All practice questions

1'den büyük her $n$ tam sayısı için $p(n)$ , $n$ sayısının en büyük asal böleni olarak tanımlanıyor.

1

'den büyük tam sayılar üzerinde

\langle n \rangle

işlemi

\langle n \rangle = \frac{n}{p(n)} + p(n)

biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre,

\langle \langle x \rangle \rangle = 6

eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı

x

doğal sayısı vardır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Koşulları sağlayan 4 farklı iki basamaklı doğal sayı vardır.

Doğru yanıt 4'tür. Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar incelendiğinde, bu sayıların 14, 15, 18 ve 20 olduğu görülür. Bu sayıların her biri işlem adımlarından geçirilerek doğrulandığında en büyük asal bölen koşulunu ve iki basamaklılık öncülünü eksiksiz sağlar.

Step-by-Step Solution

1

y = \langle x \rangle tanımlaması yaparak \langle y \rangle = 6 eşitliğini sağlayan y değerlerini belirlemek.

y sayısı 5, 8 veya 9 olabilir.

İçteki i��lemi tek bir değişken gibi ele alarak dıştaki işlem kuralını uygulamak çözümü kolaylaştırır.

2

y = p * k biçiminde yazılarak k + p = 6 denkleminin çözümlerini ve bu çözümlerin p(y) = p (en büyük asal bölen) şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

p = 5 için k = 1 ve y = 5; p = 3 için k = 3 ve y = 9; p = 2 için k = 4 ve y = 8 bulunur. Her üç y değeri de kendi en büyük asal böleniyle uyumludur.

Tanımda geçen p(y) değerinin y'nin en büyük asal böleni olması koşulunun doğrulanması gerekir.

3

\langle x \rangle = 5, \langle x \rangle = 8 ve \langle x \rangle = 9 eşitliklerini sağlayan iki basamaklı x sayılarını bulmak.

\langle x \rangle = 5 için sadece x = 6 (tek basamaklı) bulunur. \langle x \rangle = 8 için x = 15 (iki basamaklı) ve x = 7 (tek basamaklı) bulunur. \langle x \rangle = 9 için x = 14, 18, 20 (iki basamaklı) değerleri elde edilir.

Elde edilen y değerleri için ayrı ayrı x değerlerini ararken en büyük asal bölen şartı ve iki basamaklılık koşulu birlikte değerlendirilir.

4

Bulunan iki basamaklı x değerlerini listelemek ve sayısını bulmak.

x = 14, 15, 18, 20 olmak üzere toplam 4 farklı değer elde edilir.

Soruda istenen iki basamaklı olma şartına uyan tüm x değerlerinin sayısını belirlemek çözümü tamamlar.

Key Concept

Özel olarak tanımlanmış bir işlem kuralını aşamalı ve koşullara dikkat ederek uygulama.

Hints

1

İçteki işlemi bir y değişkeni gibi düşünerek \langle y \rangle = 6 eşitliğini sağlayan y değerlerini arayarak başlayın.

2

y = p * k ifadesinde k + p = 6 denklemindeki p değerinin y'nin en büyük asal böleni olduğunu unutmayın. Bu durum y değerlerini sınırlar.

3

y değerlerini 5, 8 ve 9 bulduktan sonra, her biri için \langle x \rangle = y denklemini sağlayan iki basamaklı x sayılarını arayın. En büyük asal bölen şartını her x değeri için tekrar kontrol edin.

Practice More

Benzer kurallarla tanımlanmış fakat tek-çift sayı koşulu içeren başka bir özel işlem sorusu çözerek koşullu işlem takibi becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerlerin büyüklüğüne göre iki basamaklı küçük sayıları (10, 11, 12...) doğrudan formüle koyarak denemek mümkündür. Ancak bu yöntem zaman kaybettirici ve hata yapmaya müsaittir.

Estimated Time:2m 30s

Question 2462Question →

Bir

E

örnek uzayında tanımlı

A

ve

B

olayları için

P(A') = \frac{2}{3}

P(B') = \frac{2}{5}

P(A \cup B) = \frac{4}{5}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cap B)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{15}

\frac{2}{15}

\frac{1}{5}

\frac{4}{15}

\frac{7}{15}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{15}$

Answer

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan kesişim olasılı��ı

\frac{2}{15}

'tir.

Doğru cevap olan

\frac{2}{15}

seçeneği, olasılık teorisindeki temel tümleyen kuralı (

P(X) = 1 - P(X')

) ve iki olayın birleşim olasılığı formülü (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

) kullanılarak sırasıyla

P(A) = \frac{1}{3}

ve

P(B) = \frac{3}{5}

değerlerinin bulunması ve ardından birleşim formülünde yerine yazılarak rasyonel işlemlerin doğru yapılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı 1'dir. Bu kural kullanılarak birinci olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.

P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

P(A) + P(A') = 1

eşitliğinden yararlanarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak.

2

Aynı tümleyen kuralı kullanılarak ikinci olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.

P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

P(B) + P(B') = 1

eşitliğinden yararlanarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak.

3

İki olayın birleşiminin olasılık formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliğinde bilinen değerler yerine yazılır.

\frac{4}{5} = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)

Aranan kesişim olasılığı terimini denklem içinde yalnız bırakmak.

4

Kesişim olasılığı eşitliğin sol tarafına alınarak rasyonel sayılarda payda eşitleme işlemi yapılır.

P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}

Paydaları 15'te eşitleyerek rasyonel çıkarma işlemini tamamlamak.

Key Concept

Olasılık kuralları ve tümleyen kavramı

Hints

1

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamının 1'e eşit olduğunu göz önünde bulundurun.

2

Verilen tümleyen olasılıklarından yola çıkarak önce

P(A)

ve

P(B)

değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.

3

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülünde bulduğunuz değerleri yerine yazarak kesişim olasılığını çekin.

Practice More

Benzer kuralları içeren ancak bu kez koşullu olasılık veya bağımsızlık durumlarının incelendiği soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2463Question →

Düzgün sekizgen şeklinde masalar yan yana birleştirilerek tek bir büyük masa elde edilmek isteniyor. Her bir masa, yanındaki masa ile tam olarak bir kenarı çakışacak şekilde yan yana diziliyor. 1 masa yerleştirildiğinde etrafına 8 sandalye (her boş kenara 1 sandalye) konulabiliyor. 2 masa yan yana birleştirildiğinde ortak olan kenara sandalye konulamadığı için toplam 14 sandalye konulabiliyor. Buna göre, yan yana birleştirilen 6 düzgün sekizgen masanın etrafına en fazla kaç sandalye konulabilir?

48

43

38

36

40

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Yan yana birleştirilen 6 düzgün sekizgen masanın etrafına en fazla 38 sandalye konulabilir.

Doğru cevap olan 38 değeri, örüntünün doğrusal artış kuralına dayanmaktadır. İlk masanın 8 sandalyesine ek olarak eklenen her yeni masa 6 sandalye getirmektedir. 6 masa için başlangıç masasının üzerine 5 masa eklenmiş olur. Buradan toplam sandalye sayısı

8 + 5 \times 6 = 38

olarak hesaplanır. Alternatif olarak, 6 masanın toplam 48 kenarından, 5 birleşme noktasındaki çakışan

5 \times 2 = 10

kenar çıkarılarak da

48 - 10 = 38

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örüntünün başlangıç adımlarındaki sandalye sayıları arasındaki ilişkiyi inceleme.

1 masa için 8 sandalye, 2 masa için 14 sandalye gerekmektedir.

Masa sayısı arttıkça sandalye sayısının nasıl değiştiğini belirlemek için ilk adımlar analiz edilir.

2

Her adımda eklenen yeni masa ile gelen sandalye artış miktarını hesaplama.

Artış miktarı:

14 - 8 = 6

sandalyedir.

Eklenen her yeni masa bir öncekiyle ortak bir kenara sahip olduğundan, iki masadan da birer kenar (toplamda 2 kenar) iç bölgede kalır ve sandalye konulamaz. Böylece her yeni masa örüntüye

8 - 2 = 6

yeni sandalye kazandırır.

3

Masa sayısına bağlı toplam sandalye sayısını veren genel kuralı formüle etme.

n

tane masa için toplam sandalye sayısı formülü:

S(n) = 8 + 6 \times (n - 1) = 6n + 2

olarak bulunur.

İlk masanın 8 sandalyesi üzerine, kalan

(n-1)

masanın her biri için 6 sandalye eklenerek doğrusal örüntü kuralı oluşturulur.

4

6 masa için formülü uygulayarak sonucu hesaplama.

n = 6

için

S(6) = 6 \times 6 + 2 = 38

bulunur.

Genel kuralda

n

yerine istenen masa sayısı yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Çokgen örüntülerinde çakışan ortak kenarların çevre ve eleman sayısına etkisini belirleme.

Hints

1

Masalar yan yana birleştirildiğinde, birbirine değen ortak kenarlara sandalye konulamayacağını dikkate alın.

2

Masa sayısı 1'den 2'ye çıkarken sandalye sayısının kaç arttığına bakın. Sonraki her masa için de aynı miktarda artış olup olmadığını kontrol edin.

3

6 masa yan yana dizildiğinde aralarında 5 adet ortak kenar çifti (birleşme noktası) oluşur. Toplam 48 kenardan bu birleşmeler nedeniyle elenen kenarları çıkarın.

Practice More

Aynı mantığı kullanarak, yan yana birleştirilen düzgün altıgen petek örüntülerinde çevreye dahil olmayan iç kenar sayılarını hesaplama çalışmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Masa birleşim noktaları üzerinden hesaplama yapılabilir: 6 masa yan yana dizildiğinde masalar arasında 5 adet ortak temas çizgisi oluşur. Her temas çizgisi, iki farklı masanın da birer kenarını kapattığı için toplamda

5 \times 2 = 10

kenarın kullanımını engeller. Masalar ayrı olsaydı toplam

6 \times 8 = 48

sandalye konulabilirdi. Kullanılamayan 10 kenar çıkarıldığında

48 - 10 = 38

sandalye yerleştirilebileceği bulunur.

Estimated Time:45s

Question 2464Question →

Üç basamaklı

ABC

ve

CBA

doğal sayıları için

ABC - CBA = 495

olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı kaç farklı

ABC

sayısı yazılabilir?

28

30

32

36

40

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Rakamları birbirinden farklı 32 farklı ABC sayısı yazılabilir.

Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde

99(A - C) = 495

elde edilir ve buradan

A - C = 5

bağıntısına ulaşılır.

CBA

sayısı üç basamaklı olduğundan

C

sıfır olamaz. Bu koşula uyan

(A, C)

rakam çiftleri

(6,1), (7,2), (8,3), (9,4)

olmak üzere 4 tanedir. Rakamları farklı koşulu gereği

B

rakamı

A

ve

C

değerlerini alamayacağı için geriye kalan 8 rakamdan biri olabilir. Böylece

4 \times 8 = 32

farklı sayı yazılabilir. Bu nedenle 32 değerini veren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

ABC ve CBA üç basamaklı sayılarını çözümleyerek aralarındaki fark ifadesini sadeleştirin.

ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C)

elde edilir.

Sayı basamaklarının çözümleme kuralı uygulanarak B bilinmeyeninin sadeleşmesi sağlanır.

2

Verilen fark değerini kullanarak A ile C arasındaki farkı bulun.

99(A - C) = 495 \Rightarrow A - C = 5

bulunur.

Soruda verilen sayısal fark değerinden basamaklar arası sayısal ilişkiye geçilir.

3

CBA sayısının da üç basamaklı olduğunu göz önünde bulundurarak A ve C rakamlarının alabileceği değerleri belirleyin.

C \neq 0

olmalıdır. Bu durumda

A - C = 5

koşulunu sağlayan

(A, C)

ikilileri

(6,1), (7,2), (8,3), (9,4)

olmak üzere 4 tanedir.

Sayının basamak sayısı kuralı gereği en büyük basamağın s��fır olamayacağı kısıtlaması uygulanır.

4

Rakamları birbirinden farklı olma koşuluna göre B rakamının alabileceği değer sayısını bulun.

B

rakamı toplam 10 rakam arasından seçilebilir ancak

B \neq A

ve

B \neq C

olmalıdır. Dolayısıyla her ikili için

B

'nin alabileceği

10 - 2 = 8

farklı değer vardır.

Soruda belirtilen 'rakamları birbirinden farklı' koşulu her bir basamak için ayrı ayrı sağlanmalıdır.

5

Bulunan durum sayılarını çarparak yazılap bilecek toplam ABC sayısını hesaplayın.

4 farklı

(A, C)

ikilisi ve her biri için 8 farklı

B

değeri olduğundan toplam

4 \times 8 = 32

sayı yazılabilir.

Çarpma yoluyla sayma yöntemi kullanılarak tüm olası durumlar hesaplanır.

Key Concept

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve basamak sayısı kısıtlamaları

Hints

1

ABC

ve

CBA

sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyerek fark ifadesini

A

ve

C

cinsinden yazın.

2

Elde ettiğiniz

99(A-C) = 495

eşitliğinden

A - C = 5

bağıntısını bulun.

CBA

üç basamaklı olduğu için

C

'nin sıfır olamayacağına dikkat edin.

3

A - C = 5

koşulunu sağlayan 4 adet

(A, C)

ikilisi vardır. Rakamları farklı dendiği için her durum için

B

rakamı

A

ve

C

'den farklı olmalıdır.

B

için kaç seçenek kalacağını hesaplayın.

Practice More

Benzer şekilde dört basamaklı sayılar içeren veya basamaklarının yerleri değiştiğinde değeri belirli bir oranda artan/azalan sayı basamakları problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Çözümleme yaptıktan sonra

A - C = 5

farkını doğrudan sağlayan değerleri deneyerek de bulabilirsiniz. Örneğin

C=1

için

A=6

olur. Sayımız

6B1

biçimindedir. Rakamları farklı olacağından

B

yerine

6

ve

1

dışındaki tüm rakamlar yazılabilir. Bu mantıkla her durum tek tek doğrulanabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2465Question →

Bir $n$ pozitif tam sayısı için uygulanan işlem adımları ve kural takibi aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır:
* Eğer $n$ sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı çift sayı ise sayıya $n + 3$ işlemi uygulanır.
* Eğer $n$ sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı tek sayı ise sayıya $2n - 1$ işlemi uygulanır.

Elde edilen sonuç bir sonraki adımın girdisi olacak şekilde bu kural ardışık olarak uygulanmaktadır.

Sisteme girilen ilk sayı $x_1 = 12$ olduğuna göre, bu kuralın ardışık olarak uygulanmasıyla elde edilen $x_4$ sayısı kaçtır?

21

35

48

51

89

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48

Sisteme girilen 12 sayısının farklı asal çarpanları 2 ve 3'tür. Toplamları 5 (tek) olduğundan birinci işlem sonucunda 23 elde edilir. 23 sayısının tek asal çarpanı 23'tür (tek). Dolayısıyla ikinci işlem sonucunda 45 elde edilir. 45 sayısının farklı asal çarpanları 3 ve 5'tir. Toplamları 8 (çift) olduğundan üçüncü işlem sonucunda 48 elde edilir. Bu nedenle doğru yanıt 48'dir.

Step-by-Step Solution

1

x_1 = 12

sayısının farklı asal çarpanlarını bulmak ve toplamlarının tekliğini/çiftliğini kontrol etmek.

12 = 2^2 \times 3

olup farklı asal çarpanları

2

ve

3

'tür. Toplamları

2 + 3 = 5

(tek sayı) olarak bulunur.

Kural gereği toplam tek sayı olduğundan

2n - 1

işlemi uygulanır:

x_2 = 2 \times 12 - 1 = 23

elde edilir.

2

x_2 = 23

sayısının farklı asal çarpanlarını bulmak ve toplamlarının tekliğini/çiftliğini kontrol etmek.

23

asal bir sayı olduğundan tek asal çarpanı kendisidir. Toplamı

23

(tek sayı) olur.

Kural gereği toplam tek sayı olduğundan yine

2n - 1

işlemi uygulanır:

x_3 = 2 \times 23 - 1 = 45

elde edilir.

3

x_3 = 45

sayısının farklı asal çarpanlarını bulmak ve toplamlarının tekliğini/çiftliğini kontrol etmek.

45 = 3^2 \times 5

olup farklı asal çarpanları

3

ve

5

'tir. Toplamları

3 + 5 = 8

(çift sayı) olarak bulunur.

Kural gereği toplam çift sayı olduğundan

n + 3

işlemi uygulanır:

x_4 = 45 + 3 = 48

elde edilir.

Key Concept

Koşullu İşlemler ve Algoritma Takibi

Estimated Time:1m 30s

Question 2466Question →

Her

x

gerçel sayısı için tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) - x \cdot f(1-x) = 2x + 1

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

-3

5

1

-2

3

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Doğru cevap 1'dir.

Fonksiyon kuralında sırasıyla

x = 2

ve

x = -1

değerleri yazıldığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde

f(2)

değeri 1 olarak bulunur. Dolayısıyla 1 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen fonksiyonda

x = 2

yazarak ilk denklemi elde ederiz.

f(2) - 2 \cdot f(-1) = 5

f(2)

ve

f(-1)

terimleri arasında ilk ilişkiyi kurmak için.

2

Denklemdeki

f(-1)

terimini bulabilmek için bu kez fonksiyonda

x = -1

yazarız.

f(-1) - (-1) \cdot f(2) = 2(-1) + 1 \implies f(-1) + f(2) = -1

Bilinmeyenleri çözebilmek için ikinci bir bağımsız denklem elde etmek.

3

Bulunan iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözeriz.

f(-1) + f(2) = -1

denklemini 2 ile çarpıp

f(2) - 2f(-1) = 5

denklemi ile taraf tarafa toplar��z.

3f(2) = 3 \implies f(2) = 1

elde edilir.

f(-1)

terimini yok ederek doğrudan

f(2)

değerine ulaşmak.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişken yerine uygun değerler yazılarak elde edilen denklem sistemlerinin çözülmesi.

Question 2467Question →

Bir üniversitede dönem başında açılan $9$ seçmeli dersten $3$ 'ü aynı gün ve aynı saatte verilmektedir.

Bu dersler arasından haftalık ders programında çakışma olmayacak şekilde $4$ ders seçmek isteyen bir öğrenci, bu seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

60

75

90

120

126

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

Seçim çakışma olmayacak şekilde 75 farklı şekilde yapılabilir.

Öğrenci, haftalık programda çakışma olmaması için aynı saatte verilen

3

dersten en fazla

1

tanesini seçebilir. Bu durumda iki geçerli senaryo vardır: Çakışan derslerden hiçbirinin seçilmemesi (kalan

6

dersten

4

'ü seçilir,

\binom{6}{4} = 15

durum) veya çakışan derslerden tam

1

tanesinin seçilmesi (çakışan

3

dersten

1

'i ve çakışmayan

6

dersten

3

'ü seçilir,

\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 60

durum). Bu iki durumun toplamı olan

75

sonucu doğru yanıttır.

Step-by-Step Solution

1

Çakışan ve çakışmayan ders gruplarını belirleme

Toplam

9

dersin

3

tanesi aynı saatte verilmektedir (çakışan grup). Geriye kalan

9 - 3 = 6

ders ise çakışmamaktadır (çakışmayan grup).

Derslerin çakışma durumlarına göre gruplandırılması, seçim senaryolarını doğru analiz etmek için gereklidir.

2

Hiçbir çakışan dersin seçilmediği durumu hesaplama

Seçilecek

4

dersin tamamı çakışmayan

6

ders arasından seçilir:

\binom{6}{4} = 15

durum.

Aynı saatte çakışan derslerden hiçbirinin programa dahil edilmediği geçerli durumu bulmak için.

3

Çakışan derslerden tam olarak 1 tanesinin seçildiği durumu hesaplama

Çakışan

3

dersten

1

tane ve çakışmayan

6

dersten

3

tane seçilir:

\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60

durum.

Aynı saatte çakışan derslerden en fazla 1 tane seçilebileceği için tam 1 ders seçilen durumu bulmak için.

4

Toplam geçerli durum sayısını bulma

Toplam seçim sayısı =

15 + 60 = 75

durumdur.

Tüm olası geçerli senaryoların toplamını alarak nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Kısıtlı Kombinasyon (Grup Seçimi ve Durum Analizi)

Hints

1

Aynı saatte verilen

3

dersten aynı anda en fazla kaç tanesini seçebileceğinizi düşünün.

2

Aynı saatte verilen derslerden ya hiç seçmemelisiniz ya da tam olarak

1

tane seçmelisiniz. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz.

3

Hiç çakışan seçilmeyen durum:

\binom{6}{4}

. Sadece

1

çakışan seçilen durum:

\binom{3}{1} \times \binom{6}{3}

. Bu iki değeri toplayın.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan ama bu kez en az bir tane çakışan dersin seçilmesinin zorunlu olduğu bir senaryo tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm olası seçimlerden, istenmeyen (çakışma yaratan) durumları çıkarabilirsiniz. Toplam durum

\binom{9}{4} = 126

'dır. İstenmeyen durumlar, çakışan derslerden

2

tane seçilmesi (

\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 45

) ve çakışan derslerden

3

tane seçilmesidir (

\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 6

). Tüm durumlardan bu istenmeyenleri çıkardığımızda:

126 - (45 + 6) = 75

sonucuna ulaşırız.

Estimated Time:1m 30s

Question 2468Question →

Analitik düzlemde, iki paralel caddenin kenarları sırasıyla

3x - 4y + 12 = 0

6x - 8y - 16 = 0

doğruları ile modellenmiştir.

Bu iki cadde arasına, her iki caddeye de teğet olacak şekilde inşa edilebilecek en büyük dairesel kavşağın yarıçapı kaç birimdir?

2

4

2,8

5,6

0,8

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dairesel kavşağın yarıçapı 2 birimdir.

İki paralel cadde kenarı arasındaki en kısa uzaklık, bu caddelere teğet olacak dairesel kavşağın çapını verir. Doğruların

x

ve

y

katsayıları eşitlendiğinde denklemler

6x - 8y + 24 = 0

ve

6x - 8y - 16 = 0

olur. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık

d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = 4

birimdir. Dairenin çapı 4 birim olduğundan yarıçapı 2 birim bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci doğrunun denklemini 2 ile genişletmek

6x - 8y + 24 = 0

Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için her iki denklemdeki

x

ve

y

katsayılarının aynı olması gerekir.

2

İki paralel doğru arasındaki uzaklık formülün�� uygulamak

d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{40}{10} = 4

birim

Bu iki doğruya teğet olan en büy��k dairenin çapı, doğrular arasındaki en kısa uzaklığa (

d

) eşittir.

3

Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak

r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2

birim

Dairenin yarıçapı, çapının yarısına eşittir.

Key Concept

Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün geometrik modellemelerde kullanılması

Hints

1

İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun denklemindeki

x

ve

y

katsayılarını eşitlemelisiniz.

2

Katsayıları eşitledikten sonra

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

formülüyle doğrular arasındaki mesafeyi (kavşağın çapını) bulun.

3

Kavşağın çapını 4 birim bulduktan sonra, soruda sizden çap değil yarıçap (

r

) istendiğini unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde, iki paralel doğru arasına çizilebilecek en büyük karenin alanını bulmaya yönelik soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Birinci doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilebilir. Örneğin

3x - 4y + 12 = 0

doğrusu üzerinde

x = 0

için

y = 3

noktası (

(0, 3)

) bulunur. Bu noktanın

6x - 8y - 16 = 0

doğrusuna olan uzaklığı noktanın doğruya uzaklığı formülüyle hesaplanarak caddeler arası mesafe (çap) yine 4 birim olarak elde edilir. Buradan yarıçap 2 birim bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2469Question →

Dik koordinat düzleminde, $A(a, 0)$ noktası $x$ -ekseni üzerinde, $B(0, b)$ noktası ise $y$ -ekseni üzerindedir. $a < 0 < b$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık $10$ birimdir. $[AB]$ doğru parçasının orta noktası koordinat düzleminin II. bölgesinde yer almaktadır. Bu orta noktanın koordinatları çarpımı $-12$ olduğuna göre, $a - b$ farkı kaçtır?

-16

-14

-2

2

14

Show answer & explanation

Answer: $-14$

Answer

İstenen farkın değeri

-14

olur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden

a^2 + b^2 = 100

ve orta nokta koordinatlarının çarpımından

a \cdot b = -48

elde edilir. Bu iki eşitlik tam kare özdeşliği olan

(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab

formülünde yerine yazıldığında

(a-b)^2 = 196

bulunur.

a < 0 < b

koşulundan dolayı

a - b

farkı negatif olmak zorundadır. Dolayısıyla doğru cevap

-14

olur.

Step-by-Step Solution

1

A(a, 0)

ve

B(0, b)

noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi yazıp düzenlemek.

a^2 + b^2 = 100

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

şeklindedir. Burada

d = 10

olduğundan

10 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} \implies a^2 + b^2 = 100

elde edilir.

2

[AB]

doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak ve koordinatlar çarpımı eşitliğini kullanmak.

a \cdot b = -48

A(a, 0)

ve

B(0, b)

noktalarının orta noktası

C\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = C\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)

olur. Bu noktanın koordinatları çarpımı

-12

olarak verildiğinden,

\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = -12 \implies \frac{a \cdot b}{4} = -12 \implies a \cdot b = -48

bulunur.

3

a^2 + b^2 = 100

ve

a \cdot b = -48

denklemlerini tam kare özdeşliğinde yerine yazarak

a - b

değerini belirlemek.

a - b = -14

İki terimin farkının karesi özdeşliğinden,

(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab

yazılır. Değerler yerine konulduğunda,

(a - b)^2 = 100 - 2(-48) = 100 + 96 = 196

olur. Buradan

a - b = 14

veya

a - b = -14

elde edilir. Soruda

a < 0 < b

verildiğinden, küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır. Bu nedenle

a - b = -14

olur.

Key Concept

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve tam kare özdeşlikleri yardımıyla bilinmeyenlerin bulunması.

Alternative Method

Orta noktanın koordinatları

C(x_0, y_0)

olsun.

x_0 = a/2

ve

y_0 = b/2

olduğundan

a = 2x_0

ve

b = 2y_0

yazılabilir.

a^2 + b^2 = 100

denkleminde yerine yazıldığında

(2x_0)^2 + (2y_0)^2 = 100 \implies 4(x_0^2 + y_0^2) = 100 \implies x_0^2 + y_0^2 = 25

bulunur. Koordinatlar çarpımı

x_0 \cdot y_0 = -12

olduğundan,

(x_0 - y_0)^2 = x_0^2 + y_0^2 - 2x_0y_0 = 25 - 2(-12) = 49

olur. Buradan

x_0 - y_0 = -7

(çünkü

x_0 < 0 < y_0

) bulunur.

a - b = 2(x_0 - y_0) = 2(-7) = -14

elde edilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2470Question →

Bir dokuma fabrikasındaki üç farklı makine sırasıyla $\frac{3}{4}$ saat, $\frac{4}{5}$ saat ve $\frac{5}{6}$ saatte bir kumaş dokumaktadır. Bu üç makine aynı anda çalışmaya başladıktan sonra, ilk kez tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başladıkları ana kadar geçen sürede toplam kaç adet kumaş dokunmuştur?

143

47

227

454

37

Show answer & explanation

Answer: 227

Answer

Makinelerin tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başladıkları ana kadar geçen sürede toplam 227 adet kumaş dokunmuştur.

Üç makinenin tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başlaması için geçen süre, makinelerin kumaş dokuma sürelerinin en küçük ortak katı (EKOK) olmalıdır. Rasyonel sayıların EKOK formülüne göre payların EKOK'u paydaların EBOB'una bölünür. Buradan en küçük ortak zaman dilimi 60 saat olarak hesaplanır. Bu 60 saatlik sürede birinci makine 80 adet, ikinci makine 75 adet ve üçüncü makine 72 adet kumaş dokur. Toplam dokunan kumaş sayısı ise bunların toplamı olan 227 adettir.

Step-by-Step Solution

1

Makinelerin kumaş dokuma sürelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmak.

Makinelerin süreleri

\frac{3}{4}

,

\frac{4}{5}

ve

\frac{5}{6}

saattir. Bu rasyonel sayıların en küçük ortak katı:

\text{EKOK}\left(\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\right) = \frac{\text{EKOK}(3, 4, 5)}{\text{EBOB}(4, 5, 6)} = \frac{60}{1} = 60\text{ saat}

olarak bulunur.

Makinelerin aynı anda tekrar birlikte yeni bir işe başlayabilmesi için geçen sürenin, her birinin üretim periyodunun tam katı olması gerekir.

2

60 saatlik sürede her bir makinenin ürettiği kumaş sayısını hesaplamak.

Birinci makine:

60 \div \frac{3}{4} = 60 \times \frac{4}{3} = 80

adet kumaş.
İkinci makine:

60 \div \frac{4}{5} = 60 \times \frac{5}{4} = 75

adet kumaş.
Üçüncü makine:

60 \div \frac{5}{6} = 60 \times \frac{6}{5} = 72

adet kumaş.

Toplam ortak süreyi her bir makinenin tek bir kumaşı dokuma süresine bölerek o sürede tamamlanan kumaş sayılarını elde ederiz.

3

Makinelerin ürettiği toplam kumaş sayısını hesaplamak.

80 + 75 + 72 = 227

adet kumaş.

Üç makinenin bu süre zarfında ürettiği toplam kumaş miktarını bulmak için her birinin üretim miktarlarını toplarız.

Key Concept

Rasyonel sayıların EKOK (En Küçük Ortak Kat) hesabı ve periyodik durum problemlerinin çözümü.

Hints

1

Makinelerin tekrar aynı anda yeni bir kumaş dokumaya başlaması için geçen süre, her bir makinenin tek başına kumaş dokuma süresinin ortak bir katı olmalıdır.

2

Kesirli sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmak için payların EKOK değerini paydaların EBOB değerine bölmelisiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla çalışan ama bu kez dairesel bir pistte farklı hızlardaki üç koşucunun başlangıç noktasında tekrar karşılaşma sürelerini içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Makinelerin 1 saatte ürettikleri kumaş miktarlarını (yani hızlarını) bulup orantı kurabilirsiniz. 1. makine 1 saatte 4/3 kumaş, 2. makine 5/4 kumaş ve 3. makine 6/5 kumaş üretir. Bu üretim miktarlarının tam sayı olması için geçen sürenin her bir hızın paydalarını sadeleştirecek en küçük ortak kat olması gerekir. Paydalar 3, 4 ve 5 olduğundan, süre en az EKOK(3, 4, 5) = 60 saat olmalıdır. Buradan da her bir makinenin 60 saatteki üretimleri hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 2471Question →

Bir saat kadranında, yelkovanın uzunluğu akrebin uzunluğunun $2$ katıdır. Saat $12.00$ 'den $12.30$ 'a kadar geçen sürede, yelkovanın ucunun aldığı yol akrebin ucunun aldığı yolun kaç katıdır?

12

18

24

36

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Yelkovanın ucunun aldığı yol, akrebin ucunun aldığı yolun 24 katıdır.

Yelkovanın uzunluğu

2r

, akrebin uzunluğu

r

olsun. 30 dakikalık sürede yelkovan

180^\circ

(yarım tur) dönerek

2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r

kadar yol alır. Aynı sürede akrep

15^\circ

dönerek

2\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12}

kadar yol alır. Yelkovanın aldığı yol akrebin aldığı yolun

\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24

katıdır.

Step-by-Step Solution

1

Akrebin ve yelkovanın yarıçap (uzunluk) ilişkisini belirleyelim.

Akrebin uzunluğu

r

ise yelkovanın uzunluğu

2r

olur.

Soruda yelkovanın uzunluğunun akrebin uzunluğunun 2 katı olduğu verilmiştir.

2

12.00 ile 12.30 aras��ndaki 30 dakikalık sürede akrep ve yelkovanın taradığı merkez açıları bulalım.

Yelkovan

180^\circ

, akrep ise

15^\circ

döner.

Yelkovan 60 dakikada tam tur (

360^\circ

) dönerken 30 dakikada yarım tur (

180^\circ

) döner. Akrep ise 12 saatte (

720

dakikada)

360^\circ

dönerken 30 dakikada

\frac{30}{720} \times 360^\circ = 15^\circ

d��ner.

3

Her iki ibrenin uç noktasının aldığı yay uzunluğunu (yolu) hesaplayalım.

Yelkovanın aldığı yol:

2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r

. Akrebin aldığı yol:

2\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12}

.

Merkez açısı

\alpha

olan bir çember yayının uzunluğu

2\pi r \times \frac{\alpha}{360}

formülüyle bulunur.

4

Yelkovanın ucunun aldığı yolun akrebin ucunun aldığı yola oranını bulalım.

\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24

.

Yelkovanın aldığı yolu akrebin aldığı yola bölerek kat ilişkisini buluruz.

Key Concept

Çemberde yay uzunluğu formülü (

2\pi r \times \frac{\alpha}{360}

) ve saat kadranı üzerinde zaman-açı ilişkisinin belirlenmesi.

Hints

1

Akrep ve yelkovanın uzunluklarını sırasıyla

r

ve

2r

olarak belirleyin.

2

30 dakikada yelkovanın yarım tur (

180^\circ

) döndüğünü, akrebin ise bir saatte

30^\circ

döndüğü bilgisinden yararlanarak yarım saatte kaç derece döndüğünü bulun.

3

Yelkovan için yarıçapı

2r

ve açıyı

180^\circ

, akrep için yarıçapı

r

ve açıyı

15^\circ

alarak

2\pi R \times \frac{\alpha}{360}

formülüyle yolları hesaplayıp oranlayın.

Practice More

Aynı ibrelerin 12.00'den 12.20'ye kadar geçen sürede uçlarının aldığı yolların oranını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Dairesel hareketlerde çizgisel hız formülü

v = \omega \cdot R

kullanılabilir. Yelkovanın açısal hızı akrebin açısal hızının 12 katıdır (aynı sürede 12 kat daha fazla açı tarar). Yelkovanın yarıçapı da akrebin yarıçapının 2 katı olduğuna göre, çizgisel hızları (ve dolayısıyla aynı sürede aldıkları yolların) oranı

12 \times 2 = 24

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2472Question →

Bir $A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesinde $\odot$ ikili işlemi, her satır ve sütunun kesişiminde yer alan sonuçlarla aşağıdaki gibi oluşturulmuştur:

$\odot$	$1$	$2$	$3$	$4$
$1$	$2$	$4$	$1$	$3$
$2$	$3$	$1$	$4$	$2$
$3$	$1$	$2$	$3$	$4$
$4$	$4$	$3$	$2$	$1$

Bu tabloda, birinci bileşen satırdan, ikinci bileşen ise sütundan seçilmektedir. Örneğin, $1 \odot 2 = 4$ olarak okunur.

Buna göre,

(x \odot 2) \odot 4 = 3

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 2'dir.

Denklemde x yerine 2 yazıldığında, öncelikle parantez içi

2 \odot 2 = 1

olarak bulunur. Ardından elde edilen bu değerle dıştaki işlem yapıldığında

1 \odot 4 = 3

sonucu elde edilir. Bu durum, verilen denklemdeki eşitliği tam olarak sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

(x \odot 2) \odot 4 = 3

denkleminde parantez içindeki ifadeye

y

diyelim.

y \odot 4 = 3

eşitliğini sağlayan

y

değerini bulmak için tablonun sütun başlığı

4

olan sütununda

3

değerini ararız.

3

değerinin satır başlığı

1

olan satırda olduğu görülür. Buradan

y = 1

, yani

x \odot 2 = 1

elde edilir.

Dıştaki işlemin sonucunun 3 olmasını sağlayan birinci bileşeni belirlemek.

2

Elde edilen

x \odot 2 = 1

eşitliğini sağlayan

x

değerini bulmak için tablonun sütun başlığı

2

olan sütununda

1

değerini ararız.

1

değerinin satır başlığı

2

olan satırda olduğu görülür. Buradan

x = 2

bulunur.

İçteki işlemin sonucunun 1 olmasını sağlayan bilinmeyen x değerini elde etmek.

Key Concept

İşlem tablolarında satır ve sütun takibi yaparak bilinmeyenli denklemleri çözme.

Question 2473Question →

10 soruluk bir sınavda bir öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmek şartıyla toplam 6 soru cevaplaması gerekmektedir. Buna göre, bu öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir?

80

100

95

210

24

Show answer & explanation

Answer: 95

Answer

Bu öğrenci cevaplayacağı soruları 95 farklı şekilde seçebilir.

Öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmesi gerektiği için iki farklı senaryo mevcuttur. İlk senaryoda ilk gruptan 3, ikinci gruptan 3 soru seçilir ve bu seçim

\binom{4}{3} \cdot \binom{6}{3} = 4 \cdot 20 = 80

farklı yolla gerçekleşir. İkinci senaryoda ilk gruptan 4, ikinci gruptan 2 soru seçilir ve bu seçim

\binom{4}{4} \cdot \binom{6}{2} = 1 \cdot 15 = 15

farklı yolla gerçekleşir. Bu iki bağımsız senaryonun toplamı olan 95 değeri doğru yanıtı verir.

Step-by-Step Solution

1

İlk 4 sorudan tam olarak 3 sorunun seçildiği 1. durumu hesaplamak.

İlk 4 sorudan 3 soru

\binom{4}{3} = 4

farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan da 3 soru seçilmelidir. Bu seçim ise

\binom{6}{3} = 20

farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı:

4 \cdot 20 = 80

olur.

Koşuldaki 'en az 3' ifadesi, tam olarak 3 sorunun ilk gruptan seçilme olasılığını içerir.

2

İlk 4 sorunun tamamının (4 sorunun da) seçildiği 2. durumu hesaplamak.

İlk 4 sorunun 4'ü de

\binom{4}{4} = 1

farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan 2 soru seçilmelidir. Bu seçim ise

\binom{6}{2} = 15

farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı:

1 \cdot 15 = 15

olur.

'En az 3' koşulu, ilk gruptan 4 sorunun da seçilebileceğini belirtir.

3

Elde edilen bağımsız iki durumun sonuçlarını toplamak.

Toplam farklı seçim sayısı:

80 + 15 = 95

bulunur.

Farklı durumlar birbirine alternatif (bağımsız) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Kombinasyon hesaplamalarında 'en az' koşulu içeren problemlerin alt durumlara ayrılarak çözülmesi ve saymanın toplama/çarpma kurallarının uygulanması.

Question 2474Question →

Bir kahve dükkanına gelen müşterilerin $\%60$ 'ı espresso tabanlı kahveleri, geri kalanı ise filtre kahveyi tercih etmektedir. Espresso tabanlı kahve tercih eden müşterilerin $\%40$ 'ı içeceklerini yulaf sütü ile, filtre kahve tercih edenlerin ise $\%10$ 'u yulaf sütü ile sipariş etmektedir. Buna göre, bu kahve dükkanından yulaf sütlü bir kahve siparişi verdiği bilinen bir müşterinin, espresso tabanlı bir kahve tercih etmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{6}{7}

\frac{1}{7}

\frac{2}{5}

\frac{6}{25}

\frac{3}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{7}$

Answer

Yulaf sütlü kahve sipariş ettiği bilinen bir müşterinin espresso tabanlı kahve tercih etmiş olma olasılığı

\frac{6}{7}

'dir.

Yulaf sütlü kahve sipariş ettiği bilinen müşterilerin sayısı paydada yer almalıdır. Bu sayı, espresso içip yulaf sütlü alanlar (

24

kişi) ile filtre kahve içip yulaf sütlü alanların (

4

kişi) toplamı olan

28

kişidir. İstenen durum ise bu grup içindeki espresso tabanlı kahve sipariş edenlerin sayısı olan

24

kişidir. Buradan istenen koşullu olasılık

\frac{24}{28} = \frac{6}{7}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla kahve dükkanına gelen toplam müşteri sayısını

100

olarak kabul edelim ve kahve türlerine göre dağılımı bulalım.

Espresso tabanlı kahve tercih edenler:

100 \times 0{}60 = 60

kişi. Filtre kahve tercih edenler:

100 - 60 = 40

kişi olur.

Yüzde hesaplamalarını tam sayılar üzerinden yürüterek hata payını azaltmak için.

2

Her iki gruptan yulaf sütü tercih eden müşterilerin sayılarını ayrı ayrı hesaplayalım.

Espresso grubundan yulaf sütü alanlar:

60 \times 0{}40 = 24

kişi. Filtre kahve grubundan yulaf sütü alanlar:

40 \times 0{}10 = 4

kişi olur.

Koşullu olasılıktaki pay ve payda değerlerini oluşturacak alt küme eleman sayılarını bulmak için.

3

Koşul uyarınca toplam yulaf sütlü kahve sipariş edenlerin sayısını (yeni örnek uzay) paydaya, yulaf sütlü ve espresso tabanlı sipariş edenlerin sayısını paya yazarak oranı bulalım.

Toplam yulaf sütlü sipariş sayısı:

24 + 4 = 28

kişi. İstenen olasılık:

\frac{24}{28} = \frac{6}{7}

olarak elde edilir.

Müşterinin yulaf sütlü kahve aldığı bilindiği için örnek uzay bu koşula göre daraltılmıştır.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Estimated Time:1m 30s

Question 2475Question →

Bir süslemede düzgün altıgenler ve düzgün üçgenler, kenarları çakışacak şekilde yan yana dizilerek bir şerit oluşturulmaktadır. Bu örüntünün:
- $1$ . adımında $1$ adet düzgün altıgen ve bunun sağ kenarına yapışık $1$ adet düzgün üçgen bulunmaktadır.
- $2$ . adımında, $1$ . adımdaki şeklin sağ ucuna sırasıyla $1$ adet düzgün altıgen ve $1$ adet düzgün üçgen eklenmektedir.
- Sonraki her adımda, bir önceki adımda elde edilen şeklin sağ ucuna sırasıyla $1$ adet düzgün altıgen ve $1$ adet düzgün üçgen eklenerek örüntü devam ettirilmektedir.

Tüm çokgenlerin kenar uzunlukları $1$ birimdir.

Buna göre, bu örüntüyle oluşturulan bir şeridin dış çevresi $87$ birim olduğuna göre, bu şeritte toplam kaç adet düzgün üçgen kullanılmıştır?

15

17

18

21

29

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Şeritte toplam 17 adet düzgün üçgen kullanılmıştır.

Örüntünün genel çevre formülü

5n + 2

olarak bulunur. Burada

n

adım sayısını (yani kullanılan altıgen ve üçgen sayılarını) temsil eder. Çevre

87

birim olduğuna göre

5n + 2 = 87 \implies 5n = 85 \implies n = 17

elde edilir. Her adımda

1

adet düzgün üçgen kullanıldığı için şeritteki toplam düzgün üçgen sayısı

17

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Örüntünün ilk birkaç adımı için şekillerin çevrelerini hesaplayıp kuralı belirleyelim.

1

. adımda

1

altıgen ve

1

üçgen vardır, çakışan kenar sayısı

1

'dir. Çevre =

6 + 3 - 2(1) = 7

birim olur.

2

. adımda

2

altıgen ve

2

üçgen vardır, çakışan kenar sayısı

3

'tür. Çevre =

2(6) + 2(3) - 2(3) = 12

birim olur.

Adımlar arasındaki artış miktarını bularak genel bir çevre formülü elde etmek amacıyla bu adım yapılmıştır.

2

n

adımlı bir şeritteki toplam kenar sayısını ve paylaşılan kenarları hesaba katarak genel çevre formülünü yazalım.

n

adet düzgün altıgen ve

n

adet düzgün üçgen için toplam kenar sayısı

6n + 3n = 9n

olur. Şekiller yan yana dizildiğinde aralarında

2n - 1

tane ortak kenar oluşur. Her ortak kenar çevreden

2

birim eksiltir. Bu durumda çevre formülü:

C(n) = 9n - 2(2n - 1) = 5n + 2

olur.

Çevresi

87

birim olan şeritteki adım sayısını (

n

) bulmak amacıyla genel formül oluşturulmuştur.

3

Çevre formül��nü

87

'ye eşitleyerek adım sayısı olan

n

değerini çözelim.

5n + 2 = 87 \implies 5n = 85 \implies n = 17

bulunur.

Her adımda tam olarak

1

adet düzgün üçgen eklendiğinden,

n

adımda toplam

n

adet üçgen kullanıldığını belirlemek amacıyla bu denklem çözülmüştür.

Key Concept

Çokgen örüntülerinde ortak kenarların çevre uzunluğuna etkisini dikkate alarak genel terim formülü yazma ve doğrusal denklem çözme.

Hints

1

Örüntünün 1. ve 2. adımlarındaki toplam kenar sayılarını hesaplayın ve ardından bu adımlarda üst üste binen (ortak olan) kenarları belirleyip toplamdan çıkarın.

2

1. adımdaki çevre

7

birimdir. 2. adımdaki çevre ise

12

birimdir. Her adımda çevre uzunluğunun kaçar kaçar arttığını bulun.

3

Artış miktarı

5

birim olduğuna göre,

n

. adımdaki şeklin çevre formülü

5n + 2

şeklindedir. Bu ifadeyi

87

'ye eşitleyerek

n

değerini bulun.

Practice More

Benzer şekilde, kare ve düzgün beşgenlerin yan yana dizilmesiyle oluşturulan şeritlerin çevre uzunluğu problemlerini çözerek bu kuralları pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, ilk adımdan sonra eklenen her bir altıgen-üçgen çiftinin çevreye getirdiği net katkıyı hesaplayabiliriz. 1. adımdaki başlangıç şeklinin (1 altıgen ve 1 üçgen) çevresi

7

birimdir. Bundan sonra eklenen her yeni altıgen-üçgen çifti, bir önceki şekle

1

ortak kenarla bağlanır. Dolayısıyla her adımda çevreye net katkı:

6

(altıgen) +

3

(üçgen) -

2 \times 2

(iki adet ortak kenar) =

5

birim olur.

n

adımda toplam çevre

7 + 5(n-1)

olacaktır.

7 + 5(n-1) = 87 \implies 5(n-1) = 80 \implies n-1 = 16 \implies n = 17

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2476Question →

Bir yazılım şirketinde çalışan 60 yazılımcının bildiği programlama dilleri (Python ve Java) ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu yazılımcılardan 36'sı Python dilini bilmektedir.
* Java dilini bilen yazılımcı sayısı, sadece Python dilini bilen yazılımcı sayısının 2 katıdır.
* Her iki dili de bilmeyen yazılımcı sayısı 9'dur.

Buna göre, bu şirkette her iki dili de bilen yazılımcı sayısı kaçtır?

6

16

19

21

29

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Her iki dili de bilen yazılımcı sayısı 19'dur.

Soruda verilen bilgiler doğrultusunda sadece Java bilen yazılımcı sayısı 15 olarak bulunur. Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına

x

dediğimizde, sadece Python bilenler

36-x

, Java bilenler ise

15+x

olur. Verilen 'Java bilenler, sadece Python bilenlerin 2 katıdır' koşulu ile

15+x = 2(36-x)

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü

x=19

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam yazılımcı sayısından, Python bilenlerin ve hiçbir dili bilmeyenlerin sayısını çıkararak sadece Java bilen yazılımcı sayısını bulalım.

60 - 36 - 9 = 15

yazılımcı sadece Java bilmektedir.

Evrensel kümeden Python bilenlerin kümesini ve hiçbir dili bilmeyenleri çıkardığımızda geriye kalan bölge sadece Java bilenlerin bölgesidir.

2

Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına

x

diyerek sadece Python bilen yazılımcı sayısını

x

cinsinden ifade edelim.

Sadece Python bilen yazılımcı sayısı:

36 - x

Python bilenlerin toplam sayısı 36 olduğuna göre, sadece Python bilenlerin sayısı, toplam sayıdan her iki dili de bilenlerin (

x

) çıkarılmasıyla bulunur.

3

Java bilenlerin toplam sayısını

x

cinsinden yazalım.

Java bilen yazılımcı sayısı:

15 + x

Java bilenlerin sayısı, sadece Java bilenler (15) ile her iki dili de bilenlerin (

x

) toplamıdır.

4

Soruda verilen orantıyı kullanarak denklemi kuralım ve

x

değerini bulalım.

15 + x = 2 \times (36 - x) \Rightarrow 15 + x = 72 - 2x \Rightarrow 3x = 57 \Rightarrow x = 19

elde edilir.

Java bilenlerin sayısı, sadece Python bilenlerin 2 katı olduğuna göre bu eşitlikten

x

(her iki dili de bilenler) bulunur.

Key Concept

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma uygulamaları

Question 2477Question →

Dik koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan ve $4x + 3y - 7 = 0$ doğrusu üzerinde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?

2

5\sqrt{2}

10

6\sqrt{2}

14

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İki nokta arasındaki uzaklık 10 birimdir.

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri eşittir. Bu durum

y=x

ve

y=-x

doğrularını tanımlar. Verilen doğrunun bu doğrularla kesim noktaları sırasıyla

(1, 1)

ve

(7, -7)

olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden sonuç 10 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Eksenlere eşit uzaklıkta olan noktaların koordinat ilişkisini belirleme.

|x| = |y|

olduğundan noktalar

y = x

veya

y = -x

doğruları üzerindedir.

Koordinat eksenlerine eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.

2

y = x

durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.

4x + 3x - 7 = 0 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1

ve

y = 1

olup nokta

P_1(1, 1)

olarak bulunur.

Noktanın verilen doğru üzerinde olması için doğrunun denklemini sağlaması gerekir.

3

y = -x

durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.

4x + 3(-x) - 7 = 0 \Rightarrow 4x - 3x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7

ve

y = -7

olup nokta

P_2(7, -7)

olarak bulunur.

İkinci olası durum olan

y = -x

ilişkisini sağlayan doğru üzerindeki noktayı tespit etmek gerekir.

4

Bulunan iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplama.

d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10

birim.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Hints

1

Koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan noktaların koordinatları mutlak değerce birbirine eşittir.

2

Apsis ve ordinat arasındaki bu ilişkiyi

y = x

ve

y = -x

olmak üzere iki farklı durum olarak ele alın ve her iki durumu da doğru denkleminde yerine yazın.

3

Elde ettiğiniz

P_1(1, 1)

ve

P_2(7, -7)

noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları toplamı veya farkı verilen bir doğrunun sınırladığı bölgenin alanını hesaplayan soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Doğrunun açıortay doğruları olan

y = x

ve

y = -x

doğruları ile kesişim noktaları çizilerek koordinat düzleminde bir dik üçgen oluşturulabilir. Bu dik üçgenin kenarları 6 birim ve 8 birim olduğundan, hipotenüs (noktalar arasındaki uzaklık) 3-4-5 üçgeninin katı olan 6-8-10 üçgeninden doğrudan 10 birim olarak bulunabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2478Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu için

f(x + f(x)) = 3x - 5

eşitliği sağlanmaktadır.

f(2) = 3

olduğuna göre,

f(5)

değeri kaçtır?

1

10

-9

11

6

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Fonksiyonun

f(5)

değeri 1 olarak bulunur.

Eşitlikte

x

yerine

2

yazıldığında parantez içi

2 + f(2)

olur.

f(2) = 3

olarak verildiğinden, bu ifade

2 + 3 = 5

haline gelir. Eşitliğin sağ tarafı ise

3 \cdot 2 - 5 = 1

olur. Böylece

f(5) = 1

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

f(x + f(x)) = 3x - 5

eşitliğinde

x = 2

yazılır.

f(2 + f(2)) = 3 \cdot 2 - 5

f(2) = 3

bilgisi verildiği için, bu bilgiyi kullanabilecek şekilde eşitlik düzenlenir.

2

f(2)

yerine

3

yazılıp işlemler tamamlanır.

f(2 + 3) = 6 - 5 \implies f(5) = 1

Parantez içi

5

değerine ulaşır ve sağ taraftaki çıkarma işlemi yapılarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun kuralı verildiğinde, tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsünü (değerini) bulmak için uygun değişken dönüşümü veya yerine yazma yöntemi kullanılır.

Question 2479Question →

Bir karton üzerinde $3 \times 3$ boyutunda 9 birim kareden oluşan bir tablo verilmiştir. Tablonun satırları yukarıdan aşağıya doğru 1, 2 ve 3; sütunları ise soldan sağa doğru 1, 2 ve 3 sayılarıyla numaralandırılmıştır. Tablodaki herhangi bir kare, bulunduğu satır numarası $r$ ve sütun numarası $c$ olmak üzere $(r, c)$ ikilisiyle gösterilmektedir.

Başlangıçta bu tablodaki boyalı karelerin koordinatları $(1, 3)$ , $(2, 1)$ ve $(3, 2)$ 'dir.

Bu tabloya sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanıyor:
1. Tablo, saat yönünde $90^\circ$ döndürülüyor.
2. Elde edilen yeni tablo, dikey simetri eksenine (sol-sağ eksenine) göre yansıtılıyor.

Buna göre, son durumda boyalı karelerin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

(1, 2)

,

(2, 3)

ve

(3, 1)

(1, 2)

,

(2, 1)

ve

(3, 3)

(1, 3)

,

(2, 1)

ve

(3, 2)

(1, 1)

,

(2, 3)

ve

(3, 2)

(1, 3)

,

(2, 2)

ve

(3, 1)

Show answer & explanation

Answer: $(1, 2)$ , $(2, 3)$ ve $(3, 1)$

Answer

Son durumda boyalı karelerin koordinatları

(1, 2)

,

(2, 3)

ve

(3, 1)

olur.

Döndürme işlemi sonucunda koordinatlar

(1, 2)

,

(2, 1)

ve

(3, 3)

haline gelir. Bu koordinatlara dikey yansıtma uygulandığında ise nihai olarak

(1, 2)

,

(2, 3)

ve

(3, 1)

koordinatları elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç koordinatlarını belirleyin.

Boyalı karelerin koordinatları

(1, 3)

,

(2, 1)

ve

(3, 2)

'dir.

Dönüşüm işlemlerinin doğru uygulanabilmesi için başlangıç konumlarının net bir şekilde tespit edilmesi gerekir.

2

Saat yönünde

90^\circ

dönd��rme işlemini uygulayın.

(1, 3) \rightarrow (3, 3)

,

(2, 1) \rightarrow (1, 2)

ve

(3, 2) \rightarrow (2, 1)

koordinatlarına dönüşür.

3 \times 3

boyutlarındaki bir koordinat sisteminde saat yönünde

90^\circ

döndürme kuralı her

(r, c)

noktasını

(c, 4-r)

noktasına taşır.

3

Dikey simetri eksenine göre yansıtma işlemini uygulayın.

(3, 3) \rightarrow (3, 1)

,

(1, 2) \rightarrow (1, 2)

ve

(2, 1) \rightarrow (2, 3)

koordinatlarına dönüşür.

Dikey simetri eksenine göre yansımada satır numarası (

r

) sabit kalırken sütun numarası (

c

) sol-sağ simetrisi gereği

4-c

olur. Koordinat kümesi

\{(1, 2), (2, 3), (3, 1)\}

haline gelir.

Key Concept

İki boyutlu matrislerde koordinat döndürme ve yansıtma dönüşümleri

Hints

1

Her bir boyalı hücrenin koordinatlarını adım adım takip edin.

2

Saat yönünde

90^\circ

döndürmede

(r, c)

hücresinin

(c, 4-r)

hücresine dönüştüğünü dikkate alın.

3

Dikey yansıtma yaparken satır numarası değişmezken sütun numarası

c

yerine

4-c

olmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu

4 \times 4

boyutlarında bir matriste yatay yansıtma kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Matrisi görsel olarak çizip önce kağıdı saat yönünde

90^\circ

çevirebilir, ardından sol ve sağ tarafları kendi aralarında takas ederek sonucu doğrudan görebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2480Question →

Bir şirketin toplantı salonundaki yan yana duran $7$ koltuğa, $3$ yönetici ve $4$ uzman oturacaktır.

Yöneticilerin herhangi ikisinin yan yana oturmaması koşuluyla bu $7$ kişi koltuklara kaç farklı şekilde oturabilir?

240

720

1440

144

5040

Show answer & explanation

Answer: $1440$

Answer

Doğru cevap 1440 seçeneğidir.

Doğru yanıt olan 1440 değerine ulaşmak için, yan yana oturmama kısıtlaması olan yöneticiler yerine kısıtlaması olmayan uzmanlar yerleştirilir. 4 uzman

4! = 24

farklı şekilde sıralanır. Bu uzmanların oluşturduğu 5 boşluğa 3 yönetici

P(5, 3) = 60

farklı şekilde oturabilir. Çarpma kuralı gereği toplam durum sayısı

24 \times 60 = 1440

olur.

Step-by-Step Solution

1

Öncelikle kısıtlaması olmayan uzmanların koltuklara sıralanma sayısı hesaplanır.

4! = 24

farklı s��ralama elde edilir.

Uzmanlar kendi aralarında serbestçe yer değiştirebilirler.

2

Uzmanların arasında ve uç kısımlarında oluşan boşluklar belirlenir.

4

uzman yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarda toplam

5

boşluk oluşur.

Yöneticilerin yan yana gelmemesi için bu boşluklara oturmaları gerekir.

3

3

yöneticinin bu

5

boşluğa kaç farklı şekilde oturabileceği hesaplanır.

P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60

farklı yerleşim elde edilir.

Yöneticiler farklı kişiler olduğundan yer seçiminin yanında kendi aralarındaki sıralama da önemlidir.

4

Bulunan bu iki durumun sayısı çarpılarak toplam oturma düzeni sayısı hesaplanır.

24 \times 60 = 1440

farklı şekilde oturulabilir.

Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca bağımsız durumların sayıları çarpılır.

Key Concept

Kısıtlı permütasyon problemlerinde boşluk yöntemi kullanılarak yan yana gelmesi istenmeyen elemanların yerleşimi hesaplanır.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept