All practice questions

Question 2001Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

h(x) = f(x) \cdot g(x)

k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(1) = 2

ve

g(1) = 1

olmak üzere,

h

ve

k

fonksiyonlarının türevleri sırasıyla

h'(x) = 10x

k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}

biçiminde verilmiştir.

Buna göre, $f'(1) + g'(1)$ toplamı kaçtır?

4

6

7

8

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Çarpım ve böl��m türev kuralları uygulanarak elde edilen denklem sisteminin çözümünden f'(1) + g'(1) toplamı 8 olarak bulunur.

Çarpım türev kuralından

f'(1) + 2g'(1) = 10

ve bölüm türev kuralından

f'(1) - 2g'(1) = 2

denklemleri elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

f'(1) = 6

ve

g'(1) = 2

bulunur. Toplamları 8 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Çarpım türevi kuralını uygulayarak h'(1) değerini bulunuz.

f'(1) + 2g'(1) = 10

denklemi elde edilir.

h(x) = f(x) \cdot g(x)

olduğundan çarpım türevi

h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

şeklindedir.

x = 1

için

h'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1)

olur. Verilen

f(1) = 2

,

g(1) = 1

ve

h'(1) = 10

değerleri yerine yazıldığında bu eşitliğe ulaşılır.

2

Bölüm türevi kuralını uygulayarak k'(1) değerini bulunuz.

f'(1) - 2g'(1) = 2

denklemi elde edilir.

k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

olduğundan bölüm türevi

k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

şeklindedir. Bize verilen

k'(x) = \frac{2}{[g(x)]^2}

ifadesinden payların eşit olması gerektiği görülür. Buradan

f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) = 2

elde edilir.

x = 1

için bilinen değerler yazıldığında denklem kurulur.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözünüz.

f'(1) = 6

ve

g'(1) = 2

olarak bulunur.

f'(1) + 2g'(1) = 10

ve

f'(1) - 2g'(1) = 2

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2f'(1) = 12 \implies f'(1) = 6

bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında

6 + 2g'(1) = 10 \implies 2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2

elde edilir.

4

İstenen toplam değerini hesaplayınız.

f'(1) + g'(1) = 6 + 2 = 8

bulunur.

Soru bizden

f'(1)

ve

g'(1)

değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Türev kurallarından çarpımın ve bölümün türevi kurallarının cebirsel olarak uygulanması ve ortak denklem çözümü.

Question 2002Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 2x + a

g(x) = -x^2 + 4x + b

fonksiyonlarının grafikleri olan paraboller verilmiştir.

$f(x)$ parabolünün tepe noktasından $g(x)$ parabolüne çizilen te��et doğruları birbirine diktir.

Buna göre, $a$ ile $b$ gerçel sayıları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

a - b = \frac{21}{4}

a - b = \frac{5}{4}

a - b = \frac{13}{4}

a - b = \frac{19}{4}

a - b = \frac{25}{4}

Show answer & explanation

Answer: $a - b = \frac{21}{4}$

Answer

a - b = \frac{21}{4}

bağıntısıdır.

a - b = \frac{21}{4}

bağıntısı doğrudur çünkü

f(x)

parabolünün tepe noktası

T(1, a-1)

olarak belirlendikten sonra bu noktadan geçen teğet doğrularının eğimleri çarpımı

-1

olarak alındığında elde edilen kökler toplamı ve çarpımı ilişkisi bizi doğrudan bu sonuca ulaştırmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 - 2x + a

parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-2}{2(1)} = 1

ve ordinatı

k = f(1) = 1^2 - 2(1) + a = a - 1

olur. Dolayısıyla tepe noktası

T(1, a - 1)

noktasıdır.

g(x)

fonksiyonuna bu noktadan teğetler çizileceği için başlangıç noktamız tepe noktasıdır.

2

g(x) = -x^2 + 4x + b

parabolüne üzerindeki bir

P(t, g(t))

noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.

g'(x) = -2x + 4

olduğundan teğetin eğimi

m = -2t + 4

olur. Teğet doğrusunun denklemi

y - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(x - t)

olarak bulunur.

Teğet doğrusunun genel denklemini kurmak için türevden yararlanılır.

3

Teğet doğrusunun

T(1, a - 1)

noktasından geçmesi koşulunu uygulayarak

t

değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi elde ediniz.

(a - 1) - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(1 - t)

ifadesi düzenlendiğinde

t^2 - 2t + (5 - a + b) = 0

denklemi elde edilir.

T

noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.

4

Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu (

m_1 \cdot m_2 = -1

) uygulayarak

a

ve

b

arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.

m_1 \cdot m_2 = (-2t_1 + 4)(-2t_2 + 4) = 4t_1 t_2 - 8(t_1 + t_2) + 16 = -1

olur. Bir önceki adımda elde edilen denklemden kökler toplamı

t_1 + t_2 = 2

ve kökler çarpımı

t_1 t_2 = 5 - a + b

değerleri yerine yazılırsa:

4(5 - a + b) - 8(2) + 16 = -1 \implies 20 - 4a + 4b = -1 \implies 4a - 4b = 21 \implies a - b = \frac{21}{4}

bağıntısı bulunur.

Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir ve bu durum kök-katsayı ilişkileriyle çözülebilir.

Key Concept

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması ve bu doğruların birbirine dik olması durumunda eğimler çarpımının -1'e eşitlenmesi.

Question 2003Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = x^2 - 5x + 4

olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x^2)$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

[1, 2]

[-1, 1]

[0, 1]

[-2, 0]

[-1, 0]

Show answer & explanation

Answer: $[0, 1]$

Answer

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıklardan biri [0, 1] aralığıdır.

Doğru seçenekte sunulan [0, 1] aralığı,

g'(x) = 2x(x^2-4)(x^2-1) \ge 0

eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan artanlık aralıklarından biridir. Yapılan türev analizi ve işaret tablosu sonucunda bu aralıkta türevin pozitif veya sıfır olduğu doğrulanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.

g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)

g(x) = f(x^2)

fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevinin çarpımına eşittir.

2

f'(x)

fonksiyonunda

x

yerine

x^2

yazarak

f'(x^2)

ifadesini bulunuz ve çarpanlarına ayırınız.

f'(x^2) = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4 = (x^2-4)(x^2-1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)

g'(x)

ifadesini tamamen çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp kökleri bulmak için.

3

g'(x) = 0

denkleminin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturunuz.

Kökler küçükten büyüğe:

-2, -1, 0, 1, 2

olup işaret tablosunda en sağ aralık (

x > 2

) pozitif (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir.

Türevin işaretini belirleyerek fonksiyonun artan (

g'(x) \ge 0

) ve azalan (

g'(x) \le 0

) olduğu aralıkları tespit etmek için.

4

g'(x) \ge 0

olan aralıkları belirleyiniz.

Fonksiyonun artan olduğu aralıklar

[-2, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)

olarak bulunur.

Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artanlık ve azalanlık aralıklarının belirlenmesi.

Question 2004Question →

$x > 0$ olmak üzere, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\sqrt{x}$ fonksiyonunun $x = 4$ noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Türev fonksiyonunda

x = 4

değeri yerine yazıldığında elde edilen sonuç 25'tir.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}

olarak bulunur. Bu fonksiyonda

x = 4

yazıldığında

f'(4) = 3(16) - 6(4) + 1 = 25

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Türev alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel türevini bulunuz.

f'(x) = 3x^2 - 6x + \frac{2}{\sqrt{x}}

Polinom terimler için

(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

kuralı ve köklü terim için

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

kuralı uygulanmı��tır.

2

Elde edilen türev fonksiyonunda

x

yerine

4

yazarak değeri hesaplayınız.

f'(4) = 25

f'(4) = 3(4^2) - 6(4) + \frac{2}{\sqrt{4}} = 48 - 24 + 1 = 25

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Temel türev alma kuralları kullanılarak polinom ve köklü ifadelerin türevinin hesaplanması.

Estimated Time:1m 0s

Question 2005Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + 1}

fonksiyonunun mutlak maksimum noktası $(1, 2)$ 'dir.

Buna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

-3

-2

0

2

4

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

İstenen çarpım değeri

2

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan

2

değeri, fonksiyonun

(1, 2)

noktasını sağlamasıyla elde edilen

a+b=3

denklemi ile bu noktada türevin sıfır olmasından gelen

b=1

bilgisinin birleştirilmesiyle bulunur. Buradan

a=2

ve

a \cdot b = 2

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(1) = 2

eşitliğini kurarak

a

ve

b

arasındaki ilk denklemi elde etmek.

a + b = 3

(1, 2)

noktası fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığı için fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.

2

f(x)

fonksiyonunun türevini alıp

x = 1

noktasında sıfıra eşitlemek.

f'(1) = 0

ve buradan

b = 1

(1, 2)

noktası bir yerel ekstremum noktasıdır ve fonksiyon tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu noktada türev sıfır olmalıdır.

3

a + b = 3

denkleminde

b = 1

değerini yerine yazarak

a

değerini bulmak.

a = 2

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bilinmeyen katsayıları tamamlamak.

4

a

ve

b

değerlerini çarparak istenen sonucu hesaplamak.

a \cdot b = 2

Soru kökündeki çarpım ifadesini tamamlamak.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ve mutlak ekstremum noktalarında türevin sıfır olması ve fonksiyonun değerinin bulunması.

Question 2006Question →

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x - 5

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?

0

1

2

3

4

Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı 0'dır.

Verilen fonksiyonun türevi alındığında

f'(x) = (x-4)^2

elde edilir. Bu ifadenin kökü olan

x = 4

bir çift katlı köktür. Çift katlı köklerin sağında ve solunda türevin işareti değişmeyip pozitif kalmaya devam ettiği için fonksiyon bu noktada artışını sürdürür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur ve sayısı sıfırdır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

f'(x) = x^2 - 8x + 16

Yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun türevinin işaret incelemesini yapmalıyız.

2

Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.

x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4

(çift katlı kök)

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.

3

Türevin işaret tablosunu inceleyelim.

x = 4

noktasının solunda ve sağında

f'(x) > 0

olduğundan türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.

Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde işaret değişmediğinden

x = 4

noktası bir ekstremum noktası değildir.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevinin sıfır oldu��u bir noktada yerel ekstremum olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmediği için yerel ekstremum noktası oluşmaz.

Question 2007Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları tanımlanmıştır. $y = g(x)$ fonksiyonunun grafiğine $x = -2$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi $y = 2x + 7$ olarak verilmektedir.

f(x) = g(x^2 - 3x)

h(x) = f(x^2 - f(x))

olduğuna göre, $h'(2)$ değeri kaçtır?

-8

-4

-2

2

4

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

-4

Doğru cevap olan

-4

değeri,

y = g(x)

fonksiyonuna çizilen teğet doğrusunun eğiminden

g'(-2) = 2

ve temas noktasından

g(-2) = 3

değerleri elde edildikten sonra,

f(x)

ve

h(x)

fonksiyonlarının türevlerinin zincir kuralına uygun şekilde alınması ve elde edilen değerlerin yerine konulmasıyla bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Teğet doğrusunun denkleminden

g(-2)

ve

g'(-2)

değerlerini elde etme.

g(-2) = 3

ve

g'(-2) = 2

y = g(x)

fonksiyonuna

x = -2

apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu

y = 2x + 7

olduğundan, bu noktanın ordinatı doğrunun denklemini sağlar:

g(-2) = 2(-2) + 7 = 3

. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan

g'(-2) = 2

bulunur.

2

f(x)

fonksiyonunun türevini alarak

f(2)

,

f'(2)

ve

f'(1)

değerlerini hesaplama.

f(2) = 3

,

f'(2) = 2

ve

f'(1) = -2

f(x) = g(x^2 - 3x)

için

x = 2

yazıldığında

f(2) = g(2^2 - 3(2)) = g(-2) = 3

olur. Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre

f'(x) = g'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)

elde edilir.

x = 2

için

f'(2) = g'(-2) \cdot (2(2) - 3) = 2 \cdot 1 = 2

ve

x = 1

için

f'(1) = g'(-2) \cdot (2(1) - 3) = 2 \cdot (-1) = -2

hesaplanır.

3

h(x) = f(x^2 - f(x))

fonksiyonunun türevini alıp

x = 2

değerini yerine yazma.

h'(2) = -4

h(x) = f(x^2 - f(x))

ifadesinde zincir kuralı uygulanırsa, türev

h'(x) = f'(x^2 - f(x)) \cdot (2x - f'(x))

olarak bulunur.

x = 2

yazıldığında

h'(2) = f'(4 - f(2)) \cdot (4 - f'(2))

elde edilir. Önceki adımlarda bulunan değerler yerine yazıldığında

h'(2) = f'(4 - 3) \cdot (4 - 2) = f'(1) \cdot 2 = -2 \cdot 2 = -4

sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Alternative Method

Zincir kuralını daha net görmek için değişken değiştirmesi yapılabilir. Örneğin,

u = x^2 - f(x)

denilirse

h(x) = f(u)

olur. Buradan türev alındığında

h'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (2x - f'(x))

elde edilir. Benzer şekilde

f(x) = g(t)

ve

t = x^2 - 3x

tanımlamaları ile türev adımları daha izole ve hatasız bir şekilde sürdürülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 2008Question →

x - y = \frac{\pi}{4}

olmak üzere,

\tan x = 3

olduğuna göre,

\cot y

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen cot y değeri 2'dir.

Verilen

x - y = \frac{\pi}{4}

eşitliğinden yararlanarak

\tan(x - y) = 1

olduğu bulunur. Tanjant fark formülü açılıp

\tan x = 3

değeri yerine yazıldığında

\tan y = \frac{1}{2}

elde edilir. Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersi olduğundan

\cot y = 2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x - y = \frac{\pi}{4}

eşitliğinin her iki tarafının tanjantını alarak tanjant fark formülünü uygulayınız.

\tan(x - y) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1

elde edilir.

x

ve

y

açıları arasındaki ilişkiyi tanjant değerlerine aktarabilmek için.

2

Tanjant fark formülü olan

\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y}

ifadesinde bilinen değerleri yerine yazınız.

1 = \frac{3 - \tan y}{1 + 3\tan y}

denklemi elde edilir.

Verilen

\tan x = 3

değerini kullanarak

\tan y

değerini bulmak için.

3

Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak

\tan y

için çözünüz.

1 + 3\tan y = 3 - \tan y \implies 4\tan y = 2 \implies \tan y = \frac{1}{2}

bulunur.

\tan y

değerini belirlemek için.

4

\cot y = \frac{1}{\tan y}

özdeşliğini kullanarak

\cot y

değerini hesaplayınız.

\cot y = \frac{1}{1/2} = 2

bulunur.

Soruda istenen kotanjant değerine ulaşmak için.

Key Concept

Tanjant fark formülü ve tanjant ile kotanjant arasındaki çarpmaya göre terslik ilişkisi.

Question 2009Question →

Türevlenebilir bir $g$ fonksiyonu için $g(2) = 3$ ve $f(x) = x^2 - 3x + 4$ olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - 6}{x - 2} = 11

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisi kurularak çarpımın türevi yardımıyla

g'(2) = 4

bulunur. İstenen limit düzenlendiğinde

8g'(2)

değerine eşit olduğundan sonuç 32'dir.

Limit tanımı gereği,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2}

ifadesi

(f \cdot g)'(2)

türev değerini verir. Buradan elde edilen denklem çözülerek

g'(2) = 4

bulunur. İstenen limit ifadesi

h \to 0

için

8g'(2)

olarak sadeleşir.

8 \cdot 4

işlemiyle doğru cevap

32

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

f(2)

değerini hesaplama ve limitin türev tanımıyla ilişkisini kurma

f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 2

olup

f(2)g(2) = 2 \cdot 3 = 6

elde edilir. Bu durumda verilen limit,

h(x) = f(x)g(x)

çarpım fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türev tanımıdır:

h'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x) - f(2)g(2)}{x - 2} = 11

Verilen limitin

0/0

belirsizliği içerdiğini görmek ve limit tanımını çarpım fonksiyonunun türevi cinsinden yazmak için.

2

Çarpımın türevi kuralını uygulayarak

g'(2)

değerini elde etme

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

olduğundan

h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 11

olur.

f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 1

değerini yerine yazarsak:

1 \cdot 3 + 2 \cdot g'(2) = 11 \implies 2g'(2) = 8 \implies g'(2) = 4

bulunur.

g'(2)

değerine ulaşmak için ��arpımın türevi formülünden yararlanmak gerekir.

3

İstenen limit ifadesini düzenleme

\lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2 - 5h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2) - (g(2 - 5h) - g(2))}{h}

= 3 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 + 3h) - g(2)}{3h} - (-5) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(2 - 5h) - g(2)}{-5h}

= 3g'(2) + 5g'(2) = 8g'(2)

Limit ifadesini türevin limit tanımına benzeterek sadeleştirmek için.

4

Nihai sonucu hesaplama

8g'(2) = 8 \cdot 4 = 32

elde edilir.

Elde edilen

g'(2)

değerini yerine yazarak nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Türevin limit tanımı ve çarpım fonksiyonunun türevi

Estimated Time:2m 0s

Question 2010Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3x^2 - 2x + 4

olarak verilmiştir.

$f(1) = 5$ olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

11

12

13

15

17

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

İntegral sabiti doğru hesaplandığında elde edilen fonksiyon yardımıyla aranan değer 13 olarak bulunur.

Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integrali alındığında

f(x) = x^3 - x^2 + 4x + C

ifadesine ulaşılır.

f(1) = 5

başlangıç koşulu yerine yazıldığında

1 - 1 + 4 + C = 5

denklemi elde edilir ve buradan

C = 1

bulunur. Fonksiyonun kuralı

f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1

olarak belirlenir. Bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında sonuç

8 - 4 + 8 + 1 = 13

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel kuralını yazın.

f(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x + C

(burada

C

bir gerçel sayı olan integral sabitidir)

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral kuralları uygulanır.

2

f(1) = 5

başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan

C

değerini hesaplayın.

f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1

İntegral sabitinin tek bir değere sahip olması için verilen özel nokta denklemde yerine yazılır.

3

Belirlenen

f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1

fonksiyonunda

x = 2

yazarak sonucu bulun.

f(2) = 2^3 - 2^2 + 4(2) + 1 = 8 - 4 + 8 + 1 = 13

Fonksiyonun kuralı tamamen bulunduktan sonra istenen girdi değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları kullanılarak elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Question 2011Question →

f(x) = x^2 - x + 4

eğrisinin

x = 3

apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Verilen fonksiyonun belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 5'tir.

Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki birinci türev değeridir.

f'(x) = 2x - 1

olup,

x = 3

için bu değer

f'(3) = 5

olur.

Step-by-Step Solution

1

Türev fonksiyonunun bulunması

f'(x) = 2x - 1

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunda x = 3 değerinin yerine yazılması

f'(3) = 2(3) - 1 = 5

Teğet noktasının apsisi 3 olduğu için türevde x yerine 3 yazılarak teğet doğrusunun eğimi (m) elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumuna göre bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türevine eşittir.

Estimated Time:45s

Question 2012Question →

x \in [0, 2\pi]

olmak üzere,

\cos(2x) - 5\sin(x) - 3 = 0

denklemini sağlayan farklı

x

gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?

\pi

2\pi

\frac{5\pi}{2}

3\pi

\frac{3\pi}{2}

Show answer & explanation

Answer: $3\pi$

Answer

3\pi

(Kökler toplamı

3\pi

radyandır)

Denklemde yarım açı formülü uygulanıp düzenleme yapıldığında

2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0

denklemine ulaşıl��r. Bu denklem çarpanlarına

(2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0

şeklinde ayrılır. Sinüs fonksiyonunun değer kümesi

[-1, 1]

olduğundan,

\sin(x) = -2

eşitliğini sağlayan bir gerçel sayı yoktur. Buradan

\sin(x) = -1/2

elde edilir. Bu eşitliği

[0, 2\pi]

aralığında sağlayan açılar

\frac{7\pi}{6}

ve

\frac{11\pi}{6}

radyan olup, bu değerlerin toplamı

3\pi

radyandır.

Step-by-Step Solution

1

Yarım açı formülü kullanılarak denklemdeki tüm trigonometrik ifadeler aynı türden yazılır.

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)

dönüşümü yapılarak denklem

1 - 2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 3 = 0

hâline getirilir.

Denklemi çözebilmek için tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılır.

2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 \implies (2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0

elde edilir.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

3

Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek olası

\sin(x)

değerleri belirlenir ve fonksiyonun değer kümesi sınırlarına göre kontrol edilir.

\sin(x) = -2

için reel kök yoktur (

-1 \leq \sin(x) \leq 1

olduğundan).

\sin(x) = -\frac{1}{2}

denkleminin ise gerçel kökleri vardır.

Sinüs fonksiyonunun değer aralığı dışındaki değerler için reel kök oluşmayacağını belirlemek gerekir.

4

[0, 2\pi]

aralığında

\sin(x) = -\frac{1}{2}

denklemini sağlayan kökler bulunur ve bu köklerin toplamı hesaplanır.

Kökler

x_1 = \frac{7\pi}{6}

ve

x_2 = \frac{11\pi}{6}

olup, toplamları

\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 3\pi

radyandır.

İstenen aralıktaki tüm kökleri bulup toplam değerine ulaşmak hedeflenir.

Key Concept

Trigonometrik Denklemler

Estimated Time:2m 0s

Question 2013Question →

f(x) = (x^2 - 3)(x + 1)

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

3

4

11

13

19

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

13

Çarpım türevi kuralı kullanılarak türev fonksiyonu

f'(x) = 2x(x+1) + (x^2-3)

olarak elde edilir. Bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında

f'(2) = 13

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Çarpımın türevi kuralı uygulanır.

f'(x) = (x^2 - 3)' \cdot (x + 1) + (x^2 - 3) \cdot (x + 1)'

Çarpım durumundaki iki fonksiyonun türevi

[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

kuralı ile bulunur.

2

Parantez içindeki ifadelerin türevleri alınır.

f'(x) = 2x(x + 1) + (x^2 - 3) \cdot 1

(x^2 - 3)' = 2x

ve

(x + 1)' = 1

olduğu için temel türev alma kuralları uygulanır.

3

Türev fonksiyonunda

x

yerine

2

yazılır.

f'(2) = 2(2)(2 + 1) + (2^2 - 3) = 4(3) + 1 = 13

İstenen

x = 2

noktasındaki türev değeri hesaplanır.

Key Concept

Çarpım durumundaki fonksiyonların türevini çarpım kuralı ile hesaplama

Question 2014Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için her $x$ gerçel sayısı için $g(x) \neq 0$ ’dır.

$h(x) = f(x) \cdot g(x)$

$k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

olmak üzere, her $x$ gerçel sayısı için

h'(x) + [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 12x^2 + 4

h'(x) - [g(x)]^2 \cdot k'(x) = 8x

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

İstenen

f'(2) \cdot g(2) - f(2) \cdot g'(2)

ifadesinin değeri 18'dir.

Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm türevleri alındığında cebirsel düzenlemeler ile

f'(x)g(x) = 6x^2 + 2

ve

f(x)g'(x) = 4x

eşitliklerine ulaşılır.

x=2

için bu ifadeler sırasıyla 26 ve 8 değerlerini alır. İstenen fark hesaplandığında 18 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çarpım ve bölüm türevi kurallarını kullanarak

h'(x)

ve

k'(x)

türevlerini yazın.

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

ve

k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Soruda verilen fonksiyon bileşenlerinin türevlerini cebirsel olarak ifade etmek için bu kurallar gereklidir.

2

k'(x)

ifadesini

[g(x)]^2

ile çarparak sadeleştirin.

[g(x)]^2 \cdot k'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

Bölüm türevinin paydasındaki

[g(x)]^2

terimini sadeleştirmek için bu işlem uygulanır.

3

Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak

f'(x)g(x)

ifadesini yalnız bırakın.

2f'(x)g(x) = 12x^2 + 4 \implies f'(x)g(x) = 6x^2 + 2

Toplama işlemiyle

-f(x)g'(x)

ve

+f(x)g'(x)

terimleri birbirini sıfırlar.

4

Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak

f(x)g'(x)

ifadesini yalnız bırakın.

2f(x)g'(x) = 8x \implies f(x)g'(x) = 4x

Çıkarma işlemiyle

f'(x)g(x)

terimleri birbirini sıfırlar.

5

x = 2

yazarak elde edilen değerlerin farkını hesaplayın.

f'(2)g(2) - f(2)g'(2) = 26 - 8 = 18

x=2

için

f'(2)g(2) = 26

ve

f(2)g'(2) = 8

değerleri bulunur ve farkları alınır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm türevi kurallarının cebirsel denklem sistemlerinde uygulanması

Question 2015Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x - 3$ parabolüne üzerindeki olmayan $P(0, -7)$ noktasından çizilen teğet doğrularının parabolü kestiği (teğet değme) noktalar $A$ ve $B$ olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri $P$ , $A$ ve $B$ noktaları olan $PAB$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Köşeleri

P(0, -7)

,

A(2, -3)

ve

B(-2, 5)

olan

PAB

üçgeninin alanı

16

birimkaredir.

Parabole dışındaki

P(0, -7)

noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları

A(2, -3)

ve

B(-2, 5)

olarak bulunur. Köşeleri

P

,

A

ve

B

olan üçgenin alanı koordinat metodu ile

16

birimkare olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğimi ifade etme.

f'(x) = 2x - 2

olduğundan,

t

apsisli teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimi

m = 2t - 2

olur.

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

2

Teğet doğrusunun denklemini yazma ve dışındaki

P(0, -7)

noktasını bu denklemde yerine yazarak teğet noktalarının apsislerini bulma.

-7 - (t^2 - 2t - 3) = (2t - 2)(0 - t) \implies t^2 = 4 \implies t = 2

ve

t = -2

elde edilir.

Teğet doğrusu

P(0, -7)

noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.

3

Teğet noktaları

A

ve

B

'nin koordinatlarını belirleme.

t = 2

için

A(2, -3)

ve

t = -2

için

B(-2, 5)

noktaları elde edilir.

Teğet noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri parabol denkleminde yerine yazılır.

4

Köşe koordinatları bilinen

PAB

üçgeninin alanını hesaplama.

\text{Alan}(PAB) = \frac{1}{2} |2(12) - (-2)(-4)| = 16

birimkare bulunur.

Köşeleri

P(0, -7)

,

A(2, -3)

ve

B(-2, 5)

olan üçgenin alanı, koordinat düzleminde determinant yöntemi veya vektörel alan formülüyle hesaplanabilir.

Key Concept

Parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin bulunması ve analitik düzlemde köşe koordinatları bilinen üçgenin alan hesabı.

Question 2016Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = \frac{4}{x}

eğrisine üzerindeki

x = 2

apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?

-2

-1

1

\frac{1}{2}

-\frac{1}{4}

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

Eğrinin

x = 2

noktasındaki normal doğrusunun eğimi

1

'dir.

Fonksiyonun türevi

f'(x) = -\frac{4}{x^2}

olarak bulunur.

x = 2

apsisli noktadaki teğetin eğimi

m_t = f'(2) = -1

'dir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı

-1

olmalıdır. Buradan normalin eğimi

m_n = 1

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = -\frac{4}{x^2}

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.

2

Teğet noktasının apsisi olan

x = 2

değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (

m_t

) hesaplayın.

m_t = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1

Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türev değeridir.

3

Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğu için eğimleri çarpımının

-1

olması kuralını kullanarak normal doğrusunun eğimini (

m_n

) bulun.

m_t \cdot m_n = -1 \implies -1 \cdot m_n = -1 \implies m_n = 1

Dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir.

Question 2017Question →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği, $x$ -eksenini yalnızca $x = -2$ ve $x = 3$ noktalarında kesen kolları yukarı doğru bir paraboldür.

g(x) = f(x^2 - 2x)

biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

[-1, 1]

[1, 3]

(-\infty, -1]

[-2, 0]

[0, 2]

Show answer & explanation

Answer: $[-1, 1]$

Answer

Bileşke fonksiyonun türevi olan

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x)

ifadesinin işaret tablosu oluşturulduğunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardan biri

[-1, 1]

kapalı aralığıdır.

Bileşke fonksiyonun türevi olan

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x)

ifadesinin işaret tablosu incelendiğinde;

x = -1

,

x = 1

ve

x = 3

noktaları kritik noktalardır. Bu tablonun pozitif işaretli olduğu en geniş aralıklardan biri

[-1, 1]

kapalı aralığıdır. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artandır.

Step-by-Step Solution

1

g(x)

fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak alınır.

g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)

Bileşke fonksiyonun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonu elde edilmelidir.

2

Türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.

x = 1

,

x = -1

ve

x = 3

2(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1

olur. Grafik kolları yukarı doğru olan ve

x

-eksenini sadece

-2

ve

3

noktalarında kesen bir parabol olduğundan,

f'(u) = 0 \Rightarrow u = -2

veya

u = 3

olmalıdır. Buradan

x^2 - 2x = -2 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0

denkleminin gerçel kökü yoktur (

\Delta < 0

). Diğer taraftan

x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0

denkleminden

x = -1

ve

x = 3

kökleri bulunur.

3

g'(x)

için işaret tablosu hazırlanır.

x < -1

için

g'(x) < 0

,

-1 < x < 1

için

g'(x) > 0

,

1 < x < 3

için

g'(x) < 0

ve

x > 3

için

g'(x) > 0

bulunur.

f'(t)

fonksiyonu, kolları yukarı doğru olan ve kökleri

-2

ile

3

olan bir parabol olduğundan

t > 3

için pozitif,

-2 < t < 3

için negatiftir. Buradan

x > 3

için

x^2-2x > 3 \Rightarrow f'(x^2-2x) > 0

ve

2(x-1) > 0

olup türev pozitiftir. Diğer aralıklar da benzer şekilde çarpanların işaretleri incelenerek doldurulur.

4

Türevin pozitif veya sıfır oldu��u aralıklar artan aralıklar olarak belirlenir.

g

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklar

[-1, 1]

ve

[3, \infty)

olarak tespit edilir.

Bir fonksiyon türevinin pozitif olduğu aralıklarda artandır. Seçeneklerde verilen aralıklardan

[-1, 1]

bu aralıklardan biridir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.

Question 2018Question →

a

ve

b

gerçel sayılar olmak üzere,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a\cos x + b} - 2}{x^2} = 1

eşitliği sağlanmaktad��r.

Buna göre, $b - a$ farkı kaçtır?

-20

-12

-4

12

20

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İstenen

b - a

farkının değeri

20

olarak bulunur.

Limit ifadesinde

0/0

belirsizliği kullanılarak

a + b = 4

bulunur. Payın eşleniği ile genişletilmesi ve

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}

limitinin uygulanmasıyla limit değeri

-\frac{a}{8}

olarak hesaplanır. Limit 1'e eşit olduğundan

a = -8

ve

b = 12

elde edilir. Bu değerlerle fark

12 - (-8) = 20

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paydanın sıfıra yaklaşması ve limitin bir gerçel sayı olması durumunu inceleme.

x \to 0

iken payda sıfıra gittiğinden, limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerekir. Buradan

\sqrt{a\cos(0) + b} - 2 = 0 \implies \sqrt{a + b} = 2 \implies a + b = 4

elde edilir.

Belirsizlik durumu (

0/0

) oluşmadığı sürece paydanın sıfır olduğu durumda limit bir gerçel sayı olamaz.

2

Köklü ifadedeki belirsizliği gidermek için payı eşleniği ile çarpıp bölme.

\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{a\cos x + b} - 2)(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a\cos x + b - 4}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)}

a + b = 4 \implies b - 4 = -a

eşitliği kullanılarak pay kısmı

a(\cos x - 1)

olarak yazılır.

Kareköklü limitlerde

0/0

belirsizliğini gidermek için eşlenik ile çarpma yöntemi uygulanır.

3

Trigonometrik limit özelliklerini kullanarak limit değerini hesaplama.

\lim_{x \to 0} \frac{a(\cos x - 1)}{x^2(\sqrt{a\cos x + b} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a\cos x + b} + 2}

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}

ve paydadaki köklü kısım

2 + 2 = 4

değerine gittiğinden limit:

-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} = -\frac{a}{8}

olarak bulunur.

Yarım açı formülleri veya temel limit kuralları ile belirsizlik çözülür.

4

Limit değerini 1'e eşitleyerek a ve b parametrelerini çözüp istenen farkı bulma.

-\frac{a}{8} = 1 \implies a = -8

bulunur. Buradan

a + b = 4 \implies -8 + b = 4 \implies b = 12

elde edilir. Sonuç olarak

b - a = 12 - (-8) = 20

bulunur.

Bulunan limit ifadesi verilen gerçek limit değerine eşitlenerek parametreler elde edilir.

Key Concept

0/0 belirsizliği durumlarında eşlenik çarpımı ve trigonometrik limit yardımıyla belirsizliğin giderilmesi.

Question 2019Question →

x \in [0, \pi]

olmak üzere,

\sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0

denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denkleminin

[0, \pi]

aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.

Verilen denklem yarım açı formülü yardımıyla çarpanlarına ayrıldığında kosinüsü sıfır veya sinüsü kök iki bölü iki olan değerler aranır.

[0, \pi]

aralğında bu şartları sağlayan üç farklı gerçel sayı değeri mevcuttur.

Step-by-Step Solution

1

Yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.

2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0

\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

yarım açı özdeşliğini denklemde yerine koyarak ortak çarpan parantezine alabilmek için.

2

Denklem ortak çarpan parantezine alınır.

\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{2}) = 0

Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanların ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi gerekir.

3

Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}

ve

\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}

veya

x = \frac{3\pi}{4}

[0, \pi]

aralığındaki kosinüsü sıfır ve sinüsü

\frac{\sqrt{2}}{2}

olan değerleri belirlemek için.

4

Köklerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir ve toplam kök sayısı bulunur.

x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere 3 farklı gerçel kök vardır.

Bulunan tüm köklerin verilen

[0, \pi]

aralığına ait ve birbirinden farklı olduğunu doğrulamak için.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2020Question →

\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

x^3 - 2x^2 + x + C

x^3 - 2x^2 + x

x^3 - 4x^2 + x

3x^3 - 2x^2 + x

x^3 - 2x^2 + C

Show answer & explanation

Answer: $x^3 - 2x^2 + x + C$

Answer

x^3 - 2x^2 + x + C

Verilen integral ifadesindeki terimler tek tek entegre edildiğinde

3x^2

terimi

x^3

ifadesine,

-4x

terimi

-2x^2

ifadesine ve

1

sabit terimi de

x

ifadesine dönüşür. Belirsiz integralin tanımı gereği sonucun sonuna mutlaka bir integral sabiti (

+C

) eklenmelidir. Bu işlemler sonucunda doğru ifade

x^3 - 2x^2 + x + C

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Belirsiz integralin terim terim ayrılabilme özelliğini uygulayın.

\int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 1 \, dx

Toplam ve fark durumundaki ifadelerin integrali, her bir terimin ayrı ayrı integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.

2

Her bir terim için polinom integral alma kuralını (üssü 1 artırıp yeni üsse bölme) uygulayın.

3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 1 \cdot x

n \neq -1

olmak üzere

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}

temel integral alma kuralıdır.

3

Katsayıları sadeleştirin ve ifadenin sonuna integral sabiti olan

C

'yi ekleyin.

x^3 - 2x^2 + x + C

Belirsiz integralde türevi sıfır olan sabit sayıları temsil etmesi amacıyla sonuca her zaman

C

sabit sayısı eklenir.

Key Concept

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution