Examkin

Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler

113 soru

Tüm türler113Çoktan seçmeli71Sayısal35Eşleştirme7
Soru 81Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x+6x)2−12(x+6x)+35=0\left(x + \frac{6}{x}\right)^2 - 12\left(x + \frac{6}{x}\right) + 35 = 0
denkleminin gerçel köklerinden asal sayı olanların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemin asal sayı olan gerçel köklerinin toplamı 5'tir.
Denklemde x+6x=tx + \frac{6}{x} = t dönüşümü uygulandığında elde edilen t2−12t+35=0t^2 - 12t + 35 = 0 denkleminin kökleri t=5t = 5 ve t=7t = 7 olur. Bu değerler yerine yazıldığında elde edilen x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ve x2−7x+6=0x^2 - 7x + 6 = 0 denklemlerinin kökleri sırasıyla {2,3}\{2, 3\} ve {1,6}\{1, 6\}'dır. Bu kökler arasından sadece 2 ve 3 asal sayı olduğundan toplamları 5 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
t=x+6xt = x + \frac{6}{x} dönüşümü yapmak
t2−12t+35=0t^2 - 12t + 35 = 0 denklemi elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak yüksek dereceli denklem ikinci dereceden denkleme indirgenir.
2
t2−12t+35=0t^2 - 12t + 35 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözmek
t=5t = 5 ve t=7t = 7 kökleri elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle yardımcı değişkenin alabileceği değerler hesaplanır.
3
xx değişkenine bağlı denklemleri çözmek
Kökler kümesi {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} olarak bulunur.
x+6x=5x + \frac{6}{x} = 5 ve x+6x=7x + \frac{6}{x} = 7 denklemleri çözülerek orijinal denklemin tüm gerçel kökleri elde edilir.
4
Kökler arasından asal olanları belirleyip toplamak
Asal kökler 2 ve 3 olup toplamları 5'tir.
1 sayısının asal olmadığı gerçeği göz önünde bulundurularak sadece asal kökler toplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve köklerin sayı kümeleri özelliklerine göre analiz edilmesi.
Soru 82Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
x−1x+2=3x - \frac{1}{x+2} = 3
olduğuna göre, (x+2)3−1(x+2)3(x+2)^3 - \frac{1}{(x+2)^3} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

İfadenin değeri 140'tır.
Verilen denklemde her iki tarafa 2 eklenerek x+2−1x+2=5x + 2 - \frac{1}{x+2} = 5 eşitliği elde edilir. Burada u=x+2u = x + 2 dönüşümü yapıldığında u−1u=5u - \frac{1}{u} = 5 olur. İstenen ifade ise u3−1u3u^3 - \frac{1}{u^3} şeklindedir. İki küp farkı özdeşliği olan u3−1u3=(u−1u)3+3(u−1u)u^3 - \frac{1}{u^3} = (u - \frac{1}{u})^3 + 3(u - \frac{1}{u}) formülü uygulandığında 53+3⋅5=1405^3 + 3 \cdot 5 = 140 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin her iki tarafına 2 eklenir.
x+2−1x+2=3+2  ⟹  x+2−1x+2=5x + 2 - \frac{1}{x+2} = 3 + 2 \implies x + 2 - \frac{1}{x+2} = 5 elde edilir.
Paydadaki x+2x+2 ifadesi ile uyumlu bir terim oluşturarak değişken değiştirme yöntemini uygulayabilmek için bu adım gereklidir.
2
Elde edilen yeni denklemde değişken değiştirme yapılır.
u=x+2u = x+2 denilirse, denklem u−1u=5u - \frac{1}{u} = 5 olur.
İfadeleri sadeleştirmek ve bilinen özdeşlik kalıplarına benzetmek için değişken değiştirme kolaylık sağlar.
3
İstenen (x+2)3−1(x+2)3(x+2)^3 - \frac{1}{(x+2)^3} ifadesi uu cinsinden yazılır ve iki küp farkı özdeşliği uygulanır.
İstenen ifade u3−1u3u^3 - \frac{1}{u^3} olur. İki küp farkı özdeşliğinden, u3−1u3=(u−1u)3+3(u−1u)u^3 - \frac{1}{u^3} = \left(u - \frac{1}{u}\right)^3 + 3\left(u - \frac{1}{u}\right) yazılır.
Küp toplamı ve farkı özdeşliklerini kullanarak u−1uu - \frac{1}{u} değerini doğrudan yerine yazabilmek için.
4
u−1u=5u - \frac{1}{u} = 5 değeri özdeşlikte yerine konularak sonuç hesaplanır.
u3−1u3=53+3⋅5=125+15=140u^3 - \frac{1}{u^3} = 5^3 + 3 \cdot 5 = 125 + 15 = 140 bulunur.
Dört işlem basamaklarını tamamlayıp nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemi yardımıyla iki küp farkı özdeşliğinin uygulanması.
Soru 83Soru →
x2−8x+2m−4=0x^2 - 8x + 2m - 4 = 0 denkleminin birbirinden farklı iki gerçel kökü olduğuna göre, mm parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Denkleminin birbirinden farklı iki gerçel kökünün bulunması için diskriminantın sıfırdan büyük olması gerekir. Yapılan işlemler sonucunda m<10m < 10 eşitsizliği elde edilir ve bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Diskriminant (Δ\Delta) formülü yazılır.
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığı ve türü diskriminant yardımıyla belirlenir.
2
Verilen denklemdeki katsayılar diskriminant formülünde yerine konur.
Δ=(−8)2−4⋅1⋅(2m−4)=64−8m+16=80−8m\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 4) = 64 - 8m + 16 = 80 - 8m
Denklemin katsayıları a=1a = 1, b=−8b = -8 ve c=2m−4c = 2m - 4'tür.
3
Denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü olması koşulu uygulanır.
Δ>0  ⟹  80−8m>0\Delta > 0 \implies 80 - 8m > 0
Bir ikinci dereceden denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökünün olması için diskriminantın sıfırdan büyük olması gerekir.
4
Elde edilen eşitsizlik mm için çözülür.
80 > 8m \implies m < 10
mm parametresinin değer aralığını bulmak için eşitsizlik sadeleştirilir.
5
Bulunan aralıktaki en büyük tam sayı değeri belirlenir.
m = 9
10'dan küçük en büyük tam sayı 9'dur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemin diskriminantı yardımıyla kök durumlarının incelenmesi ve parametre aralığı bulma.
Soru 84Soru →

Bir P(x)P(x) polinomu için,

* P(x+2)P(x+2) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 99,
* P(x−1)P(x-1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 55

olduğu biliniyor.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−4x+3x^2 - 4x + 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x+32x + 3

Cevap

İstenen kalan polinomu 2x+32x + 3 ifadesidir.
Polinom bölme ve kalan bulma kuralları uygulandığında P(3)=9P(3)=9 ve P(1)=5P(1)=5 eşitlikleri elde edilir. Kalan polinomu K(x)=ax+bK(x) = ax+b biçiminde yazılıp bu değerler yerine konduğunda oluşan iki bilinmeyenli denklem sisteminden a=2a=2 ve b=3b=3 bulunarak kalan 2x+32x+3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x+2)P(x+2) ve P(x−1)P(x-1) polinomlarının verilen bölenlere göre kalan değerleri belirlenir.
P(x+2)P(x+2) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 99 ise, bölme kuralı gereği x−1=0  ⟹  x=1x-1=0 \implies x=1 değeri polinomda yerine yazılır ve P(1+2)=P(3)=9P(1+2) = P(3) = 9 elde edilir. Benzer şekilde, P(x−1)P(x-1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 55 ise, x−2=0  ⟹  x=2x-2=0 \implies x=2 değeri yerine yazılır ve P(2−1)=P(1)=5P(2-1) = P(1) = 5 elde edilir.
Bölme işleminde kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenerek elde edilen değişken değeri polinomda yerine yazılır.
2
Bölen polinom çarpanlarına ayrılarak bölme özdeşliği kurulur ve kalan polinomun genel biçimi yazılır.
Bölen polinom x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci dereceden bir bölme işleminde kalan en fazla birinci dereceden olabileceğinden kalan polinomu K(x)=ax+bK(x) = ax + b şeklinde seçilir. Bölme özdeşliği: P(x)=(x−3)(x−1)⋅Q(x)+ax+bP(x) = (x-3)(x-1) \cdot Q(x) + ax + b olur.
Kalan polinomunun derecesi, bölen polinomun derecesinden daima küçük olmalıdır.
3
Elde edilen P(3)=9P(3) = 9 ve P(1)=5P(1) = 5 değerleri bölme özdeşliğinde yerine yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.
x=3x = 3 için: P(3)=0⋅Q(3)+3a+b  ⟹  3a+b=9P(3) = 0 \cdot Q(3) + 3a + b \implies 3a + b = 9 olur. x=1x = 1 için: P(1)=0⋅Q(1)+a+b  ⟹  a+b=5P(1) = 0 \cdot Q(1) + a + b \implies a + b = 5 olur.
Bölenin kökleri bölme özdeşliğinde yazıldığında bölüm kısmını sıfırlayarak doğrudan kalan katsayılarına ulaşmamızı sağlar.
4
Oluşan denklem sistemi çözülerek aa ve bb katsayıları bulunur.
3a+b=93a + b = 9 denkleminden a+b=5a + b = 5 denklemi taraf tarafa çıkarılırsa: 2a=4  ⟹  a=22a = 4 \implies a = 2 bulunur. a+b=5  ⟹  2+b=5  ⟹  b=3a + b = 5 \implies 2 + b = 5 \implies b = 3 elde edilir. Bu durumda kalan K(x)=2x+3K(x) = 2x + 3 olur.
Bilinmeyen katsayıları bularak kalan polinomunu tam olarak belirlemek için denklem sistemi çözülür.

Anahtar Kavram

Polinomlarda ikinci dereceden bir ifadeye bölme işleminde kalan polinomunun bulunması
Soru 85Soru →

P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları arasında

P(x+1)+x⋅Q(x−1)=x2+5x−3P(x+1) + x \cdot Q(x-1) = x^2 + 5x - 3

bağıntısı bulunmaktadır.

Q(x)Q(x) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 44 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x−3x-3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Aranan kalan değeri 3'tür.
Verilen bağıntıda x=2x=2 yazılarak P(3)+2⋅Q(1)=11P(3) + 2 \cdot Q(1) = 11 eşitliğine ulaşılır. Soruda verilen Q(1)=4Q(1) = 4 değeri bu eşitlikte yerine konulduğunda P(3)+8=11P(3) + 8 = 11 bağıntısı elde edilir ve buradan P(3)=3P(3) = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Q(x)Q(x) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalanı bulmak.
Q(1)=4Q(1) = 4
Kalan Teoremi'ne göre bir polinomun x−ax-a ile bölümünden kalan, polinomda xx yerine aa yazılmasıyla elde edilir.
2
İstenen kalan ifadesini belirlemek.
P(3)P(3) de��erini bulmak.
P(x)P(x) polinomunun x−3x-3 ile bölümünden kalan Kalan Teoremi gereği P(3)P(3)'tür.
3
Eşitlikte xx yerine 22 yazmak.
P(3)+2⋅Q(1)=11P(3) + 2 \cdot Q(1) = 11 denklemi elde edilir.
Verilen bağıntıda P(x+1)P(x+1) ve Q(x−1)Q(x-1) terimlerini sırasıyla P(3)P(3) ve Q(1)Q(1) yapabilmek için ortak olarak x=2x=2 değeri seçilmelidir.
4
Q(1)=4Q(1) = 4 değerini denklemde yerine koyup P(3)P(3) değerini hesaplamak.
P(3)=3P(3) = 3
P(3)+2(4)=11P(3) + 2(4) = 11 denklemi çözüldüğünde P(3)+8=11  ⟹  P(3)=3P(3) + 8 = 11 \implies P(3) = 3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda Kalan Teoremi ve Polinom Bağıntıları
Soru 86Soru →

a,ba, b ve cc toplamları sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a−b=2+3a - b = 2 + \sqrt{3}
b−c=2−3b - c = 2 - \sqrt{3}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

a3+b3+c3−3abca+b+c\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a + b + c}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin sadeleşmiş halinin sayısal değeri 15 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı çarpanlarına ayrıldığında paydadaki terim ile sadeleşir. Geriye kalan üç değişkenli ikinci derece ifade, ikişerli farkların kareleri toplamının yarısına eşittir. Verilen iki fark toplanarak üçüncü fark bulunur ve kareleri toplamının yarısı hesaplandığında doğru cevap olan 15 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan a3+b3+c3−3abca^3 + b^3 + c^3 - 3abc ifadesinin çarpanlara ayırma özdeşliğini yazmak.
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) elde edilir.
Rasyonel ifadedeki pay ve payda terimlerini sadeleştirebilmek için payı çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
Elde edilen çarpanı rasyonel ifadede yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
a+b+c≠0a+b+c \neq 0 olduğu için paydadaki terim sadeleşir ve geriye sadece a2+b2+c2−ab−bc−caa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca kalır.
İfadeyi daha basit ve hesaplanabilir bir forma indirgemek.
3
Kalan a2+b2+c2−ab−bc−caa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca ifadesini, verilen ikişerli farkları kullanabilmek amacıyla tam karelerin toplamı cinsinden yeniden yazmak.
a2+b2+c2−ab−bc−ca=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2} \left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right] özdeşliği elde edilir.
Soruda verilen a−ba-b ve b−cb-c değerlerini doğrudan formülde kullanabilmek.
4
Verilmeyen a−ca-c farkını bulmak için taraf tarafa toplama yapmak.
(a−b)+(b−c)=a−c⇒(2+3)+(2−3)=4(a-b) + (b-c) = a-c \Rightarrow (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4 bulunur. Buradan (c−a)2=(−4)2=16(c-a)^2 = (-4)^2 = 16 elde edilir.
Özdeşlikte yer alan üçüncü fark teriminin değerini belirlemek.
5
Bulunan tüm değerleri tam kareli özdeşlikte yerine yazıp sonucu hesaplamak.
a−b=2+3⇒(a−b)2=(2+3)2=7+43a-b = 2+\sqrt{3} \Rightarrow (a-b)^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3} ve b−c=2−3⇒(b−c)2=(2−3)2=7−43b-c = 2-\sqrt{3} \Rightarrow (b-c)^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3} değerleri yerine yazılırsa: 12[(7+43)+(7−43)+16]=12[14+16]=12[30]=15\frac{1}{2} [ (7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) + 16 ] = \frac{1}{2} [ 14 + 16 ] = \frac{1}{2} [30] = 15 bulunur.
Sadeleşmiş ifadenin sayısal değerini nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

Üç değişkenli küp açılımı özdeşliği ve tam kare ifadelerin toplamı biçimine dönüştürülmesi.
Soru 87Soru →

Bir P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,
* P(2x−1)P(2x-1) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 55'tir.
* Q(3−x)Q(3-x) polinomunun x−4x-4 ile bölümünden kalan −2-2'dir.

Buna göre,
H(x)=(x+2)⋅P(x)−x⋅Q(−x)H(x) = (x+2) \cdot P(x) - x \cdot Q(-x)

polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17
On yedi değeri doğrudur. P(2x−1)P(2x-1)'in x−1x-1 ile bölümünden kalan 55 ise P(1)=5P(1)=5 olur. Q(3−x)Q(3-x)'in x−4x-4 ile bölümünden kalan −2-2 ise Q(−1)=−2Q(-1)=-2 olur. H(x)H(x) polinomunda x=1x=1 yazıldığında H(1)=3P(1)−Q(−1)H(1) = 3P(1) - Q(-1) elde edilir. Değerler yerine konduğunda 3(5)−(−2)=15+2=173(5) - (-2) = 15 + 2 = 17 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
H(x)H(x) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalanı bulmak için bölme algoritması uygulanır.
x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1 değeri H(x)H(x) polinomunda yerine yazılır. Aranan kalan H(1)H(1) değeridir.
Bir polinomun x−ax-a ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda xx yerine aa yazılmalıdır.
2
H(1)H(1) ifadesini elde etmek için H(x)H(x) eşitliğinde xx yerine 11 yazılır.
H(1)=(1+2)⋅P(1)−1⋅Q(−1)=3⋅P(1)−Q(−1)H(1) = (1+2) \cdot P(1) - 1 \cdot Q(-1) = 3 \cdot P(1) - Q(-1) elde edilir.
H(x)H(x) tanımındaki katsayıları ve değişkenleri x=1x=1 için hesaplamak gerekir.
3
Verilen diğer bilgiler kullan��larak P(1)P(1) ve Q(−1)Q(-1) değerleri hesaplanır.
P(2x−1)P(2x-1) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 55 ise x=1x=1 için P(2(1)−1)=P(1)=5P(2(1)-1) = P(1) = 5 olur. Q(3−x)Q(3-x) polinomunun x−4x-4 ile bölümünden kalan −2-2 ise x=4x=4 için Q(3−4)=Q(−1)=−2Q(3-4) = Q(-1) = -2 olur.
Bölme kurallarına göre bölenleri sıfır yapan xx değerleri ilgili polinomlarda yerine yazılmalıdır.
4
Bulunan P(1)=5P(1) = 5 ve Q(−1)=−2Q(-1) = -2 değerleri H(1)H(1) denkleminde yerine yazılır.
H(1)=3⋅5−(−2)=15+2=17H(1) = 3 \cdot 5 - (-2) = 15 + 2 = 17 olarak bulunur.
Elde edilen tüm sayısal veriler birleştirilerek nihai kalan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulurken bölen ifade sıfıra eşitlenerek elde edilen x değeri bölünen polinomda yerine yazılır. Bileşke ve dönüşümlü polinomlarda da aynı kural geçerlidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 88Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen matematiksel koşulları, sağ sütunda bu koşulları sağlayan ifadelerin/değerlerin en sade veya sayısal karşılıklarıyla eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

x>1x > 1 ve x2+1x2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 olmak üzere, x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri
mm sıfırdan farklı bir gerçel sayı ve m−2m=3m - \frac{2}{m} = 3 olmak üzere, m2+4m2m^2 + \frac{4}{m^2} ifadesinin değeri
aa ve bb gerçel sayıları için a2+b2−6a+8b+25=0a^2 + b^2 - 6a + 8b + 25 = 0 olmak üzere, a⋅ba \cdot b çarpımının değeri

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci koşul sekiz kök beş değeriyle, ikinci koşul on üç değeriyle, üçüncü koşul ise eksi on iki değeriyle eşleşir.
Sol sütundaki cebirsel ifadeler çarpanlara ayırma ve tam kareye tamamlama kuralları kullanılarak çözüldüğünde elde edilen değerler sırasıyla sekiz kök beş, on üç ve eksi on iki sayısal değerleriyle tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci koşulda verilen x2+1x2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 ifadesinden yararlanarak x−1xx - \frac{1}{x} değeri bulunur.
x−1x=5x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}
(x−1x)2=x2+1x2−2=7−2=5(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 7 - 2 = 5 olup x>1x > 1 için x−1xx - \frac{1}{x} pozitif olmalıdır.
2
İki küp farkı özdeşliği yardımıyla istenen x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesi açılır ve bilinen değerler yerine konur.
x3−1x3=85x^3 - \frac{1}{x^3} = 8\sqrt{5}
x3−1x3=(x−1x)(x2+1+1x2)x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}) ��zdeşliğinde değerler yerine yazıldığında 5⋅(7+1)=85\sqrt{5} \cdot (7 + 1) = 8\sqrt{5} elde edilir.
3
İkinci koşulda m−2m=3m - \frac{2}{m} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesi alınarak istenen ifadeye ulaşılır.
m2+4m2=13m^2 + \frac{4}{m^2} = 13
(m−2m)2=m2−4+4m2=9(m - \frac{2}{m})^2 = m^2 - 4 + \frac{4}{m^2} = 9 eşitliğinden −4-4 karşıya atılarak m2+4m2=13m^2 + \frac{4}{m^2} = 13 bulunur.
4
Üçüncü koşulda verilen denklem tam kare ifadelere ayrıştırılır.
(a−3)2+(b+4)2=0(a - 3)^2 + (b + 4)^2 = 0
a2−6aa^2 - 6a ifadesini tam kare yapmak için 99, b2+8bb^2 + 8b ifadesini tam kare yapmak için 1616 eklenir. Sabit terim 25=9+1625 = 9 + 16 olduğundan ifade tam karelerin toplamı şeklinde yazılır.
5
Elde edilen tam kare ifadelerin toplamı sıfır olduğundan her bir terim sıfıra eşitlenerek aa ve bb değerleri çarpılır.
a⋅b=−12a \cdot b = -12
a−3=0⇒a=3a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 ve b+4=0⇒b=−4b + 4 = 0 \Rightarrow b = -4 olup çarpımları 3⋅(−4)=−123 \cdot (-4) = -12 olur.

Anahtar Kavram

Tam kare açılımı, iki küp farkı özdeşliği ve iki değişkenli ifadelerde tam kareye tamamlama yöntemlerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Birinci ifadedeki x3−1/x3x^3 - 1/x^3 değeri hesaplanırken iki küp farkı açılımı yerine doğrudan (x−1/x)3+3(x−1/x)(x - 1/x)^3 + 3(x - 1/x) özdeşliği kullanılarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 89Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x2−4x)2−2(x2−4x)+k=0\left(x^2 - 4x\right)^2 - 2\left(x^2 - 4x\right) + k = 0
denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 3 elemanlı olduğuna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -24

Cevap

Çözüm kümesinin 3 elemanlı olmasını sağlayan k parametresinin değeri -24 olmalıdır.
Denklemde x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yapıldığında elde edilen t2−2t+k=0t^2 - 2t + k = 0 denkleminin köklerinden biri t=−4t = -4 olmalıdır. Bu durum, x2−4x=−4⇒(x−2)2=0x^2 - 4x = -4 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 denklemini vererek x=2x = 2 şeklinde tek bir gerçel kök üretir. Yardımcı denklemin diğer kökü ise t2=6>−4t_2 = 6 > -4 olup x2−4x=6x^2 - 4x = 6 denkleminden 2 farklı gerçel kök daha getirir ve toplam kök sayısı 3 olur. Bu koşulları sağlayan değer ise -24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yap��larak verilen denklem t2−2t+k=0t^2 - 2t + k = 0 şeklinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürülür.
Derecesi yüksek olan denklemi bilinen ikinci derece denklem çözüm yöntemleriyle analiz edebilmek için.
2
xx değişkenine bağlı gerçel köklerin varlık koşulu incelenir.
x2−4x−t=0x^2 - 4x - t = 0 denkleminin gerçel köklerinin olması için diskriminantının sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Δx=16+4t≥0⇒t≥−4\Delta_x = 16 + 4t \geq 0 \Rightarrow t \geq -4 elde edilir. Burada, t=−4t = -4 için 1 gerçel kök (çift katlı), t>−4t > -4 için ise 2 farklı gerçel kök vardır. t<−4t < -4 durumunda ise gerçel kök yoktur.
Her bir tt köküne karşılık gelebilecek gerçel xx köklerinin sayısını belirlemek için.
3
Çözüm kümesinin 3 elemanlı olma koşulu analiz edilir.
t2−2t+k=0t^2 - 2t + k = 0 denkleminin iki farklı gerçel kökü (t1t_1 ve t2t_2) olmalı ve bu köklerden biri sınır değer olan −4-4'e eşit, diğeri ise −4-4'ten büyük olmalıdır. Böylece t1=−4t_1 = -4 kökünden 1 tane, t2>−4t_2 > -4 kökünden ise 2 tane olmak üzere toplam 3 farklı gerçel xx kökü elde edilir.
Orijinal denklemin tam olarak 3 farklı gerçel kökünün bulunması koşulunu sağlamak için.
4
t1=−4t_1 = -4 değeri denklemde yerine yazılarak kk bulunur ve diğer kök doğrulanır.
(−4)2−2(−4)+k=0⇒16+8+k=0⇒k=−24(-4)^2 - 2(-4) + k = 0 \Rightarrow 16 + 8 + k = 0 \Rightarrow k = -24 bulunur. Bu durumda yardımcı denklem t2−2t−24=0⇒(t−6)(t+4)=0t^2 - 2t - 24 = 0 \Rightarrow (t-6)(t+4) = 0 olur ve diğer kök t2=6t_2 = 6 olarak elde edilir. 6>−46 > -4 koşulu sağlandığı için k=−24k = -24 değeri doğrudur.
kk parametresinin doğru değerini bulmak ve köklerin doğruluğunu teyit etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemler ve köklerin varlık analizi
Soru 90Soru →

Bir P(x)P(x) polinomunun katsayılarının toplamı 66, sabit terimi ise 22'dir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünden elde edilen kalan K(x)K(x) olduğuna göre, K(3)K(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

P(x) polinomunun x^2 - x ile bölümünden kalan K(x) = 4x + 2 olup, K(3) değeri 14'tür.
Polinomun katsayılar toplamı P(1)=6P(1) = 6 ve sabit terimi P(0)=2P(0) = 2 olarak verilmiştir. P(x)P(x) polinomunun ikinci dereceden x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan en fazla birinci dereceden K(x)=mx+nK(x) = mx + n olmalıdır. P(x)=x(x−1)Q(x)+mx+nP(x) = x(x-1)Q(x) + mx + n eşitliğinde x=0x = 0 yazıldığında n=2n = 2 ve x=1x = 1 yazıldığında m+n=6m + n = 6 elde edilir. Buradan m=4m = 4 bulunur, yani kalan K(x)=4x+2K(x) = 4x + 2 olur. K(3)K(3) değeri ise 4(3)+2=144(3) + 2 = 14 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun katsay��lar toplamı ve sabit terim değerlerini matematiksel olarak ifade etmek.
P(1)=6P(1) = 6 ve P(0)=2P(0) = 2
Katsayılar toplamı için değişken yerine 1, sabit terim i��in değişken yerine 0 yazılır.
2
Kalan polinomunu tanımlamak ve bölme algoritmasını kurmak.
K(x)=mx+nK(x) = mx + n ve P(x)=(x2−x)Q(x)+mx+nP(x) = (x^2 - x)Q(x) + mx + n
Bölen polinom ikinci dereceden olduğu için kalan polinomu en fazla birinci dereceden olabilir.
3
Bulunan değerleri bölme algoritmasında yerine yazarak bilinmeyen katsayıları bulmak.
n=2n = 2 ve m=4m = 4, dolayısıyla K(x)=4x+2K(x) = 4x + 2
P(0)P(0) ve P(1)P(1) değerleri yardımıyla mm ve nn katsayıları hesaplanır.
4
Kalan polinomunda x yerine 3 yazarak sonucu hesaplamak.
K(3)=14K(3) = 14
İstenen K(3)K(3) değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir polinomun x2−xx^2 - x ile bölümünden kalanı bulmak için polinomun 0 ve 1 noktalarındaki değerlerini (sabit terim ve katsayılar toplamını) kullanmak.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 91Soru →

İkinci dereceden bir P(x)P(x) polinomunun x−3x-3 ile bölümünden kalan 00'dır. P(x)−4P(x) - 4 polinomu ise x−1x-1 ve x−2x-2 ile kalansız bölünebilmektedir. Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x+1x+1 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Polinomun genel denklemi P(x)=−2(x−1)(x−2)+4P(x) = -2(x-1)(x-2) + 4 olarak bulunur ve bu polinomun x+1x+1 ile bölümünden kalan −8-8 olarak hesaplanır.
Verilen bölünebilme kurallarına göre P(x)−4P(x) - 4 polinomunun çarpanları (x−1)(x-1) ve (x−2)(x-2) olarak belirlenir. P(x)=a(x−1)(x−2)+4P(x) = a(x-1)(x-2) + 4 eşitliğinde P(3)=0P(3) = 0 koşulu kullanılarak baş katsayı a=−2a = -2 olarak bulunur. Polinom P(x)=−2(x−1)(x−2)+4P(x) = -2(x-1)(x-2) + 4 biçimini alır ve bu polinomda x=−1x = -1 yazıldığında kalan −8-8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun genel formunu oluşturma
P(x)=a(x−1)(x−2)+4P(x) = a(x-1)(x-2) + 4
P(x)−4P(x) - 4 polinomunun x−1x-1 ve x−2x-2 çarpanlarına sahip olması ve P(x)P(x) polinomunun ikinci dereceden olması nedeniyle bu genel form yazılır.
2
Baş katsayıyı bulma
a=−2a = -2
P(3)=0P(3) = 0 olduğu bilindiğinden, denklemde x=3x = 3 yazılarak bilinmeyen aa katsayısı çözülür.
3
P(x)P(x) polinomunun x+1x+1 ile bölümünden kalanı hesaplama
P(−1)=−8P(-1) = -8
Bir polinomun x+1x+1 ile bölümünden kalan P(−1)P(-1) değerine eşittir; bu nedenle elde edilen polinomda x=−1x = -1 yazılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden polinomların çarpanları yardımıyla yazılması ve polinomlarda kalan bulma
Soru 92Soru →

Baş katsayısı 11 olan üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu, x2+1x^2 + 1 ile kalansız bölünebilmektedir.

P(2x−1)P(2x - 1) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan 4040 olduğuna göre, P(0)P(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Polinom P(x)=(x2+1)(x+1)P(x) = (x^2 + 1)(x + 1) şeklinde doğru kurulup P(3)=40P(3) = 40 eşitliğiyle bilinmeyen katsayı d=1d = 1 olarak bulunmuştur. P(0)P(0) değeri ise 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun genel formunu oluşturma
P(x)=(x2+1)(x+d)P(x) = (x^2 + 1)(x + d)
P(x)P(x) üçüncü dereceden, baş katsayısı 11 olan ve x2+1x^2 + 1 ile tam bölünen bir polinom olduğundan, bölüm polinomu birinci dereceden ve baş katsayısı 11 olan x+dx + d formunda olmalıdır.
2
Verilen kalan bilgisini kullanma
P(3)=40P(3) = 40
P(2x−1)P(2x - 1) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalanı bulmak için x−2=0  ⟹  x=2x - 2 = 0 \implies x = 2 değeri polinomda yerine yazılır. Buradan P(2⋅2−1)=P(3)=40P(2 \cdot 2 - 1) = P(3) = 40 elde edilir.
3
Polinomdaki bilinmeyen katsayıyı bulma
d=1d = 1
P(3)=(32+1)(3+d)=40  ⟹  10(3+d)=40  ⟹  3+d=4  ⟹  d=1P(3) = (3^2 + 1)(3 + d) = 40 \implies 10(3 + d) = 40 \implies 3 + d = 4 \implies d = 1 bulunur.
4
P(0)P(0) değerini hesaplama
P(0)=1P(0) = 1
Polinom P(x)=(x2+1)(x+1)P(x) = (x^2 + 1)(x + 1) olarak belirlenmiş olur. x=0x = 0 için P(0)=(02+1)(0+1)=1⋅1=1P(0) = (0^2 + 1)(0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1 elde edilir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulmada bölünen ve bölen arasındaki ilişkiyi kurarak derece ve katsayı özelliklerinden faydalanma.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 93Soru →

Eni x−3x-3 birim ve boyu P(x)P(x) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir panonun alanı A(x)A(x) polinomu ile ifade edilmektedir.

A(x)A(x) polinomunun katsayılarının toplamı −6-6 ve P(x)P(x) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 55'tir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−3x+2x^2 - 3x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x+12x + 1

Cevap

Kalan polinomu 2x+12x + 1 ifadesidir.
Doğru cevap olan 2x+12x + 1 ifadesi, A(1)=−6  ⟹  P(1)=3A(1) = -6 \implies P(1) = 3 ve P(2)=5P(2) = 5 eşitlikleri kullanılarak ax+bax+b kalan modelindeki a+b=3a+b=3 ve 2a+b=52a+b=5 denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin alan bağıntısını yazarak A(x)A(x) ile P(x)P(x) polinomları arasındaki ilişkiyi kurma.
A(x)=(x−3)⋅P(x)A(x) = (x-3) \cdot P(x)
Panonun eni x−3x-3 birim ve boyu P(x)P(x) birim olduğundan, alanı bu iki değerin çarp��mı ile ifade edilir.
2
A(x)A(x) polinomunun katsayılar toplamını kullanarak P(1)P(1) değerini elde etme.
P(1)=3P(1) = 3
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişken yerine 11 yazılır. A(1)=−6A(1) = -6 olduğuna göre, (1−3)⋅P(1)=−6  ⟹  −2⋅P(1)=−6  ⟹  P(1)=3(1-3) \cdot P(1) = -6 \implies -2 \cdot P(1) = -6 \implies P(1) = 3 olur.
3
P(x)P(x) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan bilgisini matematiksel olarak ifade etme.
P(2)=5P(2) = 5
Bir P(x)P(x) polinomunun x−kx-k ile bölümünden kalan P(k)P(k) değerine eşittir. Burada bölen x−2x-2 olduğundan kalan P(2)=5P(2) = 5 olur.
4
P(x)P(x) polinomunun x2−3x+2x^2 - 3x + 2 ile bölümünden kalanı modelleme.
P(x)=(x−1)(x−2)⋅B(x)+ax+bP(x) = (x-1)(x-2) \cdot B(x) + ax + b
Bölen polinom ikinci dereceden (x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)) olduğundan, kalan polinomunun derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır. Dolayısıyla kalan en fazla birinci dereceden bir ax+bax+b ifadesidir.
5
P(1)P(1) ve P(2)P(2) değerlerini modelde yerine yazarak aa ve bb katsayılarını çözme.
a=2a = 2 ve b=1b = 1 olup kalan polinomu 2x+12x + 1 olarak bulunur.
x=1x=1 için a+b=P(1)=3a+b = P(1) = 3 ve x=2x=2 için 2a+b=P(2)=52a+b = P(2) = 5 denklem sistemi elde edilir. İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında a=2a=2 bulunur. Buradan b=1b=1 elde edilir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda bölme algoritması, kalan teoremi ve katsayılar toplamı ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 94Soru →

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu x2+2x^2 + 2 ile bölündüğünde 2x+32x + 3 kalanını vermektedir. Bu P(x)P(x) polinomunun sabit terimi 55 ve katsayılar toplamı 1414 olduğuna göre, P(−1)P(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

P(-1) değeri -2 olarak bulunur.
Bölme algoritmasına göre üçüncü dereceden P(x)P(x) polinomu, P(x)=(ax+b)(x2+2)+2x+3P(x) = (ax+b)(x^2+2) + 2x+3 şeklinde ifade edilir. Sabit terim P(0)=5P(0)=5 eşitliğinden b=1b=1, katsayılar toplamı P(1)=14P(1)=14 eşitliğinden a=2a=2 bulunur. Buradan hareketle P(x)=(2x+1)(x2+2)+2x+3P(x) = (2x+1)(x^2+2) + 2x+3 polinomunda x=−1x=-1 yazıldığında P(−1)=−2P(-1) = -2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun genel ifadesini oluşturmak
P(x)=(ax+b)(x2+2)+2x+3P(x) = (ax + b)(x^2 + 2) + 2x + 3
Bölen polinom ikinci dereceden (x2+2x^2+2) ve P(x)P(x) üçüncü dereceden olduğundan, bölüm polinomu birinci dereceden (ax+bax+b) olmak zorundadır.
2
Sabit terim bilgisini kullanarak b değerini bulmak
b=1b = 1
Polinomun sabit terimi P(0)P(0) ile bulunur. P(0)=(a(0)+b)(02+2)+2(0)+3=2b+3=5P(0) = (a(0) + b)(0^2 + 2) + 2(0) + 3 = 2b + 3 = 5 eşitliğinden b=1b = 1 elde edilir.
3
Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak a değerini bulmak
a=2a = 2
Polinomun katsayılar toplamı P(1)P(1) ile bulunur. P(1)=(a+1)(12+2)+2(1)+3=14P(1) = (a + 1)(1^2 + 2) + 2(1) + 3 = 14 eşitliğinden 3(a+1)+5=14  ⟹  a=23(a+1) + 5 = 14 \implies a = 2 elde edilir.
4
P(-1) değerini hesaplamak
P(−1)=−2P(-1) = -2
Polinom denklemi P(x)=(2x+1)(x2+2)+2x+3P(x) = (2x + 1)(x^2 + 2) + 2x + 3 olarak belirlenir. x=−1x = -1 yazılarak P(−1)=(2(−1)+1)((−1)2+2)+2(−1)+3=−2P(-1) = (2(-1) + 1)((-1)^2 + 2) + 2(-1) + 3 = -2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bölme özdeşliği kullanılarak kalan bulma ve polinom katsayılarının bulunması
Soru 95Soru →

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomunun x2−4x^2 - 4 ile bölümünden kalan 2x+32x + 3'tür. P(x)P(x) polinomunun sabit terimi 1111 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−2xx^2 - 2x ile bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2x+11-2x + 11

Cevap

−2x+11-2x + 11
Doğru cevap olan −2x+11-2x + 11 ifadesi, bölme özdeşliklerinden elde edilen P(0)=11P(0) = 11 ve P(2)=7P(2) = 7 koşullarının her ikisini birden sağlayan tek birinci dereceden polinomdur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomun x2−4x^2 - 4 ile bölümüne ait bölme özdeşliğini yazın ve bilinen değerleri belirleyin.
P(x)=(x2−4)(ax+b)+2x+3P(x) = (x^2 - 4)(ax + b) + 2x + 3 elde edilir. Polinomun sabit terimi 1111 olduğundan P(0)=11P(0) = 11 olur. Ayrıca ilk denklemde x=2x = 2 yazıldığında P(2)=(22−4)(2a+b)+2(2)+3=7P(2) = (2^2 - 4)(2a + b) + 2(2) + 3 = 7 değeri bulunur.
Bölümden kalanı bulmak ve gerekli polinom değerlerini elde etmek için bölme özdeşliğini kurmamız gerekir.
2
P(x)P(x) polinomunun x2−2xx^2 - 2x ile bölümünden kalan polinomun genel formunu yazın.
P(x)=(x2−2x)Q(x)+cx+dP(x) = (x^2 - 2x)Q(x) + cx + d yazılır.
Bölen polinom ikinci dereceden olduğu için kalan polinomun derecesi en fazla 11 olabilir, bu nedenle kalan cx+dcx + d formundadır.
3
Bölenin köklerini bölme özdeşliğinde yerine yazarak denklem sistemini oluşturun ve çözün.
x2−2x=x(x−2)x^2 - 2x = x(x-2) ifadesinin kökleri x=0x = 0 ve x=2x = 2'dir. x=0x = 0 için P(0)=d⇒d=11P(0) = d \Rightarrow d = 11 olur. x=2x = 2 için P(2)=2c+d⇒7=2c+11⇒2c=−4⇒c=−2P(2) = 2c + d \Rightarrow 7 = 2c + 11 \Rightarrow 2c = -4 \Rightarrow c = -2 bulunur.
Kalan polinomun katsayılarını belirlemek için bölen polinomu sıfırlayan değerleri kullanırız.
4
Bulunan katsayıları kalan polinomunda yerine yazarak sonucu elde edin.
Kalan polinomu K(x)=−2x+11K(x) = -2x + 11 olarak bulunur.
Hesaplanan cc ve dd katsayıları kalan polinomunu tamamlar.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulurken bölme özdeşliğini kurma, uygun kök değerlerini yerine yazma ve kalan polinomunun derecesinin bölenin derecesinden kesinlikle küçük olması gerektiğini bilme.
Soru 96Soru →

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu x2−4x^2 - 4 ile kalansız bölünmektedir.

P(x+1)P(x+1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 2525, P(x−1)P(x-1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan ise −9-9 dur.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

P(x) polinomunun sabit terimi -8'dir.
P(x) polinomunun x^2 - 4 ile kalansız bölünmesi, polinomun P(x) = (x^2 - 4)(ax + b) biçiminde yazılabilmesini sağlar. P(x+1) ve P(x-1) polinomlarının x-2 ile bölümünden kalanlardan sırasıyla P(3) = 25 ve P(1) = -9 eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikler polinomda yerine yazıldığında 3a + b = 5 ve a + b = 3 sistemine ulaşılır. Sistem çözüldüğünde a = 1 ve b = 2 bulunur. Buradan P(x) = (x^2 - 4)(x + 2) polinomunun sabit terimi P(0) = (0 - 4)(0 + 2) = -8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
P(x) polinomunun genel ifadesini oluşturma
P(x) = (x^2 - 4)(ax + b)
P(x) üçüncü dereceden bir polinomdur ve ikinci dereceden olan x^2 - 4 polinomuna tam bölünmektedir.
2
Birinci kalan bilgisini kullanarak birinci denklemi bulma
3a + b = 5
P(x+1) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan 25 ise P(3) = 25 olur. Bu değer genel polinom ifadesinde yerine yazılarak denklem elde edilir.
3
İkinci kalan bilgisini kullanarak ikinci denklemi bulma
a + b = 3
P(x-1) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan -9 ise P(1) = -9 olur. Bu değer genel polinom ifadesinde yerine yazılarak denklem elde edilir.
4
a ve b katsayılarını bulmak için denklem sistemini çözme
a = 1, b = 2
Elde edilen 3a + b = 5 ve a + b = 3 iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
5
P(x) polinomunun sabit terimini hesaplama
-8
Polinomun sabit terimi olan P(0) değeri, elde edilen P(x) = (x^2 - 4)(x + 2) polinomunda x yerine 0 yazılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda kalan bulma ve polinomların bölünebilme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 97Soru →

Bir P(x)P(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan 3x+23x + 2'dir.

Buna göre, P2(x)P^2(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21x+421x + 4

Cevap

21x+421x + 4 polinomudur.
Doğru cevap olan 21x+421x + 4 polinomu, P(x)=(x2−x)Q(x)+3x+2P(x) = (x^2-x)Q(x) + 3x+2 özdeşliğinden yola çıkılarak P2(x)P^2(x)'in x2−xx^2-x ile bölümünden kalanın (3x+2)2=9x2+12x+4(3x+2)^2 = 9x^2+12x+4 ifadesinin x2−xx^2-x ile bölümünden kalana eşit olmasından bulunur. Bu bölme işleminde x2x^2 yerine xx yazıldığında 9x+12x+4=21x+49x + 12x + 4 = 21x + 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünü veren bölme özdeşliğini yazmak.
P(x)=(x2−x)⋅Q(x)+3x+2P(x) = (x^2 - x) \cdot Q(x) + 3x + 2
Polinomun bölme işleminin temel kuralını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
P2(x)P^2(x) ifadesinin karesini alarak x2−xx^2 - x ile bölümünden kalanı belirlemek.
P2(x)P^2(x) ifadesinin x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan, (3x+2)2(3x+2)^2 ifadesinin x2−xx^2 - x ile bölümünden kalana eşittir.
(x2−x)(x^2 - x) içeren terimler x2−xx^2 - x ile tam bölündüğünden sadece kalan kısmının karesini incelemek yeterlidir.
3
(3x+2)2(3x+2)^2 tam kare ifadesini açmak.
9x2+12x+49x^2 + 12x + 4
Kalanı derecesine göre bölmeye hazır hale getirmek için.
4
9x2+12x+49x^2 + 12x + 4 ifadesini x2−xx^2 - x polinomuna bölmek için x2x^2 yerine xx yazmak.
9(x)+12x+4=21x+49(x) + 12x + 4 = 21x + 4
x2−x=0  ⟹  x2=xx^2 - x = 0 \implies x^2 = x dönüşümüyle kalanın derecesini bölenin derecesinden küçük hale getirmek.

Anahtar Kavram

Bir polinomun karesinin veya herhangi bir kuvvetinin bir polinoma bölümünden kalanını bulmak için, kalan polinomunun aynı kuvveti alınır ve bölen polinoma bölünür.
Soru 98Soru →

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu için,

P(x)−P(x−1)=3x2−3x+1P(x) - P(x-1) = 3x^2 - 3x + 1

eşitliği sağlanmaktadır.

P(x)P(x) polinomunun xx ile bölümünden kalan 22 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

P(x)P(x) polinomunun x−2x - 2 ile bölümünden kalan 1010 olarak bulunur.
Polinomun kalan bulma kuralı uygulanarak P(0)=2P(0) = 2 olduğu bulunur. Verilen ardışık fark bağıntısında sırasıyla x=1x = 1 ve x=2x = 2 yazılarak P(1)=3P(1) = 3 ve ardından P(2)=10P(2) = 10 elde edilir. Bu değer polinomun x−2x - 2 ile bölümünden kalana eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan terimlerini belirleme
P(0)=2P(0) = 2 ve bizden istenen değer P(2)P(2)'dir.
Polinomlarda bölme kuralına göre P(x)P(x)'in x−ax - a ile bölümünden kalan P(a)P(a) değeridir.
2
x=1x = 1 değerini denklemde yerine yazma
P(1)=3P(1) = 3
P(0)P(0) değerini kullanarak bir sonraki terim olan P(1)P(1)'e ulaşmak.
3
x=2x = 2 değerini denklemde yerine yazma
P(2)=10P(2) = 10
P(1)P(1) değerini kullanarak hedefimiz olan P(2)P(2) değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma
Soru 99Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütunda verilen ve bu ifadelerin çarpanlarına ayrılmış biçimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

x3−x2−xy2+y2x^3 - x^2 - xy^2 + y^2
x2−y2−2y−1x^2 - y^2 - 2y - 1
x2−2xy+y2−x+yx^2 - 2xy + y^2 - x + y

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci cebirsel ifade (x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1) ile, ikinci cebirsel ifade (x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1) ile ve üçüncü cebirsel ifade (x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1) ile eşleşir.
Eşleştirmelerin tamamı doğru yapılmıştır: Birinci ifade gruplandırma ve iki kare farkıyla (x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1) şeklinde, ikinci ifade tam kare gruplaması ve iki kare farkıyla (x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1) şeklinde, üçüncü ifade ise tam kare oluşturulup ortak paranteze alınarak (x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci cebirsel ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x3−x2−xy2+y2=x2(x−1)−y2(x−1)=(x2−y2)(x−1)x^3 - x^2 - xy^2 + y^2 = x^2(x-1) - y^2(x-1) = (x^2-y^2)(x-1)
x2x^2 ve −y2-y^2 terimleri ortak çarpan parantezine alınarak ifadenin ortak çarpanı olan (x−1)(x-1) belirlenir.
2
Elde edilen ifadedeki iki kare farkını uygulayın.
(x2−y2)(x−1)=(x−y)(x+y)(x−1)(x^2-y^2)(x-1) = (x-y)(x+y)(x-1)
x2−y2x^2-y^2 ifadesi iki kare farkı özdeşliği olan (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) biçiminde açılır. Bu da birinci ifadenin (x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1) ile eşleştiğini gösterir.
3
İkinci cebirsel ifadeyi tam kare ve iki kare farkı yardımıyla çarpanlarına ayırın.
x2−y2−2y−1=x2−(y2+2y+1)=x2−(y+1)2x^2 - y^2 - 2y - 1 = x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2
−y2−2y−1-y^2-2y-1 terimleri eksi parantezine alındığında bir tam kare olan (y+1)2(y+1)^2 elde edilir.
4
Elde edilen iki kare farkı ifadesini açın.
x2−(y+1)2=(x−(y+1))(x+(y+1))=(x−y−1)(x+y+1)x^2 - (y+1)^2 = (x - (y+1))(x + (y+1)) = (x-y-1)(x+y+1)
İki kare farkı kuralı uygulanarak ikinci ifadenin (x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1) ile eşleştiği bulunur.
5
Üçüncü cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
x2−2xy+y2−x+y=(x−y)2−(x−y)=(x−y)(x−y−1)x^2 - 2xy + y^2 - x + y = (x-y)^2 - (x-y) = (x-y)(x-y-1)
İlk üç terim (x−y)2(x-y)^2 tam karesini oluşturur, ardından gelen −x+y-x+y terimleri de −(x−y)-(x-y) olarak gruplandırılıp ortak çarpan olan (x−y)(x-y) parantezine alınır. Bu da üçüncü ifadenin (x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1) ile eşleştiğini doğrular.

Anahtar Kavram

Gruplandırma yöntemi, iki kare farkı özdeşliği (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b)) ve tam kare özdeşliği ((a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2) kullanarak cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırma.
Soru 100Soru →

Bir kenar uzunluğu aa birim olan kare şeklindeki bir kartonun dört köşesinden, bir kenar uzunluğu bb birim olan birer kare kesilerek çıkarılıyor.

Kalan kartonun alanı 4545 birimkare ve a−2b=3a - 2b = 3 birim olduğuna göre, kesilmeden önceki kartonun bir kenar uzunluğu ile kesilen karelerden birinin bir kenar uzunluğunun çarpımı olan a⋅ba \cdot b kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Kesilmeden önceki kartonun kenar uzunluğu ile kesilen karelerden birinin kenar uzunluğunun çarpımı olan 27 birimkaredir.
Kalan kartonun alanı, başlangıçtaki alandan kesilen 4 karenin alanının çıkarılmasıyla a2−4b2=45a^2 - 4b^2 = 45 olarak modellenir. Bu ifade iki kare farkı özdeşliğiyle (a−2b)(a+2b)=45(a-2b)(a+2b) = 45 şeklinde yazılır. a−2b=3a-2b = 3 yerine yazıldığında a+2b=15a+2b = 15 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde kartonun bir kenarı a=9a = 9 birim, kesilen karelerden birinin bir kenarı b=3b = 3 birim bulunur. Buradan a⋅b=27a \cdot b = 27 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kartonun alan��nı ve kesilen parçaların toplam alanını değişkenler cinsinden ifade etme.
Başlangıçtaki alan a2a^2, kesilen 4 adet karenin toplam alanı ise 4b24b^2 olur.
Kartonun kalan alanını bulmak için başlangıçtaki alandan kesilen alanların çıkarılması gerekir.
2
Kalan kartonun alanını veren denklemi yazma.
a2−4b2=45a^2 - 4b^2 = 45
Soruda kalan kartonun alanının 45 birimkare olduğu belirtilmiştir.
3
Ende edilen ifadeyi iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırma.
(a−2b)(a+2b)=45(a-2b)(a+2b) = 45
a2−4b2a^2 - 4b^2 ifadesi a2−(2b)2a^2 - (2b)^2 şeklinde yazılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanabilir.
4
Soruda verilen a−2b=3a-2b=3 değerini denklemde yerine yazarak a+2ba+2b ifadesinin değerini bulma.
3⋅(a+2b)=45  ⟹  a+2b=153 \cdot (a+2b) = 45 \implies a+2b = 15
Çarpımın sonucunu bilinen bir çarpan yardımıyla diğer çarpanı bulmak için kullanırız.
5
a−2b=3a-2b = 3 ve a+2b=15a+2b = 15 denklemlerini ortak çözerek aa ve bb değerlerini bulma.
Denklemler taraf tarafa toplandığında 2a=18  ⟹  a=92a = 18 \implies a = 9 ve buradan b=3b = 3 elde edilir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözerek tekil değişkenlerin değerlerine ulaşırız.
6
İstenen a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplama.
a⋅b=9⋅3=27a \cdot b = 9 \cdot 3 = 27
Soruda kesilmeden önceki kenar uzunluğu (aa) ile kesilen bir karenin kenar uzunluğunun (bb) çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümü
ÖncekiSayfa 5 / 6Sonraki
Polinomlar ve İkinci Dereceden Denklemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin