Examkin

Cebir

424 soru

Soru 181Soru →

x<0<yx < 0 < y olmak üzere,

∣x−y∣+∣x∣=10 |x - y| + |x| = 10

∣y−x∣−∣y∣=2 |y - x| - |y| = 2

olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen koşullar altında x=−2x = -2 ve y=6y = 6 olup, toplamları 4'tür.
Verilen x<0<yx < 0 < y koşulu altında, x−yx-y ifadesi negatiftir ve mutlak değer dışına −(x−y)=y−x-(x-y) = y-x olarak çıkar. İkinci denklemde ∣y−x∣−∣y∣=2|y-x| - |y| = 2 ifadesi (y−x)−y=2(y-x) - y = 2 haline gelir ve buradan x=−2x = -2 bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazıldığında y−2x=10y - 2x = 10 ilişkisinden y=6y = 6 elde edilir. Sonuç olarak toplam 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretlerini belirle.
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için x−y<0x - y < 0, y−x>0y - x > 0, x<0x < 0 ve y>0y > 0 olur.
Mutlak değer dışına çıkarma kuralını uygulamak için içteki ifadelerin sıfırdan büyük mü küçük mü olduğu bilinmelidir.
2
İkinci denklemi mutlak değerlerden kurtararak çöz.
(y−x)−y=2⇒−x=2⇒x=−2(y - x) - y = 2 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2 bulunur.
y−x>0y - x > 0 olduğu için aynen, y>0y > 0 olduğu için aynen çıkar.
3
xx değerini birinci denklemde yerine yazarak yy değerini bul.
∣(−2)−y∣+∣−2∣=10⇒∣−(2+y)∣+2=10⇒(2+y)+2=10⇒y=6|(-2) - y| + |-2| = 10 \Rightarrow |-(2 + y)| + 2 = 10 \Rightarrow (2 + y) + 2 = 10 \Rightarrow y = 6 bulunur.
x−y<0x - y < 0 olduğundan ∣x−y∣=−(x−y)=y−x|x - y| = -(x - y) = y - x şeklinde çıkar; y−(−2)=y+2y - (-2) = y + 2 olur.
4
x+yx + y toplamını hesapla.
−2+6=4-2 + 6 = 4
Soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değer dışına çıkarma ve denklemler

İpuçları

1
Önce x<0<yx < 0 < y bilgisini kullanarak mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretlerini kontrol edin.
2
İkinci denklemde yy değişkenleri birbirini sadeleştirecektir; bu sayede doğrudan xx değerine ulaşabilirsiniz.
3
x=−2x = -2 değerini bulduktan sonra, birinci denklemde yerine koyup yy değerini bulun ve toplamı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizlik sistemleri üzerinde pratik yapmak bu tür soruların çözüm hızını artırır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 182Soru →

Karekök içinde verilen aşağıdaki işlemde,

916−12+19 \sqrt{\frac{9}{16} - \frac{1}{2} + \frac{1}{9}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

I˙s\cleminsonucu512deg˘eridir.İşlemin sonucu \frac{5}{12} değeridir.
Verilen ifade incelendiğinde, kök içindeki sayıların
(a−b)2(a-b)^2
tam kare açılımı olduğu görülür.
916\frac{9}{16}
sayısı
(34)2\left(\frac{3}{4}\right)^2
,
19\frac{1}{9}
sayısı
(13)2\left(\frac{1}{3}\right)^2
'tür. Ortadaki
12\frac{1}{2}
terimi ise bu iki sayının çarpımının iki katıdır (
2⋅34⋅13=612=122 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
). Bu durumda ifade
(34−13)2\sqrt{(\frac{3}{4} - \frac{1}{3})^2}
şekline dönüşür. Karekök ile kare birbirini götürür ve ifade mutlak değer içinde
512\frac{5}{12}
olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki ifadeyi tam kare özdeşliği formatında analiz et.
916=(34)2\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2
,
19=(13)2\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2
ve
12=2⋅34⋅13\frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}
İfadenin
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
formatına uyduğunu görmek için terimleri ayrıştırırız.
2
İfadeyi tam kare parantezine al.
(34−13)2\sqrt{\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right)^2}
Üç terimli ifadeyi, iki terimin farkının karesi olarak yazarız.
3
Kareköklü ifadeyi mutlak değer içinde dışarı çıkar.
∣34−13∣\left| \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right|
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|
kuralı gereği, sayı kök dışına mutlak değerle çıkar.
4
Mutlak değer içindeki rasyonel sayı çıkarma işlemini yap.
34−13=912−412=512\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
Paydalar 12'de eşitlenerek çıkarma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği

İpuçları

1
Kök içindeki sayıların tam kare olup olmadığını kontrol edin (
9/169/16
ve
1/91/9
gibi).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 183Soru →

Bir kurumda çalışan personelin tamamı İngilizce, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilmektedir. Bu personelle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece bir dil bilenlerin sayısı 38'dir.
* İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı 15, Almanca ve Rusça bilenlerin sayısı 12, İngilizce ve Rusça bilenlerin sayısı 10'dur.
* Her üç dili de bilenlerin sayısı 5'tir.
* Sadece İngilizce bilenlerin sayısı, sadece Almanca bilenlerin sayısının 2 katıdır.
* İngilizce bilenlerin toplam sayısı, Almanca bilenlerin toplam sayısından 8 fazladır.

Buna göre, bu kurumda sadece Rusça bilen kaç personel vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sadece Rusça bilen personel sayısı 8'dir.
Verilen bilgilerle kurulan Venn şemasında, kesişim bölgeleri düzeltildikten sonra elde edilen x−y=10x - y = 10 ve x=2yx = 2y denklemleri sayesinde sadece İngilizce bilenler 20, sadece Almanca bilenler 10 kişi olarak bulunur. Toplam 38 olan 'sadece bir dil bilenler' grubundan bu sayılar çıkarıldığında sadece Rusça bilenlerin sayısı 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin kesişim bölgelerini (sadece iki dil bilen kısımları) belirle.
Sadece İ ve A: 15−5=1015 - 5 = 10; Sadece A ve R: 12−5=712 - 5 = 7; Sadece İ ve R: 10−5=510 - 5 = 5.
Verilen kesişim sayıları, her üç dili bilenleri de kapsadığından, sadece iki dil bilenleri bulmak için 5 çıkarılmalıdır.
2
İngilizce ve Almanca bilenlerin toplam sayılarını değişkenler cinsinden ifade et.
s(I˙)=x+10+5+5=x+20s(İ) = x + 10 + 5 + 5 = x + 20 ve s(A)=y+10+7+5=y+22s(A) = y + 10 + 7 + 5 = y + 22.
Bir dili bilenlerin toplamı; o dili sadece bilenler, başka bir dille birlikte bilenler ve her üç dili bilenlerin toplamıdır.
3
Diller arası ilişkileri kullanarak x ve y değerlerini çöz.
x=2yx = 2y ve x+20=(y+22)+8  ⟹  x−y=10x + 20 = (y + 22) + 8 \implies x - y = 10. Buradan 2y−y=10  ⟹  y=102y - y = 10 \implies y = 10 ve x=20x = 20.
Verilen '2 katı' ve '8 fazla' bilgileriyle bir denklem sistemi kurulur.
4
Sadece bir dil bilenlerin toplamından z (Sadece Rusça) değerini bul.
x+y+z=38  ⟹  20+10+z=38  ⟹  z=8x + y + z = 38 \implies 20 + 10 + z = 38 \implies z = 8.
Sadece bir dil bilen personelin toplamı verildiği için bilinen değerler yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, fark ve birleşim işlemleri ile çoklu değişkenli problem çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 184Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde △\triangle işlemi,
x△y={2x−y,x≤yx+y,x>yx \triangle y = \begin{cases} 2x - y, & x \leq y \\ x + y, & x > y \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (3△5)△2(3 \triangle 5) \triangle 2 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

İşlemin sonucu 0'dır.
İşlem parçalı fonksiyon şeklinde tanımlandığı için her adımda verilen sayıların x≤yx \leq y veya x>yx > y koşullarından hangisini sağladığı kontrol edilmelidir. İlk adımda 3≤53 \leq 5 olduğu için 2x−y2x-y kuralı uygulanır ve 1 bulunur. İkinci adımda 1≤21 \leq 2 olduğu için tekrar aynı kural uygulanır ve sonuç 0 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki (3△5)(3 \triangle 5) işlemini hesapla.
1
x=3x=3 ve y=5y=5 değerleri için x≤yx \leq y (3≤53 \leq 5) koşulu sağlandığından, 2x−y2x - y kuralı uygulanır: 2(3)−5=6−5=12(3) - 5 = 6 - 5 = 1.
2
Bulunan sonucu dıştaki işlemde yerine koy: 1△21 \triangle 2.
0
Şimdi x=1x=1 ve y=2y=2 değerleri için yine x≤yx \leq y (1≤21 \leq 2) koşulu sağlanır. Kural tekrar uygulanır: 2(1)−2=2−2=02(1) - 2 = 2 - 2 = 0.

Anahtar Kavram

Parçalı Tanımlı İşlemler

İpuçları

1
Önce parantez içindeki işlemi yapmalısınız. x=3 ve y=5 için verilen koşullardan hangisinin (x≤yx \leq y mi yoksa x>yx > y mi) sağlandığını kontrol edin.
2
3 sayısı 5'ten küçüktür, bu yüzden üstteki kuralı (2x−y2x - y) kullanın.
3
İlk işlemin sonucu 1'dir. Şimdi bu sonucu kullanarak (1△2)(1 \triangle 2) işlemini aynı mantıkla yapın.

Daha Fazla Pratik

Koşulların eşitlik durumunu (x=yx=y) içerdiği sorulara dikkat edin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 185Soru →

AA ve BB, EE evrensel kümesinin boş kümeden farklı iki alt kümesidir. A′A' ve B′B', sırasıyla AA ve BB kümelerinin tümleyenlerini göstermektedir.

Buna göre,
[(A∪B′)∖(A∩B)]∩A [(A \cup B') \setminus (A \cap B)] \cap A

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∖BA \setminus B

Cevap

İfadenin en sade hali A∖BA \setminus B dir.
Verilen ifadede öncelikle fark işlemi kesişim ve tümleyen cinsinden yazılır (X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y'). Ardından (A∩B)′(A \cap B)' ifadesine De Morgan kuralı uygulanarak A′∪B′A' \cup B' elde edilir. İfade [(A∪B′)∩(A′∪B′)][(A \cup B') \cap (A' \cup B')] haline gelir. Burada B′B' ile birleşim işlemi ortak olduğu için dağılma özelliği tersten işletilerek B′∪(A∩A′)B' \cup (A \cap A') elde edilir. A∩A′=∅A \cap A' = \emptyset olduğundan köşeli parantezin içi B′B' olur. Son olarak dışarıdaki AA ile kesişim alındığında B′∩AB' \cap A elde edilir ki bu da A∖BA \setminus B demektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fark işlemi özelliğini (X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y') parantez içindeki ifadeye uygulayalım.
[(A∪B′)∩(A∩B)′]∩A[(A \cup B') \cap (A \cap B)'] \cap A
Küme işlemlerinde fark işlemini kesişim ve tümleyen cinsinden yazmak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
De Morgan kuralını ((A∩B)′=A′∪B′(A \cap B)' = A' \cup B') uygulayalım.
[(A∪B′)∩(A′∪B′)]∩A[(A \cup B') \cap (A' \cup B')] \cap A
Tümleyen işlemini parantez içine dağıtarak ortak terimleri görmeyi sağlarız.
3
Ortak olan B′B' terimini dağılma özelliği ile parantez dışına alalım.
[B′∪(A∩A′)]∩A[B' \cup (A \cap A')] \cap A
Her iki parantezde de B′B' birleşim işlemi ortaktır (X∪YX \cup Y ve Z∪YZ \cup Y yapısı).
4
Bir küme ile tümleyeninin kesişiminin boş küme (A∩A′=∅A \cap A' = \emptyset) olduğunu kullanalım.
[B′∪∅]∩A=B′∩A[B' \cup \emptyset] \cap A = B' \cap A
Boş küme ile birleşme işlemi etkisizdir.
5
Elde edilen ifadeyi fark işlemi tanımına geri çevirelim.
A∩B′=A∖BA \cap B' = A \setminus B
Sonuç şıklarda genellikle fark işlemi formatında verilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları

İpuçları

1
Fark işlemini (X∖YX \setminus Y), kesişim ve tümleyen kullanarak X∩Y′X \cap Y' şeklinde yazarak başlayın.
2
İkinci kısımdaki (A∩B)′(A \cap B)' ifadesi için De Morgan kuralını uygulayın ve her iki tarafta ortak olan terimi (B′B') parantez dışına almaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere numara verilebilir. A∖BA \setminus B (bölge 1), A∩BA \cap B (bölge 2), B∖AB \setminus A (bölge 3) ve dışarıdaki bölge 4 olsun. Sorudaki her bir adımı bu bölgeler üzerinden takip ederek (Örn: A∪B′={1,2,4}A \cup B' = \{1, 2, 4\}) sonucu bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 186Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA, BB ve CC kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣40≤x≤360,  x=3k} A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 3k \}

B={x∈Z∣40≤x≤360,  x=4m} B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 4m \}

C={x∈Z∣40≤x≤360,  x=5n} C = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 5n \}

Buna göre, bu sayı aralığında bulunan elemanlardan kaç tanesi yalnızca iki kümeye aittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Yalnızca iki kümeye ait eleman sayısı 48'dir.
İstenen bölge, Venn şemasında sadece iki kümenin kesiştiği ancak üçüncü kümenin dahil olmadığı 'yaprak' bölgeleridir. s(A∩B)s(A \cap B), s(A∩C)s(A \cap C) ve s(B∩C)s(B \cap C) değerlerinin toplamı, üç kümenin de kesiştiği orta göbeği (A∩B∩CA \cap B \cap C) üç kez içerir. Yalnızca iki kümeye ait olanları bulmak için, bu üçlü kesişim sayısı toplamdan 3 kez çıkarılmalıdır: (27+22+17)−3(6)=48(27+22+17) - 3(6) = 48.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin tanımlarını analiz et
AA kümesi 3'ün katları, BB kümesi 4'ün katları, CC kümesi 5'in katlarıdır. Aralık [40,360][40, 360] kapalı aralığıdır.
Soruda 'yalnızca iki kümeye ait' elemanlar sorulduğu için ikili kesişimlerin (EKOKEKOK) bulunması gerekir.
2
İkili kesişim kümelerinin eleman sayılarını hesapla
s(A∩B)s(A \cap B): 12'nin katları (EKOK(3,4)=12). Aralıkta: 360−4812+1=27\frac{360-48}{12} + 1 = 27 adet.
s(A∩C)s(A \cap C): 15'in katları (EKOK(3,5)=15). Aralıkta: 360−4515+1=22\frac{360-45}{15} + 1 = 22 adet.
s(B∩C)s(B \cap C): 20'nin katları (EKOK(4,5)=20). Aralıkta: 360−4020+1=17\frac{360-40}{20} + 1 = 17 adet.
Yalnızca iki kümeye ait olanları bulmak için önce tüm ikili kesişimlerin toplam boyutu bulunmalıdır.
3
Üçlü kesişim kümesinin eleman sayısını hesapla
s(A∩B∩C)s(A \cap B \cap C): 60'ın katları (EKOK(3,4,5)=60). Aralıkta: 60, 120, 180, 240, 300, 360. Toplam 6 adet.
İkili kesişimlerin her biri, üçlü kesişimi (A∩B∩CA \cap B \cap C) de kendi içinde barındırır. Bu fazlalıkların atılması gerekir.
4
Yalnızca iki kümeye ait eleman sayısını formülize et ve hesapla
Formül: [s(A∩B)+s(A∩C)+s(B∩C)]−3⋅s(A∩B∩C)[s(A \cap B) + s(A \cap C) + s(B \cap C)] - 3 \cdot s(A \cap B \cap C)
İşlem: (27+22+17)−3(6)=66−18=48(27 + 22 + 17) - 3(6) = 66 - 18 = 48.
Her bir ikili kesişim kümesi (örneğin A∩BA \cap B), 'sadece A ve B' ile 'A, B ve C' bölgelerinin toplamıdır. Üçlü kesişim bölgesi üç ikili kesişimde de sayıldığı için, 'yalnızca iki' bölgesini bulmak için 3 kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim ve Birleşim Problemleri (EKOK Uygulamaları)

İpuçları

1
Soruda 'yalnızca iki' kümeye ait elemanlar soruluyor. Önce hangi sayıların hem A hem B, hem A hem C, hem de B ve C kümelerinde ortak olduğunu (EKOK kullanarak) bulun.
2
12'nin, 15'in ve 20'nin katlarını bulduğunuzda, bu sayıların içinde 60'ın katları da (yani üç kümenin de elemanları) yer alır.
3
Her bir ikili kesişim grubunu topladığınızda, üç kümenin ortak elemanlarını (60'ın katlarını) fazladan saymış olursunuz. 'Yalnızca iki' bölgesi için, her ikili kesişimden üçlü kesişim sayısını çıkarmanız gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 187Soru →

Matematiksel bir ifadede sadeleştirme yapılırken çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılmaktadır.

Buna göre,
x2−xy−4x+4yx2−16:x−yx2+4x \frac{x^2 - xy - 4x + 4y}{x^2 - 16} : \frac{x - y}{x^2 + 4x}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x

Cevap

İfadenin en sade hali x olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin en sade halini bulmak için her parça ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. İlk pay (x−4)(x−y)(x-4)(x-y), ilk payda (x−4)(x+4)(x-4)(x+4) ve ikinci payda x(x+4)x(x+4) şeklinde yazılır. Bölme işlemi çarpmaya dönüştürüldüğünde (x−4)(x−y)(x−4)(x+4)⋅x(x+4)x−y\frac{(x-4)(x-y)}{(x-4)(x+4)} \cdot \frac{x(x+4)}{x-y} ifadesi elde edilir. Pay ve paydadaki (x−4)(x-4), (x+4)(x+4) ve (x−y)(x-y) çarpanları birbirini sadeleştirir ve geriye sadece xx kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kesrin payını gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x2−xy−4x+4y=x(x−y)−4(x−y)=(x−4)(x−y)x^2 - xy - 4x + 4y = x(x - y) - 4(x - y) = (x - 4)(x - y)
Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemi kullanılır.
2
İlk kesrin paydasını iki kare farkı özdeşliği ile ayırın.
x2−16=x2−42=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği uygulanır.
3
İkinci kesrin paydasını ortak çarpan parantezine alın.
x2+4x=x(x+4)x^2 + 4x = x(x + 4)
Her iki terimde de x çarpanı ortaktır.
4
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirin (ikinci kesri ters çevirip çarpın) ve sadeleştirin.
(x−4)(x−y)(x−4)(x+4)⋅x(x+4)x−y=x\frac{(x - 4)(x - y)}{(x - 4)(x + 4)} \cdot \frac{x(x + 4)}{x - y} = x
Rasyonel ifadelerde bölme işlemi yapılırken bölen kesir ters çevrilir ve çarpılır; ortak çarpanlar sadeleşir.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Gruplandırma Yöntemi

İpuçları

1
İfadedeki dört terimli ifadeyi (x2−xy−4x+4yx^2 - xy - 4x + 4y) gruplandırarak çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
x2−16x^2 - 16 ifadesi iki kare farkıdır. Ayrıca rasyonel ifadelerde bölme işlemi yapılırken ikinci kesrin ters çevrilip çarpıldığını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklü ifadelerin çarpanlara ayırma ile sadeleştirilmesi sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (sınavda zaman kazanmak için): x = 5 ve y = 1 gibi paydayı 0 yapmayan değerler verilerek sonuç hesaplanabilir. (5^2-5-20+4)/(25-16) : (5-1)/(25+20) = 4/9 : 4/45 = 4/9 * 45/4 = 5. Seçeneklerde x=5 olduğunda 5 sonucunu veren sadece A seçeneğidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 188Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1
kuralı ile verilmiştir. Buna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Fonksiyonda değişken yerine istenen değer yazıldığında elde edilen sonuç 6'dır.
Verilen fonksiyon kuralında xx yerine −1-1 yazıldığında; (−1)2(-1)^2 ifadesinden 11, −4⋅(−1)-4 \cdot (-1) çarpımından 44 gelir. Bu değerlere sabit olan 11 eklendiğinde 1+4+1=61 + 4 + 1 = 6 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon kuralında her xx yerine −1-1 yazılır.
f(−1)=(−1)2−4⋅(−1)+1f(-1) = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 1
Fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için o değer fonksiyona giriş olarak verilir.
2
Üslü ifadenin değeri hesaplanır.
(−1)2=1(-1)^2 = 1
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
3
Çarpma işlemi gerçekleştirilir.
−4⋅(−1)=4-4 \cdot (-1) = 4
İki negatif sayının çarpımı pozitif bir sonuç verir.
4
Bulunan tüm değerler toplanır.
1+4+1=61 + 4 + 1 = 6
Elde edilen terimlerin toplamı fonksiyonun o noktadaki değerini verir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Substitution)

İpuçları

1
Fonksiyonda f(−1)f(-1) değerini bulmak için denklemdeki tüm xx harflerinin yerine parantez içinde −1-1 yazmalısın.
2
İşlem yaparken öncelikle üslü sayıları, sonra çarpmaları ve en son toplamaları yapmalısın. (−1)2(-1)^2 sonucunun pozitif olduğunu unutma.
3
(−1)2=1(-1)^2 = 1 ve −4×(−1)=4-4 \times (-1) = 4 olduğunu bulduktan sonra, bu değerleri fonksiyondaki sabit 11 sayısı ile toplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için f(x)=2x2+3x−5f(x) = 2x^2 + 3x - 5 fonksiyonunda f(−2)f(-2) değerini hesaplamayı deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu f(x)=(x−2)2−3f(x) = (x-2)^2 - 3 şeklinde tam kareye tamamlayarak da çözebiliriz: f(−1)=(−1−2)2−3=(−3)2−3=9−3=6f(-1) = (-1-2)^2 - 3 = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
Tahmini Süre:45s
Soru 189Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2<∣x∣ x^2 < |x|

x⋅y<x x \cdot y < x

x+y<0 x + y < 0

y2>y y^2 > y

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y2>x2y^2 > x^2

Cevap

y2>x2y^2 > x^2 ifadesi daima doğrudur.
xx sayısı 00 ile 11 arasında pozitif bir sayıdır. yy sayısı ise negatiftir ve x+y<0x+y < 0 olduğundan mutlak değerce xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x). Bu durumda yy'nin karesi kesinlikle xx'in karesinden büyük olur (y2>x2y^2 > x^2).

Adım Adım Çözüm

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliğini analiz et.
Bu eşitsizlik sadece −1<x<1-1 < x < 1 aralığında (sıfır hariç) sağlanır. Yani x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1).
Bir sayının karesinin mutlak değerinden küçük olması için sayı basit kesir olmalıdır.
2
x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğini incele (x(y−1)<0x(y-1) < 0).
İki durum vardır:
Durum 1: x∈(0,1)x \in (0, 1) (pozitif) ise, y−1<0  ⟹  y<1y-1 < 0 \implies y < 1.
Durum 2: x∈(−1,0)x \in (-1, 0) (negatif) ise, eşitsizlik yön değiştirir, y−1>0  ⟹  y>1y-1 > 0 \implies y > 1.
Eşitsizliğin her iki tarafı değişkene bölündüğünde işaretine dikkat edilmelidir.
3
y2>yy^2 > y ve x+y<0x + y < 0 koşullarını kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 2 (xx negatif, y>1y > 1) için x+yx+y toplamı pozitif olur (çünkü y>1,x>−1y > 1, x > -1), bu x+y<0x+y<0 ile çelişir. Bu nedenle sadece Durum 1 geçerlidir: x∈(0,1)x \in (0, 1) ve y<0y < 0 (ayrıca y2>yy^2 > y sağlandığından yy negatiftir).
Çelişki analizi ile yanlış durum elenir.
4
x+y<0x+y < 0 eşitsizliğinden mutlak değer ilişkisini çıkar.
x+y<0  ⟹  y<−xx + y < 0 \implies y < -x. Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa (y negatif, x pozitif), ∣y∣>∣x∣|y| > |x| olur.
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif ise, negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.
5
Sonucu seçeneklerle karşılaştır.
∣y∣>∣x∣|y| > |x| olduğundan, kareleri alındığında y2>x2y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değerce büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değer ilişkileri

İpuçları

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliği, xx sayısının hangi aralıkta olduğunu gösterir? Basit kesirleri düşünün.
2
xx ve yy işaretlerini bulmak için x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğinde durumları inceleyin. xx pozitif ise yy ne olur, xx negatif ise yy ne olur?
3
xx pozitif (0,10,1 aralığında) ve yy negatiftir. x+y<0x+y < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerce xx'ten daha büyük olduğunu gösterir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer ve eşitsizlik içeren karmaşık sorular çözmeye devam edin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde deneme yanılma yöntemi: x=0,5x=0,5 verin. x2<∣x∣x^2 < |x| sağlanır. 0,5⋅y<0,5  ⟹  y<10,5 \cdot y < 0,5 \implies y < 1. y2>y  ⟹  y<0y^2 > y \implies y < 0 veya y>1y > 1. Kesişim y<0y < 0. 0,5+y<0  ⟹  y<−0,50,5 + y < 0 \implies y < -0,5. Örnek y=−2y=-2. Şıkları deneyin: y2=4,x2=0,25  ⟹  4>0,25y^2=4, x^2=0,25 \implies 4 > 0,25.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 190Soru →

Matematikte bir bilinmeyenli denklemleri çözerken temel amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Buna göre,

5x−12=3(x+2)5x - 12 = 3(x + 2)


eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 9'dur.
Verilen denklemde önce dağılma özelliği uygulanarak 3(x+2)3(x + 2) ifadesi 3x+63x + 6 haline getirilir. Ardından xx'li terimler sol tarafta, sabit sayılar sağ tarafta toplanarak 2x=182x = 18 eşitliği elde edilir. Son olarak 1818 sayısı 22'ye bölünerek x=9x = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki parantezi dağıtma özelliğini kullanarak açın.
5x−12=3x+65x - 12 = 3x + 6
Parantez dışındaki 3 çarpanı, parantez içindeki hem xx hem de +2+2 ile çarpılmalıdır.
2
Bilinmeyenleri (xx'li terimleri) bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayın.
5x−3x=6+125x - 3x = 6 + 12
Terimler eşitliğin karşı tarafına geçerken işaret değiştirir (+3x+3x karşıya −3x-3x, −12-12 karşıya +12+12 olarak geçer).
3
Eşitliğin her iki tarafındaki işlemleri yaparak denklemi sadeleştirin.
2x=182x = 18
5x−3x=2x5x - 3x = 2x ve 6+12=186 + 12 = 18 olduğu için.
4
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için her iki tarafı xx'in katsayısına bölün.
x=9x = 9
18 sayısı 2'ye bölündüğünde sonuç 9 çıkar.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemlerde terimlerin işaret değiştirerek karşıya geçmesi ve dağılma özelliği.

İpuçları

1
İşleme sağ taraftaki parantezi açarak başlayın. 3 sayısını parantez içindekilerle çarpmayı unutmayın.
2
Bilinmeyenleri bir tarafa toplarken terimlerin işaretlerine dikkat edin; 3x3x karşıya −3x-3x olarak geçer.
3
Elde ettiğiniz 2x=182x = 18 ifadesinde xx'i bulmak için 18'i 2'ye bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde rasyonel katsayılı denklemleri çözerek becerini geliştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki seçenekleri xx yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin x=9x=9 için; 5(9)−12=45−12=335(9) - 12 = 45 - 12 = 33 ve 3(9+2)=3(11)=333(9 + 2) = 3(11) = 33 olur, eşitlik sağlandığı için doğru cevaptır.
Tahmini Süre:45s
Soru 191Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı xx değişkeni için;
13−3x2<2ve2x+1≤15 \frac{13 - 3x}{2} < 2 \quad \text{ve} \quad 2x + 1 \le 15

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, bu koşulları sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 22'dir.
Verilen iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi bulunmalıdır. Birinci eşitsizlikten x>3x > 3 (işaret yön değiştirir), ikinci eşitsizlikten x≤7x \le 7 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6 ve 7'dir; toplamları 22 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği çözerek xx için alt sınırı belirle.
x>3x > 3
13−3x2<2⇒13−3x<4⇒−3x<−9\frac{13 - 3x}{2} < 2 \Rightarrow 13 - 3x < 4 \Rightarrow -3x < -9. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya (-3) bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir: x>3x > 3.
2
İkinci eşitsizliği çözerek xx için üst sınırı belirle.
x≤7x \le 7
2x+1≤15⇒2x≤14⇒x≤72x + 1 \le 15 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini al ve uygun tam sayıları bul.
x∈{4,5,6,7}x \in \{4, 5, 6, 7\}
Bulunan aralık 3<x≤73 < x \le 7'dir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6 ve 7'dir.
4
Bulunan tam sayı değerlerini topla.
22
4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret Değişimi

İpuçları

1
Eşitsizlikleri ayrı ayrı çözerek xx'in alabileceği değer aralığını bulunuz.
2
−3x<−9-3x < -9 ifadesinde her iki tarafı −3-3'e bölerken eşitsizlik işaretinin yön değiştirmesi gerektiğini unutmayınız (<< ise >> olur).
3
Birinci eşitsizlikten x>3x > 3, ikinci eşitsizlikten x≤7x \le 7 sonucunu elde etmelisiniz. Bu aralıktaki tam sayıları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizlik sistemleri (Örn: ∣x−2∣<3|x-2| < 3) içeren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 192Soru →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, içerisinde değişkenin (bilinmeyenin) birinci kuvvetinin bulunduğu ve eşitlik içeren matematiksel ifadelerdir. Bu denklemleri çözerken temel amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

Buna göre,
2x+10=2 2x + 10 = 2

denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4 sayısı denklemi sağlayan değerdir.
Verilen denklemde +10+10 ifadesi eşitliğin sağına −10-10 olarak geçer. 2−10=−82 - 10 = -8 elde edilir. Ardından 2x=−82x = -8 eşitliğinde her iki taraf 22'ye bölündüğünde x=−4x = -4 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına geçirin.
2x=2−102x = 2 - 10
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +10+10 sayısı karşı tarafa işaret değiştirerek −10-10 olarak geçer.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapın.
2x=−82x = -8
22 sayısından 1010 çıkarıldığında fark −8-8 olur.
3
Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölün.
x=−4x = -4
xx değerini bulmak için her iki taraf 22 sayısına bölünür; −8/2=−4-8 / 2 = -4 bulunur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemlerde terimlerin eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek geçmesi kuralı.

İpuçları

1
Denklemi çözerken xx harfini eşitliğin bir tarafında tek başına bırakmaya çalışın.
2
Eşitliğin sol tarafındaki +10+10 sayısını sağ tarafa −10-10 olarak geçirin ve işlemi yapın.
3
2x=−82x = -8 ifadesine ulaştığınızda, her iki tarafı xx'in önündeki sayıya bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde rasyonel katsayılı denklemlerin çözüm mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki her terimi baştan 22'ye bölerek de başlayabilirsiniz: x+5=1x + 5 = 1. Buradan x=1−5=−4x = 1 - 5 = -4 bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 193Soru →
30x+15x+10x+5x6x+3x+2x+1=25x−1 \frac{30^x + 15^x + 10^x + 5^x}{6^x + 3^x + 2^x + 1} = 25^{x-1}


eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 2'dir.
Verilen kesirli ifadenin payı ve paydası gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında, pay ve paydadaki (2x+1)(2^x+1) ve (3x+1)(3^x+1) çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye sadece 5x5^x kalır. Eşitliğin sağ tarafı olan 25x−125^{x-1}, 5 tabanında 52x−25^{2x-2} olarak yazılır. Tabanlar eşitlendiğinde x=2x−2x = 2x-2 denklemi elde edilir ve buradan doğru cevap 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi ikili gruplara ayırarak ortak çarpan parantezine al.
30x+15x+10x+5x=15x(2x+1)+5x(2x+1)30^x + 15^x + 10^x + 5^x = 15^x(2^x + 1) + 5^x(2^x + 1)
Dört terimli ifadelerde gruplandırma yöntemi, ortak çarpanları ortaya çıkarmak için kullanılır.
2
Payı (2x+1)(2^x + 1) ortak parantezine al.
(2x+1)(15x+5x)=(2x+1)⋅5x(3x+1)(2^x + 1)(15^x + 5^x) = (2^x + 1) \cdot 5^x(3^x + 1)
Terimleri en sade çarpanlarına ayırarak payda ile sadeleşecek hale getirmek gerekir.
3
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayır.
6x+3x+2x+1=3x(2x+1)+1(2x+1)=(2x+1)(3x+1)6^x + 3^x + 2^x + 1 = 3^x(2^x + 1) + 1(2^x + 1) = (2^x + 1)(3^x + 1)
Payda da aynı yapıdadır ve pay ile sadeleşecek terimler içerir.
4
Pay ve paydayı oranlayarak sadeleştirme yap.
5x(3x+1)(2x+1)(3x+1)(2x+1)=5x \frac{5^x(3^x + 1)(2^x + 1)}{(3^x + 1)(2^x + 1)} = 5^x
Ortak çarpanlar (3x+13^x+1 ve 2x+12^x+1) birbirini götürür.
5
Elde edilen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitle ve x'i bul.
5x=25x−1⇒5x=(52)x−1⇒5x=52x−25^x = 25^{x-1} \Rightarrow 5^x = (5^2)^{x-1} \Rightarrow 5^x = 5^{2x-2}
Tabanları eşitleyerek üslerin eşitliğinden sonuca gidilir.
6
Üsleri eşitle: x=2x−2x = 2x - 2
x=2x = 2
Tabanlar eşitse üsler de eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde gruplandırarak çarpanlara ayırma ve üslü denklemlerin çözümü.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri doğrudan bölmeye çalışmak yerine, her birini ayrı ayrı gruplandırarak ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
2
Pay kısmında 30x30^x ile 15x15^x'i ve 10x10^x ile 5x5^x'i ikili gruplar halinde düşünün. 30x=15x⋅2x30^x = 15^x \cdot 2^x özdeşliğini kullanın.
3
Sadeleştirme sonucunda sol taraf sadece 5x5^x kalacaktır. Sağ tarafı da 5 tabanında yazarak üsleri eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer çarpanlara ayırma mantığını pekiştirmek için x3+x2+x+1x+1\frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x+1} gibi polinom bölmesi içeren üslü ifade soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (test tekniği): Şıklardaki tam sayı değerleri x yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 194Soru →
x=7+1x = \sqrt{7} + 1 ve y=7−1y = \sqrt{7} - 1 olduğuna göre,
x2+2xy+y2x2−y2\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2}
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7\sqrt{7}

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş halindeki değerlerin yerine konulmasıyla elde edilen sonuç 7\sqrt{7} değeridir.
Verilen rasyonel ifadenin payı (x+y)(x+y)'nin karesi, paydası ise (x−y)(x-y) ile (x+y)(x+y)'nin çarpımıdır. Sadeleştirme yapıldığında x+yx−y\frac{x+y}{x-y} elde edilir. xx ve yy değerleri toplandığında 272\sqrt{7}, çıkarıldığında ise 22 elde edildiği için bu oran 7\sqrt{7} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayırın.
Pay: x2+2xy+y2=(x+y)2x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2, Payda: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için ifadelerin çarpanlarına ayrılması gerekir.
2
Ortak çarpanları sadeleştirin.
(x+y)2(x−y)(x+y)=x+yx−y\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y}{x-y}
Hem payda hem de paydada bulunan (x+y)(x+y) terimi sadeleşir.
3
Verilen xx ve yy değerleri için x+yx+y ve x−yx-y toplamlarını hesaplayın.
x+y=(7+1)+(7−1)=27x+y = (\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = 2\sqrt{7} ve x−y=(7+1)−(7−1)=2x-y = (\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-1) = 2
Sadeleşmiş ifadede yerine koymak üzere temel toplam ve fark işlemleri yapılır.
4
Bulunan değerleri sadeleşmiş ifadede yerine yazarak sonucu bulun.
x+yx−y=272=7\frac{x+y}{x-y} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}
Sayısal değerlerin oranlanmasıyla en sade sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanma.

İpuçları

1
İfadedeki rasyonel yapıyı sadeleştirmek için hem payı hem de paydayı çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
Paydaki x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 ifadesi bir tam kare açılımıdır. Paydadaki x2−y2x^2 - y^2 ise iki kare farkıdır.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerini içeren karma rasyonel ifadeler üzerinde pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Özdeşlikleri kullanmadan doğrudan xx ve yy değerlerinin karesini alarak (x2=8+27x^2 = 8+2\sqrt{7}, y2=8−27y^2 = 8-2\sqrt{7}) ve çarparak (xy=6xy = 6) da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha uzun süreceği için özdeşlik sadeleştirmesi tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 195Soru →

Bir belediyenin Zabıta Amirliğinde bir ay içerisinde düzenlenen tutanak sayısının, tebliğ edilen ihtarname sayısına oranı 49\frac{4}{9}'dur. Bu birimde ilgili ayda toplam 156156 adet belge işlemi yapıldığına göre, tebliğ edilen ihtarname sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Tebliğ edilen ihtarname sayısı 108'dir.
Verilen oran kullanılarak tutanak sayısı 4k4k, ihtarname sayısı 9k9k olarak alınır. Toplam belge sayısı 13k=15613k = 156 denkleminden orantı sabiti k=12k=12 bulunur. İhtarname sayısı sorulduğu için 9×12=1089 \times 12 = 108 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranı kullanarak her iki belge türünü aynı değişken (k) cinsinden ifade et.
Tutanak sayısı = 4k4k, İhtarname sayısı = 9k9k.
Oran 49\frac{4}{9} olduğu için pay ve paydayı orantı sabiti ile çarparak gerçek değerleri temsil ederiz.
2
Toplam belge sayısı için denklem kur.
4k+9k=156⇒13k=1564k + 9k = 156 \Rightarrow 13k = 156.
Soruda verilen toplam sayı, iki grubun toplamına eşittir.
3
Denklemden kk orantı sabitini bul.
k=15613=12k = \frac{156}{13} = 12.
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sabiti buluruz.
4
İstenen ihtarname sayısını hesapla.
İhtarname sayısı = 9k=9×12=1089k = 9 \times 12 = 108.
Bulunan sabiti, ihtarnameyi temsil eden ifadede yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Doğru Orantı Kurma ve Denklem Çözme
Soru 196Soru →
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x−y=4 x - y = 4

y−z=4 y - z = 4

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,
x2+z2−2y2 x^2 + z^2 - 2y^2

ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İfadenin değeri 32'dir.
Verilen ifade (x2−y2)+(z2−y2)(x^2 - y^2) + (z^2 - y^2) şeklinde gruplandırılıp iki kare farkı özdeşliği uygulandığında, terimler sadeleşerek 4(x−z)4(x-z) halini alır. Denklemler taraf tarafa toplandığında x−z=8x-z=8 bulunur ve sonuç 3232 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmaya uygun hale getirmek için −2y2-2y^2 terimini parçalayarak gruplandırın.
x2+z2−2y2=(x2−y2)+(z2−y2) x^2 + z^2 - 2y^2 = (x^2 - y^2) + (z^2 - y^2)
İfadeyi bilinen iki kare farkı özdeşliklerine dönüştürmek için.
2
Her iki gruba iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
(x−y)(x+y)+(z−y)(z+y) (x - y)(x + y) + (z - y)(z + y)
x−yx-y ve y−zy-z değerlerini kullanabilmek için.
3
Verilen eşitlikleri kullanarak farkları yerine koyun. (x−y=4x-y=4 ve y−z=4y-z=4 ise z−y=−4z-y=-4 olur).
4(x+y)+(−4)(z+y) 4(x + y) + (-4)(z + y)
Değişkenleri azaltmak ve sayısal sonuca yaklaşmak için.
4
İfadeyi 4 parantezine alarak düzenleyin.
4(x+y−z−y)=4(x−z) 4(x + y - z - y) = 4(x - z)
yy değişkenini yok etmek için.
5
x−zx - z değerini bulmak için verilen ilk iki denklemi taraf tarafa toplayın.
(x−y)+(y−z)=4+4  ⟹  x−z=8 (x - y) + (y - z) = 4 + 4 \implies x - z = 8
Sonuç için gerekli olan son bileşeni bulmak için.
6
Bulunan x−zx-z değerini sonuç ifadesinde yerine yazın.
4⋅8=32 4 \cdot 8 = 32
Nihai sonucu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı Özdeşliği ve Terim Ekleme/Çıkarma ile Gruplandırma

İpuçları

1
İfadeyi x2−y2+z2−y2x^2 - y^2 + z^2 - y^2 şeklinde yazarak iki parça halinde düşünmeyi deneyin.
2
Her iki parçaya da iki kare farkı (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) özdeşliğini uygulayın.
3
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayarak xx ve zz arasındaki ilişkiyi bulun (x−z=8x-z=8).

Daha Fazla Pratik

x−2y+z=0x - 2y + z = 0 ve x2−z2=24x^2 - z^2 = 24 gibi denklem sistemlerinin çözüm kümelerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: y=0y=0 seçilirse, x=4x=4 ve z=−4z=-4 olur. Bu değerler istenen ifadede yerine yazıldığında: 42+(−4)2−2(0)2=16+16=324^2 + (-4)^2 - 2(0)^2 = 16 + 16 = 32 sonucu daha hızlı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 197Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 33 noktasına olan uzaklığı, başlangıç noktasına olan uzaklığının 22 katına eşittir.

Buna göre, xx sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

x değerlerinin çarpımı -3'tür.
Sayı doğrusu üzerinde uzaklık kavramı mutlak değerle ifade edilir. Sorudaki ilişki ∣x−3∣=2∣x∣|x - 3| = 2|x| denklemine karşılık gelir. Bu denklem çözüldüğünde x=−3x = -3 ve x=1x = 1 kökleri bulunur. Bu köklerin çarpımı (−3)×1=−3(-3) \times 1 = -3 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel ifadeyi matematiksel denkleme çevir.
∣x−3∣=2∣x∣|x - 3| = 2|x|
Bir sayının 3'e uzaklığı ∣x−3∣|x-3|, başlangıç noktasına (0'a) uzaklığı ∣x∣|x| ile ifade edilir.
2
Mutlak değer denklemini iki farklı durum için çöz.
Durum 1: x−3=2x⇒x=−3x - 3 = 2x \Rightarrow x = -3
Durum 2: x−3=−2x⇒3x=3⇒x=1x - 3 = -2x \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1
∣a∣=∣b∣|a| = |b| ise a=ba = b veya a=−ba = -b olur.
3
Bulunan değerlerin çarpımını hesapla.
(−3)⋅1=−3(-3) \cdot 1 = -3
Soruda değerlerin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerin Uzaklık Tanımı

İpuçları

1
Bir xx sayısının aa noktasına olan uzaklığı ∣x−a∣|x - a| ile, başlangıç noktasına olan uzaklığı ise ∣x∣|x| ile gösterilir.
2
Sorudaki ifadeyi şu denkleme dönüştürebilirsiniz: ∣x−3∣=2∣x∣|x - 3| = 2|x|.
3
Mutlak değerleri kaldırmak için iki durumu inceleyin: x−3=2xx - 3 = 2x ve x−3=−2xx - 3 = -2x.

Daha Fazla Pratik

Uzaklıkları toplamı sabit bir sayıya eşit olan noktaların çözüm kümesini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Her iki tarafın karesini alarak çözüm: (x−3)2=(2x)2⇒x2−6x+9=4x2⇒3x2+6x−9=0(x-3)^2 = (2x)^2 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 4x^2 \Rightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0. Kökler çarpımı formülünden (c/ac/a) −9/3=−3-9/3 = -3 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 198Soru →
10+68+60−2\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{8 + \sqrt{60}}} - \sqrt{2}


işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

İşlemin sonucu 0'dır.
Soru, iç içe kökler (A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}) kuralının ve köklü sayılarda ortak çarpan parantezine alma yönteminin bir arada kullanılmasını gerektirir. Paydadaki ifade 5+3\sqrt{5}+\sqrt{3} olarak dışarı çıkar. Pay ise 2\sqrt{2} parantezine alındığında 2(5+3)\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) olur. Sadeleştirme sonucu elde edilen 2\sqrt{2} değerinden, sorudaki 2\sqrt{2} çıkarıldığında sonuç 0 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki 8+60\sqrt{8 + \sqrt{60}} ifadesini düzenle.
8+215\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}
A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}}
kuralını uygulayabilmek için
60\sqrt{60}
ifadesi
2152\sqrt{15}
şeklinde yazılmalıdır.
2
Kök dışına çıkarma kuralını uygula.
5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}
Çarpımları 15 (5×35 \times 3), toplamları 8 (5+35 + 3) olan sayılar 5 ve 3'tür. Bu durumda ifade
5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}
olarak kök dışına çıkar.
3
Pay kısmındaki 10+6\sqrt{10} + \sqrt{6} ifadesini ortak çarpan parantezine al.
2(5+3)\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})
Sadeleştirme yapabilmek için pay, payda ile benzer terimler içerecek şekilde çarpanlarına ayrılır.
4
Kesirli ifadeyi sadeleştir ve çıkarma işlemini yap.
2(5+3)5+3−2=2−2=0\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0
Pay ve paydadaki (5+3)(\sqrt{5} + \sqrt{3}) terimleri birbirini götürür, geriye kalan 2\sqrt{2}'den 2\sqrt{2} çıkarılır.

Anahtar Kavram

İç İçe Kökler Kuralı

İpuçları

1
Paydadaki 8+60\sqrt{8 + \sqrt{60}} ifadesini A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} formatına benzetmeye çalışın.
2
60=4×15=215\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} dönüşümünü yapın ve çarpımları 15, toplamları 8 olan iki sayıyı düşünün.
3
Pay kısmındaki 10+6\sqrt{10} + \sqrt{6} ifadesini 2\sqrt{2} ortak parantezine alırsanız, payda ile sadeleşecek bir terim elde edersiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 7−24\sqrt{7 - \sqrt{24}} gibi ifadelerin sadeleştirilmesi üzerine pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Paydadaki ifadenin karesini alıp sonra karekökünü tekrar alarak da ( (x+y)2=x+y+2xy \,(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}\, özdeşliğinden faydalanarak) 5+3\sqrt{5}+\sqrt{3} olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 199Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x−3∣⋅∣x+3∣=∣x−3∣ |x - 3| \cdot |x + 3| = |x - 3|

eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Verilen denklemi sağlayan xx değerlerinin toplamı -3'tür.
Denklemin her iki tarafında bulunan mutlak değerli ifadeyi sıfır yapan x=3x=3 değeri bir köktür. Diğer durumda ifade sadeleştiğinde kalan ∣x+3∣=1|x+3|=1 denklemi ise x=−2x=-2 ve x=−4x=-4 değerlerini verir. Bu üç değerin toplamı olan −3-3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafında ortak olan ∣x−3∣|x - 3| ifadesini incele.
∣x−3∣=0|x - 3| = 0 olduğunda eşitlik sağlanır.
Bir sayının 0 ile çarpımı 0'dır, bu yüzden ∣x−3∣=0|x - 3| = 0 denklemin bir köküdür.
2
∣x−3∣=0|x - 3| = 0 denklemini çöz.
x=3x = 3
Mutlak değeri 0 olan tek sayı 0'dır.
3
∣x−3∣≠0|x - 3| \neq 0 durumu için her iki tarafı ∣x−3∣|x - 3| ile sadeleştir.
∣x+3∣=1|x + 3| = 1
Sıfırdan farklı bir sayıya bölme işlemi yapılarak denklem basitleştirilir.
4
∣x+3∣=1|x + 3| = 1 mutlak değer denklemini iki durum halinde çöz.
x+3=1⇒x=−2x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2 ve x+3=−1⇒x=−4x + 3 = -1 \Rightarrow x = -4
Mutlak değeri 1 olan sayılar 1 ve -1'dir.
5
Bulunan tüm farklı xx değerlerini topla.
3+(−2)+(−4)=−33 + (-2) + (-4) = -3
Soru bizden tüm sağlayan değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir denklemde sadeleştirme yaparken sadeleştirilen ifadenin sıfır olma durumu bir kök olarak alınmalıdır.

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafında aynı çarpanın bulunması, bu çarpanın 0 olduğu durumu bir çözüm adayı yapar.
2
∣x−3∣|x - 3| ifadesini sadeleştirmeden önce x=3x = 3 değerinin denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli ifadelerin çarpımı özelliğini (∣a∣⋅∣b∣=∣a⋅b∣|a| \cdot |b| = |a \cdot b|) kullanarak denklemi ∣x2−9∣=∣x−3∣|x^2 - 9| = |x - 3| şeklinde yazıp çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 200Soru →

Toplam 550 TL; Ali, Burak ve Cem arasında sırasıyla 2 ve 3 ile doğru, 2 ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılmıştır.

Buna göre, en fazla pay alan kişi, en az pay alan kişiden kaç TL fazla almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

En fazla ve en az pay alanlar arasındaki fark 250 TL'dir.
Doğru ve ters orantı mantığı hatasız kurularak k=100k=100 bulunmuş, en yüksek pay (300) ve en düşük pay (50) tespit edilip aradaki farkın 250 olduğu hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru ve ters orantı kurallarını kullanarak her kişinin alacağı payı 'k' orantı sabiti cinsinden ifade et.
Ali: 2k2k, Burak: 3k3k, Cem: k2\frac{k}{2}
Doğru orantıda sayı ile kk çarpılır, ters orantıda kk sayıya bölünür.
2
Payların toplamını 550 TL'ye eşitleyen denklemi kur.
2k+3k+k2=5502k + 3k + \frac{k}{2} = 550
Paranın tamamı dağıtıldığı için payların toplamı ana paraya eşit olmalıdır.
3
Denklemi çözerek orantı sabiti 'k' değerini bul.
5k+k2=550⇒11k2=550⇒11k=1100⇒k=1005k + \frac{k}{2} = 550 \Rightarrow \frac{11k}{2} = 550 \Rightarrow 11k = 1100 \Rightarrow k = 100
Paydaları eşitleyip (veya ondalık kullanarak 5.5k=5505.5k=550) bilinmeyeni yalnız bırakırız.
4
Bulunan 'k' değerini yerine koyarak kişilerin paylarını hesapla.
Ali: 2(100)=2002(100) = 200, Burak: 3(100)=3003(100) = 300, Cem: 1002=50\frac{100}{2} = 50
En büyük ve en küçük payı belirlemek için gerçek değerler gerekir.
5
En fazla pay ile en az pay arasındaki farkı bul.
300−50=250300 - 50 = 250
Soruda istenen nihai sonuç fark değeridir.

Anahtar Kavram

Orantı Problemleri (Doğru ve Ters Orantı)
ÖncekiSayfa 10 / 22Sonraki
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 10 | Examkin