Examkin

Cebir

424 soru

Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)−2f(1−x)=3x+1f(x) - 2f(1-x) = 3x + 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Verilen fonksiyonel denklemde uygun değerler yerine yazılarak kurulan sistemin çözümü sonucunda f(2)=−1f(2) = -1 olarak bulunur.
Verilen denklemde xx yerine sırasıyla 2 ve -1 yazıldığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde f(2)f(2) değeri −1-1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 değerini denklemde yerine yazın.
f(2)−2f(1−2)=3(2)+1⇒f(2)−2f(−1)=7f(2) - 2f(1-2) = 3(2) + 1 \Rightarrow f(2) - 2f(-1) = 7
f(2)f(2) değerini içeren ilk denklemi elde etmek için.
2
x=−1x = -1 değerini denklemde yerine yazın.
f(−1)−2f(1−(−1))=3(−1)+1⇒f(−1)−2f(2)=−2f(-1) - 2f(1-(-1)) = 3(-1) + 1 \Rightarrow f(-1) - 2f(2) = -2
f(2)f(2) ve f(−1)f(-1) arasındaki ilişkiyi gösteren ikinci denklemi elde etmek için.
3
Elde edilen iki denklemi bir sistem olarak düzenleyin.
f(2)−2f(−1)=7f(2) - 2f(-1) = 7
−2f(2)+f(−1)=−2-2f(2) + f(-1) = -2
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözümü yöntemini uygulamak için.
4
Yok etme yöntemini kullanarak f(2)f(2) değerini bulun.
İkinci denklem 2 ile çarpılırsa: −4f(2)+2f(−1)=−4-4f(2) + 2f(-1) = -4 olur. İlk denklemle toplandığında: (f(2)−2f(−1))+(−4f(2)+2f(−1))=7+(−4)⇒−3f(2)=3⇒f(2)=−1(f(2) - 2f(-1)) + (-4f(2) + 2f(-1)) = 7 + (-4) \Rightarrow -3f(2) = 3 \Rightarrow f(2) = -1 bulunur.
f(−1)f(-1) terimlerini yok ederek doğrudan istenen değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme ve denklem sistemleri
Soru 22Soru →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde, bilinmeyeni yalnız bırakmak için sabit terimler eşitliğin karşı tarafına işaret değiştirerek geçirilir.

Buna göre, 4x−8=124x - 8 = 12 denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 5 sayısıdır.
Verilen denklemde öncelikle −8-8 ifadesi eşitliğin karşı tarafına +8+8 olarak geçer. Bu durumda 4x=12+84x = 12 + 8 yani 4x=204x = 20 elde edilir. Son olarak, xx değerini bulmak için her iki taraf 44'e bölündüğünde x=5x = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit terimi karşıya atma
4x=12+84x = 12 + 8
Eşitliğin sol tarafındaki −8-8 ifadesi, bilinmeyeni yalnız bırakmak amacıyla karşıya +8+8 olarak geçer.
2
Toplama işlemini yapma
4x=204x = 20
Eşitliğin sağ tarafındaki sabit sayılar toplanarak sadeleştirilir.
3
Her iki tarafı bölme
x=204=5x = \frac{20}{4} = 5
Bilinmeyenin katsayısı olan 4'ten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafı da 4'e bölünür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemlerde terimlerin yer değiştirmesi ve bilinmeyenin katsayısına bölünmesi.

İpuçları

1
xx ifadesini yalnız bırakmak için yanındaki −8-8 sayısından kurtulmanız gerekir.
2
−8-8 sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirirken işaretini ++ yapmayı unutmayın.
3
4x=204x = 20 eşitliğine ulaştığınızda, her iki tarafı 44'e bölerek xx değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 2x+6=142x + 6 = 14 denklemini çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki her terime 88 ekleyerek sol taraftaki −8-8'i yok edebilirsiniz: 4x−8+8=12+8⇒4x=204x - 8 + 8 = 12 + 8 \Rightarrow 4x = 20. Buradan her iki tarafı 44'e bölerek sonuca ulaşırsınız.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x⋅z>0x \cdot z > 0
x⋅y⋅z<0x \cdot y \cdot z < 0
x+y>0x + y > 0
y+z<0y + z < 0

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y<z<xy < z < x

Cevap

y<z<xy < z < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler incelendiğinde; yy'nin negatif, xx ve zz'nin pozitif olduğu görülür. Toplam eşitsizliklerinden x>∣y∣x > |y| ve z<∣y∣z < |y| sonuçları çıkarılır. Bu durum pozitif sayılar arasında z<xz < x sıralamasını, negatif sayı yy'nin ise en küçük olduğunu gösterir (y<z<xy < z < x).

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım eşitsizliklerinden sayıların işaretlerini belirle.
xx ve zz aynı işaretlidir (x⋅z>0x \cdot z > 0). x⋅y⋅z<0x \cdot y \cdot z < 0 olduğundan ve xzxz pozitif olduğundan, yy kesinlikle negatiftir (y<0y < 0).
Üç sayının çarpımı negatif, ikisinin çarpımı pozitifse, kalan sayı negatif olmalıdır.
2
Toplam eşitsizliklerini kullanarak xx ve zz'nin işaretini kesinleştir.
xx ve zz negatiftir varsayımı yapılırsa x+yx+y (iki negatifin toplamı) negatif olurdu. Ancak x+y>0x+y > 0 verildiği için xx pozitif olmak zorundadır. xx ile zz aynı işaretli olduğundan zz de pozitiftir.
İşaret tablosu: x(+),z(+),y(−)x(+), z(+), y(-).
3
yy'nin mutlak değerine göre büyüklük sıralaması yap.
x+y>0⇒x>−yx + y > 0 \Rightarrow x > -y. (Burada −y-y, yy'nin mutlak değeridir, pozitiftir). Yani x>∣y∣x > |y|.
y+z<0⇒z<−yy + z < 0 \Rightarrow z < -y. Yani z<∣y∣z < |y|.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının toplamının işareti, mutlak değeri büyük olanın işaretini alır.
4
Elde edilen tüm bulguları sırala.
z<∣y∣z < |y| ve ∣y∣<x|y| < x olduğundan z<xz < x elde edilir. yy negatif olduğu için en küçüktür.
Sıralama: y<0<z<∣y∣<xy < 0 < z < |y| < x. Sonuç: y<z<xy < z < x.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde İşaret ve Büyüklük Analizi

İpuçları

1
Önce çarpım durumundaki eşitsizlikleri kullanarak x,yx, y ve zz'nin işaretlerini (+ veya -) belirleyin.
2
xx ve zz aynı işaretlidir ve pozitiftirler. yy negatiftir. Toplama işlemlerinde (x+yx+y ve y+zy+z), sayıların mutlak değerleri hakkında ipucu arayın.
3
x+y>0x+y > 0 olması x>−yx > -y (yani x>∣y∣x > |y|) demektir. y+z<0y+z < 0 olması z<−yz < -y (yani z<∣y∣z < |y|) demektir. Bu iki bilgiyi birleştirin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde 00 noktasını, negatif bölgedeki yy noktasını ve pozitif bölgedeki −y-y (yani ∣y∣|y|) noktasını işaretleyin. xx ve zz'yi bu referans noktalarına göre yerleştirerek görsel çözüm yapın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

AA ve BB kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=35s(A \cup B) = 35
* s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
* s(A∩B)s(A \cap B) bir asal sayıdır.

Buna göre, s(B)s(B) değeri en çok kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

B kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük değer 31'dir.
Verilen 3k+p=353k + p = 35 eşitliğinde, s(B)=35−2ks(B) = 35 - 2k fonksiyonunu maksimum yapmak için kk en küçük seçilmelidir. k=1k=1 denenir ancak p=32p=32 asal değildir. k=2k=2 için p=29p=29 asaldır ve bu değer s(B)s(B)'yi maksimum (31) yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayılarını değişkenler cinsinden ifade etme
s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k denirse, verilen eşitlikten s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k olur. Kesişim kümesine s(A∩B)=ps(A \cap B) = p (asal sayı) diyelim.
Bilinmeyenleri azaltarak denklem kurmak için.
2
Birleşim kümesi formülünü kullanarak denklem kurma
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)⇒35=2k+k+p⇒35=3k+ps(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) \Rightarrow 35 = 2k + k + p \Rightarrow 35 = 3k + p
k ve p arasındaki ilişkiyi belirlemek için.
3
s(B) ifadesini k cinsinden yazma ve maksimizasyon analizi
s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=k+ps(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = k + p. Denklemden p=35−3kp = 35 - 3k yazarsak; s(B)=k+(35−3k)=35−2ks(B) = k + (35 - 3k) = 35 - 2k.
s(B)'nin en büyük olması için k'nın en küçük pozitif tam sayı olması gerektiğini görmek için.
4
k değerlerini deneyerek p'nin asal olma şartını sağlama
k=1k=1 için p=35−3(1)=32p = 35 - 3(1) = 32 (Asal değil).
k=2k=2 için p=35−3(2)=29p = 35 - 3(2) = 29 (Asal).
En küçük k=2k=2 değeri şartı sağlar.
Asal sayı şartını sağlayan en küçük k değerini bulmak için.
5
s(B) değerini hesaplama
s(B)=35−2k=35−2(2)=31s(B) = 35 - 2k = 35 - 2(2) = 31.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Kümelerin eleman sayılarını birer bilinmeyen (x,yx, y gibi) ile isimlendirip birleşim formülünü yazmayı deneyin.
2
s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k dersek, s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k olur. Birleşim kümesi denklemini 3k+p=353k + p = 35 şeklinde kurabilirsiniz.
3
s(B)s(B)'nin en büyük olması için kk'nın mümkün olan en küçük değeri alması gerekir. pp'nin asal sayı olduğu en küçük kk değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Kesişim kümesinin boş olmadığı ve birleşim kümesinin sabit olduğu durumlarda s(A)'nın minimum değerini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

s(B)s(B)'yi doğrudan pp cinsinden de yazabiliriz: k=(35−p)/3k = (35-p)/3. s(B)=k+p=(35−p)/3+p=(35+2p)/3s(B) = k+p = (35-p)/3 + p = (35+2p)/3. s(B)s(B)'nin tam sayı olması için 35+2p35+2p 3'e bölünmeli ve s(B)s(B)'nin büyük olması için pp büyük olmalı. En büyük asal pp adaylarını deneyerek (29, 23, 17...) de sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →

Bir sosyal yardım vakfı, ihtiyaç sahibi ailelere dağıtılmak üzere hazırlanan bir miktar gıda kolisini; A, B ve C bölgelerindeki şubelere sırasıyla 22, 33 ve 44 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırmıştır. Vakıf yönetimi daha sonra plan değişikliği yaparak, bu kolileri aynı şubelere sırasıyla 3\sqrt{3}, 12\sqrt{12} ve 27\sqrt{27} sayıları ile doğru orantılı olarak dağıtmaya karar vermiştir. Yapılan bu değişiklik sonucunda B şubesi, ilk planlanan duruma göre 120120 koli daha fazla aldığına göre, dağıtılan toplam gıda kolisi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4680

Cevap

Toplam gıda kolisi sayısı 46804680 olarak hesaplanır.
B şubesinin ilk durumda toplamın 4/134/13'ünü, ikinci durumda ise 1/31/3'ünü aldığı tespit edilir. Bu iki oran arasındaki fark olan 1/391/39 değeri 120120 koliye karşılık geldiği için toplam koli sayısı 39×120=468039 \times 120 = 4680 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantı durumundaki payları belirle.
A, B ve C şubeleri 2,3,42, 3, 4 ile ters orantılı ise paylar 12,13,14\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} ile doğru orantılıdır. Paydalar 1212'de eşitlenirse paylar sırasıyla 6k,4k,3k6k, 4k, 3k olur. Toplam pay 6k+4k+3k=13k6k + 4k + 3k = 13k olur. B şubesi tüm kolilerin 413\frac{4}{13}'ünü alır.
Ters orantı, sayıların çarpmaya göre tersi ile doğru orantılıdır.
2
Doğru orantı durumundaki kareköklü ifadeleri sadeleştir.
3\sqrt{3}, 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3} ve 27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3} ifadeleri sadeleştirildiğinde oranlar 1:2:31 : 2 : 3 olur. Toplam pay 1m+2m+3m=6m1m + 2m + 3m = 6m olur. B şubesi tüm kolilerin 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}'ünü alır.
Kareköklü ifadelerdeki ortak çarpanlar sadeleştirilerek işlem kolaylığı sağlanır.
3
B şubesinin aldığı koli sayısındaki değişimi kullanarak toplam miktarı bul.
Toplam koli sayısı TT olsun. T3−4T13=120\frac{T}{3} - \frac{4T}{13} = 120 denklemi kurulur. Payda eşitlendiğinde 13T−12T39=120⇒T39=120\frac{13T - 12T}{39} = 120 \Rightarrow \frac{T}{39} = 120 olur. Buradan T=39×120=4680T = 39 \times 120 = 4680 bulunur.
İkinci durumdaki pay ile birinci durumdaki pay arasındaki fark, verilen koli artış miktarına eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşik ve parçalı orantı problemlerinde payların toplam içindeki oranını belirlemek için orantı sabitleri kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Farklı orantı türlerinin bir arada kullanıldığı bileşik orantı problemleri çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam koli sayısına hem 1313 hem de 66'nın (ve dolayısıyla 3939'un) katı olan bir değer (39x39x) vererek kesirlerle uğraşmadan denklem kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →
(7−3)⋅(7+3)+−83 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + \sqrt[3]{-8}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Sorudaki işlem iki aşamada çözülür. İlk kısım, (7−3)⋅(7+3)(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) ifadesidir ve bu iki kare farkı özdeşliğidir; sonucu 7−3=47-3=4 olur. İkinci kısım −83\sqrt[3]{-8} ifadesidir ve -2'ye eşittir. Sonuç 4+(−2)=24 + (-2) = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kısım olan (7−3)⋅(7+3)(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) ifadesini iki kare farkı özdeşliği (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 kullanarak hesapla.
(7)2−(3)2=7−3=4(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4
Köklü ifadelerin eşlenik çarpımı kökü ortadan kaldırır.
2
İkinci kısım olan −83\sqrt[3]{-8} ifadesinin değerini bul.
(−2)⋅(−2)⋅(−2)=−8(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 olduğu için −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2
Negatif sayıların tek dereceli kökleri negatiftir.
3
Bulunan sonuçları topla.
4+(−2)=24 + (-2) = 2
İşlem önceliğine göre çarpma yapıldıktan sonra toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı ve Köklü Sayıların Özellikleri
Soru 27Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,

3x+14−x−23=2x+56 \frac{3x + 1}{4} - \frac{x - 2}{3} = \frac{2x + 5}{6}

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
Verilen denklemde paydalar 12'de eşitlenir. Sol tarafta 3 ve 4 ile, sağ tarafta 2 ile genişletme yapılır. Özellikle −(x−2)-(x-2) terimi genişletilirken −4(x−2)=−4x+8-4(x-2) = -4x+8 dönüşümüne dikkat edilmelidir. İşlemler sonucunda 5x+11=4x+105x+11=4x+10 elde edilir ve buradan x=−1x=-1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaları eşitlemek için denklemin her iki tarafını paydaların en küçük ortak katı (EKOK) olan 12 ile genişlet.
12⋅(3x+14−x−23)=12⋅(2x+56) 12 \cdot \left( \frac{3x + 1}{4} - \frac{x - 2}{3} \right) = 12 \cdot \left( \frac{2x + 5}{6} \right)
Kesirli ifadelerden kurtulmak işlemi basitleştirir.
2
Sadeleştirme işlemlerini yap ve katsayıları parantez içine dağıt.
3(3x+1)−4(x−2)=2(2x+5) 3(3x + 1) - 4(x - 2) = 2(2x + 5)
(9x+3)−(4x−8)=4x+10 (9x + 3) - (4x - 8) = 4x + 10
Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği uygulanır.
3
Parantezleri açarken eksi işaretine dikkat ederek ifadeyi düzenle.
9x+3−4x+8=4x+10 9x + 3 - 4x + 8 = 4x + 10
5x+11=4x+10 5x + 11 = 4x + 10
Kesir önündeki eksi işareti, paydaki tüm terimlerin işaretini değiştirir (-4 ile -2'nin çarpımı +8 olur).
4
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayarak xx değerini bul.
5x−4x=10−11 5x - 4x = 10 - 11
x=−1 x = -1
Birinci dereceden denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerin çözümü ve dağılma özelliğinde işaret kontrolü.
Soru 28Soru →

AA ve BB kümeleri ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∣30<x≤240, x=4k, k∈Z}A = \{x \mid 30 < x \le 240, \, x = 4k, \, k \in \mathbb{Z}\}
B={y∣45≤y<300, y=6m, m∈Z}B = \{y \mid 45 \le y < 300, \, y = 6m, \, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

78
İstenen s(A∪B)s(A \cup B) değeri için s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü kullanılır. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülü (Son−I˙lkArtıs¸+1)\left(\frac{\text{Son} - \text{İlk}}{\text{Artış}} + 1\right) ile hesaplanır. s(A)=53s(A)=53, s(B)=42s(B)=42 ve s(A∩B)=17s(A \cap B)=17 bulunduktan sonra işlem yapılarak doğru cevap 78 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin eleman sayısını bulmak için belirtilen aralıktaki 4'ün katlarını belirle.
Aralık (30,240](30, 240]. İlk terim 32, son terim 240. Terim sayısı: 240−324+1=52+1=53\frac{240-32}{4} + 1 = 52 + 1 = 53.
Eşitsizlikte 30 dahil değil, 240 dahildir.
2
B kümesinin eleman sayısını bulmak için belirtilen aralıktaki 6'nın katlarını belirle.
Aralık [45,300)[45, 300). İlk terim 48, son terim 294. Terim sayısı: 294−486+1=41+1=42\frac{294-48}{6} + 1 = 41 + 1 = 42.
Eşitsizlikte 45 dahil, 300 dahil değildir.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (A∩BA \cap B) bulmak için ortak katları (EKOK) ve ortak aralığı belirle.
EKOK(4, 6) = 12. Ortak aralık: [45,240][45, 240]. İlk terim 48, son terim 240. Terim sayısı: 240−4812+1=16+1=17\frac{240-48}{12} + 1 = 16 + 1 = 17.
Kesişim kümesi için alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü alınır.
4
Birleşim kümesi formülünü uygula: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).
53+42−17=7853 + 42 - 17 = 78.
Kesişim bölgesindeki elemanlar her iki kümede de sayıldığı için bir kez çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Terim Sayısı Bulma

İpuçları

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünü kullanmalısınız.
2
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), her iki kümenin ortak katlarını (4 ve 6'nın EKOK'u) ve her iki aralığın kesişim bölgesini içerir.
3
A kümesi için 4'ün katlarını (30-240 aralığı), B kümesi için 6'nın katlarını (45-300 aralığı), kesişim için 12'nin katlarını (45-240 aralığı) sayın. 240'ın A ve kesişim kümesine dahil olduğuna dikkat edin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →
121−64+1 \sqrt{121} - \sqrt{64} + \sqrt{1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen köklü ifadelerin değerleri hesaplanıp toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında sonuç 4 bulunur.
Verilen ifadede 121\sqrt{121} sayısı 11'e, 64\sqrt{64} sayısı 8'e ve 1\sqrt{1} sayısı 1'e eşittir. Bu değerler yerlerine konulduğunda 11−8+111 - 8 + 1 işlemi elde edilir. 11−8=311 - 8 = 3 ve 3+1=43 + 1 = 4 olduğu için doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki tam kare sayıların değerlerini belirleyin.
121=112121 = 11^2, 64=8264 = 8^2 ve 1=121 = 1^2 olduğu için; 121=11\sqrt{121} = 11, 64=8\sqrt{64} = 8 ve 1=1\sqrt{1} = 1 olur.
Karekök işlemi, hangi sayının karesinin kök içindeki sayıya eşit olduğunu bulmamızı sağlar.
2
Bulunan değerleri orijinal ifadede yerlerine yazarak işlemi gerçekleştirin.
11−8+1=3+1=411 - 8 + 1 = 3 + 1 = 4 olur.
İşlem önceliğine göre soldan sağa doğru çıkarma ve toplama işlemleri yapılır.

Anahtar Kavram

Tam kare sayıların karekök dışına çıkarılması

İpuçları

1
Her bir sayının hangi sayının karesi olduğunu düşünün.
2
121\sqrt{121}, 64\sqrt{64} ve 1\sqrt{1} değerlerini ayrı ayrı hesaplayıp yerlerine yazın.
3
1111, 88 ve 11 sayılarını kullanarak işlemi soldan sağa doğru yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 100−49+16\sqrt{100} - \sqrt{49} + \sqrt{16} işlemini yapmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 30Soru →

AA ve BB kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* AA kümesinin alt küme sayısı, BB kümesinin alt küme sayısının 6464 katıdır.
* s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3
* s(A∪B)=19s(A \cup B) = 19

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 14'tür.
Alt küme sayısı 2n2^n olduğundan, bir kümenin alt küme sayısının 64 katına çıkması (262^6), o kümenin eleman sayısının 6 artması demektir. s(A)=s(B)+6s(A) = s(B) + 6 ilişkisi ve birleşim formülü (A∪B=A+B−A∩BA \cup B = A + B - A \cap B) kullanılarak s(A)=14s(A)=14 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Alt küme sayısı ilişkisini eleman sayısı denklemine dönüştür.
2s(A)=64⋅2s(B)⇒2s(A)=26⋅2s(B)⇒s(A)=s(B)+62^{s(A)} = 64 \cdot 2^{s(B)} \Rightarrow 2^{s(A)} = 2^6 \cdot 2^{s(B)} \Rightarrow s(A) = s(B) + 6
Alt küme sayısı 2n2^n formülü ile hesaplanır ve üslü sayı kuralları gereği çarpım durumunda üsler toplanır.
2
Kümelerin birleşim formülünü yaz.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)
Birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.
3
Verilen değerleri ve 1. adımdaki ilişkiyi formülde yerine yaz.
19=(s(B)+6)+s(B)−319 = (s(B) + 6) + s(B) - 3
s(A)s(A) yerine s(B)+6s(B)+6 yazılarak tek bilinmeyenli denklem elde edilir.
4
Denklemi çözerek s(B)s(B) değerini bul.
19=2s(B)+3⇒16=2s(B)⇒s(B)=819 = 2s(B) + 3 \Rightarrow 16 = 2s(B) \Rightarrow s(B) = 8
Bilinmeyen yalnız bırakılarak değer hesaplanır.
5
s(B)s(B) değerini kullanarak s(A)s(A) değerini bul.
s(A)=s(B)+6=8+6=14s(A) = s(B) + 6 = 8 + 6 = 14
Soruda AA kümesinin eleman sayısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Birleşim Formülü

İpuçları

1
Bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur. 64 sayısı 2'nin kaçıncı kuvvetidir?

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek; s(A∩B)=3s(A \cap B)=3 olduğu için kesişim bölgesine 3 yazılır. s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denirse, s(A∖B)=x+6s(A \setminus B) = x+6 olur (çünkü s(A)=s(B)+6s(A)=s(B)+6). Toplam birleşim x+3+(x+6)=19x + 3 + (x+6) = 19 denklemiyle de çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →

A={A,B,C,D,E}A = \{A, B, C, D, E\} kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir.

△\triangleABCDE
ACDEAB
BDEABC
CEABCD
DABCDE
EBCDEA

Buna göre, (x△A)−1△B=C(x \triangle A)^{-1} \triangle B = C eşitliğini sağlayan xx elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
(x−1x^{-1}, xx elemanının △\triangle işlemine göre tersidir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri A'dır.
Verilen tabloya göre işlem birim elemanı D'dir. Denklem adımları takip edildiğinde; önce (x△A)−1(x \triangle A)^{-1} ifadesinin değeri E olarak bulunur. E'nin tersi C olduğu için x△A=Cx \triangle A = C eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan x değeri ise A'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tablodan birim elemanı (etkisiz eleman) belirle.
Birim eleman D'dir (D satırı ve sütunu başlıkları aynen verir).
Ters elemanları bulabilmek için önce birim elemanın bilinmesi gerekir.
2
Eşitlikteki (x△A)−1(x \triangle A)^{-1} ifadesine YY diyerek denklemi basitleştir: Y△B=CY \triangle B = C.
Y = E
Tabloda B sütununda sonucun C olduğu satır E'dir (E△B=CE \triangle B = C).
3
Bulunan Y değerini yerine yaz: (x△A)−1=E(x \triangle A)^{-1} = E. Eşitliğin her iki tarafının tersini alarak parantez içini yalnız bırak.
x△A=E−1x \triangle A = E^{-1}
Bir elemanın tersinin tersi kendisine eşittir mantığıyla x△Ax \triangle A bulunur.
4
E elemanının tersini (E−1E^{-1}) tablodan bul.
E−1=CE^{-1} = C
Tabloda E satırında birim elemanı (D) veren sütun C'dir (E△C=DE \triangle C = D).
5
Son denklemi çöz: x△A=Cx \triangle A = C. Tabloda A sütununda sonucu C olan satırı bul.
x=Ax = A
A satırında A sütunu ile kesişim C değerini verir (A△A=CA \triangle A = C).

Anahtar Kavram

İşlem Tablosu ve Ters Eleman

İpuçları

1
Önce tablodaki birim elemanı bulun. (Hangi eleman işleme girdiğinde diğer elemanı değiştirmemiş?)
2
Denklemi çözmek için parantezli ifadeye geçici bir isim verin (örneğin Y deyin) ve Y△B=CY \triangle B = C eşitliğini sağlayan Y'yi bulun.
3
Bulduğunuz Y değeri (x△A)−1(x \triangle A)^{-1}'e eşittir. Eşitliğin her iki tarafının tersini alarak x'i yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tablo üzerinde değişme özelliği ve yutan eleman kavramlarını inceleyen sorular çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=x−y+2(yΔx)x \Delta y = x - y + 2(y \Delta x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 5Δ25 \Delta 2 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemin sonucu 1'dir.
Verilen işlem tanımı kendi tersini içeren (implisit) bir yapıdadır. 5Δ25 \Delta 2 ifadesini bulmak için x=5,y=2x=5, y=2 yazıldığında karşımıza 2Δ52 \Delta 5 ifadesi çıkar. Bu bilinmeyeni bulmak için de x=2,y=5x=2, y=5 yazılarak ikinci bir denklem elde edilir. Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi (A=3+2BA = 3 + 2B ve B=−3+2AB = -3 + 2A) çözüldüğünde sonuç 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x=5 ve y=2 değerlerini yerine yazarak birinci denklemi oluşturun.
5Δ2=5−2+2(2Δ5)⇒5Δ2=3+2(2Δ5)5 \Delta 2 = 5 - 2 + 2(2 \Delta 5) \Rightarrow 5 \Delta 2 = 3 + 2(2 \Delta 5)
İstenen değeri bulmak için tanımlanan bağıntıyı kullanmalıyız.
2
Eşitlikte bilinmeyen diğer terimi (2 Delta 5) bulmak için x=2 ve y=5 değerlerini yerine yazarak ikinci denklemi oluşturun.
2Δ5=2−5+2(5Δ2)⇒2Δ5=−3+2(5Δ2)2 \Delta 5 = 2 - 5 + 2(5 \Delta 2) \Rightarrow 2 \Delta 5 = -3 + 2(5 \Delta 2)
Birinci denklemdeki bilinmeyeni çözmek için simetrik bir denkleme ihtiyaç vardır.
3
Elde edilen iki denklemi ortak çözmek için değişken ataması yapın (A = 5 Delta 2 ve B = 2 Delta 5) ve yerine koyma metodunu uygulayın.
A=3+2BA = 3 + 2B ve B=−3+2AB = -3 + 2A sistemini çözmeliyiz. A=3+2(−3+2A)A = 3 + 2(-3 + 2A)
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözümü ile sonuca ulaşılır.
4
Denklemi çözerek A değerini bulun.
A=3−6+4A⇒A=−3+4A⇒3=3A⇒A=1A = 3 - 6 + 4A \Rightarrow A = -3 + 4A \Rightarrow 3 = 3A \Rightarrow A = 1
Cebirsel işlemler tamamlanarak istenen sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Denklem Sistemi Kurma

İpuçları

1
İşlem sonucunu bulmak için xx yerine 5, yy yerine 2 yazın. Karşınıza çıkan 2Δ52 \Delta 5 ifadesini bulmak için ne yapabilirsiniz?

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda, ancak xΔy=2x+3y−(yΔx)x \Delta y = 2x + 3y - (y \Delta x) şeklinde tanımlanan ve değişme özelliği olmayan işlem sorularını inceleyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,
x+23−2x−35=1 \frac{x+2}{3} - \frac{2x-3}{5} = 1
denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 4'tür.
Denklem çözülürken paydalar 15'te eşitlenir. Pay kısımları düzenlenirken −3(2x−3)-3(2x-3) ifadesi −6x+9-6x+9 olarak açılır. Oluşan −x+19=15-x+19=15 denkleminden x=4x=4 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaları eşitlemek için birinci kesir 5 ile, ikinci kesir 3 ile genişletilir. Eşitliğin sağındaki 1 sayısı da payda olan 15 ile genişletilir.
5(x+2)15−3(2x−3)15=1515 \frac{5(x+2)}{15} - \frac{3(2x-3)}{15} = \frac{15}{15}
Rasyonel denklemlerde işlem yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Paydalar atılır ve pay kısımlarındaki parantezler dağıtılır. İkinci kesrin önündeki eksi işaretine dikkat edilir.
5x+10−6x+9=15 5x + 10 - 6x + 9 = 15
Eksi işareti parantez içindeki her iki terimin de işaretini değiştirir (-3 çarpı -3 = +9).
3
Benzer terimler toplanır ve x yalnız bırakılır.
−x+19=15  ⟹  −x=15−19  ⟹  −x=−4  ⟹  x=4 -x + 19 = 15 \implies -x = 15 - 19 \implies -x = -4 \implies x = 4
Bilinmeyen değeri bulmak için bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerin çözümünde payda eşitleme ve dağılma özelliğinde işaret kontrolü esastır.
Soru 34Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için,
3x+3y=36 3^x + 3^y = 36
x+y=5 x + y = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, ∣x−y∣|x - y| ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Verilen x+y=5x+y=5 eşitliğinden 3x+y=35=2433^{x+y}=3^5=243 elde edilir. Bu ifade 3x⋅3y=2433^x \cdot 3^y = 243 demektir. Soruda ayrıca 3x+3y=363^x + 3^y = 36 verilmiştir. Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı 27 ve 9'dur. Bu durumda 3x=273^x=27 ise x=3x=3, 3y=93^y=9 ise y=2y=2 olur. İstenen ∣x−y∣|x-y| değeri ∣3−2∣=1|3-2|=1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki ikinci denklemi kullanarak, 3 tabanında çarpım eşitliği oluşturulur.
x+y=5  ⟹  3x+y=35=243 x+y=5 \implies 3^{x+y} = 3^5 = 243
Üslü sayılarda toplama işleminin çarpıma dönüşmesi özelliğini kullanmak için.
2
Elde edilen ifadeyi üslü sayı kuralına göre düzenleriz.
3x⋅3y=243 3^x \cdot 3^y = 243
Tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üsler toplanır kuralının tersini uygulamak.
3
Verilen iki denklemi bir sistem olarak yazarız.
Toplamları 36, çarpımları 243 olan iki sayı aranır: a+b=36 a + b = 36 , a⋅b=243 a \cdot b = 243 (a=3x,b=3ya=3^x, b=3^y)
Soruyu ikinci dereceden denklem kök bulma problemine dönüştürmek.
4
Bu şartı sağlayan sayıları buluruz.
Bu sayılar 27 ve 9'dur. (27+9=3627 + 9 = 36 ve 27⋅9=24327 \cdot 9 = 243)
Denklemi sağlayan 3x3^x ve 3y3^y değerlerini tespit etmek.
5
Bulunan değerleri x ve y'ye eşitler ve farkı hesaplarız.
3x=27  ⟹  x=3 3^x = 27 \implies x=3 ve 3y=9  ⟹  y=2 3^y = 9 \implies y=2 (veya tam tersi). ∣x−y∣=∣3−2∣=1 |x-y| = |3-2| = 1
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üslü Denklemler ve Özdeşlikler

İpuçları

1
x+y=5x+y=5 eşitliğinin her iki tarafının 3 tabanında üssünü alarak 3x3^x ve 3y3^y arasında çarpım ilişkisi kurmaya çalışın.
2
3x+y=3x⋅3y3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y kuralını hatırlayın. Bu durumda 3x⋅3y3^x \cdot 3^y çarpımının değeri 353^5 yani 243 olacaktır.
3
Elinizde a+b=36a+b=36 ve a⋅b=243a \cdot b=243 olan iki denklem var (burada a=3xa=3^x ve b=3yb=3^y). Hangi iki sayının toplamı 36, çarpımı 243 eder?

Daha Fazla Pratik

Toplamları ve kareleri toplamı verilen üslü ifadelerin çarpımını bulmayı gerektiren özdeşlik soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden denklem kurarak çözmek: t2−(Topkam)t+(C\carpım)=0  ⟹  t2−36t+243=0t^2 - (Topkam)t + (Çarpım) = 0 \implies t^2 - 36t + 243 = 0. Bu denklemin kökleri 3x3^x ve 3y3^y değerlerini verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 35Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda bir xx gerçek sayısının alabileceği değerlerin aralığı renkli olarak gösterilmiştir.

Buna göre, sayı doğrusundaki bu aralığı ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2≤x<3-2 \leq x < 3

Cevap

Sayı doğrusunda −2-2 noktasının içi dolu, 33 noktasının içi boş olduğu için doğru eşitsizlik −2≤x<3-2 \leq x < 3 şeklindedir.
Sayı doğrusu üzerinde bir aralık gösterilirken, sınır değerindeki noktanın içi dolu ise o sayı aralığa dahildir (küçük-eşit veya büyük-eşit sembolü kullanılır). Eğer içi boş ise o sayı aralığa dahil değildir (küçüktür veya büyüktür sembolü kullanılır). Verilen görselde −2-2 noktasının içi dolu olduğundan x≥−2x \geq -2 ve 33 noktasının içi boş olduğundan x<3x < 3 şartları sağlanmalıdır. Bu iki durum birleştirildiğinde −2≤x<3-2 \leq x < 3 eşitsizliğine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusundaki sınır değerlerini belirlemek.
Renkli bölgenin −2-2 noktasından başlayıp 33 noktasında bittiği görülür.
Eşitsizliğin hangi sayılar arasında olduğunu anlamak için uç noktalar incelenmelidir.
2
Noktaların içlerinin dolu veya boş olma durumuna göre dahil olma sembollerini seçmek.
−2-2 noktası dolu olduğundan ≤\leq (küçük-eşit) sembolü, 33 noktası boş olduğundan << (küçüktür) sembolü kullanılmalıdır.
Sayı doğrusunda içi dolu nokta o sayının aralığa dahil olduğunu, içi boş nokta ise dahil olmadığını ifade eder.
3
Sınırları ve sembolleri bir araya getirerek eşitsizliği yazmak.
−2≤x<3-2 \leq x < 3 ifadesi elde edilir.
Sol sınır dahil ve sağ sınır hariç olduğu için bu matematiksel gösterim uygundur.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi

İpuçları

1
Sayı doğrusunda işaretli olan uç noktaların (-2 ve 3) içlerinin dolu mu yoksa boş mu olduğuna dikkat edin.
2
İçi dolu nokta o sayının çözüme dahil olduğunu (≤\leq), içi boş nokta ise dahil olmadığını (<<) temsil eder.
3
−2-2 noktasının içi dolu olduğuna göre eşitsizliğin bu tarafında 'küçük-eşit' sembolü, 33 noktasının içi boş olduğuna göre bu tarafta 'küçüktür' sembolü olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Bir eşitsizlik çözüldüğünde bulduğunuz aralığı benzer şekilde sayı doğrusunda çizerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 36Soru →
A=163⋅1255 A = 16^3 \cdot 125^5 sayısı veriliyor. Buna göre, AA sayısı kaç basamaklıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 basamaklıdır
Verilen üslü ifadeler asal çarpanlarına ayrılarak (2 ve 5 tabanında) yazılır. 10 tabanını oluşturmak için üsler eşitlenir (212 2^{12} ve 512 5^{12} ). Geriye kalan 53=125 5^3 = 125 sayısı katsayı olur. 125⋅1012 125 \cdot 10^{12} ifadesi, 125 sayısının sonuna 12 adet sıfır ekleneceğini gösterir. 125 sayısı 3 basamaklıdır, 12 tane de sıfır eklendiğinde toplam 15 basamak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanları asal çarpanlarına ayırarak yazma
16=24 16 = 2^4 ve 125=53 125 = 5^3 olduğundan, A=(24)3⋅(53)5 A = (2^4)^3 \cdot (5^3)^5 şeklinde yazılır.
Üslü ifadelerle işlem yapabilmek için tabanları en sade hale (asal taban) getirmek gerekir.
2
Üssün üssü kuralını uygulama
A=24⋅3⋅53⋅5=212⋅515 A = 2^{4 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 5} = 2^{12} \cdot 5^{15}
(an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} kuralı uygulanır.
3
10 tabanını oluşturmak için ortak üs parantezine alma
515 5^{15} ifadesini 512⋅53 5^{12} \cdot 5^3 olarak ayırırız: A=212⋅512⋅53 A = 2^{12} \cdot 5^{12} \cdot 5^3
10 sayısını elde etmek için 2 ve 5 çarpanlarının üsleri eşitlenmelidir (küçük olan üsse göre).
4
İfadeyi düzenleme ve basamak sayısını bulma
A=(2⋅5)12⋅53=1012⋅125 A = (2 \cdot 5)^{12} \cdot 5^3 = 10^{12} \cdot 125
an⋅bn=(a⋅b)n a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n kuralı uygulanır.
5
Sonucu yorumlama
125⋅1012 125 \cdot 10^{12} sayısı, 125'in yanına 12 tane sıfır eklenmesiyle oluşur. 3 basamak (125) + 12 basamak (sıfırlar) = 15 basamak.
k⋅10n k \cdot 10^n sayısının basamak sayısı, k sayısının basamak sayısı ile n'in toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir sayının basamak sayısını bulmak için sayı A⋅10n A \cdot 10^n formatına getirilir.

İpuçları

1
Sayıları en küçük asal tabanlarında (2 2 ve 5 5 ) yazmayı deneyin.
2
Bir sayının basamak sayısını bulmak için o sayıyı A⋅10n A \cdot 10^n biçiminde ifade etmelisiniz.
3
212⋅515 2^{12} \cdot 5^{15} ifadesinde, üsleri eşitlemek için 515 5^{15} 'i parçalayarak 53⋅512 5^3 \cdot 5^{12} şeklinde yazın ve 10'un kuvvetini oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Sondan kaç basamağı sıfırdır soruları da aynı yöntemle çözülür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde ⋆\star işlemi, her aa ve bb tam sayısı için
a⋆b=5a−3b−2a \star b = 5a - 3b - 2
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, 2⋆32 \star 3 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

Verilen işlem kuralı uygulandığında sonuç −1-1 olarak bulunur.
İşlem tanımına göre aa değişkeni yerine 22, bb değişkeni yerine 33 yazıldığında 5⋅2−3⋅3−25 \cdot 2 - 3 \cdot 3 - 2 ifadesi elde edilir. Bu ifade hesaplandığında 10−9−210 - 9 - 2 işleminden −1-1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemdeki değişkenlerin değerlerini belirleme
a=2a = 2 ve b=3b = 3
2⋆32 \star 3 ifadesinde birinci bileşen aa yerine, ikinci bileşen bb yerine yazılmalıdır.
2
Değerleri formülde yerine yazma
5⋅2−3⋅3−25 \cdot 2 - 3 \cdot 3 - 2
Tanımlanan a⋆b=5a−3b−2a \star b = 5a - 3b - 2 kuralı uygulanır.
3
Çarpma ve çıkarma işlemlerini tamamlama
10−9−2=1−2=−110 - 9 - 2 = 1 - 2 = -1
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar, sonra soldan sağa çıkarma işlemleri yapılır.

Anahtar Kavram

İşlem tanımında değişkenlerin yerine sayısal değerlerin yazılması (yerine koyma)

İpuçları

1
İşlem sorularında sembolün solundaki sayıyı formüldeki ilk değişkenin, sağındaki sayıyı ise ikinci değişkenin yerine yazmalısın.
2
Bu soruda a=2a=2 ve b=3b=3 alarak 5a−3b−25a - 3b - 2 ifadesini yeniden yazmayı dene.
3
10−9−210 - 9 - 2 işlemini yaparken işlem önceliğine dikkat et; önce 10−910-9 işlemini yapıp sonra 22 çıkarmalısın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin yerini değiştirerek 3⋆23 \star 2 işleminin sonucunu bulup değişme özelliğinin olup olmadığını kontrol edebilirsin.

Alternatif Yöntem

İşlemi parçalara ayırarak yapabilirsin: Önce 5a=105a = 10 ve 3b=93b = 9 değerlerini bulup, sonra 10−9−210 - 9 - 2 dizilimini hesaplayabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 38Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan Ahmet, Burak ve Cem'in hizmet süreleri sırasıyla 3, 4 ve 6 yıldır. Kurum tarafından tahsis edilen bir performans ödeneği, bu çalışanların hizmet süreleri ile ters orantılı olarak paylaştırılmıştır.

Eğer bu ödenek, çalışanların hizmet süreleri ile doğru orantılı olarak paylaştırılsaydı, Burak'ın alacağı pay ilk duruma göre 2.500 TL daha az olacaktı.

Buna göre, dağıtılan toplam ödenek kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 97.500

Cevap

Dağıtılan toplam ödenek 97.500 TL'dir.
Toplam paraya T dediğimizde, Burak'ın ters orantıdaki payı T/3, doğru orantıdaki payı ise 4T/13'tür. Soruda bu iki değer arasındaki farkın 2.500 TL olduğu belirtilmiştir. (13T - 12T)/39 = 2.500 denklemi çözüldüğünde T = 97.500 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantı durumunda payları hesapla
Hizmet süreleri 3, 4, 6 ile ters orantılı ise paylar k/3, k/4, k/6 olur. Paydaları 12'de eşitlersek paylar sırasıyla 4p, 3p, 2p olur. Toplam pay sayısı: 4+3+2 = 9p. Burak'ın payı (3p), toplamın 3/9'u yani 1/3'üdür.
Ters orantı mantığını kurarak her kişinin toplamdan alacağı oranı belirlemek için.
2
Doğru orantı durumunda payları hesapla
Hizmet süreleri 3, 4, 6 ile doğru orantılı ise paylar 3m, 4m, 6m olur. Toplam pay sayısı: 3+4+6 = 13m. Burak'ın payı (4m), toplamın 4/13'üdür.
İkinci senaryodaki dağılım oranlarını belirlemek için.
3
İki durum arasındaki fark denklemini kur
Toplam paraya T diyelim. Soruya göre: (Ters Orantı Payı) - (Doğru Orantı Payı) = 2.500 TL. Yani: (1/3)T - (4/13)T = 2.500
Soruda verilen '2.500 TL daha az alacaktı' bilgisini matematiksel eşitliğe dökmek için.
4
Denklemi çöz ve T'yi bul
Paydaları 39'da eşitleyelim: (13/39)T - (12/39)T = 2.500 → (1/39)T = 2.500 → T = 2.500 × 39 = 97.500 TL
Bilinmeyen toplam miktarı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Hem ters hem de doğru orantı içeren problemlerde, her iki durumu da toplam miktar üzerinden kesir (rasyonel sayı) olarak ifade edip denklem kurmak temel stratejidir.

İpuçları

1
Her iki senaryoda da (ters ve doğru orantı) toplam paranın değişmediğini unutmayın. Burak'ın payını toplam para cinsinden kesir olarak yazın.
2
Ters orantı için 3, 4, 6 sayılarının EKOK'unu (12) kullanarak payları 4k, 3k, 2k olarak belirleyebilirsiniz. Doğru orantı için paylar direkt 3m, 4m, 6m olacaktır.
3
Burak'ın payı ilk durumda toplamın 3/9'u (1/3), ikinci durumda toplamın 4/13'üdür. Bu iki kesir arasındaki farkın paraya (2500 TL) eşit olduğu denklemi kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, toplam para verilip kişi başına düşen farkın sorulduğu versiyonla deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam paraya hem 9'un hem 13'ün katı olan bir değer (örneğin 117x) vererek kesirlerle uğraşmadan da çözülebilir. İlk durumda Burak 39x, ikinci durumda 36x alır. Fark 3x = 2500 ise, Toplam 117x = 39 * 2500 olur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 39Soru →
xx gerçel sayısı için,
x4+64x2−4x+8=14x \frac{x^4 + 64}{x^2 - 4x + 8} = 14x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

x değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen ifadenin payı olan x4+64x^4 + 64, terim ekleyip çıkarma yöntemiyle (x2+4x+8)(x2−4x+8)(x^2+4x+8)(x^2-4x+8) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bu işlem sonucunda paydadaki ifade ile sadeleşme gerçekleşir ve geriye x2+4x+8x^2+4x+8 kalır. Bu ifade 14x14x'e eşitlendiğinde x2−10x+8=0x^2-10x+8=0 denklemi elde edilir. Kökler toplamı formülü (−b/a-b/a) uygulandığında cevap 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki x4+64x^4 + 64 ifadesini çarpanlarına ayırmak için terim ekleyip çıkararak tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır.
x4+64=x4+16x2+64−16x2=(x2+8)2−(4x)2x^4 + 64 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2
Bu ifade Sophie Germain özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
2
Elde edilen iki kare farkı ifadesi açılır.
(x2+8−4x)(x2+8+4x)=(x2−4x+8)(x2+4x+8)(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x) = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılır.
3
Kesirli ifade sadeleştirilir.
(x2−4x+8)(x2+4x+8)x2−4x+8=x2+4x+8 \frac{(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)}{x^2 - 4x + 8} = x^2 + 4x + 8
Pay ve paydadaki ortak çarpan olan (x2−4x+8)(x^2 - 4x + 8) sadeleşir.
4
Elde edilen ifade verilen eşitliğin sağ tarafına (14x14x) eşitlenerek ikinci dereceden denklem oluşturulur.
x2+4x+8=14x⇒x2−10x+8=0x^2 + 4x + 8 = 14x \Rightarrow x^2 - 10x + 8 = 0
Denklemin köklerini bulmak veya kökler toplamını hesaplamak için standart forma getirilir.
5
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı hesaplanır.
x1+x2=−ba=−−101=10x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denklemi için kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma (Sophie Germain Özdeşliği)

İpuçları

1
x4+64x^4 + 64 ifadesini çarpanlarına ayırmak için ifadeyi (x2+8)2(x^2+8)^2 tam karesine benzetmeye çalışın.
2
İfadeye 16x216x^2 ekleyip çıkararak iki kare farkı oluşturun: (x2+8)2−(4x)2(x^2+8)^2 - (4x)^2.

Daha Fazla Pratik

x4+4x^4 + 4 ifadesinin çarpanlarını bulmayı deneyerek bu yöntemi pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yaparak x4+64x^4+64 ifadesini x2−4x+8x^2-4x+8 ifadesine bakkal bölmesi yöntemiyle de bölebilirsiniz, ancak bu daha uzun sürer.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 40Soru →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere;
∣a∣=−a |a| = -a
∣b∣=b |b| = b
∣a∣>b |a| > b
c<a c < a
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∣a+b∣+∣b−c∣−∣c−a∣ |a+b| + |b-c| - |c-a|
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2a

Cevap

-2a ifadesi doğrudur.
Verilen koşullara göre aa negatif, bb pozitiftir ve aa'nın mutlak değeri daha büyüktür, bu yüzden a+ba+b negatiftir. Sayı doğrusu sıralaması c<a<0<bc < a < 0 < b şeklindedir. Buna göre mutlak değerler dışarı (−a−b)+(b−c)−(−c+a)(-a-b) + (b-c) - (-c+a) şeklinde çıkarılır. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında bb ve cc terimleri birbirini götürür ve sonuç −2a-2a bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliklerden a ve b sayılarının işaretlerini belirle.
∣a∣=−a|a| = -a olduğundan a<0a < 0 (negatif) olmalıdır. ∣b∣=b|b| = b olduğundan b>0b > 0 (pozitif) olmalıdır.
Mutlak değer içi negatifse eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen çıkar.
2
Sayıların sayı doğrusundaki sıralamasını ve büyüklük ilişkilerini analiz et.
c<a<0<bc < a < 0 < b sıralaması mevcuttur. Ayrıca ∣a∣>b|a| > b bilgisi, a'nın sıfıra olan uzaklığının b'den fazla olduğunu gösterir.
Bu sıralama mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek için gereklidir.
3
Verilen ifadedeki mutlak değerlerin içindeki işaretleri tespit et.
1. ∣a+b∣|a+b|: aa negatif, bb pozitif ama ∣a∣>b|a| > b olduğundan toplam negatiftir (a+b<0a+b < 0).
2. ∣b−c∣|b-c|: bb en sağda, cc en solda olduğundan b>cb > c ve b−c>0b-c > 0 (pozitif).
3. ∣c−a∣|c-a|: c<ac < a olduğundan c−a<0c-a < 0 (negatif).
Mutlak değer dışına çıkarma kuralını uygulamak için işaret tespiti şarttır.
4
Mutlak değerleri işaretlerine göre dışarı çıkar ve sadeleştir.
∣a+b∣=−(a+b)=−a−b|a+b| = -(a+b) = -a-b
∣b−c∣=+(b−c)=b−c|b-c| = +(b-c) = b-c
∣c−a∣=−(c−a)=−c+a|c-a| = -(c-a) = -c+a

Toplam: (−a−b)+(b−c)−(−c+a)(-a-b) + (b-c) - (-c+a)
Negatif ifadeler eksi ile çarpılarak, pozitifler aynen çıkarılır.
5
Cebirsel toplama işlemini tamamla.
−a−b+b−c+c−a=−2a-a - b + b - c + c - a = -2a
Benzer terimler toplanır: b'ler ve c'ler birbirini götürür, geriye -2a kalır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı ve eşitsizliklerde işaret analizi

İpuçları

1
Önce verilen eşitlikleri kullanarak a ve b sayılarının işaretlerini (+ veya -) belirleyiniz.
2
∣a∣>b|a| > b eşitsizliği, a negatif olsa bile sayısal değerinin (sıfıra uzaklığının) b'den büyük olduğunu gösterir. Bu durumda a+ba+b toplamının işareti ne olur?
3
Mutlak değer içindeki ifade negatifse dışarı önüne eksi (-) alarak, pozitifse aynen çıkar. a+b<0a+b < 0, b−c>0b-c > 0 ve c−a<0c-a < 0 bilgisini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde ∣x−2∣<5|x-2| < 5 gibi aralık bulma sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer Verme Yöntemi: Koşulları sağlayan sayılar seçebilirsiniz. Örneğin a=−5,b=3,c=−6a = -5, b = 3, c = -6 olsun. ∣a∣=5,−a=5|a|=5, -a=5 (sağlar), ∣b∣=3|b|=3 (sağlar), 5>35>3 (sağlar), −6<−5-6<-5 (sağlar). İfade: ∣−5+3∣+∣3−(−6)∣−∣−6−(−5)∣=∣−2∣+∣9∣−∣−1∣=2+9−1=10|-5+3| + |3-(-6)| - |-6-(-5)| = |-2| + |9| - |-1| = 2 + 9 - 1 = 10. Seçeneklerde a=−5a=-5 yerine konursa: -2a = -2(-5) = 10. Sonuç doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 22Sonraki
Cebir Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin