Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

Question 221Question →

aa negatif bir tam sayı ve bb pozitif bir tam sayıdır. Buna göre, aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu daima negatif bir tam sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: a⋅ba \cdot b

Answer

Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olan işlem her zaman negatif sonuç verir.
Verilen bilgilere göre aa negatif, bb ise pozitif bir tam sayıdır. Çarpma işlemi kuralına göre, zıt işaretli iki sayının çarpımı her zaman negatiftir. Bu nedenle a⋅ba \cdot b işleminin sonucu daima negatif bir tam sayı olacaktır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleyin.
a<0a < 0 (negatif) ve b>0b > 0 (pozitif) olarak verilmiştir.
İşlem sonuçlarının işaretini belirlemek için sayıların başlangıç işaretlerini bilmemiz gerekir.
2
Çarpma kuralını uygulayın.
(−)×(+)=(−)(-) \times (+) = (-)
Zıt işaretli iki sayının çarpımı her zaman negatif bir değer üretir.
3
Diğer seçeneklerdeki olası sonuçları değerlendirin.
b−ab-a pozitif, a2a^2 pozitif, b+ab+a belirsiz ve b/a2b/a^2 pozitiftir.
Daima negatif olan seçeneği teyit etmek için diğer durumların neden her zaman negatif olmadığını anlamalıyız.

Key Concept

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinde işaret kuralları.

Hints

1
aa için -1, bb için +1 gibi basit değerler vererek seçenekleri deneyebilirsiniz.
2
Unutmayın: (−)(-) ile (+)(+)'nın çarpımı her zaman (−)(-)'dir, ancak toplamları sayıların büyüklüğüne göre değişebilir.
3
a2a^2 gibi çift kuvvetlerin negatif sayıları her zaman pozitife çevirdiğini hatırlayın.

Practice More

Üçlü çarpımlarda (örneğin a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) işaretlerin nasıl değiştiğini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde aa sayısını 0'ın solunda, bb sayısını 0'ın sağında hayal edin. b−ab-a işlemi bb noktasından aa kadar sağa gitmek demektir, bu da pozitif bölgede kalmanızı sağlar.
Estimated Time:45s
Question 222Question →

xx ve yy, 5'ten büyük aralarında asal doğal sayılardır.

x+24y=10x + \frac{24}{y} = 10

olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15
Verilen eşitlikte xx ve yy'nin doğal sayı olması için yy'nin 24'ü tam bölmesi gerekir. Ayrıca soruda xx ve yy'nin 5'ten büyük olduğu belirtilmiştir. Bu şartlara uyan yy değerleri 6, 8, 12 ve 24'tür. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleri hesaplandığında sadece x=7x=7 ve y=8y=8 çiftinin aralarında asal olduğu görülür. Bu sayıların toplamı 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenle
x=10−24yx = 10 - \frac{24}{y}
xx'in değerini yy'ye bağlı olarak ifade ederek çözüm kümesini daraltmak için.
2
yy için olası değerleri belirle
yy, 24'ü tam bölen ve 5'ten büyük doğal sayılar olmalıdır: {6,8,12,24}\{6, 8, 12, 24\}.
xx'in bir doğal sayı olması için 24y\frac{24}{y} ifadesi tam sayı olmalı ve sorudaki y>5y > 5 şartı sağlanmalıdır.
3
Her yy değeri için xx'i bul ve aralarında asallık durumunu kontrol et
- y=6⇒x=10−4=6y=6 \Rightarrow x=10-4=6. (6 ile 6 aralarında asal değil)
- y=8⇒x=10−3=7y=8 \Rightarrow x=10-3=7. (7 ile 8 aralarında asal, x>5x>5 sağlanıyor) ✔
- y=12⇒x=10−2=8y=12 \Rightarrow x=10-2=8. (8 ile 12 aralarında asal değil)
- y=24⇒x=10−1=9y=24 \Rightarrow x=10-1=9. (9 ile 24 aralarında asal değil)
Soruda verilen 'aralarında asal' ve 'x>5x>5' şartlarını sağlayan tek çifti bulmak için.
4
Bulunan değerleri topla
x+y=7+8=15x + y = 7 + 8 = 15
Sonuç değeri hesaplanarak doğru seçeneğe ulaşılır.

Key Concept

İki doğal sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenlerinin olmaması gerekir. Bu tür denklemlerde, tam sayı bölenleri üzerinden deneme yapılarak ve tanım kontrol edilerek çözüm bulunur.

Hints

1
xx'i yalnız bırakarak yy'ye bağlı bir denklem (x=10−24yx = 10 - \frac{24}{y}) elde etmeye çalışın.
2
xx'in doğal sayı olması için yy'nin 24'ü tam bölmesi gerekir. y>5y > 5 şartını sağlayan bölenleri listeleyin.
3
Bulduğunuz (x,y)(x, y) çiftlerinin en büyük ortak böleninin (EBOB) 1 olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın.

Alternative Method

Denklem xy+24=10yxy + 24 = 10y şeklinde düzenlenip y(10−x)=24y(10-x) = 24 olarak yazılabilir. Buradan 10−x10-x ifadesinin 24'ün bir böleni olduğu görülür.
Estimated Time:2m 0s
Question 223Question →
x,yx, y ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,
x⋅y+5y+6=z \frac{x \cdot y + 5}{y + 6} = z

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

Show answer & explanation

Answer: x+y+zx + y + z

Answer

Daima çift olan ifade x+y+zx + y + z toplamıdır.
Denklem düzenlendiğinde y(x−z)=6z−5y(x-z) = 6z - 5 elde edilir. Eşitliğin sağı daima tektir. Bu durumda yy kesinlikle Tek sayı, (x−z)(x-z) ifadesi de Tek sayı olmalıdır. Farkları tek olan sayıların toplamları (x+zx+z) da tektir. Seçeneklerdeki x+y+zx+y+z ifadesi, (x+z)+y(x+z) + y şeklinde yazılabilir. (x+z)(x+z) Tek ve yy Tek olduğuna göre, Tek + Tek = Çift sonucu kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenleyerek yy'li terimleri bir araya getir.
x⋅y+5=z(y+6)⇒x⋅y+5=z⋅y+6z⇒y(x−z)=6z−5x \cdot y + 5 = z(y + 6) \Rightarrow x \cdot y + 5 = z \cdot y + 6z \Rightarrow y(x - z) = 6z - 5
Kesirli ifadeden kurtulup çarpım durumundaki pariteyi analiz etmek için.
2
Eşitliğin sağ tarafının (6z−56z - 5) teklik-çiftlik durumunu incele.
6z6z daima çifttir, 55 tektir. Dolayısıyla 6z−56z - 5 işleminin sonucu DAİMA TEKTİR.
Eşitliğin bir tarafının kesin paritesini bulmak, diğer tarafı çözümler.
3
Sol tarafın (y(x−z)y(x - z)) tek olması için çarpanların durumunu belirle.
Çarpım tek ise, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani **yy Tektir ve (x−z)(x - z) Tektir**.
Tek sayıların çarpımı kuralı (Tek ⋅\cdot Tek = Tek).
4
xx ve zz arasındaki ilişkiyi yorumla.
x−zx - z tek ise, xx ve zz'den biri Tek, diğeri Çift olmak zorundadır (Zıt karakterli). Bu durumda x+zx + z toplamı daima Tektir.
İki sayının farkı tek ise, toplamları da tektir.
5
Seçenekleri bu bulgulara göre test et.
x+y+z=(x+z)+yx + y + z = (x + z) + y. Biz (x+z)(x+z)'nin Tek, yy'nin Tek olduğunu bulduk. O halde Tek + Tek = Çift.
Bulunan kesin yargıları seçeneklerde yerine koyarak doğruyu bulmak.

Key Concept

Tam sayı çeşitleri problemlerinde, değişkenleri gruplayarak (paranteze alarak) çarpım formuna getirmek ve sonucun kesin Tek/Çift olduğu taraftan yola çıkarak bilinmeyenlerin paritesini analiz etmek gerekir.

Hints

1
İçler dışlar çarpımı yaparak ifadeyi x⋅y+5=z(y+6)x \cdot y + 5 = z(y + 6) haline getirip yy'li terimleri bir tarafta toplayınız.
2
y(x−z)=6z−5y(x - z) = 6z - 5 eşitliğini elde ettikten sonra, eşitliğin sağ tarafının (6z−56z - 5) Tek mi Çift mi olduğunu belirleyiniz.
3
Sonuç Tek ise, çarpım durumundaki yy sayısı Tek olmalı ve parantez içindeki (x−z)(x-z) farkı da Tek olmalıdır. x−zx-z tek ise xx ve zz zıt işaretlidir (Biri Tek, Biri Çift).

Practice More

Benzer mantıkla, a,b,ca, b, c tam sayıları için (a+b)(b+c)(a+b)(b+c) çarpımının tek olduğu durumlarda a+ca+c'nin paritesini inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 224Question →
Rakamları sıfırdan farklı olan iki basamaklı abab ve baba doğal sayıları için,
ab−ba>4⋅(a+b) ab - ba > 4 \cdot (a + b)

eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı abab doğal sayısı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Koşulu sağlayan 13 farklı abab sayısı vardır.
Doğru cevap 13'tür. Basamaklar çözümlendiğinde 5a>13b5a > 13b eşitsizliği elde edilir. b=1,2,3b=1, 2, 3 değerleri için aa sırasıyla 7, 4 ve 2 farklı değer alır. Toplamda 13 sayı bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Basamak çözümlemesi yap.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a olarak yazılır. Eşitsizlikte yerine koyarsak:
(10a+b)−(10b+a)>4(a+b)(10a + b) - (10b + a) > 4(a + b)
Sayıların basamak değerlerini kullanarak cebirsel ifadeye dönüştürmek gerekir.
2
İfadeyi düzenle ve sadeleştir.
9a−9b>4a+4b9a - 9b > 4a + 4b
9a−4a>4b+9b9a - 4a > 4b + 9b
5a>13b5a > 13b
aa ve bb terimlerini eşitsizliğin farklı taraflarına toplayarak ilişkiyi netleştiririz.
3
aa için alt sınırı belirle.
a>135ba > \frac{13}{5}b yani a>2,6ba > 2,6b olmalıdır.
aa'nın alabileceği değerleri bb'ye bağlı olarak bulmak için aa yalnız bırakılır.
4
Olası bb değerleri için aa rakamlarını bul.
- b=1b=1 için: a>2,6⇒a∈{3,4,5,6,7,8,9}a > 2,6 \Rightarrow a \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} (7 değer)
- b=2b=2 için: a>5,2⇒a∈{6,7,8,9}a > 5,2 \Rightarrow a \in \{6, 7, 8, 9\} (4 değer)
- b=3b=3 için: a>7,8⇒a∈{8,9}a > 7,8 \Rightarrow a \in \{8, 9\} (2 değer)
- b=4b=4 için: a>10,4a > 10,4 (Rakam olamaz, çözüm yok)
aa ve bb birer rakam olduğu için bb'ye değer vererek aa'nın alabileceği rakamları listeleriz.
5
Toplam değeri hesapla.
7+4+2=137 + 4 + 2 = 13 farklı abab sayısı vardır.
Her durumdaki çözüm sayılarını toplarız.

Key Concept

Basamak analizi ve basit eşitsizlikler

Hints

1
abab ve baba sayılarını 10a+b10a+b ve 10b+a10b+a şeklinde açarak eşitsizliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucunda 5a>13b5a > 13b eşitsizliğini elde etmelisiniz. Şimdi bb'ye küçük değerler vererek (1, 2, 3...) aa'yı bulmaya çalışın.
3
a>2,6ba > 2,6b şartını sağlayan rakamları düşünün. b=1b=1 ise a>2,6a > 2,6 olur. b=4b=4 olursa a>10,4a > 10,4 olur ki bu imkansızdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla ab+ba=11(a+b)ab + ba = 11(a+b) eşitliğini kullanan soruları çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 225Question →

Matematikte 11’den başlayıp belirli bir nn sayısına kadar devam eden ardışık tam sayıların toplamı 1+2+3+⋯+n=n⋅(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2} bağıntısı ile hesaplanmaktadır.

**Buna göre, 1+2+3+⋯+181 + 2 + 3 + \dots + 18 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?**

Show answer & explanation

Answer: 171

Answer

İşlemin sonucu 171 olarak bulunur.
Verilen toplamda son terim n=18n = 18 olarak görülmektedir. Gauss toplam formülü olan n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} ifadesinde bu değeri yerine yazdığımızda 18⋅192\frac{18 \cdot 19}{2} elde ederiz. Bu işlem sonucunda 9⋅19=1719 \cdot 19 = 171 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Son terimi (n değerini) belirleyin.
n=18n = 18
Toplama işlemi 18 sayısında bittiği için n değeri 18'dir.
2
Belirlenen n değerini ardışık toplam formülünde yerine yerleştirin.
18⋅(18+1)2=18⋅192\frac{18 \cdot (18 + 1)}{2} = \frac{18 \cdot 19}{2}
1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur.
3
Gerekli çarpma ve bölme işlemlerini yaparak sonucu hesaplayın.
9⋅19=1719 \cdot 19 = 171
18 ile 2 sadeleştiğinde 9 kalır ve 9×199 \times 19 çarpımı 171 sonucunu verir.

Key Concept

Ardışık pozitif tam sayıların toplamı için kullanılan Gauss Toplamı formülü.

Hints

1
Toplama işlemindeki son terimin kaç olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Soruda verilen formüldeki 'n' harfi yerine 18 sayısını koymayı deneyin.
3
18×192\frac{18 \times 19}{2} işlemini yaparken önce 18'i 2'ye bölerek 9 elde edebilir, sonra 9 ile 19'u çarpabilirsiniz.

Practice More

Ardışık çift tam sayıların (2+4+6+...) toplam formülünü inceleyerek benzer bir uygulama yapabilirsiniz.

Alternative Method

Sayıları baştan ve sondan eşleştirerek de bulabilirsiniz: (1+18)+(2+17)+…(1+18) + (2+17) + \dots şeklinde her biri 19 olan toplam 9 adet çift oluşur. 9×19=1719 \times 19 = 171 sonucuna bu şekilde de ulaşılabilir.
Estimated Time:45s
Question 226Question →
xx bir doğal sayı olmak üzere,
(x+2)!+(x+1)!(x+2)!−(x+1)!=97 \frac{(x+2)! + (x+1)!}{(x+2)! - (x+1)!} = \frac{9}{7}

olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen faktöriyel eşitliğini sağlayan x değeri 6'dır.
Verilen ifadede büyük olan faktöriyeller (x+1)!(x+1)! cinsinden açılıp pay ve payda ortak paranteze alındığında, kesir sadeleşerek x+3x+1\frac{x+3}{x+1} halini alır. Bu ifade 97\frac{9}{7}'ye eşitlendiğinde yapılan içler dışlar çarpımı sonucunda x=6x=6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
(x+2)!(x+2)! ifadesini (x+1)!(x+1)! cinsinden yazın.
(x+2)!=(x+2)⋅(x+1)!(x+2)! = (x+2) \cdot (x+1)!
Faktöriyel ifadelerini sadeleştirebilmek için büyük olanı küçük olanın cinsinden açmak gerekir.
2
Kesrin payını ve paydasını (x+1)!(x+1)! parantezine alın.
(x+1)!⋅[(x+2)+1](x+1)!⋅[(x+2)−1] \frac{(x+1)! \cdot [(x+2) + 1]}{(x+1)! \cdot [(x+2) - 1]}
Toplama ve çıkarma işlemlerini çarpım durumuna getirerek sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpan parantezi kullanılır.
3
(x+1)!(x+1)! ifadelerini sadeleştirin ve denklemi düzenleyin.
x+3x+1=97 \frac{x+3}{x+1} = \frac{9}{7}
Pay ve paydadaki ortak çarpanlar birbirini yok eder, geriye sadece xx değişkenine bağlı basit bir kesir kalır.
4
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini bulun.
7(x+3)=9(x+1)⇒7x+21=9x+9⇒12=2x⇒x=67(x+3) = 9(x+1) \Rightarrow 7x + 21 = 9x + 9 \Rightarrow 12 = 2x \Rightarrow x = 6
Orantı özelliğini kullanarak birinci dereceden denklemi çözüp bilinmeyene ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken küçük olan faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirme yapılır.

Hints

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan (x+1)!(x+1)! cinsinden açmayı deneyin.
2
Ortak paranteze aldıktan sonra pay ve paydadaki (x+1)!(x+1)! terimlerini sadeleştirerek denklemi basitleştirin.
3
Sadeleşmiş hali x+3x+1=97\frac{x+3}{x+1} = \frac{9}{7} olan denklemi içler dışlar çarpımı yaparak çözün.

Practice More

Benzer şekilde (n+1)!−n!=5⋅n!(n+1)! - n! = 5 \cdot n! gibi temel sadeleştirme sorularını çözerek hız kazanabilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapabilirsiniz. Örneğin x=6x=6 için 8!+7!8!−7!=7!(8+1)7!(8−1)=97\frac{8!+7!}{8!-7!} = \frac{7!(8+1)}{7!(8-1)} = \frac{9}{7} eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 227Question →
aa, bb ve cc birer asal sayı olmak üzere,
a⋅b−a⋅c=2a2+15 a \cdot b - a \cdot c = 2a^2 + 15

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Doğru cevap 18'dir.
Denklem düzenlendiğinde b−c=2a+15/ab-c = 2a + 15/a elde edilir. aa asal sayısı 15'i bölmek zorunda olduğundan 3 veya 5 olabilir. a=5a=5 denendiğinde b=15b=15 çıkar ve bu asal değildir. a=3a=3 denendiğinde b=13b=13 ve c=2c=2 asalları bulunur. Toplamları 18'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi düzenle ve aa parantezine al.
a(b−c)=2a2+15a(b - c) = 2a^2 + 15
Ortak çarpan parantezine alarak bilinmeyenleri gruplandırmak gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafını aa sayısına bölerek b−cb-c ifadesini yalnız bırak.
b−c=2a2+15a=2a+15ab - c = \frac{2a^2 + 15}{a} = 2a + \frac{15}{a}
Tam sayı ve kesirli kısmı ayırarak aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek için.
3
aa sayısının alabileceği asal değerleri belirle.
Sonucun tam sayı olması için aa, 15'i tam bölmelidir. aa asal olduğu için a∈{3,5}a \in \{3, 5\} olabilir.
Asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralı gereği.
4
a=5a = 5 durumunu incele.
b−c=2(5)+155=10+3=13b - c = 2(5) + \frac{15}{5} = 10 + 3 = 13. İki asal sayının farkı tek sayı (13) ise biri çift (2) olmalıdır. c=2c=2 dersek b−2=13⇒b=15b-2=13 \Rightarrow b=15. Ancak 15 asal değildir.
Bu durum elenir.
5
a=3a = 3 durumunu incele.
b−c=2(3)+153=6+5=11b - c = 2(3) + \frac{15}{3} = 6 + 5 = 11. Fark tek sayı olduğundan c=2c=2 olmalıdır. b−2=11⇒b=13b-2=11 \Rightarrow b=13. 13 asaldır, bu durum geçerlidir.
Tüm şartlar (a, b, c asal) sağlandı.
6
Bulunan değerleri topla.
a+b+c=3+13+2=18a + b + c = 3 + 13 + 2 = 18
Soruda istenen toplamın hesabı.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özellikleri ve 'Çift Asal Sayı' (2) kuralı.

Hints

1
İfadeyi aa parantezine alarak a⋅(b−c)a \cdot (b - c) şeklinde yazmayı deneyin.
2
Eşitliğin her iki tarafını aa'ya bölünce b−c=2a+15ab-c = 2a + \frac{15}{a} elde edilir. aa sayısı 15'i bölmelidir.
3
bb ve cc asal sayılarının farkı tek bir sayı çıkıyorsa, bu sayılardan biri mutlaka çift asal sayı olan 2'dir.

Practice More

İki asal sayının toplamının veya farkının tek/çift olma durumlarını inceleyen sorular çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: aa'nın 2a² içeren bir ifadeyi bölmesi gerektiğinden küçük asallar (2, 3, 5) denenerek daha hızlı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 228Question →
x,yx, y ve zz tam sayılar olmak üzere,
x⋅y+5z+4=x+3 \frac{x \cdot y + 5}{z + 4} = x + 3

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Show answer & explanation

Answer: x⋅y+xx \cdot y + x

Answer

x⋅y+xx \cdot y + x ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlik analiz edildiğinde iki geçerli durum ortaya çıkar: 1) xx tek ise yy mutlaka tektir. 2) xx çift ise zz mutlaka tektir. x⋅y+xx \cdot y + x ifadesi x(y+1)x(y+1) olarak paranteze alınabilir. 1. durumda xx tek, y+1y+1 çift olduğu için çarpım çifttir. 2. durumda xx zaten çift olduğu için çarpım yine çifttir. Dolayısıyla bu ifade daima çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği düzenle
x⋅y+5=(x+3)⋅(z+4)x \cdot y + 5 = (x + 3) \cdot (z + 4)
Kesirli ifadeden kurtulmak ve parite analizi yapmak için içler dışlar çarpımı yapılır.
2
Eşitliğin her iki tarafının teklik-çiftlik durumunu xx'in durumuna göre analiz et
Durum 1: xx Tek ise; Sol Taraf = T⋅y+TT \cdot y + T (çift olması gerekir), Sağ Taraf = (T+T)⋅(z+C\c)=C\c⋅(z+C\c)=C\cift(T+T) \cdot (z+Ç) = Ç \cdot (z+Ç) = Çift. Durum 2: xx Çift ise; Sol Taraf = C\c⋅y+T=TÇ \cdot y + T = T, Sağ Taraf = (C\c+T)⋅(z+C\c)=T⋅(z+C\c)(Ç+T) \cdot (z+Ç) = T \cdot (z+Ç).
Eşitliğin sağlanması için sol ve sağ tarafın paritesi aynı olmalıdır.
3
Olası senaryoları belirle
Senaryo 1 (xx Tek): Sol tarafın çift olması için x⋅yx \cdot y tek olmalı, yani yy Tek olmalıdır. (zz her şey olabilir).
Senaryo 2 (xx Çift): Sol taraf Tek olduğu için sağ taraf da Tek olmalıdır. T⋅(z+C\c)T \cdot (z+Ç) ifadesinin tek olması için (z+C\c)(z+Ç) tek olmalı, yani zz Tek olmalıdır. (yy her şey olabilir).
Değişkenlerin zorunlu hallerini tespit etmek.
4
Seçenekleri her iki senaryo için test et
Seçenek (x⋅y+xx \cdot y + x): Senaryo 1'de (x=T,y=Tx=T, y=T): T⋅T+T=T+T=C\ciftT \cdot T + T = T + T = Çift. Senaryo 2'de (x=C\cx=Ç): C\c⋅y+C\c=C\c+C\c=C\ciftÇ \cdot y + Ç = Ç + Ç = Çift.
Her iki durumda da daima çift olan seçeneği bulmak.

Key Concept

Tam sayılarda işlemlerin parite (teklik-çiftlik) analizi ve mantıksal çıkarım.
Question 229Question →
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.
a<b<ca < b < c olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=3a2+12a \cdot b + a \cdot c = 3a^2 + 12

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

a=2, b=5 ve c=7 değerleri için toplam 14 bulunur.
Verilen denklem düzenlendiğinde b+c=3a+12/ab+c = 3a + 12/a elde edilir. a bir asal sayı olduğundan 12'yi bölen asal sayılar (2 ve 3) denenir. Sadece a=2 değeri için elde edilen b=5 ve c=7 asalları sorudaki a<b<ca<b<c sıralama şartını sağlar. Bu sayıların toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği a ortak parantezine alarak düzenle.
a(b+c)=3a2+12a(b + c) = 3a^2 + 12
Değişkenleri analiz etmek için çarpım formuna getirmek gerekir.
2
Her iki tarafı a sayısına bölerek b + c ifadesini yalnız bırak.
b+c=3a+12ab + c = 3a + \frac{12}{a}
b ve c tam sayı (asal sayı) olduğu için, eşitliğin sağ tarafındaki 12a\frac{12}{a} ifadesi de tam sayı olmalıdır.
3
a sayısının alabileceği asal değerleri belirle.
12'yi tam bölen asal sayılar: 2 ve 3.
a bir asal sayıdır ve 12'nin böleni olmalıdır.
4
a = 2 durumu için b ve c değerlerini kontrol et.
b+c=3(2)+122=6+6=12b + c = 3(2) + \frac{12}{2} = 6 + 6 = 12. Toplamı 12 olan farklı asal sayılar (5, 7) çiftidir.
a < b < c koşuluna bakıldığında 2<5<72 < 5 < 7 eşitsizliği sağlanır. Bu durum geçerlidir.
5
a = 3 durumu için b ve c değerlerini kontrol et.
b+c=3(3)+123=9+4=13b + c = 3(3) + \frac{12}{3} = 9 + 4 = 13. Toplamı 13 olan asallar (2, 11) olabilir.
a < b < c koşuluna bakıldığında 3<2<113 < 2 < 11 eşitsizliği SAĞLANMAZ. Bu durum geçersizdir.
6
Geçerli değerleri topla.
a+b+c=2+5+7=14a + b + c = 2 + 5 + 7 = 14
Tek geçerli çözüm kümesi a=2, b=5, c=7'dir.

Key Concept

Asal sayılar kümesinde tanımlı denklemlerde, bölünebilme kuralları ve sıralama eşitsizlikleri (a<b<c) kullanılarak çözüm kümesi daraltılır.

Hints

1
Eşitliğin sol tarafını a parantezine alarak b+c ifadesini yalnız bırakmaya çalışın.
2
Elde ettiğiniz b+c=3a+12ab+c = 3a + \frac{12}{a} ifadesinde, sonucun tam sayı olması için a'nın 12'yi bölen bir asal sayı olması gerektiğini kullanın.
3
a için olası değerler 2 ve 3'tür. Her iki durumu deneyip a<b<ca < b < c sıralamasını sağlayan tek durumu belirleyin.

Practice More

Benzer bir mantıkla, p(q−r)=19p(q-r) = 19 gibi çarpım durumundaki asal sayı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemde a'nın katsayılarına bakarak a'nın küçük bir asal sayı olması gerektiği tahmin edilebilir. a=2 denenerek doğrudan çözüm aranabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 230Question →
a,ba, b ve cc asal sayılar olmak üzere,
a=b3−c3a = b^3 - c^3

eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap 24'tür.
Verilen eşitlikte aa bir asal sayıdır. b3−c3b^3 - c^3 ifadesi (b−c)(b2+bc+c2)(b-c)(b^2+bc+c^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Asal bir sayının pozitif çarpanları sadece 1 ve kendisidir. b2+bc+c2b^2+bc+c^2 ifadesi asal sayılar için daima 1'den büyüktür, bu nedenle b−cb-c çarpanı 1 olmak zorundadır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar sadece 3 ve 2'dir (b=3,c=2b=3, c=2). Bu değerler yerine konulduğunda a=33−23=19a = 3^3 - 2^3 = 19 bulunur. İstenen toplam 19+3+2=2419+3+2=24 olur.

Step-by-Step Solution

1
b3−c3b^3 - c^3 ifadesini çarpanlarına ayırma özdeşliği kullanarak yazma.
a=(b−c)⋅(b2+b⋅c+c2)a = (b - c) \cdot (b^2 + b \cdot c + c^2)
İki küp farkı özdeşliği: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) şeklindedir.
2
aa sayısının asal sayı olma özelliğini kullanarak çarpanları analiz etme.
b−c=1b - c = 1 olmalıdır.
aa bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri 1, diğeri kendisi (aa) olmalıdır. İkinci çarpan (b2+bc+c2)(b^2 + bc + c^2) pozitif tam sayılar için 1'den büyük olacağından, küçük çarpan olan (b−c)(b-c) 1'e eşit olmalıdır.
3
Aralarındaki fark 1 olan asal sayıları belirleme.
b=3b = 3 ve c=2c = 2
Tüm asal sayılar içerisinde aralarındaki fark 1 olan (ardışık) tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. (Diğer tüm asal sayılar tektir ve aralarındaki fark en az 2'dir).
4
aa sayısının değerini hesaplama.
a=33−23=27−8=19a = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19
Bulunan bb ve cc değerleri denklemde yerine konulur.
5
Sonuçların toplamını bulma.
a+b+c=19+3+2=24a + b + c = 19 + 3 + 2 = 24
Soru a+b+ca+b+c toplamını istemektedir.

Key Concept

Asal sayıların çarpanları sadece 1 ve kendisidir. Aralarındaki fark 1 olan yegane asal sayılar 2 ve 3'tür.

Hints

1
b3−c3b^3 - c^3 ifadesini (b−c)(b2+bc+c2)(b-c)(b^2+bc+c^2) özdeşliği ile çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
aa sayısı asal olduğuna göre, çarpanlarından biri mutlaka 1 olmalıdır. Hangi çarpanın 1 olabileceğini düşünün.
3
b−c=1b - c = 1 olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan (ardışık) asal sayılar sadece 3 ve 2'dir.

Practice More

Benzer mantıkla a=b2−c2a = b^2 - c^2 eşitliğinde asal sayıları inceleyen bir soru çözülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 231Question →
Gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} üzerinde, AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:
A={x∈R∣x2∈Q} A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in \mathbb{Q} \}

B={x∈R∣x3∈Q} B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^3 \in \mathbb{Q} \}

Buna göre, bu kümelerle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Show answer & explanation

Answer: AA ve BB kümelerinin birleşimi gerçel sayılar kümesine eşittir

Answer

AA ve BB kümelerinin birleşiminin gerçel sayılar kümesine eşit olduğu ifadesi yanlıştır.
Yanlış olan ifade, birleşim kümesinin tüm gerçel sayılara eşit olduğunu iddia eden seçenektir. π\pi (pi) sayısı veya 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3} gibi transandantal veya karmaşık köklü sayılar ne AA kümesine (karesi rasyonel) ne de BB kümesine (küpü rasyonel) dahildir. Bu sayılar gerçel sayı olmalarına rağmen bu iki kümenin birleşiminin dışındadır.

Step-by-Step Solution

1
AA ve BB kümelerinin tanımlarını analiz et.
AA, karesi rasyonel olan sayıları; BB ise küpü rasyonel olan sayıları içerir. Q⊂A\mathbb{Q} \subset A ve Q⊂B\mathbb{Q} \subset B'dir.
Rasyonel sayıların tüm kuvvetleri rasyoneldir.
2
AA ve BB kümelerinin farklarını incele.
2∈A\sqrt{2} \in A (çünkü (2)2=2∈Q(\sqrt{2})^2=2 \in \mathbb{Q}) fakat 2∉B\sqrt{2} \notin B (çünkü (2)3=22∉Q(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}). Benzer şekilde 23∈B\sqrt[3]{2} \in B fakat 23∉A\sqrt[3]{2} \notin A.
Bu durum, A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A kümelerinin boş olmadığını gösterir.
3
Kesişim kümesi A∩BA \cap B'yi belirle.
Bir xx sayısı hem AA'da hem BB'de ise, x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olur. x≠0x \neq 0 ise x=x3/x2x = x^3 / x^2 işlemi rasyonel iki sayının bölümü olacağından xx rasyonel olmalıdır. Yani A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q}.
Rasyonel sayıların bölümü (bölen sıfır değilse) rasyoneldir.
4
Birleşim kümesi A∪BA \cup B'yi ve R\mathbb{R} ile ilişkisini sına.
Birleşim kümesi tüm gerçel sayıları kapsamaz. Örneğin π\pi sayısı; π2∉Q\pi^2 \notin \mathbb{Q} olduğundan AA'da değildir ve π3∉Q\pi^3 \notin \mathbb{Q} olduğundan BB'de değildir. Dolayısıyla π∈R\pi \in \mathbb{R} olmasına rağmen A∪BA \cup B kümesinde yoktur.
Karşıt örnek (counter-example) yöntemi ile ifadenin yanlışlığı ispatlanır.

Key Concept

İrrasyonel Sayıların Özellikleri ve Kapalılık

Hints

1
Bir ifadenin yanlış olduğunu göstermek için o kurala uymayan tek bir örnek (karşıt örnek) bulmanız yeterlidir.
2
Şu sayıyı test edin: π\pi (pi sayısı). Karesi rasyonel midir? Küpü rasyonel midir?
3
Eğer bir sayı AA veya BB kümelerinde değilse, birleşimlerinde de değildir. π\pi sayısı her iki kümede de yoktur, ancak bir gerçel sayıdır.

Practice More

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkilerini (örn. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R) Venn şeması üzerinde çalışın.
Estimated Time:3m 0s
Question 232Question →

n=7n = 7 sayısı bir tek tam sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu bir çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: n+5n + 5

Answer

n+5n + 5 ifadesinin sonucu olan 12 bir çift sayıdır.
n=7n = 7 bir tek sayıdır. 55 sayısı da bir tek sayıdır. Matematiksel kurallara göre iki tek sayının toplamı (T+T=C\cT + T = Ç) her zaman bir çift sayı verir. 7+5=127 + 5 = 12 olduğu için bu ifade çift bir sonuç üretir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değerini belirleme
n=7n = 7 (Tek sayı)
Soruda verilen temel bilgiyi kullanarak işleme başlamak gerekir.
2
Toplama kuralını uygulama
7+5=127 + 5 = 12
İki tek sayının toplamı (Tek + Tek) her zaman bir çift sayıdır.
3
Sonucu kontrol etme
12 sayısı 2 ile tam bölünebildiği için çifttir.
Bir tam sayının çift olması için birler basamağının 0, 2, 4, 6 veya 8 olması gerekir.

Key Concept

İki tek sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Hints

1
nn yerine verilen 7 sayısını koyarak seçenekleri tek tek hesaplayın.
2
İki tek sayının toplamının her zaman çift olduğunu hatırlayın.
3
7+57 + 5 işleminin sonucunun 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakın.

Practice More

İki tek sayının çarpımının neden her zaman tek olduğunu düşünerek bu özelliği pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Genel kuralı kullanabilirsiniz: nn tek ise, n+Tek=C¸iftn + \text{Tek} = \text{Çift} olur. Seçeneklerdeki eklenen sayıları (2, -10, 5, -1) incelediğinizde sadece 5'in tek olduğunu görebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 233Question →

xx ve yy aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

x+12y=11x + \frac{12}{y} = 11

olduğuna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Aralarında asallık şartını sağlayan xx değerlerinin toplamı 12'dir.
Denklemi sağlayan pozitif tam sayı çiftlerinden sadece (5, 2) ve (7, 3) ikilileri aralarında asaldır. Bu ikililerdeki x değerleri olan 5 ve 7'nin toplamı 12 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi xx değerlerini bulacak şekilde düzenleyin.
x=11−12yx = 11 - \frac{12}{y} veya 12y=11−x\frac{12}{y} = 11 - x elde edilir.
xx ve yy tam sayı olduğundan, yy ifadesi 12'nin bir tam böleni olmalıdır.
2
12'nin pozitif bölenlerini belirleyerek xx değerlerini hesaplayın.
y=1⇒x=−1y = 1 \Rightarrow x = -1 (Pozitif tam sayı değil)
y=2⇒x=5y = 2 \Rightarrow x = 5
y=3⇒x=7y = 3 \Rightarrow x = 7
y=4⇒x=8y = 4 \Rightarrow x = 8
y=6⇒x=9y = 6 \Rightarrow x = 9
y=12⇒x=10y = 12 \Rightarrow x = 10
xx ve yy pozitif tam sayı olduğu için sadece bu durumlar incelenir.
3
Bulunan (x,y)(x, y) çiftlerinin aralarında asal olup olmadığını kontrol edin.
(5,2)→(5, 2) \rightarrow Aralarında asal (EBOB=1)
(7,3)→(7, 3) \rightarrow Aralarında asal (EBOB=1)
(8,4)→(8, 4) \rightarrow Aralarında asal değil (EBOB=4)
(9,6)→(9, 6) \rightarrow Aralarında asal değil (EBOB=3)
(10,12)→(10, 12) \rightarrow Aralarında asal değil (EBOB=2)
Soruda xx ve yy sayılarının 1'den başka ortak böleni olmaması gerektiği belirtilmiştir.
4
Şartı sağlayan xx değerlerini toplayın.
5+7=125 + 7 = 12
Sadece aralarında asal olan çiftlere ait xx değerleri işleme alınır.

Key Concept

İki pozitif tam sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Bu tür denklemlerde tam bölünebilme ve aralarında asallık kısıtları birlikte değerlendirilmelidir.

Hints

1
xx tam sayı olduğuna göre, yy sayısı 12'yi tam bölmelidir.
2
12'nin bölenlerini (1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12) yy yerine koyarak xx değerlerini bulun ve negatif olanları eleyin.
3
Bulduğunuz her (x,y)(x, y) ikilisinde sayıların 1 dışında ortak böleni olup olmadığını kontrol edin (örneğin 8 ve 4 ikisini de 2 böler).

Practice More

Benzer bir soruyu xx ve yy aralarında asal iken x⋅y+12=11yx \cdot y + 12 = 11y şeklinde düzenleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 234Question →

aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılardır.

a+60b=12 a + \frac{60}{b} = 12

olduğuna göre, bb'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 107

Answer

b'nin alabileceği değerler toplamı 107'dir.
Verilen denklemde aa'nın pozitif tam sayı olması için bb'nin 60'ı bölmesi ve b>5b > 5 olması gerekir. Olası bb değerleri denenip, aa ile aralarında asallık şartı kontrol edildiğinde sadece 12, 15, 20 ve 60 değerlerinin bu şartı sağladığı görülür. Bu değerlerin toplamı 107'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi aa'yı yalnız bırakacak şekilde düzenle.
a=12−60ba = 12 - \frac{60}{b}
aa ve bb'nin tamsayı olma şartını sağlamak için bb'nin özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa'nın pozitif tam sayı olması şartını sağlayan bb değerlerini belirle.
a>0⇒12−60b>0⇒60b<12⇒b>5a > 0 \Rightarrow 12 - \frac{60}{b} > 0 \Rightarrow \frac{60}{b} < 12 \Rightarrow b > 5. Ayrıca bb, 60'ın bir böleni olmalıdır.
aa pozitif bir tam sayı olduğu için sonuç 0 veya negatif olamaz ve kesirli ifade tam sayı çıkmalıdır.
3
5'ten büyük ve 60'ı tam bölen sayıları listele.
b∈{6,10,12,15,20,30,60}b \in \{6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}
Olası tüm aday değerleri belirlemek için.
4
Her bb değeri için aa'yı bul ve aralarında asal olup olmadıklarını kontrol et.
- b=6⇒a=2b=6 \Rightarrow a=2. (2,6)(2,6) ortak bölen 2. (ELENDİ)
- b=10⇒a=6b=10 \Rightarrow a=6. (6,10)(6,10) ortak bölen 2. (ELENDİ)
- b=12⇒a=7b=12 \Rightarrow a=7. (7,12)(7,12) aralarında asal. (ALINDI)
- b=15⇒a=8b=15 \Rightarrow a=8. (8,15)(8,15) aralarında asal. (ALINDI)
- b=20⇒a=9b=20 \Rightarrow a=9. (9,20)(9,20) aralarında asal. (ALINDI)
- b=30⇒a=10b=30 \Rightarrow a=10. (10,30)(10,30) ortak bölen 10. (ELENDİ)
- b=60⇒a=11b=60 \Rightarrow a=11. (11,60)(11,60) aralarında asal. (ALINDI)
Sorunun en önemli kısıtı olan 'aralarında asal olma' şartını sağlamayan kökleri elemek için.
5
Şartı sağlayan bb değerlerini topla.
12+15+20+60=10712 + 15 + 20 + 60 = 107
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif tam sayı bölenlerinin olmaması gerekir.

Hints

1
Denklemde aa'yı yalnız bırakın: a=12−60ba = 12 - \frac{60}{b}. aa'nın pozitif tam sayı olması için bb hangi değerleri alabilir?
2
bb sayısı 60'ı tam bölmeli ve sonucun pozitif çıkması için b>5b > 5 olmalıdır. Bu şartı sağlayan bb tamsayılarını listeleyin.
3
Bulduğunuz her bb değeri için karşılık gelen aa değerini hesaplayın ve (a,b)(a, b) ikilisinin 1'den başka ortak böleni olup olmadığına (aralarında asal olup olmadıklarına) bakın.

Practice More

Benzer mantıkla, x⋅y=60x \cdot y = 60 ve x,yx, y aralarında asal ise x+yx+y'nin alabileceği değerleri soran bir soru çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 235Question →
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere;
x2⋅y>0x^2 \cdot y > 0

x+z=0x + z = 0

y−z<0y - z < 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0

Answer

x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0 ifadesi kesinlikle doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden yy'nin pozitif, zz'nin pozitif ve xx'in negatif olduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca y<zy < z olduğu verilmiştir. x⋅(y−z)x \cdot (y - z) ifadesinde ilk çarpan (xx) negatiftir. İkinci çarpan (y−z)(y-z) ise küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığı için negatiftir. İki negatif sayının çarpımı pozitif olacağından sonuç 0'dan büyüktür.

Step-by-Step Solution

1
x2⋅y>0x^2 \cdot y > 0 eşitsizliğini incele.
x2x^2 daima pozitif olduğu için (sıfır hariç), sonucun pozitif olması için y>0y > 0 olmalıdır.
Pozitif bir sayıyla ancak pozitif bir sayı çarpılırsa sonuç pozitif olur.
2
y−z<0y - z < 0 eşitsizliğini ve yy'nin işaretini kullan.
y<zy < z olduğunu biliyoruz. yy pozitif olduğuna göre (y>0y > 0), ondan büyük olan zz sayısı da kesinlikle pozitiftir (z>0z > 0).
Pozitif bir sayıdan daha büyük olan sayı daima pozitiftir.
3
x+z=0x + z = 0 eşitliğini kullanarak xx'in işaretini bul.
x=−zx = -z olur. zz pozitif olduğu için, xx kesinlikle negatiftir (x<0x < 0).
Toplamları sıfır olan iki sıfırdan farklı sayı zıt işaretlidir.
4
Doğru seçeneği belirlemek için işaretleri kontrol et: x(−),y(+),z(+)x(-), y(+), z(+) ve y<zy < z.
x⋅(y−z)x \cdot (y - z) ifadesinde; xx negatiftir. (y−z)(y - z) ifadesi de y<zy < z olduğu için negatiftir. İki negatif sayının çarpımı pozitiftir (>0 > 0).
Negatif çarpı negatif pozitiftir.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

Hints

1
Önce x2x^2'nin işaretinden yola çıkarak yy'nin işaretini belirleyiniz.
2
yy'nin işaretini bulduktan sonra y−z<0y - z < 0 eşitsizliğini kullanarak zz'nin işaretini tespit ediniz.
3
xx ve zz zıt işaretlidir (x+z=0x+z=0). zz pozitif olduğuna göre xx negatiftir. Seçenekleri x(−),y(+),z(+)x(-), y(+), z(+) işaretlerine göre deneyiniz.

Practice More

İşaret incelemesi içeren mutlak değerli eşitsizlik soruları çözülmesi önerilir.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek değerler seçilebilir. Örneğin y=2y=2 olsun. y<zy < z ise z=5z=5 olsun. x+z=0x+z=0 ise x=−5x=-5 olur. Bu değerleri şıklarda yerine koyarak sonucu kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 236Question →

a<0<ba < 0 < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu daima pozitif bir sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: b−ab - a

Answer

İfadesi pozitif olan seçenek, pozitif bir sayıdan negatif bir sayının çıkarıldığı durumdur.
Pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığında, işlem b−a=b+(−a)b - a = b + (-a) halini alır. aa negatif olduğu için −a-a pozitiftir. İki pozitif sayının toplamı ise her zaman pozitiftir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen değişkenlerin işaretlerini belirleyin.
aa negatif (−-), bb pozitif (++) bir sayıdır.
Soruda verilen a<0<ba < 0 < b eşitsizliğine göre aa sıfırdan küçük, bb ise sıfırdan büyüktür.
2
b−ab - a ifadesinin işaretini analiz edin.
(+)−(−)(+) - (-) işlemi (+)+(+)(+) + (+) işlemine dönüşür.
Matematikte bir sayıdan negatif bir sayıyı çıkarmak, o sayının pozitif değerini eklemekle aynı sonucu verir (b−(−∣a∣)=b+∣a∣b - (-|a|) = b + |a|).
3
Sonucu doğrulayın.
İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitiftir.
Pozitif tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır ve sonuç her zaman sıfırdan büyüktür.

Key Concept

İşaretlerin çarpımı ve farkı kuralları

Hints

1
Sayıların sayı doğrusu üzerindeki konumlarını hayal edin: aa sıfırın solunda, bb ise sağındadır.
2
İki eksi işaretinin yan yana gelmesi (çıkarma işlemi ve sayının kendi işareti) durumunda ne olduğunu hatırlayın.
3
Büyük bir sayıdan küçük bir sayı çıkarıldığında sonucun her zaman pozitif olacağını düşünün (b>ab > a durumu).

Practice More

Negatif sayıların çift kuvvetlerinin neden her zaman pozitif olduğunu araştırabilirsiniz.

Alternative Method

Sayı değerleri vererek deneyebilirsiniz: a=−1a = -1 ve b=1b = 1 alalım. b−a=1−(−1)=1+1=2b - a = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 olur ve bu pozitiftir.
Estimated Time:45s
Question 237Question →
Verilen bir nn doğal sayısı için,
(n+1)!+n!=80⋅(n−1)! (n+1)! + n! = 80 \cdot (n-1)!

eşitliği sağlandığına göre, nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen denklemi sağlayan nn değeri 8'dir.
Denklemdeki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadeleri (n−1)!(n-1)! cinsinden açılıp sadeleştirildiğinde n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 8, eşitliği sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden açalım.
(n+1)⋅n⋅(n−1)!+n⋅(n−1)!=80⋅(n−1)! (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! + n \cdot (n-1)! = 80 \cdot (n-1)!
Denklemin her iki tarafında ortak bir terim elde ederek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Sol tarafı (n−1)!(n-1)! parantezine alalım.
(n−1)!⋅[(n+1)⋅n+n]=80⋅(n−1)! (n-1)! \cdot [(n+1) \cdot n + n] = 80 \cdot (n-1)!
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulandı.
3
Her iki tarafı (n−1)!(n-1)! ifadesine bölerek sadeleştirelim.
(n+1)⋅n+n=80 (n+1) \cdot n + n = 80
nn bir doğal sayı olduğundan (n−1)!(n-1)! sıfırdan farklıdır ve sadeleşebilir.
4
Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem haline getirelim.
n2+n+n=80⇒n2+2n−80=0 n^2 + n + n = 80 \Rightarrow n^2 + 2n - 80 = 0
Parantez dağıtıldı ve tüm terimler bir tarafa toplandı.
5
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
(n+10)(n−8)=0 (n+10)(n-8) = 0
Çarpımları -80, toplamları +2 olan sayılar +10 ve -8'dir.
6
Kökleri belirleyelim.
n=−10 n = -10 veya n=8 n = 8
nn bir doğal sayı olması gerektiği için n=8n = 8 değerini seçeriz.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme yapmak için büyük ifadeler küçük olanın cinsinden açılır (n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!).

Hints

1
Faktöriyel ifadelerini en küçük olanın ((n−1)! (n-1)! ) cinsinden yazmayı deneyin.
2
İfadeyi (n−1)!(n-1)! parantezine alıp sadeleştirdiğinizde karşınıza nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem çıkacaktır.
3
n2+2n−80=0n^2 + 2n - 80 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak pozitif olan kökü bulun.

Practice More

Faktöriyel içeren sadeleştirme sorularında her zaman en küçük faktöriyel terimini baz alarak paranteze alma yöntemini kullanın.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denklemde yerine koyarak da çözüm aranabilir. Örneğin 8 için 9!+8!=8!(9+1)=10⋅8!=10⋅8⋅7!=80⋅7!9! + 8! = 8!(9+1) = 10 \cdot 8! = 10 \cdot 8 \cdot 7! = 80 \cdot 7! olduğu görülerek hızlıca doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 238Question →

Asal sayılar, sadece 11'e ve kendisine tam bölünebilen, 11'den büyük doğal sayılardır. Buna göre, en küçük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1313

Answer

En küçük asal sayı 22 ve iki basamaklı en küçük asal sayı 1111 olduğundan toplamları 1313 olur.
Doğru cevap olan 1313 değeri, asal sayılar kümesinin en küçük elemanı olan 22 ile iki basamaklı sayılar arasındaki ilk asal sayı olan 1111 sayısının toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
En küçük asal sayıyı belirle.
22
Asal sayılar 11'den büyüktür ve en küçük asal sayı 22'dir. Ayrıca 22, tek çift asal sayıdır.
2
İki basamaklı en küçük asal sayıyı belirle.
1111
1010 sayısı çift olduğu için asal değildir; 1111 ise sadece 11 ve kendisine bölündüğü için en küçük iki basamaklı asal sayıdır.
3
Bulunan sayıları topla.
2+11=132 + 11 = 13
Soruda istenen iki değerin toplamıdır.

Key Concept

Asal Sayı Tanımı ve Özellikleri

Hints

1
Asal sayıların 11'den büyük olması gerektiğini ve en küçüğünün çift olduğunu hatırla.
2
En küçük asal sayı 22'dir. Şimdi iki basamaklı sayıları 1010'dan başlayarak kontrol et.
3
1010 çift olduğu için asal olamaz. 1111 sayısının bölenlerini düşünerek devam et.

Practice More

İlk beş asal sayının toplamını bularak pratiğini geliştirebilirsin.
Estimated Time:45s
Question 239Question →
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
a⋅(b+c)=154 a \cdot (b + c) = 154

eşitliği veriliyor.
Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 595

Answer

Doğru cevap 595'tir.
Verilen eşitlikte aa'nın 154'ün asal çarpanlarından biri (2, 7, 11) olması gerekir. a=2a=2 için b+c=77b+c=77 (tek) olması gerektiğinden bb veya cc'den biri 2 olmalıdır, ancak a=2a=2 olduğu için bu 'farklılık' şartına uymaz. a=11a=11 için b+c=14b+c=14 olur; olası çiftler (3,11) ve (7,7) de farklılık şartına uymaz. a=7a=7 için b+c=22b+c=22 olur ve (5,17) ikilisi şartları sağlar. Bu durumda çarpım 7⋅5⋅17=5957 \cdot 5 \cdot 17 = 595 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği analiz et ve aa'nın olası değerlerini belirle.
aa bir asal sayı ve 154'ün çarpanı olmalıdır. 154=2⋅7⋅11154 = 2 \cdot 7 \cdot 11 olduğundan a∈{2,7,11}a \in \{2, 7, 11\} olabilir.
Çarpım sonucunun bir tam sayı olması için çarpanların, sonucun bölenleri olması gerekir.
2
a=2a = 2 durumunu incele.
2⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=772 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 77. bb ve cc asal sayı olduğundan, toplamları tek sayı (77) ise biri mutlaka çift (2) olmalıdır. Ancak a=2a=2 olduğundan ve sayılar birbirinden farklı olduğundan bb veya cc 2 olamaz. Bu durumda çözüm yoktur.
Asal sayılarda teklik-çiftlik (parite) kontrolü.
3
a=11a = 11 durumunu incele.
11⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=1411 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 14. Toplamı 14 olan asal sayı ikilileri: (3, 11) ve (7, 7). Ancak a=11a=11 olduğundan (3, 11) seçilemez (c≠ac \neq a). (7, 7) ise b≠cb \neq c şartını sağlamaz. Bu durumda da çözüm yoktur.
Verilen 'birbirinden farklı' şartının kontrolü.
4
a=7a = 7 durumunu incele ve olası (b,c)(b, c) ikililerini bul.
7⋅(b+c)=154  ⟹  b+c=227 \cdot (b + c) = 154 \implies b + c = 22. Toplamı 22 olan asal sayı ikilileri: (3,19)(3, 19) ve (5,17)(5, 17). (11,11)(11, 11) farklılık şartını sağlamaz.
Olası tüm asal sayı çiftlerini listeleme.
5
Bulunan ikililer için a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımını hesapla ve en büyüğünü seç.
Durum 1: {7,3,19}  ⟹  7⋅3⋅19=399\{7, 3, 19\} \implies 7 \cdot 3 \cdot 19 = 399. Durum 2: {7,5,17}  ⟹  7⋅5⋅17=595\{7, 5, 17\} \implies 7 \cdot 5 \cdot 17 = 595. En büyük değer 595'tir.
Maksimum değeri bulma.

Key Concept

Asal sayıların parite (teklik-çiftlik) özellikleri ve çarpan analizi

Hints

1
154 sayısını asal çarpanlarına ayırarak aa sayısının alabileceği olası değerleri belirleyiniz (154=2⋅7⋅11154 = 2 \cdot 7 \cdot 11).
2
aa'nın her bir olası değeri için b+cb+c toplamını bulunuz ve bu toplamı veren 'birbirinden farklı' asal sayı ikililerinin varlığını kontrol ediniz.
3
a=2a=2 olduğunda b+c=77b+c=77 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (77) ise, biri mutlaka 2 olmalıdır. Ancak aa zaten 2 olduğu için bu durum mümkün müdür?

Practice More

İki asal sayının kareleri farkının bir asal sayıya eşit olduğu durumları inceleyen sorular çözebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Question 240Question →

n>2n > 2 olan bir doğal sayı olmak üzere,

(n!)2−[(n−1)!]2n!+(n−1)!−(n2−3n)⋅(n−2)!=168 \frac{(n!)^2 - [(n-1)!]^2}{n! + (n-1)!} - (n^2 - 3n) \cdot (n-2)! = 168


eşitliği verilmektedir. Buna göre, nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen denklemde kesirli ifade sadeleştirildiğinde n!−(n−1)!n! - (n-1)! elde edilir. Tüm ifade (n−2)!(n-2)! parantezine alındığında, parantez içi (n+1)(n+1) olarak sadeleşir. Sonuçta (n−2)!⋅(n+1)=168(n-2)! \cdot (n+1) = 168 denklemi bulunur ve bu denklemi sağlayan tek doğal sayı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin payını iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayır ve sadeleştir.
((n)!−(n−1)!)(n!+(n−1)!)n!+(n−1)!=n!−(n−1)! \frac{((n)! - (n-1)!)(n! + (n-1)!)}{n! + (n-1)!} = n! - (n-1)!
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullanmak işlemi basitleştirir.
2
Elde edilen ifadeyi (n−2)!(n-2)! parantezine alacak şekilde düzenle.
n!−(n−1)!=(n−1)!(n−1)=(n−2)!(n−1)2 n! - (n-1)! = (n-1)!(n-1) = (n-2)!(n-1)^2
Tüm terimleri en küçük faktöriyel olan (n−2)!(n-2)! cinsinden yazmak ortak paranteze almayı sağlar.
3
Ana denklemde yerine koy ve (n−2)!(n-2)! parantezine al.
(n−2)![(n−1)2−(n2−3n)]=168 (n-2)! [ (n-1)^2 - (n^2 - 3n) ] = 168
Ortak çarpan parantezi polinom ifadelerini birleştirmeyi sağlar.
4
Köşeli parantez içindeki polinomu sadeleştir.
(n2−2n+1)−(n2−3n)=n+1 (n^2 - 2n + 1) - (n^2 - 3n) = n + 1
Cebirsel sadeleştirme sonucu basit bir çarpan elde edilir.
5
Son denklemi çöz: (n−2)!⋅(n+1)=168(n-2)! \cdot (n+1) = 168.
n=6n=6 için: 4!⋅7=24⋅7=1684! \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168. Doğru değer 6'dır.
Deneme-yanılma yoluyla veya 168'in çarpanlarına bakılarak n değeri bulunur.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde iki kare farkı özdeşliği ve ortak paranteze alma yöntemiyle sadeleştirme.

Hints

1
Kesirli ifadenin pay kısmında x2−y2x^2 - y^2 (iki kare farkı) özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
Kesirli ifadeyi sadeleştirdikten sonra, tüm terimleri en küçük faktöriyel olan (n−2)!(n-2)! cinsinden ifade edip ortak paranteze alın.

Practice More

Faktöriyel ve polinom sadeleştirmesi içeren benzer sorular çözerek pratik yapın.
Estimated Time:4m 0s
PreviousPage 12 / 16Next
Temel Kavramlar ve Sayılar — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 12 | Examkin