Şebeke Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir kamu lojistik şebekesinde $1$ numaralı düğümden (kaynak) $4$ numaralı düğüme (varış) toplam $20$ birimlik ürün sevkiyatı gerçekleştirilecektir. Şebekedeki düğümler arası birim taşıma maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve yay kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yay ( $i, j$ )	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
( $1, 2$ )	$3$	$15$
( $1, 3$ )	$4$	$10$
( $2, 3$ )	$1$	$5$
( $2, 4$ )	$7$	$12$
( $3, 4$ )	$5$	$15$

Buna göre, toplam maliyeti minimize eden akış planı uygulandığında ulaşılan toplam maliyet kaç birimdir?

185

180

175

190

200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $185$

Cevap

Optimum akış planına göre toplam maliyet

185

birimdir.

Toplam

20

birimlik akışın en ekonomik dağılımı; birim maliyeti

9

olan iki farklı yola (kapasiteleri dahilinde

5

ve

10

birim) ve kalan

5

birimin birim maliyeti

10

olan yola aktarılmasıyla sağlanır. Bu durumda

(5 \times 9) + (10 \times 9) + (5 \times 10) = 185

birim sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kaynaktan varışa giden olası yolların birim maliyetlerini hesapla.

Yol 1:

1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4

(Maliyet:

3+1+5=9

); Yol 2:

1 \rightarrow 3 \rightarrow 4

(Maliyet:

4+5=9

); Yol 3:

1 \rightarrow 2 \rightarrow 4

(Maliyet:

3+7=10

).

En düşük maliyetli yolları önceliklendirmek için birim maliyet analizi gereklidir.

2

Kapasite kısıtlarını dikkate alarak akış ataması yap.

Yol 1 (

9

birim) için darboğaz

2 \rightarrow 3

yayıdır (

u_{23}=5

), bu yoldan

5

birim gönderilir. Yol 2 (

9

birim) için darboğaz

1 \rightarrow 3

yayıdır (

u_{13}=10

), bu yoldan

10

birim gönderilir.

En ucuz yollardan kapasiteleri yettiği ölçüde maksimum akış gönderilmelidir.

3

Kalan akışı bir sonraki en ucuz yola ata.

Toplam

20

birimin

15

'i gönderildi, kalan

5

birim Yol 3 (

10

birim maliyetli) üzerinden gönderilir.

1 \rightarrow 2

yayı toplam

10

birim akışı (

5+5

) kaldırabilir (

u_{12}=15

).

Şebeke dengesi gereği tüm arzın hedefe ulaştırılması gerekir.

4

Toplam maliyeti hesapla.

(5 \times 9) + (10 \times 9) + (5 \times 10) = 45 + 90 + 50 = 185

.

Her bir yoldaki akış miktarı ile birim maliyetin çarpımlarının toplamı toplam maliyeti verir.

Anahtar Kavram

Minimum maliyetli akış probleminde amaç, kapasite kısıtlarını ihlal etmeden birim maliyeti en düşük olan yollar üzerinden akışı dağıtarak toplam maliyeti minimize etmektir.

İpuçları

1

Öncelikle

1

numaralı düğümden

4

numaralı düğüme giden tüm alternatif yolları ve bu yolların birim maliyetlerini listeleyin.

2

En düşük maliyetli yoldan başlayarak, o yolu oluşturan tüm yayların (arkların) kapasitelerini kontrol edin ve en küçük kapasite kadar akış atayın.

3

1-2-3-4

ve

1-3-4

yollarının birim maliyetleri eşittir (

9

). Bu yolların kapasitelerini doldurduktan sonra kalan akışı bir sonraki en ucuz yola yönlendirin.

Daha Fazla Pratik

Şebekede bir yayın kapasitesi değiştiğinde toplam maliyetin nasıl duyarlılık göstereceğini analiz etmek için duyarlılık analizi konusuna göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 22Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen "Devlet Arşivleri Dijitalleştirme Süreci" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
$A$	-	$3$
$B$	$A$	$2$
$C$	$A$	$4$
$D$	$B$	$5$
$E$	$B$	$3$
$F$	$C, D$	$6$
$G$	$E, F$	$2$

Kritik Yol Yöntemi (CPM) kullanılarak yapılan analize göre, $C$ faaliyetinin toplam bolluğu (total float) kaç gündür?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

C faaliyetinin toplam bolluğu 3 gündür.

Yapılan ağ analizinde projenin toplam süresi 18 gün olarak hesaplanmıştır. İleri hesaplamada C faaliyetinin en erken başlama zamanı 3, en erken bitiş zamanı ise 7'dir. Geri hesaplamada, F faaliyetinin en geç başlama zamanı olan 10 değeri, C faaliyetinin en geç bitiş zamanı olur. Buradan C faaliyetinin en geç başlama zamanı

10 - 4 = 6

olarak bulunur. Toplam bolluk ise

6 - 3 = 3

gündür.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) yaparak faaliyetlerin en erken başlama (

ES

) ve bitiş (

EF

) zamanlarını belirleyin.

A: [0, 3]

,

B: [3, 5]

,

C: [3, 7]

,

D: [5, 10]

,

E: [5, 8]

,

F: [10, 16]

,

G: [16, 18]

. Proje süresi:

18

gün.

Kritik yolu ve toplam süreyi bulmak için başlangıçtan sona doğru ilerlenir. Birden fazla önceli olan faaliyetlerde (örneğin

F

), önceki faaliyetlerin

EF

değerlerinden en büyüğü (

max

) seçilir (

F

için

max(7, 10) = 10

).

2

Geri doğru hesaplama (Backward Pass) yaparak faaliyetlerin en geç başlama (

LS

) ve bitiş (

LF

) zamanlarını belirleyin.

G: [16, 18]

,

F: [10, 16]

,

E: [13, 16]

,

D: [5, 10]

,

C: [6, 10]

,

B: [3, 5]

,

A: [0, 3]

.

Bolluk değerlerini hesaplayabilmek için faaliyetlerin gecikmeye tahammül sürelerini belirlemek gerekir. Geriye dönerken bir faaliyetten sonra gelenlerin

LS

değerlerinden en küçüğü (

min

) seçilir.

3

C

faaliyeti için toplam bolluğu (

TF

) hesaplayın.

TF_C = LS_C - ES_C = 6 - 3 = 3

gün (veya

LF_C - EF_C = 10 - 7 = 3

gün).

Toplam bolluk, bir faaliyetin en erken başlama zamanı ile en geç başlama zamanı arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi'nde (CPM) toplam bolluk, bir faaliyetin projenin tamamlanma süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini ifade eder.

Daha Fazla Pratik

Aynı ağ üzerinde serbest bolluk (free float) kavramını pekiştirmek için C faaliyetinin serbest bolluğunu hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 23Soru →

Bir kamu yatırım projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	5
B	-	4
C	A	3
D	A, B	6
E	C, D	2

Buna göre, projenin tamamlanma süresi ve $C$ faaliyetinin toplam bolluğu (TF) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

13 gün; 3 gün

13 gün; 0 gün

12 gün; 2 gün

11 gün; 1 gün

13 gün; 1 gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13 gün; 3 gün

Cevap

Projenin tamamlanma süresi 13 gün, C faaliyetinin toplam bolluğu ise 3 gündür.

Şebeke analizi yapıldığında kritik yolun A-D-E (5+6+2=13) olduğu görülür. C faaliyeti ise A'dan sonra başlar (5. gün) ancak bitişi E'nin başlangıcına (11. gün) kadar ertelenebilir. Bu durumda C'nin bolluğu

11 - (5+3) = 3

gün olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) yaparak en erken başlama (

ES

) ve bitiş (

EF

) zamanlarını belirleyin.

EF(A)=5

,

EF(B)=4

;

ES(C)=5, EF(C)=5+3=8

;

ES(D)=\max(EF(A), EF(B))=\max(5, 4)=5, EF(D)=5+6=11

;

ES(E)=\max(EF(C), EF(D))=\max(8, 11)=11, EF(E)=11+2=13

.

Proje süresini ve en erken zamanları bulmak için.

2

Geri doğru hesaplama (Backward Pass) yaparak en geç başlama (

LS

) ve bitiş (

LF

) zamanlarını belirleyin.

LF(E)=13, LS(E)=11

;

LF(D)=11, LS(D)=5

;

LF(C)=11, LS(C)=8

;

LF(A)=\min(LS(C), LS(D))=5, LS(A)=0

;

LF(B)=LS(D)=5, LS(B)=1

.

Bolluk değerlerini hesaplamak için gereken en geç zamanları bulmak.

3

C

faaliyeti için toplam bolluğu (

TF

) hesaplayın.

TF(C) = LS(C) - ES(C) = 8 - 5 = 3

gün (veya

LF(C) - EF(C) = 11 - 8 = 3

).

Soruda istenen bolluk değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi'nde (CPM) faaliyetlerin zaman çizelgelemesi ve bolluk hesabı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 24Soru →

Bir kamu müzesinin restorasyon projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	4
B	A	6
C	A	5
D	B	3
E	B, C	7
F	D, E	2

Buna göre, projenin toplam tamamlanma süresi ve D faaliyetinin toplam bolluğu (total float) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

19

gün;

4

gün

19

gün;

0

gün

18

gün;

1

gün

15

gün;

0

gün

19

gün;

1

gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $19$ gün; $4$ gün

Cevap

Projenin toplam süresi

19

gün, D faaliyetinin toplam bolluğu ise

4

gündür.

Yapılan ileri hesaplama sonucunda projenin en uzun yolu olan A-B-E-F güzergahının

4+6+7+2 = 19

gün sürdüğü görülür. D faaliyetinin en erken başlama zamanı

10

, geriye hesaplamada bulunan en geç başlama zamanı ise

14

olduğu için toplam bolluk

14-10=4

gündür.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) yaparak en erken başlama (ES) ve bitiş (EF) zamanlarını belirleyin.

A: [0,4], B: [4,10], C: [4,9], D: [10,13], E: [max(10,9)=10, 17], F: [max(13,17)=17, 19].

Her faaliyetin ES değeri, kendisinden önceki faaliyetlerin EF değerlerinin en büyüğüdür.

2

Toplam proje süresini ve kritik yolu belirleyin.

Süre:

19

gün. Kritik Yol: A-B-E-F (

4+6+7+2=19

).

En uzun süren yol projenin tamamlanma süresini belirler.

3

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) yaparak en geç başlama (LS) ve bitiş (LF) zamanlarını belirleyin.

F: [17,19], E: [10,17], D: [14,17], C: [5,10], B: [min(14,10)=4, 10], A: [0,4].

Bolluk analizi yapabilmek için her faaliyetin en geç ne zaman bitebileceğini (LF) bilmek gerekir.

4

D faaliyetinin toplam bolluğunu (TF) hesaplayın.

TF_D = LS_D - ES_D = 14 - 10 = 4

gün.

Toplam bolluk, bir faaliyetin projeyi geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini gösterir.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi (CPM), bir projedeki faaliyetlerin sürelerini ve öncelik ilişkilerini kullanarak toplam proje süresini ve faaliyetlerin esnekliklerini (bolluklarını) belirleyen deterministik bir ağ analiz tekniğidir.

Soru 25Soru →

Bir kamu yerleşkesinde yürütülen "Güvenlik Sistemleri Modernizasyonu" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	4
B	-	6
C	A	5
D	A, B	3
E	C	4
F	D	7
G	E, F	2

Bu verilere göre, C faaliyetinin toplam bolluk (total float) süresi kaç gündür?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

C faaliyetinin toplam bolluk süresi 3 gündür.

Yapılan şebeke analizi sonucunda projenin kritik yolu B-D-F-G olarak belirlenmiş ve toplam proje süresi 18 gün olarak hesaplanmıştır. C faaliyetinin en erken bitiş zamanı 9. gün iken, kendisinden sonra gelen E faaliyetinin en geç başlama zamanı 12. gündür. Bu durumda C faaliyetinin en geç bitiş zamanı da 12. gün olmaktadır. Toplam bolluk, en geç bitiş ile en erken bitiş arasındaki fark (12 - 9) olarak hesaplandığında 3 gün sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama ile faaliyetlerin en erken başlama (ES) ve bitiş (EF) zamanları bulunur.

ES_A=0, EF_A=4; ES_B=0, EF_B=6; ES_C=4, EF_C=9; ES_D=max(4,6)=6, EF_D=9; ES_E=9, EF_E=13; ES_F=9, EF_F=16; ES_G=max(13,16)=16, EF_G=18.

Kritik yolu ve toplam proje süresini belirlemek için ileri hesaplama gereklidir.

2

Proje süresi ve kritik yol belirlenir.

Toplam süre 18 gündür. Kritik yol B-D-F-G şeklindedir (6+3+7+2=18).

Bolluk hesaplamaları en uzun yol olan kritik yol süresine göre yapılır.

3

Geriye doğru hesaplama ile C faaliyetinin en geç bitiş (LF) zamanı bulunur.

LF_G=18, LS_G=16; LF_F=16, LS_F=9; LF_E=16, LS_E=12; LF_C=LS_E=12.

Toplam bolluk LF - EF formülü ile hesaplanır.

4

C faaliyeti için toplam bolluk (TF) hesaplanır.

TF_C = LF_C - EF_C = 12 - 9 = 3 gün.

Bir faaliyetin toplam bolluğu, projenin tamamlanma süresini geciktirmeden sahip olabileceği maksimum gecikme payıdır.

Anahtar Kavram

CPM Toplam Bolluk (Total Float) Hesaplaması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 26Soru →

Bir şebeke modelinde, belirli bir düğümden başlayıp yine aynı düğümde son bulan ve bu kapalı dizi içerisindeki tüm ayrıtların (okların) yönünün aynı doğrultuyu takip ettiği yapıya ne ad verilir?

Yol

Zincir

Çevrim

Döngü

Kesit

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çevrim

Cevap

Başlangıç ve bitişi aynı olan ve tüm ayrıtların yönünün korunduğu kapalı diziye çevrim (cycle) adı verilir.

Şebeke analizinde, yönlü ayrıtlardan oluşan bir dizide başlangıç düğümüne geri dönülüyorsa ve bu süreçte tüm oklar aynı yönü (örneğin saat yönü veya tersi) işaret ediyorsa, bu yapı 'çevrim' (cycle) olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin kapalı olup olmadığını kontrol et.

Başlangıç ve bitiş düğümünün aynı olması dizinin kapalı olduğunu gösterir.

Yol ve zincir gibi açık yapılar bu tanımın dışında kalır.

2

Ayrıtların yönlülük durumunu incele.

Tüm ayrıtların aynı yönü takip etmesi, yapının yönlü bir kapalı dizi olduğunu gösterir.

Eğer yönler dikkate alınmasaydı bu bir döngü olurdu; ancak yönler aynı olduğu için bu bir çevrimdir.

Anahtar Kavram

Yönlü Şebekelerde Çevrim (Cycle) ve Döngü (Loop) Ayrımı

Daha Fazla Pratik

Şebeke modellerinde 'kuvvetli bağlantılı' (strongly connected) şebeke tanımını inceleyerek çevrimlerin bu yapıdaki rolünü araştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 27Soru →

Bir kamu yatırım projesinin planlama aşamasında, kritik yol üzerinde bulunan belirli bir faaliyet için uzmanlar tarafından üç farklı zaman tahmini yapılmıştır. Bu tahminlere ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Zaman Tahmini Türü	Süre (Hafta)
İyimser Zaman ( $a$ )	$6$
En Olası Zaman ( $m$ )	$9$
Kötümser Zaman ( $b$ )	$18$

Buna göre, PERT (Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği) yöntemine göre bu faaliyetin beklenen tamamlanma süresi ( $t_e$ ) ve sürece ilişkin varyans ( $v$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

t_e = 10

;

v = 4

t_e = 10

;

v = 2

t_e = 11

;

v = 4

t_e = 11

;

v = 2

t_e = 10

;

v = 12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_e = 10$ ; $v = 4$

Cevap

Faaliyetin beklenen süresi

10

hafta, varyansı ise

4

'tür.

Beklenen süre hesaplanırken iyimser (

6

), kötümser (

18

) ve dört kat ağırlıklandırılmış en olası zaman (

4 \times 9

) toplanıp

6

'ya bölündüğünde

10

sonucu elde edilir. Varyans ise kötümser ve iyimser zaman farkının (

18-6=12

)

6

'ya bölünmesiyle elde edilen standart sapmanın (

2

) karesi alınarak

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen sürenin (

t_e

) hesaplanması

t_e = \frac{a + 4m + b}{6} = \frac{6 + 4(9) + 18}{6} = \frac{60}{6} = 10

PERT yönteminde beklenen süre, Beta dağılımı temel alınarak ağırlıklı ortalama ile hesaplanır.

2

Standart sapmanın (

σ

) hesaplanması

σ = \frac{b - a}{6} = \frac{18 - 6}{6} = \frac{12}{6} = 2

Varyans hesabına geçmeden önce zaman tahminleri arasındaki yayılımın ölçüsü olan standart sapma bulunur.

3

Varyansın (

v

) hesaplanması

v = \sigma^2 = 2^2 = 4

Varyans, standart sapmanın karesine eşittir.

Anahtar Kavram

PERT yönteminde faaliyet süreleri Beta dağılımı gösterir; beklenen süre

t_e = (a+4m+b)/6

ve varyans

v = [(b-a)/6]^2

formülleriyle belirlenir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir demiryolu sinyalizasyon projesine ait faaliyetler, bu faaliyetler arasındaki öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış süreler ile maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncelik	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
$A$	-	$4$	$3$	$2.000$	$2.500$
$B$	-	$5$	$4$	$3.000$	$3.800$
$C$	$A$	$6$	$4$	$4.000$	$5.200$
$D$	$B$	$4$	$2$	$1.500$	$2.100$
$E$	$C, D$	$3$	$2$	$1.000$	$1.400$

Buna göre, projenin normal tamamlanma süresinden $2$ hafta daha erken bitirilmesi durumunda oluşacak minimum toplam ek maliyet kaç TL'dir?

400

700

900

1.100

1.200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $900$

Cevap

Proje süresini minimum maliyetle 2 hafta kısaltmak için gereken toplam ek maliyet 900 TL'dir.

Doğru çözüm, öncelikle projenin kritik yolunun 13 haftalık A-C-E yolu olduğunu belirlemeyi gerektirir. İlk haftalık hızlandırma için kritik yol üzerindeki en ucuz faaliyet olan E (400 TL) seçilir. Bu işlem hem A-C-E hem de B-D-E yollarını kısaltır. İkinci haftalık hızlandırma için kritik yol hala A-C-E (12 hafta) olduğu ve E limitine ulaştığı için, yol üzerindeki bir sonraki en ucuz faaliyet olan A (500 TL) seçilmelidir. Toplam maliyet 900 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ağ üzerindeki yolları ve sürelerini belirle.

A-C-E

yolu

4+6+3=13

hafta,

B-D-E

yolu

5+4+3=12

haftadır.

Hızlandırma işlemine başlamak için mevcut kritik yolun belirlenmesi gerekir.

2

Kritik yolu ve faaliyetlerin maliyet eğimlerini hesapla.

Kritik Yol:

A-C-E

(

13

hafta). Maliyet Eğimi (

M.E.

):

A=500

,

B=800

,

C=600

,

D=300

,

E=400

TL/hafta.

Maliyet eğimi, bir faaliyeti 1 birim hızlandırmanın ek maliyetini gösterir (

M.E. = (CC-NC)/(NT-CT)

).

3

Proje süresini 13 haftadan 12 haftaya indir.

Kritik yol (

A-C-E

) üzerindeki en ucuz faaliyet

E

'dir (

400

TL).

E

hızı 1 hafta artırılır. Yeni süreler:

P1=12, P2=11

. Proje süresi:

12

hafta.

Minimum ek maliyet için her adımda kritik yol üzerindeki en düşük eğimli faaliyet seçilmelidir.

4

Proje süresini 12 haftadan 11 haftaya indir.

Yeni kritik yol

P1=12

haftadır.

E

hızlandırma limitine ulaşmıştır. Kalan faaliyetlerden en ucuz olan

A

(

500

TL) seçilir. Yeni süreler:

P1=11, P2=11

.

2 haftalık toplam hedef için ikinci hafta hızlandırması yapılır.

5

Toplam ek maliyeti hesapla.

400 (E) + 500 (A) = 900

TL.

Yapılan tüm hızlandırma adımlarının maliyetleri toplanır.

Anahtar Kavram

Proje çökertme işleminde maliyetin minimize edilmesi için her adımda o anki kritik yol(lar) üzerinde bulunan ve maliyet eğimi en düşük olan faaliyetler seçilmelidir.

Daha Fazla Pratik

Projenin 3 hafta kısaltılması durumunda yeni bir kritik yol oluşup oluşmadığını kontrol ederek maliyeti tekrar hesaplayınız.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 29Soru →

Şebeke modellerinin cebirsel olarak ifade edilmesi ve bilgisayar yazılımları aracılığıyla modellenmesi süreçlerinde matris gösterimleri temel teşkil eder. $n$ adet düğüm ve $m$ adet ayrıta sahip yönlendirilmiş bir şebekede; satırların düğümleri ( $nodes$ ), sütunların ise ayrıtları ( $arcs$ ) temsil ettiği ve her bir sütunda ilgili ayrıtın çıktığı (başlangıç) düğüm için $+1$ , girdiği (bitiş) düğüm için $-1$ değerinin atandığı matris yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

Komşuluk (Adjacency) matrisi

Olaylık (Incidence) matrisi

Ödeme (Payoff) matrisi

Karar (Decision) matrisi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Olaylık (Incidence) matrisi

Cevap

Olaylık (Incidence) matrisi

Şebeke modellerinde düğümler ile ayrıtlar arasındaki ilişkiyi gösteren

n \times m

boyutundaki matris 'Olaylık Matrisi'dir. Bu matriste her sütun tek bir ayrıtı temsil eder ve o ayrıtın hangi düğümden çıktığını (

+1

) ve hangi düğüme girdiğini (

-1

) belirtir. Bu yapı, şebeke akış problemlerinin doğrusal programlama modeli olarak yazılmasında kısıtlar kısmını (flow balance equations) oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Matrisin boyutlarını ve bileşenlerini analiz edin.

Matrisin satırları düğümleri (

n

), sütunları ise ayrıtları (

m

) temsil etmektedir.

Şebeke terminolojisinde düğüm-ayrıt ilişkisini kuran matrisi tanımlamak için boyutlar belirleyicidir.

2

Matris elemanlarının (

+1, -1

) atanma kuralını inceleyin.

Çıkan ayrıt için

+1

, giren ayrıt için

-1

verilmesi akışın yönünü (kaynak/hedef) matematiksel olarak simgeler.

Bu kural, her bir sütunun (ayrıtın) toplamının sıfır olmasını sağlayarak şebeke akış dengesi kısıtlarının temelini oluşturur.

3

Tanımı standart şebeke matrisleriyle karşılaştırın.

Bu yapı 'Olaylık (Incidence) Matrisi' tanımıyla tam olarak örtüşmektedir.

Komşuluk matrisi düğümden düğüme bağlantıyı gösterirken, olaylık matrisi düğümden ayrıta bağlantıyı gösterir.

Anahtar Kavram

Olaylık Matrisi (Incidence Matrix)

İpuçları

1

Matrisin satır ve sütunlarının neyi temsil ettiğine dikkat edin: düğümler ve ayrıtlar.

2

Ayrıtın yönünü

+1

ve

-1

ile gösteren yapı, akış dengesini sağlamak için tasarlanmıştır.

Daha Fazla Pratik

Komşuluk matrisi ile olaylık matrisi arasındaki boyut farklarını ve hangi durumda hangisinin tercih edildiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 30Soru →

Bir belediyenin yürüttüğü "Yeni Nesil Elektronik Belge Yönetim Sistemi (EBYS)" projesi kapsamında yer alan "Veri Migrasyonu ve Entegrasyonu" faaliyeti için uzmanlar tarafından üç farklı zaman tahmini yapılmıştır. Bu tahminlere göre; iyimser zaman $4$ hafta, en olası zaman $7$ hafta ve kötümser zaman $16$ hafta olarak belirlenmiştir.

Buna göre, PERT yöntemine göre bu faaliyetin beklenen tamamlanma süresi ( $t_e$ ) ve varyansı ( $v$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

t_e = 8

;

v = 4

t_e = 8

;

v = 2

t_e = 9

;

v = 4

t_e = 7

;

v = 4

t_e = 8

;

v = 12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_e = 8$ ; $v = 4$

Cevap

Beklenen sürenin 8 hafta ve varyansın 4 olduğu seçenek doğrudur.

Beklenen süre formülü olan

t_e = (a + 4m + b) / 6

uygulandığında

(4 + 28 + 16) / 6 = 8

sonucuna ulaşılır. Varyans ise standart sapma olan

(b - a) / 6 = (16 - 4) / 6 = 2

değerinin karesi alınarak

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parametreleri belirleyin.

a = 4

(iyimser),

m = 7

(en olası),

b = 16

(kötümser)

PERT hesaplamaları için üç zaman tahmini gereklidir.

2

Beklenen tamamlanma süresini (

t_e

) hesaplayın.

t_e = \frac{a + 4m + b}{6} = \frac{4 + 4(7) + 16}{6} = \frac{48}{6} = 8

hafta

PERT yönteminde beklenen süre, Beta dağılımı temel alınarak hesaplanan ağırlıklı ortalamadır.

3

Faaliyet varyansını (

v

) hesaplayın.

v = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2 = \left(\frac{16 - 4}{6}\right)^2 = \left(\frac{12}{6}\right)^2 = 2^2 = 4

Varyans, standart sapmanın (

\%99.73

güven aralığı varsayımıyla

(b-a)/6

) karesine eşittir.

Anahtar Kavram

PERT Ağırlıklı Ortalama ve Varyans Hesaplaması

İpuçları

1

PERT yönteminde beklenen süre için

a

,

m

ve

b

değerlerinin ağırlıklı ortalaması kullanılır.

2

Varyans değerini bulmak için önce standart sapmayı

(b-a)/6

formülüyle bulun, ardından sonucun karesini alın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir yerel yönetim tarafından yürütülen "Mahalle Parkı ve Dinlenme Alanı" projesine ait faaliyet bilgileri, bu faaliyetlerin normal ve hızlandırılmış (çökertme) süreleri ile maliyetleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Çökertme Süresi (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Çökertme Maliyeti (TL)
A	-	$4$	$3$	$2.000$	$2.500$
B	-	$3$	$2$	$1.500$	$1.800$
C	A	$5$	$3$	$3.000$	$4.000$
D	B	$4$	$2$	$2.500$	$3.300$
E	C, D	$3$	$2$	$1.000$	$1.400$

Proje yönetimi, projenin tamamlanma süresini $10$ haftaya indirmeye karar vermiştir. Buna göre, hedeflenen süreye ulaşmak için katlanılması gereken minimum toplam proje maliyeti kaç TL'dir?

10.400

10.700

10.800

10.900

11.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10.900$

Cevap

Projenin

10

haftada tamamlanması için gereken minimum toplam maliyet

10.900

TL'dir.

Toplam

10.900

TL maliyetle projeyi

10

haftaya indirmek için öncelikle kritik yol (A-C-E) belirlenmiştir. İlk adımda bu yol üzerindeki en ucuz faaliyet olan E faaliyeti

400

TL ek maliyetle hızlandırılmış, ikinci adımda ise geriye kalan kritik faaliyetler arasından maliyeti en düşük olan A (veya C) faaliyeti

500

TL ek maliyetle hızlandırılmıştır. Böylece normal maliyet olan

10.000

TL'ye toplam

900

TL eklenerek sonuca ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Normal toplam maliyeti ve her faaliyetin maliyet eğimini (hızlandırma maliyeti) hesaplayınız.

Toplam Normal Maliyet:

10.000

TL. Maliyet Eğimi:

A=500

,

B=300

,

C=500

,

D=400

,

E=400

TL/hafta.

Çökertme analizi için baz maliyet ve her birim kısalma için gereken ek maliyet bilinmelidir.

2

Kritik yolu ve projenin normal süresini belirleyiniz.

Yol 1 (A-C-E):

4+5+3 = 12

hafta. Yol 2 (B-D-E):

3+4+3 = 10

hafta. Kritik Yol: A-C-E.

Sadece kritik yol üzerindeki faaliyetlerin hızlandırılması proje süresini kısaltır.

3

Proje süresini

12

haftadan

11

haftaya indirmek için kritik yoldaki en ucuz faaliyeti seçiniz.

Kritik yol (A-C-E) üzerinde en düşük maliyet eğimi E faaliyetindedir (

400

TL). E faaliyeti

1

hafta hızlandırılır.

Minimum ek maliyetle en yüksek zaman tasarrufu hedeflenir.

4

Proje süresini

11

haftadan

10

haftaya indirmek için güncel kritik yoldaki en ucuz faaliyeti seçiniz.

Yeni süreler: A-C-E (

11

hafta), B-D-E (

9

hafta). Kritik yol hala A-C-E'dir. E sınırı dolduğu için A veya C'den biri seçilir (

500

TL). A faaliyeti

1

hafta hızlandırılır.

Hedeflenen

10

haftalık süreye ulaşmak için kritik yolun bir kez daha kısaltılması gerekir.

5

Toplam maliyeti hesaplayınız.

10.000

(Normal) +

400

(E) +

500

(A) =

10.900

TL.

Normal maliyete hızlandırma adımlarındaki ek maliyetler eklenerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Zaman-maliyet ödünleşimi analizinde temel kural, kritik yol üzerindeki en düşük maliyet eğimine sahip faaliyetlerin hızlandırılmasıdır.

Soru 32Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen "e-Devlet Kapısı Entegrasyonu" projesi kapsamında yer alan "Veri Yapılandırma" faaliyeti için uzmanlar tarafından üç farklı zaman tahmini yapılmıştır. Bu tahminlere göre iyimser zaman ( $a$ ) $2$ hafta, en olası zaman ( $m$ ) $5$ hafta ve kötümser zaman ( $b$ ) $14$ haftadır.

PERT (Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği) yöntemine göre, bu faaliyetin beklenen tamamlanma süresi ( $t_e$ ) ve varyansı ( $v$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

t_e = 6

;

v = 4

t_e = 6

;

v = 2

t_e = 7

;

v = 4

t_e = 5

;

v = 4

t_e = 7

;

v = 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_e = 6$ ; $v = 4$

Cevap

Beklenen süre

t_e = 6

hafta ve varyans

v = 4

hafta² olarak hesaplanmıştır.

Beklenen süre

t_e

hesaplanırken iyimser, en olası (dört kat ağırlıkla) ve kötümser zamanların toplamı altıya bölünür (

36/6 = 6

). Varyans ise kötümser ve iyimser zaman farkının altıya bölünmesinin karesi olarak bulunur (

(12/6)^2 = 4

).

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen tamamlanma süresini (

t_e

) hesapla

t_e = \frac{a + 4m + b}{6} = \frac{2 + 4(5) + 14}{6} = \frac{36}{6} = 6

hafta

PERT yönteminde faaliyetin beklenen süresi, ağırlıklı ortalama formülü ile belirlenir.

2

Faaliyetin standart sapmasını (

\sigma

) hesapla

\sigma = \frac{b - a}{6} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2

hafta

Varyansa ulaşmak için öncelikle faaliyetin standart sapması olan ranjın altıda biri hesaplanmalıdır.

3

Faaliyetin varyansını (

v

) hesapla

v = \sigma^2 = 2^2 = 4

hafta²

İstatistiksel olarak varyans, standart sapmanın karesidir.

Anahtar Kavram

PERT yönteminde zaman tahminlerinin olasılıksal doğası gereği beklenen süre ve varyansın Beta dağılımı varsayımıyla hesaplanması.

İpuçları

1

Beklenen süreyi hesaplarken en olası zamanın (

m

) diğer zaman tahminlerinden daha büyük bir ağırlığa sahip olduğunu unutmayın.

2

Varyans, standart sapmanın karesidir. Standart sapma ise

(b-a)/6

formülü ile bulunur.

Daha Fazla Pratik

Varyans değerlerini kullanarak projenin belirli bir tarihte tamamlanma olasılığını hesaplamak için Z-tablosu kullanımını içeren sorulara bakabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen "Tarımsal Veri Analiz Platformu" projesi kapsamında yer alan "Tahminleme Algoritmalarının Modellenmesi" faaliyeti için uzmanlar tarafından üç farklı zaman tahmini yapılmıştır. Bu tahminlere göre;

* İyimser zaman ( $a$ ): $4$ gün
* En olası zaman ( $m$ ): $10$ gün
* Kötümser zaman ( $b$ ): $22$ gün

olarak belirlenmiştir. Buna göre, PERT yöntemine göre bu faaliyetin beklenen tamamlanma süresi ( $t_e$ ) ve faaliyet varyansı ( $\sigma^2$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

t_e = 11

;

\sigma^2 = 9

t_e = 11

;

\sigma^2 = 3

t_e = 12

;

\sigma^2 = 9

t_e = 10

;

\sigma^2 = 9

t_e = 11

;

\sigma^2 = 18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_e = 11$ ; $\sigma^2 = 9$

Cevap

Beklenen tamamlanma süresi

11

gün, faaliyet varyansı ise

9

gün² olarak hesaplanır.

Beklenen süre, iyimser (

4

), en olası (

10 \times 4

) ve kötümser (

22

) sürelerin toplamının

6

'ya bölünmesiyle

11

olarak; varyans ise kötümser ve iyimser süre farkının (

18

)

6

'ya bölünmesiyle elde edilen standart sapmanın (

3

) karesi alınarak

9

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen sürenin (

t_e

) hesaplanması için formülün uygulanması.

t_e = \frac{a + 4m + b}{6}

PERT yönteminde beklenen süre, beta dağılımı varsayımı altında iyimser, en olası ve kötümser zamanların ağırlıklı ortalamasıdır.

2

Verilen değerlerin formülde yerine konulması.

t_e = \frac{4 + 4(10) + 22}{6} = \frac{4 + 40 + 22}{6} = \frac{66}{6} = 11

gün.

Sayısal işlem sonucunda beklenen süre 11 olarak bulunur.

3

Faaliyet varyansının (

\sigma^2

) hesaplanması için formülün uygulanması.

\sigma^2 = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2

Varyans, standart sapmanın karesidir ve standart sapma PERT yönteminde

(b-a)/6

olarak kabul edilir.

4

Varyans değerinin hesaplanması.

\sigma^2 = \left(\frac{22 - 4}{6}\right)^2 = \left(\frac{18}{6}\right)^2 = 3^2 = 9

gün².

Farkın altıya bölünüp karesinin alınmasıyla varyans 9 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

PERT yönteminde beklenen süre ve varyans hesaplamaları

Daha Fazla Pratik

Farklı faaliyetlerin varyanslarını toplayarak kritik yolun toplam varyansını ve projenin belirli bir tarihte bitme olasılığını hesaplayan Z-tablosu sorularını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir kamu sağlığı merkezi inşaat projesinin planlama aşamasında belirlenen faaliyet bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Projenin tüm faaliyetleri sıralı bir şekilde ( $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ ) birbirini takip etmektedir ve tamamı kritik yol üzerindedir.

Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Çökertme Süresi (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Çökertme Maliyeti (TL)
A	5	4	1.000	1.500
B	4	2	2.000	2.400
C	6	5	3.000	3.300
D	3	2	1.500	1.900

Buna göre, proje toplam süresini en düşük ek maliyetle 1 hafta kısaltmak için hangi faaliyetin süresi azaltılmalıdır?

A faaliyeti

B faaliyeti

C faaliyeti

D faaliyeti

Herhangi bir faaliyetin kısaltılması aynı maliyeti doğurur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: B faaliyeti

Cevap

Proje süresini en düşük ek maliyetle kısaltmak için maliyet eğimi en düşük olan faaliyet olan B faaliyeti seçilmelidir.

Proje çökertme analizinde, toplam süreyi kısaltmak için kritik yol üzerindeki faaliyetlerden maliyet eğimi en düşük olan seçilir. Bu projede tüm faaliyetler kritik yol üzerindedir. B faaliyetinin maliyet eğimi

\frac{2.400 - 2.000}{4 - 2} = 200

TL/hafta olarak hesaplanır. Bu değer; A (500 TL), C (300 TL) ve D (400 TL) faaliyetlerinin eğimlerinden daha düşük olduğu için en ekonomik seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik yolu belirleyin.

Kritik Yol: A - B - C - D

Süreyi kısaltmak için yapılacak çökertme işlemi mutlaka kritik yol üzerindeki faaliyetlere uygulanmalıdır.

2

Faaliyetlerin maliyet eğimlerini (birim zaman kısaltma maliyeti) hesaplayın.

A: 500 TL, B: 200 TL, C: 300 TL, D: 400 TL

Maliyet Eğimi = (Çökertme Maliyeti - Normal Maliyet) / (Normal Süre - Çökertme Süresi) formülü ile bulunur.

3

Hesaplanan maliyet eğimleri arasından en düşük olanı seçin.

En düşük değer 200 TL ile B faaliyetine aittir.

Ekonomik optimizasyon için birim zaman başına en az maliyet artışı sağlayan faaliyet tercih edilir.

Anahtar Kavram

Maliyet Eğimi (Cost Slope)

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 35Soru →

Bir kamu kurumunun lojistik şebekesinde $1$ numaralı düğümden (kaynak) $4$ numaralı düğüme (varış) toplam $10$ birimlik bir ürün sevkiyatı gerçekleştirilecektir. Şebekede yer alan diğer düğümler ( $2$ ve $3$ ) ara aktarma merkezleridir. Düğümler arasındaki bağlantılar, birim taşıma maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve kapasite sınırları ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Yay ( $i, j$ )	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
( $1, 2$ )	$3$	$6$
( $1, 3$ )	$5$	$10$
( $2, 3$ )	$1$	$10$
( $2, 4$ )	$8$	$10$
( $3, 4$ )	$2$	$10$

Buna göre, tüm kapasite kısıtlarına uyularak $10$ birimlik akışın en düşük maliyetle gerçekleştirilmesi durumunda toplam maliyet kaç birim olur?

60

64

66

70

74

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Optimum sevkiyat stratejisiyle toplam maliyet 64 birimdir.

Şebekede 1-2-3-4 rotası birim maliyet açısından en avantajlı yoldur (6 birim). Ancak bu rotadaki (1, 2) yayı maksimum 6 birim taşıyabilmektedir. Dolayısıyla 6 birim bu yoldan, kalan 4 birim ise maliyeti 7 olan 1-3-4 rotasından gönderilerek (6*6 + 4*7 = 64) en düşük maliyete ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Şebekedeki olası rotaların birim maliyetlerini hesaplayın.

1-2-3-4 yolu: 3+1+2 = 6 birim; 1-3-4 yolu: 5+2 = 7 birim; 1-2-4 yolu: 3+8 = 11 birim.

En düşük maliyetli yolları belirlemek için tüm rotalar analiz edilmelidir.

2

En ucuz rotaya kapasite sınırları dahilinde maksimum akışı atayın.

1-2-3-4 yolu birim maliyeti 6'dır. Bu yoldaki (1, 2) yayının kapasitesi 6 birim olduğundan, bu rotaya en fazla 6 birim gönderilebilir. Maliyet: 6 birim * 6 = 36 birim.

Minimum maliyetli akış probleminde öncelik en düşük maliyetli yola verilir.

3

Kalan akışı bir sonraki en ucuz rotaya atayın.

Toplam 10 birimden kalan 4 birim (10 - 6), birim maliyeti 7 olan 1-3-4 yoluna atanır. Maliyet: 4 birim * 7 = 28 birim.

Talebin tamamı karşılanana kadar maliyet sırasına göre akış atanmaya devam edilir.

4

Toplam maliyeti hesaplayın.

36 + 28 = 64 birim.

Atanan tüm akışların maliyetleri toplamı şebekenin minimum toplam maliyetini verir.

Anahtar Kavram

Minimum Maliyetli Akış Problemi (MCFP) ve Kapasite Kısıtları

Soru 36Soru →

Şebeke analizi modellerinde, bir ayrıt (yay) üzerinden geçen akış miktarının o ayrıtın fiziksel taşıma kapasitesini aşamayacağını belirten temel kural "kapasite kısıtı" olarak adlandırılır. Bir şebekede $i$ düğümünden $j$ düğümüne yönlenmiş bir ayrıt üzerindeki akış miktarı $x_{ij}$ , bu ayrıtın kapasitesi ise $u_{ij}$ ile gösterilirse; kapasite kısıtı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

x_{ij} \leq u_{ij}

x_{ij} \geq u_{ij}

x_{ij} = u_{ij}

x_{ij} + u_{ij} \leq 1

x_{ij} > u_{ij}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_{ij} \leq u_{ij}$

Cevap

Akış miktarının kapasite sınırını aşamayacağını belirten

x_{ij} \leq u_{ij}

ifadesi doğrudur.

Şebeke modellerinde akış miktarı (

x_{ij}

), o ayrıt için tanımlanan üst sınırı yani kapasiteyi (

u_{ij}

) geçemez. Bu durum matematiksel olarak 'küçük veya eşit' (

\leq

) sembolü ile ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması

x_{ij}

: Akış miktarı,

u_{ij}

: Maksimum kapasite.

Matematiksel modeli kurmak için sembollerin neyi temsil ettiğini belirlemek gerekir.

2

Mantıksal kısıtın kurulması

Akış

\leq

Kapasite

Şebeke modellerinde temel kural, bir yoldan taşınan miktarın o yolun kapasitesinden fazla olamayacağıdır.

3

Sembolik gösterime dönüştürme

x_{ij} \leq u_{ij}

Tanımlanan değişkenler eşitsizlikte yerine konur.

Anahtar Kavram

Kapasite Kısıtı

İpuçları

1

Bir boru hattından geçen su miktarının borunun genişliğinden fazla olup olamayacağını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Maksimum akış problemlerinde bu kısıtın nasıl doygunluğa (saturation) ulaştığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:30s

Soru 37Soru →

Bir kamu binası restorasyon projesine ait faaliyetlerin öncelik ilişkileri, normal süreleri, hızlandırılmış süreleri ve maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
K	-	4	2	2.000	3.000
L	K	6	4	3.500	4.500
M	L	5	3	2.500	3.100
N	-	12	10	4.000	4.200

Buna göre, proje süresini toplam maliyetteki artışı en düşük seviyede tutarak (en ekonomik şekilde) 1 hafta kısaltmak için hangi faaliyet hızlandırılmalıdır?

M faaliyeti

N faaliyeti

K faaliyeti

L faaliyeti

K ve L faaliyetleri birlikte

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: M faaliyeti

Cevap

Proje süresini en ekonomik şekilde 1 hafta kısaltmak için M faaliyeti hızlandırılmalıdır.

Proje süresini kısaltmak için yapılacak müdahaleler mutlaka kritik yol (K-L-M) üzerindeki faaliyetlere yönelik olmalıdır. Bu yol üzerindeki faaliyetlerin maliyet eğimleri incelendiğinde; K faaliyeti haftalık

500

TL, L faaliyeti haftalık

500

TL ve M faaliyeti haftalık

300

TL ek maliyet getirmektedir. En düşük ek maliyete sahip olan M faaliyetinin hızlandırılması en ekonomik tercihtir.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik yolun belirlenmesi

Yol 1: K-L-M (

4+6+5 = 15

hafta), Yol 2: N (

12

hafta). Kritik yol: K-L-M.

Proje süresini kısaltmak için öncelikle en uzun süreli yol olan kritik yol üzerindeki faaliyetler hızlandırılmalıdır.

2

Faaliyetlerin maliyet eğimlerinin (hızlandırma maliyetlerinin) hesaplanması

K:

(3000-2000)/(4-2) = 500

TL/hafta, L:

(4500-3500)/(6-4) = 500

TL/hafta, M:

(3100-2500)/(5-3) = 300

TL/hafta, N:

(4200-4000)/(12-10) = 100

TL/hafta.

Hızlandırma kararı, birim zaman başına maliyet artışını gösteren maliyet eğimine göre verilir.

3

En ekonomik faaliyetin seçilmesi

Kritik yol üzerindeki faaliyetler (K, L, M) arasından en düşük eğime sahip olan M (

300

TL) seçilir.

N faaliyetinin eğimi daha düşük olsa da kritik yolda olmadığı için süreyi etkilemez. Kritik yolda en ucuz seçenek M faaliyetidir.

Anahtar Kavram

Maliyet Eğimi ve Proje Çökertme

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Bir enerji dağıtım şebekesinde 1 numaralı üretim merkezinden 4 numaralı tüketim merkezine toplam $10$ birim enerji aktarılacaktır. Şebekedeki hatların birim iletim maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve kapasite sınırları ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hat $(i, j)$	Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
$(1, 2)$	$2$	$7$
$(1, 3)$	$5$	$10$
$(2, 3)$	$1$	$4$
$(2, 4)$	$4$	$5$
$(3, 4)$	$3$	$10$

Düğümlerdeki arz/talep değerleri $b_1 = 10$ ve $b_4 = -10$ olup diğer düğümler ara duraktır ( $b_2 = b_3 = 0$ ). Bu şebekede toplam iletim maliyetini minimize eden akış planı uygulandığında ulaşılabilecek minimum toplam maliyet kaç birimdir?

60

66

70

74

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Şebekedeki kapasite kısıtları ve birim maliyetler dikkate alındığında minimum toplam maliyet 66 birimdir.

Şebekedeki en düşük maliyetli rotalar

1-2-4

ve

1-2-3-4

olup her ikisinin de birim maliyeti

6

birimdir. Ancak bu iki yol da

(1,2)

hattını ortak kullanmaktadır ve bu hattın kapasitesi

7

birimdir. Dolayısıyla en ucuz maliyetle sadece

7

birim enerji taşınabilir (

7 \times 6 = 42

). Geriye kalan

3

birimlik enerji mecburen bir sonraki en ucuz yol olan

1-3-4

(maliyeti

8

) üzerinden gönderilmelidir (

3 \times 8 = 24

). Toplam maliyet

42 + 24 = 66

birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Olası yolları ve birim maliyetlerini belirleyin.

Yol 1:

1-2-4

(Maliyet:

2+4=6

), Yol 2:

1-2-3-4

(Maliyet:

2+1+3=6

), Yol 3:

1-3-4

(Maliyet:

5+3=8

)

En ucuz rotaları belirlemek için alternatif yolların maliyetleri toplanır.

2

En düşük maliyetli yollara (

6

birim maliyetli) kapasite kısıtlarına göre akış atayın.

Yol 1 ve Yol 2 toplamda

(1,2)

hattını kullanır (Kapasite:

7

). Yol 1 ayrıca

(2,4)

hattını (Kapasite:

5

), Yol 2 ise

(2,3)

hattını (Kapasite:

4

) kullanır.

Kapasite kısıtları, ucuz yollardan ne kadar akış gönderilebileceğini sınırlar.

3

Akışın dağılımını yapın.

Maliyeti

6

olan yollardan toplam

7

birim (hattın sınırı kadar) gönderilir (

5

birim

1-2-4

üzerinden,

2

birim

1-2-3-4

üzerinden). Kalan

3

birim maliyeti

8

olan

1-3-4

yolundan gönderilir.

Toplam

10

birimlik arzın tamamı varış noktasına ulaştırılmalıdır.

4

Toplam maliyeti hesaplayın.

Toplam Maliyet =

(7 \times 6) + (3 \times 8) = 42 + 24 = 66

birim.

Atanan akış miktarları ile birim maliyetlerin çarpımlarının toplamı toplam maliyeti verir.

Anahtar Kavram

Minimum Maliyetli Akış Problemi'nde amaç, kapasite kısıtlarını ihlal etmeden kaynak düğümden varış düğümüne gerekli akışı en düşük toplam maliyetle ulaştırmaktır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 39Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen dijital dönüşüm projesinde yer alan 'Veri Güvenliği Protokollerinin Hazırlanması' faaliyeti için uzmanlar üç farklı zaman tahmini yapmıştır. Bu faaliyete ilişkin iyimser zaman ( $a$ ) 3 gün, en olası zaman ( $m$ ) 6 gün ve kötümser zaman ( $b$ ) 15 gündür.

Buna göre, PERT yöntemine göre bu faaliyetin beklenen tamamlanma süresi ( $t_e$ ) ve varyansı ( $\sigma^2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

t_e = 7

;

\sigma^2 = 4

t_e = 8

;

\sigma^2 = 4

t_e = 7

;

\sigma^2 = 2

t_e = 7

;

\sigma^2 = 16

t_e = 6

;

\sigma^2 = 4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_e = 7$ ; $\sigma^2 = 4$

Cevap

Beklenen süre

t_e = 7

gün ve varyans

\sigma^2 = 4

gün olarak hesaplanmıştır.

Beklenen süre formülü

t_e = (a+4m+b)/6

uygulandığında

(3+24+15)/6 = 7

bulunur. Varyans formülü

\sigma^2 = ((b-a)/6)^2

uygulandığında ise

((15-3)/6)^2 = 2^2 = 4

elde edilir. Bu iki değerin birlikte verildiği seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen tamamlanma süresini (

t_e

) hesapla

t_e = \frac{a + 4m + b}{6} = \frac{3 + 4(6) + 15}{6} = \frac{42}{6} = 7

gün

PERT yönteminde beklenen süre, iyimser, en olası ve kötümser zamanların ağırlıklı ortalamasıdır.

2

Faaliyetin varyansını (

\sigma^2

) hesapla

\sigma^2 = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2 = \left(\frac{15 - 3}{6}\right)^2 = 2^2 = 4

PERT yönteminde varyans, kötümser ve iyimser zaman farkının altıda birinin karesi olarak tanımlanır.

Anahtar Kavram

PERT yönteminde beklenen süre ve varyans hesaplamaları

Alternatif Yöntem

Önce standart sapmayı

\sigma = (b-a)/6

olarak bulup sonra karesini alarak varyansa ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 40Soru →

Bir tarım işletmesi tarafından yürütülen "Akıllı Tarım Sulama Sistemi Altyapı" projesinin faaliyetlerine ait öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış (çökertilmiş) süreler ile bu sürelere karşılık gelen maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncül Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
A	-	3	2	10.000	14.000
B	A	4	2	20.000	26.000
C	A	7	5	15.000	19.000
D	B	5	3	30.000	40.000
E	C, D	2	1	12.000	18.000

Projenin olağan koşullarda tamamlanma süresi dikkate alındığında, proje teslim süresini 11 haftaya düşürmek için katlanılması gereken minimum ek hızlandırma (çökertme) maliyeti kaç TL'dir?

7.000

10.000

11.000

13.000

14.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10.000

Cevap

Projenin tamamlanma süresini 11 haftaya düşürmek için gereken minimum ek maliyet 10.000 TL'dir.

Projenin başlangıçtaki kritik yolu 14 hafta süren A-B-D-E yoludur ve hedeflenen süre 11 haftadır. Çökertme işlemine, bu yoldaki en ucuz faaliyet olan B ile başlanır. B faaliyeti 2 hafta kısaltıldığında (maliyeti 6.000 TL) bu yol 12 haftaya düşer. Ancak bu noktada diğer yol olan A-C-E de 12 hafta uzunluğunda olduğu için projenin artık iki kritik yolu vardır. Süreyi 11 haftaya düşürmek için her iki yolun da 1 hafta kısaltılması şarttır. Her iki yolu da eş zamanlı kısaltmanın en düşük maliyetli yolu ortak faaliyetleri kullanmaktır. Ortak faaliyet olan A'nın 1 hafta kısaltılması 4.000 TL'ye mal olur (Diğer ortak faaliyet E 6.000 TL'dir). Toplam katlanılması gereken minimum maliyet 6.000 TL + 4.000 TL = 10.000 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Projenin tüm yollarını ve olağan tamamlanma süresini (kritik yolu) belirleyin.

Yol 1: A-B-D-E = 3+4+5+2 = 14 hafta (Kritik Yol). Yol 2: A-C-E = 3+7+2 = 12 hafta.

Hızlandırma işleminin hangi faaliyetler üzerinden yapılacağını tespit edebilmek için en uzun yolun bulunması şarttır.

2

Her bir faaliyetin haftalık hızlandırma maliyetini (Maliyet Eğimi) hesaplayın.

Eğim = (Hız. Maliyet - Nor. Maliyet) / (Nor. Süre - Hız. Süre). A: 4.000 TL, B: 3.000 TL, C: 2.000 TL, D: 5.000 TL, E: 6.000 TL.

Minimum maliyetle süreyi düşürmek için en ucuz müdahale seçeneklerinin sıralanması gerekir.

3

Kritik yol (A-B-D-E) üzerindeki en düşük maliyet eğimine sahip faaliyeti belirleyip kısaltın.

En ucuz faaliyet B'dir (3.000 TL). B faaliyeti 2 hafta kısaltılır. Yeni süreler -> Yol 1: 12 hafta, Yol 2: 12 hafta. Maliyet: 2 x 3.000 = 6.000 TL.

Sadece B kısaltılarak kritik yol 14 haftadan 12 haftaya düşürülür. Bu aşamada her iki yol da (Yol 1 ve Yol 2) 12 hafta uzunluğunda olup kritik yol haline gelir.

4

Her iki kritik yolu da aynı anda 1 hafta daha kısaltarak hedeflenen 11 haftaya ulaşın.

Her iki yolu da etkileyen ortak faaliyetleri (A veya E) ya da her iki yoldan ayrı faaliyetleri (C ve D) kısaltmak gerekir. A'nın maliyeti 4.000 TL, E'nin 6.000 TL, C+D'nin toplamı ise 7.000 TL'dir. En ucuzu A'dır. A faaliyeti 1 hafta kısaltılır (+4.000 TL).

Süreyi düşürürken paralel kritik yolların tümü eş zamanlı kısaltılmalıdır; ortak bir düğümü hedeflemek genellikle daha düşük maliyet sağlar.

5

Toplam minimum hızlandırma maliyetini hesaplayın.

B faaliyetinden 6.000 TL + A faaliyetinden 4.000 TL = 10.000 TL.

Projeyi 14 haftadan 11 haftaya düşürmenin en optimal yolu bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Proje Çökertme (Crashing) ve Zaman-Maliyet Analizinde Paralel Kritik Yolların Yönetimi

Şebeke Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm