Cebir

Question 161Question →

Bir kamu kurumunda 24.000 TL tutarındaki performans ödemesi, üç personel (A, B ve C) arasında paylaştırılacaktır. Paylaşım kriterleri; personelin gerçekleştirdiği işlem hacmi ile doğru orantılı, yaptığı hata sayısı ile ters orantılı olacak şekilde belirlenmiştir.

Personel verileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel	İşlem Hacmi	Hata Sayısı
A	3	2
B	6	3
C	10	4

Bu bilgilere göre, en az ödeme alan personel kaç TL almıştır?

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

Show answer & explanation

Answer: 6.000

Answer

En az ödeme alan personel 6.000 TL almıştır.

Doğru orantı ve ters orantı aynı anda verildiğinde, pay miktarı

P = k \cdot \frac{\text{Doğru}}{\text{Ters}}

formülüyle bulunur.
A personeli için:

\frac{3}{2}k = 1,5k

B personeli için:

\frac{6}{3}k = 2k

C personeli için:

\frac{10}{4}k = 2,5k

Toplam:

1,5k + 2k + 2,5k = 6k

6k = 24.000 \Rightarrow k = 4.000

En az payı katsayısı en küçük olan A personeli alır:

1,5 \times 4.000 = 6.000

TL.

Step-by-Step Solution

1

Orantı kurallarını belirle

Pay = k * (Doğru Orantı Değeri / Ters Orantı Değeri)

Bileşik orantıda doğru orantılı çokluk paya, ters orantılı çokluk paydaya yazılır.

2

Her personel için pay katsayılarını hesapla

A: k * 3/2 = 1,5k
B: k * 6/3 = 2k
C: k * 10/4 = 2,5k

Tablodaki veriler formüle yerleştirilir.

3

Toplam payı eşitleyerek orantı sabitini (k) bul

1,5k + 2k + 2,5k = 6k
6k = 24.000 TL
k = 4.000 TL

Tüm payların toplamı dağıtılacak tutara eşittir.

4

Her personelin alacağı miktarı hesapla ve en düşüğü bul

A: 1,5 * 4000 = 6.000 TL
B: 2 * 4000 = 8.000 TL
C: 2,5 * 4000 = 10.000 TL
En az: 6.000 TL (A personeli)

Bulunan k değeri her birinin pay denkleminde yerine yazılır.

Key Concept

Bileşik Orantı Problemleri

Hints

1

Bileşik orantıda; bir sayı A ile doğru, B ile ters orantılı ise bu sayı

k \cdot \frac{A}{B}

şeklinde ifade edilir.

2

Her personel için

\frac{\text{İşlem Hacmi}}{\text{Hata Sayısı}}

oranını hesaplayın ve bunları toplayarak 24.000 TL'ye eşitleyin.

3

Oranlar: A için 3/2 (1.5), B için 6/3 (2), C için 10/4 (2.5). Toplamları 6 birim yapar.

Practice More

Benzer bir soruyu, toplam para yerine sadece bir kişinin aldığı paranın verildiği ve toplamın sorulduğu formatta çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Rasyonel sayılarla uğraşmamak için oranları genişletebilirsiniz. 3/2, 2 ve 5/2 sayılarını 2 ile çarparak 3k, 4k, 5k oranlarını kullanabilirsiniz. Toplam 12k = 24.000 ise k=2.000 olur. En az alan 3k = 6.000 TL olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 162Question →

x

ve

y

sıfırdan küçük gerçel sayılar olmak üzere,

x < y < 0

eşitsizliği veriliyor. Buna göre,

z = \frac{x+y}{x}

ifadesinin alabileceği değerler için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

z < 0

0 < z < 1

1 < z < 2

z > 2

z < -1

Show answer & explanation

Answer: $1 < z < 2$

Answer

1 < z < 2

aralığı daima doğrudur.

z = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

olarak parçalandığında,

x < y < 0

durumu incelenirse

|x| > |y|

olduğu ve her ikisi de negatif olduğu için

\frac{y}{x}

değerinin

0

ile

1

arasında pozitif bir basit kesir olduğu görülür. Bu değere

1

eklenmesi,

z

sayısının kesinlikle

1

ile

2

arasında olmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

z

ifadesini terimlerine ayırarak yazın.

z = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

Değişkenlerin sınırlarını daha kolay inceleyebilmek için ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

2

x < y < 0

eşitsizliğinden

\frac{y}{x}

oranının aralığını bulun.

x < y < 0

eşitsizliğinin her tarafı

x

(negatif bir sayı) ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{x}{x} > \frac{y}{x} > \frac{0}{x} \Rightarrow 1 > \frac{y}{x} > 0

Eşitsizliğin her tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmalıdır.

3

Elde edilen

\frac{y}{x}

aralığına

1

ekleyerek

z

değerine ulaşın.

0 < \frac{y}{x} < 1

olduğuna göre her tarafa

1

eklenirse:

1+0 < 1+\frac{y}{x} < 1+1 \Rightarrow 1 < z < 2

z = 1 + \frac{y}{x}

olduğu için bu adım sonucun tam aralığını verir.

Key Concept

Negatif sayılarla bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin parçalanması.

Hints

1

İfadeyi

z = \frac{x}{x} + \frac{y}{x}

şeklinde iki parçaya ayırarak incelemeyi deneyin.

2

x < y < 0

ise her iki tarafı negatif olan

x

sayısına böldüğünüzde eşitsizlik yönünün ne olacağını hatırlayın.

3

1 > \frac{y}{x} > 0

olduğunu bulduktan sonra, bu eşitsizliğin her tarafına

1

ekleyerek

z

ifadesini oluşturun.

Practice More

Değişkenlerin işaretlerinin farklı olduğu veya mutlak değer içeren eşitsizlik sorularına göz atabilirsiniz.

Alternative Method

x = -2

ve

y = -1

gibi sayısal değerler vererek

z = \frac{-2-1}{-2} = 1,5

olduğunu görebilir ve sonucun hangi aralığa düştüğünü kontrol edebilirsiniz. Ancak bu yöntem sadece bir örnek gösterir, kesin ispat için cebirsel çözüm tercih edilmelidir.

Estimated Time:1m 15s

Question 163Question →

$x = (-4)^2$ , $y = 2^{-2}$ ve $z = 5^0$ olarak verilmektedir. Buna göre, $x \cdot y - z$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

5

3

-5

-12

4

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İşlemin sonucu 3 olarak bulunur.

Verilen değişkenler hesaplandığında

x = 16

,

y = 1/4

ve

z = 1

değerleri elde edilir. İşlem sırasına göre önce

16

ile

1/4

çarpılarak 4 sonucu bulunur, ardından bu sonuçtan 1 çıkarıldığında 3 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x

değerini hesapla

x = (-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.

2

y

değerini hesapla

y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersinin alınacağını ifade eder.

3

z

değerini hesapla

z = 5^0 = 1

Sıfırdan farklı tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.

4

Değerleri yerine koy ve işlem önceliğine göre çöz

16 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 4 - 1 = 3

Önce çarpma işlemi yapılır, ardından çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Üslü sayılarda temel tanımlar (negatif taban, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet)

Hints

1

Önce

x, y

ve

z

değerlerini ayrı ayrı hesaplayarak işe başlayın.

2

Negatif üssün sayıyı takla attırdığını (ters çevirdiğini) ve sıfırıncı kuvvetin daima 1 olduğunu hatırlayın.

3

Bulduğunuz değerleri denklemde yerine yazın:

16 \cdot (1/4) - 1

. Önce çarpmayı yapmayı unutmayın!

Practice More

Benzer bir pekiştirme için negatif tabanlı ve negatif üslü rasyonel sayı işlemlerini çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 164Question →

Bir kamu kurumunun dijital arşivleme sisteminde dosyalar, kapasitelerine göre üslü sayılarla ifade edilen birimlerle kodlanmaktadır. Sisteme yeni kaydedilen üç farklı belgenin kodları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Belge	Kod (Birim)
A Belgesi	$(-2)^4$
B Belgesi	$2^{-3}$
C Belgesi	$2^0$

Buna göre, bu üç belgenin kodlarının çarpımı ( $A \cdot B \cdot C$ ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

0

1

2

-2

8

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dosya kodlarının değerleri sırasıyla 16, 1/8 ve 1 olduğundan, bu değerlerin çarpımı 2 sonucunu vermektedir.

Verilen kodlar doğru şekilde hesaplandığında A belgesi 16, B belgesi 1/8 ve C belgesi 1 değerini alır. Bu üç değerin çarpımı (

16 \times 1/8 \times 1

) ise 2 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

A Belgesinin kodunu hesaplayın

(-2)^4 = 16

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir ve 2'nin 4. kuvveti 16'dır.

2

B Belgesinin kodunu hesaplayın

2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

kuralı gereği negatif üs, sayıyı rasyonel hale getirir.

3

C Belgesinin kodunu hesaplayın

2^0 = 1

Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.

4

Bulunan değerleri birbiriyle çarpın

16 \cdot \frac{1}{8} \cdot 1 = 2

Bulunan kodların çarpımı istenmektedir.

Key Concept

Üslü ifadelerde negatif tabanların kuvvetleri, negatif üs kuralı ve sıfırıncı kuvvet tanımı.

Hints

1

Parantez içindeki negatif sayıların çift kuvvetlerinin sonucunun işaretine dikkat edin.

2

Negatif üslü bir ifadeyi rasyonel sayıya (

a^{-n} = 1/a^n

) dönüştürerek işlem yapın.

3

Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin değerini hatırlayın (

2^0 = ?

) ve her belgenin değerini bulup çarpın.

Practice More

Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı olduğunda üslerin toplandığı kuralını pekiştirmek için benzer örnekler çözebilirsiniz.

Alternative Method

İfadeleri tek bir tabanda (

2

tabanında) yazarak işlemi yapabilirsiniz:

2^4 \cdot 2^{-3} \cdot 2^0 = 2^{4-3+0} = 2^1 = 2

.

Estimated Time:45s

Question 165Question →

Bir kamu binasının restorasyon çalışmaları için ayrılan bütçenin $12x^2$ TL'si malzeme alımına, $16x$ TL'si ise işçilik giderlerine ayrılmıştır.

Buna göre, toplam bütçeyi ifade eden $12x^2 + 16x$ ifadesinin ortak çarpan parantezine alınmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

4x(3x + 4)

4x(3x - 4)

4(3x^2 + 4x)

4x(3x + 16)

x(12x + 16)

Show answer & explanation

Answer: $4x(3x + 4)$

Answer

Toplam bütçeyi ifade eden

12x^2 + 16x

ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali

4x(3x + 4)

şeklindedir.

Ortak çarpan parantezine alma işleminde, her iki terimi de bölen en büyük sayı (4) ve en küçük dereceli ortak değişken (x) parantez dışına alınır.

12x^2

terimi

4x

'e bölündüğünde

3x

,

16x

terimi

4x

'e bölündüğünde

4

kalır. Bu durumda ifade

4x(3x + 4)

olur.

Step-by-Step Solution

1

Katsayıların en büyük ortak bölenini (EBOB) belirle.

EBOB(12, 16) = 4

Her iki terimi de tam bölen en büyük sayısal çarpanı bulmak gerekir.

2

Değişkenlerin ortak olanlarını belirle.

x^2

ve

x

terimlerinde ortak çarpan

x

'dir.

Değişkenlerin en küçük üssü ortak çarpan olarak belirlenir.

3

İfadeyi ortak çarpan parantezine al.

4x \cdot (... + ...)

Belirlenen katsayı ve değişken çarpımını parantez dışına yazılır.

4

Parantez içindeki terimleri bölme işlemiyle hesapla.

\frac{12x^2}{4x} = 3x

ve

\frac{16x}{4x} = 4

Orijinal ifadeyi elde etmek için her terim ortak çarpana bölünür.

Key Concept

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Hints

1

12 ve 16 sayılarını bölen en büyük sayıyı düşünün.

2

Hem 12 hem de 16 sayıları 4'e tam bölünür. Ayrıca her iki terimde de x değişkeni bulunmaktadır.

3

İfadeyi

4x

parantezine alın. Parantez içine ise terimlerin

4x

'e bölümünden kalan sonuçları yazın.

Practice More

Benzer bir mantıkla

15a^2 + 10a

ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 166Question →

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki üslü denklemi yazmıştır:

\frac{6^x + 6^x + 6^x}{3^x + 3^x} = 96

Buna göre, bu eşitliği sağlayan $x$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

4

5

6

7

8

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 6'dır.

Verilen denklemde pay kısmı 3 tane

6^x

ifadesinin toplamı olduğu için

3 \cdot 6^x

olarak, payda kısmı ise 2 tane

3^x

ifadesinin toplamı olduğu için

2 \cdot 3^x

olarak yazılır. Bu durumda denklem

\frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96

halini alır.

\frac{6^x}{3^x}

ifadesi

(\frac{6}{3})^x

kuralından

2^x

değerine eşittir. Denklem

\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96

olarak düzenlendiğinde

2^x = 64

bulunur.

64 = 2^6

olduğundan

x = 6

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak düzenleyiniz.

\frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 96

Ardışık toplama işlemleri, aynı sayının adediyle çarpımı şeklinde ifade edilebilir.

2

Kesirli ifadeyi üsleri aynı olan sayıların bölme kuralına göre sadeleştiriniz.

\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{6}{3}\right)^x = 96 \Rightarrow \frac{3}{2} \cdot 2^x = 96

\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x

kuralı uygulanarak tabanlar sadeleştirilir.

3

Üslü ifadeyi yalnız bırakmak için katsayıyı eşitliğin karşı tarafına geçiriniz.

2^x = 96 \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow 2^x = 64

Çarpım durumundaki bir sayı karşı tarafa bölme (tersi) olarak geçer.

4

Elde edilen sayıyı tabanlar aynı olacak şekilde üslü biçimde yazarak bilinmeyeni bulunuz.

2^x = 2^6 \Rightarrow x = 6

Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşittir.

Key Concept

Üslü ifadelerde toplama işlemi ve tabanları farklı üsleri aynı olan ifadelerde bölme kuralı.

Hints

1

Denklemin sol tarafındaki pay ve payda kısımlarını çarpma işlemine çevirmeyi deneyin.

2

6^x

ifadesini

2^x \cdot 3^x

şeklinde parçalayarak paydadaki

3^x

ile sadeleştirebilirsiniz.

3

Tüm düzenlemelerden sonra elinizde

\frac{3}{2} \cdot 2^x = 96

ifadesi kalmalıdır.

Practice More

Üslü denklemlerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini pekiştirmek için benzer yapıda ancak farklı tabanlara sahip sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

6^x

ifadesi

(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x

olarak açılabilir. Bu durumda pay

3 \cdot 2^x \cdot 3^x

olur. Paydadaki

2 \cdot 3^x

ile

3^x

ifadeleri birbirini götürür. Geriye

\frac{3 \cdot 2^x}{2} = 96

kalır ve buradan daha hızlı bir şekilde sonuca gidilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 167Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı

\Delta

işlemi, her

a

ve

b

tam sayısı için

a \Delta b = 3a + 2b - a \cdot b

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre,

4 \Delta 2

işleminin sonucu kaçtır?

6

8

10

16

24

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İşlem kuralında verilen değerler yerlerine konulduğunda sonuç 8 olarak bulunur.

Verilen işlem kuralında

a=4

ve

b=2

değerleri yerlerine yazıldığında

3 \times 4 + 2 \times 2 - 4 \times 2 = 12 + 4 - 8 = 8

sonucu elde edilmektedir. Bu, matematiksel işlem önceliğine ve kurala tam uyum sağlayan doğru yaklaşımdır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri eşleştirin.

a = 4

ve

b = 2

Soru kökündeki

4 \Delta 2

ifadesinde işlem sembolünün solundaki sayı

a

değerini, sağındaki sayı ise

b

değerini temsil eder.

2

Değerleri formülde yerlerine yazın.

3(4) + 2(2) - (4 \cdot 2)

İşlem kuralı olan

3a + 2b - a \cdot b

ifadesindeki her bir değişkenin yerine karşılık gelen sayıları yerleştirmeliyiz.

3

Çarpma işlemlerini öncelikli olarak gerçekleştirin.

12 + 4 - 8

Matematiksel işlemlerde çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.

4

Toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru tamamlayın.

16 - 8 = 8

Sırasıyla

12 + 4 = 16

ve ardından

16 - 8 = 8

sonucu elde edilir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen değişkenleri formülde doğru konumlara yerleştirerek işlem önceliği kurallarına göre hesaplama yapmaktır.

Hints

1

İşlem sembolünün solundaki 4 sayısını

a

, sağındaki 2 sayısını

b

harfinin yerine yazarak başlayın.

2

3a

demek

3 \times a

demektir. Önce

3 \times 4

,

2 \times 2

ve

4 \times 2

çarpımlarını ayrı ayrı hesaplayın.

3

Çarpımları bulduktan sonra ifade

12 + 4 - 8

şekline dönüşecektir. Bu son toplama ve çıkarma işlemini yapın.

Practice More

İşlemde sayıların yerlerini değiştirerek (

2 \Delta 4

) sonucun değişip değişmediğini kontrol ederek işlemin değişme özelliği olup olmadığını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 168Question →

\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

\sqrt{10} + \sqrt{5}

\sqrt{10} - \sqrt{5}

5

\sqrt{5}

\sqrt{2} - 1

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{10} - \sqrt{5}$

Answer

Verilen işlemin sonucu

\sqrt{10} - \sqrt{5}

olarak bulunur.

Verilen ifade pay ve payda kısımlarında ortak çarpanlara ayrıldığında

(\sqrt{2} + \sqrt{3})

terimleri sadeleşir. Elde edilen

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1}

ifadesi, paydanın eşleniği olan

(\sqrt{2} - 1)

ile genişletildiğinde sonuç

\sqrt{10} - \sqrt{5}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.

\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})

Her iki terimde de ortak olan

\sqrt{5}

çarpanı belirlenerek ifade sadeleştirilmeye hazır hale getirilir.

2

Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.

\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})

2 = \sqrt{2}^2

ve

\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}

dönüşümleri yapılarak paydadaki terimler ortak paranteze alınır.

3

Pay ve paydadaki ortak

(\sqrt{2} + \sqrt{3})

terimlerini sadeleştirin.

\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{2}}

Çarpım durumunda olan aynı ifadeler sadeleşerek ifadenin daha basit bir hal almasını sağlar.

4

Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan

(\sqrt{2} - 1)

ile çarpın.

\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2 - 1} = \sqrt{10} - \sqrt{5}

Paydada köklü ifade bırakmamak için eşlenik çarpımı yapılarak payda rasyonel bir sayıya (1) dönüştürülür.

Key Concept

Köklü sayılarda gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma ve paydayı eşlenik yardımıyla rasyonel hale getirme.

Hints

1

Pay ve paydadaki terimleri daha küçük köklü çarpanlara ayırmayı deneyin.

2

Paydada bulunan

2 + \sqrt{6}

kısmını

\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3})

şeklinde yazarak ortak çarpan oluşturabilirsiniz.

3

Gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra paydada kalan köklü ifadeyi rasyonel yapmak için eşleniği ile genişletin.

Practice More

Gruplandırma yöntemi ve eşlenik çarpımını bir arada kullanan karmaşık köklü sayı soruları ile pratiğinizi artırabilirsiniz.

Estimated Time:1m 40s

Question 169Question →

$a < 0 < b$ olmak üzere,

\frac{\sqrt{a^2} + \sqrt{a^2 - 2ab + b^2} + b}{\sqrt[3]{a^3} - b}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

-2

-1

0

1

2

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

İfadenin sadeleşmiş biçimi -2 değerine eşittir.

Verilen eşitsizlik (

a < 0 < b

) kullanılarak kök dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır.

\sqrt{a^2} = -a

,

\sqrt{(a-b)^2} = b-a

ve

\sqrt[3]{a^3} = a

olarak bulunur. Yerine yazıldığında pay

2(b-a)

, payda ise

a-b

olur. Bu terimler sadeleştiğinde sonuç -2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin işaretlerini belirle.

a < 0

olduğu için

a

negatif,

b > 0

olduğu için

b

pozitiftir.

Mutlak değer dışına çıkarma işlemi için işaretlerin bilinmesi gerekir.

2

Pay kısmındaki köklü ifadeleri mutlak değer kuralına göre dışarı çıkar.

\sqrt{a^2} = |a| = -a

(Çünkü

a < 0

)

\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a-b)^2} = |a-b|

.

a < b

olduğundan

a-b < 0

olur, bu yüzden

|a-b| = -(a-b) = b-a

.

Çift dereceli kökler mutlak değer içinde çıkar:

\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|

.

3

Paydadaki tek dereceli kökü dışarı çıkar.

\sqrt[3]{a^3} = a

.

Tek dereceli köklerde mutlak değer kullanılmaz, sayı işaretini koruyarak çıkar:

\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x

.

4

Bulunan değerleri yerine yaz ve ifadeyi düzenle.

Pay:

(-a) + (b-a) + b = -2a + 2b = 2(b-a)

.
Payda:

a - b

.

Cebirsel toplama işlemi yapılır.

5

Kesri sadeleştir.

\frac{2(b-a)}{a-b} = \frac{2(b-a)}{-(b-a)} = -2

a-b

ifadesi

-(b-a)

ifadesine eşittir, sadeleşince -1 çarpanı gelir.

Key Concept

Köklü sayılarda çift dereceli köklerin mutlak değer olarak, tek dereceli köklerin ise aynen dışarı çıkması kuralı.

Hints

1

Çift dereceli köklerin dışarı mutlak değer içinde çıktığını (

\sqrt{x^2} = |x|

) hatırlayınız.

2

a < b

olduğu için

(a-b)

ifadesinin işareti negatiftir. Mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirmelidir.

3

Pay kısmını düzenlediğinizde

2(b-a)

ifadesini bulmalısınız. Payda ise

a-b

olur. Bu iki ifade birbirinin ters işaretlisidir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi (sadece test tekniği olarak):

a=-1

ve

b=2

vererek sonucu kontrol edebilirsiniz. Pay:

\sqrt{1} + \sqrt{9} + 2 = 1+3+2=6

. Payda:

\sqrt[3]{-1} - 2 = -1-2=-3

. Sonuç:

6/(-3) = -2

.

Estimated Time:2m 30s

Question 170Question →

a

ve

b

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} = 4(a+b)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ ifadesinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

3

4

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İfadenin alabileceği pozitif değer 5'tir.

Verilen denklemde payda eşitlendiğinde

a^3+b^3

ifadesi elde edilir. Bu ifade

(a+b)(a^2-ab+b^2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Eşitliğin her iki tarafındaki

(a+b)

çarpanları sadeleştirildiğinde

a^2-ab+b^2 = 4ab

kalır. Buradan

a^2+b^2 = 5ab

bulunur. Sorulan ifade payda eşitlendiğinde

\frac{a^2+b^2}{ab}

olduğundan, sonuç

\frac{5ab}{ab} = 5

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitlemesi yap.

\frac{a^3 + b^3}{ab} = 4(a+b)

Rasyonel ifadeleri toplamak için paydaların eşitlenmesi gerekir.

2

İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenle.

a^3 + b^3 = 4ab(a+b)

Bölüm durumundaki ifadeyi çarpım durumuna getirerek denklem çözümünü kolaylaştırmak.

3

İki küp toplamı (

a^3+b^3

) özdeşliğini uygula.

(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 4ab(a+b)

Çarpanlara ayırma yöntemiyle ortak terimleri ortaya çıkarmak.

4

Eşitliğin her iki tarafını

(a+b)

ifadesine böl (Sadeleştirme).

a^2 - ab + b^2 = 4ab

İfadenin pozitif değeri sorulduğu için

a+b \neq 0

kabul edilir ve sadeleştirme yapılır. (

a+b=0

durumu negatif sonuç verir).

5

-ab

terimini karşı tarafa atarak

a^2 + b^2

ifadesini yalnız bırak.

a^2 + b^2 = 5ab

Sorulan ifadeyi elde etmek için kareler toplamını

ab

cinsinden yazmak.

6

Sorulan ifadeyi (

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

) düzenle ve bulduğun değeri yerine yaz.

\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5

Sonuca ulaşmak için elde edilen eşitliği kullanmak.

Key Concept

İki küp toplamı özdeşliği (

x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)

) ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme.

Hints

1

Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek işe başlayın.

2

Payda eşitledikten sonra ortaya çıkan

a^3 + b^3

ifadesini çarpanlarına ayırın:

(a+b)(a^2 - ab + b^2)

.

3

Eşitliğin her iki tarafındaki

(a+b)

çarpanlarını sadeleştirin ve

a^2+b^2

ile

ab

arasındaki ilişkiyi bulun.

Alternative Method

Değer verme yöntemi bu tür sorularda zordur ancak

a^2+b^2=kab

formuna ulaştıktan sonra homojen denklem mantığıyla her terimi

ab

'ye bölerek doğrudan sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 171Question →

$E$ evrensel kümesinin iki alt kümesi olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

- $s(E) = 30$
- $s(A' \cap B') = 8$
- $s(A \cap B) = 4$
- $s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)$

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

12

16

18

22

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Verilen oranlar ve evrensel küme verileri kullanıldığında A kümesinin eleman sayısı 16 olarak hesaplanır.

Evrensel kümeden dış bölge çıkarıldığında birleşim kümesi 22 bulunur. Kesişim bölgesi olan 4 çıkarıldığında kalan 18 eleman,

2:1

oranında fark kümelerine dağıtılır (

12

ve

6

).

A

kümesi, kendisine ait olan 12 eleman ile ortak olan 4 elemanın toplamından oluştuğu için sonuç 16'dır.

Step-by-Step Solution

1

Birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.

s(A \cup B) = s(E) - s(A' \cap B') = 30 - 8 = 22

Evrensel kümeden, hem A hem de B kümesinin dışında kalan elemanlar çıkarıldığında birleşim kümesine ulaşılır.

2

Fark kümeleri toplamını hesaplayın.

s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = s(A \cup B) - s(A \cap B) = 22 - 4 = 18

Birleşim kümesinden kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarıldığında, sadece A'da olanlar ile sadece B'de olanların toplamı bulunur.

3

Verilen oranı kullanarak bilinmeyenleri bulun.

s(B \setminus A) = x

ise

2x + x = 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(B \setminus A) = x

olarak denkleme yerleştirilir.

4

A kümesinin toplam eleman sayısını hesaplayın.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 12 + 4 = 16

A kümesinin eleman sayısı, sadece A'da olanlar ile kesişim bölgesindeki elemanların toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde Eleman Sayısı ve Bölge İşlemleri

Hints

1

s(A \cup B)

değerini bulmak için evrensel kümeden dışarıdaki elemanları çıkarın.

2

Birleşim kümesi;

A \setminus B

,

B \setminus A

ve

A \cap B

bölgelerinin toplamıdır.

3

s(B \setminus A)

'ya

x

derseniz,

s(A \setminus B)

değeri

2x

olur.

2x + x + 4 = 22

denklemini çözün.

Practice More

Alt küme sayısı ve kartezyen çarpım özellikleri ile ilgili sorulara göz atabilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek bölgelere

2x

,

4

ve

x

değerlerini yerleştirip dış bölgeye

8

yazarak

s(E)

üzerinden toplamı eşitleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 172Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $x, y$ ve $z$ sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x^2 < x

x \cdot z > z

x + y < z

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

y < z < x

z < y < x

x < z < y

y < x < z

z < x < y

Show answer & explanation

Answer: $y < z < x$

Answer

Sayıların doğru sıralanışı

y < z < x

şeklindedir.

Verilen koşullar adım adım incelendiğinde;

x^2 < x

koşulu

x

'in 0 ile 1 arasında (pozitif) olduğunu gösterir.

x \cdot z > z

ifadesi

z(x-1) > 0

olarak düzenlendiğinde,

x-1

negatif olduğu için

z

'nin de negatif olması gerektiği bulunur. Son olarak

x+y < z

ifadesinde

x

pozitif olduğu için,

y

'nin

z

'den daha küçük olması gerekir (

y < z-x

). Sonuç olarak sıralama

y < z < x

olur.

Step-by-Step Solution

1

x^2 < x

eşitsizliğini analiz et.

0 < x < 1

Bir sayının karesi kendisinden küçükse, bu sayı 0 ile 1 arasındadır. Bu durumda

x

pozitif bir sayıdır.

2

x \cdot z > z

eşitsizliğinde

z

'nin işaretini belirle.

z < 0

Eşitsizliği

z(x - 1) > 0

şeklinde düzenleyelim. 1. adımdan

x < 1

olduğunu biliyoruz, bu yüzden

(x - 1)

negatiftir. Çarpımın pozitif olması için

z

de negatif olmalıdır.

3

x + y < z

eşitsizliğini kullanarak

y

ve

z

arasındaki ilişkiyi bul.

y < z

Eşitsizliği

y < z - x

şeklinde yazabiliriz.

z

negatiftir ve

x

pozitiftir. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında (

z-x

), sonuç

z

'den daha küçük (daha negatif) olur. Dolayısıyla

y

kesinlikle

z

'den küçüktür.

4

Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.

y < z < x

y < z

(ve her ikisi negatif),

x

ise pozitiftir (

0 < x < 1

). Bu nedenle en büyük sayı

x

, en küçük sayı

y

'dir.

Key Concept

Bir sayının karesi kendisinden küçükse sayı

(0,1)

aralığındadır. Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yön değiştirir.

Hints

1

Önce

x^2 < x

eşitsizliğini sağlayan

x

gerçel sayılarının hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

2

x \cdot z > z

eşitsizliğinde

z

'yi sol tarafa alıp (

xz - z > 0

) çarpanlarına ayırarak

z

'nin işaretini belirleyiniz.

3

z

'nin negatif,

x

'in pozitif olduğunu bulduktan sonra,

x + y < z

eşitsizliğinde

y

'yi yalnız bırakarak

y

ile

z

arasındaki büyüklük ilişkisini inceleyiniz.

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizliklerde (

|x| > x

gibi) işaret incelemesi gerektiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi:

x^2 < x

için

x = 1/2

seçelim.

x \cdot z > z \Rightarrow z/2 > z \Rightarrow z/2 - z > 0 \Rightarrow -z/2 > 0 \Rightarrow z < 0

olmalı, örneğin

z = -2

.

x + y < z \Rightarrow 1/2 + y < -2 \Rightarrow y < -2.5

, örneğin

y = -3

. Sıralama:

-3 < -2 < 1/2

yani

y < z < x

.

Estimated Time:2m 0s

Question 173Question →

$x$ sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,

\frac{(-x^3)^{-2} \cdot (-x^{-2})^3 \cdot (-x)^5}{(-x^2)^{-3} \cdot (x^{-1})^4}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

x^3

-x^3

x^{-3}

-x^{-3}

x^{-17}

Show answer & explanation

Answer: $-x^3$

Answer

İfadenin en sade hali

-x^3

olarak bulunur.

İşlem adımları takip edildiğinde; pay kısmı

x^{-7}

, payda kısmı ise

-x^{-10}

olarak bulunur. Bu iki ifadenin bölümü sonucu

-x^3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki terimlerin işaretlerini ve üslerini düzenle.

(-x^3)^{-2} \rightarrow x^{-6}

(Çift kuvvet pozitiftir)

(-x^{-2})^3 \rightarrow -x^{-6}

(Tek kuvvet negatiftir)

(-x)^5 \rightarrow -x^5

(Tek kuvvet negatiftir)

Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

2

Pay kısmındaki terimleri çarp.

(x^{-6}) \cdot (-x^{-6}) \cdot (-x^5) = +x^{-6-6+5} = x^{-7}

İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Tabanlar aynıyken üsler toplanır.

3

Payda kısmındaki terimlerin işaretlerini ve üslerini düzenle.

(-x^2)^{-3} \rightarrow -x^{-6}

(Taban

-x^2

negatiftir, üs tek olduğu için sonuç negatiftir)

(x^{-1})^4 \rightarrow x^{-4}

-x^2

ifadesi

-(x^2)

anlamına gelir, bu nedenle negatiftir.

4

Payda kısmındaki terimleri çarp.

(-x^{-6}) \cdot (x^{-4}) = -x^{-10}

Pozitif ve negatif sayının çarpımı negatiftir. Üsler toplanır:

-6 + (-4) = -10

.

5

Payı paydaya bölerek sonucu bul.

\frac{x^{-7}}{-x^{-10}} = -x^{-7 - (-10)} = -x^{-7+10} = -x^3

Bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. İşaret bölümü negatiftir.

Key Concept

Negatif tabanlı üslü ifadelerde parantez ve kuvvet ilişkisi (tek/çift kuvvet kuralı) ve üslü sayılarda dört işlem.

Hints

1

Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Parantezin konumu önemlidir:

(-x^2)

negatiftir.

2

Paydaki terimlerin işaretlerini belirleyin:

(-x^3)^{-2}

pozitiftir, diğer iki terim negatiftir. Çarpımları pozitif olacaktır.

3

Pay

x^{-7}

, payda

-x^{-10}

çıkar. Bölme işleminde üsleri birbirinden çıkarırken işaretlere dikkat edin:

-7 - (-10)

.

Practice More

Benzer işaret kurallarını içeren ancak sayısal değerler (örn: x=-2) verilen bir soru çözülmesi önerilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 174Question →

Tanımlı olduğu değerler için,

\frac{x^2 + 2x + 1 - y^2}{x + y + 1} + \frac{x^2 - y^2 - 2y - 1}{x - y - 1}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

2x

2x + 2

2y

2x - 2y

x + y + 2

Show answer & explanation

Answer: $2x + 2$

Answer

İfadenin en sade hali

2x + 2

sonucudur.

Verilen ifadede terim ekleyip çıkarmak veya gruplandırmak gerekir. İlk kesirde

(x+1)^2 - y^2

, ikinci kesirde ise

x^2 - (y+1)^2

yapıları gizlenmiştir. Bu yapılar iki kare farkı özdeşliği ile açıldığında, paydalarla sadeleşen çarpanlar ortaya çıkar. İlk kısımdan

x-y+1

, ikinci kısımdan

x+y+1

gelir. Toplamları

2x+2

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci kesrin payındaki ifadeyi gruplandırarak tam kare özdeşliğini tespit et.

x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x+1)^2 - y^2

Dört terimli ifadelerde tam kare (

a^2+2ab+b^2

) yapısını görmek çarpanlara ayırmanın temel adımıdır.

2

Birinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.

\frac{(x+1-y)(x+1+y)}{x+y+1} = x - y + 1

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

özdeşliği kullanılarak pay ve payda sadeleştirilir.

3

İkinci kesrin payındaki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare yapısını tespit et.

x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2

Terimlerin işaretleri negatif olduğunda eksi parantezine almak tam kareyi (

y+1

)'in karesi olarak görmeyi sağlar.

4

İkinci ifadedeki iki kare farkını uygula ve sadeleştir.

\frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{x-y-1} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{x-y-1} = x + y + 1

Sadeleşecek terim

(x-y-1)

olarak ortaya çıkar.

5

Bulunan iki sonucu topla.

(x - y + 1) + (x + y + 1) = 2x + 2

Sadeleşmiş hallerin toplamı nihai sonucu verir.

Key Concept

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma ve İki Kare Farkı

Hints

1

İfadeleri doğrudan sadeleştirmek zordur. Pay kısımlarında üçlü terimleri gruplandırarak 'tam kare' (

a^2 \pm 2ab + b^2

) ifadeleri arayın.

2

Birinci payda

x^2+2x+1

kısmını, ikinci payda ise

-(y^2+2y+1)

kısmını görmeye çalışın.

3

İfade

(x+1)^2 - y^2

ve

x^2 - (y+1)^2

şeklindedir. İki kare farkı formülünü

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

uygulayın.

Practice More

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin iç içe geçtiği

a^2 - b^2 - 4a + 4b

gibi dört terimli ifadeleri çarpanlara ayırma soruları çözülmelidir.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi (Test tekniği): Tanımlı olacak şekilde

x=2, y=0

verelim. Birinci kısım:

(4+4+1-0)/(2+1) = 9/3 = 3

. İkinci kısım:

(4-0-0-1)/(2-1) = 3/1 = 3

. Toplam = 6. Şıklarda

x=2, y=0

için 6 veren tek seçenek

2x+2

'dir (

2(2)+2=6

).

Estimated Time:2m 30s

Question 175Question →

\frac{\sqrt{3,61} - \sqrt{1,21}}{\sqrt{0,04} + \sqrt[3]{0,008}}

işleminin sonucu kaçtır?

0,5

1

2

4

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İşlemin sonucu 2'dir.

Verilen işlemde ondalık sayıların karekökleri ve küpkökü doğru hesaplanarak kesir sadeleştirildiğinde sonuç 2 bulunur. Özellikle

\sqrt{3,61}=1,9

ve

\sqrt[3]{0,008}=0,2

dönüşümlerine dikkat edilmelidir.

Step-by-Step Solution

1

Karekök içindeki ondalık sayıları rasyonel sayıya veya kök dışına çıkabilen ondalık forma dönüştür.

\sqrt{3,61} = \sqrt{\frac{361}{100}} = \frac{19}{10} = 1,9

ve

\sqrt{1,21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1,1

Ondalık sayıların karekökünü almak için kesirli ifadeye çevirmek işlemi kolaylaştırır.

2

Paydadaki köklü ifadeleri hesapla.

\sqrt{0,04} = 0,2

ve

\sqrt[3]{0,008} = 0,2

0,2 \times 0,2 = 0,04

ve

0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008

olduğu için.

3

Pay ve paydadaki toplama/çıkarma işlemlerini yap.

Pay:

1,9 - 1,1 = 0,8

; Payda:

0,2 + 0,2 = 0,4

Bulunan kök dışı değerleri yerine koyarak kesri sadeleştir.

4

Son bölme işlemini gerçekleştir.

\frac{0,8}{0,4} = 2

Ondalık kesirlerde bölme işlemi.

Key Concept

Ondalık İfadelerin Kök Dışına Çıkarılması

Hints

1

Ondalık sayıları kesirli sayıya çevirerek kök dışına çıkarmayı deneyin (Örn:

3,61 = \frac{361}{100}

).

2

361 sayısı 19'un karesidir; 121 sayısı 11'in karesidir.

3

Pay:

1,9 - 1,1

. Payda:

0,2 + 0,2

. Bu değerleri hesaplayıp oranlayın.

Alternative Method

Virgülleri en baştan yok sayıp sayıları kök dışına çıkarıp (

\sqrt{361}=19

vb.), sonradan virgülden sonraki basamak kuralına göre (karekök için 2->1, küpkök için 3->1) virgülleri yerleştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 176Question →

x

bir gerçel sayı ve

y

bir tam sayı olmak üzere,

-4 < x \leq 2

|2y + 1| \leq 9

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, $x^2 - 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

31

30

24

19

16

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 30'dur.

İfadenin en büyük değerini bulmak için

x^2

terimini maksimize,

y

terimini minimize etmeliyiz.

x

aralığı

-4 < x \leq 2

olduğundan ve aralık

0

'ı kapsadığından,

x^2

değeri

[0, 16)

aralığındadır (

-4

'ün karesi 16'dır ancak dahil değildir).

y

için

|2y+1| \leq 9

eşitsizliğinden

-5 \leq y \leq 4

elde edilir. İfadeyi en büyük yapmak için

y

'nin en küçük değeri olan

-5

seçilir. Bu durumda ifade

x^2 - 3(-5) = x^2 + 15

olur.

x^2 < 16

olduğundan,

x^2 + 15 < 31

sonucuna ulaşılır. 31'den küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Step-by-Step Solution

1

x

değişkeninin karesinin aralığını belirleme

0 \leq x^2 < 16

x \in (-4, 2]

aralığında, karesi alınan sayıların en küçüğü

0

(aralıkta

0

bulunduğu için) ve en büyüğü sınır olan

-4

'ün karesine (

16

) yaklaşır ancak eşit olamaz.

2

y

tam sayısının çözüm kümesini bulma

-5 \leq y \leq 4

|2y + 1| \leq 9 \implies -9 \leq 2y + 1 \leq 9 \implies -10 \leq 2y \leq 8 \implies -5 \leq y \leq 4

.

3

İstenen

x^2 - 3y

ifadesini en büyük yapacak değerleri seçme

Maksimum değer için

x^2

maksimum,

y

minimum seçilmelidir.

Bir fark işleminin sonucunu büyütmek için eksilen (

x^2

) büyütülmeli, çıkan (

3y

) küçültülmelidir.

y

negatif olduğunda

-3y

pozitif katkı sağlar.

4

Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama

x^2 < 16

ve min

y = -5

için ifade

< 16 - 3(-5) = 31

. En büyük tam sayı 30.

x

gerçel sayı olduğu için

x^2

,

16

'ya sonsuz yaklaşabilir (örn: 15.99). Bu durumda

15.99 - (-15) = 30.99

olur. Bu değerden küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Key Concept

Gerçel sayı aralıklarında kare alma işlemi ve tam sayı kısıtlamalarının birlikte analizi.

Question 177Question →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

(4x - 1)^2

ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?

16x^2 - 8x + 1

16x^2 - 1

16x^2 - 4x + 1

16x^2 + 8x + 1

16x^2 - 8x - 1

Show answer & explanation

Answer: $16x^2 - 8x + 1$

Answer

İfadenin tam kare açılımı

16x^2 - 8x + 1

şeklindedir.

İki terim farkının karesi alınırken; birinci terimin karesi (

16x^2

), birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı (

-8x

) ve ikinci terimin karesi (

+1

) toplanır. Bu kurala tam uygun olan ifade budur.

Step-by-Step Solution

1

Kullanılacak özdeşliği belirle.

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

İfade iki terimin farkının karesi formundadır.

2

Terimleri özdeşlikte yerine koy.

a = 4x

ve

b = 1

için:

(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2

Birinci terim

4x

, ikinci terim

1

olarak belirlenir.

3

Üslü ve çarpma işlemlerini tamamla.

16x^2 - 8x + 1

(4x)^2 = 16x^2

,

2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x

ve

1^2 = 1

olduğu için.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği (İki Terim Farkının Karesi)

Hints

1

Bu ifade

(a - b)^2

formundadır. Özdeşliği hatırlayın:

a^2 - 2ab + b^2

.

2

Birinci terim olan

4x

'in karesini alırken hem

4

'ün hem de

x

'in karesini almayı unutmayın.

3

Orta terim için

2 \cdot (4x) \cdot (1)

işlemini yapın ve başına eksi işareti koyun.

Practice More

Benzer bir pekiştirme için

(3x+2)^2

ifadesinin açılımını yapmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 178Question →

Bir kenar uzunluğu $(x + 3)$ birim olan kare şeklindeki bir panonun alanı $(x + 3)^2$ birimkaredir. Bu panonun alanını veren ifadenin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + 3x + 9

x^2 + 6x + 9

x^2 + 9

x^2 - 6x + 9

x^2 + 6x + 6

Show answer & explanation

Answer: $x^2 + 6x + 9$

Answer

Karenin alanını veren özdeş ifade

x^2 + 6x + 9

şeklindedir.

İki terimin toplamının karesi alınırken; birinci terimin karesi (

x^2

), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (

2 \cdot x \cdot 3 = 6x

) ve ikincinin karesi (

3^2 = 9

) toplanır. Bu kural uygulandığında

x^2 + 6x + 9

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tam kare özdeşliği formülünü belirle.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

İki terimin toplamının karesi alınırken bu temel özdeşlik kullanılır.

2

Sorudaki terimleri formüldeki yerlerine yerleştir.

a = x

ve

b = 3

olsun. Bu durumda:

x^2 + 2 \cdot (x \cdot 3) + 3^2

Değişkenlerin ve sabit sayıların karesini ve çarpımlarını hesaplamak için yerleştirme yapılır.

3

İfadeyi sadeleştirerek nihai sonucu bul.

x^2 + 6x + 9

2 \cdot 3 = 6

ve

3^2 = 9

işlemleri yapılarak en sade biçime ulaşılır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği (Toplamın Karesi)

Hints

1

İki terimin toplamının karesini alırken

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

formülünü hatırla.

2

Bu soruda

a

yerine

x

,

b

yerine

3

yazarak işlem yapmalısın.

3

x

'in karesini al,

x

ile

3

'ü çarpıp iki katını bul ve son olarak

3

'ün karesini ekle.

Practice More

Benzer şekilde

(2x + 1)^2

ifadesinin açılımını yaparak katsayıların nasıl değiştiğini inceleyebilirsin.

Alternative Method

Özdeşliği hatırlamıyorsan

(x+3)^2

ifadesini

(x+3) \cdot (x+3)

şeklinde yazıp terimleri tek tek birbiriyle çarpabilirsin (dağılma özelliği):

x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3

.

Estimated Time:45s

Question 179Question →

Üslü sayılar konusunu yeni öğrenen bir öğrenci, negatif üs ve sıfırıncı kuvvet özelliklerini pekiştirmek için aşağıdaki işlemin sonucunu hesaplamak istemektedir:

\left( \frac{1}{3} \right)^{-2} + 5^0

Buna göre, bu işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

10

9

\frac{10}{9}

7

-8

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İşlemin sonucu 10 olarak bulunur.

Verilen işlemde, bir kesrin negatif kuvveti alındığında kesir ters çevrilir. Bu durumda bir bölü üçün eksi ikinci kuvveti, üçün karesine dönüşür ve 9 değerini alır. Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti ise 1'e eşit olduğundan, 9 ile 1'in toplamı sonucu 10 yapar.

Step-by-Step Solution

1

\left( \frac{1}{3} \right)^{-2}

ifadesindeki negatif üssü düzenle.

\left( \frac{3}{1} \right)^2 = 3^2 = 9

Negatif üs, tabandaki kesrin pay ve paydasının yer değiştirmesini (ters çevrilmesini) sağlar.

2

5^0

ifadesinin değerini belirle.

1

Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti her zaman 1'e eşittir.

3

Elde edilen sonuçları topla.

9 + 1 = 10

Soruda verilen iki terimin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Negatif üs kuralı (

(a/b)^{-n} = (b/a)^n

) ve sıfırıncı kuvvet kuralı (

a^0 = 1

).

Hints

1

Üsteki eksi işareti, tabandaki sayıyı ters çevirmen gerektiğini hatırlatır.

2

Bir sayının sıfırıncı kuvvetinin her zaman özel bir sonucu vardır, 0 değildir.

3

Önce bir bölü üçün eksi ikinci kuvvetini 9 olarak hesapla, sonra buna beşin sıfırıncı kuvveti olan 1'i ekle.

Practice More

Negatif tabanlı sayıların negatif kuvvetleri üzerine pratik yaparak parantez etkisini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Negatif üssü parçalayarak da düşünebilirsiniz: Önce bir bölü üçün çarpmaya göre tersini alıp 3 bulur, sonra bu sonucun karesini alarak 9'a ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 180Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,

\frac{1}{2} \left( x - \frac{2x-3}{3} \right) - \frac{x+1}{4} = \frac{x-6}{6}

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

1

3

5

7

9

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Verilen denklemi sağlayan x değeri 5 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 5 değeri, denklemin paydaları eşitlenip parantezler dikkatlice açıldığında elde edilen 3x = 15 eşitliğinden gelmektedir. İşlem adımlarında rasyonel ifadelerin önündeki eksi işaretlerinin pay kısmındaki tüm terimlere dağıtılması kritik önem taşır.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki çıkarma işlemini yapmak için payda eşitleyin.

x - \frac{2x-3}{3} = \frac{3x - (2x-3)}{3} = \frac{x+3}{3}

Parantez içindeki ifadeyi tek bir rasyonel sayı haline getirmek işlemleri kolaylaştırır.

2

Elde edilen ifadeyi dıştaki çarpan ile çarpın ve denklemi düzenleyin.

\frac{1}{2} \cdot \frac{x+3}{3} = \frac{x+3}{6}

olduğu için denklem:

\frac{x+3}{6} - \frac{x+1}{4} = \frac{x-6}{6}

halini alır.

Çarpma işlemini yaparak denklemi rasyonel terimlerin toplamı/farkı biçimine dönüştürüyoruz.

3

Denklemin tüm terimlerinin paydasını 12'de (EKOK) eşitleyin.

2(x+3) - 3(x+1) = 2(x-6)

Paydalardan kurtulmak için tüm denklemi ortak payda ile genişletiyoruz.

4

Parantezleri dağıtın ve benzer terimleri sadeleştirin.

2x + 6 - 3x - 3 = 2x - 12 \Rightarrow -x + 3 = 2x - 12

Bilinmeyenleri bulmak için ifadeyi doğrusal hale getiriyoruz.

5

Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayarak çözüme ulaşın.

3 + 12 = 2x + x \Rightarrow 15 = 3x \Rightarrow x = 5

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözüme ulaştırıyoruz.

Key Concept

Birinci dereceden denklemlerde rasyonel ifadelerin düzenlenmesi, payda eşitleme ve işaret dağılımı kontrolü.

Practice More

Rasyonel katsayılı denklemlerde payda eşitlemeden önce sadeleşebilen terimleri kontrol etmek işlem süresini kısaltabilir.

Estimated Time:1m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer