Examkin

Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler

113 soru

Tüm türler113Çoktan seçmeli71Sayısal35Eşleştirme7
Soru 101Soru →
Pozitif xx ve yy gerçel sayıları için,
x2+xy=75x^2 + xy = 75
y2+xy=25y^2 + xy = 25
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
x3−y3x2+xy+y2+x2−y2x−y\frac{x^3 - y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x - y}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali olan 2x2x ifadesinde x=7,5x = 7,5 değeri yerine yazıldığ��nda sonuç 15 olarak bulunur.
İstenen cebirsel ifade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde 2x2x ifadesine eşit olur. Sistemden elde edilen x=7,5x = 7,5 değeri yerine yazıldığında sonuç 15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikleri ortak çarpan parantezine alarak taraf tarafa toplayın.
(x+y)2=100(x + y)^2 = 100 elde edilir.
x+yx+y toplamını elde etmek için.
2
xx ve yy sayılarının pozitif olduğunu kullanarak x+yx+y değerini belirleyin ve xx ile yy değerlerini bulun.
x+y=10x+y = 10, buradan x=7,5x = 7,5 ve y=2,5y = 2,5 bulunur.
Bilinmeyen değerleri belirlemek için.
3
İstenen rasyonel ifadeleri iki küp farkı ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
İfade (x−y)+(x+y)=2x(x-y) + (x+y) = 2x haline gelir.
İfadeyi en sade haline getirerek hesaplamayı kolaylaştırmak için.
4
Sadeleşen 2x2x ifadesinde x=7,5x = 7,5 değerini yerine yazın.
15
Nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
Soru 102Soru →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
x2+y2xy\frac{x^2 + y^2}{xy}
ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 12\frac{1}{2}'dir.
Verilen denklem çarpanlarına ayrıldığında (x−2y)(x+y)=0(x-2y)(x+y) = 0 elde edilir. Bu durumda x=2yx = 2y veya x=−yx = -y olmalıdır. İstenen ifadede xx yerine 2y2y yazıldığında 52\frac{5}{2} değeri, xx yerine −y-y yazıldığında ise −2-2 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 12\frac{1}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırız.
x2−xy−2y2=(x−2y)(x+y)=0x^2 - xy - 2y^2 = (x - 2y)(x + y) = 0 elde edilir.
xx ile yy değişkenleri arasındaki ilişkileri tespit etmek.
2
Elde edilen çarpanları sıfıra eşitleyerek olası durumları belirleriz.
x=2yx = 2y veya x=−yx = -y bulunur.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Her bir durumu x2+y2xy\frac{x^2 + y^2}{xy} ifadesinde yerine yazıp değerleri hesaplarız.
x=2yx = 2y için (2y)2+y2(2y)y=5y22y2=52\frac{(2y)^2 + y^2}{(2y)y} = \frac{5y^2}{2y^2} = \frac{5}{2} ve x=−yx = -y için (−y)2+y2(−y)y=2y2−y2=−2\frac{(-y)^2 + y^2}{(-y)y} = \frac{2y^2}{-y^2} = -2 elde edilir.
Değişken dönüşümü ile rasyonel ifadenin sayısal değerlerini bulmak.
4
Elde edilen değerleri toplarız.
52+(−2)=12\frac{5}{2} + (-2) = \frac{1}{2} bulunur.
Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki değişkenli ikinci dereceden ifadelerin çarpanlarına ayrılması ve rasyonel ifadelerde yerine koyma yöntemi.

Alternatif Yöntem

Verilen x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 denkleminin her iki tarafı y2y^2 ile bölündüğünde t=xyt = \frac{x}{y} değişken dönüşümüyle t2−t−2=0t^2 - t - 2 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri t=2t = 2 ve t=−1t = -1 olur. İstenen ifade ise x2+y2xy=xy+yx=t+1t\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t} şeklinde yazılabilir. t=2t = 2 için 2+12=522 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} ve t=−1t = -1 için −1+1−1=−2-1 + \frac{1}{-1} = -2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 52−2=12\frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 103Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
x2−5x+2=0x^2 - 5x + 2 = 0
olduğuna göre,
x4+4x2\frac{x^4 + 4}{x^2}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21
İstenen ifade rasyonel biçimde ayrıştırıldığında x2+4x2x^2 + \frac{4}{x^2} ifadesine eşit olur. Verilen x2−5x+2=0x^2 - 5x + 2 = 0 denklemi xx'e bölünüp düzenlendiğinde x+2x=5x + \frac{2}{x} = 5 elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında x2+4+4x2=25x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 25 bulunur ve buradan aranan değer 21 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi terimlerine ayırarak sadeleştirmek.
x4+4x2=x2+4x2\frac{x^4 + 4}{x^2} = x^2 + \frac{4}{x^2} elde edilir.
İfadeyi, verilen denklemden elde edebileceğimiz daha basit bir forma dönüştürmek amacıyla bu sadeleştirme yapılır.
2
Verilen x2−5x+2=0x^2 - 5x + 2 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölerek x+2xx + \frac{2}{x} ifadesini oluşturmak.
x−5+2x=0  ⟹  x+2x=5x - 5 + \frac{2}{x} = 0 \implies x + \frac{2}{x} = 5 eşitliği bulunur.
x2+4x2x^2 + \frac{4}{x^2} ifadesine ulaşmak için kullanabileceğimiz temel doğrusal bileşeni elde etmek.
3
Elde edilen x+2x=5x + \frac{2}{x} = 5 eşitliğinin her iki tarafının karesini almak.
(x+2x)2=52  ⟹  x2+2⋅x⋅2x+4x2=25  ⟹  x2+4+4x2=25\left(x + \frac{2}{x}\right)^2 = 5^2 \implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 25 \implies x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 25 bulunur.
Tam kare açılımı yardımıyla aradığımız x2+4x2x^2 + \frac{4}{x^2} terimini ortaya çıkarmak.
4
Denklemdeki sabit terimi karşı tarafa atarak hedef ifadeyi yalnız bırakmak.
x2+4x2=25−4=21x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 - 4 = 21 olarak hesaplanır.
Aranan ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Soru 104Soru →
xx pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
x−3x=10x - \frac{3}{\sqrt{x}} = 10
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
x−3xx - 3\sqrt{x}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Verilen denklem x−9−1−3x=0x - 9 - 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} = 0 biçiminde düzenlendiğinde, (x−3)(x+3)−x+3x=0(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) - \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}} = 0 elde edilir. Bu ifade x+3\sqrt{x}+3 ortak parantezine alındığında (x+3)(x−3−1x)=0(\sqrt{x}+3)\left(\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 0 sonucuna ulaşılır. xx pozitif olduğundan x+3≠0\sqrt{x}+3 \neq 0 dır. Buradan x−3−1x=0\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 olmalıdır. Bu eşitliğin her iki tarafı x\sqrt{x} ile çarpıldığında x−3x−1=0x - 3\sqrt{x} - 1 = 0 elde edilir. Sabit terim karşıya atıldığında aranan değer 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki terimleri bir tarafa toplamak amacıyla 10 sayısını 9 ve 1 olarak ikiye ayırıp denklemi yeniden düzenleyelim.
x−9−1−3x=0x - 9 - 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} = 0
İki kare farkı özdeşliği ve ortak paranteze alma yöntemini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.
2
İlk iki terimde iki kare farkı (x−9=(x−3)(x+3)x - 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)) uygulayıp son iki terimi ortak paydada birleştirerek ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
(x−3)(x+3)−x+3x=0(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) - \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}} = 0
Her iki grupta da x+3\sqrt{x}+3 teriminin ortak olduğunu görerek ortak çarpan parantezine alma adımına geçiş yapılır.
3
İfadeyi ortak olan x+3\sqrt{x}+3 çarpanı parantezine alarak düzenleyelim.
(x+3)(x−3−1x)=0(\sqrt{x}+3)\left(\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 0
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşitliğini incelemek için çarpanları belirlemek gerekir.
4
xx pozitif bir gerçel sayı olduğundan x+3\sqrt{x}+3 ifadesinin sıfırdan büyük (sıfırdan farklı) olduğunu belirleyip diğer çarpanı sıfıra eşitleyelim.
x−3−1x=0  ⟹  x−1x=3\sqrt{x} - 3 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 3
Çarpımın sıfır olması için sıfırdan farklı olan çarpan dışındaki ifadenin sıfıra eşit olması şarttır.
5
Elde edilen denklemin her iki tarafını x\sqrt{x} ile çarpıp istenen ifadeyi yalnız bırakalım.
x−1=3x  ⟹  x−3x=1x - 1 = 3\sqrt{x} \implies x - 3\sqrt{x} = 1
Bizden istenen cebirsel ifadenin sayısal değerine doğrudan ulaşmak için denklemi genişletiriz.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği, ortak çarpan parantezine alma ve cebirsel denklemlerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 105Soru →
Pozitif bir mm gerçel sayısı için
m2−4m+1=0m^2 - 4m + 1 = 0
eşitliği verilmektedir.

Buna göre, sol sütunda numaralandırılmış olarak verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütunda harflerle belirtilen bu ifadelerin bu koşul altındaki sayısal değerleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

m2+1m2m^2 + \frac{1}{m^2}
(m−1m)2\left(m - \frac{1}{m}\right)^2
m3+1m3m^3 + \frac{1}{m^3}

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci ifade 14 değeriyle, ikinci ifade 12 değeriyle, üçüncü ifade ise 52 değeriyle eşleşir.
Verilen m2−4m+1=0m^2 - 4m + 1 = 0 denkleminden m+1m=4m + \frac{1}{m} = 4 elde edilir. Bu temel eşitlik kullanılarak tam kare ve iki küp toplamı özdeşlikleri yardımıyla her bir ifadenin sayısal karşılığı sırasıyla 14, 12 ve 52 olarak doğru bir şekilde bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde her terimi mm değerine bölerek m+1mm + \frac{1}{m} ifadesinin değerini elde ediniz.
m+1m=4m + \frac{1}{m} = 4 bulunur.
mm pozitif bir sayı olduğundan sıfırdan farklıdır ve denklemi mm ile bölmek tanımlıdır.
2
m+1m=4m + \frac{1}{m} = 4 eşitliğinin her iki tarafının karesini alarak birinci ifadenin değerini hesaplayınız.
m2+1m2=14m^2 + \frac{1}{m^2} = 14 bulunur.
Tam kare özdeşliğinin açılımında çarpımlarının iki katı olan 2 terimini karşı tarafa atmak gerekir.
3
İkinci ifadenin tam kare açılımını yaparak elde edilen değerleri yerine koyunuz.
(m−1m)2=12\left(m - \frac{1}{m}\right)^2 = 12 bulunur.
İki terimin farkının karesi açılımı m2−2+1m2m^2 - 2 + \frac{1}{m^2} şeklinde olup önceki adımda bulunan karesel toplamı yerine yazmayı gerektirir.
4
Üçüncü ifadeyi küp toplamı özdeşliği kullanarak açınız ve bilinen değerleri yerine yazarak hesaplayınız.
m3+1m3=52m^3 + \frac{1}{m^3} = 52 bulunur.
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) özdeşliği hesaplamayı doğrudan kolaylaştırır.

Anahtar Kavram

Tam kare açılımı, terimlerin karesinin toplamı ve iki küp toplamı özdeşlikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 106Soru →
x∉{−4,−2}x \notin \{-4, -2\} olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta
x2+ax−12x2+bx+c\frac{x^2 + ax - 12}{x^2 + bx + c}
ifadesinin en sade şekli
x−3x+2\frac{x-3}{x+2}
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
İfadenin en sade halinde pay kısmında x−3x-3 kaldığına göre payın diğer çarpanı olan x+4x+4 sadeleşmiştir. Bu durumda paydadaki ifade de x+4x+4 çarpanını içermelidir. En sade halin paydasında x+2x+2 kaldığına göre, payda ifadesi (x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8 olur. Buradan katsayılar a=1a=1, b=6b=6 ve c=8c=8 olarak bulunur. Toplamları ise 15 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ifadesinin çarpanlarına ayrılması
x2+ax−12x^2 + ax - 12 ifadesinin çarpanlarından biri sadeleşmiş biçimin payındaki x−3x-3 terimidir. Diğer çarpan x−kx - k olarak yazılırsa, (−3)⋅(−k)=−12  ⟹  k=−4(-3) \cdot (-k) = -12 \implies k = -4 olur. Dolayısıyla pay ifadesi (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) şeklindedir. Buradan a=4−3=1a = 4 - 3 = 1 elde edilir.
Sadeleşme sonrasında pay kısmında x−3x-3 teriminin kalması, payın bu çarpanı içermesini gerektirir.
2
Sadeleşen terimin bulunması ve paydanın çarpanlarına ayrılması
Paydaki (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) ifadesinden x−3x-3 terimi kaldığına göre, sadeleşen terim x+4x+4 çarpanıdır. Bu durumda paydanın çarpanlarından biri de x+4x+4 olmalıdır. En sade halin paydasında x+2x+2 kaldığına göre payda ifadesi (x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8 olarak bulunur.
Sadeleşen x+4x+4 çarpanı ile en sade biçimde kalan x+2x+2 çarpanı çarpılarak başlangıçtaki payda elde edilir.
3
Bilinmeyen katsayıların belirlenmesi ve toplamın hesaplanması
Payda ifadesinin x2+6x+8x^2 + 6x + 8 eşitliğinden b=6b=6 ve c=8c=8 bulunur. a=1a=1 olduğundan, a+b+c=1+6+8=15a + b + c = 1 + 6 + 8 = 15 olarak hesaplanır.
Tüm katsayılar belirlendikten sonra toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Soru 107Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütundaki çarpanlarına ayrılmış en sade biçimleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

a2−b2−2a+2ba^2 - b^2 - 2a + 2b
a2+2ab+b2−4a^2 + 2ab + b^2 - 4
a3−a2b−ab2+b3a^3 - a^2b - ab^2 + b^3

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci cebirsel ifade üçüncü çarpanlara ayrılmış biçim ile, ikinci cebirsel ifade birinci çarpanlara ayrılmış biçim ile, üçüncü cebirsel ifade ise ikinci çarpanlara ayrılmış biçim ile eşleşir.
Verilen cebirsel ifadeler sırasıyla gruplandırma, tam kare açılımı ve iki kare farkı yöntemleri kullanılarak çarpanlarına ayrıldığında, her bir ifade sağ sütundaki tam karşılığı olan çarpanlara ayrılmış biçim ile eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1
a2−b2−2a+2ba^2 - b^2 - 2a + 2b ifadesini gruplandırarak çarpanlar��na ayırınız.
a2−b2−2a+2b=(a−b)(a+b)−2(a−b)=(a−b)(a+b−2)a^2 - b^2 - 2a + 2b = (a-b)(a+b) - 2(a-b) = (a-b)(a+b-2)
İlk iki terimde iki kare farkı, son iki terimde ortak paranteze alma uygulanarak ortak bir (a−b)(a-b) çarpanı oluşturulmuştur.
2
a2+2ab+b2−4a^2 + 2ab + b^2 - 4 ifadesini tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanarak çarpanlarına ayırınız.
a2+2ab+b2−4=(a+b)2−22=(a+b−2)(a+b+2)a^2 + 2ab + b^2 - 4 = (a+b)^2 - 2^2 = (a+b-2)(a+b+2)
İlk üç terim tam kare oluşturduğundan, ifade iki kare farkı biçimine getirilip çarpanlarına ayrılmıştır.
3
a3−a2b−ab2+b3a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 ifadesini gruplandırarak ortak çarpan parantezine alınız.
a3−a2b−ab2+b3=a2(a−b)−b2(a−b)=(a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b)a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 = a^2(a-b) - b^2(a-b) = (a-b)(a^2-b^2) = (a-b)^2(a+b)
Terimler ortak çarpan parantezine alınacak şekilde gruplandırılmış ve ardından elde edilen iki kare farkı çarpanlarına ayrılmıştır.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak çarpanlara ayırma, tam kare ve iki kare farkı özdeşlikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 108Soru →

Kenar uzunluğu aa birim olan kare şeklindeki bir kartonun üzerine, kenarları bu kartonun kenarlarına paralel olacak şekilde kenar uzunluğu bb birim olan kare şeklinde bir fotoğraf yapıştırılıyor.

Kartonun üzerinde fotoğrafın dışında kalan bölgenin alanı 3232 birimkare, karton ile fotoğrafın çevrelerinin toplamı ise 3232 birimdir.

Buna göre, kartonun bir kenar uzunluğu ile fotoğrafın bir kenar uzunluğunun çarpımı (a⋅ba \cdot b) kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kartonun bir kenar uzunluğu ile fotoğrafın bir kenar uzunluğunun çarpımı 12 birimkaredir.
Doğru cevap 12'dir. Çevreler toplamından a+b=8a+b = 8 elde edilir. İki kare farkı özdeşliği (a2−b2=(a−b)(a+b)=32a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 32) kullanılarak a−b=4a-b = 4 bulunur. Buradan a=6a=6 ve b=2b=2 değerlerine ulaşılır ve bu iki değerin çarpımı 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartonun ve fotoğrafın çevreleri ile alanları arasındaki ilişkileri belirten denklemleri yazın.
Kartonun çevresi 4a4a, fotoğrafın çevresi 4b4b olduğundan çevreler toplamı 4a+4b=32⇒a+b=84a + 4b = 32 \Rightarrow a + b = 8 olur. Fotoğrafın dışında kalan alan ise iki karenin alanları farkına eşittir: a2−b2=32a^2 - b^2 = 32.
Problemde verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak a−ba-b farkını bulun.
a2−b2=(a−b)(a+b)=32a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 32 eşitliğinde a+b=8a+b = 8 değeri yerine yazıldığında (a−b)⋅8=32⇒a−b=4(a-b) \cdot 8 = 32 \Rightarrow a - b = 4 elde edilir.
a⋅ba \cdot b değerine ulaşmak için gerekli olan a−ba-b farkını hesaplamak amacıyla iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılır.
3
a+b=8a+b = 8 ve a−b=4a-b = 4 eşitliklerini kullanarak a⋅ba \cdot b çarpımını elde edin.
Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa 2a=12⇒a=62a = 12 \Rightarrow a = 6 bulunur. a+b=8a + b = 8 eşitliğinden b=2b = 2 olur. Buradan a⋅b=6⋅2=12a \cdot b = 6 \cdot 2 = 12 elde edilir. Alternatif olarak, (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab özdeşliği kullanılırsa: 82−42=4ab⇒64−16=4ab⇒48=4ab⇒ab=128^2 - 4^2 = 4ab \Rightarrow 64 - 16 = 4ab \Rightarrow 48 = 4ab \Rightarrow ab = 12 bulunur.
İstenen a⋅ba \cdot b çarpımının sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) ve tam kare ifadelerin ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 109Soru →
(x2−x)2−8(x2−x)+12=0\left(x^2 - x\right)^2 - 8\left(x^2 - x\right) + 12 = 0

denkleminin pozitif tam sayı olan köklerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Pozitif tam sayı olan köklerin çarpımı 6'dır.
Verilen denklemde x2−x=ux^2 - x = u dönüşümü yapılıp çözüldüğünde elde edilen gerçek kökler −2,−1,2-2, -1, 2 ve 33 sayılarıdır. Bu köklerden pozitif tam sayı olanlar 22 ve 33 olduğundan, bunların çarpımı olan 6 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
x2−x=ux^2 - x = u dönüşümü yapıldığında denklem u2−8u+12=0u^2 - 8u + 12 = 0 hâline gelir.
Yüksek dereceli bir denklemi ikinci dereceden denklem formuna indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.
2
uu değişkenine bağlı yeni denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
(u−6)(u−2)=0  ⟹  u=6(u - 6)(u - 2) = 0 \implies u = 6 veya u=2u = 2 bulunur.
Dönüşüm değişkeninin alabileceği değerleri belirlemek.
3
Bulunan uu değerleri yerine yazılarak xx değişkenine bağlı denklemler çözülür.
1. x2−x=6  ⟹  x2−x−6=0  ⟹  (x−3)(x+2)=0  ⟹  x=3x^2 - x = 6 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 veya x=−2x = -2
2. x2−x=2  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=2x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2 veya x=−1x = -1
Denklemin gerçek kökler kümesi {−2,−1,2,3}\{-2, -1, 2, 3\} olarak elde edilir.
Orijinal bilinmeyen olan xx'in alabileceği gerçek sayı değerlerini bulmak.
4
Kökler arasından pozitif tam sayı olanlar seçilerek çarpılır.
Köklerden pozitif tam sayı olanlar 22 ve 33'tür. Çarpımları ise 2×3=62 \times 3 = 6 olur.
Soruda belirtilen sayı kümesi sınırlamasına göre istenen sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve köklerin sayı kümelerine göre sınıflandırılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 110Soru →
3x2−2x−1+33+2x−x2=103^{x^2-2x-1} + 3^{3+2x-x^2} = 10 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı 4'tür.
Verilen üstel denklemde üslerin toplamı sabit olduğundan y=x2−2x−1y = x^2-2x-1 dönüşümüyle denklem 3y+9/3y=103^y + 9/3^y = 10 biçimine getirilir. t=3yt = 3^y denilerek çözüldüğünde t=1t = 1 ve t=9t = 9 kökleri bulunur. Buradan y=0y = 0 ve y=2y = 2 elde edilir. x2−2x−1=0x^2-2x-1=0 denkleminin diskriminantı Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olup iki gerçel kökü vardır ve toplamları 22'dir. x2−2x−3=0x^2-2x-3=0 denkleminin diskriminantı Δ=16>0\Delta = 16 > 0 olup iki gerçel kökü vardır ve toplamları 22'dir. Sonuç olarak, tüm gerçel köklerin toplamı 2+2=42+2=4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üslerin toplamının sabit olduğunu fark edip değişken ataması yapalım.
y=x2−2x−1y = x^2-2x-1 olsun. Bu durumda 3+2x−x2=2−(x2−2x−1)=2−y3+2x-x^2 = 2 - (x^2-2x-1) = 2-y olur. Denklem 3y+32−y=103^y + 3^{2-y} = 10 haline gelir.
Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için üsler arasındaki bağıntıyı kullanmalıyız.
2
t=3yt = 3^y dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklem elde edelim.
t+9t=10  ⟹  t2−10t+9=0  ⟹  (t−1)(t−9)=0t + \frac{9}{t} = 10 \implies t^2 - 10t + 9 = 0 \implies (t-1)(t-9) = 0 elde edilir. Buradan t=1t = 1 veya t=9t = 9 bulunur.
Üstel ifadeyi doğrusal/polinomial bir denkleme dönüştürmek çözümü kolaylaştırır.
3
tt değerlerini kullanarak yy değerlerini bulalım.
3y=1  ⟹  y=03^y = 1 \implies y = 0 ve 3y=9  ⟹  y=23^y = 9 \implies y = 2 bulunur.
t=3yt = 3^y kabulümüzü kullanarak asıl değişkenimiz olan yy'ye geri döneriz.
4
yy değerleri için xx denklemlerini yazıp gerçel köklerin varlığını kontrol edelim ve toplamlarını bulalım.
y=0  ⟹  x2−2x−1=0y = 0 \implies x^2 - 2x - 1 = 0. Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olduğundan iki farklı gerçel kök vardır ve toplamları −ba=2-\frac{b}{a} = 2'dir. y=2  ⟹  x2−2x−1=2  ⟹  x2−2x−3=0y = 2 \implies x^2 - 2x - 1 = 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0. Δ=16>0\Delta = 16 > 0 olduğundan iki farklı gerçel kök vardır (bunlar 33 ve −1-1'dir) ve toplamları −ba=2-\frac{b}{a} = 2'dir. Tüm gerçel köklerin toplamı 2+2=42 + 2 = 4 olur.
Her iki denklemin de gerçel kökleri olup olmadığını diskriminant yardımıyla kontrol etmeli ve kökler toplamı formülünü uygulayarak sonuca ulaşmalıyız.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerde değişken değiştirme yöntemi ve köklerin varlığının kontrolü.
Soru 111Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x2−3x∣2−2∣x2−3x∣−8=0|x^2 - 3x|^2 - 2|x^2 - 3x| - 8 = 0
denkleminin gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Gerçel köklerin çarpımı -4'tür.
Doğru seçenekte, denklemde ∣x2−3x∣=t|x^2 - 3x| = t değişken değiştirmesi yapılmış, mutlak değerin negatif olamayacağı dikkate alınarak yalnızca t=4t = 4 değeri seçilmiştir. Bu değerden elde edilen x2−3x−4=0x^2 - 3x - 4 = 0 denkleminin gerçel kökleri 44 ve −1-1 olarak bulunmuş, diskriminantı negatif olan diğer durumun gerçel kökü olmadığı görülmüş ve kökler çarpımı doğru şekilde −4-4 olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli ifadeye yeni bir değişken atanması
∣x2−3x∣=t|x^2 - 3x| = t dönüşümü yapılarak t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden denklem çözme yöntemlerini uygulamak için değişken değiştirilir.
2
Değişkenin değerlerinin bulunması ve sınırlamanın kontrol edilmesi
(t−4)(t+2)=0  ⟹  t=4(t-4)(t+2) = 0 \implies t = 4 veya t=−2t = -2 bulunur. Mutlak değer negatif olamayacağından (t≥0t \geq 0), yalnızca t=4t = 4 değeri kabul edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin tanım kümesi gereği negatif değer alamayacağı kuralı uygulanır.
3
Değişkenin asıl ifadedeki karşılığının yazılması ve yeni denklemlerin çözülmesi
∣x2−3x∣=4|x^2 - 3x| = 4 eşitliğinden iki durum elde edilir:
1) x2−3x=4  ⟹  x2−3x−4=0x^2 - 3x = 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0
2) x2−3x=−4  ⟹  x2−3x+4=0x^2 - 3x = -4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0
Mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak ikinci dereceden denklemler oluşturulur.
4
Oluşan denklemlerin gerçel köklerinin incelenmesi ve köklerin bulunması
İlk denklem için: x2−3x−4=0  ⟹  (x−4)(x+1)=0  ⟹  x=4x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 \implies x = 4 ve x=−1x = -1 gerçel köklerdir.
İkinci denklem için: x2−3x+4=0x^2 - 3x + 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(−3)2−4⋅1⋅4=−7<0\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -7 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Her bir denklemin gerçel sayılar kümesindeki çözüm kümesi bulunur.
5
Gerçel köklerin çarpımının hesaplanması
Gerçel kökler 44 ve −1-1 olduğundan, çarpımları 4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen gerçel kökler çarpımına ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlerin Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çözümü
Soru 112Soru →
x2−3x+x2−3x+5=7x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7

denkleminin rasyonel olan gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Rasyonel olan gerçel köklerin çarpımı -4'tür.
Değişken değiştirme yöntemiyle x2−3x+5=u\sqrt{x^2 - 3x + 5} = u dönüşümü yapıldığında u≥0u \ge 0 olmalıdır. Denklem u2+u−12=0u^2 + u - 12 = 0 halini alır ve buradan geçerli kök u=3u = 3 olarak bulunur. Buradan elde edilen x2−3x−4=0x^2 - 3x - 4 = 0 denkleminin kökleri 44 ve −1-1 olup her ikisi de rasyoneldir. Bu köklerin çarpımı −4-4 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemde ortak olan ifadeyi belirleyip değişken değiştirme yöntemi uygulayalım.
x2−3x+5=u\sqrt{x^2 - 3x + 5} = u dönüşümü yapalım. Bu durumda kareköklü ifadenin tanımı gereği u≥0u \ge 0 olmalıdır. Buradan x2−3x+5=u2  ⟹  x2−3x=u2−5x^2 - 3x + 5 = u^2 \implies x^2 - 3x = u^2 - 5 elde edilir.
Köklü ifadeyi içeren denklemi daha kolay çözülebilen ikinci dereceden bir denkleme dönüştürmek.
2
Elde edilen ifadeleri orijinal denklemde yerine yazarak yeni denklemi oluşturalım.
(u2−5)+u=7  ⟹  u2+u−12=0(u^2 - 5) + u = 7 \implies u^2 + u - 12 = 0 denklemi elde edilir.
Denklemi tek bir değişken (uu) cinsinden standart ikinci dereceden denklem formuna getirmek.
3
uu değişkenine bağlı denklemi çarpanlarına ayırarak uu değerlerini bulalım.
(u+4)(u−3)=0  ⟹  u=−4(u + 4)(u - 3) = 0 \implies u = -4 veya u=3u = 3 bulunur. Ancak başlangıçtaki u≥0u \ge 0 koşulundan dolayı u=−4u = -4 olamaz. Dolayısıyla sadece u=3u = 3 değeri geçerlidir.
Kareköklü ifadelerin gerçel sayılardaki tanım aralığı sınırına uygun kökleri seçmek.
4
Geçerli olan u=3u = 3 değerini geri yerine yazarak xx değerlerini hesaplayalım.
x2−3x+5=3  ⟹  x2−3x+5=9  ⟹  x2−3x−4=0\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3 \implies x^2 - 3x + 5 = 9 \implies x^2 - 3x - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (x−4)(x+1)=0  ⟹  x=4(x - 4)(x + 1) = 0 \implies x = 4 ve x=−1x = -1 kökleri bulunur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değişkeninin gerçel köklerini elde etmek.
5
Bulunan köklerin rasyonellik durumunu inceleyip istenen çarpım değerini hesaplayalım.
Köklerimiz olan 44 ve −1-1 tam sayılardır ve dolayısıyla rasyonel sayılardır. Bu köklerin çarpımı 4×(−1)=−44 \times (-1) = -4 olarak bulunur.
Soruda talep edilen rasyonel gerçel köklerin çarpımını bulmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlere dönüştürülebilen köklü denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve köklerin sayı kümelerine göre sınıflandırılması.
Soru 113Soru →
x2−4x+6x2−4x+5=0x^2 - 4x + \frac{6}{x^2 - 4x + 5} = 0 denklemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Verilen denklemde x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yapılıp payda eşitlendiğinde t2+5t+6=0t^2 + 5t + 6 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri t=−2t = -2 ve t=−3t = -3 olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında x2−4x=−2x^2 - 4x = -2 denkleminin kökleri tam sayı çıkmazken, x2−4x=−3x^2 - 4x = -3 denkleminin kökleri olan 11 ve 33 tam sayılardır. Bu tam sayıların toplamı 44 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yapılarak denklem sadeleştirilir.
t+6t+5=0t + \frac{6}{t+5} = 0 denklemi elde edilir.
Dördüncü dereceden bir denklemi çözülebilir kılmak amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
t+6t+5=0t + \frac{6}{t+5} = 0 denkleminde payda eşitlenir.
t2+5t+6=0t^2 + 5t + 6 = 0 ve t≠−5t \neq -5 şartı elde edilir.
Rasyonel ifadeden kurtulup ikinci dereceden tek bir denklem elde etmek için payda eşitlenir.
3
t2+5t+6=0t^2 + 5t + 6 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
t=−2t = -2 ve t=−3t = -3 değerleri bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
4
tt değerleri yerine yazılarak xx değişkenine bağlı denklemler çözülür.
x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri tam sayı değildir; x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 tam sayılarıdır.
Orijinal bilinmeyen olan xx değerlerini ve bu değerlerin tam sayı olma durumlarını belirlemek için dönüşüm geri uygulanır.
5
Elde edilen tam sayı kökleri toplanır.
1+3=41 + 3 = 4 sonucu elde edilir.
Soru kökündeki koşulu sağlayan köklerin toplamına ulaşmak amacıyla bu toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen denklemlerin çözümü.
ÖncekiSayfa 6 / 6
Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin