Sembolik Mantık ve Dil Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Sembolik mantıkta çözümleyici çizelge (ağaç) yöntemiyle denetleme yapılırken, her mantık ekleminin kendine özgü çözümleme kuralları uygulanır.

Buna göre, $\sim(p \rightarrow q)$ önermesinin çözümleyici çizelgedeki çözümleme adımı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Çatal açılır ve kollara

\sim p

ile

q

yazılır.

Alt alta yazılır ve

p

ile

q

elde edilir.

Alt alta yazılır ve

p

ile

\sim q

elde edilir.

Çatal açılır ve kollara

\sim p

ile

\sim q

yazılır.

Alt alta yazılır ve

\sim p

ile

\sim q

elde edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Alt alta yazılır ve $p$ ile $\sim q$ elde edilir.

Cevap

Alt alta yazılır ve

p

ile

\sim q

elde edilir.

Çözümleyici çizelgede değillenmiş koşul önermesinin [

\sim(p \rightarrow q)

] çözüm kuralı alt alta yazmadır. Bu kurala göre, koşul önermesinin ilk bileşeni (

p

) aynen yazılırken, ikinci bileşeninin değili (

\sim q

) altına eklenir. Dolayısıyla doğru yanıt 'Alt alta yazılır ve

p

ile

\sim q

elde edilir' ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Önermenin ana eklemini ve değilleme durumunu belirleme

Önerme bir değillenmiş koşul önermesidir:

\sim(p \rightarrow q)

Çözümleyici çizelgede uygulanacak kuralı belirlemek için ana ekleme bakılması gerekir.

2

Değillenmiş koşul önermesinin eş değerini bulma

\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q

Değillenmiş koşul önermesi, ilk bileşenin aynısı ile ikinci bileşenin değilinin tümel evetlemesine eş değerdir.

3

Eş değer önermeye uygun çözümleyici çizelge kuralını uygulama

Tümel evetleme (

p \land \sim q

) önermesi alt alta yazma kuralı gerektirdiğinden, çizelgeye alt alta sırasıyla

p

ve

\sim q

yazılır.

Çözümleyici çizelgede tümel evetleme eklemi alt alta yazma kuralı ile çözümlenir.

Anahtar Kavram

Değillenmiş Koşul Önermesinin Çözümleme Kuralı

Tahmini Süre:45s

Soru 22Soru →

Sembolik mantıkta doğruluk tablosu ile denetleme yapılırken; tek bir önermenin tüm yorumlama satırlarında doğru ( $D$ ) değeri alması geçerlilik, en az bir satırda doğru ( $D$ ) değeri alması ise tutarlılık olarak tanımlanır. Birden fazla önermenin aynı satırda birlikte doğru ( $D$ ) değeri alabilmesi ise bu önermelerin birlikte tutarlı olduğunu gösterir.

Buna göre;

I. $\sim(p \rightarrow q)$
II. $\sim p \lor q$
III. $p \land \sim q$

önermeleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

I. ve III. önermeler eşdeğerdir ve her ikisi de geçerlidir.

II. ve III. önermeler birlikte tutarlıdır, çünkü her iki önermenin de doğruluk tablosunda en az birer doğru (D) yorumu bulunur.

I. ve III. önermeler eşdeğerdir, I. ve II. önermeler ise birlikte tutarsızdır.

I. önerme geçerli, II. önerme ise tutarsızdır.

I. ve II. önermeler eşdeğerdir, III. önerme ise geçersiz ve tutarsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I. ve III. önermeler eşdeğerdir, I. ve II. önermeler ise birlikte tutarsızdır.

Cevap

I. ve III. önermelerin eşdeğer, I. ve II. önermelerin ise birlikte tutarsız olması

I. önerme olan

\sim(p \rightarrow q)

ile III. önerme olan

p \land \sim q

doğruluk tablosunun tüm satırlarında aynı doğruluk değerlerini (

Y, D, Y, Y

) alırlar. Bu durum, iki önermenin eşdeğer olduğunu gösterir. I. önerme ile II. önerme olan

\sim p \lor q

karşılaştırıldığında ise hiçbir satırda ikisinin birden doğru (

D

) değeri almadığı görülür. Bu durum da bu iki önermenin birlikte tutarsız olduğunu kanıtlar. Dolayısıyla I. ve III. önermelerin eşdeğer, I. ve II. önermelerin ise birlikte tutarsız olduğunu belirten ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

p

ve

q

basit önermelerinin tüm doğruluk durumlarını (

D

ve

Y

) içeren 4 satırlı bir doğruluk tablosu oluşturulur.

Tabloda

(D, D)

,

(D, Y)

,

(Y, D)

,

(Y, Y)

durumları belirlenir.

Önermelerin doğruluk değerlerini hesaplayabilmek için tüm olası doğruluk yorumlarının kurulması gerekir.

2

I, II ve III numaralı önermelerin doğruluk değerleri her satır için ayrı ayrı hesaplanır.

Doğruluk değerleri şu şekilde bulunur:
- I. önerme

\sim(p \rightarrow q)

için sırasıyla:

Y, D, Y, Y

- II. önerme

\sim p \lor q

için sırasıyla:

D, Y, D, D

- III. önerme

p \land \sim q

için sırasıyla:

Y, D, Y, Y

Önermelerin tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik özelliklerini denetlemek için bu tablonun tamamlanması şarttır.

3

Elde edilen doğruluk değerleri karşılaştırılarak önermeler arasındaki ilişkiler analiz edilir.

I. ve III. önermelerin doğruluk değerleri tüm satırlarda birebir aynı (

Y, D, Y, Y

) olduğundan bu önermeler eşdeğerdir. I. ve II. önermeler karşılaştırıldığında ise hiçbir satırda aynı anda

D

değeri alamadıkları (biri

D

iken diğerinin

Y

olduğu) görülür. Bu durum onların birlikte tutarsız olduğunu gösterir.

Soru kökündeki tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik iddialarının doğruluğunu test etmek için bu karşılaştırma yapılır.

Anahtar Kavram

Doğruluk Tablosu ile Tutarlılık, Geçerlilik ve Eşdeğerlik Denetleme

Soru 23Soru →

Çevre felsefesinde doğa ve insan ilişkisini ele alan bir tartışmada şu iddia ortaya atılmıştır:

"İnsan doğanın efendisi değildir ( $\sim p$ ) ve ancak doğal kaynakları sürdürülebilir kullandığında ( $q$ ) gelecek nesillerin yaşam hakkını koruyabilir ( $r$ )."

Buna göre, bu ifadenin sembolik mantıktaki doğru karşılığı ve ana eklemi aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

\sim p \rightarrow (q \wedge r)

önermesi ve ana eklemi koşul (

\rightarrow

)

(\sim p \wedge q) \rightarrow r

önermesi ve ana eklemi koşul (

\rightarrow

)

\sim p \wedge (q \rightarrow r)

önermesi ve ana eklemi tümel evetleme (

\wedge

)

\sim (p \wedge (q \rightarrow r))

önermesi ve ana eklemi değilleme (

\sim

)

\sim p \wedge (q \leftrightarrow r)

önermesi ve ana eklemi karşılıklı koşul (

\leftrightarrow

)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sim p \wedge (q \rightarrow r)$ önermesi ve ana eklemi tümel evetleme ( $\wedge$ )

Cevap

Sembolik gösterimi

\sim p \wedge (q \rightarrow r)

ve ana eklemi tümel evetleme (

\wedge

) olan seçenek doğrudur.

Mantıksal çözümlemede 'İnsan doğanın efendisi değildir' önermesi

\sim p

olarak sembolleştirilir. İkinci kısım olan 'doğal kaynakları sürdürülebilir kullandığında gelecek nesillerin yaşam hakkını koruyabilir' ifadesi bir koşul barındırdığından

q \rightarrow r

şeklinde gösterilir. Bu iki yapı 've' (

\wedge

) bağlacıyla bir araya getirildiği için sembolik karşılık

\sim p \wedge (q \rightarrow r)

olur ve ana eklem tümel evetlemedir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk bileşeni belirleme ve sembolleştirme

"İnsan doğanın efendisi değildir" ifadesi

\sim p

olarak gösterilir.

Bu ifade basit bir önermenin olumsuzlanmasıdır.

2

İkinci bileşeni belirleme ve sembolleştirme

"Doğal kaynakları sürdürülebilir kullandığında gelecek nesillerin yaşam hakkını koruyabilir" ifadesi

q \rightarrow r

olarak gösterilir.

Burada bir eylemin gerçekleşmesinin diğerine bağlı olduğu bir koşul ilişkisi vardır.

3

Ana eklemi tespit ederek bileşenleri birleştirme

İki ana bileşen "ve" eklemiyle birleştirilerek

\sim p \wedge (q \rightarrow r)

elde edilir.

Cümledeki ana bağlaç iki yargıyı tümel evetleme ile bağlamaktadır.

4

Ana eklemi belirleme

Tüm ifadeyi birleştiren en dıştaki eklem

\wedge

(tümel evetleme) eklemidir.

Parantez dışındaki ana bağlaç önermenin ana eklemidir.

Anahtar Kavram

Önermeler Mantığında Sembolleştirme ve Ana Eklem

Soru 24Soru →

Önermeler mantığında, denetleme işlemlerini gerçekleştirmek amacıyla kullanılan çözümleyici çizelge kurallarında, her bir bileşik önerme türü için izlenmesi gereken belirli bir çözümleme yolu tanımlanmıştır. Bu yollar temel olarak iki işlem grubuna (dal açma ve ardışık yazma) ayrılır.

Aşağıdaki sol sütunda yer alan önerme biçimlerini, sağ sütundaki ilk çözümleme aşamasında uygulanacak doğru kural ve yazım biçimiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki önermeler ile sağ sütundaki kurallar sırasıyla şu şekilde eşleşir:

p \land q

önermesi bileşenlerin alt alta

p

ve

q

şeklinde sıralanmasıyla;

p \lor q

önermesi çatal açma yöntemiyle dallardan birine

p

, diğerine

q

yazılmasıyla;

p \rightarrow q

önermesi çatal açma yöntemiyle dallardan birine

\sim p

, diğerine

q

yazılmasıyla; ve

\sim(p \rightarrow q)

önermesi alt alta yazma yöntemiyle bileşenlerin

p

ve

\sim q

şeklinde sıralanmasıyla eşleşir.

Çözümleyici çizelgede tümel evetleme (

p \land q

) ve değillenmiş koşul (

\sim(p \rightarrow q)

) önermeleri alt alta yazma kuralıyla çözümlenirken; tikel evetleme (

p \lor q

) ve koşul (

p \rightarrow q

) önermeleri çatal açma kuralıyla çözümlenir. Eşleştirme bu kuralların doğru uygulanmasını sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tümel evetleme (

p \land q

) önermesinin kuralını belirleme

Tümel evetleme kuralı gereği, önerme alt alta yazma yöntemiyle çözümlenir ve bileşenler (

p

ve

q

) alt alta sıralanır.

Çözümleyici çizelgede tümel evetleme eklemi alt alta yazma kuralına tabidir.

2

Tikel evetleme (

p \lor q

) önermesinin kuralını belirleme

Tikel evetleme kuralı gereği, önerme çatal açma yöntemiyle çözümlenir ve kollardan birine

p

, diğerine

q

yazılır.

Çözümleyici çizelgede tikel evetleme eklemi çatal açma kuralına tabidir.

3

Koşul (

p \rightarrow q

) önermesinin kuralını belirleme

Koşul kuralı gereği, önerme çatal açma yöntemiyle çözümlenir ve sol dala

\sim p

, sağ dala ise

q

yazılır.

Koşul önermesinin doğru olması, ön bileşenin yanlış veya art bileşenin doğru olması durumunu gerektirdiğinden çatal açılarak değillenmiş ön bileşen ve art bileşen kollara yazılır.

4

Değillenmiş koşul (

\sim(p \rightarrow q)

) önermesinin kuralını belirleme

Değillenmiş koşul kuralı gereği, önerme alt alta yazma yöntemiyle çözümlenir ve alt alta

p

ile

\sim q

sıralanır.

Koşul önermesinin yanlış olması yalnızca ön bileşenin doğru ve art bileşenin yanlış olması durumunda mümkün olduğundan alt alta yazma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Çözümleyici çizelgede tümel evetleme, tikel evetleme, koşul ve değillenmiş koşul önermelerinin çözümleme kuralları.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 25Soru →

Sanat felsefesinde estetik değer üzerine yapılan bir tartışmada şu iddia ileri sürülmüştür:

'Bir nesnenin güzel bulunması ( $p$ ), ancak ve ancak onun bir fayda sağlamaması ( $\sim q$ ) ve izleyicide estetik haz uyandırması ( $r$ ) durumunda mümkündür.'

Buna göre, verilen bu ifadenin önermeler mantığındaki doğru sembolik karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?

(p \leftrightarrow \sim q) \wedge r

p \rightarrow (\sim q \wedge r)

p \leftrightarrow (\sim q \vee r)

p \leftrightarrow (\sim q \wedge r)

p \leftrightarrow (q \wedge r)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p \leftrightarrow (\sim q \wedge r)$

Cevap

Bir nesnenin güzel bulunması önermesinin, fayda sağlamaması ve haz uyandırması önermelerinin tümel evetlemesine karşılıklı koşul eklemiyle bağlanmasıyla elde edilen

p \leftrightarrow (\sim q \wedge r)

ifadesidir.

Verilen cümlede 'bir nesnenin güzel bulunması' ifadesi

p

önermesiyle, 'fayda sağlamaması' ifadesi olumsuz bir durum bildirdiği için

\sim q

önermesiyle, 'izleyicide estetik haz uyandırması' ise

r

önermesiyle temsil edilir. İki ana kısım arasındaki 'ancak ve ancak ... durumunda mümkündür' ifadesi karşılıklı koşul eklemini (

\leftrightarrow

) gerektirir ve bu eklem cümlenin ana eklemidir. 'fayda sağlamaması ve izleyicide estetik haz uyandırması' kısmı ise tümel evetleme eklemiyle (

\wedge

) birleştirilerek parantez içine alınmalıdır. Dolayısıyla doğru sembolleştirme

p \leftrightarrow (\sim q \wedge r)

biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Önermelerin ve olumsuzlukların belirlenmesi

'Bir nesnenin güzel bulunması' önermesi

p

, 'fayda sağlamaması' olumsuz önermesi

\sim q

ve 'izleyicide estetik haz uyandırması' önermesi

r

olarak belirlenir.

Günlük dildeki ifadenin bileşenlerini doğru sembollerle eşleştirmek için.

2

Ana eklemin ve yan eklemlerin saptanması

'ancak ve ancak ... durumunda mümkündür' ifadesi ana eklemin karşılıklı koşul (

\leftrightarrow

) olduğunu gösterir. Diğer bileşenler 've' bağlacı (

\wedge

) ile birleştirilir.

Önermenin mantıksal yapısını ve işlem sırasını (parantezlemeyi) doğru kurmak için.

3

Sembolik ifadenin birleştirilmesi

Ana eklem olan karşılıklı koşul ortada kalacak şekilde, ikinci kısım parantez içine alınarak

p \leftrightarrow (\sim q \wedge r)

ifadesi elde edilir.

Parçaları doğru mantıksal kurallarla tek bir sembolik formülde toplamak için.

Anahtar Kavram

Önermeler mantığında bileşik önermeleri sembolleştirme ve ana eklemi belirleme

Soru 26Soru →

Aşağıdaki sol sütunda sembolik mantıkta iki bileşenli ( $p, q$ ) önermeler ve önerme çiftleri, sağ sütunda ise bu önermelerin doğruluk tablosu ile denetlenmesi sonucu elde edilen mantıksal özellikleri verilmiştir. Sol sütundaki her bir önermeyi veya önerme çiftini, sağ sütundaki doğru mantıksal özellik ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki önermelerin mantıksal özellikleri sırasıyla tutarsız, geçerli, tutarlı ama geçersiz ve eşdeğerdir. Doğru eşleştirme: left_1 - right_1, left_2 - right_2, left_3 - right_3, left_4 - right_4 şeklindedir.

Verilen önermeler sırasıyla doğruluk tablosu kurallarına göre analiz edildiğinde; birinci önermenin hiçbir doğrulayıcı yorumu olmadığı için tutarsız, ikinci önermenin tüm yorumları doğru olduğu için geçerli, üçüncü önermenin hem doğru hem yanlış yorumları barındırdığı için tutarlı ama geçersiz olduğu ve dördüncü gruptaki iki önermenin tüm yorumlama satırlarındaki değerlerinin özdeş olmasından dolayı eşdeğer olduğu saptanır.

Adım Adım Çözüm

1

\sim(p \rightarrow q) \wedge \sim p

önermesinin doğruluk değerlerini hesaplama

p

ve

q

için tüm doğruluk satırlarında (D-D, D-Y, Y-D, Y-Y) bu önerme sırasıyla Y, Y, Y, Y değerlerini alır. Hiçbir satırda doğru (D) değeri almadığından tutarsızdır.

Önermenin tutarlılık durumunu saptamak için doğruluk tablosundaki değerlerine bakılması gerekir.

2

(p \wedge q) \rightarrow p

önermesinin doğruluk değerlerini hesaplama

Önerme tüm satırlarda D, D, D, D değerlerini alır. Doğruluk tablosunun tüm yorumlarında doğru değerini aldığından bu önerme geçerlidir.

Bir önermenin geçerli olması için doğruluk tablosunda tüm satırların doğru (D) olması gerekir.

3

p \leftrightarrow \sim q

önermesinin doğruluk değerlerini hesaplama

Önerme satırlara göre sırasıyla Y, D, D, Y değerlerini alır. En az bir D aldığı için tutarlı, en az bir Y aldığı için geçersizdir.

Tutarlılık için en az bir doğrulayıcı yorum (D), geçerlilik için ise tüm yorumların D olması şarttır. Hem D hem Y bulundurması tutarlı ama geçersiz olduğunu gösterir.

4

p \rightarrow q

ile

\sim p \lor q

önermelerinin doğruluk değerlerini karşılaştırma

İki önerme de tüm satırlarda sırasıyla D, Y, D, D değerlerini alır. Tüm satırlardaki doğruluk değerleri aynı olduğundan bu önermeler eşdeğerdir.

Eşdeğerlik, iki veya daha fazla önermenin aynı doğruluk tablosunda aynı satırlarda aynı doğruluk değerlerini almasıyla tanımlanır.

Anahtar Kavram

Doğruluk tablosunda tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik kurallarının uygulanması

Soru 27Soru →

Çözümleyici çizelge (semantik tablo) yöntemiyle bir önermenin geçerliliğini denetlemek isteyen bir öğrenci, önermenin de��ili olan $\sim$ işaretini koyarak çizelgeyi oluşturmuş ve çözümleme sonucunda tüm yolların kapandığını (x) görmüştür.

Buna göre, yapılan bu denetleme işlemi ve elde edilen sonuçla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Önermenin değili tutarlıdır, dolayısıyla önermenin kendisi geçersizdir.

Önermenin değili tutarsızdır, dolayısıyla önermenin kendisi geçerlidir.

Geçerlilik denetlemesinde önermenin değili değil, kendisi çözümlenmesi gerektiğinden yapılan işlem yanlıştır.

Önermenin değili tutarsızdır, dolayısıyla önermenin kendisi geçersizdir.

Önermenin kendisi tutarlıdır, dolayısıyla önermenin değili geçerlidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Önermenin değili tutarsızdır, dolayısıyla önermenin kendisi geçerlidir.

Cevap

Önermenin değili tutarsızdır, dolayısıyla önermenin kendisi geçerlidir.

Çözümleyici çizelgede bir önermenin geçerliliğini denetlemek amacıyla önermenin değili (

\sim

) çizelgeye yazılır. Çözümleme bittiğinde tüm yollar kapandıysa bu, değil önermesinin tutarsız olduğunu gösterir. Değili tutarsız olan önermenin kendisi ise her yorumlamada doğru değerini alacağından geçerlidir. Bu doğrultuda, öğrencinin yaptığı denetim doğru bir sonuca ulaşmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Çözümleyici çizelgede yolların kapanmasının mantıksal anlamını bulmak

Tüm yolların kapanması, çözümlenen ifadenin tutarsız (hiçbir satırda doğru değer alamayan) olduğunu gösterir.

Kapalı yollar, ifadenin doğruluk değerinin hiçbir yorumlamada doğru olamayacağını ifade eder.

2

Değilinin tutarsızlığı üzerinden asıl önermenin geçerlilik durumunu saptamak

Bir önermenin değili tutarsız ise, kendisi tüm yorumlamalarda zorunlu olarak doğru (geçerli) olur.

Değilinin hiçbir zaman doğru olamaması, asıl önermenin her zaman doğru olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Çözümleyici çizelge ile geçerlilik denetleme kuralları

Tahmini Süre:45s

Soru 28Soru →

Bir felsefe öğretmeni mantık dersinde tahtaya aşağıdaki doğruluk tablosunu çizmiştir:

$p$	$q$	Önerme 1: $p \rightarrow q$	Önerme 2: $\sim p \vee q$	Önerme 3: $p \wedge \sim q$
D	D	D	D	Y
D	Y	Y	Y	D
Y	D	D	D	Y
Y	Y	D	D	Y

Bu doğruluk tablosundan hareketle yapılan denetleme sonucunda aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Önerme 3, tek başına tutarsız bir önermedir.

Önerme 1 ve Önerme 2 geçerlidir, Önerme 3 ise geçersizdir.

Önerme 1 ve Önerme 2 eşdeğerdir, Önerme 1 ile Önerme 3 ise birlikte tutarsızdır.

Önerme 1 ve Önerme 3 eşdeğerdir, çünkü her ikisinin de yanlışlandığı satırlar vardır.

Önerme 2 geçerli, Önerme 3 ise tutarlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Önerme 1 ve Önerme 2 eşdeğerdir, Önerme 1 ile Önerme 3 ise birlikte tutarsızdır.

Cevap

Önerme 1 ve Önerme 2 eşdeğerdir, Önerme 1 ile Önerme 3 ise birlikte tutarsızdır.

Doğruluk tablosu incelendiğinde Önerme 1 ve Önerme 2'nin tüm satırlardaki doğruluk değerleri (D, Y, D, D) tamamen aynıdır. Bu durum iki önermenin eşdeğer olduğunu gösterir. Diğer yandan Önerme 1 ile Önerme 3'ün doğruluk değerleri incelendiğinde, her iki önermenin de aynı anda doğru (D) değeri aldığı hiçbir yorumlama satırı bulunmamaktadır. Dolayısıyla bu iki önerme birlikte tutarsızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Önerme 1 (

p \rightarrow q

) ve Önerme 2'nin (

\sim p \vee q

) doğruluk değerlerini tüm satırlar için karşılaştırın.

Her iki önerme de sırasıyla D, Y, D, D değerlerini almaktadır. Değerler birebir aynıdır.

Doğruluk tablolarında tüm satırlardaki doğruluk değerleri aynı olan önermeler eşdeğer kabul edilir.

2

Önerme 1 (

p \rightarrow q

) ve Önerme 3'ün (

p \wedge \sim q

) birlikte tutarlı olup olmadığını denetleyin.

İki önermenin aynı satırda doğru (D) değeri aldığı ortak bir satır yoktur (1. satır: D-Y, 2. satır: Y-D, 3. satır: D-Y, 4. satır: D-Y).

İki veya daha fazla önermenin birlikte tutarlı olması için doğruluk tablosunda en az bir satırda aynı anda doğru (D) değeri almaları gerekir. Hiçbir satırda birlikte doğru değeri alamıyorlarsa bu önermeler birlikte tutarsızdır.

Anahtar Kavram

Doğruluk tablosu kullanarak önermelerin tutarlılığını, geçerliliğini ve eşdeğerliğini denetleme

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Sembolik mantıkta bir önermenin geçerliliğini çözümleyici çizelge yöntemiyle denetlemek isteyen bir öğrenci, $p \rightarrow p$ önermesini ele almaktadır.

Buna göre, bu önermenin geçerlilik denetiminin başlangıç adımı, uygulanan kural ve elde edilen sonuç aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Önermenin kendisi (

p \rightarrow p

) ilk adım olarak yazılır; çatal açma kuralı uygulanarak yolların açık olduğu saptanır ve önermenin tutarlı olmasından hareketle geçerli olduğu sonucuna varılır.

Önermenin değili olan

\sim(p \rightarrow p)

yazılır; çatal açma kuralı uygulanarak

\sim p

ve

p

önermeleri farklı yollara dağıtılır, yollar açık kaldığı için önermenin geçersiz olduğuna karar verilir.

Önermenin değili olan

\sim(p \rightarrow p)

yazılır; alt alta yazma kuralı uygulanarak

p

ve

\sim p

önermeleri aynı yola yazılır, çelişki nedeniyle yol kapatılır ve tüm yollar kapandığı için önermenin geçerli olduğu sonucuna varılır.

Önermenin değili olan

\sim(p \rightarrow p)

yazılır; alt alta yazma kuralı uygulanarak

p

ve

\sim p

önermeleri aynı yola yazılır, çelişki göz ardı edilerek yol açık bırakılır ve önermenin geçersiz olduğuna karar verilir.

Önermenin kendisi (

p \rightarrow p

) ilk adım olarak yazılır; alt alta yazma kuralı uygulanarak

p

ve

\sim p

yazılır, yol kapatılarak önermenin geçersiz olduğu sonucuna varılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Önermenin değili olan $\sim(p \rightarrow p)$ yazılır; alt alta yazma kuralı uygulanarak $p$ ve $\sim p$ önermeleri aynı yola yazılır, çelişki nedeniyle yol kapatılır ve tüm yollar kapandığı için önermenin geçerli olduğu sonucuna varılır.

Cevap

Önermenin değili olan

\sim(p \rightarrow p)

ifadesinin yazılıp alt alta yazma kuralı uygulanması ve yolun kapatılarak geçerli sonucuna ulaşılması

Bir önermenin geçerliliğini çözümleyici çizelge ile denetlemek için öncelikle önermenin değili alınır.

p \rightarrow p

önermesinin değili

\sim(p \rightarrow p)

şeklindedir. Değillenmiş koşul önermesinin çözümleme kuralı gereği, ilk bileşen aynen yazılır (

p

), ikinci bileşenin değili alınarak altına yazılır (

\sim p

). Aynı yol üzerinde bir önerme ile çelişiği (yani

p

ile

\sim p

) yer aldığından bu yol kapanır (

\times

). Tüm yollar kapalı olduğundan değil önerme tutarsızdır, bu da orijinal önermenin geçerli olduğunu kanıtlar. Bu nedenle, önermenin değilini alıp alt alta yazma kuralını uygulayan ve yolu kapatarak geçerli sonucuna ulaşan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Geçerlilik denetlemesi için önermenin değilinin alınması

Denetlenecek önermenin değili olan

\sim(p \rightarrow p)

ifadesi çözümleyici çizelgenin başına yazılır.

Bir önermenin geçerliliğini çözümleyici çizelge ile denetlemek için öncelikle önermenin değili alınır ve bu değil önermenin tutarsız olup olmadığı incelenir.

2

Değillenmiş koşul önermesinin çözümleme kuralının uygulanması

Alt alta

p

ve

\sim p

önermeleri yazılır.

\sim(A \rightarrow B)

önermesinin çözümleme kuralı, ilk bileşenin aynen yazılması (

A

) ve ikincinin değilinin altına yazılması (

\sim B

) şeklindedir, yani alt alta yazma kuralı uygulanır.

3

Yolun denetlenmesi ve geçerlilik kararının verilmesi

Aynı yol üzerinde

p

ve

\sim p

bulunduğu için yol kapatılır (

\times

) ve tüm yollar kapandığı için önermenin geçerli olduğuna karar verilir.

Çizelgede açık yol kalmadığında değil önerme tutarsız olur, bu da orijinal önermenin geçerli olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Çözümleyici çizelge ile geçerlilik denetleme kuralları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Sembolik mantıkta iki bileşenli önermelerin tutarlılık, geçerlilik ve birlikte tutarlılık gibi özellikleri doğruluk tablosu yardımıyla denetlenebilmektedir.

Aşağıdaki doğruluk tablosunda $\sim(p \leftrightarrow q)$ , $\sim(\sim p \wedge \sim q)$ ve $\sim(p \wedge q)$ önermelerinin doğruluk değerleri verilmiştir:

$p$	$q$	$\sim(p \leftrightarrow q)$	$\sim(\sim p \wedge \sim q)$	$\sim(p \wedge q)$
$D$	$D$	$Y$	$D$	$Y$
$D$	$Y$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$D$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$Y$	$Y$	$Y$	$D$

Buna göre, doğruluk tablosundan hareketle yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

\sim(p \leftrightarrow q)

ve

\sim(\sim p \wedge \sim q)

önermeleri, doğruluk tablosunda eşit sayıda doğru (

D

) değerine sahip oldukları için eşdeğerdir.

\sim(\sim p \wedge \sim q)

önermesi, doğruluk tablosunda en fazla doğru (

D

) değerine sahip önerme olduğu için geçerlidir.

\sim(p \wedge q)

önermesi, tüm yorumlama satırlarında doğru (

D

) değeri almadığından hem geçersiz hem de tutarsızdır.

Her üç önerme de tek başlarına tutarlıdır ve ortak bir yorumda aynı anda doğru (

D

) değeri alabildikleri için birlikte tutarlıdır.

\sim(p \leftrightarrow q)

ve

\sim(p \wedge q)

önermeleri, birinci satırda birlikte yanlış (

Y

) değerini aldıkları için birlikte tutarsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her üç önerme de tek başlarına tutarlıdır ve ortak bir yorumda aynı anda doğru ( $D$ ) değeri alabildikleri için birlikte tutarlıdır.

Cevap

Her üç önerme de tek başlarına tutarlıdır ve ortak bir yorumda aynı anda doğru (

D

) değeri alabildikleri için birlikte tutarlıdır.

Doğruluk tablosu incelendiğinde her üç önermenin de sütunlarında en az bir adet doğru (

D

) değeri bulunduğu için tek başlarına tutarlı oldukları görülür. Ayrıca tablonun ikinci ve üçüncü satırlarında her üç önerme de aynı anda doğru (

D

) değerini almıştır. Bu durum, önermelerin birlikte tutarlı olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Önermelerin tek başlarına tutarlılık durumlarını denetlemek amacıyla tablodaki sütunları inceleriz.

\sim(p \leftrightarrow q)

iki satırda,

\sim(\sim p \wedge \sim q)

üç satırda ve

\sim(p \wedge q)

üç satırda doğru (

D

) değeri almıştır.

Bir önermenin tek başına tutarlı olması için doğruluk tablosunda en az bir satırda doğru (

D

) değeri alması yeterlidir.

2

Önermelerin birlikte tutarlılığını denetlemek için doğruluk tablosundaki satırları ortak olarak tararız.

Tablonun ikinci ve üçüncü satırlarında her üç önermenin de aynı anda doğru (

D

) değerini aldığı görülür.

Birden fazla önermenin birlikte tutarlı olması için en az bir yorumlama satırında hepsinin aynı anda doğru (

D

) değerini alması gerekir.

3

Geçerlilik ve eşdeğerlik gibi diğer seçeneklerdeki iddiaların doğruluğunu test ederiz.

Tüm satırları doğru olan bir önerme bulunmadığından hiçbir önerme geçerli değildir. Ayrıca karşılıklı satırlardaki değerleri birebir aynı olan bir önerme çifti olmadığından eşdeğer önerme yoktur.

Geçerlilik için tüm satırların doğru (

D

) olması, eşdeğerlik için ise karşılıklı tüm yorumların aynı doğruluk değerine sahip olması gerekir.

Anahtar Kavram

Doğruluk tablosunda tutarlılık, geçerlilik, birlikte tutarlılık ve eşdeğerlik denetleme kuralları.

Soru 31Soru →

Aşağıda sol sütunda sembolik mantık dilinde verilen önermeleri ve önerme çiftlerini, sağ sütunda doğruluk tablosu ile denetleme sonucunda elde edilen özellikleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki önermeler sağ sütundaki doğruluk tablosu özellikleriyle sırasıyla şu şekilde eşleşir:

p \rightarrow (q \rightarrow p)

önermesi geçerli önerme ile;

\sim(p \rightarrow p)

önermesi tutarsız önerme ile;

p \leftrightarrow \sim q

önermesi geçersiz ama tutarlı önerme ile;

\sim(p \rightarrow q)

ve

p \wedge \sim q

önermeleri ise eşdeğer önermeler ile eşleşir.

Verilen eşleştirmede; her satırda doğru (

D

) değeri alan önerme geçerli olan önerme ile, hiçbir satırda doğru değeri alamayan yani hep yanlış (

Y

) alan önerme tutarsız olan önerme ile, hem doğru hem yanlış satırlara sahip önerme geçersiz ama tutarlı önerme ile ve tablonun tüm satırlarında aynı doğruluk değerlerini paylaşan iki önerme ise eşdeğer önermeler ile doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Önermelerin doğruluk değerlerini hesaplamak için

p

ve

q

bileşenlerine ait dört doğruluk yorumunu içeren standart doğruluk tablosu taslağı oluşturulur.

p

ve

q

için (D,D), (D,Y), (Y,D), (Y,Y) durumlarını içeren tablo hazırlanır.

Önermelerin tüm doğruluk durumlarını denetlemek ve doğruluğu kanıtlamak amacıyla bu adım gereklidir.

2

p \rightarrow (q \rightarrow p)

önermesinin doğruluk değerleri her satır için tek tek hesaplanır.

Tüm yorumlarda (D,D), (D,Y), (Y,D) ve (Y,Y) için sonucun doğru (

D

) olduğu belirlenir.

Bütün yorumları doğru çıkan önermelerin geçerli ve tutarlı olduğunu tespit etmek için bu adım gereklidir.

3

\sim(p \rightarrow p)

önermesinin doğruluk değerleri hesaplanır.

p \rightarrow p

her durumda doğru (

D

) olduğundan, değillemesi olan

\sim(p \rightarrow p)

tüm satırlarda yanlış (

Y

) sonucunu verir.

Tüm satırları yanlış (

Y

) olan bir önermenin tutarsız olduğunu belirlemek için bu adım gereklidir.

4

p \leftrightarrow \sim q

önermesinin doğruluk tablosundaki sonuçları hesaplanır.

Doğruluk değerlerinin sırasıyla Y, D, D, Y olduğu bulunur.

En az bir doğru (

D

) alan ancak tüm satırları doğru olmayan önermenin tutarlı fakat geçersiz olduğunu görmek için bu adım gereklidir.

5

\sim(p \rightarrow q)

ve

p \wedge \sim q

önermelerinin doğruluk tablosu sütunları karşılaştırılır.

Her iki önermenin de tüm satırlarda Y, D, Y, Y şeklinde aynı değerleri aldığı tespit edilir.

Aynı satırlarda aynı doğruluk değerlerine sahip olan önermelerin eşdeğer olduğunu göstermek için bu adım gereklidir.

Anahtar Kavram

Sembolik mantıkta doğruluk tablosu kullanarak tekil önermelerin tutarlılığını, geçerliliğini ve önerme çiftlerinin eşdeğerliğini denetleme kuralları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 32Soru →

Canlılar evreninde ( $E$ ); $I(x)$ : " $x$ insandır." ve $C(x)$ : " $x$ canlıdır." yüklemleri tanımlanmıştır. Buna göre "Her insan canlıdır." önermesinin yüklemler mantığındaki sembolik kar��ılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\forall x (I(x) \rightarrow C(x))

\forall x (I(x) \wedge C(x))

\exists x (I(x) \wedge C(x))

\forall x (C(x) \rightarrow I(x))

\exists x (I(x) \rightarrow C(x))

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\forall x (I(x) \rightarrow C(x))$

Cevap

Her insan canlıdır önermesinin yüklemler mantığındaki sembolik karş��lığı olan tümel niceleyici ve koşul eklemini içeren ifadedir.

Tümel önermelerin yüklemler mantığındaki sembolleştirilmesi tümel niceleyici (

\forall

) ve koşul eklemi (

\rightarrow

) ile yapılır. Canlılar evreninde "Her insan canlıdır" ifadesi, "Evrendeki her

x

nesnesi için, eğer

x

insan ise

x

canlıdır" anlamına gelir. Bu da mantıksal olarak

\forall x (I(x) \rightarrow C(x))

biçiminde gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1

Önermenin yapısını analiz etme

"Her insan canlıdır" önermesi, "Her" niceleyicisi nedeniyle tümel bir önermedir.

Sembolleştirmede kullanılacak doğru niceleyiciyi (tümel niceleyici -

\forall

) belirlemek için önermenin niceliğine bakılır.

2

Yüklemleri eşleştirme ve bağlacı belirleme

"İnsan" (

I(x)

) öznesi ile "canlı" (

C(x)

) yüklemi arasındaki ilişki koşul bildirdiğinden koşul eklemi (

\rightarrow

) kullanılır.

Yüklemler mantığında tümel önermeler sembolleştirilirken özneden yükleme yönelen bir koşul ilişkisi kurulur.

3

Formülü birleştirme

Tümel niceleyici, öznellik yüklemi, koşul eklemi ve yüklem bir araya getirilerek

\forall x (I(x) \rightarrow C(x))

formülüne ulaşılır.

Bütün bileşenlerin mantıksal kurallara göre birleştirilmesi doğru sembolik ifadeyi verir.

Anahtar Kavram

Yüklemler mantığında tümel önermelerin sembolleştirilmesinde tümel niceleyici (

\forall

) ve koşul ekleminin (

\rightarrow

) birlikte kullanılması kuralı.

Soru 33Soru →

$\sim(p \rightarrow q) \land (p \lor r)$ bileşik önermesinin çözümleyici çizelge (ağaç) yöntemi kullanılarak tutarlılığının denetlenmesi hedeflenmektedir. Bu denetleme sürecinde uygulanacak çözümleme adımlarının mantıksal ve kuralsal sırasını ilk adımdan son adıma doğru düzenleyiniz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Çözümleme adımlarının doğru sırası: kök önermenin yazılması, tümel evetleme kuralı ile bileşenlerin alt alta yazılması, öncelik kuralı gereği değillenmiş koşul önermesinin çözümlenmesi, tikel evetleme önermesine çatal açma kuralının uygulanması ve son olarak yolların denetlenip tutarlılık kararının verilmesidir.

Doğru sıralamada öncelikle kök önerme belirlenir. Ardından ana eklem olan tümel evetleme çözümlenerek bileşenler alt alta yazılır. Bir sonraki aşamada çizelge kurallarındaki en temel öncelik olan 'alt alta yazma kuralının çatal açmaya önceliği' uygulanır ve değillenmiş koşul önermesi çözümlenir. Daha sonra tikel evetleme önermesi çözümlenerek çatal açılır. Son olarak yollar denetlenerek tutarlılık kararı verilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç önermesini belirleme

\sim(p \rightarrow q) \land (p \lor r)

önermesi çizelgenin tepesine kök (1. adım) olarak yazılır.

Çözümleyici çizelgede her zaman denetlenecek önerme veya önermeler başlangıç adımı olarak kabul edilir.

2

Kök önermenin ana eklemini çözümleme

Tümel evetleme (

\land

) kuralına göre bileşenler olan

\sim(p \rightarrow q)

ve

p \lor r

alt alta yazılır.

Ana eklem en dıştaki eklemdir ve önermeyi bölmek için ilk olarak ana ekleme kural uygulanmalıdır.

3

Alt alta yazma öncelik kuralını uygulama

Değillenmiş koşul eklemi [

\sim(p \rightarrow q)

] çözümlenerek alt alta

p

ve

\sim q

yazılır.

Çözümleyici çizelgede alt alta yazma kuralları (değillenmiş koşul gibi), çatal açma kurallarına (tikel evetleme gibi) göre işlem önceliğine sahiptir.

4

Çatal açma kuralını uygulama

p \lor r

önermesi çözümlenerek iki ayrı kola ayrılır (

p

ve

r

).

Alt alta yazma işlemleri tamamlandığı için sıra çatal açma kuralı gerektiren tikel evetleme eklemine gelmiştir.

5

Yolları denetleme ve tutarlılık kararını verme

Açık yollardan en az birinde çelişen (aynı anda

p

ve

\sim p

gibi) önermeler olmadığı görülür ve önermenin tutarlı olduğuna karar verilmesi.

Çümlenmemiş bileşik önerme kalmadığında, yolların açık veya kapalı olması denetlenerek geçerlilik/tutarlılık sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Çözümleyici çizelge çözümleme kuralları ve alt alta yazmanın çatal açmaya önceliği kuralı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 34Soru →

Yüklemler mantığında çözümleyici çizelge (semantik tablo) ile denetleme yapılırken, aynı yol üzerinde hem tümel niceleyici ( $\forall$ ) hem de tikel niceleyici ( $\exists$ ) içeren önermeler bulunduğunda, tümel özelleme işleminin tikel özelleme işleminden önce yapılması zorunludur.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

��fade yanlıştır. Yüklemler mantığında çözümleyici çizelge ile denetleme yapılırken öncelik sırası tikel özellemeye aittir.

Verilen ifade yanlıştır çünkü çözümleyici çizelge kurallarına göre, aynı yol üzerinde tikel özelleme işlemi her zaman tümel özelleme işleminden önce yapılmalıdır. Böylece tikel özelleme için gerekli olan 'yolda daha önce geçmemiş yeni bir ad sembolü kullanma' kuralı ihlal edilmemiş olur.

Adım Adım Çözüm

1

Özelleme kurallarının öncelik sırasını hatırlayın.

Tikel özellemenin (

\exists

) tümel özellemeden (

\forall

) önce yapılması gerektiği belirlenir.

Tikel özellemede yolda daha önce geçmeyen yeni bir ad sembolünün kullanılması zorunludur. Eğer tümel özelleme önce yapılırsa, tikel özelleme için kullanılacak ad sembolü serbestçe seçilemeyebilir veya kural ihlal edilebilir.

2

Soru kökündeki önermeyi bu kural ile karşılaştırın.

Önermedeki 'tümel özellemenin tikel özellemeden önce yapılması zorunludur' iddiasının kuralın tam tersi olduğu görülür.

Doğru işlem sırasının önce tikel özelleme, sonra tümel özelleme olduğu doğrulanır.

Anahtar Kavram

Yüklemler mantığında özelleme öncelik sırası kuralı

Soru 35Soru →

Bir mantık dersinde öğrencilerden $\sim (p \rightarrow q)$ ve $p \wedge \sim q$ önermelerinin doğruluk tablosunu hazırlayarak tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik durumlarını denetlemeleri istenmiştir. Doğruluk tablosunu hatasız bir şekilde tamamlayan bir öğrencinin, bu iki önermeyle ilgili ulaştığı aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?

Her iki önerme de tüm satırlarda "Doğru" değeri alamadığı için tutarsızdır ve bu nedenle aralarında bir eşdeğerlik ilişkisi kurulamaz.

Önermeler en az bir satırda "Doğru" değeri alabildikleri için geçerlidir ve aynı sat��rlarda aynı değerleri paylaştıklarından eşdeğerdir.

Her iki önerme de tek başına tutarlıdır ancak geçersizdir; ayrıca tüm satırlarda aynı doğruluk değerlerini aldıkları için eşdeğerdir.

Önermeler geçersiz olduğu için tutarsızdır; çünkü bir önermenin tutarlı olabilmesi için aynı zamanda geçerli olması gerekir.

Önermelerin doğruluk değerleri sadece bir satırda uyuştuğundan, bu önermeler birlikte tutarlıdır ancak eşdeğer değildir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her iki önerme de tek başına tutarlıdır ancak geçersizdir; ayrıca tüm satırlarda aynı doğruluk değerlerini aldıkları için eşdeğerdir.

Cevap

Her iki önerme de tek başına tutarl��dır ancak geçersizdir; ayrıca tüm satırlarda aynı doğruluk değerlerini aldıkları için eşdeğerdir.

Her iki önerme de doğruluk tablosunda en az bir satırda (ikinci satırda) 'Doğru' değeri aldığı için tutarlıdır. Ancak tablonun tamamında 'Doğru' değeri alamadıkları için (birinci, üçüncü ve dördüncü satırlarda 'Yanlış' aldıklarından) geçersizdirler. Buna ek olarak, her iki önerme de tüm yorumlama satırlarında birebir aynı doğruluk değerlerini (Y, D, Y, Y) aldığı için eşdeğerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Önermelerin bileşenlerini belirleme ve doğruluk tablosu satırlarını oluşturma.

p

ve

q

olmak üzere iki farklı basit önerme bulunduğundan

2^2 = 4

farklı doğruluk satırı (DD, DY, YD, YY) oluşturulur.

Doğruluk tablosu denetlemesi yapabilmek için tüm olası yorumlama durumlarının listelenmesi gerekir.

2

\sim(p \rightarrow q)

ve

p \wedge \sim q

önermelerinin doğruluk değerlerini hesaplama.

İlk önerme olan

\sim(p \rightarrow q)

sırasıyla Y, D, Y, Y değerlerini alır. İkinci önerme olan

p \wedge \sim q

da sırasıyla Y, D, Y, Y değerlerini alır.

Önermelerin geçerlilik, tutarlılık ve eşdeğerlik durumlarını belirlemek için her bir yorumlama satırındaki doğruluk değerlerinin bilinmesi şarttır.

3

Hesaplanan doğruluk değerlerini tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik tanımlarına göre yorumlama.

Her iki önerme de en az bir satırda (ikinci satır) 'Doğru' (D) değeri aldığı için tutarlıdır. Tüm satırlarda 'Doğru' alamadıkları için geçersizdir. Tüm satırlarda aynı doğruluk değerlerini (Y, D, Y, Y) aldıkları için eşdeğerdir.

Sembolik mantıkta tutarlılık en az bir doğru yorum, geçerlilik tüm yorumların doğru olması, eşdeğerlik ise tüm satırlarda aynı değerlerin alınması esasına dayanır.

Anahtar Kavram

Doğruluk tablosu kullanarak önermelerin tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlik durumlarının denetlenmesi.

Soru 36Soru →

Klasik mantıkta bir önerme sadece "doğru" veya "yanlış" değerini alabilirken, günlük yaşamdaki "ılık", "yaşlı" ya da "hızlı" gibi kesin sınırları olmayan kavramları ifade etmek amacıyla geliştirilen ve doğruluk değerlerini $[0, 1]$ aralığındaki sayılarla (üyelik dereceleriyle) temsil eden mantık sistemi aşağıdakilerden hangisidir?

İki değerli mantık

Önermeler mantığı

Bulanık mantık

Yüklemler mantığı

Kıyas mantığı

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bulanık mantık

Cevap

Bulanık mantık

Bulanık mantık, günlük yaşamdaki kesin sınırı olmayan dereceli durumları (ılık, yaşlı vb.)

[0, 1]

aralığında yer alan üyelik dereceleriyle temsil eden mantık sistemidir. Bu nedenle soruda tanımlanan özellikler doğrudan bulanık mantığa aittir.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen mantıksal problem durumunu ve özellikleri inceleme.

Klasik iki değerli mantık dışındaki, günlük dildeki belirsiz sınırları olan 'ılık', 'yaşlı' kavramlarını ve

[0, 1]

aralığındaki üyelik değerlerini kullanan mantık sistemi aranmaktadır.

Sorunun hangi mantık sistemi türünü hedeflediğini saptamak.

2

Seçeneklerdeki mantık sistemlerinin doğruluk değerlerini ve üyelik anlayışlarını karşılaştırma.

İki değerli mantık, önermeler mantığı, yüklemler mantığı ve kıyas mantığı klasik iki değerli doğruluk (doğru/yanlış) ilkelerine dayanırken; üyelik derecesiyle çalışan tek sistemin bulanık mantık olduğu görülür.

Çeldiricileri eleyerek doğru sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bulanık mantıkta doğruluk değerlerinin derecelendirilmesi ve klasik iki değerli mantıktan farkı

Soru 37Soru →

Bir sembolik mantık öğrencisi, aşağ��daki önerme kümesinin tutarlılığını çözümleyici çizelge (ağaç) yöntemiyle denetlemektedir:

I. $p \rightarrow (q \land r)$
II. $\sim(p \rightarrow q)$
III. $q \lor \sim r$

Bu denetleme sürecinde kuralların doğru uygulanması ve işlem önceliklerine dikkat edilmesi durumunda elde edilecek çözümleyici çizelgeyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

İşlem önceliğine sahip olan II. önerme çözümlendikten sonra, I. önermenin çözümlenmesiyle tüm kollar kapandığından III. önerme çözümlenmeden denetleme tamamlanır ve kümenin tutarsız olduğu görülür.

II. önermenin çözümünde çatal açma kuralı uygulanarak sol kola

p

, sağ kola

\sim q

yazılmalı ve bu sayede elde edilen yollar açık kalarak kümenin tutarlı olduğu sonucuna varılmalıdır.

I. önerme çözümlendiğinde ortaya çıkan tümel evetleme (

q \land r

) bile��eni için çatal açma kuralı uygulanarak sol kola

q

, sağ kola

r

yazılmalı ve bu açık yollar sayesinde kümenin tutarlı olduğu gösterilmelidir.

Öncelikle çatal açma kuralı gerektiren III. önerme çözümlenmeli, ardından alt alta yazma kuralı uygulanan I. önerme çözülerek tüm kolların açık olduğu gösterilmelidir.

Tüm önermelerin çözümünde alt alta yazma kuralı uygulanarak hiçbir çatal açılmadan işlemler tamamlanmalı ve çelişki bulunmadığı için kümenin tutarlı olduğu belirlenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İşlem önceliğine sahip olan II. önerme çözümlendikten sonra, I. önermenin çözümlenmesiyle tüm kollar kapandığından III. önerme çözümlenmeden denetleme tamamlanır ve kümenin tutarsız olduğu görülür.

Cevap

İşlem önceliğine sahip olan değillenmiş koşul önermesi çözümlendikten sonra, koşul önermesinin çözümlenmesiyle tüm yollar çelişki sebebiyle kapanır; böylece üçüncü önerme çözümlenmeden kümenin tutarsız olduğu belirlenir.

İşlem önceliği olan değillenmiş koşul önermesinin öncelikle çözümlenip ardından koşul önermesinin çözümlenmesiyle tüm kolların kapandığını ve üçüncü önermeye gerek kalmadan kümenin tutarsız olduğunu belirten seçenek doğrudur. Çözümleyici çizelgede alt alta yazma kuralları önceliklidir. Bu yüzden önce değillenmiş koşul çözülerek alt alta

p

ve

\sim q

elde edilir. Daha sonra koşul önermesi için çatal açıldığında, sol koldaki

\sim p

yukarıdaki

p

ile çelişerek kapanır. Sağ koldaki

q \land r

ise alt alta

q

ve

r

olarak yazıldığında,

q

yukarıdaki

\sim q

ile çelişerek bu kolu da kapatır. Tüm kollar kapandığı için kalan tikel evetleme önermesi çözülmeden denetleme biter.

Adım Adım Çözüm

1

Önerme kümesinin elemanları alt alta yazılır.

p \rightarrow (q \land r)

,

\sim(p \rightarrow q)

ve

q \lor \sim r

önermeleri başlangıç olarak listelenir.

Kümenin tutarlılık denetimi için tüm önermelerin birlikte doğru olup olamayacağı incelenir.

2

İşlem önceliği kurallarına göre alt alta yazma kuralı gerektiren II. önerme çözümlenir.

p

ve

\sim q

önermeleri alt alta yazılır.

Çözümleyici çizelgede alt alta yazma kuralları (çatal açmayan), çatal açma kurallarına göre önceliklidir.

3

I. önerme (

p \rightarrow (q \land r)

) koşul çözümleme kuralına göre çözümlenir.

Çatal açılarak sol kola

\sim p

, sağ kola ise

q \land r

yazılır. Sol kol, yukarıdaki

p

ile çeliştiği için kapanır.

Koşul ekleminin çözümünde ön bileşenin değili ile art bileşen çatal oluşturacak şekilde yazılır. Kolda çelişen önermeler (

p

ve

\sim p

) yolu kapatır.

4

Sağ koldaki tümel evetleme (

q \land r

) çözümlenir.

q

ve

r

alt alta yazılır. Bu kol, yukarıdaki

\sim q

ile çeliştiği için kapanır.

Tümel evetleme eklemi alt alta yazma kuralıyla çözümlenir ve koldaki çelişen önermeler (

q

ve

\sim q

) yolu kapatır.

5

Denetleme sonlandırılarak nihai yorum yapılır.

Tüm kollar kapandığı için III. önerme çözümlenmeden işlem tamamlanır ve kümenin tutarsız olduğuna karar verilir.

Ağaçtaki tüm kollar kapandığında açık yol kalmadığından sistem tutarsızdır.

Anahtar Kavram

Çözümleyici çizelgede alt alta yazma ve çatal açma kurallarının uygulanması ile işlem önceliği.

Soru 38Soru →

Sembolik mantıkta önermelerin ve önerme çiftlerinin doğruluk tablosu ile denetlenmesi sonucunda sahip oldukları çeşitli özellikler bulunmaktadır. Aşağıda sol sütunda verilen önermeleri ve önerme çiftlerini, sağ sütundaki doğruluk tablosu denetleme sonuçlarıyla doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki önermeler ve önerme çiftleri, sağ sütundaki doğruluk tablosu denetleme sonuçlarıyla sırasıyla şu şekilde eşleşir:

p \leftrightarrow \sim p

önermesi tutarsız önerme ile;

p \rightarrow (q \rightarrow p)

önermesi geçerli önerme ile;

p \rightarrow q

ve

\sim p \vee q

önermeleri eşdeğer önermeler ile;

p \wedge \sim q

önermesi ise tutarlı ama geçersiz önerme ile eşleşir.

Doğruluk tablosu analizinde:

p \leftrightarrow \sim p

önermesi bileşenlerinin karşılıklı çelişik olmasından dolayı her durumda yanlış çıktığından tutarsızdır.

p \rightarrow (q \rightarrow p)

önermesi mantıksal yapısı gereği tüm yorumlamalarda doğru çıktığından geçerlidir.

p \rightarrow q

ile

\sim p \vee q

önermeleri tüm satırlarda aynı doğruluk değerlerini (D, Y, D, D) paylaştığından eşdeğerdir.

p \wedge \sim q

önermesi ise tek bir satırda doğru, diğer üç satırda yanlış değerini alarak tutarlı ama geçersiz bir yapı sergiler. Eşleştirme bu mantıksal denetim kurallarına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir önermenin doğruluk değerlerini belirlemek için

p

ve

q

basit önermelerine ait doğruluk tablosunu hazırlayın.

p

ve

q

için 4 satırlı standart doğruluk tablosu (DD, DY, YD, YY) oluşturulur.

Önermelerin doğruluk tablosu ile denetlenebilmesi için tüm olasılıkların listelenmesi gerekir.

2

p \leftrightarrow \sim p

önermesinin doğruluk değerlerini hesaplayın.

p

doğruyken

\sim p

yanlış,

p

yanlışken

\sim p

doğrudur. İki bileşenin değerleri her zaman zıt olduğundan karşılıklı koşul eklemi (

p \leftrightarrow \sim p

) her iki satırda da Yanlış (

Y

) sonucunu verir. Bu durum önermenin tutarsız olduğunu gösterir.

Tüm satırlarda yanlış değeri alan önermelerin tutarsızlık özelliğini belirlemek.

3

p \rightarrow (q \rightarrow p)

önermesinin doğruluk değerlerini her bir satır için hesaplayın.

q \rightarrow p

bileşeni yalnızca

q

doğru ve

p

yanlışken Yanlış (

Y

), diğer durumlarda Doğru (

D

) değerini alır. Ana eklem olan koşul eklemi (

p \rightarrow (q \rightarrow p)

) çözümlendiğinde tüm satırlarda Doğru (

D

) sonucu elde edilir. Bu durum önermenin geçerli olduğunu kanıtlar.

Tüm satırlarda doğru değeri alan önermelerin geçerlilik özelliğini tespit etmek.

4

p \rightarrow q

ve

\sim p \vee q

önermelerinin doğruluk değerlerini karşılaştırın.

İki önerme de sırasıyla D, Y, D, D doğruluk değerlerini alır. Bütün satırlarda aynı doğruluk değerlerine sahip oldukları görülür. Bu durum önermelerin eşdeğer olduğunu gösterir.

İki önermenin doğruluk tablosundaki değerlerinin karşılıklı olarak eşdeğerliğini denetlemek.

5

p \wedge \sim q

önermesinin doğruluk değerlerini hesaplayın.

Önerme yalnızca

p

doğru ve

q

yanlış olduğunda Doğru (

D

) değerini alır. Diğer tüm satırlarda Yanlış (

Y

) değerini alır. En az bir satırda Doğru aldığı için tutarlı, en az bir satırda Yanlış aldığı için ise geçersizdir.

En az bir satırda doğru ve en az bir satırda yanlış değeri alan önermenin tutarlı ama geçersiz olma durumunu belirlemek.

Anahtar Kavram

Doğruluk Tablosu ile Tutarlılık, Geçerlilik ve Eşdeğerlik Denetleme

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 39Soru →

Bir mantık öğretmeni, öğrencilerinden aşağıdaki argümanın geçerliliğini çözümleyici çizelge (semantik tablo) yöntemiyle denetlemelerini istemiştir:

Öncüller:
* $p \rightarrow q$
* $\sim p \rightarrow r$

Sonuç:
* $q \lor r$

Sınıftan bir öğrenci tahtaya kalkarak denetleme işlemini şu şekilde başlatmıştır:
1. $p \rightarrow q$ (1. Öncül)
2. $\sim p \rightarrow r$ (2. Öncül)
3. $q \lor r$ (Sonuç)

Öğrenci bu adımdan sonra çizelge kurallarını doğru bir şekilde uygulayarak çözümlemeyi tamamlamış ve çizelgede açık yollar (dallar) kaldığını görerek argümanın geçersiz olduğu sonucuna varmıştır.

Buna göre, öğrencinin yaptığı denetleme işlemi ve ulaştığı sonuçla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Geçerlilik denetlemesinde sonucun değilinin alınması gerekirken kendisi yazıldığı için yöntemsel bir hata yapılmıştır ve gerçekte geçerli olan bu argüman yanlış bir şekilde geçersiz olarak nitelendirilmiştir.

Çözümleyici çizelgede geçerlilik denetimi, öncüller ile sonucun birlikte tutarlılığını test etme esasına dayandığı için öğrencinin izlediği yöntem ve ulaştığı sonuç tamamen doğrudur.

Öğrenci başlangıçta sonucun değilini almayarak yöntemsel bir hata yapmış olsa da bu argüman gerçekte de geçersiz olduğu için ulaştığı sonuç rastlantısal olarak doğrudur.

Öğrenci, tikel evetleme eklemi taşıyan sonuç önermesini (

q \lor r

) çözerken çatal açmak yerine alt alta yazma kuralını uyguladığı için yöntemsel bir hata yapmış ve yanlış sonuca ulaşmıştır.

Çözümleyici çizelgede açık yolların kalması önermelerin tutarlı olduğunu gösterdiğinden, öğrenci bu denetleme sonucunda argümanın geçerli olduğu kararına varmalıydı.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Geçerlilik denetlemesinde sonucun değilinin alınması gerekirken kendisi yazıldığı için yöntemsel bir hata yapılmıştır ve gerçekte geçerli olan bu argüman yanlış bir şekilde geçersiz olarak nitelendirilmiştir.

Cevap

Geçerlilik denetlemesinde sonucun değilinin alınması gerekirken kendisi yaz��ldığı için yöntemsel bir hata yapılmıştır ve gerçekte geçerli olan bu argüman yanlış bir şekilde geçersiz olarak nitelendirilmiştir.

Çözümleyici çizelgede bir argümanın geçerliliğini denetlemek için öncüller aynen yazılırken sonucun değili alınmalıdır. Sorudaki öğrenci sonucun değilini almayarak yöntemsel bir hata yapmış ve öncüllerle sonucun doğrudan tutarlılığını test etmiştir. Doğru denetlemede sonucun değili olan

\sim(q \lor r)

ifadesi çözümlendiğinde tüm dallar kapanmakta ve argümanın geçerli olduğu görülmektedir. Dolayısıyla öğrenci, aslında geçerli olan bir argümanı geçersiz ilan etmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Argümanın geçerliliğini denetlemek için gereken doğru başlangıç adımlarını belirlemek.

Çözümleyici çizelgede geçerlilik denetimi için öncüller aynen yazılır (

p \rightarrow q

ve

\sim p \rightarrow r

), sonucun ise değili alınarak (

\sim(q \lor r)

) alt alta eklenir.

Geçerlilik kuralları gereği, öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olduğu bir durumun imkansız (tutarsız) olduğunu göstermek için sonucun değili alınmalıdır.

2

Sonucun değili alınarak kurulan doğru çizelgeyi çözümlemek.

1.

p \rightarrow q

(Öncül), 2.

\sim p \rightarrow r

(Öncül), 3.

\sim(q \lor r)

(Sonucun değili). 3. adımdaki de Morgan kuralı (değillenmiş tikel evetleme) uygulanarak alt alta 4.

\sim q

ve 5.

\sim r

elde edilir.

Öncelikle alt alta yazma kuralları çözümlenerek çizelgedeki işlem sırası kolaylaştırılır.

3

Kalan koşullu önermeleri sırasıyla çözümleyerek dalları kontrol etmek.

1. adımdaki

p \rightarrow q

önermesi için çatal açılır: Sol dal

\sim p

, sağ dal

q

. Sağ dal

\sim q

ile çeliştiği için kapanır (x). Sol dalda ise 2. adımdaki

\sim p \rightarrow r

önermesi çözümlenir: Sol-sol dal

\sim\sim p

(yani

p

) olur ve yoldaki

\sim p

ile çelişerek kapanır (x). Sol-sağ dal

r

olur ve yoldaki

\sim r

ile çelişerek kapanır (x).

Çizelgedeki tüm yolların kapanıp kapanmadığını görerek argümanın geçerliliğini saptamak.

4

Bulunan sonucu öğrencinin ulaştığı sonuçla karşılaştırmak.

Doğru yöntemle tüm yollar kapandığı için argüman geçerlidir. Öğrenci ise sonucun değilini almadığı için yöntemsel hata yapmış ve geçerli bir argümana geçersiz demiştir.

Öğrencinin hatasının niteliğini ve bunun sonuca etkisini doğru tespit etmek.

Anahtar Kavram

Çözümleyici Çizelge ile Argüman Geçerliliği Denetleme

Soru 40Soru →

Sembolik mantık dersinde öğretmen, öğrencilerinden $\sim p \rightarrow (p \wedge q)$ önermesinin doğruluk değerlerini tablo çizerek denetlemelerini istemiştir. Bir öğrenci bu önerme için aşağıdaki doğruluk tablosunu hazırlamıştır:

$p$	$q$	$\sim p$	$p \wedge q$	$\sim p \rightarrow (p \wedge q)$
D	D	Y	D	D
D	Y	Y	Y	D
Y	D	D	Y	Y
Y	Y	D	Y	Y

Bu tabloya dayanarak $\sim p \rightarrow (p \wedge q)$ önermesiyle ilgili yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Önerme tutarlıdır fakat geçerli değildir.

Önerme geçerlidir çünkü en az bir satırda Doğru (D) değeri almıştır.

Önerme geçersiz ve tutarsızdır çünkü tüm satırlarda Doğru (D) değeri almamışt��r.

Önermenin değillemesi (olumsuzu) geçerli bir önermedir.

Önermenin değillemesi (olumsuzu) tutarsız bir önermedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Önerme tutarlıdır fakat geçerli değildir.

Cevap

Önerme tutarlıdır fakat geçerli değildir.

Önermenin doğruluk tablosundaki sonuç sütununda hem Doğru (D) hem de Yanlış (Y) değerleri yer almaktadır. Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk tablosunun en az bir satırında Doğru (D) değeri alması yeterlidir. Geçerli olması için ise tüm satırlarda Doğru (D) değeri alması zorunludur. Bu önerme en az bir satırda Doğru (D) değeri aldığı için tutarlıdır; ancak tüm satırlarda Doğru (D) değeri almadığı için geçerli değildir. Bu nedenle 'Önerme tutarlıdır fakat geçerli değildir' ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruluk tablosunda ana önermenin sonuç sütununu incelemek

Tabloda ana önermenin doğruluk değerleri sırasıyla D, D, Y, Y olarak bulunmuştur.

Önermenin genel doğruluk değer dağılımını görmek tutarlılık ve geçerlilik analizi için ilk adımdır.

2

Tutarlılık denetlemesi yapmak

Önerme en az bir satırda (1. ve 2. satırlarda) Doğru (D) değeri almıştır, bu yüzden tutarlıdır.

Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk tablosunun en az bir satırında Doğru (D) değerine sahip olması gerekir.

3

Geçerlilik denetlemesi yapmak

Önerme tüm satırlarda Doğru (D) değeri almamıştır (3. ve 4. satırlarda Yanlış (Y) değeri almıştır), bu yüzden geçerli değildir.

Bir önermenin geçerli olması için doğruluk tablosundaki tüm satırlarda Doğru (D) değeri alması gerekir.

Anahtar Kavram

Doğruluk tablosu yöntemiyle bir önermenin tutarlılığını ve geçerliğini denetleme kuralları

$p$	$q$	$\sim(p \leftrightarrow q)$	$\sim(\sim p \wedge \sim q)$	$\sim(p \wedge q)$
$D$	$D$	$Y$	$D$	$Y$
$D$	$Y$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$D$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$Y$	$Y$	$Y$	$D$

$p$	$q$	$\sim(p \leftrightarrow q)$	$\sim(\sim p \wedge \sim q)$	$\sim(p \wedge q)$
$D$	$D$	$Y$	$D$	$Y$
$D$	$Y$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$D$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$Y$	$Y$	$Y$	$D$

Sembolik Mantık ve Dil

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

$p$	$q$	$\sim(p \leftrightarrow q)$	$\sim(\sim p \wedge \sim q)$	$\sim(p \wedge q)$
$D$	$D$	$Y$	$D$	$Y$
$D$	$Y$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$D$	$D$	$D$	$D$
$Y$	$Y$	$Y$	$Y$	$D$