldığında oldukça etkindir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem verilerinden hareketle örneklem oranını (

\hat{R}

) hesaplayınız.

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} = \frac{120}{24} = 5

Oran tahminleyicisinin temel bileşeni olan iki değişken arasındaki ilişkiyi temsil eden katsayıdır.

2

Oran tahminleyicisi formülünü kullanarak kitle toplamını tahmin ediniz.

\hat{\tau}_{Y, ratio} = \hat{R} \times \tau_X = 5 \times 16.000 = 80.000

Örneklemden elde edilen verimlilik oranı ile kitledeki toplam alan bilgisinin birleştirilmesiyle kitle toplamına ulaşılır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisi ile Kitle Toplamı Tahmini

Hints

1

Oran tahminleyicisi için önce örneklemdeki iki değişken arasındaki ilişkiyi gösteren

R

değerini bulmalısınız.

2

Örneklem oranını

\bar{y} / \bar{x}

formülüyle hesapladıktan sonra, bu değeri kitledeki toplam alan (

\tau_X

) ile çarparak toplam tahmine ulaşabilirsiniz.

Practice More

Aynı verileri kullanarak kitle ortalaması tahminini hesaplamayı ve regresyon tahminleyicisi ile arasındaki farkı düşünmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 86Question →

Tabakalı rastgele örnekleme tasarımında, kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla kullanılan birleşik oran tahminleyicisinin ( $\hat{R}_c$ ) temel hesaplama mantığı aşağıdakilerden hangisidir?

İlgilenilen değişkenin tabakalı kitle ortalaması tahmininin (

\bar{y}_{st}

), yardımcı değişkenin tabakalı kitle ortalaması tahminine (

\bar{x}_{st}

) oranlanmasıdır.

Her bir tabaka için ayrı ayrı hesaplanan oranların (

r_h

), kitledeki tabaka ağırlıklarıyla (

W_h

) çarpılarak toplanmasıdır.

Tabaka ayrımı gözetmeksizin, tüm örneklem birimlerinin toplam değerlerinin kitle toplamına oranlanmasıdır.

Yardımcı değişkenin tabakalı kitle ortalamasının, ilgilenilen değişkenin tabakalı ortalamasına oranlanmasıdır.

Her bir tabakadaki örneklem hacimlerinin (

n_h

), kitledeki toplam birim sayısına (

N

) bölünmesidir.

Show answer & explanation

Answer: İlgilenilen değişkenin tabakalı kitle ortalaması tahmininin ( $\bar{y}_{st}$ ), yardımcı değişkenin tabakalı kitle ortalaması tahminine ( $\bar{x}_{st}$ ) oranlanmasıdır.

Answer

İlgilenilen değişkenin tabakalı kitle ortalaması tahmininin, yardımcı değişkenin tabakalı kitle ortalaması tahminine oranlanması birleşik oran tahminleyicisini verir.

Birleşik oran tahminleyicisi (Combined Ratio Estimator), tabakalı örnekleme yapısında kitle ortalaması tahminlerinin (

\bar{y}_{st}

ve

\bar{x}_{st}

) oranlanmasıyla elde edilir. Bu tahminleyici, özellikle tabaka bazındaki örneklem hacimlerinin (

n_h

) küçük olduğu durumlarda ayrı oran tahminleyicisine göre daha az yanlılık (bias) gösterdiği için tercih edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlgilenilen değişken (

y

) için tabakalı kitle ortalaması tahminini belirle.

\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{L} W_h \bar{y}_h

Tabakalı örneklemede kitle parametrelerini tahmin etmek için tabaka ağırlıkları kullanılmalıdır.

2

Yardımcı değişken (

x

) için tabakalı kitle ortalaması tahminini belirle.

\bar{x}_{st} = \sum_{h=1}^{L} W_h \bar{x}_h

Oran tahminleyicisinde hem ilgilenilen hem de yardımcı değişkenin kitle ortalaması tahminlerine ihtiyaç duyulur.

3

Birleşik oran tahminleyicisi formülünü uygula.

\hat{R}_c = \frac{\bar{y}_{st}}{\bar{x}_{st}}

Birleşik tahminleyici, ayrı ayrı oranların toplamı değil, tabakalı ortalamaların tek bir oranıdır.

Key Concept

Birleşik Oran Tahminleyicisi Mantığı

Question 87Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisi kullanıldığında; değişkenler arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu ancak regresyon doğrusunun orijinden ( $0,0$ ) geçmediği bilinmektedir. Bu durumda, kitle ortalamasının tahmini için hata kareler ortalaması (varyansı) en küçük olan tahminleyici aşağıdakilerden hangisidir?

Regresyon tahminleyicisi

Oran tahminleyicisi

Basit aritmetik ortalama

Fark tahminleyicisi

Kitle toplamı tahminleyicisi

Show answer & explanation

Answer: Regresyon tahminleyicisi

Answer

Regresyon tahminleyicisi, değişkenler arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu ancak orijinden geçmediği durumlarda en etkin tahminleyicidir.

Regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi modellemek için bir kesim noktası (intersept) parametresi kullanır. Regresyon doğrusu orijinden geçmediğinde, oran tahminleyicisi bu sabit terimi karşılayamadığı için daha yüksek bir varyansa sahip olur. Regresyon tahminleyicisi her zaman oran tahminleyicisinden en az onun kadar veya ondan daha etkindir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin etkinlik koşullarını değerlendirin.

Oran tahminleyicisinin en etkin olması için ilişkinin orijinden geçen bir doğru olması gerekir. Regresyon tahminleyicisi ise herhangi bir doğrusal ilişki için en küçük varyansı verir.

Regresyon tahminleyicisi, doğrunun kesim noktasını (intersept) hesaba katarak hata terimlerini minimize eder.

2

Verilen senaryodaki kısıtı (orijinden geçmeme) uygulayın.

Doğru orijinden geçmediği için oran tahminleyicisi etkinliğini kaybeder.

Oran tahminleyicisi

y = Rx

modelini varsayarken, regresyon tahminleyicisi

y = a + bx

modelini kullanır.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisinin oran tahminleyicisine göre genel üstünlüğü ve orijin koşulu.

Estimated Time:45s

Question 88Question →

Bir denetim birimi, bir kamu kurumuna ait $N = 500$ sayfalık bir muhasebe defterindeki hatalı işlem sayısının ( $Y$ ) toplam işlem sayısına ( $X$ ) olan oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme ile $n = 50$ sayfa seçmiştir. Örneklemden elde edilen veriler şu şekildedir:

- Sayfa başına ortalama işlem sayısı ( $\bar{x}$ ) = $10$
- Oran tahminleyicisi için hesaplanan örneklem varyansı ( $s_r^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{r}x_i)^2}{n-1}$ ) = $500$

Buna göre, kitle oranı tahminleyicisinin varyansı ( $v(\hat{r})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,09

0,10

0,90

0,009

0,45

Show answer & explanation

Answer: 0,09

Answer

Kitle oranı tahminleyicisinin varyansı 0,09 olarak hesaplanır.

Oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken, öncelikle örnekleme kesri (

f = 50/500 = 0,1

) belirlenir.

f > 0,05

olduğu için sonlu kitle düzeltme çarpanı (

1-f = 0,9

) formüle dahil edilir.

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_r^2

formülünde değerler yerine konulduğunda (

0,9 \times 500 / (50 \times 100)

) sonuç 0,09 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme kesrini (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (

1-f

) hesaplayınız.

f = n/N = 50/500 = 0,10

ve

1-f = 1 - 0,10 = 0,90

Örneklem oranı 0,05'ten büyük olduğu için iadesiz seçimde varyans hesabına SKD eklenmelidir.

2

Kitle oranı tahminleyicisinin varyans formülünü yazınız.

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_r^2

Oran tahminleyicisinin varyansı, yardımcı değişkenin ortalamasının karesine ve artıkların varyansına bağlıdır.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı yapınız.

v(\hat{r}) = \frac{0,90}{50 \times 10^2} \times 500 = \frac{0,90 \times 500}{5000} = \frac{450}{5000} = 0,09

Varyansın matematiksel tahmini bu adımla tamamlanır.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Varyansı ve SKD Kullanımı

Practice More

Varyans değeri bulunduktan sonra, %95 güven düzeyinde (

z=1,96

) güven aralığı hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 89Question →

Bir kamu kurumu, bünyesindeki $N = 500$ bölge müdürlüğünün toplam personel giderinin ( $Y$ ) bu müdürlüklerdeki toplam personel sayısına ( $X$ ) olan oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla iadesiz basit rastgele örnekleme ile $n = 100$ müdürlük seçmiştir. Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

İstatistik	Değer
Personel sayısının örneklem ortalaması ( $\bar{x}$ )	20
Tahmin edilen kitle oranı ( $\hat{r}$ )	15 bin TL/kişi
Kalıntıların (artıkların) örneklem varyansı ( $s_e^2 = \frac{\sum (y_i - \hat{r}x_i)^2}{n-1}$ )	4000

Buna göre, kitle oranının varyans tahmini $v(\hat{r})$ aşağıdakilerden hangisidir?

0,08

0,10

0,40

0,80

1,60

Show answer & explanation

Answer: 0,08

Answer

Kitle oranının varyans tahmini 0,08 olarak hesaplanır.

Varyans hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanı (

0,8

), kalıntı varyansı (

4000

), örneklem hacmi (

100

) ve yardımcı değişken ortalamasının karesi (

20^2 = 400

) doğru şekilde işleme dahil edilmiştir. Formül uygulanarak

\frac{0,8 \times 4000}{100 \times 400} = 0,08

sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Örnekleme kesri (

f

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) hesaplanması.

f = 100 / 500 = 0,2

ve

SKD = 1 - 0,2 = 0,8

İadesiz basit rastgele örneklemede örnekleme kesri

0,05

'ten büyük olduğu için sonlu kitle düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.

2

Varyans tahmin formülünde verilen değerlerin yerine koyulması.

v(\hat{r}) = \frac{1-f}{n \bar{x}^2} s_e^2 = \frac{0,8}{100 \times 20^2} \times 4000

Oran tahminleyicisinin varyansı, kalıntı varyansının örneklem büyüklüğü ve yardımcı değişken ortalamasının karesine oranı ile SKD'nin çarpımına eşittir.

3

Sayısal hesaplamanın tamamlanması.

v(\hat{r}) = \frac{0,8 \times 4000}{100 \times 400} = \frac{3200}{40000} = 0,08

Gerekli sadeleştirmeler ve bölme işlemi yapılarak nihai varyans tahminine ulaşılır.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin varyansında sonlu kitle düzeltme çarpanı (SKD) kullanımı.

Estimated Time:1m 30s

Question 90Question →

Bir sanayi odası, iki farklı bölgedeki (Tabaka 1 ve Tabaka 2) işletmelerin ortalama aylık elektrik tüketimini ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken olarak çalışan sayısını ( $X$ ) kullanmaktadır. Kitledeki tabaka ağırlıkları ve örneklemden elde edilen değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Tabaka 1 ( $W_1 = 0,70$ )	Tabaka 2 ( $W_2 = 0,30$ )
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	$500$	$700$
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	$40$	$60$
Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	$42$	$58$
Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	$5,0$	$4,0$

Buna göre, ayrı regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{rs}$ ) kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini kaçtır?

564,6

601,0

560,0

555,4

500,0

Show answer & explanation

Answer: 564,6

Answer

Ayrı regresyon tahminleyicisi ile hesaplanan kitle ortalaması tahmini 564,6'dır.

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabaka için bağımsız olarak hesaplanan

\bar{y}_{rh} = \bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)

değerlerinin kitle ağırlıklarıyla (

W_h

) toplanmasıyla elde edilir. Yapılan hesaplamada 564,6 değeri bu yöntemin tam ve doğru uygulanışıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka 1 için regresyon tahminini (

\bar{y}_{r1}

) hesaplayınız.

\bar{y}_{r1} = \bar{y}_1 + b_1(\bar{X}_1 - \bar{x}_1) = 500 + 5(42 - 40) = 510

Ayrı regresyon tahminleyicisinde her tabaka kendi regresyon katsayısı ve ortalamalarıyla düzeltilir.

2

Tabaka 2 için regresyon tahminini (

\bar{y}_{r2}

) hesaplayınız.

\bar{y}_{r2} = \bar{y}_2 + b_2(\bar{X}_2 - \bar{x}_2) = 700 + 4(58 - 60) = 692

İkinci tabaka için kitle ve örneklem ortalamaları arasındaki fark üzerinden düzeltme uygulanır.

3

Tabaka tahminlerini kitle ağırlıklarıyla (

\bar{y}_{rs} = \sum W_h \bar{y}_{rh}

) birleştiriniz.

\bar{y}_{rs} = (0,70 \times 510) + (0,30 \times 692) = 357 + 207,6 = 564,6

Kitle ortalaması tahmini, her tabaka tahmininin kitledeki büyüklüğüne göre ağırlıklandırılmasıyla bulunur.

Key Concept

Ayrı regresyon tahminleyicisi (Separate Regression Estimator), tabakalı örneklemede her tabakanın kendi regresyon doğrusuna sahip olduğu varsayımıyla kitle parametresini tahmin eder.

Hints

1

Her tabaka için ayrı bir regresyon düzeltmesi yapmanız gerektiğini unutmayın.

2

Önce Tabaka 1 için

500 + 5(42-40)

işlemini, sonra Tabaka 2 için

700 + 4(58-60)

işlemini yapın.

3

Bulduğunuz sonuçları sırasıyla 0,70 ve 0,30 ağırlıkları ile çarparak toplayın.

Practice More

Benzer verilerle 'Birleşik Regresyon Tahminleyicisi'ni hesaplayarak iki yöntem arasındaki farkı inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 91Question →

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisi kullanıldığında; oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ) varyansının, doğrusal regresyon tahminleyicisinin ( $\bar{y}_{lr}$ ) varyansına eşit olması için gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

İlgilenilen değişken (

y

) ile yardımcı değişken (

x

) arasındaki ilişkinin doğrusal olması ve regresyon doğrusunun orijinden (başlangıç noktasından) geçmesi

Değişkenler arasındaki ilişkinin doğrusal olması ancak regresyon doğrusunun

y

eksenini pozitif bir sabit değerde kesmesi

Değişkenler arasındaki korelasyon katsayısının (

\rho

) tam olarak

1

değerine eşit olması

Yardımcı değişkenin değişim katsayısının (

C_x

), ilgilenilen değişkenin değişim katsayısından (

C_y

) büyük olması

Korelasyon katsayısının

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu sağlaması

Show answer & explanation

Answer: İlgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki ilişkinin doğrusal olması ve regresyon doğrusunun orijinden (başlangıç noktasından) geçmesi

Answer

İlgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki ilişkinin doğrusal olması ve regresyon doğrusunun orijinden geçmesi durumunda oran tahminleyicisi ile regresyon tahminleyicisi aynı varyansa sahip olur.

Oran tahminleyicisi, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki oranın kitle boyunca sabit olduğunu ve ilişkinin başlangıç noktasından geçtiğini varsayar. Regresyon tahminleyicisi ise bu ilişkiyi daha genel bir doğrusal modelle (

y = a + bx

) açıklar. Eğer gerçek kitlede regresyon doğrusu tam olarak orijinden geçiyorsa, iki tahminleyicinin varyansları birbirine eşit olur.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin varsayımlarını karşılaştırın.

Regresyon tahminleyicisi

y = a + bx + e

modelini kullanırken, oran tahminleyicisi

y = Rx + e

(yani

a=0

) modelini temel alır.

Her iki tahminleyicinin hangi matematiksel modeller üzerine inşa edildiğini anlamak farkı belirler.

2

Varyansların eşitlendiği özel durumu belirleyin.

Eğer kitledeki gerçek ilişki orijinden geçen bir doğru ise (

a=0

), regresyon katsayısı (

b

) oran değerine (

R

) eşit olur ve hata kareler toplamı minimize edilir.

Regresyon tahminleyicisi en küçük kareler yöntemiyle varyansı minimize eder; oran tahminleyicisi ise sadece doğru orijinden geçtiğinde bu minimuma ulaşır.

Key Concept

Tahminleyici Etkinliği ve Orijin Varsayımı

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin her zaman (asemptotik olarak) oran tahminleyicisinden daha küçük veya ona eşit varyansa sahip olduğunu unutmayın.

Estimated Time:45s

Question 92Question →

Örnekleme teorisinde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla kullanılan fark tahminleyicisi $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ şeklinde tanımlanmaktadır. Burada $\bar{y}$ ve $\bar{x}$ örneklem ortalamalarını, $\bar{X}$ ise yardımcı değişkenin bilinen kitle ortalamasını ifade etmektedir.

$k$ değerinin önceden belirlenmiş sabit bir katsayı olduğu varsayıldığında, bu tahminleyicinin yansızlık (unbiasedness) özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahminleyici, kitle ortalaması

\bar{Y}

için her zaman yansızdır.

Tahminleyici, sadece

k=1

olması durumunda yansızdır.

Tahminleyici, her zaman yanlıdır ve bu yanlılık örneklem hacmi arttıkça azalır.

Tahminleyicinin yansız olabilmesi için değişkenler arasında pozitif korelasyon olmalıdır.

Tahminleyici, kitle toplamı

Y

için her zaman yansızdır.

Show answer & explanation

Answer: Tahminleyici, kitle ortalaması $\bar{Y}$ için her zaman yansızdır.

Answer

Fark tahminleyicisi,

k

katsayısı sabit bir değer olduğu sürece kitle ortalaması

\bar{Y}

için her zaman yansızdır.

Fark tahminleyicisi

\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})

formülünde

k

katsayısı örneklem değerlerinden bağımsız sabit bir sayı olduğunda, beklenen değer işlemi sonucunda

E(\bar{y}) + k(\bar{X} - E(\bar{x}))

ifadesi

\bar{Y} + k(\bar{X} - \bar{X})

halini alır ve sonuç doğrudan

\bar{Y}

olur. Bu durum tahminleyicinin her zaman yansız olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicinin beklenen değerini yazın.

E(\bar{y}_d) = E[\bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})]

Yansızlık kontrolü için tahminleyicinin beklenen değeri hesaplanmalıdır.

2

Beklenen değerin lineerlik özelliğini uygulayın.

E(\bar{y}_d) = E(\bar{y}) + k[\bar{X} - E(\bar{x})]

k

ve

\bar{X}

sabit değerler olduğu için operatörün dışına çıkarılabilir veya etkilenmez.

3

Örneklem ortalamalarının kitle parametrelerine eşit olduğunu kullanın.

E(\bar{y}) = \bar{Y}

ve

E(\bar{x}) = \bar{X}

Basit rastgele örneklemede örneklem ortalaması, kitle ortalamasının yansız bir tahminleyicisidir.

4

İfadeyi sadeleştirin.

E(\bar{y}_d) = \bar{Y} + k(\bar{X} - \bar{X}) = \bar{Y}

Parantez içi sıfır olduğu için sonuç kitle ortalamasına eşit çıkar ve tahminleyicinin yansız olduğu kanıtlanır.

Key Concept

Fark Tahminleyicisinin Yansızlığı

Estimated Time:45s

Question 93Question →

Tabakalı rastgele örnekleme yönteminde, kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek için birleşik oran tahminleyicisinin ( $\hat{R}_c$ ), her bir tabaka için ayrı oran hesaplayan ayrı oran tahminleyicisine ( $\hat{R}_s$ ) tercih edilmesinin en temel sebebi aşağıdakilerden hangisidir?

Her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) küçük olması nedeniyle toplam yanlılığın (bias) birikmesini önlemek

Her bir tabakadaki örneklem hacminin (

n_h

) çok büyük olması durumunda hesaplama kolaylığı sağlamak

İlgilenilen değişken (

y

) ile yardımcı değişken (

x

) arasında negatif bir korelasyon bulunması

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) kitle içinde bilinmiyor olması

Her tabaka için ayrı bir regresyon katsayısının hesaplanmasının imkansız olması

Show answer & explanation

Answer: Her bir tabakadaki örneklem hacminin ( $n_h$ ) küçük olması nedeniyle toplam yanlılığın (bias) birikmesini önlemek

Answer

Birleşik oran tahminleyicisinin tercih edilme sebebi, tabaka örneklem hacimlerinin küçük olduğu durumlarda toplam yanlılığı minimize etmektir.

Birleşik oran tahminleyicisi (

\hat{R}_c

), tabakalı örneklemede kitle ortalamalarının oranlanması (

\bar{y}_{st} / \bar{x}_{st}

) esasına dayanır. Oran tahminleyicileri asimptotik olarak yansızdır, yani küçük örneklemlerde belirli bir yanlılık (bias) taşırlar. Tabaka bazındaki örneklem hacimleri (

n_h

) küçük olduğunda, ayrı oran tahminleyicisi her tabaka için ayrı bir yanlılık üretir ve bu yanlılıklar kitle genelinde birikerek toplam hatayı artırır. Birleşik tahminleyici ise tek bir oran üzerinden işlem yaptığı için bu yanlılık birikimini engeller ve daha kararlı bir tahmin sunar.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicilerin yapılarını karşılaştırın.

Ayrı oran tahminleyicisi her tabaka için

r_h = \bar{y}_h / \bar{x}_h

hesaplar ve bunları ağırlıklandırır. Birleşik oran tahminleyicisi ise önce genel ortalamaları (

\bar{y}_{st}

ve

\bar{x}_{st}

) bulur ve bunları birbirine oranlar.

İki yöntem arasındaki yapısal farkın örneklem büyüklüğü ile ilişkisini anlamak için gereklidir.

2

Yanlılık (bias) özelliğini analiz edin.

Oran tahminleyicileri küçük örneklemlerde yanlıdır. Ayrı oran tahminleyicisinde her tabakadan gelen yanlılıklar toplanırken, birleşik tahminleyicide sadece bir oran hesaplandığı için toplam yanlılık daha düşük kalır.

Küçük tabaka hacimlerinde birleşik tahminleyicinin neden daha güvenilir olduğunu açıklar.

3

Karar kriterini belirleyin.

Eğer

n_h

değerleri küçükse (genellikle 30'dan az), birleşik oran tahminleyicisi tercih edilir.

Teorik bilginin pratik uygulama kuralı ile eşleştirilmesini sağlar.

Key Concept

Birleşik Oran Tahminleyicisi ve Örneklem Hacmi İlişkisi

Hints

1

Oran tahminleyicilerinin küçük örneklemlerde sahip olduğu 'yanlılık' (bias) özelliğini hatırlayın.

2

Ayrı oran tahminleyicisinde her tabaka için ayrı hesaplama yapılırken, birleşik tahminleyicide tüm veriler harmanlanarak tek bir oran bulunur.

3

Tabaka bazında az veri olduğunda hataların toplanmaması için verilerin birleştirilmesi daha mantıklıdır.

Practice More

Ayrı oran tahminleyicisi (Separate Ratio Estimator) hangi durumda birleşik tahminleyiciden daha etkindir?

Estimated Time:45s

Question 94Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen $N = 400$ adet kumaş topunun toplam ağırlığı ( $y$ ) tahmin edilmek istenmektedir. Kumaşların uzunluğu ( $x$ ) yardımcı değişken olarak belirlenmiş olup kitleye ait bazı özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İstatistik	Değer
Kitle Büyüklüğü ( $N$ )	$400$
Örneklem Büyüklüğü ( $n$ )	$40$
Kitle Uzunluk Ortalaması ( $\bar{X}$ )	$50$ m
Örneklem Uzunluk Ortalaması ( $\bar{x}$ )	$48$ m
Örneklem Ağırlık Ortalaması ( $\bar{y}$ )	$120$ kg
Regresyon Katsayısı ( $b$ )	$2$

Buna göre, regresyon tahminleyicisi yardımıyla kitle toplam ağırlığı ( $\hat{Y}_{reg}$ ) kaç kg olarak tahmin edilir?

46.400

48.000

49.600

50.000

124

Show answer & explanation

Answer: $49.600$

Answer

49.600

kg

Kitle toplamı tahmini için öncelikle regresyon tahminleyicisi ile kitle ortalaması hesaplanır:

\bar{y}_{reg} = 120 + 2(50 - 48) = 124

. Ardından bu değer kitle büyüklüğü olan

400

ile çarpılarak

49.600

kg sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Regresyon tahminleyicisi ile kitle ortalamasını (

\bar{y}_{reg}

) hesaplayınız.

\bar{y}_{reg} = \bar{y} + b(\bar{X} - \bar{x}) = 120 + 2(50 - 48) = 120 + 4 = 124

kg

Regresyon tahminleyicisi, örneklem ortalamasını yardımcı değişkenin kitle ve örneklem ortalamaları arasındaki farka göre düzeltir.

2

Tahmin edilen ortalamayı kitle büyüklüğü (

N

) ile çarparak kitle toplamını bulunuz.

\hat{Y}_{reg} = N \times \bar{y}_{reg} = 400 \times 124 = 49.600

kg

Kitle toplamı tahmini, birim başına düşen ortalama tahminin toplam birim sayısıyla çarpılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi (

b

) kullanarak tahminin hassasiyetini artıran bir yöntemdir.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin hangi durumlarda oran tahminleyicisinden daha etkin olduğunu (korelasyon ve regresyon doğrusunun orijinden geçme durumu) inceleyiniz.

Estimated Time:45s

Question 95Question →

Örnekleme kuramında, yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak hesaplanan oran tahminleyicisinin ( $\hat{R}$ ) yanlılık (bias) durumu ile örneklem hacmi ( $n$ ) arasındaki ilişki hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi, örneklem hacmi ne olursa olsun her zaman tam yansız (unbiased) bir tahminleyicidir.

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve örneklem hacmi (

n

) arttıkça bu yanlılık miktarı azalır.

Oran tahminleyicisinin yanlılığı, örneklem hacmi (

n

) arttıkça doğrusal olarak artış gösterir.

Oran tahminleyicisi sadece tam sayım (

n=N

) durumunda yanlılık gösterir.

Oran tahminleyicisinin yanlılığı örneklem hacminden tamamen bağımsızdır ve sadece kitle büyüklüğüne bağlıdır.

Show answer & explanation

Answer: Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça bu yanlılık miktarı azalır.

Answer

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve örneklem hacmi arttıkça bu yanlılık azalır.

Oran tahminleyicisi (

\hat{R}

), matematiksel yapısı gereği küçük örneklemlerde kitle oranını (

R

) tam olarak merkezlemeyebilir, yani yanlıdır. Ancak bu yanlılığın büyüklüğü

1/n

ile orantılı olduğu için, örneklem hacmi (

n

) büyüdükçe yanlılık etkisi azalır ve tahminleyici yansızlığa yaklaşır (asimptotik yansızlık).

Step-by-Step Solution

1

Oran tahminleyicisinin (

\hat{R} = \bar{y} / \bar{x}

) teorik yapısını inceleyin.

Tahminleyicinin pay ve paydasında rastgele değişkenler bulunduğu için genellikle yanlı olduğu görülür.

Oran tahminleyicisi, iki ortalamanın oranı olduğu için beklenen değeri kitle oranına (

R

) tam olarak eşit olmayabilir.

2

Yanlılık (bias) miktarının mertebesini belirleyin.

Bias(\hat{R}) \approx O(1/n)

Taylor serisi açılımı kullanıldığında, yanlılığın örneklem hacmi (

n

) ile ters orantılı olduğu matematiksel olarak kanıtlanır.

3

Örneklem hacmi (

n

) artışının etkisini yorumlayın.

n \rightarrow \infty

iken Yanlılık

\rightarrow 0

Örneklem hacmi büyüdükçe paydadaki değer büyüyeceği için toplam yanlılık miktarı küçülür ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.

Key Concept

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlık özelliği

Question 96Question →

Bir kamu kurumu, bir bölgedeki işletmelerin toplam kârını ( $y$ ) tahmin etmek amacıyla işletme sermayesini ( $x$ ) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Kitle, işletme büyüklüğüne göre iki tabakaya ayrılmış olup tabakalara ait özet veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Tabaka Ağırlığı ( $W_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Yardımcı Değişken Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )
1	$0,6$	$150$	$50$
2	$0,4$	$200$	$100$

Buna göre, tabakalı örneklemede ayrı oran tahminleyicisi ( $\hat{R}_s$ ) kullanılarak hesaplanan kitle oranı tahmini kaçtır?

2,60

2,50

2,43

2,40

0,40

Show answer & explanation

Answer: 2,60

Answer

Ayrı oran tahminleyicisi kullanılarak hesaplanan kitle oranı tahmini 2,60'tır.

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabaka içindeki

y

değişkeni ortalamasının

x

değişkeni ortalamasına bölünmesiyle elde edilen tabaka oranlarının, kitledeki tabaka ağırlıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla hesaplanır. Bu soruda

\hat{R}_1 = 3

ve

\hat{R}_2 = 2

olup,

0,6(3) + 0,4(2) = 2,60

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Her tabaka için örneklem oranlarını (

\hat{R}_h

) hesaplayınız.

\hat{R}_1 = \frac{150}{50} = 3

ve

\hat{R}_2 = \frac{200}{100} = 2

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabakanın kendi oranının hesaplanmasını gerektirir.

2

Hesaplanan tabaka oranlarını tabaka ağırlıklarıyla (

W_h

) çarpınız.

0,6 \times 3 = 1,8

ve

0,4 \times 2 = 0,8

Tahminleyicinin kitleyi temsil edebilmesi için tabaka büyüklüklerine göre ağırlıklandırılması gerekir.

3

Elde edilen ağırlıklı değerleri toplayarak ayrı oran tahminleyicisine (

\hat{R}_s

) ulaşınız.

\hat{R}_s = 1,8 + 0,8 = 2,60

Ayrı oran tahminleyicisi formülü

\hat{R}_s = \sum W_h \hat{R}_h

şeklindedir.

Key Concept

Tabakalı örneklemede ayrı oran tahminleyicisi, her tabaka için hesaplanan oranların ağırlıklı ortalamasıdır.

Estimated Time:45s

Question 97Question →

Örnekleme teorisinde, yardımcı değişken ( $x$ ) bilgisinden yararlanılarak kitle ortalamasını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla kullanılan $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ fark tahminleyicisi ile ilgili olarak; $k$ katsayısının örneklem seçilmeden önce belirlenmiş sabit bir sayı olması durumunda aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Tahminleyici, kitle ortalamasının (

\bar{Y}

) yansız bir tahminleyicisidir.

Tahminleyici, küçük örneklemlerde yanlıdır ve sadece örneklem hacmi arttıkça yansızlaşır.

Fark tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme ortalamasının varyansından her zaman küçüktür.

Tahminleyicinin yanlılığı (bias), örneklem hacmi (

n

) arttıkça azalma eğilimi gösterir.

Tahminleyicinin yansız olabilmesi için

k

değerinin mutlaka 1'e eşit olması gerekir.

Show answer & explanation

Answer: Tahminleyici, kitle ortalamasının ( $\bar{Y}$ ) yansız bir tahminleyicisidir.

Answer

Fark tahminleyicisi, k katsayısı sabit bir değer olduğunda kitle ortalaması için yansız bir tahminleyicidir.

Fark tahminleyicisi, sabit bir k değeri kullanıldığında kitle ortalamasının yansız bir tahminleyicisi olur. Çünkü örneklem ortalamalarının beklenen değerleri kitle ortalamalarına eşittir ve denklemdeki fark terimi beklenen değer alındığında sıfırlanarak sadece kitle ortalamasını geriye bırakır.

Step-by-Step Solution

1

Tahminleyicinin beklenen değerini tanımlayın.

E[\bar{y}_d] = E[\bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})]

olarak yazılır.

Yansızlık özelliğini kontrol etmek için tahminleyicinin beklenen değerinin kitle parametresine eşit olup olmadığına bakılmalıdır.

2

Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliğini uygulayın.

E[\bar{y}_d] = E[\bar{y}] + k(E[\bar{X}] - E[\bar{x}])

halini alır (k sabit olduğu için dışarı çıkar).

Toplama ve çarpma işlemlerinde beklenen değer operatörü terimlere dağıtılabilir.

3

Örneklem ortalamalarının beklenen değerlerini yerleştirin.

E[\bar{y}] = \bar{Y}

ve

E[\bar{x}] = \bar{X}

olduğu için, ifade

E[\bar{y}_d] = \bar{Y} + k(\bar{X} - \bar{X}) = \bar{Y}

olur.

Basit rastgele örneklemede örneklem ortalaması, kitle ortalamasının yansız bir tahminleyicisidir.

Key Concept

Fark Tahminleyicisinin Yansızlığı (Unbiasedness of Difference Estimator)

Practice More

Fark tahminleyicisinin varyansını minimum yapan optimum k değerinin (regresyon katsayısı) hesaplanması konusuna çalışabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 98Question →

Örnekleme araştırmalarında, kitle ortalaması veya toplamı bilinen bir $X$ yardımcı değişkeninin (auxiliary variable) tahmin sürecine dahil edilmesinin temel teknik gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Örnekleme dışı hata (non-sampling error) kaynaklarını tamamen ortadan kaldırmak

Tahminin standart hatasını minimize ederek tahmin edicinin etkinliğini (efficiency) artırmak

Örneklemden elde edilen istatistik değerini doğrudan kitle parametresine eşitlemek

İlgilenilen

Y

değişkeni ile yardımcı

X

değişkeni arasında herhangi bir korelasyon bulunma zorunluluğunu ortadan kaldırmak

Örnekleme birimi ile gözlem birimi arasındaki kavramsal ayrımı gidermek

Show answer & explanation

Answer: Tahminin standart hatasını minimize ederek tahmin edicinin etkinliğini (efficiency) artırmak

Answer

Tahminin standart hatasını minimize ederek tahmin edicinin etkinliğini artırmak

Örnekleme teorisinde oran, fark veya regresyon tahminleyicileri gibi yöntemlerde yardımcı değişken kullanılmasının ana nedeni, kitle hakkında bilinen ek bilgiyi (X kitle ortalaması gibi) kullanarak tahmin edicinin varyansını ve standart hatasını küçültmektir. Bu durum, tahminin duyarlılığını (presizyonunu) artırarak daha 'etkin' sonuçlar elde edilmesini sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Yardımcı değişkenin tanımını analiz etme

Yardımcı değişken (

X

), ilgilenilen değişken (

Y

) ile ilişkili olan ve kitle bilgileri (ortalama veya toplam) önceden bilinen bir değişkendir.

Yöntemin mantığını anlamak için temel bileşenlerin tanımlanması gerekir.

2

Kullanım amacını belirleme

Bu ek bilgi, tahmin edicinin hata payını (standart hatasını) düşürmek için kullanılır.

Örnekleme teorisinde ek bilgi, belirsizliği azaltmanın bir yoludur.

3

İstatistiki sonuç çıkarma

Düşük standart hata, daha dar bir güven aralığı ve daha 'etkin' (efficient) bir tahminleyici anlamına gelir.

Etkinlik, aynı örneklem hacminde daha küçük varyansa sahip olmayı ifade eder.

Key Concept

Yardımcı Değişken ve Tahmin Etkinliği

Practice More

Yardımcı değişken ile ana değişken arasındaki ilişkinin yönüne göre 'Oran' ve 'Ürün' tahminleyicileri arasındaki seçim kriterlerini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 99Question →

Büyük ölçekli bir tarım sayımında, işletmelerin yıllık üretim miktarları ( $y$ ) tahmin edilirken, işletme büyüklükleri ( $x$ ) yardımcı değişken olarak modele dâhil edilmiş ve oran tahminleyicisi ( $\bar{y}_R$ ) kullanılmasına karar verilmiştir.

Araştırma planlama kurulu, tercih edilen bu oran tahminleyicisinin, yardımcı değişken kullanılmadan sadece üretim miktarlarıyla hesaplanan basit aritmetik ortalama tahminleyicisine ( $\bar{y}$ ) kıyasla istatistiksel olarak daha etkin (daha küçük varyanslı) sonuçlar üretmesini şart koşmuştur.

İlgilenilen ve yardımcı değişkenlerin değişim katsayıları sırasıyla $C_y$ ve $C_x$ , bu iki değişken arasındaki evren korelasyon katsayısı ise $\rho$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, kurulun belirlediği etkinlik şartının sağlanabilmesi için değişkenler arasındaki ilişkinin aşağıdaki eşitsizliklerden hangisini sağlaması zorunludur?

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

\rho > \frac{2C_x}{C_y}

\rho > \frac{C_y}{2C_x}

\rho > \frac{2C_y}{C_x}

\rho > \frac{C_x}{C_y}

Show answer & explanation

Answer: $\rho > \frac{C_x}{2C_y}$

Answer

Oran tahminleyicisinin daha etkin olabilmesi için sağlanması gereken koşul

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

eşitsizliğidir.

Oran tahminleyicisinin, basit aritmetik ortalama tahminleyicisine göre daha küçük varyansa sahip (daha etkin) olabilmesi için

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

koşulu sağlanmalıdır. Bu eşitsizlik matematiksel olarak sadeleştirildiğinde ve değişim katsayıları cinsinden yazıldığında, iki değişken arasındaki korelasyon katsayısının

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

sınırından büyük olması gerektiği ispatlanır. Bu durum, yardımcı değişken kullanılmasının ancak güçlü ve pozitif bir korelasyon varlığında avantaj sağlayacağını gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Basit aritmetik ortalama tahminleyicisi (

\bar{y}

) ile oran tahminleyicisinin (

\bar{y}_R

) varyans formülleri yazılarak

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

eşitsizliği kurulur.

Etkinlik şartı matematiksel olarak ifade edilmiş olur.

Daha küçük varyans, istatistiksel olarak daha kesin ve etkin bir tahminleyici anlamına gelmektedir.

2

Oran tahminleyicisinin varyans yaklaşımındaki terimler yerine konularak

S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2 R \rho S_x S_y < S_y^2

denklemi çözülür ve sadeleştirilir.

R^2 S_x^2 < 2 R \rho S_x S_y

ifadesine ulaşılır.

Her iki taraftaki kitle varyansı (

S_y^2

) terimlerinin birbirini götürmesiyle ilişki daha net görülür.

3

Eşitsizlikte oran (

R = \bar{Y}/\bar{X}

) ve değişim katsayısı (

C_x = S_x/\bar{X}

,

C_y = S_y/\bar{Y}

) dönüşümleri yapılarak

\rho

yalnız bırakılır.

Korelasyon katsayısı için

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulu elde edilir.

Değişkenlerin varyansları yerine ölçekten bağımsız olan değişim katsayıları kullanılarak genel geçer bir kurala varılmak istenmektedir.

Key Concept

Oran Tahminleyicisinin Etkinliği

Estimated Time:1m 30s

Question 100Question →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, ildeki ticari araçların aylık toplam yakıt tüketim miktarını ( $y$ , litre) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla araçların aylık yaptıkları kilometre ( $x$ , km) yardımcı değişken olarak kullanılarak tabakalı rastgele örnekleme yapılmıştır. Araçlar taksi ve minibüs olmak üzere iki tabakaya ayrılmış ve elde edilen veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Tabaka	Araç Tipi	Kitledeki Araç Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Örneklem Yakıt Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Örneklem KM Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	Kitle KM Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )
1	Taksi	100	20	300	100	150
2	Minibüs	200	20	800	200	225

Verilen bilgilere göre, ildeki ticari araçların aylık toplam yakıt tüketim miktarını tahmin etmek için kullanılacak ayrı oran tahminleyicisinin ( $\hat{Y}_{RS}$ ) hesaplanan değeri aşağıdakilerden hangisidir?

190.000

210.000

220.000

225.000

228.000

Show answer & explanation

Answer: 225.000

Answer

Hesaplanan ayrı oran tahminleyicisi 225.000'dir.

Ayrı oran tahminleyicisi (

\hat{Y}_{RS}

), her tabaka için oran tahmininin (

\hat{R}_h = \bar{y}_h / \bar{x}_h

) hesaplanıp, ilgili tabakanın evrendeki yardımcı değişken toplamı (

X_h

) ile çarpılması ve bu tabaka tahminlerinin toplanmasıyla elde edilir. Önce kitle yardımcı değişken toplamları bulunur (

X_1 = 100 \times 150 = 15.000

ve

X_2 = 200 \times 225 = 45.000

). Ardından tabaka oranları hesaplanır (

\hat{R}_1 = 300/100 = 3

ve

\hat{R}_2 = 800/200 = 4

). Son olarak, her tabakanın tahmini toplamları toplanır:

(3 \times 15.000) + (4 \times 45.000) = 45.000 + 180.000 = 225.000

.

Step-by-Step Solution

1

Her tabaka için kitledeki yardımcı değişken toplam değerlerini (

X_h

) hesaplayın.

Taksi tabakası için

X_1 = N_1 \times \bar{X}_1 = 100 \times 150 = 15.000

. Minibüs tabakası için

X_2 = N_2 \times \bar{X}_2 = 200 \times 225 = 45.000

.

Ayrı oran tahminleyicisi, her tabakanın kendi oranı ile o tabakanın kitle düzeyindeki

X

toplamının çarpımına ihtiyaç duyar.

2

Her tabaka için ayrı örneklem oranını (

\hat{R}_h

) hesaplayın.

Taksi tabakası için

\hat{R}_1 = \frac{\bar{y}_1}{\bar{x}_1} = \frac{300}{100} = 3

. Minibüs tabakası için

\hat{R}_2 = \frac{\bar{y}_2}{\bar{x}_2} = \frac{800}{200} = 4

.

Bu oran, her tabakadaki birim kilometre başına düşen yakıt miktarını temsil eder.

3

Her tabakanın kitle toplam tahminini bulup toplayarak ayrı oran tahminleyicisini (

\hat{Y}_{RS}

) elde edin.

\hat{Y}_{RS} = (\hat{R}_1 \times X_1) + (\hat{R}_2 \times X_2) = (3 \times 15.000) + (4 \times 45.000) = 45.000 + 180.000 = 225.000

.

Ayrı oran tahminleyicisi, tabaka bazlı tahminlerin toplamından oluşur.

Key Concept

Ayrı Oran Tahminleyicisi formülü

\hat{Y}_{RS} = \sum_{h=1}^L \frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_h} X_h

kullanılarak hesaplanır.

Alternative Method

Ayrı oran tahminleyicisini ortalamalar üzerinden ifade ederek de işlem yapabilirsiniz:

\hat{Y}_{RS} = \sum N_h \frac{\bar{y}_h}{\bar{x}_h} \bar{X}_h

. Her tabaka için bu değer hesaplanırsa: Taksi için

100 \times 3 \times 150 = 45.000

, Minibüs için

200 \times 4 \times 225 = 180.000

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution