Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 201Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası yy ekseni üzerinde olan
f(x)=(a−3)x2+(a2−9)x+12−2af(x) = (a-3)x^2 + (a^2-9)x + 12 - 2a
parabolü verilmiştir.

Buna göre, bu parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18318\sqrt{3}

Cevap

Parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 18318\sqrt{3} birimkaredir.
Doğru olan seçenekteki alan değeri, parabolün tepe noktasının yy ekseni üzerinde olma koşulundan elde edilen f(x)=−6x2+18f(x) = -6x^2 + 18 denkleminin eksenleri kestiği noktalar olan (−3,0)(-\sqrt{3}, 0), (3,0)(\sqrt{3}, 0) ve (0,18)(0, 18) koordinatlarının oluşturduğu üçgenin alanıdır. Taban uzunluğu 232\sqrt{3} birim ve yüksekliği 1818 birim olan bu üçgenin alanı 12⋅23⋅18=183\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18 = 18\sqrt{3} birimkare olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının yy ekseni üzerinde olması şartını uygulayarak aa parametresini belirlemek.
a2−9=0  ⟹  a=3a^2 - 9 = 0 \implies a = 3 veya a=−3a = -3 bulunur. İkinci dereceden fonksiyon tanımı gereği başkatsayı sıfır olamaz: a−3≠0  ⟹  a≠3a - 3 \neq 0 \implies a \neq 3 olmalıdır. Buradan a=−3a = -3 olarak belirlenir.
Bir parabolün tepe noktası yy ekseni üzerinde ise simetri ekseni r=−b2a=0r = -\frac{b}{2a} = 0 olmalıdır, bu da xx teriminin katsayısının sıfır olmasını gerektirir.
2
Bulunan aa değerini yerine yazarak parabol denklemini elde etmek ve yy eksenini kestiği noktayı belirlemek.
f(x)=−6x2+18f(x) = -6x^2 + 18 denklemi elde edilir. x=0x = 0 için y=18y = 18 olduğundan, yy eksenini kestiği nokta (0,18)(0, 18) olarak bulunur.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun tam kuralı ortaya çıkarılmalıdır.
3
Parabolün xx eksenini kestiği noktaları belirlemek.
f(x)=0  ⟹  −6x2+18=0  ⟹  x2=3  ⟹  x=±3f(x) = 0 \implies -6x^2 + 18 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} bulunur. Dolayısıyla kesim noktaları (−3,0)(-\sqrt{3}, 0) ve (3,0)(\sqrt{3}, 0) noktalarıdır.
Bir fonksiyonun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan kök değerleridir.
4
Belirlenen üç kesim noktasını köşe kabul eden üçgenin alanını hesaplamak.
Taban uzunluğu 232\sqrt{3} birim ve yüksekliği 1818 birim olan üçgenin alanı 12⋅23⋅18=183\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18 = 18\sqrt{3} birimkare olarak bulunur.
Köşeleri (−3,0)(-\sqrt{3}, 0), (3,0)(\sqrt{3}, 0) ve (0,18)(0, 18) olan üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde 232\sqrt{3} birim uzunluğunda, bu tabana ait yüksekliği ise yy ekseni üzerinde 1818 birim uzunluğundadır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve tepe noktasının eksenler üzerindeki konumunun katsayılarla ilişkisi.
Soru 202Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2mx+3f(x) = x^2 - 2mx + 3
g(x)=x2−2nx+19g(x) = x^2 - 2nx + 19
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 noktalarıdır.

Bu iki parabol A(2,11)A(2, 11) noktasında kesiştiğine göre, T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Tepe noktalarından geçen doğrunun eğimi 22 dir.
Doğru cevabın elde edilmesi için öncelikle her iki parabolün kesişim noktası olan (2,11)(2, 11) koordinatları denklemlerde yerine yazılarak bilinmeyen parametreler m=−1m = -1 ve n=3n = 3 olarak bulunur. Ardından elde edilen f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 ve g(x)=x2−6x+19g(x) = x^2 - 6x + 19 parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1(−1,2)T_1(-1, 2) ve T2(3,10)T_2(3, 10) olarak hesaplanır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi ise ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla 10−23−(−1)=2\frac{10-2}{3-(-1)} = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2,11)A(2, 11) noktası f(x)=x2−2mx+3f(x) = x^2 - 2mx + 3 parabolü üzerinde olduğundan, bu noktanın koordinatları parabolün denklemini sağlar. x=2x = 2 yazılarak denklem 1111'e eşitlenir ve mm değeri bulunur.
22−2m(2)+3=11  ⟹  7−4m=11  ⟹  4m=−4  ⟹  m=−12^2 - 2m(2) + 3 = 11 \implies 7 - 4m = 11 \implies 4m = -4 \implies m = -1
mm parametresini bularak f(x)f(x) parabolünün denklemini tam olarak elde etmek.
2
A(2,11)A(2, 11) noktası g(x)=x2−2nx+19g(x) = x^2 - 2nx + 19 parabolü üzerinde olduğundan, x=2x = 2 yazılarak denklem 1111'e eşitlenir ve nn değeri bulunur.
22−2n(2)+19=11  ⟹  23−4n=11  ⟹  4n=12  ⟹  n=32^2 - 2n(2) + 19 = 11 \implies 23 - 4n = 11 \implies 4n = 12 \implies n = 3
nn parametresini bularak g(x)g(x) parabolünün denklemini tam olarak elde etmek.
3
f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatları r1=−b2ar_1 = -\frac{b}{2a} ve k1=f(r1)k_1 = f(r_1) formülleriyle hesaplanır.
r1=−22=−1r_1 = -\frac{2}{2} = -1 ve k1=f(−1)=(−1)2+2(−1)+3=2k_1 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2, yani T1(−1,2)T_1(-1, 2)
İlk parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek.
4
g(x)=x2−6x+19g(x) = x^2 - 6x + 19 parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatları r2=−b2ar_2 = -\frac{b}{2a} ve k2=g(r2)k_2 = g(r_2) formülleriyle hesaplanır.
r2=−−62=3r_2 = -\frac{-6}{2} = 3 ve k2=g(3)=32−6(3)+19=10k_2 = g(3) = 3^2 - 6(3) + 19 = 10, yani T2(3,10)T_2(3, 10)
İkinci parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek.
5
T1(−1,2)T_1(-1, 2) ve T2(3,10)T_2(3, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} formülüyle hesaplanır.
m=10−23−(−1)=84=2m = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2
İki tepe noktasından geçen doğrunun eğimini bulmak.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve iki noktadan geçen doğrunun eğiminin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

İki parabolün başkatsayıları eşit olduğundan (a=1a=1), tepe noktalarının koordinatları arasındaki farklar doğrudan x-eksenindeki öteleme miktarı ve parabollerin sabit terimleri arasındaki ilişki kullanılarak da türetilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 203Soru →

Analitik düzlemde, yy-eksenini (0,−12)(0, -12) noktasında kesen f(x)=x2−mx+nf(x) = x^2 - mx + n parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 88 birimdir. Buna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

m sayısının alabileceği pozitif değer 4'tür.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta (0, -12) olduğundan n = -12 olur. x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülü olan |x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta}/|a| ifadesi 8'e eşitlenir. Buradan \sqrt{m^2 + 48} = 8 elde edilip her iki tarafın karesi alınarak m^2 = 16 bulunur. m sayısının pozitif değeri istendiği için m = 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktayı kullanarak n değerini belirleme.
n = -12
Parabol y-eksenini (0, -12) noktasında kestiği için f(0) = -12 olmalıdır. Fonksiyonda x yerine 0 yazıldığında f(0) = n = -12 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak m için bir denklem kurma.
m^2 + 48 = 64
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle bulunur. Burada a = 1, b = -m ve c = n = -12'dir. Buradan \Delta = (-m)^2 - 4(1)(-12) = m^2 + 48 olur. Uzaklık 8 birim olduğuna göre, \sqrt{m^2 + 48} = 8 yazılır. Her iki tarafın karesi alındığında m^2 + 48 = 64 elde edilir.
3
Denklemi çözerek m sayısının pozitif değerini bulma.
m = 4
m^2 + 48 = 64 denkleminden m^2 = 16 bulunur. Karesi 16 olan sayılar -4 ve 4'tür. Soruda m sayısının pozitif değeri istendiği için m = 4 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve kök-katsayı ilişkileri
Soru 204Soru →

Aşağıda verilen parabol fonksiyonları ile bu fonksiyonların grafiklerinin koordinat eksenlerini kestiği noktalara ait özellikleri eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x)=2x2+4x+3h(x) = 2x^2 + 4x + 3

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 fonksiyonunun belirttiği parabol xx-eksenini farklı iki noktada keser ve bu noktalar arasındaki uzaklık 66 birimdir. g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonunun belirttiği parabol xx-eksenine teğettir ve yy-eksenini ordinatı −9-9 olan noktada keser. h(x)=2x2+4x+3h(x) = 2x^2 + 4x + 3 fonksiyonunun belirttiği parabol xx-eksenini kesmez ve yy-eksenini ordinatı 33 olan noktada keser.
Verilen fonksiyonların x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri için çözüm kümeleri bulunarak eksenleri kestiği noktalar tam olarak belirlenmiş ve eşleştirme bu özelliklere göre doğru şekilde yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolünün eksenleri kestiği noktaları hesaplamak.
xx-eksenini kestiği noktalar için x2−4x−5=0⇒(x−5)(x+1)=0⇒x1=5,x2=−1x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -1. Noktalar arası uzaklık: ∣5−(−1)∣=6|5 - (-1)| = 6 birimdir. yy-eksenini kestiği nokta (0,−5)(0, -5)'tir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 değerleri verilir.
2
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 parabolünün eksenleri kestiği noktaları hesaplamak.
xx-eksenini kestiği noktalar için −x2+6x−9=0⇒−(x−3)2=0⇒x=3-x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow -(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 çift katlı kökü bulunur (teğetlik durumu). yy-eksenini kestiği nokta (0,−9)(0, -9)'dur.
Tam kare ifadeler parabolün xx-eksenine teğet olduğunu gösterir.
3
h(x)=2x2+4x+3h(x) = 2x^2 + 4x + 3 parabolünün eksenleri kestiği noktaları hesaplamak.
xx-eksenini kestiği noktalar için 2x2+4x+3=02x^2 + 4x + 3 = 0 denkleminde diskriminant Δ=16−24=−8<0\Delta = 16 - 24 = -8 < 0 olduğundan parabol xx-eksenini kesmez. yy-eksenini kestiği nokta (0,3)(0, 3)'tür.
Diskriminant sıfırdan küçük olduğunda reel kök yoktur, yani parabol xx-eksenini kesmez.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulma ve eksenlerle olan geometrik ilişkisi
Soru 205Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+kf(x) = x^2 - 2x + k
parabolü koordinat eksenlerini AA, BB ve CC noktalarında kesmektedir.

Köşeleri bu noktalar olan ABCABC üçgeninin alanı 454\sqrt{5} birimkare olduğuna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(1−5,0)A(1-\sqrt{5}, 0), B(1+5,0)B(1+\sqrt{5}, 0) ve C(0,−4)C(0, -4) olup, bu noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 25⋅42=45\frac{2\sqrt{5} \cdot 4}{2} = 4\sqrt{5} birimkaredir. Bu durumu sağlayan tek gerçek sayı değeri -4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulma
C(0,k)C(0, k) noktası elde edilir. Bu noktanın x-eksenine olan uzaklığı yani üçgenin yüksekliği ∣k∣|k| birimdir.
Parabolün y-eksenini kestiği noktada x değeri sıfırdır.
2
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı kk cinsinden hesaplama
∣AB∣=21−k|AB| = 2\sqrt{1-k} birim elde edilir.
x2−2x+k=0x^2 - 2x + k = 0 denkleminin kökleri arasındaki uzaklık formülü ∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} bağıntısı ile hesaplanır. Burada Δ=(−2)2−4(1)(k)=4−4k\Delta = (-2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k ve a=1a = 1 olduğundan uzaklık 4−4k=21−k\sqrt{4-4k} = 2\sqrt{1-k} olur.
3
Alan formülünü kurma ve kk değerini çözme
k=−4k = -4 bulunur.
Alan formülü Alan(ABC)=∣AB∣⋅∣yC∣2\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot |y_C|}{2} şeklindedir. Değerleri yerine koyarsak: 21−k⋅∣k∣2=45  ⟹  ∣k∣1−k=45\frac{2\sqrt{1-k} \cdot |k|}{2} = 4\sqrt{5} \implies |k|\sqrt{1-k} = 4\sqrt{5} olur. Parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesebilmesi için Δ=4−4k>0  ⟹  k<1\Delta = 4-4k > 0 \implies k < 1 olmalıdır. Seçenekler ve alanın büyüklüğü göz önüne alındığında k<0k < 0 olmalıdır, bu durumda ∣k∣=−k|k| = -k yazılır. −k1−k=45-k\sqrt{1-k} = 4\sqrt{5} denkleminin her iki tarafının karesi alınarak k2(1−k)=80  ⟹  k3−k2+80=0k^2(1-k) = 80 \implies k^3 - k^2 + 80 = 0 elde edilir. Bu denklemin negatif tam sayı kökü k=−4k = -4 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu
Soru 206Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı 66'dır. Parabolün tepe noktasının apsisi −12-\frac{1}{2} ve xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 55 birimdir. Buna göre, parabolün başkatsayısı olan aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Parabolün başkatsayısı olan aa değeri −1-1 olarak bulunur.
Parabolün yy-eksenini kestiği noktadan c=6c=6 ve tepe noktası apsisinden b=ab=a bulunur. Kökler arası uzaklık formülü Δ∣a∣=5\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5 kullanılarak Δ=a2−24a\Delta = a^2 - 24a ifadesi yerine yazıldığında a2−24a=25a2a^2 - 24a = 25a^2 karesel denklemi elde edilir. Buradan a=−1a = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği noktayı kullanarak c parametresini belirleme
c=6c = 6
Parabolün y-eksenini kestiği nokta f(0)f(0) değeridir. f(0)=a(0)2+b(0)+c=c=6f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 6 olur.
2
Tepe noktasının apsisinden yararlanarak b ve a arasındaki ilişkiyi bulma
b=ab = a
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−12r = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} olarak verilmiştir. Buradan içler dışlar çarpım�� ile b=ab = a elde edilir.
3
Eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülünü ve diskriminantı (\Delta) yazma
Δ=a2−24a\Delta = a^2 - 24a
Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleridir. b=ab = a ve c=6c = 6 değerleri için diskriminant Δ=b2−4ac=a2−24a\Delta = b^2 - 4ac = a^2 - 24a olur.
4
Uzaklık denklemini kurup çözerek a değerini bulma
a=−1a = -1
Kökler arası uzaklık Δ∣a∣=5\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5 olduğundan a2−24a∣a∣=5  ⟹  a2−24a=25a2\frac{\sqrt{a^2 - 24a}}{|a|} = 5 \implies a^2 - 24a = 25a^2 elde edilir. Bu denklem 24a2+24a=024a^2 + 24a = 0 şeklinde düzenlenir. a≠0a \neq 0 olması gerektiğinden a=−1a = -1 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası apsisi ilişkisi
Soru 207Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−4x+af(x) = x^2 - 4x + a
g(x)=−x2+2bx−3b−2g(x) = -x^2 + 2bx - 3b - 2
parabolleri veriliyor.

g(x)g(x) parabolünün simetri ekseni x=5x = 5 doğrusudur.

f(x)f(x) ve g(x)g(x) parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 olmak üzere, bu iki nokta arasındaki uzaklık 55 birimdir.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24
Doğru cevap 24'tür. g(x) parabolünün simetri ekseninden b = 5 elde edilir. Buradan g(x) parabolünün tepe noktası T_2(5, 8) olur. f(x) parabolünün tepe noktası ise T_1(2, a-4) olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık bağıntısı kullanılarak (5-2)^2 + (8 - (a-4))^2 = 5^2 denklemi kurulur. Buradan (12-a)^2 = 16 elde edilerek a'nın alabileceği değerler 8 ve 16 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün simetri ekseninden yararlanarak b parametresini bulma
b = 5
Bir parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) doğrusudur. g(x) = -x^2 + 2bx - 3b - 2 parabolü için simetri ekseni x = -2b / (2 * -1) = b olur. Soruda bu eksen x = 5 olarak verildiğinden b = 5 bulunur.
2
g(x) parabolünün tepe noktası T_2(r_2, k_2) koordinatlarını hesaplama
T_2(5, 8)
b = 5 değeri fonksiyonda yerine yazılırsa g(x) = -x^2 + 10x - 17 elde edilir. Tepe noktasının apsisi r_2 = 5 olup, ordinatı k_2 = g(5) = -5^2 + 10(5) - 17 = 8 olarak bulunur.
3
f(x) parabolünün tepe noktası T_1(r_1, k_1) koordinatlarını a cinsinden hesaplama
T_1(2, a-4)
f(x) = x^2 - 4x + a parabolünün simetri ekseni r_1 = -(-4) / (2 * 1) = 2 olur. Tepe noktasının ordinatı k_1 = f(2) = 2^2 - 4(2) + a = a - 4 bulunur.
4
Tepe noktaları arasındaki uzaklığı 5 birime eşitleyerek a değerlerini bulma
a = 8 ve a = 16
T_1(2, a-4) ve T_2(5, 8) noktaları arasındaki uzaklık formülü: d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (8 - (a - 4))^2} = 5 şeklindedir. Her iki tarafın karesi alınarak 3^2 + (12 - a)^2 = 25 denklemi elde edilir. Buradan (12 - a)^2 = 16 olur. Bu durumda 12 - a = 4 veya 12 - a = -4 olup a = 8 veya a = 16 bulunur.
5
a'nın alabileceği farklı değerlerin toplamını bulma
24
Bulunan a değerleri 8 ve 16'dır. Bu değerlerin toplamı 8 + 16 = 24 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Soru 208Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
f(x)=x2−2(m+1)x+m2+3m+5f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 3m + 5
parabolünün simetri ekseni x=4x = 4 doğrusudur.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı (kk değeri) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Parabolün tepe noktas��nın ordinatı 7'dir.
Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) formülüyle bulunur. Verilen denklemde a = 1, b = -2(m+1) olduğundan r = m + 1 olur. Simetri ekseni x = 4 olarak verildiği için m + 1 = 4 eşitliğinden m = 3 bulunur. m = 3 değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(x) = x^2 - 8x + 23 parabolü elde edilir. Tepe noktasının ordinatı k = f(r) olduğundan, k = f(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseninden yararlanarak m parametresini bulunuz.
m = 3
Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) doğrusudur. Denklemde a = 1, b = -2(m+1) olduğundan r = m+1 olur. r = 4 verildiği için m+1 = 4 eşitliğinden m = 3 elde edilir.
2
m değerini denklemde yerine yazarak parabol fonksiyonunu oluşturunuz.
f(x) = x^2 - 8x + 23
m = 3 için f(x) = x^2 - 2(3+1)x + 3^2 + 3(3) + 5 = x^2 - 8x + 23 olur.
3
Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine yazarak tepe noktasının ordinatını hesaplayınız.
k = 7
Tepe noktasının ordinatı k = f(r) = f(4) ile hesaplanır. f(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur ve tepe noktası T(r, k) koordinatlarına sahiptir, burada k = f(r) değeri parabolün tepe noktasının ordinatıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 209Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve grafiği bir parabol olan
f(x)=x2−2(m−1)x+m2−3m+5f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3m + 5
fonksiyonu veriliyor.

Bu parabolün tepe noktası y=2x−3y = 2x - 3 doğrusu üzerinde olduğuna göre, parabolün yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Parabol��n y eksenini kestiği noktanın ordinatı 5'tir.
Parabolün tepe noktası koordinatları genel parametrik formüllerle T(m−1,−m+4)T(m-1, -m+4) olarak hesaplanır. Bu noktanın y=2x−3y = 2x - 3 doğrusu üzerinde yer alması kuralından hareketle m=3m = 3 değeri elde edilir. Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı olan f(0)f(0) ifadesinde mm yerine 3 yazıldığında doğru sonuç 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsis (r) değerini formül yardımıyla belirleme
r=−b2a=−−2(m−1)2⋅1=m−1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2(m-1)}{2 \cdot 1} = m-1
Genel biçimi ax2+bx+cax^2+bx+c olan bir parabolün simetri ekseni ve tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır.
2
Tepe noktasının ordinat (k) değerini bulmak için apsis değerini fonksiyonda yerine yazma
k=f(m−1)=(m−1)2−2(m−1)(m−1)+m2−3m+5k = f(m-1) = (m-1)^2 - 2(m-1)(m-1) + m^2 - 3m + 5
k=−(m−1)2+m2−3m+5k = -(m-1)^2 + m^2 - 3m + 5
k=−(m2−2m+1)+m2−3m+5k = -(m^2 - 2m + 1) + m^2 - 3m + 5
k=−m+4k = -m + 4
Böylece tepe noktası T(m−1,−m+4)T(m-1, -m+4) olarak elde edilir.
Parabol üzerindeki tepe noktasının koordinatları T(r,f(r))T(r, f(r)) biçimindedir.
3
Tepe noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak m parametresini hesaplama
−m+4=2(m−1)−3-m + 4 = 2(m-1) - 3
−m+4=2m−5-m + 4 = 2m - 5
3m=9  ⟹  m=33m = 9 \implies m = 3
Bir noktanın bir doğrunun üzerinde olması, o noktanın koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.
4
Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama
f(0)=m2−3m+5f(0) = m^2 - 3m + 5
m=3m = 3 için:
f(0)=32−3(3)+5=9−9+5=5f(0) = 3^2 - 3(3) + 5 = 9 - 9 + 5 = 5
Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır, dolayısıyla f(0)f(0) değeri aranır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının belirlenmesi ve geometrik olarak yorumlanması
Soru 210Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktas�� TT olan
f(x)=x2−4x+mf(x) = x^2 - 4x + m
parabolü veriliyor.

TT noktasının orijine olan uzaklığı 252\sqrt{5} birim olduğuna göre, mm gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

m gerçel say��sının alabileceği pozitif değer 8'dir.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=2r = 2 ve ordinatı k=m−4k = m - 4'tür. T(2,m−4)T(2, m-4) noktasının orijine olan uzaklığı 252\sqrt{5} birim olduğundan 22+(m−4)2=(25)2  ⟹  4+(m−4)2=20  ⟹  (m−4)2=162^2 + (m-4)^2 = (2\sqrt{5})^2 \implies 4 + (m-4)^2 = 20 \implies (m-4)^2 = 16 olur. Buradan mm pozitif değeri için m−4=4  ⟹  m=8m-4 = 4 \implies m = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisinin (r) bulunması
r=2r = 2
Tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü kullanılarak bulunur.
2
Tepe noktasının ordinatının (k) m cinsinden bulunması
k=m−4k = m - 4
Apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak ordinat hesaplanır.
3
Tepe noktasının orijine olan uzaklığının formüle edilmesi
4+(m−4)2=25\sqrt{4 + (m-4)^2} = 2\sqrt{5}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak verilen uzaklık değerine eşitlenir.
4
Denklemin çözülmesi ve pozitif m değerinin belirlenmesi
m=8m = 8
(m−4)2=16(m-4)^2 = 16 eşitliğinden gelen m=8m=8 ve m=0m=0 köklerinden pozitif olanı seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Alternatif Yöntem

Parabolün denklemi tam kareye tamamlama yöntemi kullanılarak f(x)=(x−2)2+m−4f(x) = (x-2)^2 + m - 4 biçiminde yazılabilir. Bu gösterimden tepe noktasının koordinatları doğrudan T(2,m−4)T(2, m-4) olarak okunur. Sonrasında orijine olan uzaklık bağıntısı yazılarak sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 211Soru →
f(x)=x2−4mx+4m2−2m+5f(x) = x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 5 parabolünün tepe noktası,
y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindedir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Parabolün tepe noktası olan T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) koordinatları y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 denkleminde yerine yazıldığında 4m2−4m−3=04m^2 - 4m - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı ise −(−4)/4=1-(-4)/4 = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarını mm cinsinden belirleme.
r=−−4m2=2mr = -\frac{-4m}{2} = 2m ve k=f(2m)=(2m)2−4m(2m)+4m2−2m+5=−2m+5k = f(2m) = (2m)^2 - 4m(2m) + 4m^2 - 2m + 5 = -2m + 5 olarak bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) noktasıdır.
Bir parabolün tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)r = -b/(2a) ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır.
2
T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) noktasının y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 parabolü üzerinde olma koşulunu uygulama.
−2m+5=(2m)2−3(2m)+2  ⟹  −2m+5=4m2−6m+2  ⟹  4m2−4m−3=0-2m + 5 = (2m)^2 - 3(2m) + 2 \implies -2m + 5 = 4m^2 - 6m + 2 \implies 4m^2 - 4m - 3 = 0 denklemi elde edilir.
Bir nokta bir eğri üzerinde yer alıyorsa, noktanın koordinatları eğri denklemini sağlamak zorundadır.
3
4m2−4m−3=04m^2 - 4m - 3 = 0 denklemini sağlayan mm değerlerinin toplamını bulma.
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamı −b/a-b/a formülüyle bulunur. Burada a=4a=4, b=−4b=-4 olduğundan kökler toplamı −−44=1-\frac{-4}{4} = 1 olur.
İstenen mm değerlerinin toplamı, elde edilen ikinci dereceden denklemin kökler toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve bir noktanın fonksiyon denklemini sağlama koşulu.

Alternatif Yöntem

f(x)=x2−4mx+4m2−2m+5f(x) = x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 5 ifadesi, tam kareye tamamlama yöntemiyle f(x)=(x−2m)2−2m+5f(x) = (x - 2m)^2 - 2m + 5 şeklinde yazılabilir. Parabolün tepe noktası formu y=a(x−r)2+ky = a(x - r)^2 + k olduğundan, buradan tepe noktası doğrudan T(2m,−2m+5)T(2m, -2m + 5) olarak okunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 212Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+cf(x) = x^2 - 4x + c
parabolünün xx eksenini kestiği noktalar AA ve BB'dir.

TABTAB üçgeninin alanı 2727 birimkare olduğuna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

c ger��el sayısı -5'tir.
Parabolün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur. Bu doğru, xx eksenini kesen AA ve BB noktalarının tam ortasından geçer. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd ise, kökler 2−d2-d ve 2+d2+d olup taban uzunluğu 2d2d olur. Fonksiyonda yerine yazıldığında d=4−cd = \sqrt{4-c} bulunur. Yükseklik ise tepe noktasının ordinatının mutlak değeri olan 4−c4-c birimdir. Üçgenin alanı 24−c⋅(4−c)2=27  ⟹  (4−c)3/2=27  ⟹  4−c=9  ⟹  c=−5\frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = 27 \implies (4-c)^{3/2} = 27 \implies 4-c = 9 \implies c = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma
T(2,c−4)T(2, c-4)
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−42=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2 formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)+c=c−4k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) + c = c-4 olarak elde edilir.
2
Simetri ekseni yardımıyla kökler arasındaki uzaklığı ifade etme
∣AB∣=24−c|AB| = 2\sqrt{4-c}
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 doğrusudur. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd birim ise kökler x1=2−dx_1 = 2-d ve x2=2+dx_2 = 2+d olur. Taban uzunluğu ∣AB∣=∣x2−x1∣=2d|AB| = |x_2 - x_1| = 2d birimdir. Kök denklemi sağladığından f(2+d)=(2+d)2−4(2+d)+c=0  ⟹  d2−4+c=0  ⟹  d=4−cf(2+d) = (2+d)^2 - 4(2+d) + c = 0 \implies d^2 - 4 + c = 0 \implies d = \sqrt{4-c} elde edilir.
3
Üçgenin yüksekliğini belirleme
h=4−ch = 4-c
Parabol xx eksenini iki farklı noktada kestiği için tepe noktasının ordinatı negatif olmalıdır (c−4<0c-4 < 0). TABTAB üçgeninde [AB][AB] tabanına ait yükseklik, tepe noktasının xx eksenine olan uzaklığıdır: h=∣c−4∣=4−ch = |c-4| = 4-c olur.
4
Alan formülünü uygulayarak c değerini hesaplama
c=−5c = -5
Üçgenin alanı Alan(TAB)=∣AB∣⋅h2=24−c⋅(4−c)2=(4−c)3/2=27\text{Alan}(TAB) = \frac{|AB| \cdot h}{2} = \frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = (4-c)^{3/2} = 27 olarak verilmiştir. Buradan 4−c=272/3=9  ⟹  c=−54-c = 27^{2/3} = 9 \implies c = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası, simetri ekseni ve eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 213Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2ax+a2+3af(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 3a
g(x)=−x2+4ax−4a2+2a+8g(x) = -x^2 + 4ax - 4a^2 + 2a + 8
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 noktalarıdır.

T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabollerin tepe noktalarının koordinatları belirlendikten sonra bu noktaların orijinle doğrusal olma koşulu sağlandığında elde edilen değer 2'dir.
Parabollerin tepe noktaları sırasıyla T1(a,3a)T_1(a, 3a) ve T2(2a,2a+8)T_2(2a, 2a+8) olarak bulunur. Bu iki nokta ve orijin O(0,0)O(0,0) doğrusal olduğundan, OT1OT_1 doğrusunun eğimi olan 3aa=3\frac{3a}{a} = 3, OT2OT_2 doğrusunun eğimi olan 2a+82a\frac{2a+8}{2a} değerine eşit olmalıdır. Buradan 6a=2a+8  ⟹  4a=8  ⟹  a=26a = 2a + 8 \implies 4a = 8 \implies a = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını bulma.
r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve k1=f(a)=a2−2a2+a2+3a=3ak_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 + 3a = 3a olduğundan T1(a,3a)T_1(a, 3a) bulunur.
Bir parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını bulma.
r2=−4a2(−1)=2ar_2 = -\frac{4a}{2(-1)} = 2a ve k2=g(2a)=−(2a)2+4a(2a)−4a2+2a+8=2a+8k_2 = g(2a) = -(2a)^2 + 4a(2a) - 4a^2 + 2a + 8 = 2a + 8 olduğundan T2(2a,2a+8)T_2(2a, 2a+8) bulunur.
İkinci parabolün tepe noktasını bulmak için de aynı tepe noktası formülleri uygulanır.
3
T1(a,3a)T_1(a, 3a), T2(2a,2a+8)T_2(2a, 2a+8) ve orijin O(0,0)O(0,0) noktalarının doğrusal olma koşulunu uygulama.
Orijinden geçen doğrunun eğimi sabit olduğundan 3aa=2a+82a\frac{3a}{a} = \frac{2a+8}{2a} eşitliği elde edilir. Buradan 3=2a+82a  ⟹  6a=2a+8  ⟹  4a=8  ⟹  a=23 = \frac{2a+8}{2a} \implies 6a = 2a + 8 \implies 4a = 8 \implies a = 2 olarak bulunur.
Üç noktanın doğrusal olması, bu noktalar arasında oluşturulan doğruların eğimlerinin eşit olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarının bulunması ve koordinat sisteminde noktaların doğrusallığı ile ilişkilendirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 214Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−(2m−4)x+m2−5f(x) = x^2 - (2m - 4)x + m^2 - 5
parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir.
Bu parabolün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olduğuna göre, TT noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Parabolün tepe noktasının koordinatları çarpımı 14'tür.
Simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r = 2'dir. r=−b2ar = -\frac{b}{2a} bağıntısından m=4m = 4 elde edilir. Parabol denkleminde mm yerine yazıldığında f(x)=x2−4x+11f(x) = x^2 - 4x + 11 bulunur. Tepe noktasının ordinatı k=f(2)=7k = f(2) = 7 olarak hesaplanır. Dolayısıyla, tepe noktasının koordinatları çarpımı 2×7=142 \times 7 = 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri ekseni formülünü uygulamak.
r=m−2=2  ⟹  m=4r = m - 2 = 2 \implies m = 4
Simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur. Burada b=−(2m−4)b = -(2m - 4) ve a=1a = 1 olduğu için r=m−2r = m - 2 olur.
2
mm değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini belirlemek.
f(x)=x2−4x+11f(x) = x^2 - 4x + 11
Tepe noktasının ordinatını bulmak için öncelikle fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.
3
Tepe noktasının ordinatı olan kk değerini bulmak.
k=f(2)=7k = f(2) = 7
Tepe noktasının yy koordinatı kk, fonksiyonda xx yerine simetri ekseni değeri olan r=2r = 2 yazılarak bulunur.
4
Tepe noktasının koordinatları çarpımını hesaplamak.
r×k=2×7=14r \times k = 2 \times 7 = 14
Soru bizden tepe noktası T(r,k)T(r, k)'nin koordinatları çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur ve tepe noktası T(r,f(r))T(r, f(r)) koordinatlarına sahiptir.
Soru 215Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−6x+kf(x) = x^2 - 6x + k
parabolünün tepe noktası TT'dir.
Bu parabolün simetri ekseni,
y=2x−1y = 2x - 1
doğrusunu PP noktasında kesmektedir.

PP noktasının TT noktasına olan uzaklığı 44 birim olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği değerler toplamı 28'dir.
Parabolün simetri ekseni x = 3 doğrusudur. Bu doğrunun y = 2x - 1 doğrusuyla kesişim noktası P(3, 5) olarak bulunur. Parabolün tepe noktası ise T(3, k-9) olur. P ile T noktaları arasındaki uzaklık |5 - (k-9)| = |14 - k| = 4 olup buradan k sayısı 10 veya 18 değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri ekseninin bulunması
x = 3 doğrusu
Parabolün simetri ekseni x = r = -b/(2a) formül��yle bulunur. f(x) = x^2 - 6x + k için r = -(-6)/(2*1) = 3'tür.
2
Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktası P'nin koordinatlarının belirlenmesi
P(3, 5)
Simetri ekseni olan x = 3 doğrusu, y = 2x - 1 doğrusunu kestiği için kesişim noktasının apsisi x = 3'tür. Doğru denkleminde x yerine 3 yazıldığında ordinat y = 2(3) - 1 = 5 bulunur.
3
Tepe noktası T'nin koordinatlarının k cinsinden ifade edilmesi
T(3, k - 9)
Tepe noktasının apsisi r = 3'tür. Ordinatı ise k_0 = f(3) = 3^2 - 6(3) + k = k - 9 olur.
4
P ve T noktaları arasındaki uzaklık bağıntısının kurulması ve çözülmesi
k = 10 veya k = 18
P(3, 5) ve T(3, k-9) noktaları aynı dikey doğru üzerinde olduğundan, aralarındaki uzaklık ordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir: |5 - (k - 9)| = 4, buradan |14 - k| = 4 elde edilir. Bu eşitlikten 14 - k = 4 ise k = 10, ve 14 - k = -4 ise k = 18 bulunur.
5
k değerlerinin toplamının hesaplanması
10 + 18 = 28
Bulunan k değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x = -b/(2a) doğrusudur ve tepe noktası T(r, k_0) bu simetri ekseni üzerindedir.
Soru 216Soru →

Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusudur. Bu parabolün tepe noktası y=3x−5y = 3x - 5 doğrusu üzerinde olup parabol yy eksenini (0,13)(0, 13) noktasında kesmektedir. Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Parabolün x = 1 noktasındaki değeri 8'dir.
Simetri ekseni x=3x = 3 doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olarak belirlenir. Tepe noktası y=3x−5y = 3x - 5 doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinat değeri k=3(3)−5=4k = 3(3) - 5 = 4 olarak hesaplanır. Tepe noktası T(3,4)T(3, 4) olan parabolün denklemi f(x)=a(x−3)2+4f(x) = a(x - 3)^2 + 4 biçiminde kurulur. Parabolün (0,13)(0, 13) noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak a(0−3)2+4=13  ⟹  9a=9  ⟹  a=1a(0 - 3)^2 + 4 = 13 \implies 9a = 9 \implies a = 1 başkatsayısına ulaşılır. Son olarak f(x)=(x−3)2+4f(x) = (x - 3)^2 + 4 fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f(1)=8f(1) = 8 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri eksenini belirleme
r=3r = 3
Parabolün simetri ekseni x=rx = r doğrusudur. Soruda simetri ekseni x=3x = 3 olarak verildiğinden tepe noktasının apsisi r=3r = 3 olur.
2
Tepe noktasının ordinatını bulma
k=4k = 4
Tepe noktası T(3,k)T(3, k) noktası y=3x−5y = 3x - 5 doğrusu üzerinde olduğundan doğrunun denklemini sağlar: k=3(3)−5=4k = 3(3) - 5 = 4 bulunur.
3
Tepe noktası formunda parabol denklemini kurma
f(x)=a(x−3)2+4f(x) = a(x - 3)^2 + 4
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan parabolün standart denklemi f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x - r)^2 + k şeklindedir.
4
Başkatsayıyı bulma
a=1a = 1
Parabol yy eksenini (0,13)(0, 13) noktasında kestiği için f(0)=13f(0) = 13 olmalıd��r. Buradan a(0−3)2+4=13  ⟹  9a=9  ⟹  a=1a(0 - 3)^2 + 4 = 13 \implies 9a = 9 \implies a = 1 elde edilir.
5
İstenen değeri hesaplama
f(1)=8f(1) = 8
Elde edilen f(x)=(x−3)2+4f(x) = (x - 3)^2 + 4 denkleminde x=1x = 1 yazılarak f(1)=(1−3)2+4=4+4=8f(1) = (1 - 3)^2 + 4 = 4 + 4 = 8 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ve simetri ekseninin koordinatlar ve parabol denklemi üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 217Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x - r)^2 + k
parabolünün simetri ekseni x=4x = 4 doğrusudur.

Bu parabolün yy eksenini kestiği nokta A(0,6)A(0, 6)'dır. Parabolün üzerinde bulunan bir BB noktasının apsisi 66 olup, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun eğimi −1-1'dir.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı (kk) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı -2'dir.
Simetri ekseni x=4x = 4 doğrusu olduğundan parabolün tepe noktasının apsisi r=4r = 4'tür ve denklem f(x)=a(x−4)2+kf(x) = a(x - 4)^2 + k şeklinde kurulur. Parabolün üzerindeki A(0,6)A(0, 6) noktası denklemde yerine yazıldığında 16a+k=616a + k = 6 elde edilir. A(0,6)A(0, 6) ve B(6,yB)B(6, y_B) noktalarından geçen doğrunun eğimi −1-1 olduğundan yB=0y_B = 0 bulunur. B(6,0)B(6, 0) noktası da parabolün üzerinde olduğundan denklemde yerine yazıldığında 4a+k=04a + k = 0 bağıntısına ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=1/2a = 1/2 ve tepe noktasının ordinatı olan kk değeri −2-2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni bilgisini kullanarak parabolün tepe noktası formundaki denklemini yazma
f(x)=a(x−4)2+kf(x) = a(x - 4)^2 + k
Parabolün simetri ekseni x=rx = r doğrusu olduğundan, x=4x = 4 doğrusu parabolün tepe noktasının apsisinin r=4r = 4 olduğunu gösterir.
2
Parabolün yy eksenini kestiği A(0,6)A(0, 6) noktasını denklemde yerine yazarak birinci bağıntıyı elde etme
16a+k=616a + k = 6
A(0,6)A(0, 6) noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlamak zorundadır.
3
Eğim bilgisini kullanarak BB noktasının ordinatını hesaplama
B(6,0)B(6, 0)
A(0,6)A(0, 6) ve B(6,yB)B(6, y_B) noktalarından geçen doğrunun eğimi −1-1 olarak verildiği için eğim formülünden yB=0y_B = 0 bulunur.
4
B(6,0)B(6, 0) noktasını parabol denkleminde yerine yazarak ikinci bağıntıyı elde etme
4a+k=04a + k = 0
B(6,0)B(6, 0) noktası parabol üzerinde olduğundan denklemde x=6x = 6 yazıldığında sonuç 00 olmalıdır.
5
Elde edilen denklem sistemini çözerek kk değerini bulma
a=1/2a = 1/2 ve k=−2k = -2
16a+k=616a + k = 6 ve 4a+k=04a + k = 0 denklemlerinin ortak çözümünden kk parametresi −2-2 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni yardımıyla tepe noktası formunda (f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x-r)^2 + k) yazılması ve parabol üzerindeki noktaların denklemde yerine yazılarak bilinmeyen katsayıların bulunması.

Alternatif Yöntem

Parabolün simetri ekseni x=4x = 4 olduğundan, x=0x = 0 apsisli A(0,6)A(0, 6) noktasının simetri eksenine göre simetriği olan C(8,6)C(8, 6) noktası da bu parabolün üzerindedir. Parabolün genel denklemi f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c biçiminde düşünülürse, y-keseninden dolayı c=6c = 6 olur. Simetri ekseni r=−b/(2a)=4  ⟹  b=−8ar = -b/(2a) = 4 \implies b = -8a bağıntısı bulunur. Buradan parabol denklemi f(x)=ax2−8ax+6f(x) = ax^2 - 8ax + 6 olur. Eğim bilgisinden yola çıkarak elde edilen B(6,0)B(6, 0) noktası parabol denkleminde yerine yazılırsa: f(6)=36a−48a+6=0  ⟹  −12a=−6  ⟹  a=1/2f(6) = 36a - 48a + 6 = 0 \implies -12a = -6 \implies a = 1/2 elde edilir. a=1/2a = 1/2 ise b=−4b = -4 olur. Tepe noktasının ordinatı olan kk değeri, parabolün tepe noktasındaki değeri olduğundan k=f(4)=(1/2)(16)−4(4)+6=8−16+6=−2k = f(4) = (1/2)(16) - 4(4) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 218Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−6x+mf(x) = x^2 - 6x + m
g(x)=−x2−2x+ng(x) = -x^2 - 2x + n
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 noktalarıdır.

T1T_1 ve T2T_2 noktaları y=xy = x doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, m+nm + n toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

m + n toplamının değeri 10'dur.
Doğru sonuca ulaşmak için parabollerin tepe noktalarının koordinatları T(r,k)T(r, k) formülü kullanılarak T1(3,m−9)T_1(3, m-9) ve T2(−1,n+1)T_2(-1, n+1) olarak belirlenir. y=xy = x doğrusuna göre simetri kuralı gereği koordinatlar yer değiştireceğinden m−9=−1m-9 = -1 ve n+1=3n+1 = 3 eşitliklerinden m=8m = 8 ve n=2n = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı olan 10 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−6x+mf(x) = x^2 - 6x + m parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T1(3,m−9)T_1(3, m - 9)
Tepe noktasının apsisi r1=−b2a=−−62(1)=3r_1 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 olur. Ordinatı ise k1=f(3)=32−6(3)+m=m−9k_1 = f(3) = 3^2 - 6(3) + m = m - 9 olarak bulunur.
2
g(x)=−x2−2x+ng(x) = -x^2 - 2x + n parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T2(−1,n+1)T_2(-1, n + 1)
Tepe noktasının apsisi r2=−b2a=−−22(−1)=−1r_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1 olur. Ordinatı ise k2=g(−1)=−(−1)2−2(−1)+n=n+1k_2 = g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + n = n + 1 olarak bulunur.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının y=xy = x doğrusuna göre simetrik olması özelliğini kullanarak mm ve nn değerlerini hesaplamak.
m=8m = 8, n=2n = 2 ve m+n=10m + n = 10
Analitik düzlemde bir A(a,b)A(a, b) noktasının y=xy = x doğrusuna göre simetriği B(b,a)B(b, a) noktasıdır. Buna göre, T1(3,m−9)T_1(3, m - 9) noktasının simetriği olan (m−9,3)(m - 9, 3) noktası T2(−1,n+1)T_2(-1, n + 1) noktasına eşit olmalıdır. Buradan m−9=−1  ⟹  m=8m - 9 = -1 \implies m = 8 ve n+1=3  ⟹  n=2n + 1 = 3 \implies n = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı m+n=8+2=10m + n = 8 + 2 = 10 olur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatlarının hesabı ve analitik düzlemde y=xy = x doğrusuna göre simetri ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 219Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve başkatsayısı aa olan
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusudur.
f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12
f(4)+f(5)=2a+4f(4) + f(5) = 2a + 4
olduğunu göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Tepe noktasının ordinatı -4 değerine eşittir.
Parabolün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusu olduğu için bu doğruya eşit uzaklıktaki x=1x=1 ve x=5x=5 noktalarında fonksiyon değerleri birbirine eşittir (f(1)=f(5)f(1) = f(5)). Benzer şekilde f(2)=f(4)f(2) = f(4) eşitliği geçerlidir. Bu durum f(4)+f(5)=2a+4f(4) + f(5) = 2a + 4 ifadesini f(2)+f(1)=2a+4f(2) + f(1) = 2a + 4 biçimine dönüştürür. Soruda verilen f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 bilgisi kullanılarak 2a+4=12  ⟹  a=42a + 4 = 12 \implies a = 4 başkatsayısı elde edilir. Tepe noktası formunda kurulan f(x)=4(x−3)2+kf(x) = 4(x-3)^2 + k denkleminde f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 eşitliği çözüldüğünde tepe noktasının ordinatını temsil eden kk değeri −4-4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni özelliğini kullanarak fonksiyon değerlerini ilişkilendirme
f(1)=f(5)f(1) = f(5) ve f(2)=f(4)f(2) = f(4)
Parabolün simetri ekseni x=3x = 3 doğrusu olduğundan, bu doğruya eşit uzakl��ktaki noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri birbirine eşittir. 11 ve 55 noktaları ile 22 ve 44 noktaları sırasıyla simetri eksenine eşit uzaklıktadır.
2
Verilen ikinci denklemde simetrik değerleri yerine yazarak başkatsayıyı bulma
a=4a = 4
f(4)+f(5)=2a+4f(4) + f(5) = 2a + 4 denkleminde f(4)f(4) yerine f(2)f(2) ve f(5)f(5) yerine f(1)f(1) yazılırsa f(2)+f(1)=2a+4f(2) + f(1) = 2a + 4 elde edilir. Bize f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 olarak verildiğinden, 12=2a+4  ⟹  2a=8  ⟹  a=412 = 2a + 4 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.
3
Parabolü tepe noktası formunda yazma ve ordinatı bulma
k=−4k = -4
Tepe noktası T(3,k)T(3, k) olan parabolün denklemi f(x)=a(x−3)2+kf(x) = a(x-3)^2 + k formunda yazılabilir. a=4a = 4 olduğundan f(x)=4(x−3)2+kf(x) = 4(x-3)^2 + k olur. f(1)+f(2)=12f(1) + f(2) = 12 eşitliğinde değerler yerine yazıldığında: f(1)=4(1−3)2+k=16+kf(1) = 4(1-3)^2 + k = 16 + k ve f(2)=4(2−3)2+k=4+kf(2) = 4(2-3)^2 + k = 4 + k bulunur. Buradan (16+k)+(4+k)=12  ⟹  20+2k=12  ⟹  2k=−8  ⟹  k=−4(16 + k) + (4 + k) = 12 \implies 20 + 2k = 12 \implies 2k = -8 \implies k = -4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri eksenine göre simetrik olan noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri eşittir ve tepe noktası yardımıyla parabol denklemi kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 220Soru →
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
f(x)=2x2−(a+3)x+a−1f(x) = 2x^2 - (a + 3)x + a - 1
parabolünün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur.
Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı olan kk değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı olan kk değeri −4-4 olarak bulunur.
Simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r = 2'dir. Parabolün katsayıları kullanılarak r=−b/(2acoeff)  ⟹  2=(a+3)/4r = -b/(2a_{coeff}) \implies 2 = (a+3)/4 denklemi kurulur. Buradan a=5a = 5 elde edilir. Parabol denklemi f(x)=2x2−8x+4f(x) = 2x^2 - 8x + 4 olur. Tepe noktasının ordinatı ise k=f(2)=2(2)2−8(2)+4=−4k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 4 = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni denkleminden rr değerini belirleme
r=2r = 2
Bir parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsisinden geçen x=rx = r doğrusudur.
2
r=−b/(2a)r = -b/(2a) formülünü uygulayarak aa parametresini hesaplama
a=5a = 5
Tepe noktasının apsisi olan rr ile parabolün katsayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için 2=−(−(a+3))/(2⋅2)2 = -(-(a+3)) / (2 \cdot 2) eşitliği çözülür.
3
Bulunan aa değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini oluşturma
f(x)=2x2−8x+4f(x) = 2x^2 - 8x + 4
Tepe noktasının ordinatını hesaplayabilmek amacıyla fonksiyonun kuralın�� tam olarak elde etmek gerekir.
4
Tepe noktasının ordinatı olan kk değerini hesaplama
k=−4k = -4
Tepe noktasının ordinatı, tepe noktasının apsisinin fonksiyondaki görüntüsüne (f(r)f(r)) eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x=r=−b/(2a)x = r = -b/(2a) doğrusudur ve tepe noktasının ordinatı k=f(r)k = f(r) değeri ile bulunur.

Alternatif Yöntem

Parabol tepe noktası formunda f(x)=2(x−2)2+kf(x) = 2(x - 2)^2 + k olarak yazılabilir. Bu ifade açıldığında f(x)=2(x2−4x+4)+k=2x2−8x+8+kf(x) = 2(x^2 - 4x + 4) + k = 2x^2 - 8x + 8 + k elde edilir. Verilen f(x)=2x2−(a+3)x+a−1f(x) = 2x^2 - (a + 3)x + a - 1 ifadesiyle terim katsayıları karşılaştırıldığında, a+3=8  ⟹  a=5a + 3 = 8 \implies a = 5 bulunur. Sabit terimlerin eşitliğinden ise a−1=8+k  ⟹  5−1=8+k  ⟹  k=−4a - 1 = 8 + k \implies 5 - 1 = 8 + k \implies k = -4 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 11 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 11 | Examkin