Examkin

Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem

67 soru

Soru 21Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her x>0x > 0 için
f(2x)=x⋅f(x)+1f(2x) = x \cdot f(x) + 1
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun verilen kuralı adım adım uygulanarak f(4) değeri 9 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon kuralında önce x = 1 yazılarak f(2) = 4 elde edilir. Ardından x = 2 yazılarak f(4) = 2 * f(2) + 1 = 9 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(2x) = x * f(x) + 1 eşitliğinde x yerine 1 yazarak f(2) değerini bulun.
f(2) = 1 * f(1) + 1 = 1 * 3 + 1 = 4
f(4) değerine ulaşmak için öncelikle f(2) değerini bulmamız gerekir.
2
Bulunan f(2) = 4 değerini kullanarak eşitlikte x yerine 2 yazın ve f(4) değerini hesaplayın.
f(4) = 2 * f(2) + 1 = 2 * 4 + 1 = 9
İstenen f(4) değerini elde etmek için kuralı ikinci kez uygularız.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve ardışık yerine koyma yöntemi.

İpuçları

1
İstenen f(4) değerine doğrudan ulaşmak yerine, verilen f(1) değerini kullanarak adım adım ilerlemeyi deneyin.
2
Verilen f(2x) = x * f(x) + 1 eşitliğinde x yerine sırasıyla hangi değerleri yazmanız gerektiğini belirleyin. İlk olarak x = 1 yazarak f(2) değerini bulabilirsiniz.
3
x = 1 için f(2) = 4 bulduktan sonra, f(4) değerine ulaşmak için aynı denklemde x yerine 2 yazmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde tanımlanan f(3x) = x^2 * f(x) - 2 tarzı fonksiyonlarda değer bulma sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, fonksiyonun genel terimi araştırılabilir ancak bu tarz sorularda doğrudan ardışık yerine koyma yöntemi en hızlı ve güvenli yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →

Bir turizm acentesindeki 8080 rehberin her biri İngilizce, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilmektedir. Bu rehberlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En az iki dil bilen rehber sayısı 1818, üç dili de bilen rehber sayısı ise 44'tür.
* Sadece iki dil bilen rehberlerden İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı; Almanca ve Rusça bilenlerin sayısının 22 katı, İngilizce ve Rusça bilenlerin sayısının ise yarısıdır.
* İngilizce bilen rehberlerin sayısı, sadece Rusça bilen rehberlerin sayısının 33 katıdır.
* Almanca bilen rehberlerin sayısı, sadece İngilizce bilen rehberlerin sayısın��n 22 katıdır.

Buna göre, bu acentedeki rehberlerden sadece Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Sadece Almanca bilen rehberlerin sayısı 30'dur.
Sorudaki tüm kısıtlar ve oranlar küme bölgelerine yerleştirilip cebirsel denklem çözüldüğünde, sadece Almanca bilen rehber sayısı net olarak 30 olarak hesaplanmaktadır. Bu değer tüm koşulları (toplam rehber sayısı, en az iki dil bilenler ve dil bilenlerin oranları) mükemmel şekilde sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri harflerle sembolize edelim.
Sadece İngilizce bilenler: aa, sadece Almanca bilenler: bb, sadece Rusça bilenler: cc. Sadece iki dil bilenler: ��ngilizce ve Almanca için xx, Almanca ve Rusça için yy, İngilizce ve Rusça için zz. Üç dili de bilenler: w=4w = 4.
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.
2
İki dil bilenlerin sayıları arasındaki ilişkileri bulalım.
En az iki dil bilenler x+y+z+w=18  ⟹  x+y+z=14x+y+z+w = 18 \implies x+y+z = 14 olur. Verilen oranlara göre x=2yx = 2y ve x=z/2  ⟹  z=4yx = z/2 \implies z = 4y yazılır. Buradan 2y+y+4y=14  ⟹  7y=14  ⟹  y=22y + y + 4y = 14 \implies 7y = 14 \implies y = 2 bulunur. Dolayısıyla x=4x = 4 ve z=8z = 8 elde edilir.
Sadece iki dil bilen rehberlerin sayılarını kesin olarak tespit etmek, diğer denklem sistemlerini basitleştirecektir.
3
Tüm dilleri bilenler ve sadece iki dil bilenleri kullanarak genel toplam denklemini yazalım.
Toplam rehber sayısı 8080 olduğundan: a+b+c+x+y+z+w=80  ⟹  a+b+c+14+4=80  ⟹  a+b+c=62a+b+c + x+y+z+w = 80 \implies a+b+c + 14 + 4 = 80 \implies a+b+c = 62 olur.
Sadece bir dil bilenlerin toplam sayısına ulaşarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
4
Dil bilenlerin sayılarını veren diğer koşulları denklemlere dökelim.
İngilizce bilenler: a+x+z+w=a+4+8+4=a+16a+x+z+w = a+4+8+4 = a+16 kişidir. Sadece Rusça bilenler cc olduğuna göre; a+16=3c  ⟹  a−3c=−16a+16 = 3c \implies a - 3c = -16 olur. Almanca bilenler: b+x+y+w=b+4+2+4=b+10b+x+y+w = b+4+2+4 = b+10 kişidir. Sadece İngilizce bilenler aa olduğuna göre; b+10=2a  ⟹  b=2a−10b+10 = 2a \implies b = 2a-10 olur.
Verilen sözel oranları tekil değişkenler cinsinden denklem sistemine dönüştürmek için.
5
Elde edilen denklem sistemini çözelim.
a+b+c=62a+b+c=62 denkleminde b=2a−10b = 2a-10 yazılırsa: a+2a−10+c=62  ⟹  3a+c=72  ⟹  c=72−3aa + 2a - 10 + c = 62 \implies 3a + c = 72 \implies c = 72 - 3a elde edilir. Bu değeri a−3c=−16a - 3c = -16 denkleminde yerine koyalım: a−3(72−3a)=−16  ⟹  a−216+9a=−16  ⟹  10a=200  ⟹  a=20a - 3(72-3a) = -16 \implies a - 216 + 9a = -16 \implies 10a = 200 \implies a = 20 bulunur. Buradan b=2(20)−10=30b = 2(20) - 10 = 30 ve c=72−3(20)=12c = 72 - 3(20) = 12 elde edilir.
Tüm bilinmeyenlerin sayısal değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Üçlü Venn diyagramı üzerinde bölgelerin harflendirilerek denklem sistemleri yardımıyla çözülmesi.
Soru 23Soru →
f(x)=x2−4x−5∣x−2∣−3f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4x - 5}{|x-2| - 3}}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\}

Cevap

R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\} kümesi
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması gerekir. Paydayı sıfır yapan değerler x=−1x = -1 ve x=5x = 5 sayılarıdır. Bu iki değer dışındaki tüm gerçel sayılar için, hem pay hem de paydanın işaretleri her aralıkta aynı olduğundan (her ikisi de ya pozitif ya da negatif), bölümlerinin sonucu daima pozitiftir. Bu nedenle fonksiyon −1-1 ve 55 dışındaki tüm gerçel sayılar için tanımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kökün içindeki ifadenin tanımlılık şartlarını belirleme
Fonksiyonun gerçel sayılarda tanımlı olması için karekökün içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, x2−4x−5∣x−2∣−3≥0\frac{x^2 - 4x - 5}{|x-2| - 3} \geq 0 ve ∣x−2∣−3≠0|x-2| - 3 \neq 0 olmalıdır.
Gerçel sayılar kümesinde çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.
2
Paydayı sıfır yapan kritik noktaları bulma
∣x−2∣−3=0⇒∣x−2∣=3|x-2| - 3 = 0 \Rightarrow |x-2| = 3 olur. Buradan x−2=3⇒x=5x-2 = 3 \Rightarrow x = 5 ve x−2=−3⇒x=−1x-2 = -3 \Rightarrow x = -1 elde edilir. Dolayısıyla, x≠5x \neq 5 ve x≠−1x \neq -1 olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılar.
3
Pay ve paydayı oluşturan ifadeleri çarpanlarına ayırma ve mutlak değer aralıklarına göre inceleme
Pay kısmı: x2−4x−5=(x−5)(x+1)x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1) olarak çarpanlarına ayrılır. Mutlak değerli paydayı incelemek için iki durum ele alınır: 1) x>2x > 2 için: Payda x−2−3=x−5x-2-3 = x-5 olur. Bu durumda rasyonel ifade (x−5)(x+1)x−5=x+1\frac{(x-5)(x+1)}{x-5} = x+1 haline gelir. x>2x > 2 ve x≠5x \neq 5 için x+1>3>0x+1 > 3 > 0 olduğundan ifade daima pozitiftir. 2) x≤2x \leq 2 için: Payda 2−x−3=−(x+1)2-x-3 = -(x+1) olur. Bu durumda rasyonel ifade (x−5)(x+1)−(x+1)=−(x−5)=5−x\frac{(x-5)(x+1)}{-(x+1)} = -(x-5) = 5-x haline gelir. x≤2x \leq 2 ve x≠−1x \neq -1 için 5−x≥3>05-x \geq 3 > 0 olduğundan ifade yine daima pozitiftir.
Mutlak değerli ifadelerin işareti, içlerinin pozitif veya negatif olmasına göre değiştiği için parça parça inceleme yapılması gerekir.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek en geniş tanım kümesini oluşturma
x≠−1x \neq -1 ve x≠5x \neq 5 koşullarını sağlayan tüm gerçel sayılar için rasyonel ifade daima pozitif çıkmaktadır. Bu durumda fonksiyonun en geniş tanım kümesi R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\} olarak bulunur.
Tüm gerçel sayılardan sadece paydayı sıfır yapan (tanımsızlık yaratan) noktaların çıkarılmasıyla en geniş tanım aralığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerlerin dışlanması ve çift dereceli köklü ifadelerin içinin sıfırdan büyük veya eşit olmasının sağlanması.

İpuçları

1
Köklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içinin negatif olmaması, rasyonel bir ifadenin tanımlı olması için ise paydanın sıfır olmaması gerekir.
2
Payı çarpanlarına ayırıp paydayı sıfır yapan mutlak değerli denklemin köklerini bulun. Ardından x>2x > 2 ve x≤2x \leq 2 durumları için paydayı mutlak değer dışına çıkararak rasyonel ifadeyi sadeleştirin.
3
Rasyonel ifadenin payı (x−5)(x+1)(x-5)(x+1) şeklindedir. Payda ise x>2x > 2 için x−5x-5, x≤2x \leq 2 için −(x+1)-(x+1) olur. Bu sadeleştirmeleri yaparak her iki aralıkta da ifadenin işaretinin pozitif olduğunu görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde içinde mutlak değer ve rasyonel ifadeler barındıran farklı köklü fonksiyonların tanım kümelerini bularak bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Rasyonel ifadenin işaret tablosu yapılabilir. Payın kökleri −1-1 ve 55'tir. Paydanın kökleri de ∣x−2∣=3⇒x=5|x-2|=3 \Rightarrow x=5 ve x=−1x=-1'dir. Hem payın hem de paydanın kökleri aynı olduğundan, bu noktalar çift katlı kök gibi davranır (sadeleşme nedeniyle) ve işaret tablosunda −1-1 ve 55 noktalarından geçerken işaret değişmez. Her iki kök de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden çıkarılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 24Soru →

AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=s(B∖A)−2s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2
s(A∪B)=18s(A \cup B) = 18

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 13'tür.
Doğru seçenekte belirtilen değer, birleşim formülü (s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)) kullanılarak oluşturulan denklem çözüldüğünde elde edilen x=5x = 5 değerinin s(A)=2x+(x−2)=3x−2s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2 ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 13 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin birleşim formülünü ayrık alt kümeler cinsinden yazın ve değişken tanımlayın.
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülü yazılır. s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denilirse, s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2 olur.
Verilen oranları tek bir bilinmeyen (xx) cinsinden ifade ederek denklem kurmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
Bilinmeyen xx değerini bulmak için birleşim eleman sayısı denklemini çözün.
2x+x+(x−2)=18  ⟹  4x−2=18  ⟹  4x=20  ⟹  x=52x + x + (x - 2) = 18 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısının 18 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen değişkenin sayısal değeri hesaplanır.
3
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğundan, s(A)=2x+(x−2)=3x−2s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2 formülünde x=5x = 5 yazılırsa s(A)=3⋅5−2=13s(A) = 3 \cdot 5 - 2 = 13 elde edilir.
AA kümesi, A∖BA \setminus B fark kümesi ile A∩BA \cap B kesişim kümesinin birleşiminden oluştuğu için bu iki bölgenin eleman sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Birleşim kümesinin eleman sayısı, iki kümenin farkları ve kesişiminin eleman sayılarının toplamına eşittir.

İpuçları

1
Birleşim kümesini oluşturan ayrık bölgeleri (yalnız A'da olanlar, yalnız B'de olanlar ve her ikisinde de olanlar) Venn şeması çizerek göstermeyi deneyin.
2
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x diyerek diğer bölgelerin eleman sayılarını xx cinsinden ifade edin: s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x−2s(A \cap B) = x - 2.
3
Tüm bölgelerin toplamını 1818 elemana eşitleyerek xx değerini bulun. Sonrasında AA kümesinin eleman sayısının s(A∖B)+s(A∩B)s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A, B ve C) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek her bir bölgeye harfler verilebilir. A∖BA \setminus B bölgesine aa, A∩BA \cap B bölgesine bb, B∖AB \setminus A bölgesine cc dersek; verilenler a=2ca = 2c, b=c−2b = c - 2 ve a+b+c=18a + b + c = 18 olur. Buradan 2c+c−2+c=18  ⟹  4c=20  ⟹  c=52c + c - 2 + c = 18 \implies 4c = 20 \implies c = 5 bulunur. Bizden istenen a+b=2c+c−2=3c−2=13a + b = 2c + c - 2 = 3c - 2 = 13 olarak doğrudan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 25Soru →

Bir evrensel kümenin iki alt kümesi olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=22s(A \cup B) = 22
* s(A∖B)=s(B∖A)+3s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3
* s(A∩B)=s(A∖B)−5s(A \cap B) = s(A \setminus B) - 5

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Doğru cevap 15'tir. Çünkü fark bölgesi eleman sayısı xx cinsinden yazılıp birleşim kümesi denklemine yerleştirildiğinde bilinmeyen değer 7 olarak bulunur. Bu değer yerine yazıldığında ilk kümenin fark bölgesi 10, kesişim bölgesi 5 olur. Bu iki bölgenin toplamı olan 15 değeri doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgelerine değişken atayarak eleman sayılarını belirleme
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun. Bu durumda s(A∖B)=x+3s(A \setminus B) = x + 3 ve s(A∩B)=(x+3)−5=x−2s(A \cap B) = (x + 3) - 5 = x - 2 olur.
Tüm bölgeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek birleşim kümesi formülünü uygulamak.
2
Birleşim formülü ile bilinmeyen değişkeni çözme
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünden, 22=(x+3)+x+(x−2)  ⟹  22=3x+1  ⟹  3x=21  ⟹  x=722 = (x + 3) + x + (x - 2) \implies 22 = 3x + 1 \implies 3x = 21 \implies x = 7 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısı, kesişmeyen üç alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.
3
İstenen kümenin eleman sayısını hesaplama
s(A∖B)=7+3=10s(A \setminus B) = 7 + 3 = 10 ve s(A∩B)=7−2=5s(A \cap B) = 7 - 2 = 5 olur. Buradan s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=10+5=15s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 10 + 5 = 15 elde edilir.
İlk kümenin toplam eleman sayısı, o kümenin fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler

İpuçları

1
Kümelerin birleşimini oluşturan üç temel ayrık bölgeyi (fark bölgeleri ve kesişim) belirleyin.
2
Bir bölgenin eleman sayısına değişken atayarak diğer bölgeleri bu değişken cinsinden yazın ve toplamlarını birleşim eleman sayısına eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini içeren sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilerek deneme yapılabilir. Örneğin ilk kümenin eleman sayısı 15 olarak alındığında kesişim 5 ve fark bölgesi 10 olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →

Bir toplulukta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini konuşan 3030 kişi bulunmaktadır. Bu toplulukta Almanca konuşanların sayısı 1818, her iki dili de konuşanların sayısı ise 55'tir. Buna göre, bu toplulukta sadece Fransızca konuşan kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Sadece Fransızca konuşan kişi sayısı 12'dir.
Topluluktaki toplam kişi sayısı (Almanca veya Fransızca konuşanlar), Almanca konuşanlar ile sadece Fransızca konuşanların toplamına eşittir. Bu durumda sadece Fransızca konuşanların sayısı 30−18=1230 - 18 = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel bilgileri küme sembolleriyle ifade etmek.
Almanca konuşanlar kümesi AA, Fransızca konuşanlar kümesi FF olsun. Verilenler: s(A∪F)=30s(A \cup F) = 30, s(A)=18s(A) = 18 ve s(A∩F)=5s(A \cap F) = 5'tir.
Problemdeki verileri matematiksel olarak modellemek.
2
Sadece Fransızca konuşanların sayısını bulmak için birleşim kümesinden Almanca konuşanların tamamını çıkarmak.
s(F∖A)=s(A∪F)−s(A)=30−18=12s(F \setminus A) = s(A \cup F) - s(A) = 30 - 18 = 12 olarak hesaplanır.
Almanca veya Fransızca konuşanlar kümesi, Almanca konuşanlar ile sadece Fransızca konuşanların birleşiminden oluşur. Bu iki küme ayrık olduğu için eleman sayıları farkı doğrudan sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşimi ve farkı yardımıyla küme problemlerinin çözümü
Soru 27Soru →

Bir spor salonundaki üyelerin beslenme ve egzersiz alışkanlıklarıyla ilgili yapılan bir araştırmada şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Üyelerin %65\%65’i düzenli kardiyo yapmaktadır.
* Üyelerin %50\%50’si düzenli olarak protein ağırlıklı beslenmektedir.
* Düzenli kardiyo yapıp protein ağırlıklı beslenmeyen üyelerin sayısı, bu iki alışkanlıktan hiçbirine sahip olmayan üyelerin sayısının 33 katıdır.
* Hem düzenli kardiyo yapan hem de protein ağırlıklı beslenen üye sayısı 2222’dir.

Buna göre, araştırmaya katılan toplam üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Araştırmaya katılan toplam üye sayısı 80'dir.
Toplam üye sayısına 80 denildiğinde; kardiyo yapanlar 80×0,65=5280 \times 0,65 = 52, protein beslenenler 80×0,50=4080 \times 0,50 = 40 kişidir. Hem kardiyo yapan hem protein beslenen 22 kişi olduğundan, sadece kardiyo yapanlar 52−22=3052 - 22 = 30 kişi olur. İki alışkanlıktan en az birine sahip olanlar 30+22+18=7030 + 22 + 18 = 70 kişidir. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayanlar ise 80−70=1080 - 70 = 10 kişidir. Sadece kardiyo yapanların sayısı (30), hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların sayısının (10) tam olarak 3 katıdır. Bu durum tüm koşulları sağladığı için 80 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam üye sayısını değişken cinsinden tanımlama
Toplam üye sayısı TT olsun. Bu durumda düzenli kardiyo yapan üye sayısı 0,65T0,65T, protein ağırlıklı beslenen üye sayısı ise 0,50T0,50T olur.
Yüzde problemlerini çözmeyi kolaylaştırmak için toplam miktar değişken cinsinden ifade edilir.
2
Kümelerin kesişimini kullanarak sadece tek bir alışkanlığa sahip olan bölgeleri bulma
Hem kardiyo yapan hem protein beslenen üye sayısı 2222 olduğundan; sadece düzenli kardiyo yapanlar 0,65T−220,65T - 22, sadece protein ağırlıklı beslenenler ise 0,50T−220,50T - 22 olur.
Venn şemasındaki her bir ayrık bölgenin eleman sayısını toplam cinsinden ifade etmek gerekir.
3
İki alışkanlığa da sahip olmayanların (dış bölge) eleman sayısını bulma
En az bir alışkanlığa sahip olanların toplamı (birleşim kümesi): (0,65T−22)+22+(0,50T−22)=1,15T−22(0,65T - 22) + 22 + (0,50T - 22) = 1,15T - 22 olur. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayan üye sayısı ise: T−(1,15T−22)=22−0,15TT - (1,15T - 22) = 22 - 0,15T olarak bulunur.
Evrensel kümeden birleşim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak iki kümenin de dışında kalan eleman sayısı belirlenir.
4
Verilen oran ilişkisiyle denklem kurma ve çözme
Sadece kardiyo yapanlar, hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların 33 katı olduğuna göre:
0,65T−22=3×(22−0,15T)0,65T - 22 = 3 \times (22 - 0,15T)
0,65T−22=66−0,45T0,65T - 22 = 66 - 0,45T
0,65T+0,45T=66+220,65T + 0,45T = 66 + 22
1,1T=881,1T = 88
T=80T = 80 bulunur.
Sözel olarak verilen kat ilişkisi matematiksel eşitliğe dönüştürülerek toplam üye sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma
Soru 28Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3
g(x)=2x+2x−1g(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}
fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1313

Cevap

İfadenin doğru değeri 1313 olmalıdır.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) şeklindedir. İlk olarak içteki g(3)g(3) değeri hesaplanır: g(3)=2(3)+23−1=4g(3) = \frac{2(3)+2}{3-1} = 4. Ardından bu değer dıştaki ff fonksiyonunda yerine yazılır: f(4)=42−3=13f(4) = 4^2 - 3 = 13. Bu nedenle doğru değer 1313 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2x+2x−1g(x) = \frac{2x+2}{x-1} fonksiyonunda xx yerine 33 yazarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=2(3)+23−1=82=4g(3) = \frac{2(3)+2}{3-1} = \frac{8}{2} = 4
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesi f(g(3))f(g(3)) değerine eşittir. Bu nedenle önce içteki fonksiyonun değeri hesaplanmalıdır.
2
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 fonksiyonunda xx yerine g(3)g(3)'ün değeri olan 44 yazarak f(4)f(4) değerini hesaplayın.
f(4)=42−3=16−3=13f(4) = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13
İlk adımda elde edilen g(3)=4g(3) = 4 değeri, dıştaki f(x)f(x) fonksiyonuna girdi olarak yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon işlemlerinde, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği kullanılarak işlemler her zaman en içteki fonksiyondan dışa doğru sırayla yapılır.
Soru 29Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}
B={3,4,5,6,7}B = \{3, 4, 5, 6, 7\}

olduğuna göre, (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesinin eleman sayıs�� kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Doğru cevap 4 elemanlı olan seçenektir. A∖BA \setminus B kümesi {1,2}\{1, 2\} ve B∖AB \setminus A kümesi {6,7}\{6, 7\} elemanlarından oluşur. Bu iki kümenin birleşimi olan (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesi {1,2,6,7}\{1, 2, 6, 7\} elemanlarını içerir ve eleman sayısı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
A∖BA \setminus B kümesinin elemanlarını belirlemek.
A∖B={1,2}A \setminus B = \{1, 2\}
Fark işlemi, birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları bulmayı gerektirir.
2
B∖AB \setminus A kümesinin elemanlarını belirlemek.
B∖A={6,7}B \setminus A = \{6, 7\}
Benzer şekilde, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları bulmak gerekir.
3
Elde edilen fark kümelerinin birleşimini almak.
(A∖B)∪(B∖A)={1,2,6,7}(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 6, 7\} ve eleman sayısı 4'tür.
Birleşim işlemi, iki kümenin tüm elemanlarının bir araya getirilmesiyle yeni bir küme oluşturulmasını sağlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark ve Birleşim İşlemleri

Alternatif Yöntem

Kümelerin eleman sayıları formülü kullanılarak da çözülebilir: s((A∖B)∪(B∖A))=s(A∪B)−s(A∩B)s((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) = s(A \cup B) - s(A \cap B) şeklinde hesaplanabilir. s(A∪B)=7s(A \cup B) = 7 ve s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3 olduğundan, 7−3=47 - 3 = 4 bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 30Soru →
Sıfırdan farklı her xx gerçel sayısı için
f(x)+2f(1x)=3xf(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x
eşitliği tanımlanıyor.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

−1-1
Verilen fonksiyonda x=2x=2 ve x=1/2x=1/2 yazılıp iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur. Bu sistem yok etme yöntemiyle çözüldüğünde aranan değer −1-1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde x=2x = 2 yazılır.
f(2)+2f(12)=6f(2) + 2f\left(\frac{1}{2}\right) = 6
f(2)f(2) değerini içeren ilk bağıntıyı elde etmek için.
2
Verilen denklemde x=12x = \frac{1}{2} yazılır.
f(12)+2f(2)=32f\left(\frac{1}{2}\right) + 2f(2) = \frac{3}{2}
Denklem sistemini çözebilmek için bilinmeyenleri içeren ikinci bir bağıntı elde etmek için.
3
İkinci denklem −2-2 ile çarpılarak sistem düzenlenir.
−2f(12)−4f(2)=−3-2f\left(\frac{1}{2}\right) - 4f(2) = -3
Taraf tarafa toplama yapıldığında f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) terimini yok etmek için.
4
Birinci denklem ile yeni elde edilen denklem taraf tarafa toplanır.
−3f(2)=3  ⟹  f(2)=−1-3f(2) = 3 \implies f(2) = -1
f(2)f(2) değerini yalnız bırakıp sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Denklem Sistemleri
Soru 31Soru →
f(x)=x−1x+1f(x) = \frac{x-1}{x+1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋯f(19)f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) \cdots f(19)

çarpımının sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1190\frac{1}{190}

Cevap

Çarpımın sonucu 1/190'dır.
Soruda verilen fonksiyon tanımında değişkenler yerine koyulduğunda çarpım ifadesinde pay kısmında 3'ten 18'e kadar olan sayılar, payda kısmında ise yine 3'ten 18'e kadar olan sayılar yer alır. Bu sayılar sadeleştiğinde geriye sadece pay kısmında 2 ve payda kısmında 380 kalır. Bu ifadenin sadeleştirilmesiyle doğru cevap olan 1/190 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon tanımında x yerine sırasıyla 2'den 19'a kadar olan tam sayıları yazıp değerleri bulalım.
f(2)=13f(2) = \frac{1}{3}, f(3)=24f(3) = \frac{2}{4}, f(4)=35f(4) = \frac{3}{5}, ..., f(18)=1719f(18) = \frac{17}{19}, f(19)=1820f(19) = \frac{18}{20} elde edilir.
Çarpımdaki terimlerin matematiksel ifadelerini belirlemek için.
2
Bulduğumuz değerleri yan yana yazarak çarpım ifadesini oluşturalım.
13⋅24⋅35⋅46⋯1719⋅1820\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdots \frac{17}{19} \cdot \frac{18}{20}
Sadeleşen terimleri ve geriye kalan çarpanları net olarak görebilmek için.
3
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim.
Pay kısmındaki 3'ten 18'e kadar olan sayılar ile payda kısmındaki 3'ten 18'e kadar olan sayılar birbirini götürür. Geriye pay kısmında 1⋅2=21 \cdot 2 = 2, payda kısmında ise 19⋅20=38019 \cdot 20 = 380 kalır.
Ardışık terimlerin sadeleşme örüntüsünü uygulamak için.
4
Elde edilen kesri en sade haline getirelim.
2380=1190\frac{2}{380} = \frac{1}{190}
Nihai çarpım sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Çarpımsal Sadeleştirme Örüntüleri

İpuçları

1
Fonksiyonda x yerine sırasıyla 2, 3, 4 değerlerini yazarak ilk birkaç terimi elde edin.
2
Elde ettiğiniz rasyonel ifadeleri yan yana çarparak hangi terimlerin birbirini sadeleştirdiğini gözlemleyin.
3
Sadeleşme sonrasında pay kısmında baştaki iki terimin payının, payda kısmında ise sondaki iki terimin paydasının kaldığına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde ardışık terimlerin sadeleştiği toplam veya çarpım örüntülerini içeren rasyonel fonksiyon sorularını çözerek bu pratik yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, çarpım sembolü özellikleri kullanılarak pay ve payda ayrı ayrı faktöriyel cinsinden yazılabilir: Pay kısmı 18!, payda kısmı ise 20!/2 şeklinde ifade edilerek sadeleştirme yapılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →
A={x∣1<x<10, x bir tek asal sayı}∪{∅}A = \{x \mid 1 < x < 10, \ x \text{ bir tek asal sayı}\} \cup \{\emptyset\} kümesi tanımlanıyor. Buna göre, AA kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 31'dir.

Cevap

Alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 31'dir.
1 ile 10 arasındaki tek asal sayılar 3, 5 ve 7'dir. Küme boş küme elemanını da içerdiğinden A={3,5,7,∅}A = \{3, 5, 7, \emptyset\} olur ve eleman sayısı s(A)=4s(A) = 4'tür. Alt küme sayısı 24=162^4 = 16, özalt küme sayısı ise 24−1=152^4 - 1 = 15 olup, bu değerlerin toplamı 16+15=3116 + 15 = 31 olarak elde edilir. Bu nedenle alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamının 31 olduğunu belirten ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralıktaki tek asal sayıları belirleme.
1 ile 10 arasındaki tek asal sayılar 3, 5 ve 7'dir. Bu elemanların kümesi {3,5,7}\{3, 5, 7\} şeklindedir.
Tanım kümesindeki ilk koşulu sağlayan elemanları bulmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
Boş küme elemanı ile birleşim işlemini uygulayarak kümenin son halini ve eleman sayısını bulma.
A={3,5,7,∅}A = \{3, 5, 7, \emptyset\} elde edilir. Kümenin eleman sayısı s(A)=4s(A) = 4'tür.
Kümenin tüm elemanlarını eksiksiz listelemek ve eleman sayısını doğru saptamak için bu adım gereklidir.
3
Kümenin alt küme ve özalt küme sayılarını hesaplayıp toplama.
Alt küme sayısı: 24=162^4 = 16. Özalt küme sayısı: 24−1=152^4 - 1 = 15. Toplamları: 16+15=3116 + 15 = 31 olur.
Soruda istenen doğru ifadenin matematiksel değerini doğrulamak amacıyla bu hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 33Soru →

Bir şirketteki 8080 çalışanın kültürel aktiviteleriyle ilgili yapılan bir ankette şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Çalışanların %60\%60'ı sinemaya gitmektedir.
* Çalışanların %50\%50'si tiyatroya gitmektedir.
* Hem sinemaya hem de tiyatroya gidenlerin sayısı, bu iki aktiviteden hiçbirine gitmeyenlerin sayısının 33 katıdır.

Buna göre, bu şirkette sadece sinemaya giden çalışan sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Sadece sinemaya giden çalışan sayısı 36'dır.
Şirketteki sinemaya gidenlerin sayısı 4848, tiyatroya gidenlerin sayısı ise 4040'tır. İki aktiviteye birden giden 1212 kişi ve hiçbirine gitmeyen 44 kişi bulunduğunda toplam çalışan sayısı olan 8080 elde edilir. Sinemaya giden 4848 kişiden her iki aktiviteye de katılan 1212 kişi çıkarıldığında, yalnızca sinemaya giden çalışan sayısı 3636 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sinemaya ve tiyatroya giden toplam çalışan sayılarını yüzde hesabı yaparak bulalım.
Sinemaya gidenlerin sayısı: 80×60100=4880 \times \frac{60}{100} = 48 kişi.
Tiyatroya gidenlerin sayısı: 80×50100=4080 \times \frac{50}{100} = 40 kişi.
Yüzdelik oranları gerçek kişi sayılarına dönüştürmek için.
2
Hem sinemaya hem tiyatroya gidenlerin sayısını xx, hiçbirine gitmeyenlerin sayısını yy olarak tanımlayıp aralarındaki ilişkiyi yazal��m.
x=3y  ⟹  y=x3x = 3y \implies y = \frac{x}{3}
İki kümenin kesişimi ile dışındaki elemanların bağıntısını kurmak için.
3
Sinema veya tiyatroya gidenlerin toplamını (birleşim kümesini) veren formülü yazalım.
s(Sinema∪Tiyatro)=s(Sinema)+s(Tiyatro)−s(Sinema∩Tiyatro)s(Sinema \cup Tiyatro) = s(Sinema) + s(Tiyatro) - s(Sinema \cap Tiyatro)
s(Sinema∪Tiyatro)=48+40−x=88−xs(Sinema \cup Tiyatro) = 48 + 40 - x = 88 - x
Çift sayımları (kesişimi) engellemek amacıyla birleşim kümesinin eleman sayısını xx cinsinden ifade etmek için.
4
Tüm çalışanların sayısını veren denklemi kurup xx değerini çözelim.
s(Sinema∪Tiyatro)+y=80s(Sinema \cup Tiyatro) + y = 80
88−x+x3=80  ⟹  88−2x3=8088 - x + \frac{x}{3} = 80 \implies 88 - \frac{2x}{3} = 80
8=2x3  ⟹  2x=24  ⟹  x=128 = \frac{2x}{3} \implies 2x = 24 \implies x = 12
Hem sinemaya hem tiyatroya gidenlerin net sayısını bulmak için.
5
Sadece sinemaya gidenlerin sayısını hesaplayalım.
s(Sinema∖Tiyatro)=s(Sinema)−s(Sinema∩Tiyatro)=48−12=36s(Sinema \setminus Tiyatro) = s(Sinema) - s(Sinema \cap Tiyatro) = 48 - 12 = 36 kişi.
Sinemaya gidenlerden, aynı zamanda tiyatroya da gidenleri çıkararak yalnızca sinemaya gidenlerin sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde iki kümenin birleşimi, kesişimi ve tümleyeni arasındaki ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme.
Soru 34Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={3x2−a,x≥48x+2,x<4f(x) = \begin{cases} 3x^2 - a, & x \ge 4 \\ \frac{8}{x} + 2, & x < 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
(f∘f)(2)=99(f \circ f)(2) = 99
olduğuna göre, aa değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘f)(2)=f(f(2))(f \circ f)(2) = f(f(2)) yazılır. Tanım aralıklarına bakıldığında 2<42 < 4 olduğundan f(2)f(2) değeri için ikinci dal kullanılır ve f(2)=6f(2) = 6 bulunur. Elde edilen değer tekrar fonksiyona yazıldığında 6≥46 \ge 4 olduğundan birinci dal kullanılır ve f(6)=3⋅62−a=108−af(6) = 3 \cdot 6^2 - a = 108 - a bulunur. Bu ifade 9999'a eşitlendiğinde a=9a = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak verilen ifadeyi açın.
(f∘f)(2)=f(f(2))(f \circ f)(2) = f(f(2))
İçteki fonksiyonun değerini bulup dıştaki fonksiyona girdi olarak yazabilmek için.
2
f(2)f(2) değerini hesaplamak için parçalı fonksiyonda girdinin uygun olduğu aralığı seçip değeri yerine yazın.
2<42 < 4 olduğu için ikinci dal kullanılır: f(2)=82+2=4+2=6f(2) = \frac{8}{2} + 2 = 4 + 2 = 6
Girdinin tanım aralığına göre fonksiyonun hangi kuralı uygulayacağını belirlemek için.
3
f(f(2))=f(6)f(f(2)) = f(6) değerini hesaplamak için parçalı fonksiyonda uygun aralığı seçip değeri yerine yazın ve denklemi çözün.
6≥46 \ge 4 olduğu için birinci dal kullanılır: f(6)=3⋅62−a=108−af(6) = 3 \cdot 6^2 - a = 108 - a. Buradan 108−a=99  ⟹  a=9108 - a = 99 \implies a = 9 elde edilir.
a parametresinin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon uygulamaları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 35Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin, en büyük elemanı kendi eleman sayısının 2 fazlasına eşit olan boş olmayan alt küme sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

35
Doğru yanıt olan 35 sayısı, alt kümenin eleman sayısı kk değerinin 1'den 5'e kadar olabileceği tespitiyle bulunur. Her bir adımda, en büyük eleman k+2k+2 olarak kümede sabitlenir ve geriye kalan elemanlar bu sayıdan küçük olan k+1k+1 adet sayı arasından seçilir. Bu seçimlerin toplamı olan 1+3+6+10+15=351 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun matematiksel bağıntıyı kurmak
Oluşturulacak alt küme BB ve eleman sayısı s(B)=ks(B) = k olsun. Kümenin en büyük elemanı max(B)max(B) ise, soruda verilen koşul max(B)=k+2max(B) = k + 2 şeklindedir.
Soruda alt kümenin en büyük elemanının, o alt kümenin eleman sayısının 2 fazlası olduğu belirtilmiştir.
2
Alt kümenin eleman sayısı kk için sınır değerlerini belirlemek
B⊆A={1,2,3,4,5,6,7}B \subseteq A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan kümenin en büyük elemanı en fazla 7 olabilir. Dolayısıyla, max(B)=k+2≤7  ⟹  k≤5max(B) = k + 2 \leq 7 \implies k \leq 5 olur. Boş olmayan alt kümeler arandığı için k≥1k \geq 1 olup kk sayısı 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 değerlerini alabilir.
Oluşturulan alt kümenin elemanları AA kümesinin eleman sınırlarını aşamaz.
3
Her kk değeri i��in seçilebilecek eleman kombinasyonlarını formüle etmek
Eleman sayısı kk olan bir alt kümede en büyük eleman k+2k+2 olarak belirlenirse, geriye kalan k−1k-1 eleman kesinlikle k+2k+2 değerinden küçük olmalıdır. Bu elemanlar {1,2,…,k+1}\{1, 2, \dots, k+1\} kümesinden seçilmelidir. Bu kümenin eleman sayısı k+1k+1 olduğundan, seçim sayısı (k+1k−1)=(k+12)\binom{k+1}{k-1} = \binom{k+1}{2} formülüyle hesaplanır.
En büyük elemanın k+2k+2 olmasını garantilemek için diğer tüm elemanların bu değerden küçük seçilmesi şarttır.
4
Tüm durumları hesaplayıp toplamak
k=1k=1 için: (22)=1\binom{2}{2} = 1 durum,
k=2k=2 için: (32)=3\binom{3}{2} = 3 durum,
k=3k=3 için: (42)=6\binom{4}{2} = 6 durum,
k=4k=4 için: (52)=10\binom{5}{2} = 10 durum,
k=5k=5 için: (62)=15\binom{6}{2} = 15 durum.
Toplam alt küme sayısı: 1+3+6+10+15=351 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 bulunur.
Birbirinden bağımsız olarak gerçekleşen bu durumların toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kümelerde alt küme oluşturma kuralları ve kombinasyon kullanarak koşullu alt küme sayma

İpuçları

1
Bir alt kümenin eleman sayısı kk ise en büyük elemanı k+2k+2 olmalıdır. AA kümesinin en büyük elemanı 7 olduğuna göre, oluşturulabilecek en kalabalık alt kümenin eleman sayısı kaç olabilir?
2
Alt kümenin en büyük elemanı k+2k+2 olduğuna göre, seçilecek diğer tüm elemanlar bu sayıdan küçük olmalıdır. Yani kalan k−1k-1 elemanı {1,2,…,k+1}\{1, 2, \dots, k+1\} kümesinden seçmelisiniz.
3
Eleman sayısı kk olan durumlar için sırasıyla k=1,2,3,4,5k=1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alarak (k+12)\binom{k+1}{2} kombinasyonlarını hesaplayıp toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, en büyük elemanı eleman sayısının 3 fazlasına eşit olan alt küme sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, eleman sayısı kk olan kümeleri tek tek analiz edebiliriz. Örneğin k=1k=1 için en büyük eleman 3 olmalıdır, bu küme sadece {3}\{3\}'tür (1 adet). k=2k=2 için en büyük eleman 4 olmalıdır, bu küme {4}\{4\} elemanının yanına {1,2,3}\{1, 2, 3\} arasından 1 eleman seçilerek oluşturulur ve {1,4},{2,4},{3,4}\{1,4\}, \{2,4\}, \{3,4\} olmak üzere 3 adettir. Diğer durumlar da bu şekilde listelenerek toplam sayı doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →

AA kümesi tek rakamlardan, BB kümesi ise asal rakamlardan oluşan birer kümedir.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Doğru cevap 20'dir.
Tek rakamlar kümesi A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} olup s(A)=5s(A) = 5'tir. Asal rakamlar kümesi B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} olup s(B)=4s(B) = 4'tür. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülü s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B) olduğundan, 5×4=205 \times 4 = 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} olup eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulmak için ilk kümenin eleman sayısı bilinmelidir.
2
B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} olup eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4 olur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını bulmak için ikinci kümenin eleman sayısı bilinmelidir.
3
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak.
s(A×B)=s(A)×s(B)=5×4=20s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 5 \times 4 = 20 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(A×B)=s(A)×s(B)s(A \times B) = s(A) \times s(B)
Soru 37Soru →
Gerçel sayılar kümesinin uygun bir alt kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}
g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4'tür.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(3)=g(f(3))(g \circ f)(3) = g(f(3)) eşitliği yazılır. Öncelikle içteki fonksiyon olan f(3)f(3) değeri hesaplanır. f(3)=3f(3) = 3 bulunur. Daha sonra bu değer gg fonksiyonunda yerine yazılarak g(3)=4g(3) = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesini iç içe fonksiyon biçiminde yazın.
g(f(3))g(f(3))
Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyonun görüntüsü soldaki fonksiyonun girdisi olur.
2
f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x + 3}{x - 1} fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplayın.
f(3)=3+33−1=62=3f(3) = \frac{3 + 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3
Bileşke değerini bulmak için öncelikle içteki f(3)f(3) değerine ihtiyaç vardır.
3
Bulunan f(3)=3f(3) = 3 değerini g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5 fonksiyonunda xx yerine yazarak g(f(3))g(f(3)) değerini hesaplayın.
g(3)=32−5=9−5=4g(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4
İçteki fonksiyonun sonucu olan 3, dıştaki g fonksiyonunun girdisi olarak kullanılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon Değeri Bulma
Soru 38Soru →
A={x∣1≤x<8, x bir asal sayı}∪{∅}A = \{x \mid 1 \leq x < 8, \ x \text{ bir asal sayı}\} \cup \{\emptyset\}

kümesi tanımlanıyor.

Buna göre, AA kümesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AA kümesinin özalt küme sayısı 3131'dir.

Cevap

AA kümesinin özalt küme sayısı 3131'dir.
Kümenin elemanları belirlendiğinde A={2,3,5,7,∅}A = \{2, 3, 5, 7, \emptyset\} olduğu görülür. Eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 olduğundan, özalt küme sayısı 25−1=312^5 - 1 = 31 olarak hesaplanır. Bu nedenle özalt küme sayısının 31 olduğunu belirten ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığ��ndaki asal sayıları belirleme
[1,8)[1, 8) aralığındaki asal sayılar 2,3,52, 3, 5 ve 77'dir. 11 asal sayı değildir.
Soruda verilen kümenin birinci kısmını oluşturan elemanları doğru şekilde listelemek gerekir.
2
Birleşim işlemini uygulayarak kümenin tüm elemanlarını yazma
A={2,3,5,7,∅}A = \{2, 3, 5, 7, \emptyset\} ve eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5 olur.
Kümenin birinci kısmı ile boş küme elementini içeren kümenin birleşimi alınarak AA kümesinin elemanları tespit edilir.
3
Özalt küme sayısını hesaplama
25−1=32−1=312^5 - 1 = 32 - 1 = 31.
nn elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2n−12^n - 1 formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Kavramı, Alt Küme ve Özalt Küme Sayısı
Soru 39Soru →

Bir müzik okulundaki 4545 öğrencinin her biri piyano veya keman enstrümanlarından en az birini çalabilmektedir. Bu okulda sadece piyano çalabilenlerin sayısı, her iki enstrümanı da çalabilenlerin sayısının 22 katıdır. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerin sayısından 55 fazladır. Buna göre, bu okulda sadece keman çalabilen öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1515

Cevap

Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı 15'tir.
Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı xx olarak tanımlandığında, sadece piyano çalabilenler 2x2x olur. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerden 55 fazla olduğuna göre 2x+52x + 5 olarak ifade edilir. Keman çalabilenlerden her iki enstrümanı da çalan xx kişi çıkarıldığında, sadece keman çalabilenlerin sayısı x+5x + 5 olur. Toplam mevcudu veren 2x+x+(x+5)=452x + x + (x + 5) = 45 denklemi çözüldüğünde x=10x = 10 bulunur. Buradan sadece keman çalabilenlerin sayısı 10+5=1510 + 5 = 15 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesindeki eleman sayısını değişken olarak tanımlama
Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı xx olsun. Yani s(P∩K)=xs(P \cap K) = x olur.
Küme problemlerinde bilinmeyenleri yerleştirirken genellikle en içteki kesişim bölgesinden başlamak işlemleri kolaylaştırır.
2
Diğer küme bölgelerini verilen bilgilere göre xx cinsinden yazma
Sadece piyano çalanlar: 2x2x, keman çalanlar: 2x+52x + 5 ve sadece keman çalanlar: (2x+5)−x=x+5(2x + 5) - x = x + 5 olur.
Sadece piyano çalanların sayısı kesişimin 2 katı olarak verilmiş, keman çalan toplam kişi sayısı ise sadece piyano çalanlardan 5 fazla olarak belirtilmiştir.
3
Toplam öğrenci sayısı denklemini kurma ve çözme
2x+x+(x+5)=45⇒4x+5=45⇒4x=40⇒x=102x + x + (x + 5) = 45 \Rightarrow 4x + 5 = 45 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10 bulunur.
Tüm öğrencilerin her iki enstrümandan en az birini çaldığı bilindiğinden, kümedeki ayrık bölgelerin toplamı okul mevcudu olan 45'e eşittir.
4
İstenen bölgenin eleman sayısını hesaplama
Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı: x+5=10+5=15x + 5 = 10 + 5 = 15 bulunur.
Soruda bizden sadece keman çalabilen öğrenci sayısı istendiği için x+5x+5 ifadesinde bulduğumuz değeri yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde sözel ifadeleri şema üzerinde ayrık bölgelere yerleştirerek denklem çözme

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gitme yöntemi uygulanabilir. Sadece keman çalan öğrenci sayısı seçeneklerdeki değerlerden biri olmalıdır. Örneğin sadece keman çalanlar 15 ise; keman çalan toplam kişi sayısı 15+x15 + x olur. Verilen bilgiye göre keman çalanlar (15+x15+x) sadece piyano çalanlardan 5 fazladır, dolayısıyla sadece piyano çalanlar 10+x10+x olur. Sadece piyano çalanlar (10+x10+x) kesişimin (xx) 2 katı olduğuna göre 10+x=2x⇒x=1010+x = 2x \Rightarrow x = 10 bulunur. Bu durumda tüm bölgelerin toplamı: sadece piyano (2020) + kesişim (1010) + sadece keman (1515) = 45 mevcudunu doğrulayarak çözümün doğruluğunu kanıtlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 40Soru →
A={x∈Z∣1<x≤10, x bir asal sayı veya x bir c¸ift sayı}∪{∅,{∅}}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x \le 10, \ x \text{ bir asal sayı veya } x \text{ bir çift sayı}\} \cup \{\emptyset, \{\emptyset\}\}

kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesi için;

I. {∅}∈A\{\emptyset\} \in A ve {∅}⊆A\{\emptyset\} \subseteq A
II. ∅⊆A\emptyset \subseteq A ve {{∅}}⊆A\{\{\emptyset\}\} \subseteq A
III. AA kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 10231023'tür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I. ifadede {∅}∈A\{\emptyset\} \in A doğrudur çünkü {∅}\{\emptyset\} kümenin doğrudan bir elemanıdır; {∅}⊆A\{\emptyset\} \subseteq A doğrudur çünkü tek elemanı olan ∅\emptyset elemanı AA'nın içindedir. II. ifadede boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için ∅⊆A\emptyset \subseteq A doğrudur; {{∅}}⊆A\{\{\emptyset\}\} \subseteq A doğrudur çünkü tek elemanı olan {∅}\{\emptyset\} elemanı AA'nın içindedir. III. ifadede eleman sayısı 1010 olduğundan alt küme sayısı 10241024, özalt küme sayısı 10231023 ve toplamları 20472047 olup ifade yanlıştır. Dolayısıyla doğru seçenek 'I ve II' ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını belirleyelim.
A={2,3,4,5,6,7,8,10,∅,{∅}}A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, \emptyset, \{\emptyset\}\} ve s(A)=10s(A) = 10'dur.
1<x≤101 < x \le 10 aralığındaki çift sayılar {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\} ve asal sayılar {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}'dir. Bu sayıların birleşimi {2,3,4,5,6,7,8,10}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} olmak üzere 88 elemandır. Bu sayısal elemanlara ek olarak tanımda verilen ∅\emptyset ve {∅}\{\emptyset\} elemanları da kümeye dahil edildiğinde toplam eleman sayısı 1010 olur.
2
I. ve II. ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim.
I. ve II. ifadeler doğrudur.
∅∈A\emptyset \in A ve {∅}∈A\{\emptyset\} \in A olduğundan, sırasıyla {∅}⊆A\{\emptyset\} \subseteq A ve {{∅}}⊆A\{\{\emptyset\}\} \subseteq A alt küme ilişkileri doğrudur. Ayrıca boş küme (∅\emptyset) her kümenin alt kümesidir, dolayısıyla ∅⊆A\emptyset \subseteq A ifadesi de doğrudur.
3
AA kümesinin alt küme ve özalt küme sayılarını hesaplayıp toplayalım.
Alt küme sayısı 210=10242^{10} = 1024, özalt küme sayısı 210−1=10232^{10} - 1 = 1023 ve toplamları 1024+1023=20471024 + 1023 = 2047'dir.
Toplam 20472047 çıktığından, toplamın 10231023 olduğunu iddia eden III. ifade yanlıştır. Bu yanlış iddia, kümenin eleman sayısının hatalı şekilde 99 olarak bulunması durumunda (29+29−1=512+511=10232^9 + 2^9 - 1 = 512 + 511 = 1023) ortaya çıkmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme ilişkileri ile alt küme/özalt küme sayılarının hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki
Kümeler, Fonksiyonlar ve İşlem Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2 | Examkin