All practice questions

Question 1701Question →

Terimleri birer gerçel sayı olan bir aritmetik dizinin ilk terimi $a_1 = 5$ ve onuncu terimi $a_{10} = 41$ olarak veriliyor. Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı ( $S_{10}$ ) kaçtır?

45

46

230

250

460

Show answer & explanation

Answer: 230

Answer

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 230'dur.

Verilen aritmetik dizinin ilk terimi

a_1 = 5

ve onuncu terimi

a_{10} = 41

olduğuna göre, ilk 10 terim toplamı

S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5 \times (5 + 41) = 230

olarak bulunur. Bu nedenle 230 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin ilk

n

terim toplamı (

S_n

) formülünü belirleme

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

İlk ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk

n

teriminin toplamını hesaplamak için bu formül kullanılır.

2

Verilen değerleri formülde yerine yazarak

S_{10}

değerini hesaplama

S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 41) = 5 \times 46 = 230

n=10

,

a_1=5

ve

a_{10}=41

değerleri formüle yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk

n

terim toplamı formülü

Estimated Time:1m 0s

Question 1702Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ olmak üzere,

S_{15} - S_{10} = 235

a_8 = 27

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı ( $S_{10}$ ) kaçtır?

145

170

175

190

195

Show answer & explanation

Answer: 170

Answer

170

Aritmetik dizinin ilk

n

terim toplamı formülü kullanılarak

S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235

denklemi ve dizinin 8. terimi olan

a_8 = a_1 + 7d = 27

denklemi ortak çözüldüğünde dizinin ortak farkı

d = 4

ve ilk terimi

a_1 = -1

olarak bulunur. Bu değerler ilk 10 terim toplamı formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 170 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk

n

terim toplamı formülü olan

S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

ifadesini kullanarak

S_{15}

ve

S_{10}

toplamlarını

a_1

ve ortak fark

d

cinsinden yazalım.

S_{15} = 15a_1 + 105d

ve

S_{10} = 10a_1 + 45d

elde edilir.

S_{15} - S_{10}

farkını elde etmek ve bu farkı verilen sayısal değere eşitlemek amacıyla bu dönüşüm yapılır.

2

S_{15} - S_{10}

ifadesini hesaplayalım ve verilen

a_8

terimini

a_1

ve

d

cinsinden yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuralım.

S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 \implies a_1 + 12d = 47

ve

a_8 = a_1 + 7d = 27

denklemleri elde edilir.

Dizinin birinci terimi (

a_1

) ve ortak farkını (

d

) bulmak için iki bağımsız denklem elde etmemiz gerekir.

3

Elde edilen

a_1 + 12d = 47

ve

a_1 + 7d = 27

denklemlerini taraf tarafa çıkararak

d

ve

a_1

değerlerini hesaplayalım.

5d = 20 \implies d = 4

ve

a_1 = -1

bulunur.

Ortak fark ve ilk terim bilindiğinde dizinin herhangi bir terimi veya terimler toplamı hesaplanabilir.

4

Hesaplanan

a_1 = -1

ve

d = 4

değerlerini kullanarak ilk 10 terim toplamı olan

S_{10}

değerini hesaplayalım.

S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 5(2(-1) + 9(4)) = 5(-2 + 36) = 170

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen ilk 10 terim toplamına ulaşmak için

S_n

formülünde

n=10

yazılarak sonuca gidilir.

Key Concept

Aritmetik dizide ilk

n

terimin toplamı

S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

formülü ile hesaplanır ve ardışık terimler toplamı arasındaki fark

S_n - S_{n-1} = a_n

ilişkisiyle ifade edilir.

Question 1703Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde,

a_1 + a_{11} = 16

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a_n = 3n - 7

a_n = 2n - 4

a_n = 3n - 14

a_n = 2n + 4

a_n = 4n - 12

Show answer & explanation

Answer: $a_n = 2n - 4$

Answer

Genel terimi

a_n = 2n - 4

olan dizi

Genel terimi

a_n = 2n - 4

olan seçenek doğrudur. Aritmetik dizilerin indis özelliğine göre, birinci terim ile on birinci terimin toplamı, altıncı terimin iki katına eşittir (

a_1 + a_{11} = 2a_6

). Bize verilen toplam 16 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi 8 olmalıdır (

a_6 = 8

). Genel terimi

a_n = 2n - 4

olan dizide

n

yerine 6 yazıldığında

a_6 = 2(6) - 4 = 8

değeri elde edilir ve koşul sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizide indis özellikleri kullanılarak ortanca terim belirlenir.

a_1 + a_{11} = 2a_6 \implies 16 = 2a_6 \implies a_6 = 8

bulunur.

Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Burada

1 + 11 = 6 + 6

olduğundan

a_1 + a_{11} = 2a_6

eşitliği geçerlidir.

2

Seçeneklerde verilen genel terim formüllerinde

n = 6

yazılarak hangisinin

a_6 = 8

değerini verdiği kontrol edilir.

a_6 = 2(6) - 4 = 8

eşitliğini sağlayan genel terim

a_n = 2n - 4

olarak bulunur.

Soruda verilen koşulu sağlayan dizinin 6. terimi 8 olmalıdır.

Key Concept

Aritmetik dizide indis özellikleri ve genel terim ilişkisi

Estimated Time:1m 0s

Question 1704Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\sin x + \cos x = \frac{1}{5}

olduğuna göre,

\tan(2x)

ifadesinin de��eri kaçtır?

-\frac{24}{7}

\frac{7}{24}

-\frac{7}{24}

\frac{24}{7}

-\frac{4}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{24}{7}$

Answer

yirmi dört bölü yedi

Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında

1 + \sin(2x) = \frac{1}{25}

elde edilir. Buradan

\sin(2x) = -\frac{24}{25}

bulunur.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında olduğundan

2x

açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan

\cos(2x) = -\frac{7}{25}

olur. Buradan

\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{24}{7}

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

E��itliğin her iki tarafının karesini alma

1 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}

İki kat açının sinüs değerine ulaşmak için yarım açı formülünü kullanmak amacıyla kare alma işlemi yapılır.

2

İki kat açının aralığını belirleme

2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

(3. bölge)

x

açısının tanım aralığından yararlanılarak

2x

açısının koordinat düzlemindeki bölgesi saptanır.

3

İki kat açının kosinüs değerini bulma

\cos(2x) = -\frac{7}{25}

3. bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan,

\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1

özdeşliğinden yararlanılarak negatif değer seçilir.

4

İki kat açının tanjant değerini hesaplama

\tan(2x) = \frac{24}{7}

Tanjant fonksiyonunun sinüsün kosinüse oranı olduğu tanımı kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri

Question 1705Question →

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde $a_2 = 5$ ve $a_5 = 17$ olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi ( $a_{10}$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Dizinin 10. teriminin değeri 37'dir.

Dizinin terimleri arasındaki sabit artış miktarı (ortak fark)

r = 4

olarak hesaplanır. 10. terimi bulmak için 5. terime 5 kez ortak fark eklenerek 37 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen terimler arasındaki farkı kullanarak dizinin ortak farkını (

r

) belirleme

r = 4

Aritmetik dizilerde herhangi iki terim arasındaki ilişki

a_k = a_p + (k-p)r

formülüyle ifade edilir. Burada

a_5 = a_2 + 3r

yazılarak ortak fark bulunur.

2

Bulunan ortak fark yardımıyla 10. terimi (

a_{10}

) hesaplama

a_{10} = 37

Dizinin 10. terimi, 5. terime ortak farkın 5 katı eklenerek (

a_{10} = a_5 + 5r

) hesaplanabilir.

Key Concept

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki fark sabittir ve herhangi iki terim arasındaki fark, ortak farkın indis farkı katına eşittir.

Question 1706Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları, her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

g(-x) = -g(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18

Çift fonksiyonlarda her

x

için

f(-x) = f(x)

ve tek fonksiyonlarda her

x

için

g(-x) = -g(x)

eşitlikleri sağlanır. Verilen ana denklemde sırasıyla

x = 2

ve

x = -2

yazıldığında elde edilen

f(2) + g(2) = 12

ve

f(2) + 3g(2) = 0

denklemleri ortak çözülürse

f(2) = 18

değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklemde

x = 2

yazarak

f(2)

ve

g(2)

terimlerini içeren birinci bağıntıyı bulmak.

f(2) + g(2) = 12

x = 2

değeri için e��itliğin sağ tarafı

2^3 + 2(2^2) - 2 - 2 = 8 + 8 - 4 = 12

değerine eşit olur.

2

Denklemde

x = -2

yazarak

f(-2)

ve

g(-2)

terimlerini içeren ikinci bağıntıyı bulmak.

f(-2) - 3g(-2) = 0

x = -2

değeri için eşitliğin sağ tarafı

(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0

değerine eşit olur.

3

Süreçteki tek ve çift fonksiyon tanımlarını kullanarak ikinci bağıntıyı

f(2)

ve

g(2)

cinsinden ifade etmek.

f(2) + 3g(2) = 0

f(-x) = f(x)

olduğundan

f(-2) = f(2)

'dir.

g(-x) = -g(x)

olduğundan

g(-2) = -g(2)

'dir. Bu simetri özellikleri denklemde yerine yazıldığında

f(2) - 3(-g(2)) = 0 \implies f(2) + 3g(2) = 0

elde edilir.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözerek

f(2)

değerini hesaplamak.

f(2) = 18

f(2) + 3g(2) = 0

denkleminden

f(2) + g(2) = 12

denklemi taraf tarafa çıkarıldığında

2g(2) = -12 \implies g(2) = -6

bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında

f(2) - 6 = 12 \implies f(2) = 18

olarak hesaplanır.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları olan

f(-x) = f(x)

ve

g(-x) = -g(x)

özelliklerinin denklem sistemlerine uygulanması.

Alternative Method

Alternatif olarak, verilen fonksiyon denkleminde

f(x)

ve

g(x)

polinom fonksiyonlar olarak elde edilebilir. Bunun için denklemde

x

yerine

-x

yazılır ve

f(-x)=f(x)

,

g(-x)=-g(x)

özellikleri kullanılarak iki bilinmeyenli fonksiyon denklem sistemi çözülür. Buradan genel kuralları

f(x) = x^4 + x^2 - 2

ve

g(x) = -x^3 + x

olarak bulunur. Sonrasında

f(2) = 2^4 + 2^2 - 2 = 18

hesaplanır.

Estimated Time:2m 0s

Question 1707Question →

f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 32'dir.

Logaritma tanımı gereğince, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (

12-x>0

ve

12-x \neq 1 \implies x < 12

ve

x \neq 11

). Logaritması alınan ifade de pozitif olmalıdır (

\frac{x^2-5x-14}{x-4} > 0

). Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi işaret tablosundan

(-2, 4) \cup (7, \infty)

olarak bulunur. Bu iki koşul kümesinin kesişimi

(-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar

-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10

olup toplamları

32

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Tabanın pozitiflik ve 1'den farklı olma koşullarını inceleme.

x < 12

ve

x \neq 11

Bir logaritma fonksiyonunda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

2

Logaritması alınan ifadenin köklerini bulma.

Payın kökleri

x = -2

ve

x = 7

, paydanın kökü

x = 4

Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktalar belirlenmelidir.

3

Rasyonel ifadenin işaret tablosunu oluşturma ve pozitif bölgeleri belirleme.

x \in (-2, 4) \cup (7, \infty)

Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için pozitif olması gerekir.

4

Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirleme.

x \in (-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}

Hem tabanın hem de logaritması alınan ifadenin aynı anda tanımlı olması gerekir.

5

Tanım kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama.

Tam sayılar:

-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10

ve toplamları:

32

Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamıdır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar rasyonel eşitsizliklerin işaret incelemesiyle birleştirilerek en geniş tanım kümesi bulunur.

Question 1708Question →

\log_2(x - 2) + \log_2(x + 2) = \log_2(3x + 6)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

3

5

-2

6

8

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı 5'tir.

Denklem, logaritmanın çarpım kuralı kullanılarak düzenlendiğinde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri 5 ve -2 olarak bulunur. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x > 2 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök 5 olduğundan çözüm kümesinin elemanları toplamı 5 olur.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.

x - 2 > 0 \implies x > 2

,

x + 2 > 0 \implies x > -2

ve

3x + 6 > 0 \implies x > -2

şartlarının kesişiminden ortak tanım kümesi

x > 2

olarak elde edilir.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının ve içinin sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Logaritmanın toplama özelliğini uygulayarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.

\log_2((x - 2)(x + 2)) = \log_2(3x + 6)

\log_2(x^2 - 4) = \log_2(3x + 6)

\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v)

kuralı uygulanarak denklem sadeleştirilir.

3

Logaritma tabanları eşit olduğu için ifadelerin içlerini birbirine eşitleyerek oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.

x^2 - 4 = 3x + 6

x^2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

Buradan

x = 5

veya

x = -2

elde edilir.

\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \implies f(x) = g(x)

kuralı gereği içler eşitlenir ve çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

4

Bulunan köklerin birinci adımda elde edilen ortak tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin ve çözüm kümesini yazın.

x = 5

değeri

x > 2

şartını sağladığı için çözüm kümesine dahil edilir.

x = -2

değeri ise

x > 2

şartını sağlamadığı için (logaritmanın içini sıfır yaptığı için) çözüm kümesine alınamaz. Çözüm kümesi

\{5\}

olup elemanlar toplamı

5

olur.

Cebirsel olarak bulunan köklerin başlangıçtaki logaritmik ifadeleri tanımlı kılması zorunludur.

Key Concept

Logaritmik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü

Alternative Method

Denklemin sağ tarafında yer alan

3x+6

ifadesi

3(x+2)

şeklinde yazılabilir. Buradan çarpımın logaritması kuralı ile

\log_2(3x+6) = \log_2 3 + \log_2(x+2)

elde edilir. Eşitliğin her iki tarafındaki

\log_2(x+2)

terimleri sadeleştirilerek doğrudan

\log_2(x-2) = \log_2 3

denklemine ve buradan da

x - 2 = 3 \implies x = 5

sonucuna ulaşılarak tanım kümesini ihlal etmeyen kök doğrudan bulunabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 1709Question →

\log_2(x^2 - x) = \log_4(9x^2)

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -8

Answer

Denklemi sağlayan gerçel sayıların çarpımı -8'dir.

Denklemin çözümü sonucunda elde edilen gerçel kökler olan -2 ve 4 değerlerinin çarpımı -8 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma tabanlarını eşitlemek

\log_4(9x^2) = \log_2(3|x|)

Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanlarını aynı yaparak argümanları karşılaştırabilmek.

2

Tanım kümesini belirlemek

x < 0

veya

x > 1

(

x \neq 0

)

Logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bulunacak köklerin bu aralıkta olduğunu doğrulamak.

3

Denklemi mutlak değerli olarak düzenlemek

x^2 - x = 3|x|

Tabanları eşit olan logaritmaların argümanlarını eşitlemek.

4

x > 1

için denklemi çözmek

x = 4

Mutlak değer dışına

x

pozitif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.

5

x < 0

için denklemi çözmek

x = -2

Mutlak değer dışına

x

negatif olarak çıkacağı için denklemi çözmek ve tanım kümesine uygun kökü seçmek.

6

Köklerin çarpımını bulmak

4 \cdot (-2) = -8

Soruda bizden istenen kökler çarpımını hesaplamak.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümü ve logaritma tanım kümesi kontrolü.

Question 1710Question →

\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1}{\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı

x

tam sayısının toplamı kaçtır?

12

13

18

21

15

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayının toplamı 21'dir.

Doğru olan seçenekteki 21 cevabı, eşitsizliğin en geniş tanım kümesi ve paydanın sıfır olamayacağı koşulları dikkate alınarak bulunan en geniş çözüm kümesindeki en küçük üç tam sayının (6, 7 ve 8) toplamıdır. Payın kökü olan 5 değeri aynı zamanda paydayı da sıfır yaptığından tanımsızlık yaratır ve çözüm kümesine dahil edilemez.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım kümelerini belirleyin.

Paydaki

\log_{\frac{1}{3}}(x-2)

için

x-2 > 0 \Rightarrow x > 2

olmalıdır. Paydadaki

\log_2(x^2-7x+12)

için

x^2-7x+12 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-4) > 0 \Rightarrow x < 3

veya

x > 4

olmalıdır. Bu iki kümenin kesişiminden ifadenin tanımlı olduğu en geniş küme

x \in (2, 3) \cup (4, \infty)

olarak bulunur.

Logaritmik ifadelerin gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması gerekir.

2

Paydanın sıfır olamayacağı koşulunu inceleyin.

\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1 \neq 0 \Rightarrow \log_2(x^2 - 7x + 12) \neq 1 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \neq 2 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) \neq 0

olur. Buradan

x \neq 2

ve

x \neq 5

elde edilir.

Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olduğunda ifade tanımsız olur, bu nedenle paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez.

3

Pay ve paydanın işaretlerini belirlemek için köklerini bulun ve işaret tablosu oluşturun.

Payın kökü:

\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 3 \Rightarrow x = 5

bulunur. Paydanın kökleri:

x = 2

ve

x = 5

idi. Tanım kümesi sınırları

x = 2

,

x = 3

,

x = 4

ve kök olan

x = 5

noktalarına göre işaret tablosu yapılır. Pay

x \in (2, 5)

için pozitif,

x > 5

için negatiftir. Payda ise

x \in (2, 3) \cup (4, 5)

için negatif,

x > 5

için pozitiftir. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti

x \in (2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)

aralıklarının tamamında negatif (< 0) olur.

Eşitsizliğin yönünü belirlemek ve çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ortak işaret tablosu incelenmelidir.

4

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları listeleyin ve en küçük üçünün toplamını hesaplayın.

Çözüm kümesi

(2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)

aralıklarından oluşur.

(2, 3)

ve

(4, 5)

aralıklarında hiçbir tam sayı yoktur.

(5, \infty)

aralığındaki tam sayılar ise

6, 7, 8, 9, \dots

şeklindedir. Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayı 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı

6 + 7 + 8 = 21

olarak bulunur.

Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayılar tespit edilerek soruda istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Estimated Time:3m 0s

Question 1711Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x = 0{}8

olduğuna göre,

\cos(2x)

ifadesinin ondalık değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.28

Answer

İfadenin ondalık değeri 0,28'dir.

Karekök içerisindeki tam kare ifade mutlak değer kullanılarak dışarı çıkarılır. Verilen tanım kümesinde kosinüs değeri sinüs değerinden büyük olduğu için ifade aynen çıkar ve sadeleşerek kosinüs değerini verir. Kosinüs yarım açı formülü uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

1 - \sin(2x)

ifadesini tam kare şeklinde yazalım.

1 - \sin(2x) = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2

elde edilir.

Karekök dışına çıkarma işlemini yapabilmek için ifadenin tam kare formunu belirlemeliyiz.

2

Karekök içerisindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve verilen eşitliği sadeleştirelim.

x \in (0, \pi/4)

aralığında

\cos x > \sin x

olduğundan,

\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x

olur. Buradan,

(\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x = 0{}8

bulunur.

Verilen açı aralığına göre trigonometrik değerlerin büyüklük sıralamasını belirleyerek mutlak değer dışına doğru çıkarmak gerekir.

3

Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak

\cos(2x)

değerini hesaplayalım.

\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1

formülünden,

\cos(2x) = 2(0{}8)^2 - 1 = 2(0{}64) - 1 = 1{}28 - 1 = 0{}28

bulunur.

Bulunan

\cos x

değerini yarım açı formülünde yerine yazarak istenen

\cos(2x)

değerine ulaşırız.

Key Concept

Kosinüs Yarım Açı Formülü ve Mutlak Değerli Trigonometrik İfadeler

Question 1712Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \cot x - \csc x \\ c &= \tan x - \sec x \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

b < c < a

a < b < c

c < a < b

c < b < a

Show answer & explanation

Answer: b < a < c

Answer

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir. İkinci bölgede kosinüs negatif ve sinüs pozitif olduğundan, a = cos x - sin x farkı negatiftir. c = tan x - sec x ifadesi sadeleştirildiğinde (sin x - 1) / cos x elde edilir; pay ve payda negatif olduğundan c pozitiftir. b = cot x - csc x ifadesi ise (cos x - 1) / sin x olup negatiftir ve a ile kıyaslandığında a'dan daha küçük olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

İkinci bölgedeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının işaretlerini belirleme.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığında sinüs pozitif (

\sin x > 0

), kosinüs negatif (

\cos x < 0

), tanjant negatif (

\tan x < 0

), kotanjant negatif (

\cot x < 0

), sekant negatif (

\sec x < 0

) ve kosekant pozitiftir (

\csc x > 0

).

İfadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını doğru analiz edebilmek için açı bölgesine göre işaret tayini yapılması gerekir.

2

a, b ve c ifadelerinin işaretlerini ve sadeleşmiş biçimlerini inceleme.

a = \cos x - \sin x

ifadesinde;

\cos x < 0

ve

\sin x > 0

olduğundan, negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılmaktadır. Bu yüzden

a < 0

olur.

b = \cot x - \csc x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x - 1}{\sin x}

ifadesinde;

\cos x < 0

olduğundan

\cos x - 1 < 0

'dır. Payda olan

\sin x > 0

olduğundan, pay negatif ve payda pozitif olup

b < 0

olur.

c = \tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x}

ifadesinde;

\sin x < 1

olduğundan

\sin x - 1 < 0

'dır. Payda olan

\cos x < 0

olduğundan, negatifin negatife bölümünden

c > 0

olur.

İfadelerin pozitiflik-negatiflik durumlarını belirleyerek genel bir sıralama çerçevesi çizmek.

3

Negatif olan a ve b değerlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlama.

c > 0

olduğundan en büyük değer c'dir. Negatif olan a ve b değerlerini kıyaslamak için farklarına bakarız:

a - b = (\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x + 1}{\sin x}

Pay kısmını düzenlersek:

\sin x \cos x + (1 - \sin^2 x) - \cos x = \sin x \cos x + \cos^2 x - \cos x = \cos x (\sin x + \cos x - 1)

İkinci bölgede

\cos x < 0

'dır. Ayrıca

\sin x < 1

olduğundan

\sin x - 1 < 0

ve

\cos x < 0

olduğundan bunların toplamı olan

\sin x + \cos x - 1 < 0

olur. İki negatif ifadenin çarpımı pozitif olduğundan pay kısmı pozitiftir. Payda olan

\sin x > 0

olduğundan

a - b > 0

yani

a > b

elde edilir.
Buna göre doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Her iki ifadenin de negatif olduğu durumda hangisinin sıfıra daha yakın (daha büyük) olduğunu kesinleştirmek.

Key Concept

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özdeşlikler yardımıyla değer sıralaması.

Estimated Time:2m 0s

Question 1713Question →

x + y = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere,

\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

olduğuna göre, $\tan x \cdot \cot y$ çarpımının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1.5

Answer

İşlemler sonucunda

\tan x \cdot \cot y

çarpımının değeri

1.5

(veya

\frac{3}{2}

) olarak bulunur.

Soruda verilen

x + y = \frac{3\pi}{4}

bağıntısı kullanılarak

y

yerine

\frac{3\pi}{4} - x

yazılır. Ardından

\cot y = \frac{1}{\tan(\frac{3\pi}{4} - x)}

ilişkisinden ve tanjant fark formülünden yararlanılarak

\cot y

ifadesi

\tan x

cinsinden

\frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}

olarak elde edilir. Bu ifade verilen

\tan x - \cot y = \frac{5}{2}

denklemine yazıldığında oluşan ikinci dereceden denklem çözülerek

\tan x

değerleri (

3

ve

-\frac{1}{2}

) bulunur. Her iki değer için de

\tan x \cdot \cot y

çarpımı hesaplandığında sonuç değişmeyip

1.5

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen toplam ilişkisini kullanarak

y

açısını

x

cinsinden yazmak ve trigonometrik dönüşüm yapmak.

\cot y = \cot\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)}

y

açısını

x

türünden ifade ederek denklemdeki bilinmeyen sayısını teke düşürmek.

2

Tanjant fark formülü yardımıyla

\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right)

ifadesini açmak ve sadeleştirmek.

\tan\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1} \implies \cot y = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1}

Tanjant fark formülünü uygulayıp

\tan\frac{3\pi}{4} = -1

değerini yerine yazarak

\cot y

ifadesini

\tan x

cinsinden bulmak.

3

\tan x = u

değişken değiştirmesi yaparak denklemi çözmek.

2u^2 - 5u - 3 = 0 \implies u = 3

veya

u = -\frac{1}{2}

Rasyonel denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürüp

\tan x

değerlerini bulmak.

4

Bulunan

\tan x

değerleri için

\cot y

değerlerini hesaplamak ve çarpımlarını bulmak.

\tan x \cdot \cot y = 1.5

Soruda istenen

\tan x \cdot \cot y

çarpımının sayısal değerine ulaşmak.

Key Concept

Tanjant fark formülü

\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

ve kotanjant ile tanjant arasındaki

\cot A = \frac{1}{\tan A}

ilişkisi.

Question 1714Question →

Bir $(a_n)$ dizisinde $a_1 = 4$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan $a_5$ kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 510

Answer

Dizinin beşinci terimi olan

a_5

değeri 510'dur.

Verilen bağıntı

(n+1)(n+2)

ile bölündüğünde

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1}

teleskopik yapısı elde edilir.

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü ile

b_5 = b_1 + 15 = 17

bulunur. Buradan

a_5 = 30 \cdot b_5 = 510

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı

(n+1)(n+2)

ifadesine bölünerek sadeleştirilir.

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}

Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.

2

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi

b_1

hesaplanır.

b_{n+1} = b_n + 2^{n-1}

ve

b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2

elde edilir.

Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.

3

b_{n+1} - b_n = 2^{n-1}

bağıntısında

n = 1, 2, 3, 4

değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.

b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

ve buradan

b_5 = 2 + 15 = 17

bulunur.

Teleskopik toplam yöntemiyle

b_5

değerini doğrudan bulmak için.

4

b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6}

eşitliğinden faydalanılarak

a_5

çekilir.

a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510

elde edilir.

Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.

Question 1715Question →

Pozitif terimli bir

(a_n)

dizisi, her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 4n a_n}

indirgeme bağıntısını sağlamaktadır.

$a_1 = \frac{1}{5}$ olduğuna göre, $\sqrt{\frac{1}{a_{11}}}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

İfadenin değeri 15'tir.

Verilen rasyonel indirgeme bağıntısında

b_n = \frac{1}{a_n}

dönüşümü yapıldığında ardışık terimler arasındaki fark

b_{n+1} - b_n = 4n

olarak elde edilir. Bu farkların

n=1

'den

10

'a kadar olan toplamı teleskopik sadeleştirme ile

b_{11} - b_1 = 220

sonucunu verir.

b_1 = 5

değeri yerine yazıldığında

b_{11} = 225

bulunur. Buradan

\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = \sqrt{b_{11}} = \sqrt{225} = 15

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Dizideki indirgeme bağıntısını do��rusal hale getirmek için çarpmaya göre ters dönüşüm yapılması

b_n = \frac{1}{a_n}

tanımıyla

b_{n+1} = b_n + 4n

elde edilir.

Paydada

a_n

terimi bulunan rasyonel bağıntıları daha kolay çözebilmek için

b_n = \frac{1}{a_n}

dönüşümü yapılarak doğrusal bir fark denklemi elde edilir.

2

Ardışık terimlerin farklarının

n=1

'den

n=10

'a kadar taraf tarafa toplanması

b_{11} - b_1 = 220

elde edilir.

Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemiyle ara terimlerin birbirini götürmesini sağlamak ve

b_{11}

ile

b_1

arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.

3

İlk terim yardımıyla

b_{11}

değerinin hesaplanması

b_{11} = 225

elde edilir.

a_1 = \frac{1}{5}

olarak verildiğinden

b_1 = 5

olur ve bu değer toplama eklenerek

b_{11}

bulunur.

4

İstenen kareköklü ifadenin değerinin bulunması

\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = 15

elde edilir.

b_{11} = \frac{1}{a_{11}}

olduğu bilindiğinden, bulduğumuz değerin karekökü alınır.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (çarpmaya göre tersini alma) ve ardışık terim farklarının teleskopik toplamı yöntemi.

Question 1716Question →

1'den farklı

a

,

b

ve

c

pozitif gerçel sayılar�� için

3\log_a b + 2\log_b c = 8

\log_b a + \log_c b = \frac{3}{2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $\log_a c$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

\frac{1}{2}

2

\frac{86}{27}

\frac{118}{27}

\frac{59}{9}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{118}{27}$

Answer

\frac{118}{27}

Verilen denklem sisteminde logaritmaların taban değiştirme özellikleri kullanılarak değişken dönüştürme yapıldığında,

\log_a c

ifadesinin alabileceği değerler

2

ve

\frac{64}{27}

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı

\frac{118}{27}

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma ifadeleri için değişken dönüşümü tanımlama.

\log_a b = x

ve

\log_b c = y

olsun. Bu durumda taban değiştirme kuralı gereğince

\log_b a = \frac{1}{x}

ve

\log_c b = \frac{1}{y}

olur.

Denklem sistemini bilinmeyenleri

x

ve

y

olan cebirsel bir sisteme dönüştürmek için.

2

Verilen eşitlikleri yeni değişkenler cinsinden yazma.

3x + 2y = 8

ve

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}

denklem sistemi elde edilir.

Çözüm adımlarına geçebilmek için cebirsel ifadeleri düzenlemek.

3

Elde edilen denklem sistemini çözme.

2y = 8 - 3x \implies y = 4 - \frac{3}{2}x

ifadesini ikinci denklemde yerine koyup düzenlediğimizde

9x^2 - 26x + 16 = 0

denklemi elde edilir.

Tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek için yerine koyma metodunu uygulamak.

4

İkinci dereceden denklemin köklerini bulma ve

y

değerlerini hesaplama.

(x - 2)(9x - 8) = 0

denkleminin kökleri

x_1 = 2

ve

x_2 = \frac{8}{9}

'dur. Buradan sırasıyla

y_1 = 1

ve

y_2 = \frac{8}{3}

bulunur.

Her iki durum için

\log_a b

ve

\log_b c

değerlerini ayrı ayrı belirlemek.

5

\log_a c

ifadesinin değerlerini hesaplama ve toplama.

Taban değiştirme zincir kuralına göre

\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = x \cdot y

olur. Birinci durumdan

2 \cdot 1 = 2

, ikinci durumdan

\frac{8}{9} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{27}

bulunur. Bu değerlerin toplamı

2 + \frac{64}{27} = \frac{118}{27}

yapar.

İstenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme kuralı ve zincir kuralı uygulamaları.

Estimated Time:3m 0s

Question 1717Question →

İlk terimi $3$ ve ortak çarpanı $2$ olan bir geometrik dizinin ilk $5$ teriminin toplamı kaçtır?

31

35

45

93

-93

Show answer & explanation

Answer: 93

Answer

İlk 5 terimin toplamı 93'tür.

İlk terimi

a_1 = 3

ve ortak çarpanı

r = 2

olan geometrik dizinin ilk

5

teriminin toplamı

S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5 - 1}{r - 1}

formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında

S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplam formülünü yazalım.

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

Bu form��l, ilk terimi

a_1

ve ortak çarpanı

r

olan bir geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamını verir.

2

Soruda verilen ilk terim (

a_1 = 3

), ortak çarpan (

r = 2

) ve terim sayısı (

n = 5

) değerlerini formülde yerine yazalım.

S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1}

İlk 5 terimin toplamını bulmak için ilgili parametreleri formüle yerleştirmeliyiz.

3

Üslü ifadenin değerini hesaplayıp sadeleştirme işlemlerini yapalım.

S_5 = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 3 \cdot 31 = 93

2^5 = 32

değerini yerine yazarak gerekli çarpma ve bölme işlemlerini tamamlarız.

Key Concept

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Question 1718Question →

Bir

ABC

üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla

a

,

b

ve

c

birimdir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

R

birim olmak üzere,

c^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab

\sin(A) \cdot \sin(B) = \frac{3}{8}

ve

R = 4

birimdir.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

ABC üçgeninin alanı 6 birimkaredir.

Verilen bağıntılardan Kosinüs Teoremi yardımıyla

C

açısı

30^\circ

olarak bulunur. Sinüs Teoremi kullanılarak

a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B)

eşitliği elde edilir ve buradan

a \cdot b = 24

hesaplanır. Üçgenin alanı ise

\frac{1}{2}ab\sin(C)

formülüyle 6 birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kosinüs Teoremi yardımıyla C açısının ölçüsünü bulma.

C = 30^\circ

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)

formülü ile verilen

c^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab

bağıntısını karşılaştırarak

\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde ederiz.

2

Sinüs Teoremi yardımıyla

a \cdot b

çarpımını bulma.

a \cdot b = 24

a = 2R\sin(A)

ve

b = 2R\sin(B)

eşitliklerini taraf tarafa çarparak

a \cdot b = 4R^2\sin(A)\sin(B)

bağıntısını kurar ve verilen

R

ile çarpım değerlerini yerine yazarız.

3

Üçgenin alanını hesaplama.

Alan = 6

Sinüslü alan formülü olan

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2}ab\sin(C)

bağıntısında elde edilen değerleri yerine koyarak alanı hesaplarız.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin birlikte kullanılarak üçgenin alanının hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 1719Question →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı

6

'dır.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen önerme doğrudur.

Doğru çözüm adımları uygulandığında, logaritmanın tanım kümesi olan

(-4, 0) \cup (2, \infty)

ile yön değiştirilerek çözülen

[-1, 4]

aralığının kesişimi

[-1, 0) \cup (2, 4]

olur. Bu kümedeki tam sayılar

\{-1, 3, 4\}

olup toplamları gerçekten

6

'dır. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma fonksiyonlarının tanıml�� olması için gerekli koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.

x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0

veya

x > 2

x + 4 > 0 \implies x > -4

Ortak tanım kümesi:

D = (-4, 0) \cup (2, \infty)

olur.

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif gerçel sayılar olması gerekir.

2

Logaritma tabanı incelenerek cebirsel eşitsizlik çözülür.

Taban

\frac{1}{2}

(

0 < \frac{1}{2} < 1

) olduğundan azalanlık özelliği gereği eşitsizlik yön değiştirir:

x^2 - 2x \leq x + 4 \implies x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies -1 \leq x \leq 4

Basit eşitsizliklerde taban 1'den küçük pozitif bir sayı olduğunda logaritma içi ifadeler karşılaştırılırken yön değiştirilir.

3

Elde edilen çözüm kümesi ile tanım kümesi kesiştirilir.

[-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]

Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması şarttır.

4

Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.

[-1, 0)

aralığındaki tam sayı:

-1

(2, 4]

aralığındaki tam sayılar:

3, 4

Toplam:

(-1) + 3 + 4 = 6

Sağlayan tam sayıların toplamı

6

olarak bulunur.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın en geniş tanım kümesi sınırlamalarının çözüme dahil edilmesi.

Question 1720Question →

Bir

(a_n)

aritmetik dizisinde her

n

pozitif tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = 4

eşitliği sağlanmaktadır.

$a_1 = 3$ olduğuna göre, bu dizinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

3n + 4

4n + 3

4n - 1

3n + 1

4n - 3

Show answer & explanation

Answer: $4n - 1$

Answer

Dizinin genel terimi olan 4n - 1 ifadesi

Dizinin tanımından ardışık terimlerin farkının ortak farkı verdiği bilinir; buradan ortak fark 4'tür. İlk terim 3 ve ortak fark 4 olduğunda, genel terim formülü uygulandığında sonuç 4n - 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin tanımından faydalanarak dizinin ortak farkını (

r

) bulma.

a_{n+1} - a_n = r

olduğundan, dizinin ortak farkı

r = 4

olarak belirlenir.

Bir aritmetik dizide ardışık herhangi iki terim arasındaki fark sabit olup dizinin ortak farkına eşittir.

2

İlk terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim formülünü yazma.

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

formülünde

a_1 = 3

ve

r = 4

değerleri yerine yazıldığında

a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4

elde edilir.

Aritmetik dizinin genel terimi, ilk terim ve ortak farka bağlı standart formül ile ifade edilir.

3

Elde edilen cebirsel ifadeyi sadeleştirerek genel terimi bulma.

a_n = 3 + 4n - 4 \Rightarrow a_n = 4n - 1

elde edilir.

Parantez dağıtılarak benzer terimler toplandığında genel terimin n'e bağlı doğrusal yapısı ortaya çıkar.

Key Concept

Aritmetik dizinin ardışık terimleri arasındaki ilişkiden ortak farkın bulunması ve genel terim formülünün doğrusal fonksiyon yapısıyla ilişkilendirilmesi.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer