Examkin

Cebir

424 soru

Soru 161Soru →

Bir kamu kurumunda 24.000 TL tutarındaki performans ödemesi, üç personel (A, B ve C) arasında paylaştırılacaktır. Paylaşım kriterleri; personelin gerçekleştirdiği işlem hacmi ile doğru orantılı, yaptığı hata sayısı ile ters orantılı olacak şekilde belirlenmiştir.

Personel verileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personelİşlem HacmiHata Sayısı
A32
B63
C104

Bu bilgilere göre, en az ödeme alan personel kaç TL almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6.000

Cevap

En az ödeme alan personel 6.000 TL almıştır.
Doğru orantı ve ters orantı aynı anda verildiğinde, pay miktarı P=k⋅Dog˘ruTersP = k \cdot \frac{\text{Doğru}}{\text{Ters}} formülüyle bulunur.
A personeli için: 32k=1,5k\frac{3}{2}k = 1,5k
B personeli için: 63k=2k\frac{6}{3}k = 2k
C personeli için: 104k=2,5k\frac{10}{4}k = 2,5k
Toplam: 1,5k+2k+2,5k=6k1,5k + 2k + 2,5k = 6k
6k=24.000⇒k=4.0006k = 24.000 \Rightarrow k = 4.000
En az payı katsayısı en küçük olan A personeli alır: 1,5×4.000=6.0001,5 \times 4.000 = 6.000 TL.

Adım Adım Çözüm

1
Orantı kurallarını belirle
Pay = k * (Doğru Orantı Değeri / Ters Orantı Değeri)
Bileşik orantıda doğru orantılı çokluk paya, ters orantılı çokluk paydaya yazılır.
2
Her personel için pay katsayılarını hesapla
A: k * 3/2 = 1,5k
B: k * 6/3 = 2k
C: k * 10/4 = 2,5k
Tablodaki veriler formüle yerleştirilir.
3
Toplam payı eşitleyerek orantı sabitini (k) bul
1,5k + 2k + 2,5k = 6k
6k = 24.000 TL
k = 4.000 TL
Tüm payların toplamı dağıtılacak tutara eşittir.
4
Her personelin alacağı miktarı hesapla ve en düşüğü bul
A: 1,5 * 4000 = 6.000 TL
B: 2 * 4000 = 8.000 TL
C: 2,5 * 4000 = 10.000 TL
En az: 6.000 TL (A personeli)
Bulunan k değeri her birinin pay denkleminde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı Problemleri

İpuçları

1
Bileşik orantıda; bir sayı A ile doğru, B ile ters orantılı ise bu sayı k⋅ABk \cdot \frac{A}{B} şeklinde ifade edilir.
2
Her personel için I˙s¸lem HacmiHata Sayısı\frac{\text{İşlem Hacmi}}{\text{Hata Sayısı}} oranını hesaplayın ve bunları toplayarak 24.000 TL'ye eşitleyin.
3
Oranlar: A için 3/2 (1.5), B için 6/3 (2), C için 10/4 (2.5). Toplamları 6 birim yapar.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam para yerine sadece bir kişinin aldığı paranın verildiği ve toplamın sorulduğu formatta çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Rasyonel sayılarla uğraşmamak için oranları genişletebilirsiniz. 3/2, 2 ve 5/2 sayılarını 2 ile çarparak 3k, 4k, 5k oranlarını kullanabilirsiniz. Toplam 12k = 24.000 ise k=2.000 olur. En az alan 3k = 6.000 TL olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 162Soru →
xx ve yy sıfırdan küçük gerçel sayılar olmak üzere,
x<y<0 x < y < 0

eşitsizliği veriliyor. Buna göre, z=x+yxz = \frac{x+y}{x} ifadesinin alabileceği değerler için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1<z<21 < z < 2

Cevap

1<z<21 < z < 2 aralığı daima doğrudur.
z=x+yx=1+yxz = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x} olarak parçalandığında, x<y<0x < y < 0 durumu incelenirse ∣x∣>∣y∣|x| > |y| olduğu ve her ikisi de negatif olduğu için yx\frac{y}{x} değerinin 00 ile 11 arasında pozitif bir basit kesir olduğu görülür. Bu değere 11 eklenmesi, zz sayısının kesinlikle 11 ile 22 arasında olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
zz ifadesini terimlerine ayırarak yazın.
z=xx+yx=1+yxz = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}
Değişkenlerin sınırlarını daha kolay inceleyebilmek için ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
x<y<0x < y < 0 eşitsizliğinden yx\frac{y}{x} oranının aralığını bulun.
x<y<0x < y < 0 eşitsizliğinin her tarafı xx (negatif bir sayı) ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir: xx>yx>0x⇒1>yx>0\frac{x}{x} > \frac{y}{x} > \frac{0}{x} \Rightarrow 1 > \frac{y}{x} > 0
Eşitsizliğin her tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmalıdır.
3
Elde edilen yx\frac{y}{x} aralığına 11 ekleyerek zz değerine ulaşın.
0<yx<10 < \frac{y}{x} < 1 olduğuna göre her tarafa 11 eklenirse: 1+0<1+yx<1+1⇒1<z<21+0 < 1+\frac{y}{x} < 1+1 \Rightarrow 1 < z < 2
z=1+yxz = 1 + \frac{y}{x} olduğu için bu adım sonucun tam aralığını verir.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarla bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin parçalanması.

İpuçları

1
İfadeyi z=xx+yxz = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} şeklinde iki parçaya ayırarak incelemeyi deneyin.
2
x<y<0x < y < 0 ise her iki tarafı negatif olan xx sayısına böldüğünüzde eşitsizlik yönünün ne olacağını hatırlayın.
3
1>yx>01 > \frac{y}{x} > 0 olduğunu bulduktan sonra, bu eşitsizliğin her tarafına 11 ekleyerek zz ifadesini oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin işaretlerinin farklı olduğu veya mutlak değer içeren eşitsizlik sorularına göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x=−2x = -2 ve y=−1y = -1 gibi sayısal değerler vererek z=−2−1−2=1,5z = \frac{-2-1}{-2} = 1,5 olduğunu görebilir ve sonucun hangi aralığa düştüğünü kontrol edebilirsiniz. Ancak bu yöntem sadece bir örnek gösterir, kesin ispat için cebirsel çözüm tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 163Soru →

x=(−4)2x = (-4)^2, y=2−2y = 2^{-2} ve z=50z = 5^0 olarak verilmektedir. Buna göre, x⋅y−zx \cdot y - z işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşlemin sonucu 3 olarak bulunur.
Verilen değişkenler hesaplandığında x=16x = 16, y=1/4y = 1/4 ve z=1z = 1 değerleri elde edilir. İşlem sırasına göre önce 1616 ile 1/41/4 çarpılarak 4 sonucu bulunur, ardından bu sonuçtan 1 çıkarıldığında 3 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değerini hesapla
x=(−4)2=(−4)×(−4)=16x = (-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
2
yy değerini hesapla
y=2−2=122=14y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersinin alınacağını ifade eder.
3
zz değerini hesapla
z=50=1z = 5^0 = 1
Sıfırdan farklı tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
4
Değerleri yerine koy ve işlem önceliğine göre çöz
16⋅14−1=4−1=316 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 4 - 1 = 3
Önce çarpma işlemi yapılır, ardından çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda temel tanımlar (negatif taban, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet)

İpuçları

1
Önce x,yx, y ve zz değerlerini ayrı ayrı hesaplayarak işe başlayın.
2
Negatif üssün sayıyı takla attırdığını (ters çevirdiğini) ve sıfırıncı kuvvetin daima 1 olduğunu hatırlayın.
3
Bulduğunuz değerleri denklemde yerine yazın: 16⋅(1/4)−116 \cdot (1/4) - 1. Önce çarpmayı yapmayı unutmayın!

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için negatif tabanlı ve negatif üslü rasyonel sayı işlemlerini çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 164Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşivleme sisteminde dosyalar, kapasitelerine göre üslü sayılarla ifade edilen birimlerle kodlanmaktadır. Sisteme yeni kaydedilen üç farklı belgenin kodları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

BelgeKod (Birim)
A Belgesi(−2)4(-2)^4
B Belgesi2−32^{-3}
C Belgesi202^0

Buna göre, bu üç belgenin kodlarının çarpımı (A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dosya kodlarının değerleri sırasıyla 16, 1/8 ve 1 olduğundan, bu değerlerin çarpımı 2 sonucunu vermektedir.
Verilen kodlar doğru şekilde hesaplandığında A belgesi 16, B belgesi 1/8 ve C belgesi 1 değerini alır. Bu üç değerin çarpımı (16×1/8×116 \times 1/8 \times 1) ise 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
A Belgesinin kodunu hesaplayın
(−2)4=16(-2)^4 = 16
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir ve 2'nin 4. kuvveti 16'dır.
2
B Belgesinin kodunu hesaplayın
2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} kuralı gereği negatif üs, sayıyı rasyonel hale getirir.
3
C Belgesinin kodunu hesaplayın
20=12^0 = 1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
4
Bulunan değerleri birbiriyle çarpın
16⋅18⋅1=216 \cdot \frac{1}{8} \cdot 1 = 2
Bulunan kodların çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde negatif tabanların kuvvetleri, negatif üs kuralı ve sıfırıncı kuvvet tanımı.

İpuçları

1
Parantez içindeki negatif sayıların çift kuvvetlerinin sonucunun işaretine dikkat edin.
2
Negatif üslü bir ifadeyi rasyonel sayıya (a−n=1/ana^{-n} = 1/a^n) dönüştürerek işlem yapın.
3
Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin değerini hatırlayın (20=?2^0 = ?) ve her belgenin değerini bulup çarpın.

Daha Fazla Pratik

Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı olduğunda üslerin toplandığı kuralını pekiştirmek için benzer örnekler çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İfadeleri tek bir tabanda (22 tabanında) yazarak işlemi yapabilirsiniz: 24⋅2−3⋅20=24−3+0=21=22^4 \cdot 2^{-3} \cdot 2^0 = 2^{4-3+0} = 2^1 = 2.
Tahmini Süre:45s
Soru 165Soru →

Bir kamu binasının restorasyon çalışmaları için ayrılan bütçenin 12x212x^2 TL'si malzeme alımına, 16x16x TL'si ise işçilik giderlerine ayrılmıştır.

Buna göre, toplam bütçeyi ifade eden 12x2+16x12x^2 + 16x ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4x(3x+4)4x(3x + 4)

Cevap

Toplam bütçeyi ifade eden 12x2+16x12x^2 + 16x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali 4x(3x+4)4x(3x + 4) şeklindedir.
Ortak çarpan parantezine alma işleminde, her iki terimi de bölen en büyük sayı (4) ve en küçük dereceli ortak değişken (x) parantez dışına alınır. 12x212x^2 terimi 4x4x'e bölündüğünde 3x3x, 16x16x terimi 4x4x'e bölündüğünde 44 kalır. Bu durumda ifade 4x(3x+4)4x(3x + 4) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) belirle.
EBOB(12,16)=4EBOB(12, 16) = 4
Her iki terimi de tam bölen en büyük sayısal çarpanı bulmak gerekir.
2
Değişkenlerin ortak olanlarını belirle.
x2x^2 ve xx terimlerinde ortak çarpan xx'dir.
Değişkenlerin en küçük üssü ortak çarpan olarak belirlenir.
3
İfadeyi ortak çarpan parantezine al.
4x⋅(...+...)4x \cdot (... + ...)
Belirlenen katsayı ve değişken çarpımını parantez dışına yazılır.
4
Parantez içindeki terimleri bölme işlemiyle hesapla.
12x24x=3x\frac{12x^2}{4x} = 3x ve 16x4x=4\frac{16x}{4x} = 4
Orijinal ifadeyi elde etmek için her terim ortak çarpana bölünür.

Anahtar Kavram

Ortak Çarpan Parantezine Alma

İpuçları

1
12 ve 16 sayılarını bölen en büyük sayıyı düşünün.
2
Hem 12 hem de 16 sayıları 4'e tam bölünür. Ayrıca her iki terimde de x değişkeni bulunmaktadır.
3
İfadeyi 4x4x parantezine alın. Parantez içine ise terimlerin 4x4x'e bölümünden kalan sonuçları yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 15a2+10a15a^2 + 10a ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 166Soru →

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki üslü denklemi yazmıştır:

6x+6x+6x3x+3x=96 \frac{6^x + 6^x + 6^x}{3^x + 3^x} = 96

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen denklemde pay kısmı 3 tane 6x6^x ifadesinin toplamı olduğu için 3⋅6x3 \cdot 6^x olarak, payda kısmı ise 2 tane 3x3^x ifadesinin toplamı olduğu için 2⋅3x2 \cdot 3^x olarak yazılır. Bu durumda denklem 3⋅6x2⋅3x=96\frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96 halini alır. 6x3x\frac{6^x}{3^x} ifadesi (63)x(\frac{6}{3})^x kuralından 2x2^x değerine eşittir. Denklem 32⋅2x=96\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96 olarak düzenlendiğinde 2x=642^x = 64 bulunur. 64=2664 = 2^6 olduğundan x=6x = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak düzenleyiniz.
3⋅6x2⋅3x=96 \frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96
Ardışık toplama işlemleri, aynı sayının adediyle çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
2
Kesirli ifadeyi üsleri aynı olan sayıların bölme kuralına göre sadeleştiriniz.
32⋅(63)x=96⇒32⋅2x=96 \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{6}{3}\right)^x = 96 \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot 2^x = 96
axbx=(ab)x \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x
kuralı uygulanarak tabanlar sadeleştirilir.
3
Üslü ifadeyi yalnız bırakmak için katsayıyı eşitliğin karşı tarafına geçiriniz.
2x=96⋅23⇒2x=64 2^x = 96 \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow 2^x = 64
Çarpım durumundaki bir sayı karşı tarafa bölme (tersi) olarak geçer.
4
Elde edilen sayıyı tabanlar aynı olacak şekilde üslü biçimde yazarak bilinmeyeni bulunuz.
2x=26⇒x=6 2^x = 2^6 \Rightarrow x = 6
Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde toplama işlemi ve tabanları farklı üsleri aynı olan ifadelerde bölme kuralı.

İpuçları

1
Denklemin sol tarafındaki pay ve payda kısımlarını çarpma işlemine çevirmeyi deneyin.
2
6x6^x ifadesini 2x⋅3x2^x \cdot 3^x şeklinde parçalayarak paydadaki 3x3^x ile sadeleştirebilirsiniz.
3
Tüm düzenlemelerden sonra elinizde 32⋅2x=96\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96 ifadesi kalmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Üslü denklemlerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini pekiştirmek için benzer yapıda ancak farklı tabanlara sahip sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

6x6^x ifadesi (2⋅3)x=2x⋅3x(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x olarak açılabilir. Bu durumda pay 3⋅2x⋅3x3 \cdot 2^x \cdot 3^x olur. Paydadaki 2⋅3x2 \cdot 3^x ile 3x3^x ifadeleri birbirini götürür. Geriye 3⋅2x2=96\frac{3 \cdot 2^x}{2} = 96 kalır ve buradan daha hızlı bir şekilde sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 167Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her aa ve bb tam sayısı için
aΔb=3a+2b−a⋅ba \Delta b = 3a + 2b - a \cdot b

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, 4Δ24 \Delta 2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İşlem kuralında verilen değerler yerlerine konulduğunda sonuç 8 olarak bulunur.
Verilen işlem kuralında a=4a=4 ve b=2b=2 değerleri yerlerine yazıldığında 3×4+2×2−4×2=12+4−8=83 \times 4 + 2 \times 2 - 4 \times 2 = 12 + 4 - 8 = 8 sonucu elde edilmektedir. Bu, matematiksel işlem önceliğine ve kurala tam uyum sağlayan doğru yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri eşleştirin.
a=4a = 4 ve b=2b = 2
Soru kökündeki 4Δ24 \Delta 2 ifadesinde işlem sembolünün solundaki sayı aa değerini, sağındaki sayı ise bb değerini temsil eder.
2
Değerleri formülde yerlerine yazın.
3(4)+2(2)−(4⋅2)3(4) + 2(2) - (4 \cdot 2)
İşlem kuralı olan 3a+2b−a⋅b3a + 2b - a \cdot b ifadesindeki her bir değişkenin yerine karşılık gelen sayıları yerleştirmeliyiz.
3
Çarpma işlemlerini öncelikli olarak gerçekleştirin.
12+4−812 + 4 - 8
Matematiksel işlemlerde çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.
4
Toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru tamamlayın.
16−8=816 - 8 = 8
Sırasıyla 12+4=1612 + 4 = 16 ve ardından 16−8=816 - 8 = 8 sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen değişkenleri formülde doğru konumlara yerleştirerek işlem önceliği kurallarına göre hesaplama yapmaktır.

İpuçları

1
İşlem sembolünün solundaki 4 sayısını aa, sağındaki 2 sayısını bb harfinin yerine yazarak başlayın.
2
3a3a demek 3×a3 \times a demektir. Önce 3×43 \times 4, 2×22 \times 2 ve 4×24 \times 2 çarpımlarını ayrı ayrı hesaplayın.
3
Çarpımları bulduktan sonra ifade 12+4−812 + 4 - 8 şekline dönüşecektir. Bu son toplama ve çıkarma işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

İşlemde sayıların yerlerini değiştirerek (2Δ42 \Delta 4) sonucun değişip değişmediğini kontrol ederek işlemin değişme özelliği olup olmadığını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 168Soru →
10+152+3+2+6 \frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}}


işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5}

Cevap

Verilen işlemin sonucu 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.
Verilen ifade pay ve payda kısımlarında ortak çarpanlara ayrıldığında (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimleri sadeleşir. Elde edilen 52+1\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} ifadesi, paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile genişletildiğinde sonuç 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
10+15=5(2+3)\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})
Her iki terimde de ortak olan 5\sqrt{5} çarpanı belirlenerek ifade sadeleştirilmeye hazır hale getirilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2+3+2+6=(2+3)+(2⋅2+2⋅3)=(2+3)+2(2+3)=(1+2)(2+3)\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})
2=222 = \sqrt{2}^2 ve 6=23\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3} dönüşümleri yapılarak paydadaki terimler ortak paranteze alınır.
3
Pay ve paydadaki ortak (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimlerini sadeleştirin.
5(2+3)(1+2)(2+3)=51+2\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{2}}
Çarpım durumunda olan aynı ifadeler sadeleşerek ifadenin daha basit bir hal almasını sağlar.
4
Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile çarpın.
5(2−1)(1+2)(2−1)=10−52−1=10−5\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2 - 1} = \sqrt{10} - \sqrt{5}
Paydada köklü ifade bırakmamak için eşlenik çarpımı yapılarak payda rasyonel bir sayıya (1) dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma ve paydayı eşlenik yardımıyla rasyonel hale getirme.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki terimleri daha küçük köklü çarpanlara ayırmayı deneyin.
2
Paydada bulunan 2+62 + \sqrt{6} kısmını 2(2+3)\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) şeklinde yazarak ortak çarpan oluşturabilirsiniz.
3
Gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra paydada kalan köklü ifadeyi rasyonel yapmak için eşleniği ile genişletin.

Daha Fazla Pratik

Gruplandırma yöntemi ve eşlenik çarpımını bir arada kullanan karmaşık köklü sayı soruları ile pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 169Soru →

a<0<ba < 0 < b olmak üzere,

a2+a2−2ab+b2+ba33−b \frac{\sqrt{a^2} + \sqrt{a^2 - 2ab + b^2} + b}{\sqrt[3]{a^3} - b}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

İfadenin sadeleşmiş biçimi -2 değerine eşittir.
Verilen eşitsizlik (a<0<ba < 0 < b) kullanılarak kök dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır. a2=−a\sqrt{a^2} = -a, (a−b)2=b−a\sqrt{(a-b)^2} = b-a ve a33=a\sqrt[3]{a^3} = a olarak bulunur. Yerine yazıldığında pay 2(b−a)2(b-a), payda ise a−ba-b olur. Bu terimler sadeleştiğinde sonuç -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirle.
a<0a < 0 olduğu için aa negatif, b>0b > 0 olduğu için bb pozitiftir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi için işaretlerin bilinmesi gerekir.
2
Pay kısmındaki köklü ifadeleri mutlak değer kuralına göre dışarı çıkar.
a2=∣a∣=−a\sqrt{a^2} = |a| = -a (Çünkü a<0a < 0)
a2−2ab+b2=(a−b)2=∣a−b∣\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a-b)^2} = |a-b|.
a<ba < b olduğundan a−b<0a-b < 0 olur, bu yüzden ∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a-b| = -(a-b) = b-a.
Çift dereceli kökler mutlak değer içinde çıkar: x2n2n=∣x∣\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|.
3
Paydadaki tek dereceli kökü dışarı çıkar.
a33=a\sqrt[3]{a^3} = a.
Tek dereceli köklerde mutlak değer kullanılmaz, sayı işaretini koruyarak çıkar: x2n+12n+1=x\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x.
4
Bulunan değerleri yerine yaz ve ifadeyi düzenle.
Pay: (−a)+(b−a)+b=−2a+2b=2(b−a)(-a) + (b-a) + b = -2a + 2b = 2(b-a).
Payda: a−ba - b.
Cebirsel toplama işlemi yapılır.
5
Kesri sadeleştir.
2(b−a)a−b=2(b−a)−(b−a)=−2\frac{2(b-a)}{a-b} = \frac{2(b-a)}{-(b-a)} = -2
a−ba-b ifadesi −(b−a)-(b-a) ifadesine eşittir, sadeleşince -1 çarpanı gelir.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda çift dereceli köklerin mutlak değer olarak, tek dereceli köklerin ise aynen dışarı çıkması kuralı.

İpuçları

1
Çift dereceli köklerin dışarı mutlak değer içinde çıktığını (x2=∣x∣ \sqrt{x^2} = |x| ) hatırlayınız.
2
a<ba < b olduğu için (a−b)(a-b) ifadesinin işareti negatiftir. Mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirmelidir.
3
Pay kısmını düzenlediğinizde 2(b−a)2(b-a) ifadesini bulmalısınız. Payda ise a−ba-b olur. Bu iki ifade birbirinin ters işaretlisidir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (sadece test tekniği olarak): a=−1a=-1 ve b=2b=2 vererek sonucu kontrol edebilirsiniz. Pay: 1+9+2=1+3+2=6\sqrt{1} + \sqrt{9} + 2 = 1+3+2=6. Payda: −13−2=−1−2=−3\sqrt[3]{-1} - 2 = -1-2=-3. Sonuç: 6/(−3)=−26/(-3) = -2.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 170Soru →
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
a2b+b2a=4(a+b) \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} = 4(a+b)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, ab+ba\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ifadesinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin alabileceği pozitif değer 5'tir.
Verilen denklemde payda eşitlendiğinde a3+b3a^3+b^3 ifadesi elde edilir. Bu ifade (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2-ab+b^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Eşitliğin her iki tarafındaki (a+b)(a+b) çarpanları sadeleştirildiğinde a2−ab+b2=4aba^2-ab+b^2 = 4ab kalır. Buradan a2+b2=5aba^2+b^2 = 5ab bulunur. Sorulan ifade payda eşitlendiğinde a2+b2ab\frac{a^2+b^2}{ab} olduğundan, sonuç 5abab=5\frac{5ab}{ab} = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitlemesi yap.
a3+b3ab=4(a+b)\frac{a^3 + b^3}{ab} = 4(a+b)
Rasyonel ifadeleri toplamak için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenle.
a3+b3=4ab(a+b)a^3 + b^3 = 4ab(a+b)
Bölüm durumundaki ifadeyi çarpım durumuna getirerek denklem çözümünü kolaylaştırmak.
3
İki küp toplamı (a3+b3a^3+b^3) özdeşliğini uygula.
(a+b)(a2−ab+b2)=4ab(a+b)(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 4ab(a+b)
Çarpanlara ayırma yöntemiyle ortak terimleri ortaya çıkarmak.
4
Eşitliğin her iki tarafını (a+b)(a+b) ifadesine böl (Sadeleştirme).
a2−ab+b2=4aba^2 - ab + b^2 = 4ab
İfadenin pozitif değeri sorulduğu için a+b≠0a+b \neq 0 kabul edilir ve sadeleştirme yapılır. (a+b=0a+b=0 durumu negatif sonuç verir).
5
−ab-ab terimini karşı tarafa atarak a2+b2a^2 + b^2 ifadesini yalnız bırak.
a2+b2=5aba^2 + b^2 = 5ab
Sorulan ifadeyi elde etmek için kareler toplamını abab cinsinden yazmak.
6
Sorulan ifadeyi (ab+ba \frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) düzenle ve bulduğun değeri yerine yaz.
a2+b2ab=5abab=5\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5
Sonuca ulaşmak için elde edilen eşitliği kullanmak.

Anahtar Kavram

İki küp toplamı özdeşliği (x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)) ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme.

İpuçları

1
Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek işe başlayın.
2
Payda eşitledikten sonra ortaya çıkan a3+b3a^3 + b^3 ifadesini çarpanlarına ayırın: (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2 - ab + b^2).
3
Eşitliğin her iki tarafındaki (a+b)(a+b) çarpanlarını sadeleştirin ve a2+b2a^2+b^2 ile abab arasındaki ilişkiyi bulun.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi bu tür sorularda zordur ancak a2+b2=kaba^2+b^2=kab formuna ulaştıktan sonra homojen denklem mantığıyla her terimi abab'ye bölerek doğrudan sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 171Soru →

EE evrensel kümesinin iki alt kümesi olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

- s(E)=30s(E) = 30
- s(A′∩B′)=8s(A' \cap B') = 8
- s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4
- s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Verilen oranlar ve evrensel küme verileri kullanıldığında A kümesinin eleman sayısı 16 olarak hesaplanır.
Evrensel kümeden dış bölge çıkarıldığında birleşim kümesi 22 bulunur. Kesişim bölgesi olan 4 çıkarıldığında kalan 18 eleman, 2:12:1 oranında fark kümelerine dağıtılır (1212 ve 66). AA kümesi, kendisine ait olan 12 eleman ile ortak olan 4 elemanın toplamından oluştuğu için sonuç 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.
s(A∪B)=s(E)−s(A′∩B′)=30−8=22s(A \cup B) = s(E) - s(A' \cap B') = 30 - 8 = 22
Evrensel kümeden, hem A hem de B kümesinin dışında kalan elemanlar çıkarıldığında birleşim kümesine ulaşılır.
2
Fark kümeleri toplamını hesaplayın.
s(A∖B)+s(B∖A)=s(A∪B)−s(A∩B)=22−4=18s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = s(A \cup B) - s(A \cap B) = 22 - 4 = 18
Birleşim kümesinden kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarıldığında, sadece A'da olanlar ile sadece B'de olanların toplamı bulunur.
3
Verilen oranı kullanarak bilinmeyenleri bulun.
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x ise 2x+x=18⇒3x=18⇒x=62x + x = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6
s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olarak denkleme yerleştirilir.
4
A kümesinin toplam eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=12+4=16s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 12 + 4 = 16
A kümesinin eleman sayısı, sadece A'da olanlar ile kesişim bölgesindeki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı ve Bölge İşlemleri

İpuçları

1
s(A∪B)s(A \cup B) değerini bulmak için evrensel kümeden dışarıdaki elemanları çıkarın.
2
Birleşim kümesi; A∖BA \setminus B, B∖AB \setminus A ve A∩BA \cap B bölgelerinin toplamıdır.
3
s(B∖A)s(B \setminus A)'ya xx derseniz, s(A∖B)s(A \setminus B) değeri 2x2x olur. 2x+x+4=222x + x + 4 = 22 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Alt küme sayısı ve kartezyen çarpım özellikleri ile ilgili sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere 2x2x, 44 ve xx değerlerini yerleştirip dış bölgeye 88 yazarak s(E)s(E) üzerinden toplamı eşitleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 172Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı x,yx, y ve zz sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x2<xx^2 < x

x⋅z>zx \cdot z > z

x+y<zx + y < z

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y<z<xy < z < x

Cevap

Sayıların doğru sıralanışı y<z<xy < z < x şeklindedir.
Verilen koşullar adım adım incelendiğinde; x2<xx^2 < x koşulu xx'in 0 ile 1 arasında (pozitif) olduğunu gösterir. x⋅z>zx \cdot z > z ifadesi z(x−1)>0z(x-1) > 0 olarak düzenlendiğinde, x−1x-1 negatif olduğu için zz'nin de negatif olması gerektiği bulunur. Son olarak x+y<zx+y < z ifadesinde xx pozitif olduğu için, yy'nin zz'den daha küçük olması gerekir (y<z−xy < z-x). Sonuç olarak sıralama y<z<xy < z < x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2<xx^2 < x eşitsizliğini analiz et.
0<x<10 < x < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, bu sayı 0 ile 1 arasındadır. Bu durumda xx pozitif bir sayıdır.
2
x⋅z>zx \cdot z > z eşitsizliğinde zz'nin işaretini belirle.
z<0z < 0
Eşitsizliği z(x−1)>0z(x - 1) > 0 şeklinde düzenleyelim. 1. adımdan x<1x < 1 olduğunu biliyoruz, bu yüzden (x−1)(x - 1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için zz de negatif olmalıdır.
3
x+y<zx + y < z eşitsizliğini kullanarak yy ve zz arasındaki ilişkiyi bul.
y<zy < z
Eşitsizliği y<z−xy < z - x şeklinde yazabiliriz. zz negatiftir ve xx pozitiftir. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında (z−xz-x), sonuç zz'den daha küçük (daha negatif) olur. Dolayısıyla yy kesinlikle zz'den küçüktür.
4
Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.
y<z<xy < z < x
y<zy < z (ve her ikisi negatif), xx ise pozitiftir (0<x<10 < x < 1). Bu nedenle en büyük sayı xx, en küçük sayı yy'dir.

Anahtar Kavram

Bir sayının karesi kendisinden küçükse sayı (0,1)(0,1) aralığındadır. Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yön değiştirir.

İpuçları

1
Önce x2<xx^2 < x eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının hangi aralıkta olduğunu bulunuz.
2
x⋅z>zx \cdot z > z eşitsizliğinde zz'yi sol tarafa alıp (xz−z>0xz - z > 0) çarpanlarına ayırarak zz'nin işaretini belirleyiniz.
3
zz'nin negatif, xx'in pozitif olduğunu bulduktan sonra, x+y<zx + y < z eşitsizliğinde yy'yi yalnız bırakarak yy ile zz arasındaki büyüklük ilişkisini inceleyiniz.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizliklerde (∣x∣>x|x| > x gibi) işaret incelemesi gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yöntemi: x2<xx^2 < x için x=1/2x = 1/2 seçelim. x⋅z>z⇒z/2>z⇒z/2−z>0⇒−z/2>0⇒z<0x \cdot z > z \Rightarrow z/2 > z \Rightarrow z/2 - z > 0 \Rightarrow -z/2 > 0 \Rightarrow z < 0 olmalı, örneğin z=−2z = -2. x+y<z⇒1/2+y<−2⇒y<−2.5x + y < z \Rightarrow 1/2 + y < -2 \Rightarrow y < -2.5, örneğin y=−3y = -3. Sıralama: −3<−2<1/2-3 < -2 < 1/2 yani y<z<xy < z < x.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 173Soru →

xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,

(−x3)−2⋅(−x−2)3⋅(−x)5(−x2)−3⋅(x−1)4 \frac{(-x^3)^{-2} \cdot (-x^{-2})^3 \cdot (-x)^5}{(-x^2)^{-3} \cdot (x^{-1})^4}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −x3-x^3

Cevap

İfadenin en sade hali −x3-x^3 olarak bulunur.
İşlem adımları takip edildiğinde; pay kısmı x−7x^{-7}, payda kısmı ise −x−10-x^{-10} olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü sonucu −x3-x^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimlerin işaretlerini ve üslerini düzenle.
(−x3)−2→x−6(-x^3)^{-2} \rightarrow x^{-6} (Çift kuvvet pozitiftir)
(−x−2)3→−x−6(-x^{-2})^3 \rightarrow -x^{-6} (Tek kuvvet negatiftir)
(−x)5→−x5(-x)^5 \rightarrow -x^5 (Tek kuvvet negatiftir)
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
2
Pay kısmındaki terimleri çarp.
(x−6)⋅(−x−6)⋅(−x5)=+x−6−6+5=x−7(x^{-6}) \cdot (-x^{-6}) \cdot (-x^5) = +x^{-6-6+5} = x^{-7}
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Tabanlar aynıyken üsler toplanır.
3
Payda kısmındaki terimlerin işaretlerini ve üslerini düzenle.
(−x2)−3→−x−6(-x^2)^{-3} \rightarrow -x^{-6} (Taban −x2-x^2 negatiftir, üs tek olduğu için sonuç negatiftir)
(x−1)4→x−4(x^{-1})^4 \rightarrow x^{-4}
−x2-x^2 ifadesi −(x2)-(x^2) anlamına gelir, bu nedenle negatiftir.
4
Payda kısmındaki terimleri çarp.
(−x−6)⋅(x−4)=−x−10(-x^{-6}) \cdot (x^{-4}) = -x^{-10}
Pozitif ve negatif sayının çarpımı negatiftir. Üsler toplanır: −6+(−4)=−10-6 + (-4) = -10.
5
Payı paydaya bölerek sonucu bul.
x−7−x−10=−x−7−(−10)=−x−7+10=−x3\frac{x^{-7}}{-x^{-10}} = -x^{-7 - (-10)} = -x^{-7+10} = -x^3
Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. İşaret bölümü negatiftir.

Anahtar Kavram

Negatif tabanlı üslü ifadelerde parantez ve kuvvet ilişkisi (tek/çift kuvvet kuralı) ve üslü sayılarda dört işlem.

İpuçları

1
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Parantezin konumu önemlidir: (−x2)(-x^2) negatiftir.
2
Paydaki terimlerin işaretlerini belirleyin: (−x3)−2(-x^3)^{-2} pozitiftir, diğer iki terim negatiftir. Çarpımları pozitif olacaktır.
3
Pay x−7x^{-7}, payda −x−10-x^{-10} çıkar. Bölme işleminde üsleri birbirinden çıkarırken işaretlere dikkat edin: −7−(−10)-7 - (-10).

Daha Fazla Pratik

Benzer işaret kurallarını içeren ancak sayısal değerler (örn: x=-2) verilen bir soru çözülmesi önerilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 174Soru →
Tanımlı olduğu değerler için,
x2+2x+1−y2x+y+1+x2−y2−2y−1x−y−1 \frac{x^2 + 2x + 1 - y^2}{x + y + 1} + \frac{x^2 - y^2 - 2y - 1}{x - y - 1}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x+22x + 2

Cevap

İfadenin en sade hali 2x+22x + 2 sonucudur.
Verilen ifadede terim ekleyip çıkarmak veya gruplandırmak gerekir. İlk kesirde (x+1)2−y2(x+1)^2 - y^2, ikinci kesirde ise x2−(y+1)2x^2 - (y+1)^2 yapıları gizlenmiştir. Bu yapılar iki kare farkı özdeşliği ile açıldığında, paydalarla sadeleşen çarpanlar ortaya çıkar. İlk kısımdan x−y+1x-y+1, ikinci kısımdan x+y+1x+y+1 gelir. Toplamları 2x+22x+2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kesrin payındaki ifadeyi gruplandırarak tam kare özdeşliğini tespit et.
x2+2x+1−y2=(x+1)2−y2x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x+1)^2 - y^2
Dört terimli ifadelerde tam kare (a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2) yapısını görmek çarpanlara ayırmanın temel adımıdır.
2
Birinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.
(x+1−y)(x+1+y)x+y+1=x−y+1\frac{(x+1-y)(x+1+y)}{x+y+1} = x - y + 1
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılarak pay ve payda sadeleştirilir.
3
İkinci kesrin payındaki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare yapısını tespit et.
x2−(y2+2y+1)=x2−(y+1)2x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2
Terimlerin işaretleri negatif olduğunda eksi parantezine almak tam kareyi (y+1y+1)'in karesi olarak görmeyi sağlar.
4
İkinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.
(x−(y+1))(x+(y+1))x−y−1=(x−y−1)(x+y+1)x−y−1=x+y+1\frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{x-y-1} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{x-y-1} = x + y + 1
Sadeleşecek terim (x−y−1)(x-y-1) olarak ortaya çıkar.
5
Bulunan iki sonucu topla.
(x−y+1)+(x+y+1)=2x+2(x - y + 1) + (x + y + 1) = 2x + 2
Sadeleşmiş hallerin toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

İpuçları

1
İfadeleri doğrudan sadeleştirmek zordur. Pay kısımlarında üçlü terimleri gruplandırarak 'tam kare' (a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2) ifadeleri arayın.
2
Birinci payda x2+2x+1x^2+2x+1 kısmını, ikinci payda ise −(y2+2y+1)-(y^2+2y+1) kısmını görmeye çalışın.
3
İfade (x+1)2−y2(x+1)^2 - y^2 ve x2−(y+1)2x^2 - (y+1)^2 şeklindedir. İki kare farkı formülünü a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) uygulayın.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin iç içe geçtiği a2−b2−4a+4ba^2 - b^2 - 4a + 4b gibi dört terimli ifadeleri çarpanlara ayırma soruları çözülmelidir.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi (Test tekniği): Tanımlı olacak şekilde x=2,y=0x=2, y=0 verelim. Birinci kısım: (4+4+1−0)/(2+1)=9/3=3(4+4+1-0)/(2+1) = 9/3 = 3. İkinci kısım: (4−0−0−1)/(2−1)=3/1=3(4-0-0-1)/(2-1) = 3/1 = 3. Toplam = 6. Şıklarda x=2,y=0x=2, y=0 için 6 veren tek seçenek 2x+22x+2'dir (2(2)+2=62(2)+2=6).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 175Soru →
3,61−1,210,04+0,0083 \frac{\sqrt{3,61} - \sqrt{1,21}}{\sqrt{0,04} + \sqrt[3]{0,008}}


işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen işlemde ondalık sayıların karekökleri ve küpkökü doğru hesaplanarak kesir sadeleştirildiğinde sonuç 2 bulunur. Özellikle 3,61=1,9\sqrt{3,61}=1,9 ve 0,0083=0,2\sqrt[3]{0,008}=0,2 dönüşümlerine dikkat edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içindeki ondalık sayıları rasyonel sayıya veya kök dışına çıkabilen ondalık forma dönüştür.
3,61=361100=1910=1,9\sqrt{3,61} = \sqrt{\frac{361}{100}} = \frac{19}{10} = 1,9
ve
1,21=121100=1110=1,1\sqrt{1,21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1,1
Ondalık sayıların karekökünü almak için kesirli ifadeye çevirmek işlemi kolaylaştırır.
2
Paydadaki köklü ifadeleri hesapla.
0,04=0,2\sqrt{0,04} = 0,2
ve
0,0083=0,2\sqrt[3]{0,008} = 0,2
0,2×0,2=0,040,2 \times 0,2 = 0,04
ve
0,2×0,2×0,2=0,0080,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008
olduğu için.
3
Pay ve paydadaki toplama/çıkarma işlemlerini yap.
Pay:
1,9−1,1=0,81,9 - 1,1 = 0,8
; Payda:
0,2+0,2=0,40,2 + 0,2 = 0,4
Bulunan kök dışı değerleri yerine koyarak kesri sadeleştir.
4
Son bölme işlemini gerçekleştir.
0,80,4=2\frac{0,8}{0,4} = 2
Ondalık kesirlerde bölme işlemi.

Anahtar Kavram

Ondalık İfadelerin Kök Dışına Çıkarılması

İpuçları

1
Ondalık sayıları kesirli sayıya çevirerek kök dışına çıkarmayı deneyin (Örn: 3,61=3611003,61 = \frac{361}{100}).
2
361 sayısı 19'un karesidir; 121 sayısı 11'in karesidir.
3
Pay: 1,9−1,11,9 - 1,1. Payda: 0,2+0,20,2 + 0,2. Bu değerleri hesaplayıp oranlayın.

Alternatif Yöntem

Virgülleri en baştan yok sayıp sayıları kök dışına çıkarıp (361=19\sqrt{361}=19 vb.), sonradan virgülden sonraki basamak kuralına göre (karekök için 2->1, küpkök için 3->1) virgülleri yerleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 176Soru →
xx bir gerçel sayı ve yy bir tam sayı olmak üzere,
−4<x≤2-4 < x \leq 2

∣2y+1∣≤9|2y + 1| \leq 9

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, x2−3yx^2 - 3y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 30'dur.
İfadenin en büyük değerini bulmak için x2x^2 terimini maksimize, yy terimini minimize etmeliyiz. xx aralığı −4<x≤2-4 < x \leq 2 olduğundan ve aralık 00'ı kapsadığından, x2x^2 değeri [0,16)[0, 16) aralığındadır (−4-4'ün karesi 16'dır ancak dahil değildir). yy için ∣2y+1∣≤9|2y+1| \leq 9 eşitsizliğinden −5≤y≤4-5 \leq y \leq 4 elde edilir. İfadeyi en büyük yapmak için yy'nin en küçük değeri olan −5-5 seçilir. Bu durumda ifade x2−3(−5)=x2+15x^2 - 3(-5) = x^2 + 15 olur. x2<16x^2 < 16 olduğundan, x2+15<31x^2 + 15 < 31 sonucuna ulaşılır. 31'den küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin karesinin aralığını belirleme
0≤x2<160 \leq x^2 < 16
x∈(−4,2]x \in (-4, 2] aralığında, karesi alınan sayıların en küçüğü 00 (aralıkta 00 bulunduğu için) ve en büyüğü sınır olan −4-4'ün karesine (1616) yaklaşır ancak eşit olamaz.
2
yy tam sayısının çözüm kümesini bulma
−5≤y≤4-5 \leq y \leq 4
∣2y+1∣≤9  ⟹  −9≤2y+1≤9  ⟹  −10≤2y≤8  ⟹  −5≤y≤4|2y + 1| \leq 9 \implies -9 \leq 2y + 1 \leq 9 \implies -10 \leq 2y \leq 8 \implies -5 \leq y \leq 4.
3
İstenen x2−3yx^2 - 3y ifadesini en büyük yapacak değerleri seçme
Maksimum değer için x2x^2 maksimum, yy minimum seçilmelidir.
Bir fark işleminin sonucunu büyütmek için eksilen (x2x^2) büyütülmeli, çıkan (3y3y) küçültülmelidir. yy negatif olduğunda −3y-3y pozitif katkı sağlar.
4
Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama
x2<16x^2 < 16 ve min y=−5y = -5 için ifade <16−3(−5)=31< 16 - 3(-5) = 31. En büyük tam sayı 30.
xx gerçel sayı olduğu için x2x^2, 1616'ya sonsuz yaklaşabilir (örn: 15.99). Bu durumda 15.99−(−15)=30.9915.99 - (-15) = 30.99 olur. Bu değerden küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında kare alma işlemi ve tam sayı kısıtlamalarının birlikte analizi.
Soru 177Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(4x−1)2(4x - 1)^2

ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16x2−8x+116x^2 - 8x + 1

Cevap

İfadenin tam kare açılımı 16x2−8x+116x^2 - 8x + 1 şeklindedir.
İki terim farkının karesi alınırken; birinci terimin karesi (16x216x^2), birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı (−8x-8x) ve ikinci terimin karesi (+1+1) toplanır. Bu kurala tam uygun olan ifade budur.

Adım Adım Çözüm

1
Kullanılacak özdeşliği belirle.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
İfade iki terimin farkının karesi formundadır.
2
Terimleri özdeşlikte yerine koy.
a=4xa = 4x ve b=1b = 1 için: (4x)2−2⋅(4x)⋅1+12(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2
Birinci terim 4x4x, ikinci terim 11 olarak belirlenir.
3
Üslü ve çarpma işlemlerini tamamla.
16x2−8x+116x^2 - 8x + 1
(4x)2=16x2(4x)^2 = 16x^2, 2⋅4x⋅1=8x2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x ve 12=11^2 = 1 olduğu için.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği (İki Terim Farkının Karesi)

İpuçları

1
Bu ifade (a−b)2(a - b)^2 formundadır. Özdeşliği hatırlayın: a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2.
2
Birinci terim olan 4x4x'in karesini alırken hem 44'ün hem de xx'in karesini almayı unutmayın.
3
Orta terim için 2⋅(4x)⋅(1)2 \cdot (4x) \cdot (1) işlemini yapın ve başına eksi işareti koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için (3x+2)2(3x+2)^2 ifadesinin açılımını yapmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 178Soru →

Bir kenar uzunluğu (x+3)(x + 3) birim olan kare şeklindeki bir panonun alanı (x+3)2(x + 3)^2 birimkaredir. Bu panonun alanını veren ifadenin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+6x+9x^2 + 6x + 9

Cevap

Karenin alanını veren özdeş ifade x2+6x+9x^2 + 6x + 9 şeklindedir.
İki terimin toplamının karesi alınırken; birinci terimin karesi (x2x^2), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2⋅x⋅3=6x2 \cdot x \cdot 3 = 6x) ve ikincinin karesi (32=93^2 = 9) toplanır. Bu kural uygulandığında x2+6x+9x^2 + 6x + 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirle.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimin toplamının karesi alınırken bu temel özdeşlik kullanılır.
2
Sorudaki terimleri formüldeki yerlerine yerleştir.
a=xa = x ve b=3b = 3 olsun. Bu durumda: x2+2⋅(x⋅3)+32x^2 + 2 \cdot (x \cdot 3) + 3^2
Değişkenlerin ve sabit sayıların karesini ve çarpımlarını hesaplamak için yerleştirme yapılır.
3
İfadeyi sadeleştirerek nihai sonucu bul.
x2+6x+9x^2 + 6x + 9
2⋅3=62 \cdot 3 = 6 ve 32=93^2 = 9 işlemleri yapılarak en sade biçime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği (Toplamın Karesi)

İpuçları

1
İki terimin toplamının karesini alırken (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 formülünü hatırla.
2
Bu soruda aa yerine xx, bb yerine 33 yazarak işlem yapmalısın.
3
xx'in karesini al, xx ile 33'ü çarpıp iki katını bul ve son olarak 33'ün karesini ekle.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (2x+1)2(2x + 1)^2 ifadesinin açılımını yaparak katsayıların nasıl değiştiğini inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Özdeşliği hatırlamıyorsan (x+3)2(x+3)^2 ifadesini (x+3)⋅(x+3)(x+3) \cdot (x+3) şeklinde yazıp terimleri tek tek birbiriyle çarpabilirsin (dağılma özelliği): x⋅x+x⋅3+3⋅x+3⋅3x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3.
Tahmini Süre:45s
Soru 179Soru →

Üslü sayılar konusunu yeni öğrenen bir öğrenci, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet özelliklerini pekiştirmek için aşağıdaki işlemin sonucunu hesaplamak istemektedir:

(13)−2+50 \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} + 5^0

Buna göre, bu işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemin sonucu 10 olarak bulunur.
Verilen işlemde, bir kesrin negatif kuvveti alındığında kesir ters çevrilir. Bu durumda bir bölü üçün eksi ikinci kuvveti, üçün karesine dönüşür ve 9 değerini alır. Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti ise 1'e eşit olduğundan, 9 ile 1'in toplamı sonucu 10 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
(13)−2 \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} ifadesindeki negatif üssü düzenle.
(31)2=32=9 \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 3^2 = 9
Negatif üs, tabandaki kesrin pay ve paydasının yer değiştirmesini (ters çevrilmesini) sağlar.
2
50 5^0 ifadesinin değerini belirle.
1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti her zaman 1'e eşittir.
3
Elde edilen sonuçları topla.
9+1=10 9 + 1 = 10
Soruda verilen iki terimin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Negatif üs kuralı ((a/b)−n=(b/a)n (a/b)^{-n} = (b/a)^n ) ve sıfırıncı kuvvet kuralı (a0=1 a^0 = 1 ).

İpuçları

1
Üsteki eksi işareti, tabandaki sayıyı ters çevirmen gerektiğini hatırlatır.
2
Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin her zaman özel bir sonucu vardır, 0 değildir.
3
Önce bir bölü üçün eksi ikinci kuvvetini 9 olarak hesapla, sonra buna beşin sıfırıncı kuvveti olan 1'i ekle.

Daha Fazla Pratik

Negatif tabanlı sayıların negatif kuvvetleri üzerine pratik yaparak parantez etkisini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Negatif üssü parçalayarak da düşünebilirsiniz: Önce bir bölü üçün çarpmaya göre tersini alıp 3 bulur, sonra bu sonucun karesini alarak 9'a ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 180Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,

12(x−2x−33)−x+14=x−66 \frac{1}{2} \left( x - \frac{2x-3}{3} \right) - \frac{x+1}{4} = \frac{x-6}{6}


eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Verilen denklemi sağlayan x değeri 5 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 5 değeri, denklemin paydaları eşitlenip parantezler dikkatlice açıldığında elde edilen 3x = 15 eşitliğinden gelmektedir. İşlem adımlarında rasyonel ifadelerin önündeki eksi işaretlerinin pay kısmındaki tüm terimlere dağıtılması kritik önem taşır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki çıkarma işlemini yapmak için payda eşitleyin.
x−2x−33=3x−(2x−3)3=x+33x - \frac{2x-3}{3} = \frac{3x - (2x-3)}{3} = \frac{x+3}{3}
Parantez içindeki ifadeyi tek bir rasyonel sayı haline getirmek işlemleri kolaylaştırır.
2
Elde edilen ifadeyi dıştaki çarpan ile çarpın ve denklemi düzenleyin.
12⋅x+33=x+36\frac{1}{2} \cdot \frac{x+3}{3} = \frac{x+3}{6} olduğu için denklem: x+36−x+14=x−66\frac{x+3}{6} - \frac{x+1}{4} = \frac{x-6}{6} halini alır.
Çarpma işlemini yaparak denklemi rasyonel terimlerin toplamı/farkı biçimine dönüştürüyoruz.
3
Denklemin tüm terimlerinin paydasını 12'de (EKOK) eşitleyin.
2(x+3)−3(x+1)=2(x−6)2(x+3) - 3(x+1) = 2(x-6)
Paydalardan kurtulmak için tüm denklemi ortak payda ile genişletiyoruz.
4
Parantezleri dağıtın ve benzer terimleri sadeleştirin.
2x+6−3x−3=2x−12⇒−x+3=2x−122x + 6 - 3x - 3 = 2x - 12 \Rightarrow -x + 3 = 2x - 12
Bilinmeyenleri bulmak için ifadeyi doğrusal hale getiriyoruz.
5
Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayarak çözüme ulaşın.
3+12=2x+x⇒15=3x⇒x=53 + 12 = 2x + x \Rightarrow 15 = 3x \Rightarrow x = 5
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözüme ulaştırıyoruz.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemlerde rasyonel ifadelerin düzenlenmesi, payda eşitleme ve işaret dağılımı kontrolü.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel katsayılı denklemlerde payda eşitlemeden önce sadeleşebilen terimleri kontrol etmek işlem süresini kısaltabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 9 / 22Sonraki
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 9 | Examkin