All practice questions

Question 3121Question →

Yalıtkan yatay düzlem üzerindeki iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, orijinde $(0,0)$ noktasına $+4q$ noktasal yükü, $(3d,0)$ noktasına ise $-3q$ noktasal yükü sabitlenmiştir.

Buna göre, $(0,4d)$ koordinatlarındaki K noktasında bulunan $+q$ yüklü noktasal bir cisim sabit hızla $(3d,4d)$ koordinatlarındaki L noktasına götürüldüğünde elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş kaç $\frac{kq^2}{d}$ olur?

Show answer & explanation

Answer: 0.35

Answer

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş

0.35 \frac{kq^2}{d}

'dir.

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş, taşınan yük ile ilk ve son noktalar arasındaki potansiyel farkının çarpımına eşittir (

W = q(V_{\text{ilk}} - V_{\text{son}})

). K ve L noktalarındaki potansiyeller bulunup bu formülde yerine yazıldığında sonuç

0.35

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

K noktasının toplam elektriksel potansiyelini (

V_K

) hesaplayın.

V_K = k \frac{4q}{4d} + k \frac{-3q}{5d} = \frac{kq}{d} - 0.6 \frac{kq}{d} = 0.4 \frac{kq}{d}

Bir noktanın potansiyeli, o noktada her bir yükün oluşturduğu potansiyellerin skaler toplamıdır. Sabit

+4q

yükünün K

(0,4d)

noktasına uzaklığı

4d

,

-3q

yükünün uzaklığı ise 3-4-5 özel üçgeninden

5d

olur.

2

L noktasının toplam elektriksel potansiyelini (

V_L

) hesaplayın.

V_L = k \frac{4q}{5d} + k \frac{-3q}{4d} = 0.8 \frac{kq}{d} - 0.75 \frac{kq}{d} = 0.05 \frac{kq}{d}

L

(3d,4d)

noktasının

+4q

yüküne uzaklığı 3-4-5 üçgeninden

5d

,

-3q

yüküne uzaklığı ise

4d

olur.

3

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı işi (

W_{\text{elek}}

) hesaplayın.

W_{\text{elek}} = q(V_K - V_L) = q(0.4 - 0.05) \frac{kq}{d} = 0.35 \frac{kq^2}{d}

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş, taşınan yük ile ilk ve son konumlar arasındaki potansiyel farkının çarpımı ile bulunur:

W_{\text{elek}} = q(V_{\text{ilk}} - V_{\text{son}})

.

Key Concept

Elektriksel potansiyel farkı ve elektriksel iş ilişkisi

Question 3122Question →

Tepe noktası $T$ olan $f(x) = x^2 - 6x + a$ parabolü, $y = 2x - 3$ doğrusu ile farklı iki noktada kesişmektedir. Parabolün tepe noktasının, bu kesişim noktalarının orta noktasına olan uzaklığı $\sqrt{17}$ birim olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Parabolün tepe noktası ile kesişim noktalarının orta noktası arasındaki uzaklık formülü ve parabol ile doğrunun kesişme şartı olan diskriminant kontrolü birlikte uygulandığında

a

değeri 10 olarak bulunur.

Parabolün tepe noktası

T(3, a-9)

ve ortak çözüm denkleminin kökleri yardımıyla bulunan orta nokta

M(4, 5)

arasındaki uzaklık denklemi çözüldüğünde

a = 10

veya

a = 18

bulunur. Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişmesi için

\Delta = 52 - 4a > 0 \implies a < 13

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek değer 10'dur.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 - 6x + a

parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

r = -\frac{-6}{2} = 3

ve

k = f(3) = 3^2 - 6(3) + a = a - 9

olup tepe noktası

T(3, a - 9)

olarak elde edilir.

Parabolün tepe noktası

T(r, k)

olup burada

r = -\frac{b}{2a}

simetri eksenidir ve ordinat

k = f(r)

ile hesaplanır.

2

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktası olan

M(x_0, y_0)

noktasını bulalım.

Kesişim denklemi

x^2 - 6x + a = 2x - 3 \implies x^2 - 8x + a + 3 = 0

olur. Kökler toplamı

x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8

olduğundan, orta noktanın apsisi

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 4

olur. Bu nokta doğru üzerinde bulunduğundan ordinatı

y_0 = 2(4) - 3 = 5

olup orta nokta

M(4, 5)

olarak bulunur.

Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi ortak çözüm denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasıdır ve bu nokta doğru denklemini sağlamak zorundadır.

3

T(3, a - 9)

ve

M(4, 5)

noktaları arasındaki uzaklığı

\sqrt{17}

birime eşitleyip

a

değerlerini çözelim.

|TM| = \sqrt{(4-3)^2 + (5-(a-9))^2} = \sqrt{17} \implies 1 + (14-a)^2 = 17 \implies (14-a)^2 = 16

denkleminden

14 - a = 4 \implies a = 10

veya

14 - a = -4 \implies a = 18

bulunur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

|TM| = \sqrt{(x_M - x_T)^2 + (y_M - y_T)^2}

bağıntısı ile hesaplanır.

4

Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişme koşulunu kullanarak bulunan

a

değerlerinin doğruluğunu kontrol edelim.

Ortak denklemin iki farklı gerçel kökü olması için diskriminant

\Delta = (-8)^2 - 4(1)(a+3) = 52 - 4a > 0 \implies a < 13

olmalıdır. Bu koşula göre

a = 18

elenir ve doğru değer

a = 10

olarak bulunur.

Bir parabol ile bir doğrunun iki farklı noktada kesişmesi, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan büyük olmasıyla mümkündür.

Key Concept

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseninin koordinatlarının bulunması, parabol ile doğrunun kesişim koşulları ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.

Question 3123Question →

Düşey doğrultuda aşağı yönde $2\text{ m/s}^2$ büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanmakta olan bir asansörün hızı $3\text{ m/s}$ olduğu anda, kabinin tavanından bir cıvata koparak düşmeye başlıyor. Kabin yüksekliği $4\text{ m}$ olduğuna göre, cıvata tavandan ayrıldığı andan itibaren asansörün tabanına çarpana kadar geçen sürede yerde duran durgun bir gözlemciye göre kaç metre yer değiştirmiştir? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız; hava direnci önemsizdir.)

2

4

5

8

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8

Doğru değer olan 8 metrelik yer değiştirme, asansör içi bağıl ivme yardımıyla cıvatanın uçuş süresinin 1 saniye olarak hesaplanması ve bu süre zarfında yerdeki gözlemcinin referans sisteminde cıvatanın sahip olduğu ilk hız ile yer çekimi ivmesi kullanılarak yer değiştirme formülünün uygulanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Cıvatanın asansör tabanına göre bağıl ivmesini bulunuz.

a_{\text{bagil}} = g - a_{\text{asansor}} = 10 - 2 = 8\text{ m/s}^2

aşağı yöndedir.

Asansör ve cıvata aynı yönde ivmelendiğinden, kabin içindeki gözlemciye göre cıvatanın bağıl ivmesi bu ivmelerin farkı olur.

2

Cıvatanın kabin tabanına düşme süresini hesaplayınız.

h = \frac{1}{2} a_{\text{bagil}} t^2 \Rightarrow 4 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot t^2 \Rightarrow t = 1\text{ s}

bulunur.

Cıvata tavandan ayrıldığı anda kabine göre ilk bağıl hızı sıfırdır, bu yüzden bağıl ivmeyle serbest düşme hareketi yapar.

3

Yerdeki gözlemciye göre cıvatanın yer değiştirmesini hesaplayınız.

\Delta y = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow \Delta y = 3(1) + 5(1)^2 = 8\text{ m}

aşağı yönde olur.

Cıvata koptuğu anda asansörün yere göre

3\text{ m/s}

'lik aşağı yönlü hızına sahiptir ve yer çekimi ivmesiyle hareket eder.

Key Concept

İvmelenen referans sistemlerinde bağıl hareket ve bir boyutta sabit ivmeli hareket denklemleri.

Question 3124Question →

Bir otomobil fabrikasındaki iki bağımsız test istasyonundan birincisinde araçların fren sistemi, ikincisinde ise far sistemi kontrol edilmektedir. Rastgele seçilen bir aracın fren kontrolünden geçememe olasılığı $\frac{1}{10}$ , far kontrolünden geçememe olasılığı ise $\frac{1}{8}$ 'dir.

Buna göre, test edilen bir aracın bu kontrollerden yalnızca birini geçme olasılığı kaçtır?

\frac{7}{80}

\frac{9}{80}

\frac{17}{80}

\frac{1}{5}

\frac{9}{40}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{5}$

Answer

Test edilen bir aracın bu kontrollerden yalnızca birini geçme olasılığı

\frac{1}{5}

'tir.

Aracın yalnızca bir testten geçmesi iki bağımsız ve ayrık durumun birleşimidir: ya fren testini geçip far testinden kalır ya da fren testinden kalıp far testini geçer. Bu iki olasılık sırasıyla

\frac{9}{10} \times \frac{1}{8} = \frac{9}{80}

ve

\frac{1}{10} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{80}

olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı

\frac{16}{80} = \frac{1}{5}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Her bir kontrolün geçme olasılıklarını hesaplayın.

Fren testinden geçme olasılığı:

1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}

. Far testinden geçme olasılığı:

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

'dir.

Yalnızca bir kontrolün geçilmesi ifadesi, birinden geçip diğerinden kalma durumlarını içerdiği için geçme olasılıklarına ihtiyaç duyulur.

2

Aracın yalnızca fren kontrolünden geçtiği durumu hesaplayın.

Frenden geçip fardan kalma olasılığı:

\frac{9}{10} \times \frac{1}{8} = \frac{9}{80}

'dir.

Kontroller bağımsız olaylar olduğundan, bu iki durumun ortak olasılığı çarpılarak bulunur.

3

Aracın yalnızca far kontrolünden geçtiği durumu hesaplayın.

Frenden kalıp fardan geçme olasılığı:

\frac{1}{10} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{80}

'dir.

İkinci olası durumu belirlemek için kontrollerin bağımsızlığı kullanılarak olasılıklar çarpılır.

4

Elde edilen bu iki ayrık durumun olasılığını toplayarak sadeleştirin.

\frac{9}{80} + \frac{7}{80} = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}

'tir.

Yalnızca birini geçme olayı bu iki durumun birleşimi (toplamı) ile bulunur.

Key Concept

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı ve ayrık olayların olasılıklarının toplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 3125Question →

Yalıtkan ve sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde sabit tutulan negatif yüklü noktasal bir cismin oluşturduğu elektriksel alanda, başka bir negatif yüklü noktasal cisim dış bir kuvvet yardımıyla sabit yüke doğru yaklaştırılmaktadır. Bu süreçte elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş pozitif, sistemin elektriksel potansiyel enerjisi ise artmaktadır.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

İfade yanlıştır. Süreç boyunca elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş negatif, sistemin elektriksel potansiyel enerjisi ise artmaktadır.

Negatif yüklü iki cisim birbirini ittiği için, cisimleri birbirine yaklaştırmak elektriksel kuvvetlere karşı iş yapmayı gerektirir. Dolayısıyla elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş negatif olmalıdır. Elektriksel potansiyel enerji ise yüklerin aynı işaretli olması ve aralarındaki mesafenin azalması nedeniyle artar.

Step-by-Step Solution

1

Yüklerin işaretlerini belirleyerek aralarındaki elektriksel kuvvetin yönünü tespit edin.

Hem sabit cisim hem de yaklaştırılan cisim negatif yüklüdür. Aynı işaretli yükler birbirini iteceği için, sabit cismin hareketli cisme uyguladığı elektriksel kuvvet, sabit cisimden uzaklaşacak yöndedir.

Elektriksel kuvvetin yönünü belirlemek, işin işaretini bulmanın ilk adımıdır.

2

Hareket yönü ile elektriksel kuvvet yönünü karşılaştırarak işin işaretini belirleyin.

Hareketli cisim sabit cisme doğru yaklaştırılmaktadır. Bu durumda cismin yer değiştirme vektör�� ile cisme etki eden elektriksel kuvvet vektörü zıt yönlüdür. Kuvvet ve yer değiştirme zıt yönlü olduğunda elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş negatif (

W_{el} < 0

) olur.

Bir kuvvetin yaptığı iş, kuvvet ile yer değiştirme vektörlerinin skaler çarpımıdır. Zıt yönlü olmaları işin negatif olmasını gerektirir.

3

Uzaklığın azalmasının elektriksel potansiyel enerji üzerindeki etkisini formülize edin.

İki noktasal yükün elektriksel potansiyel enerjisi

U = k \frac{q_1 q_2}{d}

ifadesiyle bulunur. Yüklerin ikisi de negatif olduğundan yüklerin çarpımı pozitiftir (

q_1 q_2 > 0

). Cisimler birbirine yaklaştıkça aralarındaki uzaklık (

d

) azalır, bu da paydanın küçülerek potansiyel enerjinin (

U

) artmasına (

\Delta U > 0

) neden olur.

Sistemin elektriksel potansiyel enerjisindeki değişimi matematiksel ve fiziksel olarak doğrulamak için.

Key Concept

Elektriksel kuvvetlerin yaptığı iş ile elektriksel potansiyel enerji değişimi arasındaki ilişki (

W_{el} = -\Delta U

)

Estimated Time:2m 0s

Question 3126Question →

Sonsuz uzunluktaki düz bir telin yanına yerleştirilen iletken bir halkada, telden geçen akımın azaltılmasıyla başlayan indüksiyon süreciyle ilgili bazı fiziksel olaylar aşağıda karışık olarak verilmiştir:

Buna göre, halkada indüksiyon akımının oluşumu ve sonrasındaki süreçte gerçekleşen bu olayların ilk andan son ana doğru kronolojik (neden-sonuç) sıralaması nasıl olmalıdır?

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sıralama: Düz telden geçen akımın azalmasıyla, halkanın sınırladığı bölgedeki dış manyetik alan şiddetinin azalması -> Halkanın yüzeyinden geçen net manyetik akının zamana göre değişim göstermesi -> Halkanın bulunduğu bölgede kapalı çizgisel integrali sıfırdan farklı olan girdaplı (korunumsuz) bir elektrik alanın oluşması -> İndüklenen elektrik alanın halkadaki serbest elektronlara kuvvet uygulayarak net bir yük hareketi (indüksiyon akımı) başlatması -> Oluşan indüksiyon akımının, Lenz Kanunu uyarınca dış manyetik akıdaki azalışı engelleyecek yönde kendi manyetik alanını yaratması şeklindedir.

İndüksiyon akımının oluşumundaki fiziksel süreçler sırasıyla; dış akımın değişmesiyle dış manyetik alanın değişmesi, bunun halka yüzeyinden geçen akıyı zamanla değiştirmesi, değişen akının halka çevresinde korunumsuz bir elektrik alan indüklemesi, bu alanın elektronlara kuvvet uygulayarak akım oluşturması ve son olarak bu akımın da Lenz kanununa uygun kendi manyetik alanını yaratması şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Akım değişimi ile manyetik alan ilişkisini kurma.

Düz telin çevresinde oluşturduğu manyetik alan

B = \frac{2kI}{d}

formülü gereği akım

I

azaldıkça azalır. Dolayısıyla ilk gerçekleşen olay dış manyetik alan şiddetinin azalmasıdır.

Akım değişimi manyetik alanın kaynağındaki değişimdir.

2

Manyetik alan değişimi ile manyetik akı ilişkisini kurma.

Manyetik akı

\Phi = B \cdot A \cdot \cos\theta

olup, manyetik alan şiddetinin azalması halkadan geçen net manyetik akıyı zamanla azaltır.

Akı, manyetik alan ve alanın geçtiği yüzeyin geometrik çarpımıdır.

3

Faraday Yasası'nın integral formunu uygulama.

Zamana göre değişen manyetik akı, halka çevresinde

\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}

eşitliği uyarınca girdaplı (korunumsuz) bir elektrik alan indükler. Bu aşamada henüz akım oluşmamıştır, elektrik alan indüklenmiştir.

Elektromotor kuvveti (EMK) aslında bu indüklenen elektrik alanın halka boyunca yaptığı iştir.

4

Elektrik alanın yükler üzerindeki etkisini inceleme.

İndüklenen elektrik alan, halka içindeki serbest elektronlara

\vec{F} = q\vec{E}

elektriksel kuvvetini uygulayarak onları sürükler ve halkada net bir yük akışı yani indüksiyon akımı oluşturur.

İletkenlerde akımın oluşması serbest yüklerin elektrik alan etkisiyle hareketiyle gerçekleşir.

5

Lenz Yasası ve indüksiyon akımının manyetik alanı ilişkisini kurma.

Oluşan indüksiyon akımı, Biot-Savart yasası gereği kendi manyetik alanını oluşturur. Lenz kanununa göre bu alan, kendisini doğuran akı azalışını yavaşlatacak yönde (dış manyetik alanla aynı yönlü) olur.

Doğa her zaman akı değişimine karşı koyacak yönde tepki verir.

Key Concept

Faraday İndüksiyon Yasası'nın mikroskobik açıklaması ve Lenz Kanunu

Question 3127Question →

Yalıtkan ve sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde aralarında $2d$ uzaklık bulunan iki noktasal $+q$ yükü sabitlenmiştir. Bu yüklerin, kendilerini birleştiren doğru parçasının orta dikme çizgisi üzerinde ve bu doğru parçasına $d$ uzakl��ktaki $P$ noktasında oluşturdukları bileşke elektrik alanın büyüklüğü $E$ 'dir.

Buna göre, yüklerden biri sistemden uzaklaştırılırsa $P$ noktasındaki bileşke elektrik alanın büyüklüğü kaç $E$ olur?

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{2}}{4}

\sqrt{2}

2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer

\frac{\sqrt{2}}{2}

Her iki yükün

P

noktasındaki elektrik alan vektörlerinin büyüklüğü eşit olup

E_1 = k\frac{q}{2d^2}

kadardır. Bu vektörler birbirine dik (

90^\circ

açıyla) olduğundan bileşke elektrik alan

E = E_1\sqrt{2}

olur. Yüklerden biri kaldırıldığında geriye kalan elektrik alan

E' = E_1 = \frac{E}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}E

büyüklüğünde olur.

Step-by-Step Solution

1

Her bir

+q

yükünün

P

noktasında oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğünü (

E_1

) uzaklık cinsinden ifade etme.

P

noktasının yüklerin her birine olan uzaklığı

r = \sqrt{d^2 + d^2} = d\sqrt{2}

olup, tek bir yükün oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğü

E_1 = k\frac{q}{r^2} = k\frac{q}{2d^2}

olur.

Noktasal bir yükün elektrik alanı

E = k\frac{q}{r^2}

formülüyle hesaplanır.

2

İki yükün

P

noktasındaki elektrik alan vektörleri arasındaki açıyı belirleme ve bileşke alanı bulma.

Soldaki yükün alanı

P

noktasından yukarı-sağa doğru

45^\circ

, sağdaki yükün alanı yukarı-sola doğru

45^\circ

yönelmiştir. Vektörler arasındaki açı

90^\circ

olduğundan bileşke alan

E = E_1\sqrt{2}

olur.

Eşit büyüklükte ve aralarında

90^\circ

açı bulunan iki vektörün bileşkesi, vektörlerden birinin

\sqrt{2}

katıdır.

3

Yüklerden biri kaldırıldığında

P

noktasında kalan elektrik alanın büyüklüğünü

E

cinsinden hesaplama.

Yüklerden biri kaldırılırsa

P

noktasında sadece diğer yükün alanı kalır. Bu alanın büyüklüğü

E' = E_1 = \frac{E}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}E

olur.

Sistemde tek yük kaldığında bileşke alan o yükün kendi alanına eşit olur.

Key Concept

Elektriksel alan vektörel bir büyüklüktür ve bileşke elektrik alan bulunurken vektörel toplama yapılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 3128Question →

\int_{0}^{2} x(x^2 + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

156

78

10

4

2

Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

İntegralin doğru değeri 78'dir.

Değişken değiştirme yöntemiyle

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılıp diferansiyel ve sınırlar doğru şekilde uyarlandığında belirli integralin değeri 78 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir.

u = x^2 + 1

seçilirse her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

olur. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegrali alınacak ifadeyi bilinen temel integral formuna indirgemek için parantez içi

u

değişkenine eşitlenir.

2

Belirli integral sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1

. Üst sınır için:

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerinin de yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerekir.

3

İntegral yeni değişken ve sınırlar cinsinden yazılıp hesaplanır.

\int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{625 - 1}{8} = 78

Kuvvet kuralı kullanılarak integral alınır ve üst ile alt sınır değerleri yerine koyularak farkı hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Question 3129Question →

Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, yerden $80\text{ m}$ yükseklikten yatay doğrultuda $15\text{ m/s}$ büyüklüğündeki hızla fırlatılan $2\text{ kg}$ kütleli bir cisme, fırlatıldığı andan yere çarpıncaya kadar geçen sürede yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmenin büyüklüğü 80 N.s'dir.

Yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itme, cisme etki eden yer çekimi kuvveti (ağırlık) ile hareket süresinin çarpımıyla bulunur.

80\text{ m}

yükseklikten serbest düşüş yapan cisim

4\text{ s}

'de yere ulaşır. Ağırlığı

20\text{ N}

olan cisme uygulanan itme

20 \times 4 = 80\text{ N}\cdot\text{s}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Düşey doğrultudaki hareket denkleminden cismin uçuş süresini hesaplamak.

t = 4\text{ s}

Yatay atılan bir cisim düşeyde serbest düşme hareketi yapar.

h = 80\text{ m}

yüksekliği

h = \frac{1}{2}gt^2

bağıntısına göre

4\text{ s}

sürede alır.

2

Cisme hareket süresince etki eden yer çekimi kuvvetini hesaplamak.

F = 20\text{ N}

Hava sürtünmesi ihmal edildiği için cismin havada kaldığı sürece üzerine etki eden tek net kuvvet cismin ağırlığıdır (

G = m \cdot g

).

3

İtme formülünü uygulayarak yer çekimi kuvvetinin uyguladığı itmeyi bulmak.

I = 80\text{ N}\cdot\text{s}

Bir kuvvetin uyguladığı itme, kuvvet ile etki etme süresinin vektörel çarpımıd��r (

I = F \cdot \Delta t

).

Key Concept

İtme, net kuvvet ile etkileşim süresinin çarpımına eşittir (

I = F_{net} \cdot \Delta t

) ve bu değer cismin momentumundaki değişime (

\Delta p

) denktir.

Question 3130Question →

Şekildeki ideal transformatörün primer (giriş) bobinine etkin gerilimi $V$ , frekansı $f$ olan alternatif akım kaynağı bağlıdır. Transformatörün sekonder (çıkış) bobinine ise sığası $C$ olan bir sığaç ve bir lamba seri olarak bağlanmıştır.

Buna göre;

I. Kaynağın frekansı ( $f$ ) artırılırsa lambanın parlaklığı artar.
II. Transformatörün primer bobininin sarım sayısı ( $N_P$ ) artırılırsa lambanın parlaklığı azalır.
III. Kaynağın gerilimi ( $V$ ) artırılırsa lambanın uçları arasındaki etkin potansiyel farkı artar.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I, II ve III

Answer

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.

Üç yargı da doğrudur. Transformatörler alternatif akımla çalışır ve giriş frekansını değiştirmezler. Sekonder bobindeki gerilim

V_S = V \cdot \frac{N_S}{N_P}

bağıntısı ile bulunur. Kaynağın frekansı (

f

) artırıldığında, sekonder devredeki sığacın kapasitif reaktansı (

X_C = \frac{1}{2\pi f C}

) azalır. Bu durum devrenin toplam empedansını azaltarak devreden geçen etkin akımı artırır ve lambanın parlaklığı artar. Primer bobinin sarım sayısı (

N_P

) artırılırsa sekonder gerilim (

V_S

) azalır, bu da etkin akımı ve dolayısıyla lamba parlaklığını azaltır. Kaynağın gerilimi (

V

) artırılırsa sekonder gerilim (

V_S

) artar, bu da lamba üzerindeki etkin potansiyel farkının artmasına neden olur.

Step-by-Step Solution

1

Transformatörün çıkış (sekonder) gerilimini veren ifadeyi yazmak.

V_S = V \cdot \frac{N_S}{N_P}

Primer bobine uygulanan gerilimin sekonder bobine nasıl aktarıldığını belirlemek için.

2

Transformatörlerin frekans üzerindeki etkisini incelemek.

Frekans değişmez (

f_S = f_P = f

).

Transformatörler gerilimi değiştirebilir ancak alternatif akımın frekansını değiştirmezler.

3

Sekonder devredeki sığacın kapasitif reaktansını (

X_C

) ve devrenin empedansını (

Z

) analiz etmek.

X_C = \frac{1}{2\pi f C}

ve

Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}

Frekans değişimin devrenin toplam direncine (empedansına) etkisini bulmak için.

4

Değişkenlerin lamba parlaklığı ve gerilimi üzerindeki etkilerini birleştirmek.

Frekans (

f

) artarsa

X_C

azalır, devrenin empedansı (

Z

) azalır, akım artar ve lamba parlaklığı artar (I. öncül doğrudur). Primer sarım sayısı (

N_P

) artarsa

V_S

azalır, akım azalır, lamba parlaklığı azalır (II. öncül doğrudur). Giriş gerilimi (

V

) artarsa

V_S

artar, akım artar, lambanın etkin gerilimi artar (III. öncül doğrudur).

Öncülleri tek tek değerlendirip doğru yargılara ulaşmak için.

Key Concept

Transformatörlerde gerilim-sarım ilişkisi, frekansın korunumu ve alternatif akım devrelerinde sığacın frekansa bağlı davranışı.

Estimated Time:2m 0s

Question 3131Question →

Durgun halden doğrusal bir yolda sabit $3\text{ m/s}^2$ ivmeyle hızlanmaya başlayan bir otomobil, belirli bir süre sonra hızlanmayı bırakıp gecikmeden sabit $6\text{ m/s}^2$ ivmeyle yavaşlayarak duruyor. Otomobilin harekete başladığı andan durduğu ana kadar aldığı toplam yol $900\text{ m}$ olduğuna göre, bu hareket boyunca ulaştığı maksimum hız kaç $\text{m/s}$ 'dir?

30

45

60

90

120

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Maksimum hız 60 m/s'dir.

Otomobilin hız-zaman grafiği çizildiğinde, hızlanma süresi

t_1

ve yavaşlama süresi

t_2

olmak üzere, ulaşılan maksimum hız

v_{\text{maks}} = 3t_1 = 6t_2

olur. Buradan

t_1 = 2t_2

ilişkisi elde edilir. Toplam hareket süresi

t_1 + t_2 = 3t_2

olur. Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan alınan toplam yolu vereceğinden, alan formülü

\frac{v_{\text{maks}} \cdot (t_1 + t_2)}{2} = 900

olarak yazılır. Değerler yerine konulduğunda

\frac{6t_2 \cdot 3t_2}{2} = 900 \implies 9t_2^2 = 900 \implies t_2 = 10\text{ s}

bulunur. Buradan maksimum hız

v_{\text{maks}} = 6 \cdot 10 = 60\text{ m/s}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Hızlanma ve yavaşlama süreleri arasındaki ilişkiyi belirleyin.

t_1 = 2t_2

Maksimum hız her iki aşama için de ortak olduğundan

v_{\text{maks}} = a_1 t_1 = a_2 t_2 \implies 3t_1 = 6t_2 \implies t_1 = 2t_2

elde edilir.

2

Toplam yolu hız-zaman grafiğinin alanı cinsinden yazarak süreleri bulun.

t_2 = 10\text{ s}

ve

t_1 = 20\text{ s}

Grafik altındaki alan

\frac{v_{\text{maks}} \cdot (t_1 + t_2)}{2} = 900 \implies \frac{6t_2 \cdot 3t_2}{2} = 900 \implies 9t_2^2 = 900 \implies t_2 = 10\text{ s}

bulunur.

3

Bulunan süreyi kullanarak maksimum hızı hesaplayın.

v_{\text{maks}} = 60\text{ m/s}

v_{\text{maks}} = 6 \cdot t_2 = 6 \cdot 10 = 60\text{ m/s}

olarak elde edilir.

Key Concept

Sabit ivmeli harekette hız-zaman grafiği alanı ve ivme-zaman ilişkisi

Alternative Method

Zamansız hız formülü (

v^2 = 2ax

) kullanılarak da çözülebilir. Hızlanma mesafesi

x_1

ve yavaşlama mesafesi

x_2

olmak üzere,

v_{\text{maks}}^2 = 2 \cdot 3 \cdot x_1

ve

v_{\text{maks}}^2 = 2 \cdot 6 \cdot x_2

yazılır. Buradan

6x_1 = 12x_2 \implies x_1 = 2x_2

bulunur. Toplam yol

x_1 + x_2 = 900\text{ m} \implies 3x_2 = 900 \implies x_2 = 300\text{ m}

olur. Buradan

v_{\text{maks}}^2 = 12 \cdot 300 = 3600 \implies v_{\text{maks}} = 60\text{ m/s}

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 3132Question →

Sürtünmesiz yatay bir masanın merkezindeki delikten geçen ipin uçlarına $m_1 = 1\text{ kg}$ ve $m_2 = 3\text{ kg}$ kütleli iki cisim bağlanmıştır. $m_1$ kütleli cisim masa üzerinde $r = 1,2\text{ m}$ yarıçaplı yörüngede $v$ çizgisel süratiyle düzgün çembersel hareket yaparken, $m_2$ kütleli cisim masanın altında düşey doğrultuda hareketsiz kalmaktadır.

Buna göre, $m_1$ kütleli cismin çizgisel sürati $v$ kaç $\text{m/s}$ 'dir?
(Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız, ipin kütlesi ve sürtünmeler önemsizdir.)

2

3

5

6

8

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

Masanın altında asılı olan cismin dengede kalması için ipteki gerilme kuvveti bu cismin ağırlığına eşit olmalıdır (

T = m_2 g = 30\text{ N}

). Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapan cisim için merkezcil kuvvet ip gerilmesi tarafından sağlanır (

T = \frac{m_1 v^2}{r}

). Buradan

30 = \frac{1 \cdot v^2}{1,2}

yazılarak sürat

6\text{ m/s}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Masanın altında asılı duran

m_2

kütleli cismin dengede kalma şartını yazarak ip gerilmesini (

T

) bulunuz.

T = m_2 \cdot g = 3 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 = 30 \text{ N}

m_2

kütleli cisim hareketsiz kaldığı için üzerindeki net kuvvet sıfır olmalıdır. Bu durumda yukarı yönlü ip gerilmesi, aşağı yönlü yer çekimi kuvvetine (ağırlığa) eşit olur.

2

Masa üzerindeki

m_1

kütleli cismin düzgün çembersel hareket yapmasını sağlayan merkezcil kuvveti ip gerilmesine eşitleyiniz.

T = F_{\text{merkezcil}} = \frac{m_1 \cdot v^2}{r}

Sürtünmesiz yatay düzlemde cismin merkeze doğru çekilmesini ve dairesel yörüngede kalmasını sağlayan tek kuvvet ip gerilmesidir.

3

Bulunan değerleri yerine yazarak

v

çizgisel süratini hesaplay��nız.

30 = \frac{1 \cdot v^2}{1,2} \implies v^2 = 36 \implies v = 6 \text{ m/s}

Denklemi

v

için çözmek, aranan çizgisel sürati verecektir.

Key Concept

Yatay Düzlemde Çembersel Hareket ve Merkezcil Kuvvet

Question 3133Question →

Bir kimya laboratuvarındaki stantta yan yana dizilmek üzere 3 adet özdeş mavi kapaklı, 3 adet özdeş kırmızı kapaklı ve 1 adet yeşil kapaklı olmak üzere toplam 7 adet deney tüpü bulunmaktadır.

Yeşil kapaklı deney tüpü standın en solunda veya en sağında yer almamak şartıyla, bu 7 deney tüpü stantta yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

40

80

100

120

140

Show answer & explanation

Answer: 100

Answer

Yeşil kapaklı deney tüpünün en sol veya en sağda yer almadığı toplam dizilim sayısı 100'dür.

Yeşil tüpün stantta yer alabileceği 7 konum vardır. En sol ve en sağdaki konumlar hariç tutulduğunda, yeşil tüpün yerleşebileceği 5 orta konum kalır. Yeşil tüp bu 5 konumdan birine yerleştirildikten sonra, kalan 6 konuma 3 özdeş mavi ve 3 özdeş kırmızı tüp

\frac{6!}{3! \times 3!} = 20

farklı şekilde dizilebilir. Buradan toplam geçerli dizilim sayısı

5 \times 20 = 100

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm tüplerin herhangi bir kısıtlama olmaksızın stanttaki toplam dizilim sayısı hesaplanır.

3 adet mavi, 3 adet kırmızı ve 1 adet yeşil tüpün toplam dizilim sayısı:

\frac{7!}{3! \times 3! \times 1!} = 140

olarak bulunur.

Kısıtlamasız tüm durumların sayısını elde etmek için tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.

2

Yeşil tüpün en solda veya en sağda yer aldığı (istenmeyen) durumların sayısı hesaplanır.

Yeşil tüp en solda olduğunda kalan 6 tüp

\frac{6!}{3! \times 3!} = 20

farklı şekilde dizilir. Yeşil tüp en sağda olduğunda da aynı şekilde 20 farklı dizilim oluşur. İstenmeyen toplam durum sayısı

20 + 20 = 40

olur.

Yeşil tüpün uçlarda olma durumları kısıtlamaya uymayan durumları oluşturur.

3

Toplam dizilim sayısından istenmeyen durumların sayısı çıkarılarak geçerli dizilim sayısı bulunur.

140 - 40 = 100

geçerli dizilim elde edilir.

İstenen durum sayısı, tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Question 3134Question →

İdeal olduğu bilinen bir transformatörün giriş (primer) bobinine etkin gerilimi $V$ , frekansı $f$ olan alternatif akım kaynağı bağlanmıştır. Transformatörün çıkışında (sekonder), sarım sayıları sırasıyla $N_K$ ve $N_L$ olan $K$ ve $L$ bobinleri bulunmaktadır. Bu bobinlerin uçlarından sırasıyla $V_K$ ve $V_L$ etkin gerilimleri elde edilmektedir.

Buna göre, bu transformatörün çalışmasıyla ilgili;

I. Giriş bobinine alternatif akım kaynağı yerine aynı gerilim değerinde bir doğru akım (DC) kayna��ı bağlanırsa $V_K$ ve $V_L$ gerilimleri sıfır olur.
II. $K$ ve $L$ bobinleri seri olarak birbirine bağlandığında, elde edilen toplam çıkış gerilimi bobinlerin sarım yönlerine göre $V_K + V_L$ veya $|V_K - V_L|$ olabilir.
III. $K$ bobininin sarım sayısı giriş bobinininkinden büyükse, $V_K$ geriliminin frekansı $f$ değerinden daha b��yük olur.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

Birinci ve ikinci öncüllerin doğru, üçüncü öncülün ise yanlış olduğunu belirten 'I ve II' seçeneğidir.

Transformatörler elektromanyetik indüksiyon prensibiyle çalışır. Zamanla değişen alternatif akım demir çekirdekte değişken manyetik akı oluşturur ve bu akı çıkış bobinlerinde gerilim indükler. Girişe doğru akım (DC) uygulandığında akı değişimi gerçekleşmeyeceği için çıkış gerilimi sıfır olur (birinci öncül doğrudur). Seri bağlanan sekonder bobinlerin ürettiği gerilimler, sarım yönlerine göre birbirini güçlendirebilir veya zayıflatabilir, bu yüzden toplam gerilim

V_K + V_L

veya

|V_K - V_L|

olabilir (ikinci öncül doğrudur). Transformatörler frekansı değiştiremez; giriş frekansı ne ise çıkış frekansı da odur, dolayısıyla sarım sayısının büyük olması frekansı artırmaz (üçüncü öncül yanlıştır). Bu nedenlerle birinci ve ikinci öncüllerin doğru olduğu seçenek doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Doğru akım (DC) etkisini analiz etme

Giriş bobinine doğru akım (DC) bağlandığında, bobinde sabit büyüklükte bir manyetik alan oluşur. Bu durum demir çekirdekteki manyetik akının zamanla değişmesini engeller. Faraday'ın indüksiyon yasasına göre, sekonder bobinlerde gerilim indüklenebilmesi için manyetik akının zamanla değişmesi (

d\Phi/dt \neq 0

) gerekir. Akı değişimi sıfır olduğu için çıkış gerilimleri

V_K

ve

V_L

sıfır olur. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.

Transformatörlerin alternatif akımla çalışıp doğru akımla çalışmadığını belirlemek için.

2

Seri bağlı bobinlerin gerilim analizini yapma

K ve L bobinleri seri bağlandığında, bobinlerin uçlarının nasıl eşleştirildiğine (yani sarım yönlerine) bağlı olarak, indüklenen elektromotor kuvvetleri (EMK) birbirini destekleyecek ya da köreltecek şekilde yönlenebilir. Eğer aynı yönlü akım üretecek şekilde bağlanırlarsa toplam gerilim

V_K + V_L

, zıt yönlü bağlanırlarsa

|V_K - V_L|

olur. Dolayısıyla ikinci öncül doğrudur.

Seri bağlı kaynakların (indüklenen gerilimlerin) faz/yön ilişkisini belirlemek için.

3

Frekans ilişkisini analiz etme

Transformatörler gerilim ve akım değerlerini değiştirebilirken, alternatif akımın frekansını değiştiremezler. Giriş geriliminin frekansı

f

ise çıkış gerilimlerinin frekansı da sarım sayısından bağımsız olarak daima

f

olur. Dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır.

Transformatörlerin frekans üzerindeki etkisini incelemek için.

Key Concept

Transformatörlerin çalışma ilkeleri (indüksiyon, alternatif akım/doğru akım davranışı ve frekans korunumu)

Question 3135Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası

T

olan

f(x) = -x^2 + bx + c

parabolünün simetri ekseni

x = 3

doğrusudur.

Bu parabol y-eksenini $A$ noktasında, x-eksenini ise pozitif tarafta $B(8, 0)$ noktasında kesmektedir.

Buna göre, $A$ ve $T$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

2

3

4

-3

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Doğrunun eğimi 3'tür.

Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabolün simetri ekseni

r = 3

kullanılarak

b = 6

ve parabol üzerindeki

B(8, 0)

noktası kullanılarak

c = 16

değerlerinin bulunmasıyla elde edilir. Bu değerlerle y-eksenini kesen nokta olan

A(0, 16)

ve tepe noktası olan

T(3, 25)

koordinatları belirlenir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplandığında sonuç 3 olur.

Step-by-Step Solution

1

Simetri ekseni formülü kullanılarak b değeri hesaplanır.

b = 6

Parabolün simetri ekseni

x = r = 3

olarak verilmiştir.

r = -\frac{b}{2a}

formülünde

a = -1

ve

r = 3

yazılırsa

3 = -\frac{b}{2(-1)} \Rightarrow b = 6

elde edilir.

2

Parabolün üzerindeki B(8, 0) noktası kullanılarak c değeri hesaplanır.

c = 16

f(x) = -x^2 + 6x + c

denkleminde

B(8, 0)

noktası yerine yazıldığında

f(8) = 0

olmalıdır. Buradan

-(8)^2 + 6(8) + c = 0 \Rightarrow -64 + 48 + c = 0 \Rightarrow c = 16

bulunur.

3

A ve T noktalarının koordinatları belirlenir.

A(0, 16)

ve

T(3, 25)

Parabol y-eksenini

A

noktasında kestiği için

x = 0

yazılırsa

A(0, 16)

olur. Tepe noktası

T(r, k)

için

r = 3

ve

k = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 16 = 25

olduğundan

T(3, 25)

elde edilir.

4

İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.

m = 3

A(0, 16)

ve

T(3, 25)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{25 - 16}{3 - 0} = \frac{9}{3} = 3

olarak hesaplanır.

Key Concept

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ilişkisi ve iki noktası bilinen doğrunun eğimi.

Alternative Method

Genel olarak

y = ax^2 + bx + c

parabolünün y-eksenini kestiği nokta

A(0, c)

ve tepe noktası

T(r, k)

'dır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi

m = \frac{k - c}{r - 0} = \frac{ar^2 + br + c - c}{r} = ar + b

olur.

r = -\frac{b}{2a} \Rightarrow ar = -\frac{b}{2}

olduğundan, bu eğim her zaman

m = -\frac{b}{2} + b = \frac{b}{2}

değerine eşittir. Soruya göre

a = -1

ve

r = 3

olduğundan

3 = -\frac{b}{2(-1)} \Rightarrow b = 6

bulunur. Dolayısıyla eğim doğrudan

\frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3

olarak bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 3136Question →

Düşey eksen etrafında $\omega$ açısal süratiyle dönmekte olan içi boş bir silindirin iç yan yüzeyine yerleştirilen $m$ kütleli bir blok, silindirle birlikte kaymadan dönme hareketi yapmaktadır.

Buna göre, cismin bu çembersel hareketi yapmasını sağlayan merkezcil kuvvet aşağıdakilerden hangisidir?

Cismin yer çekimi kuvveti (ağırlığı)

Cisme düşey doğrultuda etki eden sürtünme kuvveti

Silindir yüzeyinin cisme uyguladığı normal (tepki) kuvveti

Cismin dışarı doğru savrulmasını sağlayan eylemsizlik (merkezkaç) kuvveti

Cisme etki eden sürtünme kuvveti ile normal kuvvetin vektörel toplamı

Show answer & explanation

Answer: Silindir yüzeyinin cisme uyguladığı normal (tepki) kuvveti

Answer

Silindir yüzeyinin cisme uyguladığı normal (tepki) kuvveti

Düzgün çembersel hareket yapan bir cisme yörünge merkezine doğru etki eden net kuvvet merkezcil kuvvettir. Düşey dönen silindir içinde kaymadan dönen cisme etki eden yatay doğrultudaki tek temas kuvveti, silindir yüzeyinin uyguladığı normal (tepki) kuvvetidir. Bu nedenle normal kuvvet merkezcil kuvvetin kendisidir.

Step-by-Step Solution

1

Cisme etki eden tüm kuvvetleri belirleyip serbest cisim diyagramını analiz edin.

Düşey doğrultuda aşağı doğru yer çekimi kuvveti (

G = mg

), yukarı doğru statik sürtünme kuvveti (

f_s

) ve yatay doğrultuda silindir merkezine doğru yüzeyin normal kuvveti (

N

) etki eder.

Düzgün çembersel hareket yapan bir cisme etki eden net kuvvetin yönünü ve bileşenlerini belirlemek için serbest cisim diyagramı çizilmelidir.

2

Düşey ve yatay doğrultudaki kuvvet dengelerini yazın.

Cisim düşeyde kaymadığı için düşey kuvvetler birbirini dengeler (

f_s = mg

). Yatay doğrultuda ise net kuvvet merkeze doğru olan yüzeyin normal kuvvetidir (

F_{net} = N

).

Kaymadan dönen cisim düşeyde dengedeyken yatayda ivmeli (merkezcil ivmeli) hareket yapmaktadır.

3

Merkezcil kuvveti tanımlayan net kuvvet eşitliğini kurun.

Merkezcil kuvvet, çembersel yörüngenin merkezine doğru olan net kuvvettir. Burada net kuvvet doğrudan normal kuvvet olduğundan, merkezcil kuvvet normal kuvvete eşittir (

F_{merkezcil} = N

).

��embersel hareketin gerçekleşmesi için gerekli olan merkezcil kuvvet, sistemdeki gerçek bir fiziksel kuvvetin (burada normal kuvvet) kendisidir.

Key Concept

Dönen silindir içindeki cismin çembersel hareketinde, silindir yüzeyinin uyguladığı normal kuvvetin merkezcil kuvvet görevi görmesi.

Question 3137Question →

Sürtünmesiz yatay düzlemde, $m$ kütleli $X$ cismi $v$ büyüklüğündeki sabit hızla hareket ederken, durmakta olan $m$ kütleli $Y$ cismine çarpmaktadır. Çarpışmadan sonra cisimler şekildeki gibi farklı doğrultularda hareket etmektedir. $X$ cisminin saçılma doğrultusunun çarpışma öncesindeki hareket doğrultusuyla yaptığı açı $53^\circ$ , $Y$ cisminin saçılma doğrultusunun yaptığı açı ise $37^\circ$ dir.

Buna göre, çarpışmadan sonra $X$ cisminin hızının büyüklüğü ( $v_X$ ) kaç $v$ 'dir?

(Trigonometrik değerler: $\sin(37^\circ) = \cos(53^\circ) = 0,6$ ; $\sin(53^\circ) = \cos(37^\circ) = 0,8$ )

\frac{1}{2}

\frac{3}{5}

\frac{3}{4}

\frac{4}{5}

\frac{5}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{5}$

Answer

Çarpışmadan sonra X cisminin hızının büyüklüğü ilk hızın üç bölü beşine eşittir.

Çizgisel momentumun vektörel korunumu yasası gereği, eşit kütleli iki cismin esnek çarpışması sonrasında hız vektörlerinin toplamı ilk hıza eşit olur. Saçılma açılarının toplamı dik açı (

90^\circ

) yaptığı için bu vektörler bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende ilk hız hipotenüs olup, ilk doğrultuyla

53^\circ

açı yapan hız bileşeni kosinüs bağıntısıyla üç bölü beş olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Momentumun korunumu ilkesini vektörel olarak yazın.

m\vec{v} = m\vec{v}_X + m\vec{v}_Y \implies \vec{v} = \vec{v}_X + \vec{v}_Y

Sürtünmesiz yatay düzlemde dış bir kuvvet etki etmediği için sistemin çizgisel momentumu korunur.

2

Hız vektörleri arasındaki geometrik ilişkiyi belirleyin.

\vec{v}_X

ile

\vec{v}_Y

arasındaki açı

53^\circ + 37^\circ = 90^\circ

dir. Dolayısıyla bu vektörler bir dik üçgen oluşturur.

Saçılma açılarının toplamı dik açı oluşturduğu için hız vektörlerinin uca eklenmesiyle elde edilen üçgen bir dik üçgendir ve hipotenüs ilk hız vektörüdür.

3

X cisminin son hız büyüklüğünü trigonometrik bağıntı kullanarak hesaplayın.

v_X = v \cdot \cos(53^\circ) = v \cdot 0,6 = \frac{3}{5}v

Oluşan dik üçgende X cisminin hız vektörü, ilk hız vektörünün komşu kenarı durumundadır.

Key Concept

Çizgisel Momentumun Korunumu ve İki Boyutta Esnek Çarpışmalar

Question 3138Question →

Yatay ve sürtünmeli bir yolda $v = 10\text{ m/s}$ sabit süratle ilerleyen $1200\text{ kg}$ kütleli bir otomobil, $50\text{ m}$ yarıçaplı yatay viraja giriyor. Otomobilin bu virajı savrulmadan güvenli bir şekilde dönebilmesi için yol ile tekerlekler arasındaki statik sürtünme katsayısının alabileceği en küçük değer kaçtır? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

0,1

0,2

0,4

0,5

0,8

Show answer & explanation

Answer: 0,2

Answer

Statik sürtünme katsayısının alabileceği en küçük değer 0,2'dir.

Otomobilin yatay virajda savrulmadan dönebilmesi için gereken minimum statik sürtünme katsayısı

k_{min} = \frac{v^2}{g \cdot r}

formülüyle hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda

k_{min} = \frac{10^2}{10 \cdot 50} = 0,2

elde edilir. Bu nedenle 0,2 değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Otomobile viraj içinde etki eden kuvvetleri belirleyip hareket denklemini yazın.

Yatay virajda otomobilin savrulmadan dönebilmesi için tekerlekler ile yol arasındaki statik sürtünme kuvveti (

f_s

), merkezcil kuvvet görevi görür. Güvenli dönüş şartı:

f_s \geq F_{merkezcil}

şeklindedir.

Otomobilin dairesel yörüngede kalmasını sağlayan net kuvvet, merkeze doğru yönelmiş olan statik sürtünme kuvvetidir.

2

Kuvvetlerin açık formüllerini yerine yazarak sürtünme katsayısını yalnız bırakın.

k \cdot m \cdot g \geq \frac{m \cdot v^2}{r}

ifadesinden kütleler (

m

) sadeleşir ve

k \geq \frac{v^2}{g \cdot r}

elde edilir.

Statik sürtünme kuvvetinin maksimum değeri

f_s = k \cdot m \cdot g

ve merkezcil kuvvet

F_{merkezcil} = \frac{m \cdot v^2}{r}

olup, güvenli dönüş sınırında bu iki ifade birbirine eşitlenir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak minimum sürtünme katsayısını hesaplayın.

k_{min} = \frac{10^2}{10 \cdot 50} = \frac{100}{500} = 0,2

bulunur.

Otomobilin savrulmadan dönebilmesi için gereken statik sürtünme katsayısının en küçük sınır değerini bulmak amacıyla matematiksel hesaplama tamamlanır.

Key Concept

Yatay virajda güvenli dönüş için merkezcil kuvveti sağlayan tek kuvvet statik sürtünme kuvvetidir ve bu durumda güvenli dönüş şartı kütleye bağlı değildir.

Estimated Time:50s

Question 3139Question →

\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

5

\sqrt{3}

1

2

2\sqrt{3}

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İntegralin doğru değeri 1'dir.

Doğru değer 1'dir.

x^2 + 16 = u

dönüşümü ile

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir. Sınırlar

x = 0

için

u = 16

ve

x = 3

için

u = 25

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{16}^{25} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = 5 - 4 = 1

olur.

Step-by-Step Solution

1

x^2 + 16 = u

dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.

2x \, dx = du \implies x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \, dx

ifadesini

u

cinsinden yazmak için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 16 = 16

. Üst sınır için:

x = 3 \implies u = 3^2 + 16 = 25

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.

3

Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.

\int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{16}^{25} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1

bulunur.

İntegrali

u

cinsinden çözüp belirli integralin değerini bulmak için.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi

Estimated Time:2m 0s

Question 3140Question →

Düşey eksen etrafında sabit $\omega$ açısal hızıyla dönen $R$ yarıçaplı dairesel tel halkanın üzerine geçirilmiş $m$ kütleli sürtünmesiz bir boncuk, halkayla birlikte dönmektedir. Boncuk, halkanın en alt noktasından itibaren düşey doğrultuyla $\theta$ açısı yapacak şekilde halka üzerinde kaymadan dengede kalmaktadır. Yer çekimi ivmesi $g$ olduğuna göre, boncuğun dengede kaldığı bu konumda $\cos\theta$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{\omega^2 R}{g}

\frac{g}{\omega R}

\frac{g}{\omega^2 R}

\frac{\omega^2 R^2}{g}

\sqrt{\frac{g}{\omega^2 R}}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{g}{\omega^2 R}$

Answer

İfade edilen oran yer çekimi ivmesinin, açısal hızın karesi ile halka yarıçapının çarpımına oranına eşittir.

Boncuğa etki eden normal kuvvetin düşey bileşeni cismin ağırlığını dengelerken, yatay bileşeni düşey eksen etrafındaki yatay düzlemde dönmesini sağlayan merkezcil kuvveti oluşturur. Denge konumunda bu iki denklemin çözülmesiyle açısal hız ve yarıçapa bağlı kosinüs değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Boncuk üzerindeki kuvvetlerin belirlenmesi ve serbest cisim diyagramının çizilmesi.

Boncuğa etki eden iki gerçek kuvvet bulunur: Yer çekimi kuvveti (

mg

) düşey aşağı yönde, halkanın uyguladığı normal tepki kuvveti (

N

) ise dairesel kesitin merkezine doğrudur.

Harekete etki eden kuvvetleri belirleyip doğru denklemleri kurabilmek amacıyla yapılır.

2

Düşey doğrultudaki kuvvet dengesinin yazılması.

Boncuğun düşey doğrultuda hareket etmemesi sebebiyle düşey kuvvetlerin toplamı sıfırdır:

N \cos\theta = mg

olur.

Boncuğun halka üzerinde düşey olarak kaymadan, sabit bir yükseklikte kalabilmesi için gereken denge şartını belirlemek amacıyla yapılır.

3

Yatay düzlemdeki çembersel hareket için net kuvvetin yazılması.

Boncuk

r = R \sin\theta

yarıçaplı yatay bir çember üzerinde hareket eder. Bu hareketi sağlayan merkezcil kuvvet, normal kuvvetin yatay bileşenidir:

N \sin\theta = m \omega^2 r = m \omega^2 R \sin\theta

elde edilir.

Çembersel hareketin gerçekleşmesi için gerekli net merkeze doğru kuvveti (merkezcil kuvvet) tanımlamak amacıyla yapılır.

4

Denklemlerin birleştirilerek

\cos\theta

ifadesinin çekilmesi.

Yatay hareket denkleminden

\sin\theta \neq 0

olduğundan her iki taraf

\sin\theta

'ya bölünerek

N = m \omega^2 R

bulunur. Bu değer düşey denge denkleminde yerine konulursa;

(m \omega^2 R) \cos\theta = mg

ve buradan

\cos\theta = \frac{g}{\omega^2 R}

bulunur.

Boncuğun denge açısı olan

\theta

açısının kosinüs değerini veren matematiksel ifadeye ulaşmak amacıyla yapılır.

Key Concept

Çembersel harekette merkezcil kuvvetin gerçek kuvvetlerin net bileşkesi olması ve doğru dönme ekseni yarıçapı kullanılarak ifade edilmesi.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer