Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 11

Soru 201Soru →

Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne, isteğe bağlı sigortalılık işlemi için son dört günde yapılan başvuru sayıları ( $Y_t$ ) ve bir zaman serisi modeliyle elde edilen öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gün ( $t$ )	Gerçekleşen Başvuru ( $Y_t$ )	Öngörülen Başvuru ( $F_t$ )
1	42	40
2	58	55
3	46	50
4	61	60

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Hata Kareleri Ortalaması (MSE) değeri kaçtır?

2,5

6,25

7,5

10,0

30,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,5

Cevap

Modelin Hata Kareleri Ortalaması (MSE) değeri 7,5 olarak hesaplanmıştır.

Verilen zaman serisi için hatalar sırasıyla 2, 3, -4 ve 1 olarak hesaplanır. MSE hesaplanırken bu hataların kareleri alınarak toplanır (

4 + 9 + 16 + 1 = 30

). Elde edilen hata kareleri toplamı, toplam gün sayısına (

n=4

) bölündüğünde Hata Kareleri Ortalaması

\frac{30}{4} = 7,5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir gün için öngörü hatalarını (

e_t = Y_t - F_t

) hesapla.

e_1 = 42 - 40 = 2

,

e_2 = 58 - 55 = 3

,

e_3 = 46 - 50 = -4

,

e_4 = 61 - 60 = 1

Hata ölçütlerini bulabilmek için öncelikle gerçekleşen değer ile öngörülen değer arasındaki fark olan öngörü hataları belirlenmelidir.

2

Bulunan hataların karelerini (

e_t^2

) al.

e_1^2 = 4

,

e_2^2 = 9

,

e_3^2 = 16

,

e_4^2 = 1

MSE formülünde pozitif ve negatif hataların birbirini götürmesini engellemek için hataların kareleri kullanılır.

3

Hata karelerini topla (

\sum e_t^2

).

\sum e_t^2 = 4 + 9 + 16 + 1 = 30

Ortalamayı bulabilmek için tüm gözlemlere ait hata karelerinin toplamı gereklidir.

4

Hata kareleri toplamını gözlem sayısına (

n=4

) bölerek MSE'yi hesapla.

MSE = \frac{30}{4} = 7,5

Hata Kareleri Ortalaması (MSE) formülü, hata kareleri toplamının veri sayısına bölünmesini gerektirir.

Anahtar Kavram

Hata Kareleri Ortalaması (MSE) Hesaplaması

Soru 202Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, belirli bir bölgedeki aylık grip vakası sayısını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Serinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) grafikleri incelendiğinde, mevsimsel gecikmelerde (12, 24, 36...) ACF'nin üssel olarak sönümlendiği, PACF'nin ise 1. mevsimsel gecikmede anlamlı bir değer alıp sonrasında hızla sıfıra düştüğü (kesildiği) görülmüştür. Seriyi durağanlaştırmak için hem ardışık hem de mevsimsel fark alma işlemi uygulanmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen modelin gecikme operatörü ( $B$ ) formundaki denklemi aşağıda verilmiştir:

(1 - \phi_1 B)(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)e_t

Buna göre, tahmin edilen bu modelin standart $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1, 1, 0)(1, 1, 2)_{12}

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 1)_{12}

SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(2, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(1, 2, 2)(1, 0, 0)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}$

Cevap

Doğru gösterim

SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}

modelidir.

Verilen denklem incelendiğinde; eşitliğin sol tarafındaki

(1 - \phi_1 B)

terimi mevsimsel olmayan AR(1) sürecini (

p=1

),

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel AR(1) sürecini (

P=1

),

(1 - B)

terimi 1. dereceden ardışık farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise 1. dereceden mevsimsel farkı (

D=1

) ifade eder. Sağ taraftaki

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

terimi mevsimsel olmayan MA(2) sürecini (

q=2

) gösterirken, mevsimsel bir MA terimi (örneğin

1 - \Theta_1 B^{12}

) bulunmamaktadır (

Q=0

). Mevsimsel ACF ve PACF davranışları da bunu doğrulamaktadır. Veri aylık olduğundan periyot

s=12

'dir. Bu veriler ışığında doğru model gösterimi

SARIMA(1, 1, 2)(1, 1, 0)_{12}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsellik Periyodunu (

s

) belirlemek.

Veriler aylık olduğu için

s=12

'dir.

Aylık verilerde mevsimsel döngü yılda bir (12 ayda bir) tekrar eder.

2

Fark Alma Derecelerini (

d

ve

D

) tespit etmek.

Denklemdeki

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan ardışık farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise mevsimsel farkı (

D=1

) temsil eder.

Seriyi durağanlaştırmak için uygulanan işlemlerin modeldeki karşılıklarını bulmak.

3

Mevsimsel Olmayan Parametreleri (

p

ve

q

) okumak.

Eşitliğin solundaki

(1 - \phi_1 B)

terimi otoregresif derecesinin

p=1

olduğunu, sağındaki

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

terimi ise hareketli ortalama derecesinin

q=2

olduğunu gösterir.

Gecikme operatörü denklemindeki mevsimsel olmayan AR ve MA polinomlarının en yüksek derecelerini saptamak.

4

Mevsimsel Parametreleri (

P

ve

Q

) belirlemek.

Eşitliğin solundaki

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel AR derecesini

P=1

yapar. Eşitliğin sağında

B^{12}

'li bir terim olmadığından

Q=0

'dır.

Mevsimsel ACF'nin üssel sönümlenmesi ve PACF'nin 1. mevsimsel gecikmede kesilmesi durumu da sadece mevsimsel AR(1) yapısını (

P=1

) doğrulamaktadır.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde Gecikme Operatörü Denklemi ve Parametre Tespiti

Soru 203Soru →

Bir çalışma ekonomisti, ulusal düzeydeki aylık genç işsizlik oranlarını ( $Y_t$ ) modellemek amacıyla aşağıdaki Box-Jenkins denklemini elde etmiştir (burada $B$ gecikme operatörünü ve $\varepsilon_t$ beyaz gürültü serisini ifade etmektedir):

(1 - \phi_1 B) (1 - B) (1 - B^{12}) Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2) (1 - \Theta_1 B^{12} - \Theta_2 B^{24}) \varepsilon_t

Buna göre, analistin tahmin ettiği mevsimsel ARIMA modelinin genel gösterimi, yani $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$ formu aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

SARIMA(1, 1, 2)(2, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 2)_{12}

SARIMA(2, 1, 1)(0, 1, 2)_{12}

SARIMA(1, 2, 2)(0, 0, 2)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}$

Cevap

Doğru gösterim

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

şeklindedir.

Genel bir SARIMA modeli

\phi_p(B) \Phi_P(B^s) (1-B)^d (1-B^s)^D Y_t = \theta_q(B) \Theta_Q(B^s) \varepsilon_t

şeklinde yazılır. Eşitliğin sol tarafından sırasıyla;

(1-\phi_1 B)

teriminden

p=1

,

(1-B)

teriminden

d=1

,

(1-B^{12})

teriminden

D=1

(ve

s=12

) elde edilir. Mevsimsel AR bileşeni olmadığı için

P=0

'dır. Eşitliğin sağ tarafından ise;

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

teriminden

q=2

,

(1 - \Theta_1 B^{12} - \Theta_2 B^{24})

teriminden

Q=2

elde edilir. Sonuç olarak gösterim

SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel olmayan otoregresif (AR) ve fark alma bileşenlerini belirle.

(1 - \phi_1 B)

terimi AR derecesinin

p=1

olduğunu,

(1 - B)

terimi ise fark alma derecesinin

d=1

olduğunu gösterir.

Sol taraftaki gecikme (B) polinomları otoregresif yapıyı ve trend durağanlaştırmasını ifade eder.

2

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel bileşenleri kontrol et.

(1 - B^{12})

terimi, serinin 12 periyotluk (aylık) mevsimselliğe sahip olduğunu (

s=12

) ve mevsimsel fark alma derecesinin

D=1

olduğunu gösterir. Mevsimsel AR terimi

\Phi_P(B^{12})

bulunmadığı için

P=0

'dır.

Mevsimsel AR terimleri sol tarafta yer alır; modelde olmadığı için parametre 0'dır.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki hareketli ortalama (MA) bileşenlerini belirle.

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

terimi mevsimsel olmayan MA derecesinin

q=2

olduğunu,

(1 - \Theta_1 B^{12} - \Theta_2 B^{24})

terimi ise mevsimsel MA derecesinin

Q=2

olduğunu gösterir.

Sağ taraftaki hata terimi ile çarpım durumunda olan polinomlar MA süreçlerini ifade eder.

4

Bulunan parametreleri genel SARIMA formatına yerleştir.

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s \implies SARIMA(1, 1, 2)(0, 1, 2)_{12}

elde edilir.

Model gösterimini eksiksiz oluşturmak için adım adım bulunan tüm dereceler yerlerine konur.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinin Eşitlik Formundan Parametre Çıkarımı

Soru 204Soru →

Türkiye Cumhuriyet Merkez Bankası (TCMB) bünyesinde çalışan bir uzman, enflasyon oranlarındaki değişimi analiz etmek için aylık verilere dayalı ikinci dereceden bir otoregresif model, $AR(2)$ , kurmuştur. Yapılan tahminleme sonucunda elde edilen modelin denklemi aşağıdaki gibidir:

$Y_t = 2,4 + 0,6 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t$

İncelenen enflasyon serisinin durağan (stationary) olduğu teorik ve istatistiksel olarak doğrulandığına göre, $\phi_2$ parametresinin alabileceği değerlerin en geniş tanımlı aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

-1 < \phi_2 < 0,4

-0,6 < \phi_2 < 0,4

-1 < \phi_2 < 1

-0,4 < \phi_2 < 1,6

0,4 < \phi_2 < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-1 < \phi_2 < 0,4$

Cevap

Doğru yanıt, AR(2) modeli için gerekli üç durağanlık şartının kesişimi olan

-1 < \phi_2 < 0,4

aralığıdır.

Verilen

AR(2)

modelinin durağan olabilmesi için parametrelerinin

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

şartlarını aynı anda sağlaması gerekmektedir. Modelden

\phi_1 = 0,6

olduğu görülmektedir. Bu değer eşitsizliklerde yerine konulduğunda; birinci şarttan

0,6 + \phi_2 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 0,4

, ikinci şarttan

\phi_2 - 0,6 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 1,6

ve üçüncü şarttan

-1 < \phi_2 < 1

elde edilir. Her üç şartın kesişim kümesi (ortak çözüm bölgesi) alındığında,

\phi_2

parametresinin alabileceği en geniş aralık

-1 < \phi_2 < 0,4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) modeli için genel durağanlık şartlarını belirleme.

Durağanlık şartları: 1)

\phi_1 + \phi_2 < 1

, 2)

\phi_2 - \phi_1 < 1

, 3)

-1 < \phi_2 < 1

.

İkinci dereceden otoregresif bir zaman serisinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir; bu da parametrelerin bu üç eşitsizliği ortaklaşa sağlamasını zorunlu kılar.

2

Verilen model denkleminden bilinen parametreyi tespit etme.

Model denklemi

Y_t = 2,4 + 0,6 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

olarak verildiğinden birinci otoregresif parametre

\phi_1 = 0,6

olarak belirlenir.

Eşitsizlik sistemini

\phi_2

cinsinden çözebilmek için bilinen

\phi_1

değerine ihtiyaç vardır.

3

Birinci durağanlık şartında

\phi_1 = 0,6

değerini yerine koyma.

0,6 + \phi_2 < 1

eşitsizliğinden

\phi_2 < 0,4

elde edilir.

Parametrenin alabileceği maksimum üst sınırı belirlemek için.

4

İkinci ve üçüncü durağanlık şartlarında işlemleri tekrarlama.

İkinci şarttan

\phi_2 - 0,6 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 1,6

ve üçüncü şarttan doğrudan

-1 < \phi_2 < 1

elde edilir.

Parametrenin diğer bağlayıcı sınır kısıtlarını görmek için.

5

Elde edilen tüm eşitsizliklerin kesişim bölgesini bulma.

Üç eşitsizliğin (

\phi_2 < 0,4

,

\phi_2 < 1,6

ve

-1 < \phi_2 < 1

) ortak sağlandığı en dar aralık

-1 < \phi_2 < 0,4

aralığıdır.

Sistemin durağanlığı için tüm şartların aynı anda (eşanlı olarak) sağlanması zorunludur.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık (Stationarity) Şartları

Soru 205Soru →

Bir kamu kurumu, gelen evrak sayısını tahmin etmek için hem 3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama hem de üstel düzeltme yöntemlerini kullanmaktadır. Kuruma gelen evrak sayıları ilk dört ay için sırasıyla aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Evrak Sayısı ( $Y_t$ )
1	100
2	150
3	125
4	140

Ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi için en yakın döneme 0,5; bir önceki döneme 0,3 ve iki önceki döneme 0,2 ağırlık verilmektedir.

Üstel düzeltme yöntemi için ise düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) 0,4 olarak belirlenmiş olup, 1. ay için başlangıç tahmini ( $F_1$ ) 100 olarak alınmıştır.

Buna göre, 5. ay için ağırlıklı hareketli ortalama yöntemiyle elde edilen tahmin değeri ile üstel düzeltme yöntemiyle elde edilen tahmin değeri arasındaki mutlak fark kaçtır?

1,7

2,7

8,3

11,3

15,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8,3

Cevap

İki yöntemin sonuçları arasındaki mutlak fark 8,3 olarak hesaplanır.

Ağırlıklı hareketli ortalama ile 5. ay tahmini hesaplanırken son üç ayın (2., 3. ve 4. aylar) gerçekleşen verileri verilen ağırlıklarla çarpılıp toplanarak 137,5 değeri bulunur. Üstel düzeltme yönteminde ise ardışık olarak

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

formülü kullanılarak 5. ay tahmini 129,2 olarak hesaplanır. Bu iki tahminin mutlak farkı

|137,5 - 129,2| = 8,3

tür.

Adım Adım Çözüm

1

5. ay için 3 dönemlik Ağırlıklı Hareketli Ortalama (AHO) tahminini hesaplamak.

F_{AHO, 5} = (0,5 \times 140) + (0,3 \times 125) + (0,2 \times 150) = 70 + 37,5 + 30 = 137,5

AHO yönteminde en yakın verilere belirtilen ağırlıklar verilerek doğrusal bir kombinasyon oluşturulur. 5. ay için en yakın üç veri 4., 3. ve 2. aylara aittir.

2

2., 3. ve 4. aylar için Üstel Düzeltme (ÜD) tahminlerini sırasıyla hesaplamak.

F_2 = 100 + 0,4 \times (100-100) = 100

F_3 = 100 + 0,4 \times (150-100) = 120

F_4 = 120 + 0,4 \times (125-120) = 122

Üstel düzeltme yönteminde her dönemin tahmini, bir önceki dönemin tahmini ve gerçekleşen değeri kullanılarak ardışık şekilde (

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

) bulunur.

3

5. ay için Üstel Düzeltme (ÜD) tahminini hesaplamak.

F_5 = 122 + 0,4 \times (140 - 122) = 122 + 7,2 = 129,2

5. ay tahminini bulmak için 4. ayın gerçekleşen değeri (

Y_4

) ve tahmin değeri (

F_4

) kullanılır.

4

İki tahmin yöntemi arasındaki mutlak farkı bulmak.

|137,5 - 129,2| = 8,3

Soruda istenen iki farklı yöntemle bulunan 5. ay öngörü değerlerinin karşılaştırılmasıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalama ve Üstel Düzeltme Yöntemleriyle Öngörü Hesaplaması

Soru 206Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin toplu taşıma sistemindeki günlük yolcu sayıları modellenirken, seride güçlü bir haftalık ( $s=7$ ) mevsimsellik tespit edilmiştir. Seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden olağan fark ve birinci dereceden mevsimsel fark işlemleri birlikte uygulanmış ve durağan $W_t$ serisi elde edilmiştir.

Durağan $W_t$ serisine ait korelogram (ACF ve PACF) incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan gecikmelerde: PACF grafiğinde ilk iki gecikmede (1. ve 2. gecikmeler) istatistiksel olarak anlamlı sivrileşmeler varken, sonraki gecikmelerde hızla sıfıra düşmektedir. ACF grafiği ise üstel olarak sönümlenmektedir.
- Mevsimsel gecikmelerde: ACF grafiğinde sadece 7. gecikmede (ilk mevsimsel gecikme) anlamlı bir sivrileşme gözlenmiş, sonraki mevsimsel gecikmelerde hızla kesilmiştir. PACF grafiği ise mevsimsel gecikmelerde (7, 14, 21...) yavaşça sönümlenmektedir.

Buna göre, Box-Jenkins yaklaşımı çerçevesinde orijinal zaman serisi ( $Y_t$ ) için belirlenen en uygun $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$ modelinin kapalı form denklemi aşağıdakilerden hangisidir? (Not: $B$ geri kaydırma operatörünü, $\varepsilon_t$ ise beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)(1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^7)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = \varepsilon_t

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

(1 - \Phi_1 B^7 - \Phi_2 B^{14})(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t$

Cevap

Doğru kapalı form denklemi, sol tarafta AR(2) ile olağan ve mevsimsel fark operatörlerini, sağ tarafta ise mevsimsel MA(1) bileşenini içeren ifadedir.

Verilen korelogram özellikleri analiz edildiğinde; mevsimsel olmayan kısımda PACF 2. gecikmede kesildiği için AR(2) modeli, mevsimsel kısımda ise ACF 7. (ilk mevsimsel) gecikmede kesildiği için SMA(1) modeli tespit edilir. Ayrıca metinde hem olağan hem de mevsimsel birinci derece fark alındığı açıkça belirtilmiştir. Bu durumları standart Box-Jenkins notasyonunda bir araya getirdiğimizde sol tarafta otoregresif polinom ve fark operatörleri

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)

, sağ tarafta ise hareketli ortalama polinomu

(1 - \Theta_1 B^7)

yer almalıdır. Bu yapıyı tam ve doğru veren tek seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Seriye uygulanan durağanlaştırma işlemlerinden (fark alma) d ve D değerlerini belirleme.

Birinci dereceden olağan fark uygulandığı için

d=1

, birinci dereceden mevsimsel fark uygulandığı için

D=1

ve mevsimsellik periyodu

s=7

'dir. Denklemde sol tarafta

(1-B)

ve

(1-B^7)

çarpanları olmalıdır.

Orijinal

Y_t

serisi ile durağan

W_t

serisi arasındaki ilişki

W_t = (1-B)(1-B^7)Y_t

eşitliği ile kurulur.

2

Mevsimsel olmayan (olağan) gecikmelerdeki ACF ve PACF davranışını analiz ederek p ve q değerlerini bulma.

PACF 2. gecikmede kesiliyor ve ACF üstel sönümleniyorsa, bu durum mevsimsel olmayan kısmın AR(2) süreci olduğunu gösterir (

p=2, q=0

). Denklemde sol tarafa

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi eklenmelidir.

AR(p) süreçlerinde PACF grafiği p. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer (kesilir).

3

Mevsimsel gecikmelerdeki ACF ve PACF davranışını analiz ederek P ve Q değerlerini bulma.

ACF sadece 7. gecikmede (ilk mevsimsel gecikme) kesiliyor ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümleniyorsa, mevsimsel kısım SMA(1) sürecidir (

P=0, Q=1

). Denklemde sağ tarafa

(1 - \Theta_1 B^7)

terimi eklenmelidir.

MA(q) süreçlerinin karakteristiği olan ACF'nin kesilmesi durumu, mevsimsel modellerde s periyotlu gecikmelerde (burada s=7) gözlenir.

4

Tüm bileşenleri SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s kapalı form denkleminde birleştirme.

Model

SARIMA(2,1,0)(0,1,1)_7

olarak tanımlanır. Denklem:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - \Theta_1 B^7)\varepsilon_t

şeklindedir.

Box-Jenkins yaklaşımında otoregresif terimler ve fark operatörleri serinin (

Y_t

) katsayısı olarak sol tarafta, hareketli ortalama terimleri ise hata teriminin (

\varepsilon_t

) katsayısı olarak sağ tarafta yazılır.

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Denklem Gösterimi ve Korelogram Analizi

Soru 207Soru →

Bir belediyenin su işleri idaresi, ilçelerden birindeki günlük ortalama su tüketimini (ton) üstel düzeltme yöntemi ile tahmin etmektedir.

Ağustos ayı için öngörülen günlük ortalama su tüketimi $1200$ ton olarak belirlenmiş, ancak Ağustos ayında gerçekleşen fiili tüketim $1350$ ton olmuştur. Eylül ayı günlük ortalama su tüketimi tahminini yapmak için kullanılan düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) $0,4$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, Eylül ayı için günlük ortalama su tüketimi tahmini kaç ton olacaktır?

1140

1260

1275

1290

1350

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1260

Cevap

1260

Üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin tahmini, mevcut dönemin tahmini ile mevcut dönemdeki tahmin hatasının düzeltme katsayısı (

\alpha

) ile çarpımının toplamına eşittir. Alternatif olarak formül

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha)F_t

şeklinde de ifade edilebilir. Verilen değerler yerine konulduğunda hesaplama süreci şu şekilde olur:

1200 + 0,4 \times (1350 - 1200) = 1200 + 60 = 1260

. Doğru yanıt bu hesaplama sonucunda elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametrelerin tanımlanması

F_t = 1200

,

Y_t = 1350

,

\alpha = 0,4

Üstel düzeltme formülünde yerine koyulacak değerlerin belirlenmesi.

2

Üstel düzeltme formülünün uygulanması

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

formülüne göre:

F_{t+1} = 1200 + 0,4 \times (1350 - 1200)

Bir sonraki dönemin tahminini hesaplamak için mevcut tahmin ve hata payının düzeltme katsayısı ile ağırlıklandırılması.

3

Matematiksel işlemlerin tamamlanması

F_{t+1} = 1200 + 0,4 \times 150 = 1200 + 60 = 1260

Eylül ayına ait nihai tahmine ulaşılması.

Anahtar Kavram

Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Yöntemi ile Tahmin Güncellemesi

Soru 208Soru →

Bir perakende şirketinin tedarik zinciri yöneticisi, $Y_t$ ile gösterilen belirli bir ürünün günlük sipariş miktarlarındaki sapmaları analiz etmektedir. Yapılan istatistiksel incelemeler sonucunda, bu sapmaların yalnızca o günkü ve geçmiş iki güne ait beklenmedik lojistik şokların doğrusal bir kombinasyonu olduğu tespit edilmiştir. Model, $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$ beyaz gürültü süreci olmak üzere şu şekilde tanımlanmıştır:

Y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2}

Buna göre, söz konusu sipariş sapmalarını temsil eden modelin teorik özellikleri hakkında aşağıda verilen ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Modelin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra sıfır değerini alır ve

\theta_1

ile

\theta_2

parametrelerinin büyüklüğünden bağımsız olarak süreç her zaman durağandır.

Modelin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer ve sürecin durağan olabilmesi için

\theta_1 + \theta_2 < 1

koşulunun sağlanması gerekir.

Serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) zamanla üstel veya sinüsoidal olarak sönümlenir ve katsayı değerlerinden bağımsız olarak modelin daima tersinir (invertible) olduğu kabul edilir.

Geçmiş şokların birikimli olarak modele eklenmesi nedeniyle süreç yapısal olarak durağan dışıdır ve analizden önce serinin birinci dereceden farkının (

\Delta Y_t

) alınması zorunludur.

Modele dahil edilen gecikmeli şoklar seride deterministik bir döngüsel hareketin varlığına işaret eder ve bu nedenle otokorelasyon fonksiyonu periyodik dalgalanmalar gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra sıfır değerini alır ve $\theta_1$ ile $\theta_2$ parametrelerinin büyüklüğünden bağımsız olarak süreç her zaman durağandır.

Cevap

Modelin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra sıfır değerini alır ve parametrelerin büyüklüğünden bağımsız olarak süreç her zaman durağandır.

Soruda tanımlanan denklem, bir bağımlı değişkenin kendi geçmiş değerleri yerine ardışık rastgele şokların (hata terimlerinin) bir fonksiyonu olarak ifade edildiği Hareketli Ortalama (Moving Average - MA) modelidir. Denklemde

\varepsilon_{t-1}

ve

\varepsilon_{t-2}

olmak üzere geçmiş iki dönemin şoku bulunduğundan bu bir MA(2) sürecidir. İstatistiksel teoriye göre, MA(q) süreçleri sonlu doğrusal kombinasyonlar oldukları için katsayı değerlerinden bağımsız olarak her koşulda durağandır (durağanlık katsayılara bağlı değildir). Ayrıca MA(q) süreçlerinde Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) tam olarak q. gecikmeden sonra sıfıra aniden düşer. PACF ise üstel olarak sönümlenir. Dolayısıyla, süreç her koşulda durağandır ve ACF grafiği 2. gecikmeden sonra kesilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen modelin matematiksel yapısının tanımlanması

Sürecin, güncel ve geçmiş iki döneme ait şokları içeren bir MA(2) (Hareketli Ortalama) modeli olduğu belirlenir.

Bağımlı değişken geçmiş değerlerine değil, doğrudan ardışık beyaz gürültü hata terimlerine (şoklara) bağlanmıştır.

2

MA(2) modelinin durağanlık özelliğinin değerlendirilmesi

MA süreçleri sonlu varyanslı şokların toplamı olduğundan, katsayılardan bağımsız olarak daima durağandır.

Zaman serilerinde yalnızca AR veya ARMA yapısındaki modellerde durağanlık katsayılara bağlı bir koşuldur.

3

Modelin teorik ACF davranışının belirlenmesi

Teorik olarak MA(q) modellerinde Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) tam olarak q. gecikmeden sonra sıfıra düşer.

Model q=2 olduğu için ACF 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır kabul edilir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Durağanlık ve Otokorelasyon Özellikleri

Soru 209Soru →

Özel bir bankanın çeyreklik bazda ( $s=4$ ) takip ettiği ticari kredi hacmi verileri üzerinde çalışan bir risk analisti, serinin durağanlaştırılmış halinin özelliklerini incelemiş ve modeli ifade etmek için aşağıdaki Box-Jenkins kapalı form denklemini kurmuştur:

(1 - \phi_1 B)(1 - B)^2(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t

Burada $B$ geri kaydırma (backshift) operatörünü ve $\varepsilon_t$ beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.

Buna göre, tahmin edilen bu mevsimsel zaman serisi modelinin gösterimi $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ formatında aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(0,1,1)(1,2,0)_4

\text{SARIMA}(0,2,1)(1,1,0)_4

\text{SARIMA}(1,2,0)(0,1,1)_4

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,2,1)_4

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(1,2,0)(0,1,1)_4$

Cevap

Doğru model gösterimi

\text{SARIMA}(1,2,0)(0,1,1)_4

şeklindedir.

Verilen kapalı form denkleminde,

(1 - \phi_1 B)

terimi mevsimsel olmayan 1. dereceden bir otoregresif (AR) bileşeni temsil eder (

p=1

).

(1 - B)^2

terimi mevsimsel olmayan 2. dereceden fark almayı (

d=2

),

(1 - B^4)

terimi ise mevsimsel 1. dereceden fark almayı (

D=1

) belirtir. Denklemin eşitliğinin sağ tarafındaki

(1 - \Theta_1 B^4)

terimi, hata terimi üzerinde mevsimsel 1. dereceden bir hareketli ortalama (SMA) etkisi olduğunu gösterir (

Q=1

). Mevsimsel AR (

P=0

) ve mevsimsel olmayan MA (

q=0

) etkileri denklemde yer almamaktadır. Periyot çeyreklik (

s=4

) olduğundan, bu özelliklerin tamamı model gösteriminde birleştirildiğinde doğru yanıt

\text{SARIMA}(1,2,0)(0,1,1)_4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan otoregresif (AR) ve hareketli ortalama (MA) derecelerini belirleme.

Denklemin sol tarafındaki

(1 - \phi_1 B)

terimi birinci dereceden bir mevsimsel olmayan AR sürecini temsil eder (

p=1

). Denklemin sağ tarafında

B

'nin mevsimsel olmayan bir kuvveti bulunmadığından

q=0

'dır.

Zaman serisi denkleminde

B

'nin üssü (kuvveti) mevsimsellik periyodu (

s

) olmayan terimler, standart (mevsimsel olmayan) ARMA yapılarını gösterir.

2

Fark alma (durağanlaştırma) derecelerini tespit etme.

Sol taraftaki

(1 - B)^2

çarpanı mevsimsel olmayan ardışık fark alma derecesinin 2 olduğunu (

d=2

),

(1 - B^4)

çarpanı ise mevsimsel fark alma derecesinin 1 olduğunu (

D=1

) gösterir.

Zaman serilerinde ardışık fark alma

(1-B)^d

, mevsimsel fark alma ise

(1-B^s)^D

ile ifade edilir. Kredi verisi çeyreklik olduğu için

s=4

'tür.

3

Mevsimsel AR ve MA derecelerini belirleme.

Denklemin sol tarafında

B^4

'lü bir AR katsayı terimi yoktur (

P=0

). Sağ taraftaki

(1 - \Theta_1 B^4)

terimi ise birinci dereceden bir mevsimsel hareketli ortalama (SMA) sürecini gösterir (

Q=1

).

Mevsimsel gecikmeler, geri kaydırma operatörünün

B^s

formundaki çarpanları ile ifade edilir. Sağ taraftaki

\varepsilon_t

'nin katsayısı MA yapısını yansıtır.

4

Bileşenleri

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

formatında birleştirme.

p=1

,

d=2

,

q=0

ve

P=0

,

D=1

,

Q=1

,

s=4

parametreleri yerlerine konduğunda

\text{SARIMA}(1,2,0)(0,1,1)_4

modeli elde edilir.

Box-Jenkins metodolojisinde model tanımlaması, bu sıralı parametre formülü ile standartlaştırılmıştır.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde Kapalı Form Denklemi ve Parametre Gösterimi

Soru 210Soru →

Bir makroekonomik değişkenin davranışını inceleyen bir uzman, durağan olduğunu varsaydığı $Y_t$ zaman serisinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) her ikisinin de sönümlenerek azaldığını belirlemiş ve seriye bir ARMA(2, 1) modeli kurmaya karar vermiştir.

Analiz sonucunda elde edilen tahminlere göre, aşağıdaki modellerden hangisi hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarını eşanlı olarak sağlamaktadır?

(Not: $B$ , gecikme operatörünü ve $\varepsilon_t$ , beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t

(1 - 1.2B + 0.5B^2)Y_t = (1 - 1.5B)\varepsilon_t

(1 - 0.5B - 0.6B^2)Y_t = (1 - 0.8B)\varepsilon_t

(1 - 1.5B - 0.2B^2)Y_t = (1 - 1.3B)\varepsilon_t

(1 + 0.3B - 0.8B^2)Y_t = (1 + 0.5B)\varepsilon_t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t$

Cevap

(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t

modeli hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarını eşanlı olarak sağlar.

Doğru modelde, karakteristik AR denklemi

(1 - 0.8B + 0.15B^2)

şeklindedir.

\phi_1=0.8

ve

\phi_2=-0.15

iken

\phi_1+\phi_2=0.65<1

,

\phi_2-\phi_1=-0.95<1

ve

|\phi_2|=0.15<1

eşitsizlikleri eşanlı sağlandığı için süreç durağandır. Benzer şekilde karakteristik MA denklemi

(1 + 0.4B)

kökü mutlak değerce 1'den büyük olduğu için (katsayı

|0.4|<1

) süreç tersine çevrilebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1

ARMA(2,1) modelinin genel yapısında durağanlık ve tersine çevrilebilirlik koşullarını belirlemek.

Durağanlık için AR katsayıları

\phi_1+\phi_2<1

,

\phi_2-\phi_1<1

ve

|\phi_2|<1

olmalıdır. Tersine çevrilebilirlik için MA katsayısının mutlak değeri

|\theta_1|<1

olmalıdır.

Model

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = (1 + \theta_1 B)\varepsilon_t

formunda yazıldığında, karakteristik polinom köklerinin birim çemberin dışında yer alması bu eşitsizlikleri gerektirir.

2

Seçeneklerdeki modellerin AR kısımlarının durağanlık koşullarını test etmek.

Sadece

(1 - 0.8B + 0.15B^2)

ve

(1 - 1.2B + 0.5B^2)

terimlerini içeren modeller üç durağanlık koşulunu da aynı anda sağlamaktadır.

Durağanlık için gerekli üç AR(2) eşitsizlik kısıtının da aynı anda sağlanması şarttır.

3

Durağanlığı sağlayan modeller arasında MA kısmının tersine çevrilebilirlik koşulunu test etmek.

Durağan olan

(1 - 0.8B + 0.15B^2)Y_t = (1 + 0.4B)\varepsilon_t

modelinde MA katsayısı

|0.4| < 1

olduğu için süreç aynı zamanda tersine çevrilebilirdir. Diğer durağan modelde ise

|-1.5| > 1

olduğundan tersine çevrilebilirlik sağlanmaz.

Tersine çevrilebilirlik için karakteristik MA denkleminin kökü birim çemberin dışında yer almalı, yani katsayının mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersine Çevrilebilirlik Koşulları

Soru 211Soru →

Bir istatistik uzmanı, tarımsal ihracat endeksi verilerini modellemek amacıyla zaman serisinin durağanlığını incelemektedir. Analiz sürecinde, serinin düzey değerleri üzerinden sabitli ve doğrusal trendli Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testi uygulanmıştır. Test sonucunda hesaplanan $\tau$ (tau) test istatistiği $-1.85$ bulunurken, %5 anlamlılık düzeyindeki MacKinnon tablo kritik değeri $-3.45$ olarak belirlenmiştir.

ADF testinin temel hipotezleri ve karar kuralları dikkate alındığında, testin sonucu ve uzmanın izlemesi gereken yöntemsel adıma dair aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için "seri birim kök içerir" şeklindeki yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez; seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Test istatistiği mutlak değerce kritik değerden küçük olduğundan "seri durağandır" şeklindeki yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez; herhangi bir fark alma işlemine gerek yoktur.

Yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez ve seri trend-durağan bir yapıya sahip kabul edilir; bu nedenle fark alma işlemi yerine seriden sadece deterministik zaman trendi arındırılmalıdır.

Test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için "seri birim kök içerir" şeklindeki yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilir; seri durağan kabul edilerek modele doğrudan düzey değerleriyle başlanmalıdır.

Yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez; serinin içerdiği hareketleri modelleyebilmek için düzey verilerine ait ACF ve PACF grafikleri incelenerek AR ve MA dereceleri belirlenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için "seri birim kök içerir" şeklindeki yokluk hipotezi ( $H_0$ ) reddedilemez; seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Cevap

Doğru ifade, test istatistiğinin kritik değerden büyük olması sebebiyle yokluk hipotezinin (H0) reddedilemediğini ve serinin durağanlaşması için birinci farkının alınması gerektiğini belirten seçenektir.

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinde yokluk hipotezi (

H_0

), serinin birim kök içerdiğini (durağan olmadığını) ifade eder. Test sol kuyruk testidir ve karar aşamasında hesaplanan

\tau

istatistiği ile tablo kritik değeri karşılaştırılır. Hesaplanan

\tau

istatistiği (

-1.85

), tablo kritik değerinden (

-3.45

) daha büyüktür (sayı doğrusunda sağında yer alır). Bu nedenle

H_0

hipotezi reddedilemez. Seri birim kök içerdiği (fark-durağan / I(1) özellik gösterdiği) için, zaman serisini durağan yapıya kavuşturmak adına birinci dereceden fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ADF birim kök testi için hipotezleri tanımla.

H_0

: Seri birim kök içerir (Durağan değildir).

H_1

: Seri durağandır.

Testin amacını ve reddedilme durumunda hangi sonuca varılacağını belirlemek.

2

Hesaplanan test istatistiğini kritik değer ile karşılaştır.

\tau_{hesap} = -1.85

ve

\tau_{kritik} = -3.45

. ADF testi sol kuyruk testi olduğundan,

-1.85 > -3.45

'tir (ret bölgesi dışında yer alır).

Yokluk hipotezinin (

H_0

) reddedilip reddedilemeyeceğine karar vermek.

3

Test kararını oluştur ve durağanlaştırma yöntemini belirle.

H_0

reddedilemez, seri birim kök içermektedir. Durağan olmayan (fark-durağan) bu seriyi durağanlaştırmak için serinin birinci farkı alınmalıdır.

Stokastik trend (birim kök) içeren serilerde deterministik trend arındırması değil, fark alma işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Birim Kök Testleri (ADF), Hipotez Testi Kararı ve Fark-Durağanlık (Difference Stationarity)

Soru 212Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığı'nda görevli bir ekonomist, kamu borç stokunun GSYH'ye oranındaki aylık değişimleri ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Yapılan ekonometrik çalışma sonucunda, serinin aşağıdaki birinci dereceden otoregresif AR(1) modeline uygun olduğu belirlenmiştir:

Y_t = 0,15 + 0,7 Y_{t-1} + \epsilon_t

Burada $\epsilon_t$ hata terimi (beyaz gürültü) sürecidir. Bu modelin durağan olduğu varsayımı altında, serinin uzun dönem ortalaması (beklenen değeri) kaçtır?

0,15

0,21

0,50

1,50

0,70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,50

Cevap

Serinin uzun dönem ortalaması 0,50 olarak hesaplanmıştır.

Durağan bir AR(1) süreci için uzun dönem ortalaması (beklenen değer), modeldeki sabit terimin (

0,15

), bir eksi otoregresif katsayı değerine (

1 - 0,7 = 0,3

) bölünmesiyle elde edilir. Bu işlem sonucunda

0,15 / 0,3 = 0,5

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Model parametrelerinin tanımlanması

Sabit terim

\delta = 0,15

ve otoregresif katsayı

\phi_1 = 0,7

Hesaplama için model denklemindeki temel bileşenlerin belirlenmesi gerekir.

2

Uzun dönem ortalama formülünün seçilmesi

\mu = \frac{\delta}{1 - \phi_1}

Durağan otoregresif süreçlerde beklenen değer (ortalama), bu standart formül ile bulunur.

3

Değerlerin formülde yerine konulması

\mu = \frac{0,15}{1 - 0,7}

Belirlenen parametreler matematiksel işleme aktarılır.

4

Matematiksel hesaplamanın yapılması

\mu = \frac{0,15}{0,3} = 0,5

Bölme işlemi sonucunda serinin denge seviyesi (ortalaması) elde edilir.

Anahtar Kavram

AR(1) Modelinde Uzun Dönem Ortalama (Beklenen Değer) Hesabı

Alternatif Yöntem

Eğer formül hatırlanmıyorsa, durağanlık varsayımı altında

E[Y_t] = E[Y_{t-1}] = \mu

eşitliği kullanılarak

\mu = 0,15 + 0,7\mu

denklemi çözülebilir. Buradan

0,3\mu = 0,15

ve

\mu = 0,5

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem