Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 221Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−(2a−4)x+a2−2a−4f(x) = x^2 - (2a-4)x + a^2 - 2a - 4
parabollerinin tepe noktalarının üzerinde bulunduğu doğrunun eksenlerle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Tepe noktalarının üzerinde bulunduğu doğrunun eksenlerle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Tepe noktasının apsisi r=a−2r = a - 2 olup a=r+2a = r + 2 bağıntısı elde edilir. Ordinat ise k=f(a−2)=2a−8k = f(a-2) = 2a - 8 olarak hesaplanır. Bu iki bağıntı birleştirildiğinde tepe noktalarının y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu üzerinde yer aldığı görülür. Bu doğrunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin dik kenarları 2 ve 4 birim olduğundan, alanı 4 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisi (rr) bulunur.
r=−b2alead=−−(2a−4)2=a−2r = -\frac{b}{2a_{lead}} = -\frac{-(2a-4)}{2} = a - 2 olur. Buradan aa parametresi a=r+2a = r + 2 olarak çekilir.
Tepe noktasının koordinatları arasındaki bağıntıyı kurmak için öncelikle apsis değeri parametre cinsinden ifade edilmelidir.
2
Tepe noktasının ordinatı (kk) bulunur.
k=f(r)=f(a−2)=(a−2)2−(2a−4)(a−2)+a2−2a−4=−(a−2)2+a2−2a−4=2a−8k = f(r) = f(a-2) = (a-2)^2 - (2a-4)(a-2) + a^2 - 2a - 4 = -(a-2)^2 + a^2 - 2a - 4 = 2a - 8 elde edilir.
Tepe noktasının ordinatını bulmak için apsis değeri fonksiyonda yerine yazılır.
3
Apsis ve ordinat arasındaki bağıntı kurularak doğrunun denklemi elde edilir.
a=r+2a = r + 2 ifadesi k=2a−8k = 2a - 8 eşitliğinde yerine yazıldığında k=2(r+2)−8=2r−4k = 2(r+2) - 8 = 2r - 4 bulunur. Koordinatlar (x,y)(x,y) olarak yazılırsa doğru denklemi y=2x−4y = 2x - 4 olur.
Tepe noktalarının geometrik yerini belirlemek için apsis (xx) ile ordinat (yy) arasındaki doğrusal ilişki kurulur.
4
Doğrunun koordinat eksenleriyle sınırladığı bölgenin alanı hesaplanır.
x=0  ⟹  y=−4x = 0 \implies y = -4 ve y=0  ⟹  x=2y = 0 \implies x = 2 noktalarında eksenler kesilir. Dik üçgenin alanı ∣2∣⋅∣−4∣2=4\frac{|2| \cdot |-4|}{2} = 4 birimkare olarak bulunur.
Eksenlerle oluşturulan dik ��çgenin dik kenar uzunlukları eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarıdır.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni koordinat ilişkileri ve parametrik fonksiyonların geometrik yer denklemleri.

Alternatif Yöntem

Verilen f(x)f(x) fonksiyonu tam kareye tamamlama yöntemiyle f(x)=(x−(a−2))2+2a−8f(x) = (x - (a-2))^2 + 2a - 8 şeklinde yazılabilir. Buradan tepe noktasının doğrudan T(a−2,2a−8)T(a-2, 2a-8) olduğu görülür. Apsis x=a−2x = a-2 ve ordinat y=2a−8y = 2a-8 eşitliklerinden aa parametresi yok edilerek doğrudan y=2x−4y = 2x - 4 doğrusu elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 222Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−2mx+m2−2m+6f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 6

parabolünün tepe noktas�� TT noktasıdır. Bu parabolün simetri ekseni üzerinde bulunan bir AA noktası ile TT noktası arasındaki uzaklık 33 birimdir.

AA noktasının koordinatları toplamı 1111 olduğuna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

m gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı 16'dır.
Parabolün tepe noktası T(m,−2m+6)T(m, -2m+6) ve simetri ekseni x=mx = m doğrusudur. Bu eksen üzerindeki A noktasının koordinatları toplamı 11 olduğundan koordinatları A(m,11−m)A(m, 11-m) şeklinde yazılır. İki nokta arasındaki düşey uzaklık ∣(11−m)−(−2m+6)∣=3|(11-m) - (-2m+6)| = 3 eşitliğinden ∣m+5∣=3|m+5| = 3 mutlak değerli denklemini verir. Buradan elde edilen m=−2m = -2 ve m=−8m = -8 değerlerinin çarpımı 16 sonucunu doğrulayarak doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını m parametresi cinsinden bulalım.
T(m,−2m+6)T(m, -2m + 6)
Bir parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere, r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a = 1 ve b=−2mb = -2m olduğundan r=mr = m olur. k=f(m)=m2−2m(m)+m2−2m+6=−2m+6k = f(m) = m^2 - 2m(m) + m^2 - 2m + 6 = -2m + 6 elde edilir.
2
Simetri eksenini belirleyelim ve bu doğru üzerindeki A noktasının koordinatlarını yazalım.
A(m,11−m)A(m, 11 - m)
Parabolün simetri ekseni x=rx = r, yani x=mx = m doğrusudur. A noktası bu doğru üzerinde olduğundan apsisi xA=mx_A = m olur. Koordinatları toplamı 11 olduğundan, yA=11−my_A = 11 - m bulunur.
3
İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak m değerlerini bulalım.
m=−2m = -2 ve m=−8m = -8
A ve T noktalarının apsisleri aynı olduğundan, aralarındaki uzaklık ordinatlarının farkının mutlak değeridir: ∣yA−yT∣=3⇒∣(11−m)−(−2m+6)∣=3⇒∣m+5∣=3|y_A - y_T| = 3 \Rightarrow |(11 - m) - (-2m + 6)| = 3 \Rightarrow |m + 5| = 3 olur. Buradan m+5=3⇒m=−2m + 5 = 3 \Rightarrow m = -2 veya m+5=−3⇒m=−8m + 5 = -3 \Rightarrow m = -8 elde edilir.
4
Elde edilen m değerlerinin çarpımını hesaplayalım.
1616
Bulunan farklı m değerlerinin çarpımı (−2)×(−8)=16(-2) \times (-8) = 16 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının belirlenmesi ve simetri ekseninin geometrik anlamı.
Soru 223Soru →

Tepe noktası TT olan f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a parabolü, y=2x−3y = 2x - 3 doğrusu ile farklı iki noktada kesişmektedir. Parabolün tepe noktasının, bu kesişim noktalarının orta noktasına olan uzaklığı 17\sqrt{17} birim olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Parabolün tepe noktası ile kesişim noktalarının orta noktası arasındaki uzaklık formülü ve parabol ile doğrunun kesişme şartı olan diskriminant kontrolü birlikte uygulandığında aa değeri 10 olarak bulunur.
Parabolün tepe noktası T(3,a−9)T(3, a-9) ve ortak çözüm denkleminin kökleri yardımıyla bulunan orta nokta M(4,5)M(4, 5) arasındaki uzaklık denklemi çözüldüğünde a=10a = 10 veya a=18a = 18 bulunur. Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişmesi için Δ=52−4a>0  ⟹  a<13\Delta = 52 - 4a > 0 \implies a < 13 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek değer 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 ve k=f(3)=32−6(3)+a=a−9k = f(3) = 3^2 - 6(3) + a = a - 9 olup tepe noktası T(3,a−9)T(3, a - 9) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olup burada r=−b2ar = -\frac{b}{2a} simetri eksenidir ve ordinat k=f(r)k = f(r) ile hesaplanır.
2
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktası olan M(x0,y0)M(x_0, y_0) noktasını bulalım.
Kesişim denklemi x2−6x+a=2x−3  ⟹  x2−8x+a+3=0x^2 - 6x + a = 2x - 3 \implies x^2 - 8x + a + 3 = 0 olur. Kökler toplamı x1+x2=−−81=8x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8 olduğundan, orta noktanın apsisi x0=x1+x22=4x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 4 olur. Bu nokta doğru üzerinde bulunduğundan ordinatı y0=2(4)−3=5y_0 = 2(4) - 3 = 5 olup orta nokta M(4,5)M(4, 5) olarak bulunur.
Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi ortak çözüm denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasıdır ve bu nokta doğru denklemini sağlamak zorundadır.
3
T(3,a−9)T(3, a - 9) ve M(4,5)M(4, 5) noktaları arasındaki uzaklığı 17\sqrt{17} birime eşitleyip aa değerlerini çözelim.
∣TM∣=(4−3)2+(5−(a−9))2=17  ⟹  1+(14−a)2=17  ⟹  (14−a)2=16|TM| = \sqrt{(4-3)^2 + (5-(a-9))^2} = \sqrt{17} \implies 1 + (14-a)^2 = 17 \implies (14-a)^2 = 16 denkleminden 14−a=4  ⟹  a=1014 - a = 4 \implies a = 10 veya 14−a=−4  ⟹  a=1814 - a = -4 \implies a = 18 bulunur.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü ∣TM∣=(xM−xT)2+(yM−yT)2|TM| = \sqrt{(x_M - x_T)^2 + (y_M - y_T)^2} bağıntısı ile hesaplanır.
4
Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişme koşulunu kullanarak bulunan aa değerlerinin doğruluğunu kontrol edelim.
Ortak denklemin iki farklı gerçel kökü olması için diskriminant Δ=(−8)2−4(1)(a+3)=52−4a>0  ⟹  a<13\Delta = (-8)^2 - 4(1)(a+3) = 52 - 4a > 0 \implies a < 13 olmalıdır. Bu koşula göre a=18a = 18 elenir ve doğru değer a=10a = 10 olarak bulunur.
Bir parabol ile bir doğrunun iki farklı noktada kesişmesi, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan büyük olmasıyla mümkündür.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseninin koordinatlarının bulunması, parabol ile doğrunun kesişim koşulları ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.
Soru 224Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=−x2+bx+cf(x) = -x^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusudur.

Bu parabol y-eksenini AA noktasında, x-eksenini ise pozitif tarafta B(8,0)B(8, 0) noktasında kesmektedir.

Buna göre, AA ve TT noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğrunun eğimi 3'tür.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabolün simetri ekseni r=3r = 3 kullanılarak b=6b = 6 ve parabol üzerindeki B(8,0)B(8, 0) noktası kullanılarak c=16c = 16 değerlerinin bulunmasıyla elde edilir. Bu değerlerle y-eksenini kesen nokta olan A(0,16)A(0, 16) ve tepe noktası olan T(3,25)T(3, 25) koordinatları belirlenir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplandığında sonuç 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni formülü kullanılarak b değeri hesaplanır.
b=6b = 6
Parabolün simetri ekseni x=r=3x = r = 3 olarak verilmiştir. r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülünde a=−1a = -1 ve r=3r = 3 yazılırsa 3=−b2(−1)⇒b=63 = -\frac{b}{2(-1)} \Rightarrow b = 6 elde edilir.
2
Parabolün üzerindeki B(8, 0) noktası kullanılarak c değeri hesaplanır.
c=16c = 16
f(x)=−x2+6x+cf(x) = -x^2 + 6x + c denkleminde B(8,0)B(8, 0) noktası yerine yazıldığında f(8)=0f(8) = 0 olmalıdır. Buradan −(8)2+6(8)+c=0⇒−64+48+c=0⇒c=16-(8)^2 + 6(8) + c = 0 \Rightarrow -64 + 48 + c = 0 \Rightarrow c = 16 bulunur.
3
A ve T noktalarının koordinatları belirlenir.
A(0,16)A(0, 16) ve T(3,25)T(3, 25)
Parabol y-eksenini AA noktasında kestiği için x=0x = 0 yazılırsa A(0,16)A(0, 16) olur. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) için r=3r = 3 ve k=f(3)=−(3)2+6(3)+16=25k = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 16 = 25 olduğundan T(3,25)T(3, 25) elde edilir.
4
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.
m=3m = 3
A(0,16)A(0, 16) ve T(3,25)T(3, 25) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1=25−163−0=93=3m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{25 - 16}{3 - 0} = \frac{9}{3} = 3 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ilişkisi ve iki noktası bilinen doğrunun eğimi.

Alternatif Yöntem

Genel olarak y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün y-eksenini kestiği nokta A(0,c)A(0, c) ve tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi m=k−cr−0=ar2+br+c−cr=ar+bm = \frac{k - c}{r - 0} = \frac{ar^2 + br + c - c}{r} = ar + b olur. r=−b2a⇒ar=−b2r = -\frac{b}{2a} \Rightarrow ar = -\frac{b}{2} olduğundan, bu eğim her zaman m=−b2+b=b2m = -\frac{b}{2} + b = \frac{b}{2} değerine eşittir. Soruya göre a=−1a = -1 ve r=3r = 3 olduğundan 3=−b2(−1)⇒b=63 = -\frac{b}{2(-1)} \Rightarrow b = 6 bulunur. Dolayısıyla eğim doğrudan b2=62=3\frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 225Soru →
Bir seramik atölyesinde günde xx adet vazo üretilip satıldığında elde edilen günlük kâr (TL cinsinden) K(x)=−3x2+120x−500K(x) = -3x^2 + 120x - 500 fonksiyonu ile hesaplanmaktadır. Atölyenin günlük vazo üretim kapasitesi en fazla 50 adettir. Buna göre, bu atölyenin bir günde elde edebileceği en büyük kâr değeri, en küçük kâr değerinden kaç TL fazladır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2700

Cevap

En büyük kâr değeri en küçük kâr değerinden 2700 TL fazladır.
Fonksiyonun [0,50][0, 50] kapalı aralığındaki alabileceği en büyük değer tepe noktasında K(20)=700K(20) = 700 olarak bulunur. En küçük değer ise uç noktalardan biri olan x=50x = 50 için K(50)=−2000K(50) = -2000 olarak elde edilir. En büyük kâr ile en küçük kâr arasındaki fark 700−(−2000)=2700700 - (-2000) = 2700 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Atölyenin günlük vazo üretim kapasitesine göre fonksiyonun tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi [0,50][0, 50] kapalı aralığıdır.
Günlük üretim miktarı negatif olamayacağından alt sınır 0, kapasite sınırı 50 olduğundan üst sınır 50'dir.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplamak
r=20r = 20
K(x)=−3x2+120x−500K(x) = -3x^2 + 120x - 500 ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−b2a=−1202⋅(−3)=20r = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2 \cdot (-3)} = 20 formülü ile bulunur.
3
Tepe noktasındaki kâr değerini hesaplayarak maksimum kârı bulmak
K(20)=700K(20) = 700 TL
Tepe noktasının apsisi 2020, [0,50][0, 50] aralığında yer aldığından ve baş katsayı negatif (kollar aşağı doğru) olduğundan en büyük kâr değeri bu noktada elde edilir: K(20)=−3(20)2+120(20)−500=700K(20) = -3(20)^2 + 120(20) - 500 = 700.
4
Tanım kümesinin uç noktalarındaki değerleri hesaplayarak minimum kârı bulmak
K(0)=−500K(0) = -500 TL ve K(50)=−2000K(50) = -2000 TL olup minimum kâr −2000-2000 TL'dir.
Sınırlı bir aralıkta tanımlı parabolün alabileceği en küçük değer uç noktalardan birinde gerçekleşir. K(0)=−500K(0) = -500 ve K(50)=−3(50)2+120(50)−500=−2000K(50) = -3(50)^2 + 120(50) - 500 = -2000 değerlerinden küçük olanı en küçük kâr değeridir.
5
En büyük kâr ile en küçük kâr arasındaki farkı hesaplamak
700−(−2000)=2700700 - (-2000) = 2700 TL
En büyük kâr değerinin en küçük kâr değerinden kaç TL fazla olduğunu bulmak için en büyük değerden en küçük değer çıkarılır: 700−(−2000)=2700700 - (-2000) = 2700.

Anahtar Kavram

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin tepe noktası ve uç noktalar incelenerek bulunması.
Soru 226Soru →

Dik koordinat düzleminde, başkatsayıları sırasıyla 11 ve −1-1 olan f(x)f(x) ve g(x)g(x) parabollerinin simetri eksenleri sırasıyla x=r1x = r_1 ve x=r2x = r_2 doğrularıdır.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası g(x)g(x) parabolünün üzerinde, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası ise f(x)f(x) parabolünün üzerindedir.

Bu iki parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık 3103\sqrt{10} birim olduğuna göre, bu parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabollerin simetri eksenleri arasındaki uzaklık 3 birimdir.
Parabollerin tepe noktaları birbirlerinin grafikleri üzerinde bulunduğundan, dikey koordinat farkı yatay koordinat farkının karesine eşit olmak zorundadır. Bu ilişki iki nokta arasındaki uzaklık formülünde yerine yazıldığında elde edilen dördüncü dereceden denklem çözülerek simetri eksenleri arasındaki yatay uzaklık 3 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin tepe noktalarını tanımlama ve denklemleri oluşturma
f(x)=(x−r1)2+k1f(x) = (x - r_1)^2 + k_1 ve g(x)=−(x−r2)2+k2g(x) = -(x - r_2)^2 + k_2
Tepe noktaları ve başkatsayılar bilindiğinde parabol denklemleri en kolay tepe noktası formuyla yazılır.
2
Tepe noktalarının birbirinin üzerinde olması koşulunu uygulama
k2−k1=(r1−r2)2k_2 - k_1 = (r_1 - r_2)^2
T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) noktasının koordinatlarının g(x)g(x) denklemini sağlaması gerekir.
3
Simetri eksenleri arasındaki uzaklık değişkenini (dd) tanımlama
d=∣r1−r2∣d = |r_1 - r_2| ve k2−k1=d2k_2 - k_1 = d^2
Soru bizden simetri eksenleri arasındaki yatay uzaklığı istemektedir.
4
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kurma ve denklemi çözme
d4+d2=90  ⟹  d=3d^4 + d^2 = 90 \implies d = 3
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının koordinat farklarının kareleri toplamı, aralarındaki uzaklığın karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ile simetri ekseni arasındaki cebirsel ve geometrik ilişkiler
Soru 227Soru →
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2(m+1)x+m2+2m−3f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3
parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC'dir.

Bu parabolün tepe noktası TT olmak üzere, köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı, ABTABT üçgeninin alanının yarısına eşittir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

m gerçel sayısın��n alabileceği farklı değerlerin çarpımı 5'tir.
Doğru seçenekte belirtilen 5 değeri, parabolün eksen kesim noktaları ve tepe noktası ile oluşturulan üçgenlerin alan bağıntılarından elde edilen mutlak değerli denklemlerin gerçel köklerinin çarpımıdır. İki ayrı durumdan gelen gerçel köklerin çarpımları sırasıyla -5 ve -1 olup, bu iki değerin çarpımı bize 5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
Tepe noktası T(m+1,−4)T(m+1, -4) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2a=m+1r = -\frac{b}{2a} = m+1 formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(m+1)=(m+1)2−2(m+1)2+m2+2m−3=−4k = f(m+1) = (m+1)^2 - 2(m+1)^2 + m^2 + 2m - 3 = -4 şeklinde hesaplanır.
2
Parabolün x eksenini kestiği noktaları ve aralarındaki uzaklığı belirlemek.
Kesişim noktaları A(m−1,0)A(m-1, 0) ve B(m+3,0)B(m+3, 0) olup, ∣AB∣=4|AB| = 4 birimdir.
f(x)=(x−(m+1))2−4=0f(x) = (x - (m+1))^2 - 4 = 0 denkleminin çözümüyle x−(m+1)=±2x - (m+1) = \pm 2 bulunur. Buradan kökler x1=m−1x_1 = m-1 ve x2=m+3x_2 = m+3 olur.
3
ABT üçgeninin alanını hesaplamak.
Alan(ABT) = 8 birimkare.
Taban uzunluğu ∣AB∣=4|AB| = 4 birim ve bu tabana ait yükseklik tepe noktasının ordinatının mutlak değeri olan ∣−4∣=4|-4| = 4 birimdir. Alan formülünden 4×42=8\frac{4 \times 4}{2} = 8 elde edilir.
4
ABC üçgeninin alanını veren denklemi kurmak.
∣m2+2m−3∣=2|m^2 + 2m - 3| = 2 denklemi elde edilir.
Soruda verilen bilgiye göre Alan(ABC) = Alan(ABT)2=4\frac{\text{Alan}(ABT)}{2} = 4 birimkaredir. Parabolün y eksenini kestiği nokta C(0,m2+2m−3)C(0, m^2 + 2m - 3)'tür. Alan(ABC) = 12×∣AB∣×∣yC∣=2∣m2+2m−3∣=4\frac{1}{2} \times |AB| \times |y_C| = 2|m^2 + 2m - 3| = 4 olmalıdır.
5
Mutlak değerli denklemi çözerek m değerlerinin çarpımını bulmak.
Tüm gerçel m değerlerinin çarpımı 5 olarak bulunur.
Denklemin iki durumu vardır: 1) m2+2m−3=2⇒m2+2m−5=0m^2 + 2m - 3 = 2 \Rightarrow m^2 + 2m - 5 = 0 (kökler gerçeldir, Δ>0\Delta > 0, çarpımı −5-5'tir). 2) m2+2m−3=−2⇒m2+2m−1=0m^2 + 2m - 3 = -2 \Rightarrow m^2 + 2m - 1 = 0 (kökler gerçeldir, Δ>0\Delta > 0, çarpımı −1-1'dir). Tüm köklerin çarpımı (−5)×(−1)=5(-5) \times (-1) = 5 olur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması, tepe noktası koordinatları ve eksen kesim noktalarının oluşturduğu geometrik alanların analitik hesabı.
Soru 228Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2
fonksiyonunun grafiği, aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde
g(x)=x3−9x2+24x−15g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15
fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Doğru cevap 7'dir. Fonksiyon aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b olur. Bu dönüşüm uygulandığında elde edilen polinomun katsayıları, verilen g(x)g(x) polinomunun katsayıları ile eşitlenerek a=2a = 2 ve b=5b = 5 değerlerine ulaşılır. Buradan toplam 2+5=72 + 5 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelenmiş halini veren g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b ifadesini oluşturmak.
g(x)=(x−a)3−3(x−a)2+bg(x) = (x - a)^3 - 3(x - a)^2 + b fonksiyonu elde edilir.
Fonksiyonların yatayda sağa ötelenmesi xx yerine x−ax - a yazarak, dikeyde yukarı ötelenmesi ise fonksiyona bb ekleyerek gerçekleştirilir.
2
Elde edilen g(x)g(x) ifadesini açarak düzenlemek ve terimlerini derecelerine göre gruplandırmak.
g(x)=x3−(3a+3)x2+(3a2+6a)x−a3−3a2+bg(x) = x^3 - (3a + 3)x^2 + (3a^2 + 6a)x - a^3 - 3a^2 + b ifadesi bulunur.
Polinomların eşitliği ilkesini kullanarak katsayıları karşılaştırabilmek için ifadenin açık halinin yazılması gerekir.
3
Düzenlenen g(x)g(x) ifadesinin katsayılarını soruda verilen g(x)=x3−9x2+24x−15g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15 ifadesinin katsayıları ile eşitlemek.
x2x^2'li terimden −(3a+3)=−9  ⟹  a=2-(3a + 3) = -9 \implies a = 2 bulunur. Bu değer xx'li terimin katsayısında yerine konduğunda 3(2)2+6(2)=243(2)^2 + 6(2) = 24 eşitliği sağlanır. Sabit terimden ise −23−3(22)+b=−15  ⟹  −20+b=−15  ⟹  b=5-2^3 - 3(2^2) + b = -15 \implies -20 + b = -15 \implies b = 5 bulunur. Buradan a+b=2+5=7a + b = 2 + 5 = 7 elde edilir.
İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması gerekir. Bu eşitliklerden öteleme miktarları olan aa ve bb değerleri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay ve dikey öteleme dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 229Soru →

Uzunluğu 34 cm34\text{ cm} olan bir tel iki parçaya bölünüyor. Bu parçalardan biriyle bir kare, diğeriyle ise uzun kenarı kısa kenarının 22 katı olan bir dikdörtgen oluşturuluyor. Buna göre, oluşturulan bu iki şeklin alanları toplamının en küçük değeri kaç cm2\text{cm}^2 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Oluşturulan iki şeklin alanları toplamının en küçük değeri 34 cm² dir.
Toplam alanı veren ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=16r = 16 olup, bu değer fonksiyona yazıldığında elde edilen 3434 değeri bu iki şeklin alanları toplamının alabileceği en küçük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Telin bölündüğü parçaları değişken cinsinden ifade etme
Kare için kullanılan tel parçası x cmx\text{ cm} ise dikdörtgen için kalan parça 34−x cm34 - x\text{ cm} olur.
Toplam tel uzunluğu 34 cm34\text{ cm} olduğundan parçaların toplamı bu değeri vermelidir.
2
Karenin alanını yazma
Karenin bir kenar uzunluğu x4 cm\frac{x}{4}\text{ cm} ve alanı S1=x216 cm2S_1 = \frac{x^2}{16}\text{ cm}^2 olur.
Karenin çevresi x cmx\text{ cm} olduğundan bir kenarı çevrenin dörtte biridir ve alanı kenarın karesidir.
3
Dikdörtgenin alanını yazma
Dikdörtgenin kısa kenarı ww ise uzun kenarı 2w2w'dir. Çevresi 6w=34−x  ⟹  w=34−x6 cm6w = 34 - x \implies w = \frac{34 - x}{6}\text{ cm} olur. Dikdörtgenin alanı S2=2w2=(34−x)218 cm2S_2 = 2w^2 = \frac{(34 - x)^2}{18}\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Çevre formülü 2(w+2w)=6w2(w + 2w) = 6w olup buradan kenar uzunluğu ve alan bağıntısı elde edilir.
4
Toplam alan fonksiyonunu oluşturma
A(x)=S1+S2=x216+(34−x)218=17144x2−349x+5789A(x) = S_1 + S_2 = \frac{x^2}{16} + \frac{(34 - x)^2}{18} = \frac{17}{144}x^2 - \frac{34}{9}x + \frac{578}{9} fonksiyonu elde edilir.
Toplam alanı tek bir değişkene bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon (parabol) olarak ifade etmek gerekir.
5
Parabolün tepe noktasını (minimum noktayı) bulma
r=−b2a=−−3492⋅17144=16r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{34}{9}}{2 \cdot \frac{17}{144}} = 16 bulunur.
Kolları yukarı doğru olan bu parabolün en küçük değeri tepe noktasının apsisinde oluşur.
6
Minimum alanı hesaplama
A(16)=16216+(34−16)218=16+18=34 cm2A(16) = \frac{16^2}{16} + \frac{(34 - 16)^2}{18} = 16 + 18 = 34\text{ cm}^2 elde edilir.
Bulunan minimum yapan x=16x = 16 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak en küçük alan toplamı bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün en büyük veya en küçük değer uygulamalarında, ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının apsisi olan r = -b/(2a) değeri ve bu değere karşılık gelen k = f(r) ordinat değeri kullanılır.

Alternatif Yöntem

Kare ve dikdörtgenin kenar uzunlukları sırasıyla y ve z değişkenleri olarak tanımlanıp 2y + 3z = 17 kısıtı altında y² + 2z² toplam alanı minimize edilebilir. Buradan y = (17 - 3z)/2 yazılıp alanda yerine koyularak tek değişkenli bir parabol elde edilir ve tepe noktası z = 3 olarak bulunup aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 230Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini yalnızca apsisleri −8-8, −2-2, 11 ve 44 olan noktalarda kesmektedir.

Buna göre, g(x)=f(x2)g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) ve h(x)=f(2x)h(x) = f(2x) fonksiyonlarının grafiklerinin xx-eksenini kestiği ortak noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Ortak noktaların apsisleri toplamı −2-2 olur.
Grafiğin yatay esnetilmesi ve sıkıştırılması kurallarına göre; g(x)=f(x/2)g(x) = f(x/2) fonksiyonunun kökleri f(x)f(x)'in köklerinin 2 katı ({−16,−4,2,8}\{-16, -4, 2, 8\}), h(x)=f(2x)h(x) = f(2x) fonksiyonunun kökleri ise f(x)f(x)'in köklerinin yarısı ({−4,−1,0.5,2}\{-4, -1, 0.5, 2\}) olur. Bu iki kümenin kesişiminde yer alan ortak elemanlar −4-4 ve 22 olduğundan, toplamları −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek
Kökler kümesi: {−8,−2,1,4}\{-8, -2, 1, 4\}
Bir fonksiyonun grafiğinin xx-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerini sıfır yapan kök değerleridir.
2
g(x) = f(x/2) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek
Kökler kümesi: {−16,−4,2,8}\{-16, -4, 2, 8\}
g(x)=0⇒f(x/2)=0g(x) = 0 \Rightarrow f(x/2) = 0 olduğundan, x/2x/2 ifadesi ff fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay esnetmeye karşılık gelir.
3
h(x) = f(2x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek
Kökler kümesi: {−4,−1,0.5,2}\{-4, -1, 0.5, 2\}
h(x)=0⇒f(2x)=0h(x) = 0 \Rightarrow f(2x) = 0 olduğundan, 2x2x ifadesi ff fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay sıkıştırmaya karşılık gelir.
4
Ortak kökleri bulup toplamak
Ortak kökler: −4-4 ve 22. Toplamları: −2-2
İki grafiğin xx-eksenini kestiği ortak noktalar, her iki kök kümesinde de bulunan ortak apsis değerleridir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay eksende esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında grafik üzerindeki noktaların apsislerinin değişim kuralları.
ÖncekiSayfa 12 / 12
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin