Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin memnuniyet düzeyini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılacaktır. Kurumdaki personel sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Hizmet Grubu)	Personel Sayısı ( $N_h$ )
İdari Hizmetler	$1200$
Teknik Hizmetler	$600$
Yardımcı Hizmetler	$200$

Toplamda $n = 400$ kişilik bir örneklem seçilmesine karar verildiğine göre, orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanıldığında her tabakadan seçilmesi gereken örneklem büyüklükleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 240, n_2 = 120, n_3 = 40

n_1 = 134, n_2 = 133, n_3 = 133

n_1 = 200, n_2 = 100, n_3 = 100

n_1 = 300, n_2 = 75, n_3 = 25

n_1 = 40, n_2 = 120, n_3 = 240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 240, n_2 = 120, n_3 = 40$

Cevap

n_1 = 240, n_2 = 120, n_3 = 40

olan seçenek doğrudur.

Orantılı dağıtımda her tabakadan seçilecek birim sayısı, o tabakanın kitle içindeki oranıyla doğru orantılıdır. Toplam kitle

2000

, toplam örneklem

400

olduğu için örnekleme oranı

0.2

'dir. İdari Hizmetler için

1200 \times 0.2 = 240

, Teknik Hizmetler için

600 \times 0.2 = 120

ve Yardımcı Hizmetler için

200 \times 0.2 = 40

değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesaplayın.

N = 1200 + 600 + 200 = 2000

Orantılı dağıtım için kitle toplamına ihtiyaç duyulur.

2

Örnekleme kesrini (

f = n/N

) veya her tabakanın ağırlığını (

W_h

) bulun.

f = 400 / 2000 = 0.2

veya

W_1=0.6, W_2=0.3, W_3=0.1

Tabaka örneklem hacmi, tabaka kitle hacminin örnekleme kesri ile çarpımıdır.

3

Her tabaka için örneklem hacmini (

n_h = N_h \times f

) hesaplayın.

n_1 = 1200 \times 0.2 = 240

,

n_2 = 600 \times 0.2 = 120

,

n_3 = 200 \times 0.2 = 40

Orantılı dağıtım formülü uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Daha Fazla Pratik

Tabaka varyanslarının (

S_h

) verildiği bir senaryoda Neyman dağıtımını hesaplayarak orantılı dağıtım ile arasındaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir ildeki sağlık kuruluşlarının hizmet kalitesini ölçmek amacıyla yapılacak bir araştırmada kuruluşlar; hizmet seviyelerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalardaki kuruluş sayıları ( $N_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka Seviyesi	Kuruluş Sayısı ( $N_h$ )
Birinci Basamak	600
İkinci Basamak	300
Üçüncü Basamak	100

Toplam $n = 200$ kuruluşun örnekleme seçilmesi planlandığına göre, orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemine göre her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdagilerden hangisidir?

120, 60, 20

67, 67, 66

60, 30, 10

100, 60, 40

80, 70, 50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120, 60, 20

Cevap

Her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla 120, 60 ve 20'dir.

Orantılı dağıtım yönteminde her tabakadan seçilecek birim sayısı, o tabakanın kitle içindeki ağırlığına (

N_h / N

) bağlıdır. Bu problemde toplam kitle 1000 birimdir. Tabaka ağırlıkları sırasıyla %60, %30 ve %10 olarak hesaplanır. Toplam 200 birimlik örneklem bu oranlara göre dağıtıldığında 120, 60 ve 20 değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle toplam hacmini (

N

) hesaplayınız.

N = 600 + 300 + 100 = 1000

Orantılı dağıtım formülünde tabaka ağırlıklarını bulmak için kitle toplamına ihtiyaç duyulur.

2

Birinci tabaka için örneklem hacmini (

n_1

) hesaplayınız.

n_1 = 200 \times (600 / 1000) = 200 \times 0,6 = 120

Orantılı dağıtım ilkesine göre tabaka hacmi, tabakanın kitle içindeki payı ile çarpılır.

3

İkinci tabaka için örneklem hacmini (

n_2

) hesaplayınız.

n_2 = 200 \times (300 / 1000) = 200 \times 0,3 = 60

Tabaka ağırlığı olan 0,3 oranı toplam örneklem hacmi olan 200 ile çarpılır.

4

Üçüncü tabaka için örneklem hacmini (

n_3

) hesaplayınız.

n_3 = 200 \times (100 / 1000) = 200 \times 0,1 = 20

Tabaka ağırlığı olan 0,1 oranı toplam örneklem hacmi olan 200 ile çarpılır.

5

Toplam örneklem hacminin doğruluğunu kontrol ediniz.

120 + 60 + 20 = 200

Seçilen tabaka hacimlerinin toplamı, planlanan toplam örneklem hacmi olan

n

değerine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Daha Fazla Pratik

Tabakalı örneklemede varyansların verildiği durumda Neyman (Optimum) dağıtımını hesaplayarak orantılı dağıtım ile arasındaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir otel zinciri, müşteri memnuniyetini ölçmek amacıyla tesislerindeki odaları hizmet seviyelerine göre üç tabakaya ayırmıştır. Tabakalara ait oda sayıları ( $N_h$ ) ve pilot çalışmadan elde edilen standart sapma değerleri ( $S_h$ ) aşağıda verilmiştir:

Tabaka	Oda Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Tabaka (Standart Odalar)	2000	1
2. Tabaka (Süit Odalar)	1200	5
3. Tabaka (Villalar)	800	15

Bu araştırma için toplam $n = 210$ hacminde bir örneklem seçilecektir.

Buna göre, örneklem hacminin tabakalara dağıtımında orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanıldığında, tabakalardan seçilecek örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

105, \ 63, \ 42

21, \ 63, \ 126

42, \ 63, \ 105

70, \ 70, \ 70

10, \ 50, \ 150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $105, \ 63, \ 42$

Cevap

Orantılı dağıtım yöntemiyle hesaplanan örneklem hacimleri sırasıyla 105, 63 ve 42'dir.

Doğru cevap, orantılı dağıtım formülü olan

n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}

eşitliğinin her bir tabaka için sırasıyla uygulanmasıyla elde edilen

105, \ 63, \ 42

değerlerini içeren seçenektir. Bu yöntemde örneklem, tabakaların kitle içindeki ağırlıklarına (

W_h

) orantılı olarak ve varyanslardan bağımsız şekilde dağıtılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitledeki toplam eleman sayısını (

N

) hesapla.

N = \sum N_h = 2000 + 1200 + 800 = 4000

oda.

Orantılı dağıtımda her tabakanın kitle içindeki oranını (ağırlığını) bulmak için toplam kitle büyüklüğüne ihtiyaç vardır.

2

Her tabakanın ağırlığını (

W_h = \frac{N_h}{N}

) hesapla.

W_1 = \frac{2000}{4000} = 0.5

,

W_2 = \frac{1200}{4000} = 0.3

,

W_3 = \frac{800}{4000} = 0.2

Tabakalardan seçilecek eleman sayısı, o tabakanın kitledeki ağırlığıyla doğru orantılı olmalıdır.

3

Orantılı dağıtım formülünü (

n_h = n \cdot W_h

) uygulayarak örneklem hacimlerini belirle.

n_1 = 210 \cdot 0.5 = 105

,

n_2 = 210 \cdot 0.3 = 63

,

n_3 = 210 \cdot 0.2 = 42

Toplam

210

birimlik örneklem, her bir tabakanın ağırlığına göre paylaştırılarak orantılı dağıtım tamamlanır.

Anahtar Kavram

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumu, ülke genelindeki sivil toplum kuruluşlarını (STK) yıllık faaliyet bütçelerine göre Yüksek, Orta ve Düşük bütçeli olmak üzere üç tabakaya ayırarak bir mali denetim planlamaktadır. Toplam $N = 9000$ STK'nın bulunduğu bu kitlede;
- Orta bütçeli STK sayısının, Yüksek bütçeli STK sayısının $2$ katı,
- Düşük bütçeli STK sayısının ise Yüksek bütçeli STK sayısının $3$ katı olduğu belirlenmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda, tabakalardaki bütçe harcamalarına ilişkin standart sapmalar sırasıyla $S_1 = 40$ , $S_2 = 30$ ve $S_3 = 10$ (bin TL) olarak hesaplanmıştır.

Kurum, denetim maliyetlerini göz önünde bulundurarak toplam $n = 600$ birimlik bir örneklem seçecektir. Yönetim, her tabakanın kitledeki ağırlığını doğrudan yansıtacak şekilde orantılı dağıtım yönteminin kullanılmasına karar vermiştir.

Buna göre; Yüksek ( $n_1$ ), Orta ( $n_2$ ) ve Düşük ( $n_3$ ) bütçeli tabakalardan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 100, \ n_2 = 200, \ n_3 = 300

n_1 = 185, \ n_2 = 277, \ n_3 = 138

n_1 = 200, \ n_2 = 200, \ n_3 = 200

n_1 = 300, \ n_2 = 225, \ n_3 = 75

n_1 = 300, \ n_2 = 200, \ n_3 = 100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 100, \ n_2 = 200, \ n_3 = 300$

Cevap

Doğru cevap, sırasıyla 100, 200 ve 300 örneklem hacimlerinin bulunduğu seçenektir.

Orantılı dağıtımda örneklem hacimleri formülü

n_h = n \times \frac{N_h}{N}

şeklindedir. Soruda

N = 9000

ve

N_1 + 2N_1 + 3N_1 = 9000

eşitliğinden tabaka hacimleri sırasıyla

1500

,

3000

ve

4500

olarak bulunur. Formül uygulandığında

n_1 = 600 \times \frac{1500}{9000} = 100

,

n_2 = 600 \times \frac{3000}{9000} = 200

ve

n_3 = 600 \times \frac{4500}{9000} = 300

değerlerine ulaşılır. Soruda verilen standart sapmalar yanıltıcı (distraktör) bilgi olup hesaplamaya katılmaz.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalardaki kitle eleman sayılarını (

N_h

) veren denklemi kurmak ve çözmek.

N_1 = 1500

,

N_2 = 3000

,

N_3 = 4500

bulunur.

Soru metninde

N_2 = 2N_1

ve

N_3 = 3N_1

ile

N = 9000

eşitlikleri verilmiştir.

N_1 + 2N_1 + 3N_1 = 6N_1 = 9000

işleminden

N_1 = 1500

elde edilir.

2

Orantılı dağıtım formülünü hatırlamak ve tabaka ağırlıklarını hesaplamak.

W_1 = 1/6

,

W_2 = 2/6

,

W_3 = 3/6

.

Orantılı dağıtımda, her tabakadan seçilecek örneklem hacmi, o tabakanın kitle içindeki ağırlığı (

W_h = N_h / N

) ile orantılıdır. Standart sapmalar (

S_h

) bu yöntemde kullanılmaz.

3

Her tabaka için orantılı örneklem hacimlerini (

n_h

) hesaplamak.

n_1 = 100

,

n_2 = 200

,

n_3 = 300

.

n_1 = 600 \times (1500/9000) = 100

,

n_2 = 600 \times (3000/9000) = 200

ve

n_3 = 600 \times (4500/9000) = 300

işlemleri ile toplam 600 hacim dağıtılır.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım, sadece tabakaların kitle içindeki eleman sayılarının oranlarını dikkate alır. Standart sapma, varyans veya maliyet gibi unsurlar hesaba katılmaz.

Soru 5Soru →

Bir Bölge Gümrük Müdürlüğü, ithalat beyannamelerinin incelenme sürelerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır. Beyannameler risk düzeylerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Geçmiş çalışmalardan elde edilen bilgilere göre, her bir tabakadaki beyanname sayısı ( $N_h$ ) ve inceleme sürelerinin standart sapmaları ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Risk Düzeyi	Beyanname Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Düşük Risk	6000	10
2	Orta Risk	4000	15
3	Yüksek Risk	2000	20

Kurum, maliyetleri ve uygulama kolaylığını göz önünde bulundurarak toplam $n = 360$ hacmindeki bir örneklemi tabakalara orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemiyle dağıtmaya karar vermiştir.

Buna göre, sırasıyla düşük, orta ve yüksek risk tabakalarından seçilecek örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

180, \ 120, \ 60

135, \ 135, \ 90

120, \ 120, \ 120

80, \ 120, \ 160

60, \ 120, \ 180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $180, \ 120, \ 60$

Cevap

Sırasıyla düşük, orta ve yüksek risk tabakalarından 180, 120 ve 60 beyanname seçilmelidir.

Orantılı dağıtım yönteminde, örneklem hacmi tabakaların kitle içindeki büyüklükleriyle (

N_h

) orantılı olarak dağıtılır. Verilen standart sapma (

S_h

) değerleri, bu yöntemde formüle dahil edilmeyen çeldirici verilerdir. Formül

n_h = n \times \frac{N_h}{N}

şeklindedir. Toplam kitle hacmi

N = 12000

olarak bulunduktan sonra, her tabaka için

360 \times (N_h / 12000)

işlemi uygulandığında sırasıyla 180, 120 ve 60 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitledeki toplam beyanname sayısını (

N

) hesaplama

N = 6000 + 4000 + 2000 = 12000

Orantılı dağıtım formülünde her bir tabakanın kitle içindeki ağırlığını (oranını) bulmak için toplam kitle hacmine ihtiyaç vardır.

2

Orantılı dağıtım formülünü kullanarak Düşük Risk (1. Tabaka) için örneklem hacmini (

n_1

) hesaplama

n_1 = n \times \frac{N_1}{N} = 360 \times \frac{6000}{12000} = 360 \times 0.5 = 180

Örneklem hacmi, tabakanın kitledeki büyüklüğü ile orantılı olarak dağıtılır.

3

Orta Risk (2. Tabaka) için örneklem hacmini (

n_2

) hesaplama

n_2 = 360 \times \frac{4000}{12000} = 360 \times \frac{1}{3} = 120

Orta risk tabakasının kitledeki ağırlığına göre payı belirlenir.

4

Yüksek Risk (3. Tabaka) için örneklem hacmini (

n_3

) hesaplama ve toplamı kontrol etme

n_3 = 360 \times \frac{2000}{12000} = 360 \times \frac{1}{6} = 60

. Toplam:

180 + 120 + 60 = 360

.

Yüksek risk tabakasının payı bulunur ve hesaplanan hacimlerin toplam örneklem hacmine (

n=360

) eşit olduğu teyit edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede, örneklem hacminin tabakaların kitle içindeki ağırlıkları (

W_h = N_h/N

) oranında dağıtılmasıdır. Standart sapma (

S_h

) gibi diğer değişkenler bu dağıtımda dikkate alınmaz.

Soru 6Soru →

Bir ildeki vergi dairesi, mükelleflerin yıllık beyan ettikleri matrahları incelemek üzere tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. Mükellefler, tabi oldukları vergi türüne göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait mükellef sayıları ( $N_h$ ) ve ön çalışmadan elde edilen standart sapma tahminleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Vergi Türü	Mükellef Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Kurumlar Vergisi	1500	20
2	Gelir Vergisi	4500	20
3	Basit Usul	3000	10

Bu araştırmada toplam örneklem hacmi $n = 300$ olarak belirlenmiştir. Araştırmacı, tabaka standart sapmalarının farklılık gösterdiğini bilmesine rağmen, örneklem hacmini tabakalara dağıtırken orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, her bir tabakadan seçilecek örneklem hacimleri ( $n_1, \ n_2, \ n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 50, \ n_2 = 150, \ n_3 = 100

n_1 = 60, \ n_2 = 180, \ n_3 = 60

n_1 = 100, \ n_2 = 100, \ n_3 = 100

n_1 = 120, \ n_2 = 120, \ n_3 = 60

n_1 = 125, \ n_2 = 75, \ n_3 = 100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 50, \ n_2 = 150, \ n_3 = 100$

Cevap

Her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla 50, 150 ve 100 olmalıdır.

Doğru seçenekte, orantılı dağıtım kuralı (

n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}

) eksiksiz uygulanmıştır. Toplam nüfus

N = 9000

'dir. Birinci tabaka için

300 \cdot (1500/9000) = 50

, ikinci tabaka için

300 \cdot (4500/9000) = 150

ve üçüncü tabaka için

300 \cdot (3000/9000) = 100

bulunmuştur. Hesaplanan bu değerler doğrudan doğru cevabı oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitledeki toplam eleman sayısını (

N

) hesapla.

N = N_1 + N_2 + N_3 = 1500 + 4500 + 3000 = 9000

mükellef.

Orantılı dağıtımda, her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (oranını) bulmak için öncelikle toplam kitle büyüklüğü bilinmelidir.

2

Her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (

W_h = N_h / N

) belirle.

W_1 = 1500 / 9000 = 1/6

W_2 = 4500 / 9000 = 1/2

W_3 = 3000 / 9000 = 1/3

Orantılı dağıtımın temel mantığı, tabakaların örneklemdeki temsil oranının, kitledeki temsil oranına tam olarak eşit (

w_h = W_h

) olmasıdır.

3

Orantılı dağıtım formülünü (

n_h = n \cdot W_h

) uygulayarak tabaka örneklem hacimlerini hesapla.

n_1 = 300 \cdot (1/6) = 50

n_2 = 300 \cdot (1/2) = 150

n_3 = 300 \cdot (1/3) = 100

Toplam

n=300

birimlik örneklem, hesaplanan ağırlıklara göre dağıtılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Orantılı dağıtımda (proportional allocation), örneklem büyüklüğü tabakalara sadece tabakaların kitle içindeki büyüklükleriyle (

N_h

) orantılı olarak dağıtılır; tabaka varyansları (

S_h^2

) veya standart sapmaları hesaba katılmaz.

Soru 7Soru →

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB), lise öğrencilerinin haftalık ortalama kitap okuma sürelerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. Liseler, okul türlerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait kitledeki öğrenci sayıları ( $N_h$ ) ve önceki pilot çalışmadan elde edilen standart sapma ( $S_h$ ) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Okul Türü	Kitle Hacmi ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Anadolu Lisesi	5000	2
2	Mesleki Lise	3000	4
3	Fen Lisesi	2000	4

Araştırma için toplam örneklem hacmi $n = 600$ öğrenci olarak belirlenmiştir.

Araştırmacı, her bir tabakadan seçilecek örneklem hacmini belirlerken orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, sırasıyla 1., 2. ve 3. tabakalardan seçilmesi gereken örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

200, \ 240, \ 160

400, \ 120, \ 80

300, \ 180, \ 120

120, \ 240, \ 240

200, \ 200, \ 200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $300, \ 180, \ 120$

Cevap

Orantılı dağıtımda örneklem hacimleri, her tabakanın kitledeki ağırlığı (

W_h = N_h/N

) kullanılarak sırasıyla 300, 180 ve 120 olarak hesaplanır.

Orantılı dağıtım yönteminde, her bir tabakadan alınacak örneklem hacmi (

n_h

), sadece o tabakanın kitledeki ağırlığı (

W_h = N_h/N

) dikkate alınarak belirlenir. Toplam kitle hacmi

N = 10000

'dir. Birinci tabaka için

n_1 = 600 \times (5000 / 10000) = 300

, ikinci tabaka için

n_2 = 600 \times (3000 / 10000) = 180

ve üçüncü tabaka için

n_3 = 600 \times (2000 / 10000) = 120

olarak bulunur. Soru metninde verilen standart sapma (

S_h

) değerleri, orantılı dağıtımda kullanılmaz; bu değerler Neyman veya optimum dağıtım yöntemleri sorulduğunda gereklidir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesapla.

N = 5000 + 3000 + 2000 = 10000

Orantılı dağıtımda her tabakanın kitle içindeki ağırlığını bulmak için toplam kitle büyüklüğüne (

N

) ihtiyaç vardır.

2

Birinci tabaka (Anadolu Lisesi) için örneklem hacmini hesapla.

n_1 = 600 \times \frac{5000}{10000} = 600 \times 0.50 = 300

Toplam örneklem hacmi (

n

), birinci tabakanın ağırlığı (

W_1

) ile çarpılır.

3

İkinci tabaka (Mesleki Lise) için örneklem hacmini hesapla.

n_2 = 600 \times \frac{3000}{10000} = 600 \times 0.30 = 180

Toplam örneklem hacmi, ikinci tabakanın ağırlığı (

W_2

) ile çarpılır.

4

Üçüncü tabaka (Fen Lisesi) için örneklem hacmini hesapla.

n_3 = 600 \times \frac{2000}{10000} = 600 \times 0.20 = 120

Toplam örneklem hacmi, üçüncü tabakanın ağırlığı (

W_3

) ile çarpılır.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım (Proportional Allocation) yöntemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Kültür ve Turizm Bakanlığı, Türkiye genelindeki ziyaret noktalarını özelliklerine göre 3 farklı tabakaya ayırarak, ziyaretçi memnuniyetine yönelik tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle kapsamlı bir araştırma planlamaktadır. Çalışma kapsamında toplam $n = 600$ birimlik bir örneklem çekilmesi kararlaştırılmıştır.

Tabakalara ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ) ve ön araştırmadan elde edilen standart sapma tahminleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Ziyaret Noktası Türü	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Müzeler	4500	15
2	Ören Yerleri	2700	35
3	Milli Parklar	1800	10

Buna göre, araştırmada orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanıldığında, her bir tabakadan seçilecek örneklem hacimleri sırasıyla ( $n_1, n_2, n_3$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

300, \ 180, \ 120

225, \ 315, \ 60

200, \ 200, \ 200

150, \ 350, \ 100

150, \ 210, \ 240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $300, \ 180, \ 120$

Cevap

Her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla Müzeler için 300, Ören Yerleri için 180 ve Milli Parklar için 120 olmalıdır.

Orantılı dağıtım (Proportional Allocation), her bir tabakadan çekilecek örneklem büyüklüğünün (

n_h

), o tabakanın kitledeki büyüklüğü (

N_h

) ile doğru orantılı olarak belirlendiği yöntemdir. Bu yöntemde tabaka içi varyanslar (veya standart sapmalar) formüle dahil edilmez. Toplam kitle büyüklüğü

N = 4500 + 2700 + 1800 = 9000

olarak bulunur. Formül

n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}

uygulandığında; Müzeler için

600 \cdot (4500/9000) = 300

, Ören Yerleri için

600 \cdot (2700/9000) = 180

ve Milli Parklar için

600 \cdot (1800/9000) = 120

değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitledeki toplam eleman sayısını (

N

) hesapla.

N = \sum N_h = 4500 + 2700 + 1800 = 9000

Orantılı dağıtımda her bir tabakanın kitle içindeki oranını bulabilmek için toplam kitle büyüklüğüne (

N

) ihtiyaç vardır.

2

Müzeler (1. Tabaka) için örneklem hacmini hesapla.

n_1 = n \cdot \frac{N_1}{N} = 600 \cdot \frac{4500}{9000} = 600 \cdot 0.5 = 300

Orantılı dağıtım formülüne göre örneklem, tabakanın kitle içindeki ağırlığı (

W_h = N_h/N

) ile orantılı seçilir.

3

Ören Yerleri (2. Tabaka) için örneklem hacmini hesapla.

n_2 = n \cdot \frac{N_2}{N} = 600 \cdot \frac{2700}{9000} = 600 \cdot 0.3 = 180

İkinci tabakanın kitle içindeki ağırlığı 0.3 olduğu için toplam örneklemin %30'u bu tabakadan çekilir.

4

Milli Parklar (3. Tabaka) için örneklem hacmini hesapla.

n_3 = n \cdot \frac{N_3}{N} = 600 \cdot \frac{1800}{9000} = 600 \cdot 0.2 = 120

Üçüncü tabakanın ağırlığı 0.2 olup, kalan 120 örneklem birimi de bu tabakaya atanır. (

300 + 180 + 120 = 600

sağlandığı teyit edilir).

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım; örneklem hacminin sadece tabakaların kitle büyüklükleri ile orantılı olarak dağıtılması işlemidir. Standart sapmalar bu yöntemde hesaplamaya dahil edilmez.

Soru 9Soru →

Bir organize sanayi bölgesindeki işletmeler, faaliyet gösterdikleri sektörlere göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalardaki işletme sayıları ( $N_h$ ) ve bu tabakalardaki değişkenliğe ilişkin standart sapma ( $S_h$ ) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	İşletme Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Grup	$600$	$10$
2. Grup	$300$	$20$
3. Grup	$100$	$30$

Bu işletmelerden orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanılarak toplam $n = 150$ işletmelik bir örneklem seçilmesi planlanmaktadır. Buna göre, birinci gruptan seçilmesi gereken işletme sayısı ( $n_1$ ) kaçtır?

15

50

60

90

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $90$

Cevap

Birinci gruptan seçilmesi gereken işletme sayısı

90

olarak hesaplanır.

Orantılı dağıtım yönteminde, her tabakadan seçilecek örneklem büyüklüğü (

n_h

), o tabakanın kitle içindeki ağırlığı (

N_h/N

) ile toplam örneklem büyüklüğünün (

n

) çarpımıyla bulunur. Bu soruda toplam kitle

N = 1000

ve toplam örneklem

n = 150

olarak verilmiştir. Birinci tabaka için yapılan

150 \times (600/1000) = 90

işlemi bizi doğru sonuca götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle hacmini (

N

) hesaplayın.

N = 600 + 300 + 100 = 1000

Orantılı dağıtım için her tabakanın kitle içindeki payını (ağırlığını) bulmak amacıyla toplam kitle büyüklüğüne ihtiyaç duyulur.

2

Birinci tabaka için orantılı dağıtım formülünü uygulayın.

n_1 = n \times \frac{N_1}{N} = 150 \times \frac{600}{1000}

Orantılı dağıtımda tabaka örneklem hacmi, toplam örneklem hacminin tabakanın kitledeki oranıyla çarpılmasıyla belirlenir.

3

Hesaplamayı tamamlayın.

n_1 = 150 \times 0,6 = 90

İşlem sonucunda birinci tabakaya tahsis edilen birim sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Orantılı dağıtımda tabaka örneklem hacimleri, tabakaların kitle büyüklükleri (

N_h

) ile doğru orantılıdır; tabaka standart sapmaları (

S_h

) bu yöntemde kullanılmaz.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir tarım bölgesi, arazilerin verimlilik düzeyine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait çiftçi sayıları ( $N_h$ ) ve ön çalışmalardan elde edilen standart sapma ( $S_h$ ) tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Çiftçi Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	2500	5
2	1500	15
3	1000	20

Yapılacak bir tarımsal gelir araştırması için tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılarak toplam $n = 220$ çiftçilik bir örneklem seçilecektir.

Bu araştırmada örneklem hacminin tabakalara dağıtımında orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi uygulanması durumunda, birinci, ikinci ve üçüncü tabakalardan seçilmesi gereken örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 110, \ n_2 = 66, \ n_3 = 44

n_1 = 50, \ n_2 = 90, \ n_3 = 80

n_1 = 74, \ n_2 = 73, \ n_3 = 73

n_1 = 28, \ n_2 = 82, \ n_3 = 110

n_1 = 55, \ n_2 = 77, \ n_3 = 88

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 110, \ n_2 = 66, \ n_3 = 44$

Cevap

Birinci tabakadan 110, ikinci tabakadan 66 ve üçüncü tabakadan 44 örneklem seçilmelidir.

Orantılı dağıtım yönteminde (proportional allocation), her tabakadan seçilecek örneklem hacmi, o tabakanın kitle içindeki ağırlığı (

W_h = N_h/N

) ile doğru orantılıdır. Soruda çeldirici olarak verilen standart sapma (

S_h

) değerleri Neyman veya optimum dağıtımda kullanılır ve orantılı dağıtımda dikkate alınmaz. Toplam kitle büyüklüğü

N = 5000

olduğundan örneklem hacimleri formüle göre:

n_1 = 220 \times (2500/5000) = 110

,

n_2 = 220 \times (1500/5000) = 66

ve

n_3 = 220 \times (1000/5000) = 44

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle hacminin (N) bulunması.

N = 2500 + 1500 + 1000 = 5000 olarak bulunur.

Orantılı dağıtımda her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (oranını) bulabilmek için toplam birim sayısına ihtiyaç vardır.

2

Orantılı dağıtım formülünün ve kullanılacak değişkenlerin belirlenmesi.

Her tabakadan seçilecek hacim

n_h = n \cdot (N_h / N)

formülü ile hesaplanacaktır.

Orantılı dağıtımda standart sapma (S_h) dikkate alınmaz, sadece kitle büyüklükleri (N_h) kullanılır. Bu yüzden tablodaki S_h sütunu işleme dahil edilmez.

3

Her bir tabaka için seçilecek örneklem hacimlerinin (

n_h

) hesaplanması.

n_1 = 220 \cdot (2500 / 5000) = 110

n_2 = 220 \cdot (1500 / 5000) = 66

n_3 = 220 \cdot (1000 / 5000) = 44

Toplam

n = 220

birim, ait oldukları tabakanın kitledeki yüzdelik ağırlıklarına göre paylaştırılmış olur. (

110 + 66 + 44 = 220

)

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Orantılı Dağıtım

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK), lisanslı rüzgar enerjisi santrallerinin (RES) yıllık operasyonel maliyetlerini incelemek üzere tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. Santraller kurulu güçlerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait santral sayıları ( $N_h$ ) ve operasyonel maliyetlere ilişkin ön çalışmadan elde edilen tabaka varyansları ( $S_h^2$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	$N_h$	$S_h^2$
1. Tabaka (Düşük Kapasite)	150	4
2. Tabaka (Orta Kapasite)	100	16
3. Tabaka (Yüksek Kapasite)	50	36

Araştırmada toplam $n = 60$ hacminde bir örneklem seçilecektir. Kurum başlangıçta orantılı dağıtım yöntemini kullanarak tabakalardan alınacak örneklem hacimlerini belirlemiştir. Ancak daha sonra, tabaka içindeki varyasyon farklılıklarının yüksek olduğunu fark ederek aynı toplam örneklem hacmi için Neyman dağıtımı yöntemini uygulamaya karar vermiştir.

Buna göre, yöntem değişikliği sonucunda yüksek kapasiteli (3. Tabaka) santrallerden alınacak örneklem hacmindeki ( $n_3$ ) değişim aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

8 artar

17 artar

10 artar

8 azalır

6 artar

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8 artar

Cevap

Yöntem değişikliği sonucunda yüksek kapasiteli (3. Tabaka) santrallerden alınacak örneklem hacmi 8 artar.

Doğru hesaplama için önce orantılı dağıtıma göre 3. tabakanın örneklem hacmi (

n_3 = 60 \times 50/300 = 10

) bulunur. Daha sonra Neyman dağıtımı için verilen varyansların karekökü alınarak standart sapmalar (

S_h

) elde edilir (

S_1=2, S_2=4, S_3=6

). Bu değerlerle

N_h S_h

çarpımları sırasıyla 300, 400 ve 300 olur. Toplam

\sum N_h S_h = 1000

'dir. Neyman dağıtımında 3. tabakanın örneklem hacmi

n_3 = 60 \times (300/1000) = 18

olarak hesaplanır. Yöntem değişikliği sonucu fark

18 - 10 = +8

olup, örneklem hacmi 8 artar.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle büyüklüğünü (N) hesapla.

N = 150 + 100 + 50 = 300

Orantılı dağıtımda tabaka örneklem hacmini bulmak için toplam kitle büyüklüğüne ihtiyaç vardır.

2

Orantılı dağıtım yöntemine göre 3. Tabaka için örneklem hacmini (

n_3

) hesapla.

n_3^{(orantılı)} = n \times \frac{N_3}{N} = 60 \times \frac{50}{300} = 60 \times \frac{1}{6} = 10

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi, tabakanın kitle içindeki ağırlığı ile orantılı olarak dağıtılır.

3

Neyman dağıtımı için tabaka varyanslarından (

S_h^2

) tabaka standart sapmalarını (

S_h

) bularak

N_h S_h

çarpımlarını ve toplamını hesapla.

S_1 = \sqrt{4} = 2 \Rightarrow N_1 S_1 = 150 \times 2 = 300

S_2 = \sqrt{16} = 4 \Rightarrow N_2 S_2 = 100 \times 4 = 400

S_3 = \sqrt{36} = 6 \Rightarrow N_3 S_3 = 50 \times 6 = 300

\sum N_h S_h = 300 + 400 + 300 = 1000

Neyman dağıtımında örneklem büyüklüğü, tabaka büyüklüğü ve tabaka standart sapmasının çarpımıyla doğru orantılıdır.

4

Neyman dağıtımı yöntemine göre 3. Tabaka için örneklem hacmini (

n_3

) hesapla.

n_3^{(Neyman)} = n \times \frac{N_3 S_3}{\sum N_h S_h} = 60 \times \frac{300}{1000} = 60 \times 0.3 = 18

Varyasyon farklılıkları dikkate alındığında yeni örneklem hacmi formülü uygulanır.

5

Yöntem değişikliği sonucundaki farkı hesapla.

Değişim = n_3^{(Neyman)} - n_3^{(orantılı)} = 18 - 10 = +8

Soruda yöntem değişikliği sonucundaki fark sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Orantılı dağıtım ve Neyman dağıtımı yöntemlerinin karşılaştırmalı analizi ve örneklem hacmi hesaplamaları.

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar