Mantık Problemleri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 9

Soru 161Soru →

Bir sayı örüntüsünün terimleri $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ şeklinde sıralanmaktadır. Bu örüntünün ilk iki terimi

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

olarak verilmiştir. Sonraki terimler ise her $n \geq 3$ için,

* $n$ tek sayı ise $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$
* $n$ çift sayı ise $a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$

kurallarına göre belirlenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 22. terimi ( $a_{22}$ ) kaçtır?

97

144

157

254

377

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 157

Cevap

Örüntünün 22. terimi 157'dir.

Doğru cevap olan 157 sayısı, örüntünün kuralları gereği

a_{22} = a_{19}

eşitliğinden ve tek indisli terimlerin kendi arasındaki Fibonacci benzeri toplam ilişkisinden yararlanılarak doğru adımlarla hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Örüntünün ilk birkaç terimini verilen kurallara göre yazalım.

a_1 = 1

,

a_2 = 3

,

a_3 = 3+1 = 4

,

a_4 = 4-3 = 1

,

a_5 = 1+4 = 5

,

a_6 = 5-1 = 4

,

a_7 = 4+5 = 9

,

a_8 = 9-4 = 5

,

a_9 = 5+9 = 14

,

a_{10} = 14-5 = 9

Örüntünün terimleri arasındaki genel ilişkiyi ve kuralları gözlemlemek için ilk terimleri listeliyoruz.

2

Çift indisli terimler ile tek indisli terimler arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade edelim.

a_{2m} = a_{2m-1} - a_{2m-2}

ve

a_{2m-1} = a_{2m-2} + a_{2m-3}

eşitliklerini birleştirdiğimizde,

a_{2m} = (a_{2m-2} + a_{2m-3}) - a_{2m-2} = a_{2m-3}

elde edilir.

Bu eşitlik, çift indisli terimlerin hesaplanmasını kolaylaştırarak bizi doğrudan daha küçük indisli bir tek terime ulaştırır.

3

Elde edilen ilişkiyi 22. terim (

a_{22}

) için uygulayalım.

2m = 22 \implies m = 11

olur. Buradan

a_{22} = a_{2(11)-3} = a_{19}

elde edilir.

22. terimi bulmak yerine örüntüdeki 19. terimi bulmanın yeterli olduğunu saptıyoruz.

4

Tek indisli terimlerin kendi arasındaki örüntüyü inceleyelim ve

a_{19}

terimini hesaplayalım.

Tek indisli terimler için

a_{2m-1} = a_{2m-2} + a_{2m-3}

kuralı geçerlidir.

a_{2m-2} = a_{2m-5}

olduğundan,

a_{2m-1} = a_{2m-5} + a_{2m-3}

olur. Tek indisli terimleri sıralarsak:

*

a_1 = 1

*

a_3 = 4

*

a_5 = 1 + 4 = 5

*

a_7 = 4 + 5 = 9

*

a_9 = 5 + 9 = 14

*

a_{11} = 9 + 14 = 23

*

a_{13} = 14 + 23 = 37

*

a_{15} = 23 + 37 = 60

*

a_{17} = 37 + 60 = 97

*

a_{19} = 60 + 97 = 157

buluruz.

Tek indisli terimlerin her birinin, kendisinden önceki iki tek indisli terimin toplamına eşit olduğunu görerek

a_{19}

değerini kolayca buluruz.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde pariteye (tek/çift olma durumuna) göre değişen kuralların analizi ve indirgeme formüllerinin kullanımı.

İpuçları

1

İlk 10 terimi yazarak çift terimlerin (

a_4, a_6, a_8, a_{10}

) kendilerinden önceki terimlerle nasıl bir ilişkisi olduğunu inceleyin.

2

Her çift indisli terim için

a_{2m} = a_{2m-3}

eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz. Bu durumda

a_{22}

terimini bulmak için hangi tek terimi bulmanız gerekir?

3

a_{22} = a_{19}

olduğunu saptadıktan sonra, tek indisli terimlerin (

a_1, a_3, a_5, a_7, \dots

) kendi aralarında

a_{2m-1} = a_{2m-3} + a_{2m-5}

kuralına göre ilerlediğini fark edin. Bu dizilim

1, 4, 5, 9, 14, \dots

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, tek terimlerin çıkarma, çift terimlerin çarpma olduğu veya pariteye göre modüler aritmetik içeren örüntü sorularını çözerek hız kazanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, herhangi bir kısayol görmeden

a_1

'den başlayarak her adımda

n

değerinin tek veya çift olmasına göre toplama ve çıkarma işlemlerini sırasıyla 22. adıma kadar hatasız bir şekilde manuel olarak yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 162Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

\boxplus

işlemi, her

(x, y)

ve

(z, w)

gerçel sayı ikilileri için

(x, y) \boxplus (z, w) = (xz + yw, \, xw - yz)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(a, 2) \boxplus (3, -1) = (4, b)

eşitliğini sağlayan

a

ve

b

gerçel sayıları için

a + b

toplamı kaçtır?

6

-2

-6

-8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

İşlemin doğru uygulanmasıyla elde edilen

a + b

toplamı

-6

'dır.

Tanımlanan işleme göre,

(a, 2) \boxplus (3, -1)

işleminin birinci bileşeni

3a - 2

, ikinci bileşeni ise

-a - 6

olur. Bu ikili

(4, b)

'ye eşit olduğundan,

3a - 2 = 4

eşitliğinden

a = 2

bulunur. Bulunan bu değer ikinci bileşende yerine yazıldığında

b = -2 - 6 = -8

elde edilir. Bu iki değerin toplamı

2 + (-8) = -6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

(a, 2) \boxplus (3, -1)

işlemini tanımlanan kurala göre açın.

(a, 2) \boxplus (3, -1) = (a \cdot 3 + 2 \cdot (-1), \, a \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = (3a - 2, \, -a - 6)

Tanımda birinci bileşenin

xz + yw

ve ikinci bileşenin

xw - yz

olduğu verilmiştir.

2

Elde edilen ikiliyi

(4, b)

ikilisine eşitleyerek birinci bileşenden

a

değerini bulun.

3a - 2 = 4 \implies 3a = 6 \implies a = 2

İki sıralı ikilinin eşitliğinde karşılıklı bileşenler birbirine eşit olmalıdır.

3

Bulunan

a = 2

değerini kullanarak ikinci bileşenden

b

değerini hesaplayın.

b = -a - 6 \implies b = -2 - 6 = -8

İkinci bileşenlerin eşitliğinden

b = -a - 6

bağıntısı geçerlidir.

4

a + b

toplamını hesaplayın.

a + b = 2 + (-8) = -6

Soruda bizden istenen değer

a + b

toplamıdır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı ikili işlemler ve sıralı ikililerin eşitliği prensibi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 163Soru →

Bir $n$ pozitif tam sayısı için $S(n)$ işlemi, $n$ sayısının basamaklar��ndaki rakamların karelerinin toplamı olarak tanımlanıyor.

Örneğin;

S(24) = 2^2 + 4^2 = 20

Buna göre, $S(S(x)) = 17$ eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük $x$ doğal sayısı hangisidir?

14

32

41

45

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

45

45 sayısı için işlem iki kez uygulandığında; ilk adımda

S(45) = 4^2 + 5^2 = 41

elde edilir. İkinci adımda

S(41) = 4^2 + 1^2 = 17

bulunur. Bu sayede

S(S(45)) = 17

koşulu sağlanır. Aynı koşulu sağlayan diğer iki basamaklı sayı 54'tür (

S(S(54)) = S(41) = 17

). Bu iki sayı arasından en küçük olanı 45'tir.

Adım Adım Çözüm

1

S(S(x)) = 17

denkleminde

S(x) = y

değişken dönüşümü yapılır.

S(y) = 17

eşitliğini sağlayan

y

değerlerini bulma problemine indirgenir.

İki adımlı işlemi çözmek için içteki fonksiyonun sonucunu harflendirerek geriye doğru gitmek gerekir.

2

x

iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan,

y = S(x)

değerinin alabileceği en büyük değer hesaplanır.

y

değeri en fazla

9^2 + 9^2 = 162

olabilir. Dolayısıyla

y \le 162

sınırlandırması elde edilir.

Bulunacak

y

değerlerinin iki basamaklı bir sayının rakamları kareleri toplamı sınırını aşmaması gerekir.

3

Rakamlarının kareleri toplamı 17 olan ve 162'den küçük veya eşit olan

y

sayıları belirlenir.

İki basamaklı

y

sayıları için

c^2 + d^2 = 17 \implies y \in \{14, 41\}

bulunur. Üç basamaklı

y

sayıları için

y \le 162

olduğundan ilk basamak 1 olmalıdır.

1^2 + d^2 + e^2 = 17 \implies d^2 + e^2 = 16 \implies y \in \{104, 140\}

elde edilir. Böylece

y \in \{14, 41, 104, 140\}

olur.

Tanımlanan kurala göre

S(y) = 17

koşulunu sağlayan tüm olası ara değerleri tespit etmek gerekir.

4

Her bir

y

de��eri için

S(x) = y

denklemi çözülerek iki basamaklı

x = ab

sayıları aranır.

a^2 + b^2 = 14

için tam sayı çözümü yoktur.

a^2 + b^2 = 41 \implies a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2

olduğundan

x \in \{45, 54\}

bulunur.

a^2 + b^2 = 104

ve

a^2 + b^2 = 140

için rakamlar kümesinde çözüm yoktur.

S(x)

işlemini sağlayan

x

değerlerini tespit etmek için basamak kareleri toplamını kontrol ederiz.

5

Bulunan

x

değerlerinden en küçüğü seçilir.

x \in \{45, 54\}

kümesindeki en küçük eleman 45 olarak belirlenir.

Soruda iki basamaklı en küçük

x

sayısı istendiği için 45 seçilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı fonksiyonlarda ters işlem adımlarını ve basamak kısıtlarını kullanarak çözüm yapma

İpuçları

1

S(S(x)) = 17

ifadesinde önce içerideki

S(x)

değerini tek bir değişken (örneğin

y

) gibi düşünerek

S(y) = 17

denklemini çözün.

2

S(y) = 17

ise

y

sayısının rakamlarının kareleri toplamı 17 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan

y

sayılarını ararken

x

iki basamaklı olduğu için

y = S(x)

değerinin en fazla

9^2 + 9^2 = 162

olabileceğini unutmayın.

3

y

değerleri 14, 41, 104 ve 140 olabilir. Buradan basamak kareleri toplamı bu sayılardan birine eşit olan iki basamaklı

x

sayılarını bulup aralarından en küçük olanını seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurallarla üç adımlı işlemler veya basamak sayısı farklı olan durumlar incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, seçeneklerdeki sayıları doğrudan test edebilirsiniz. Örneğin; 45 sayısı için

S(45) = 16 + 25 = 41

ve

S(41) = 16 + 1 = 17

olduğundan eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür. Diğer küçük seçenekler olan 14 ve 41 test edildiğinde sadece tek işlem adımında 17'ye ulaştıkları için elenirler.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 164Soru →

Üç basamaklı bir $ABC$ sayısını şifrelemek için aşağıdaki adımlar uygulanmaktadır:

1. Adım: $A$ , $B$ ve $C$ rakamları ikilik (2 tabanında) sayı sistemine çevrilir. Elde edilen ikilik sayıların her biri, gerekirse başına "0" eklenerek 4 haneli olacak şekilde yazılır (Örneğin; $3$ rakamı $0011$ olarak yazılır).
2. Adım: Bu 4 haneli kodlar yukarıdan aşağıya sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ satırları olacak şekilde üst üste yerleştirilir ve $3 \times 4$ boyutlarında bir matris oluşturulur.
3. Adım: Oluşturulan bu matris saat yönünde $90^\circ$ döndürülerek $4 \times 3$ boyutlarında yeni bir matris elde edilir.
4. Adım: Yeni matrisin satırları yukarıdan aşağıya doğru sırasıyla 3 haneli ikilik sayılar olarak okunur ve bu sayılar onluk (10 tabanında) sayı sistemine dönüştürülür.
5. Adım: Elde edilen bu 4 sayı yukarıdan aşağıya doğru sırasıyla yan yana yazılır ve 4 basamaklı şifre elde edilir.

Buna göre, şifresi 4134 olan üç basamaklı $ABC$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

629

946

926

649

628

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 629

Cevap

629 sayısı

Şifresi 4134 olan sayıyı bulmak için şifreleme adımları tersten izlenir. 4, 1, 3, 4 sayıları sırasıyla 100, 001, 011, 100 şeklinde 3 bitlik ikilik sayılara dönüştürülüp satır satır yazıldığında döndürülmüş matris elde edilir. Bu matris saat yönünün tersine 90 derece döndürüldüğünde orijinal matrisin satırları olan A: 0110 (6), B: 0010 (2) ve C: 1001 (9) değerlerine ulaşılır. Dolayısıyla doğru sayı 629'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Şifreyi oluşturan sayıları belirleme ve ikilik tabana çevirme

Şifre 4134 olduğundan, ��ifreyi oluşturan sayılar sırasıyla 4, 1, 3 ve 4'tür. Bu sayılar 3 haneli ikilik sayılara dönüştürüldüğünde: 4 -> 100, 1 -> 001, 3 -> 011, 4 -> 100 elde edilir.

Şifreleme adımlarının 4. adımında matrisin satırları 3 haneli ikilik sayılar olarak okunup onluk sisteme dönüştürüldüğü için bu işlemi tersten uyguluyoruz.

2

Döndürülmüş matrisi oluşturma

Elde edilen 3 haneli ikilik sayıları satır satır yazarak 4 satır ve 3 sütundan oluşan döndürülmüş matrisi (R) oluştururuz: R = [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0]]

Döndürülmüş matrisin her satırı, şifreyi oluşturan sayıların ikilik karşılığıdır.

3

Matrisi saat yönünün tersine 90 derece döndürerek orijinal matrisi elde etme

Döndürülmüş matrisin 3. sütunu (0, 1, 1, 0) orijinal matrisin 1. satırı (A), 2. sütunu (0, 0, 1, 0) orijinal matrisin 2. satırı (B), 1. sütunu (1, 0, 0, 1) orijinal matrisin 3. satırı (C) olur. Böylece orijinal matris (M) şu şekilde elde edilir: M = [[0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]]

Orijinal 3x4 matris saat yönünde 90 derece döndürüldüğünde sütunlar satır haline gelir. Bu işlemi tersine çevirmek için sütunları tersten ve uygun eşleştirmeyle orijinal satırlara yansıtırız.

4

Orijinal matrisin satırlarını onluk tabana çevirerek A, B, C rakamlarını bulma

A satırı: 0110_2 = 6, B satırı: 0010_2 = 2, C satırı: 1001_2 = 9 elde edilir. Buradan ABC sayısı 629 olarak bulunur.

Orijinal matrisin satırları, A, B ve C rakamlarının 4 haneli ikilik karşılıklarıdır.

Anahtar Kavram

İkilik sayı sistemi ile matris döndürme işlemlerini birleştiren şifreleme mantığı

İpuçları

1

Şifreleme adımlarını sondan başa doğru takip edin. Şifredeki her bir rakam (4, 1, 3, 4) döndürülmüş matrisin satırlarını oluşturmaktadır.

2

4, 1, 3 ve 4 sayılarını 3 bitlik ikilik sistemde yazarak 4x3 boyutunda bir matris elde edin. Ardından bu matrisi saat yönünün tersine 90 derece döndürerek orijinal 3x4 matrise ulaşın.

3

Orijinal matrisin satırları sırasıyla A, B ve C sayılarının 4 bitlik ikilik gösterimleridir. İlk satır olan 0110 sayısının onluk sistemdeki karşılığı A rakamını verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 90 derece döndürme yerine yansıma (ayna görüntüsü) alan veya XOR mantıksal operatörünü kullanan şifreleme sorularıyla pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardaki sayıları tek tek deneyerek şifreleme adımlarını ileriye doğru uygulamak da bir yöntemdir ancak zaman alıcıdır. Örneğin 629 sayısı için: 6=0110, 2=0010, 9=1001 matrisini yazıp saat yönünde 90 derece döndürerek hızlıca kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 165Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $\odot$ işlemi, her $a$ ve $b$ pozitif tam sayısı için

a \odot b = \begin{cases} a^2 - 3b, & a > b \text{ ise} \\ 3a + b^2, & a \le b \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(5 \odot 4) \odot x = 160

eşitliğini sağlayan

x

pozitif tam sayısı kaçtır?

11

7

3

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3

Verilen parçalı işlem tanımına göre

5 \odot 4

hesaplandığında,

5 > 4

olduğundan ilk kural uygulanır ve

13

elde edilir. Ardından

13 \odot x = 160

eşitliğinde

13 > x

koşulu altında birinci kural uygulandığında

169 - 3x = 160 \implies x = 3

bulunur.

3 < 13

koşulu sağlandığı için bu değer doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez içindeki

5 \odot 4

işlemini hesaplayınız.

5 \odot 4 = 5^2 - 3 \cdot 4 = 25 - 12 = 13

5 > 4

olduğu için tanımın ilk satırındaki

a \odot b = a^2 - 3b

kuralı uygulanmalıdır.

2

13 \odot x = 160

eşitliğini çözmek için

13 > x

koşulunu varsayınız.

13^2 - 3x = 160 \implies 169 - 3x = 160 \implies 3x = 9 \implies x = 3

Eğer

13 > x

ise birinci satırdaki

a^2 - 3b

kuralı geçerlidir. Bulunan

x = 3

değeri

13 > 3

koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.

3

Alternatif olarak

13 \le x

koşulunu varsayarak denklemi çözüp kontrol ediniz.

3 \cdot 13 + x^2 = 160 \implies 39 + x^2 = 160 \implies x^2 = 121 \implies x = 11

Eğer

13 \le x

ise ikinci satırdaki

3a + b^2

kuralı geçerlidir. Ancak bulunan

x = 11

değeri

13 \le 11

koşulunu sağlamadığı için bu durumdan geçerli bir çözüm elde edilemez.

Anahtar Kavram

Parçalı kurallarla tanımlanmış özel işlemlerde koşullara uygun işlem basamaklarının uygulanması ve elde edilen sonuçların başlangıç koşullarıyla test edilmesi.

Soru 166Soru →

Bir futbol turnuvasına $X$ , $Y$ , $Z$ ve $W$ olmak üzere dört takım katılmıştır. Her takım diğer takımlarla tam birer kez karşılaşmıştır. Turnuvadaki puanlama sistemi şu şekildedir:
- Galibiyet alan takım $3$ puan kazanır.
- Mağlubiyet alan takım $0$ puan kazanır.
- Beraberlik durumunda her iki takım da $1$ 'er puan kazanır.

Turnuva sonunda takımların topladığı puanlar şu şekildedir:
- $X$ takımı: $7$ puan
- $Y$ takımı: $5$ puan
- $Z$ takımı: $3$ puan

Buna göre, turnuvayı son sırada tamamlayan $W$ takımının turnuva sonunda topladığı puan kaçtır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1 puan

Turnuva kuralları analiz edildiğinde; X takımının 7 puanı ancak 2 galibiyet ve 1 beraberlikle, Y takımının 5 puanı ise 1 galibiyet ve 2 beraberlikle mümkündür. Z takımının 3 puan alması durumunda 3 beraberlik alması, X ve Y takımlarının puan tablolarıyla çelişki yarattığı için elenir. Bu yüzden Z takımı 1 galibiyet, 2 mağlubiyet almış ve hiç berabere kalmamıştır. Buradan Y takımının beraberliklerinden birini X, diğerini ise W ile yaptığı anlaşılır. Dolayısıyla W takımı 1 beraberlik ve 2 mağlubiyet alarak turnuvayı 1 puanla tamamlamıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Turnuvadaki toplam maç sayısını ve puanlama dinamiğini hesaplayın.

4 takımın katıldığı turnuvada toplam

\frac{4 \times 3}{2} = 6

maç yapılır. Beraberlik olmayan her maçta toplam 3 puan, berabere biten her maçta ise toplam 2 puan dağıtılır.

Turnuvada dağıtılan toplam puanın üst sınırını ve beraberliklerin etkisini belirlemek için.

2

Takımların puanlarına göre alabilecekleri galibiyet-beraberlik-mağlubiyet (G-B-M) kombinasyonlarını belirleyin.

X takımı (7 puan): 2 galibiyet, 1 beraberlik (2G, 1B, 0M). Y takımı (5 puan): 1 galibiyet, 2 beraberlik (1G, 2B, 0M). Z takımı (3 puan): Ya 3 beraberlik (3B) ya da 1 galibiyet, 2 mağlubiyet (1G, 2M).

Her takımın olası maç sonuçlarını sınırlandırarak çelişkileri yakalamak için.

3

Z takımının 3 beraberlik alıp alamayacağını kontrol edin.

Z takımı 3 beraberlik alırsa; X, Y ve W ile berabere kalmış olur. Bu durumda X'in tek beraberliği Z ile olur. Y ise 2 beraberliğini Z ve W ile yapmış olur. Dolayısıyla X ve Y kendi aralarında berabere kalamazlar. X yenilgisiz (2G, 1B) ve Y de yenilgisiz (1G, 2B) olduğuna göre, aralarındaki maçta biri yenilmek zorunda kalacağından çelişki oluşur. Bu yüzden Z takımı 3 beraberlik alamaz, 1 galibiyet ve 2 mağlubiyet almıştır (hiç beraberliği yoktur).

Z takımının beraberlik durumunu netleştirerek diğer takımların beraberlik eşleşmelerini bulmak için.

4

Eşleşmeleri tamamlayıp W takımının puanını hesaplayın.

Z'nin beraberliği olmadığına göre; X'in 1 beraberliği ve Y'nin 2 beraberliği vardır. Bu durumda Y, beraberliklerinden birini X ile, diğerini ise W ile yapmış olmalıdır. Buradan W'nin sadece 1 beraberliği olduğu anlaşılır. Galibiyetler incelendiğinde; X takımı Z ve W'yi yenmiş, Y takımı Z'yi yenmiş, Z takımı ise W'yi yenmiştir. Sonuç olarak W takımı X ve Z'ye yenilmiş, Y ile berabere kalmıştır. Toplam puanı

0 \times 3 + 1 \times 1 + 2 \times 0 = 1

puandır.

W takımının tüm maç sonuçlarını kesinleştirip toplam puanını bulmak için.

Anahtar Kavram

Turnuva ve lig usulü puan tablosu analizi

İpuçları

1

Her takımın toplamda 3 maç yaptığını ve galibiyetin 3, beraberliğin ise her iki takıma 1'er puan kazandırdığını unutmayın.

2

X takımının 7 puana ulaşmasının tek yolu 2 galibiyet ve 1 beraberliktir. Y takımının 5 puan almasının tek yolu ise 1 galibiyet ve 2 beraberliktir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 167Soru →

Bir şirkette çalışan Ayaz, Burak, Ceren ve Derya adlı kişilerin departmanları (Yazılım, Tasarım, Analiz, Pazarlama) ve çalıştıkları şehirler (Ankara, İstanbul, İzmir, Bursa) ile ilgili bilgiler şu şekildedir:

* Ceren, İzmir'de çalışmaktadır.
* Yazılım departmanında çalışan kişi Ankara'da çalışmaktadır.
* Ayaz, Tasarım departmanındadır.
* Burak'ın çalıştığı şehir Bursa veya İstanbul değildir.
* Analiz departmanında çalışan kişi İstanbul'da çalışmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Burak, Tasarım departmanında çalışmaktadır.

Derya, Ankara'da çalışmaktadır.

Ayaz, Bursa'da çalışmaktadır.

Ceren, Analiz departmanında çalışmaktadır.

Burak'ın çalıştığı şehir İzmir'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ayaz, Bursa'da çalışmaktadır.

Cevap

Ayaz'ın Bursa'da çalıştığı ifadesi kesinlikle doğrudur.

Verilen öncüller adım adım analiz edildiğinde; Ceren'in İzmir'de ve Pazarlama departmanında, Ayaz'ın Bursa'da ve Tasarım departmanında, Burak'ın Ankara'da ve Yazılım departmanında, Derya'nın ise İstanbul'da ve Analiz departmanında çalıştığı kesin olarak bulunur. Dolayısıyla Ayaz'ın Bursa'da çalıştığı ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrudan verilen öncülleri belirlemek.

Ceren'in İzmir'de çalıştığı ve Ayaz'ın Tasarım departmanında olduğu bilgisi netleşir.

Birinci ve üçüncü öncüller bu bilgileri doğrudan sunmaktadır.

2

Ceren'in departmanını tespit etmek.

Ceren'in Pazarlama departmanında çalıştığı belirlenir.

Yazılım departmanı Ankara'da, Analiz departmanı ise İstanbul'dadır. Ceren İzmir'de çalıştığı için bu iki departmanda olamaz. Ayaz da Tasarım departmanında olduğuna göre Ceren'e sadece Pazarlama departmanı kalır.

3

Ayaz'ın çalıştığı şehri bulmak.

Ayaz'ın Bursa'da çalıştığı belirlenir.

Yazılım Ankara'da, Analiz İstanbul'da ve Ceren (Pazarlama) İzmir'dedir. Ayaz Tasarım departmanında olduğuna göre geriye kalan tek şehir olan Bursa'da çalışmak zorundadır.

4

Burak ve Derya'nın departman ve şehirlerini eşleştirmek.

Burak'ın Ankara'da ve Yazılım departmanında, Derya'nın ise İstanbul'da ve Analiz departmanında çalıştığı bulunur.

Burak'ın çalıştığı şehir Bursa veya İstanbul değildir. Geriye kalan şehirlerden İzmir'de Ceren çalıştığına göre Burak Ankara'da çalışmalıdır. Yazılım departmanı Ankara'da olduğuna göre Burak Yazılım'dadır. Geriye kalan Derya ise İstanbul'da ve Analiz departmanındadır.

Anahtar Kavram

Eşleştirme Problemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 168Soru →

Kaan, Leyla ve Mert adlı üç araştırmacı; Ilgaz, Yedigöller ve Kovada milli parklarında ilkbahar, yaz ve sonbahar mevsimlerinde araştırma yapmıştır. Bu araştırmacılar alageyik, bozayı ve vaşak türlerinden farklı birini incelemektedir.

Araştırmacılar, milli parklar, mevsimler ve incelenen hayvanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Her araştırmacı farklı bir milli parkta ve farklı bir mevsimde çalışma yapmıştır.
* Bozayı araştırması Yedigöller Milli Parkı'nda yapılmamıştır.
* Kaan, Ilgaz Milli Parkı'nda çal��şma yapmıştır ancak araştırması Bozayı üzerine değildir.
* Sonbahar mevsiminde yapılan çalışma Vaşak üzerinedir ve Kovada Milli Parkı'nda yapılmamıştır.
* Leyla çalışmasını yaz mevsiminde gerçekleştirmiştir.

Buna göre, Bozayı'nın araştırıldığı milli park aşağıdakilerden hangisidir?

Yedigöller

Ilgaz

Kovada

Yedigöller veya Ilgaz

Ilgaz veya Kovada

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kovada

Cevap

Kovada

Bozayı araştırmasının hem Kaan'ın sonbaharda çalıştığı durumda hem de Mert'in sonbaharda çalıştığı durumda yalnızca Kovada Milli Parkı'nda yapılabildiği gösterilmiştir. Bu nedenle Bozayı kesinlikle Kovada Milli Parkı'nda araştırılmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Leyla'nın çalışma mevsimi belirlenir.

Leyla yaz mevsiminde çalışmaktadır. Dolayısıyla Kaan ve Mert, ilkbahar ve sonbahar mevsimlerinde çalışmaktadır.

Öncüllerde Leyla'nın yaz mevsiminde çalıştığı doğrudan verilmiştir.

2

Sonbahar mevsiminde yapılan çalışma analiz edilir.

Sonbahar mevsiminde Vaşak araştırılmaktadır ve bu araştırma Kovada'da değildir. Leyla yaz mevsiminde çalıştığından, sonbaharda çalışan kişi Kaan veya Mert olmalıdır. Bu durum iki farklı olasılığa (Durum 1 ve Durum 2) yol açar.

Kişi-mevsim-hayvan ilişkilerini kurmak için olasılık analizi yapılması gerekir.

3

Durum 1 (Kaan'ın sonbaharda çalışması) varsayımı incelenir.

Kaan sonbaharda çalışıyorsa araştırması Vaşak olur. Kaan Ilgaz'da çalıştığı için Ilgaz-Sonbahar-Vaşak eşleşmesi yapılır. Geriye kalan parklar Yedigöller ve Kovada, kalan hayvanlar ise Bozayı ve Alageyik'tir. Bozayı Yedigöller'de olamayacağına göre Kovada'da olmalıdır. Bu durumda Bozayı Kovada'da, Alageyik ise Yedigöller'de araştırılır.

Bozayı'nın Yedigöller'de araştırılamayacağına dair kısıtlama uygulanmıştır.

4

Durum 2 (Mert'in sonbaharda çalışması) varsayımı incelenir.

Mert sonbaharda çalışıyorsa araştırması Vaşak olur. Sonbahar çalışması Kovada'da yapılamadığı ve Ilgaz'da Kaan çalıştığı için, Mert Yedigöller'de çalışmalıdır. Bu durumda Kaan'a Ilgaz ve ilkbahar, Leyla'ya ise Kovada kalır. Kaan Bozayı araştırmadığına göre Bozayı Ilgaz'da olamaz. Bu nedenle Bozayı Kovada'da (Leyla tarafından) araştırılmalıdır.

Kaan'ın Bozayı araştırmadığı kısıtlaması kullanılarak kalan tek seçenek belirlenmiştir.

5

Her iki durumun ortak sonucu sentezlenir.

Her iki olası durumda da Bozayı araştırmasının Kovada Milli Parkı'nda yapıldığı kesin olarak bulunur.

Kurulan tüm tutarlı mantıksal senaryolar tek bir ortak sonucu işaret etmektedir.

Anahtar Kavram

Eşleştirme Problemlerinde Çoklu Olasılıkların Analizi ve Ortak Sonuç Bulma

Soru 169Soru →

Fatih, Hande, İrfan ve Jale adlı dört kişi; Eğitim, Enerji, Tarım ve Ulaşım projelerini Pazartesi, Salı, Çarşamba ve Perşembe günlerinde sunmuştur. Her bir kişi farklı bir projeyi farklı bir günde sunmuştur.

Bu kişilerin sunum yaptığı günlere ve projelere ilişkin bazı bilgiler şu şekildedir:
* Jale, projesini Fatih'ten sonraki bir günde sunmuştur.
* Eğitim projesi Salı günü sunulmuştur.
* Hande'nin projesi Ulaşım değildir ve Hande projesini İrfan'dan hemen önceki günde sunmuştur.
* Fatih, Tarım projesini sunmamıştır.
* Enerji projesi Çarşamba günü sunulmamıştır.

İrfan'ın Ulaşım projesini sunduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Hande, Eğitim projesini Salı günü sunmuştur.

Jale, Tarım projesini Perşembe günü sunmuştur.

İrfan, sunumunu Salı günü yapmıştır.

Fatih, Enerji projesini Pazartesi günü sunmuştur.

Fatih, sunumunu Çarşamba günü yapmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fatih, Enerji projesini Pazartesi günü sunmuştur.

Cevap

Fatih'in Enerji projesini Pazartesi günü sunduğu yargısı kesinlikle doğrudur.

Her iki olası senaryoda da Pazartesi günü sunum yapan kişi Fatih'tir ve sunduğu proje Enerji projesidir. Bu nedenle Fatih'in Enerji projesini Pazartesi günü sunduğu yargısı kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

İrfan'ın projesinin Ulaşım olduğu bilgisinden hareketle (Hande, İrfan) çiftinin gün sıralamasını incelemek.

Eğitim projesi Salı günü sunulduğu için, projesi Ulaşım olan İrfan Salı günü sunum yapamaz. Bu durumda Hande Pazartesi, İrfan Salı günü sunum yapmış olamaz. Geriye (Hande: Salı, İrfan: Çarşamba) ve (Hande: Çarşamba, İrfan: Per��embe) olmak üzere iki olasılık kalır.

Ulaşım projesini sunan İrfan'ın Eğitim projesinin sunulduğu Salı günüyle çelişmesini engellemek.

2

Birinci olasılığı (Hande: Salı, İrfan: Çarşamba) incelemek.

Kalan günler Pazartesi ve Perşembe'dir. Jale Fatih'ten sonra sunum yaptığı için Fatih Pazartesi, Jale Perşembe günü sunum yapar. Salı günü sunulan Eğitim projesi Hande'ye ait olur. Geriye kalan Enerji ve Tarım projelerinden Fatih Tarım sunamadığı için Fatih Enerji (Pazartesi), Jale ise Tarım (Perşembe) sunar. Bu durum tüm koşulları sağlar: Pazartesi: Fatih (Enerji), Salı: Hande (Eğitim), Çarşamba: İrfan (Ulaşım), Perşembe: Jale (Tarım).

Olası senaryolardan ilkini kurgulamak.

3

İkinci olasılığı (Hande: Çarşamba, İrfan: Perşembe) incelemek.

Kalan günler Pazartesi ve Salı'dır. Jale Fatih'ten sonra sunum yaptığı için Fatih Pazartesi, Jale Salı günü sunum yapar. Salı günü sunulan Eğitim projesi Jale'ye ait olur. Geriye kalan Enerji ve Tarım projelerinden, Enerji Çarşamba sunulamayacağı için Hande (Çarşamba) Tarım sunar. Fatih ise Enerji (Pazartesi) sunar. Bu durum da tüm koşulları sağlar: Pazartesi: Fatih (Enerji), Salı: Jale (Eğitim), Çarşamba: Hande (Tarım), Perşembe: İrfan (Ulaşım).

Diğer olası senaryoyu kurgulamak.

4

Her iki olası durumu karşılaştırarak ortak ve kesin olan sonucu tespit etmek.

Her iki durumda da Pazartesi günü sunum yapan kişi Fatih'tir ve sunduğu proje Enerji projesidir.

Seçenekler arasından kesinlikle doğru olan yargıyı bulmak.

Anahtar Kavram

Eşleştirme ve sıralama problemlerinde tablo yardımıyla tüm olası senaryoları belirleme.

Alternatif Yöntem

Tablo çizmek yerine günleri sıraya koyup kişileri ve projeleri oklar veya dallanmalar ile eşleştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 170Soru →

Bir sayı ve şekil örüntüsü aşağıdaki kurallara göre oluşturulmaktadır:
- $1$ . adımda: Merkezde bulunan tek bir kare hücreye $1$ sayısı yazılır.
- Her bir sonraki adımda ( $n \geq 2$ ):
- Mevcut şeklin dış sınırlarına komşu olacak şekilde yeni kare hücreler eklenerek şekil genişletilir (böylece her adımda merkezden dışarıya doğru bakışımlı bir baklava şekli oluşur).
- Yeni eklenen tüm hücrelerin her birine $1$ sayısı yazılır.
- Önceki adımlardan kalan tüm hücrelerin içindeki sayılar $2$ ile çarpılır.

Buna göre, bu örüntünün $7$ . adımında şekli oluşturan tüm hücrelerdeki sayıların toplamı kaç olur?

260

304

544

796

1024

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 544

Cevap

Yedinci adımdaki hücrelerde bulunan sayıların toplamı 544 olur.

Örüntünün her adımındaki hücre sayıları ve bunların değer değişimleri incelendiğinde,

n

. adımdaki toplam değer olan

S_n

ifadesinin bir önceki adımın toplamının iki katı ile o adımda eklenen yeni hücre sayısının (

4(n-1)

adet

1

değerli hücre) toplamına eşit olduğu görülür. Bu bağıntı

S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1)

şeklinde ifade edilir.

S_1 = 1

başlangıç değeriyle başlayarak adım adım hesaplandığında yedinci adımda toplam 544 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk üç adımda hücrelerin sayısal değerlerini ve toplamlarını hesaplayarak örüntünün temel işleyişini incelemek.

Birinci adımda toplam

S_1 = 1

olur. İkinci adımda merkezdeki hücre iki katına çıkar (

1 \times 2 = 2

) ve dışına

4

adet yeni hücre (

1

değerli) eklenir; toplam

S_2 = 2 + 4 = 6

olur. Üçüncü adımda mevcut hücreler iki katına çıkar (

6 \times 2 = 12

) ve dışa

8

adet yeni hücre (

1

değerli) eklenir; toplam

S_3 = 12 + 8 = 20

olur.

Adımlar arasındaki sayısal geçiş ilişkisini tespit etmek.

2

Örüntünün genel adımları arasındaki indirgeme bağıntısını (

n

. adımdan

(n+1)

. adıma geçiş) formüle etmek.

Her adımda eski toplam iki katına çıkmakta ve dışarıya

4(n-1)

tane yeni hücre eklenmektedir. Dolayısıyla bağıntı

S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1)

şeklindedir.

Herhangi bir adım için toplamı veren rekürsif denklemi belirlemek.

3

Elde edilen bağıntıyı kullanarak ardışık adımların toplamını yedinci adıma kadar hesaplamak.

S_4 = 2 S_3 + 4(3) = 2(20) + 12 = 52

S_5 = 2 S_4 + 4(4) = 2(52) + 16 = 120

S_6 = 2 S_5 + 4(5) = 2(120) + 20 = 260

S_7 = 2 S_6 + 4(6) = 2(260) + 24 = 544

bulunur.

İstenen yedinci adımdaki hücrelerin toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayısal ve şekilsel örüntülerde büyüme kurallarını belirleme ve matematiksel indirgeme bağıntısı kurma.

Alternatif Yöntem

Örüntünün

n

. adımındaki toplamı veren kapalı formül türetilebilir.

S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1)

indirgeme bağıntısının çözümü

S_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 4(n+1)

şeklindedir. Bu formülde

n = 7

yazıldığında;

S_7 = 9 \cdot 2^6 - 4(8) = 9 \cdot 64 - 32 = 576 - 32 = 544

sonucu doğrudan elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 171Soru →

Bir müzede çalı��an Nihan, Orhan, Pelin ve Rıza adlı dört uzman; sikke, heykel, elyazması ve çömlekten oluşan farklı birer tarihi eseri incelemektedir. Bu eserler Frig, Lidya, Hitit ve Urartu uygarlıklarına aittir.

Uzmanların inceledikleri eserler ve bu eserlerin ait olduğu uygarlıklarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Rıza, Lidya uygarlığına ait olan heykeli incelemektedir.
* Çömlek, Frig uygarlığına aittir.
* Pelin'in incelediği eser Urartu uygarlığına ait değildir.
* Nihan'ın incelediği eser elyazması değildir ve Nihan, Hitit uygarlığına ait bir eseri incelememektedir.
* Urartu uygarlığına ait olan eseri inceleyen kişi Orhan ya da Pelin'dir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Pelin, sikke incelemektedir.

Sikke, Hitit uygarlığına aittir.

Orhan, elyazması incelemektedir.

Orhan, Urartu uygarlığına ait bir eseri incelemektedir.

Pelin, elyazması incelemektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Orhan, Urartu uygarlığına ait bir eseri incelemektedir.

Cevap

Orhan, Urartu uygarlığına ait bir eseri incelemektedir.

Verilen mantıksal kısıtlar analiz edildiğinde, Rıza'nın Lidya ve Nihan'ın Frig uygarlıkları ile eşleştiği kesin olarak bulunur. Geriye kalan Hitit ve Urartu uygarlıklarından, Pelin Urartu'yu inceleyemediği için Pelin Hitit ile, Orhan ise Urartu ile eşleşmek zorundadır. Bu nedenle Orhan'ın Urartu uygarlığına ait bir eseri incelediği bilgisi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen net bilgileri eşle��tirin.

Rıza'nın heykel ve Lidya uygarlığı ile eşleştiği (

Rıza = Heykel = Lidya

) ve çömleğin Frig uygarlığına ait olduğu (

Çömlek = Frig

) belirlenir.

Bu bilgiler öncüllerde doğrudan verilmiştir.

2

Uygarlık ve eser eşleşmelerini analiz edin.

Lidya ve Frig uygarlıkları ile Heykel ve Çömlek eserleri eşleştiğinden, geriye kalan eserler {Sikke, Elyazması} ve uygarlıklar {Hitit, Urartu} olur. Bu durumda iki olasılık vardır: Olasılık 1:

Sikke = Hitit

ve

Elyazması = Urartu

. Olasılık 2:

Sikke = Urartu

ve

Elyazması = Hitit

.

Geriye kalan ögelerin olası tüm eşleşmelerini incelemek mantıksal çıkarım için gereklidir.

3

Uzmanların uygarlıklarla eşleşmesini analiz edin.

Öncüllere göre Urartu uygarlığına ait eseri Orhan ya da Pelin incelemektedir. Dolayısıyla Nihan, Urartu uygarlığına ait eseri inceleyemez. Ayrıca Nihan, Hitit uygarlığına ait eseri de incelememektedir. Rıza zaten Lidya uygarlığını incelediği için Nihan'a geriye kalan tek uygarlık olan Frig uygarlığı kalır. Buradan

Nihan = Frig

(

Çömlek

) olduğu kesinleşir.

Nihan'ın Hitit ve Urartu uygarlıklarını inceleyemeyeceği bilgisinden hareketle kesin sonuca ulaşılır.

4

Kalan uzmanları (Orhan ve Pelin) uygarlıklarla eşleştirin.

Geriye kalan uygarlıklar Hitit ve Urartu'dur. Pelin'in incelediği eserin Urartu uygarlığına ait olmadığı belirtildiğinden, Pelin ancak Hitit uygarlığına ait eseri inceleyebilir (

Pelin = Hitit

). Bu durumda Orhan'a ise Urartu uygarlığı kalır (

Orhan = Urartu

).

Pelin için Urartu uygarlığı elendiğinde geriye kalan tek seçenek Hitit olur, bu da Orhan'ın Urartu ile eşleşmesini kesinleştirir.

Anahtar Kavram

Eşleştirme ve mantıksal çıkarım problemleri

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 172Soru →

1 ile 10 (1 ve 10 dahil) arasındaki tam sayılar kümesi üzerinde $\oplus$ ve $\otimes$ işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* $x \oplus y$ : $x$ ile $y$ sayılarının oluşturduğu kapalı aralıktaki asal sayıların sayısıdır. (Örneğin; $3 \oplus 6$ ifadesi, $[3, 6]$ aralığındaki 3 ve 5 asal sayıları olmak üzere 2'ye eşittir.)
* $x \otimes y = (x \oplus y) \cdot |x - y|$

Buna göre, bu kümenin elemanı olan ve birbirinden farklı

a

ve

b

tam sayıları için

a \otimes b = 12

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(a, b)

sıralı ikilisi vardır?

4

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitliği sağlayan 8 farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır.

Eşitliği sağlayan sıralı ikililer, aralarındaki fark 6 olan

[4, 10]

aralığından gelen 2 ikili ile aralarındaki fark 4 olan

[1, 5]

,

[2, 6]

,

[3, 7]

aralıklarından gelen 6 ikilinin toplamından oluşan 8 adet sıralı ikilidir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımlanan işlemlerin matematiksel ifadesini yazma

a \otimes b = 12

eşitliği, kural gereği

(a \oplus b) \cdot |a - b| = 12

biçiminde ifade edilir.

Sorudaki özel tanımlı işlemleri temel cebirsel formüle dönüştürmek için.

2

Fark teriminin (

|a - b|

) alabileceği değer aralığını ve bölenlerini belirleme

a

ve

b

sayıları

\{1, 2, \dots, 10\}

kümesinin elemanları olduğundan, aralarındaki mutlak fark

|a - b|

en fazla

10 - 1 = 9

olabilir. Ayrıca,

(a \oplus b)

bir tam sayı olduğundan,

|a - b|

değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır. Bu koşullara uyan olası farklar 1, 2, 3, 4 ve 6'dır.

Çözüm uzayını sınırlamak ve durumları tek tek analiz edebilmek için.

3

Farkın 6 olduğu durumları analiz etme

|a - b| = 6

ise

a \oplus b = 12 / 6 = 2

olmalıdır. Bu kümede aralarındaki fark 6 olan kapalı aralıklar:

[1, 7]

(4 asal),

[2, 8]

(4 asal),

[3, 9]

(3 asal) ve

[4, 10]

(2 asal: 5 ve 7). Yalnızca

[4, 10]

aralığı koşulu sağlar. Buradan

(4, 10)

ve

(10, 4)

olmak üzere 2 farklı sıralı ikili elde edilir.

Mesafe 6 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.

4

Farkın 4 olduğu durumları analiz etme

|a - b| = 4

ise

a \oplus b = 12 / 4 = 3

olmalıdır. Kümede aralarındaki fark 4 olan kapalı aralıklar incelenir:

[1, 5]

(3 asal: 2, 3, 5 - sağlar),

[2, 6]

(3 asal: 2, 3, 5 - sağlar),

[3, 7]

(3 asal: 3, 5, 7 - sağlar),

[4, 8]

(2 asal - sağlamaz),

[5, 9]

(2 asal - sağlamaz) ve

[6, 10]

(1 asal - sağlamaz). Sağlayan 3 aralıktan sırasıyla

(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 7), (7, 3)

olmak üzere 6 farklı sıralı ikili elde edilir.

Mesafe 4 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.

5

Kalan fark durumlarının elenmesi

-

|a - b| = 3

için

a \oplus b = 4

olmalıdır. Ancak bu kümede 4 elemanlı hiçbir kapalı aralıkta 4 asal sayı bulunamaz.
-

|a - b| = 2

için

a \oplus b = 6

olmalıdır. 3 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
-

|a - b| = 1

için

a \oplus b = 12

olmalıdır. 2 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
Bu nedenle diğer durumlardan çözüm gelmez.

Olası diğer tüm bölenleri eleyerek çözümün eksiksiz olduğunu garantilemek için.

6

Toplam sıralı ikili sayısını hesaplama

Farkı 6 olan durumlardan 2, farkı 4 olan durumlardan 6 ikili gelmektedir. Toplamda 2 + 6 = 8 farklı sıralı ikili bulunur.

Bulunan tüm durumların toplam sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aralıkta asal sayı sayma kuralıyla birleştirilmiş özel tanımlı işlemler

Soru 173Soru →

Bir kütüphanede Ahmet, Burcu, Cemal, Derya, Emre ve Filiz isimli altı okur; tek olan çalışma odasını gün içinde $1$ 'den $6$ 'ya kadar numaralandırılmış zaman dilimlerinde sırayla kullanmışlardır. Bu kişilerin odayı kullanma sıralarıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Cemal, odayı Burcu'dan hemen sonraki zaman diliminde kullanmıştır.
* Derya ile Emre'nin odayı kullandığı zaman dilimleri arasında tam olarak iki zaman dilimi vardır.
* Ahmet, odayı Filiz'den daha önceki bir zaman diliminde kullanmıştır.
* Odayı $3$ . sırada kullanan kişi Derya'dır.

Buna göre, odayı kullanan kişilerin sıralamasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

Ahmet odayı

4

. sırada kullanmıştır.

Burcu odayı

1

. sırada kullanmıştır.

Ahmet odayı

2

. sırada kullanmıştır.

Cemal odayı

5

. sırada kullanmıştır.

Filiz odayı

2

. sırada kullanmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ahmet odayı $2$ . sırada kullanmıştır.

Cevap

Ahmet'in odayı

2

. sırada kullanması kesinlikle yanlıştır.

Ahmet, her iki olası sıralama durumunda da sırasıyla

4

. veya

1

. sırada yer almaktadır. Bu nedenle Ahmet'in odayı

2

. sırada kullanması mantıksal olarak imkansızdır ve bu ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Derya'nın sırasını tabloya yerleştirme ve Emre'nin sırasını belirleme.

Derya

3

. sırada yer alır (

D = 3

). Derya ile Emre arasında tam olarak iki zaman dilimi olduğu için Emre ancak

6

. sırada olabilir (

6 - 3 - 1 = 2

boşluk). Yani

E = 6

olarak sabitlenir.

Derya'nın sırası kesin veri olarak verilmiştir ve Emre'nin konumu bu veriye doğrudan bağlıdır.

2

Cemal ve Burcu'nun olası konumlarını belirleme.

Cemal, Burcu'dan hemen sonra geldiği için yan yana iki boş sıra gerekir (

BC

bloğu). Boş kalan sıralar (

1, 2, 4, 5

) göz önüne alındığında bu ikili ya

1

ve

2

. sıraya ya da

4

ve

5

. sıraya yerleşebilir.

Cemal'in Burcu'dan hemen sonra odayı kullandığı öncülünü sağlamak için ardışık boş hücreler bulunmalıdır.

3

Ahmet ve Filiz'in konumlarını her iki duruma göre yerleştirme.

Durum 1: Burcu

1

, Cemal

2

ise kalan

4

ve

5

. sıraya Ahmet ve Filiz yerleşir. Ahmet, Filiz'den önce olduğu için Ahmet

4

, Filiz

5

olur (Sıralama: B, C, D, A, F, E). Durum 2: Burcu

4

, Cemal

5

ise kalan

1

ve

2

. sıraya Ahmet ve Filiz yerleşir. Ahmet, Filiz'den önce olduğu için Ahmet

1

, Filiz

2

olur (Sıralama: A, F, D, B, C, E).

Ahmet'in Filiz'den daha önce odayı kullanmış olduğu öncülünü sağlamak için.

4

Ahmet'in her iki durumdaki sıralarını kontrol ederek kesinlikle yanlış olan seçeneği belirleme.

Ahmet her iki durumda da ya

1

. ya da

4

. sırada odayı kullanmaktadır. Dolayısıyla Ahmet'in odayı

2

. sırada kullanması kesinlikle yanlıştır.

Olası tüm sıralama senaryolarının Ahmet'in

2

. sırada olamayacağını göstermesi.

Anahtar Kavram

Sıralama ve Mantıksal Senaryo Analizi

Soru 174Soru →

Bir yayınevinde çalışan Asım, Banu ve Cihan adlı editörler; Türk Edebiyatı, Dünya Edebiyatı ve Şiir türündeki kitapları incelemektedir. Bu editörlerin inceledikleri kitapların kapak tasarımları kırmızı, mavi ve yeşil renklidir. Editörler, kitap türleri ve kapak renklerine ilişkin bilinenler şunlardır:

* Şiir türündeki kitabın kapağı kırmızı renklidir.
* Banu, yeşil kapaklı kitabı incelememektedir.
* Cihan, Dünya Edebiyatı kitabını incelemektedir.
* Asım, mavi kapaklı kitabı incelemektedir.

Buna göre, yeşil kapaklı kitabı inceleyen kişi ve bu kitabın türü aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Asım - Türk Edebiyatı

Banu - Şiir

Cihan - Şiir

Cihan - Dünya Edebiyatı

Banu - Dünya Edebiyatı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cihan - Dünya Edebiyatı

Cevap

Yeşil kapaklı kitabı inceleyen kişi Cihan, incelediği kitap türü ise Dünya Edebiyatı'dır.

Cihan'ın Dünya Edebiyatı kitabını incelediği öncüllerde doğrudan verilmiştir. Şiir kitabının kapağı kırmızı olduğundan ve Asım mavi kapaklı kitabı incelediğinden, Asım şiir kitabını inceleyemez. Cihan da Dünya Edebiyatı'nı incelediğine göre, şiir kitabını inceleyen kişi Banu'dur ve bu kitabın kapağı kırmızıdır. Geriye kalan mavi kapaklı kitabı Asım (Türk Edebiyatı), yeşil kapaklı kitabı ise Cihan (Dünya Edebiyatı) incelemektedir. Dolayısıyla yeşil kapaklı kitabı inceleyen kişi Cihan, kitabın türü ise Dünya Edebiyatı'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri kullanarak editör, kitap türü ve kapak rengi eşleştirmesi için bir tablo oluşturun.

Başlangıçta Cihan'ın Dünya Edebiyatı'nı, Asım'ın ise mavi kapaklı kitabı incelediğini tabloya yerleştiririz.

Öncüllerde doğrudan verilen kesin bilgileri yerleştirmek, diğer eşleştirmeleri yapmayı kolaylaştırır.

2

Kırmızı kapaklı kitabın şiir türünde olduğu bilgisini değerlendirin.

Asım mavi kapaklı kitabı incelediği için şiir kitabını inceleyemez. Cihan zaten Dünya Edebiyatı'nı incelemektedir. Bu durumda şiir kitabını inceleyen tek aday Banu kalır. Banu şiir (kırmızı) kitabını incelemektedir.

Kısıtlı durumları analiz ederek diğer editörlerin hangi kitabı incelediğini netleştirmek gerekir.

3

Geriye kalan kitap türlerini ve kapak renklerini eşleştirin.

Asım'a geriye kalan Türk Edebiyatı türü kalır (mavi kapaklı). Cihan ise geriye kalan yeşil kapak rengiyle eşleşir (Dünya Edebiyatı - yeşil). Sonuç olarak yeşil kapaklı kitabı inceleyen editör Cihan'dır ve kitabın türü Dünya Edebiyatı'dır.

Tüm değişkenleri eksiksiz eşleştirmek için kalan boşlukları doldurmak gerekir.

Anahtar Kavram

Eşleştirme ve eleme mantığına dayalı tablo oluşturma

İpuçları

1

Öncelikle verilen kesin bilgileri (Cihan'ın Dünya Edebiyatı'nı, Asım'ın ise mavi kapaklı kitabı incelemesi) bir tabloya yazın.

2

Kırmızı kapaklı kitabın şiir türünde olduğunu biliyoruz. Asım mavi kapaklı kitabı, Cihan ise Dünya Edebiyatı kitabını incelediğine göre şiir kitabını inceleyen kişi kim olabilir?

3

Şiir kitabını Banu'nun incelediği ortaya çıktıktan sonra, geriye kalan tek kitap türü olan Türk Edebiyatı'nı Asım'ın incelediği ve yeşil kapaklı kitabı Cihan'ın incelediği bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 3 değişkenli (isim, şehir, meslek) bir eşleştirme sorusu çözerek bu mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tablo oluşturmadan eleme yöntemiyle de çözülebilir. Şiir kitabının kırmızı olduğunu biliyoruz. Asım mavi incelediği için şiir inceleyemez. Cihan ise Dünya Edebiyatı incelediği için şiir inceleyemez. O halde şiir kitabını inceleyen kişi Banu'dur ve rengi kırmızıdır. Cihan'ın incelediği Dünya Edebiyatı'nın rengi kırmızı (şiir) veya mavi (Asım) olamayacağına göre yeşildir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 175Soru →

Bir teknoloji şirketinde çalışan Elif, Fahri, Gizem ve Hasan adlı yazılımcılar; Gömülü Sistemler, Siber Güvenlik, Veri Analizi ve Yapay Zeka alanlarından farklı birinde uzmanlaşmışlardır. Bu yazılımcıların kullandıkları programlama dilleri ise C++, Java, Python ve Rust'tır.

Bu kişilerin çalıştıkları alanlar ve kullandıkları programlama dillerine ilişkin bazı bilgiler şu şekildedir:
* Gizem, Gömülü Sistemler alanında çalışmaktadır.
* Siber Güvenlik alanında çalışan kişi Python kullanmaktadır.
* Elif, Java kullanmaktadır.
* Hasan, Yapay Zeka alanında çalışmamaktadır.
* Python kullanan kişi Fahri değildir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Elif, Yapay Zeka alanında çalışmaktadır.

Hasan, Python kullanmaktadır.

Gizem, C++ kullanmaktadır.

Fahri, Veri Analizi alanında çalışmaktadır.

Fahri, Rust kullanmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hasan, Python kullanmaktadır.

Cevap

Hasan, Python kullanmaktadır.

Yapılan mantıksal analiz sonucunda, Python kullanan (yani Siber Güvenlik alanında çalışan) kişinin Fahri, Elif veya Gizem olamayacağı görülür. Bu durumda geriye tek seçenek olarak Hasan kalmaktadır. Dolayısıyla Hasan'ın Python kullandığı kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen öncülleri analiz ederek kesin olan bilgileri belirleme.

Gizem'in Gömülü Sistemler (GS) alanında çalıştığı ve Elif'in Java kullandığı kesin bilgilerdir. Ayrıca Siber Güvenlik (SG) alanında çalışan kişinin Python kullandığı bilinmektedir.

Soruda verilen doğrudan verileri kullanarak çözüme başlamak için.

2

Elif'in çalışabileceği olası alanları belirleme.

Gizem GS alanında çalıştığı için Elif GS'de çalışamaz. SG alanında çalışan kişi Python kullandığına ve Elif Java kullandığına göre Elif SG alanında da çalışamaz. Dolayısıyla Elif, Yapay Zeka (YZ) ya da Veri Analizi (VA) alanlarından birinde çalışmaktadır.

Alanlar ile diller arasındaki kısıtlamaları birleştirerek olasılıkları daraltmak için.

3

Python kullanan (Siber Güvenlik alanında çalışan) kişiyi tespit etme.

Python kullanan kişi Fahri değildir. Elif Java kullandığı için o da olamaz. Gizem de GS alanında çalıştığı için Python kullanan kişi olamaz. Bu durumda Python kullanan ve dolayısıyla Siber Güvenlik alanında çalışan tek aday Hasan kalır.

Çelişkileri eleyerek kesin bir eşleştirmeye ulaşmak için.

4

Hasan'ın durumunun diğer öncüllerle uyumunu kontrol etme.

Hasan'ın SG alanında çalışması, 'Hasan Yapay Zeka alanında çalışmamaktadır' öncülüyle tamamen uyumludur. Bu durumda Hasan'ın Python kullandığı ve Siber Güvenlik alanında çalıştığı kesinleşir.

Bulunan sonucun tüm kısıtlamaları sağladığını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Koşullu mantıksal eşleştirme ve eleme yöntemi

Soru 176Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan Tarık, Ufuk ve Volkan adlı mühendisler Python, Java ve C++ programlama dillerinden farklı birini yazmakta; Windows, macOS ve Linux işletim sistemlerinden farklı birini kullanmaktadır.

Bu mühendislerin kullandıkları diller ve işletim sistemlerine ilişkin bilgiler şu şekildedir:
* Python yazan kişi Windows kullanmaktadır.
* Volkan, macOS kullanmaktadır.
* Tarık, Java yazmamaktadır.
* Ufuk, C++ yazmamaktadır.
* Linux kullanan kişi C++ yazmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Ufuk, Java yazmaktadır.

Volkan, C++ yazmaktadır.

Tarık, Windows kullanmaktadır.

Tarık, Linux kullanmaktadır.

Ufuk, Linux kullanmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tarık, Linux kullanmaktadır.

Cevap

Tarık, Linux kullanmaktadır.

Adım adım yapılan analiz sonucunda Tarık'ın C++ yazıp Linux kullandığı, Ufuk'un Python yazıp Windows kullandığı ve Volkan'ın Java yazıp macOS kullandığı kesinleşmektedir. Dolayısıyla Tarık'ın Linux kullandığını belirten seçenek kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri gruplandırma ve tablo taslağı oluşturma

Mühendisler: Tarık, Ufuk, Volkan. Diller: Python, Java, C++. İşletim Sistemleri: Windows, macOS, Linux.

Problemdeki tüm değişkenlerin sınırlarını belirlemek ve eşleştirme tablosu altyapısını oluşturmak için.

2

Volkan'ın yazabileceği dilleri belirleme

Volkan macOS kullandığına göre Python yazamaz (çünkü Python yazan kişi Windows kullanmaktadır). Volkan'ın yazabileceği diller Java veya C++'tır.

Doğrudan verilen kesin bilgilerden yola çıkarak olasılıkları daraltmak için.

3

Volkan'ın yazdığı dili kesinleştirme

Linux kullanan kişi C++ yazdığına göre ve Volkan macOS kullandığına göre Volkan C++ yazamaz. Dolayısıyla Volkan kesinlikle Java yazmaktadır.

Volkan'ın işletim sistemi bilgisini diğer koşullarla birleştirerek dilini netleştirmek için.

4

Ufuk'un yazabileceği dili belirleme

Volkan Java yazdığı için geriye Python ve C++ dilleri kalır. Ufuk C++ yazmadığına göre Ufuk kesinlikle Python yazmaktadır.

Geriye kalan dilleri mühendislerin kısıtlamalarına göre dağıtmak için.

5

Tarık'ın dilini ve işletim sistemlerini belirleme

Ufuk Python yazdığı için Windows kullanır. Geriye kalan C++ dilini Tarık yazar ve Tarık geriye kalan Linux işletim sistemini kullanır. Bu durum 'Linux kullanan kişi C++ yazmaktadır' öncülüyle de tam olarak uyuşur.

Tüm değişkenlerin eşleştirmesini tamamlayarak kesin sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eşleştirme Problemlerinde Tablo Kurma ve Mantıksal Eleme Yöntemi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 177Soru →

Derya, Eren ve Furkan adlı üç arkadaş; Tiyatro, Müzik ve Fotoğrafçılık kulüplerinden birer tanesine üyedir. Her birinin üye olduğu kulüp birbirinden farklıdır. Bu kulüplerin haftalık toplantı günleri Pazartesi, Çarşamba ve Cuma günleridir.

Aşağıdaki tabloda kulüpler ve toplantı günleri verilmiştir:

Kulüp	Toplantı Günü
Tiyatro	Çarşamba
Müzik	Cuma
Fotoğrafçılık	Pazartesi

Bu kişilerin kulüp üyelikleriyle ilgili şu bilgiler bilinmektedir:
* Derya'nın üye olduğu kulübün toplantı günü Pazartesi değildir.
* Eren, Müzik kulübüne üye değildir.
* Furkan'ın üye olduğu kulübün toplantısı Cuma günü yapılmaktadır.

Buna göre, Tiyatro kulübüne üye olan kişi aşağıdakilerden hangisidir?

Eren

Furkan

Derya

Derya veya Eren

Eren veya Furkan

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Derya

Cevap

Tiyatro kulübüne üye olan kişi Derya'dır.

Tiyatro kulübüne üye olan kişinin Derya olduğu şu şekilde bulunur: Cuma günü toplantısı olan kulüp Müzik kulübüdür. Furkan'ın toplantısı Cuma günü olduğu için Furkan Müzik kulübüne üyedir. Derya'nın kulübünün toplantısı Pazartesi (Fotoğrafçılık) olmadığına ve Müzik kulübü dolu olduğuna göre, Derya Tiyatro kulübüne üye olmak zorundadır. Eren de bu durumda Fotoğrafçılık kulübüne kalır ve bu durum Eren'in Müzik kulübüne üye olmaması kuralıyla çelişmez.

Adım Adım Çözüm

1

Furkan'ın üye olduğu kulübün toplantı gününden yola çıkarak kulübünü belirleyin.

Furkan'ın toplantısı Cuma günüdür. Tabloya göre Cuma günü toplanan kulüp Müzik kulübüdür. Dolayısıyla Furkan Müzik kulübüne üyedir.

Furkan'ın kulübünü netleştirmek diğer kişilerin kulüplerini bulmayı kolaylaştırır.

2

Derya'nın üye olabileceği kulüpleri eleme yöntemiyle bulun.

Derya'nın kulübünün toplantı günü Pazartesi değildir. Tabloya göre Pazartesi toplanan kulüp Fotoğrafçılık kulübüdür, bu yüzden Derya Fotoğrafçılık kulübüne üye olamaz. Furkan Müzik kulübünde olduğu için Derya Tiyatro kulübüne üye olmak zorundadır.

Kalan kulüpler arasından Derya'ya ait olamayacak seçeneği eleyerek tek doğru eşleşmeye ulaşılır.

3

Eren'in kulübünü belirleyerek sağlamasını yapın.

Geriye kalan Eren, Fotoğrafçılık kulübüne üye olur. Bu durum Eren'in Müzik kulübüne üye olmaması öncülüyle de uyumludur.

Tüm kişilerin kulüplerinin doğru yerleştirildiğini teyit etmek için son kontrol yapılır.

Anahtar Kavram

Tablo Yorumlama ve Mantıksal Çıkarım

İpuçları

1

Furkan'ın toplantı gününü verilen tablodaki günlerle karşılaştırarak hangi kulübe üye olduğunu bularak başlayın.

2

Furkan'ın Müzik kulübünde olduğu kesinleştiğine göre, Derya için geriye Tiyatro ve Fotoğrafçılık kulüpleri kalır. Derya'nın toplantı günüyle ilgili ipucunu kullanın.

3

Derya'nın kulübü Pazartesi günü toplanmadığına göre, toplantısı Pazartesi olan Fotoğrafçılık kulübüne üye olamaz. Bu durumda Derya hangi kulübe kalır?

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 3 farklı kişinin katıldığı kursları ve kurs saatlerini içeren başka bir tablo yorumlama sorusu çözerek bu mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kişileri satırlara, kulüpleri sütunlara yazarak 3x3 boyutunda bir mantık tablosu (ızgara) oluşturabilir ve verilen bilgileri '✔' ve 'X' işaretleriyle yerleştirerek eleme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 178Soru →

Aşağıda, kum saati şeklindeki üç farklı düzenekte yer alan sayılar belirli bir matematiksel kurala göre yerleştirilmiştir.

* 1. Düzenek: Üst bölmede solda $8$ , sağda $6$ ; alt bölmede solda $5$ , sağda $9$ ; ortada ise $7$ sayısı bulunmaktadır.
* 2. Düzenek: Üst bölmede solda $9$ , sağda $3$ ; alt bölmede solda $2$ , sağda $11$ ; ortada ise $8$ sayısı bulunmaktadır.
* 3. Düzenek: Üst bölmede solda $7$ , sağda $5$ ; alt bölmede solda $6$ , sağda $x$ ; ortada ise $4$ sayısı bulunmaktadır.

Buna göre, üçüncü düzenekteki $x$ yerine hangi sayı gelmelidir?

8

9

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Üçüncü düzenekteki

x

yerine gelmesi gereken sayı 12'dir.

Üst bölmedeki sayıların karelerinin farkı, alt bölmedeki sayıların farkına bölündüğünde ortadaki sayı elde edilmektedir. Üçüncü düzenekte

\frac{7^2 - 5^2}{x - 6} = 4

eşitliğinden

x = 12

bulunur. Dolayısıyla 12 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Düzeneklerdeki sayılar arasındaki ilişkiyi analiz etmek için bir kural belirleriz.

Üstteki iki sayının karelerinin farkını bulup, alttaki iki sayının (sağdakinden soldakini çıkararak) farkına böleriz:

\frac{A^2 - B^2}{D - C} = E

.

1. düzenek için kuralı doğrulamak:

\frac{8^2 - 6^2}{9 - 5} = \frac{64 - 36}{4} = \frac{28}{4} = 7

elde edilir.

2

Belirlenen kuralı 2. düzenek üzerinde test ederek doğruluğundan emin oluruz.

2. düzenek için:

\frac{9^2 - 3^2}{11 - 2} = \frac{81 - 9}{9} = \frac{72}{9} = 8

elde edilir. Kural doğrulanmıştır.

Kuralın tüm düzeneklerde geçerli ve tutarlı olduğunu teyit etmek.

3

Doğrulanan kuralı 3. düzenek için uygulayarak bilinmeyen

x

değerini bulmak üzere denklem kurarız.

\frac{7^2 - 5^2}{x - 6} = 4

denklemi kurulur.

x

değişkenini içeren cebirsel eşitliği oluşturmak.

4

Kurulan denklemi çözerek

x

değerini hesaplarız.

\frac{49 - 25}{x - 6} = 4 \implies \frac{24}{x - 6} = 4 \implies x - 6 = 6 \implies x = 12

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Şekil ve sayı bağıntılarında üstel ve bölme içeren cebirsel ilişkileri belirleme ve denklem kurarak çözme.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 179Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $\diamond$ işlemi, her $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için

a \diamond b = \begin{cases} a^2 - 1, & b = 1 \text{ ise} \\ a^2 - b^2 + 2(a \diamond (b-1)), & b > 1 \text{ ise} \end{cases}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $a \diamond 4 = 77$ eşitliğini sağlayan $a$ pozitif tam sayısı kaçtır?

2

3

4

5

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında elde edilen denklem çözülerek

a

sayısı 3 olarak bulunur.

Verilen tanımlar adım adım yerine yazıldığında

a \diamond 4 = 15a^2 - 58

elde edilir. Bu ifade 77'ye eşitlendiğinde

15a^2 = 135

ve buradan

a^2 = 9

bulunur.

a

pozitif bir tam sayı olduğundan, karesi 9 olan sayı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımdan yola çıkarak

b = 1

için

a \diamond 1

değerini

a

cinsinden yazın.

a \diamond 1 = a^2 - 1

Taban durumunu belirlemek ve bir sonraki adımlarda kullanmak için.

2

b = 2

için

a \diamond 2

ifadesini yazıp adım 1'de bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 2 = a^2 - 4 + 2(a^2 - 1) = 3a^2 - 6

Tanımlanan yinelemeli (rekürsif) ilişkiyi bir adım ileri taşımak için.

3

b = 3

için

a \diamond 3

ifadesini yazıp adım 2'de bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 3 = a^2 - 9 + 2(3a^2 - 6) = 7a^2 - 21

Yineleme kuralını üçüncü adım için uygulamak.

4

b = 4

için

a \diamond 4

ifadesini yazıp adım 3'te bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 4 = a^2 - 16 + 2(7a^2 - 21) = 15a^2 - 58

Soruda istenen

a \diamond 4

değerini veren

a

cinsinden cebirsel ifadeyi elde etmek.

5

Elde edilen

15a^2 - 58

ifadesini soruda verilen 77 değerine eşitleyip denklemi çözün.

15a^2 - 58 = 77 \implies 15a^2 = 135 \implies a^2 = 9 \implies a = 3

a

'nın pozitif tam sayı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Yinelemeli (rekürsif) özel tanımlı işlemleri adım adım açarak cebirsel denklemler elde etme ve çözme.

Soru 180Soru →

Aslı, Berk ve Can adlı üç öğrenci bir okul kütüphanesinden roman, şiir ve biyografi türündeki kitaplardan farklı birer tanesini ödünç almıştır. Bu kişilerin aldıkları kitap türleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Berk, roman türünde bir kitap almıştır.
* Can, biyografi türünde bir kitap almamıştır.

Buna göre, Aslı hangi türde bir kitap ödünç almıştır?

Biyografi

Roman

Şiir

Tarih

Anı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Biyografi

Cevap

Biyografi

Biyografi seçeneği doğrudur çünkü Berk roman almıştır. Kalan kitap türleri şiir ve biyografidir. Can biyografi almadığı için geriye sadece şiir kalır. Bu durumda Aslı'ya biyografi kitabı kalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Kişileri ve kitap türlerini belirleme

Kişiler: Aslı, Berk, Can. Kitap türleri: Roman, Şiir, Biyografi.

Soruda verilen değişkenleri listelemek eşleştirmeyi kolaylaştırır.

2

Berk'in aldığı kitabı yerleştirme

Berk = Roman. Kalan kitaplar: Şiir, Biyografi. Kalan kişiler: Aslı, Can.

Öncülde Berk'in roman aldığı doğrudan verilmiştir.

3

Can'tın aldığı kitabı belirleme

Can biyografi almadığına ve roman da Berk tarafından alındığına göre Can = Şiir.

Can'ın biyografi alamayacağı öncülünden yola çıkılarak kalan tek seçenek olan şiir Can ile eşleştirilir.

4

Aslı'nın aldığı kitabı bulma

Geriye kalan tek kişi olan Aslı, geriye kalan tek kitap türü olan biyografiyi almıştır (Aslı = Biyografi).

Tüm kişiler farklı bir kitap aldığı için son kalan kişi ve kitap doğrudan eşleşir.

Anahtar Kavram

Eşleştirme Problemleri

Mantık Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar