Temel Kavramlar ve Sayılar

Question 241Question →

Bir kamu kurumunda çalışan memurlara, sicil numaralarına göre belirli sayıda evrak dağıtılmaktadır. Sicil numaraları $1, 2, 3, \dots, n$ olan memurlardan; sicil numarası en küçük olan $10$ memura dağıtılan toplam evrak sayısı $A$ , sicil numarası en büyük olan $10$ memura dağıtılan toplam evrak sayısı $B$ olarak belirlenmiştir. Her memura sicil numarası kadar evrak verildiği ve $B - A = 200$ olduğu bilindiğine göre, bu kurumda toplam kaç memur çalışmaktadır?

25

29

30

31

35

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Kurumda çalışan toplam memur sayısı

30

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

30

değeri, ilk

10

memurun toplamı olan

55

ile son

10

memurun (

21, 22, \dots, 30

) toplamı olan

255

arasındaki farkın tam olarak

200

olmasını sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

En küçük sicil numarasına sahip

10

memurun evrak toplamını (

A

) hesaplayınız.

A = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

Sicil numaraları

1

'den başladığı için ilk

10

terim

1

'den

10

'a kadar olan tam sayılardır.

2

En büyük sicil numarasına sahip

10

memurun evrak toplamını (

B

)

n

cinsinden ifade ediniz.

B = n + (n-1) + (n-2) + \dots + (n-9) = 10n - (1+2+\dots+9) = 10n - 45

Son

10

memurun sicil numaraları

n

'den başlayarak geriye doğru

n-9

'a kadar olan sayılardır.

3

B - A = 200

eşitliğini kullanarak

n

değerini çözünüz.

(10n - 45) - 55 = 200 \Rightarrow 10n - 100 = 200 \Rightarrow 10n = 300 \Rightarrow n = 30

Verilen fark ilişkisi toplam memur sayısını veren denklemi oluşturur.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı ilişkisi

Hints

1

İlk

10

memurun sicil numaraları

1, 2, 3, \dots, 10

şeklindedir.

2

Son

10

memurun sicil numaralarını

n, n-1, \dots, n-9

olarak ifade edip toplayın.

3

Son gruptaki her bir terim ile ilk gruptaki karşılık gelen terim arasındaki farkın (

n-10

) olduğunu fark ederseniz denklemi daha hızlı kurabilirsiniz.

Practice More

Ardışık çift veya tek sayıların farkları üzerine kurulu senaryoları inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Pratik bir yol olarak; son

10

memurun her biri, ilk

10

memurun her birinden tam olarak

(n-10)

fazladır. Toplamda

10

memur olduğu için fark

10 \times (n-10) = 200

olmalıdır. Buradan

n-10=20

ve

n=30

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 242Question →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x^2 \cdot y < 0

y \cdot z > 0

|x| > |y| > |z|

x + y > 0

olduğuna göre, $x, y$ ve $z$ sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

y < z < x

z < y < x

x < y < z

y < x < z

z < x < y

Show answer & explanation

Answer: $y < z < x$

Answer

y < z < x

sıralaması doğrudur.

Verilen eşitsizlikler adım adım incelendiğinde;

x^2

'nin pozitifliği

y

'nin negatif olmasını gerektirir.

y

negatifken

y \cdot z > 0

olması için

z

'nin de negatif olması gerekir.

y

negatifken

x+y > 0

olması için

x

'in pozitif olması ve mutlak değerce

y

'den büyük olması gerekir. Sıralama yapılırken pozitif olan

x

en büyüktür. Negatif olan

y

ve

z

arasında ise, mutlak değeri büyük olan

y

daha küçüktür (

y < z

). Sonuç olarak sıralama

y < z < x

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

y'nin işaretini belirle

y

negatiftir (

y < 0

).

x^2

daima pozitiftir. Çarpımın (

x^2 \cdot y

) negatif olması için

y

negatif olmalıdır.

2

z'nin işaretini belirle

z

negatiftir (

z < 0

).

y

negatif olduğuna göre, çarpımın (

y \cdot z

) pozitif olması için

z

de negatif olmalıdır (eksi ile eksinin çarpımı artıdır).

3

x'in işaretini belirle

x

pozitiftir (

x > 0

).

x + y > 0

verilmiştir.

y

negatif bir sayı iken toplamın pozitif olması için,

x

pozitif olmalı ve mutlak değeri

y

'den büyük olmalıdır (

|x| > |y|

).

4

Sayıları sırala

y < z < x

x

pozitif olduğu için en büyüktür.

y

ve

z

negatiftir. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

|y| > |z|

verildiğinden

y

,

z

'den daha küçüktür (

y < z

).

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Sıralama

Hints

1

Önce çarpma işlemlerini kullanarak sayıların işaretlerini (

+, -

) belirleyiniz.

x^2

her zaman pozitiftir.

2

y

ve

z

sayılarının ikisinin de negatif olduğunu bulduktan sonra, negatif sayılarda sıralama kuralını (mutlak değeri büyük olan küçüktür) hatırlayınız.

Estimated Time:2m 30s

Question 243Question →

Sıfırdan farklı bir $x$ gerçel sayısı için aşağıdaki iki bilginin doğru olduğu bilinmektedir:

I. $x^3$ sayısı bir rasyonel sayıdır.
II. $x^2$ sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre, $x$ sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x

bir rasyonel sayıdır.

x^4

sayısı rasyoneldir.

x^5

sayısı irrasyoneldir.

x^6

sayısı irrasyoneldir.

\frac{1}{x}

sayısı rasyoneldir.

Show answer & explanation

Answer: $x^5$ sayısı irrasyoneldir.

Answer

x^5

sayısının irrasyonel olduğu kesindir.

Verilen bilgilere göre

x^3

rasyonel,

x^2

ise irrasyoneldir. Üslü sayı özellikleri kullanılarak

x^5 = x^3 \cdot x^2

şeklinde yazılabilir. Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir; sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir. Dolayısıyla

x^5

kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen önermeleri analiz et.

I.

x^3 \in \mathbb{Q}

(Rasyonel)
II.

x^2 \notin \mathbb{Q}

(İrrasyonel)

Soruda verilen koşulları matematiksel sembollerle ifade etmek çözümün temelidir.

2

x

sayısının kendisinin rasyonel olup olmadığını belirle.

x

bir irrasyonel sayıdır.

Eğer

x

rasyonel olsaydı (

x \in \mathbb{Q}

), karesi

x^2

de rasyonel olurdu. Ancak II. öncülde

x^2

'nin irrasyonel olduğu belirtilmiş. Bu çelişki

x

'in irrasyonel olduğunu kanıtlar.

3

Seçeneklerdeki ifadeleri

x^3

ve

x^2

cinsinden yazarak incele.

x^5 = x^3 \cdot x^2

Bildiğimiz iki değer (

x^3

ve

x^2

) üzerinden bilinmeyen kuvvetleri yorumlamalıyız.

4

x^5

ifadesinin rasyonellik durumunu kontrol et.

x^3

(Sıfırdan farklı Rasyonel)

\times

x^2

(İrrasyonel) = İrrasyonel

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

x \neq 0

verildiği için

x^3 \neq 0

dır.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Çarpımı

Hints

1

x^5

ve

x^6

gibi ifadeleri, soruda verilen

x^2

ve

x^3

cinsinden yazmayı deneyin.

2

x^5 = x^3 \cdot x^2

eşitliğini kullanarak rasyonellik durumunu inceleyin.

3

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

Practice More

Benzer mantıkla

x^7

sayısının rasyonellik durumunu inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek kontrol etme:

x = \sqrt[3]{2}

olsun.

x^3 = 2

(Rasyonel),

x^2 = \sqrt[3]{4}

(İrrasyonel). Bu değer için şıkları test edebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 244Question →

Sadece $1$ 'e ve kendisine tam bölünebilen, $1$ 'den büyük doğal sayılara "asal sayı" denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir asal sayıdır?

1

9

15

2

21

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

İki sayısı en küçük asal sayıdır ve sadece bir ile kendisine bölünür.

İki sayısı, asal sayı tanımına tam olarak uyar;

1

'den büyüktür ve çarpanları sadece

1

ve

2

'dir. Ayrıca çift olan tek asal sayı olması bakımından özel bir yere sahiptir.

Step-by-Step Solution

1

Asal sayı tanımını kontrol etme

Asal sayılar

1

'den büyük olmalı ve sadece iki böleni (

1

ve kendisi) olmalıdır.

Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek için önce tanıma uygunluğu kontrol edilir.

2

Seçeneklerdeki sayıların bölenlerini inceleme

1

: Asal değildir (

1

'den büyük olmalı).

9

:

1, 3, 9

(Bölen sayısı 2'den fazla).

15

:

1, 3, 5, 15

(Bölen sayısı 2'den fazla).

21

:

1, 3, 7, 21

(Bölen sayısı 2'den fazla).

2

:

1, 2

(Sadece iki böleni var).

Tanıma uyan tek sayıyı bulmak için her sayının çarpanlarına bakılır.

Key Concept

Asal sayıların tanımı ve en küçük asal sayı olan 2'nin özelliği.

Hints

1

Asal sayılar

1

'den başlamaz,

2

ile başlar.

2

Seçeneklerdeki tek sayıların

3

'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.

3

Çift sayılar arasında sadece

2

asaldır, diğer tüm çift sayılar

2

'ye bölündüğü için asal olamazlar.

Practice More

İki basamaklı en küçük ve en büyük asal sayıları bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Sayıları çarpanlarına ayırarak (bölen listesi yaparak) sadece iki böleni olanı işaretleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 245Question →

A

ve

B

pozitif tam sayılar olmak üzere,

21! \cdot A = B^3

eşitliğini sağlayan en küçük

A

sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

46

65

67

70

77

Show answer & explanation

Answer: 65

Answer

65

21! sayısının asal çarpanlarını incelediğimizde, üsleri 3'ün katı olmayan asallar 5, 11, 13, 17 ve 19'dur. Bu asalları tamamlayacak en küçük A sayısının asal çarpanları da bu sayılardır. Toplamları

5+11+13+17+19=65

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

21! sayısının asal çarpanlarının kuvvetlerini Legendre formülü ile hesapla.

2^{18} \cdot 3^9 \cdot 5^4 \cdot 7^3 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1

Bir sayının tam küp olabilmesi için tüm asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı olması gerekir.

2

Küp olma şartını sağlamayan (üssü 3'ün katı olmayan) asal çarpanları belirle.

5 (üssü 4), 11 (üssü 1), 13 (üssü 1), 17 (üssü 1), 19 (üssü 1). (2'nin üssü 18 ve 3'ün üssü 9, 7'nin üssü 3 zaten 3'ün katıdır).

Tam küp olması için eksik kuvvetleri A sayısı tamamlamalıdır.

3

A sayısının içermesi gereken en küçük asal çarpanları belirle.

A = 5^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2

olmalıdır (üsleri 3'ün katına tamamlamak için).

5^4 \cdot 5^2 = 5^6

,

11^1 \cdot 11^2 = 11^3

vb. hepsi küp olur.

4

A sayısının farklı asal çarpanlarını topla.

5 + 11 + 13 + 17 + 19 = 65

Soru bizden A'nın değerini değil, asal çarpanlarının toplamını istemektedir.

Key Concept

Asal Çarpanlara Ayırma ve Tam Kuvvet Özellikleri

Hints

1

Önce 21! sayısını asal çarpanlarına ayırın (Legendre formülünü kullanın).

2

Bir sayının tam küp (

B^3

) olabilmesi için, asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı (3, 6, 9...) olması gerekir.

3

21! içinde üssü 3'ün katı olmayan asalları bulun. A sayısı bu eksik üsleri tamamlamalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla

n! \cdot x = y^2

(tam kare) yapan en küçük x değerini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Asalları tek tek kontrol etmek yerine, sadece 'kritik' asallara (üssü 3'ün katı olma ihtimali düşük olan büyük asallara) odaklanıp, küçük asalları (2, 3, 5, 7) kontrol ederek hız kazanılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 246Question →

x_1

ve

x_2

birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, kökleri

x_1

ve

x_2

olan

x^2 - Mx + N = 0

ikinci dereceden denklemi veriliyor.

M + N = 41

olduğuna göre, $N - M$ farkı kaçtır?

9

11

13

15

19

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Doğru cevap 11'dir.

Verilen denklemde kök-katsayı bağıntıları kullanıldığında

M

kökler toplamı,

N

ise kökler çarpımıdır.

x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41

eşitliğinde her iki tarafa 1 eklenirse

(x_1+1)(x_2+1)=42

elde edilir. Köklerin asal sayı olma şartını sağlayan tek çözüm

x_1=2

ve

x_2=13

değerleridir. Buradan

N=26

ve

M=15

bulunur, farkları 11'dir.

Step-by-Step Solution

1

İkinci dereceden denklem özelliklerini (kök-katsayı bağıntıları) kullanın.

M = x_1 + x_2

(Kökler Toplamı) ve

N = x_1 \cdot x_2

(Kökler Çarpımı).

Verilen denklem

x^2 - (toplam)x + (çarpım) = 0

formatındadır.

2

Bulunan ifadeleri verilen eşitlikte yerine yazın.

x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41

M ve N değerlerini asal kökler cinsinden ifade edip çözüme gitmek için.

3

Eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek ifadeyi çarpanlarına ayırın (Simon Taktiği).

x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 42 \implies (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42

İki bilinmeyenli bir denklemde tamsayı/asal sayı çözümlerini bulmak için çarpım haline getirmek gerekir.

4

42 sayısının çarpanlarını inceleyerek

x_1

ve

x_2

'nin asal sayı olduğu durumu belirleyin.

Çarpan çiftleri: (1,42), (2,21), (3,14), (6,7). Asal sayı şartını sağlayan tek çift:

(3, 14) \implies x_1+1=3, x_2+1=14 \implies x_1=2, x_2=13

.

Diğer çarpanlar asal olmayan sayılar üretir (örn: 6 ve 7 seçilirse kökler 5 ve 6 olur, 6 asal değildir).

5

M ve N değerlerini hesaplayıp farkı bulun.

M = 2 + 13 = 15

,

N = 2 \cdot 13 = 26

. Sonuç:

N - M = 26 - 15 = 11

.

Soruda istenen nihai değeri bulmak için.

Key Concept

İkinci Dereceden Denklemler ve Asal Sayı Özellikleri

Hints

1

İkinci dereceden bir denklemde

M

katsayısı kökler toplamını,

N

katsayısı ise kökler çarpımını temsil eder.

2

Verilen

x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 41

eşitliğini çözmek için eşitliğin her iki tarafına 1 ekleyerek çarpanlara ayırmayı deneyin.

3

(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 42

eşitliğinde, çarpanlardan her birinin 'bir asal sayının 1 fazlası' olması gerektiğini unutmayın.

Practice More

Kökleri tamsayı olan benzer denklemlerde negatif köklerin de olabileceği durumları inceleyin.

Alternative Method

Deneme-Yanılma: 41 sayısı çok büyük olmadığı için, küçük asal sayıları (2, 3, 5, 7...) deneyerek

x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 41

eşitliğini sağlayan çift aranabilir.

x_1=2

için

2 + x_2 + 2x_2 = 41 \implies 3x_2 = 39 \implies x_2=13

. Her ikisi de asal olduğu için çözüm doğrulanır.

Estimated Time:2m 30s

Question 247Question →

x, y

ve

z

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x \cdot y^2 < 0

x - z > 0

x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

y \cdot z > 0

x + z > 0

x^2 < z^2

y < x

z - x > 0

Show answer & explanation

Answer: $x^2 < z^2$

Answer

Sayıların işaretleri ve sıralaması

z < x < 0 < y

şeklinde olduğundan,

x^2 < z^2

ifadesi doğrudur.

Verilen eşitsizliklerden

x

ve

z

'nin negatif,

y

'nin pozitif olduğu ve aralarındaki sıralamanın

z < x < 0 < y

olduğu anlaşılmaktadır. Negatif sayılarda sayı doğrusunda sola gidildikçe (sayı küçüldükçe) mutlak değer artar.

z < x < 0

olduğu için

|z| > |x|

olur ve her iki tarafın karesi alındığında

z^2 > x^2

(veya

x^2 < z^2

) eşitsizliği elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

x \cdot y^2 < 0

eşitsizliğini analiz etme.

y \neq 0

olduğu için

y^2 > 0

olur. Çarpımın negatif olması için

x < 0

olmalıdır.

Bir sayının çift kuvveti daima pozitiftir (0 hariç), bu bilgi

x

'in işaretini belirlemeyi sağlar.

2

x - z > 0

eşitsizliğinden

x

ve

z

arasındaki ilişkiyi bulma.

x > z

elde edilir.

x < 0

olduğunu bildiğimizden sıralama

z < x < 0

şeklindedir.

Negatif sayılarda sıralama belirlenerek

z

'nin

x

'ten daha küçük (mutlak değerce daha büyük) olduğu tespit edilir.

3

x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizliğini kullanarak

y

'nin işaretini bulma.

x

negatif ve

z

negatiftir, çarpımları

x \cdot z > 0

(pozitif) olur. Sonucun pozitif kalması için

y > 0

olmalıdır.

İşaret kuralına göre (-) ile (-)'nin çarpımı (+)'dır.

4

Elde edilen

z < x < 0 < y

sıralamasına göre seçenekleri değerlendirme.

z < x < 0

olduğu için

z

'nin mutlak değeri

x

'ten büyüktür (

|z| > |x|

). Bu nedenle kareleri alındığında

z^2 > x^2

olur.

Negatif sayılarda 0'dan uzaklaştıkça sayı küçülür ancak karesi büyür.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama ve kuvvet alma ilişkisi

Hints

1

Önce

x \cdot y^2 < 0

eşitsizliğine bakarak

y

'nin çift kuvvetinin işaretini düşünün ve

x

'in işaretini belirleyin.

2

x

'in negatif olduğunu bulduktan sonra,

x - z > 0

eşitsizliğinden

z

'nin

x

'e göre konumunu (büyüklük/küçüklük) belirleyin.

3

z < x < 0

sıralamasını bulduktan sonra, negatif sayıların karelerinin nasıl sıralanacağını hatırlayın (örneğin -5 ve -2 vererek deneyin).

Practice More

Benzer mantıkla,

x < y < 0 < z

verildiğinde

\frac{x-z}{y}

ifadesinin işaretini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin

y=1

olsun (pozitif).

x \cdot 1^2 < 0 \implies x=-2

olsun.

x - z > 0 \implies -2 > z

, buradan

z=-5

seçilebilir. Çarpım kontrolü:

(-2)(1)(-5) = 10 > 0

(sağlıyor). Bu değerler için seçenekler test edilebilir:

x^2=4, z^2=25 \implies 4 < 25

.

Estimated Time:2m 0s

Question 248Question →

a, b

ve

c

pozitif tam sayılar olmak üzere,

a \cdot b + c

ifadesinin tek sayı,

a + b \cdot c

ifadesinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

a + b

b \cdot c

a + c

a \cdot c + b

c + 1

Show answer & explanation

Answer: a + c

Answer

a çift ve c tek sayı olduğundan a + c ifadesi daima tek sayıdır.

Verilen iki eşitliği aynı anda sağlayan tek durum a'nın çift, b'nin çift ve c'nin tek sayı olduğu durumdur. Buna göre 'a + c' ifadesi (Çift + Tek) daima tek sayı sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci ifadenin (

a \cdot b + c

) tek sayı olma durumunu analiz et.

İki durum mümkündür: 1)

a \cdot b

çift,

c

tek veya 2)

a \cdot b

tek,

c

çift.

Toplamın tek olması için terimlerden biri tek, diğeri çift olmalıdır.

2

İkinci ifadenin (

a + b \cdot c

) çift sayı olma durumunu birinci adımdaki senaryolarla test et.

Sadece (

a

çift,

b

çift,

c

tek) durumu her iki koşulu da sağlar.

Eğer

c

çift olsaydı (Durum 2),

a

ve

b

tek olurdu. Bu durumda

a + b \cdot c = T + T \cdot Ç = T + Ç = T

olurdu, ancak sonucun çift olması gerekiyor. Bu nedenle Durum 2 elenir.

3

Doğrulanan tek senaryo (

a

çift,

b

çift,

c

tek) için şıkları kontrol et.

a+c

ifadesi Çift + Tek = Tek sonucunu verir.

Diğer tüm seçenekler çift sayı sonucu üretmektedir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri (Parite Analizi)

Hints

1

Birinci ifadenin tek sayı olması için terimlerin (a.b ve c) teklik-çiftlik durumları zıt olmalıdır.

2

İkinci ifadenin sonucunun çift olması için 'a' ile 'b.c' aynı türden olmalıdır. c'nin çift olduğu senaryoyu test edin, eğer çelişki çıkarsa c kesinlikle tektir.

3

c tek sayı ise, birinci ifadeden a.b çift olmalı. İkinci ifadeye c=Tek koyarsanız a + b = Çift olur. Bu sadece a=Çift ve b=Çift durumunda sağlanır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, üç sayının çarpımı ve toplamının paritesi verilen soruları inceleyin.

Estimated Time:2m 0s

Question 249Question →

x, y

ve

z

asal sayılardır.

z = 13 \cdot (x - y)

olduğuna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

16

18

22

24

30

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Toplamın değeri 18'dir.

Verilen

z = 13 \cdot (x - y)

eşitliğinde,

z

asal olduğu için çarpanlardan biri zorunlu olarak 1 olmalıdır.

13

asal bir sayı olduğundan 1 olamaz, bu nedenle

(x - y) = 1

ve

z = 13

olmalıdır. Asal sayılar içinde farkı 1 olan tek çift 3 ve 2'dir. Böylece

x=3, y=2, z=13

bulunur ve toplamları 18 eder.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliği ve asal sayı tanımını analiz et.

z = 13 \cdot (x - y)

eşitliğinde

z

bir asal sayı olduğundan, pozitif çarpanları sadece 1 ve kendisidir.

Asal sayıların tanımı gereği.

2

Çarpanları belirle.

Eşitliğin sağ tarafında 13 çarpanı vardır.

z

asal olduğu için,

z

mutlaka 13 olmalıdır. Bu durumda diğer çarpan olan

(x - y)

ifadesi 1'e eşit olmalıdır.

Eğer

x-y

1'den büyük bir tam sayı olsaydı,

z

sayısı 13'ün katı olurdu ve asal olmazdı (z=13 durumu hariç).

3

x

ve

y

değerlerini bul.

x - y = 1

eşitliğini sağlayan asal sayılar aranır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayı çifti 3 ve 2'dir (

3 - 2 = 1

). Dolayısıyla

x=3

ve

y=2

olur.

2 hariç tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.

4

Toplamı hesapla.

x + y + z = 3 + 2 + 13 = 18

bulunur.

Bulunan değerlerin toplanması.

Key Concept

Asal Sayıların Çarpanları ve Ardışık Asallar

Hints

1

Bir asal sayının çarpanları sadece 1 ve kendisidir.

2

13 \cdot (x-y)

ifadesinin asal olması için

(x-y)

kaç olmalıdır?

3

Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Practice More

Ardışık sayıların ve asal sayıların özelliklerini birleştiren benzer sorular çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 250Question →

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+1)! - n!} = \frac{15}{2}

olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Verilen denklem sadeleştirildiğinde n değeri 2 olarak bulunur.

İfadenin payı

(n+1)!

parantezine alındığında

(n+1)!(n+3)

, paydası ise

n!

parantezine alındığında

n! \cdot n

elde edilir.

(n+1)!

ifadesi

(n+1) \cdot n!

şeklinde açılıp

n!

terimleri sadeleştirildiğinde denklem

(n+1)(n+3)/n = 15/2

halini alır. Bu denklem çözüldüğünde n tam sayısı 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Pay ve paydadaki ifadeleri ortak faktöriyel parantezine alın.

Pay:

(n+1)!(n+2+1) = (n+1)!(n+3)

Payda:

n!(n+1-1) = n! \cdot n

İfadedeki karmaşıklığı azaltmak ve sadeleştirme yapabilmek için en küçük faktöriyel terimi cinsinden yazmak gerekir.

2

Pay kısmındaki

(n+1)!

ifadesini

n!

cinsinden açarak sadeleştirme yapın.

\frac{n!(n+1)(n+3)}{n! \cdot n} = \frac{(n+1)(n+3)}{n}

n!

terimleri birbirini götürerek rasyonel bir ifade elde edilmesini sağlar.

3

Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyin.

\frac{n^2 + 4n + 3}{n} = \frac{15}{2} \Rightarrow 2n^2 + 8n + 6 = 15n

Kesirli ifadeyi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirmek için bu işlem uygulanır.

4

Denklemi sıfıra eşitleyin ve çarpanlarına ayırın.

2n^2 - 7n + 6 = 0 \Rightarrow (2n - 3)(n - 2) = 0

Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

5

Bulunan köklerden pozitif tam sayı olanı belirleyin.

n_1 = \frac{3}{2}

ve

n_2 = 2

.

n

bir tam sayı olduğu için

n = 2

.

Soruda n değerinin bir pozitif tam sayı olması gerektiği belirtilmiştir.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimler en küçük olanın parantezine alınır.

Hints

1

Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük olan

n!

cinsinden yazmayı deneyin.

2

(n+2)! = (n+2)(n+1)n!

ve

(n+1)! = (n+1)n!

dönüşümlerini yapın.

3

Sadeleştirmelerden sonra elinizde

n

cinsinden rasyonel bir ifade kalacak, içler dışlar çarpımı yaparak

n

değerini bulun.

Practice More

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük terimi referans alarak paranteze alma işlemini pekiştirmek için benzer oran soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yoluyla hangi değerin 7,5 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz. Örneğin

n=2

için

(24+6)/(6-2) = 30/4 = 7,5

olduğu görülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 251Question →

\frac{7! - 6! - 5!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?

34

35

36

41

42

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

İşlemin sonucu 35'tir.

Verilen işlemde pay kısmındaki her bir terim

5!

cinsinden ifade edilebilir.

7! = 42 \times 5!

ve

6! = 6 \times 5!

şeklinde yazıldığında pay kısmı

42 \times 5! - 6 \times 5! - 1 \times 5!

olur. Bu ifade

5!

parantezine alındığında

5! \times (42 - 6 - 1)

elde edilir. Paydadaki

5!

ile sadeleştiğinde geriye

42 - 7 = 35

kalmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Payda bulunan büyük faktöriyelli ifadeleri, paydadaki en küçük terim olan

5!

cinsinden parçalayarak yazın.

7! = 7 \times 6 \times 5! = 42 \times 5!

ve

6! = 6 \times 5!

Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için tüm terimleri en küçük faktöriyel cinsinden ifade etmek işlem kolaylığı sağlar.

2

Elde edilen bu ifadeleri orijinal denklemde pay kısmına yerleştirin.

\frac{42 \times 5! - 6 \times 5! - 1 \times 5!}{5!}

Tüm terimlerin ortak bir çarpan (

5!

) üzerinden görülmesini sağlar.

3

Pay kısmını

5!

ortak çarpan parantezine alın ve paydadaki

5!

ile sadeleştirin.

\frac{5! \times (42 - 6 - 1)}{5!} = 42 - 6 - 1

Çarpım durumundaki aynı ifadeler sadeleşerek değişkeni ortadan kaldırır ve geriye sadece tam sayılar kalır.

4

Kalan sayısal değerlerle toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.

42 - 7 = 35

İşlem önceliğine ve terimlerin işaretlerine dikkat ederek sonuca ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

Hints

1

Faktöriyel sorularında sadeleştirme yapmak için her zaman büyük sayıları küçük sayılara benzeterek açmaya çalışın.

2

7!

sayısını

7 \times 6 \times 5!

ve

6!

sayısını

6 \times 5!

olarak yazarak payı yeniden düzenleyin.

3

Pay kısmını

5!

ortak parantezine aldığınızda parantez içinde

42 - 6 - 1

kalacağını göreceksiniz. Buradaki '1' sayısı, en sondaki

5!

teriminden gelmektedir.

Practice More

İçinde 0! (0 faktöriyel) bulunan sadeleştirme sorularını çözerek 0!'in 1'e eşit olduğu kuralını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sayıların değerleri çok büyük olmadığı için doğrudan hesaplama da yapılabilir:

7! = 5040

,

6! = 720

,

5! = 120

. Buradan

(5040 - 720 - 120) / 120 = 4200 / 120 = 35

sonucuna ulaşılır.

Estimated Time:1m 0s

Question 252Question →

1'den başlayan ilk $n$ ardışık tek doğal sayının toplamı $T$ , 2'den başlayan ilk $m$ ardışık çift doğal sayının toplamı $Ç$ olarak tanımlanmıştır.

Ç - T = 41

m - n = 2

Bu bilgilere göre, $T + Ç$ toplamının değeri kaçtır?

119

129

139

149

159

Show answer & explanation

Answer: 139

Answer

Doğru cevap 139'dur.

Ardışık tek ve çift sayıların toplam formülleri ile kurulan cebirsel denklemin çözülmesi gerekir.

n

terimli tek sayıların toplamı

n^2

,

m

terimli çift sayıların toplamı

m(m+1)

'dir.

m=n+2

bağıntısı kullanılarak denklem çözüldüğünde

n=7

ve

m=9

bulunur. Buradan

T=49

ve

Ç=90

elde edilir; toplamları 139'dur.

Step-by-Step Solution

1

Tek ve çift sayıların toplam formüllerini değişkenler cinsinden yaz.

T = 1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2

ve

Ç = 2 + 4 + \dots + 2m = m(m+1)

Ardışık tek sayıların toplamı

n^2

, ardışık çift sayıların toplamı

m(m+1)

formülü ile bulunur.

2

Verilen ikinci eşitliği (

m-n=2

) kullanarak formülleri tek değişkene indirge.

m = n + 2

olduğu için

Ç = (n+2)(n+3)

olur.

İki bilinmeyenli denklemi çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

3

Elde edilen ifadeleri fark denkleminde (

Ç - T = 41

) yerine koy ve

n

değerini bul.

(n+2)(n+3) - n^2 = 41 \Rightarrow (n^2 + 5n + 6) - n^2 = 41 \Rightarrow 5n = 35 \Rightarrow n = 7

Denklem çözülerek terim sayısı bulunur.

4

n

ve

m

değerlerini kullanarak

T

ve

Ç

değerlerini hesapla.

n=7

ise

T = 7^2 = 49

.

m = 7+2=9

ise

Ç = 9(10) = 90

.

Toplam değerlerini bulmak için bulunan terim sayıları formüllerde yerine yazılır.

5

Sonuçları topla.

T + Ç = 49 + 90 = 139

Soruda istenen nihai toplam değeri bulunur.

Key Concept

Ardışık tek sayıların toplamı

n^2

, ardışık çift sayıların toplamı

n(n+1)

formülleriyle hesaplanır.

Hints

1

1'den başlayan

n

tane ardışık tek sayının toplamı

n^2

, 2'den başlayan

m

tane ardışık çift sayının toplamı

m(m+1)

formülüyle bulunur.

2

m - n = 2

eşitliğinden

m

yerine

n+2

yazarak,

Ç

formülünü

n

cinsinden ifade edin.

3

(n+2)(n+3) - n^2 = 41

denklemini açarak

n

'yi bulun.

Practice More

Ardışık sayıların toplamında Gauss metodunun (

\frac{n(n+1)}{2}

) kullanıldığı genel aritmetik dizi sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, şıklardan veya tahminden gitmek yerine farkın 41 olmasını sağlayan kare sayı (

n^2

) ve dikdörtgensel sayı (

m(m+1)

) çiftlerini arayabilirsiniz. Örneğin

n=5

için

T=25

,

m=7

için

Ç=56

, fark 31 (az).

n

sayısını biraz artırın.

Estimated Time:2m 30s

Question 253Question →

$a, b$ ve $c$ birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

a^3 - b^3 = c

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

a + b + c

toplamı kaçtır?

20

22

24

28

34

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Toplamın sonucu 24'tür.

Verilen küp farkı ifadesi

(a-b)(a^2+ab+b^2)=c

şeklinde açıldığında,

c

asal olduğu için çarpanlardan küçüğü olan

(a-b)

mutlaka 1'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir (

a=3, b=2

). Bu değerler yerine konulduğunda

c=19

bulunur. Toplamları

3+2+19=24

eder.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

a^3 - b^3 = c

ifadesini iki küp farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırırız.

(a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2) = c

Asal sayı olan

c

'nin çarpanlarını görebilmek için ifadeyi çarpım durumuna getirmek gerekir.

2

c

bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri ise kendisi olmalıdır. İki parantezden hangisinin 1 olacağını belirleriz.

a

ve

b

asal sayı olduklarından (en az 2), ikinci çarpan

a^2 + ab + b^2

kesinlikle 1'den büyüktür. Bu durumda zorunlu olarak

a - b = 1

olmalıdır.

Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir.

3

Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları tespit ederiz.

Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. Dolayısıyla

a = 3

ve

b = 2

olur.

2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. İki tek sayının farkı çift (en az 2) olacağından, farkın 1 olabilmesi için sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır.

4

a

ve

b

değerlerini yerine koyarak

c

sayısını bulur ve asal olup olmadığını kontrol ederiz.

c = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19

. 19 bir asal sayıdır, şart sağlanır.

Denklemdeki eşitliğin doğruluğunu ve

c

'nin asal olma şartını teyit etmek.

5

Bulunan

a, b, c

değerlerini toplarız.

a + b + c = 3 + 2 + 19 = 24

.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki küp farkı özdeşliği.

Hints

1

a^3 - b^3

ifadesini çarpanlarına ayırmayı dene:

(a-b)(a^2+ab+b^2)

.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki

c

sayısı bir asal sayıdır. Bir asal sayının pozitif tam sayı çarpanları neler olabilir? Bu çarpanlardan biri ifadedeki

(a-b)

olabilir mi?

3

(a-b)

ifadesi 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar hangileridir?

Practice More

İki kare farkı içeren ve sonucun asal sayı olduğu benzer sorular çözülebilir (

a^2 - b^2 = p

).

Estimated Time:2m 0s

Question 254Question →

a

ve

b

aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,

6ab + 4a - 9b = 146

eşitliği veriliyor. Buna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

11

13

23

34

48

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

a ve b sayılarının toplamı 11'dir.

Verilen eşitlik

(2a - 3)(3b + 2) = 140

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

2a-3

terimi tek sayı olmak zorundadır. 140'ın tek bölenleri denendiğinde

a=2, b=46

ve

a=5, b=6

çözümleri bulunur. Soruda sayıların 'aralarında asal' olduğu belirtildiği için (2, 46) elenir. Geriye kalan (5, 6) çifti için toplam 11'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırabilmek için gruplandırma yöntemi uygula.

2a(3b + 2) - 3(3b) = 146

formuna benzetmeye çalış.

a

ve

b

bilinmeyenlerini çarpım durumuna getirerek tam sayı çarpanlarını inceleyebilmek için.

2

Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkararak tam çarpanlara ayırma işlemini tamamla.

6ab + 4a - 9b - 6 = 146 - 6 \Rightarrow 2a(3b + 2) - 3(3b + 2) = 140 \Rightarrow (2a - 3)(3b + 2) = 140

Ortak paranteze alarak ifadeyi iki tam sayının çarpımı haline getirmek için.

3

140 sayısının çarpanlarını,

2a-3

ifadesinin tek sayı olması şartına göre analiz et.

2a

çift olduğu için

2a-3

tek sayı olmalıdır. 140'ın tek çarpanları: 1, 5, 7, 35.

Olası durum sayısını azaltmak ve tam sayı şartını sağlamak için.

4

Olası çarpan çiftlerini (2, 46) ve (5, 6) bul ve 'aralarında asal' şartını kontrol et.

1. Durum:

2a-3=1 \Rightarrow a=2

,

3b+2=140 \Rightarrow b=46

. (2 ve 46 aralarında asal DEĞİL).
2. Durum:

2a-3=7 \Rightarrow a=5

,

3b+2=20 \Rightarrow b=6

. (5 ve 6 aralarında asal, EBOB=1).

Soruda verilen 'aralarında asal' kısıtlamasını sağlayan tek doğru çifti belirlemek için.

5

Bulunan doğru

a

ve

b

değerlerini topla.

a = 5

ve

b = 6

ise

a + b = 11

.

Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Bu soru, cebirsel ifadelerin çarpanlara ayrılması (gruplandırma tekniği) ile aralarında asal sayıların özelliklerinin sentezini gerektirir.

Hints

1

İfadeyi çarpanlarına ayırabilmek için

a

parantezine almayı dene ve

b

'li terimin katsayısına dikkat et.

2

2a(3b + 2)

ifadesini oluşturmak için eşitliğin her iki tarafından bir sayı çıkarman gerekebilir.

(2a - 3)(3b + 2)

yapısına ulaşmaya çalış.

3

Elde ettiğin çarpım 140'a eşittir.

2a - 3

ifadesinin mutlaka tek sayı olması gerektiğini unutma ve buna uygun çarpanları dene.

Practice More

x^2 - y^2 = 60

ve

x,y

aralarında asal ise

x

kaçtır? gibi çarpanlara ayırma ve sayı teorisi içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi ile,

a

'nın küçük asal değerleri (2, 3, 5...) için denklemde

b

'nin tam sayı ve aralarında asal olup olmadığı test edilebilir, ancak bu yöntem zaman alıcıdır.

Estimated Time:4m 0s

Question 255Question →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x^5 \cdot y^4 < 0

y \cdot z^3 > 0

x + z > 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\frac{x - y}{z} < 0

x \cdot y > 0

y + z < 0

z - x < 0

x^2 \cdot z < 0

Show answer & explanation

Answer: $\frac{x - y}{z} < 0$

Answer

İfade edilen koşullar altında kesinlikle doğru olan seçenek

\frac{x - y}{z} < 0

ifadesidir.

Verilen eşitsizliklerden

x

'in negatif,

y

ve

z

'nin pozitif olduğu tespit edilmiştir. Doğru seçenekteki kesirli ifadede, pay kısmı (

x-y

) iki terimin farkıdır. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sonuç daima negatiftir. Payda (

z

) ise pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü negatif olacağından, bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

İlk eşitsizliği analiz etme

x^5 \cdot y^4 < 0

ifadesinde

y

sıfırdan farklı olduğu için çift kuvveti

y^4

daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için

x^5 < 0

olmalıdır. Tek kuvvet işaret değiştirmediği için

x < 0

(negatif) sonucuna ulaşılır.

Çift kuvvetlerin pozitifliği ve çarpım kuralı

2

İkinci eşitsizliği ve işaret ilişkisini belirleme

y \cdot z^3 > 0

ifadesinde,

z^3

ile

z

aynı işarete sahiptir. Sonucun pozitif olması için

y

ve

z

aynı işaretli olmalıdır (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif).

Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir kuralı

3

Üçüncü eşitsizliği kullanarak kesin işaretleri bulma

x + z > 0

verilmiştir.

x

'in negatif olduğunu biliyoruz (

x < 0

). Eğer

z

negatif olsaydı, iki negatif sayının toplamı negatif olurdu. Toplamın pozitif olabilmesi için

z

kesinlikle pozitif (

z > 0

) olmalıdır. Buna bağlı olarak,

y

ve

z

aynı işaretli olduğundan

y

de pozitiftir (

y > 0

).

Toplama işleminde işaret analizi

4

Bulunan işaretlere göre seçenekleri değerlendirme

İşaretler:

x(-), y(+), z(+)

. Doğru seçenekteki

\frac{x - y}{z}

ifadesi için: Pay (

x - y

) negatiftir (negatif sayıdan pozitif çıkarsa sonuç negatiftir). Payda (

z

) pozitiftir. Negatifin pozitife bölümü negatiftir (

< 0

). Bu ifade kesinlikle doğrudur.

Cebirsel ifadelerde işaret kontrolü

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Sistemleri

Hints

1

Önce çift kuvvet içeren terimden başlayarak işaretleri belirlemeye çalışın.

y^4

daima pozitiftir.

2

x+z > 0

eşitsizliğinde,

x

'in negatif olduğunu bulduktan sonra

z

'nin işareti hakkında ne söyleyebilirsiniz?

3

Bulduğunuz işaretler:

x

negatif,

y

ve

z

pozitiftir. Şimdi seçeneklerdeki işlemlerin sonucunun işaretini bu bilgilere göre test edin.

x - y

işlemi (Negatif) - (Pozitif) şeklindedir.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde işaret incelemesi yapan benzer sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde düşünme:

x < 0

ve

x + z > 0

olduğu için

z

,

x

'in mutlak değerinden daha büyük bir pozitif sayıdır.

y

ve

z

aynı işaretli olduğundan

y

de sağ taraftadır. Sayı doğrusunda

x

solda,

0

ortada,

y

ve

z

sağdadır.

Estimated Time:2m 30s

Question 256Question →

$x, y$ ve $z$ birbirinden farklı asal sayılardır.

x + 13z = 13y

olduğuna göre, $x \cdot y \cdot z$ çarpımı kaçtır?

26

39

52

78

91

Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

Verilen şartları sağlayan asal sayıların çarpımı 78'dir.

Verilen denklem

x = 13(y - z)

biçiminde yazılabilir.

x

bir asal sayı olduğu için, sağ taraftaki çarpanlardan birinin

1

olması zorunludur. Eğer

13

asal çarpan ise, diğer çarpan olan

(y - z)

ifadesi

1

'e eşit olmalıdır. Aralarındaki fark

1

olan tek asal sayı çifti

3

ve

2

olduğu için

y=3

ve

z=2

bulunur. Buradan

x=13

elde edilir. Sayıların çarpımı

13 \times 3 \times 2 = 78

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Denklemi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.

x = 13y - 13z \Rightarrow x = 13(y - z)

x

değişkenini tek başına bırakmak, çarpanlar üzerinden yorum yapmayı sağlar.

2

x

sayısının asal olma şartını analiz edin.

y - z = 1

olmalıdır.

x

bir asal sayı ve

13

de bir asal sayı olduğuna göre,

x = 13 \cdot (y-z)

ifadesinde

(y-z)

çarpanı

1

'den farklı bir tam sayı olursa

x

sayısı asal olamaz (13'ün katı bir bileşik sayı olur).

3

Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları belirleyin.

y = 3

ve

z = 2

Aralarındaki fark 1 olan yegâne asal sayı çifti 3 ve 2'dir (çünkü diğer tüm asal sayılar tektir ve farkları çifttir).

4

x

değerini hesaplayın.

x = 13 \cdot (3 - 2) = 13

y-z=1

eşitliği denklemde yerine konur.

5

İstenen çarpımı bulun.

x \cdot y \cdot z = 13 \cdot 3 \cdot 2 = 78

Bulunan

x, y, z

değerleri çarpılır.

Key Concept

Asal sayılar kümesinde aralarındaki fark 1 olan tek çift

(3, 2)

çiftidir.

Hints

1

Denklemi

x

ifadesini yalnız bırakacak şekilde düzenlemeyi deneyin.

2

x = 13(y - z)

eşitliğinde

x

asal olduğuna göre,

y - z

farkının kaç olması gerektiğini düşünün.

3

Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları hatırlayın: Sadece 3 ve 2 bu şartı sağlar.

Practice More

Benzer şekilde

x

ve

y

asal sayıları için

x^2 - y^2 = 13

gibi farkı asal olan denklem sorularını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 257Question →

Sıfırdan farklı

x, y

ve

z

gerçel sayıları için;

x \cdot y < 0

y \cdot z > 0

x + z = 0

y - x < 0

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

y^2 < x^2

x \cdot z > y

x - y > z

z + y > 0

x + y < 0

Show answer & explanation

Answer: $x - y > z$

Answer

x - y > z

ifadesi daima doğrudur.

Verilen eşitsizlikler incelendiğinde

x

'in pozitif,

y

ve

z

'nin negatif olduğu kesinleşir. Doğru seçenekte verilen

x - y > z

ifadesinde; sol taraf (

x - y

) pozitif bir sayıdan negatif bir sayının çıkarılmasıdır, yani sonuç pozitiftir. Sağ taraf (

z

) ise negatiftir. Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyük olacağından bu ifade daima doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

x + z = 0

eşitliğini analiz et.

x = -z

olduğu için

x

ve

z

ters işaretlidir ve mutlak değerleri eşittir (

|x| = |z|

).

Toplamları sıfır olan sıfırdan farklı iki sayı zıt işaretli olmalıdır.

2

y \cdot z > 0

eşitsizliğini kullanarak işaretleri ilişkilendir.

y

ve

z

aynı işaretlidir.

Çarpımları pozitif olan sayılar aynı işarete sahiptir.

3

y - x < 0

eşitsizliğini kullanarak durum analizi yap (Hipotez Testi).

x > 0

olmalıdır. Çünkü eğer

x < 0

olsaydı;

z

pozitif (Ters işaret), dolayısıyla

y

pozitif (z ile aynı) olurdu. Bu durumda

y

pozitif,

x

negatif iken

y > x

olurdu ki bu da

y - x < 0

(

y < x

) şartıyla çelişir.

Çelişki yöntemiyle

x

'in işaretini kesinleştirmek.

4

Tüm işaretleri belirle.

x

pozitif (+),

z

negatif (-),

y

negatif (-).

x > 0

bulununca diğerleri zincirleme olarak ortaya çıkar.

5

Doğru seçeneği (

x - y > z

) değerlendir.

x

pozitif ve

y

negatiftir, bu yüzden

x - y

işlemi

x + |y|

anlamına gelir ve sonucu kesinlikle pozitiftir. Eşitsizliğin sağ tarafındaki

z

ise negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.

İşaret analizi sonucunda kesin yargıya varmak.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Sistemleri

Hints

1

x + z = 0

eşitliği, bu iki sayının ters işaretli olduğunu gösterir.

2

y - x < 0

eşitsizliğinden

y < x

olduğu anlaşılır.

x

negatif olsaydı, diğer koşullarla birlikte bir çelişki doğup doğmayacağını kontrol edin.

3

Eğer

x

negatif olsaydı,

z

pozitif ve

y

pozitif olurdu. Bu durumda

y

(pozitif) sayısı

x

(negatif) sayısından küçük olamazdı. Demek ki

x

pozitif,

y

ve

z

negatiftir.

Estimated Time:2m 30s

Question 258Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde düzenleme çalışmaları kapsamında dosyalar, küçükten büyüğe doğru ardışık çift tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu serideki son 4 dosya numarasının toplamı, ilk 4 dosya numarasının toplamından $128$ fazladır. Tüm dosyaların numaraları toplamı $780$ olduğuna göre, baştan $15.$ sıradaki dosyanın numarası kaçtır?

44

46

48

50

52

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Baştan 15. sıradaki dosyanın numarası 48'dir.

Ardışık çift sayılar dizisinde son 4 ve ilk 4 terim arasındaki fark, dizinin uzunluğunu (terim sayısını) verir. Bulunan terim sayısı ve toplam formülü yardımıyla ilk terim (

a=20

) hesaplanır. İstenen 15. terim, genel terim formülü

a_{15} = a + 14d

kullanılarak

20 + 28 = 48

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin genel terimlerini ve verilen fark bilgisini denkleme dök

İlk terim

a

, son terim

l

, artış miktarı

2

olsun. İlk 4 terim toplamı:

4a + 12

. Son 4 terim toplamı:

4l - 12

. Fark:

(4l - 12) - (4a + 12) = 128 \Rightarrow 4(l-a) = 152 \Rightarrow l - a = 38

.

Ardışık çift sayıların toplam farkından, ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.

2

Terim sayısı (

n

) ile ilk ve son terim arasındaki ilişkiyi kur

Genel terim formülünden

l = a + (n-1)2

olduğu için

l - a = 2(n-1)

olur. Buradan

2(n-1) = 38 \Rightarrow n-1 = 19 \Rightarrow n = 20

bulunur.

Dosya sayısı (

n

) bilinmeden spesifik bir terim bulunamaz.

3

Toplam formülünü kullanarak ilk terimi (

a

) bul

Toplam formülü

S_n = \frac{n}{2}(a + l) = 780

. Değerleri yerine koyarsak:

10(a + l) = 780 \Rightarrow a + l = 78

. Elimde iki denklem var:

l - a = 38

ve

l + a = 78

. Taraf tarafa toplarsak

2l = 116 \Rightarrow l = 58

. Buradan

a = 20

bulunur.

Dizinin başlangıç noktasını belirlemek için toplam bilgisini kullanmak şarttır.

4

İstenen 15. terimi hesapla

a_{15} = a + (15-1) \cdot 2 = 20 + 14 \cdot 2 = 20 + 28 = 48

.

Başlangıç değeri ve artış miktarı bilindiğinde herhangi bir terim hesaplanabilir.

Key Concept

Sonlu aritmetik dizilerde toplam farkı ve genel terim ilişkisi.

Hints

1

Son 4 terimin toplamı ile ilk 4 terimin toplamı arasındaki farkı, ilk terim (

a

) ve son terim (

l

) cinsinden ifade etmeye çalışın.

2

Son 4 terim:

l, l-2, l-4, l-6

ve İlk 4 terim:

a, a+2, a+4, a+6

. Bunların toplamlarının farkı

4(l-a) - 24 = 128

denklemini verir.

3

Bulduğunuz

l-a=38

eşitliği ile

l = a + (n-1)2

bilgisini birleştirerek terim sayısı

n

'i bulun (

n=20

). Sonra toplam formülünden

a

'yı çekin.

Practice More

Benzer mantıkla, ardışık tek sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Ortalama Yöntemi: Her bir 'son' terim ile karşılık gelen 'ilk' terim arasındaki fark

(l-a)

kadardır demek zordur ama simetriyi kullanabilirsiniz. Daha basiti: Son 4 terim ile ilk 4 terimi eşleştirirseniz (1. ile n., 2. ile n-1. gibi değil, direkt kaydırma), farkın her bir terim çifti için eşit dağıldığını görebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question 259Question →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{n! + (n+1)! + (n+2)!}{n! + (n+1)!} = 3n - 12

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Eşitliği sağlayan

n

değeri 7'dir.

Verilen kesirli ifade sadeleştirildiğinde

n+2

sonucu elde edilir. Bu ifade

3n-12

'ye eşitlendiğinde

n=7

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine (

n!

) alarak düzenle.

Pay:

n![1 + (n+1) + (n+1)(n+2)]

Payda:

n![1 + (n+1)]

Faktöriyel içeren toplama işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.

2

Parantez içindeki cebirsel ifadeleri düzenle ve tam kare özdeşliğini fark et.

Pay:

n![1 + n + 1 + n^2 + 3n + 2] = n![n^2 + 4n + 4] = n!(n+2)^2

Payda:

n![n+2]

n^2 + 4n + 4

ifadesi

(n+2)^2

tam karesidir.

3

Kesirli ifadeyi sadeleştir.

\frac{n!(n+2)^2}{n!(n+2)} = n+2

Pay ve paydadaki

n!

ve

(n+2)

çarpanları birbirini götürür.

4

Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğin sağ tarafına eşitle ve denklemi çöz.

n + 2 = 3n - 12 \implies 14 = 2n \implies n = 7

Birinci dereceden denklem çözümü yapılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve cebirsel sadeleştirme.

Hints

1

Pay ve paydadaki tüm terimleri, en küçük faktöriyel olan

n!

parantezine almayı deneyin.

2

n!

parantezine aldıktan sonra parantez içindeki ifadeleri açarak toplama işlemini yapın. Pay kısmında

(n+2)^2

ifadesini görmeye çalışın.

Practice More

Benzer bir sadeleştirme sorusu olarak:

\frac{(n!)^2 + (n+1)!}{n!} = 17

denklemini sağlayan n değerini bulunuz.

Alternative Method

Şıklardan giderek

n

yerine değerler verilebilir. Ancak bu yöntem faktöriyel hesaplamaları büyüyeceği için zaman alıcı olabilir. Örneğin

n=5

için payda

5! + 6! = 120 + 720 = 840

gibi büyük sayılarla uğraşmayı gerektirir.

Estimated Time:2m 30s

Question 260Question →

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. $x \cdot y$ çarpımı rasyonel bir sayıdır.
II. $x + y$ toplamı irrasyonel bir sayıdır.

Buna göre, $x$ ve $y$ sayılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Her ikisi de rasyonel sayıdır.

Biri rasyonel, diğeri irrasyonel sayıdır.

Her ikisi de irrasyonel sayıdır.

Her ikisinin de karesi rasyonel sayıdır.

x - y

farkı rasyonel bir sayıdır.

Show answer & explanation

Answer: Her ikisi de irrasyonel sayıdır.

Answer

Her iki sayı da irrasyoneldir.

Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek senaryo, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayıların kendi aralarındaki toplamı rasyoneldir (II. öncüle aykırı). Biri rasyonel diğeri irrasyonel (ve sıfırdan farklı) ise çarpımları irrasyoneldir (I. öncüle aykırı). Geriye kalan tek seçenek ikisinin de irrasyonel olmasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Olası durumları analiz et.

Üç ana durum vardır: 1) İkisi de rasyonel, 2) Biri rasyonel biri irrasyonel, 3) İkisi de irrasyonel.

Gerçel sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur.

2

Birinci durumu (İkisi de rasyonel) test et.

Yanlış. Eğer

x, y \in \mathbb{Q}

ise,

x+y \in \mathbb{Q}

olur. Ancak II. öncül toplamın irrasyonel olduğunu söylüyor.

Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

3

İkinci durumu (Biri rasyonel, biri irrasyonel) test et.

Yanlış.

x \in \mathbb{Q} (x \neq 0)

ve

y \in \mathbb{Q}'

ise,

x \cdot y \in \mathbb{Q}'

(irrasyonel) olur. Ancak I. öncül çarpımın rasyonel olduğunu söylüyor.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı daima irrasyoneldir.

4

Üçüncü durumu (İkisi de irrasyonel) değerlendir.

Doğru. Diğer tüm olasılıklar elendiği için

x

ve

y

sayılarının ikisi de irrasyonel olmak zorundadır.

Örnek doğrulama:

x=\sqrt{2}

ve

y=\sqrt{8}

olsun.

x \cdot y = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q}

(Koşul I sağlandı).

x+y = 3\sqrt{2} \in \mathbb{Q}'

(Koşul II sağlandı).

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri (Kapalılık ve etkileşim).

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More