Examkin

Faktöriyel (Sayma)

33 questions

Question 21Question →

nn bir doğal sayı olmak üzere, n!n! sayısının sondan tam olarak 10 basamağı sıfırdır.

Buna göre, nn sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 235

Answer

Sondan 10 basamağı sıfır olan nn değerlerinin toplamı 235'tir.
Sondan 10 basamağı sıfır olan en küçük doğal sayı 45'tir. Bu durum, bir sonraki 5 çarpanının eklendiği 50 sayısına kadar değişmez. Dolayısıyla şartı sağlayan sayılar 45, 46, 47, 48 ve 49'dur. Bu sayıların toplamı 45+46+47+48+49=23545+46+47+48+49=235 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sıfır sayısını belirleyen kuralı hatırla.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına eşittir.
Her 2 ve 5 çarpanı bir 10 çarpanı (yani bir sıfır) oluşturur; faktöriyelde 2 çarpanı 5'ten çok daha fazla olduğu için kısıtlayıcı olan 5 sayısıdır.
2
Sondan 10 basamağı sıfır olan en küçük nn değerini bul.
n=45n=45 için 45÷5=945 \div 5 = 9, 9÷5=19 \div 5 = 1 ve 9+1=109+1 = 10.
Ardışık bölme yöntemiyle toplam bölümün 10 olması sağlanır.
3
Sıfır sayısının değiştiği bir sonraki sınırı belirle.
n=50n=50 için 50÷5=1050 \div 5 = 10, 10÷5=210 \div 5 = 2 ve 10+2=1210+2 = 12.
50 sayısı 525^2 (25) ile tam bölündüğü için sıfır sayısı birden fazla artar (10'dan 11'e değil, 12'ye çıkar).
4
nn sayısının alabileceği tüm değerleri listele.
n∈{45,46,47,48,49}n \in \{45, 46, 47, 48, 49\}
45'ten 49'a kadar olan tüm sayıların faktöriyelindeki 5 çarpanı sayısı 10'dur.
5
Değerlerin toplamını hesapla.
45+46+47+48+49=23545 + 46 + 47 + 48 + 49 = 235
Ardışık 5 sayının toplamı ortanca sayı ile terim sayısının çarpımına eşittir (47×5=23547 \times 5 = 235).

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde sondaki sıfır sayısını bulmak için sayı sürekli 5'e bölünür.

Hints

1
Bir sayının faktöriyelinin sonundaki sıfır sayısını bulmak için o sayıyı sürekli 5'e bölmelisiniz.
2
Bölümlerin toplamı 10 olan en küçük sayıyı bulun. Bu sayı 45'tir.
3
45'ten sonraki sayılar (46, 47, 48, 49) da aynı sayıda sıfıra sahiptir. Ancak 50 sayısına ulaştığınızda sıfır sayısı 12'ye çıkar.

Practice More

Sondan 12 basamağı sıfır olan n değerlerinin toplamını bularak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ardışık sayıların toplamı formülünü kullanabilirsiniz: Ortanca Terim×Terim Sayısı=47×5=235\text{Ortanca Terim} \times \text{Terim Sayısı} = 47 \times 5 = 235.
Estimated Time:1m 15s
Question 22Question →

Matematikte n!n! ifadesi, 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder. Özel bir durum olarak 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre,
6!+5!5!\frac{6! + 5!}{5!}


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 77

Answer

İşlemin sonucu 77 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan değer, 6!6! ifadesinin 6×5!6 \times 5! şeklinde açılması ve pay kısmının 5!5! parantezine alınmasıyla elde edilir. Bu durumda pay 5!×75! \times 7 olur ve paydadaki 5!5! ile sadeleştiğinde geriye sadece 77 kalır.

Step-by-Step Solution

1
6!6! ifadesini bir alt basamaktaki faktöriyel cinsinden yazın.
6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5!
Büyük faktöriyelli ifadeleri küçük olanlar cinsinden yazmak sadeleştirme yapmayı kolaylaştırır.
2
Bulduğunuz ifadeyi ana denklemde yerine koyun.
6⋅5!+5!5!\frac{6 \cdot 5! + 5!}{5!}
Tüm terimleri aynı faktöriyel (5!5!) cinsinden ifade etmek için bu adım gereklidir.
3
Pay kısmını 5!5! ortak parantezine alın.
5!⋅(6+1)5!\frac{5! \cdot (6 + 1)}{5!}
Toplama işlemini çarpanlarına ayırarak paydadaki ifadeyle sadeleşebilir hale getirmek hedeflenir.
4
Pay ve paydadaki 5!5! ifadelerini sadeleştirin ve kalan işlemi yapın.
6+1=76 + 1 = 7
Aynı çarpanlar birbirini yok eder ve geriye sadece tam sayıların toplamı kalır.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Sadeleştirme Özelliği (n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!)

Hints

1
Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayıyı, paydada bulunan daha küçük sayıya benzeterek yazabilirsiniz. Örneğin 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! yazmayı deneyin.
2
Pay kısmındaki ifadeyi 5!5! ortak parantezine alırsanız, paydadaki 5!5! ile sadeleştirme yapabileceğinizi göreceksiniz.
3
İfadeyi 5!⋅(6+1)5!\frac{5! \cdot (6 + 1)}{5!} şeklinde yazdığınızda pay ve paydadaki 5!5! terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece parantez içindeki işlem kalır.

Practice More

Benzer mantıkla 8!−7!7!\frac{8! - 7!}{7!} işleminin sonucunu bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayarak da sonuca ulaşabilirsiniz: 6!=7206! = 720 ve 5!=1205! = 120. Bu durumda işlem 720+120120=840120=7\frac{720 + 120}{120} = \frac{840}{120} = 7 olur. Ancak büyük sayılarla uğraşmamak için sadeleştirme yöntemi daha pratiktir.
Estimated Time:45s
Question 23Question →
xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,
60!18x⋅15y \frac{60!}{18^x \cdot 15^y}

ifadesi bir tam sayı belirtmektedir.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Toplamın en büyük değeri 21'dir.
İfadenin tam sayı olması için paydadaki asal çarpan kuvvetlerinin 60! içindeki karşılık gelen asal çarpan sayısını aşmaması gerekir. 60! içindeki 3 çarpanı sayısı 28'dir ve bu çarpan hem 18x18^x hem de 15y15^y terimlerinden gelir (32x+y3^{2x+y}). Bu durum 2x+y≤282x+y \le 28 kısıtını oluşturur. Ayrıca 15y15^y teriminden gelen 5 çarpanı için y≤14y \le 14 kısıtı vardır. Toplamı (x+yx+y) maksimize etmek için, katsayısı küçük olan yy değişkenine mümkün olan en büyük değeri (1414) veririz. Bu durumda 2x+14≤282x+14 \le 28 eşitsizliğinden xx en çok 7 bulunur. Böylece maksimum toplam 21 olur.

Step-by-Step Solution

1
Tabanları asal çarpanlarına ayır ve ifadeyi düzenle.
18x=(2⋅32)x=2x⋅32x18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot 3^{2x} ve 15y=(3⋅5)y=3y⋅5y15^y = (3 \cdot 5)^y = 3^y \cdot 5^y. Payda: 2x⋅32x+y⋅5y2^x \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^y.
Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını kontrol edebilmek için tabanların asal olması gerekir.
2
60! içindeki 2, 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını Legendre formülü ile hesapla.
2 sayısı: 56 adet, 3 sayısı: 28 adet, 5 sayısı: 14 adet.
Her bir asal çarpanın faktöriyel içindeki maksimum kuvveti, alabilecekleri değerlerin üst sınırını belirler.
3
Elde edilen verilerle x ve y için eşitsizlik sistemini kur.
1) x≤56x \le 56 (2 çarpanı için)
2) 2x+y≤282x + y \le 28 (3 çarpanı için)
3) y≤14y \le 14 (5 çarpanı için)
Paydadaki asal çarpan kuvvetleri, paydaki (60!) çarpan sayısını geçemez.
4
x+yx+y toplamını maksimize etmek için kısıtları analiz et.
2x+y≤282x+y \le 28 kısıtında xx değişkeninin katsayısı daha büyük olduğundan (2), toplamı artırmak için xx'i küçük, yy'yi büyük seçmeliyiz. yy'nin üst sınırı 14'tür.
Maliyet (katsayı) analizi yaparak hangi değişkenin maksimize edilmesi gerektiğini belirlemek.
5
y=14y=14 değerini en kısıtlayıcı eşitsizliğe koy ve xx'i bul.
2x+14≤28⇒2x≤14⇒x≤72x + 14 \le 28 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7. En büyük x=7x=7 olur. Toplam: 7+14=217+14=21.
Bulunan değerlerin tüm eşitsizlikleri sağladığından emin olmak.

Key Concept

Asal Çarpanlara Ayırma ve Legendre Teoremi ile Optimizasyon

Hints

1
Önce 18 ve 15 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak paydanın tam halini yazın (2a⋅3b⋅5c2^a \cdot 3^b \cdot 5^c formatında).
2
60! içindeki 2, 3 ve 5 çarpanlarının sayısını bulun. 3 çarpanı her iki tabandan da geldiği için (18x18^x ve 15y15^y), bu çarpan için ortak bir eşitsizlik kurmanız gerekecek.
3
3 çarpanı için 2x+y≤282x + y \le 28 eşitsizliğini bulmalısınız. Ayrıca 5 çarpanı için y≤14y \le 14 kısıtı var. x+yx+y toplamını en büyük yapmak için, katsayısı 1 olan yy'yi mümkün olduğunca büyük seçin.

Practice More

Benzer mantıkla, paydasında üç farklı taban bulunan ve daha karmaşık kısıtlar içeren bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: y'nin alabileceği maksimum değerin 5 çarpanından dolayı 14 olduğunu görüp, y=14, y=13... değerleri için x'in alabileceği en büyük tam sayı değerlerini tek tek kontrol etmek.
Estimated Time:3m 30s
Question 24Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+3)!−(n+2)!n!+(n+1)!=42 \frac{ (n+3)! - (n+2)! }{ n! + (n+1)! } = 42

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan nn değeri 5'tir.
Verilen rasyonel ifadede pay ve payda ayrı ayrı en küçük faktöriyel parantezine alındığında, ortak çarpanlar sadeleşir ve geriye ardışık iki sayının çarpımı kalır. (n+2)(n+1)=42(n+2)(n+1)=42 eşitliğinden n=5n=5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
(n+3)!−(n+2)!=(n+2)!⋅[(n+3)−1]=(n+2)!⋅(n+2)(n+3)! - (n+2)! = (n+2)! \cdot [(n+3) - 1] = (n+2)! \cdot (n+2)
Faktöriyel işlemlerinde toplama ve çıkarma yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
n!+(n+1)!=n!⋅[1+(n+1)]=n!⋅(n+2)n! + (n+1)! = n! \cdot [1 + (n+1)] = n! \cdot (n+2)
Paydada da benzer şekilde n!n! parantezine alınarak sadeleştirme için hazırlık yapılır.
3
Bulunan ifadeleri denklemde yerine yaz ve sadeleştir.
(n+2)!⋅(n+2)n!⋅(n+2)=42\frac{(n+2)! \cdot (n+2)}{n! \cdot (n+2)} = 42

(n+2)(n+2)
çarpanları sadeleşir:
(n+2)!n!=42\frac{(n+2)!}{n!} = 42
Pay ve paydadaki ortak (n+2)(n+2) çarpanları birbirini götürür.
4
Kalan faktöriyel oranını açarak denklemi çöz.
(n+2)(n+1)n!n!=42\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 42

(n+2)(n+1)=42(n+2)(n+1) = 42
Büyük faktöriyel küçüğüne benzetilerek n!n! sadeleştirilir.
5
Ardışık iki sayının çarpımı 42 olan sayıları bul.
7⋅6=427 \cdot 6 = 42 olduğu için n+2=7n+2=7 ve n+1=6n+1=6 olmalıdır. Buradan n=5n=5 bulunur.
İkinci dereceden denklem çözmek yerine ardışık sayıların çarpımı mantığı kullanılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken en küçük faktöriyel parantezine alınır.

Hints

1
Pay kısmını (n+2)!(n+2)! parantezine, payda kısmını n!n! parantezine alarak işe başlayın.
2
Paranteze aldığınızda (n+2)(n+2) çarpanının hem pay hem de paydada oluştuğunu göreceksiniz; bunları sadeleştirin.
3
Geriye kalan (n+2)!n!=42\frac{(n+2)!}{n!} = 42 ifadesini (n+2)(n+1)=42(n+2)(n+1) = 42 şeklinde yazıp, çarpımı 42 olan ardışık sayıları düşünün.

Practice More

Benzer bir mantıkla (n+1)!+n!(n+1)!−n!=53\frac{(n+1)! + n!}{(n+1)! - n!} = \frac{5}{3} ise nn kaçtır sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki değerleri yerine koyarak kontrol edilebilir. Örneğin n=5n=5 için 8!−7!5!+6!=7!(8−1)5!(1+6)=7!⋅75!⋅7=7!5!=42\frac{8!-7!}{5!+6!} = \frac{7!(8-1)}{5!(1+6)} = \frac{7! \cdot 7}{5! \cdot 7} = \frac{7!}{5!} = 42.
Estimated Time:2m 30s
Question 25Question →

Bir kütüphane rafına birbirinden farklı 4 matematik kitabı ve nn tane Türkçe kitabı yan yana dizilecektir. Matematik kitaplarının tamamının bir arada olması koşuluyla bu kitaplar 2880 farklı şekilde dizilebildiğine göre, nn kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Kitapların dizilim koşulları dikkate alındığında Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak bulunur.
Matematik kitaplarının bir arada olması istendiği için bu 4 kitap tek bir paket gibi düşünülür. Bu paket ve nn tane Türkçe kitabı toplam n+1n+1 birim oluşturur. Bu birimlerin dizilimi (n+1)!(n+1)! ve paketin içindeki matematik kitaplarının kendi aralarındaki dizilimi 4!4! (yani 24) kadardır. Toplam dizilim olan (n+1)!⋅24=2880(n+1)! \cdot 24 = 2880 denkleminden (n+1)!=120(n+1)! = 120 bulunur. 5!=1205! = 120 olduğu için n+1=5n+1=5 ve dolayısıyla Türkçe kitaplarının sayısı 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Koşula bağlı nesne sayısını belirleme
4 matematik kitabı 'bir arada' olacağı için bu kitaplar 1 blok olarak kabul edilir. Bu blok ve nn tane Türkçe kitabı ile birlikte toplam n+1n+1 tane nesne oluşur.
Yan yana olması istenen nesneler tek bir birim gibi düşünülmelidir.
2
Dizilim formülünü oluşturma
Toplam dizilim sayısı: (n+1)!×4!=2880(n+1)! \times 4! = 2880.
n+1n+1 nesnenin kendi arasındaki dizilimi (n+1)!(n+1)! ve blok içindeki 4 kitabın kendi arasındaki dizilimi 4!4! kadardır.
3
Denklemi çözme
(n+1)!×24=2880⇒(n+1)!=120(n+1)! \times 24 = 2880 \Rightarrow (n+1)! = 120.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 değerine eşittir.
4
Bilinmeyeni bulma
5!=1205! = 120 olduğu için n+1=5n+1 = 5 ve buradan n=4n = 4 elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği çarpımı 120 olan ardışık tam sayılar dizisi 5'te biter.

Key Concept

Faktöriyel kullanarak belirli nesnelerin bir arada bulunduğu dizilim (permütasyon) hesaplamaları.

Hints

1
Bir arada olması istenen kitapları tek bir nesne (blok) gibi düşünerek toplam nesne sayısını hesaplayın.
2
Toplam dizilimi bulurken hem bu bloğun diğer kitaplarla yer değiştirmesini hem de blok içindeki kitapların kendi aralarındaki yer değiştirmesini hesaba katın.
3
(n+1)!⋅4!=2880(n+1)! \cdot 4! = 2880 denklemini kurun. 4!=244! = 24 olduğunu kullanarak (n+1)!(n+1)! değerini yalnız bırakın.

Practice More

Faktöriyel kavramını pekiştirmek için 'n nesnenin yan yana gelmemesi' durumlarını içeren soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin n=4n=4 için toplam 4+1=54+1=5 nesne oluşur. 5!⋅4!=120⋅24=28805! \cdot 4! = 120 \cdot 24 = 2880 sonucuna ulaşılarak doğru cevap doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 26Question →

Matematikte n!n! ifadesi, 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını simgeler ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre,

4!+3!3!⋅0! \frac{4! + 3!}{3! \cdot 0!}


işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İşlemin sonucu 5'tir.
Verilen işlemde 4!=244! = 24, 3!=63! = 6 ve 0!=10! = 1 olduğu bilinmektedir. Bu değerler yerlerine yazıldığında pay kısmında 24+6=3024 + 6 = 30, payda kısmında ise 6⋅1=66 \cdot 1 = 6 elde edilir. 30 sayısının 6 sayısına bölünmesiyle sonuç 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.
4!=1⋅2⋅3⋅4=244! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24, 3!=1⋅2⋅3=63! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 ve 0!=10! = 1.
İşlemi gerçekleştirmek için önce temel faktöriyel tanımlarını uygulamalıyız.
2
Pay ve payda kısmındaki işlemleri ayrı ayrı yapalım.
Pay: 24+6=3024 + 6 = 30, Payda: 6⋅1=66 \cdot 1 = 6.
Kesir çizgisi, pay ve paydadaki işlemlerin öncelikli olarak tamamlanması gerektiğini belirtir.
3
Elde edilen pay değerini payda değerine bölerek sonucu bulalım.
306=5\frac{30}{6} = 5
Bulunan değerlerin oranlanması işlemin sonucunu verir.

Key Concept

Faktöriyel hesaplama ve rasyonel ifadelerde işlem sırası

Hints

1
Öncelikle 4!4!, 3!3! ve 0!0! değerlerini sayısal olarak bulun.
2
Kesrin payındaki toplamayı ve paydasındaki çarpmayı tamamlayın.
3
0!=10! = 1 olduğunu unutmayın ve paydaki 30 sayısını paydadaki 6 sayısına bölün.

Practice More

Benzer şekilde faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak sadeleştirme alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

Paydaki ifadeyi 3!3! parantezine alabilirsiniz: 3!(4+1)=3!⋅53!(4 + 1) = 3! \cdot 5. Paydada da 3!⋅0!=3!⋅13! \cdot 0! = 3! \cdot 1 olduğu için 3!3! ifadeleri birbirini götürür ve geriye sadece 5 kalır.
Estimated Time:1m 0s
Question 27Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
43!24n \frac{43!}{24^n}

ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, nn'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

n'nin alabileceği en büyük değer 13'tür.
43! sayısının içinde 24n24^n çarpanını arıyoruz. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, her bir nn değeri için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız vardır. 43! içinde toplam 19 tane 3 çarpanı ve 39 tane 2 çarpanı vardır. Ancak 2'ler üçerli gruplar halinde kullanılacağı için ⌊39/3⌋=13\lfloor 39/3 \rfloor = 13 grup oluşturulabilir. 13 grup 232^3 ve 19 tane 3 çarpanı arasından, daha az olan sayı (13) sonucu belirler. Bu nedenle en büyük değer 13'tür.

Step-by-Step Solution

1
Bölen sayının (24) asal çarpanlarını belirle.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
Bileşik sayının asal çarpanlarına ayrılması, hangi asal çarpanın sınırlayıcı olduğunu bulmak için gereklidir.
2
43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Büyük asal kuralı kontrolü).
⌊433⌋+⌊439⌋+⌊4327⌋=14+4+1=19\lfloor\frac{43}{3}\rfloor + \lfloor\frac{43}{9}\rfloor + \lfloor\frac{43}{27}\rfloor = 14 + 4 + 1 = 19. En fazla 3193^{19} elde edilebilir.
Genellikle büyük asal çarpan sınırlayıcıdır, ancak üsler farklı olduğu için her iki çarpan da kontrol edilmelidir.
3
43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
⌊432⌋+⌊434⌋+⌊438⌋+⌊4316⌋+⌊4332⌋=21+10+5+2+1=39\lfloor\frac{43}{2}\rfloor + \lfloor\frac{43}{4}\rfloor + \lfloor\frac{43}{8}\rfloor + \lfloor\frac{43}{16}\rfloor + \lfloor\frac{43}{32}\rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
Toplam 2 çarpanı sayısı hesaplanır.
4
24 sayısı 232^3 gerektirdiği için, mevcut 2 çarpanı sayısını 3'e bölerek grup sayısını bul.
⌊393⌋=13\lfloor\frac{39}{3}\rfloor = 13. Yani en fazla 13 adet 232^3 grubu oluşturulabilir.
Her bir 24 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.
5
Elde edilen grup sayılarını karşılaştırarak en küçüğünü (sınırlayıcı olanı) seç.
3 çarpanı ile 19 adet, 2 çarpanı ile 13 adet 24 sayısı oluşturulabilir. 13<1913 < 19 olduğu için cevap 13'tür.
Bir sayının tam bölünebilmesi için tüm bileşenlerinin (hem 232^3 hem 313^1) sağlanması gerekir. Daha az oluşturulabilen bileşen, toplam sayıyı sınırlar.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin bileşik sayı kuvvetlerine bölünmesinde, tabandaki sayının asal çarpan kuvvetlerine (üslerine) dikkat edilmelidir. Her zaman büyük asal çarpan sınırlayıcı olmayabilir; üssü büyük olan küçük asal çarpan daha sınırlayıcı olabilir.

Hints

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayırın: 24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1. Hangi asal çarpandan kaç tane gerektiğini belirleyin.

Practice More

Benzer mantıkla, 60!/72n60! / 72^n sorusunu çözerek sınırlayıcı çarpan kavramını pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 28Question →
xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,
x!y!=210 \frac{x!}{y!} = 210

eşitliği veriliyor.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 458

Answer

458
Eşitlik x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 şeklinde düşünüldüğünde, sol taraf ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 210 sayısını veren ardışık sayı grupları şunlardır: Tek başına 210 (bu durumda x=210,y=209x=210, y=209), 15⋅1415 \cdot 14 (bu durumda x=15,y=13x=15, y=13) ve 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 (bu durumda x=7,y=4x=7, y=4). Bu üç durumdan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 419, 28 ve 11'dir. Bunların toplamı 458 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği düzenle ve anlamını belirle.
x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! ifadesi, x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 demektir. Bu, xx'ten başlayıp geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 210 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık çarpanlar kalır.
2
210 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazabileceğin tüm durumları araştır.
1. Durum (1 Sayı): 210=210210 = 210. Buradan x=210x=210, y=209y=209.
2. Durum (2 Sayı): 15⋅14=21015 \cdot 14 = 210. Buradan x=15x=15, y=13y=13.
3. Durum (3 Sayı): 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210. Buradan x=7x=7, y=4y=4.
Sayıları çarpanlarına ayırarak ardışıklık kontrolü yapılır. 3⋅4⋅5⋅6=3603 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360 olduğu için 4'lü çarpım yoktur.
3
Her durum için x+yx+y değerini hesapla ve topla.
1. Durum: 210+209=419210 + 209 = 419
2. Durum: 15+13=2815 + 13 = 28
3. Durum: 7+4=117 + 4 = 11
Toplam: 419+28+11=458419 + 28 + 11 = 458
Soruda olası tüm x+yx+y değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesi sonucu ortaya çıkan ardışık çarpanlar özelliği.

Hints

1
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, sadeleştirme yapıldığında xx'ten geriye doğru azalan ardışık sayıların çarpımına eşittir.
2
Çarpımları 210 eden ardışık sayı gruplarını arayın. Örneğin, 1414 ve 1515 sayılarını inceleyin.
3
210 sayısı üç farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olabilir: 1 sayı (kendisi), 2 sayı (15⋅1415 \cdot 14) ve 3 sayı (7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5). Her biri için x+yx+y hesaplayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 29Question →

AA, BB ve CC sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A=23!+24! A = 23! + 24!

B=48!+49! B = 48! + 49!

C=73!+74! C = 73! + 74!

Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Çarpımın sondan 36 basamağı sıfırdır
Çarpımın sondan kaç basamağının sıfır olduğu, toplam 5 çarpanı sayısına eşittir. İfadeler A=23!⋅25A=23! \cdot 25, B=48!⋅50B=48! \cdot 50 ve C=73!⋅75C=73! \cdot 75 şeklinde düzenlendiğinde; faktöriyellerden sırasıyla 4, 10 ve 16 adet, katsayılar olan 25, 50 ve 75 sayılarının her birinden ise ikişer adet (toplam 6) 5 çarpanı gelir. Toplamda 4+2+10+2+16+2=364+2+10+2+16+2 = 36 adet 5 çarpanı, dolayısıyla 36 adet sıfır vardır.

Step-by-Step Solution

1
Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına ayrıldığında içindeki 5 çarpanlarının sayısına bakılır (2 çarpanı zaten boldur).
Hedef: Her bir ifadeyi (AA, BB, CC) düzenleyip toplam 5 çarpanı sayısını bulmak.
10=2⋅510 = 2 \cdot 5 olduğundan, 10 çarpanlarının sayısı 5 çarpanlarının sayısı ile sınırlıdır.
2
A=23!+24!A = 23! + 24! ifadesini ortak çarpan parantezine alarak düzenle ve 5 çarpanlarını say.
A=23!(1+24)=23!⋅25=23!⋅52A = 23!(1 + 24) = 23! \cdot 25 = 23! \cdot 5^2. 23!23!'de ⌊23/5⌋=4\lfloor 23/5 \rfloor = 4 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 2525'ten gelir. Toplam: 4+2=64 + 2 = 6.
Genellikle küçük faktöriyelin sıfır sayısı alınır ancak burada katsayıdan (2525) gelen ekstra 5'ler sonucu değiştirir.
3
B=48!+49!B = 48! + 49! ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.
B=48!(1+49)=48!⋅50=48!⋅(2⋅52)B = 48!(1 + 49) = 48! \cdot 50 = 48! \cdot (2 \cdot 5^2). 48!48!'de 9+1=109+1=10 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 5050'den gelir. Toplam: 10+2=1210 + 2 = 12.
48/548/5 bölüm 9, 9/59/5 bölüm 1. Toplam 10. Katsayıdan gelen 2 adet 5 unutulmamalıdır.
4
C=73!+74!C = 73! + 74! ifadesini düzenle ve 5 çarpanlarını say.
C=73!(1+74)=73!⋅75=73!⋅(3⋅52)C = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 = 73! \cdot (3 \cdot 5^2). 73!73!'de 14+2=1614+2=16 tane 5 var. Ekstra 2 tane de 7575'ten gelir. Toplam: 16+2=1816 + 2 = 18.
73/573/5 bölüm 14, 14/514/5 bölüm 2. Toplam 16. Katsayıdan gelen 2 adet 5 eklenir.
5
Çarpım durumundaki ifadelerin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, her bir ifadenin sıfır sayılarını topla.
Toplam Sıfır Sayısı = 6(A)+12(B)+18(C)=366 (A) + 12 (B) + 18 (C) = 36.
10a⋅10b⋅10c=10a+b+c10^a \cdot 10^b \cdot 10^c = 10^{a+b+c} kuralı gereği üsler toplanır.

Key Concept

Faktöriyel toplamlarında sondan gelen sıfır sayısı bulunurken ifade ortak paranteze alınmalı ve katsayıdan gelen 5 çarpanları da hesaba katılmalıdır.

Hints

1
Bir ifadenin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için içindeki 5 çarpanlarının sayısını bulmalısınız.
2
n!+(n+1)!n! + (n+1)! şeklindeki ifadeleri doğrudan hesaplamak yerine n!(1+n+1)n!(1 + n + 1) şeklinde ortak çarpan parantezine alarak çarpım haline getirin.
3
23!+24!=23!⋅2523! + 24! = 23! \cdot 25 olur. Sadece 23!23!'deki değil, 2525'teki 5 çarpanlarını da saymayı unutmayın. Aynı işlemi diğerleri için de yapın.

Practice More

Benzer mantıkla, A=19!+20!A = 19! + 20! ise A'nın sondan kaç basamağı sıfırdır? sorusunu çözerek katsayı etkisini pekiştirin.
Estimated Time:3m 0s
Question 30Question →

Matematikte nn bir doğal sayı olmak üzere, n!n! ifadesi 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre, 5!−4!÷3!+0!5! - 4! \div 3! + 0! işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 117

Answer

İşlemin doğru sonucu 117 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 117 değeri, faktöriyel tanımlarının (5!=120,4!=24,3!=6,0!=15!=120, 4!=24, 3!=6, 0!=1) doğru uygulanması ve ardından bölme işleminin çıkarma/toplama işlemlerinden önce yapılmasıyla elde edilir (120−4+1=117120 - 4 + 1 = 117).

Step-by-Step Solution

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.
5!=1205! = 120, 4!=244! = 24, 3!=63! = 6 ve 0!=10! = 1
İşlemi gerçekleştirebilmek için temel faktöriyel tanımlarını sayısal değerlere dönüştürmemiz gerekir.
2
İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme işlemini yapalım.
24÷6=424 \div 6 = 4
Matematiksel işlemlerde bölme ve çarpma, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.
3
Bulduğumuz değerleri ana ifadede yerine koyarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım.
120−4+1=116+1=117120 - 4 + 1 = 116 + 1 = 117
Bölme işlemi tamamlandıktan sonra kalan işlemler soldan sağa doğru sırayla gerçekleştirilir.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve İşlem Önceliği Kuralları

Hints

1
Öncelikle 5!,4!,3!5!, 4!, 3! ve 0!0! ifadelerinin sayısal değerlerini hesaplayarak işe başlayın.
2
Unutmayın; matematikte bölme işlemi toplama ve çıkarma işlemlerinden daha önceliklidir.
3
0!0! değerinin 00 değil, 11 olduğunu hatırlayarak son toplama işlemini gerçekleştirin.

Practice More

Faktöriyel içeren bölme işlemlerinde sadeleştirme yapmayı öğrenmek için ardışık faktöriyel oranları (örneğin 7!/6!7!/6!) üzerine pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

İşlemi basitleştirmek için ortak paranteze alma denenebilir ancak bu soruda doğrudan değerleri yerine yazmak çok daha hızlı ve güvenli bir yöntemdir.
Estimated Time:45s
Question 31Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!(n−1)!=10⋅n!(n−2)! \frac{(n+2)!}{(n-1)!} = 10 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}

eşitliğinde nn'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Eşitliği sağlayan değerler 3 ve 4 olup, toplamları 7'dir.
Verilen eşitlikte faktöriyeller açılıp sadeleştirildiğinde (n+2)(n+1)n=10n(n−1)(n+2)(n+1)n = 10n(n-1) denklemi elde edilir. n≠0n \neq 0 olduğu için sadeleştirme yapılarak n2+3n+2=10n−10n^2+3n+2 = 10n-10 denklemi bulunur. Bu denklem düzenlendiğinde n2−7n+12=0n^2-7n+12=0 olur ve kökleri 3 ile 4'tür. Toplamları 7 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyelli ifadeleri, sadeleşecek şekilde açarak yazalım.
(n+2)(n+1)n(n−1)!(n−1)!=10⋅n(n−1)(n−2)!(n−2)!\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 10 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}
Faktöriyel tanımını kullanarak pay ve paydadaki ortak çarpanları yok etmek için.
2
Sadeleştirme işlemlerini yapalım.
(n+2)(n+1)n=10⋅n(n−1)(n+2)(n+1)n = 10 \cdot n(n-1)
Denklemi faktöriyellerden kurtarıp cebirsel hale getirmek için.
3
nn bir doğal sayı olduğu için (ve tanım gereği n≥2n \ge 2 olmalı) eşitliğin her iki tarafını nn ile bölelim.
(n+2)(n+1)=10(n−1)(n+2)(n+1) = 10(n-1)
Denklemin derecesini düşürmek için.
4
Parantezleri açıp ifadeyi ikinci dereceden denklem formuna getirelim.
n2+3n+2=10n−10n^2 + 3n + 2 = 10n - 10
⇒n2−7n+12=0\Rightarrow n^2 - 7n + 12 = 0
Kökleri bulabilmek için standart form (ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0) elde etmek.
5
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak nn değerlerini bulalım.
(n−4)(n−3)=0⇒n=4 veya n=3(n-4)(n-3) = 0 \Rightarrow n=4 \text{ veya } n=3
Çözüm kümesini belirlemek.
6
Bulunan değerlerin toplamını hesaplayalım.
3+4=73 + 4 = 7
Sorunun istediği sonucu elde etmek.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
Büyük faktöriyelleri küçük faktöriyellere benzeterek açmayı deneyin. Örneğin: (n+2)!=(n+2)(n+1)n!(n+2)! = (n+2)(n+1)n!
2
Eşitliğin her iki tarafındaki n!n! ve (n−2)!(n-2)! gibi terimleri sadeleştirdikten sonra geriye sadece nn'ye bağlı cebirsel bir ifade kalacaktır.
3
Sadeleştirme sonucu (n+2)(n+1)=10(n−1)(n+2)(n+1) = 10(n-1) denklemini elde etmelisiniz. Bunu ikinci dereceden denkleme dönüştürüp çözün.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, kökler çarpımının sorulduğu sorular çözülebilir.

Alternative Method

Denklem n2−7n+12=0n^2-7n+12=0 haline geldikten sonra, kökleri tek tek bulmak yerine İkinci Dereceden Denklemlerde Kökler Toplamı formülünü (x1+x2=−b/ax_1+x_2 = -b/a) kullanarak doğrudan −(−7)/1=7-(-7)/1 = 7 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 32Question →

A=8!+9!A = 8! + 9!
B=10!−9!B = 10! - 9!

olduğuna göre, EKOK(A,B)\text{EKOK}(A, B) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Show answer & explanation

Answer: 9⋅10!9 \cdot 10!

Answer

Verilen ifadelerin en küçük ortak katı 9⋅10!9 \cdot 10! olarak bulunur.
Verilen ifadeler düzenlendiğinde A=10⋅8!A = 10 \cdot 8! ve B=81⋅8!B = 81 \cdot 8! elde edilir. 10 ve 81 aralarında asal sayılar olduğundan, bu ifadelerin en küçük ortak katı 8!⋅10⋅81=810⋅8!8! \cdot 10 \cdot 81 = 810 \cdot 8! olur. Bu değer de 9⋅90⋅8!=9⋅10!9 \cdot 90 \cdot 8! = 9 \cdot 10! şeklinde ifade edilebilir.

Step-by-Step Solution

1
AA ifadesini en küçük terim olan 8!8! parantezine alarak düzenleyiniz.
A=8!+9⋅8!=8!(1+9)=10⋅8!A = 8! + 9 \cdot 8! = 8!(1 + 9) = 10 \cdot 8!
Faktöriyel içeren toplama işlemlerinde katsayıları belirlemek için ortak çarpan parantezi kullanılır.
2
BB ifadesini en küçük terim olan 8!8! parantezine alarak düzenleyiniz.
B=10⋅9⋅8!−9⋅8!=8!(90−9)=81⋅8!B = 10 \cdot 9 \cdot 8! - 9 \cdot 8! = 8!(90 - 9) = 81 \cdot 8!
İşlemleri aynı tabanda (8!) birleştirerek katsayılar üzerinden karşılaştırma yapabilmek için.
3
10⋅8!10 \cdot 8! ve 81⋅8!81 \cdot 8! ifadelerinin en küçük ortak katını (EKOK) hesaplayınız.
EKOK(10⋅8!,81⋅8!)=8!⋅EKOK(10,81)=8!⋅810\text{EKOK}(10 \cdot 8!, 81 \cdot 8!) = 8! \cdot \text{EKOK}(10, 81) = 8! \cdot 810
Ortak olan 8!8! çarpanı dışarı alınır; kalan katsayılar (1010 ve 8181) aralarında asal olduğu için EKOK'ları çarpımlarıdır.
4
Elde edilen 810⋅8!810 \cdot 8! ifadesini seçeneklerdeki formatta düzenleyiniz.
810⋅8!=9⋅90⋅8!=9⋅(10⋅9⋅8!)=9⋅10!810 \cdot 8! = 9 \cdot 90 \cdot 8! = 9 \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8!) = 9 \cdot 10!
90⋅8!90 \cdot 8! ifadesi 10⋅9⋅8!10 \cdot 9 \cdot 8! şeklinde yazılarak 10!10! formuna dönüştürülür.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerin EKOK'u hesaplanırken tüm terimler ortak bir tabanda (en küçük faktöriyel) yazılır ve katsayılar üzerinden işlem yapılır.

Alternative Method

AA ve BB ifadelerini 9!9! tabanında da yazabilirsiniz: A=109⋅9!A = \frac{10}{9} \cdot 9! ve B=9⋅9!B = 9 \cdot 9!. Buradan rasyonel katsayıların EKOK mantığıyla ilerlenebilir ancak 8!8! tabanında tam sayılarla çalışmak daha az hata riski taşır.
Estimated Time:1m 45s
Question 33Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+1)!−n!(n+1)!+n!=45 \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!} = \frac{4}{5}

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 8'dir.
Verilen eşitlikte (n+1)!(n+1)! ifadesi (n+1)⋅n!(n+1) \cdot n! şeklinde açılarak pay ve payda n!n! parantezine alınır. Sadeleştirme yapıldığında nn+2=45\frac{n}{n+2} = \frac{4}{5} denklemi elde edilir. İçler dışlar çarpımı ile 5n=4n+85n = 4n + 8 bulunur ve buradan n=8n=8 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki büyük faktöriyelleri, küçük olana benzeterek açalım.
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! şeklinde yazılır.
Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
İfadeyi n!n! parantezine alıp sadeleştirelim.
n!(n+1)−n!n!(n+1)+n!=n!((n+1)−1)n!((n+1)+1) \frac{n!(n+1) - n!}{n!(n+1) + n!} = \frac{n!((n+1) - 1)}{n!((n+1) + 1)}
Pay ve paydadaki ortak n!n! çarpanları birbirini götürür.
3
Kalan cebirsel ifadeyi düzenleyip eşitleyelim.
nn+2=45 \frac{n}{n+2} = \frac{4}{5}
Sadeleştirme sonucu elde edilen birinci dereceden denklem çözülmelidir.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak nn değerini bulalım.
5n=4(n+2)⇒5n=4n+8⇒n=85n = 4(n+2) \Rightarrow 5n = 4n + 8 \Rightarrow n = 8
Denklem çözümü tamamlanır.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve Denklem Çözme
PreviousPage 2 / 2
Faktöriyel (Sayma) — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2 | Examkin