Binom Testi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunda yapılan bir araştırmada, çalışanların esnek çalışma modelinden memnun olma oranının $0,50$ olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla rastgele seçilen $10$ çalışandan $8$ 'inin esnek çalışma modelinden memnun olduğu belirlenmiştir. Araştırmacı, memnuniyet oranının $0,50$ 'den anlamlı derecede yüksek olup olmadığını test etmek istemektedir ( $H_0: p = 0,50$ ve $H_1: p > 0,50$ ). Bu durumda, tam (exact) Binom testi kullanılarak hesaplanacak p-değeri (anlamlılık değeri) aşağıdakilerden hangisidir?

56/1024

45/1024

112/1024

1/1024

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $56/1024$

Cevap

Binom testi sonucunda elde edilen p-değeri

56/1024

olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan

56/1024

değeri,

n=10

ve

p=0,50

parametrelerine sahip bir Binom dağılımında

X \geq 8

olma olasılığının tam karşılığıdır.

H_1: p > 0,50

hipotezi gereği, gözlenen 8 başarının yanına daha uç sonuçlar olan 9 ve 10 başarı durumları eklenerek sağ kuyruk olasılığı bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezleri ve test türünü belirleme

H_0: p = 0,50

,

H_1: p > 0,50

(Sağ kuyruklu test)

Araştırmacı memnuniyetin %50'den yüksek olup olmadığını sorguladığı için tek yönlü sağ kuyruk testi uygulanır.

2

p-değeri formülünü oluşturma

p-değeri = P(X \geq 8 | n=10, p=0,50)

Tam Binom testinde p-değeri, gözlenen başarı sayısı (

x=8

) ve daha uçtaki (9 ve 10) başarı sayılarının toplam olasılığıdır.

3

Olasılıkları tek tek hesaplama

P(8) = \binom{10}{8}(0,5)^{10} = \frac{45}{1024}

,

P(9) = \frac{10}{1024}

,

P(10) = \frac{1}{1024}

Binom olasılık fonksiyonu:

P(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}

kullanılarak her bir durumun olasılığı bulunur.

4

Toplam olasılığı bulma

(45 + 10 + 1) / 1024 = 56/1024

Bulunan olasılıklar toplanarak sağ kuyruk alanı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom testinde p-değeri, küçük örneklemlerde (

n \leq 25

) doğrudan Binom dağılımı üzerinden olasılıkların toplanmasıyla hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi

n > 25

olduğunda Binom testi yerine Normal yaklaşım (

z

testi) kullanılması gerektiğini hatırlayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir vergi dairesinde yapılan incelemede, beyannamelerin %40'ında ( $p=0,40$ ) usul hatası yapıldığı iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek amacıyla rasgele seçilen 5 beyannameden 4'ünde usul hatası saptanmıştır. $H_1: p > 0,40$ alternatif hipotezi altında Binom testi kullanılarak hesaplanan p-değeri (gözlenen anlamlılık düzeyi) aşağıdakilerden hangisidir?

0,08704

0,17408

0,07680

0,01024

0,25920

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,08704$

Cevap

Hesaplanan p-değeri

0,08704

olarak bulunur.

Doğru cevap, Binom dağılımı kullanılarak

n=5, p=0,40

parametreleri ile hesaplanan

P(X \ge 4)

olasılığıdır. Bu olasılık, 4 hata gelme olasılığı ile 5 hata gelme olasılığının toplamına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması

H_0: p = 0,40

ve

H_1: p > 0,40

İddia edilen değer sıfır hipotezi, araştırılan yönlü fark ise alternatif hipotezdir.

2

p-değeri formülünün belirlenmesi

p = P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)

Binom testinde p-değeri, gözlenen başarı sayısı ve daha uçtaki değerlerin olasılıkları toplamıdır.

3

Olasılıkların hesaplanması

P(4) = \binom{5}{4} (0,4)^4 (0,6)^1 = 0,0768

ve

P(5) = \binom{5}{5} (0,4)^5 (0,6)^0 = 0,01024

Binom olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

kullanılmıştır.

4

Toplamın alınması

0,0768 + 0,01024 = 0,08704

İlgili olasılıklar toplanarak testin gözlenen anlamlılık düzeyi elde edilir.

Anahtar Kavram

Küçük örneklemlerde oran testi için Binom dağılımı üzerinden p-değeri hesaplanması.

Daha Fazla Pratik

Örneklem hacmi

n > 30

olsaydı normal yaklaşım (Z-testi) nasıl uygulanırdı konusunu inceleyin.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumu, sunduğu e-devlet hizmetinden yararlanan vatandaşların memnuniyet oranının ( $p$ ) $0,70$ olduğunu varsaymaktadır. Bu varsayımı test etmek amacıyla rastgele seçilen $n=8$ vatandaştan $7$ 'sinin hizmetten memnun olduğu belirlenmiştir. Araştırmacı, memnuniyet oranının varsayılandan daha yüksek olup olmadığını ( $H_1: p > 0,70$ ) test etmek istemektedir.

Binom testi kullanılarak gerçekleştirilecek bu hipotez testi için p-değeri (olasılık değeri) aşağıdakilerin hangisinde doğru formüle edilmiştir?

\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8

\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1

1 - \left[ \binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8 \right]

2 \times \left[ \binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8 \right]

\sum_{i=0}^{7} \binom{8}{i} (0,7)^i (0,3)^{8-i}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8$

Cevap

Doğru cevap,

P(X \geq 7)

olasılığını temsil eden

\binom{8}{7}(0,7)^7(0,3)^1 + \binom{8}{8}(0,7)^8

ifadesidir.

Sağ kuyruk testinde (

H_1: p > p_0

), p-değeri gözlenen başarı sayısı (

k=7

) ve daha büyük başarı sayılarının (

k=8

) olasılıkları toplamıdır. Binom dağılımı formülü olan

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

kullanılarak yapılan bu toplam, doğru olasılık alanını kapsar.

Adım Adım Çözüm

1

Hipotezlerin kurulması ve test yönünün belirlenmesi

H_0: p = 0,70

ve

H_1: p > 0,70

Araştırmacı memnuniyetin 'daha yüksek' olup olmadığını test etmek istediği için sağ kuyruk testi uygulanmalıdır.

2

Verilen parametrelerin tespit edilmesi

n=8

,

p=0,70

,

q=0,30

ve gözlenen başarı sayısı

k=7

Binom olasılık fonksiyonu için gerekli temel bileşenler sorudaki verilerden elde edilir.

3

P-değeri formülünün oluşturulması

p-değeri = P(X \geq 7) = P(X=7) + P(X=8)

Kesikli dağılımlarda sağ kuyruk p-değeri, gözlenen değerden başlayarak maksimum örneklem hacmine kadar olan olasılıkların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Binom Testinde Tek Yönlü P-Değeri Hesaplama

Daha Fazla Pratik

Binom testinde örneklem hacmi büyüdüğünde (

np \geq 5

ve

nq \geq 5

) hangi yaklaşımın kullanılabileceğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumu, vatandaşların yeni hayata geçirilen bir dijital hizmetten faydalanma durumlarını "Kullanıyor" veya "Kullanmıyor" şeklinde iki kategoride incelemektedir. Toplam $14$ kişilik bir örneklemden elde edilen veriler ışığında, hizmeti kullananların oranının kitle genelinde $0,50$ olup olmadığını test etmek için aşağıdaki parametrik olmayan testlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Binom Testi

Mann-Whitney U Testi

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi

Kruskal-Wallis H Testi

Friedman Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom Testi

Cevap

Küçük bir örneklemde (

n=14

) ve iki kategorili (dichotomous) bir veri setinde kitle oranının belirli bir değere eşitliğini test etmek için Binom Testi en uygun yöntemdir.

Verilen senaryoda veriler iki kategorilidir (dichotomous) ve örneklem hacmi küçüktür (

n < 25-30

). Bu koşullar altında kitle oranının test edilmesi için en temel ve uygun parametrik olmayan yöntem Binom testidir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını analiz etme

Veriler "Kullanıyor" ve "Kullanmıyor" şeklinde iki kategoriden oluşmaktadır (Nitel/İsimsel veri).

Test seçimi için verinin hangi ölçek düzeyinde toplandığını belirlemek gerekir.

2

Örneklem hacmini değerlendirme

n = 14

olduğu için örneklem hacmi küçüktür.

Örneklem hacmi, normal dağılım yaklaşımının (z-testi) mı yoksa doğrudan binom dağılımının mı kullanılacağını belirler.

3

Test amacını belirleme

Kitle oranının (

p

) belirli bir değere (

0,50

) eşit olup olmadığını test etmek.

İstatistiki analizin amacı uygun hipotez testini seçmek için kritiktir.

4

Uygun testi seçme

Binom Testi.

İki kategorili verilerde tek örneklem oran testinin parametrik olmayan karşılığı Binom testidir.

Anahtar Kavram

Binom testi, tek örneklemde iki kategorili (başarı/başarısızlık gibi) verilerin kitle oranına ilişkin varsayımları test etmek için kullanılır.

Soru 5Soru →

Bir yerel yönetim biriminde çalışan $12$ personelin, yeni çalışma düzenine ilişkin görüşleri 'olumlu' veya 'olumsuz' olarak kaydedilmiştir. Örneklem hacminin küçük olduğu ve verilerin iki kategorili (dikotomik) bir yapıda toplandığı bu durumda, çalışanların olumlu görüş bildirme oranının ( $p$ ) belirli bir teorik değere uygunluğunu test etmek için aşağıdaki istatistiksel yöntemlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Binom testi

Ki-kare uyum iyiliği testi

Kolmogorov-Smirnov tek örneklem testi

Dizi (rastgelelik) testi

Wilcoxon işaretli sıra sayıları testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom testi

Cevap

Küçük örneklem hacmine sahip dikotomik verilerde oran testi için Binom testi kullanılmalıdır.

Verilen senaryoda veriler dikotomik (iki kategorili) bir yapıdadır ve örneklem hacmi (

n=12

) oldukça küçüktür. Parametrik olmayan istatistikte, tek örneklem üzerinden anakütle oranına yönelik hipotezleri test etmek için, özellikle küçük örneklemlerde tam olasılık değerlerini hesaplayan Binom testi en uygun yöntemdir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını analiz etme

Görüşler 'olumlu' ve 'olumsuz' olarak iki karşılıklı dışlayan kategoriye ayrılmıştır (dikotomik yapı).

Test seçiminde ilk adım verinin ölçek düzeyini ve kategori sayısını belirlemektir.

2

Örneklem hacmini değerlendirme

n = 12

gözlem bulunmaktadır.

Örneklem hacmi küçük olduğunda normal dağılım yaklaşımı yerine tam (exact) olasılıkları kullanan testler tercih edilmelidir.

3

Amaca uygun testi belirleme

Belirli bir orana (

p

) uygunluk testi için iki kategorili verilerde Binom testi uygulanır.

Binom testi, tek örneklem durumunda anakütle oranına ilişkin hipotezleri küçük örneklemlerde test eden temel parametrik olmayan yöntemdir.

Anahtar Kavram

Binom testi, dikotomik (iki kategorili) verilerde ve özellikle küçük örneklemlerde anakütle oranının (

p

) test edilmesinde kullanılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan $15$ üst düzey yöneticiye, uygulanması planlanan yeni bir yönetim modeli hakkında "Olumlu" veya "Olumsuz" şeklinde görüşleri sorulmuştur. Örneklem hacminin küçük olduğu ( $n=15$ ) ve verilerin iki kategorili (dikotom) yapıda olduğu bu durumda, yöneticilerin olumlu görüş bildirme oranının belirli bir değerden farklı olup olmadığını test etmek için kullanılması gereken en uygun parametrik olmayan test aşağıdakilerden hangisidir?

Binom Testi

Mann-Whitney U Testi

Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi

Kruskal-Wallis Testi

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom Testi

Cevap

Küçük örneklemlerde ve iki kategorili veri yapısında oran testi için Binom testi kullanılmalıdır.

Binom testi, tek bir örneklemden elde edilen iki kategorili (başarı/başarısızlık, olumlu/olumsuz vb.) verilerin anakütle oranına (

p

) uygunluğunu test etmek için kullanılır. Özellikle örneklem hacminin küçük olduğu (

n < 25

) durumlarda normal yaklaşım (Z testi) yapılamayacağı için Binom testi en doğru tercihtir.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve kategorileri belirle.

Görüşler 'Olumlu' ve 'Olumsuz' olarak iki kategorilidir (dikotom veri).

Test seçiminde verinin ölçek türü ilk kriterdir.

2

Örneklem hacmini kontrol et.

n=15

olduğu için örneklem küçüktür.

Örneklem hacmi, parametrik varsayımların veya normal yaklaşımın (Z testi) geçerliliğini belirler.

3

Uygun istatistiksel testi seç.

Binom Testi.

Örneklem hacmi

25

veya

30

'dan küçük olduğunda, iki kategorili veriler için en kesin sonuçları veren parametrik olmayan yöntem Binom testidir.

Anahtar Kavram

Küçük örneklemlerde dikotom veriler için Binom testi seçimi.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen bir projede, tesadüfi olarak seçilen $10$ çalışanın sunulan kreş hizmetinden yararlanma durumları "Evet" veya "Hayır" şeklinde kaydedilmiştir. Örneklem hacminin küçük olduğu ve verilerin iki kategorili (dikotom) bir yapıda toplandığı bu çalışmada, kreş hizmetinden yararlanma oranının belirli bir değere ( $p_0$ ) eşit olup olmadığını test etmek için aşağıdaki testlerden hangisinin kullanılması en uygundur?

Binom Testi

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Mann-Whitney U Testi

İşaret Testi

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom Testi

Cevap

Binom Testi

Binom testi, bir kitleden çekilen sınırlı sayıdaki gözlemin iki farklı kategoride (başarı/başarısızlık, evet/hayır gibi) sınıflandırıldığı ve ana kütle oranının test edilmek istendiği durumlarda kullanılan en temel parametrik olmayan testtir. Özellikle

n < 25

gibi küçük örneklemlerde normal dağılım yaklaşımı yapılamadığı için doğrudan binom olasılıkları üzerinden işlem yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını analiz et

Veriler "Evet" ve "Hayır" şeklinde iki kategoriden (dikotom) oluşmaktadır.

Doğru test seçimi için öncelikle verinin ölçek türü belirlenmelidir.

2

Örneklem hacmini kontrol et

n = 10

gözlem bulunmaktadır ve bu küçük bir örneklemdir.

Küçük örneklemlerde parametrik varsayımlar sağlanamaz ve normal yaklaşım (z-testi) hatalı sonuçlar verebilir.

3

Test amacını belirle

Belirli bir oran (

p_0

) üzerinde hipotez testi yapılacaktır.

Tek örneklemde bir oran değerinin anlamlılığı test edilmek istenmektedir.

4

Uygun testi seç

Küçük örneklemde dikotom veriler için Binom Testi seçilir.

Binom testi, bu koşullar altında tam (exact) olasılık değerlerini hesaplayan en güvenilir yöntemdir.

Anahtar Kavram

Binom Testi Seçim Kriterleri

Alternatif Yöntem

Örneklem hacmi yeterince büyük olsaydı (

np \geq 5

ve

nq \geq 5

), Binom testi yerine Normal Dağılım Yaklaşımı (z-testi) kullanılarak işlem kolaylığı sağlanabilirdi.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Binom testi, bir kitledeki birimlerin belirli bir özelliğe sahip olup olmama durumlarını (başarı/başarısızlık, var/yok gibi) analiz etmek amacıyla kullanılan parametrik olmayan bir yöntemdir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi Binom testinin uygulanabilmesi için sağlanması gereken varsayımlardan veya özelliklerden biri değildir?

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması

Verilerin iki kategorili (dikotom) bir yapıya sahip olması

İlgilenilen olayın her bir denemede gerçekleşme olasılığının sabit kalması

Örneklemin çekildiği kitlenin normal dağılım varsayımını karşılaması

Örneklemin kitleyi temsil edecek şekilde tesadüfi yöntemlerle seçilmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklemin çekildiği kitlenin normal dağılım varsayımını karşılaması

Cevap

Örneklemin çekildiği kitlenin normal dağılım varsayımını karşılaması, Binom testi için bir gereklilik değildir.

Binom testi, parametrik olmayan (non-parametric) bir test olduğu için örneklemin çekildiği kitle dağılımının normal olması zorunluluğu bulunmamaktadır. Bu test, özellikle örneklem hacminin küçük olduğu ve normal yaklaşımın (Z-testi) uygun olmadığı durumlarda, iki kategorili veriler arasındaki farkın anlamlılığını ölçmek için kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1

Binom testinin temel amacını ve veri tipini belirle.

Binom testi, iki kategorili (nominal/dikotom) veriler için kullanılan bir parametrik olmayan testtir.

Testin hangi veri türleri ve varsayımlar altında çalıştığını anlamak için gereklidir.

2

Parametrik ve parametrik olmayan testler arasındaki farkı değerlendir.

Parametrik olmayan testler, kitle dağılımı (normal dağılım gibi) hakkında katı varsayımlar gerektirmez.

Binom testinin normallik varsayımına ihtiyaç duyup duymadığını netleştirmek için gereklidir.

3

Binom dağılımının (Bernoulli süreci) varsayımlarını gözden geçir.

Bağımsızlık, iki kategori ve sabit başarı olasılığı bu testin temel yapı taşlarıdır.

Seçeneklerdeki doğru varsayımları elemek için gereklidir.

Anahtar Kavram

Binom testi, normal dağılım varsayımı gerektirmeyen, iki kategorili veriler için kullanılan bir 'tam' (exact) hipotez testidir.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Parametrik olmayan testler kapsamında yer alan Binom testinin temel varsayımları dikkate alındığında, bu testin uygulanabilmesi için gözlemlerin sağlaması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Verilerin mutlaka normal dağılım gösteren bir kitleden seçilmiş olması

Her bir denemenin (gözlemin) birbirinden bağımsız olması ve başarı olasılığının sabit kalması

Örneklem hacminin (

n

) her zaman

30

veya daha fazla birimden oluşması

Gözlemlerin birbirine bağımlı (eşleştirilmiş) ölçümlerden oluşması

İncelenen değişkenin en az üç kategorili ve sıralama ölçeğinde olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her bir denemenin (gözlemin) birbirinden bağımsız olması ve başarı olasılığının sabit kalması

Cevap

Binom testinin uygulanabilmesi için denemelerin birbirinden bağımsız olması ve başarı olasılığının sabit kalması gerekir.

Binom testi, temelini Binom dağılımından alır. Bu dağılımın geçerli olabilmesi için her bir denemenin (örneğin bir paranın atılması veya bir vatandaşın görüşünün alınması) diğerinden bağımsız olması ve 'başarı' olarak tanımlanan durumun olasılığının her denemede aynı (

p

) kalması teknik bir zorunluluktur.

Adım Adım Çözüm

1

Binom dağılımının ve testinin temel tanımını gözden geçirmek.

Binom süreci, bağımsız Bernoulli denemelerinden oluşur.

Testin hangi matematiksel temele dayandığını belirlemek için.

2

Bağımsızlık ve olasılık kavramlarını değerlendirmek.

Her bir gözlemin sonucu diğerini etkilememeli ve ilgilenilen olayın olasılığı (

p

) tüm gözlemler için aynı kalmalıdır.

Olasılık hesaplamalarının (kombinasyon formülü kullanımı gibi) geçerli olması için bu şartlar zorunludur.

3

Parametrik ve non-parametrik ayrımını yapmak.

Binom testi bir non-parametrik test olduğu için normal dağılım varsayımı aranmaz.

Normallik varsayımı içeren yanlış seçenekleri elemek için.

Anahtar Kavram

Binom Testi Varsayımları

İpuçları

1

Binom kelimesindeki 'bi' ön eki, testin kaç kategorili verilerle çalıştığına dair bir ipucu verir.

Daha Fazla Pratik

Binom testinin hangi örneklem büyüklüğünden sonra Normal dağılıma yaklaştığını (normal approximation) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunda çalışanların, yeni uygulanmaya başlanan esnek çalışma saatleri düzenlemesini destekleyip desteklemediklerini (Destekliyorum / Desteklemiyorum) belirlemek amacıyla tesadüfi olarak seçilen $9$ personelin görüşlerine başvurulmuştur. Örneklem hacminin küçük olduğu ve verilerin iki kategorili (dichotomous) bir yapı sergilediği bu durumda, anakütle oranına ilişkin hipotezleri test etmek için kullanılması gereken en uygun parametrik olmayan test aşağıdakilerden hangisidir?

Binom Testi

Ki-Kare Uyum İyiliği Testi

Tek Örneklem İşaret Testi

Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testi

Dizi (Rastgelelik) Testi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Binom Testi

Cevap

Küçük örneklem hacmi ve iki kategorili veri yapısı durumunda anakütle oranına yönelik en uygun test Binom Testidir.

Binom testi, anakütlenin iki karşılıklı dışlayan kategoriye ayrıldığı durumlarda (başarı/başarısızlık gibi) ve özellikle örneklem hacminin küçük olduğu hallerde, örneklem oranının anakütle oranına uygunluğunu test etmek için tasarlanmıştır. Senaryoda personelin görüşleri 'Destekliyorum' ve 'Desteklemiyorum' olarak ikiye ayrılmış ve örneklem sayısı

9

olarak belirtilmiştir, bu da Binom testinin tanımına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve ölçüm düzeyini belirleme

Veriler 'Destekliyorum' ve 'Desteklemiyorum' şeklinde iki kategorilidir (nominal/dichotomous).

Test seçiminde ilk adım verinin türünü anlamaktır.

2

Örneklem hacmini kontrol etme

n = 9

olduğu için küçük bir örneklem söz konusudur.

Örneklem hacmi, parametrik olmayan testler ile normal yaklaşım testleri arasındaki seçimi belirler.

3

Uygun istatistiksel testi seçme

İki kategorili verilerde, özellikle küçük örneklemlerde tam olasılık değerlerini hesaplayan Binom testi seçilir.

Binom testi, Bernoulli denemelerine dayalı verilerde oran testi için doğrudan olasılık hesaplaması yapar.

Anahtar Kavram

İki kategorili (dikotom) verilerde küçük örneklemler (

n < 25

veya

n < 30

) için anakütle oranına (

p

) dair hipotez testlerinde Binom dağılımına dayalı Binom Testi kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Binom testi sonuçlarının örneklem hacmi büyüdüğünde (

n > 25

gibi) hangi parametrik testle yaklaştığını (Z-oran testi) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir gümrük denetmeni, ithal edilen belirli bir elektronik parça partisindeki ürünlerin kusursuzluk oranının, üretici firmanın iddia ettiği gibi en az %85 ( $p = 0,85$ ) olup olmadığını incelemektedir. Denetmen, kusursuzluk oranının iddia edilenden daha düşük olduğundan şüphelenmektedir. Rastgele seçilen $12$ parçadan $6$ 'sının kusursuz olduğu tespit edilmiştir. Denetmen, orana ilişkin hipotezi test etmek için tam (exact) Binom testini tercih etmiştir.

Buna göre, sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) reddedilip reddedilmeyeceğine karar vermek için hesaplanması gereken tam $p$ -değeri formülasyonu ve bu analizde normal yaklaşıma dayalı Z testinin tercih edilmeme gerekçesi aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

p\text{-değeri} = \sum_{x=0}^{6} \binom{12}{x} (0,85)^x (0,15)^{12-x}

; Beklenen başarısızlık sayısının (

12 \times 0,15 = 1,8

)

5

'ten küçük olması nedeniyle normal yaklaşım uygun değildir.

p\text{-değeri} = \binom{12}{6} (0,85)^6 (0,15)^6

; Örneklem hacminin (

n = 12

)

30

'dan küçük olması nedeniyle normal yaklaşım hiçbir koşulda kullanılamaz.

p\text{-değeri} = \sum_{x=6}^{12} \binom{12}{x} (0,85)^x (0,15)^{12-x}

; Beklenen başarı sayısının (

12 \times 0,85 = 10,2

)

5

'ten büyük olmasına rağmen popülasyon varyansı bilinmediği için normal yaklaşım kullanılamaz.

p\text{-değeri} = 2 \times \sum_{x=0}^{6} \binom{12}{x} (0,85)^x (0,15)^{12-x}

; Hipotez çift yönlü kurulduğu için tam Binom olasılıklarının iki katı alınmalıdır ve oran testlerinde Z testi yerine Binom testi zorunludur.

p\text{-değeri} = 1 - \sum_{x=0}^{6} \binom{12}{x} (0,85)^x (0,15)^{12-x}

; Gözlenen başarı ve başarısızlık sayılarının birbirine eşit (

6

ve

6

) olması dağılımın asimetrisini bozduğu için normal yaklaşım geçersizdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p\text{-değeri} = \sum_{x=0}^{6} \binom{12}{x} (0,85)^x (0,15)^{12-x}$ ; Beklenen başarısızlık sayısının ( $12 \times 0,15 = 1,8$ ) $5$ 'ten küçük olması nedeniyle normal yaklaşım uygun değildir.

Cevap

Doğru seçenekte, p-değeri sol kuyruk olasılıklarının toplamı olarak formüle edilmiş ve normal yaklaşımın kullanılamama gerekçesi beklenen başarısızlık sayısının 5'ten küçük olması (

npq

kuralı) ile doğru açıklanmıştır.

Hipotez "daha düşük" şeklinde kurulduğu için bu bir sol kuyruk testidir. Dolayısıyla, p-değeri gözlenen başarı sayısı (

6

) ve bundan daha küçük değerlerin (

0

ile

6

arası) olasılıklarının toplamı ile hesaplanır. Orana ilişkin Binom testinde normal yaklaşımın (Z testi) kullanılabilmesi için beklenen başarı (

np

) ve beklenen başarısızlık (

nq

) frekanslarının her ikisinin de en az

5

olması gerekir. Olayda

12 \times 0,15 = 1,8

olduğundan kural ihlal edilmiş ve normal yaklaşım kullanılamaz hale gelmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma hipotezlerinin (

H_0

ve

H_1

) yönünü belirleyin.

H_0: p \ge 0,85

ve

H_1: p < 0,85

olarak kurulur.

Denetmen kusursuzluk oranının iddia edilen %85'ten 'daha düşük' olduğundan şüphelenmektedir, bu durum sol kuyruk testini gerektirir.

2

Tam (exact) p-değerini hesaplama formülünü oluşturun.

X = 6

gözlemlendiği için, p-değeri

P(X \le 6)

olasılıklarının toplamıdır:

\sum_{x=0}^{6} \binom{12}{x} (0,85)^x (0,15)^{12-x}

Sol kuyruk testinde p-değeri, sıfır hipotezi doğruyken gözlenen değer ve ondan daha aşırı (daha küçük) değerlerin elde edilme olasılığıdır.

3

Normal yaklaşıma dayalı Z testinin varsayımlarını kontrol edin.

Beklenen başarı:

n \times p = 12 \times 0,85 = 10,2 \ge 5

. Beklenen başarısızlık:

n \times (1-p) = 12 \times 0,15 = 1,8 < 5

.

Binom dağılımının normal dağılıma yaklaşabilmesi için hem beklenen başarı (

np

) hem de beklenen başarısızlık (

nq

) sayılarının

5

'ten büyük veya eşit olması zorunludur.

4

Bulguları sentezleyerek sonucu kesinleştirin.

Doğru formülasyon kümülatif sol kuyruk toplamıdır ve normal yaklaşımın geçersiz olma sebebi beklenen başarısızlık sayısının (

1,8

) 5 sınırının altında kalmasıdır.

Test varsayımları ve hipotez yönü matematiksel olarak birleştirildiğinde tek bir geçerli mantıksal sonuç ortaya çıkar.

Anahtar Kavram

Tam Binom Testi (Exact Binomial Test) P-değeri Hesabı ve Normal Yaklaşım Varsayımları

Soru 12Soru →

Bir sosyal güvenlik merkezinde, işlem gören dosyaların "eksik evraklı" veya "tam evraklı" olma durumu incelenmektedir. Kurumun belirlediği standartlara göre, dosyaların %15'inin eksik evraklı olduğu kabul edilmektedir. Yeni atanan bir memurun işlem yaptığı dosyaların bu standarttan farklı olup olmadığını araştırmak için rastgele seçilen $16$ dosya incelenmiş ve $4$ 'ünün eksik evraklı olduğu tespit edilmiştir.

Bu araştırma probleminde, "tek örneklem oran testi ( $Z$ -testi)" yerine parametrik olmayan Binom testinin kullanılmasının temel istatistiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Örneklem hacminin küçük olması ve beklenen frekanslardan birinin (

np

) 5'ten küçük çıkması nedeniyle normal dağılım yaklaşımının kullanılamaması

İlgilenilen nitel değişkenin yalnızca "eksik" ve "tam" şeklinde iki kategorili (dikotom) bir yapıya sahip olması

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olmaması ve dosyaların geliş sırasındaki ardışık dizilişlerinin önem taşıması

Örneklemdeki evrak sayılarının grup medyanına göre düzeltilmesi gerekliliği ve varyansın evren parametresinden farklı olması

Verilerin sürekli bir değişken olmaması nedeniyle normallik varsayımının test edilememesi ve her durumda parametrik olmayan bir testin zorunlu olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem hacminin küçük olması ve beklenen frekanslardan birinin ( $np$ ) 5'ten küçük çıkması nedeniyle normal dağılım yaklaşımının kullanılamaması

Cevap

Örneklem hacminin küçük olması ve beklenen frekanslardan birinin (

np

) 5'ten küçük çıkması nedeniyle normal dağılım yaklaşımının kullanılamaması

Tek örneklem oran testi (

Z

-testi) kullanılabilmesi için örneklemden elde edilecek beklenen frekansların (

np

ve

n(1-p)

) en az 5 olması gerekmektedir. Verilen araştırma probleminde

n=16

ve

p=0.15

olduğundan, beklenen frekans

np = 16 \times 0.15 = 2.4

bulunur. Bu değer

5

'ten küçük olduğu için istatistiksel olarak normal dağılım yaklaşımı geçerliliğini yitirir ve exact (kesin) olasılık hesaplayan parametrik olmayan Binom testinin kullanılması zorunlu hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen oran değerini ve örneklem hacmini belirleme

Örneklem hacmi

n = 16

, evren oranı

p = 0.15

olarak tespit edilmiştir.

Test seçimi yapılabilmesi için öncelikle verilerin ve evren parametrelerinin tanımlanması gerekir.

2

Normal yaklaşım (Z-testi) varsayımlarının kontrol edilmesi

Beklenen başarı frekansı

np = 16 \times 0.15 = 2.4

olarak hesaplanmıştır.

Tek örneklem oran testinin (

Z

-testi) kullanılabilmesi için hem

np \geq 5

hem de

n(1-p) \geq 5

koşullarının sağlanması matematiksel bir zorunluluktur.

3

Uygun istatistiksel testin seçilmesi

np = 2.4 < 5

olduğu için normal dağılım yaklaşımı kullanılamaz, bu nedenle kesin olasılık hesabı yapan Binom testi tercih edilmelidir.

Büyük örneklem varsayımı ihlal edildiğinde, oran testleri yerine dikotom veriler için tasarlanmış parametrik olmayan eşdeğer testlere başvurulur.

Anahtar Kavram

Binom Testinde Normal Yaklaşım ve Varsayımları

Soru 13Soru →

Bir kamu bankasının kredi risk izleme biriminde çalışan bir uzman, onaylanan ticari kredilerin 'teminatlı' veya 'teminatsız' olma durumlarını incelemektedir. Bankanın genel politikasına göre kredilerin %30'unun teminatsız olduğu öngörülmektedir. Uzman, rastgele seçilen $11$ adet ticari krediyi incelemiş ve bunlardan $7$ 'sinin teminatsız olduğunu belirlemiştir. Uzman, teminatsız kredi oranının %30'dan anlamlı bir şekilde farklı olup olmadığını test etmek istemektedir.

Bu senaryoda, verilerin yapısı ve örneklem büyüklüğü dikkate alındığında uygulanması gereken en uygun istatistiksel yöntem ve test süreciyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Gözlemler birbirinden bağımsız, iki kategorili ve beklenen frekans (

n \cdot p < 5

) yetersiz olduğu için oranlar için normal yaklaşım (Z-testi) uygun değildir; bunun yerine tam olasılık dağılımına dayanan Binom testi kullanılmalı ve oran farklılığı test edildiğinden p-değeri iki yönlü olarak hesaplanmalıdır.

Örneklem büyüklüğü (

n=11

) küçük olduğu için öncelikle Kolmogorov-Smirnov testi ile verilerin normal dağılıma uygunluğu sınanmalı, normallik sağlanırsa Z-testi, sağlanmazsa Binom testi kullanılmalıdır.

Veriler kategorik olduğu için doğrudan Ki-kare uyum iyiliği testi uygulanmalıdır; hücrelerdeki beklenen frekansların 5'ten küçük olması testin geçerliliğini etkilemediği için bu durum göz ardı edilmelidir.

Veri setinde iki farklı kategori bulunduğu için bağımsız iki grup karşılaştırması yapılmalı ve Mann-Whitney U testi kullanılarak her grup kendi içinde ayrı ayrı sıralanmalıdır.

Veri yapısına en uygun yöntem Binom testidir; ancak örneklemdeki teminatsız kredi oranı test edilen orandan daha büyük olduğu için, hipotez iki yönlü olsa dahi İşaret testinde olduğu gibi p-değeri tek yönlü hesaplanarak yorumlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlemler birbirinden bağımsız, iki kategorili ve beklenen frekans ( $n \cdot p < 5$ ) yetersiz olduğu için oranlar için normal yaklaşım (Z-testi) uygun değildir; bunun yerine tam olasılık dağılımına dayanan Binom testi kullanılmalı ve oran farklılığı test edildiğinden p-değeri iki yönlü olarak hesaplanmalıdır.

Cevap

Doğru seçenek, normal dağılım yaklaşımının beklenen frekans yetersizliği nedeniyle kullanılamayacağını ve Binom testi ile iki yönlü p-değeri hesaplanması gerektiğini belirten ifadedir.

Veriler teminatlı/teminatsız şeklinde iki kategorilidir ve tek örneklem oran testi yapılmak istenmektedir. Normal dağılım yaklaşımının (Z-testinin) kullanılabilmesi için beklenen frekansların (

n \cdot p

ve

n \cdot (1-p)

) en az 5 olması gerekir. Burada

11 \times 0.30 = 3.3 < 5

olduğu için normal yaklaşım kullanılamaz; bunun yerine tam (exact) bir yöntem olan Binom testi kullanılmalıdır. Ayrıca araştırmacı oranın '%30'dan farklı olup olmadığını' test etmek istediğinden (çift yönlü hipotez,

H_1: p \neq 0.30

), p-değeri her iki kuyruktaki ekstrem olasılıklar toplanarak (iki yönlü) hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Veri türünü ve örneklem tasarımını belirleme

Veriler tek örneklemden elde edilmiş, birbirinden bağımsız ve iki kategorili (teminatlı / teminatsız) bir yapıdadır.

Test edilecek değişkenin niteliğini anlamak, test seçiminin ilk aşamasıdır.

2

Normal yaklaşım (Z-testi) varsayımlarını kontrol etme

Beklenen frekans

11 \times 0.30 = 3.3

olarak hesaplanır. Bu değer 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşım varsayımı sağlanmamaktadır.

Oranlar için parametrik test kullanıp kullanılamayacağına karar vermek için beklenen frekans büyüklükleri kontrol edilmelidir.

3

Uygun tam (exact) testi belirleme ve hipotez yönünü saptama

Varsayım ihlali nedeniyle tam olasılık testi olan Binom testi seçilir. Araştırma sorusu 'farklı olup olmadığı' şeklinde olduğu için

H_1: p \neq 0.30

şeklinde iki yönlü hipotez kurulur ve p-değeri çift kuyruk üzerinden hesaplanır.

Örneklem çapı küçük olduğunda nominal/dichotom veriler için Binom testi en güçlü yaklaşımdır.

Anahtar Kavram

Binom Testi ve Varsayımları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım koordinasyon merkezi, belirli bir güzergâhtaki toplu taşıma araçlarının durak harici yolcu indirme kural ihlali oranının, alınan yeni önlemlerle birlikte %20'nin altına düştüğünü iddia etmektedir. Bu iddiayı istatistiksel olarak test etmek amacıyla rastgele seçilen 14 otobüs seferi incelenmiş ve sadece 1 seferde söz konusu kural ihlalinin yapıldığı gözlenmiştir.

Araştırmacı, $\alpha = 0,05$ önem seviyesinde bu iddiayı test etmek istemektedir.

Buna göre, veri yapısına uygun olan testin seçimi ve karar kuralına temel oluşturacak p-değerinin (olasılık) elde edilişiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Dikotom veri yapısında her bir denemenin diğerini etkilemediği dikkate alındığında, beklenen frekans (

14 \cdot 0,20 = 2,8

) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımdan kaçınılmalı; kesin Binom testi kullanılarak p-değeri

P(X \leq 1)

biçiminde hesaplanmalıdır.

Örneklem hacmi parametrik olmayan testler için yeterli büyüklükte varsayılarak oranlar için Z testi (normal yaklaşım) uygulanmalı ve standart normal dağılım eğrisi altında z-değerine karşılık gelen sol kuyruk olasılığı bulunmalıdır.

Dikotom veri yapısı nedeniyle kesin Binom testi uygulanmalı, ancak I. tip hata riskini dengelemek amacıyla hipotez iki yönlü kurularak kümülatif olasılık

2 \cdot P(X \leq 1)

şeklinde elde edilmelidir.

Denemelerin aynı olasılığa sahip olduğu varsayımıyla kesin Binom testi tercih edilmeli, fakat iddiayı sınamak için kümülatif olasılık yerine yalnızca

P(X = 1)

eşitliğini sağlayan nokta olasılığı p-değeri olarak alınmalıdır.

Beklenen frekans değerleri hesaplanarak iki kategorili veriler için tek örneklem Ki-kare uyum iyiliği testi kullanılmalı ve elde edilen test istatistiği Ki-kare tablo değeri ile kıyaslanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Dikotom veri yapısında her bir denemenin diğerini etkilemediği dikkate alındığında, beklenen frekans ( $14 \cdot 0,20 = 2,8$ ) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımdan kaçınılmalı; kesin Binom testi kullanılarak p-değeri $P(X \leq 1)$ biçiminde hesaplanmalıdır.

Cevap

Doğru seçenek, beklenen frekansın 5'ten küçük olması sebebiyle normal yaklaşımın reddedildiği ve sol kuyruk testi gereği kümülatif olasılığın (P(X ≤ 1)) alındığını belirten ifadedir.

Veriler iki kategorili (ihlal var/yok) olduğu için bir oran testi yapılması gerekmektedir. Bir oranın testinde normal yaklaşımın (Z testi) kullanılabilmesi için

n \cdot p_0 \geq 5

ve

n(1-p_0) \geq 5

şartları sağlanmalıdır. Örneklem hacmi

n=14

ve iddia edilen oran

p_0=0,20

olduğunda beklenen başarı sayısı

14 \cdot 0,20 = 2,8

olur. Bu değer 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşım kullanılamaz ve doğrudan Kesin Binom Testi'ne başvurulmalıdır. İddia '%20'nin altında' şeklinde olduğundan sol kuyruk (tek yönlü) testi yapılır; dolayısıyla p-değeri, gözlenen değere (1) eşit veya ondan daha küçük olan durumların kümülatif olasılık toplamı olan

P(X \leq 1)

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma probleminin veri yapısını ve hipotez yönünü belirleme.

Veriler dikotomdur (ihlal var/yok). İddia oranların '%20'nin altında' (

H_1: p < 0,20

) olmasıdır, dolayısıyla sol kuyruk testi yapılacaktır.

Test istatistiğinin formülünü ve olasılığın hesaplanma yönünü tayin etmek için.

2

Normal yaklaşım (Z testi) varsayımlarını kontrol etme.

n = 14

ve

p_0 = 0,20

için beklenen frekans

n \cdot p_0 = 14 \cdot 0,20 = 2,8

bulunur. Bu değer 5'ten küçüktür.

Büyük örneklem teorisine dayalı parametrik yaklaşımın kullanılıp kullanılamayacağına karar vermek için.

3

Uygun test yöntemini ve p-değeri hesaplama formülünü oluşturma.

Varsayım ihlali (

2,8 < 5

) nedeniyle Kesin Binom Testi seçilir. Gözlenen ihlal sayısı 1 olduğundan ve sol kuyruk arandığından, p-değeri

P(X \leq 1)

olarak yazılır.

Karar kuralına temel teşkil edecek olan doğru olasılık uzayını matematiksel olarak ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Binom Testi Varsayımları ve Yönlü Hipotezlerde Kesin Olasılık Hesabı

Soru 15Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı'na bağlı bir araştırma enstitüsünde görevli bir ziraat mühendisi, zararlılarla mücadelede kullanılan standart bir biyolojik ajanın başarı oranının $\%20$ olduğunu bilmektedir. Geliştirilen yeni bir biyolojik ajanın bu başarı oranını anlamlı düzeyde artırıp artırmadığını tespit etmek amacıyla, rastgele seçilen $14$ farklı sera alanında pilot bir uygulama gerçekleştirilmiştir. Araştırmacı, seraların birbirinden bağımsız olduğunu ve her serada başarı olasılığının sabit kaldığını varsaymaktadır. Uygulama sonucunda $6$ serada zararlılarla mücadelede tam başarı sağlandığı, diğerlerinde ise başarısız olunduğu (başarılı/başarısız şeklinde dikotom veri) kaydedilmiştir.

Buna göre, araştırmacının kurduğu hipotezleri test etme süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel açıdan en uygundur?

Beklenen başarı frekansı 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımlı Z testi yerine kesin Binom testi kullanılmalı ve p-değeri

P(X \geq 6)

şeklinde tek yönlü olarak hesaplanmalıdır.

Denemelerin bağımsızlığı sağlandığından, dikotom veri yapısına uygun olan normal yaklaşımlı Z testi tercih edilmeli ve test istatistiği standart normal dağılım üzerinden değerlendirilmelidir.

Dikotom veri için kesin Binom testi uygun olmakla birlikte, istatistiksel testlerde kural gereği iki yönlü farklılık arandığı için p-değeri

2 \times P(X \geq 6)

şeklinde hesaplanmalıdır.

Beklenen frekans 5'ten küçük olduğu için kesin Binom testi kullanılmalı; ancak başarı oranının artışını göstermek adına p-değeri sol kuyruk olasılığı olan

P(X \leq 6)

dikkate alınarak bulunmalıdır.

Gözlem değerleri kategorik (başarılı/başarısız) olduğu için tek örneklem Ki-kare uyum iyiliği testi kullanılmalı ve analiz bu testin gerektirdiği serbestlik derecesine göre yapılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen başarı frekansı 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımlı Z testi yerine kesin Binom testi kullanılmalı ve p-değeri $P(X \geq 6)$ şeklinde tek yönlü olarak hesaplanmalıdır.

Cevap

Beklenen başarı sayısının 5'ten küçük olması sebebiyle kesin Binom testi tercih edilmeli ve yeni ajanın başarıyı artırdığına dair iddiayı test etmek için p-değeri sağ kuyruk olasılığı olarak hesaplanmalıdır.

Araştırmada veri yapısı 'başarılı/başarısız' şeklinde dikotom (iki kategorili) olup, denemeler bağımsız ve başarı olasılığı sabittir. Tek örneklem oran testinde, beklenen frekanslardan biri olan

np_0 = 14 \times 0,20 = 2,8

değeri 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşımlı Z testi kullanılamaz. Bu durumda küçük örneklemler için geçerli olan kesin Binom testi kullanılmalıdır. Araştırmacının iddiası başarı oranının artması (

H_1: p > 0,20

) yönünde olduğundan test tek yönlü (sağ kuyruk) olmalıdır ve p-değeri, gözlemlenen değer (6) ile daha aşırı değerlerin olasılıkları toplamı olan

P(X \geq 6)

şeklinde hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma verisinin yapısını ve varsayımlarını belirleme

Veri yapısı başarılı/başarısız şeklinde iki kategorilidir (dikotom). Denemeler bağımsızdır ve başlangıç başarı olasılığı (

p_0 = 0,20

) sabittir.

Uygulanacak testin kategorik veri testleri arasından hangisi olacağına karar vermek için verinin özellikleri saptanmalıdır.

2

Normal yaklaşım (Z testi) varsayımlarını kontrol etme

Beklenen başarı sayısı

np_0 = 14 \times 0,20 = 2,8

olarak hesaplanır. Bu değer 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşım koşulu sağlanmamaktadır.

Örneklem hacminin Merkezi Limit Teoremi'ne göre yeterli olup olmadığını doğrulamak ve parametrik yaklaşımın uygunluğunu denetlemek gereklidir.

3

Uygun testi seçme ve alternatif hipoteze göre p-değeri yönünü belirleme

Küçük örneklem ve dikotom veri koşullarında kesin Binom testi seçilir. İddia 'başarı oranının artması' (

H_1: p > 0,20

) olduğundan, 6 ve daha aşırı başarıların olasılığı olan sağ kuyruk olasılığı (

P(X \geq 6)

) hesaplanır.

Normal yaklaşımın sağlanmadığı durumlarda tek örneklem testleri için en uygun yöntem Binom testidir ve araştırma sorusundaki yön ifadesi testin kuyruk türünü belirler.

Anahtar Kavram

Binom Testinde Normal Yaklaşım Varsayımı ve Tek Yönlü Hipotez Kurulumu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

Devlet Malzeme Ofisi (DMO) Kalite Kontrol Daire Başkanlığı, tedarik edilen özel donanımlı dizüstü bilgisayarların bataryalarının zorlu saha koşullarında dayanıklılığını incelemektedir. İlgili şartnameye göre, bu bataryaların söz konusu koşullarda arıza verme oranının en fazla %5 ( $\pi \leq 0.05$ ) olması zorunludur. Seçilen her bir bataryanın durumu diğerlerinden bağımsızdır ve arıza gözlenme olasılığının tüm bataryalar için aynı olduğu kabul edilmektedir.

Teslim alınan partiden rastgele seçilen $15$ batarya laboratuvar testine tabi tutulmuş ve $2$ bataryanın test sırasında arıza verdiği tespit edilmiştir. Uzmanlar, partinin şartnameye uygunluğunu reddetmek için arıza oranının %5'ten istatistiksel olarak anlamlı derecede yüksek olup olmadığını sınamak istemektedir.

Bu sürece ilişkin yapılacak hipotez testi ve yöntemi hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve arıza ihtimalinin sabitliği varsayımları altında iki kategorili veriler değerlendirilirken, beklenen frekans (

np = 0.75

) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşıma dayalı Z oran testi uygulanamaz; testin

p

-değeri sağ kuyruk olasılığını (

P(X \geq 2)

) temel alan Binom testi ile hesaplanmalıdır.

Gözlem sayısı küçük (

n = 15

) olduğu için öncelikle dağılımın normalliği Kolmogorov-Smirnov testi ile sınanmalı, normallik varsayımı ihlal ediliyorsa oransal analizler yerine sürekli veriler için geliştirilmiş non-parametrik alternatifler kullanılmalıdır.

İncelenen değişkenin yalnızca iki farklı sonuç üretebilmesi sebebiyle, beklenen frekansların yeterli büyüklükte olup olmadığına bakılmaksızın doğrudan Ki-kare uyum iyiliği testine başvurulmalı ve analiz bu yöntemle sonuçlandırılmalıdır.

İddia tek yönlü (

H_1: \pi > 0.05

) olarak kurulmuş olsa da, test istatistiğinin anlamlılığı hesaplanırken hata payını minimize etmek amacıyla yönsüz bir analiz yapılıyormuş gibi çift kuyruk olasılığı (

2 \times P(X \geq 2)

) dikkate alınmalıdır.

Test edilen partideki arızalı ve arızasız bataryalar birbiriyle bağımlı iki ölçüm grubu gibi ele alınmalı ve aralarındaki farkın istatistiksel açıdan anlamlılığı Wilcoxon işaretli sıralar testi kullanılarak değerlendirilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gözlemlerin birbirinden bağımsız olması ve arıza ihtimalinin sabitliği varsayımları altında iki kategorili veriler değerlendirilirken, beklenen frekans ( $np = 0.75$ ) 5'ten küçük olduğu için normal yaklaşıma dayalı Z oran testi uygulanamaz; testin $p$ -değeri sağ kuyruk olasılığını ( $P(X \geq 2)$ ) temel alan Binom testi ile hesaplanmalıdır.

Cevap

Doğru yanıt, verilerin iki kategorili doğası gereği Binom testinin kullanılması gerektiğini, beklenen frekans düşük olduğu için normal yaklaşımın uygulanamayacağını ve tek yönlü hipotez sebebiyle sağ kuyruk olasılığının (

P(X \geq 2)

) hesaplanması gerektiğini ifade eden seçenektir.

Senaryoda verilen durum, başarılı/başarısız (arızasız/arızalı) şeklinde sadece iki sonuç barındıran ve denemelerin birbirinden bağımsız olduğu bir yapıya sahiptir. Bu durumda ilgilenilen oran için uygun analiz yöntemi Binom testidir. Ayrıca,

n=15

ve

p=0.05

için beklenen arızalı ürün sayısı

15 \times 0.05 = 0.75

olup, bu değer 5'ten küçüktür. Beklenen frekans 5'ten küçük olduğunda normal dağılım yaklaşımı (Z oran testi) güvenilir sonuç vermez ve kesin (exact) Binom olasılıkları hesaplanmalıdır. Araştırma hipotezi arıza oranının %5'ten büyük olup olmadığını (

H_1: \pi > 0.05

) sınadığı için test tek yönlüdür ve elde edilen gözlemden (

X=2

) daha aşırı durumların olasılıkları toplanarak, yani sağ kuyruk olasılığı olan

P(X \geq 2)

hesaplanarak testin p-değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri yapısını ve hipotezleri tanımlama

Değişken iki kategorilidir (arızalı/arızasız). Boş hipotez

H_0: \pi \leq 0.05

iken, alternatif hipotez

H_1: \pi > 0.05

(sağ kuyruk) olarak belirlenir.

Test edilecek iddianın 'oranın %5'ten anlamlı derecede yüksek olması' koşuluna dayanması.

2

Normal yaklaşım (Z testi) varsayımlarını kontrol etme

Örneklem hacmi

n=15

ve test edilen oran

p=0.05

için beklenen arızalı sayısı

np = 15 \times 0.05 = 0.75

olarak bulunur.

Z oran testinin kullanılabilmesi için hem

np \geq 5

hem de

n(1-p) \geq 5

koşullarının sağlanması zorunludur.

3

Uygun test yöntemini ve p-değeri hesaplama mantığını seçme

Beklenen frekans koşulu sağlanmadığı (

0.75 < 5

) için Z testi yerine kesin (exact) Binom testi seçilir. Hipotez sağ kuyruk olduğundan,

X=2

ve daha aşırı sonuçların olasılığı olan

P(X \geq 2)

hesaplanır.

Küçük örneklemlerde oran testi için Binom dağılımının kendi olasılık formülü üzerinden kesin hesaplama yapılması teorik bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Binom Testi ve Normal Yaklaşım Varsayımları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumunun stratejik veri analizi biriminde görev yapan 15 uzman üzerinde yeni nesil bir siber güvenlik (oltalama) testi uygulanmıştır. Kurum politikasına göre, bu birimdeki uzmanların testte başarısız olma (oltalamaya düşme) olasılığının ( $p$ ) en fazla $\%10$ olduğu varsayılmaktadır. Yapılan habersiz test sonucunda, 15 uzmandan 4'ünün başarısız olduğu tespit edilmiştir.

Birim yöneticisi, başarısızlık oranının istatistiksel olarak $\%10$ 'dan anlamlı derecede daha yüksek olup olmadığını $\%5$ anlamlılık düzeyinde test etmek istemektedir.

Bu hipotezin testi için veri yapısı ve varsayımlar dikkate alındığında, seçilmesi gereken en uygun test yöntemi ve bu teste ait anlamlılık (p-değeri) hesaplama mantığı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Örneklem büyüklüğü normal yaklaşım için gereken

np_0 \geq 5

koşulunu sağlamadığından tam Binom testi uygulanmalı ve p-değeri, sağ kuyruk olasılığını ifade eden

\sum_{x=4}^{15} \binom{15}{x} (0,10)^x (0,90)^{15-x}

formülü ile hesaplanmalıdır.

Gözlemler birbirinden bağımsız ve iki sonuçlu olduğu için normal yaklaşımla Z-oran testi kullanılmalı ve süreklilik düzeltmesi yapılarak

Z = \frac{(4/15) - 0,10}{\sqrt{(0,10 \times 0,90) / 15}}

test istatistiği üzerinden sağ kuyruk olasılığı bulunmalıdır.

Verilerin dağılımı asimetrik olduğundan tam Binom testi kullanılmalı; ancak sapmanın yönü baştan bilinemeyeceği için çift yönlü test kurularak p-değeri

2 \times \sum_{x=4}^{15} \binom{15}{x} (0,10)^x (0,90)^{15-x}

olarak elde edilmelidir.

Normal yaklaşım koşulları sağlanmadığı için tam Binom testi tercih edilmeli ve testin p-değeri, gözlenen değer ve ondan daha aşırı düşük değerlerin olasılığı olan

\sum_{x=0}^{4} \binom{15}{x} (0,10)^x (0,90)^{15-x}

formülü ile hesaplanmalıdır.

Tam Binom testi uygulanmalı ve hesaplanan p-değeri, tam olarak 4 kişinin başarısız olma olasılığını yansıtan tekil nokta olasılığı olan

\binom{15}{4} (0,10)^4 (0,90)^{11}

değerine eşit alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklem büyüklüğü normal yaklaşım için gereken $np_0 \geq 5$ koşulunu sağlamadığından tam Binom testi uygulanmalı ve p-değeri, sağ kuyruk olasılığını ifade eden $\sum_{x=4}^{15} \binom{15}{x} (0,10)^x (0,90)^{15-x}$ formülü ile hesaplanmalıdır.

Cevap

Tam Binom testi uygulanmalı ve p-değeri sağ kuyruk olasılığını veren kümülatif formül ile hesaplanmalıdır.

Beklenen olay sayısı

np_0 = 15 \times 0,10 = 1,5

'tir. Bu değer 5'ten küçük olduğu için Merkezi Limit Teoremi'ne dayalı normal yaklaşım (Z-oran testi) kullanılamaz; kesin olasılıkları veren tam Binom testi uygulanmalıdır. Araştırmacının amacı oranın %10'dan daha yüksek olup olmadığını sınamak (

H_1: p > 0,10

) olduğundan sağ kuyruk testi yapılmalıdır. Sağ kuyruk testlerinde p-değeri, gözlenen değerden (4) başlayarak alabileceği maksimum değere (15) kadar olan Binom olasılıklarının toplamı ile hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Senaryodaki parametreleri belirle.

Örneklem hacmi

n = 15

, başarı (oltalamaya düşme) olasılığı

p_0 = 0,10

ve gözlenen başarısız uzman sayısı

x = 4

.

Uygulanacak testin varsayımlarını kontrol etmek ve test istatistiğini oluşturmak için parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

Normal yaklaşım varsayımını (

np_0 \geq 5

ve

nq_0 \geq 5

) kontrol et.

np_0 = 15 \times 0,10 = 1,5

bulunur.

1,5 < 5

olduğu için normal yaklaşım koşulu sağlanmamaktadır.

Test seçiminde (Binom vs Z-testi) beklenen frekansların yeterliliği belirleyicidir.

3

Hipotez yönünü belirle ve doğru p-değeri mantığını kur.

Soru 'daha yüksek olup olmadığını' sorduğu için

H_1: p > 0,10

kurulur. Bu sağ kuyruklu bir testtir.

P-değerinin hangi yönde (sağ, sol veya çift) kümülatif olarak toplanacağını belirlemek içindir.

4

Matematiksel formülü oluştur.

Kesin (exact) Binom testi p-değeri:

P(X \geq 4) = \sum_{x=4}^{15} \binom{15}{x} (0,10)^x (0,90)^{15-x}

şeklinde ifade edilir.

Sağ kuyruk testinde p-değeri, gözlenen değere eşit ve ondan daha aşırı (büyük) olayların olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Binom Testi Varsayımları ve Kesin (Exact) p-değeri Hesaplama

Binom Testi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar