Examkin

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

30 soru

Soru 21Soru →

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=17|BC| = 17 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

∣AC∣|AC| uzunluğu 25 santimetredir.
Soruda verilen üçgen geniş açılı (135∘135^\circ) olduğu için, çözüm için üçgenin dışına bir yardımcı dikme çizilmelidir. BCBC kenarı uzatılıp AA'dan dikme inildiğinde, 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ özellikli küçük bir üçgen ve kenarları 7 ile 24 olan büyük bir dik üçgen oluşur. 7-24-25 özel üçgeni gereği hipotenüs 25 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme inme yöntemini uygula.
BCBC kenarını BB köşesi yönünde uzatıp, AA köşesinden bu uzantıya bir dikme inilerek HH noktası oluşturulur.
135∘135^\circ'nin bütünleri olan 45∘45^\circ'lik açıyı kullanarak özel bir dik üçgen elde etmek için.
2
Oluşan küçük dik üçgendeki kenar uzunluklarını hesapla.
AHBAHB üçgeni bir 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüs ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} olduğundan, dik kenarlar ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HB∣=7|HB| = 7 cm olur.
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır (k,k,k2k, k, k\sqrt{2}).
3
Büyük dik üçgenin taban uzunluğunu ve hipotenüsü hesapla.
Büyük AHCAHC dik üçgeninin tabanı ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=7+17=24|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24 cm'dir. Dik kenarlar 7 ve 24'tür.
∣AC∣|AC| uzunluğunu bulmak için Pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı uygulanır.
4
Pisagor bağıntısı veya özel üçgen bilgisiyle sonucu bul.
7-24-25 özel dik üçgeni kuralına göre hipotenüs ∣AC∣=25|AC| = 25 cm bulunur.
72+242=49+576=625=2527^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde, açının bütünleri (180'e tamamlayanı) kullanılarak üçgenin dış bölgesinde bir dik üçgen oluşturulması ve Pisagor bağıntısı.

İpuçları

1
Üçgenin iç açılarından biri 135∘135^\circ. Bu açının bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanabileceğiniz bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
BB köşesinden geçen taban doğrusunu dışarıya doğru uzatın ve AA köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. Oluşan küçük üçgen tanıdık geliyor mu?
3
Oluşan dış üçgen 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüsü 727\sqrt{2} ise dik kenarları 7'dir. Şimdi büyük dik üçgenin kenarlarına bakın: biri 7, diğeri 7+177+17.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 120∘120^\circ açısı ve 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni oluşturmayı gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi: b2=a2+c2−2accos⁡(B)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B). Burada cos⁡(135∘)=−22\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olduğu için formül b2=(17)2+(72)2−2(17)(72)(−22)b^2 = (17)^2 + (7\sqrt{2})^2 - 2(17)(7\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) haline gelir. İşaret değişimine dikkat edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve ∣AB∣=82|AB| = 8\sqrt{2} cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8+838 + 8\sqrt{3}

Cevap

Dikme indirilerek oluşturulan 45-45-90 ve 30-60-90 üçgenlerinden elde edilen uzunlukların toplamı 8(1+3)8(1 + \sqrt{3}) yani 8+838 + 8\sqrt{3} cm'dir.
Verilen 45∘45^\circ ve 30∘30^\circ açılarını kullanmak için AA köşesinden tabana dikme indirildiğinde, solda bir ikizkenar dik üçgen (45-45-90), sağda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşur. Sol taraftan gelen 8 birimlik parça ile sağ taraftan gelen 838\sqrt{3} birimlik parça toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına bir AHAH dikmesi indirilir.
Üçgen, ABHABH ve AHCAHC olmak üzere iki dik üçgene ayrılır.
Özel açıları (45∘45^\circ ve 30∘30^\circ) kullanabilmek için dik üçgenler oluşturmak gerekir.
2
ABHABH üçgeninde (45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ), hipotenüs ∣AB∣=82|AB| = 8\sqrt{2} cm olduğu için dik kenarlar hesaplanır.
∣AH∣=∣BH∣=822=8|AH| = |BH| = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 cm bulunur.
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır.
3
AHCAHC üçgeninde (30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ), 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣AH∣=8|AH|=8 cm olduğu için diğer kenarlar hesaplanır.
60∘60^\circ'nin karşısındaki ∣HC∣=83|HC| = 8\sqrt{3} cm (ve hipotenüs ∣AC∣=16|AC| = 16 cm) bulunur.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısı, 30∘30^\circ'nin karşısının 3\sqrt{3} katıdır.
4
∣BC∣|BC| uzunluğu için bulunan parçalar toplanır.
∣BC∣=∣BH∣+∣HC∣=8+83|BC| = |BH| + |HC| = 8 + 8\sqrt{3} cm.
BCBC kenarı HH noktası ile iki parçaya ayrılmıştır.

Anahtar Kavram

Özel Açılı Üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90)

İpuçları

1
Özel açıları (30∘,45∘30^\circ, 45^\circ) parçalamadan kullanabilmek için AA köşesinden BCBC kenarına bir dikme indirmeyi deneyin.
2
Dikme indirdiğinizde solda bir 45-45-90 üçgeni, sağda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen, açılarından biri 135∘135^\circ veya 120∘120^\circ olan geniş açılı üçgen sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir: ∣AC∣/sin⁡(45)=∣AB∣/sin⁡(30)|AC|/\sin(45) = |AB|/\sin(30) eşitliğinden ∣AC∣=16|AC|=16 bulunur. Daha sonra Kosinüs teoremi ile ∣BC∣|BC| bulunabilir, ancak dikme indirmek çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. AA köşesinin [BC][BC] hipotenüsüne olan en kısa uzaklığı 6 cm, [BC][BC] kenarının orta noktasına olan uzaklığı ise 12 cm'dir. m(ABC^)>m(ACB^)m(\widehat{ABC}) > m(\widehat{ACB}) olduğuna göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Aranan açı 15 derecedir.
Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay (∣AD∣|AD|), hipotenüsün ayırdığı parçalara eşittir (∣DC∣|DC|). Bu durum ADCADC üçgeninin ikizkenar olmasını sağlar. Yükseklik üçgeninde (AHDAHD) hipotenüs (1212), dik kenarın (66) iki katı olduğu için tepe açısı (kenarortayın tabanla yaptığı açı) 30∘30^\circ bulunur. İkizkenar ADCADC üçgeninde dış açı 30∘30^\circ ise, taban açısı olan CC açısı 15∘15^\circ olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen uzunlukları tanımlayalım.
AA köşesinden inilen dikme ayağına HH, orta noktaya DD diyelim. ∣AH∣=6|AH| = 6 cm (yükseklik), ∣AD∣=12|AD| = 12 cm (kenarortay) olur.
En kısa uzaklık yüksekliktir; orta noktaya olan uzaklık kenarortaydır.
2
AHDAHD dik üçgeninde açıları inceleyelim.
Hipotenüs ∣AD∣=12|AD|=12 ve dik kenar ∣AH∣=6|AH|=6 olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir. sin⁡(ADH^)=612=12\sin(\widehat{ADH}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} olduğundan m(ADH^)=30∘m(\widehat{ADH}) = 30^\circ olur.
Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısı ise, o kenarı gören açı 30∘30^\circ dir.
3
Muhteşem üçlü kuralını ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanalım.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (∣AD∣=∣DC∣=∣BD∣|AD| = |DC| = |BD|). Dolayısıyla ADCADC üçgeni ikizkenardır.
Muhteşem üçlü kuralı gereği ∣AD∣=∣DC∣|AD| = |DC|.
4
Dış açı kuralı ile CC açısını hesaplayalım.
ADCADC üçgeninde m(DAC^)=m(ACD^)=xm(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACD}) = x dersek, iki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya (m(ADH^)m(\widehat{ADH})) eşittir. 2x=30∘⇒x=15∘2x = 30^\circ \Rightarrow x = 15^\circ.
Bir üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü) ve yükseklik ile kenarortay arasındaki açı ilişkisi.

İpuçları

1
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı çizin. Bu kenarortayın uzunluğu ile ayırdığı parçalar arasındaki ilişkiyi hatırlayın (Muhteşem Üçlü).
2
Oluşan dik üçgende hipotenüs 12 cm, bir dik kenar 6 cm'dir. Bu size hangi özel üçgeni hatırlatıyor?
3
Kenarortayın hipotenüsle yaptığı açı 30∘30^\circ'dir. Kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olduğundan oluşan ikizkenar üçgende dış açı kuralını uygulayın.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Bir dik üçgende yükseklik (hh) ile kenarortay (VaV_a) arasındaki açı α=∣B−C∣\alpha = |B - C|'dir. AHDAHD üçgeninde cos⁡(α)=6/12=1/2⇒α=60∘\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 \Rightarrow \alpha = 60^\circ. ∣B−C∣=60∘|B - C| = 60^\circ ve B+C=90∘B + C = 90^\circ. Bu denklem sistemi çözülerek 2C=30∘⇒C=15∘2C = 30^\circ \Rightarrow C = 15^\circ bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [BA]⊥[AC][BA] \perp [AC] ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. BB köşesine ait açıortay [AC][AC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣AD∣=6|AD| = 6 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12312\sqrt{3}

Cevap

12312\sqrt{3} cm
Verilen ABCABC dik üçgeninde CC açısı 30∘30^\circ olduğundan BB açısı 60∘60^\circ olur. Açıortay bu açıyı 30∘−30∘30^\circ-30^\circ böler. Oluşan ABDABD üçgeni (30-60-90) kullanılarak ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3} cm bulunur. Büyük üçgende ise hipotenüs ∣BC∣|BC|, ∣AB∣|AB|'nin 2 katıdır; yani 12312\sqrt{3} cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin açılarını belirle
ABCABC üçgeninde A=90∘A=90^\circ ve C=30∘C=30^\circ olduğundan, B=60∘B=60^\circ'dir. BDBD açıortay olduğu için BB açısını 30∘30^\circ ve 30∘30^\circ olarak ikiye böler.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir ve açıortay açıyı iki eş parçaya ayırır.
2
ABDABD üçgenini analiz et
ABDABD üçgeninde A=90∘A=90^\circ ve m(ABD^)=30∘m(\widehat{ABD})=30^\circ'dir. Bu bir 30-60-90 üçgenidir. 30∘30^\circ karşısındaki kenar ∣AD∣=6|AD|=6 cm ise, 60∘60^\circ karşısındaki kenar ∣AB∣=63|AB| = 6\sqrt{3} cm olur.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 3\sqrt{3} katıdır.
3
ABCABC büyük üçgeninde hipotenüsü (∣BC∣|BC|) hesapla
Büyük ABCABC üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir. 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3} cm olduğuna göre, 90∘90^\circ'nin karşısındaki hipotenüs ∣BC∣=2⋅(63)=123|BC| = 2 \cdot (6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} cm bulunur.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Anahtar Kavram

30-60-90 Üçgeni Özellikleri ve Açıortay

İpuçları

1
Üçgenin iç açılar toplamından BB açısının tamamını bulun ve açıortayın bu açıyı nasıl böldüğünü düşünün.
2
ABDABD üçgeni bir özel üçgendir (30-60-90). 30∘30^\circ'nin karşısı 6 cm ise, diğer dik kenar (ABAB) ne olur?
3
∣AB∣|AB| uzunluğunu bulduktan sonra büyük üçgen (ABCABC) için 30-60-90 özelliğini tekrar kullanın: Hipotenüs (BCBC), 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Alternatif Yöntem

m(DBC^)=30∘m(\widehat{DBC}) = 30^\circ ve m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olduğu için BDCBDC üçgeni ikizkenardır (∣BD∣=∣DC∣|BD|=|DC|). ABDABD üçgeninde hipotenüs ∣BD∣=12|BD|=12 bulunur, dolayısıyla ∣DC∣=12|DC|=12 olur. Buradan ∣AC∣=18|AC|=18 bulunur. sin⁡(60∘)=∣AC∣/∣BC∣⇒3/2=18/∣BC∣\sin(60^\circ) = |AC|/|BC| \Rightarrow \sqrt{3}/2 = 18/|BC| işlemiyle de sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ACB^)=15∘m(\widehat{ACB}) = 15^\circ olarak verilmiştir. AA köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı HH ve [BC][BC] kenarının orta noktası KK noktasıdır. Eğer ∣HK∣=23|HK| = 2\sqrt{3} cm ise, hipotenüs uzunluğu ∣BC∣|BC| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 8 cm'dir.
Soruda verilen 15−75−9015-75-90 üçgeni özelliği gereği yükseklik hipotenüsün dörtte biridir (ha=∣BC∣/4h_{a} = |BC|/4). Kenarortay ise hipotenüsün yarısıdır (∣AK∣=∣BC∣/2=2ha|AK| = |BC|/2 = 2h_{a}). Oluşan AHKAHK dik üçgeninde hipotenüs 2h2h, dik kenar hh olduğundan bu bir 30−60−9030-60-90 üçgenidir ve diğer dik kenar ∣HK∣=h3|HK| = h\sqrt{3} olur. Verilen ∣HK∣=23|HK|=2\sqrt{3} eşitliğinden h=2h=2 bulunur. Buradan hipotenüs ∣BC∣=4h=8|BC|=4h=8 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
15−75−9015-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin (hh), hipotenüsün (∣BC∣|BC|) dörtte biri olduğunu hatırlayalım.
∣AH∣=h|AH| = h ve ∣BC∣=4h|BC| = 4h.
15−75−9015-75-90 üçgeninin temel özelliği: hhyp=14⋅Hyph_{hyp} = \frac{1}{4} \cdot Hyp.
2
Muhteşem üçlü kuralını kullanarak kenarortay uzunluğunu (∣AK∣|AK|) hh cinsinden ifade edelim.
∣AK∣=∣BC∣2=4h2=2h|AK| = \frac{|BC|}{2} = \frac{4h}{2} = 2h.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
AHKAHK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak hh değerini bulalım.
h2+(23)2=(2h)2⇒h2+12=4h2⇒3h2=12⇒h=2h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2h)^2 \Rightarrow h^2 + 12 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 12 \Rightarrow h = 2.
AHKAHK üçgeninde hipotenüs 2h2h, bir dik kenar hh ise diğer dik kenar h3h\sqrt{3}'tür (30-60-90 üçgeni).
4
Bulunan hh değerini kullanarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesaplayalım.
∣BC∣=4h=4⋅2=8|BC| = 4h = 4 \cdot 2 = 8 cm.
Soruda istenen hipotenüs uzunluğudur.

Anahtar Kavram

15-75-90 üçgeninde yükseklik-hipotenüs ilişkisi (h=4ah=4a) ve muhteşem üçlü kuralının bir arada kullanımı.

İpuçları

1
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
2
15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik (hh) ile hipotenüs (aa) arasında h=a/4h = a/4 bağıntısı vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, 22.5-67.5-90 üçgeninde yükseklik ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (h=a/22h = a / 2\sqrt{2}) inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve ∣BC∣=4+43|BC| = 4 + 4\sqrt{3} cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 424\sqrt{2}

Cevap

424\sqrt{2} santimetre olan seçenek doğrudur.
Üçgenin içinden indirilen bir dikme ile iki tane özel açılı dik üçgen (45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ ve 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ) oluşturulur. Bu üçgenlerin ortak kenarı olan yükseklik 44 cm olarak hesaplanır. İstenen ∣AB∣|AB| kenarı, ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olduğu için yüksekliğin 2\sqrt{2} katı olan 424\sqrt{2} cm sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına bir dikme indirelim.
Dikmenin [BC][BC] kenarını kestiği noktaya HH diyelim. [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olur.
Özel açılı (30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ) üçgen sorularında, bu açılardan faydalanmak için dik üçgenler oluşturulur.
2
ABHABH dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.
m(BAH^)=45∘m(\widehat{BAH}) = 45^\circ olur. ∣AH∣=x|AH| = x dersek, ∣BH∣=x|BH| = x ve ∣AB∣=x2|AB| = x\sqrt{2} olur.
45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgeninde dik kenarlar eşit, hipotenüs dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır.
3
AHCAHC dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.
m(CAH^)=60∘m(\widehat{CAH}) = 60^\circ olur. ∣AH∣=x|AH| = x ise, 30∘30^\circ karşısındaki kenar xx olduğundan, 60∘60^\circ karşısındaki ∣HC∣=x3|HC| = x\sqrt{3} olur.
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındakinin 3\sqrt{3} katıdır.
4
∣BC∣|BC| uzunluğunu xx cinsinden yazıp verilen değere eşitleyelim.
∣BC∣=∣BH∣+∣HC∣=x+x3=x(1+3)|BC| = |BH| + |HC| = x + x\sqrt{3} = x(1 + \sqrt{3}) olur. x(1+3)=4+43=4(1+3)x(1 + \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3}) ise x=4x = 4 bulunur.
BCBC uzunluğu, oluşturduğumuz iki dik üçgenin taban parçalarının toplamına eşittir.
5
∣AB∣|AB| uzunluğunu hesaplayalım.
∣AB∣=x2=42|AB| = x\sqrt{2} = 4\sqrt{2} cm bulunur.
İkinci adımda belirlediğimiz ∣AB∣=x2|AB| = x\sqrt{2} ilişkisini kullanarak sonuca ulaşıyoruz.

Anahtar Kavram

Özel Açılı Üçgenlerde Yardımcı Dikme Yardımıyla Çözüm

İpuçları

1
Üçgenin içinde 45∘45^\circ ve 30∘30^\circ gibi özel açılar varsa, AA köşesinden tabana bir dikme indirerek iki tane dik üçgen oluşturmayı deneyin.
2
İndirdiğiniz yüksekliğe xx derseniz, sol taraftaki üçgende taban xx, sağ taraftaki üçgende taban x3x\sqrt{3} olur. Bunların toplamı size ∣BC∣|BC| uzunluğunu verecektir.
3
x+x3=4(1+3)x + x\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3}) denklemini çözerek xx değerini bulun. Ardından ABAB kenarının bu xx değerinin 2\sqrt{2} katı olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda dış açıları kullanarak (örneğin 135∘135^\circ veya 120∘120^\circ) dışarıdan dikme indirip dik üçgen oluşturma pratiği yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

Şekildeki ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ACB^)=15∘m(\widehat{ACB}) = 15^\circ olarak verilmiştir. [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretlenmiştir.

m(DBC^)=15∘m(\widehat{DBC}) = 15^\circ ve ∣DC∣=12|DC| = 12 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 cm
Verilen 15 derecelik açılar kullanıldığında BDC üçgeninin ikizkenar olduğu görülür (|BD|=|DC|=12). Bu durumda ABD üçgeni bir 30-60-90 dik üçgenine dönüşür. Hipotenüsü 12 cm olan bu üçgende, 60 derecenin komşusu (30 derecenin karşısı) olan AB kenarı hipotenüsün yarısına, yani 6 cm'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgenindeki açıları belirle.
C açısı 15° ve A açısı 90° olduğundan, B açısının tamamı 75° olur.
Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.
2
BDC üçgeninin özelliğini tespit et.
DBC açısı 15° ve C açısı 15° olduğundan, BDC ikizkenar üçgendir ve |BD| = |DC| = 12 cm olur.
Taban açıları eşit olan üçgenler ikizkenardır.
3
ABD üçgenindeki açıları bul.
ABC açısı 75° ve DBC açısı 15° olduğundan, ABD açısı 75° - 15° = 60° olur.
Açıların farkı alınarak bilinmeyen açı bulunur.
4
ABD dik üçgeninde trigonometrik oranı veya özel üçgen kuralını uygula.
ABD üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir (D açısı 30°). 90°'nin karşısı (BD) 12 cm ise, 30°'nin karşısı (AB) hipotenüsün yarısıdır: 12 / 2 = 6 cm.
30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.

Anahtar Kavram

15-75-90 üçgeni içindeki ikizkenar parçalanma ve 30-60-90 üçgeni ilişkisi.

İpuçları

1
Önce üçgenin verilmeyen açılarını (özellikle B açısının tamamını ve parçalarını) hesaplayın.
2
BDC üçgeninin taban açılarına (DBC ve C açıları) dikkat edin; bu üçgenin kenarları arasında nasıl bir ilişki var?
3
BDC ikizkenardır, yani BD uzunluğu DC'ye eşittir. Şimdi oluşan ABD dik üçgeninin açılarına (60-30) göre işlem yapın.

Daha Fazla Pratik

15-75-90 üçgeninde hipotenüse inen yüksekliğin hipotenüsün 4'te 1'i olduğu kuralını içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak: AB = |BC| * sin(15) formülü yerine, doğrudan BDC ikizkenarlığını görmek çok daha kısadır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →

Aşağıdaki ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olarak verilmiştir.

∣BH∣=2|BH| = 2 cm ve ∣HC∣=8|HC| = 8 cm olduğuna göre, ∣AH∣|AH| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 cm'dir.
Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse inilen dikme, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Öklit yükseklik bağıntısına göre, yüksekliğin karesi bu parçaların çarpımına eşittir (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k). Verilen soruda h2=2⋅8=16h^2 = 2 \cdot 8 = 16 olduğundan, yükseklik 4 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik şekli ve özellikleri analiz et.
Üçgen dik üçgendir (AA açısı 90∘90^\circ) ve hipotenüse ait yükseklik çizilmiştir ([AH]⊥[BC][AH] \perp [BC]). Bu durumda Öklit bağıntıları geçerlidir.
Dik üçgende hipotenüse inilen dikme varsa Öklit bağıntısı kullanılır.
2
Yükseklik bağıntısını uygula.
∣AH∣2=∣BH∣⋅∣HC∣|AH|^2 = |BH| \cdot |HC| formülü kullanılır. Değerler yerine konulursa: ∣AH∣2=2⋅8|AH|^2 = 2 \cdot 8.
Öklit'in yükseklik bağıntısı: h2=p⋅kh^2 = p \cdot k.
3
Sonucu hesapla.
∣AH∣2=16⇒∣AH∣=16=4|AH|^2 = 16 \Rightarrow |AH| = \sqrt{16} = 4 cm.
İşlem sonucu.

Anahtar Kavram

Öklit Bağıntıları (Yükseklik)

İpuçları

1
Dik üçgende dik açıdan inilen dikme varsa 'Öklit Bağıntılarını' hatırlayınız.
2
Öklit yükseklik bağıntısı: Yüksekliğin karesi, tabanda ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k).
3
∣AH∣2=2⋅8|AH|^2 = 2 \cdot 8 eşitliğini çözünüz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğunu Öklit bağıntısı ile bulmayı deneyin.
Tahmini Süre:45s
Soru 29Soru →

Dik kenarlarından birinin uzunluğu 3133\sqrt{13} cm olan bir dik üçgenin, hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir.

Buna göre, bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2132\sqrt{13}

Cevap

Diğer dik kenarın uzunluğu 2132\sqrt{13} cm'dir.
Verilen dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde oluşan parçalar arasındaki Öklid bağıntısı (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) ve Pisagor teoremi kullanılarak sonuca ulaşılır. Bilinen kenardan yola çıkılarak önce bir parça (9), sonra Öklid ile diğer parça (4) ve en son diğer dik kenar (2132\sqrt{13}) bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri bir model üzerinde göstererek bilinen dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünü (k) hesapla.
Pisagor teoreminden: k2+62=(313)2⇒k2+36=117⇒k2=81⇒k=9k^2 + 6^2 = (3\sqrt{13})^2 \Rightarrow k^2 + 36 = 117 \Rightarrow k^2 = 81 \Rightarrow k = 9 cm.
Yükseklik dik üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır; bilinen kenarı içeren küçük üçgende Pisagor uygulanır.
2
Öklid (Euclid) bağıntısını kullanarak diğer dik kenarın izdüşümünü (p) bul.
h2=p⋅k⇒62=p⋅9⇒36=9p⇒p=4h^2 = p \cdot k \Rightarrow 6^2 = p \cdot 9 \Rightarrow 36 = 9p \Rightarrow p = 4 cm.
Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
3
Diğer küçük dik üçgende Pisagor teoremi uygulayarak istenen dik kenarı (c) bul.
c2=h2+p2⇒c2=62+42⇒c2=36+16=52c^2 = h^2 + p^2 \Rightarrow c^2 = 6^2 + 4^2 \Rightarrow c^2 = 36 + 16 = 52. Buradan c=52=213c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} cm.
Diğer dik kenar, yükseklik ve bulduğumuz kısa parçadan oluşan dik üçgenin hipotenüsüdür.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları ve Pisagor Teoremi

İpuçları

1
Soruyu çözmek için bir dik üçgen çizin ve hipotenüse ait yüksekliği indirin.
2
Yüksekliğin ayırdığı küçük üçgenlerden birinde Pisagor teoremi uygulayarak taban parçalarından birini bulun.
3
Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) kullanarak diğer taban parçasını bulun, ardından tekrar Pisagor yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu Öklid yan kenar bağıntılarını kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Öklid'in dik kenar bağıntısı (b2=k⋅ab^2 = k \cdot a) kullanılarak önce hipotenüsün tamamı (aa), sonra diğer dik kenar bulunabilir: (313)2=k⋅a(3\sqrt{13})^2 = k \cdot a.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →

ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. Hipotenüs uzunluğu ∣AC∣=10|AC| = 10 cm olduğuna göre, ABAB kenarının uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

30∘30^\circ'lik açının karşısındaki kenar uzunluğu 55 cm'dir.
Geometride 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni en temel özel üçgenlerden biridir. Kural gereği, bu üçgende 30∘30^\circ'lik açının tam karşısında bulunan dik kenarın uzunluğu, en uzun kenar olan hipotenüsün tam yarısı kadardır. Soruda hipotenüs ∣AC∣=10|AC| = 10 cm verildiğinden, 30∘30^\circ'nin karşısındaki ∣AB∣|AB| kenarı 55 cm olur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının belirlenmesi
m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
Dik üçgende bir dar açı 30∘30^\circ ise, diğer dar açı 90∘−30∘=60∘90^\circ - 30^\circ = 60^\circ olur.
2
Özel üçgen kuralının uygulanması
∣AB∣=∣AC∣2|AB| = \frac{|AC|}{2}
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde, 30∘30^\circ karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.
3
Hesaplama yapılması
∣AB∣=102=5|AB| = \frac{10}{2} = 5 cm
Hipotenüs uzunluğu 1010 cm olarak verildiği için sonuç 55 cm bulunur.

Anahtar Kavram

30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ Özel Dik Üçgeni

İpuçları

1
Bu bir dik üçgen olduğu için iç açılar toplamından faydalanarak üçüncü açıyı bulun.
2
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde kenarlar arasında 1:3:21 : \sqrt{3} : 2 oranı olduğunu hatırlayın.
3
En kısa kenar olan 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar, hipotenüsün (90∘90^\circ karşısındaki kenar) yarısıdır.

Daha Fazla Pratik

Kenarları 3−4−53-4-5 olan bir dik üçgenin alanını hesaplayarak dik üçgen bilgilerini pekiştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak sin⁡(30∘)=Kars¸ı Dik KenarHipotenu¨s\sin(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} formülünden 12=∣AB∣10\frac{1}{2} = \frac{|AB|}{10} eşitliği ile ∣AB∣=5|AB| = 5 bulunabilir.
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin