k Bağımlı Örneklem Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir performans değerlendirme sürecinde iki yönetici ( $k=2$ ), dört personeli ( $n=4$ ) başarı düzeylerine göre sıralamışlardır. Personellerin yöneticilerden aldığı sıralama değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel	Yönetici 1	Yönetici 2
Personel A	1	2
Personel B	2	1
Personel C	3	4
Personel D	4	3

Buna göre, yöneticiler arasındaki uyumu ölçen Kendall uyum katsayısı ( $W$ ) değeri ve bu katsayının anlamlılık testi için kullanılacak olan Ki-kare ( $\chi^2$ ) istatistiğinin serbestlik derecesi ( $sd$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

W = 0,80

ve

sd = 3

W = 0,80

ve

sd = 1

W = 0,40

ve

sd = 3

W = -0,80

ve

sd = 3

W = 0,80

ve

sd = 4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W = 0,80$ ve $sd = 3$

Cevap

Kendall uyum katsayısı

W = 0,80

ve serbestlik derecesi

sd = 3

olarak hesaplanır.

Yapılan hesaplamalar sonucunda sapma kareleri toplamı (

S

) 16 bulunmuş, formülde yerine konulduğunda katsayı 0,80 olarak elde edilmiştir. Anlamlılık testi için serbestlik derecesi kuralı olan

n-1

gereği

4-1=3

sonucu doğru kabul edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Personellerin sıra toplamlarını (

R_i

) hesaplayın.

R_A=3

,

R_B=3

,

R_C=7

,

R_D=7

Kendall

W

hesaplaması için her bir nesneye (personel) verilen sıraların toplamı gereklidir.

2

Sıra toplamlarının beklenen ortalamasını hesaplayın.

\bar{R} = \frac{2(3+3+7+7)}{4} = 5

Sapmaların kareleri toplamını (

S

) bulmak için ortalamaya ihtiyaç duyulur.

3

Sıra toplamlarının ortalamadan farklarının kareleri toplamını (

S

) hesaplayın.

S = (3-5)^2 + (3-5)^2 + (7-5)^2 + (7-5)^2 = 16

S

değeri uyum katsayısının temel bileşenidir.

4

Kendall

W

formülünü (

W = \frac{12S}{k^2(n^3-n)}

) uygulayın.

W = \frac{12 \times 16}{2^2(4^3-4)} = \frac{192}{4 \times 60} = 0,80

Uzmanlar arasındaki uyum düzeyini veren katsayıyı belirlemek için.

5

Anlamlılık testi için serbestlik derecesini (

sd = n-1

) bulun.

sd = 4 - 1 = 3

Kendall

W

katsayısının Ki-kare dağılımına uygunluğu

n-1

serbestlik derecesiyle test edilir.

Anahtar Kavram

Kendall uyum katsayısı (

W

),

k

tane puanlayıcı arasındaki görüş birliğini ölçer ve Friedman ANOVA istatistiği ile

\chi_r^2 = k(n-1)W

ilişkisine sahiptir.

Alternatif Yöntem

Friedman test istatistiği (

\chi_r^2

) biliniyorsa,

W = \frac{\chi_r^2}{k(n-1)}

formülüyle de aynı sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, 4 farklı deneğin 3 farklı yeni yöntem (A, B ve C) karşısındaki başarı durumlarını (1: Başarılı, 0: Başarısız) incelemektedir. Elde edilen gözlem değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Denek	Yöntem A	Yöntem B	Yöntem C
1	1	0	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	0	1	1

Buna göre, yöntemler arasındaki başarı oranlarının farklılığını test etmek amacıyla hesaplanacak olan Cochran Q test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,0

Cevap

Cochran Q test istatistiği değeri 2,0 olarak hesaplanır.

Veriler üzerinden yapılan hesaplamalarda; grup sayısı

k=3

, toplam başarı sayısı

T=7

, sütun kareleri toplamı

\sum C_j^2=19

ve satır kareleri toplamı

\sum R_i^2=13

olarak bulunur. Formülde yerine konulduğunda

Q = 2 \times (57-49) / (21-13) = 16 / 8 = 2,0

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sütun toplamlarını (

C_j

) ve bu toplamların karelerini hesaplayın.

C_A = 3

,

C_B = 3

,

C_C = 1

. Toplam

\sum C_j = 7

, Kareler toplamı

\sum C_j^2 = 3^2 + 3^2 + 1^2 = 19

.

Cochran Q formülünün pay kısmındaki değerleri belirlemek için sütun toplamları gereklidir.

2

Satır toplamlarını (

R_i

) ve bu toplamların karelerini hesaplayın.

R_1=1, R_2=2, R_3=2, R_4=2

. Toplam

\sum R_i = 7

, Kareler toplamı

\sum R_i^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 = 13

.

Formülün payda kısmındaki varyans benzeri ifadeyi hesaplamak için satır toplamları gereklidir.

3

Verilen değerleri Cochran Q formülüne yerleştirin:

Q = \frac{(k-1) [k \sum C_j^2 - (\sum C_j)^2]}{k \sum R_i - \sum R_i^2}

Q = \frac{(3-1) [3(19) - 7^2]}{3(7) - 13} = \frac{2(57-49)}{21-13} = \frac{16}{8} = 2,0

.

Parametrik olmayan verilerde bağımlı

k

örneklem oranlarının karşılaştırılması için standart test istatistiği formülüdür.

Anahtar Kavram

Cochran Q testi, bağımlı

k

örneklemde (bloklarda) ikili (binary) verilerin oranları arasındaki farkı test eder ve istatistiği Ki-kare dağılımına yaklaşır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, bir işletmede çalışan 20 personelin performans düzeylerini; "yeni eğitim programı öncesi", "eğitim esnasında" ve "eğitim sonrası" olmak üzere üç farklı zaman diliminde ölçmüştür. Yapılan ön incelemede verilerin normal dağılım göstermediği saptanmıştır. Bu araştırmada zamanlar arası farkın anlamlılığını test etmek amacıyla başvurulan Friedman İki Yönlü Varyans Analizi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Testin uygulanabilmesi için verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması ve k adet bağımlı (ilişkili) örneklem içermesi gerekir.

Analiz sürecinde her bir performans ölçüm grubunun birbirinden bağımsız örneklemlerden oluştuğu varsayılır.

Parametrik olmayan bir test olmasına rağmen, karşılaştırılan grup sayısı ikiden fazla olduğunda verilerin varyans homojenliği göstermesi ön şarttır.

Yokluk hipotezi (

H_0

), ölçüm yapılan zamanların en az birinde performans medyanlarının birbirinden farklı olduğunu savunur.

Örneklem büyüklüğü 30'dan küçük olduğu durumlarda, Friedman testi yerine verilerin normal dağılıma uydurulması ve Tek Yönlü Varyans Analizi yapılması zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Testin uygulanabilmesi için verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması ve k adet bağımlı (ilişkili) örneklem içermesi gerekir.

Cevap

Friedman testi için verilerin en az sıralama ölçeğinde olması ve k adet bağımlı örneklem içermesi şartı doğru ifadedir.

Friedman testi, parametrik Tekrarlı Ölçümler ANOVA'sının non-parametrik alternatifidir. Bu testin temel gereklilikleri şunlardır: Veriler en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olmalıdır, örneklemler birbirine bağımlıdır (aynı deneklerin farklı koşulları veya zamanları) ve karşılaştırılan grup sayısı (k) ikiden fazladır. Senaryoda personelin üç farklı zamandaki performansının ölçülmesi bu koşulları tam olarak karşılamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve örneklem türünü belirleme

Senaryoda aynı 20 personelden üç farklı zamanda ölçüm alınmıştır. Bu durum 'bağımlı (ilişkili) örneklemler' yapısına işaret eder.

Friedman testi, parametrik Tekrarlı Ölçümler ANOVA'sının non-parametrik karşılığıdır ve bağımlı grupları karşılaştırır.

2

Ölçüm düzeyini kontrol etme

Parametrik olmayan testler (Friedman dahil), verilerin sayısal olmasa bile en az sıralama (ordinal) düzeyinde olmasını yeterli bulur.

Bu testler ham değerler yerine bu değerlerin sıralarını (ranks) kullandığı için en az sıralama ölçeği gereklidir.

3

Varsayım ve hipotez uygunluğunu test etme

Friedman testinde normallik veya varyans homojenliği aranmaz.

H_0

hipotezi gruplar arası fark olmadığını belirtir.

Non-parametrik testlerin temel avantajı, katı dağılım varsayımlarına (normallik vb.) ihtiyaç duymamalarıdır.

Anahtar Kavram

Friedman İki Yönlü Varyans Analizi, ilişkili k-örneklem setlerinde (tekrarlı ölçümler veya randomize blok desenleri) kullanılan ve verilerin en az sıralama ölçeğinde olmasını gerektiren non-parametrik bir testtir.

Soru 4Soru →

Bir araştırmacı, üç farklı öğretim yönteminin ( $A$ , $B$ ve $C$ ) öğrenciler üzerindeki etkisini incelemek amacıyla 3 farklı uzman panelistten yöntemleri 20 üzerinden puanlamalarını istemiştir. Elde edilen puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Uzman	Yöntem A	Yöntem B	Yöntem C
1. Uzman	10	10	15
2. Uzman	12	18	14
3. Uzman	8	8	12

Verilerde bağlı değerlerin (ties) bulunduğu dikkate alındığında, yöntemler arasında fark olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken düzeltilmiş Friedman test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

3,20

2,67

3,00

2,40

3,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,20

Cevap

Düzeltilmiş Friedman test istatistiği değeri 3,20 olarak hesaplanır.

Verilen puanlar her bir uzman (blok) bazında sıralandığında, 1. ve 3. uzmanlarda ikişer tane bağlı değer olduğu görülür. Bu bağlı değerlere

1,5

ortalama sırası atanır. Elde edilen sıra toplamları üzerinden hesaplanan uncorrected istatistik

2,67

iken, bağlı değerlerden kaynaklanan

C = 0,833

düzeltme faktörüne bölünmesi sonucunda nihai değer

3,20

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bloklar (Uzmanlar) içinde puanlara sıra numarası verilir.

1. Uzman: (1,5; 1,5; 3), 2. Uzman: (1; 3; 2), 3. Uzman: (1,5; 1,5; 3)

Friedman testinde sıralama her bir satır (blok) için ayrı ayrı yapılır; aynı değerlere sahip gözlemlere sıra numaralarının ortalaması verilir.

2

Yöntemlerin sıra toplamları (

R_j

) hesaplanır.

R_A = 1,5 + 1 + 1,5 = 4

;

R_B = 1,5 + 3 + 1,5 = 6

;

R_C = 3 + 2 + 3 = 8

Test istatistiği formülünde kullanılacak sütun toplamları belirlenir.

3

Düzeltilmemiş Friedman istatistiği (

\chi_r^2

) hesaplanır.

\chi_r^2 = \frac{12}{3 \cdot 3 \cdot 4} (4^2 + 6^2 + 8^2) - 3 \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{3}(116) - 36 \approx 2,67

Bağlı değerler dikkate alınmadan önceki temel istatistik hesaplanır.

4

Bağlı değerler için düzeltme faktörü (

C

) hesaplanır.

C = 1 - \frac{\sum (t^3 - t)}{nk(k^2 - 1)} = 1 - \frac{(2^3 - 2) + 0 + (2^3 - 2)}{3 \cdot 3 \cdot (9 - 1)} = 1 - \frac{12}{72} = 0,833

Bağlı değerlerin testin varyansını küçültme etkisini gidermek için düzeltme faktörü belirlenir.

5

Düzeltilmiş istatistik hesaplanır.

\chi_{corrected}^2 = \frac{2,666...}{0,833...} = 3,20

Düzeltilmemiş değer, düzeltme faktörüne bölünerek nihai test istatistiğine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bağlı değerlerin (ties) olduğu durumda Friedman testi için düzeltme faktörü uygulanarak testin gücü korunur.

Daha Fazla Pratik

Bağlı değerlerin test kararı üzerindeki etkisini (anlamlılık düzeyini nasıl değiştirdiğini) incelemek için kritik değerle karşılaştırma yapınız.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Bir araştırmacı, 12 farklı işletmede uygulanan üç farklı envanter yönetim sisteminin maliyet etkinliğini karşılaştırmış ve elde edilen verilerin normal dağılım varsayımını karşılamadığını saptamıştır. Yapılan Friedman testi sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

İstatistik	Değer
Friedman $\chi^2$	$8,642$
Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	$2$
Anlamlılık ( $p$ )	$0,013$

Analiz sonucuna göre sistemler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu saptandığına göre ( $\alpha = 0,05$ ), hangi envanter yönetim sistemlerinin birbirinden farklı olduğunu belirlemek amacıyla aşağıdaki testlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Tukey HSD testi

Mann-Whitney U testi

Nemenyi testi

Scheffe testi

Kruskal-Wallis testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Nemenyi testi

Cevap

Friedman testi sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda, bağımlı gruplar arasındaki farkın kaynağını belirlemek için Nemenyi testi uygulanmalıdır.

Friedman testi, bağımlı örneklemler için uygulanan parametrik olmayan bir varyans analizidir. Bu testin sonucunda anlamlı bir fark (

p < 0,05

) bulunduğunda, hangi ölçümlerin birbirinden farklı olduğunu belirlemek için parametrik varsayımlar gerektirmeyen 'Nemenyi testi' veya 'Bonferroni düzeltmeli Wilcoxon işaretli sıralar testi' gibi yöntemler kullanılmalıdır. Nemenyi testi, doğrudan sıralama puanları üzerinden ikili karşılaştırmalar yapılmasına olanak tanıyan standart bir post-hoc yöntemidir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve uygulanan testi analiz et.

Veriler bağımlı (12 işletmede 3 sistem) ve parametrik olmayan (Friedman testi uygulanmış) yapıdadır.

Doğru çoklu karşılaştırma testi, ana testin varsayımları ve veri yapısıyla uyumlu olmalıdır.

2

Anlamlılık düzeyini (

p

) değerlendir.

p = 0,013 < 0,05

olduğu için sıfır hipotezi reddedilir ve farkın kaynağını bulmak için post-hoc testi gerekir.

Çoklu karşılaştırmalar sadece ana test istatistiksel olarak anlamlı çıktığında yapılır.

3

Bağımlı ve parametrik olmayan yapıya uygun post-hoc yöntemini seç.

Seçenekler arasından Friedman testine özgü parametrik olmayan çoklu karşılaştırma testi olan Nemenyi testi belirlenir.

Parametrik testler (Tukey, Scheffe) normallik varsayımı gerektirirken, Mann-Whitney bağımsız örneklemler içindir.

Anahtar Kavram

Friedman testi sonrası anlamlı fark saptandığında, tip I hatayı kontrol ederek ikili karşılaştırmalar yapmak için Nemenyi veya Bonferroni düzeltmeli Wilcoxon testi gibi parametrik olmayan yöntemler kullanılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir bilgi işlem sorumlusu, şirketteki 5 farklı bilgisayarda 3 farklı antivirüs yazılımının (Yazılım 1, Yazılım 2 ve Yazılım 3) tehdit engelleme performansını test etmektedir. Yazılımın tehdidi başarıyla engellemesi '1', engellememesi ise '0' ile kodlanmıştır. Elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Bilgisayar	Yazılım 1	Yazılım 2	Yazılım 3
1. Bilgisayar	1	1	0
2. Bilgisayar	1	0	0
3. Bilgisayar	0	1	0
4. Bilgisayar	1	1	1
5. Bilgisayar	0	1	1

Bu verilere göre, antivirüs yazılımlarının performansları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemek için hesaplanacak Cochran Q test istatistiği değeri kaçtır?

0,75

1,50

3,00

0,44

2,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,50

Cevap

Hesaplamalar sonucunda Cochran Q test istatistiği değeri 1,50 olarak bulunur.

Verilen tabloya göre sütun toplamları 3, 4 ve 2'dir. Kareleri toplamı 29'dur. Satır toplamları ise 2, 1, 1, 3 ve 2 olup toplamı 9, kareleri toplamı ise 19'dur. Formül uygulandığında pay

(2 \times (87-81)) = 12

ve payda

(27-19) = 8

bulunur. 12/8 oranı ise 1,50 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Sütun toplamlarını (

C_j

) ve satır toplamlarını (

R_i

) hesaplayın.

C_1=3, C_2=4, C_3=2

;

R_1=2, R_2=1, R_3=1, R_4=3, R_5=2

Cochran Q formülü için hem her bir yazılımın (sütun) hem de her bir bilgisayarın (satır) toplam başarı puanları gereklidir.

2

Gerekli toplam değerlerini ve kareler toplamını bulun (

k=3, n=5

).

\sum C_j = 9

,

\sum C_j^2 = 3^2+4^2+2^2 = 29

,

\sum R_i = 9

,

\sum R_i^2 = 2^2+1^2+1^2+3^2+2^2 = 19

Formül bileşenlerini hazırlamak için bu toplamlar ön koşuldur.

3

Değerleri Cochran Q formülünde yerine koyun:

Q = \frac{(k-1) [k \sum C_j^2 - (\sum C_j)^2]}{k \sum R_i - \sum R_i^2}

Q = \frac{(3-1) [3(29) - 9^2]}{3(9) - 19} = \frac{2 [87 - 81]}{27 - 19}

İstatistiki değerin matematiksel hesabını tamamlamak için standart formül uygulanır.

4

İşlemleri sonuçlandırın.

Q = \frac{2 \times 6}{8} = \frac{12}{8} = 1,50

Pay ve payda değerlerinin oranlanmasıyla test istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

Cochran Q Testi,

k

bağımlı (ilişkili) örneklemde ikili (0/1) veriler için gruplar arası farkın anlamlılığını test eder.

Alternatif Yöntem

Hesaplama kolaylığı için önce payın içindeki 'sapma' benzeri terimi (

k \sum C_j^2 - G^2

) hesaplayıp ardından payda ile oranlamak hata riskini azaltabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan $15$ personelin performans puanları; üç farklı çalışma modeli uygulanarak ölçülmüştür. Elde edilen verilerin normal dağılım varsayımını karşılamaması nedeniyle uygulanan Friedman testi sonucunda, çalışma modelleri arasında performans açısından istatistiksel olarak anlamlı bir fark tespit edilmiştir ( $p < 0.05$ ). Bu aşamadan sonra, farkın hangi çalışma modelleri arasından kaynaklandığını belirlemek amacıyla yapılacak çoklu karşılaştırma (post-hoc) süreci ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Parametrik varyans analizi sonrası yaygın olarak kullanılan Tukey HSD veya Scheffe testleri, Friedman testi sonrası çoklu karşılaştırmalar için de doğrudan tercih edilmelidir.

Verilerin bağımlı yapısı ve sıralama esasına dayalı olması nedeniyle Nemenyi testi veya Bonferroni düzeltmesi uygulanmış Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanılmalıdır.

Sıra ortalamaları arasındaki farkların anlamlılığını test etmek amacıyla, grupların birbirinden bağımsız olduğu varsayımıyla Mann-Whitney U testi uygulanmalıdır.

Çoklu karşılaştırma aşamasında sadece bağımsız gruplar için geliştirilen Kruskal-Wallis testi sonrası kullanılan Dunn testi uygulanabilir.

Friedman testi bir bütün olarak anlamlı çıktığı için gruplar arası ikili karşılaştırmaların yapılmasına gerek duyulmaz ve doğrudan en yüksek sıra ortalamasına sahip grup seçilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Verilerin bağımlı yapısı ve sıralama esasına dayalı olması nedeniyle Nemenyi testi veya Bonferroni düzeltmesi uygulanmış Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanılmalıdır.

Cevap

Verilerin bağımlı yapısı ve sıralama esasına dayalı olması nedeniyle Nemenyi testi veya Bonferroni düzeltmesi uygulanmış Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanılmalıdır.

Friedman testi, parametrik olmayan bir testtir ve bağımlı örneklemler (bloklar) üzerinde gerçekleştirilir. Bu testin sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda, farkın kaynağını belirlemek için yine parametrik olmayan ve bağımlı örneklem yapısına uygun olan Nemenyi testi veya ikili karşılaştırmalar için Bonferroni düzeltmesi yapılmış Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi kullanılmalıdır. Bu yöntemler, çoklu karşılaştırmalarda artan Tip I hata riskini kontrol altında tutar.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve uygulanan testi analiz et.

Veriler

k=3

bağımlı örneklemden oluşmaktadır ve normallik sağlanmadığı için Friedman testi uygulanmıştır.

Çoklu karşılaştırma testinin seçimi, ana testin varsayımlarına (bağımlılık/bağımsızlık ve parametrik/non-parametrik) uygun olmalıdır.

2

Friedman testi sonrası anlamlılık durumunda yapılacak işlemi belirle.

Sıfır hipotezi (

H_0

) reddedildiği için hangi grupların birbirinden farklı olduğunu bulmak amacıyla post-hoc (çoklu karşılaştırma) testlerine geçilir.

Anlamlı farkın kaynağını belirlemek bilimsel araştırmanın devamlılığı için gereklidir.

3

Uygun post-hoc testini seç.

Nemenyi testi veya ikili karşılaştırmalarda Tip I hatayı kontrol etmek için Bonferroni düzeltmeli Wilcoxon testi seçilir.

Friedman testi sıra ortalamalarına dayanır; bu nedenle post-hoc testleri de bu sıralama yapısını korumalı ve bağımlı örneklem karakterine uymalıdır.

Anahtar Kavram

Friedman Testi Sonrası Çoklu Karşılaştırmalar

Soru 8Soru →

Bir tasarım yarışmasında $4$ jüri üyesi ( $k=4$ ), finale kalan $3$ farklı logo tasarımını ( $n=3$ ) beğeni düzeylerine göre $1$ 'den $3$ 'e kadar sıralamışlardır. Jüri üyelerinin her bir tasarım için verdiği sıra numaraları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Tasarım	Jüri 1	Jüri 2	Jüri 3	Jüri 4
Logo A	$1$	$2$	$2$	$1$
Logo B	$2$	$1$	$3$	$2$
Logo C	$3$	$3$	$1$	$3$

Buna göre, uzmanlar arası uyumu gösteren Kendall Uyum Katsayısı ( $W$ ) ve bu katsayının anlamlılığını test etmek için başvurulan Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

W = 0,25

ve

\chi^2 = 2,00

W = 0,25

ve

\chi^2 = 3,00

W = 0,50

ve

\chi^2 = 4,00

W = -0,25

ve

\chi^2 = 2,00

W = 0,25

ve

\chi^2 = 6,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W = 0,25$ ve $\chi^2 = 2,00$

Cevap

Kendall Uyum Katsayısı

W = 0,25

ve Ki-kare değeri

\chi^2 = 2,00

olarak hesaplanır.

Verilen verilere göre sıra toplamlarının kareleri farkı

S=8

olarak bulunur. Formül uygulandığında

W = 96/384 = 0,25

elde edilir. Bu değerin anlamlılık testi için

\chi^2 = k(n-1)W

formülü kullanıldığında

4 \times 2 \times 0,25 = 2,00

sonucuna ulaşılır. Serbestlik derecesi ise

3-1=2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımların aldığı sıra numaralarının toplamlarını (

R_j

) ve ortalama sıra toplamını hesaplayınız.

R_A = 1+2+2+1 = 6

;

R_B = 2+1+3+2 = 8

;

R_C = 3+3+1+3 = 10

. Ortalama sıra toplamı

\bar{R} = \frac{6+8+10}{3} = 8

.

W

hesaplamasında kullanılacak olan kareler toplamı (

S

) için baz değerleri belirlemek.

2

Gözlenen sıra toplamlarının ortalamadan sapmalarının kareleri toplamını (

S

) hesaplayınız.

S = (6-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2 = (-2)^2 + 0^2 + 2^2 = 4 + 0 + 4 = 8

.

S

değeri, uzmanlar arasındaki uyumun derecesini formüle aktarmak için gereklidir.

3

W

katsayısını formül yardımıyla hesaplayınız.

W = \frac{12S}{k^2(n^3-n)} = \frac{12 \times 8}{4^2(3^3-3)} = \frac{96}{16 \times 24} = \frac{96}{384} = 0,25

.

Uyum katsayısının büyüklüğünü belirlemek (

0

ile

1

arası).

4

Anlamlılık testi için Ki-kare (Friedman

\chi^2

) istatistiğini hesaplayınız.

\chi^2 = k(n-1)W = 4 \times (3-1) \times 0,25 = 8 \times 0,25 = 2,00

.

Hesaplanan uyumun istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek.

Anahtar Kavram

Kendall Uyum Katsayısı (

W

), birden fazla hakemin/uzmanın aynı nesneleri sıraladığı durumlarda aralarındaki görüş birliğini ölçer ve Ki-kare dağılımı üzerinden anlamlılığı test edilir.

Soru 9Soru →

Bir araştırmacı, aynı denek grubu üzerinde üç farklı ilacın yan etki gösterip göstermediğini incelemektedir. Her bir denek için üç ilaç ayrı ayrı denenmiş ve yan etki görülme durumu "var" ( $1$ ) veya "yok" ( $0$ ) şeklinde kaydedilmiştir. Bu veriler üzerinden ilaçlar arasında yan etki görülme oranları açısından anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemek amacıyla Cochran Q testi uygulanacaktır.

Buna göre, söz konusu testin varsayımları ve hipotez yapısı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cochran Q testi,

k

-bağımlı örneklemlerden elde edilen iki kategorili nominal verilerin analizinde kullanılır ve yokluk hipotezi başarı (veya yan etki) oranlarının tüm durumlar için eşit olduğunu savunur.

Bu testin uygulanabilmesi için verilerin en az sıralama (ordinal) ölçeğinde olması ve bloklar içindeki değerlerin birbirine göre sıralanması gerekir.

Örneklem birimlerinin birbirinden bağımsız olması durumunda, gruplar arasındaki oran farklarını test etmek için en uygun parametrik olmayan alternatiftir.

Yokluk hipotezi (

H_0

), karşılaştırılan grupların medyan değerlerinin birbirine eşit olduğunu ifade eder.

Testin geçerli sonuçlar verebilmesi için verilerin normal dağılım göstermesi ve varyansların homojen olması varsayımı sağlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cochran Q testi, $k$ -bağımlı örneklemlerden elde edilen iki kategorili nominal verilerin analizinde kullanılır ve yokluk hipotezi başarı (veya yan etki) oranlarının tüm durumlar için eşit olduğunu savunur.

Cevap

Cochran Q testi, k-bağımlı örneklemlerden elde edilen iki kategorili nominal verilerin analizinde kullanılır ve yokluk hipotezi başarı oranlarının tüm durumlar için eşit olduğunu savunur.

Cochran Q testi, McNemar testinin ikiden fazla bağımlı grup için genelleştirilmiş halidir. Temel varsayımları verinin bağımlı örneklemlerden gelmesi ve ölçümün iki kategorili nominal (başarı/başarısız, var/yok) olmasıdır. Hipotezleri ise bu kategorilerin görülme oranlarının tüm gruplarda eşit olup olmadığını test eder.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve örneklem türünü belirleme

Veriler

k=3

grup (ilaç), bağımlı örneklem (aynı denekler) ve iki düzeyli (

0

-

1

) nominal ölçektedir.

Uygun istatistiksel testin seçilmesi için veri türünün ve bağımlılık durumunun netleştirilmesi gerekir.

2

Test seçimi yapma

Cochran Q testi seçilmiştir.

k > 2

bağımlı grup ve dikotom veri seti için McNemar testinin genişletilmiş hali olan Cochran Q testi uygundur.

3

Hipotezleri kurma

H_0: P_1 = P_2 = P_3

ve

H_1

: En az bir

P_i

farklıdır.

Testin amacı, farklı koşullar altındaki başarı veya özellik gösterme oranlarının (olasılıklarının) eşitliğini sınamaktır.

Anahtar Kavram

Cochran Q testi, bağımlı k-örneklem durumunda dikotom (iki kategorili) verilerin karşılaştırılmasında kullanılan parametrik olmayan bir testtir.

Daha Fazla Pratik

Cochran Q testi sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda, hangi gruplar arasında fark olduğunu belirlemek için yapılacak çoklu karşılaştırma (post-hoc) yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan 25 personelin, yeni geliştirilen üç farklı veri giriş arayüzünü (Arayüz 1, Arayüz 2 ve Arayüz 3) kullanırken hata yapıp yapmadıkları incelenmek istenmektedir. Her bir personel her üç arayüzü de deneyimlemiş ve performans sonuçları 'Hata Yaptı (0)' veya 'Hata Yapmadı (1)' şeklinde kaydedilmiştir. Bu veri yapısına göre, arayüzler arasında başarı oranları bakımından anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla Cochran Q testi uygulanabilmesi için gereken temel varsayım ve kurulan temel sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

Verilerin iki düzeyli nominal (dikotom) ölçekte olması ve

H_0

: Tüm arayüzler için başarı oranlarının evrende birbirine eşit olması

Verilerin en az sıralama ölçeğinde olması ve

H_0

: Grupların medyan değerleri arasında anlamlı bir farkın olmaması

Verilerin aralık veya oran ölçeğinde olup normal dağılım göstermesi ve

H_0

: Grupların ortalamalarının birbirine eşit olması

Grupların birbirinden bağımsız olması ve

H_0

: Farklı arayüzleri kullanan grupların başarı oranları arasında fark olmaması

Verilerin dikotom olması ancak sadece iki bağımlı ölçüm (

k=2

) için uygulanması ve

H_0

: Gözlenen ve beklenen frekansların farksız olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Verilerin iki düzeyli nominal (dikotom) ölçekte olması ve $H_0$ : Tüm arayüzler için başarı oranlarının evrende birbirine eşit olması

Cevap

Cochran Q testi için verilerin iki düzeyli nominal (0-1) yapıda olması ve sıfır hipotezinin başarı oranlarının tüm koşullarda eşit olduğunu belirtmesi gerekir.

Cochran Q testi, aynı deneklerin veya eşleştirilmiş birimlerin ikiden fazla (

k \geq 3

) koşul altında gözlendiği ve verilerin 'başarılı/başarısız', 'var/yok' gibi iki düzeyli (dikotom) olduğu durumlarda uygulanır. Sıfır hipotezi, bu koşullardaki başarı oranlarının evrende birbirine eşit olduğunu varsayar.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısının incelenmesi

Veriler 'Hata Yaptı (0)' ve 'Hata Yapmadı (1)' şeklinde iki kategorilidir (dikotom).

Cochran Q testi sadece iki kategorili (başarı/başarısızlık gibi) bağımlı verilerle çalışır.

2

Örneklem bağımlılığının kontrolü

Aynı 25 personel üç farklı arayüzü de kullandığı için

k=3

bağımlı örneklem söz konusudur.

Bu durum, testin 'eşleştirilmiş bloklar' veya 'tekrarlı ölçümler' tasarımıyla uyumlu olduğunu gösterir.

3

Hipotez kurulumu

H_0: P_1 = P_2 = P_3

(Burada

P

, her bir arayüzdeki başarı oranını temsil eder).

Cochran Q testinin temel amacı, farklı uygulama veya zamanlardaki başarı olasılıklarının farksız olup olmadığını test etmektir.

Anahtar Kavram

Cochran Q Testi,

k

bağımlı örneklem için iki düzeyli nominal verilerin karşılaştırılmasında kullanılan non-parametrik bir testtir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir belediye yönetimi, şehir içi ulaşımda kullanılan üç farklı ödeme yönteminin (Kart, Mobil Uygulama, Temassız Kredi Kartı) kullanıcılar tarafından 'kullanışlı' bulunup bulunmadığını test etmektedir. Rastgele seçilen 5 kullanıcının bu yöntemlere verdikleri yanıtlar (1: Kullanışlı, 0: Kullanışlı değil) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Kullanıcı	Kart	Mobil Uygulama	Temassız Kredi Kartı
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	0	0
4	0	0	1
5	1	0	1

Bu verilere göre hesaplanan Cochran Q test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,80

1,20

1,60

2,00

2,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,60

Cevap

Hesaplanan Cochran Q test istatistiği değeri 1,60'tır.

Cochran Q test istatistiği, sütun toplamlarının (

C_j

) varyasyonu ile satır toplamlarının (

R_i

) toplam varyasyonu arasındaki oran temelinde hesaplanır. Verilen örneklemde

k=3

kategori için serbestlik derecesi

2

olup, formüle yerleştirilen toplamlar (

\sum C_j^2=24, \sum C_j=8, \sum R_i=8, \sum R_i^2=14

) sonucunda değer

1,60

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sütun toplamlarını (

C_j

) ve bu toplamların karelerini hesaplayalım.

C_1 = 4, C_2 = 2, C_3 = 2

. Buradan

\sum C_j = 8

ve

\sum C_j^2 = 4^2 + 2^2 + 2^2 = 16 + 4 + 4 = 24

.

Cochran Q formülünün pay kısmındaki bileşenleri belirlemek için sütun toplamlarına ihtiyaç vardır.

2

Satır toplamlarını (

R_i

) ve bu toplamların karelerini hesaplayalım.

R_1=2, R_2=2, R_3=1, R_4=1, R_5=2

. Buradan

\sum R_i = 8

ve

\sum R_i^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 4 + 1 + 1 + 4 = 14

.

Formülün payda kısmındaki varyasyonu hesaplamak için satır toplamları ve kareleri gereklidir.

3

Cochran Q formülünü verilerle dolduralım (

k=3

ödeme yöntemi için).

Q = \frac{(k-1)[k \sum C_j^2 - (\sum C_j)^2]}{k \sum R_i - \sum R_i^2}

Q = \frac{(3-1)[3(24) - 8^2]}{3(8) - 14}

Kategorik ve bağımlı verilerde gruplar arası farkın anlamlılığını test etmek için standart test istatistiği kullanılır.

4

İşlemleri tamamlayarak nihai test istatistiğini bulalım.

Q = \frac{2 \times [72 - 64]}{24 - 14} = \frac{2 \times 8}{10} = \frac{16}{10} = 1,6

Matematiksel sadeleştirme sonucu test istatistiği değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Cochran Q testi, k-bağımlı örneklem durumunda iki kategorili (başarı/başarısızlık gibi) verilerin karşılaştırılmasında kullanılan parametrik olmayan bir testtir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 12Soru →

Bir belediye denetim biriminde görev yapan 40 müfettişin, üç farklı dijital denetim yazılımını (Yazılım A, Yazılım B ve Yazılım C) "etkili" bulup bulmadıkları (1: Etkili, 0: Etkili değil) belirlenmek istenmektedir. Bu çalışmada Cochran Q testinin uygulanabilirliği, veri yapısı ve sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) kurulumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Gözlemlerin iki düzeyli nominal (dikotom) ölçekte olması gerekir ve sıfır hipotezi her bir yazılımın etkili bulunma oranlarının birbirine eşit olduğunu belirtir.

Analizin yapılabilmesi için verilerin en az sıralama ölçeğinde olması zorunludur ve sıfır hipotezi yazılımların kullanım kolaylığı sıralamaları arasında fark olmadığını savunur.

Cochran Q testi bağımsız gruplardan elde edilen verilerle uygulanır ve sıfır hipotezi gruplar arası varyansların homojen olduğunu varsayar.

Testin geçerliliği için her bir yazılım grubundaki gözlemlerin normal dağılım göstermesi gerekir ve test istatistiği grupların aritmetik ortalamalarını karşılaştırır.

Testin uygulanabilmesi için sadece iki bağımlı ölçümün olması yeterlidir ve sıfır hipotezi grupların medyan değerlerinin eşitliğini test eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlemlerin iki düzeyli nominal (dikotom) ölçekte olması gerekir ve sıfır hipotezi her bir yazılımın etkili bulunma oranlarının birbirine eşit olduğunu belirtir.

Cevap

Verilerin iki düzeyli nominal ölçekte olması ve sıfır hipotezinin oranların eşitliğini savunması

Cochran Q testi, McNemar testinin ikiden fazla bağımlı örneklem durumuna genelleştirilmiş halidir. Bu testin uygulanabilmesi için verilerin mutlaka iki kategorili (başarı/başarısızlık, var/yok, 1/0 gibi) nominal ölçekte olması gerekir. Sıfır hipotezi ise incelenen tüm koşullardaki başarı oranlarının veya olasılıklarının istatistiksel olarak birbirine eşit olduğunu savunur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve örneklem ilişkisini tanımlama

Aynı 40 müfettişin üç farklı yazılımı değerlendirmesi,

k=3

bağımlı (eşleştirilmiş) örneklem yapısını oluşturur.

Test seçimi için verilerin bağımlı mı yoksa bağımsız mı olduğunu belirlemek ilk adımdır.

2

Ölçme düzeyini belirleme

Yanıtların 1 (Etkili) ve 0 (Etkili değil) şeklinde olması, verinin iki düzeyli nominal (dikotom) ölçekte olduğunu gösterir.

Cochran Q testi sadece nominal/dikotom verilerle çalışır.

3

Sıfır hipotezini (

H_0

) formüle etme

H_0: P_A = P_B = P_C

(Yazılımların etkili bulunma oranları birbirine eşittir).

Cochran Q testi, k adet bağımlı ölçümdeki başarı oranları arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test eder.

Anahtar Kavram

Cochran Q testi, bağımlı k-örneklem desenlerinde iki kategorili (başarı/başarısızlık) verilerin analizinde kullanılır ve başarı oranlarının eşitliğini test eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir spor kulübünde iki antrenör ( $k=2$ ), dört farklı sporcuyu ( $n=4$ ) performans düzeylerine göre 1'den 4'e kadar (1: En iyi, 4: En kötü) sıralamışlardır. Antrenörlerin sporculara verdikleri sıra numaraları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Antrenör	Sporcu A	Sporcu B	Sporcu C	Sporcu D
1. Antrenör	1	2	3	4
2. Antrenör	2	3	4	1

Buna göre, antrenörlerin değerlendirmeleri arasındaki uyumun derecesini gösteren Kendall Uyum Katsayısı ( $W$ ) kaçtır?

-0,40

0,20

0,40

0,80

1,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Antrenörler arasındaki uyumu gösteren Kendall Uyum Katsayısı 0,40 olarak hesaplanır.

Verilen verilere göre sporcuların sıra toplamları 3, 5, 7 ve 5'tir. Bu toplamların ortalaması olan 5'ten sapmalarının kareleri toplamı (

S

) 8 olarak bulunur.

k=2

gözlemci ve

n=4

nesne için Kendall W formülü uygulandığında

W = 96/240 = 0,40

sonucuna ulaşılır. Bu değer, antrenörler arasında orta düzeyde bir uyum olduğunu göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Her sporcu için sıra toplamlarını (

R_i

) hesaplayınız.

R_A = 1+2=3

,

R_B = 2+3=5

,

R_C = 3+4=7

,

R_D = 4+1=5

. Toplam:

3+5+7+5 = 20

.

Kendall W katsayısı, her bir birimin aldığı sıra numaralarının toplamı üzerinden hesaplanan değişkenliğe dayanır.

2

Ortalama sıra toplamını (

\bar{R}

) ve kareler toplamını (

S

) bulunuz.

\bar{R} = 20 / 4 = 5

.

S = (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (5-5)^2 = 4 + 0 + 4 + 0 = 8

.

S değeri, gözlenen sıra toplamlarının beklenen (ortalama) değerden sapmalarının kareleri toplamıdır.

3

Kendall Uyum Katsayısı formülünü uygulayınız.

W = \frac{12S}{k^2(n^3-n)} = \frac{12 \times 8}{2^2(4^3-4)} = \frac{96}{4 \times 60} = \frac{96}{240} = 0,40

.

Gözlemci sayısı

k=2

ve nesne sayısı

n=4

değerlerini formülde yerine koyarak standart katsayıya ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kendall Uyum Katsayısı (W)

İpuçları

1

Öncelikle her sporcu için iki antrenörün verdiği puanları toplayarak sütun toplamlarını bulun.

2

Sıra toplamlarının beklenen değerden sapmalarının karelerini (S) hesaplayın. Burada ortalama sıra toplamı 5'tir.

3

W = \frac{12S}{k^2(n^3-n)}

formülünü kullanırken

k=2

ve

n=4

olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Kendall W katsayısının anlamlılığını test etmek için serbestlik derecesi

n-1=3

olan Ki-Kare tablosuna bakılması gerektiğini hatırlayınız.

Alternatif Yöntem

Friedman Ki-Kare istatistiği biliniyorsa,

W = \frac{\chi^2_{Friedman}}{k(n-1)}

formülü ile de aynı sonuca ulaşılabilir. Bu örnekte

\chi^2 = 2,4

ve

W = 2,4 / (2 \times 3) = 0,4

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 14Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım planlama birimi, aynı $10$ farklı ana arter güzergahı üzerinde $4$ farklı trafik sinyalizasyon yazılımının ( $A, B, C$ ve $D$ algoritmaları) araç başına düşen ortalama gecikme sürelerini ölçmüştür. Verilerin normal dağılım varsayımını karşılamadığı görülmüş ve uygulanan Friedman testi sonucunda algoritmalar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu ( $p < 0,01$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, hangi sinyalizasyon algoritmalarının birbirinden farklı olduğunu belirlemek amacıyla aşağıdaki çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinden hangisinin uygulanması en uygundur?

Nemenyi testi

Tukey HSD testi

Mann-Whitney U testi

Duncan testi

Scheffe testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Nemenyi testi

Cevap

Friedman testi gibi parametrik olmayan bağımlı örneklem testlerinden sonra anlamlı farkın kaynağını bulmak için Nemenyi testi uygulanmalıdır.

Nemenyi testi, Friedman testi sonucunda anlamlı bir fark bulunduğunda, hangi grupların (bu senaryoda algoritmaların) sıra ortalamaları arasında anlamlı fark olduğunu belirlemek için kullanılan, parametrik varsayımlara ihtiyaç duymayan bir çoklu karşılaştırma yöntemidir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve kullanılan temel testi analiz etme

Veriler bağımlı (tekrarlı ölçümler) yapıdadır ve normallik varsayımı sağlanmadığı için Friedman testi uygulanmıştır.

Çoklu karşılaştırma testinin seçimi, verinin dağılımına ve örneklem yapısına bağlıdır.

2

Post-hoc (çoklu karşılaştırma) ihtiyacını belirleme

Friedman testi sonucu anlamlı (

p < 0,01

) çıktığı için farkın hangi algoritmalardan kaynaklandığı incelenmelidir.

Genel test anlamlı değilse çoklu karşılaştırma yapılmaz.

3

Uygun post-hoc testini seçme

Parametrik olmayan bağımlı örneklemler için geliştirilmiş olan Nemenyi testi seçilir.

Tukey, Duncan ve Scheffe testleri parametrik varsayımlar gerektirir; Mann-Whitney ise bağımsız örneklemler içindir.

Anahtar Kavram

Friedman Testi Sonrası Çoklu Karşılaştırmalar

Alternatif Yöntem

Friedman testi sonrasında çoklu karşılaştırma amacıyla alternatif olarak 'Bonferroni düzeltmeli Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi' de kullanılabilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 15Soru →

Bir beslenme uzmanı, üç farklı diyet programının ( $X$ , $Y$ ve $Z$ ) bireyler üzerindeki kilo kaybı etkilerini karşılaştırmak amacıyla 3 gönüllü birey üzerinde bir araştırma yapmıştır. Her bir birey için üç diyet programı belirli aralıklarla uygulanmış ve elde edilen kilo kaybı miktarları (kg) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Birey	Diyet X	Diyet Y	Diyet Z
1	2	2	4
2	1	3	3
3	5	5	5

Buna göre, bağlı gözlemler (ties) için düzeltme faktörü kullanıldığında hesaplanan Friedman test istatistiği değeri kaçtır?

3,00

1,50

2,25

4,50

0,75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,00

Cevap

Bağlı gözlemler için düzeltme faktörü uygulandığında Friedman test istatistiği 3,00 olarak hesaplanır.

Düzeltilmiş Friedman istatistiği, standart formülle bulunan 1,5 değerinin, bağlı gözlemlerden kaynaklanan 0,5 düzeltme faktörüne bölünmesiyle elde edilen 3,0 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir blok (birey) içindeki gözlemleri küçükten büyüğe sıralayarak sıra sayılarını atamak.

Birey 1: X(1,5), Y(1,5), Z(3); Birey 2: X(1), Y(2,5), Z(2,5); Birey 3: X(2), Y(2), Z(2).

Friedman testinde sıralama her blok içinde ayrı ayrı yapılır; bağlı değerler için sıra ortalaması kullanılır.

2

Gruplara ait sıra toplamlarını (

R_j

) hesaplamak.

R_X = 4,5

;

R_Y = 6,0

;

R_Z = 7,5

.

Test istatistiği formülünde kullanılacak temel bileşenleri belirlemek.

3

Düzeltilmemiş Friedman istatistiğini (

F_r

) hesaplamak.

F_r = \frac{12}{3 \cdot 3(4)} (4,5^2 + 6^2 + 7,5^2) - 3 \cdot 3(4) = \frac{1}{3}(20,25 + 36 + 56,25) - 36 = 1,5

.

Bağlı gözlem olmayan durumdaki baz değeri bulmak.

4

Düzeltme faktörünü (

C

) hesaplamak.

C = 1 - \frac{\sum T}{n(k^3 - k)} = 1 - \frac{(2^3-2) + (2^3-2) + (3^3-3)}{3(3^3-3)} = 1 - \frac{6+6+24}{72} = 0,5

.

Bağlı gözlemlerin varyans üzerindeki etkisini telafi etmek.

5

Düzeltilmiş test istatistiğini elde etmek.

F_{r, corr} = \frac{F_r}{C} = \frac{1,5}{0,5} = 3,0

.

Final test istatistiğine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bağlı gözlemlerin olduğu Friedman testinde, her bloktaki bağlı değerlerin sayısına göre bir düzeltme faktörü (

C

) hesaplanmalı ve standart test istatistiği bu faktöre bölünmelidir.

Daha Fazla Pratik

Bağlı gözlemlerin testin anlamlılık düzeyi üzerindeki etkisini tartışmak için kritik değer tablosuyla karşılaştırma yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 16Soru →

Bir kamu kurumunda görevli 3 uzman ( $n=3$ ), hizmet içi eğitimde kullanılan 3 farklı öğretim materyalinin ( $k=3$ ) etkinliğini 10 üzerinden puanlamıştır. Uzmanların materyallere verdiği puanlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Uzman	Materyal X	Materyal Y	Materyal Z
1. Uzman	8	8	6
2. Uzman	9	7	7
3. Uzman	5	9	5

Verilerde bağlı değerlerin (aynı puanların) olduğu dikkate alındığında, öğretim materyalleri arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek için hesaplanan **bağlı değerlere göre düzeltilmiş Friedman test istatistiği ( $\chi_{r, adj}^2$ )** değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2,67

2,00

1,50

0,75

3,12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,67

Cevap

Düzeltilmiş Friedman test istatistiği değeri 2,67'dir.

Doğru yanıt olan 2,67 değeri, öncelikle her blok içinde bağlı değerlere sıra ortalaması verilerek (örneğin 1. uzman için 8 ve 8 puanlarına 2,5 ortalama sırasının verilmesi) hesaplanan 2,00 ham istatistiğinin, verideki bağlardan kaynaklanan 0,75 düzeltme faktörüne bölünmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verileri her uzman (blok) için kendi içinde sıralayın ve bağlı değerlere sıra ortalaması verin.

1. Uzman: X=2,5; Y=2,5; Z=1 | 2. Uzman: X=3; Y=1,5; Z=1,5 | 3. Uzman: X=1,5; Y=3; Z=1,5

Friedman testinde sıralama bloklar içinde yapılır ve aynı değerlere sahip gözlemlere sıra numaralarının ortalaması atanır.

2

Her materyal (sütun) için sıra toplamlarını (

R_j

) hesaplayın.

R_X = 2,5 + 3 + 1,5 = 7

;

R_Y = 2,5 + 1,5 + 3 = 7

;

R_Z = 1 + 1,5 + 1,5 = 4

Test istatistiği formülünde kullanılacak olan gruplara ait sıra toplamları belirlenmelidir.

3

Düzeltilmemiş (ham) Friedman test istatistiğini (

\chi_r^2

) hesaplayın.

\chi_r^2 = \frac{12}{3 \times 3 \times 4} (7^2 + 7^2 + 4^2) - 3 \times 3 \times 4 = \frac{1}{3}(114) - 36 = 2

Formül:

\chi_r^2 = \frac{12}{nk(k+1)} \sum R_j^2 - 3n(k+1)

4

Bağlı değerler için düzeltme faktörünü (

C

) hesaplayın.

T_i = (2^3-2)=6

. Her blokta birer çift bağ olduğu için

\sum T = 6+6+6=18

.

C = 1 - \frac{18}{3(3^3-3)} = 1 - \frac{18}{72} = 0,75

Bağlı değerlerin varlığı test istatistiğini küçültür, bu yüzden düzeltme faktörü (

C = 1 - \frac{\sum T}{n(k^3-k)}

) gereklidir.

5

Düzeltilmiş test istatistiğini (

\chi_{r, adj}^2

) bulun.

\chi_{r, adj}^2 = 2 / 0,75 = 2,666... \approx 2,67

Corrected statistic = Uncorrected statistic / C

Anahtar Kavram

Friedman testinde bağlı değerler (ties) olması durumunda, her bir bloktaki bağ sayısı dikkate alınarak bir düzeltme faktörü hesaplanmalı ve ham istatistik bu faktöre bölünerek büyütülmelidir.

Daha Fazla Pratik

Bağlı değerlerin çok fazla olduğu durumlarda Friedman testi yerine hangi alternatif parametrik olmayan testlerin kullanılabileceğini araştırınız.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 17Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı araştırmacıları, $8$ farklı tarım işletmesinde uygulanan $3$ farklı gübreleme yönteminin ( $A, B, C$ ) ürün verimi üzerindeki etkisini karşılaştırmaktadır. Araştırmada aynı işletmeler üzerinde ölçüm yapıldığı için verilerin bağımlı olduğu ve normallik varsayımının karşılanmadığı belirlenmiştir. Yapılan Friedman testi sonucunda gübreleme yöntemleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu ( $p < 0,05$ ) saptanmıştır. Bu araştırmada hangi gübreleme yöntemlerinin birbirinden farklı olduğunu belirlemek için aşağıdaki testlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Tukey HSD testi

Scheffe testi

Nemenyi testi

Mann-Whitney U testi

Kruskal-Wallis testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Nemenyi testi

Cevap

Friedman testi sonrasında anlamlı farkın kaynağını belirlemek için Nemenyi testi uygulanmalıdır.

Friedman testi,

k

bağımlı örneklem durumunda kullanılan parametrik olmayan bir analiz yöntemidir. Bu testin sonucunda anlamlı bir fark bulunması durumunda, hangi grupların birbirinden farklı olduğunu saptamak için Nemenyi testi gibi parametrik olmayan çoklu karşılaştırma yöntemleri kullanılmalıdır. Nemenyi testi, sıra ortalamaları arasındaki farkları kritik bir değerle karşılaştırarak anlamlı farkları ortaya koyar.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısının ve hipotez testinin türünün belirlenmesi

Bağımlı örneklemler (

k=3

) ve parametrik olmayan (Friedman) test yapısı.

Aynı işletmeler üzerinde yapılan ölçümler verinin bağımlı olduğunu, normallik varsayımının sağlanmaması ise parametrik olmayan yöntem gerekliliğini gösterir.

2

Çoklu karşılaştırma (Post-hoc) gerekliliğinin değerlendirilmesi

H_0

reddedilmiştir (

p < 0,05

).

Friedman testi sonucunda gruplar arasında genel bir fark bulunduğunda, farkın hangi gruplardan kaynaklandığını bulmak için post-hoc test yapılması zorunludur.

3

Uygun post-hoc testin seçilmesi

Nemenyi testi.

Nemenyi testi, Friedman testi için tasarlanmış standart bir parametrik olmayan çoklu karşılaştırma yöntemidir.

Anahtar Kavram

Friedman testi sonrası çoklu karşılaştırmalarda parametrik olmayan post-hoc testlerin (Nemenyi veya Bonferroni düzeltmeli Wilcoxon) kullanımı.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir pazar araştırma şirketi, rastgele seçilen 6 tüketicinin 3 farklı markayı (Marka A, Marka B ve Marka C) 'tercih ederim' (1) veya 'tercih etmem' (0) şeklinde değerlendirmelerini istemiştir. Elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tüketici	Marka A	Marka B	Marka C
1	1	0	1
2	1	1	1
3	0	0	1
4	1	0	0
5	0	1	1
6	1	1	1

Buna göre, bu veriler kullanılarak hesaplanacak Cochran Q test istatistiği değeri kaçtır?

1,5

0,75

2,25

1,0

3,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,5

Cevap

Hesaplanan Cochran Q test istatistiği değeri 1,5'tir.

Verilen veri setinde

k=3

(marka sayısı) ve

n=6

(tüketici sayısı) olup; sütun toplamlarının kareleri toplamı

\sum C_j^2 = 50

, satır toplamlarının kareleri toplamı

\sum R_i^2 = 28

ve toplam başarı sayısı

\sum C_j = \sum R_i = 12

olarak hesaplanır. Formülde yerine konulduğunda

1,5

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sütun toplamlarının (

C_j

) ve bu toplamların karelerinin belirlenmesi

C_1 = 4, C_2 = 3, C_3 = 5

ve

\sum C_j = 12

; kareler toplamı:

\sum C_j^2 = 16 + 9 + 25 = 50

Formülün pay kısmında kullanılacak sütun bazlı değerleri elde etmek için.

2

Satır toplamlarının (

R_i

) ve bu toplamların karelerinin belirlenmesi

R_i

değerleri: 2, 3, 1, 1, 2, 3;

\sum R_i = 12

ve

\sum R_i^2 = 4 + 9 + 1 + 1 + 4 + 9 = 28

Formülün payda kısmında kullanılacak satır bazlı (blok) değerleri elde etmek için.

3

Değerlerin Cochran Q formülünde yerine yazılması

Q = \frac{(k-1) [k \sum C_j^2 - (\sum C_j)^2]}{k \sum R_i - \sum R_i^2}

formülünden

Q = \frac{(3-1) [3(50) - (12)^2]}{3(12) - 28}

Test istatistiğini hesaplamak için.

4

Matematiksel işlemin tamamlanması

Q = \frac{2 [150 - 144]}{36 - 28} = \frac{2 \times 6}{8} = \frac{12}{8} = 1,5

Nihai test istatistiği değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Cochran Q testi, bağımlı

k

örneklemde (bloklarda) dikotomik (0-1) veriler için oranların eşitliğini test eder.

İpuçları

1

Önce her bir markanın (sütun) toplam '1' sayısını (

C_j

) ve her bir tüketicinin (satır) toplam '1' sayısını (

R_i

) hesaplayın.

2

Formülün payı:

(k-1) [k \sum C_j^2 - (\sum C_j)^2]

, paydası:

k \sum R_i - \sum R_i^2

şeklindedir. Burada

k=3

ve

n=6

değerlerini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer elde edilen Q değeri serbestlik derecesi

k-1=2

olan Ki-kare tablo değerinden büyükse, markalar arasındaki tercih oranları bakımından anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir kamu kurumunun üç farklı şubesinde ( $n=3$ ), personelin katıldığı üç farklı hizmet içi eğitim programının ( $k=3$ ) verimlilik puanları 100 üzerinden aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Şube	Program A	Program B	Program C
Şube 1	80	80	90
Şube 2	70	85	85
Şube 3	75	75	75

Bu verilere göre, bağlı değerler (ties) dikkate alınarak hesaplanan düzeltilmiş Friedman test istatistiği ( $\chi_{r,corr}^2$ ) değeri kaçtır?

3,00

1,50

0,50

4,50

6,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3,00

Cevap

Düzeltilmiş Friedman test istatistiği

3,00

olarak hesaplanır.

Verilen verilerde her üç satırda da bağlı değerler (aynı puanlar) bulunmaktadır. İlk adımda bu değerlere sıra ortalamaları verilerek (örneğin Şube 3'te üç puan da aynı olduğu için

(1+2+3)/3=2

değeri) sıralama tamamlanmıştır. Ardından hesaplanan

1,5

değerindeki ham test istatistiği, bağlı değerlerden kaynaklanan varyans azalmasını telafi etmek amacıyla hesaplanan

0,5

değerindeki düzeltme faktörüne bölünerek

3,00

sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Verileri her bir şube (blok) içinde kendi aralarında sıralayınız.

Şube 1: (1,5; 1,5; 3), Şube 2: (1; 2,5; 2,5), Şube 3: (2; 2; 2)

Friedman testinde sıralama bloklar (satırlar) içinde yapılır ve bağlı değerler için sıra ortalaması kullanılır.

2

Her bir program (sütun) için sıra toplamlarını (

R_j

) ve kareler toplamını hesaplayınız.

R_A = 1,5 + 1 + 2 = 4,5

;

R_B = 1,5 + 2,5 + 2 = 6,0

;

R_C = 3 + 2,5 + 2 = 7,5

.

\sum R_j^2 = 4,5^2 + 6^2 + 7,5^2 = 112,5

Test istatistiği formülünde kullanılacak temel bileşenleri elde etmek için.

3

Düzeltilmemiş Friedman test istatistiğini (

\chi_r^2

) hesaplayınız.

\chi_r^2 = \frac{12}{3 \times 3 \times 4}(112,5) - 3 \times 3 \times 4 = 1,5

Düzeltme faktöründen önceki ham istatistiği bulmak için.

4

Bağlı değerler düzeltme faktörünü (

C

) hesaplayınız.

\sum(t^3-t) = (2^3-2) + (2^3-2) + (3^3-3) = 36

.

C = 1 - \frac{36}{3(3^3-3)} = 0,5

Verideki bağlı gözlemlerin test istatistiği üzerindeki etkisini düzeltmek için.

5

Düzeltilmiş test istatistiğini (

\chi_{r,corr}^2

) hesaplayınız.

\chi_{r,corr}^2 = \frac{1,5}{0,5} = 3,0

Nihai test istatistiği değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Friedman testinde bağlı değerler olduğunda, sıra ortalaması yöntemi uygulanmalı ve test istatistiği

C

düzeltme faktörüne bölünerek anlamlılık düzeyi korunmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Bağlı değerlerin çok fazla olduğu durumlarda Friedman testinin gücünün nasıl etkilendiğini ve Kendall W katsayısı ile ilişkisini inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Friedman istatistiği varyans analizi yaklaşımıyla da hesaplanabilir, ancak bağlı değerler durumunda

\chi^2

yaklaşımı ve düzeltme faktörü kullanımı KPSS formatında en standart yoldur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 20Soru →

Bir film festivalinde iki sinema eleştirmeni ( $k=2$ ), yarışmaya katılan dört kısa filmi ( $n=4$ ) sanatsal özgünlüklerine göre 1'den 4'e kadar (1: En iyi, 4: En kötü) sıralamışlardır. Eleştirmenlerin filmlere verdiği sıra numaraları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Film	Eleştirmen I	Eleştirmen II
Film 1	1	2
Film 2	3	1
Film 3	2	4
Film 4	4	3

Buna göre, eleştirmenler arasındaki uyumu ölçen Kendall Uyum Katsayısı ( $W$ ) ve bu katsayının anlamlılığını test etmek için kullanılan Ki-kare ( $\chi^2$ ) test istatistiği değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

W = 0,50

ve

\chi^2 = 3,00

W = 0,50

ve

\chi^2 = 1,50

W = 0,25

ve

\chi^2 = 1,50

W = 0,50

ve

\chi^2 = 4,50

W

katsayısı

-1

ile

0

arasında değer alabildiği için bu verilerle hesaplanamaz

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W = 0,50$ ve $\chi^2 = 3,00$

Cevap

Eleştirmenler arasındaki uyumu gösteren Kendall

W

katsayısı 0,50 ve buna bağlı Ki-kare değeri 3,00'tür.

Yapılan hesaplamalarda sıra toplamları 3, 4, 6 ve 7 olarak bulunmuştur. Bu toplamların ortalaması 5 olduğu için kareli sapmalar toplamı (

S

) 10'dur. Verilen

k=2

ve

n=4

değerleri formülde yerine koyulduğunda

W=0,50

sonucuna ulaşılır.

\chi^2 = k(n-1)W

bağıntısından ise

2 \times 3 \times 0,50 = 3,00

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir film için eleştirmenlerin verdiği sıra numaralarını toplayarak sıra toplamlarını (

R_i

) bulunuz.

Film 1:

1+2=3

; Film 2:

3+1=4

; Film 3:

2+4=6

; Film 4:

4+3=7

.

Kendall

W

hesaplamasının temel verisi olan sıra toplamlarını elde etmek için.

2

Sıra toplamlarının ortalamasını (

\bar{R}

) ve sapmaların kareleri toplamını (

S

) hesaplayınız.

\bar{R} = (3+4+6+7)/4 = 5

.

S = (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 = 4+1+1+4 = 10

.

Gözlenen verilerin tam uyum durumundan ne kadar saptığını belirlemek için.

3

W

formülünü kullanarak uyum katsayısını hesaplayınız.

W = \frac{12S}{k^2(n^3-n)} = \frac{12 \times 10}{2^2(4^3-4)} = \frac{120}{4 \times 60} = 0,50

.

Uyumun derecesini gösteren katsayıyı bulmak için.

4

Ki-kare (

\chi^2

) değerini

\chi^2 = k(n-1)W

formülü ile hesaplayınız.

\chi^2 = 2(4-1) \times 0,50 = 2 \times 3 \times 0,50 = 3,00

.

Elde edilen uyumun istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için.

Anahtar Kavram

Kendall Uyum Katsayısı (

W

), birden fazla jürinin bir dizi nesneyi sıralamadaki tutarlılığını ölçer.

0

ile

1

arasında değer alır ve Friedman testi ile doğrudan ilişkilidir.

İpuçları

1

Önce her film için iki eleştirmenin verdiği sıra numaralarını toplayarak işe başlayın.

2

Sıra toplamlarının ortalaması 5'tir. Bu ortalamadan sapmaların karelerini alıp toplayarak

S

değerini bulun.

3

Kendall

W

ve Ki-kare arasındaki bağıntı

\chi^2 = k(n-1)W

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Kendall

W

katsayısı ile Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı arasındaki farkları inceleyiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

k Bağımlı Örneklem Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap