All practice questions

Question 2841Question →

Sürtünmeli yatay bir masa üzerinde bulunan $3\text{ kg}$ kütleli $X$ cismi, ağırlığı ve sürtünmesi önemsiz bir makara ��zerinden geçen esnemeyen hafif bir iple düşey doğrultuda asılı olan $2\text{ kg}$ kütleli $Y$ cismine bağlanmıştır. Masa yüzeyi ile $X$ cismi arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $\mu = 0,5$ olup, sistem durgun halden serbest bırakılmaktadır. $Y$ cismi $2\text{ m}$ aşağı indiği anda;

I. $X$ cismi üzerinde yerçekimi kuvvetinin yaptığı iş sıfırdır.
II. İpteki gerilme kuvvetinin $Y$ cismi üzerinde yaptığı iş $-24\text{ J}$ 'dür.
III. Sistemin mekanik enerjisindeki azalma $30\text{ J}$ 'dür.

yargılarından hangileri doğrudur?

(Hava sürtünmesi önemsizdir; $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III yargılarının doğru olduğunu belirten seçenek

Yerçekimi kuvveti

X

cisminin hareket doğrultusuna dik olduğu için iş yapmaz. Sürtünme kuvveti korunumsuz bir kuvvet olup sistemin mekanik enerjisinde azalmaya neden olur. Bu azalma sürtünme kuvvetinin yaptığı işe eşit olup

15\text{ N} \times 2\text{ m} = 30\text{ J}

büyüklüğündedir. İpteki gerilme kuvvetinin

Y

cismi üzerinde yaptığı iş ise

-36\text{ J}

olduğundan doğru yanıt I ve III ifadelerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

X cismine etki eden kinetik sürtünme kuvvetini hesaplayınız.

f_s = 15\text{ N}

Yatay masa üzerindeki cismin normal kuvveti

N = m_X \cdot g = 3 \cdot 10 = 30\text{ N}

'dur. Sürtünme kuvveti ise

f_s = \mu \cdot N = 0,5 \cdot 30 = 15\text{ N}

olarak bulunur.

2

Sistemin ivmesini ve ipteki gerilme kuvvetini bulunuz.

a = 1\text{ m/s}^2

ve

T = 18\text{ N}

Sistemi hareket ettiren net kuvvet

F_{\text{net}} = m_Y \cdot g - f_s = 20 - 15 = 5\text{ N}

'dur. Newton'ın ikinci yasasına göre ivme

a = \frac{F_{\text{net}}}{m_X + m_Y} = \frac{5}{3 + 2} = 1\text{ m/s}^2

olur. Düşeydeki

Y

cismi için

m_Y \cdot g - T = m_Y \cdot a \Rightarrow 20 - T = 2 \cdot 1 \Rightarrow T = 18\text{ N}

bulunur.

3

Öncülleri iş ve enerji ilkelerine göre değerlendiriniz.

I ve III doğru, II yanlıştır.

I: Yerçekimi kuvveti

X

cisminin hareket doğrultusuna dik olduğundan iş yapmaz (

W_g = 0

). II: İp gerilmesi hareket yönüne zıt olduğundan

Y

üzerinde negatif iş yapar:

W_T = -T \cdot h = -18 \cdot 2 = -36\text{ J}

'dür. III: Mekanik enerjideki azalma sürtünme kuvvetinin yaptığı işe eşittir:

\Delta E_{\text{mek}} = W_{f_s} = -f_s \cdot h = -15 \cdot 2 = -30\text{ J}

'dür.

Key Concept

Sürtünmeli sistemlerde iş-enerji teoremi ve mekanik enerji değişimi

Estimated Time:2m 30s

Question 2842Question →

Kütleleri sırasıyla $m_X = 3\text{ kg}$ ve $m_Y = 2\text{ kg}$ olan $X$ ve $Y$ cisimleri, sürtünmeli yatay masa ve sürtünmesiz makara düzeneğinde esnemeyen hafif bir ip yardımıyla birbirine bağlanmıştır. Yatay düzlem ile $X$ cismi arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $\mu = 0,5$ olarak verilmiştir.

Sistem durgun halden serbest bırakıldıktan sonra $Y$ cisminin $2\text{ m}$ aşağı indiği anla ilgili;

I. İp gerilmesinin $X$ cismi üzerinde yaptığı iş $36\text{ J}$ 'dür.
II. Sistemde sürtünmeden dolayı açığa çıkan ısı enerjisi, sistemin toplam kinetik enerjisindeki artıştan daha büyüktür.
III. $Y$ cisminin mekanik enerjisindeki değişim $-36\text{ J}$ 'dür.

yargılarından hangileri doğrudur? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; ip ve makaranın kütlesini ihmal ediniz.)

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I, II ve III

Answer

Her üç öncül de doğru olduğundan doğru cevap I, II ve III seçeneğidir.

Yapılan hesaplamalarda; ip gerilmesinin X cismi üzerinde yaptığı işin 36 J olduğu, açığa çıkan ısı enerjisinin (30 J) toplam kinetik enerji artışından (10 J) büyük olduğu ve Y cisminin mekanik enerjisinin ip gerilmesinin yaptığı negatif iş nedeniyle 36 J azaldığı (değişimin -36 J olduğu) görülmektedir. Dolayısıyla her üç yargı da doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Sistemin ivmesini Newton'ın ikinci hareket yasasını kullanarak hesaplayınız.

a = 1\text{ m/s}^2

Sisteme etki eden net kuvvet:

F_{\text{net}} = m_Y g - f_s = m_Y g - \mu m_X g = 2(10) - 0,5(3)(10) = 20 - 15 = 5\text{ N}

'dur. Toplam kütle

m_X + m_Y = 5\text{ kg}

olduğundan, ivme

a = \frac{F_{\text{net}}}{m_X + m_Y} = \frac{5}{5} = 1\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

2

İpteki gerilme kuvvetini (

T

) ve ip gerilmesinin

X

cismi üzerinde yaptığı işi hesaplayınız.

T = 18\text{ N}

ve

W_T = 36\text{ J}

Y

cismi için hareket denklemi:

m_Y g - T = m_Y a \implies 20 - T = 2(1) \implies T = 18\text{ N}

'dur. Cisimler

d = 2\text{ m}

yol aldığında, ip gerilmesinin

X

cismi üzerinde yaptığı iş:

W_{T,X} = T \cdot d = 18 \times 2 = 36\text{ J}

olur. Bu durumda I. öncül doğrudur.

3

Açığa çıkan ısı enerjisini ve sistemin kinetik enerji artışını hesaplayıp karşılaştırınız.

Q_{\text{ısı}} = 30\text{ J}

ve

\Delta E_k = 10\text{ J}

Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ısıya dönüşür:

Q_{\text{ısı}} = f_s \cdot d = 15\text{ N} \times 2\text{ m} = 30\text{ J}

. Cisimlerin

2\text{ m}

yer değiştirme sonundaki hızı

v^2 = 2 a d = 2(1)(2) = 4\text{ m}^2\text{/s}^2 \implies v = 2\text{ m/s}

olur. Sistemin toplam kinetik enerji artışı:

\Delta E_k = \frac{1}{2}(m_X + m_Y)v^2 = \frac{1}{2}(5)(4) = 10\text{ J}

'dur.

30\text{ J} > 10\text{ J}

olduğundan II. öncül doğrudur.

4

Y

cisminin mekanik enerjisindeki değişimi hesaplayınız.

\Delta E_{\text{mek},Y} = -36\text{ J}

Y

cisminin mekanik enerjisindeki değişim, üzerine etki eden korunumsuz kuvvet olan ip gerilmesinin yaptığı işe eşittir. İp gerilmesi harekete ters yönlü olduğundan yaptığı iş:

W_{T,Y} = -T \cdot d = -18 \times 2 = -36\text{ J}

'dur. Dolayısıyla mekanik enerji

36\text{ J}

azalmıştır (değişim

-36\text{ J}

'dür). Bu durumda III. öncül doğrudur.

Key Concept

Bir sistemde dış veya korunumsuz kuvvetlerin yaptığı iş, sistemin mekanik enerjisindeki değişime eşittir. Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ısı enerjisine dönüşür.

Question 2843Question →

Bir veri merkezinde bulunan $A$ ve $B$ sunucularının bir gün içinde arızalanma olasılıkları sırasıyla $P(E_A)$ ve $P(E_B)$ 'dir. Bu sunucuların arızalanma durumları birbirinden bağımsız olaylardır.

$A$ sunucusunun arızalanma olasılığı, $B$ sunucusunun arızalanma olasılığının $2$ katıdır.

Gün sonunda bu sunuculardan en az birinin arızalanmış olma olasılığı $\frac{7}{9}$ olduğuna göre, sadece $A$ sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Sadece A sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade biçimde 4/9 olup, pay ve payda toplamı 13'tür.

Sadece A sunucusunun arızalanması olasılığı, A'nın arızalanması ve B'nin arızalanmaması olaylarının kesişimidir. Olaylar bağımsız olduğu için bu olasılıkların çarpımı olan 4/9 değerine ulaşılır. Pay ve payda toplamı ise 13'tür.

Step-by-Step Solution

1

Sunucuların arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden ifade etme

P(E_B) = p

ise

P(E_A) = 2p

olur.

A sunucusunun arızalanma olasılığının, B sunucusunun arızalanma olasıl��ğının 2 katı olduğu soruda verilmiştir.

2

En az bir sunucunun arızalanma olasılığı formülünü bağımsız olaylar için kurup çözme

18p^2 - 27p + 7 = 0

denkleminden

p = \frac{1}{3}

elde edilir.

Olaylar bağımsız olduğundan

P(E_A \cup E_B) = P(E_A) + P(E_B) - P(E_A) \cdot P(E_B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2

olur.

3p - 2p^2 = \frac{7}{9}

eşitliğinden

18p^2 - 27p + 7 = 0

elde edilir. Bu denklemin çarpanları

(3p - 1)(6p - 7) = 0

olup kökleri

p = \frac{1}{3}

veya

p = \frac{7}{6}

'dır. Olasılık değeri 1'den büyük olamayacağı ve

P(E_A) = 2p \leq 1

olması gerektiği için

p = \frac{1}{3}

alınır.

3

Sadece A sunucusunun arızalanma olasılığını hesaplama

P(E_A \cap E_B') = \frac{4}{9}

olur.

Sadece A'nın arızalanması, A'nın arızalanıp B'nin arızalanmaması anlamına gelir. Bağımsız olaylar için bu olasılık

P(E_A) \cdot (1 - P(E_B)) = \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

olarak hesaplanır.

4

En sade rasyonel ifadenin pay ve payda değerlerini toplama

a + b = 4 + 9 = 13

bulunur.

Bulunan

\frac{4}{9}

kesri en sade halindedir. Bu durumda

a = 4

ve

b = 9

olup toplamları 13'tür.

Key Concept

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının hesaplanması

Question 2844Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolünün $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı $6$ 'dır. Parabolün tepe noktasının apsisi $-\frac{1}{2}$ ve $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $5$ birimdir. Buna göre, parabolün başkatsayısı olan $a$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Parabolün başkatsayısı olan

a

değeri

-1

olarak bulunur.

Parabolün

y

-eksenini kestiği noktadan

c=6

ve tepe noktası apsisinden

b=a

bulunur. Kökler arası uzaklık formülü

\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5

kullanılarak

\Delta = a^2 - 24a

ifadesi yerine yazıldığında

a^2 - 24a = 25a^2

karesel denklemi elde edilir. Buradan

a = -1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

y-eksenini kestiği noktayı kullanarak c parametresini belirleme

c = 6

Parabolün y-eksenini kestiği nokta

f(0)

değeridir.

f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 6

olur.

2

Tepe noktasının apsisinden yararlanarak b ve a arasındaki ilişkiyi bulma

b = a

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}

olarak verilmiştir. Buradan içler dışlar çarpım�� ile

b = a

elde edilir.

3

Eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülünü ve diskriminantı (\Delta) yazma

\Delta = a^2 - 24a

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktalar

ax^2 + bx + c = 0

denkleminin kökleridir.

b = a

ve

c = 6

değerleri için diskriminant

\Delta = b^2 - 4ac = a^2 - 24a

olur.

4

Uzaklık denklemini kurup çözerek a değerini bulma

a = -1

Kökler arası uzaklık

\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5

olduğundan

\frac{\sqrt{a^2 - 24a}}{|a|} = 5 \implies a^2 - 24a = 25a^2

elde edilir. Bu denklem

24a^2 + 24a = 0

şeklinde düzenlenir.

a \neq 0

olması gerektiğinden

a = -1

bulunur.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası apsisi ilişkisi

Question 2845Question →

1

'den farklı

x

ve

y

pozitif gerçel sayıları için,

\log_x(x^2 y) \cdot \log_y(xy^2) = 10

eşitliği verilmektedir.
Buna göre,

\log_x y

ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

-4

1

\frac{5}{2}

5

7

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5}{2}$

Answer

\frac{5}{2}

Verilen denklem logaritmik özellikler yardımıyla düzenlendiğinde

(2 + \log_x y)(2 + \log_y x) = 10

halini alır. Burada

\log_y x = \frac{1}{\log_x y}

yazılarak

\log_x y = t

dönüşümü yapıldığında

2t^2 - 5t + 2 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminantı sıfırdan büyük olduğundan iki farklı reel kökü vardır. İkinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü (

-\frac{b}{a}

) kullanılarak

\log_x y

ifadesinin alabileceği değerler toplamı

\frac{5}{2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma çarpım özelliğini kullanarak

\log_x(x^2 y)

ve

\log_y(xy^2)

ifadelerini açalım.

\log_x(x^2 y) = \log_x(x^2) + \log_x y = 2 + \log_x y

ve

\log_y(xy^2) = \log_y x + \log_y(y^2) = \log_y x + 2

elde edilir.

Çarpım durumundaki logaritma argümanları toplam olarak yazılabilir:

\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c

.

2

Taban değiştirme kuralı yardımıyla

\log_y x

ifadesini

\log_x y

cinsinden ifade edelim.

\log_y x = \frac{1}{\log_x y}

olur.

Taban ve argüman yer değiştirdiğinde logaritma değeri çarpmaya göre tersine döner:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

.

3

\log_x y = t

dönüşümü yaparak denklemi tek bir değişken cinsinden yazalım.

(2 + t) \cdot \left(2 + \frac{1}{t}\right) = 10

denklemi elde edilir.

İfadeyi basitleştirip çözülebilir bir cebirsel denklem formuna getirmek için değişken değiştirme uygulanır.

4

Denklemdeki çarpım işlemini dağıtarak düzenleyelim.

4 + \frac{2}{t} + 2t + 1 = 10 \implies 2t + \frac{2}{t} + 5 = 10 \implies 2t + \frac{2}{t} = 5

elde edilir.

Parantezleri açarak terimleri gruplandırmak ve sadeleştirmek için cebirsel dağılma özelliği kullanılır.

5

Denklemin her iki tarafını

t

ile çarparak ikinci dereceden bir denklem elde edelim.

2t^2 - 5t + 2 = 0

denklemi elde edilir.

Rasyonel terimi yok etmek ve standart ikinci dereceden denklem formuna (

at^2 + bt + c = 0

) ulaşmak için payda eşitlenir.

6

Elde edilen denklemin diskriminantını kontrol ederek reel köklerin varlığını doğrulayalım ve kökler toplamını bulalım.

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0

olduğundan iki farklı reel kök vardır. Kökler toplamı

-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}

olarak hesaplanır.

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü

-\frac{b}{a}

'dır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özelliklerini kullanarak verilen denklemleri ikinci dereceden denklemlere dönüştürme ve çözme.

Question 2846Question →

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_4 - S_2 = 12

S_2 = 3

olduğuna göre, ortak çarpanı pozitif olan bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

1

\frac{3}{2}

\frac{3}{4}

\frac{3}{5}

3

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

Dizinin ilk terimi 1'dir.

Dizinin ilk dört terim toplamının ilk iki terim toplamına oranı

r^2 + 1

bağıntısına eşittir. Verilen değerlerden

S_4 = 15

ve

S_2 = 3

olduğundan bu oran

5

'e eşit olur.

r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r = 2

bulunur.

S_2 = a_1(1+r) = 3

eşitliğinde ortak çarpan yerine yazıldığında

a_1 = 1

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünü yazıp

S_4

ve

S_2

ifadelerini oranlayalım.

\frac{S_4}{S_2} = r^2 + 1

bağıntıs�� elde edilir.

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

formülünden

S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r}

ve

S_2 = a_1 \cdot \frac{1 - r^2}{1 - r}

yazılırsa, bu iki ifade oranlandığında

\frac{1 - r^4}{1 - r^2} = r^2 + 1

bulunur.

2

Verilen

S_4 - S_2 = 12

ve

S_2 = 3

değerlerini kullanarak

S_4

toplamını ve

\frac{S_4}{S_2}

oranını hesaplayalım.

S_4 = 15

ve

r^2 + 1 = 5

eşitliğinden ortak çarpan

r = 2

bulunur.

S_4 = (S_4 - S_2) + S_2 = 12 + 3 = 15

olur. Buradan oran

\frac{S_4}{S_2} = \frac{15}{3} = 5

olarak elde edilir.

r^2 + 1 = 5 \Rightarrow r^2 = 4

olur. Ortak çarpan pozitif olduğundan

r = 2

bulunur.

3

Bulunan ortak çarpan

r = 2

ve

S_2 = 3

değerini kullanarak dizinin ilk terimini (

a_1

) hesaplayalım.

a_1 = 1

bulunur.

S_2 = a_1 + a_2 = a_1(1 + r)

şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak

3 = a_1(1 + 2) \Rightarrow 3 = 3a_1 \Rightarrow a_1 = 1

elde edilir.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Estimated Time:2m 0s

Question 2847Question →

Bir fincan sıcak içeceğin sıcaklığı, bulunduğu ortamın sıcaklığına bağlı olarak zamanla azalmaktadır. $t$ geçen süreyi (dakika cinsinden) göstermek üzere, içeceğin $t$ . dakikadaki sıcaklığı $T(t)$ ( $^\circ\text{C}$ ) fonksiyonu:

T(t) = T_e + (T_0 - T_e) \cdot 2^{-c \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Burada $T_e$ ortam sıcaklığı, $T_0$ içeceğin başlangıç sıcaklığı ve $c$ pozitif bir soğuma sabittir.

Ortam sıcaklığının $20^\circ\text{C}$ olduğu bir odada, başlangıç sıcaklığı $84^\circ\text{C}$ olan bir fincan çayın sıcaklığ�� $10$ dakika sonra $52^\circ\text{C}$ 'ye düşmektedir.

Buna göre, bu çayın sıcaklığının $28^\circ\text{C}$ 'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren kaç dakika geçmesi gerekir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Çayın sıcaklığının 28°C'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren 30 dakika geçmesi gerekir.

Verilen başlangıç ve 10. dakika sıcaklık değerleri formülde yerine koyulduğunda soğuma sabiti

c = 0,1

olarak bulunur. Çayın sıcaklığının

28^\circ\text{C}

olması istenen denklemde bu katsayı kullanıldığında, geçen süre

30

dakika olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ortam sıcaklığı

T_e = 20^\circ\text{C}

, başlangıç sıcaklığı

T_0 = 84^\circ\text{C}

ve

10

. dakikadaki s��caklık

T(10) = 52^\circ\text{C}

değerlerini formülde yerine yazmak.

52 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-c \cdot 10} \implies 32 = 64 \cdot 2^{-10c}

Soğuma sabiti

c

'yi bulmak için gerekli ilk denklemi kurmak.

2

32 = 64 \cdot 2^{-10c}

denklemini çözerek

c

katsayısını belirlemek.

2^{-10c} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies -10c = -1 \implies c = 0,1

Üstel denklemi çözerek soğuma sabitini elde etmek.

3

Hedef sıcaklık

T(t) = 28^\circ\text{C}

değerini formülde yerine koyarak

t

süresini çözmek.

28 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 8 = 64 \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 2^{-0,1 \cdot t} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \implies -0,1 \cdot t = -3 \implies t = 30

Bulunan

c

sabiti ile hedeflenen sıcaklığa ulaşma süresini hesaplamak.

Key Concept

Üstel ve logaritmik modelleme yardımıyla gerçek hayat problemlerinin (Newton'ın Soğuma Kanunu) çözülmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2848Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{12} = 28

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dizinin ortak farkı 2'dir.

Dizinin ortak farkının 2 olmasının nedeni;

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitliğinden

a_1 + a_9 = 2a_5

simetri kuralı kullanılarak

a_5 = 8

değerine ulaşılması ve bu değerin

a_4 + a_{12} = 2a_5 + 6r = 28

denklemine yazılmasıyla

6r = 12 \implies r = 2

sonucunun elde edilmesidir.

Step-by-Step Solution

1

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitliğinde aritmetik ortalama özelliğini kullanarak

a_5

teriminin değerini belirlemek

a_1 + a_9 = 2a_5 \implies 3a_5 = 24 \implies a_5 = 8

Bir aritmetik dizide belirli bir terime eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı, ortadaki terimin iki katına eşittir.

2

a_4 + a_{12} = 28

eşitliğindeki terimleri

a_5

ve ortak fark olan

r

cinsinden ifade etmek

a_4 = a_5 - r

ve

a_{12} = a_5 + 7r \implies (a_5 - r) + (a_5 + 7r) = 2a_5 + 6r = 28

Tüm bilinmeyen terimleri tek bir terim (

a_5

) ve ortak fark (

r

) cinsinden yazarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.

3

a_5 = 8

değerini denklemde yerine yazarak

r

ortak farkını bulmak

2(8) + 6r = 28 \implies 16 + 6r = 28 \implies 6r = 12 \implies r = 2

Bilinmeyen

a_5

değerini yerleştirip birinci dereceden tek bilinmeyenli denklemi çözmek.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, terimler arası aritmetik ortalama ilişkisi ve genel terim yazımı

Question 2849Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - 4x$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ -ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

0

4

6

8

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.

Doğru yanıt olan değer,

f(x) = x^3 - 4x

eğrisinin

x

-eksenini kestiği sınır noktaları olan

-2, 0, 2

değerlerine göre iki ayrı bölge halinde hesaplanan alanların toplamıdır.

[-2, 0]

aralığındaki alan 4 birimkare ve

[0, 2]

aralığındaki alan 4 birimkare olup toplamda 8 birimkare yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun grafiğinin

x

-eksenini kestiği noktaları bulmak için

f(x) = 0

denklemini çözelim.

x(x-2)(x+2) = 0

denkleminden kökler

x = -2

,

x = 0

ve

x = 2

olarak bulunur.

Bu noktalar, integral hesaplamasında kullanacağımız sınırları ve bölgelerin sınırlarını belirler.

2

Fonksiyonun bu aralıklardaki işaretini inceleyerek hangi bölgenin

x

-ekseninin üstünde, hangisinin altında kaldı��ını belirleyelim.

[-2, 0]

aralığında

f(x) \geq 0

(eksenin üstünde) ve

[0, 2]

aralığında

f(x) \leq 0

(eksenin altında) olur.

x

-ekseninin altında kalan bölgelerin alanını hesaplarken integralin önüne eksi işareti koymamız gerekir.

3

Belirli integral yardımıyla alanları ayrı ayrı hesaplayalım.

[-2, 0]

aralığındaki alan

A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = 4

birimkare.

[0, 2]

aralığındaki alan

A_2 = \int_{0}^{2} -(x^3 - 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{0}^{2} = 4

birimkaredir.

Her iki bölgenin alanını pozitif değerler olarak bulmak için integral işaretlerine dikkat edilmelidir.

4

Bulunan alan değerlerini toplayalım.

A_{toplam} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8

birimkare elde edilir.

Eğri ile

x

-ekseni arasında kalan toplam sınırlı alanı bulmak için tüm alt alanlar toplanır.

Key Concept

Belirli integral ile alan hesabı yapılırken,

x

-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değerinin negatif çıkacağı göz önünde bulundurulmalı ve bu alanlar pozitif olacak şekilde integralin önüne eksi işareti getirilmelidir.

Alternative Method

Fonksiyonun tek fonksiyon (

f(-x) = -f(x)

) olduğu fark edilirse,

[-2, 0]

ve

[0, 2]

aralıklarındaki bölgelerin alanlarının simetriden dolayı eşit olduğu görülür. Bu durumda sadece bir bölgenin alanını hesaplayıp 2 ile çarpmak süreyi kısaltır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2850Question →

Sürtünme katsayısının $\mu = 0,3$ olduğu yatay bir konveyör bandı, $v = 6\text{ m/s}$ sabit hızla hareket etmektedir. Kütlesi $2\text{ kg}$ olan bir kutu, konveyör bandının üzerine yere göre ilk hızsız olarak yavaşça bırakılıyor.

Buna göre, kutu bant ile aynı hıza ulaşıncaya kadar geçen sürede konveyör bandını döndüren motorun bu süreçte yaptığı iş kaç joule'dür?
(Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ al��nız.)

18

36

54

72

108

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Motorun yaptığı iş 72 joule'dür.

Kutu bant üzerine bırakıldığında, aralarındaki sürtünme kuvveti kutuyu hızlandırırken bandı yavaşlatmaya çalışır. Bandın sabit hızla hareketine devam edebilmesi için motorun sürtünme kuvvetine eşit büyüklükte ve hareket yönünde bir kuvvet uygulaması gerekir. Kutu bantla aynı hıza ulaşıncaya kadar geçen süre olan 2 saniyede bandın aldığı yol 12 metredir. Dolayısıyla motorun yaptığı iş, uyguladığı kuvvet ile bandın aldığı yolun çarpımından 72 joule olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kutuya etki eden sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplama

f_s = \mu \cdot m \cdot g = 0,3 \cdot 2 \cdot 10 = 6\text{ N}

Kutunun ivmesini ve motorun bandı sabit hızda tutmak için uygulaması gereken kuvveti bulmak amacıyla sürtünme kuvveti hesaplanır.

2

Kutunun ivmesini ve bantla aynı hıza ulaşması için geçen süreyi hesaplama

a = \frac{f_s}{m} = \frac{6}{2} = 3\text{ m/s}^2

ve

t = \frac{v}{a} = \frac{6}{3} = 2\text{ s}

Kutunun ve bandın bu sürede alacağı yolları bulmak için hareket süresinin belirlenmesi gerekir.

3

Konveyör bandının bu sürede aldığı yolu hesaplama

x_{\text{bant}} = v \cdot t = 6 \cdot 2 = 12\text{ m}

Motor bandı sabit hızda tuttuğundan, bandın yaptığı yer değiştirme doğrusal olarak hesaplanır.

4

Motorun yaptığı işi hesaplama

W_{\text{motor}} = F \cdot x_{\text{bant}} = 6 \cdot 12 = 72\text{ J}

Motorun bandı sabit hızda tutması için uygulaması gereken kuvvet sürtünme kuvvetine eşittir (

F = f_s = 6\text{ N}

). Bu kuvvetin bant üzerinde yaptığı iş motorun yaptığı iştir.

Key Concept

Sürtünmeli sistemlerde yapılan iş ve enerji korunumu

Estimated Time:2m 0s

Question 2851Question →

Bir torbada $4$ sarı ve $6$ lacivert kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor.

- Çekilen kart sarı ise, üzerinde $1$ 'den $6$ 'ya kadar rakamların yazılı olduğu düzgün bir zar atılıyor.
- Çekilen kart lacivert ise, üzerinde $1$ 'den $8$ 'e kadar rakamların yazılı olduğu düzgün sekizyüzlü bir zar atılıyor.

Buna göre,

I. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
II. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda $3$ 'ten küçük bir sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
III. Zarda gelen sayının çift sayı olması olasılığı $\frac{1}{2}$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri doğrudur.

I ve III ifadelerinin doğru olduğunu gösteren matematiksel açıklamadır. Kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır çünkü kesişimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir. Benzer şekilde, toplam olasılık formülünden zarda gelen sayının çift olma olasılığı 1/2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Torbada bulunan toplam kart sayısını belirleyip sarı ve lacivert kart çekilme olasılıklarını hesaplayın.

P(\text{Sarı}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

ve

P(\text{Lacivert}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

bulunur.

İkinci aşamadaki zar atışlarının hangi zarla yapılacağını belirleyen olasılıkları bulmak için.

2

I. öncül için zarda tek sayı gelme olasılığını (

P(T)

) toplam olasılık formülüyle hesaplayıp sarı kart çekme olayı (

S

) ile bağımsızlığını test edin.

Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda tek gelme olasılığı

P(T|S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda tek gelme olasılığı

P(T|L) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

'dir. Toplam olasılık:

P(T) = P(T|S)P(S) + P(T|L)P(L) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2}

. Kesişim olasılığı:

P(S \cap T) = P(T|S) \cdot P(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

.

P(S) \cdot P(T) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

olduğundan

P(S \cap T) = P(S) \cdot P(T)

eşitliği sağlanır ve olaylar bağımsızdır.

İki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşit olması gerekir.

3

II. öncül için zarda 3'ten küçük bir sayı gelme olasılığını (

P(M)

) hesaplayıp sarı kart çekme olayı (

S

) ile bağımsızlığını test edin.

Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı

P(M|S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı

P(M|L) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

'tür. Toplam olasılık:

P(M) = P(M|S)P(S) + P(M|L)P(L) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{17}{60}

. Kesişim olasılığı:

P(S \cap M) = P(M|S) \cdot P(S) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} = \frac{8}{60}

.

P(S) \cdot P(M) = \frac{2}{5} \cdot \frac{17}{60} = \frac{34}{300} = \frac{17}{150}

'dir.

\frac{8}{60} \neq \frac{17}{150}

olduğundan bu olaylar bağımlıdır.

Kesişim olasılığı ile olasılıkların çarpımı eşit çıkmadığı için bağımsızlık koşulu sağlanmaz.

4

III. öncül için zarda çift sayı gelme olasılığını (

P(\text{Çift})

) toplam olasılık formülüyle hesaplayın.

P(\text{Çift}) = 1 - P(T) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

bulunur.

Bir zar atıldığında gelen sayının tek veya çift olması birbirinin tümleyeni olan iki olaydır.

Key Concept

İki aşamalı deneylerde olayların bağımsızlığının matematiksel olarak

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

bağıntısıyla test edilmesi.

Question 2852Question →

Terimleri tam sayılardan oluşan bir

(a_n)

aritmetik dizisinde,

a_3 + a_{16} = a_7 + a_k

a_4 + a_{12} = 30

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin ortak farkı $r = 2$ olduğuna g��re, $a_k$ terimi kaçtır?

15

19

23

27

38

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

23

Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak

a_3 + a_{16} = a_7 + a_k

eşitliğinden

3 + 16 = 7 + k \implies k = 12

bulunur. Dolayısıyla aranan terim

a_{12}

'dir.

a_4 + a_{12} = 30

eşitliğinde

a_{12} = a_4 + 8r

bağıntısı ve

r = 2

değeri yerine yazıldığında

a_{12} = a_4 + 16

elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde

a_4 = 7

ve

a_{12} = 23

bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 23'tür.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizilerde indislerin toplamı eşit olan terimlerin toplamının da eşit olduğu (

a_p + a_q = a_s + a_t \iff p + q = s + t

) özelliğini kullanarak

k

değerini bulmak.

3 + 16 = 7 + k \implies 19 = 7 + k \implies k = 12

elde edilir.

Soru kökündeki birinci eşitlikte verilmeyen terimin indisi olan

k

değerini belirlemek için.

2

İkinci eşitlik olan

a_4 + a_{12} = 30

ifadesinde

a_{12}

terimini

a_4

ve ortak fark

r = 2

cinsinden yazmak.

a_{12} = a_4 + (12 - 4)r \implies a_{12} = a_4 + 8(2) \implies a_{12} = a_4 + 16

bulunur.

İki bilinmeyenli eşitliği tek bilinmeyene indirgemek için.

3

Elde edilen

a_{12} = a_4 + 16

ifadesini

a_4 + a_{12} = 30

denkleminde yerine yazarak

a_4

terimini bulmak ve ardından

a_{12}

değerini hesaplamak.

a_4 + (a_4 + 16) = 30 \implies 2a_4 = 14 \implies a_4 = 7

olur. Buradan

a_{12} = 7 + 16 = 23

bulunur.

k = 12

olduğundan

a_k = a_{12} = 23

elde edilir.

İstenen

a_k

(yani

a_{12}

) teriminin sayısal değerine ulaşmak için.

Key Concept

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı.

Question 2853Question →

Gaz fazında gerçekleşen mekanizmalı bir tepkimenin basamaklarına ait ileri aktifleşme enerjisi ( $E_{ai}$ ) değerleri aşağıda verilmiştir:

* I. Basamak: $E_{ai1} = 55 \text{ kJ}$
* II. Basamak: $E_{ai2} = 80 \text{ kJ}$
* III. Basamak: $E_{ai3} = 35 \text{ kJ}$

Buna göre, bu basamakları en hızlı olandan en yavaş olana doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Tepkime basamaklarının en hızlıdan en yavaşa doğru sıralaması III. Basamak, I. Basamak ve II. Basamak şeklindedir.

Aktifleşme enerjisi ile tepkime hızı ters orantılı olduğundan, en düşük aktifleşme enerjisine (

35 \text{ kJ}

) sahip olan III. basamak en hızlı, en yüksek aktifleşme enerjisine (

80 \text{ kJ}

) sahip olan II. basamak ise en yavaştır. Bu durumda doğru sıralama III, I, II şeklinde olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Aktifleşme enerjisi ile tepkime hızı arasındaki ilişkiyi belirleme

Bir kimyasal tepkimenin ileri aktifleşme enerjisi (

E_{ai}

) ne kadar küçükse, eşik enerjisini aşabilecek tanecik sayısı o kadar fazla olur ve tepkime o kadar hızlı gerçekleşir.

Hız ile aktifleşme enerjisi arasındaki ters orantı ilişkisini kurmak için bu adım gereklidir.

2

Verilen basamakların aktifleşme enerjilerini karşılaştırma

Aktifleşme enerjileri

E_{ai3} (35 \text{ kJ}) < E_{ai1} (55 \text{ kJ}) < E_{ai2} (80 \text{ kJ})

şeklinde sıralanır.

Hız sıralamasına temel oluşturacak sayısal karşılaştırmayı yapmak için bu adım gereklidir.

3

Basamakların hızlarını sıralama

Aktifleşme enerjisi en küçük olan III. basamak en hızlı, en büyük olan II. basamak ise en yavaştır. Hız sıralaması III > I > II olur.

Soru kökündeki en hızlıdan en yavaşa doğru sıralama talebini yanıtlamak için bu adım gereklidir.

Key Concept

Kimyasal tepkimelerde aktifleşme enerjisi ile tepkime hızı ters orantılıdır.

Question 2854Question →

Düşey bir ip yardımıyla tavana asılı olan hafif ve esnemeyen bir ipe tırmanmakta olan $m$ kütleli bir sporcu, yukarı doğru sabit ivmeyle hızlanmaktadır.

Bu süreçte sporcu ve ipe ait kuvvetlerle ilgili;
I. İpin sporcuya uyguladığı düşey yukarı yönlü kuvvet ile sporcunun ipe uyguladığı düşey aşağı yönlü kuvvet bir etki-tepki kuvvet çiftidir.
II. Sporcu yukarı doğru hızlanan hareket yaptığı için ipin sporcuya uyguladığı kuvvetin büyüklüğü, sporcunun ipe uyguladığı kuvvetin büyüklüğünden fazladır.
III. Sporcuya etki eden net kuvvetin büyüklüğü, ipteki gerilme kuvvetinin büyüklüğü ile sporcunun ağırlığının skaler toplamına eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız II

I ve II

Yalnız I

I ve III

II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız I

Answer

Yalnız I

İpin sporcuya uyguladığı kuvvet ile sporcunun ipe uyguladığı kuvvet bir etki-tepki çiftidir. Etki-tepki kuvvetleri her zaman eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. Cisimlerin ivmeli hareket yapması bu eşitliği bozmaz. Bu nedenle birinci öncül doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Etki-tepki kuvvet çifti tanımının birinci öncüle uygulanması

İpin sporcuya uyguladığı kuvvet ile sporcunun ipe uyguladığı kuvvet bir etki-tepki çiftidir.

Newton'ın üçüncü yasasına göre, her etkiye karşı eşit büyüklükte ve zıt yönde bir tepki kuvveti oluşur. Bu kuvvetler farklı cisimler (sporcu ve ip) üzerinde etki gösterir.

2

İvmelenme durumunun etki-tepki büyüklük ilişkisine etkisinin analiz edilmesi

İpin sporcuya uyguladığı kuvvetin b��yüklüğü, sporcunun ipe uyguladığı kuvvetin büyüklüğüne her zaman eşittir.

Sistemin ivmeli hareket yapması etki-tepki yasasını geçersiz kılmaz. İvme, sporcuya etki eden net dış kuvvetlerin (ip gerilmesi ve yerçekimi) dengelenmemiş olmasından kaynaklanır.

3

Sporcuya etki eden net kuvvetin vektörel olarak hesaplanması

F_{\text{net}} = T - G

(veya vektörel olarak

\vec{F}_{\text{net}} = \vec{T} + \vec{G}

)

İp gerilmesi yukarı yönlü, sporcunun ağırlığı ise aşağı yönlüdür. Zıt yönlü bu iki vektörün net kuvvetini bulmak için büyüklüklerinin farkı alınmalıdır. Skaler toplama yapmak hatalıdır.

Key Concept

Newton'ın üçüncü yasası (Etki-Tepki Yasası) gereği etki-tepki kuvvet çiftleri farklı cisimlere etki eder, zıt yönlüdür ve büyüklükleri her zaman birbirine eşittir. Newton'ın ikinci yasası (

F_{\text{net}} = ma

) gereği net kuvvet hesaplanırken kuvvetlerin vektörel yönleri dikkate alınmalıdır.

Question 2855Question →

Bir okulun basketbol takımında yer alan 5 sporcu, antrenman sonrasında yan yana yerleştirilmiş 5 sandalyeye oturacaktır.

Bu sporculardan Can ve Efe'nin arasında en az bir sporcunun bulunması koşuluyla, bu 5 sporcu sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilir?

36

48

72

96

12

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Can ve Efe'nin arasında en az bir sporcu olacak biçimde 72 farklı sıralama yapılabilir.

Tüm olası dizilimlerin sayısından (

5! = 120

), Can ve Efe'nin yan yana oturduğu durumların sayısı (

4! \times 2! = 48

) çıkarılarak aralarında en az bir sporcunun bulunduğu dizilimlerin sayısı 72 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

5 sporcunun 5 sandalyeye herhangi bir kısıtlama olmaksızın oturabileceği tüm durumların sayısını hesaplayalım.

5! = 120

Kısıtlamasız durumda her sporcu bir sandalyeye yerleşeceğinden toplam sıralama sayısı 5 faktöriyeldir.

2

Can ve Efe'nin yan yana oturduğu (istenmeyen) durumların sayısını bulalım.

4! \times 2! = 24 \times 2 = 48

Can ve Efe tek bir eleman gibi bir arada düşünülürse toplam 4 eleman sıralanır (

4!

). Can ve Efe kendi aralarında yer değiştirebilir (

2!

).

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumların sayısını çıkaralım.

120 - 48 = 72

Tüm durumlardan yan yana oldukları durumlar çıkarıldığında, aralarında en az bir sporcunun bulunduğu durumlar elde edilir.

Key Concept

Permütasyon ve Tümleme Yöntemi

Question 2856Question →

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir nehir boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir araziyi tel örgüyle çevirmek istemektedir. Nehir kenar��ndaki kenar için tel örgü kullanılmayacaktır. Nehire dik olan iki kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı $10\text{ TL}$ , nehire paralel olan kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı ise $15\text{ TL}$ 'dir. Bu iş için en fazla $1200\text{ TL}$ bütçe ayıran çiftçinin çevirebileceği arazinin alanı en fazla kaç metrekaredir?

Show answer & explanation

Answer: 1200

Answer

Çiftçinin çevirebileceği maksimum alan

1200\text{ m}^2

olarak bulunur.

Mali kısıt altında oluşturulan alan fonksiyonunun türevini sıfır yapan

x = 30

değeri için alan en büyük değerini alır ve bu değer

1200\text{ m}^2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kısıt denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme

20x + 15y = 1200 \Rightarrow y = 80 - \frac{4}{3}x

Bütçe kısıtını kullanarak alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek

2

Alan fonksiyonunu tek değişkenli olarak kurma

A(x) = 80x - \frac{4}{3}x^2

Maksimum değeri türev yardımıyla bulabilmek için fonksiyonu tek değişkenli hale getirmek

3

Türevi sıfır yapan noktayı bulma ve maksimum alanı hesaplama

A'(x) = 80 - \frac{8}{3}x = 0 \Rightarrow x = 30

ve

A(30) = 1200

Birinci türevin sıfır olduğu nokta yerel maksimum noktasını verir

Key Concept

Maksimum ve minimum problemlerinde kısıt denklemini kullanarak tek değişkenli hedef fonksiyonu oluşturma ve türev yardımıyla optimizasyon yapma

Question 2857Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinden rastgele seçilen birbirinden farklı üç sayı küçükten büyüğe doğru sıralanarak sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ olarak belirleniyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ uzunluklarına sahip üç doğrunun uç uca eklenmesiyle bir üçgen oluşturulabilme olasılığı kaçtır?

\frac{13}{20}

\frac{7}{20}

\frac{7}{120}

\frac{3}{10}

\frac{3}{20}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{20}$

Answer

Seçilen sayıların bir üçgen oluşturma olasılığı 7/20'dir.

Seçilen üç farklı sayı için

a < b < c

sıralaması yapıldığında, bu sayıların bir üçgen oluşturması için

a + b > c

eşitsizliğinin sağlanması gerekir.

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

kümesinden seçilebilecek 20 farklı üçlüden sadece 7 tanesi bu şartı sağlar. Olasılık bu nedenle 7/20'dir.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası durumların sayısını belirlemek için kümenin 6 elemanından rastgele 3 eleman seçilir.

Örnek uzayın eleman sayısı

\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

olur.

Seçilen elemanların kendi arasındaki sırası önemli olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.

2

Seçilen

a < b < c

sayıları için üçgen oluşturma şartı olan

a + b > c

eşitsizliğini sağlayan üçlüleri belirlemek.

Bu şartı sağlayan

(a, b, c)

ü��lüleri:
-

c = 6

için:

(2, 5, 6)

,

(3, 4, 6)

,

(3, 5, 6)

,

(4, 5, 6)

(4 durum)
-

c = 5

için:

(2, 4, 5)

,

(3, 4, 5)

(2 durum)
-

c = 4

için:

(2, 3, 4)

(1 durum)
olmak üzere toplam 7 tanedir.

a < b < c

sıralaması verildiğinden diğer üçgen eşitsizlikleri olan

a + c > b

ve

b + c > a

her zaman doğrudur. Sadece en büyük kenara göre eşitsizlik kontrol edilmelidir.

3

İstenen olasılık değerini hesaplamak.

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{7}{20}

bulunur.

Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Key Concept

Kombinasyon yardımıyla örnek uzay ve istenen olay durumlarının hesaplanarak basit olayların olasılığının bulunması.

Question 2858Question →

Düşey doğrultuda yukarı doğru hareket etmekte olan bir asansör, $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle yavaşlamaktadır. Asansörün tavanının tabanından yüksekliği $4\text{ m}$ olduğu bir anda, tavana asılı olan bir cisim asansöre göre serbest bırakılıyor.

Cisim asansörün tabanına çarptığı anda asansörün yere göre hızı sıfır olduğuna göre, cismin serbest bırak��ldığı andan tabana çarpana kadar geçen sürede yere göre yer değiştirmesinin büyüklüğü kaç metredir?
(Hava direnci önemsizdir; yer çekimi ivmesi $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

1

3

5

7

12

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Cismin yer değiştirmesinin büyüklüğü 3 metredir.

Cisim asansöre göre serbest bırakıldığında, hem yer çekimi ivmesi (

10\text{ m/s}^2

) hem de asansörün yavaşlama ivmesi (

2\text{ m/s}^2

) aşağı yönlüdür. Bu durumda cismin asansöre göre bağıl ivmesi aşağı yönlü

8\text{ m/s}^2

olur.

4\text{ m}

'lik mesafeyi bu bağıl ivmeyle

1\text{ s}

sürede alır. Çarpma anında asansörün hızı sıfır olduğuna göre, asansörün (ve dolayısıyla bırakıldığı anda cismin) ilk hızı yukarı doğru

2\text{ m/s}

'dir. Cismin yere göre yer değiştirmesi

\Delta y = 2(1) - 5(1)^2 = -3\text{ m}

olur. Bu yer değiştirmenin büyüklüğü 3 metredir.

Step-by-Step Solution

1

Cismin asansöre göre bağıl ivmesini belirleme

a_{\text{bağıl}} = 8\text{ m/s}^2

(aşağı doğru)

Yere göre cismin ivmesi yer çekimi ivmesi olup aşağı doğru

10\text{ m/s}^2

'dir. Yavaşlayan asansörün ivmesi ise yukarı yönlü hareket yönüne zıt, yani aşağı doğru

2\text{ m/s}^2

'dir. İki ivme de aynı yönlü olduğundan, cismin asansöre göre bağıl ivmesi

a_{\text{bağıl}} = g - a_{\text{asansör}} = 10 - 2 = 8\text{ m/s}^2

olur.

2

Cismin asansörün tabanına düşme süresini hesaplama

t = 1\text{ s}

Cisim asansöre göre serbest bırakıldığından,

h = \frac{1}{2} a_{\text{bağıl}} t^2

bağıntısı geçerlidir. Buradan

4 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot t^2 \implies t^2 = 1 \implies t = 1\text{ s}

bulunur.

3

Asansörün serbest bırakılma anındaki ilk hızını bulma

v_0 = 2\text{ m/s}

(yukarı doğru)

Asansörün

1\text{ s}

sonraki hızı sıfır olduğuna ve aşağı doğru

2\text{ m/s}^2

ivmeyle yavaşladığına göre,

v = v_0 - a_{\text{asansör}} t \implies 0 = v_0 - 2 \cdot 1 \implies v_0 = 2\text{ m/s}

olur.

4

Cismin yere göre yer değiştirmesini hesaplama

\Delta y = -3\text{ m}

(Büyüklüğü

3\text{ m}

)

Cismin yere göre ilk hızı asansörün ilk hızı ile aynı olup yukarı doğru

2\text{ m/s}

'dir. Yere göre yer değiştirmesi

\Delta y = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2

formülü ile hesaplanır. Buradan

\Delta y = 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = -3\text{ m}

elde edilir. Yer değiştirmenin büyüklüğü

3\text{ m}

'dir.

Key Concept

İvmeli referans sistemlerinde bağıl hareket ve yere göre bir boyutta sabit ivmeli hareket analizi.

Alternative Method

Yere göre eylemsiz referans sistemi yerine, asansörün ivmeli (eylemsiz olmayan) referans sistemini kullanarak cismin hareket süresini bulduktan sonra, doğrudan yer çekimi ivmeli serbest düşme formülleri ile yere göre analiz yapılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2859Question →

İlk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ olan pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_4 = 15 \cdot a_1

ve bu dizinin ortak çarpanı ilk terimine eşit ( $r = a_1$ ) olduğuna göre, dizinin ilk 3 teriminin toplamı ( $S_3$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Dizinin ilk 3 teriminin toplamı 14'tür.

Formülün doğru uygulanması, elde edilen üçüncü dereceden denklemin kökünün doğru bulunması ve

r = a_1 = 2

eşitliği kullanılarak

S_3

toplamının doğru hesaplanması sonucunda 14 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünü kullanarak

S_4

ifadesini

a_1

ve

r

cinsinden yazmak.

S_4 = a_1(r^3 + r^2 + r + 1)

S_4

toplamını ortak çarpan ve ilk terim cinsinden ifade etmek için.

2

Soruda verilen

S_4 = 15 \cdot a_1

eşitliğini yerine koyup sadeleştirmek.

r^3 + r^2 + r - 14 = 0

denklemi elde edilir.

r

ortak çarpanını bulmak amacıyla bir denklem oluşturmak için.

3

Denklemin pozitif gerçel kökünü bulmak.

r = 2

Dizinin ortak çarpanını belirlemek için.

4

r = a_1 = 2

değerlerini kullanarak

S_3

toplamını hesaplamak.

S_3 = 14

Soruda istenen ilk 3 terim toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı formülü ve terimler arası ilişkiler.

Question 2860Question →

Yatay konumda bulunan ve sabit $v$ hızıyla hareket etmekte olan bir yürüyen bandın üzerine $m$ kütleli bir kutu, banda göre ilk hızsız olarak bırakılıyor. Kutu, bant ile arasındaki sürtünme nedeniyle hızlanarak bant ile aynı hıza ulaşıyor. Kutu ile bant arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $\mu$ olup sabittir.

Kutunun banda göre kaymasının sona erdiği ve bantla birlikte sabit hızla hareket etmeye başladığı ana kadar geçen sürede;

I. Sürtünme kuvvetinin kutu üzerinde yaptığı iş $\frac{1}{2}mv^2$ kadardır.

II. Yürüyen bandın motorunun bu süreçte fazladan yaptığı iş $mv^2$ kadardır.

III. Sürtünmeden dolayı ısıya dönüşen enerji $\frac{1}{2}mv^2$ kadardır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I, II ve III

Answer

Sürtünme kuvvetinin kutu üzerinde yaptığı iş, motorun yaptığı fazladan iş ve ısıya dönüşen enerjiye dair ifadelerin tamamı doğrudur.

Kutunun hızlanması için sürtünme kuvveti hareket yönünde etki eder ve pozitif iş yaparak kutuya kinetik enerji kazandırır. Bant bu sürede daha fazla yol alacağı için motorun yaptığı iş kutunun kazandığı kinetik enerjinin iki katı olur ve aradaki fark ısıya dönüşür. Bu nedenle tüm ifadeler doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Kutunun ivmesini ve hızlanma süresini belirleme

Kutunun ivmesi

a = \mu g

ve bandın hızına ulaşma süresi

t = \frac{v}{\mu g}

olur.

Kutuyu hızlandıran tek kuvvet, bant ile kutu arasındaki kinetik sürtünme kuvvetidir (

f_s = \mu m g

).

2

Kutunun aldığı yolu ve sürtünme kuvvetinin yaptığı işi hesaplama

Kutunun aldığı yol

x_{\text{kutu}} = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{v^2}{2 \mu g}

ve sürtünme kuvvetinin kutu üzerinde yaptığı iş

W_{\text{sürtünme}} = f_s \cdot x_{\text{kutu}} = \frac{1}{2} m v^2

olur.

Sürtünme kuvveti kutunun hareket yönünde olduğundan pozitif iş yapar ve kutunun kinetik enerjisini artırır.

3

Bandın aldığı yolu ve motorun yaptığı işi hesaplama

Bandın aldığı yol

x_{\text{bant}} = v \cdot t = \frac{v^2}{\mu g}

ve motorun bu süreçte fazladan yaptığı iş

W_{\text{motor}} = f_s \cdot x_{\text{bant}} = m v^2

olur.

Bandın sabit hızla hareket etmesi için motorun sürtünme kuvvetine eşit büyüklükte bir kuvvet uygulaması gerekir.

4

Isıya dönüşen enerjiyi hesaplama

Isıya dönüşen enerji

E_{\text{ısı}} = W_{\text{motor}} - \Delta E_k = m v^2 - \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v^2

olur.

Enerjinin korunumu yasasına göre, motorun sisteme aktardığı enerjinin bir kısmı kutunun kinetik enerjisine dönüşürken geri kalanı sürtünme nedeniyle ısıya dönüşür.

Key Concept

İş-Enerji Teoremi ve Sürtünmeli Sistemlerde Enerji Korunumu

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer