All practice questions

1'den farklı

a

ve

b

pozitif tam sayıları için

\log_a b

bir tam sayıdır.

\log_2 a + \log_4 b = 5

\log_a 2 + \log_b 4 = \frac{5}{6}

olduğuna göre,

\log_a b

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Logaritma taban değiştirme kuralları ve değişken dönüşümü uygulandığında, verilen koşulları sağlayan tek durum

\log_a b = 3

değeridir.

Değişken dönüşümü yapılıp sistem çözüldüğünde elde edilen

a = 4

ve

b = 64

değerleri için

\log_4 64 = 3

tam sayı değerine ulaşılır. Diğer olası çözüm olan

a = 8

ve

b = 16

değerleri için

\log_8 16 = 4/3

tam sayı olmadığından elenir.

Step-by-Step Solution

1

\log_2 a = x

ve

\log_2 b = y

değişken dönüşümünü yapın ve birinci denklemi bu değişkenler cinsinden ifade edin.

x + \frac{1}{2}y = 5 \implies y = 10 - 2x

elde edilir.

Birinci denklemi basitleştirerek değişkenler arasında bir bağıntı kurmak için.

2

İkinci denklemdeki terimleri taban değiştirme özelliklerini kullanarak

x

ve

y

cinsinden yazın.

\log_a 2 = \frac{1}{x}

ve

\log_b 4 = \frac{2}{y}

olduğundan,

\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{5}{6}

elde edilir.

Tüm ifadeleri 2 tabanına indirgeyerek ortak bir denklem sistemi oluşturmak için.

3

y = 10 - 2x

ifadesini ikinci denklemde yerine koyun ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.

\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x} = \frac{5}{6} \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2

veya

x = 3

bulunur.

Bilinmeyen sayısını bire indirgeyerek denklemin köklerini bulmak için.

4

Bulunan

x

değerlerine karşılık gelen

y

değerlerini hesaplayın ve

\log_a b = \frac{y}{x}

oranının tam sayı olma koşulunu inceleyin.

x = 2

için

y = 6

ve

\log_a b = 3

(tam sayı) olur.

x = 3

için

y = 4

ve

\log_a b = \frac{4}{3}

(tam sayı değil) olur.

Soruda verilen tam sayı olma koşulunu sağlayan tek durumu belirlemek için.

Key Concept

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri

Question 2722Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_5 + a_9 + a_{13} = 36

ve

a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntıları vardır.

Bu dizinin ortak farkı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, dizinin birinci terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Dizinin birinci terimi (

a_1

) 4 olarak bulunur.

Verilen aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri kullanılarak

a_3 + a_{15} = 24

toplamına ulaşılır. Çarpımları 108 ve toplamları 24 olan sayılar 6 ve 18'dir. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır ve

a_3 = 6

,

a_{15} = 18

olmalıdır. Buradan ortak fark

r = 1

ve birinci terim

a_1 = 4

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin indis özelliklerini kullanarak

a_9

ve

a_3 + a_{15}

değerlerini bulunuz.

a_9 = 12

ve

a_3 + a_{15} = 24

Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Buradan

a_5 + a_{13} = 2a_9

yazılabilir. Soru kökündeki ilk bağıntıdan

a_5 + a_9 + a_{13} = 3a_9 = 36 \implies a_9 = 12

olur. Benzer şekilde

a_3 + a_{15} = 2a_9 = 24

elde edilir.

2

a_3

ve

a_{15}

terimlerinin toplam ve çarpım değerlerinden faydalanarak bu terimleri bulunuz.

a_3 = 6

ve

a_{15} = 18

a_3 + a_{15} = 24

ve

a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntılar��nı sağlayan sayılar

x^2 - 24x + 108 = 0

denkleminin kökleridir. Bu denklem çarpanlarına

(x-6)(x-18) = 0

olarak ayrılır. Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizi artan olacağından, küçük indisli terim daha küçük olmalıdır. Dolayısıyla

a_3 = 6

ve

a_{15} = 18

olur.

3

Dizinin ortak farkını (

r

) ve birinci terimini (

a_1

) hesaplayınız.

r = 1

ve

a_1 = 4

Terimler arasındaki farktan ortak fark

a_{15} - a_3 = 12r \implies 18 - 6 = 12r \implies r = 1

olarak bulunur. Birinci terim ise

a_3 = a_1 + 2r \implies 6 = a_1 + 2(1) \implies a_1 = 4

şeklinde hesaplanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis kuralları, genel terim formülü ve ortak fark özellikleri

Question 2723Question →

Bir şirketin yeni tasarladığı amblem, yan yana dizilmiş 5 kareden oluşmaktadır. Bu amblem; mavi, yeşil, sarı ve kırmızı renklerinden biriyle, aşağıdaki kurallara göre boyanacaktır:

* Her bir kare yalnızca bir renge boyanacaktır.
* Yan yana olan (ardışık) herhangi iki kare farklı renkte olacaktır.
* Amblemin en solundaki kare ile en sağındaki kare aynı renkte olacaktır.

Buna göre, bu amblem kaç farklı şekilde boyanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 84

Answer

Amblem toplam 84 farklı şekilde boyanabilir.

Amblem boyama işlemi iki ayrı duruma ayrılarak incelenir. İlk durumda ikinci ve dördüncü karelerin aynı renkte olduğu varsayılır ve çarpım kuralıyla 36 durum bulunur. İkinci durumda ise bu iki karenin farklı renklerde olduğu varsayılarak 48 durum elde edilir. Bu iki durum bağımsız ve ayrık olduğundan, toplama yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplamda 84 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Karelerin adlandırılması ve durumların belirlenmesi

Kareler soldan sağa

1, 2, 3, 4, 5

olarak adlandırılır.

1.

ve

5.

karelerin renkleri aynı olmalıdır (

c_1 = c_5

). Hesaplama,

2.

ve

4.

karelerin aynı renkte veya farklı renklerde olması durumlarına göre ikiye ayrılır.

Birbiriyle komşu olan karelerin renk seçimlerinin bağımlılığını yönetmek için durum analizi yapılmalıdır.

2

2.

ve

4.

karelerin aynı renkte olduğu durumun hesaplanması

4 \times 3 \times 1 \times 3 = 36

farklı durum.

1.

kare için

4

renk,

2.

kare için

3

renk seçilebilir.

4.

kare

2.

kare ile aynı olacağından

1

seçeneği vardır.

3.

kare ise

2.

kareden farklı olmalıdır (

3

seçenek).

3

2.

ve

4.

karelerin farklı renklerde olduğu durumun hesaplanması

4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48

farklı durum.

1.

kare için

4

,

2.

kare için

3

renk seçilebilir.

4.

kare hem

5.

(yani

1.

) kareden hem de

2.

kareden farklı olacağından

2

seçeneğe sahiptir.

3.

kare ise hem

2.

hem de

4.

kareden farklı olacağından

2

seçeneğe sahiptir.

4

Durumların toplanması

36 + 48 = 84

farklı boyama.

İki durum birbirini dışlayan ayrık olaylar olduğundan, toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Key Concept

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri

Question 2724Question →

Tabanı kare, ��stü açık ve hacmi $48\text{ m}^3$ olan kare dik prizma biçimindeki bir su deposu inşa edilecektir. Bu deponun tabanını kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı $15\text{ TL}$ , yan yüzeylerini kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı ise $10\text{ TL}$ 'dir. Buna göre, bu deponun kaplama maliyeti en az kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 720

Answer

Deponun kaplama maliyeti en az 720 TL'dir.

Maliyet fonksiyonu

M(x) = 15x^2 + \frac{1920}{x}

olarak elde edildikten sonra türevi alınarak sıfıra eşitlendiğinde elde edilen

x = 4

değeri maliyeti minimum yapar. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük maliyet

720\text{ TL}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Taban kenar uzunluğunu

x

ve yüksekliği

h

olarak tanımlayıp hacim formülünü oluşturun.

V = x^2 \cdot h = 48 \implies h = \frac{48}{x^2}

Deponun hacmi

48\text{ m}^3

olarak verilmiştir ve prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin ��arpımına eşittir.

2

Taban ve yan yüzeylerin alanlarını bulup birim fiyatlarla çarparak toplam maliyet fonksiyonunu

x

cinsinden yazın.

M(x) = 15 \cdot x^2 + 10 \cdot (4xh) = 15x^2 + 40x \left(\frac{48}{x^2}\right) = 15x^2 + \frac{1920}{x}

Taban alanı

x^2

olup metrekare maliyeti

15\text{ TL}

'dir. Üstü açık olduğu için sadece 4 adet yan yüzey (

xh

) kaplanacaktır ve yan yüzeylerin metrekare maliyeti

10\text{ TL}

'dir.

3

Maliyet fonksiyonunun türevini alın.

M'(x) = 30x - \frac{1920}{x^2}

Maliyeti minimum yapan noktayı bulmak için fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.

4

Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.

30x - \frac{1920}{x^2} = 0 \implies 30x^3 = 1920 \implies x^3 = 64 \implies x = 4

Maliyetin minimum değeri, türevin sıfır olduğu yerel ekstremum noktasında gerçekleşir.

5

Bulunan

x = 4

değerini maliyet fonksiyonunda yerine yazarak minimum maliyeti hesaplayın.

M(4) = 15(4)^2 + \frac{1920}{4} = 240 + 480 = 720

x = 4

değeri için maliyet fonksiyonunun aldığı değer en küçük maliyeti verir.

Key Concept

Maksimum ve minimum problemlerinde, kısıt denklemi yardımıyla hedef fonksiyon tek değişkene indirgenir ve türevi alınarak ekstremum noktası bulunur.

Question 2725Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı tüm bire bir ve örten $f: A \rightarrow A$ fonksiyonları arasından rastgele bir $f$ fonksiyonu seçiliyor.

Seçilen bu fonksiyonun, her $x \in A$ için
$(f \circ f)(x) = x$
koşulunu sağlama olasılığı en sade biçimde $\frac{a}{b}$ kesri ile ifade ediliyor.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 73

Answer

En sade haldeki olasılık değerinin pay ve paydasının toplamı olan 73 sayısıdır.

Bire bir ve örten bir fonksiyonun kendi tersine eşit olması için elemanlarının ya kendilerine gitmesi ya da ikişerli yer değiştirmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durumların sayısı

1 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 26

adettir. Tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı

5! = 120

olduğundan olasılık

\frac{26}{120} = \frac{13}{60}

olarak elde edilir. En sade biçimdeki pay ve paydanın toplamı ise

13 + 60 = 73

olur.

Step-by-Step Solution

1

Örnek uzayın eleman sayısını hesaplama

s(E) = 120

A

kümesinden

A

kümesine tanımlanabilecek tüm bire bir ve örten fonksiyonların sayısı

5!

ile hesaplanır.

2

İstenen durumları sağlayan fonksiyon sayısını belirleme

26 farklı fonksiyon

(f \circ f)(x) = x

koşulu, fonksiyonun kendi tersine eşit olması anlamına gelir. Bu durum elemanların ya kendileriyle eşleşmesini ya da ikili gruplar halinde karşılıklı eşleşmesini gerektirir. 5 elemanlı bir kümede bu durumların sayısı

1 + \binom{5}{2} + \binom{5}{1} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2!} = 1 + 10 + 15 = 26

olarak bulunur.

3

Olasılığı hesaplama ve sadeleştirme

Olasılık =

\frac{13}{60}

İstenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı

\frac{26}{120} = \frac{13}{60}

olarak elde edilir.

4

Pay ve payda toplamını bulma

73

a = 13

ve

b = 60

değerleri toplanarak istenen sonuç olan

13 + 60 = 73

elde edilir.

Key Concept

Bire bir ve örten fonksiyonların döngü yapıları kullanılarak permütasyon ve kombinasyon yardımıyla basit olayların olasılığının hesaplanması.

Question 2726Question →

Yatay ve sürtünmeli bir zemin üzerinde durmakta olan $2\text{ kg}$ kütleli bir kutuya, yatay doğrultuda uygulanan kuvvetin zamana bağlı fonksiyonu $F(t) = 2t$ (Newton) olarak tanımlanmıştır. Kutu ile zemin arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s = 0,5$ ve kinetik sürtünme katsayısı $\mu_k = 0,4$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, kutunun hareketi süresince gerçekleşen olaylarla ilgili;

I. $t = 4\text{ s}$ anında kutuya etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü $10\text{ N}$ 'dur.
II. $t = 6\text{ s}$ anında kutunun ivmesinin büyüklüğü $2\text{ m/s}^2$ 'dir.
III. Kutunun ağırlığı ile zeminin kutuya uyguladığı dik (normal) tepki kuvveti, Newton'ın üçüncü yasasına göre bir etki-tepki kuvvet çiftidir.

ifadelerinden hangileri doğrudur? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

Yalnız II

Kutu beşinci saniyede harekete geçmektedir. Altıncı saniyede hareket halinde olduğundan kinetik sürtünme kuvveti (

8\text{ N}

) etki eder ve net kuvvet

4\text{ N}

olur, bu da kutuya iki metre bölü saniye karelik bir ivme kazandırır. Dördüncü saniyede kutu henüz durgun olduğundan sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete (

8\text{ N}

) eşittir. Ağırlık ve normal kuvvet ise aynı cisme uygulandığı için etki-tepki çifti değildir. Dolayısıyla yalnızca ikinci ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Kutuya etki eden maksimum statik sürtünme kuvvetini ve kinetik sürtünme kuvvetini hesaplayalım.

f_{s,\max} = \mu_s \cdot N = 0,5 \cdot (2 \cdot 10) = 10\text{ N}

ve

f_k = \mu_k \cdot N = 0,4 \cdot (2 \cdot 10) = 8\text{ N}

olarak bulunur.

Kutunun harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için maksimum statik sürtünme kuvveti eşiğini bilmemiz gerekir.

2

Dördüncü saniye anı için uygulanan kuvveti hesaplayıp sürtünme kuvvetini belirleyelim.

F(4) = 2 \cdot 4 = 8\text{ N}

'dur.

F(4) < f_{s,\max}

(yani

8\text{ N} < 10\text{ N}

) olduğundan kutu hareket etmez ve statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşit olup

8\text{ N}

büyüklüğündedir.

Statik sürtünme kuvveti, cisim harekete geçene kadar uygulanan kuvvete eşit büyüklükte ve zıt yöndedir. Maksimum değerine ulaşmak zorunda değildir.

3

Altıncı saniye anı için uygulanan kuvveti ve kutunun ivmesini hesaplayalım.

F(6) = 2 \cdot 6 = 12\text{ N}

'dur.

F(6) > f_{s,\max}

(

12\text{ N} > 10\text{ N}

) olduğundan kutu beşinci saniyede harekete geçmiştir ve hareket halindedir. Bu durumda kinetik sürtünme kuvveti (

f_k = 8\text{ N}

) etki eder. Net kuvvet:

F_{\text{net}} = F(6) - f_k = 12 - 8 = 4\text{ N}

olur. İvme ise

a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4}{2} = 2\text{ m/s}^2

olarak hesaplanır.

Hareket halindeki cisimlere kinetik sürtünme kuvveti etki eder ve ivme Newton'ın İkinci Yasası ile bulunur.

4

Ağırlık ve normal kuvvet arasındaki etki-tepki ilişkisini değerlendirelim.

Kutunun ağırlığı Yer'in kutuya uyguladığı kütle çekim kuvvetidir. Zeminin dik kuvveti ise temas yüzeylerinin birbirine uyguladığı kuvvettir. Dolayısıyla bu iki kuvvet farklı etkileşimlerin sonucudur ve aynı cisme etki ettikleri için etki-tepki çifti olamazlar.

Newton'ın Üçüncü Yasası uyarınca etki-tepki kuvvet çiftleri her zaman farklı cisimler üzerinde yer almalıdır.

Key Concept

Statik ve kinetik sürtünme kuvvetlerinin davranış farkı ile Newton'ın etki-tepki yasasının kavramsal analizi.

Estimated Time:2m 30s

Question 2727Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{4} f(2x+1) \, dx = 12

\int_{2}^{3} f(3x-3) \, dx = 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{6}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

7

9

17

19

39

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9

Doğru cevap olan 9 değeri, her iki integralde de değişken değiştirme yapılarak integral sınırlarının ve diferansiyel ifadelerinin doğru şekilde güncellenmesi ve ardından belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak aralarındaki farkın alınması ile elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

\int_{3}^{9} f(u) \, du = 24

u = 2x+1

dönüşümü yapıldığında

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar için

x=1 \implies u=3

ve

x=4 \implies u=9

elde edilir. Buradan

\int_{3}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 12 \implies \int_{3}^{9} f(u) \, du = 24

bulunur.

2

İkinci integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

\int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15

v = 3x-3

dönüşümü yapıldığında

dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3}

olur. Sınırlar için

x=2 \implies v=3

ve

x=3 \implies v=6

elde edilir. Buradan

\int_{3}^{6} f(v) \cdot \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15

bulunur.

3

Belirli integralin sınırları parçalama özelliği kullanılarak hedef integral hesaplanır.

\int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9

\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{3}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{9} f(x) \, dx

yazılabilir. Bulunan değerler yerine yazıldığında

24 = 15 + \int_{6}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9

elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanması.

Question 2728Question →

Aynı yatay düzlemde sabit hızlarla hareket etmekte olan $K$ , $L$ ve $M$ araçlarının yere göre hız vektörleri sırasıyla $\vec{v}_K$ (doğu yönünde $v$ ), $\vec{v}_L$ (kuzey yönünde $v$ ) ve $\vec{v}_M$ (batı yönünde $v$ ) olarak verilmiştir. Buna göre, araçlardaki gözlemcilerin diğer araçları hangi bağıl hız vektörü ile gördüklerini belirten sol taraftaki durumları, sağ taraftaki doğru bağıl hız büyüklüğü ve yönleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

K aracındaki gözlemciye göre L aracının bağıl hızı kuzeybatı yönünde

v\sqrt{2}

; L aracındaki gözlemciye göre M aracının bağıl hızı güneybatı yönünde

v\sqrt{2}

; M aracındaki gözlemciye göre K aracının bağıl hızı ise doğu yönünde

2v

büyüklüğündedir.

Bağıl hız bağıntısı olan

\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci}

kullanılarak her bir durum için hız farkı vektörleri yön ve büyüklük olarak doğru bir şekilde hesaplanmış ve eşleştirilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Araçların yere göre hız vektörlerini kartezyen koordinat sisteminde birim vektörler cinsinden tanımlayalım.

Doğu yönü

+\hat{i}

, kuzey yönü

+\hat{j}

kabul edilirse;

\vec{v}_K = v\hat{i}

,

\vec{v}_L = v\hat{j}

ve

\vec{v}_M = -v\hat{i}

olur.

Vektörel çıkarma işlemlerini analitik olarak kolayca yapabilmek için.

2

K aracındaki gözlemcinin L'yi görme hızını bulmak için

\vec{v}_{LK} = \vec{v}_L - \vec{v}_K

işlemini uygulayalım.

\vec{v}_{LK} = v\hat{j} - v\hat{i} = -v\hat{i} + v\hat{j}

olur. Bu vektörün büyüklüğü

v\sqrt{2}

ve yönü kuzeybatıdır.

K aracı gözlemci konumundadır ve gözlemcinin hız vektörü gözlenenden çıkarılır.

3

L aracındaki gözlemcinin M'yi görme hızını bulmak için

\vec{v}_{ML} = \vec{v}_M - \vec{v}_L

işlemini uygulayalım.

\vec{v}_{ML} = -v\hat{i} - v\hat{j}

olur. Bu vektörün büyüklüğü

v\sqrt{2}

ve yönü güneybatıdır.

L aracı gözlemci konumundadır ve gözlemcinin hız vektörü gözlenenden çıkarılır.

4

M aracındaki gözlemcinin K'yi görme hızını bulmak için

\vec{v}_{KM} = \vec{v}_K - \vec{v}_M

işlemini uygulayalım.

\vec{v}_{KM} = v\hat{i} - (-v\hat{i}) = 2v\hat{i}

olur. Bu vektörün büyüklüğü

2v

ve yönü doğudur.

M aracı gözlemci konumundadır ve gözlemcinin hız vektörü gözlenenden çıkarılır.

Key Concept

Bağıl hız, gözlenen cismin hız vektöründen gözlemcinin hız vektörünün çıkarılmasıyla elde edilir (\vec{v}_{bağıl} = \vec{v}_{gözlenen} - \vec{v}_{gözlemci}).

Estimated Time:2m 0s

Question 2729Question →

\int_{1}^{2} \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{10}

\frac{6}{5}

\frac{3}{5}

1

\frac{7}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{5}$

Answer

İntegralin değeri

\frac{3}{5}

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan değer,

u = x^2 + 1

dönüşümü ve güncellenmiş

[2, 5]

sınırları ile integrasyon kuralları hatasız uygulandığında elde edilen

\frac{3}{5}

ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken dönüşümü belirleme ve diferansiyel alma

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

2 \, du = 4x \, dx

olur.

İntegral içindeki ifadenin daha kolay entegre edilebilir bir forma dönüştürülmesi için bu dönüşüm gereklidir.

2

Belirli integral sınırlarını güncelleme

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2

olur. Üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Değişken değiştirildiğinde, belirli integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.

3

Yeni integrali oluşturma ve hesaplama

İntegral

\int_{2}^{5} \frac{2}{u^2} \, du

halini alır. Bu integralin ters türevi

\left[ -\frac{2}{u} \right]_{2}^{5}

şeklindedir. Sınırlar yerine yazıldığında:

-\frac{2}{5} - (-\frac{2}{2}) = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}

elde edilir.

Belirli integralin değerini bulmak için elde edilen yeni integral sınırları kullanılarak fonksiyonun ters türevi hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2730Question →

Ayrıt uzunlukları 2 birim olan bir küp, yüzeylerine paralel düzlemlerle kesilerek 8 adet birim küpe ayrılıyor. Elde edilen bu birim küplerden rastgele seçilen iki farklı birim küpün ortak bir yüze sahip olması olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ olduğuna göre, $a+b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Seçilen iki birim küpün ortak bir yüze sahip olma olasılığı en sade haliyle 3/7 olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+b değeri 10'dur.

Toplam 8 birim küpten seçilebilecek tüm ikililerin sayısı 28'dir. Ortak bir yüze sahip olan küp ikililerinin sayısı ise her bir ayrıt doğrultusunda 4'er tane olmak üzere toplam 12'dir. Olasılık 12/28 = 3/7 olup en sade haliyle pay ve payda toplamı 10 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam küp sayısını ve bu küplerden rastgele seçilebilecek 2 farklı küpten oluşan ikililerin toplam sayısını bulun.

8 birim küpten 2 farklı küp seçmenin toplam sayısı

\binom{8}{2} = 28

'dir.

Bu sayı, olasılık hesabındaki örnek uzayımızın eleman sayısıdır.

2

Seçilen iki birim küpün ortak bir yüze sahip (yan yana bitişik) olduğu durumların sayısını bulun.

Küpün üç doğrultusunun (x, y ve z eksenleri) her birinde 4'er adet bitişik çift olmak üzere toplam

4 + 4 + 4 = 12

durum vardır.

Ortak bir yüze sahip olmak için iki birim küpün aralarında bir yüz paylaşacak şekilde bitişik konumda olması gerekir.

3

İstenen olayın olasılığını hesaplayın ve en sade kesir biçiminde yazın.

P(A) = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}

elde edilir.

Olasılık, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle bulunur.

4

Kesrin payı (

a

) ve paydasını (

b

) belirleyip bunları toplayın.

a = 3

,

b = 7

ve buradan

a + b = 10

olur.

Olasılık

\frac{a}{b}

formunda en sade biçimde ifade edildiği için pay ve payda doğrudan toplanır.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Kombinasyon ile Sayma

Question 2731Question →

Sürtünmeli yatay bir konveyör bandı üzerinde, banda göre durgun halde bulunan $m$ kütleli bir kutu yer almaktadır. Kutu ile bant arasındaki statik sürtünme katsayısı $\mu_s$ , kinetik sürtünme katsayısı ise $\mu_k$ olup bu katsayılar arasında $\mu_s > \mu_k$ ilişkisi vardır.

Konveyör bandı sağa doğru sabit $a$ ivmesiyle hızlanmaya başladığında, kutunun bant üzerinde geriye doğru kaydığı (banda göre sola doğru hareket ettiği) gözlemleniyor.

Buna göre, kutunun bu hareketi süresince;

I. Kutuya etki eden net kuvvet kinetik sürtünme kuvvetidir ve yönü sağa doğrudur.
II. Kutunun banda uyguladığı sürtünme kuvveti ile bandın kutuya uyguladığı sürtünme kuvveti bir etki-tepki çiftidir.
III. Bandın ivmesi $a$ artırıl��rsa, kutunun hızlanma süresince cisme etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü de artar.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Kutunun bant üzerinde kayması, aralarında kinetik sürtünme kuvvetinin oluştuğunu gösterir. Kutu banda göre sola kaydığı için cisme etki eden kinetik sürtünme kuvveti (yani net kuvvet) sağa doğrudur. Kutunun banda, bandın kutuya uyguladığı sürtünme kuvvetleri farklı cisimlere uygulandığından etki-tepki çiftidir. Kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklüğü bandın ivmesine bağlı olmadığından değişmez. Bu durum I ve II ifadelerini doğru kılar.

Step-by-Step Solution

1

Kutunun bant üzerindeki hareket durumunu ve sürtünme türünü belirlemek.

Kutunun bant üzerinde geriye doğru kaydığı belirtildiği için kutu ile bant arasında bağıl hareket mevcuttur. Bu nedenle kutuya etki eden sürtünme kuvveti kinetik sürtünme kuvvetidir.

Yüzeyler arasında bağıl kayma hareketi başladığında statik sürtünme yerine kinetik sürtünme kuvveti etki eder.

2

Kutuya etki eden net kuvvetin yönünü analiz etmek.

Kinetik sürtünme kuvveti, kutunun banda göre olan bağıl hareketine zıt yöndedir. Kutu banda göre sola doğru kaydığı için, bandın kutuya uyguladığı kinetik sürtünme kuvveti sağa doğrudur. Yatay düzlemde kutuya etki eden tek kuvvet bu sürtünme kuvveti olduğundan, net kuvvet kinetik sürtünmedir ve yönü sağa doğrudur. Bu nedenle I. öncül doğrudur.

Kinetik sürtünme her zaman temas eden yüzeylerin birbirine göre bağıl hareketini engelleyecek yönde etki eder.

3

Etki-tepki kuvvet çiftini analiz etmek.

Newton'ın üçüncü yasasına göre, bandın kutuya uyguladığı sürtünme kuvveti ile kutunun banda uyguladığı sürtünme kuvveti büyüklükçe eşit, zıt yönlüdür ve farklı cisimler (kutu ve bant) üzerine etki eder. Dolayısıyla bu iki kuvvet bir etki-tepki çiftidir. Bu nedenle II. öncül doğrudur.

Etki-tepki kuvvet çiftleri her zaman farklı iki cisim üzerinde ortaya çıkar ve birbirini sönümlemez.

4

Bandın ivmesi artırıldığında sürtünme kuvvetinin büyüklüğündeki değişimi incelemek.

Kutu kayma hareketi yaptığı için cisme etki eden sürtünme kuvveti kinetik sürtünme kuvvetidir ve büyüklüğü

f_k = \mu_k \cdot m \cdot g

formülüyle hesaplanır. Bu değer bandın ivmesinden bağımsızdır. Dolayısıyla ivmenin artırılması sürtünme kuvvetini değiştirmez. Bu nedenle III. öncül yanlıştır.

Kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklüğü, temas eden yüzeylerin ivmesinden veya bağıl hız büyüklüğünden etkilenmez.

Key Concept

Newton'ın Üçüncü Yasası (Etki-Tepki) ve Kinetik Sürtünme Kuvvetinin Özellikleri

Question 2732Question →

Bir kütüphaneci; 3 özdeş Matematik, 3 özdeş Fizik ve 2 özdeş Kimya kitabını bir rafa yan yana dizecektir. Bu dizilimde Fizik kitaplarının herhangi ikisinin yan yana gelmediği ve Kimya kitaplarının da yan yana gelmediği bilindiğine göre, bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

120

160

200

240

320

Show answer & explanation

Answer: 160

Answer

Kitapların istenen koşullara uygun olarak dizilebileceği farklı durumların sayısı 160'tır.

Fizik kitaplarının herhangi ikisinin yan yana gelmediği tüm durumlar (200 adet), Matematik ve Kimya kitaplarının dizilip aralarındaki boşluklara Fizik kitaplarının yerleştirilmesiyle bulunur. Bu durumlardan, Kimya kitaplarının yan yana geldiği durumlar (40 adet) çıkarıldığında hem Fizik hem de Kimya kitaplarının yan yana gelmediği 160 farklı durum elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Fizik kitaplarının yan yana gelmeme durumunu incelemek için öncelikle Matematik ve Kimya kitaplarının yerleşimini hesaplayın.

Toplam 5 kitap (3 Matematik, 2 Kimya) vardır. Bu kitaplar ��zdeş olduğundan kendi aralarındaki tekrarlı permütasyon sayısı

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

olur.

Fizik kitaplarının yan yana gelmemesi için diğer kitapların oluşturduğu boşluklara yerleştirilmesi gerekir.

2

Matematik ve Kimya kitaplarının oluşturduğu boşluklara Fizik kitaplarını yerleştirerek Fizik kitaplarının yan yana gelmediği tüm durumları bulun.

5 kitabın oluşturduğu 6 boşluğa 3 özdeş Fizik kitabı

\binom{6}{3} = 20

farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumda toplam dizilim sayısı

10 \times 20 = 200

olur.

Her boşluğa en fazla bir Fizik kitabı yerleştirildiğinde hiçbir Fizik kitabı yan yana gelmemiş olur.

3

Kimya kitaplarının yan yana geldiği (istenmeyen) durumların sayısını hesaplamak için Kimya kitaplarını bir blok olarak kabul edin.

İki özdeş Kimya kitabı yan yana olacağından tek bir blok

[KK]

olarak düşünülür. Bu durumda elimizde 3 özdeş Matematik kitabı ve 1 adet

[KK]

bloğu olmak üzere 4 nesne vardır. Bu nesnelerin kendi arasındaki tekrarlı permütasyon sayısı

\frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4

olur.

Birlikte olması gereken nesneler tek bir eleman gibi düşünülerek yerleştirilir.

4

Bu 4 nesnenin oluşturduğu boşluklara Fizik kitaplarını yerleştirerek Kimya kitaplarının yan yana, Fizik kitaplarının ise ayrı olduğu durumları bulun.

4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluğa 3 özdeş Fizik kitabı

\binom{5}{3} = 10

farklı şekilde yerleştirilebilir. Bu durumların sayısı

4 \times 10 = 40

olur.

Fizik kitaplarının yine yan yana gelmemesini sağlarken Kimya kitaplarının yan yana olduğu durumları belirlemek gerekir.

5

Fizik kitaplarının yan yana gelmediği tüm durumlardan, Kimya kitaplarının yan yana olduğu durumları çıkararak nihai sonucu bulun.

200 - 40 = 160

farklı dizilim elde edilir.

Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıyla hedeflenen koşula ulaşılır.

Key Concept

Koşullu tekrarlı permütasyon problemlerinde istenen durumların sayısını bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumların (bloklama yöntemiyle) çıkarılması ve boşluklara yerleştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.

Estimated Time:2m 30s

Question 2733Question →

Dik koordinat düzleminde, $y = |x^2 - 2x|$ eğrisi ile $y = x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

\frac{13}{6}

\frac{9}{2}

\frac{7}{2}

2

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{13}{6}$

Answer

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 13/6 birimkaredir.

Verilen iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktaları

x = 0

,

x = 1

ve

x = 3

olarak bulunur. Sınırlı alanlar

[0, 1]

ve

[1, 3]

aralıklarında oluşur.

[0, 1]

aralığında eğri doğrunun üzerinde kaldığı için

\int_0^1 (2x-x^2 - x) dx = 1/6

olur.

[1, 3]

aralığında ise doğru eğrinin üzerinde kalır ve bu integral

x=2

noktasında parçalanarak hesaplandığında 2 birimkare bulunur. İkisinin toplamı 13/6 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1

Eğri ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulmak için

|x^2 - 2x| = x

denklemini çözelim.

x \ge 2

veya

x \le 0

için

x^2 - 2x = x \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0

veya

x = 3

.

0 < x < 2

için

-(x^2 - 2x) = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1

. Böylece kesim noktaları

x = 0

,

x = 1

ve

x = 3

olarak bulunur.

Sınırlı bölgelerin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla kesim noktalarını bulmamız gerekir.

2

Bölgelerin alan formüllerini integral cinsinden yazalım.

[0, 1]

aralığında eğri doğrunun üzerinde olduğundan alan

S_1 = \int_{0}^{1} (|x^2 - 2x| - x) \, dx

olur.

[1, 3]

aralığında ise doğru eğrinin üzerinde olduğundan alan

S_2 = \int_{1}^{3} (x - |x^2 - 2x|) \, dx

olur.

Alan hesaplanırken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.

3

[0, 1]

aralığındaki

S_1

alanını hesaplayalım.

[0, 1]

aralığında

x^2 - 2x \le 0

olduğundan

|x^2 - 2x| = 2x - x^2

olur.

S_1 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

birimkaredir.

Belirli integral alma kuralları uygulanarak ilk bölgenin alanı bulunur.

4

[1, 3]

aralığındaki

S_2

alanını hesaplayalım.

x = 2

noktası mutlak değerin kritik noktası olduğundan integrali bu noktadan parçalayalım.

S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \, dx + \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_2^3 = \left( \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) \right) + \left( \frac{9}{2} - \frac{10}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2

birimkaredir.

İntegralin sınırları içindeki mutlak değer ifadesinin işareti kritik noktaya göre değiştiğinden parçalı entegrasyon uygulanır.

5

Toplam alanı hesaplayalım.

S_1 + S_2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6}

birimkare elde edilir.

İki ayrı sınırlı bölgenin alanlarının toplamı istenen sonucu verir.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması ve mutlak değerli integrallerde kritik noktalara göre parçalama yapılması.

Estimated Time:2m 30s

Question 2734Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = -x^2 + 4x + c$ fonksiyonunun grafiği olan parabol y-eksenini $A$ noktasında, x-eksenini ise farklı $B$ ve $C$ noktalarında kesmektedir. $A$ noktasının $B$ ve $C$ noktalarına olan uzaklıklarının kareleri toplamı $40$ birim olduğuna göre, $c$ kaçtır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

c sayısının değeri 3'tür.

Doğru olan seçenekteki değer (

3

), parabolün y-eksenini kestiği noktanın

A(0, c)

koordinatlarını ve x-eksenini kestiği noktaların kök-katsayı ilişkilerini (

x_1 + x_2 = 4

ve

x_1 x_2 = -c

) kullanarak

|AB|^2 + |AC|^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2c^2 = 40

eşitliğini sağlar. Buradan elde edilen

c^2 + c - 12 = 0

denkleminin kökleri

3

ve

-4

olup, parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesebilmesi için diskriminantın sıfırdan büyük olması (

c > -4

) gerektiğinden

c = 3

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

y-eksenini kesim noktasını bulun.

Parabolün y-eksenini kestiği nokta

A(0, c)

olarak bulunur.

y-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfırdır, dolayısıyla

x = 0

için

f(0) = c

olur.

2

x-eksenini kesim noktaları için kök-katsayı ilişkilerini yazın.

x_1 + x_2 = 4

ve

x_1 x_2 = -c

elde edilir.

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar

B(x_1, 0)

ve

C(x_2, 0)

ise,

x_1

ve

x_2

değerleri

-x^2 + 4x + c = 0

denkleminin kökleridir.

3

İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle uzaklıkların karelerini ifade edin.

|AB|^2 = x_1^2 + c^2

ve

|AC|^2 = x_2^2 + c^2

olur.

A(0, c)

noktasının

B(x_1, 0)

ve

C(x_2, 0)

noktalarına olan uzaklıklarının kareleri Pythagoras teoremi ile hesaplanır.

4

Verilen toplamı kökler cinsinden yazıp

c

değerine bağlı ikinci dereceden denklemi elde edin.

2c^2 + 2c - 24 = 0 \implies c^2 + c - 12 = 0

denklemi bulunur.

|AB|^2 + |AC|^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2c^2 = 40

eşitliğinde

x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 16 + 2c

özdeşliği yerine yazılır.

5

Elde edilen denklemi çözüp farklı iki kesim noktası şartını kontrol edin.

c = 3

olarak bulunur.

c^2 + c - 12 = 0 \implies (c+4)(c-3) = 0

denkleminin kökleri

3

ve

-4

'tür. Parabolün x-eksenini farklı iki noktada kesmesi için diskriminant

\Delta = 16 + 4c > 0 \implies c > -4

olmalıdır. Dolayısıyla

c = 3

seçilir.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkileri

Alternative Method

Alternatif olarak, parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = 2

olduğundan parabol

x = 2

simetri eksenine göre simetriktir. Kökler simetri eksenine eşit uzaklıkta olduğundan

x_1 = 2 - k

ve

x_2 = 2 + k

(

k > 0

) olarak yazılabilir. Bu durumda

x_1^2 + x_2^2 = (2-k)^2 + (2+k)^2 = 8 + 2k^2

olur. Diğer yandan kökler çarpımı

x_1 x_2 = 4 - k^2 = -c \implies k^2 = c + 4

elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında

x_1^2 + x_2^2 = 8 + 2(c+4) = 2c + 16

bulunur. Buradan da

|AB|^2 + |AC|^2 = 2c + 16 + 2c^2 = 40 \implies c^2 + c - 12 = 0

denklemine ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2735Question →

Bir hastanede çalışan uzman doktorların uzmanlık alanları (Dahiliye veya Cerrahi) ve yabancı dil bilgileri (İngilizce bilen veya bilmeyen) ile ilgili dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İngilizce Bilen	İngilizce Bilmeyen
Dahiliye Uzmanı	$2x$	$x + 4$
Cerrahi Uzmanı	$x$	$2x - 2$

Bu hastaneden rastgele seçilen bir doktorun Dahiliye uzmanı olduğu bilindiğine göre, bu doktorun İngilizce bilen biri olma olasılığı $\frac{3}{5}$ 'tir.

Buna göre, bu hastaneden rastgele seçilen bir doktorun İngilizce bilmediği bilindiğine göre, Cerrahi uzmanı olma olasılığı kaçtır?

\frac{11}{37}

\frac{8}{19}

\frac{11}{19}

\frac{1}{3}

\frac{11}{17}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{11}{19}$

Answer

İngilizce bilmediği bilinen bir doktorun Cerrahi uzmanı olma olasılığı 11/19'dur.

Seçilen doktorun İngilizce bilmediği bilindiği için örnek uzay sadece İngilizce bilmeyen doktorlarla sınırlandırılır. Tabloda x = 12 değeri yerine konduğunda İngilizce bilmeyen toplam doktor sayısı 38'dir. Bu doktorlar arasından Cerrahi uzmanı olanların sayısı 22 olduğundan, aranan olasılık 22/38 yani sadeleştirilmiş haliyle 11/19 olur.

Step-by-Step Solution

1

Dahiliye uzmanı olduğu bilinen bir doktorun İngilizce bilme olasılığını veren denklemi kurmak.

Dahiliye uzmanı olan toplam doktor sayısı

2x + (x + 4) = 3x + 4

kişidir. Bu doktorlar arasından İngilizce bilenlerin sayısı

2x

olduğundan, koşullu olasılık değeri

\frac{2x}{3x+4}

olur.

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşulu sağlayan alt kümeye (Dahiliye uzmanları) indirgenir.

2

Verilen olasılık değerini kullanarak x bilinmeyenini çözmek.

\frac{2x}{3x+4} = \frac{3}{5} \implies 10x = 9x + 12 \implies x = 12

bulunur.

Tablodaki tüm doktor gruplarının sayısal değerlerini bulmak için denklem çözülmelidir.

3

Bulunan x = 12 değerini tabloda yerine yazarak doktor sayılarını belirlemek.

İngilizce bilen Dahiliye uzmanı:

2(12) = 24

İngilizce bilmeyen Dahiliye uzmanı:

12 + 4 = 16

İngilizce bilen Cerrahi uzmanı:

12

İngilizce bilmeyen Cerrahi uzmanı:

2(12) - 2 = 22

Toplam doktor sayısı:

24 + 16 + 12 + 22 = 74

kişi.

İkinci koşullu olasılık durumu için gerekli olan grupların eleman sayılarını bulmak.

4

İngilizce bilmediği bilinen bir doktorun Cerrahi uzmanı olma olasılığını hesaplamak.

İngilizce bilmeyen toplam doktor sayısı

16 + 22 = 38

kişidir. Bu grup içerisindeki Cerrahi uzmanlarının sayısı

22

kişidir. İstenen olasılık:

P(\text{Cerrahi} \mid \text{İngilizce Bilmeyen}) = \frac{22}{38} = \frac{11}{19}

olarak elde edilir.

Seçilen doktorun İngilizce bilmediği bilindiği için yeni örnek uzayımız İngilizce bilmeyen doktorlar kümesidir.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Estimated Time:2m 0s

Question 2736Question →

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x^2 - 9}{8 - x}\right) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan pozitif

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

9

13

15

21

22

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

Logaritmik eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğu için yön değiştirilir ve en geniş tanım kümesi ile kesiştirildiğinde elde edilen

(3, 5,5]

aralığındaki pozitif tam sayılar 4 ve 5 olup toplamları 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Tanım kümelerinin belirlenmesi

T = (3, 8)

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için içerisindeki ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir.

\frac{x^2 - 9}{8 - x} > 0

eşitsizliğinden

x \in (-\infty, -3) \cup (3, 8)

ve

x + 3 > 0

eşitsizliğinden

x > -3

elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi

(3, 8)

aralığıdır.

2

Eşitsizliğin çözülmesi

x \in [-3, 5,5] \cup (8, \infty)

Logaritmanın tabanı

\frac{1}{2} < 1

olduğundan, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir:

\frac{x^2 - 9}{8 - x} \leq x + 3 \implies \frac{(x+3)(2x-11)}{x-8} \geq 0

elde edilir. Bu ifadenin kökleri

-3

,

5,5

ve

8

'dir. İşaret tablosundan

[-3, 5,5] \cup (8, \infty)

aralığı bulunur.

3

Tanım kümesi ile çözüm kümesinin kesiştirilmesi

x \in (3, 5,5]

Elde edilen algebraic çözüm kümesi ile tanım kümesi olan

(3, 8)

aralığının kesişimi

(3, 5,5]

aralığıdır.

4

Pozitif tam sayıların toplanması

9

(3, 5,5]

yarı açık aralığındaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu değerlerin toplamı

4 + 5 = 9

olur.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Question 2737Question →

Bir restoranda akşam yemeği menüsünde 3 farklı çorba, 4 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı alternatifi bulunmaktadır.

Sağlıklı beslenmek isteyen Aylin, bu menüden bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı seçecektir. Ancak Aylin'in yapacağı seçimlerle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
* Çorbaların 1'i sebze çorbası, diğer ikisi ise mercimek ve tarhana çorbalarıdır.
* Ana yemeklerin 2'si et yemeği, diğer ikisi ise sebze yemeğidir.
* Tatlıların 1'i meyve tatlısı, diğer ikisi ise şerbetli tatlılardır.
* Seçilen ana yemek et yemeği ise çorba olarak sadece sebze çorbası tercih edilmelidir.
* Seçilen ana yemek sebze yemeği ise tatlı olarak sadece meyve tatlısı tercih edilmelidir.

Buna göre, Aylin bu koşullara uygun kaç farklı akşam yemeği menüsü oluşturabilir?

8

10

12

18

24

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Aylin bu koşullara uygun 12 farkl�� akşam yemeği menüsü oluşturabilir.

Doğru cevap 12'dir. Aylin'in seçeceği ana yemeğin türüne göre iki ayrı durum incelenir. İlk durumda, ana yemeğin et yemeği olması durumunda çorba seçeneği sadece 1 (sebze çorbası) olup tatlı seçeneği serbesttir (3 tatlı). Buradan

1 \times 2 \times 3 = 6

farklı menü elde edilir. İkinci durumda, ana yemeğin sebze yemeği olması durumunda tatlı seçeneği sadece 1 (meyve tatlısı) olup çorba seçeneği serbesttir (3 çorba). Buradan da

3 \times 2 \times 1 = 6

farklı menü elde edilir. Bu iki durum toplandığında toplamda

6 + 6 = 12

farklı menü oluşturulabilir.

Step-by-Step Solution

1

Ana yemeğin et yemeği seçildiği durumları belirlemek.

Et yemeği seçildiğinde çorba olarak yalnızca sebze çorbası (1 seçenek) tercih edilebilir. Tatlı seçimi için bir kısıtlama olmadığından 3 farklı tatlı seçilebilir. Bu durumda

1 \times 2 \times 3 = 6

farklı menü oluşturulur.

Kısıtlamaları ana yemek türüne göre ayırarak çarpma yoluyla sayma prensibini uygulamak.

2

Ana yemeğin sebze yemeği seçildiği durumları belirlemek.

Sebze yemeği seçildiğinde tatlı olarak yalnızca meyve tatlısı (1 seçenek) tercih edilebilir. Çorba seçimi için bir kısıtlama olmadığından 3 farklı çorba seçilebilir. Bu durumda

3 \times 2 \times 1 = 6

farklı menü oluşturulur.

İkinci ana yemek türü için de geçerli olan kısıtlamaları belirleyip çarpma yoluyla sayma prensibini uygulamak.

3

Bulunan durumları toplamak.

Toplam farklı menü sayısı

6 + 6 = 12

olarak bulunur.

İki durum birbirini dışlayan ayrık olaylar olduğu için toplama yoluyla sayma prensibi uygulanır.

Key Concept

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Estimated Time:2m 0s

Question 2738Question →

Sürekli bir

f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

fonksiyonu için

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\int_{-2}^{0} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen belirli integralin değeri 2 olarak bulunur.

Değişken değiştirme yöntemiyle integral sınırları güncellenerek

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

değeri elde edilir. Ardından toplam aralık

[ -2, 4 ]

parçalanarak

[ -2, 0 ]

aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8

integralinde

u = 2x-2

dönüşümü uygulayalım.

\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16

elde edilir.

u = 2x-2

ise her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2 \, dx

yani

dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde; alt sınır için

x = 1 \implies u = 0

, üst sınır için

x = 3 \implies u = 4

bulunur. Buradan integral

\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(u) \, du = 16

şeklinde yazılır. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmeyeceği için bu ifade

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

demektir.

2

Birinci denklemdeki

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx

integraline sınır parçalama özelliğini uygulayalım.

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx

eşitliği elde edilir.

Belirli integralde integral sınırları

[a, b]

aralığındaki bir

c

noktasına göre parçalanabilir. Burada

[-2, 4]

aralığı

0

noktası kullanılarak parçalanmıştır.

3

Elde edilen değerleri denklemde yerine yazarak sonuca ulaşalım.

\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2

bulunur.

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

ve

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

değerleri denklemde yerine yazıldığında,

18 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 \implies \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2

elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve belirli integralin aralık bölme özelliği.

Question 2739Question →

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinde,

a_1 \cdot a_9 = 64

a_3 + a_7 = 34

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıda boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Fill in the blanks below

Bu geometrik dizinin ortak çarpanının alabileceği değerlerden küçük olanı , büyük olanı ise dir.

Show answer & explanation

Answer

Ortak çarpanın alabileceği değerlerden küçük olanı 1/2, büyük olanı ise 2'dir.

Ortak çarpanın alabileceği değerler

1/2

ve

2

olup, küçük olan değer

1/2

(veya 0.5), büyük olan değer ise

2

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımları arasında ilişki kurmak.

a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = 64

olarak elde edilir.

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (

3 + 7 = 1 + 9 = 10

).

2

Toplamları 34 ve çarpımları 64 olan

a_3

ve

a_7

terimlerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem oluşturmak.

t^2 - 34t + 64 = 0 \implies (t-2)(t-32) = 0

denkleminin kökleri

2

ve

32

olarak bulunur. Dolayısıyla

\{a_3, a_7\} = \{2, 32\}

kümesi elde edilir.

Toplamları

S

ve çarpımları

P

olan sayılar,

t^2 - St + P = 0

denkleminin kökleridir.

3

Her iki durum için ortak çarpan

r

değerlerini hesaplamak.

1. Durum:

a_3 = 2

ve

a_7 = 32

ise

r^4 = 32/2 = 16 \implies r = 2

bulunur. 2. Durum:

a_3 = 32

ve

a_7 = 2

ise

r^4 = 2/32 = 1/16 \implies r = 1/2

bulunur.

Dizinin ardışık olmayan terimleri arasında

a_7 = a_3 \cdot r^4

ilişkisi vardır. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan

r

pozitif olmalıdır.

Key Concept

Geometrik dizilerde indis toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliği ve terimler arası oran yardımıyla ortak çarpan bulma.

Question 2740Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - ax^2 + 3$ eğrisine $x = 1$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

-1

Fonksiyonun

x = 1

noktasındaki teğetinin eğimi

f'(1)

değerine eşittir. Bu teğet doğrusu orijinden

(0,0)

geçtiği için teğet noktası

(1, f(1))

ile orijin arasındaki eğim formülü yazıldığında eğim

\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1)

olur. Dolayısıyla

f'(1) = f(1)

eşitliği elde edilir.

f(1) = 4-a

ve

f'(1) = 3-2a

değerleri bu eşitlikte yerine konulduğunda

3-2a = 4-a

denklemi elde edilir ve buradan

a = -1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun orijinden geçmesi şartını belirlemek.

f'(1) = f(1)

Orijinden ve

(1, f(1))

noktasından geçen doğrunun eğimi

\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1)

olup bu değer teğet doğrusunun eğimi olan

f'(1)

türev değerine eşit olmalıdır.

2

Fonksiyonun

x = 1

noktasındaki değerini bulmak.

f(1) = 4 - a

f(x) = x^3 - ax^2 + 3

fonksiyonunda

x

yerine

1

yazılır.

3

Türev fonksiyonunu bulup

x = 1

noktasındaki türev (eğim) değerini hesaplamak.

f'(1) = 3 - 2a

f'(x) = 3x^2 - 2ax

türevinde

x

yerine

1

yazılır.

4

Elde edilen ifadeleri eşitleyerek

a

bilinmeyenini çözmek.

a = -1

3 - 2a = 4 - a \\implies a = -1

denklemi düzenlenerek

a = -1

bulunur.

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki

(x_0, f(x_0))

noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevi olan

f'(x_0)

değerine eşittir.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution