Examkin

All practice questions

8734 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 1181Question →

Tanımlı olduğu xx gerçel sayı değerleri için,

cos⁡(7π2−x)+sin⁡(x−5π)sin⁡(11π2+x)+cos⁡(3π−x)\frac{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) + \sin(x - 5\pi)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) + \cos(3\pi - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: tan⁡(x)\tan(x)

Answer

tan⁡(x)\tan(x)
İfadenin payı sadeleştirildiğinde −2sin⁡(x)-2\sin(x), paydası ise −2cos⁡(x)-2\cos(x) olarak elde edilir. Bu iki değerin birbirine bölünmesiyle −2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \tan(x) sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡(7π2−x)\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) ve sin⁡(x−5π)\sin(x - 5\pi) ifadelerini indirgeyiniz.
cos⁡(7π2−x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\sin(x) ve sin⁡(x−5π)=−sin⁡(x)\sin(x - 5\pi) = -\sin(x) olur. Buradan pay kısmı −sin⁡(x)+(−sin⁡(x))=−2sin⁡(x)-\sin(x) + (-\sin(x)) = -2\sin(x) olarak bulunur.
7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2}'dir. Açı üçüncü bölgede olduğundan kosinüsün işareti negatif olur ve π2\frac{\pi}{2}'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür. x−5πx - 5\pi açısı ise esas ölç��süne tamamlandığında x+πx + \pi olur; bu üçüncü bölgede sinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.
2
Payda kısmındaki sin⁡(11π2+x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) ve cos⁡(3π−x)\cos(3\pi - x) ifadelerini indirgeyiniz.
sin⁡(11π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = -\cos(x) ve cos⁡(3π−x)=−cos⁡(x)\cos(3\pi - x) = -\cos(x) olur. Buradan payda kısmı −cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) olarak bulunur.
11π2\frac{11\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2}'dir. Açı dördüncü bölgede olduğundan sinüsün işareti negatif olur ve π2\frac{\pi}{2}'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür. 3π−x3\pi - x açısının esas ölçüsü π−x\pi - x olup ikinci bölgede kosinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.
3
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadeyi sadeleştiriniz.
−2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) olarak elde edilir.
Pay ve paydadaki −2-2 katsayıları sadeleşir. Kalan sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} oranı tanım gereği tanjant fonksiyonuna eşittir.

Key Concept

Trigonometrik oranların π\pi ve π2\frac{\pi}{2}'nin katları kullanılarak bölgelere göre indirgenmesi ve bu işlemlerde işaret ve isim değişikliği kurallarının uygulanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 1182Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

(2−x)⋅(x2−x−12)2x2−5x+6≥0 \frac{(2-x) \cdot (x^2 - x - 12)^2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük 4 farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitsizliği sağlayan en büyük 4 farklı tam sayının toplamı 4'tür.
Eşitsizliğin çözüm kümesi analiz edildiğinde, sadeleşen x=2x = 2 kökü ve paydadaki x=3x = 3 kökü tanımsızlık nedeniyle kümeden atılmalıdır. Karesel ifadenin kökleri olan x=−3x = -3 ve x=4x = 4 çift katlı köklerdir. Yapılan işaret tablosuna göre çözüm kümesi (−∞,3)∖{2}∪{4}(-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\} şeklinde belirlenir. Bu aralıktaki en büyük dört farklı tam sayı sırasıyla 44, 11, 00 ve −1-1 olup toplamları 44'tür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleyin.
Paydaki 2−x=0  ⟹  x=22-x = 0 \implies x=2 (tek katlı kök); (x2−x−12)2=0  ⟹  x=4(x^2-x-12)^2 = 0 \implies x=4 ve x=−3x=-3 (her ikisi de karesi alındığı için çift katlı kök). Paydadaki x2−5x+6=0  ⟹  (x−2)(x−3)=0  ⟹  x=2x^2-5x+6 = 0 \implies (x-2)(x-3)=0 \implies x=2 ve x=3x=3 (her ikisi de tek katlı kök) elde edilir.
İşaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaların tespit edilmesi gerekir.
2
Aynı kökten hem pay hem de paydada bulunup bulunmadığını kontrol ederek sadeleştirme veya katlılık durumunu güncelleyin ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.
x=2x = 2 kökü hem pay hem de paydada mevcuttur. Eşitsizlikte paydada olduğu için x≠2x \neq 2 olmalıdır. x≠2x \neq 2 için 2−xx−2=−1\frac{2-x}{x-2} = -1 olup bu ifade işaret değiştirmeyen sabit bir çarpan gibi davranır. x=3x = 3 paydanın kökü olup x≠3x \neq 3 olmalıdır. x=4x = 4 ve x=−3x = -3 payın çift katlı kökleridir.
Paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez ve ortak kökler işaret tablosunu doğrudan etkiler.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları ve noktaları belirleyin.
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4) ifadenin işareti negatif (−-) ile başlar. İşaret tablosu sırasıyla: x>4  ⟹  −x > 4 \implies -; x=4x = 4 (çift katlı dahil)   ⟹  0\implies 0; 3<x<4  ⟹  −3 < x < 4 \implies -; x=3x = 3 (tek katlı hariç)   ⟹  \implies tanımsız; 2<x<3  ⟹  +2 < x < 3 \implies +; x=2x = 2 (sadeleşen tanımsız hariç)   ⟹  \implies tanımsız; −3<x<2  ⟹  +-3 < x < 2 \implies +; x=−3x = -3 (çift katlı dahil)   ⟹  0\implies 0; x<−3  ⟹  +x < -3 \implies + şeklindedir. Buradan çözüm kümesi S=(−∞,3)∖{2}∪{4}S = (-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\} olarak elde edilir.
Eşitsizliğin sağlandığı aralıkları ve tek tek sağlayan kökleri doğru tespit etmek gerekir.
4
Çözüm kümesinde yer alan en büyük 4 farklı tam sayıyı bulun ve bunları toplayın.
Çözüm kümesindeki en büyük tam sayılar sırasıyla 44, 11 (çünkü 33 ve 22 tanımsız olduğundan hariçtir), 00 ve −1-1 şeklindedir. Bu sayıların toplamı 4+1+0+(−1)=44 + 1 + 0 + (-1) = 4 olur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için en büyük tam sayıların doğru sıralanıp toplanması gerekir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Question 1183Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve çift olan bir ff fonksiyonunun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaların apsisleri −5,−2,2-5, -2, 2 ve 55'tir. Bu fonksiyonun en büyük değeri 44 olup bu değeri x=0x = 0 noktasında almaktadır.

Bu ff fonksiyonu kullanılarak,
g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2
h(x)=f(x+1)−1h(x) = f(x + 1) - 1

fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre;
I. g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğinin xx ekseni boyunca sola 3 birim ve yy ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenmesiyle elde edilir.
II. h(x)h(x) fonksiyonunun grafiği x=−1x = -1 doğrusuna göre simetriktir.
III. f(x)f(x) fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında azalan ise, g(x)g(x) fonksiyonu [1,3][1, 3] aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: II ve III

Answer

II ve III
Doğru yanıt olan seçenek II ve III öncüllerini içermektedir. I. öncülde verilen sola öteleme ifadesi yanlıştır çünkü f(x−3)f(x - 3) dönüşümü grafiği sağa öteler. II. öncülde çift fonksiyonun x=0x = 0 doğrusuna göre olan simetrisinin, sola 1 birim ötelenerek x=−1x = -1 doğrusuna taşındığı doğru ifade edilmiştir. III. öncülde çift fonksiyonun simetrisinden dolayı [−2,0][-2, 0] aralığında artan olduğu ve sağa 3 birim öteleme ile bu artanlığın [1,3][1, 3] aralığına taşındığı doğru analiz edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
I. öncülün analiz edilmesi ve öteleme yönünün belirlenmesi
I. öncül yanlıştır.
g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2 fonksiyonu, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğinin xx ekseni boyunca pozitif yönde (sağa doğru) 3 birim ve yy ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı doğru) 2 birim ötelenmesiyle elde edilir. Öncüldeki 'sola 3 birim' ifadesi yatay öteleme yönünün ters alınmasından dolayı hatalıdır.
2
II. öncülün simetri ekseni değişimi üzerinden incelenmesi
II. öncül doğrudur.
f(x)f(x) çift bir fonksiyon olduğundan grafiği y-eksenine (x=0x = 0 doğrusuna) göre simetriktir. h(x)=f(x+1)−1h(x) = f(x + 1) - 1 fonksiyonu tanımlanırken, f(x)f(x) grafiği xx ekseni boyunca sola 1 birim kaydırılır. Bu durum simetri eksenini de sola 1 birim kaydırarak x=−1x = -1 doğrusu yapar. Dikey eksendeki −1-1 birimlik öteleme ise düşey simetri ekseninin konumunu değiştirmez.
3
III. öncülün çift fonksiyon simetrisi ve öteleme ile monotonicity ilişkisi üzerinden incelenmesi
III. öncül doğrudur.
f(x)f(x) çift fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında azalan ise, y-eksenine göre simetrik olmasından dolayı [−2,0][-2, 0] aralığında artan olmak zorundadır. g(x)=f(x−3)+2g(x) = f(x - 3) + 2 fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x)'in sağa 3 birim ötelenmiş hali olduğundan, f(x)f(x)'in [−2,0][-2, 0] aralığındaki artanlık özelliği g(x)g(x) için [−2+3,0+3]=[1,3][-2 + 3, 0 + 3] = [1, 3] aralığına taşınır. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonu [1,3][1, 3] aralığında artandır.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ile dikey ve yatay öteleme dönüşümlerinin fonksiyonların tanım kümesi ve monotonicity (artanlık/azalanlık) üzerindeki etkileri.
Question 1184Question →

Dik koordinat düzleminde, [−4,4][-4, 4] kapalı aralığında tanımlı y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği doğrusal parçalardan oluşmakta olup tepe noktası (0,4)(0, 4), xx-eksenini kestiği noktalar ise (−4,0)(-4, 0) ve (4,0)(4, 0)'dır.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olmak üzere, [−2,2][-2, 2] kapalı aralı��ında tanımlı
g(x)=a⋅f(b⋅x)g(x) = a \cdot f(b \cdot x)
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 66 olarak veriliyor.

Buna göre, dik koordinat düzleminde y=f(x)y = f(x) ve y=g(x)y = g(x) grafiklerinin her ikisinin de altında kalan ve xx-ekseni ile sınırlanan ortak bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Ortak bölgenin alanı 10 birimkaredir.
Doğru yanıt olan 10 değeri, g(x)=1,5⋅f(2x)g(x) = 1,5 \cdot f(2x) dönüşümüyle elde edilen grafiğin f(x)f(x) ile [−2,2][-2, 2] aralığındaki kesişim noktalarının x=±1x = \pm 1 olduğu belirlendikten sonra, [0,1][0, 1] aralığında f(x)f(x)'in altında kalan alan (3,5 birimkare) ile [1,2][1, 2] aralığında g(x)g(x)'in altında kalan alanın (1,5 birimkare) toplamının iki katı alınarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını belirleme
f(x)=4−∣x∣f(x) = 4 - |x| (veya x≥0x \ge 0 için f(x)=4−xf(x) = 4 - x, x<0x < 0 için f(x)=4+xf(x) = 4 + x)
Dönüşüm uygulanacak olan ana fonksiyonun cebirsel ifadesini elde etmek için
2
g(x)g(x) fonksiyonunun tanım kümesinden faydalanarak bb katsayısını bulma
b=2b = 2
f(x)f(x)'in tanım kümesi [−4,4][-4, 4] ve g(x)=a⋅f(b⋅x)g(x) = a \cdot f(b \cdot x)'in tanım kümesi [−2,2][-2, 2] olduğundan, sınırların bb katı orijinal sınırlara eşit olmalıdır: b⋅2=4  ⟹  b=2b \cdot 2 = 4 \implies b = 2.
3
g(x)g(x)'in en büyük değerinden faydalanarak aa katsayısını bulma
a=1,5a = 1,5
f(x)f(x) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer f(0)=4f(0) = 4 olduğundan, g(x)=a⋅f(2x)g(x) = a \cdot f(2x) fonksiyonunun en büyük değeri g(0)=a⋅f(0)=4ag(0) = a \cdot f(0) = 4a olur. 4a=6  ⟹  a=1,54a = 6 \implies a = 1,5 bulunur.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini yazma
g(x)=1,5⋅(4−∣2x∣)=6−3∣x∣g(x) = 1,5 \cdot (4 - |2x|) = 6 - 3|x|
aa ve bb değerlerini yerine yazarak dönüşüme uğramış fonksiyonu elde etmek için
5
Grafiklerin kesişim noktasını bulma
x≥0x \ge 0 için kesişim noktası x=1x = 1, y=3y = 3'tür.
Hangi aralıklarda hangi fonksiyonun daha altta (ortak bölgenin üst sınırı) olduğunu belirlemek için: 4−x=6−3x  ⟹  2x=2  ⟹  x=14 - x = 6 - 3x \implies 2x = 2 \implies x = 1.
6
Ortak bölgenin alanını hesaplama
Alan = 10 birimkare
Grafikler yy-eksenine göre simetrik olduğundan x≥0x \ge 0 bölgesindeki alanın 2 katını alırız. [0,1][0, 1] aralığında altta kalan fonksiyon f(x)f(x), [1,2][1, 2] aralığında ise g(x)g(x)'tir. Birinci bölgedeki alan: ∫01(4−x) dx+∫12(6−3x) dx=3,5+1,5=5\int_0^1 (4 - x) \, dx + \int_1^2 (6 - 3x) \, dx = 3,5 + 1,5 = 5 birimkaredir. Tüm alan ise 2⋅5=102 \cdot 5 = 10 birimkare olur.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey yönde esnetilmesi/sıkıştırılması dönüşümlerinin fonksiyon grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi üzerindeki etkileri
Estimated Time:3m 0s
Question 1185Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen değerlerin işaretleri incelendiğinde bb değerinin negatif, aa ve cc değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. Buradan en küçük değerin bb olduğu anlaşılır. Pozitif olan aa ve cc değerleri birinci bölgeye indirgendiğinde a=sin⁡(20∘)a = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) olur. Birinci bölgede sin⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \tan(40^\circ) bağıntısı geçerli olduğundan a<ca < c elde edilir. Bu durumları birleştirdiğimizde doğru sıralama b<a<cb < a < c olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
aa, bb ve cc değerlerinin açılarını bulundukları bölgelere göre inceleyip işaretlerini belirleyelim.
160∘160^\circ ikinci bölgede olduğundan a=sin⁡(160∘)>0a = \sin(160^\circ) > 0 (pozitif), 250∘250^\circ üçüncü bölgede olduğundan b=cos⁡(250∘)<0b = \cos(250^\circ) < 0 (negatif) ve 220∘220^\circ üçüncü bölgede olduğundan c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (pozitif) olur. Buradan negatif olan bb değerinin en küçük olduğu tespit edilir.
Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri sıralarken işaret analizi yapmak kıyaslamayı büyük ölçüde kolaylaştırır.
2
Pozitif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayabilmek için açıları birinci bölgeye indirgeyelim.
a=sin⁡(160∘)=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(220∘)=tan⁡(180∘+40∘)=tan⁡(40∘)c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) eşitlikleri elde edilir.
Pozitif değerleri büyüklük yönünden karşılaştırmak için hepsini dar açı (birinci bölge) cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Birinci bölgedeki sin⁡(20∘)\sin(20^\circ) ile tan⁡(40∘)\tan(40^\circ) değerlerini karşılaştıralım.
Birinci bölgede (0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ) her xx açısı için sin⁡(x)<tan⁡(x)\sin(x) < \tan(x) eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca açı büyüdükçe sinüs ve tanjant değerleri artar. Bu durumda sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ) olduğundan a<ca < c elde edilir. Negatif olan bb en küçük olduğuna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c olur.
Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların artış eğilimlerini ve birbirleriyle olan büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralamayı tamamlamak için.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması ve Bölgelere Göre İndirgeme
Question 1186Question →

Analitik düzlemde, y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 parabolü ile y=mx−4y = mx - 4 doğrusu verilmiştir. Bu doğru parabolü iki farklı AA ve BB noktasında kesmektedir. AA ve BB noktalarından parabole çizilen teğet doğruları bir PP noktasında kesişmektedir. PP noktasının ordinatı −2-2 olduğuna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 denkleminde değerler yerine yazılıp −2-2'ye eşitlendiğinde pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 denkleminde değerler yerine yazılıp −2-2'ye eşitlendiğinde pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için ortak çözüm denklemini yazın.
x2−4x+5=mx−4  ⟹  x2−(m+4)x+9=0x^2 - 4x + 5 = mx - 4 \implies x^2 - (m+4)x + 9 = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek ve kökler toplamı ile çarpımını bulmak için ortak denklem gereklidir.
2
Ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 için Vieta bağıntılarını kullanarak kökler toplamı ve çarpımını bulun.
x1+x2=m+4x_1 + x_2 = m+4 ve x1x2=9x_1 x_2 = 9 olarak bulunur.
Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiler, teğetlerin kesişim noktasını bulmada kullanılacaktır.
3
Parabolün üzerindeki A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktalarından çizilen teğetlerin denklemlerini türev yardımıyla yazın.
Teğet denklemleri y=(2x1−4)x−x12+5y = (2x_1 - 4)x - x_1^2 + 5 ve y=(2x2−4)x−x22+5y = (2x_2 - 4)x - x_2^2 + 5 şeklinde elde edilir.
Teğetlerin kesişim noktası olan P(xp,yp)P(x_p, y_p) koordinatlarını bulmak için teğet denklemlerine ihtiyaç vardır.
4
Teğet denklemlerini birbirine eşitleyerek kesişim noktasının apsisi xpx_p ve ordinatı ypy_p değerlerini x1x_1 ve x2x_2 cinsinden bulun.
xp=x1+x22x_p = \frac{x_1 + x_2}{2} ve yp=x1x2−2(x1+x2)+5y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5 bağıntıları elde edilir.
Kesişim noktasının ordinatının genel ifadesini belirleyip mm parametresine bağlamak için bu sadeleştirme yapılır.
5
ypy_p ifadesinde kökler toplamı ve çarpımını yerine yazarak mm değerini hesaplayın.
yp=9−2(m+4)+5=6−2my_p = 9 - 2(m+4) + 5 = 6 - 2m olur. Kesişim noktasının ordinatı −2-2 olarak verildiğinden, 6−2m=−2  ⟹  m=46 - 2m = -2 \implies m = 4 bulunur.
Soruda verilen ordinat değeri yardımıyla bilinmeyen mm parametresini çözmek için denklem kurulur.

Key Concept

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarından parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasının koordinatları, kesişim noktalarının apsisleri toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilebilir.
Question 1187Question →
Her xx açısı için,
sin⁡(3π2+x)+cos⁡(π−x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi - x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: −2cos⁡(x)-2\cos(x)

Answer

−2cos⁡(x)-2\cos(x)
Doğru cevap olan −2cos⁡(x)-2\cos(x) ifadesi, trigonometrik indirgeme kurallarının her iki terim için de hatasız uygulanmasıyla bulunur. IV. bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olup isim değişir ve −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir; II. bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olup isim değişmez ve −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir. Toplamları −2cos⁡(x)-2\cos(x) sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
sin⁡(3π2+x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) ifadesi sadeleştirilir.
sin⁡(3π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)
3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı koordinat düzleminin IV. bölgesindedir. IV. bölgede sinüsün işareti negatif (−-) olup, açı 3π2\frac{3\pi}{2} referansıyla yazıldığı i��in fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.
2
cos⁡(π−x)\cos(\pi - x) ifadesi sadeleştirilir.
cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x)
π−x\pi - x açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olup, açı π\pi referansıyla yazıldığı için fonksiyon isim değiştirmez.
3
Elde edilen indirgenmiş ifadeler toplanır.
−cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)
Toplama işlemiyle ifadenin en sade hali elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Estimated Time:1m 0s
Question 1188Question →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡(810∘−x)a = \sin(810^\circ - x)
b=cos⁡(7π+x)b = \cos(7\pi + x)
c=tan⁡(x−270∘)c = \tan(x - 270^\circ)

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe do��ru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < a < b
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde a=cos⁡(x)a = \cos(x), b=−cos⁡(x)b = -\cos(x) ve c=−cot⁡(x)c = -\cot(x) elde edilir. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında kosinüs değeri −1-1 ile −0.707-0.707 arasındadır. Dolayısıyla aa negatif bir değerdir. bb ise negatif bir değerin eksiyle çarpımı olduğundan pozitif bir değerdir. Bu aralıkta kotanjant değeri 11'den büyüktür, dolayısıyla c=−cot⁡(x)c = -\cot(x) değeri −1-1'den küçüktür. Bu durumda en küçük değer −1-1'den küçük olan c, ardından sıfıra daha yakın negatif değer olan a ve en büyük değer ise pozitif olan b'dir.

Step-by-Step Solution

1
a ifadesini sadeleştirin.
a=sin⁡(810∘−x)=sin⁡(90∘−x)=cos⁡(x)a = \sin(810^\circ - x) = \sin(90^\circ - x) = \cos(x)
810∘810^\circ açısının esas ölçüsü 90∘90^\circ'dir (810∘−2⋅360∘=90∘810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ). Birinci bölgede sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür.
2
b ifadesini sadeleştirin.
b=cos⁡(7π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)b = \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)
7π7\pi açısının esas ölçüsü π\pi'dir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir.
3
c ifadesini sadeleştirin.
c=tan⁡(x−270∘)=tan⁡(x+90∘)=−cot⁡(x)c = \tan(x - 270^\circ) = \tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)
x−270∘x - 270^\circ açısına 360∘360^\circ eklenerek esas ölçüsü x+90∘x + 90^\circ bulunur. İkinci bölgede tanjant fonksiyonu negatif işaretlidir ve isim değiştirerek kotanjanta dönüşür.
4
Verilen aralığa göre değerleri karşılaştırın.
c<a<bc < a < b
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı üçüncü bölgededir (180∘<x<225∘180^\circ < x < 225^\circ). Bu aralıkta cos⁡(x)∈(−1,−22)\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−1,−0.707)a \in (-1, -0.707) olur. b=−cos⁡(x)b = -\cos(x) olduğundan b∈(0.707,1)b \in (0.707, 1) pozitif aralığındadır. Bu aralıkta cot⁡(x)>1\cot(x) > 1 olduğundan c=−cot⁡(x)<−1c = -\cot(x) < -1 olur. Bu durumda aralıklar c<−1<a<0<bc < -1 < a < 0 < b şeklinde sıralanır.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Question 1189Question →

Bir tiyatro salonunda bilet fiyatı xx TL olarak belirlendiğinde, bir oyunu izlemeye gelen seyirci sayısı 120−2x120 - 2x kişi olmaktadır. Tiyatro salonunun her bir oyun için sabit gideri 400400 TL ve seyirci başına değişken gideri 1010 TL'dir. Buna göre, bu tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği kâr en fazla kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 850

Answer

Tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği maksimum kâr 850 TL'dir.
Kâr fonksiyonu K(x)=−2x2+140x−1600K(x) = -2x^2 + 140x - 1600 olarak elde edilir. Bu parabolün tepe noktası maksimum kârı verir. Tepe noktasının apsisi r=35r = 35 olup, bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında maksimum kâr 850 TL olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Seyirci sayısı ve bilet fiyatı cinsinden gelir fonksiyonunu oluşturma.
G(x)=x⋅(120−2x)=−2x2+120xG(x) = x \cdot (120 - 2x) = -2x^2 + 120x TL
Kârı hesaplayabilmek için öncelikle toplam geliri bilet fiyatı xx deği��kenine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.
2
Sabit ve değişken giderleri toplayarak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturma.
M(x)=400+10⋅(120−2x)=1600−20xM(x) = 400 + 10 \cdot (120 - 2x) = 1600 - 20x TL
Kâr, gelirden giderlerin çıkarılmasıyla bulunduğundan toplam maliyeti belirlemeliyiz.
3
Gelir fonksiyonundan maliyet fonksiyonunu çıkararak kâr fonksiyonunu elde etme.
K(x)=G(x)−M(x)=−2x2+140x−1600K(x) = G(x) - M(x) = -2x^2 + 140x - 1600 TL
Maksimum kârı verecek tepe noktasını bulmak için kâr fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
4
Kâr parabolünün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
r=−b2a=−1402(−2)=35r = -\frac{b}{2a} = -\frac{140}{2(-2)} = 35 TL
Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında (x=rx = r) alır.
5
Bulunan r=35r = 35 değerini kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı bulma.
K(35)=−2(35)2+140(35)−1600=850K(35) = -2(35)^2 + 140(35) - 1600 = 850 TL
Maksimum kâr miktarını bulmak için tepe noktasının ordinatını (k=K(r)k = K(r)) hesaplarız.

Key Concept

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük (maksimum) değerini bulma ve kâr optimizasyonu uygulamaları.
Estimated Time:2m 0s
Question 1190Question →
Bir kimyasal deney sırasında reaksiyon kabının sıcaklığı (°C cinsinden), deneyin başlangıcından itibaren geçen süre tt (saat) olmak üzere, 0≤t≤120 \leq t \leq 12 aralığında
T(t)=a⋅t2−12a⋅t+bT(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b
parabolik fonksiyonu ile modellenmektedir.

Deneyin başlangıcında kabın sıcaklığı azalmakta olup, deney süresince sıcaklığın aldığı en küçük değer −10-10 °C, en büyük değer ise 2626 °C'dir.

Buna göre, deney süresince kabın sıcaklığının −6-6 °C olduğu iki an arasında geçen süre kaç saattir?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Kabın sıcaklığının −6-6 °C olduğu iki an arasında geçen süre 4 saattir.
Verilen bilgilere göre başlangıçta azalan bir eğilim gösteren parabolün kolları yukarı doğrudur (a>0a > 0). Bu durumda tepe noktasında (t=6t=6) en küçük değer olan −10-10 alınır. Tepe noktasına eşit uzaklıktaki uç noktalarda (t=0t=0 veya t=12t=12) ise en büyük değer olan 2626 alınır. Buradan b=26b = 26 ve a=1a = 1 bulunarak fonksiyon T(t)=t2−12t+26T(t) = t^2 - 12t + 26 olarak elde edilir. Sıcaklığın −6-6 olduğu anlar t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleri olan 44. ve 88. saatlerdir. Bu iki an arasındaki fark 4 saattir.

Step-by-Step Solution

1
Tepe noktasının konumunu belirleme ve aa katsayısının işaretini saptama.
Tepe noktasının apsisi r=6r = 6 ve a>0a > 0 olarak bulunur.
T(t)=a⋅t2−12a⋅t+bT(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−−12a2a=6r = -\frac{-12a}{2a} = 6 olur. Deneyin başlangıcında (t=0t=0) sıcaklık azaldığı için, fonksiyon tepe noktasına kadar azalan olmalıdır. Bu durum ancak parabolün kolları yukarı doğru olduğunda (a>0a > 0) gerçekleşir.
2
En büyük ve en küçük değerlerin fonksiyon üzerindeki yerlerini belirleme.
En küçük değer T(6)=−10T(6) = -10, en büyük değer ise T(0)=T(12)=26T(0) = T(12) = 26 olur.
a>0a > 0 olduğundan [0,12][0, 12] kapalı aralığında fonksiyon en küçük değerini tepe noktası olan t=6t=6'da alır. En büyük değerini ise tepe noktasına en uzak olan uç noktalarda alır. t=0t=0 ve t=12t=12 noktaları tepe noktasına eşit uzaklıkta (66 birim) olduğundan bu noktalardaki değerler e��ittir ve en büyük değeri oluşturur.
3
Fonksiyonun katsayılarını (aa ve bb) bulma.
b=26b = 26 ve a=1a = 1 elde edilir, böylece T(t)=t2−12t+26T(t) = t^2 - 12t + 26 olur.
T(0)=b=26T(0) = b = 26 elde edilir. Tepe noktasındaki en küçük değer için T(6)=a(6)2−12a(6)+26=−10  ⟹  −36a+26=−10  ⟹  −36a=−36  ⟹  a=1T(6) = a(6)^2 - 12a(6) + 26 = -10 \implies -36a + 26 = -10 \implies -36a = -36 \implies a = 1 bulunur.
4
Sıcaklığın −6-6 °C olduğu zamanları bulma.
t=4t = 4 ve t=8t = 8 saatleri elde edilir.
T(t)=−6  ⟹  t2−12t+26=−6  ⟹  t2−12t+32=0T(t) = -6 \implies t^2 - 12t + 26 = -6 \implies t^2 - 12t + 32 = 0 denklemi çözülmelidir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 olur ve kökler t1=4t_1 = 4 ve t2=8t_2 = 8 olarak bulunur. Her iki değer de [0,12][0, 12] aralığındadır.
5
İki an arasındaki süreyi hesaplama.
Süre 4 saattir.
Sıcaklığın −6-6 °C olduğu iki an arasındaki süre t2−t1=8−4=4t_2 - t_1 = 8 - 4 = 4 saat olarak hesaplanır.

Key Concept

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değer uygulamaları
Estimated Time:2m 30s
Question 1191Question →

Aşağıdaki trigonometrik ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İfadelerin dar açı cinsinden karşılıkları ve işaretleri incelendiğinde; a=−cos⁡(40∘)a = -\cos(40^\circ) negatif, b=sin⁡(50∘)b = \sin(50^\circ) ve c=tan⁡(20∘)c = \tan(20^\circ) pozitif bulunur. Pozitif değerlerden tan⁡(20∘)\tan(20^\circ) değeri sin⁡(50∘)\sin(50^\circ) değerinden küçük olduğu için en küçükten büyüğe sıralama a<c<ba < c < b şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Açıların esas ölçülerini bulma ve birim çember üzerindeki bölgelerini belirleme.
220∘220^\circ açısı 3. bölgededir. −310∘-310^\circ açısının esas ölçüsü −310∘+360∘=50∘-310^\circ + 360^\circ = 50^\circ olup 1. bölgededir. 200∘200^\circ açısı ise 3. bölgededir.
Trigonometrik oranların işaretlerini doğru saptayabilmek için açıların birim çemberdeki bölgelerini belirlemek gerekir.
2
İfadeleri dar açı cinsinden indirgeme formülleriyle yazma.
a=cos⁡(220∘)=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡(40∘)a = \cos(220^\circ) = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ), b=sin⁡(−310∘)=sin⁡(50∘)b = \sin(-310^\circ) = \sin(50^\circ) ve c=tan⁡(200∘)=tan⁡(180∘+20∘)=tan⁡(20∘)c = \tan(200^\circ) = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan(20^\circ) olarak elde edilir.
Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini karşılaştırabilmek amacıyla dar açı cinsinden karşılıkları bulunur.
3
İşaret ve değer analizi yaparak sıralamayı gerçekleştirme.
a<0a < 0 olduğundan en küçük değerdir. Pozitif olan bb ve cc değerleri için; tan⁡(20∘)<tan⁡(30∘)≈0.577\tan(20^\circ) < \tan(30^\circ) \approx 0.577 ve sin⁡(50∘)>sin⁡(45∘)≈0.707\sin(50^\circ) > \sin(45^\circ) \approx 0.707 olduğundan c<bc < b eşitsizliği geçerlidir. Buradan genel sıralama a<c<ba < c < b olarak bulunur.
Negatif sayıların pozitif sayılardan küçük olması ve pozitif dar açıların bilinen referans değerlerle kıyaslanması sıralamayı belirler.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ve dar açı cinsinden indirgenmesi
Question 1192Question →
x2−5x+4x−1≤0\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} \leq 0
x2−4<0x^2 - 4 < 0

eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: (−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2)

Answer

(−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2)
Sistemdeki birinci eşitsizlik sadeleştirildiğinde x≤4x \leq 4 elde edilir ancak paydanın sıfır olmaması koşulundan dolayı x≠1x \neq 1 şartı aranır. İkinci eşitsizlik ise xx değerinin −2-2 ile 22 açık aralığında olmasını gerektirir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi alındığında, (−2,2)(-2, 2) aralığından tanımsızlık yapan 11 değeri çıkarılarak (−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2) doğru çözümüne ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliğin pay kısmını çarpanlarına ayırıp kökleri bulalım.
(x−1)(x−4)x−1≤0\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 1} \leq 0 ifadesinde payın kökleri x=1x = 1 ve x=4x = 4, paydanın kökü ise x=1x = 1'dir.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve tanımsızlık noktalarını belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
Birinci eşitsizlik için tanım kümesi kısıtlamasını belirleyelim ve çözüm kümesini bulalım.
x−1x - 1 ifadesi sadeleştirildiğinde x−4≤0  ⟹  x≤4x - 4 \leq 0 \implies x \leq 4 elde edilir. Ancak payda sıfır olamayacağı için x≠1x \neq 1 olmalıdır. Dolayısıyla birinci eşitsizliğin çözüm kümesi: C\c1=(−∞,4]∖{1}Ç_1 = (-\infty, 4] \setminus \{1\} olur.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
3
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.
x2−4<0  ⟹  (x−2)(x+2)<0x^2 - 4 < 0 \implies (x - 2)(x + 2) < 0 eşitsizliğinden kökler −2-2 ve 22 olarak bulunur. İşaret incelemesiyle ��özüm aralığı: C\c2=(−2,2)Ç_2 = (-2, 2) olur.
İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak negatif olduğu aralık tespit edilir.
4
İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmak için kesişim işlemini uygulayalım.
C\c1∩C\c2=((−∞,4]∖{1})∩(−2,2)=(−2,2)∖{1}Ç_1 \cap Ç_2 = \left((-\infty, 4] \setminus \{1\}\right) \cap (-2, 2) = (-2, 2) \setminus \{1\} Bu küme açık aralıklar şeklinde yazıldığında (−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2) olarak ifade edilir.
Eşitsizlik sistemlerinin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kesişim kümesidir.

Key Concept

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde payda kökünün hariç tutularak ortak çözüm kümesinin bulunması.
Question 1193Question →

Bir radar ekranında bulunan dairesel tarama ibresi, saat yönünde saniyede 7π12\frac{7\pi}{12} radyanlık sabit bir hızla dönmektedir. Buna göre, bu ibre çalıştırıldıktan 130130 saniye sonra taradığı yönlü açının esas ölçüsü kaç radyandır?

Show answer & explanation

Answer: π6\frac{\pi}{6}

Answer

π6\frac{\pi}{6}
İbre saat yönünde yani negatif yönde hareket ettiği için 130130 saniyede taradığı toplam açı −455π6-\frac{455\pi}{6} radyandır. Bu açının içerisindeki tam turlar ayıklandığında geriye −11π6-\frac{11\pi}{6} kalır. Esas ölçü negatif olamayacağı için bu değere 2π2\pi eklendiğinde elde edilen π6\frac{\pi}{6} değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
İbrenin taradığı toplam açıyı yönüyle birlikte hesaplama.
İbre saat yönünde (negatif yönde) döndüğü için açısal hız −7π12-\frac{7\pi}{12} radyan/saniyedir. 130130 saniyede taranan toplam açı: 130×(−7π12)=−910π12=−455π6130 \times \left(-\frac{7\pi}{12}\right) = -\frac{910\pi}{12} = -\frac{455\pi}{6} radyandır.
Trigonometrik yön kurallarına göre saat yönü negatif, saat yönünün tersi ise pozitif yöndür.
2
Negatif açının içerisindeki tam turları ayıklama.
Pay olan 455455, paydanın iki katı olan 1212 sayısına bölünür: 455=12×37+11455 = 12 \times 37 + 11. Buradan −455π6=−37×2π−11π6-\frac{455\pi}{6} = -37 \times 2\pi - \frac{11\pi}{6} elde edilir.
Radyan cinsinden esas ölçü bulunurken 2π2\pi ve katları (tam turlar) denklemden çıkarılır. Bu yüzden pay, paydanın iki katına bölünerek kalan bulunur.
3
Kalan negatif açıyı [0,2π)[0, 2\pi) aralığına taşımak için 2π2\pi ekleme.
−11π6+2π=π6-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} radyan bulunur.
Esas ölçü negatif olamaz, değeri [0,2π)[0, 2\pi) aralığında olmalıdır. Negatif yönlü kalan açıya 2π2\pi eklenerek pozitif yönlü esas ölçüsü elde edilir.

Key Concept

Yönlü açılarda saat yönünün negatif yön olarak alınması ve radyan cinsinden negatif açıların esas ölçüsünün bulunması.
Question 1194Question →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−2x−3)⋅(x2−4)2(x2−x−2)⋅(x2−9)≤0 \frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Çarpanlarına ayrılmış eşitsizlikte sadeleştirmeler yapıldıktan sonra elde edilen (x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 ifadesinde kökler x=−3x = -3, x=−2x = -2 (çift katlı) ve x=2x = 2 olarak bulunur. İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık (−3,2](-3, 2] aralığıdır. Ancak ilk ifadede paydayı sıfır yapan x=−1x = -1, x=2x = 2 ve x=3x = 3 değerleri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Buradan çözüm kümesi S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −2-2, 00 ve 11 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırın.
(x−3)(x+1)(x−2)2(x+2)2(x−2)(x+1)(x−3)(x+3)≤0\frac{(x-3)(x+1)(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0
Ortak çarpanları ve kökleri belirleyebilmek için.
2
Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık oluşturan) xx değerlerini belirleyin.
x≠−3x \neq -3, x≠−1x \neq -1, x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamayacağı için bu değerler çözüm k��mesine dahil edilemez.
3
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
(x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 (burada x∉{−3,−1,2,3}x \notin \{-3, -1, 2, 3\})
İşaret incelemesini daha basit bir ifade üzerinden gerçekleştirmek için.
4
Sadeleşmiş ifadenin köklerini bulup işaret tablosunu hazırlayın.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı payda kökü), x=−2x = -2 (çift katlı pay kökü), x=2x = 2 (tek katlı pay kökü). İşaretler en sağdan sola doğru sırasıyla: (2,∞)→(+)(2, \infty) \rightarrow (+), (−2,2)→(−)(-2, 2) \rightarrow (-), (−3,−2)→(−)(-3, -2) \rightarrow (-), (−∞,−3)→(+)(-\infty, -3) \rightarrow (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri tespit etmek için.
5
İşaret tablosunu ve payda kısıtlamalarını birleştirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi: S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\}
Tablodaki negatif ve sıfır yapan bölgeler alınır ((−3,2](-3, 2]); ancak payda kökleri olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 bu kümeden çıkarılır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
x∈{−2,0,1}  ⟹  (−2)+0+1=−1x \in \{-2, 0, 1\} \implies (-2) + 0 + 1 = -1
Soruda istenen sonucu elde etmek için.

Key Concept

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde ortak çarpanların sadeleştirilmesi durumunda payda köklerinin tanımsızlık oluşturması nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması ve çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisi.
Question 1195Question →

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,

a=cos⁡(x−π)a = \cos(x - \pi)
b=sin⁡(x+π2)b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)
c=cot⁡(x−π2)c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: b<c<ab < c < a

Answer

b < c < a
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde bb değerinin negatif, aa ve cc değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. İkinci bölgenin son kısmında yer alan açılar için kosinüs değerinin mutlak değeri tanjant değerinin mutlak değerinden büyük olduğundan, pozitif halleri karşılaştırıldığında aa değeri cc değerinden daha büyük olur. Bu durum en küçük değerin bb, en büyük değerin ise aa olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1
İfadeleri trigonometrik indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
a=cos⁡(x−π)=cos⁡(π−x)=−cos⁡xa = \cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x
b=sin⁡(x+π2)=cos⁡xb = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x
c=cot⁡(x−π2)=−cot⁡(π2−x)=−tan⁡xc = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\tan x
Değerleri aynı açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak.
2
x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyin.
İkinci bölgede olduğumuz için:
sin⁡x>0\sin x > 0
cos⁡x<0\cos x < 0
tan⁡x<0\tan x < 0

Buna göre:
b=cos⁡x<0b = \cos x < 0 (negatif)
a=−cos⁡x>0a = -\cos x > 0 (pozitif)
c=−tan⁡x>0c = -\tan x > 0 (pozitif)
Sıralamadaki temel işaret farklılıklarını tespit etmek.
3
aa ve cc pozitif değerlerini karşılaştırmak için farklarını inceleyin.
a−c=−cos⁡x−(−tan⁡x)=tan⁡x−cos⁡x=sin⁡x−cos⁡2xcos⁡xa - c = -\cos x - (-\tan x) = \tan x - \cos x = \frac{\sin x - \cos^2 x}{\cos x} olarak yazılır.

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığında 0<sin⁡x<sin⁡(5π6)=120 < \sin x < \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} olur.

Pay kısmını sin⁡x\sin x cinsinden yazarsak:
sin⁡x−cos⁡2x=sin⁡2x+sin⁡x−1\sin x - \cos^2 x = \sin^2 x + \sin x - 1

sin⁡x=t\sin x = t dönüşümüyle, t∈(0,12)t \in \left(0, \frac{1}{2}\right) için t2+t−1<(12)2+12−1=−14<0t^2 + t - 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} < 0 olur. Yani pay negatiftir.

Payda olan cos⁡x\cos x de ikinci bölgede negatif olduğundan, iki negatifin oranı pozitiftir: a−c>0  ⟹  a>ca - c > 0 \implies a > c.
Aynı işaretli iki ifadenin büyüklük ilişkisini kesin olarak saptamak.
4
Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı oluşturun.
b<0b < 0 ve a>c>0a > c > 0 olduğundan, doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Sorunun nihai cevabına ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Question 1196Question →
(x−3)2⋅(8−x)>0 (x - 3)^2 \cdot (8 - x) > 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı değeri vardır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 6'dır.
Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 6'dır. (x−3)2(x-3)^2 ifadesi x≠3x \neq 3 için her zaman pozitif olduğundan, (x−3)2⋅(8−x)>0(x-3)^2 \cdot (8-x) > 0 eşitsizliğinin sağlanması için 8−x>08-x > 0 yani x<8x < 8 olmalıdır. Ancak x=3x=3 için ifade sıfır olduğundan bu değer çözüm kümesinden çıkarılır. Buradan çözüm kümesi (−∞,8)∖{3}(-\infty, 8) \setminus \{3\} olarak bulunur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar {1,2,4,5,6,7}\{1, 2, 4, 5, 6, 7\} olup toplamda 6 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği oluşturan çarpanların köklerini bulalım.
(x−3)2=0  ⟹  x=3(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 (çift katlı kök)
8−x=0  ⟹  x=88 - x = 0 \implies x = 8 (tek katlı kök)
İşaret tablosu oluşturmak için eşitsizliğin sınır değerlerini (köklerini) belirlememiz gerekir.
2
İşaret tablosunu oluşturup en sağdaki bölgenin işaretini belirleyelim.
En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı: (+)2⋅(−)=(−)(+)^2 \cdot (-) = (-) olduğundan tabloya en sağdan (8'in sağından) eksi (−-) işareti ile başlanır.
Eşitsizliğin hangi aralıklarda hangi işaretleri alacağını saptamak için baş katsayının işaretini belirlemeliyiz.
3
Köklerden geçerek işaret tablosunu tamamlayalım.
8 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve artı (++) olur. 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez, artı (++) olarak kalır.
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralını uygulayarak tüm bölgelerin işaretini buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini ve bu kümedeki pozitif tam sayıları belirleyelim.
Eşitsizlikte sıfırdan büyük (>0> 0) bölgeler istendiği için artı (++) olan bölgeler alınır. Ancak x=3x = 3 değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve eşitsizlikte eşitlik bulunmadığı için çözüm kümesine dahil edilmez. Çözüm kümesi: (−∞,8)∖{3}(-\infty, 8) \setminus \{3\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar: 1,2,4,5,6,71, 2, 4, 5, 6, 7 olmak üzere 6 tanedir.
Soruda istenen koşulu sağlayan pozitif tam sayıların sayısını bulmak için doğru çözüm kümesini analiz ederiz.

Key Concept

İkinci dereceden ve yüksek dereceden eşitsizliklerin çözümünde işaret tablosu oluşturma ve çift katlı köklerin incelenmesi.
Estimated Time:45s
Question 1197Question →
(x−3)3⋅(x2−2x−8)(x2−9)⋅(x2−4x+4)≤0 \frac{(x-3)^3 \cdot (x^2 - 2x - 8)}{(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerleri 1 ve 4 olup, bu değerlerin toplamı 5'tir.
Eşitsizliğin tablosu yapıldığında negatif veya sıfıra eşit olmasını sağlayan aralıklar (−∞,−3)∪[−2,2)∪(2,3)∪(3,4](-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sadece 1 ve 4 değerleridir. Bu iki değerin toplamı 5 olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırarak pay ve paydanın köklerini belirleyin.
Payın kökleri: (x−3)3=0  ⟹  x=3(x-3)^3 = 0 \implies x = 3 (katlılığı 3), x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2 olur. Paydanın kökleri: x2−9=0  ⟹  (x−3)(x+3)=0  ⟹  x=3x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3 ve x=−3x = -3, x2−4x+4=0  ⟹  (x−2)2=0  ⟹  x=2x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2 (katlılığı 2) olur.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için sınır değerlerini (kökleri) ve bunların katlılık derecelerini belirlemek gerekir.
2
Köklerin net katlılık derecelerini analiz edin ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden hariç tutun.
x=−3x = -3 paydanın tek katlı köküdür (hariç tutulur). x=−2x = -2 payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir). x=2x = 2 paydanın çift katlı köküdür (hariç tutulur). x=3x = 3 hem payın (katlılığı 3) hem de paydanın (katlılığı 1) köküdür. Net katlılığı 3−1=23 - 1 = 2 olup çift katlı köktür. Paydada yer aldığı için çözüm kümesinden hariç tutulur. x=4x = 4 payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir).
Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini belirlemek ve paydayı sıfır yapan değerlerin tanımsızlık yaratacağını garanti etmek için bu analiz gereklidir.
3
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve en sağdaki aralığın işaretini belirleyerek sola doğru ilerleyin.
Köklerin sıralaması: −3<−2<2<3<4-3 < -2 < 2 < 3 < 4. En sağdaki aralık olan (4,∞)(4, \infty) için işaret belirlenir: İfadelerdeki en yüksek dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tablo sağdan "+" ile başlar. x=4x = 4 (tek katlı)   ⟹  \implies işaret "-" olur. x=3x = 3 (çift katlı)   ⟹  \implies işaret değişmez, "-" kalır. x=2x = 2 (çift katlı)   ⟹  \implies işaret değişmez, "-" kalır. x=−2x = -2 (tek katlı)   ⟹  \implies işaret "+" olur. x=−3x = -3 (tek katlı)   ⟹  \implies işaret "-" olur. İşaret dağılımı: (−∞,−3)→(−)(-\infty, -3) \rightarrow (-), (−3,−2]→(+)(-3, -2] \rightarrow (+), [−2,2)→(−)[-2, 2) \rightarrow (-), (2,3)→(−)(2, 3) \rightarrow (-), (3,4]→(−)(3, 4] \rightarrow (-), [4,∞)→(+)[4, \infty) \rightarrow (+).
Eşitsizliğin ≤0\leq 0 olduğu bölgeleri tespit etmek için işaret tablosu gereklidir.
4
Eşitsizliği sağlayan (≤0\leq 0 olan) aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplamını bulun.
Eşitsizliğin sağlandığı aralıklar: (−∞,−3)∪[−2,2)∪(2,3)∪(3,4](-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4] şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar: [−2,2)[-2, 2) aralığında sadece 11 vardır (2 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur). (2,3)(2, 3) aralığında pozitif tam sayı yoktur. (3,4](3, 4] aralığında sadece 44 vardır (3 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur). Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar kümesi {1,4}\{1, 4\} olup toplamları 1+4=51 + 4 = 5 olarak bulunur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istediği için bu son hesaplama yapılır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri
Question 1198Question →

Bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir küpün köşeleri AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG, HH olarak adlandırılmıştır. Bu küpte ABCDABCD taban yüzeyi, EFGHEFGH ise bu yüzeyin üzerindeki tavan yüzeyidir (EE köşesi AA'nın, FF köşesi BB'nin, GG köşesi CC'nin ve HH köşesi DD'nin üzerindedir).

Küpün ADHEADHE yan yüzeyi üzerinde bir PP noktası; AEAE ayrıtına 3 birim, ADAD ayrıtına 2 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.
Küpün CDHGCDHG yan yüzeyi üzerinde bir QQ noktası; CGCG ayrıtına 2 birim, CDCD ayrıtına 3 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

İstenen 49⋅cos⁡(PBQ^)49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) ifadesinin değeri 36'dır.
Küp üzerinde koordinatlar doğru yerleştirildiğinde kenar uzunlukları BP=7BP=7, BQ=7BQ=7 ve PQ=26PQ=\sqrt{26} olarak bulunur. PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(PBQ^)=36/49\cos(\widehat{PBQ}) = 36/49 elde edilir. Bu değer 49 ile çarpıldığında sonuç 36 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirme
BB köşesi başlangıç noktası (0,0,0)(0,0,0) olarak seçilir. Bu durumda BABA doğrusu xx ekseni, BCBC doğrusu yy ekseni ve BFBF doğrusu zz ekseni üzerindedir. Böylece küpün köşeleri A(6,0,0)A(6,0,0), C(0,6,0)C(0,6,0), D(6,6,0)D(6,6,0), E(6,0,6)E(6,0,6), F(0,0,6)F(0,0,6), G(0,6,6)G(0,6,6) ve H(6,6,6)H(6,6,6) olur.
Noktaların konumlarını ve aralarındaki uzaklıkları analitik olarak kolayca hesaplayabilmek için
2
PP ve QQ noktalarının koordinatlarını belirleme
PP noktası x=6x=6 düzleminde (ADHEADHE yüzeyi) yer alır. AEAE doğrusuna (x=6,y=0x=6, y=0) uzaklığı 3 birim olduğundan yy-koordinatı 3'tür. ADAD doğrusuna (x=6,z=0x=6, z=0) uzaklığı 2 birim olduğundan zz-koordinatı 2'dir. Buradan P(6,3,2)P(6,3,2) bulunur. Benzer şekilde, QQ noktası y=6y=6 düzleminde (CDHGCDHG yüzeyi) yer alır. CGCG doğrusuna (x=0,y=6x=0, y=6) uzaklığı 2 birim olduğundan xx-koordinatı 2'dir. CDCD doğrusuna (y=6,z=0y=6, z=0) uzaklığı 3 birim olduğundan zz-koordinatı 3'tür. Buradan Q(2,6,3)Q(2,6,3) bulunur.
Verilen sözel uzaklık tanımlarını koordinat değerlerine dönüştürerek noktaların yerlerini kesinleştirmek için
3
BPBP, BQBQ ve PQPQ doğru parçalarının uzunluklarını hesaplama
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır:
BP=(6−0)2+(3−0)2+(2−0)2=36+9+4=49=7BP = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 birim.
BQ=(2−0)2+(6−0)2+(3−0)2=4+36+9=49=7BQ = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 birim.
PQ=(6−2)2+(3−6)2+(2−3)2=42+(−3)2+(−1)2=16+9+1=26PQ = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+9+1} = \sqrt{26} birim.
Kosinüs Teoremi'ni uygulayabilmek için üçgenin üç kenar uzunluğunu elde etmek amacıyla
4
PBQPBQ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulama
PQ2=BP2+BQ2−2⋅BP⋅BQ⋅cos⁡(PBQ^)PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\widehat{PBQ})
(26)2=72+72−2⋅7⋅7⋅cos⁡(PBQ^)(\sqrt{26})^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=49+49−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 49 + 49 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
26=98−98⋅cos⁡(PBQ^)26 = 98 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})
98⋅cos⁡(PBQ^)=72  ⟹  cos⁡(PBQ^)=7298=364998 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 72 \implies \cos(\widehat{PBQ}) = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}
Açının kosinüs değerini kenar uzunlukları arasındaki bağıntı yardımıyla bulmak için
5
İstenen nihai değeri hesaplama
49⋅cos⁡(PBQ^)=49⋅3649=3649 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 49 \cdot \frac{36}{49} = 36 elde edilir.
Soruda yöneltilen özel ifadenin değerini hesaplamak için

Key Concept

Üç boyutlu uzayda Kosinüs Teoremi ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü
Question 1199Question →
x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0
x2−xy+y2−2x+4y=12x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y = 12

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları rasyonel sayılar olan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklem sistemini sağlayan rasyonel koordinatlı gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer 6'dır.
İlk denklem çarpanlarına ayrıldığında x=2yx = 2y veya x=−yx = -y elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, yalnızca x=2yx = 2y durumu rasyonel koordinatlara sahip (4,2)(4, 2) ve (−4,−2)(-4, -2) çözümlerini verir. Diğer durum irrasyonel koordinatlı çözümler üretir. Rasyonel çözümlerin koordinatları toplamı sırasıyla 66 ve −6-6 olup, bu değerlerin en büyüğü 66'dır.

Step-by-Step Solution

1
İlk denklemi çarpanlarına ayırma
x2−xy−2y2=0  ⟹  (x−2y)(x+y)=0  ⟹  x=2yx^2 - xy - 2y^2 = 0 \implies (x - 2y)(x + y) = 0 \implies x = 2y veya x=−yx = -y
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri belirleyerek sistemi indirgemek
2
x=2yx = 2y durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme
3y2=12  ⟹  y2=4  ⟹  y=±23y^2 = 12 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2. Buradan (4,2)(4, 2) ve (−4,−2)(-4, -2) rasyonel çözümleri elde edilir.
Birinci koldan gelen rasyonel koordinatlı adayları belirlemek
3
x=−yx = -y durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme
3y2+6y−12=0  ⟹  y2+2y−4=0  ⟹  y=−1±53y^2 + 6y - 12 = 0 \implies y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y = -1 \pm \sqrt{5} (irrasyonel)
İkinci koldan gelen çözümlerin koordinatlarının rasyonel olup olmadığını kontrol etmek
4
Rasyonel çözümler için koordinat toplamlarını karşılaştırma
4+2=64 + 2 = 6 ve −4+(−2)=−6  ⟹  -4 + (-2) = -6 \implies En büyük değer 66 olur.
İstenen en büyük toplam değerini belirlemek

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme, çarpanlara ayırma yöntemi ve rasyonel/irrasyonel kök analizi
Question 1200Question →

Bir ABCABC üçgeninde, m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ, ∣AB∣=5 birim|AB| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} dir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

BC uzunluğu 7 birimdir.
Kosinüs teoremi doğrudan uygulanarak 82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡60∘8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ işleminden ∣BC∣2=49|BC|^2 = 49 elde edilir. Buradan ∣BC∣=7|BC| = 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs teoremi formülünü belirleme
∣BC∣2=∣AC∣2+∣AB∣2−2∣AC∣∣AB∣cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2|AC||AB|\cos(\widehat{BAC})
Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.
2
Bilinen değerleri formüle yerleştirme
∣BC∣2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(60∘)|BC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)
Verilen ∣AC∣=8|AC| = 8, ∣AB∣=5|AB| = 5 ve m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ değerlerini formülde yerine koymak gerekir.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
∣BC∣2=64+25−40=49⇒∣BC∣=7|BC|^2 = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow |BC| = 7
cos⁡(60∘)=0.5\cos(60^\circ) = 0.5 değeri kullanılarak cebirsel işlemler yapılır ve karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur.

Key Concept

Kosinüs Teoremi
PreviousPage 60 / 437Next