Stokastik Süreçler Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Gelir İdaresi Başkanlığı (GİB) tarafından geliştirilen bir yapay zekâ destekli vergi denetim modelinde, mükelleflerin her yılki risk durumları $S = \{1, 2, 3\}$ durum uzayında tanımlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu durumlardan $1$ 'Düşük Riskli', $2$ 'Orta Riskli' ve $3$ 'Yüksek Riskli' mükellef kategorisini temsil etmektedir.

Sistemin bir yıldan sonraki yıla geçiş olasılıkları matrisi ( $P$ ) aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} & \frac{1}{10} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{5} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}

Bu Markov zincirinin indirgenemez (irreducible) ve aperiodik olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, rastgele incelenen bir mükellefin 'Yüksek Riskli' ( $3$ numaralı durum) kategorisinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{1}{5}

\frac{3}{10}

\frac{1}{3}

\frac{3}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{6}$

Cevap

Uzun dönemde 'Yüksek Riskli' kategorisinde bulunma olasılığı

\frac{1}{6}

'dır.

Markov zincirlerinde kararlı durum olasılık vektörü (

\pi

),

\pi P = \pi

denklemini ve

\sum \pi_i = 1

koşulunu sağlamalıdır. Verilen matriste ilk sütun elemanlarının tamamı

\frac{1}{2}

'dir. Bu durum,

\pi_1

için yazılacak denklemin

\pi_1 = \frac{1}{2}(\pi_1 + \pi_2 + \pi_3)

olmasını sağlar. Toplam olasılık

1

olduğundan

\pi_1 = \frac{1}{2}

olarak doğrudan bulunur. Normalizasyon şartından

\pi_2 = \frac{1}{2} - \pi_3

elde edilir. Üçüncü sütun denklemi olan

\pi_3 = \frac{1}{10}\pi_1 + \frac{1}{5}\pi_2 + \frac{3}{10}\pi_3

ifadesinde bilinenler yerine yazılıp denklemler çözüldüğünde

\pi_3 = \frac{1}{6}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum olasılık vektörünü

\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3]

olarak tanımla ve temel eşitlikleri yaz.

\pi P = \pi

ve

\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1

denklemleri oluşturulur.

Sistem indirgenemez ve aperiodik olduğundan tek bir kararlı durum (sınır olasılık) dağılımı vardır ve bu şartları sağlamak zorundadır.

2

Matris çarpımından

1

. duruma ait eşitliği yazarak

\pi_1

değerini doğrudan bul.

\pi_1 = \frac{1}{2}\pi_1 + \frac{1}{2}\pi_2 + \frac{1}{2}\pi_3 = \frac{1}{2}(\pi_1 + \pi_2 + \pi_3)

. Toplam olasılık

1

olduğundan

\pi_1 = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}

elde edilir.

Geçiş matrisinin ilk sütunundaki tüm elemanlar

\frac{1}{2}

olduğundan,

\pi_1

olasılığı sistemin diğer değişkenlerinden bağımsız olarak pratik bir şekilde bulunabilir.

3

Matris çarpımından

3

. duruma ait eşitliği yaz ve bilinen değerleri yerine koy.

\pi_3 = \frac{1}{10}\pi_1 + \frac{1}{5}\pi_2 + \frac{3}{10}\pi_3

. Burada

\pi_1 = \frac{1}{2}

olarak yazılır.

Soruda bizden

\pi_3

istendiği için bu duruma ait geçiş denklemini kullanmalıyız.

4

Normalizasyon şartını kullanarak

\pi_2

değerini

\pi_3

cinsinden ifade et ve denklemde yerine koyarak

\pi_3

'ü çöz.

\pi_2 = 1 - \pi_1 - \pi_3 = \frac{1}{2} - \pi_3

. Denklem:

\pi_3 = \frac{1}{10}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{5}(\frac{1}{2} - \pi_3) + \frac{3}{10}\pi_3

. Çözüldüğünde

\frac{9}{10}\pi_3 = \frac{3}{20} \implies \pi_3 = \frac{1}{6}

bulunur.

Üç bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene (

\pi_3

) indirgeyerek nihai sonuca ulaşmak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları

Soru 22Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt birimine gelen dilekçeler, saatte ortalama $\lambda = 12$ dilekçe oranına sahip bir Poisson süreci $\{N(t), t \geq 0\}$ ile modellenmektedir. (Zaman parametresi $t$ , saat cinsinden ifade edilmektedir).

Bu süreçle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Herhangi bir 20 dakikalık zaman diliminde tam olarak 2 dilekçe gelme olasılığı

8e^{-4}

'tür.

Ardışık iki dilekçe başvurusu arasında geçen bekleme süresi, beklenen değeri

\frac{1}{12}

olan bir Poisson dağılımına sahiptir.

Herhangi bir 30 dakikalık zaman diliminde hiç dilekçe gelmeme olasılığı

e^{-12}

'dir.

10:00 - 10:30 ile 10:15 - 10:45 saatleri arasındaki dilekçe sayıları, sürecin bağımsız artışlar özelliğinden dolayı birbirinden bağımsızdır.

Kurumun 1 saatlik işlem maliyeti

Y = 5N(1) + 100

(TL) fonksiyonu ile tanımlandığında, bu maliyetin varyansı

160

'tır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Herhangi bir 20 dakikalık zaman diliminde tam olarak 2 dilekçe gelme olasılığı $8e^{-4}$ 'tür.

Cevap

Herhangi bir 20 dakikalık zaman diliminde tam olarak 2 dilekçe gelme olasılığının

8e^{-4}

olduğunu belirten ifade doğrudur.

Poisson sürecinde

t

uzunluğundaki bir zaman diliminde gerçekleşen olay sayısı, ortalaması

\lambda t

olan bir Poisson dağılımına uyar. 20 dakikalık süre,

t = 1/3

saate denktir. Beklenen olay sayısı

12 \times (1/3) = 4

olarak bulunur. Poisson formülünde (

\mu=4, k=2

) değerleri yerine konulduğunda, sonuç

\frac{e^{-4} 4^2}{2!} = 8e^{-4}

olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen zaman dilimini uygun birime (saat) dönüştürme ve yeni oran parametresini hesaplama.

t = 20 \text{ dakika} = \frac{1}{3} \text{ saat}

. Yeni ortalama

\lambda t = 12 \times \frac{1}{3} = 4

bulunur.

Poisson sürecinde verilen temel

\lambda

değeri 1 saatliktir; olasılık hesabı için

t

uzunluğundaki süreye ait ortalama bulunmalıdır.

2

Poisson olasılık kütle fonksiyonunu kullanarak tam olarak 2 olayın gerçekleşme olasılığını bulma.

P(X = 2) = \frac{e^{-4} \times 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}

sonucu elde edilir.

Bir Poisson rastgele değişkeni için nokta olasılığı formülü

P(X=k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}

şeklindedir.

3

Diğer seçeneklerin teorik doğruluğunu kontrol etme.

Bekleme sürelerinin üstel dağıldığı, 30 dakika için ortalamanın 6 olması gerektiği, kesişen aralıkların bağımsız olmadığı ve varyans hesabında katsayının karesinin alınması gerektiği teyit edilir.

Soru formatı diğer seçeneklerdeki kavramsal yanılgıları ve tuzakları test etmektedir.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinin Temel Özellikleri (Oran Ölçekleme, Bekleme Süreleri ve Bağımsız Artışlar)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 23Soru →

Bir il özel idaresine ait iş makinelerinin hidrolik pompaları arızalandıkça anında yenileriyle değiştirilmektedir. Bir hidrolik pompanın arızasız çalışma süresi (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni olup, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & x > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$M(t)$ , $(0, t]$ zaman aralığında değiştirilen hidrolik pompa sayısının beklenen değerini (yenileme fonksiyonu) göstermektedir.
Buna göre, temel yenileme teoremine (Elementary Renewal Theorem) göre uzun dönemde yıllık ortalama pompa değiştirme hızı olan $\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2}

2

1

\frac{1}{3}

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Temel yenileme teoremine göre uzun dönem yenileme hızı

\frac{1}{2}

'dir.

Verilen sürekli rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonundan beklenen değeri

E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x) dx = 2

olarak bulunur. Temel yenileme teoremine göre, yenileme fonksiyonunun asimptotik hızı

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{E[X]}

formülü ile hesaplanır. Bu nedenle uzun dönemdeki yenileme hızı

\frac{1}{2}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Hidrolik pompanın arızasız çalışma süresinin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplama.

E[X] = \int_{1}^{\infty} x \cdot \frac{2}{x^3} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{2}{x^2} dx = \left[ -\frac{2}{x} \right]_{1}^{\infty} = 0 - (-2) = 2

yıl.

Yenileme hızını bulabilmek için öncelikle bir yenileme döngüsünün (arızasız çalışma süresi) ortalama uzunluğunun bulunması gerekir.

2

Temel yenileme teoremini (Elementary Renewal Theorem) uygulama.

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{E[X]} = \frac{1}{2}

Teoreme göre, uzun dönemde birim zamanda gerçekleşen ortalama yenileme sayısı, ardışık yenilemeler arası geçen sürenin beklenen değerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi (Elementary Renewal Theorem) ve Sürekli Rastgele Değişkenlerde Beklenen Değer

Soru 24Soru →

Bir laboratuvar ortamında gözlemlenen özel bir hücre popülasyonu, durum uzayı $S = \{0, 1, 2, \dots\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci ile modellenmektedir. Sistemde $n$ adet hücre bulunduğu anda;

- Yeni bir hücrenin üreme (doğum) hızı: $\lambda_n = \frac{n+2}{n+1} \lambda \quad (n \ge 0)$
- Mevcut bir hücrenin yok olma (ölüm) hızı: $\mu_n = \frac{n}{n+1} \mu \quad (n \ge 1)$

şeklinde tanımlanmıştır (burada $\lambda, \mu > 0$ sabitlerdir).

Sistemin kararlı duruma (steady-state) ulaşabilmesi için $\lambda < \mu$ koşulu sağlandığına ve $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ olduğuna göre, kararlı durumda sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı ( $P_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

1-\rho

(1-\rho)^2

\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}

(1-\rho)^3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}$

Cevap

Sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı

P_0 = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

formülü ile ifade edilir.

Doğru yanıt olan

\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

ifadesi, duruma bağlı karmaşık geçiş hızlarına sahip doğum-ölüm sürecinin tam analitik çözümüdür. Doğum oranının

\lambda_i

, ölüm oranının

\mu_{i+1}

olduğu denge denkleminde

\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \rho \frac{(i+2)^2}{(i+1)^2}

oranı elde edilir. Bu oranın

i=0

'dan

n-1

'e kadar ardışık çarpımı

P_n = P_0(n+1)^2\rho^n

sonucunu verir.

\sum P_n = 1

eşitliğinden

\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2\rho^n

sonsuz serisinin hesaplanması gerekir. Geometrik serinin ardışık türevleriyle bu toplam

\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}

olarak bulunur. Ters çevrildiğinde

P_0

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreçleri için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini yazın.

P_n = P_0 \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \quad (n \ge 1)

Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde her bir durum için giriş ve çıkış hızlarının eşitliğinden elde edilen genel çözüm formülüdür.

2

Verilen

\lambda_i

ve

\mu_{i+1}

ifadelerini çarpım formülünde yerine koyun ve sadeleştirin.

\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \frac{\frac{i+2}{i+1}\lambda}{\frac{i+1}{i+2}\mu} = \left(\frac{i+2}{i+1}\right)^2 \rho

. Çarpım sonucunda ardışık terimler birbirini götürür ve

P_n = P_0 (n+1)^2 \rho^n

elde edilir.

Hızların birbirine oranı karesel bir artış sergilemektedir; bu oranların çarpımı baştaki ve sondaki terimler haricinde sadeleşmeyi sağlar.

3

Toplam olasılık kuralını (

\sum_{n=0}^\infty P_n = 1

) uygulayarak seri toplamını oluşturun.

P_0 \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n = 1

Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı 1'e eşit olmalıdır.

4

\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}

temel geometrik serisinden faydalanarak

S = \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n

toplamını hesaplayın.

Temel serinin iki kez ardışık türevi alınıp düzenlendiğinde

S = \frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}

bulunur.

İçinde polinomiyel çarpan

(n+1)^2

barındıran serilerin toplamı, üretici fonksiyonların (generating functions) türevleri yardımıyla analitik olarak hesaplanabilir.

5

P_0 \cdot S = 1

eşitliğinden

P_0

'ı yalnız bırakın.

P_0 = \frac{1}{S} = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

Kararlı durumda boş kalma olasılığı, serinin toplam değerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Denge Denklemleri ve Olasılık Üretici Fonksiyonlar

Soru 25Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde geliştirilen özel bir bitki türünün çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Başlangıçta ekilen tek bir tohumdan ( $X_0 = 1$ ) yetişen her bir bitkinin, bir sonraki nesil için vereceği çimlenebilir tohum sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

$X$ 'in olasılık dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretilen Tohum Sayısı ( $x$ )	Olasılık $P(X=x)$
0	$\frac{1}{4}$
1	$\frac{1}{4}$
2	$\frac{1}{2}$

Buna göre, bu özel bitki türünün soyunun nihai olarak tükenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{4}{5}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Soyun nihai olarak tükenme olasılığı

\frac{1}{2}

'dir.

Dallanma süreçlerinde soyun nihai tükenme olasılığı (

\pi

), olasılık üreteç fonksiyonunun

G(s) = s

eşitliğini sağlayan

[0, 1]

aralığındaki en küçük köküdür. Üreteç fonksiyonu

G(s) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2}s^2

olarak yazılıp

s

'ye eşitlendiğinde,

2s^2 - 3s + 1 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri

1

ve

\frac{1}{2}

'dir. Sürecin beklenen değeri

\mu = 1.25 > 1

(süperkritik) olduğundan tükenme kesin değildir ve tükenme olasılığı küçük kök olan

\frac{1}{2}

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir nesilde üretilen tohum sayısının beklenen değerini (

\mu

) hesapla.

\mu = E[X] = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} = 1.25

Sürecin kritik altı mı (

\mu \leq 1

, tükenme olasılığı = 1) yoksa süperkritik mi (

\mu > 1

, tükenme olasılığı < 1) olduğunu belirlemek için.

2

Olasılık üreteç fonksiyonunu (PGF) oluştur.

G(s) = P(X=0) + P(X=1)s + P(X=2)s^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}s + \frac{1}{2}s^2

Dallanma süreçlerinde nihai tükenme olasılığı (

\pi

),

G(s) = s

denkleminin çözümünden elde edilir.

3

G(s) = s

denklemini çöz.

\frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{4}s + \frac{1}{4} = s \implies 2s^2 + s + 1 = 4s \implies 2s^2 - 3s + 1 = 0

Nihai tükenme olasılığı, bu denklemin

[0, 1]

aralığındaki en küçük köküdür.

4

İkinci dereceden denklemin köklerini bul.

(2s - 1)(s - 1) = 0 \implies s_1 = \frac{1}{2}, \; s_2 = 1

Kökleri belirleyip,

\mu > 1

olduğu için

1

'den küçük olan kökü nihai tükenme olasılığı olarak seçmek için.

Anahtar Kavram

Dallanma Süreçlerinde Nihai Tükenme Olasılığı ve Üreteç Fonksiyonu

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden polinomda

G(s) = s

denkleminin iki kökü olduğu ve köklerden birinin her zaman

1

olduğu bilindiğine göre, polinom bölmesi veya kökler çarpımı özelliği ile diğer kök kolayca bulunabilir: Kökler çarpımı

c/a = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}

'dir. Birinci kök 1 olduğundan, diğer kök doğrudan

\frac{1}{2}

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

Bir e-Devlet veri merkezine gelen vergi sorgulama işlemleri, saniyede $4$ sorgu ( $\lambda = 4$ ) olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak sisteme ulaşmaktadır. Bu sorguların işlem süreleri ise üstel dağılıma uymaktadır.

Sistem performansını değerlendiren mühendisler iki farklı mimariyi analiz etmektedir:

* I. Mimari (M/M/1): Tüm sorguların, hizmet oranı saniyede $6$ sorgu ( $\mu = 6$ ) olan tek bir sunucuya yönlendirilmesi.
* II. Mimari (M/M/2): Gelen sorguların, ortak bir kuyruktan beslenen ve her birinin hizmet oranı saniyede $3$ sorgu ( $\mu = 3$ ) olan birbirine eş iki sunucuya yönlendirilmesi.

Her iki mimarinin de kararlı durumda (steady-state) çalıştığı bilinmektedir.

Buna göre, I. Mimarideki sistemde beklenen ortalama sorgu sayısı ( $L_{I}$ ) ile II. Mimarideki kuyrukta beklenen ortalama sorgu sayısı ( $L_{q,II}$ ) arasındaki fark ( $L_{I} - L_{q,II}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2}{5}

\frac{4}{15}

\frac{14}{15}

\frac{16}{15}

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{14}{15}$

Cevap

I. Mimarideki sistemdeki sorgu sayısı ile II. Mimarideki kuyruktaki sorgu sayısı arasındaki fark

\frac{14}{15}

'tir.

I. Mimari (M/M/1) için

\lambda = 4

ve

\mu = 6

değerleri verilmiştir. Sistemdeki beklenen sorgu sayısı

L_I = \frac{\lambda}{\mu-\lambda} = \frac{4}{6-4} = 2

bulunur. II. Mimari (M/M/2) için

c=2

,

\lambda=4

,

\mu=3

değerleri ile ilk olarak sistemin boş olma olasılığı

P_0

hesaplanır.

\rho = \frac{\lambda}{c\mu} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

olduğundan,

P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{(4/3)^2}{2(1-2/3)} \right]^{-1} = \frac{1}{5}

olarak elde edilir. Kuyruk uzunluğu ise

L_{q,II} = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c!(1-\rho)^2} = \frac{(1/5) (16/9) (2/3)}{2(1/9)} = \frac{16}{15}

olur. İstenen

L_I - L_{q,II}

farkı

2 - \frac{16}{15} = \frac{14}{15}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

I. Mimari (M/M/1) için sistemdeki beklenen sorgu sayısını (

L_I

) hesapla.

L_I = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{4}{6 - 4} = 2

M/M/1 kuyruk modelinde sistemdeki ortalama birim sayısı formülü kullanılmıştır.

2

II. Mimari (M/M/2) için sistemin boş kalma olasılığını (

P_0

) hesapla.

P_0 = \left[ 1 + \frac{4}{3} + \frac{(4/3)^2}{2(1 - 2/3)} \right]^{-1} = \left[ \frac{7}{3} + \frac{16/9}{2/3} \right]^{-1} = \left[ \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right]^{-1} = \frac{1}{5}

M/M/c kuyruk modeli için

c=2

,

\lambda=4

ve

\mu=3

değerleriyle

P_0

formülü uygulanmıştır.

3

II. Mimari (M/M/2) için kuyrukta beklenen sorgu sayısını (

L_{q,II}

) hesapla.

L_{q,II} = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c!(1-\rho)^2} = \frac{(1/5) (16/9) (2/3)}{2(1/9)} = \frac{32/135}{2/9} = \frac{16}{15}

Sistemin boş olma olasılığı ve trafik yoğunluğu (

\rho = 2/3

) kullanılarak M/M/c için kuyruk uzunluğu formülü uygulanmıştır.

4

İki değerin farkını al.

L_I - L_{q,II} = 2 - \frac{16}{15} = \frac{30}{15} - \frac{16}{15} = \frac{14}{15}

Soru metninde istenen metriklerin farkı bulunmuştur.

Anahtar Kavram

M/M/1 ve M/M/c Kuyruk Sistemlerinde Sistem ve Kuyruk Uzunluklarının Karşılaştırılması

Soru 27Soru →

Bir $\{X(t), t \in T\}$ stokastik süreci; bir $\Omega$ örnek uzayındaki rastgele sonuçları zamanın bir fonksiyonu olarak modelleyen rastgele değişkenler ailesidir. Bu matematiksel yapı, sürecin gözlemlendiği $T$ zaman parametresi kümesinin ve sürecin alabileceği değerleri gösteren $S$ durum uzayının özelliklerine göre (kesikli veya sürekli) sınıflandırılır.

Stokastik süreçlerin temel kavramları, sınıflandırma kriterleri ve matematiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Sürekli zamanlı ve kesikli durumlu bir model olan Poisson sürecinde, belirli bir

t

anına kadar gerçekleşen olay sayısı Poisson dağılırken, ardışık iki olay arasında geçen bekleme süresi de Poisson dağılımına sahiptir.

Bağımsız artışlı bir stokastik süreçte, kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışların bağımsız olması, bu artışları temsil eden olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olduğunu ve birlikte gerçekleşme olasılıklarının sıfır olduğunu gösterir.

Sabit bir

t_0 \in T

anı için

X(t_0)

tek bir rastgele değişkeni ifade ederken; örnek uzayından alınan sabit bir

\omega_0 \in \Omega

deney sonucu için zamana bağlı olarak elde edilen

X(t, \omega_0)

fonksiyonuna sürecin örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) adı verilir.

Zaman parametresi kümesi

T

'nin bir aralık olduğu ve durum uzayı

S

'nin sayılabilir olduğu sürekli zamanlı ve kesikli durumlu süreçlere; bir nehrin ardışık günlerde ölçülen su seviyesi değerleri en uygun örnektir.

Sürekli zamanlı ve sürekli durumlu bir model olan Wiener sürecinde (Brown Hareketi),

W(t)

süreci sürekli bir örneklem yoluna sahip olup, kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışları geçmiş artışlara tam bağımlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sabit bir $t_0 \in T$ anı için $X(t_0)$ tek bir rastgele değişkeni ifade ederken; örnek uzayından alınan sabit bir $\omega_0 \in \Omega$ deney sonucu için zamana bağlı olarak elde edilen $X(t, \omega_0)$ fonksiyonuna sürecin örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) adı verilir.

Cevap

Sabit bir

t_0 \in T

anı için

X(t_0)

tek bir rastgele değişkeni ifade ederken; sabit bir

\omega_0 \in \Omega

deney sonucu için

X(t, \omega_0)

fonksiyonuna örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) adı verilir.

Stokastik bir süreç,

X(t, \omega)

formunda iki değişkene bağlıdır. Eğer

t

belirli bir an olarak sabitlenirse, tüm

\omega

'lar için sürecin alacağı değerleri veren tek bir

X(t)

rastgele değişkeni elde edilir. Eğer rastgele deney yapılıp spesifik bir

\omega_0

sonucu elde edilirse, bu sonucun zaman içindeki ilerleyişini gösteren ve sadece zamana bağlı olan

X(t, \omega_0)

deterministik fonksiyonuna sürecin örneklem yolu veya örneklem fonksiyonu (sample path / sample function) denir. Bu, stokastik süreçlerin en temel yapısal ayrımıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Stokastik sürecin iki değişkenli yapısının analiz edilmesi

X(t, \omega)

fonksiyonunun hem

t \in T

zaman parametresine hem de

\omega \in \Omega

deney sonucuna bağlı olduğu görülür.

Sürecin davranışını zaman ve durum uzayı eksenlerinde anlamlandırmak için tanım kümesi incelenmelidir.

2

Değişkenlerin tek tek sabitlenerek incelenmesi

t

sabitlendiğinde durum uzayındaki dağılımı veren bir rastgele değişken elde edilir.

\omega

sabitlendiğinde ise o spesifik sonucun zamana göre değişimi (örneklem yolu) ortaya çıkar.

Örneklem fonksiyonu ve rastgele değişken kavramlarının birbirinden net şekilde ayırt edilmesi gereklidir.

3

Çeldiricilerdeki kavramsal hataların ayıklanması

Bağımsızlık ile ayrıklık kavramlarının farklı olduğu, zaman ile durum uzayı sınıflandırmalarının örneklere uyumu ve temel stokastik süreçlerin (Poisson, Wiener) karakteristik özellikleri teyit edilir.

Sınıflandırma ve bağımsız artış gibi temel konulardaki yaygın yanılgıları elemek içindir.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreç Tanımı ve Örneklem Fonksiyonu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Devlete ait bir gümrük limanında, aynı anda en fazla $2$ geminin yanaşabileceği bir rıhtım bulunmaktadır. Limana gemi gelişleri, günde ortalama $3$ gemi olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak gerçekleşmektedir. Rıhtımdaki her bir yanaşma peronunun bir gemiye verdiği hizmet süresi ise, günde ortalama $2$ gemiye hizmet verilecek şekilde üstel dağılıma sahiptir.

Rıhtım tam kapasite dolu olduğunda, limana yeni gelen gemiler sisteme alınmadan (bekleme yapmadan) doğrudan başka bir limana yönlendirilmektedir.

Buna göre, bu liman sisteminin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (gelen gemilerin yönlendirilme) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{29}

\frac{3}{10}

\frac{12}{29}

\frac{9}{29}

\frac{9}{19}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{29}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{9}{29}

olasılığıdır.

Sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak tasarlandığında, denge denklemleri kesit prensibine göre çözülür.

\mu_2 = 4

olduğu dikkate alınarak olasılıklar

\pi_0

cinsinden ifade edildiğinde, limanın tam kapasite çalışma olasılığı olan

\pi_2

, tüm durumların ağırlıklı toplamına oranlanarak

\frac{9}{29}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Sistemi durum uzayı

S = \{0, 1, 2\}

olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modelleyin.

Durum sayısı limandaki gemi sayısını ifade eder. Sistem tam kapasiteye ulaştığında (

2

gemi) yeni gelenler geri çevrildiği için durum uzayı

2

ile sınırlıdır.

Kapasite kısıtı olan sistemlerde Markov zinciri sonlu durum uzayına sahip bir doğum-ölüm süreci (Erlang B kayıp modeli) oluşturur.

2

Her durum için doğum (geliş) ve ölüm (hizmet) hızlarını belirleyin.

Geliş hızları:

\lambda_0 = 3

,

\lambda_1 = 3

. Hizmet hızları:

\mu_1 = 2

ve her iki peron aynı anda hizmet verdiğinde

\mu_2 = 2 \times 2 = 4

.

Hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına (aktif sunucu sayısına) bağlı olarak artar. İki gemi varken sistemden çıkış hızı iki katına çıkar.

3

Kararlı durum (steady-state) için denge denklemlerini (

\pi_{n} \lambda_n = \pi_{n+1} \mu_{n+1}

) kurun.

Durum 0-1 arası:

3\pi_0 = 2\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{2}\pi_0

. Durum 1-2 arası:

3\pi_1 = 4\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{4}\pi_1

.

\pi_2

'yi

\pi_0

cinsinden yazarsak:

\pi_2 = \frac{3}{4}(\frac{3}{2}\pi_0) = \frac{9}{8}\pi_0

.

Uzun dönemde herhangi bir

n

durumundan

n+1

durumuna geçiş hızı,

n+1

durumundan

n

durumuna geri dönüş hızına eşit olmalıdır.

4

Olasılıkların toplamının

1

olması kuralını kullanarak

\pi_0

ve ardından istenen

\pi_2

olasılığını hesaplayın.

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 (1 + \frac{12}{8} + \frac{9}{8}) = 1 \implies \pi_0 (\frac{29}{8}) = 1 \implies \pi_0 = \frac{8}{29}

. Buradan

\pi_2 = \frac{9}{8} \times \frac{8}{29} = \frac{9}{29}

bulunur.

Sistem uzun dönemde mutlaka bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Erlang Kayıp Modeli

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 29Soru →

Bir vergi dairesi, mükelleflerinin vergi ödeme uyumlarını her yıl değerlendirerek üç farklı durumdan birine sınıflandırmaktadır: $D_1$ (Düzenli ödeyen), $D_2$ (Gecikmeli ödeyen) ve $D_3$ (İcra takibinde olan). Mükelleflerin bu durumlar arasındaki geçişleri, zamanla değişmeyen (homojen) kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bir mükellefin bir yıldan diğerine durum değiştirme olasılıklarını gösteren geçiş matrisi aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,7 & 0,2 & 0,1 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,1 & 0,4 & 0,5 \end{bmatrix}

Buna göre, bu yıl 'Gecikmeli ödeyen' ( $D_2$ ) durumunda olduğu bilinen bir mükellefin, tam iki yıl sonra 'İcra takibinde olan' ( $D_3$ ) durumunda olma olasılığı kaçtır?

0,04

0,10

0,16

0,23

0,42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,23$

Cevap

İki adım sonrasında mükellefin

D_3

durumunda olma olasılığı

0,23

'tür.

İki adımlı geçiş olasılığı

P_{23}^{(2)}

değeri, başlangıç durumu olan 2. satır ile hedef durum olan 3. sütunun elemanlarının karşılıklı çarpımlarının toplamıdır. Chapman-Kolmogorov denklemleri gereği bu hesaplama

P_{21}P_{13} + P_{22}P_{23} + P_{23}P_{33}

şeklinde yapılır ve

(0,3)(0,1) + (0,5)(0,2) + (0,2)(0,5) = 0,23

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen olasılığın matematiksel tanımını belirleme

Başlangıç durumu

D_2

ve hedef durum

D_3

olduğu için 2 adım sonrasındaki geçiş olasılığı olan

P_{23}^{(2)}

değeri bulunmalıdır.

Markov zincirlerinde n-adımlı geçiş olasılıkları, tek adımlı geçiş matrisinin n. kuvvetindeki ilgili elemana (satır ve sütun kesişimine) eşittir.

2

Chapman-Kolmogorov eşitliğini 2. satır ve 3. sütun için yazma

P_{23}^{(2)} = \sum_{k=1}^{3} P_{2k}P_{k3} = P_{21}P_{13} + P_{22}P_{23} + P_{23}P_{33}

2 adımda

D_2

'den

D_3

'e geçiş; önce

D_1

'e uğrayıp sonra

D_3

'e geçme,

D_2

'de kalıp sonra

D_3

'e geçme veya

D_3

'e geçip orada kalma senaryolarının olasılıklarının toplamıdır.

3

Matris üzerindeki değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplama

P_{23}^{(2)} = (0,3 \times 0,1) + (0,5 \times 0,2) + (0,2 \times 0,5) = 0,03 + 0,10 + 0,10 = 0,23

Tüm olası ayrık ara yolların olasılıkları toplanarak toplam iki adımlı geçiş olasılığı bulunur.

Anahtar Kavram

İki adımlı geçiş olasılıklarının Chapman-Kolmogorov denklemleri ile hesaplanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Bir bakanlığın Elektronik Belge Yönetim Sistemi'nde (EBYS), e-imza onayı bekleyen acil belgelerin sayısı, durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir.

Sisteme yeni belge geliş oranları durum sayısına göre sırasıyla $\lambda_0 = 4$ belge/saat ve $\lambda_1 = 2$ belge/saat olarak belirlenmiştir. Onay makamının belgeleri inceleyip sistemden düşme (hizmet) oranları ise sistemdeki belge sayısına bağlı olarak $\mu_1 = 3$ belge/saat ve $\mu_2 = 4$ belge/saat şeklindedir. Sistem en fazla $2$ acil belgeyi bekletebilmektedir ( $\lambda_2 = 0$ ).

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sistemde hiç e-imza onayı bekleyen belge bulunmama olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{4}{13}

\frac{1}{2}

\frac{2}{9}

\frac{9}{37}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

Kararlı durumda sistemde hiç belge bulunmama olasılığı

\frac{1}{3}

'tür.

Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum (steady-state) olasılıkları, ardışık durumlar arasındaki geçiş oranlarının dengelenmesi prensibine dayanır.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0

ve

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1

eşitlikleri kurularak tüm durumlar

P_0

cinsinden ifade edilir. Bulunan

P_1 = \frac{4}{3} P_0

ve

P_2 = \frac{2}{3} P_0

değerleri,

\sum P_i = 1

şartında yerine konulduğunda

P_0(1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}) = 1

denklemi elde edilir. Buradan sistemin boş olma olasılığı

P_0 = \frac{1}{3}

olarak doğru şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Denge denklemlerini (balance equations) kurma

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

formülü ile durumlar arası ilişkiler tanımlanır.

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıklarını birbirine bağlamak için gereklidir.

2

P_1

ve

P_2

'yi

P_0

cinsinden ifade etme

P_1 = \frac{4}{3} P_0

ve

P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} P_0) = \frac{2}{3} P_0

bulunur.

Tüm olasılıkları tek bir bilinmeyen (

P_0

) üzerinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek içindir.

3

Toplam olasılık kuralını uygulama

P_0 + P_1 + P_2 = 1

denkleminde değerler yerine konur:

P_0 + \frac{4}{3} P_0 + \frac{2}{3} P_0 = 1

.

Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.

4

P_0

değerini çözme

P_0 (1 + \frac{6}{3}) = 1 \implies 3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{3}

olarak hesaplanır.

Sistemin boş olduğu (hiç belge bulunmayan) durumun nihai olasılığına ulaşmak içindir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir e-ticaret platformunun sipariş işleme sunucusuna gelen ardışık iki veri paketi arasındaki süreler birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlıdır. Bu süreler (milisaniye cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 2$ ve ölçek parametresi $\theta = 3$ olan Gamma dağılımı ile modellenmektedir.

M(t)

, başlangıç anından itibaren

t

milisaniye içinde sunucuya ulaşan toplam veri paketi sayısının beklenen değeri (yenileme fonksiyonu) olmak üzere, temel yenileme teoremine (elementary renewal theorem) göre

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}

limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{18}

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{3}{2}

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{6}$

Cevap

Temel yenileme teoremine göre aranan limit değeri

\frac{1}{6}

'dır.

Temel yenileme teoremine göre, zaman sonsuza giderken yenileme fonksiyonunun zamana oranı (

M(t)/t

), ardışık iki yenileme (olay) arasındaki sürenin beklenen değerinin tersine (

1/\mu

) eşittir. Verilen Gamma dağılımında

\alpha = 2

ve

\theta = 3

olduğundan, iki veri paketi arasındaki beklenen süre

\mu = \alpha \cdot \theta = 2 \cdot 3 = 6

milisaniyedir. Dolayısıyla aranan limit değeri

1/6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Gamma dağılımının beklenen değerini hesaplamak.

\mu = \alpha \cdot \theta = 2 \cdot 3 = 6

milisaniye.

Yenileme teorisinde, olaylar arasındaki ortalama bekleme süresine (beklenen ömür) ihtiyaç duyulur.

2

Temel yenileme teoremini (elementary renewal theorem) uygulamak.

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{6}

Uzun dönemde birim zamana düşen ortalama olay (yenileme) sayısı, ardışık iki olay arasındaki beklenen sürenin tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi ve Gamma Dağılımının Beklenen Değeri

Soru 32Soru →

Zaman ekseni $t \geq 0$ üzerinde tanımlı standart bir Wiener süreci $W(t)$ ile gösterilsin.

Bu süreç yardımıyla oluşturulan,

X = W(3) + W(7)

Y = W(3) - W(7)

rastgele değişkenleri dikkate alındığında,

X

ile

Y

arasındaki kovaryans (

Cov(X, Y)

) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

-10

-4

0

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-4$

Cevap

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans

-4

'tür.

İki rastgele değişkenin kovaryansı bulunurken, değişkenler çarpılıp beklenen değerleri alınır.

X

ve

Y

'nin beklenen değerleri sıfır olduğundan işlem

E[XY]

noktasına indirgenir. İki kare farkı özdeşliği ile

E[W(3)^2 - W(7)^2]

elde edilir. Standart Kahverengi harekette varyans zamana (

t

) eşit olduğundan

3 - 7 = -4

sonucuna ulaşılır. Alternatif olarak, kovaryansın bilineerlik özelliği kullanılarak

Cov(W(3)+W(7), W(3)-W(7)) = Var(W(3)) - Var(W(7)) = 3 - 7 = -4

şeklinde de hesaplanabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryansın temel tanımını beklenen değer cinsinden yazmak.

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

Rastgele değişkenlerin doğrusal bileşimlerinin kovaryansını bulmak için genel tanımı kullanmak.

2

X

ve

Y

değişkenlerinin beklenen değerlerini hesaplamak.

E[W(t)] = 0

olduğundan,

E[X] = E[W(3) + W(7)] = 0

ve

E[Y] = E[W(3) - W(7)] = 0

olur. Bu durumda

Cov(X, Y) = E[XY]

eşitliği elde edilir.

Standart Wiener sürecinin her

t

anındaki beklenen değeri sıfırdır.

3

Çarpımın beklenen değerini oluşturmak.

E[XY] = E[(W(3) + W(7))(W(3) - W(7))] = E[W(3)^2 - W(7)^2]

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak karmaşık çarpım işlemi sadeleştirilir.

4

Beklenen değerin doğrusallığını ve Wiener sürecinin ikinci moment özelliğini uygulamak.

E[W(3)^2] - E[W(7)^2] = Var(W(3)) - Var(W(7)) = 3 - 7 = -4

Standart Wiener sürecinde

E[W(t)^2] = Var(W(t)) = t

eşitliği her zaman geçerlidir.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci Kovaryans ve Varyans Özellikleri

Soru 33Soru →

Bir uluslararası havalimanının gümrük kontrol noktasında, yolcu bagajlarını inceleyen x-ray cihazlarının aktif çalışma durumu, $S = \{0, 1, 2\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci (doğum-ölüm süreci) olarak modellenmiştir. Burada durumlar, o an aktif olarak çalışan cihaz sayısını ifade etmektedir.

Sistemin sonsuz küçüklükteki geçiş oranları matrisi (Q-matrisi), saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -8 & 5 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, gümrük noktasında hiçbir cihazın çalışmadığı (durum 0) zamanın oransal beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{20}{53}

\frac{1}{3}

\frac{9}{31}

\frac{10}{31}

\frac{2}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{31}$

Cevap

Sistem uzun dönem kararlı duruma ulaştığında, hiçbir cihazın çalışmadığı zamanın oransal beklenen değeri

\frac{9}{31}

'dir.

Sürekli zamanlı bir Markov sürecinde (CTMC) kararlı durum olasılıkları,

\pi Q = 0

ve

\sum \pi_i = 1

denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Q matrisinin sütunları üzerinden denge denklemleri yazıldığında; 0. sütun için

-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0

, dolayısıyla

\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

olur. 2. sütun için

5\pi_1 - 6\pi_2 = 0

, buradan

\pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{10}{9}\pi_0

elde edilir. Toplam olasılık

\pi_0 (1 + \frac{12}{9} + \frac{10}{9}) = 1

denkleminden

\pi_0 = \frac{9}{31}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Sürekli zamanlı Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov ileri) denklemlerinin limit durumu olan global denge denklemlerinin (

\pi Q = 0

) yazılması

-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

ve

5\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{5}{6}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{10}{9}\pi_0

eşitlikleri elde edilir.

Kararlı durum (steady-state) olasılık vektörü

\pi = [\pi_0, \pi_1, \pi_2]

, Q-matrisinin sol özvektörü olarak

\pi Q = 0

şartını sağlamak zorundadır.

2

Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) şartının uygulanması

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + \frac{12}{9}\pi_0 + \frac{10}{9}\pi_0 = 1 \implies \frac{31}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{31}

bulunur.

Sistem her an bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, dolayısıyla tüm durumların kararlı durum olasılıkları toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Q-Matrisi

Soru 34Soru →

Bir olasılık uzayında tanımlı $\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) ve $\mathcal{F}_t$ , bu sürecin $t$ anına kadar olan geçmişini (bilgi kümesini) temsil eden süzgeçleme (filtrasyon) olsun.

Buna göre, aşağıda tanımlanan stokastik süreçlerden hangisi $\mathcal{F}_t$ 'ye göre bir martingal değildir?

W(t)

W^2(t) - t

W^2(t)

e^{W(t) - \frac{t}{2}}

W^3(t) - 3tW(t)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W^2(t)$

Cevap

W^2(t)

süreci bir martingal değildir; zamanla artma eğiliminde olan bir alt-martingaldir (submartingale).

Doğru seçenek

W^2(t)

sürecidir. Martingal tanımına göre,

t > s

için

E[X(t) | \mathcal{F}_s] = X(s)

olmalıdır.

W^2(t)

süreci için bu değer hesaplandığında

E[W^2(t) | \mathcal{F}_s] = W^2(s) + (t-s)

bulunur.

t > s

olduğundan bu değer geçmiş durum olan

W^2(s)

'den kesinlikle büyüktür. Zamanla yukarı doğru sürüklenen bu süreç bir alt-martingaldir (submartingale) ve martingal şartını sağlamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Martingal olma koşulunu hatırlamak.

Bir

X(t)

sürecinin martingal olması için

t > s

olmak üzere

E[X(t) | \mathcal{F}_s] = X(s)

şartını sağlaması gerekir.

Süreçlerin koşullu beklenen değerini inceleyerek mevcut duruma eşit olup olmadıklarını test etmek için.

2

W^2(t)

sürecinin koşullu beklenen değerini hesaplamak için ifadeyi bilinen geçmiş

W(s)

ve gelecek artış

W(t)-W(s)

cinsinden yazmak.

E[W^2(t) | \mathcal{F}_s] = E[(W(t) - W(s) + W(s))^2 | \mathcal{F}_s]

Wiener sürecinin artışlarının (geleceğin) geçmişten bağımsız olma özelliğini kullanabilmek için.

3

Karesel ifadeyi açarak beklenen değeri dağıtmak.

E[(W(t) - W(s))^2 + 2W(s)(W(t) - W(s)) + W^2(s) | \mathcal{F}_s]

Bağımsız artışların varyans ve ortalama özelliklerini uygulamak için.

4

Terimlerin beklenen değerlerini Wiener süreci özelliklerine (bağımsız artışlar,

E[W(t)-W(s)]=0

,

Var(W(t)-W(s))=t-s

) göre hesaplamak.

(t-s) + 2W(s) \cdot 0 + W^2(s) = W^2(s) + (t-s)

Gelecekteki artışın karesinin beklenen değeri varyansa (

t-s

) eşittir ve

W(s)

bilindiği için sabit kabul edilir.

5

Bulunan sonucu martingal tanımıyla karşılaştırmak.

E[W^2(t) | \mathcal{F}_s] = W^2(s) + (t-s)

. Burada

t > s

olduğundan

t-s > 0

'dır ve sonuç

W^2(s)

'den büyüktür.

Sürecin martingal mi (eşitlik), alt-martingal mi (büyüktür) yoksa üst-martingal mi (küçüktür) olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci ve Martingal Özellikleri

Soru 35Soru →

Bir e-Devlet veri merkezinde, vatandaşların işlemlerini yürüten ana sunucuların durumu sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) olarak modellenmiştir. $X(t)$ rastgele değişkeni, $t$ anında sistemde bulunan arızalı sunucu sayısını göstermektedir. Sistemin kapasitesine göre arızalı sunucu sayısı en fazla $2$ olabilmektedir ve bu nedenle durum uzayı $S = \{0, 1, 2\}$ olarak belirlenmiştir.

Bu sisteme ait geçiş oranları matrisi (infinitesimal generator, $Q$ ) saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, sistemde tam olarak $1$ adet arızalı sunucu bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{1}{5}

\frac{1}{3}

\frac{12}{25}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{25}$

Cevap

Sistemde tam olarak 1 adet arızalı sunucu bulunma olasılığı

\frac{12}{25}

'tir.

Sistem kararlı durumda

\pi Q = 0

dengesini sağlar. Durum olasılıklarını

\pi_0

cinsinden yazarsak, birinci sütun denkleminden

\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

ve üçüncü sütun denkleminden

\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_0

elde edilir. Bu olasılıkların toplamı 1'e eşitlendiğinde

25\pi_0 / 9 = 1

eşitliğinden

\pi_0 = \frac{9}{25}

bulunur. Bizden istenen 1 arızalı sunucu durumunun olasılığı ise

\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum (steady-state) denklemlerini kurmak

\pi Q = 0

ve

\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1

eşitlikleri yazılır.

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları, Chapman-Kolmogorov eşitliklerinin sınır durumu olan Kolmogorov ileri denklemlerinin kararlı durumda sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

2

Q

matrisinin ilk sütununu kullanarak birinci denklemi çözmek

-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0

Bilinmeyen olasılıkları tek bir referans değişken (

\pi_0

) cinsinden ifade etmek için denklem sadeleştirilir.

3

Q

matrisinin üçüncü sütununu kullanarak ikinci denklemi çözmek

2\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{1}{3}\pi_1 = \frac{1}{3}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{4}{9}\pi_0

\pi_2

olasılığı da

\pi_0

cinsinden ifade edilerek tüm değişkenler birbiriyle ilişkilendirilir.

4

Bulunan ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine koymak

\pi_0 + \frac{4}{3}\pi_0 + \frac{4}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0\left(\frac{9+12+4}{9}\right) = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{25}

Bir sistemde tüm olası durumların bulunma olasılıkları toplamı 1 olmak zorundadır.

5

İstenen

\pi_1

olasılığını hesaplamak

\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}

Soru bizden sistemde tam olarak 1 arızalı sunucu bulunma durumu olan

\pi_1

'i istemektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Alternatif Yöntem

Bu CTMC aynı zamanda bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olduğu için matris işlemleri yerine doğrudan 'yerel denge' (local balance) denklemleri kullanılabilir. Sadece komşu durumlar arasındaki geçişleri eşitleyerek:

4\pi_0 = 3\pi_1

ve

2\pi_1 = 6\pi_2

çok daha hızlı elde edilir ve sonuca gidilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 36Soru →

Bir belediyenin çağrı merkezine gelen altyapı arıza bildirimleri, saatte ortalama $\lambda = 5$ bildirim oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Ardışık iki arıza bildirimi arasında geçen süre, beklenen değeri

0,20

saat olan üstel dağılıma sahiptir.

Ardışık iki arıza bildirimi arasında geçen süre, parametresi

\lambda = 5

olan Poisson dağılımı ile modellenir.

Herhangi bir

2

saatlik zaman diliminde çağrı merkezine hiç arıza bildirimi gelmeme olasılığı

e^{-5}

'tir.

Sürecin

3

saatlik herhangi bir zaman dilimi içerisindeki toplam bildirim sayısının varyansı

45

'tir.

İlk saat içerisinde en az bir bildirim gelmesi olayı ile ikinci saat içerisinde en az bir bildirim gelmesi olayı birbirinden ayrık olaylardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ardışık iki arıza bildirimi arasında geçen süre, beklenen değeri $0,20$ saat olan üstel dağılıma sahiptir.

Cevap

Doğru seçenek, ardışık iki bildirim arasındaki sürenin beklenen değeri 0,20 saat olan üstel dağılıma sahip olduğunu belirten ifadedir.

Poisson sürecinin en temel matematiksel özelliklerinden biri, olayların sayısının Poisson dağılımına uymasına karşılık, iki ardışık olay arasında geçen sürenin Üstel (Exponential) dağılıma sahip olmasıdır.

\lambda = 5

bildirim/saat olduğuna göre, bekleme süresinin beklenen değeri

1/\lambda = 1/5 = 0,20

saattir. Bu nedenle ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson sürecinin temel tanımını ve parametresini belirleme

Süreç parametresi

\lambda = 5

bildirim/saat olarak tespit edilir.

Zaman içindeki olayların sayısını ve gelişler arası sürenin dağılımını ifade etmek için oran parametresi gereklidir.

2

Gelişler arası sürenin (interarrival time) dağılımını ve beklenen değerini hesaplama

Gelişler arası süre

T \sim \text{Üstel}(\lambda=5)

dağılımına uyar. Beklenen değer

E[T] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5} = 0,20

saattir.

Poisson süreci tanımına göre ardışık iki olay arasındaki zaman sürekli bir rastgele değişkendir ve daima üstel dağılıma sahiptir.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu süreç özellikleri üzerinden kontrol etme

Zaman ölçekleme (

\lambda t

), bağımsız artışlar özelliği ve rastgele değişkenlerde varyans özellikleri kullanılarak diğer ifadelerdeki matematiksel hatalar tespit edilir.

Soruda hangi ifadenin kesinlikle doğru olduğu sorulduğundan, hatalı çeldirici önermelerin kavramsal yanlışlıkları ispatlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde ardışık olaylar arası zamanın dağılımı, zaman ölçeklemesi ve bağımsız artışlar

Soru 37Soru →

Ulusal bir meteoroloji gözlem ağında, istasyonlardaki rüzgâr hızı ölçüm sensörleri arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Bu sensörlerin arızasız çalışma süreleri (ay cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 5$ ve ölçek parametresi $\beta = 3$ olan Gamma dağılımına sahip, birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir.

Buna göre, $M(t)$ fonksiyonu $t$ anına kadar gerçekleşen beklenen sensör yenileme sayısını göstermek üzere; uzun dönemde birim zamandaki ortalama yenileme oranını ifade eden $\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}$ limitinin değeri kaçtır?

\frac{1}{45}

\frac{1}{15}

\frac{1}{8}

\frac{3}{5}

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{15}$

Cevap

\frac{1}{15}

Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, ardışık yenilemeler arası süreler bağımsız ve aynı dağılımlı, beklenen değeri

\mu

olan rastgele değişkenler ise, uzun dönem birim zamandaki beklenen yenileme sayısı

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu}

limitine eşittir. Verilen problemde sensör ömrü şekil parametresi

\alpha = 5

ve ölçek parametresi

\beta = 3

olan Gamma dağılımı ile modellenmiştir. Gamma dağılımının beklenen değeri

\mu = \alpha \times \beta = 5 \times 3 = 15

aydır. Formülde yerine konduğunda asimptotik limit

\frac{1}{15}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yenileme teorisindeki asimptotik oranı veren Temel Yenileme Teoremi'ni (Elementary Renewal Theorem) tanımla.

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu}

eşitliği kurulur.

Uzun dönemde birim zamanda beklenen yenileme sayısı, parçaların ortalama ömürlerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

2

Verilen sensör ömürlerinin dağılımına ait beklenen değeri (

\mu

) hesapla.

\mu = E[X] = \alpha \times \beta = 5 \times 3 = 15

ay olarak bulunur.

Sensör ömürleri

\alpha = 5

ve

\beta = 3

parametreli Gamma dağılımına sahiptir ve Gamma dağılımının beklenen değeri şekil ve ölçek parametrelerinin çarpımıdır.

3

Bulunan beklenen değeri yenileme oran formülünde yerine koy.

\frac{1}{15}

sonucu elde edilir.

Ortalama ömrü 15 ay olan sensörler için uzun dönemde ayda ortalama

1/15

adet sensör yenilemesi beklenir.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi (Elementary Renewal Theorem) ve Gamma Dağılımının Beklenen Değeri

Soru 38Soru →

Devlet Malzeme Ofisi (DMO) lojistik merkezinde kullanılan otonom taşıma robotlarının günlük çalışma durumları bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bir robotun herhangi bir gün sonunda "Aktif" (1. durum) veya "Şarj/Bakım" (2. durum) durumlarında olabildiği gözlemlenmiştir.

Bu sisteme ait günlük geçiş olasılıkları matrisi ( $P$ ) aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,45 & 0,55 \end{bmatrix}

Buna göre, sistemin uzun dönemdeki (kararlı durum) davranışında bir robotun "Aktif" durumda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,25

0,33

0,50

0,75

0,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,75

Cevap

Sistemin kararlı durumda "Aktif" olma olasılığı 0,75'tir.

Sistemin kararlı durum olasılıkları (

\pi_1, \pi_2

), sol özvektör denklemi olan

\pi P = \pi

eşitliği ve

\pi_1 + \pi_2 = 1

normalizasyon koşulu kullanılarak bulunur. Matris denklemi çözüldüğünde

\pi_1 = 3\pi_2

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik normalizasyon koşulunda yerine yazıldığında,

\pi_2 = 0,25

ve

\pi_1 = 0,75

değerlerine ulaşılır. 'Aktif' durum sistemsel olarak 1. durum olduğundan aranan cevap 0,75'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum (steady-state) olasılık vektörünü

\pi = [\pi_1, \pi_2]

olarak tanımlayın ve

\pi P = \pi

denklemini kurun.

\pi_1 = 0,85\pi_1 + 0,45\pi_2

ve

\pi_2 = 0,15\pi_1 + 0,55\pi_2

denklemleri elde edilir.

Kararlı durumda (uzun dönemde) sistemin durum olasılıkları değişmez, bu nedenle olasılık vektörünün geçiş matrisi ile çarpımı yine kendisine eşit olmalıdır.

2

İlk denklemi sadeleştirerek

\pi_1

ve

\pi_2

arasındaki doğrusal ilişkiyi bulun.

\pi_1 - 0,85\pi_1 = 0,45\pi_2 \implies 0,15\pi_1 = 0,45\pi_2 \implies \pi_1 = 3\pi_2

oranı bulunur.

Değişken sayısını teke düşürmek ve durum olasılıklarını birbiri cinsinden ifade etmek için denklem çözümlenmelidir.

3

Olasılıkların toplamının 1 olması kuralını (normalizasyon şartı) uygulayarak

\pi_2

değerini hesaplayın.

\pi_1 + \pi_2 = 1 \implies 3\pi_2 + \pi_2 = 1 \implies 4\pi_2 = 1 \implies \pi_2 = 0,25

elde edilir.

Tüm geçerli olasılık dağılımlarında, olası tüm durumların sınır olasılıklarının toplamı mutlak surette 1'e eşit olmalıdır.

4

Bulunan

\pi_2

değerini kullanarak 'Aktif' durum (1. durum) için

\pi_1

olasılığını hesaplayın.

\pi_1 = 3 \times 0,25 = 0,75

olarak bulunur.

Soruda robotun uzun dönemde 'Aktif' (1. durum) olma olasılığı sorulduğu için

\pi_1

değerinin elde edilmesi hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Sınır (Kararlı Durum) Olasılıklarının Hesaplanması

Alternatif Yöntem

2x2 bir Markov matrisi

P = \begin{bmatrix} 1-a & a \\ b & 1-b \end{bmatrix}

formatındaysa, 1. durumun kararlı durum olasılığı kısa yoldan

\pi_1 = \frac{b}{a+b}

formülü ile hesaplanabilir. Burada

a = 0,15

ve

b = 0,45

'tir. Formülde yerine yazarsak

\pi_1 = \frac{0,45}{0,15 + 0,45} = \frac{0,45}{0,60} = 0,75

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

$\{Z_n\}_{n \geq 1}$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olmak üzere, bu dizideki her bir $Z_n$ değişkeni aşağıdaki olasılık dağılımına sahiptir:

P(Z_n = 2) = p

P(Z_n = \frac{1}{2}) = 1-p

$\mathcal{F}_n = \sigma(Z_1, Z_2, \dots, Z_n)$ , $n$ anına kadar olan bilgiyi temsil eden doğal filtrasyon ve başlangıç değeri $M_0 = 1$ olmak üzere çarpım süreci,

M_n = \prod_{i=1}^n Z_i

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $\{M_n\}_{n \geq 0}$ sürecinin bir $\mathcal{F}_n$ -martingal olması için $p$ olasılık değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{3}{5}

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

Çarpım sürecinin bir martingal olması için Z_n rastgele değişkenlerinin beklenen değerinin 1 olması gerekir. Bu denklem çözüldüğünde p = 1/3 elde edilir.

\{M_n\}

sürecinin bir martingal olabilmesi için

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n

temel şartı sağlanmalıdır.

M_{n+1} = M_n \cdot Z_{n+1}

şeklinde verildiğinden ve

Z_{n+1}

, geçmişteki bilgileri barındıran

\mathcal{F}_n

filtrasyonundan bağımsız olduğundan,

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n \cdot E[Z_{n+1}]

olur. Bu ifadenin her durumda

M_n

'e eşit olabilmesi için

E[Z_{n+1}] = 1

olması zorunludur. Dağılımın beklenen değerini hesaplarsak:

E[Z_{n+1}] = 2p + \frac{1}{2}(1-p) = \frac{3p}{2} + \frac{1}{2}

elde edilir.

\frac{3p}{2} + \frac{1}{2} = 1

denklemi çözüldüğünde

\frac{3p}{2} = \frac{1}{2}

ve dolayısıyla

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Martingal tanımını çarpım süreci için uygulamak

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = E[M_n \cdot Z_{n+1} | \mathcal{F}_n]

bağıntısı yazılır.

Bir sürecin martingal olması için mevcut bilgiye göre bir sonraki adımın beklenen değerinin şu anki değere eşit olması (

E[M_{n+1} | \mathcal{F}_n] = M_n

) gereklidir.

2

Koşullu beklenen değeri sadeleştirmek

M_n

bilindiği için koşul dışına alınır ve

Z_{n+1}

bağımsız olduğundan koşul kalkar:

M_n \cdot E[Z_{n+1}] = M_n

elde edilir.

Rastgele değişkenler dizisi bağımsız olduğundan,

Z_{n+1}

değişkeni geçmiş bilgiyi içeren

\mathcal{F}_n

filtrasyonundan bağımsızdır.

3

Beklenen değer denklemini oluşturup çözmek

E[Z_{n+1}] = 1

olmalıdır.

2 \cdot p + \frac{1}{2} \cdot (1-p) = 1

denklemi kurularak

\frac{3p}{2} = \frac{1}{2}

'den

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Martingal eşitliğinin

M_n

'nin aldığı tüm değerler için her adımda sağlanması ancak çarpanın beklenen değerinin 1 olması ile mümkündür.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımı şeklinde tanımlanan süreçlerin martingal olabilmesi için her bir çarpan değişkenin beklenen değerinin 1'e eşit olması koşulu.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak doğrudan

E[M_n] = M_0 = 1

genel özelliği üzerinden de gidilebilir.

E[M_n] = \prod E[Z_i] = (E[Z_1])^n = 1

olmalıdır, bu durum da ancak

E[Z_1] = 1

olması ile sağlanır.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 40Soru →

İstatistiksel bir hipotez testinde, gözlemler birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı $\{X_n\}_{n \ge 1}$ rastgele değişkenler dizisidir. $X_n$ 'lerin gerçek olasılık yoğunluk fonksiyonunun $f_0(x)$ veya $f_1(x)$ olduğuna dair iki basit hipotez sırasıyla $H_0$ ve $H_1$ olarak verilmektedir. Her $x$ için $f_0(x) > 0$ ve $f_1(x) > 0$ olduğu, ayrıca $f_0 \neq f_1$ olduğu varsayılmaktadır.

H_0

hipotezinin doğru olduğu varsayımı altında,

\{\mathcal{F}_n\}_{n \ge 1}

gözlemlerin ürettiği doğal filtrasyon (

\mathcal{F}_n = \sigma(X_1, X_2, \dots, X_n)

) olmak üzere,

L_n = \prod_{i=1}^n \frac{f_1(X_i)}{f_0(X_i)}

şeklinde tanımlanan olabilirlik oranı (likelihood ratio) süreci için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

\{\mathcal{F}_n\}

filtrasyonuna göre bir martingaldir.

\{\mathcal{F}_n\}

filtrasyonuna göre bir alt martingaldir (submartingale), çünkü her bir adımda oranın beklenen değeri

1

'den büyüktür.

\{\mathcal{F}_n\}

filtrasyonuna göre bir üst martingaldir (supermartingale), çünkü

L_n

ardışık yoğunluk oranlarının çarpımı olduğundan zamanla sıfıra yakınsar.

Martingal değildir, çünkü koşullu beklenen değer

E[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n]

rastgele bir değişkendir ve bir martingalde bu değerin sabit bir sayı çıkması gerekir.

Ancak

\ln(L_n)

dönüşümü yapıldığında

\{\mathcal{F}_n\}

filtrasyonuna göre bir martingal olur, çünkü logaritma çarpımı toplama dönüştürür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{\mathcal{F}_n\}$ filtrasyonuna göre bir martingaldir.

Cevap

Olabilirlik oranı (likelihood ratio) süreci

L_n

, verilen doğal filtrasyona göre bir martingaldir.

L_{n+1} = L_n \cdot \frac{f_1(X_{n+1})}{f_0(X_{n+1})}

şeklinde yazıldığında,

L_n

değeri

\mathcal{F}_n

tarafından bilindiği için koşullu beklenen değerin dışına çarpan olarak çıkarılır. Kalan terimin

H_0

altındaki beklenen değeri

\int \frac{f_1(x)}{f_0(x)} f_0(x) dx = \int f_1(x) dx = 1

'dir. Bu nedenle

E_{H_0}[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n \cdot 1 = L_n

eşitliği sağlanır ve olabilirlik oranı süreci tam bir martingaldir.

Adım Adım Çözüm

1

Martingal koşulunun tanımını

L_n

süreci için yazınız.

E[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n

eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.

Bir sürecin martingal, alt martingal veya üst martingal olduğunu belirlemenin temel yolu ardışık terimler arasındaki koşullu beklenen değeri hesaplamaktır.

2

L_{n+1}

terimini

L_n

cinsinden ifade ediniz.

L_{n+1} = \prod_{i=1}^{n+1} \frac{f_1(X_i)}{f_0(X_i)} = L_n \cdot \frac{f_1(X_{n+1})}{f_0(X_{n+1})}

elde edilir.

Zaman adımları arasındaki ilişkiyi ayırmak, bilinen bilgiyi (

\mathcal{F}_n

) bilinmeyen gelecek adım bilgisinden izole etmek için gereklidir.

3

H_0

hipotezi altında koşullu beklenen değeri hesaplayınız.

E_{H_0}[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n \cdot E_{H_0}\left[\frac{f_1(X_{n+1})}{f_0(X_{n+1})}\right]

işlemi yapılır.

L_n

süreci

\mathcal{F}_n

bilindiğinde sabit (ölçülebilir) bir değerdir ve koşullu beklenen değerin dışına çarpan olarak alınır.

X_{n+1}

ise bağımsızlık varsayımı gereği

\mathcal{F}_n

'den bağımsızdır.

4

Kalan beklenen değer ifadesini integral yardımıyla çözünüz.

E_{H_0}\left[\frac{f_1(X)}{f_0(X)}\right] = \int \frac{f_1(x)}{f_0(x)} f_0(x) dx = \int f_1(x) dx = 1

bulunur.

H_0

hipotezi altında gerçek olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_0(x)

'tir ve paydadaki

f_0(x)

ile sadeleşir. Herhangi bir geçerli olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_1

) tüm uzaydaki integrali

1

'e eşittir.

5

Sonuçları birleştirerek sürecin türüne kesin karar veriniz.

E_{H_0}[L_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = L_n \cdot 1 = L_n

olduğundan

L_n

bir martingaldir.

Süreç, martingal olmanın temel tanım eşitliğini tam ve eksiksiz olarak sağlamaktadır.

Anahtar Kavram

Martingal Tanımı ve Olabilirlik Oranı Süreci (Likelihood Ratio Martingale)

Stokastik Süreçler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar