Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

Question 41Question →

A={−123,0,9,0,25,2⋅8,π+1}A = \{ - \frac{12}{3}, \sqrt{0,9}, 0,25, \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}, \pi + 1 \} kümesi veriliyor.

Buna göre bu kümenin elemanları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Show answer & explanation

Answer: Kümede 2 tane doğal sayı bulunmaktadır.

Answer

Kümede sadece 1 tane doğal sayı bulunmaktadır, bu nedenle 'Kümede 2 tane doğal sayı bulunmaktadır' ifadesi yanlıştır.
Kümede bulunan −4-4 sayısı bir tam sayıdır ancak doğal sayı değildir. Doğal sayılar kümesi 00 ile başlar ve pozitif yönde sonsuza gider. Kümedeki tek doğal sayı 2⋅8=4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4 sayısıdır. Dolayısıyla '2 tane doğal sayı vardır' ifadesi hatalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki karmaşık görünen ifadeleri sadeleştirin.
−123=−4- \frac{12}{3} = -4 (Tam sayı, rasyonel sayı)
0,9=910=310\sqrt{0,9} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} (İrrasyonel sayı)
0,25=25100=140,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} (Rasyonel sayı)
2⋅8=16=4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 (Doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı)
π+1\pi + 1 (İrrasyonel sayı)
Sayıların hangi kümeye ait olduğunu belirlemek için en sade hallerini görmek gerekir.
2
Her bir sayı kümesi için eleman sayılarını belirleyin.
Rasyonel Sayılar (QQ): {−4,0,25,4}\{-4, 0,25, 4\} →\rightarrow 3 tane
İrrasyonel Sayılar (Q′Q'): {0,9,π+1}\{\sqrt{0,9}, \pi + 1\} →\rightarrow 2 tane
Tam Sayılar (ZZ): {−4,4}\{-4, 4\} →\rightarrow 2 tane
Doğal Sayılar (NN): {4}\{4\} →\rightarrow 1 tane
Gerçel Sayılar (RR): Hepsi →\rightarrow 5 tane
Seçeneklerin doğruluğunu kontrol etmek için sayısal verileri gruplandırmak gerekir.

Key Concept

Sayı kümeleri arasındaki hiyerarşik ilişki (N⊂Z⊂Q⊂RN \subset Z \subset Q \subset R) ve rasyonel-irrasyonel sayı ayrımı.

Hints

1
Önce köklü ve rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sayıların gerçek değerlerini bulun.
2
Doğal sayılar kümesinin negatif sayıları kapsayıp kapsamadığını hatırlayın.
3
−12/3=−4-12/3 = -4 ve 2⋅8=4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4 sonuçlarını sayı kümeleriyle eşleştirin.

Practice More

İrrasyonel sayılarla yapılan toplama ve çarpma işlemlerinin sonucunun her zaman irrasyonel olup olmadığını araştırın.
Estimated Time:1m 30s
Question 42Question →

a,ba, b ve cc tam sayıları için,
* a2+aba^2 + ab ifadesinin bir çift sayı,
* b2+bcb^2 + bc ifadesinin bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek bir sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: a⋅c+ba \cdot c + b

Answer

a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi daima tektir.
b(b+c)b(b+c) çarpımının tek olması için bb tek ve cc çift olmalıdır. a(a+b)a(a+b) ifadesi ise bb tek olduğunda aa tek olsa da çift olsa da çift sonuç vereceği için aa hakkında kesin bilgi yoktur. Ancak cc çift olduğu için a⋅ca \cdot c çarpımı her zaman çifttir ve tek olan bb ile toplandığında sonuç daima tek olur.

Step-by-Step Solution

1
b2+bcb^2 + bc ifadesinin çarpanlarına ayrılarak incelenmesi
bb sayısının tek, cc sayısının çift olduğunun belirlenmesi
b2+bc=b(b+c)b^2 + bc = b(b + c) şeklinde yazılır. Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir. Dolayısıyla bb tektir ve b+cb + c tektir. bb tek ise cc çift olmalıdır.
2
a2+aba^2 + ab ifadesinin bb değeri yerine yazılarak analiz edilmesi
aa sayısının hem tek hem de çift olabileceğinin fark edilmesi
a2+ab=a(a+b)a^2 + ab = a(a + b) şeklinde yazılır. bb tek iken; eğer aa tek ise T×(T+T)=T×C\c=C\ciftT \times (T + T) = T \times Ç = Çift olur. Eğer aa çift ise C\c×(C\c+T)=C\c×T=C\ciftÇ \times (Ç + T) = Ç \times T = Çift olur. Bu durumda aa her iki değerini de alabilir.
3
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin kesinlik testine tabi tutulması
İfadenin daima tek sonuç verdiğinin kanıtlanması
cc çift bir sayı olduğundan, aa ne olursa olsun a⋅ca \cdot c çarpımı daima çifttir. bb sayısı tek olduğu için C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek kuralı gereği sonuç daima tektir.

Key Concept

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinde teklik-çiftlik analizi ve çarpanlara ayırma yöntemi.

Hints

1
Öncelikle çarpım durumuna getirilebilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak başlayın.
2
b(b+c)b(b+c) çarpımı tek ise hem bb hem de b+cb+c ifadesinin tek olması gerektiğini unutmayın.
3
a(a+b)a(a+b) ifadesinde bb tek iken aa'nın hem tek hem de çift olma durumlarını ayrı ayrı test edin.

Practice More

Değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu belirtilseydi, üslü ifadelerin tabanlarının parity üzerindeki etkisini inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi kullanılabilir: b=1b=1 ve c=2c=2 (bu durumda b2+bc=1+2=3b^2+bc = 1+2=3 tek olur) seçilirse, a(a+1)a(a+1) çift olmalıdır. a=1a=1 ve a=2a=2 değerlerini seçeneklerde deneyerek her iki durumda da tek çıkan seçeneği bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 43Question →

2a2a sayısından başlayan nn tane ardışık pozitif çift tam sayının toplamı 120120 olarak verilmiştir.

Bu sayı dizisinin terim sayısı (nn), dizinin ilk terimine eşit olduğuna göre, dizinin en büyük terimi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Dizinin en büyük terimi 22'dir.
Ardışık çift sayıların toplam formülü kullanılarak kurulan 2n2−n−120=02n^2 - n - 120 = 0 denkleminin çözümü n=8n=8'i verir. Bu, dizinin ilk terimidir. Son terim formülü uygulandığında (8+(8−1)28 + (8-1)2) sonuç 22 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilenleri matematiksel ifadelere dök.
İlk terim = 2a2a, Terim sayısı n=2an = 2a. Dizi: n,n+2,n+4,...n, n+2, n+4, ...
Soruda terim sayısının ilk terime eşit olduğu belirtilmiştir.
2
Son terimi nn cinsinden ifade et.
Son Terim = İlk Terim + (Terim Sayısı - 1) ×\times Artış Miktarı = n+(n−1)2=3n−2n + (n-1)2 = 3n - 2
Ardışık çift sayılar 2'şer artar.
3
Toplam formülünü kur ve nn değerini bul.
Toplam = n2(I˙lk+Son)=n2(n+3n−2)=n(2n−1)=2n2−n=120\frac{n}{2}(\text{İlk} + \text{Son}) = \frac{n}{2}(n + 3n - 2) = n(2n-1) = 2n^2 - n = 120. Buradan n=8n=8 bulunur.
İkinci dereceden denklem çözümü (2n2−n−120=02n^2 - n - 120 = 0) sonucu pozitif kök alınır.
4
En büyük terimi hesapla.
En büyük terim = 3n−2=3(8)−2=223n - 2 = 3(8) - 2 = 22.
Bulunan nn değeri son terim formülünde yerine yazılır.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde genel toplam formülü: Terim Sayısı ×\times Ortancadır.

Hints

1
Terim sayısı ile ilk terimin eşit olduğunu (nn) kullanarak, son terimi nn cinsinden yazmayı deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Question 44Question →
Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
∣x∣x+∣y∣y+∣z∣z=−1 \frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z} = -1
x⋅y<0 x \cdot y < 0
y−z<0 y - z < 0
bilgileri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0

Answer

x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitlikten hareketle iki sayının negatif, bir sayının pozitif olduğu bulunur. xx ve yy'nin çarpımı negatif olduğundan zıt işaretlidirler, bu durumda üçüncü sayı olan zz kesinlikle negatiftir. y<zy < z bilgisiyle yy'nin de negatif olduğu, dolayısıyla xx'in pozitif olduğu kesinleşir. İstenen ifadede pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında (x−yx-y) pay pozitif olur; payda (zz) ise negatiftir. Artının eksiye bölümü daima negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitliği analiz et.
∣a∣a\frac{|a|}{a} ifadesi a>0a>0 için 11, a<0a<0 için −1-1 değerini alır. Toplamın −1-1 olması için terimlerden ikisi −1-1, biri +1+1 olmalıdır. Yani sayılardan ikisi negatif, biri pozitiftir.
İşaret analizi yapmak için.
2
İkinci ve üçüncü eşitsizlikleri kullanarak işaretleri belirle.
x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğu için xx ve yy zıt işaretlidir (biri negatif, biri pozitif). Toplamda iki negatif sayı olması gerektiğinden, geriye kalan zz sayısı kesinlikle negatif olmalıdır (z<0z < 0).
Değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek için.
3
yy ve xx işaretlerini netleştir.
y−z<0y - z < 0 ifadesinden y<zy < z elde edilir. zz negatif olduğuna göre, zz'den küçük olan yy de kesinlikle negatiftir. yy negatif ise, zıt işaretli olan xx pozitiftir.
Sıralamayı ve tüm işaretleri bulmak için.
4
Elde edilen bulguları özetle.
İşaretler: x(+),y(−),z(−)x(+), y(-), z(-). Sıralama: y<z<0<xy < z < 0 < x.
Seçenekleri test etmek için referans oluşturmak.
5
Doğru seçeneği test et.
x−yz\frac{x - y}{z} ifadesinde; Pay (x−yx - y) = (Pozitif) - (Negatif) = Pozitif. Payda (zz) = Negatif. Sonuç: (+)/(−)=(−)(+) / (-) = (-). İfade <0< 0 dediği için bu seçenek daima doğrudur.
Kesin doğruluğu kanıtlamak için.

Key Concept

İşaret Fonksiyonu ve Eşitsizlik Sistemleri

Hints

1
∣a∣a\frac{|a|}{a} ifadesi sadece 11 veya −1-1 değerini alabilir. Toplamın −1-1 olması, kaç tanesinin negatif olması gerektiğini gösterir?
Estimated Time:2m 30s
Question 45Question →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+2b)⋅(b+3c)=2023(a + 2b) \cdot (b + 3c) = 2023
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

Show answer & explanation

Answer: a + b + c

Answer

a+b+ca + b + c ifadesi daima çifttir.
Verilen eşitlikte çarpım tek sayı olduğundan her iki çarpan da tek olmalıdır. a+2ba+2b tek ise, 2b2b çift olduğundan aa kesinlikle tektir. b+3cb+3c tek ise, bb ve 3c3c (dolayısıyla cc) zıt karakterlidir (biri tek, biri çift). Bu durumda b+cb+c toplamı kesinlikle tektir. Sonuç olarak a+b+ca + b + c ifadesi, Tek+(Tek)Tek + (Tek) formundadır ve iki tek sayının toplamı daima çifttir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafını analiz et.
2023 tek sayıdır. Çarpım sonucu tek ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır: (a+2b)=Tek(a + 2b) = \text{Tek} ve (b+3c)=Tek(b + 3c) = \text{Tek}.
Çarpma işleminde sonucun tek olabilmesi için tüm çarpanların tek olması gerekir (T⋅T=TT \cdot T = T).
2
Birinci çarpanı kullanarak aa'nın durumunu belirle.
a+2b=Teka + 2b = \text{Tek}. 2b2b her zaman çifttir. Bu durumda aa kesinlikle Tek sayıdır.
Çift bir sayı ile ancak tek bir sayı toplanırsa sonuç tek olur (C\c+T=TÇ + T = T).
3
İkinci çarpanı kullanarak bb ve cc arasındaki ilişkiyi belirle.
b+3c=Tekb + 3c = \text{Tek}. Katsayısı tek olan 3c3c, cc ile aynı karakterdedir. Yani b+c=Tekb + c = \text{Tek} demektir.
İki sayının toplamı tek ise, bu sayılardan biri tek, diğeri çifttir. Yani bb ve cc zıt karakterlidir.
4
Doğru seçeneği bulmak için verileri birleştir.
aa tektir, (b+c)(b+c) tektir. Bizden a+b+ca + b + c isteniyor. a+(b+c)=Tek+Tek=C¸ifta + (b+c) = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}.
İki tek sayının toplamı daima çifttir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler

Hints

1
Çarpım sonucu 2023 (tek sayı) olduğuna göre, parantez içlerinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyin.
2
a+2ba + 2b tek ise aa nedir? b+3cb + 3c tek ise bb ve cc arasındaki teklik-çiftlik ilişkisi nasıldır?
3
aa kesinlikle tektir. bb ve cc'den biri tek diğeri çifttir, yani (b+c)(b+c) toplamı tektir. a+(b+c)a + (b+c) toplamını düşünün.

Practice More

İçinde faktöriyel bulunan tek-çift sayı sorularını çözerek pratiğinizi artırın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan örnek değerler bulun. a=1a=1 (tek) olsun. 1+2b1+2b tektir. b+3cb+3c de tek olmalı. b=1b=1 (tek) seçersek, 1+3c1+3c tek olmalı →3c\rightarrow 3c çift →c=2\rightarrow c=2 (çift). a=1,b=1,c=2a=1, b=1, c=2 için şıkları deneyin. Sadece a+b+ca+b+c (1+1+2=41+1+2=4) çift çıkar.
Estimated Time:2m 30s
Question 46Question →

pp bir asal sayı olmak üzere, 17p+1\sqrt{17p + 1} ifadesi bir tam sayıya eşittir. Buna göre, pp aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

19
Verilen ifade 17p+1=k\sqrt{17p + 1} = k şeklinde düşünüldüğünde, 17p=(k−1)(k+1)17p = (k-1)(k+1) eşitliği elde edilir. 17 asal bir sayı olduğundan, sağ taraftaki çarpanlardan biri 17'nin katı olmalıdır. (k+1)(k+1) ve (k−1)(k-1) arasındaki fark 2'dir. Bu şartı sağlayan durum k−1=17k-1=17 ve k+1=19k+1=19 olduğunda gerçekleşir (çünkü 1919 da asaldır). Buradan p=19p=19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin bir tam sayıya eşit olduğunu varsayarak denklemi kurun.
17p+1=k\sqrt{17p + 1} = k (k bir pozitif tam sayı)
Kök dışına tam sayı olarak çıkması için içerisi tam kare olmalıdır.
2
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak pp'yi yalnız bırakmaya yönelik düzenleme yapın.
17p+1=k2⇒17p=k2−117p + 1 = k^2 \Rightarrow 17p = k^2 - 1
Köklü ifadeden kurtulmak için kare alınır.
3
İki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlara ayırın.
17p=(k−1)⋅(k+1)17p = (k - 1) \cdot (k + 1)
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliği kullanılır.
4
Asal çarpanları analiz ederek pp değerini bulun. 17 asal olduğu için çarpanlardan biri 17 olmalıdır.
Çarpanlar (k−1)(k-1) ve (k+1)(k+1) aralarındaki fark 2'dir. Biri 17, diğeri pp olmalıdır. k−1=17k-1=17 ise k=18k=18. O zaman k+1=19k+1=19. Yani p=19p=19.
17 ve p asal sayılar olduğu için, (k−1)(k-1) ve (k+1)(k+1) çarpanları 17 ve p (veya 1 ve 17p) olmalıdır. Farkı 2 olan tek uygun durum budur.
5
Bulunan değeri kontrol edin.
17⋅19+1=323+1=324=18\sqrt{17 \cdot 19 + 1} = \sqrt{323 + 1} = \sqrt{324} = 18. Tam sayıdır.
Sağlaması yapılarak çözüm doğrulanır.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki kare farkı özdeşliği.
Question 47Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı sayı türleri ve bu türler arasındaki ilişkiler ile ilgili olarak, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.

Answer

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi (Q\mathbb{Q}) ile İrrasyonel sayılar kümesi (Q′\mathbb{Q}') ayrıktır. Bir rasyonel sayı (rr) ile bir irrasyonel sayının (ii) toplamı her zaman irrasyoneldir. Aksini varsayarsak, yani r+i=qr + i = q (rasyonel) desek, i=q−ri = q - r olurdu. İki rasyonel sayının farkı yine rasyonel olacağı için bu durum ii'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.

Step-by-Step Solution

1
Seçeneklerde verilen kümeler arası ilişkileri ve işlem özelliklerini tek tek analiz et.
Her seçeneğin doğruluğunu test etmek için karşıt örnek (aksine örnek) düşünülür.
'Daima doğrudur' sorularında tek bir karşıt örnek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlar.
2
Birinci seçeneği incele: 'İki irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.'
Yanlış. Örnek: a=3a = \sqrt{3} ve b=−3b = -\sqrt{3} irrasyoneldir ancak a+b=0a+b = 0 rasyoneldir.
İrrasyonel sayıların toplamı rasyonel olabilir.
3
İkinci seçeneği incele: 'Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.'
Yanlış. Örnek: Rasyonel sayı 00 alındığında, 0⋅2=00 \cdot \sqrt{2} = 0 olur ve 00 rasyoneldir.
Yutan eleman (00) kuralı bu genellemeyi bozar.
4
Üçüncü seçeneği incele: 'Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.'
Doğru. r∈Qr \in \mathbb{Q} ve i∈Q′i \in \mathbb{Q}' olsun. Eğer r+i=q∈Qr+i = q \in \mathbb{Q} olsa, i=q−ri = q-r olurdu. İki rasyonel sayının farkı rasyonel olacağından ii rasyonel çıkardı, bu bir çelişkidir.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı kapalı değildir, sonuç daima irrasyoneldir.
5
Dördüncü ve beşinci seçenekleri kontrol et.
D yanlış (Negatif tam sayılar doğal sayı değildir). E yanlış (π2\pi^2 irrasyoneldir).
Diğer seçeneklerin de kesinlikle yanlış olduğundan emin olunur.

Key Concept

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler ve İşlemler
Question 48Question →
xx ve yy birer asal sayı olmak üzere,
y=x2+19 y = x^2 + 19
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Verilen eşitliği sağlayan asal sayıların toplamı 25'tir.
Verilen y=x2+19y = x^2 + 19 denkleminde yy bir asal sayı ise, xx mutlaka çift olmak zorundadır. Çünkü xx tek olsaydı x2+19x^2 + 19 ifadesi çift bir sayı olurdu ve 2'den büyük hiçbir çift sayı asal değildir. Tek çift asal sayı 2 olduğu için x=2x = 2 alınır. Bu durumda y=4+19=23y = 4 + 19 = 23 olur. Hem 2 hem de 23 asal sayı olduğundan koşul sağlanır. Toplamları ise 2+23=252 + 23 = 25 eder.

Step-by-Step Solution

1
xx asal sayısının tek veya çift olma durumunu incele.
xx sayısı 2'den büyük bir asal sayı (tek sayı) olsaydı, x2x^2 de tek olurdu.
Asal sayıların 2 haricindeki tamamı tek sayıdır ve tek sayıların karesi de tektir.
2
yy sayısının asallığını kontrol et.
y=tek+19=c¸ifty = \text{tek} + 19 = \text{çift} olurdu. 2'den büyük çift sayılar asal olamaz.
İki tek sayının toplamı çifttir ve 2'den büyük çift sayılar asal sayı tanımına uymaz.
3
xx için tek çift olan asal sayıyı yerine koy.
x=2x = 2 olmalıdır. Buradan y=22+19=4+19=23y = 2^2 + 19 = 4 + 19 = 23 bulunur.
Denklemin her iki tarafının da asal olması için xx çift asal sayı (2) olmalıdır.
4
İstenen toplamı hesapla.
x+y=2+23=25x + y = 2 + 23 = 25 olarak bulunur.
Soru kökünde xx ve yy değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Asal sayılar içerisinde çift olan tek sayının 2 olması ve sayıların teklik-çiftlik özelliklerinin asal sayı sorularındaki belirleyici rolü.

Hints

1
xx sayısı tek bir asal sayı olsaydı, yy nasıl bir sayı olurdu?
2
En küçük ve tek çift asal sayıyı hatırlayın; bu sayı denklemi sağlıyor mu?
3
x=2x=2 değerini denklemde yerine koyarak yy değerini bulun ve asallığını kontrol edin.

Practice More

İki asal sayının farkı tek bir sayı ise bu sayılardan birinin mutlaka 2 olması gerektiğini unutmayın.

Alternative Method

Değer verme yöntemiyle en küçük asal sayılardan (2, 3, 5...) başlanarak yy değerinin asal olup olmadığı kontrol edilebilir. x=2x=2 için y=23y=23 (asal), x=3x=3 için y=28y=28 (asal değil) olduğu görülür.
Estimated Time:1m 15s
Question 49Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x−z>∣x+z∣ x - z > |x + z|
x+y<0 x + y < 0
y>z y > z

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2

Answer

Sayıların karelerinin sıralaması x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 şeklindedir.
Verilen x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliği, xx'in pozitif ve zz'nin negatif olduğunu garanti eder. İkinci bilgi (x+y<0x+y<0), pozitif xx'e rağmen toplamın negatif olması nedeniyle yy'nin negatif olduğunu ve sıfıra olan uzaklığının xx'ten fazla olduğunu gösterir (∣y∣>∣x∣|y|>|x|). Üçüncü bilgi (y>zy>z), her ikisi de negatif olan bu sayılardan zz'nin daha solda (daha küçük) olduğunu, dolayısıyla sıfıra en uzak olanın zz olduğunu kanıtlar (∣z∣>∣y∣|z|>|y|). Sıfıra uzaklık (mutlak değer) arttıkça kare de büyüdüğünden, doğru sıralama x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 olur.

Step-by-Step Solution

1
x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliğini analiz et.
x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğu tespit edilir.
Bir sayının (x−zx-z) mutlak değerden büyük olması için pozitif olması gerekir. Ayrıca işaret analizi yapıldığında bu eşitsizlik sadece xx pozitif ve zz negatifken sağlanır.
2
x+y<0x + y < 0 eşitsizliğini ve xx'in işaretini kullanarak yy'yi yorumla.
y<−xy < -x olduğu için yy negatiftir ve mutlak değeri xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x).
Pozitif bir sayı (xx) ile toplandığında sonuç negatif oluyorsa, diğer sayı (yy) mutlak değerce daha büyük bir negatif sayı olmalıdır.
3
y>zy > z eşitsizliğini sayı doğrusu ve mutlak değer açısından değerlendir.
zz, yy'den daha küçüktür (daha soldadır), bu nedenle ∣z∣>∣y∣|z| > |y| olur.
Negatif sayılarda küçüldükçe sıfırdan uzaklaşılır, yani mutlak değer büyür.
4
Elde edilen mutlak değer ilişkilerini kare alma işlemiyle sırala.
∣z∣>∣y∣>∣x∣|z| > |y| > |x| olduğundan z2>y2>x2z^2 > y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değeri büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1
İlk eşitsizlikte xx ve zz'nin işaretlerini belirlemeye çalışın. Farkları (x−zx-z), toplamlarının mutlak değerinden büyükse, bu sayılar zıt işaretli olabilir mi?
2
x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliği ancak x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğunda sağlanır. Bunu doğruladıktan sonra diğer eşitsizlikleri kullanarak sayıların mutlak değerlerini (sıfıra uzaklıklarını) kıyaslayın.

Practice More

Benzer mantıkla a⋅b<0a \cdot b < 0 ve ∣a∣<∣b∣|a| < |b| verip a+ba+b toplamının işaretini soran sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme (Değer verme) yöntemi: x=2x=2 seçelim. x+y<0x+y<0 olması için y=−3y=-3 olsun (∣y∣>x|y|>x sağlanır). y>zy>z olması için z=−5z=-5 olsun. Şartları kontrol edelim: 2−(−5)>∣2−5∣⇒7>32 - (-5) > |2-5| \Rightarrow 7 > 3 (Doğru). Bu değerlerin kareleri: x2=4,y2=9,z2=25x^2=4, y^2=9, z^2=25. Sıralama x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 olur.
Estimated Time:2m 30s
Question 50Question →
k,mk, m ve nn pozitif tam sayılar olmak üzere,
7k+6m=8n+5 7k + 6m = 8n + 5
eşitliği verilmiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: k^m + k^n

Answer

k^m + k^n ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen denklemde çift katsayılı terimler (6m ve 8n) elendiğinde geriye 7k'nın tek sayıya eşit olduğu kalır, bu da k'nın kesinlikle tek sayı olduğunu gösterir. m ve n değişkenlerinin katsayıları çift olduğu için bu değişkenlerin kendileri hakkında yorum yapılamaz (tek de olabilirler çift de). Doğru seçenek, k'nın tek sayı olması durumunda iki tek sayının toplamını (Tek^m + Tek^n = Tek + Tek = Çift) ifade ettiği için daima çift sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikteki terimlerin teklik-çiftlik durumlarını incele.
6m ve 8n ifadeleri, katsayıları çift olduğu için m ve n ne olursa olsun daima çift sayıdır.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.
2
Eşitliği sadeleştirerek k sayısının durumunu belirle.
7k + Çift = Çift + 5 (Tek) eşitliğinden, 7k + Çift = Tek bulunur. Çift sayıyı karşıya atarsak 7k = Tek - Çift = Tek olur.
Eşitliğin korunması için sol ve sağ tarafın paritesi (teklik-çiftlik durumu) aynı olmalıdır.
3
k sayısının tek mi çift mi olduğuna karar ver.
7k tek sayı olduğuna göre ve 7 tek sayı olduğundan, k kesinlikle tek sayı olmalıdır.
İki sayının çarpımı tek ise, çarpanların her ikisi de tek sayı olmalıdır.
4
Doğru seçeneği bulmak için k'nın tek olduğu bilgisini şıklarda dene.
k tek sayı olduğundan k^m ve k^n ifadeleri de tektir (pozitif tam sayı üsleri tekliği bozmaz). İki tek sayının toplamı (Tek + Tek) daima çift sayıdır.
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetleri tektir; iki tek sayının toplamı ise çifttir.

Key Concept

Tam sayılarda işlemlerin teklik-çiftlik özellikleri (Parite analizi)

Hints

1
Eşitlikteki terimlerin katsayılarına dikkat edin; çift katsayı ile çarpılan bir tam sayının sonucu daima çifttir.
2
6m ve 8n ifadeleri kesinlikle çifttir. Bu bilgiyi kullanarak 7k'nın teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
3
7k ifadesinin tek sayı olması zorunludur. k tek sayı ise, şıklardaki k^m + k^n ifadesinin sonucunu (Tek + Tek) inceleyin.

Practice More

Benzer mantıkla, çarpımları çift olan sayıların özelliklerini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıları bulmaya çalışın. Örneğin k=1 için 7(1) + 6m = 8n + 5 => 2 + 6m = 8n => 1 + 3m = 4n. m=1, n=1 bu eşitliği sağlar. k=1, m=1, n=1 değerlerini şıklarda deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 51Question →
5!4!+3!2!+0! \frac{5!}{4!} + \frac{3!}{2!} + 0!

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Yapılan sadeleştirmeler ve 0! tanımı sonucunda işlemin sonucu 9 olarak bulunur.
İşlemdeki faktöriyelli ifadeler sadeleştirildiğinde 5!4!=5 \frac{5!}{4!} = 5 ve 3!2!=3 \frac{3!}{2!} = 3 değerleri elde edilir. Faktöriyel kavramındaki en önemli kurallardan biri olan 0!=1 0! = 1 bilgisi de eklendiğinde toplam 5+3+1=95 + 3 + 1 = 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
5!4! \frac{5!}{4!} ifadesini sadeleştirin.
5⋅4!4!=5 \frac{5 \cdot 4!}{4!} = 5
Faktöriyel tanımı gereği n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! olduğundan büyük olan faktöriyel küçüğüne benzetilerek sadeleştirilir.
2
3!2! \frac{3!}{2!} ifadesini sadeleştirin.
3⋅2!2!=3 \frac{3 \cdot 2!}{2!} = 3
Pay kısmındaki 3!, 3 × 2! şeklinde yazılarak paydadaki 2! ile sadeleşir.
3
0! 0! değerini belirleyin.
0!=1 0! = 1
Matematiksel bir kabul ve tanım olarak 0 faktöriyel 1'e eşittir.
4
Bulunan değerleri toplayın.
5+3+1=9 5 + 3 + 1 = 9
İşlemdeki tüm terimler sadeleşmiş halleriyle toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve Özel Durumlar

Hints

1
Faktöriyelli ifadelerde bölme yaparken büyük sayıyı küçük sayıya kadar açıp sadeleştirmeyi deneyin.
2
5!=5⋅4! 5! = 5 \cdot 4! ve 3!=3⋅2! 3! = 3 \cdot 2! olduğunu hatırlayın. Ayrıca 0!0! değerinin kaça eşit olduğuna dikkat edin.
3
İşlemde 5!/4!=55!/4! = 5, 3!/2!=33!/2! = 3 ve 0!=10! = 1 değerlerini yerine koyarak toplama yapın.

Practice More

Benzer bir mantıkla (6!−5!)/4!(6! - 5!) / 4! işlemini yaparak sadeleştirme pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sadeleştirme yapmadan önce küçük sayıların faktöriyel değerlerini hesaplayabilirsiniz: 5!=1205!=120, 4!=244!=24, 3!=63!=6, 2!=22!=2. Buradan (120/24)+(6/2)+1=5+3+1=9(120/24) + (6/2) + 1 = 5 + 3 + 1 = 9 sonucuna varılır.
Estimated Time:45s
Question 52Question →

11'den nn'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı 1+2+3+⋯+n=n⋅(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2} formülü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, 11'den 1515'e kadar olan (1515 dahil) tüm ardışık tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

1'den 15'e kadar olan ardışık sayıların toplamı 120'dir.
Verilen toplam formülünde son terim olan n=15n=15 değeri yerine yazıldığında, 15×162\frac{15 \times 16}{2} işlemi sonucunda 120120 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Terim sayısını (nn) belirle.
n=15n = 15
Soru 1'den 15'e kadar olan sayıların toplamını istediği için son terim 15'tir.
2
Gauss toplam formülünü uygula.
15⋅(15+1)2=15⋅162\frac{15 \cdot (15 + 1)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2}
Ardışık sayıların toplamı için n(n+1)/2 formülü kullanılır.
3
Çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştir.
2402=120\frac{240}{2} = 120 veya 15⋅8=12015 \cdot 8 = 120
16 ile 2 sadeleştiğinde 8 kalır, 15 ile 8'in çarpımı sonucu verir.

Key Concept

Gauss Toplam Formülü: 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı

Hints

1
Soru metninde verilen formülü kullanmayı dene.
2
Formülde nn yerine toplamın bittiği son sayıyı (1515) yazmalısın.
3
1515 ile 1616'yı çarpıp sonucun yarısını alarak veya 1616 ile 22'yi sadeleştirip 15×815 \times 8 işlemini yaparak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

Ardışık çift sayıların (2, 4, 6, ...) toplam formülünü inceleyebilirsin.

Alternative Method

Sayıları gruplayarak toplama: (1+15) + (2+14) + ... + (7+9) + 8 şeklinde 7 tane 16 ve bir tane ortadaki 8 sayısını toplayarak (7 * 16 + 8 = 112 + 8 = 120) sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:45s
Question 53Question →

Pozitif tam sayılar kümesinde aralarında asal sayılar; 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır.

Buna göre, aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asaldır?

Show answer & explanation

Answer: 1 ve 72

Answer

1 ve 72 çifti aralarında asaldır.
1 ve 72 çiftinde, 1 sayısının tek pozitif böleni 1'dir. Dolayısıyla 72 ile olan tek ortak böleni de 1'dir. Matematiksel bir kural olarak 1, tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal olma tanımını hatırla.
İki sayının aralarında asal olması için 1 dışında hiçbir ortak pozitif böleninin olmaması gerekir.
Sorunun çözümündeki temel kriter budur.
2
Özel bir kural olan 1 sayısının durumunu değerlendir.
1 sayısı, tüm pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır.
1'in tek pozitif böleni kendisidir, dolayısıyla başka bir sayı ile 1'den başka ortak böleni olması mümkün değildir.
3
Verilen seçeneklerdeki ortak bölenleri kontrol et.
Diğer seçeneklerdeki sayıların 1 dışında 3, 5, 11 veya 14 gibi ortak bölenleri olduğu görülür.
Aralarında asal olmayan şıkları eleyerek doğru sonuca ulaşılır.

Key Concept

1 sayısı ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.

Hints

1
İki sayının aynı anda hangi sayılara bölündüğünü kontrol edin. Eğer sadece 1'e bölünüyorlarsa aralarında asaldırlar.
2
1 sayısının aralarında asal olma konusundaki özel durumunu hatırlayın; 1 tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
3
Seçeneklerdeki sayıların rakamları toplamına bakarak 3'e bölünüp bölünmediklerini veya son basamaklarına bakarak 5'e bölünüp bölünmediklerini hızlıca kontrol edebilirsiniz.

Practice More

Ardışık iki pozitif tam sayının (örneğin 15 ve 16) her zaman aralarında asal olduğunu kanıtlamaya çalışın.
Estimated Time:45s
Question 54Question →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
* a⋅b+ca \cdot b + c toplamı bir tek sayıdır.
* a+b⋅ca + b \cdot c toplamı bir tek sayıdır.
* ac+ba^c + b toplamı bir çift sayıdır.

eşitlikleri verilmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman tek sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: b+cb + c

Answer

Verilen koşullara göre bb tek ve cc çift sayı olduğundan, bu iki sayının toplamı olan ifade her zaman tek sayıdır.
Verilen üç koşulun aynı anda sağlanabilmesi için aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek, cc sayısının ise çift olması gerekmektedir. Bir tek sayı (bb) ile bir çift sayının (cc) toplamı her zaman tek sayı sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
ac+ba^c + b ifadesinin tekliğini/çiftliğini analiz edin.
aa ve bb sayılarının her ikisi de ya tek ya da çifttir.
cc pozitif bir tam sayı olduğundan, aca^c ifadesinin tekliği/çiftliği aa tabanı ile aynıdır. Toplamın çift olması için iki sayının da aynı karakterde olması gerekir.
2
aa ve bb sayılarının çift olduğu varsayımını test edin.
Çelişki oluşur.
aa ve bb çift olsaydı, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için cc tek olmalıydı. Bu durumda a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi (Ç + Ç ⋅\cdot T = Ç) çift olurdu, ancak soruda tek olduğu verilmiştir.
3
aa ve bb sayılarının tek olduğu varsayımını test edin.
aa: Tek, bb: Tek, cc: Çift.
aa ve bb tek ise, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için (T ⋅\cdot T + cc = T + cc = T) cc çift olmalıdır. Bu durumda a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi (T + T ⋅\cdot Ç = T + Ç = T) tek olur ve tüm koşullar sağlanır.
4
Bulunan karakterlere göre seçenekleri değerlendirin.
b+cb + c toplamı T + Ç = Tek olur.
aa: Tek, bb: Tek ve cc: Çift olduğu kesinleştiği için seçeneklerdeki işlemler bu değerlere göre yapılır.

Key Concept

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde teklik ve çiftlik analizi.
Estimated Time:1m 45s
Question 55Question →

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 3AB3AB doğal sayısı, iki basamaklı BABA doğal sayısının 14 katından 2 fazladır.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

A + B = 7
Verilen 3AB=14(BA)+23AB = 14(BA) + 2 eşitliği basamaklarına ayrıldığında 300+10A+B=140B+14A+2300 + 10A + B = 140B + 14A + 2 elde edilir. Bu denklem düzenlenirse 298=4A+139B298 = 4A + 139B bulunur. BB bir rakam olduğu için 139139 katsayısı ile deneme yapılır. B=2B=2 seçildiğinde 139×2=278139 \times 2 = 278 olur ve geriye kalan 2020 sayısı 4A4A'ya eşitlenerek A=5A=5 bulunur. Rakamları birbirinden farklı şartı (3,5,23, 5, 2) sağlandığı için toplam 5+2=75+2=7 olur.

Step-by-Step Solution

1
Problemi matematiksel eşitliğe dökün.
3AB=14⋅(BA)+23AB = 14 \cdot (BA) + 2
Soruda verilen 'katı' ve 'fazlası' ifadeleri matematiksel denkleme çevrilir.
2
Sayıları basamak değerlerine ayırarak (çözümleyerek) yazın.
300+10A+B=14(10B+A)+2300 + 10A + B = 14(10B + A) + 2
3AB3AB sayısı 300+10A+B300 + 10A + B ve BABA sayısı 10B+A10B + A şeklinde ifade edilir.
3
Parantezi dağıtın ve benzer terimleri bir araya getirin.
300+10A+B=140B+14A+2  ⟹  298=4A+139B300 + 10A + B = 140B + 14A + 2 \implies 298 = 4A + 139B
Denklem sadeleştirilerek AA ve BB rakamlarını bulmaya uygun hale getirilir.
4
BB için olası rakam değerlerini deneyerek AA'yı bulun.
B=2B=2 için 4A=298−278=20  ⟹  A=54A = 298 - 278 = 20 \implies A=5
B=1B=1 için 4A=1594A=159 (tam sayı değil), B≥3B \ge 3 için sonuç negatif çıkar. Tek çözüm A=5,B=2A=5, B=2 dir.
5
Rakamları toplayın.
A+B=5+2=7A + B = 5 + 2 = 7
Soruda istenen sonuç hesaplanır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Denklem Çözme

Hints

1
3AB3AB sayısı 300+10A+B300 + 10A + B şeklinde, BABA sayısı ise 10B+A10B + A şeklinde çözümlenir.
2
Denklemi kurup sadeleştirdiğinizde 298=4A+139B298 = 4A + 139B eşitliğine ulaşmalısınız.
3
139B139B ifadesinin 298'e yaklaşması için BB sadece 1 veya 2 olabilir. Bu değerleri deneyerek AA'nın tam sayı çıkıp çıkmadığına bakın.
Estimated Time:2m 30s
Question 56Question →
xx ve yy aralarında asal doğal sayılar olmak üzere,
x⋅y+72=13yx \cdot y + 72 = 13y
eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap, xx'in alabileceği değerlerin toplamı olan 24'tür.
Verilen denklem x=13−72yx = 13 - \frac{72}{y} şeklinde düzenlendiğinde, yy'nin 72'yi bölen ve 5,5'ten büyük bir sayı olması gerektiği bulunur. Olası yy değerleri denenip karşılık gelen xx değerleri bulunduğunda, sadece (1,6),(5,9),(7,12)(1,6), (5,9), (7,12) ve (11,36)(11,36) çiftlerinin aralarında asal olduğu görülür. Bu duruma uyan xx değerlerinin toplamı 1+5+7+11=241+5+7+11=24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde xx'i yalnız bırakarak yy ile ilişkisini belirle.
xy+72=13y⇒xy=13y−72⇒x=13y−72y=13−72yxy + 72 = 13y \Rightarrow xy = 13y - 72 \Rightarrow x = \frac{13y - 72}{y} = 13 - \frac{72}{y}
xx'in doğal sayı olması için yy'nin hangi şartları sağlaması gerektiğini görmek için.
2
xx'in bir doğal sayı olması şartını sağlayan yy değerlerini bul.
x>0x > 0 olması için 13−72y>0⇒13>72y⇒y>7213≈5,513 - \frac{72}{y} > 0 \Rightarrow 13 > \frac{72}{y} \Rightarrow y > \frac{72}{13} \approx 5,5. Ayrıca 72y\frac{72}{y} tam sayı olmalı, yani yy, 72'nin 5,5'ten büyük bölenleri olmalıdır: {6,8,9,12,18,24,36,72}\{6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}.
Olası tüm adayları belirlemek için.
3
Her bir yy değeri için xx'i hesapla ve (x,y)(x, y) çiftinin aralarında asal olup olmadığını kontrol et.
Tablo oluşturarak kontrol edelim:
- y=6⇒x=13−12=1y=6 \Rightarrow x=13-12=1. (1,6)(1,6) aralarında asal mı? EVET.
- y=8⇒x=13−9=4y=8 \Rightarrow x=13-9=4. (4,8)(4,8) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 4).
- y=9⇒x=13−8=5y=9 \Rightarrow x=13-8=5. (5,9)(5,9) aralarında asal mı? EVET.
- y=12⇒x=13−6=7y=12 \Rightarrow x=13-6=7. (7,12)(7,12) aralarında asal mı? EVET.
- y=18⇒x=13−4=9y=18 \Rightarrow x=13-4=9. (9,18)(9,18) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 9).
- y=24⇒x=13−3=10y=24 \Rightarrow x=13-3=10. (10,24)(10,24) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 2).
- y=36⇒x=13−2=11y=36 \Rightarrow x=13-2=11. (11,36)(11,36) aralarında asal mı? EVET.
- y=72⇒x=13−1=12y=72 \Rightarrow x=13-1=12. (12,72)(12,72) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 12).
Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlayan gerçek çözümleri ayrıştırmak için.
4
Şartları sağlayan xx değerlerini topla.
Uygun xx değerleri: 1,5,7,111, 5, 7, 11. Toplam: 1+5+7+11=241 + 5 + 7 + 11 = 24.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki doğal sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenleri olmamalıdır. 1 sayısı tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Hints

1
Denklemde xx'i yalnız bırakın: x=13y−72yx = \frac{13y-72}{y}. Bu ifadeyi basit kesirlerine ayırarak (13−72y13 - \frac{72}{y}) xx'in tam sayı olması için yy'nin hangi özellikleri taşıması gerektiğini düşünün.
2
xx'in doğal sayı olabilmesi için 13−72y13 - \frac{72}{y} ifadesinin 0'dan büyük ve tam sayı olması gerekir. Bu da yy'nin 72'nin bir böleni olmasını ve aynı zamanda 13>72y13 > \frac{72}{y} eşitsizliğini sağlamasını gerektirir.
3
Bulduğunuz (x,y)(x, y) çiftleri için OBEB(x, y) = 1 kontrolü yapmayı unutmayın. Örneğin y=8y=8 için x=4x=4 çıkar, ancak 4 ve 8 aralarında asal değildir.
Estimated Time:3m 0s
Question 57Question →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı 1212'dir. Bu sayının yüzler ve birler basamağı yer değiştirdiğinde oluşan sayı, ilk sayıdan 198198 eksiktir. Buna göre, A>B>CA > B > C koşulunu sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

Şartları sağlayan sadece 11 adet ABCABC doğal sayısı (543) bulunmaktadır.
Verilen bilgilere göre ABC−CBA=198ABC - CBA = 198 denklemi A−C=2A - C = 2 sonucunu verir. Rakamlar toplamı A+B+C=12A + B + C = 12 olduğundan, AA yerine C+2C + 2 yazıldığında 2C+B=102C + B = 10 ilişkisi bulunur. Bu ilişkiyi sağlayan rakam grupları test edildiğinde (381,462,543,624,705381, 462, 543, 624, 705), sadece 543543 sayısının 5>4>35 > 4 > 3 (A>B>CA > B > C) şartını sağladığı görülür.

Step-by-Step Solution

1
Basamak analizi yapılarak fark denklemini kurun.
99(A−C)=198⇒A−C=299(A - C) = 198 \Rightarrow A - C = 2
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99A−99CABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99A - 99C ifadesi 198198'e eşittir.
2
Rakamlar toplamı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem oluşturun.
2C+B=102C + B = 10
A+B+C=12A + B + C = 12 denkleminde AA yerine C+2C + 2 yazıldığında (C+2)+B+C=12(C + 2) + B + C = 12 elde edilir.
3
Denklemleri sağlayan rakam ikililerini ve A>B>CA > B > C şartını kontrol edin.
Sadece (5,4,3)(5, 4, 3) üçlüsü şartı sağlar.
C=1→A=3,B=8C=1 \rightarrow A=3, B=8 (Hayır); C=2→A=4,B=6C=2 \rightarrow A=4, B=6 (Hayır); C=3→A=5,B=4C=3 \rightarrow A=5, B=4 (Evet); C=4→A=6,B=2C=4 \rightarrow A=6, B=2 (Hayır); C=5→A=7,B=0C=5 \rightarrow A=7, B=0 (Hayır).

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme

Hints

1
ABCABC ve CBACBA sayılarını basamaklarına ayırarak aralarındaki farkı AA ve CC cinsinden ifade edin.
2
A−C=2A - C = 2 olduğunu bulduktan sonra, bu bilgiyi rakamlar toplamı olan 1212 eşitliğinde yerine koyarak BB ile CC arasında bir bağıntı kurun.
3
2C+B=102C + B = 10 denklemini sağlayan her CC değeri için AA ve BB değerlerini bulun ve A>B>CA > B > C sıralamasını kontrol edin.

Practice More

Benzer bir soruyu, sayının 198198 artması ve rakamların çarpımının verilmesi durumu için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi kurduktan sonra CC rakamına değer vererek (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) hızlıca AA ve BB değerlerini bir tablo halinde yazıp şartı kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 58Question →

Bir kamu kurumundaki arşivleme çalışmaları kapsamında, 11'den nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış toplam nn adet dosya iki farklı arşive yerleştirilecektir. 11'den kk'ye kadar numaralı dosyalar A arşivine, k+1k+1'den nn'ye kadar numaralı dosyalar ise B arşivine konulmuştur. A arşivindeki dosyaların numaraları toplamı XX, B arşivindeki dosyaların numaraları toplamı YY olarak belirlenmiştir.

k=10k = 10 ve Y−X=100Y - X = 100 olduğuna göre, arşivlenen toplam dosya sayısı (nn) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Toplam dosya sayısı 20'dir.
Doğru cevap olan 20 değeri; A arşivindeki ilk 10 dosyanın toplamı olan 55 ile bu değerden 100 fazla olan B arşivi toplamı 155 toplandığında elde edilen 210 genel toplamına tam olarak uymaktadır. 11'den 2020'ye kadar olan sayıların toplamı 20×212=210\frac{20 \times 21}{2} = 210 olduğundan eşitlik sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
A arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (XX) bulun.
X=1+2+⋯+10=10×112=55X = 1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55
A arşivi 11'den k=10k=10'a kadar olan dosyaları içermektedir.
2
B arşivindeki dosyaların numaraları toplamını (YY) hesaplayın.
Y−55=100⇒Y=155Y - 55 = 100 \Rightarrow Y = 155
Soruda Y−X=100Y - X = 100 olduğu verilmiştir.
3
Tüm dosyaların numaraları toplamını (SS) belirleyin.
S=X+Y=55+155=210S = X + Y = 55 + 155 = 210
Tüm dosyalar ya A ya da B arşivinde olduğundan, toplam tüm numaraların toplamına eşittir.
4
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplam formülünü kullanarak nn'yi bulun.
n(n+1)2=210⇒n(n+1)=420\frac{n(n+1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n+1) = 420
Ardışık tam sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur.
5
Denklemi sağlayan nn tam sayısını tespit edin.
20×21=420⇒n=2020 \times 21 = 420 \Rightarrow n = 20
420 sayısı, ardışık 20 ve 21 sayılarının çarpımıdır.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Yöntemi)

Hints

1
Arşivlerdeki toplamları ayrı ayrı bulmak yerine, tüm dosyaların genel toplamını bulmaya çalışın.
2
A arşivindeki toplamı (1+2+...+101+2+...+10) hesaplayın ve buna 100 ekleyerek B arşivindeki toplamı bulun.
3
Genel toplam S=X+YS = X + Y olacaktır. X=55X = 55 ve Y=155Y = 155 ise S=210S = 210 olur. n(n+1)2=210\frac{n(n+1)}{2} = 210 denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir soruyu ardışık tek sayılar veya belirli bir katın ardışık sayıları (örneğin 3'ün katları) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Y−X=100Y - X = 100 ve Y+X=SY + X = S denklemlerini taraf tarafa toplarsak 2Y=100+S2Y = 100 + S elde ederiz. Buradan da nn değerine gidilebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 59Question →
Sıfırdan farklı bir xx gerçel sayısı için,
x2+2x x^2 + \sqrt{2}x
ve
x2−2x x^2 - \sqrt{2}x
ifadelerinin her ikisinin de birer rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir irrasyonel sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: x+1xx + \frac{1}{x}

Answer

x + 1/x ifadesi her zaman bir irrasyonel sayıdır.
Verilen iki ifadenin taraf tarafa toplanmasıyla 2x22x^2, çıkarılmasıyla ise 22x2\sqrt{2}x ifadelerinin rasyonel olduğu anlaşılır. Bu durum xx sayısının bir rasyonel sayı ile 2\sqrt{2}'nin çarpımı formunda olduğunu kanıtlar. Bu formdaki bir sayının karesi ve 2\sqrt{2} ile çarpımı rasyonel iken; sayının kendisi ve çarpmaya göre tersinin toplamı (x+1/xx + 1/x) her zaman irrasyonel bir sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadeleri toplayın.
(x2+2x)+(x2−2x)=2x2 (x^2 + \sqrt{2}x) + (x^2 - \sqrt{2}x) = 2x^2 rasyoneldir.
İki rasyonel sayının toplamı rasyoneldir. Buradan x2x^2 rasyonel bulunur.
2
Verilen rasyonel ifadeleri birbirinden çıkarın.
(x2+2x)−(x2−2x)=22x (x^2 + \sqrt{2}x) - (x^2 - \sqrt{2}x) = 2\sqrt{2}x rasyoneldir.
İki rasyonel sayının farkı rasyoneldir. Buradan x2x\sqrt{2} rasyonel bulunur.
3
xx sayısının karakterini belirleyin.
x2=qx\sqrt{2} = q (burada q∈Qq \in \mathbb{Q}) olsun. x=q2=q22x = \frac{q}{\sqrt{2}} = \frac{q\sqrt{2}}{2}.
x2x\sqrt{2} rasyonel ve xx sıfırdan farklı ise xx, rasyonel bir sayının 2\sqrt{2} katı olmak zorundadır.
4
Doğru seçeneği kontrol edin.
x+1x=q22+2q2=2⋅(q2+1q)x + \frac{1}{x} = \frac{q\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{q\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot (\frac{q}{2} + \frac{1}{q}).
Parantez içindeki rasyonel ifade sıfır olamayacağı için (q2≠−2q^2 \neq -2), sonuç irrasyoneldir.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri
Question 60Question →
Rakamları birbirinden farklı AA, BB ve CC rakamlarıyla oluşturulan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı için;
ABC=41⋅(A+C)+BABC = 41 \cdot (A + C) + B
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A⋅B−CA \cdot B - C ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Doğru cevap 15'tir.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 59A+9B=40C59A + 9B = 40C elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için A+B=10A+B=10 olmalıdır. Bu şartı sağlayan ve sonucu tam sayı yapan tek çözüm kümesi A=3,B=7,C=6A=3, B=7, C=6'dır. İstenen A⋅B−CA \cdot B - C değeri ise 3⋅7−6=153 \cdot 7 - 6 = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC doğal sayısını çözümleyin ve eşitlikte yerine yazın.
100A+10B+C=41A+41C+B100A + 10B + C = 41A + 41C + B
Basamak analizi sorularında sayıların çözümlenmiş hali (100A+10B+C) kullanılarak rakamlar arasındaki ilişki bulunur.
2
Eşitliği düzenleyerek benzer terimleri bir araya toplayın.
59A+9B=40C59A + 9B = 40C
Denklemi sadeleştirip katsayılar üzerinden yorum yapabilmek için.
3
59A+9B59A + 9B ifadesinin son basamağını inceleyerek AA ve BB için olası değerleri belirleyin.
Eşitliğin sağ tarafı (40C40C) 10'un katı olduğu için son basamağı 0'dır. Sol tarafın (59A+9B59A + 9B) da son basamağı 0 olmalıdır. Bu durum, 9(A+B)9(A+B) ifadesinin 10'un katı olmasını, dolayısıyla A+B=10A+B=10 olmasını gerektirir.
Katsayı analizi ve modüler aritmetik (birler basamağı kontrolü) deneme yanılma sürecini kısaltır.
4
A+B=10A+B=10 şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan (A,B)(A, B) ikililerini deneyerek CC'nin rakam olup olmadığını kontrol edin.
- A=1,B=9  ⟹  59(1)+9(9)=140A=1, B=9 \implies 59(1)+9(9)=140 (40'a bölünmez)
- A=2,B=8  ⟹  59(2)+9(8)=190A=2, B=8 \implies 59(2)+9(8)=190 (40'a bölünmez)
- A=3,B=7  ⟹  59(3)+9(7)=177+63=240A=3, B=7 \implies 59(3)+9(7)=177+63=240. 40C=240  ⟹  C=640C=240 \implies C=6. (Rakamlar farklı: 3, 7, 6. SAĞLAR)
- Diğer durumlar (A=4A=4 ve sonrası) 40'a bölünmez veya CC rakam olmaz.
Bulunan aday değerlerin tüm şartları (rakam olma, birbirinden farklı olma) sağladığını doğrulamak gerekir.
5
Bulunan A=3,B=7,C=6A=3, B=7, C=6 değerlerini istenen işlemde yerine yazın.
A⋅B−C=3⋅7−6=21−6=15A \cdot B - C = 3 \cdot 7 - 6 = 21 - 6 = 15
Sorunun nihai cevabını hesaplamak için.

Key Concept

Sayı çözümleme ve katsayı analizi ile doğrusal Diophantine denklem çözümü.

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek eşitliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucu 59A+9B=40C59A + 9B = 40C elde edeceksiniz. Eşitliğin sağ tarafı 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır.
3
9(A+B)9(A+B) ifadesinin sonunun 0 olması için A+B=10A+B=10 olmalıdır. AA yerine 1, 2, 3... değerlerini deneyerek CC'nin bir rakam olup olmadığını kontrol edin.

Practice More

Benzer bir mantıkla ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki soruları çözerek basamak analizi pratiği yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 3 / 16Next
Temel Kavramlar ve Sayılar Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 3 | Examkin