Examkin

Cebir

424 soru

Soru 41Soru →

xx ve yy gerçel sayıları için x<0<yx < 0 < y eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,
∣x−y∣+∣x∣−y |x - y| + |x| - y
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2x

Cevap

-2x
Verilen x<0<yx < 0 < y koşuluna göre işaret incelemesi yapıldığında; xx negatiftir, dolayısıyla ∣x∣=−x|x| = -x olur. Ayrıca x−yx - y ifadesi (negatif - pozitif) negatif olacağından ∣x−y∣=−(x−y)=−x+y|x - y| = -(x - y) = -x + y şeklinde çıkar. İfade düzenlendiğinde (−x+y)+(−x)−y(-x + y) + (-x) - y işlemi −2x-2x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliğe göre mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirle.
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için xx negatiftir. Ayrıca küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için (x−yx - y) ifadesi de negatiftir.
Mutlak değer dışına çıkarma kuralını uygulayabilmek için içerinin işareti tespit edilmelidir.
2
Mutlak değer tanımlarını uygula.
∣x−y∣=−(x−y)=−x+y|x - y| = -(x - y) = -x + y ve ∣x∣=−x|x| = -x olarak dışarı çıkar.
Mutlak değer içi negatifse, ifade eksi (-) ile çarpılarak dışarı çıkarılır.
3
Elde edilen terimleri ana ifadede yerine yaz ve sadeleştir.
(−x+y)+(−x)−y=−x+y−x−y=−2x(-x + y) + (-x) - y = -x + y - x - y = -2x
Benzer terimler toplanarak en sade hal bulunur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı: İçerisi negatifse eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen çıkar.

İpuçları

1
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapmadan önce, mutlak değer içindeki ifadelerin işaretini (++ veya −-) belirlemelisiniz.
2
x<0<yx < 0 < y olduğuna göre, xx negatiftir. Ayrıca küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında (x−yx - y) sonuç negatif olur.
3
İçerisi negatif olan bir mutlak değer, dışarı çıkarken önüne eksi (−)(-) alır. Yani ∣x∣=−x|x| = -x ve ∣x−y∣=−(x−y)|x - y| = -(x - y) olacaktır.

Daha Fazla Pratik

İki değişkenin de negatif olduğu (x<y<0x < y < 0) durumlar için benzer sadeleştirme alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek kontrol etme (sadece test tekniği olarak): x=−2x = -2 ve y=3y = 3 seçilirse, ∣−2−3∣+∣−2∣−3=∣−5∣+2−3=5+2−3=4|-2 - 3| + |-2| - 3 = |-5| + 2 - 3 = 5 + 2 - 3 = 4 olur. Seçeneklerde x=−2x = -2 yazıldığında sonucu 4 veren tek seçenek −2x-2x (yani −2(−2)=4-2(-2)=4) şıkkıdır.
Tahmini Süre:45s
Soru 42Soru →

Bir Valilik bünyesinde hizmet veren Açık Kapı birimine bir gün içerisinde yapılan başvurularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* "Sosyal yardım" talepli başvuruların sayısının, "eğitim" talepli başvuruların sayısına oranı 34\frac{3}{4}'tür.
* "Eğitim" talepli başvuruların sayısının, "sağlık" talepli başvuruların sayısına oranı 25\frac{2}{5}'tir.

Bu birime bir günde bu üç kategoriden toplam 510510 başvuru yapıldığına göre, sağlık kategorisindeki başvuru sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Sağlık kategorisindeki başvuru sayısı 300'dür.
Verilen oranlar 'Eğitim' kategorisi üzerinden eşitlendiğinde; Sosyal, Eğitim ve Sağlık kategorilerinin sırasıyla 3k3k, 4k4k ve 10k10k ile orantılı olduğu görülür. Toplam 17k=51017k = 510 olduğu için k=30k = 30 bulunur. Buradan sağlık başvurusu 10×30=30010 \times 30 = 300 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Oranlardaki ortak terimi belirleyip eşitleme yapın.
Sosyal/Eğitim = 3/43/4 ve Eğitim/Sağlık = 2/52/5 oranlarında ortak terim 'Eğitim'dir. İkinci oranı 22 ile genişleterek Eğitim/Sağlık = 4/104/10 elde edilir.
Üç farklı kategoriyi tek bir değişken (k) cinsinden ifade edebilmek için ortak terimin karşısındaki sayıların aynı olması gerekir.
2
Kategorileri değişken cinsinden tanımlayın.
Sosyal Yardım = 3k3k, Eğitim = 4k4k ve Sağlık = 10k10k olarak belirlenir.
Oranlar eşitlendiği için artık tüm değerler aynı kat sayısına (k) bağlanabilir.
3
Toplam başvuru sayısı üzerinden k değerini bulun.
3k+4k+10k=17k=5103k + 4k + 10k = 17k = 510 denkleminden k=30k = 30 bulunur.
Soruda verilen toplam başvuru miktarı, tüm kategorilerin toplamına eşittir.
4
İstenen kategorinin değerini hesaplayın.
Sağlık = 10k=10×30=30010k = 10 \times 30 = 300.
Bulunan kat sayısı, sağlık kategorisi için belirlenen oranla çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı ve Oran Eşitleme

İpuçları

1
Her iki oranda da ortak olan 'Eğitim' kategorisinin karşısındaki sayıları eşitlemeyi deneyin.
2
Eğitim kategorisini her iki durumda da 4 yapabilmek için ikinci oranı 2 ile genişletin.
3
Sosyal: 3k, Eğitim: 4k ve Sağlık: 10k diyerek toplamı 510'a eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Bu sorunun ardından, ters orantı içeren üçlü oran problemlerini inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

E/Sa = 2/5 oranı, E = 0.4 * Sa olarak yazılabilir. S/E = 3/4 oranında E yerine bu ifade yazılarak tüm değerler 'Sa' (Sağlık) cinsinden toplanıp 510'a eşitlenebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 43Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
12(x−x−23)=x+44\frac{1}{2} \left( x - \frac{x-2}{3} \right) = \frac{x+4}{4}
eşitliği veriliyor. Buna göre, bu denklemi sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Verilen denklemi sağlayan x değeri 8'dir.
Doğru yanıt olan 8 değeri, denklemin sol tarafındaki parantez içi işlemler yapılıp 1/2 katsayısı ile çarpıldıktan sonra oluşan (x+1)/3 ifadesinin, (x+4)/4 ifadesine eşitlenmesi ve içler dışlar çarpımı yapılması sonucunda elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki çıkarma işlemini yapmak için payda eşitleyin.
x−x−23=3x−(x−2)3x - \frac{x-2}{3} = \frac{3x - (x-2)}{3}
Parantez içindeki ifadeyi tek bir rasyonel ifade haline getirmek işlemi kolaylaştırır.
2
Eksi işaretini parantez içine dağıtarak payı düzenleyin.
3x−x+23=2x+23\frac{3x - x + 2}{3} = \frac{2x + 2}{3}
Çıkarma işleminde eksi işaretinin parantez içindeki tüm terimlere etki etmesi gerekir.
3
Elde edilen ifadeyi dıştaki 1/2 çarpanı ile çarpın.
12⋅2x+23=2x+26\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2}{3} = \frac{2x + 2}{6}
Denklemin sol tarafındaki çarpan dağıtılır.
4
İfadeyi sadeleştirin.
2(x+1)6=x+13\frac{2(x + 1)}{6} = \frac{x + 1}{3}
Denklemi en sade haliyle çözmek hata payını azaltır.
5
Denklemin yeni halini yazın ve içler dışlar çarpımı yapın.
x+13=x+44⇒4(x+1)=3(x+4)\frac{x + 1}{3} = \frac{x + 4}{4} \Rightarrow 4(x + 1) = 3(x + 4)
Rasyonel denklemleri çözmek için içler dışlar çarpımı yöntemi kullanılır.
6
Çarpma işlemlerini yapın ve x'i yalnız bırakın.
4x+4=3x+12⇒4x−3x=12−4⇒x=84x + 4 = 3x + 12 \Rightarrow 4x - 3x = 12 - 4 \Rightarrow x = 8
Bilinmeyenler bir tarafa, sabit sayılar diğer tarafa toplanarak çözüm bulunur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde rasyonel ifadelerin düzenlenmesi ve içler dışlar çarpımı yoluyla çözüm.

İpuçları

1
Öncelikle parantez içindeki rasyonel ifadeyi tek bir payda altında toplamaya çalışın.
2
Eksi işaretini dağıtırken parantez içindeki tüm terimlerin işaretine dikkat edin.
3
Denklemin her iki tarafında rasyonel birer ifade kaldığında içler dışlar çarpımı yaparak x'i yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde paydasında bilinmeyen bulunan rasyonel denklemleri çözerek becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemin her iki tarafını paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarparak kesirlerden kurtulabilirsiniz: 6 * [x - (x-2)/3] = 3 * (x+4).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 44Soru →
x≠0x \neq 0 olmak üzere, uygun koşullarda tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x)+3f(1x)=4x f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x
eşitliği veriliyor.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −14-\frac{1}{4}

Cevap

İstenen değer −14-\frac{1}{4}'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde xx yerine hem 22 hem de 1/21/2 yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde f(1/2)f(1/2) yok edilerek f(2)f(2) değeri −14-\frac{1}{4} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak birinci denklemi oluşturun.
f(2)+3f(1/2)=4(2)⇒f(2)+3f(1/2)=8f(2) + 3f(1/2) = 4(2) \Rightarrow f(2) + 3f(1/2) = 8
f(2)f(2) değerini içeren bir denklem elde etmek için.
2
Verilen eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
f(1/2)+3f(1/(1/2))=4(1/2)⇒f(1/2)+3f(2)=2f(1/2) + 3f(1/(1/2)) = 4(1/2) \Rightarrow f(1/2) + 3f(2) = 2
Bilinmeyen f(1/2)f(1/2) terimini yok etmek için sisteme ihtiyaç vardır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün. İkinci denklemi −3-3 ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa toplayın.
−3[f(1/2)+3f(2)]=−3(2)⇒−3f(1/2)−9f(2)=−6-3[f(1/2) + 3f(2)] = -3(2) \Rightarrow -3f(1/2) - 9f(2) = -6. Toplama: (f(2)−9f(2))+(3f(1/2)−3f(1/2))=8−6⇒−8f(2)=2(f(2) - 9f(2)) + (3f(1/2) - 3f(1/2)) = 8 - 6 \Rightarrow -8f(2) = 2.
f(1/2)f(1/2) terimlerini yok ederek f(2)f(2)'yi yalnız bırakmak için.
4
f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(2)=2−8=−14f(2) = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}
Sonucu sadeleştirerek bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel Denklemler (Değişken Dönüşümü)

İpuçları

1
Eşitlikte xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) içeren bir denklem elde etmeyi deneyin.
2
Bilinmeyen f(1/2)f(1/2) değerini bulmak veya yok etmek için, eşitlikte xx yerine bu sefer 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi, f(1/2)f(1/2) terimlerini yok edecek şekilde (örneğin ikinci denklemi -3 ile çarparak) taraf tarafa toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda olan ancak f(x)f(x) ve f(−x)f(-x) içeren soruları çözerek değişken dönüşümü pratiği yapın.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için f(x)f(x) fonksiyonunu bulup sonra x=2x=2 yazabilirsiniz. f(x)+3f(1/x)=4xf(x) + 3f(1/x) = 4x ve f(1/x)+3f(x)=4/xf(1/x) + 3f(x) = 4/x sisteminden f(x)=32x−x2f(x) = \frac{3}{2x} - \frac{x}{2} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 45Soru →

Bir belediye, alanı 14x214x^2 metrekare olan bir park alanının 21x21x metrekarelik kısmına çocuk oyun grubu kurmayı planlamaktadır. Buna göre, parkın oyun grubu dışında kalan kısmının alanını metrekare cinsinden ifade eden çarpanlara ayrılmış biçim aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7x(2x−3)7x(2x - 3)

Cevap

Parkın kalan alanını veren ifade 7x(2x−3)7x(2x - 3) şeklindedir.
Verilen 14x2−21x14x^2 - 21x ifadesinde, 1414 ve 2121 sayılarının her ikisi de 77 ile tam bölünür. Ayrıca her iki terimde de en az bir tane xx değişkeni bulunmaktadır. Dolayısıyla ortak çarpan 7x7x olarak belirlenir. Bu çarpan dışarı alındığında 14x2/7x=2x14x^2 / 7x = 2x ve −21x/7x=−3-21x / 7x = -3 değerleri parantez içine yazılır, böylece 7x(2x−3)7x(2x - 3) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan alanı matematiksel olarak ifade edin.
14x2−21x14x^2 - 21x
Toplam alandan (14x214x^2) kullanılan alanın (21x21x) çıkarılması gerekir.
2
Katsayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) belirleyin.
EBOB(14,21)=7EBOB(14, 21) = 7
Her iki terimi de tam bölen en büyük sayıyı dışarı alarak ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
3
Değişkenlerin ortak çarpanını belirleyin.
x2x^2 ve xx terimleri için ortak çarpan xx olur.
Her iki terimde de bulunan değişkenin en küçük üssü ortak çarpan olarak alınır.
4
İfadeyi ortak çarpan parantezine alın.
7x(2x−3)7x(2x - 3)
Dışarı alınan 7x7x çarpanı ile terimlerin bölünmesi sonucu elde edilen değerler (2x2x ve −3-3) parantez içine yazılır.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma, bir ifadedeki her terimi bölen en büyük sayı ve değişkenin parantez dışına çıkarılması işlemidir.

İpuçları

1
Önce 1414 ve 2121 sayılarını tam bölen en büyük sayıyı düşünün.
2
Hem x2x^2 hem de xx ifadesinde ortak olan en büyük değişken çarpanını belirleyin.
3
Bulduğunuz ortak çarpanı (7x7x) parantez dışına yazıp, her bir terimi bu çarpana bölerek parantez içini doldurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 12a2+8a12a^2 + 8a ifadesini ortak çarpan parantezine almayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 46Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
(a+1)x−3x−2=4+bx−5x−2 \frac{(a+1)x - 3}{x - 2} = 4 + \frac{bx - 5}{x - 2}
denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

Buna göre, a−ba - b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

a - b ifadesinin alabileceği değerler 3 ve -2 olup, toplamları 1'dir.
Verilen denklem düzenlendiğinde (a−b−3)x=−10(a-b-3)x = -10 elde edilir. Çözüm kümesinin boş olması için iki ihtimal vardır: 1) x'in katsayısı 0 olur ve eşitlik sağlanamaz (0=−100=-10 çelişkisi). Buradan a−b=3a-b=3 bulunur. 2) x'in katsayısı 0 değildir ancak bulunan x değeri paydayı tanımsız yapan x=2x=2 değeridir. Buradan x=2x=2 için a−b=−2a-b=-2 bulunur. Toplamları 3+(−2)=13+(-2)=1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenle ve x'li terimleri bir araya getir.
Denklem (a−b−3)x=−10(a - b - 3)x = -10 haline gelir (x≠2x \neq 2 şartıyla).
Rasyonel ifadeleri bir tarafa toplayıp paydaları eşitleyerek lineer forma dönüştürmek gerekir.
2
Çözüm kümesinin boş olması için gereken 1. durumu (Katsayı Sıfır) incele.
a−b−3=0⇒a−b=3a - b - 3 = 0 \Rightarrow a - b = 3. Bu durumda 0=−100 = -10 çelişkisi elde edilir, çözüm boştur.
Ax=BAx = B formatındaki bir denklemde A=0A=0 ve B≠0B \neq 0 ise çözüm yoktur.
3
Çözüm kümesinin boş olması için gereken 2. durumu (Tanımsız Kök) incele.
Bulunan kök x=−10a−b−3x = \frac{-10}{a - b - 3} değeri, paydayı sıfır yapan x=2x=2 değerine eşitse çözüm kümesi boştur.
Cebirsel olarak bulunan kök, tanım kümesi dışındaysa (paydayı sıfır yapıyorsa) çözüm kümesine dahil edilemez.
4
İkinci durumdan gelen şartı sağlayan değeri bul.
2=−10a−b−3⇒2(a−b−3)=−10⇒a−b−3=−5⇒a−b=−22 = \frac{-10}{a - b - 3} \Rightarrow 2(a - b - 3) = -10 \Rightarrow a - b - 3 = -5 \Rightarrow a - b = -2.
x yerine 2 yazılarak a-b değeri hesaplanır.
5
Bulunan değerleri topla.
3+(−2)=13 + (-2) = 1.
Soruda a-b'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Rasyonel denklemlerde boş küme, ya x'in katsayısının sıfır olup sabitin sıfırdan farklı olmasıyla ya da bulunan kökün paydayı sıfır yapmasıyla oluşur.

İpuçları

1
Denklemdeki rasyonel ifadeleri yok etmek için eşitliğin her iki tarafını düzenleyerek Ax=BAx = B formuna getirin.
2
Birinci dereceden Ax=BAx = B denkleminin çözümünün olmaması için ya A=0,B≠0A=0, B\neq0 olmalı ya da bulunan xx değeri başlangıçtaki paydayı sıfır yapmalıdır.
3
Denklemi (a−b−3)x=−10(a-b-3)x = -10 haline getirdikten sonra, katsayıyı sıfır yapan değeri ve x=2x=2 (paydayı sıfır yapan değer) koyduğunuzda çıkan değeri hesaplayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 47Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
2x−ax−2+x+1x=3 \frac{2x - a}{x - 2} + \frac{x + 1}{x} = 3
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Denklemin çözüm kümesinin boş olması için ya xx'li terimin katsayısı sıfır olup eşitlik sağlanmamalı (0x=k0x=k) ya da bulunan xx değeri paydayı sıfır yaptığı için atılmalıdır. (5−a)x=2(5-a)x=2 denkleminde a=5a=5 için 0=20=2 çelişkisi doğar (1. değer). Paydayı sıfır yapan x=2x=2 değeri denklemde yerine konduğunda a=4a=4 bulunur (2. değer). Değerler toplamı 5+4=95+4=9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel denklemde paydalar eşitlenerek içler dışlar çarpımı yapılır.
x(2x−a)+(x−2)(x+1)=3x(x−2)x(2x - a) + (x - 2)(x + 1) = 3x(x - 2)
Rasyonel ifadeden kurtulup doğrusal denkleme ulaşmak için.
2
İfade düzenlenerek xx değişkenine bağlı birinci dereceden denklem formatına (Ax=BAx = B) getirilir.
2x2−ax+x2−x−2=3x2−6x2x^2 - ax + x^2 - x - 2 = 3x^2 - 6x ⇒\Rightarrow 3x2−(a+1)x−2=3x2−6x3x^2 - (a+1)x - 2 = 3x^2 - 6x ⇒\Rightarrow (5−a)x=2(5-a)x = 2
Çözüm kümesini analiz edebilmek için xx yalnız bırakılmalı veya katsayısı incelenmelidir.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 1. durumu (Katsayı sıfır, sonuç imkansız) incele.
5−a=0⇒a=55-a = 0 \Rightarrow a = 5. Bu durumda 0=20 = 2 çelişkisi elde edilir, çözüm yoktur.
0x=k0x = k (k≠0k\neq0) durumu çözüm kümesini boş yapar.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 2. durumu (Bulunan kökün paydayı tanımsız yapması) incele.
Paydayı 0 yapan değerler x=0x=0 ve x=2x=2'dir. Denklemde yerine koyarsak: x=2x=2 için (5−a)⋅2=2⇒5−a=1⇒a=4(5-a)\cdot 2 = 2 \Rightarrow 5-a=1 \Rightarrow a=4. (x=0x=0 için 0=20=2 imkansızdır, çözüm gelmez).
Cebirsel olarak bulunan kök, orijinal denklemin paydasını 0 yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilemez.
5
Bulunan aa değerlerini topla.
5+4=95 + 4 = 9
Soruda aa'nın alabileceği değerler toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Rasyonel denklemlerin çözüm kümesi boş ise iki durum vardır: 1) Değişkenin katsayısı sıfırdır ve çelişki oluşur. 2) Bulunan kök paydayı tanımsız yaptığı için çözüm kümesinden çıkarılır.
Soru 48Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3<x≤4-3 < x \leq 4
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, x2−4x−5x^2 - 4x - 5 ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−9,16)[-9, 16)

Cevap

[−9,16)[-9, 16) aralığıdır.
İkinci dereceden x2−4x−5x^2 - 4x - 5 ifadesi bir parabol belirtir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası olan x=2x=2'de −9-9 olarak bulunur. x=2x=2 değeri verilen (−3,4](-3, 4] aralığında olduğundan, alt sınır −9-9 olur. Üst sınır için uç noktalar kontrol edilir; x=−3x=-3 için değer 1616 çıkar ancak xx −3-3'e eşit olamadığı için 1616 dahil edilmez. x=4x=4 için değer −5-5 çıkar. Dolayısıyla ifade [−9,16)[-9, 16) aralığında değer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi analiz et ve tam kareye tamamla.
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 ifadesi, f(x)=(x−2)2−9f(x) = (x-2)^2 - 9 şeklinde yazılabilir.
İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği en küçük veya en büyük değeri bulmak için tepe noktasını görmek gerekir.
2
Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol et.
Tepe noktası apsisi x=2x=2'dir. Verilen aralık −3<x≤4-3 < x \leq 4 olduğu için, 22 bu aralığın içindedir.
Eğer tepe noktası aralıktaysa, fonksiyonun alabileceği minimum veya maksimum değer tepe noktasında oluşur.
3
Tepe noktasındaki ve sınır noktalardaki değerleri hesapla.
x=2x=2 için f(2)=−9f(2) = -9 (Minimum, dahil).
Sınırlar:
x=−3x=-3 için f(−3)=(−3)2−4(−3)−5=9+12−5=16f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 (Dahil değil).
x=4x=4 için f(4)=42−4(4)−5=16−16−5=−5f(4) = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 (Dahil).
Aralığın uç noktalarını ve tepe noktasını kıyaslayarak en geniş aralığı belirlemek için.
4
Bulunan değerlere göre en geniş aralığı yaz.
Minimum değer −9-9 (dahil), maksimum değer 1616'ya yaklaşır (dahil değil). Aralık [−9,16)[-9, 16) olur.
Sonuç kümesini matematiksel aralık gösterimiyle ifade etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Eşitsizliklerde Değer Aralığı ve Tepe Noktası Analizi

İpuçları

1
İfadeyi (x−a)2+b(x-a)^2 + b şeklinde tam kareye tamamlamayı deneyin veya parabolün tepe noktasını düşünün.
2
Tepe noktası r=−b/2ar = -b/2a formülüyle bulunur. Bu noktanın verilen aralığın içinde olup olmadığını kontrol ettiniz mi?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu xx tam sayı kısıtlaması altında çözerek farkı inceleyin.

Alternatif Yöntem

Türev kullanarak ekstremum noktayı bulmak: f′(x)=2x−4=0⇒x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2. 2∈(−3,4]2 \in (-3, 4] olduğu için minimum değer burada alınır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 49Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x4+64x2+4x+8−x2+4x \frac{x^4 + 64}{x^2 + 4x + 8} - x^2 + 4x
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin en sade hâli 8 sayısıdır.
Verilen rasyonel ifadenin payı olan x4+64x^4 + 64 ifadesi, 16x216x^2 eklenip çıkarılarak (x2+8)2−(4x)2(x^2+8)^2 - (4x)^2 biçimine dönüştürülür. İki kare farkı ile çarpanlarına ayrıldığında (x2−4x+8)(x2+4x+8)(x^2-4x+8)(x^2+4x+8) elde edilir. Paydadaki terimle sadeleşme sonrası kalan x2−4x+8x^2-4x+8 ifadesi, dışarıdaki −x2+4x-x^2+4x ile toplandığında tüm değişkenler birbirini yok eder ve sonuç sabit bir değer olan 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x4+64x^4 + 64 ifadesini tam kareye tamamlamak için gerekli terimi belirleme
x4=(x2)2x^4 = (x^2)^2 ve 64=8264 = 8^2 olduğundan, ifadenin (x2+8)2(x^2+8)^2 olabilmesi için 2⋅x2⋅8=16x22 \cdot x^2 \cdot 8 = 16x^2 terimi gereklidir.
İfadeyi tam kare farkı biçimine getirebilmek için uygun bir terim ekleyip çıkarmak gerekir (Sophie Germain Özdeşliği).
2
16x216x^2 terimini ekleyip çıkarma ve gruplandırma
x4+16x2+64−16x2=(x2+8)2−(4x)2x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2+8)^2 - (4x)^2
Tam kare ifade elde edildikten sonra dışarıda kalan terimin de bir tam kare olması, iki kare farkı uygulanmasını sağlar.
3
İki kare farkı özdeşliğini uygulama
(x2+8−4x)(x2+8+4x)(x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) kuralı kullanılarak pay kısmı çarpanlarına ayrılır.
4
Rasyonel ifadeyi sadeleştirme
(x2−4x+8)(x2+4x+8)x2+4x+8=x2−4x+8 \frac{(x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)}{x^2 + 4x + 8} = x^2 - 4x + 8
Pay ve paydadaki ortak olan (x2+4x+8)(x^2 + 4x + 8) terimleri sadeleşir.
5
Kalan terimler ile çıkarma işlemini tamamlama
(x2−4x+8)−x2+4x=8(x^2 - 4x + 8) - x^2 + 4x = 8
x2−x2x^2 - x^2 ve −4x+4x-4x + 4x terimleri birbirini sıfırlar, geriye sadece sabit terim kalır.

Anahtar Kavram

Tam kareye tamamlama yöntemi ve iki kare farkı özdeşliği (Sophie Germain Özdeşliği)
Soru 50Soru →
A=7+43−33 A = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}}
B=−273+∣1−3∣ B = \sqrt[3]{-27} + |1 - \sqrt{3}|
olduğuna göre, A+BA + B toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3−2\sqrt{3} - 2

Cevap

İşlemin sonucu 3−2\sqrt{3} - 2 olarak bulunur.
Soruda verilen A ve B ifadeleri ayrı ayrı düzenlenir. A ifadesinde iç içe kök kuralı (7+212=2+3\sqrt{7+2\sqrt{12}}=2+\sqrt{3}) ve payda rasyonelleştirme uygulanarak A=2 bulunur. B ifadesinde küp kök dışına çıkarma ve mutlak değer incelemesi yapılarak B=3−4\sqrt{3}-4 bulunur. Toplamları 3−2\sqrt{3}-2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
A ifadesindeki iç içe kökü düzenleyelim.
7+43=7+212\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} biçimine getirilir. Çarpımları 12, toplamları 7 olan sayılar 4 ve 3'tür. O halde 4+3=2+3\sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} olur.
x+2y\sqrt{x + 2\sqrt{y}} kuralını uygulamak için kök önündeki katsayı 2 yapılmalıdır.
2
A ifadesindeki kesirli kısmı eşlenik ile çarpalım.
33=333=3\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} olur.
Paydadaki köklü ifadeyi rasyonel yapmak için pay ve payda 3\sqrt{3} ile çarpılır.
3
A değerini hesaplayalım.
A=(2+3)−3=2A = (2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 2 bulunur.
Bulunan terimler yerine yazılır.
4
B ifadesindeki küp kökü hesaplayalım.
−273=−3\sqrt[3]{-27} = -3 olur.
Tek dereceli köklerde içerisi negatif ise sonuç negatif olur ((−3)3=−27(-3)^3 = -27).
5
B ifadesindeki mutlak değeri açalım.
1<31 < \sqrt{3} olduğundan 1−31 - \sqrt{3} negatiftir. Dışarıya −(1−3)=3−1 -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 olarak çıkar.
Mutlak değer içi negatifse eksi ile çarpılarak çıkar.
6
B değerini hesaplayalım.
B=−3+(3−1)=3−4B = -3 + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} - 4 bulunur.
Terimler toplanır.
7
A ve B değerlerini toplayalım.
A+B=2+(3−4)=3−2A + B = 2 + (\sqrt{3} - 4) = \sqrt{3} - 2 sonucuna ulaşılır.
Sonuç için iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda iç içe kökler, eşlenik ve mutlak değer kavramlarının birlikte kullanımı.
Soru 51Soru →
Uygun koşullarda tanımlı ff ve gg fonksiyonları için;
f(x+1x−2)=3x−1f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = 3x - 1
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a
eşitlikleri veriliyor.

(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Verilen eşitlikler ve ters fonksiyon özellikleri kullanılarak a'nın değeri -8 olarak bulunur.
Sorunun çözümü için öncelikle (f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesi f(2)=g(3)f(2) = g(3) eşitliğine dönüştürülmelidir. Daha sonra fonksiyonların tanımları kullanılarak ilgili değerler hesaplanır. f(2)f(2)'yi bulmak için fonksiyonun içindeki x+1x−2\frac{x+1}{x-2} ifadesini 2 yapan xx değeri (x=5x=5) bulunup yerine yazıldığında f(2)=14f(2)=14 elde edilir. g(3)=6−ag(3)=6-a olduğundan, 14=6−a14=6-a denkleminden doğru cevap -8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon ve ters fonksiyon özelliğini kullanma
f(2) = g(3)
(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesi f−1(g(3))=2f^{-1}(g(3)) = 2 demektir. Ters fonksiyonun tanımı gereği bu ifade f(2)=g(3)f(2) = g(3) eşitliğine denktir.
2
g(3) değerini hesaplama
g(3) = 6 - a
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a fonksiyonunda x yerine 3 yazılır: 2(3)−a=6−a2(3) - a = 6 - a.
3
f(2) değerini bulmak için uygun x değerini belirleme
x = 5
f(x+1x−2)f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) ifadesinin içinin 2 olması gerekir. x+1x−2=2⇒x+1=2(x−2)⇒x+1=2x−4⇒x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \Rightarrow x+1 = 2(x-2) \Rightarrow x+1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5.
4
f(2) değerini hesaplama
f(2) = 14
Bulunan x=5x=5 değeri f fonksiyonunun kuralında (3x−13x-1) yerine yazılır: f(2)=3(5)−1=14f(2) = 3(5) - 1 = 14.
5
Bulunan değerleri eşitleyip a'yı çözme
a = -8
f(2)=g(3)f(2) = g(3) olduğundan 14=6−a14 = 6 - a denklemi elde edilir. Buradan a=6−14=−8a = 6 - 14 = -8 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon İlişkisi

İpuçları

1
(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesini, ters fonksiyonun temel özelliğini kullanarak f(2)=g(3)f(2) = g(3) şeklinde yazmayı deneyin.
2
f(2)f(2) değerini bulmak için, ff fonksiyonunun parantez içindeki x+1x−2\frac{x+1}{x-2} ifadesini 2'ye eşitleyen xx değerini bulmanız gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 52Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi, mm pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
x⋆y=2xy−mx−my+15x \star y = 2xy - mx - my + 15
biçiminde tanımlanıyor.

Bu işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunduğuna göre, 4 sayısının ⋆\star işlemine göre tersi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

4 sayısının tersi 8/3'tür.
İşlemin birim elemanı ee olmak üzere, her xx için x⋆e=xx \star e = x eşitliği sağlanmalıdır. İşlem denkleminde x(2e−m−1)+(15−me)=0x(2e - m - 1) + (15 - me) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her xx için sağlanması katsayıların sıfır olmasını gerektirir: 2e=m+12e = m+1 ve me=15me = 15. Bu sistem çözüldüğünde pozitif m=5m=5 ve buna bağlı e=3e=3 bulunur. 4 sayısının tersi yy olsun; 4⋆y=34 \star y = 3 eşitliği çözüldüğünde 8y−20−5y+15=3⇒3y−5=3⇒3y=8⇒y=8/38y - 20 - 5y + 15 = 3 \Rightarrow 3y - 5 = 3 \Rightarrow 3y = 8 \Rightarrow y = 8/3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birim eleman (e) tanımını kullanarak m değerini bulmak için denklem kurma.
x⋆e=x⇒x(2e−m−1)+(15−me)=0x \star e = x \Rightarrow x(2e - m - 1) + (15 - me) = 0. Buradan 2e=m+12e = m+1 ve me=15me = 15 elde edilir.
Birim eleman özelliği (x⋆e=xx \star e = x), xx'e bağlı olmayan bir eşitlik sağlamalıdır.
2
Elde edilen denklem sistemini çözerek pozitif m değerini bulma.
e=m+12e = \frac{m+1}{2} ifadesini me=15me=15'te yerine yazarsak m(m+1)=30⇒m2+m−30=0m(m+1)=30 \Rightarrow m^2+m-30=0. Pozitif kök m=5m=5'tir.
Soruda m'nin pozitif olduğu belirtilmiştir.
3
Birim elemanı (e) hesaplama.
m=5m=5 ise e=5+12=3e = \frac{5+1}{2} = 3.
Ters eleman hesabında birim elemana ihtiyaç vardır (a⋆a−1=ea \star a^{-1} = e).
4
4 sayısının tersini (x−1x^{-1}) bulma.
4⋆x−1=3⇒2(4)(x−1)−5(4)−5(x−1)+15=34 \star x^{-1} = 3 \Rightarrow 2(4)(x^{-1}) - 5(4) - 5(x^{-1}) + 15 = 3. Denklemden 3x−1=8⇒x−1=8/33x^{-1} = 8 \Rightarrow x^{-1} = 8/3.
Bir sayının tersi ile işleme girmesi birim elemanı vermelidir.

Anahtar Kavram

İşlemde Birim ve Ters Eleman İlişkisi

İpuçları

1
Bir işlemin birim elemanı ee ise, her xx sayısı için x⋆e=xx \star e = x eşitliği sağlanmalıdır. Bu tanımı kullanarak mm ve ee arasındaki ilişkiyi bulun.
2
x⋆e=2xe−mx−me+15=xx \star e = 2xe - mx - me + 15 = x denklemini düzenleyerek x(2e−m−1)+(15−me)=0x(2e - m - 1) + (15 - me) = 0 elde edin. Bu ifadenin her xx için 0 olması için parantez içlerinin 0 olması gerekir.
3
m=5m=5 ve birim eleman e=3e=3 bulunur. Bir sayının tersini bulmak için, o sayıyı tersiyle işleme sokup sonucu birim elemana (3'e) eşitlemelisiniz: 4⋆(4−1)=34 \star (4^{-1}) = 3.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde 'tersi olmayan elemanı' soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Genel ters formülü çıkarılabilir: x⋆y=2(x−m2)(y−m2)+…x \star y = 2(x - \frac{m}{2})(y - \frac{m}{2}) + \dots biçiminde çarpanlara ayırma yöntemiyle işlem A×B+KA \times B + K formatına dönüştürülüp daha hızlı çözüm yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 53Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈R∣∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 3\}
B={x∈R∣2x−4<0}B = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x - 4 < 0\}

Buna göre, A∖BA \setminus B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,5][2, 5]

Cevap

[2,5][2, 5] aralığıdır.
Öncelikle AA ve BB kümelerinin aralıkları bulunur. A=[−1,5]A = [-1, 5] ve B=(−∞,2)B = (-\infty, 2) olarak hesaplanır. A∖BA \setminus B işlemi, AA kümesinde bulunup BB kümesinde bulunmayan elemanları ifade eder. BB kümesi 22'den küçük tüm sayıları kapsadığı için, AA kümesinden bu kısım atılır. Geriye 22 ve daha büyük olan, 55'e kadar olan sayılar kalır. BB kümesi 22'yi içermediği (açık aralık olduğu) için, 22 sayısı AA'dan çıkarılmaz ve sonuç kümesine dahil edilir. Bu nedenle doğru cevap [2,5][2, 5] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesini açık aralık olarak yazmak için mutlak değer eşitsizliğini çöz
∣x−2∣≤3  ⟹  −3≤x−2≤3  ⟹  −1≤x≤5|x - 2| \le 3 \implies -3 \le x - 2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5. Yani A=[−1,5]A = [-1, 5].
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
2
BB kümesini açık aralık olarak yazmak için eşitsizliği çöz
2x−4<0  ⟹  2x<4  ⟹  x<22x - 4 < 0 \implies 2x < 4 \implies x < 2. Yani B=(−∞,2)B = (-\infty, 2).
Birinci dereceden eşitsizlik çözülür.
3
A∖BA \setminus B (A fark B) kümesini bul
AA kümesinden, BB kümesinin elemanlarını çıkarırız. BB, 22'den küçük sayıları içerir. A=[−1,5]A = [-1, 5] aralığından 22'den küçük kısımları atarsak geriye 22 ve 22'den büyük kısımlar kalır. 22 sayısı BB'ye dahil OLMADIĞI için (x<2x<2), fark kümesinde KALIR.
Fark işlemi tanımı: A'da olup B'de olmayan elemanlar.
4
Sonucu aralık notasyonu ile ifade et
Kalan kısım 22'den 55'e kadardır ve her iki sınır da dahildir: [2,5][2, 5].
Sınır değerlerin dahiliyeti kontrol edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi ve aralık kavramı

İpuçları

1
Önce AA ve BB kümelerini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak ifade ediniz.
2
∣x−2∣≤3|x - 2| \le 3 eşitsizliği −3≤x−2≤3-3 \le x - 2 \le 3 anlamına gelir. BB kümesi için ise 2x<42x < 4 eşitsizliğini çözünüz.
3
A=[−1,5]A = [-1, 5] ve B=(−∞,2)B = (-\infty, 2) şeklindedir. A kümesinden 2'den küçük sayıları çıkarırsanız geriye ne kalır? 2 sayısının B'ye dahil olup olmadığına dikkat ediniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizerek görselleştirme yöntemi: Sayı doğrusunda -1 ile 5 arasını tarayın (A). Sonra 2'den küçük kısmı silin (B). Geriye kalan parça cevaptır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 54Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı birebir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f−1(4x−3)=g(x+1)f^{-1}(4x - 3) = g(x + 1)
eşitliği sağlanmaktadır. g(2)=5g(2) = 5 olduğuna göre, f(5)f(5) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen f−1(4x−3)=g(x+1)f^{-1}(4x - 3) = g(x + 1) eşitliğinde her iki tarafın ff görüntüsü alındığında 4x−3=f(g(x+1))4x - 3 = f(g(x + 1)) elde edilir. Soruda f(5)f(5) değeri sorulmaktadır. Bu ifadeyi elde etmek için g(x+1)g(x+1) ifadesinin 5'e eşit olması gerekir. Soruda g(2)=5g(2)=5 olarak verildiğinden, x+1=2x+1=2 yani x=1x=1 olmalıdır. Eşitliğin sağ tarafında x=1x=1 yazıldığında 4(1)−3=14(1)-3 = 1 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte ters fonksiyon özelliğini kullan.
f(g(x+1))=4x−3f(g(x + 1)) = 4x - 3
y=f−1(x)  ⟺  f(y)=xy = f^{-1}(x) \iff f(y) = x kuralı gereği.
2
Sorulan değeri (f(5)f(5)) elde etmek için içteki fonksiyonun değerini kullan.
g(x+1)=5g(x + 1) = 5 olmalıdır.
f(5)f(5) değerini bulmak için ff fonksiyonunun içinin 5 olması gerekir.
3
Verilen g(2)=5g(2)=5 bilgisini kullanarak xx değerini bul.
x+1=2  ⟹  x=1x + 1 = 2 \implies x = 1
gg fonksiyonunun içi 22 olduğunda sonuç 55 olmaktadır.
4
Bulunan xx değerini eşitliğin diğer tarafında yerine yaz.
f(5)=4(1)−3=1f(5) = 4(1) - 3 = 1
f(g(2))=4(1)−3f(g(2)) = 4(1) - 3 işlemi.

Anahtar Kavram

Ters Fonksiyon ve Bileşke Fonksiyon İlişkisi

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafına soldan ff fonksiyonunu uygulayarak ters fonksiyondan kurtulmayı deneyin.
2
f(g(x+1))=4x−3f(g(x+1)) = 4x - 3 eşitliğini elde ettikten sonra, parantez içinin 5 olması gerektiğini hatırlayın.
3
g(x+1)=5g(x+1) = 5 olması için x+1x+1 ne olmalıdır? Verilen g(2)=5g(2)=5 bilgisini kullanarak xx'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda, f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının grafikler üzerinden değerlerinin bulunduğu sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 55Soru →

Bir boya karışımında kullanılan kırmızı boya miktarının mavi boya miktarına oranı 23\frac{2}{3}, mavi boya miktarının sarı boya miktarına oranı ise 45\frac{4}{5}'tir.

Bu karışımdan toplam 700700 gram elde edildiğine göre, karışımdaki sarı boya miktarı kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300300

Cevap

Karışımdaki sarı boya miktarı 300300 gramdır.
Doğru yanıt olan 300300 gram, mavi boya miktarı olan 33 ve 44 değerlerinin en küçük ortak katı olan 1212 sayısında eşitlenmesi ve toplam payın 35k35k olarak belirlenip toplam miktara oranlanmasıyla bulunur. k=20k=20 değeri bulunduktan sonra sarı boyayı temsil eden 15k15k ifadesi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak değişken olan mavi boya miktarını eşitlemek için oranlar genişletilir.
K/M=2/3=8/12K/M = 2/3 = 8/12 ve M/S=4/5=12/15M/S = 4/5 = 12/15 elde edilir.
Her iki orantıda da yer alan mavi boya (M) miktarını aynı sayısal değerde (12) buluşturarak tek bir orantı zinciri kurmak gerekir.
2
Boya miktarları orantı sabiti (kk) cinsinden tanımlanır.
K=8kK = 8k, M=12kM = 12k, S=15kS = 15k.
Miktarlar arasındaki ilişkiyi tek bir bilinmeyen üzerinden ifade etmek işlemi kolaylaştırır.
3
Toplam boya miktarı denklemine yerleştirilir.
8k+12k+15k=700⇒35k=7008k + 12k + 15k = 700 \Rightarrow 35k = 700.
Karışımın tamamının 700700 gram olduğu bilgisi kullanılarak orantı sabiti bulunur.
4
Orantı sabiti (kk) değeri hesaplanır.
k=20k = 20.
700700 sayısının 3535 sayısına bölünmesiyle her birim payın değeri bulunur.
5
Sarı boya miktarı (S=15kS = 15k) hesaplanır.
15×20=30015 \times 20 = 300 gram.
Sarı boyayı temsil eden 15k15k ifadesinde kk yerine 2020 yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki farklı orandaki ortak terimi eşitleyerek birleşik orantı kurma.

İpuçları

1
Her iki orantıda da ortak olan değişkeni (mavi boya) bularak bu miktarları eşitlemeyi deneyin.
2
Mavi boya bir oranda 33, diğerinde 44 birimdir. Bunları 1212 birimde eşitlemek için oranları genişletin.
3
Elde ettiğiniz K=8kK=8k, M=12kM=12k, S=15kS=15k değerlerini toplayıp 700700 grama eşitleyerek kk sabitini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'ters orantı' kullanarak çözmeyi deneyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kırmızı boyaya 8k8k derseniz, mavi boya 12k12k olur (çünkü 8/12=2/38/12 = 2/3). Mavi 12k12k ise, sarı boya 15k15k olur (çünkü 12/15=4/512/15 = 4/5). Bu şekilde de birleşik orantıyı kurabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →
x<0x < 0 olmak üzere,
9x2+(−x)44−x33x2 \frac{\sqrt{9x^2} + \sqrt[4]{(-x)^4} - \sqrt[3]{x^3}}{\sqrt{x^2}}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin eşiti 5'tir.
Çift dereceli kökler (karekök ve 4. dereceden kök) mutlak değer dışına çıkarken, x<0x < 0 olduğu için işaret değiştirerek −x-x şeklinde çıkarlar. Tek dereceli kök ise işaretine bakılmaksızın aynen çıkar. Pay kısmında −3x−x−x=−5x-3x - x - x = -5x elde edilir. Paydada ise −x-x elde edilir. Bölme işlemi sonucunda xx'ler sadeleşir ve sonuç 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çift dereceli kökleri mutlak değer içinde, tek dereceli kökleri ise aynen dışarı çıkar.
9x2=∣3x∣ \sqrt{9x^2} = |3x|
(−x)44=∣−x∣ \sqrt[4]{(-x)^4} = |-x|
x2=∣x∣ \sqrt{x^2} = |x|
x33=x \sqrt[3]{x^3} = x
nn çift ise ann=∣a∣\sqrt[n]{a^n} = |a|, nn tek ise ann=a\sqrt[n]{a^n} = a kuralı uygulanır.
2
x<0x < 0 bilgisini kullanarak mutlak değerlerin işaretini belirle ve ifadeleri mutlak değerden kurtar.
xx negatif olduğu için:
∣3x∣=−3x|3x| = -3x (İçerisi negatif, eksi ile çarpılarak çıkar)
∣−x∣=−x|-x| = -x (İçerisi pozitif, aynen çıkar)
∣x∣=−x|x| = -x (İçerisi negatif, eksi ile çarpılarak çıkar)
Mutlak değerin içi negatifse dışarı çıkarken eksi ile çarpılır; pozitifse aynen çıkar. Dikkat: xx negatif olduğu için −x-x pozitiftir.
3
Bulunan değerleri ana ifadede yerine yaz ve sadeleştir.
Pay: (−3x)+(−x)−(x)=−3x−x−x=−5x(-3x) + (-x) - (x) = -3x - x - x = -5x
Payda: −x-x
Sonuç: −5x−x=5\frac{-5x}{-x} = 5
Cebirsel toplama ve bölme işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde dereceye göre dışarı çıkarma kuralı: Çift dereceli kökler mutlak değer ile, tek dereceli kökler aynen çıkar.

İpuçları

1
Köklü ifadenin derecesine dikkat et. Derecesi çift olanlar (2, 4 gibi) kök dışına mutlak değer içinde çıkar.
2
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralını hatırla. xx negatif olduğu için mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirir (∣x∣=−x|x| = -x).
3
Paydadaki x2\sqrt{x^2} yerine −x-x, paydaki 9x2\sqrt{9x^2} yerine −3x-3x yazarak işlemi tekrar et.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizlikler içeren ve kök dışına çıkarma gerektiren benzer sorular çözmelisin.

Alternatif Yöntem

xx yerine negatif bir sayı (örneğin -1) vererek sonucu test edebilirsin. x=−1x=-1 için ifade 9+14−−131=3+1−(−1)1=51=5\frac{\sqrt{9}+\sqrt[4]{1}-\sqrt[3]{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{3+1-(-1)}{1} = \frac{5}{1} = 5 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 57Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,
∣x−2∣−3∣x+1∣−4<0 \frac{|x - 2| - 3}{|x + 1| - 4} < 0
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı -5'tir.
Verilen kesirli ifadenin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir. İşaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−5,−1)∪(3,5)(-5, -1) \cup (3, 5) olarak bulunur. Bu aralıklardaki tam sayılar -4, -3, -2 ve 4'tür. Toplamları -5 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydanın köklerini bul.
Pay için |x - 2| - 3 = 0 ⇒ |x - 2| = 3 ⇒ x = 5 veya x = -1. Payda için |x + 1| - 4 = 0 ⇒ |x + 1| = 4 ⇒ x = 3 veya x = -5.
İşaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaların (köklerin) belirlenmesi gerekir.
2
Bulunan köklere göre işaret tablosu oluştur ve bölme işleminin sonucunun negatif (< 0) olduğu aralıkları belirle.
Kritik noktalar: -5, -1, 3, 5. Tablo incelendiğinde ifadenin negatif olduğu aralıklar: (-5, -1) ve (3, 5).
Kesirli bir ifadenin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir. Tablo ile bu bölgeler tespit edilir.
3
Çözüm aralıklarındaki tam sayıları listele ve topla.
(-5, -1) aralığındaki tam sayılar: -4, -3, -2. (3, 5) aralığındaki tam sayı: 4. Toplam: (-4) + (-3) + (-2) + 4 = -5.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
Kesirli bir ifadenin sonucunun negatif olması için pay ve paydanın işaretlerinin zıt olması gerekir (+/- veya -/+).
2
Payın köklerini (|x-2|=3) ve paydanın köklerini (|x+1|=4) bularak sayı doğrusunda bir işaret tablosu oluşturun.
3
Tabloda -5, -1, 3 ve 5 noktalarını işaretleyin. Bu noktalar arasındaki bölgelerde ifadenin işaretini test edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, iki mutlak değerin toplamı veya farkı şeklindeki ifadelerin en geniş tanım aralıklarını inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 58Soru →

Bir kamu kurumu, personel servis hizmeti için iki farklı firmadan fiyat teklifi almıştır. Firmaların belirlediği fiyatlandırma koşulları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

FirmaAylık Sabit Ücret (TL)Personel Başına Ücret (TL)
A Firması12.00012.000400400
B FirmasıYok650650

Kurumda servis hizmetinden yararlanacak personel sayısı xx olmak üzere, A firmasının teklifinin B firmasının teklifinden daha ekonomik olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, bu kurumdaki personel sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49

Cevap

Personel sayısı en az 49 olmalıdır.
A firmasının B firmasından daha avantajlı olması için A'nın toplam maliyetinin B'den küçük olması gerekir. 12.000+400x<650x12.000 + 400x < 650x eşitsizliği çözüldüğünde x>48x > 48 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük personel sayısı (tam sayı) 49'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki firmanın maliyet fonksiyonlarını personel sayısı xx'e bağlı olarak oluştur.
A Firması Maliyeti: 12.000+400x12.000 + 400x, B Firması Maliyeti: 650x650x
Sabit ücret ve birim maliyetleri kullanarak toplam maliyet denklemlerini yazmak gerekir.
2
A firmasının daha ekonomik (ucuz) olması koşulunu eşitsizlik olarak ifade et.
12.000+400x<650x12.000 + 400x < 650x
'Daha ekonomik' demek, maliyetin sayısal olarak daha küçük olması demektir.
3
Eşitsizliği çözmek için xx'li terimleri bir araya topla.
12.000<650x−400x  ⟹  12.000<250x12.000 < 650x - 400x \implies 12.000 < 250x
Benzer terimleri gruplayarak bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.
4
Her iki tarafı 250250'ye bölerek xx'in alt sınırını bul.
x>12.000250  ⟹  x>48x > \frac{12.000}{250} \implies x > 48
Personel sayısının hangi değerden büyük olması gerektiğini belirlemek için.
5
x>48x > 48 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayıyı belirle.
En küçük tam sayı 49'dur.
Personel sayısı yarım olamayacağı ve eşitsizlik kesin büyüklük (>>) içerdiği için 48 dahil edilemez.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinin birinci dereceden eşitsizlikler kullanılarak modellenmesi ve çözülmesi.

İpuçları

1
Her iki firma için toplam maliyet denklemini xx değişkenine bağlı olarak yazın. A firmasında sabit ücret olduğunu, B firmasında olmadığını unutmayın.
2
A firmasının maliyeti 12.000+400x12.000 + 400x, B firmasının maliyeti ise 650x650x şeklindedir. A firmasının daha ekonomik olması, maliyetinin B'den küçük olması demektir.
3
12.000+400x<650x12.000 + 400x < 650x eşitsizliğini çözerek xx'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kar-zarar problemlerinde maliyet ve satış fiyatı eşitsizliklerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Fark Analizi: A firması sabit olarak 12.00012.000 TL fazla istemektedir, ancak personel başına 650−400=250650 - 400 = 250 TL daha az almaktadır. Bu 250250 TL'lik avantajın, baştaki 12.00012.000 TL'lik farkı kapatıp kara geçmesi için kaç kişi gerektiğini 12.000250\frac{12.000}{250} işlemiyle bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
12x=27 12^x = 27
6y=16 6^y = 16
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, xy+4x+3yxy + 4x + 3y ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İfadenin değeri 12'dir.
Verilen eşitliklerde tabanlar asal çarpanlarına ayrılarak 2 ve 3 tabanları arasında geçiş yapılmıştır. 12x=2712^x=27 eşitliğinden 22 tabanı 33 cinsinden, 6y=166^y=16 eşitliğinden ise 33 tabanı 22 cinsinden yazılmıştır. Elde edilen ifadeler birbirinin yerine konularak (substitüsyon) üsler arasında cebirsel bir bağ kurulmuş ve sorulan xy+4x+3yxy + 4x + 3y ifadesinin değeri doğrudan 12 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üslü ifadeleri asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3 ve 6y=(2⋅3)y=2y⋅3y=16=246^y = (2 \cdot 3)^y = 2^y \cdot 3^y = 16 = 2^4
Tabanları ortak olan sayılar arasında ilişki kurmak için asal çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Her iki eşitlikte xx ve yy türünden birbiri cinsinden ifade edilebilecek ortak tabanları yalnız bırak.
Birinci denklemden 22x=33−x⇒2=33−x2x2^{2x} = 3^{3-x} \Rightarrow 2 = 3^{\frac{3-x}{2x}}. İkinci denklemden 3y=24−y⇒3=24−yy3^y = 2^{4-y} \Rightarrow 3 = 2^{\frac{4-y}{y}}.
Ortak tabanlar (2 ve 3) üzerinden iki değişkeni birbirine bağlamak için dönüştürme yapılır.
3
İkinci denklemde elde edilen 33 değerini, birinci denklemdeki yerine yaz.
2=(24−yy)3−x2x⇒21=2(4−y)(3−x)2xy2 = (2^{\frac{4-y}{y}})^{\frac{3-x}{2x}} \Rightarrow 2^1 = 2^{\frac{(4-y)(3-x)}{2xy}}
Tabanları eşitleyerek üsler arasında doğrudan bir eşitlik kurmak.
4
Üsleri eşitle ve içler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi elde et.
1=12−4x−3y+xy2xy⇒2xy=12−4x−3y+xy⇒xy+4x+3y=121 = \frac{12 - 4x - 3y + xy}{2xy} \Rightarrow 2xy = 12 - 4x - 3y + xy \Rightarrow xy + 4x + 3y = 12
Cebirsel ifadeyi düzenleyerek soruda sorulan kalıbı ortaya çıkarmak.

Anahtar Kavram

Üslü denklemlerde taban değiştirme ve değişkenler arası ilişki kurma

İpuçları

1
1212 sayısını 22⋅32^2 \cdot 3 ve 66 sayısını 2⋅32 \cdot 3 şeklinde asal çarpanlarına ayırarak başlayın.
2
Birinci denklemden 22'yi 33 cinsinden veya ikinci denklemden 33'ü 22 cinsinden çekerek diğer denklemde yerine yazmayı deneyin.
3
2=33−x2x2 = 3^{\frac{3-x}{2x}} ve 3=24−yy3 = 2^{\frac{4-y}{y}} eşitliklerini kullanarak tabanları eşitleyin ve üsleri çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki ax=bya^x = b^y dönüşümlerini içeren logaritma-üslü sayı geçiş soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Her iki tarafın logaritması alınarak da çözülebilir: x(ln⁡12)=ln⁡27x(\ln 12) = \ln 27 ve y(ln⁡6)=ln⁡16y(\ln 6) = \ln 16. Buradan xx ve yy çekilip istenen ifadede yerine yazıldığında, logaritma kuralları sadeleşerek yine 12 sonucunu verir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 60Soru →

2x−1=a2^{x-1} = a ve 3x+1=b3^{x+1} = b olduğuna göre, 12x12^x ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4a2b3\frac{4a^2b}{3}

Cevap

Verilen ifadeler düzenlenip 12x12^x çarpanlarına ayrıldığında sonuç 4a2b3\frac{4a^2b}{3} olarak bulunur.
Verilen üslü denklemlerde 2x2^x ve 3x3^x yalnız bırakıldığında 2x=2a2^x=2a ve 3x=b/33^x=b/3 elde edilir. 12x12^x ifadesi 22x⋅3x2^{2x} \cdot 3^x şeklinde yazılabilir. Bu ifadede bulunan 2x2^x yerine 2a2a ve 3x3^x yerine b/3b/3 yazıldığında (2a)2⋅(b/3)=4a2b/3(2a)^2 \cdot (b/3) = 4a^2b/3 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
2x−1=a2^{x-1} = a ifadesini 2x2^x türünden yazın.
2x⋅2−1=a⇒2x2=a⇒2x=2a2^x \cdot 2^{-1} = a \Rightarrow \frac{2^x}{2} = a \Rightarrow 2^x = 2a
12x12^x ifadesini parçalarken 2x2^x terimine ihtiyaç duyulacaktır.
2
3x+1=b3^{x+1} = b ifadesini 3x3^x türünden yazın.
3x⋅31=b⇒3⋅3x=b⇒3x=b33^x \cdot 3^1 = b \Rightarrow 3 \cdot 3^x = b \Rightarrow 3^x = \frac{b}{3}
12x12^x ifadesini parçalarken 3x3^x terimine ihtiyaç duyulacaktır.
3
12x12^x ifadesini asal çarpanlarına ayırarak 2x2^x ve 3x3^x cinsinden ifade edin.
12x=(22⋅3)x=(22)x⋅3x=(2x)2⋅3x12^x = (2^2 \cdot 3)^x = (2^2)^x \cdot 3^x = (2^x)^2 \cdot 3^x
Bilinen değerleri yerine koyabilmek için ifadeyi uygun forma getirmek gerekir.
4
Bulunan 2a2a ve b3\frac{b}{3} değerlerini yerlerine yazın.
(2a)2⋅b3=4a2⋅b3=4a2b3(2a)^2 \cdot \frac{b}{3} = 4a^2 \cdot \frac{b}{3} = \frac{4a^2b}{3}
İfadenin aa ve bb türünden nihai sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde taban parçalama ve değişken değiştirme yöntemleri.

İpuçları

1
12x12^x ifadesini asal çarpanlarına (22 ve 33 tabanında) ayırarak başlayın.
2
2x−1=a2^{x-1} = a ise 2x2^x'in aa türünden değerini; 3x+1=b3^{x+1} = b ise 3x3^x'in bb türünden değerini bulun.
3
12x=(2x)2⋅3x12^x = (2^x)^2 \cdot 3^x eşitliğini kullanarak elde ettiğiniz aa ve bb değerlerini bu ifadede yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 2x=a2^x = a ve 5x=b5^x = b verilip 200x200^x ifadesinin sorulduğu soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel değer verme yöntemiyle; x=1x=1 seçilirse 20=1=a2^0=1=a ve 32=9=b3^2=9=b olur. Bu durumda 121=1212^1=12 sonucunu veren seçeneği a=1,b=9a=1, b=9 için kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
ÖncekiSayfa 3 / 22Sonraki