Faktöriyel Tasarımlar Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir araştırmacı, bir üretim sürecini etkileyebileceği düşünülen 6 farklı faktörün ( $A, B, C, D, E, F$ ) etkilerini incelemek için $\frac{1}{4}$ oranında kısmi (fractional) faktöriyel tasarım ( $2^{6-2}$ ) kullanmaya karar vermiştir. Deneyin üreteçleri (generators) $E = ABC$ ve $F = BCD$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu deney tasarımı ile ilgili olarak aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Deneyin tanımlayıcı bağıntısı (defining relation)

I = ABCE = BCDF = ADEF

şeklindedir.

Tasarımın çözünürlük derecesi (resolution) IV olarak sınıflandırılır.

Ana etkilerden hiçbirisi, iki faktörlü etkileşimlerle karışık (aliased) bir yapıda bulunmaz.

Tüm iki faktörlü etkileşimler, diğer iki faktörlü etkileşimlerden bağımsız bir şekilde (karışmaya uğramadan) tahmin edilebilir.

Deney, her faktörün iki düzeyinde olmak üzere toplam 16 deneme birimi (run) ile gerçekleştirilir.

Show answer & explanation

Answer: Tüm iki faktörlü etkileşimler, diğer iki faktörlü etkileşimlerden bağımsız bir şekilde (karışmaya uğramadan) tahmin edilebilir.

Answer

İki faktörlü etkileşimlerin diğer iki faktörlü etkileşimlerden bağımsız olarak tahmin edilebileceğini belirten ifade yanlıştır.

Verilen deney tasarımı Çözünürlük IV'e sahiptir. Çözünürlük IV tasarımlarının en belirgin özelliklerinden biri, ana etkilerin iki faktörlü etkileşimlerle karışmaması, ancak iki faktörlü etkileşimlerin birbiriyle karışmasıdır (örneğin

AB

ile

CE

'nin aynı eş isimli yapı içinde yer alması). Dolayısıyla, tüm iki faktörlü etkileşimlerin bağımsız tahmin edilebileceği ifadesi kesinlikle yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

Tasarımın toplam deneme sayısını hesaplama

2^{6-2} = 2^4 = 16

deneme birimi bulunur.

Kısmi faktöriyel tasarımlarda

2^{k-p}

formülü kullanılarak, tasarımın üreteç sayısı kadar küçültüldüğü gözlem sayısı belirlenir.

2

Tanımlayıcı bağıntıyı (defining relation) oluşturma

E = ABC \Rightarrow I = ABCE

ve

F = BCD \Rightarrow I = BCDF

bulunur. Bu ikisinin genelleştirilmiş etkileşimi

ABCE \times BCDF = ADEF

'tir. Tam bağıntı:

I = ABCE = BCDF = ADEF

olur.

Tüm eş isimli (alias) yapıların ve çözünürlüğün bulunabilmesi için tanımlayıcı bağıntının eksiksiz yazılması gerekir.

3

Tasarımın çözünürlük derecesini belirleme

Tanımlayıcı bağıntıdaki en kısa kelime 4 harflidir (

ABCE

,

BCDF

,

ADEF

). Bu nedenle tasarım Çözünürlük IV (Resolution IV) özelliklerine sahiptir.

Çözünürlük derecesi, ana etkilerin ve etkileşimlerin birbirleriyle hangi düzeyde karıştığını gösterir.

4

Çözünürlük IV'ün karışma (aliasing) özelliklerini yorumlama

Çözünürlük IV'te ana etkiler (uzunluk 1) 3 faktörlü etkileşimlerle (uzunluk

4-1=3

) karışır. İki faktörlü etkileşimler (uzunluk 2) ise diğer 2 faktörlü etkileşimlerle (uzunluk

4-2=2

) karışır.

İki faktörlü etkileşimlerin birbiriyle karıştığını görmek, bu etkileşimlerin bağımsız tahmin edilemeyeceğini kanıtlar.

Key Concept

Kısmi faktöriyel tasarımlarda tanımlayıcı bağıntı, çözünürlük ve karışma (aliasing) yapısı

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Bir kimya mühendisi, bir kimyasal reaksiyonun verimini optimize etmek için sıcaklık (A), basınç (B) ve katalizör miktarını (C) içeren 3 faktörlü ve her faktörün 3 farklı düzeyinin (düşük, orta, yüksek) olduğu bir $3^3$ faktöriyel tasarım kurgulamıştır. Deney, tamamen rastgele tasarıma göre ve her bir işlem kombinasyonu için $n=2$ tekrarla yürütülmüştür.

Buna göre; A ana etkisinin serbestlik derecesi, A ana etkisine ait kareler toplamı doğrusal (lineer) ve karesel (kuadratik) bileşenlere ayrıştırıldığında bu bileşenlerin serbestlik dereceleri ve A ile B faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin ( $A \times B$ ) serbestlik derecesi sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A ana etkisi: 2, Doğrusal bileşen: 1, Karesel bileşen: 1, AxB etkileşimi: 4

A ana etkisi: 1, Doğrusal bileşen: 1, Karesel bileşen: 0, AxB etkileşimi: 1

A ana etkisi: 2, Doğrusal bileşen: 1, Karesel bileşen: 1, AxB etkileşimi: 2

A ana etkisi: 3, Doğrusal bileşen: 2, Karesel bileşen: 1, AxB etkileşimi: 9

A ana etkisi: 2, Doğrusal bileşen: 2, Karesel bileşen: 2, AxB etkileşimi: 4

Show answer & explanation

Answer: A ana etkisi: 2, Doğrusal bileşen: 1, Karesel bileşen: 1, AxB etkileşimi: 4

Answer

Doğru seçenekte A ana etkisinin serbestlik derecesi 2, doğrusal ve karesel bileşenlerin her birinin serbestlik derecesi 1 ve AxB etkileşiminin serbestlik derecesi 4 olarak verilmiştir.

Deney tasarımında faktörlerin düzey sayısı 3 olduğu için, herhangi bir ana etkinin (örneğin A) serbestlik derecesi

3-1=2

'dir. Bu 2 serbestlik derecesi, bağımsız ortogonal yapıları gereği doğrusal (1 sd) ve karesel (1 sd) olmak üzere ikiye ayrılır. A ve B faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi ise faktörlerin kendi serbestlik derecelerinin çarpımı ile bulunur:

2 \times 2 = 4

.

Step-by-Step Solution

1

A ana etkisinin serbestlik derecesini (sd) hesapla.

sd_A = a - 1 = 3 - 1 = 2

3^k

faktöriyel tasarımında her faktörün 3 düzeyi vardır. Bir ana etkinin serbestlik derecesi, faktörün düzey sayısının 1 eksiğine eşittir.

2

Ana etkinin doğrusal ve karesel bileşenlerinin serbestlik derecelerini belirle.

Doğrusal bileşen

sd = 1

, Karesel bileşen

sd = 1

3 düzeyli nicel bir faktörün 2 olan serbestlik derecesi, ortogonal polinomlar yardımıyla doğrusal (1 sd) ve karesel (1 sd) olmak üzere iki bağımsız alt bileşene ayrıştırılabilir.

3

AxB etkileşiminin serbestlik derecesini hesapla.

sd_{AxB} = (a - 1) \times (b - 1) = (3 - 1) \times (3 - 1) = 2 \times 2 = 4

İki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi, etkileşime giren ana faktörlerin serbestlik derecelerinin birbiriyle çarpımına eşittir.

Key Concept

3^k

Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi ve Bileşenlere Ayırma

Question 3Question →

İki düzeyli ve üç faktörlü ( $2^3$ ) bir faktöriyel deney planlayan bir araştırmacı, mevcut kısıtlar gereği bir blokta (örneğin aynı gün içinde veya tek bir hammadde partisinde) en fazla 4 deneme birimi kullanabilmektedir. Deneyin tamamlanabilmesi için toplam 8 deneme kombinasyonunun 2 farklı bloğa (4'erli olarak) dağıtılması zorunludur.

Bu deney tasarımında "karışma (confounding)" tekniğinin kullanılma amacı ve doğru uygulanış biçimi aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?

Faktörlerin bağımsız önemini vurgulamak için en güçlü ana etkiyi blok etkisiyle karıştırmak ve böylece diğer ana etkilerin ve tüm etkileşimlerin daha hassas ölçülmesini sağlamak.

Tüm etkileşim etkilerinin istatistiksel önemini tamamen ortadan kaldırıp onları blok etkisi içinde eriterek, analizi sadece ana etkilerin test edildiği basit bir modele dönüştürmek.

En yüksek dereceli etkileşim etkisini blok etkisi ile kasten karıştırarak, ana etkilerin ve alt dereceli etkileşimlerin blok farklılıklarından arındırılmış biçimde tahmin edilmesini sağlamak.

Blok değişkenini modele bağımsız bir ana faktör gibi ekleyerek deneyin hatasını sıfıra indirmek ve blok ile diğer faktörler arasındaki olası tüm etkileşimleri test etmek.

Bloklama sonucu oluşan serbestlik derecesi kaybını telafi etmek amacıyla, hata kareler toplamını küçültecek şekilde tüm etkileşimleri modelden çıkarıp hata terimine eklemek.

Show answer & explanation

Answer: En yüksek dereceli etkileşim etkisini blok etkisi ile kasten karıştırarak, ana etkilerin ve alt dereceli etkileşimlerin blok farklılıklarından arındırılmış biçimde tahmin edilmesini sağlamak.

Answer

En yüksek dereceli etkileşim etkisinin (ABC) blok etkisi ile kasten karıştırılarak, ana etkilerin ve ikili etkileşimlerin temiz bir şekilde tahmin edilmesini sağlayan seçenektir.

Doğru yanıt, karışma (confounding) kavramının temel felsefesini açıklamaktadır. Faktöriyel bir deney tüm muamelelerin tek bir bloğa sığmadığı durumlarda yürütülürken, ilgilenilen faktörlerin hepsini test edebilmek için en yüksek dereceli etkileşim (örneğin

2^3

tasarımında ABC etkileşimi) feda edilir. ABC'nin işaret tablosundaki artı (+) ve eksi (-) işaretleri referans alınarak deney birimleri bloklara atanır. Bu kasten yapılan işlem sayesinde, ana etkiler ve ikili etkileşimler (A, B, C, AB, AC, BC) blok farklılıklarından tamamen bağımsız, ortogonal (dik) olarak tahmin edilebilir.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımının gereksinimlerini belirle.

2^3

tasarımında toplam 8 farklı kombinasyon (muamele) vardır. Bir blok 4 birim alabiliyorsa, deney

8/4 = 2

bloğa ayrılmalıdır.

Tam bir tekrarın tek bir blokta yapılamaması, eksik blok (incomplete block) tasarımını zorunlu kılar.

2

Bloklara ayırmanın istatistiksel sonucunu değerlendir.

Muameleler iki farklı bloğa dağıtıldığında, bloklar arasındaki olası farklılıklar (örneğin gün farkı, hammadde farkı) test edilecek bazı etkilere sistematik olarak karışacaktır.

Karışma (confounding) engellenemez bir sonuçtur; araştırmacının bunu kontrol altına alması gerekir.

3

Karışacak olan etkiyi (confounded effect) stratejik olarak seç.

Araştırmacı için en önemli etkiler ana etkiler (

A, B, C

) ve ikili etkileşimlerdir (

AB, AC, BC

). En az önemli ve yorumlanması en zor olan etki 3 yönlü etkileşimdir (

ABC

).

Bilgi kaybını minimize etmek için, feda edilecek etkinin en yüksek dereceli etkileşim olması gerekir.

4

Kararı formüle et.

ABC

etkileşimi kasten blok etkisiyle karıştırılır. Böylece bloklar arası farklılık sadece

ABC

'yi etkilerken, ana etkiler ve ikili etkileşimler blok etkisinden bağımsız olarak net bir şekilde tahmin edilir.

Faktöriyel tasarımlarda bloklamanın standart optimizasyon mantığı budur.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Karışma (Confounding)

Question 4Question →

Bir tarım araştırmasında, bitki büyümesi üzerinde iki faktörün etkisi incelenmektedir:

- Faktör A (Gübre Tipi): Araştırmacı tarafından özel olarak belirlenen 3 farklı gübre çeşidi (Sabit etki)
- Faktör B (Tohum Lotu): Piyasada bulunan çok sayıdaki tohum lotu arasından rastgele seçilen 4 lot (Şansa bağlı etki)

Deney, her bir gübre-lot kombinasyonu için $n = 5$ tekrar içerecek şekilde kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımıyla iki yönlü faktöriyel tasarım olarak yürütülmüştür.

Buna göre, Faktör A'nın (Gübre Tipi) ana etkisinin anlamlılığını test etmek için kullanılması gereken $F$ test istatistiği ve Faktör A için Beklenen Kareler Ortalaması ( $E(KO_A)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

(Not: $KO_A$ , $KO_B$ , $KO_{AB}$ ve $KO_{Hata}$ sırasıyla A faktörü, B faktörü, etkileşim ve hata kareler ortalamalarını; $\sigma^2$ hata varyansını; $\sigma_{\alpha\beta}^2$ ve $\sigma_{\beta}^2$ varyans bileşenlerini; $\alpha_i$ A faktörü düzey etkilerini; $a$ ve $b$ düzey sayılarını; $n$ ise tekrar sayısını göstermektedir.)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}} \quad \text{ve} \quad E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}} \quad \text{ve} \quad E(KO_A) = \sigma^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}} \quad \text{ve} \quad E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}} \quad \text{ve} \quad E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

F = \frac{KO_A}{KO_B} \quad \text{ve} \quad E(KO_A) = \sigma^2 + na\sigma_{\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}} \quad \text{ve} \quad E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}$

Answer

Doğru eşitlik F = KO_A / KO_AB şeklindedir ve E(KO_A) formülü etkileşim varyans bileşenini (n\sigma_{\alpha\beta}^2) içermelidir.

Kısıtlı karma modelde (A sabit, B şansa bağlı), sabit etkili A faktörünün Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO_A)), hata varyansına (\sigma^2) ek olarak etkileşim varyans bileşenini (n\sigma_{\alpha\beta}^2) ve kendi sabit etki varyansını (bn\sum\alpha_i^2 / (a-1)) içerir. A faktörünün ana etkisini test etmek için (\sum\alpha_i^2 = 0 hipotezi), sadece bu etkiyi izole edebilen E(KO_AB) bölen (payda) olarak kullanılmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Karma modelde (A sabit, B rastgele) faktörlerin Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) denklemlerini oluşturmak.

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1} ve E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 bulunur.

Kısıtlı karma model teorisinde, rastgele bir faktörle etkileşime giren sabit faktörün E(KO) eşitliğinde söz konusu etkileşim varyans bileşeni de yer alır.

2

A faktörünün ana etkisini test etmek için sıfır hipotezi (H0) altında E(KO_A) değerini incelemek.

H0 doğruysa (A faktörünün düzeyleri arasında fark yoksa, yani \sum\alpha_i^2 = 0 ise), E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 halini alır.

Test istatistiğinin (F) paydasını seçerken, H0 durumunda payın beklenen değerine eşit bir E(KO) aranır.

3

F oranı için uygun paydayı belirlemek.

H0 altında E(KO_A) ifadesi E(KO_AB) ile aynı yapıya kavuştuğundan, uygun F istatistiği F = KO_A / KO_AB olarak tayin edilir.

Beklenen Kareler Ortalaması kuralına göre, ancak bu şekilde ilgili etkinin izole edilmesi sağlanabilir.

Key Concept

Karma model varyans analizi, beklenen kareler ortalaması (E(MS)) çıkarma kuralları ve doğru F istatistiği testi

Question 5Question →

Bir üretim işletmesinde, ürünlerin dayanıklılığı üzerinde 'Hammadde Türü' (A faktörü) ve 'Vardiya' (B faktörü) etkileri iki yönlü faktöriyel tasarım ile incelenmektedir.

Araştırmacı, işletmede kullanılan mevcut $3$ farklı hammadde türünün tamamını deneye dahil ederek A faktörünü sabit etkili olarak belirlemiştir. B faktörü olan vardiyalar ise, işletmedeki çok sayıdaki vardiya arasından şansa bağlı olarak $4$ vardiyanın seçilmesiyle rastgele etkili (şansa bağlı) olarak modele katılmıştır. Her bir hammadde ve vardiya kombinasyonu için $n = 5$ tam tekrar (gözlem) yapılmıştır.

Buna göre, Hammadde Türü (A faktörü) ana etkisinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için kullanılması gereken $F$ test istatistiği ve bu istatistiğin paydasında yer alan varyans kaynağının serbestlik derecesi aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?
(Not: $KO$ Kareler Ortalamasını, $Hata$ ise rastgele hatayı temsil etmektedir.)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

6

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

ve

48

F = \frac{KO_A}{KO_B}

ve

3

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

11

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

ve

48

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ve $6$

Answer

Sabit etkili A faktörünün testi için

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

istatistiği kullanılmalıdır ve paydanın serbestlik derecesi

6

'dır.

Karma faktöriyel modellerde (biri sabit, diğeri şansa bağlı faktörden oluşan iki yönlü tasarım), sabit etkili faktörün (A) beklenen kareler ortalaması (

E(KO_A)

) formülünde etkileşim varyans unsuru (

n\sigma_{\alpha\beta}^2

) doğal olarak bulunur. Hipotez testinin mantığı gereği,

H_0

hipotezi (A faktörünün etkisi yoktur) doğru olduğunda oranlanacak terimlerin beklenen değerleri eşit olmalıdır.

E(KO_{AB})

formülü de tam olarak bu etkileşim varyansını yansıttığı için, sabit faktör daima etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) üzerinden test edilir (

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

). Oranın paydasında yer alan

AB

etkileşiminin serbestlik derecesi ise ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımı olan

(a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 6

formülüyle kusursuz biçimde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımının model tipini (sabit, şansa bağlı, karma) belirleme

A faktörü (Hammadde Türü) araştırmacının belirlediği

3

düzeyi içerdiğinden sabit, B faktörü (Vardiya) ise geniş bir yığından

4

düzey seçildiği için şansa bağlıdır. Bu tasarım bir 'Karma Model'dir (Mixed Model).

Varyans analizinde doğru F test oranlarını kurabilmek için öncelikle faktörlerin doğasının bilinmesi gerekir.

2

Karma model için Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO)

) kurallarını uygulayarak A faktörü için F oranını oluşturma

Karma modelde sabit etkili faktörün beklenen kareler ortalaması etkileşim varyans unsurunu da içerir.

H_0

doğru iken

E(KO_A) = E(KO_{AB})

olacağından, uygun test oranı

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

şeklindedir.

Test istatistiği daima, sıfır hipotezi (

H_0

) doğru kabul edildiğinde aynı beklenen değere sahip olan iki kareler ortalamasının birbirine oranlanması ile elde edilir.

3

F oranının paydasındaki varyans kaynağının (Etkileşimin) serbestlik derecesini hesaplama

A \times B

etkileşiminin serbestlik derecesi formülü

sd_{AB} = (a - 1)(b - 1)

'dir. Verilen

a=3

ve

b=4

değerleri yerine konulduğunda

(3 - 1)(4 - 1) = 2 \times 3 = 6

bulunur.

Hesaplanan F değerinin anlamlılığını F dağılım tablosundan kontrol edebilmek için paydanın serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

Key Concept

Karma Etkili Faktöriyel Modellerde Hipotez Testi ve Beklenen Kareler Ortalaması

Question 6Question →

Üç faktörlü (A, B ve C) ve her hücresinde $n$ ( $n > 1$ ) tekrar bulunan bir faktöriyel tasarımda, analize dahil edilen tüm faktörler şansa bağlı (tesadüfi) olarak belirlenmiştir.

Varyans analizi sonucunda A faktörünün temel etkisini (ana etkisini) test etmek istenmektedir. Ancak Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kuralları uygulandığında, A faktörü için uygun olan kesin (exact) bir F testi bulunamadığı görülmüştür. Bu durumu aşmak için Satterthwaite yaklaşımı kullanılarak yaklaşık bir F testi (pseudo-F) oluşturulmasına karar verilmiştir.

Buna göre, A faktörünün istatistiksel anlamlılığını test etmek için oluşturulacak yaklaşık F test istatistiği ve bu istatistiğin **payına ait yaklaşık serbestlik derecesi ( $sd_{pay}$ )** aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Test İstatistiği:

F \approx \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

sd_{pay} = \frac{(KO_A + KO_{ABC})^2}{\frac{KO_A^2}{a-1} + \frac{KO_{ABC}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}}

Test İstatistiği:

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

sd_{pay} = a - 1

Test İstatistiği:

F = \frac{KO_A}{KO_{ABC}}

sd_{pay} = a - 1

Test İstatistiği:

F \approx \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

sd_{pay} = (a-1) + (a-1)(b-1)(c-1)

Test İstatistiği:

F \approx \frac{KO_A + KO_{BC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

sd_{pay} = \frac{(KO_A + KO_{BC})^2}{\frac{KO_A^2}{a-1} + \frac{KO_{BC}^2}{(b-1)(c-1)}}

Show answer & explanation

Answer: Test İstatistiği: $F \approx \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}$

$sd_{pay} = \frac{(KO_A + KO_{ABC})^2}{\frac{KO_A^2}{a-1} + \frac{KO_{ABC}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}}$

Answer

Doğru test istatistiği

KO_A

ile

KO_{ABC}

'nin toplamının

KO_{AB}

ile

KO_{AC}

'nin toplamına oranıdır ve serbestlik derecesi karesel ağırlıklarla (Satterthwaite formülü) hesaplanan seçenektir.

Tüm faktörlerin şansa bağlı olduğu üç yönlü bir tasarımda, A faktörünün beklenen kareler ortalaması

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{ABC}^2 + bn\sigma_{AC}^2 + cn\sigma_{AB}^2 + bcn\sigma_A^2

şeklindedir. Kesin bir F testi için,

H_0: \sigma_A^2 = 0

iken

E(KO_A)

'ya eşit bir kareler ortalaması (KO) bulunmalıdır. Ancak varyans analizi tablosundaki hiçbir tekil etki buna eşit değildir. Bu durumu çözmek için Satterthwaite yaklaşımı ile

KO_A + KO_{ABC}

toplamı (beklenen değeri:

2\sigma^2 + 2n\sigma_{ABC}^2 + bn\sigma_{AC}^2 + cn\sigma_{AB}^2 + bcn\sigma_A^2

) ve

KO_{AB} + KO_{AC}

toplamı (beklenen değeri:

2\sigma^2 + 2n\sigma_{ABC}^2 + bn\sigma_{AC}^2 + cn\sigma_{AB}^2

) oranlanarak sözde F istatistiği elde edilir. Payın yaklaşık serbestlik derecesi de formülde belirtildiği gibi karesel ağırlıklarına göre doğru hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm faktörlerin şansa bağlı olduğu modelde A faktörü için Beklenen Kareler Ortalamasını (E(KO)) yazın.

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{ABC}^2 + bn\sigma_{AC}^2 + cn\sigma_{AB}^2 + bcn\sigma_A^2

Ana etkinin test edilebilmesi için

H_0: \sigma_A^2 = 0

hipotezi altında

E(KO)

formülüne uygun bir payda oluşturulması gerekir.

2

H_0

altında paydadaki beklenen değere ulaşmak için diğer kareler ortalamalarını inceleyin.

Tabloda

\sigma^2 + n\sigma_{ABC}^2 + bn\sigma_{AC}^2 + cn\sigma_{AB}^2

değerine sahip tek bir

KO

yoktur.

Kesin (exact) F testinin mümkün olmadığı durumlarda sözde (pseudo) F testi oluşturulmalıdır.

3

Satterthwaite yaklaşımı ile KO'ların doğrusal kombinasyonunu kullanarak test istatistiğini oluşturun.

E(KO_A + KO_{ABC}) = E(KO_{AB} + KO_{AC})

eşitliği sağlandığı için

F \approx \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

elde edilir.

Pay ve paydanın beklenen değerleri

H_0

hipotezi altında birbirine eşitlenmelidir.

4

Bulunan test istatistiğinin pay kısmı için serbestlik derecesini (Satterthwaite formülü ile) hesaplayın.

sd_{pay} = \frac{(KO_A + KO_{ABC})^2}{\frac{KO_A^2}{a-1} + \frac{KO_{ABC}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}}

olarak hesaplanır.

Bağımsız ki-kare değişkenlerinin doğrusal kombinasyonunun serbestlik derecesi, basit toplama ile değil, karesel ağırlıklandırma (Satterthwaite) ile bulunur.

Key Concept

Tamamen tesadüfi üç faktörlü modellerde Beklenen Kareler Ortalaması kuralları ve Satterthwaite Yaklaşımı (Pseudo-F)

Estimated Time:2m 30s

Question 7Question →

Bir tarım araştırmacısı, iki farklı gübre türünün (Faktör A, $a=2$ ) ve üç farklı sulama yönteminin (Faktör B, $b=3$ ) bir bitkinin verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla, her bir hücrede 5 tekrarın ( $n=5$ ) bulunduğu tamamen rastgele tasarıma dayalı bir faktöriyel deney planlamıştır. Bütün faktörler sabit etkili model (Model I) varsayımına göre ele alınmıştır.

Elde edilen verilerle yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda, Faktör A'nın ana etkisi ( $p = 0.540$ ) ve Faktör B'nin ana etkisi ( $p = 0.620$ ) istatistiksel olarak $\alpha = 0.05$ anlamlılık düzeyinde anlamsız bulunmuştur. Ancak, $A \times B$ etkileşim etkisi oldukça yüksek bir anlamlılık düzeyine sahip çıkmıştır ( $p = 0.002$ ). Varsayım kontrollerinde (normallik ve varyansların homojenliği) herhangi bir ihlale rastlanmamıştır.

Bu sonuçlara göre, araştırmacının izlemesi gereken en doğru istatistiksel yaklaşım ve yapması gereken çıkarım aşağıdakilerden hangisidir?

Faktörler arasında disordinal (çapraz) bir etkileşim bulunma olasılığı yüksektir; bu durumda ana etkilerin anlamsız çıkması yanıltıcı olabileceğinden, Faktör A'nın etkisi Faktör B'nin her bir düzeyi için (veya tam tersi) basit ana etkiler (simple main effects) analizi ile ayrı ayrı incelenmelidir.

Gübre türü ve sulama yönteminin ana etkileri istatistiksel olarak anlamsız bulunduğundan, bu faktörlerin bitki verimi üzerinde hiçbir etkisi olmadığı sonucuna varılmalı ve analiz herhangi bir ileri test yapılmadan sonlandırılmalıdır.

Etkileşim etkisinin anlamlı çıkması, faktörlerin bağımsız ana etkilerinin toplanabilir olduğunu gösterir; araştırmacı, düzeyler arası farklılıkları yorumlamak için doğrudan A ve B faktörlerinin marjinal ortalamalarını kullanmalıdır.

Modelde hata serbestlik derecesi

30

ve etkileşim serbestlik derecesi

a \times b = 6

olarak hesaplandığından, etkileşim testi gereğinden fazla serbestlik derecesine sahip olup Tip I hataya (yanlış pozitif) yol açmıştır.

Sabit etkili modellerde ana etkiler anlamsız olduğunda, beklenen kareler ortalaması (E(MS)) kuralları gereği, etkileşime ait F istatistiği hesaplanırken etkileşim kareler ortalaması hata yerine ana etkilerin kareler ortalamasına bölünerek sonuç düzeltilmelidir.

Show answer & explanation

Answer: Faktörler arasında disordinal (çapraz) bir etkileşim bulunma olasılığı yüksektir; bu durumda ana etkilerin anlamsız çıkması yanıltıcı olabileceğinden, Faktör A'nın etkisi Faktör B'nin her bir düzeyi için (veya tam tersi) basit ana etkiler (simple main effects) analizi ile ayrı ayrı incelenmelidir.

Answer

Araştırmacı, disordinal (çapraz) etkileşim ihtimaline karşı faktörlerin birbirine bağlı etkilerini ortaya çıkarmak için basit ana etkiler analizini (simple main effects) uygulamalıdır.

Varyans analizinde etkileşim teriminin anlamlı olması, bir faktörün bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer faktörün düzeyine göre değiştiğini gösterir. Eğer ana etkiler tamamen anlamsız çıkarken etkileşim anlamlı çıkıyorsa, bu genellikle 'disordinal (çapraz) etkileşim' olduğunu gösterir. Çapraz etkileşimde, bir faktörün etkisi diğerinin farklı düzeylerinde zıt yönlerde hareket eder ve bu durum marjinal (genel) ortalamalar hesaplandığında etkilerin birbirini sıfırlamasına yol açar. Bu istatistiksel illüzyonu aşmanın tek doğru yolu, genel ana etkilere bakmak yerine faktörleri birbirlerinin alt düzeylerinde inceleyen 'basit ana etkiler' (simple main effects) analizini kullanmaktır.

Step-by-Step Solution

1

Varyans analizi (ANOVA) sonuçlarındaki ana etki ve etkileşim p-değerlerini karşılaştırmak.

Faktör A ve B'nin genel (marjinal) etkileri istatistiksel olarak anlamsızken (

p > 0.05

), iki faktörün kombinasyonundan doğan etkileşim çok anlamlıdır (

p < 0.05

).

Modeldeki istatistiksel farklılıkların kaynağını tespit etmek için p-değerleri incelenir.

2

Etkileşimin anlamlı, ana etkilerin anlamsız olduğu duruma yol açan istatistiksel mekanizmayı teşhis etmek.

Bu tablo, 'disordinal (çapraz) etkileşim' durumlarında ortaya çıkar. Bir faktörün pozitif etkisi, diğer faktörün düzeylerinde negatif etkiye dönüşerek genel marjinal ortalamaların birbirini nötrlemesine (sıfırlamasına) neden olmuştur.

Ana etkilerin neden anlamsız göründüğünün teorik ve matematiksel altyapısını anlamak gerekir.

3

Bu istatistiksel yapı karşısında izlenmesi gereken doğru analitik prosedürü belirlemek.

Marjinal ortalamalar yanıltıcı olduğu için genel ana etkiler yorumlanamaz. Bunun yerine, Faktör A'nın etkisi Faktör B'nin her bir alt düzeyinde 'basit ana etkiler (simple main effects)' analizi ile ayrı ayrı incelenmelidir.

Etkileşim varlığında faktörlerin gerçek ve spesifik etkilerini ortaya çıkarabilmek için alt gruplara inilmesi zorunludur.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Etkileşim ve Basit Ana Etkiler Analizi

Estimated Time:2m 30s

Question 8Question →

Bir tarım araştırmasında, iki faktörlü (A ve B) ve her hücresinde $n$ ( $n > 1$ ) tekrar bulunan bir tam faktöriyel deney tasarlanmıştır. Bu deneyde A faktörünün $a$ düzeyi sabit (fixed), B faktörünün $b$ düzeyi ise tesadüfi (random) olarak belirlenmiştir (Karma Model).

Araştırmacı, beklenen kareler ortalaması (E(KO)) kurallarını kullanarak A faktörünün ana etkisinin istatistiksel olarak anlamlılığını test etmek istemektedir.

Buna göre, A faktörünün ana etkisine ait hipotezi test etmek için kullanılması gereken uygun $F$ test istatistiği ve bu istatistiğin paydasında yer alan varyans kaynağının serbestlik derecesi ( $sd$ ) aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

ve Payda

sd = ab(n-1)

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

ve Payda

sd = ab(n-1)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve Payda

sd = (a-1)(b-1)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve Payda

sd = ab-1

F = \frac{KO_A}{KO_B}

ve Payda

sd = b-1

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ve Payda $sd = (a-1)(b-1)$

Answer

Doğru test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

formülü ile hesaplanır ve paydadaki etkileşim varyansının serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

'dir.

Varyans analizinde bir etkinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için oluşturulan F oranının paydası, Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarına göre belirlenir. Sabit etkili A faktörü ile tesadüfi etkili B faktörünün bulunduğu bir karma modelde,

E(KO_A)

denklemi içerisinde AxB etkileşim varyansı (

n\sigma^2_{AB}

) zorunlu olarak yer alır. A faktörünün etkisi test edilirken (sıfır hipotezi altında A'nın varyansı sıfır iken), paydadaki değerin

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

olması gerekir. Bu eşleşme sağlandığı için doğru test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

olmalıdır. Testin paydasında yer alan AxB etkileşiminin serbestlik derecesi ise, faktörlerin düzey sayılarının bir eksiğinin çarpımı olan

(a-1)(b-1)

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımının model yapısını ve faktörlerin niteliğini belirlemek.

A faktörü sabit (fixed), B faktörü tesadüfi (random) etkili olarak tasarlandığından, çalışma bir Karma Model (Mixed Model) yapısındadır.

Varyans analizi F testlerinde kullanılacak kareler ortalamaları oranları, faktörlerin sabit veya tesadüfi olmasına göre şekillenen E(KO) kurallarıyla belirlenir.

2

A faktörü için Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) denklemini oluşturmak.

Karma modelde sabit etkili A faktörü için

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + \frac{bn\sum A_i^2}{a-1}

şeklindedir.

Sabit etkili bir faktörün beklenen kareler ortalaması, kendi yapısal varyansına ek olarak tesadüfi faktörle olan etkileşiminin varyansını (

n\sigma^2_{AB}

) ve genel hata varyansını (

\sigma^2

) barındırır.

3

A faktörünün ana etkisini test etmek için doğru paydayı seçmek.

H_0

hipotezi doğru kabul edildiğinde (A'nın kendi varyansı sıfır olduğunda) geriye

\sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

kalır. Bu ifade tam olarak

E(KO_{AB})

'ye eşit olduğu için F istatistiğinin paydası

KO_{AB}

olmalıdır.

Geçerli bir F testi için paydadaki varyans kaynağının beklentisi, paydaki varyans kaynağının temel etki haricindeki tüm varyans bileşenlerini tam olarak kapsamalıdır.

4

Paydadaki varyans kaynağının serbestlik derecesini bulmak.

Paydada yer alan AxB etkileşim varyansının serbestlik derecesi

(a-1)(b-1)

olarak bulunur.

İki faktörün etkileşimine ait serbestlik derecesi, her bir faktörün kendi serbestlik derecelerinin çarpımıdır.

Key Concept

Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları ve Karma Modellerde F Testi

Estimated Time:1m 0s

Question 9Question →

Bir endüstriyel süreçte, iki faktörün (A ve B) üretilen malzemenin dayanıklılığı üzerindeki etkileri incelenmektedir. Deney, her gözenekte (hücrede) $n$ ( $n > 1$ ) tekrar olacak şekilde tam faktöriyel tasarım olarak planlanmıştır.

Araştırmacı, A faktörünü üretim sürecinde uygulanan üç spesifik sıcaklık seviyesi olarak belirlediği için sabit etkili (fixed), B faktörünü ise günlük üretim vardiyalarından rastgele seçtiği için tesadüfi etkili (random) bir faktör olarak analiz modeline dahil etmiştir.

Kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımları altında, A faktörünün ana etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken uygun $F$ test istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

*(Not: $KT$ kareler toplamını, $a$ ve $b$ faktör düzey sayılarını, $n$ ise hücre başına tekrar sayısını ifade etmektedir. Hata terimi $H$ ile gösterilmiştir.)*

F = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_{AB} / [(a-1)(b-1)]}

F = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_H / [ab(n-1)]}

F = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_{AB} / (ab-1)}

F = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_B / (b-1)}

F = \frac{KT_{AB} / [(a-1)(b-1)]}{KT_H / [ab(n-1)]}

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_{AB} / [(a-1)(b-1)]}$

Answer

Doğru F test istatistiği, A faktörünün kareler ortalamasının AxB etkileşiminin kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilen seçenektir.

Karma (kısıtlı) modellerde sabit etkili bir faktörün Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)), genel deneysel hatanın yanı sıra faktörlerin etkileşiminden gelen varyansı da barındırır. Sıfır hipotezi (

H_0

) doğru kabul edildiğinde, A faktörünün varyans unsuru ortadan kalkar ve

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

olur. Bu ifade tam olarak Etkileşim Kareler Ortalamasının beklenen değerine (

E(KO_{AB})

) eşittir. Bu mantığa göre, A faktörünün test edilmesi için A'nın kareler ortalamasının, Hata terimine değil, Etkileşim terimine bölünmesi gereklidir. İfade açık halde yazıldığında doğru oran

F = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_{AB} / [(a-1)(b-1)]}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Model tipini ve faktör özelliklerini belirle.

Model iki yönlü faktöriyel tasarımdır. A faktörü sabit (fixed), B faktörü tesadüfi (random) olduğu için bu bir karma (mixed) modeldir.

Varyans analizinde F istatistiğinin paydasında yer alacak terim, modelin yapısına (sabit, tesadüfi, karma) göre değişir.

2

Kısıtlı karma model için Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) bileşenlerini çıkar.

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_B

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

E(KO_H) = \sigma^2

F testi, payın beklenen değerinin, sadece test edilmek istenen etki (sıfır hipotezi) sıfır olduğunda paydanın beklenen değerine eşit olması prensibine dayanır.

3

A faktörünün ana etkisi (

H_0: \alpha_i = 0

) için uygun paydayı seç.

Eğer

H_0

doğruysa,

E(KO_A)

değeri

\sigma^2 + n\sigma^2_{AB}

olur. Bu ifade tam olarak

E(KO_{AB})

'ye eşittir. Bu yüzden payda

KO_{AB}

olmalıdır.

Test istatistiğinin doğru dağılım gösterebilmesi için payın ve paydanın beklenen değerlerinin

H_0

altında eşitlenmesi gerekir.

4

Seçilen kareler ortalamalarını serbestlik derecelerini de gösterecek şekilde kareler toplamı (KT) formatında yazarak F istatistiğini oluştur.

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}} = \frac{KT_A / (a-1)}{KT_{AB} / [(a-1)(b-1)]}

Serbestlik dereceleri (A için

a-1

, etkileşim için

(a-1)(b-1)

) formülde doğru yere yerleştirilerek test istatistiği son haline getirilir.

Key Concept

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) Kuralları

Question 10Question →

Bir tarım araştırmacısı, yeni bir gübre formülünün verim üzerindeki etkisini incelemek için Azot, Fosfor ve Potasyum olmak üzere 3 faktörün her birini 3 farklı dozajda (düşük, orta, yüksek) uyguladığı bir $3^3$ faktöriyel tasarım kurgulamıştır.

Araştırmacı, nicel bir değişken olan Azot faktörünün (A) ana etkisine ait serbestlik derecesini, doğrusal ve kuadratik bileşenlerine ayırarak doza bağlı artışın eğilimini test etmek istemektedir. Aynı zamanda Azot (A) ve Fosfor (B) faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin (AB) anlamlılığını da inceleyecektir.

Buna göre, Azot faktörünün doğrusal bileşenine ve AB etkileşimine ait serbestlik dereceleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

1 ve 1

2 ve 4

2 ve 8

1 ve 4

3 ve 9

Show answer & explanation

Answer: 1 ve 4

Answer

Azot faktörünün doğrusal bileşeni 1, AB etkileşimi ise 4 serbestlik derecesine sahiptir.

3^k

faktöriyel tasarımlarda, her faktör 3 düzeyde incelendiğinden her bir ana etkinin serbestlik derecesi

3-1 = 2

'dir. Araştırmacı, nicel olan Azot faktörünün ana etkisini doza bağlı eğilimi görebilmek için doğrusal ve kuadratik olarak ayrıştırmaktadır. Bu durumda toplam 2 olan serbestlik derecesi, 1 serbestlik dereceli doğrusal bileşen ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşen olarak iki ortogonal parçaya bölünür. Bu sebeple doğrusal bileşenin serbestlik derecesi 1'dir. İki faktörlü etkileşimlerin serbestlik derecesi ise, etkileşime giren faktörlerin ana etki serbestlik derecelerinin çarpılmasıyla elde edilir. A faktörünün serbestlik derecesi (2) ile B faktörünün serbestlik derecesi (2) çarpıldığında AB etkileşiminin serbestlik derecesi

2 \times 2 = 4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ana etkilerin serbestlik derecesini (df) hesapla.

Her faktörün 3 düzeyi olduğu için, A faktörünün ana etki serbestlik derecesi: 3 - 1 = 2'dir.

Herhangi bir ana etkinin serbestlik derecesi, o faktörün düzey sayısının 1 eksiğine eşittir.

2

A faktörünün doğrusal bileşenine ait serbestlik derecesini belirle.

Nicel faktörün 2 olan serbestlik derecesi; 1 serbestlik dereceli doğrusal bileşen ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşen olarak ikiye ayrılır. Dolayısıyla doğrusal bileşenin serbestlik derecesi 1'dir.

3^k tasarımlarında ortogonal polinomlar yardımıyla 2 serbestlik derecesi birbirine dik, birer serbestlik dereceli iki bileşene ayrıştırılabilir.

3

İki yönlü AB etkileşiminin serbestlik derecesini hesapla.

AB etkileşim df = (3 - 1) x (3 - 1) = 2 x 2 = 4'tür.

İki yönlü bir etkileşimin serbestlik derecesi, etkileşime giren faktörlerin ana etki serbestlik derecelerinin çarpımı ile bulunur.

Key Concept

3^k faktöriyel tasarımlarında serbestlik derecesi hesaplamaları ve etkilerin ortogonal bileşenlere ayrıştırılması.

Question 11Question →

Bir araştırmacı, A ve B faktörlerinin bir ürünün mukavemeti üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla $2^2$ faktöriyel tasarım kullanmıştır. Tamamen rastgeleleştirilmiş olarak yürütülen bu deneyde, her bir faktör kombinasyonu (deney hücresi) için $4$ tekrar alınmıştır. Deney sonucunda elde edilen verilere ait bazı kareler toplamı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı
A Faktörü	$150$
B Faktörü	$100$
AB Etkileşimi	$50$
Genel	$540$

Buna göre, B faktörünün ana etkisinin istatistiksel olarak anlamlılığını test etmek için hesaplanan test istatistiği ( $F_{hesap}$ ) değeri kaçtır?

2,00

2,22

5,00

6,25

Show answer & explanation

Answer: 5,00

Answer

Doğru değer 5,00'dır. Bu sonuca ulaşmak için B faktörünün kareler ortalaması, hata kareler ortalamasına bölünmelidir.

B faktörüne ait F istatistiğini bulmak için sırasıyla hata kareler toplamı ve hata serbestlik derecesi bulunmalıdır. Tabloda verilen ana etki ve etkileşim kareler toplamları genel kareler toplamından çıkarıldığında hata kareler toplamı (

540 - 300 = 240

) elde edilir. Tasarım

2^2

yapısında ve

4

tekrarlı olduğundan toplam

16

gözlem vardır; hata serbestlik derecesi ise

16 - 1 - 3 = 12

'dir. Buradan hata kareler ortalaması

240 / 12 = 20

olur. B faktörünün 1 serbestlik derecesi olduğu için kareler ortalaması kendisine (

100 / 1 = 100

) eşittir. Son olarak bu iki değerin birbirine oranı (

100 / 20

) bize doğru test istatistiği olan 5,00'ı verir.

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecelerinin (sd) belirlenmesi.

2^2

faktöriyel tasarımda 2 faktör ve her birinin 2 düzeyi vardır. A, B ve AB etkileşiminin serbestlik dereceleri

2-1=1

'dir. Toplam hücre sayısı

4

ve her hücrede

4

tekrar olduğu için toplam gözlem sayısı

N = 4 \times 4 = 16

'dır. Toplam sd =

16 - 1 = 15

, Hata sd =

15 - (1+1+1) = 12

olarak bulunur.

Varyans analizi tablosunda kareler ortalamalarını bulabilmek için ilgili varyans kaynaklarının serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

2

Hata kareler toplamının hesaplanması.

KT_{Genel} = KT_A + KT_B + KT_{AB} + KT_{Hata}

toplanabilirlik kuralından hareketle,

KT_{Hata} = 540 - (150 + 100 + 50) = 240

bulunur.

Test istatistiği (

F

) hesabında kullanılacak olan hata kareler ortalamasını bulmak için hata kareler toplamına ulaşılmalıdır.

3

Kareler ortalamalarının (KO) bulunması.

B faktörü için

KO_B = 100 / 1 = 100

'dür. Hata için

KO_{Hata} = 240 / 12 = 20

'dir.

Test istatistiği kareler toplamları üzerinden değil, serbestlik derecelerine bölünerek standartlaştırılmış kareler ortalamaları üzerinden hesaplanır.

4

F istatistiğinin hesaplanması.

F_B = KO_B / KO_{Hata} = 100 / 20 = 5,00

elde edilir.

Sabit etkili faktöriyel tasarımlarda ana etkilerin anlamlılığı, ilgili etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla test edilir.

Key Concept

Varyans analizinde toplanabilirlik kuralı kullanılarak eksik değerlerin bulunması ve beklenen kareler ortalaması kuralına göre uygun F istatistiğinin hesaplanması.

Question 12Question →

Bir araştırmacı, kimyasal bir sürecin verimini artırmak için sıcaklık (A) ve basınç (B) faktörlerini ikişer düzeyde ele alarak her bir kombinasyonda eşit tekrarlı rastgele bir $2^2$ faktöriyel tasarım deneyi yürütmüştür. Elde edilen verilere ait varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F Hesaplanan
Sıcaklık (A)	1	120	120	12.0
Basınç (B)	1	150	150	15.0
A x B Etkileşimi	?	?	?	?
Hata	16	160	10
Genel (Toplam)	19	500

Araştırmacı, analiz sonucunda etkileri $\alpha=0.05$ anlamlılık düzeyinde değerlendirecektir ( $F_{tablo(0.05; 1, 16)} = 4.49$ ).

Buna göre, tablodaki eksik değerler hesaplandığında etkileşime ait $F$ istatistiği ( $F_{AxB}$ ) kaçtır ve modelin sonuçlarına göre etkilerin yorumlanması ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

F_{AxB} = 7.0

; Etkileşim istatistiksel olarak anlamlı (

7.0 > 4.49

) bulunduğundan, Sıcaklık ve Basınç faktörlerinin ana etkileri birbirinden bağımsız olarak yorumlanamaz; bir faktörün etkisi diğerinin düzeylerine göre incelenmelidir.

F_{AxB} = 7.0

; Etkileşim istatistiksel olarak anlamlı bulunsa da, A ve B faktörlerinin

F

değerleri tablo değerinden büyük olduğundan, sürecin verimini açıklamak için öncelikle bu faktörlerin bağımsız ana etkileri yorumlanmalıdır.

F_{AxB} = 23.0

; Etkileşim Kareler Toplamı

230

olarak hesaplandığından etkileşim çok belirgindir ve analizin temel sonucu olarak modeldeki ana etkiler tamamen göz ardı edilmelidir.

F_{AxB} = 2.33

; Etkileşim istatistiksel olarak anlamsız (

2.33 < 4.49

) çıktığından, etkileşim modelden çıkarılmalı ve her iki faktörün verim üzerindeki etkisi yalnızca kendi ana etkileri üzerinden yorumlanmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: $F_{AxB} = 7.0$ ; Etkileşim istatistiksel olarak anlamlı ( $7.0 > 4.49$ ) bulunduğundan, Sıcaklık ve Basınç faktörlerinin ana etkileri birbirinden bağımsız olarak yorumlanamaz; bir faktörün etkisi diğerinin düzeylerine göre incelenmelidir.

Answer

Etkileşim F değeri 7.0'dır ve bu değer tablo değerinden büyük olduğu için etkileşim anlamlıdır; bu nedenle ana etkiler birbirinden bağımsız olarak yorumlanamaz.

Varyans analizinde toplanabilirlik ilkesi gereği Genel KT = Ana Etkiler KT + Etkileşim KT + Hata KT formülü geçerlidir. Tabloda verilen verilerden

500 = 120 + 150 + KT_{AxB} + 160

eşitliği kurularak Etkileşim KT = 70 bulunur.

2^2

tasarımda etkileşim serbestlik derecesi 1'dir. Buna göre Etkileşim KO = 70 ve

F_{AxB} = 70 / 10 = 7.0

olarak elde edilir. Hesaplanan bu F istatistiği, kritik tablo değerinden (

7.0 > 4.49

) büyüktür ve bu da iki faktör arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim olduğunu gösterir. Deneysel istatistiğin temel kurallarına göre, modelde anlamlı bir etkileşim tespit edildiğinde, faktörlerin ortak hareket ettiği kanıtlanmış olur. Bu nedenle ana etkilerin doğrudan, birbirinden bağımsızmış gibi yorumlanması büyük bir istatistiksel hatadır.

Step-by-Step Solution

1

Kareler toplamlarının (KT) toplanabilirlik kuralı kullanılarak etkileşim kareler toplamının hesaplanması

KT_{AxB} = 500 - 160 - 120 - 150 = 70

Varyans analizi tablosunda Genel Kareler Toplamı, faktörlerin, etkileşimin ve hatanın kareler toplamlarının bütününe eşittir (

KT_{Genel} = KT_A + KT_B + KT_{AxB} + KT_{Hata}

).

2

A x B etkileşiminin serbestlik derecesinin (

sd

) bulunması

sd_{AxB} = (2-1) \times (2-1) = 1

2^2

faktöriyel tasarımda iki faktörün de 2 düzeyi vardır. Etkileşim serbestlik derecesi, faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

3

Etkileşim Kareler Ortalaması (KO) ve F istatistiğinin hesaplanması

KO_{AxB} = 70 / 1 = 70

ve

F_{AxB} = 70 / 10 = 7.0

Test istatistiği olan F değeri, ilgili etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına (tabloda KO=10 olarak verilmiştir) bölünmesiyle elde edilir.

4

İstatistiksel anlamlılığın değerlendirilmesi ve modelin yorumlanması

7.0 > 4.49

olduğu için etkileşim anlamlıdır. Anlamlı etkileşim varlığında ana etkiler tek başına genel geçer şekilde yorumlanamaz.

Etkileşimin anlamlı olması, bir faktörün (örneğin sıcaklık) bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer faktörün (basınç) hangi düzeyde uygulandığına göre farklılık gösterdiği anlamına gelir.

Key Concept

2^2 Faktöriyel Tasarım ve Varyans Analizi Tablosu

Estimated Time:2m 30s

Question 13Question →

Bir tarım araştırmacısı, iki farklı gübre tipinin (A faktörü) ve iki farklı sulama yönteminin (B faktörü) buğday verimi üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla $2^2$ faktöriyel tasarım kullanmıştır. Deney, her bir faktör kombinasyonu (hücre) için 5 tekrar (gözlem) içerecek şekilde tamamen rastgele tasarıma göre yürütülmüştür.

Elde edilen verilere ait kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F Değeri
Gübre Tipi (A)	?	120	?	?
Sulama (B)	?	80	?	?
$A \times B$ Etkileşimi	?	?	?	?
Hata	?	?	10
Genel (Toplam)	?	450

Buna göre, $A \times B$ etkileşimine ait F test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6.0

9.0

21.0

25.0

Show answer & explanation

Answer: 9.0

Answer

9.0

Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle toplam gözlem sayısı olan 20 üzerinden hata serbestlik derecesi 16 olarak hesaplanmalıdır. Ardından,

10 \times 16 = 160

işlemiyle hata kareler toplamı bulunur. Genel kareler toplamından (450), A (120), B (80) ve hata (160) kareler toplamları çıkarıldığında

A \times B

etkileşimi kareler toplamı 90 olarak elde edilir. Etkileşimin serbestlik derecesi 1 olduğundan, kareler ortalaması da 90'dır. Son olarak bu değerin hata kareler ortalamasına (10) bölünmesiyle F istatistiği 9.0 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam gözlem sayısını (

N

) hesaplama.

N = a \times b \times n = 2 \times 2 \times 5 = 20

Hata serbestlik derecesini bulabilmek için toplam gözlem sayısına ihtiyaç vardır.

2

Hata serbestlik derecesini (sd) hesaplama.

Hata\ sd = N - (a \times b) = 20 - 4 = 16

Hata kareler ortalamasından hata kareler toplamına geçiş yapmak için hata serbestlik derecesi bilinmelidir.

3

Hata kareler toplamını (

KT_{Hata}

) hesaplama.

KT_{Hata} = Hata\ KO \times Hata\ sd = 10 \times 16 = 160

Genel kareler toplamı ayrıştırmasında kullanmak üzere hata varyansı toplam değerine dönüştürülmelidir.

4

Etkileşim kareler toplamını (

KT_{A \times B}

) bulma.

KT_{Genel} = KT_A + KT_B + KT_{A \times B} + KT_{Hata}

eşitliğinden

450 = 120 + 80 + KT_{A \times B} + 160 \Rightarrow KT_{A \times B} = 90

Varyans analizi modelindeki toplanabilirlik kuralı gereği eksik olan etkileşim varyans bileşeni hesaplanır.

5

Etkileşim F değerini hesaplama.

Etkileşim sd =

(2-1)(2-1) = 1

.

KO_{A \times B} = 90 / 1 = 90

.

F_{A \times B} = KO_{A \times B} / Hata\ KO = 90 / 10 = 9.0

Etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için F istatistiği elde edilmelidir.

Key Concept

2^2 Faktöriyel Tasarımda Varyans Analizi (ANOVA) Tablosunun Oluşturulması ve Eksik Değerlerin Hesaplanması

Question 14Question →

Bir tekstil mühendisi, yeni geliştirilen bir sentetik ipliğin kopma mukavemetini incelemek amacıyla üç faktörün (Üretim Hızı, Büküm Oranı ve Sabitleme Sıcaklığı) etkisini araştırmaktadır. Her bir faktör nicel olarak 3 farklı düzeyde (düşük, orta, yüksek) belirlenmiş ve bir $3^3$ faktöriyel tasarım kurgulanmıştır.

Buna göre, 'Üretim Hızı' faktörünün ana etkisinin serbestlik derecesi (ve bileşenlere ayrışımı) ile 'Üretim Hızı $\times$ Büküm Oranı' iki yönlü etkileşiminin serbestlik derecesi aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Ana etki: 2 (1 Doğrusal, 1 Kuadratik bileşen) / İki yönlü etkileşim: 4

Ana etki: 1 (Sadece Doğrusal bileşen) / İki yönlü etkileşim: 1

Ana etki: 3 (1 Doğrusal, 2 Kuadratik bileşen) / İki yönlü etkileşim: 9

Ana etki: 2 (1 Doğrusal, 1 Kuadratik bileşen) / İki yönlü etkileşim: 2

Ana etki: 3 (1 Doğrusal, 1 Kuadratik, 1 Kübik bileşen) / İki yönlü etkileşim: 6

Show answer & explanation

Answer: Ana etki: 2 (1 Doğrusal, 1 Kuadratik bileşen) / İki yönlü etkileşim: 4

Answer

Doğru cevap, ana etkinin 2 (1 Doğrusal, 1 Kuadratik bileşen) ve iki yönlü etkileşimin 4 olduğu seçenektir.

3^k

faktöriyel tasarımlarında her faktör 3 düzeyde incelenir. Bu nedenle herhangi bir faktörün ana etkisinin serbestlik derecesi

3 - 1 = 2

'dir. Faktör düzeyleri nicel olduğunda, bu 2 serbestlik derecesi matematiksel olarak 1 doğrusal ve 1 kuadratik ortogonal (dik) bileşene ayrılabilir. İki faktör arasındaki iki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi ise, bu iki faktörün serbestlik derecelerinin çarpımıdır:

(3 - 1) \times (3 - 1) = 2 \times 2 = 4

.

Step-by-Step Solution

1

Ana etki serbestlik derecesini hesapla.

Üretim Hızı faktörü

a = 3

düzeye sahip olduğundan, serbestlik derecesi

a - 1 = 3 - 1 = 2

'dir.

Herhangi bir faktörün ana etkisinin serbestlik derecesi, düzey sayısının 1 eksiğine eşittir.

2

Ana etkinin bileşenlerini belirle.

Nicel olan 3 düzey, 2 serbestlik derecesini 1 doğrusal (linear) ve 1 kuadratik (quadratic) dik bileşene ayırmaya olanak tanır.

Eşit aralıklı nicel düzeylerde polimonal dik kontrastlar kullanılır. 3 düzey, polinomun doğrusal ve kuadratik bileşenlerini modellemeyi sağlar.

3

İki yönlü etkileşim serbestlik derecesini hesapla.

Üretim Hızı (

a=3

) ve Büküm Oranı (

b=3

) etkileşimi için serbestlik derecesi

(3 - 1) \times (3 - 1) = 2 \times 2 = 4

'tür.

İki faktörlü etkileşimin serbestlik derecesi, etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

3^k

faktöriyel tasarımlarında serbestlik derecelerinin hesaplanması ve polinomiyal bileşenlere ayrıştırılması

Question 15Question →

Bir endüstri mühendisi, bir üretim sürecindeki üç farklı faktörün (A, B ve C) ürün dayanıklılığı üzerindeki etkilerini incelemek için tek tekrarlı ( $r=1$ ) $2^3$ faktöriyel tasarım uygulamıştır.

Elde edilen standart sıradaki (Yates sırası) deney sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Muamele Kombinasyonu	Yanıt ( $y$ )
(1)	10
a	18
b	12
ab	24
c	14
ac	26
bc	16
abc	32

Buna göre, Yates algoritması kullanılarak hesaplandığında A faktörünün temel (ana) etki tahmini değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6

20

12

24

48

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

A faktörünün temel (ana) etki tahmini değeri 12'dir.

Doğru yanıt olan 12 değerine Yates algoritmasının eksiksiz uygulanmasıyla ulaşılır. Yanıtlar yates sırasıyla yazılıp 3 defa toplama/çıkarma döngüsünden geçirilir. Sütun 1: [28, 36, 40, 48, 8, 12, 12, 16]. Sütun 2: [64, 88, 20, 28, 8, 8, 4, 4]. Sütun 3 (Kontrastlar): [152, 48, 16, 8, 24, 8, 0, 0]. A faktörü kontrastı baştan ikinci sıradaki 48'dir. Ana etki tahmini formülü

Etki = \frac{\text{Kontrast}}{r \cdot 2^{k-1}}

şeklindedir. Burada

r=1

ve

k=3

olduğundan bölen 4'tür.

48 / 4 = 12

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Yates algoritmasının 1. sütununu oluşturmak için yanıt değerleri standart sırada ikişerli gruplara ayrılır. Önce üst üste olanlar toplanır, sonra alttakinden üstteki çıkarılır.

Sütun 1 (S1): (18+10)=28, (24+12)=36, (26+14)=40, (32+16)=48, (18-10)=8, (24-12)=12, (26-14)=12, (32-16)=16.

Yates algoritmasının birinci iterasyonu temel toplama ve çıkarma kontrastlarını üretir.

2

Elde edilen S1 değerlerine aynı toplama ve çıkarma işlemi uygulanarak 2. sütun (S2) elde edilir.

Sütun 2 (S2): (28+36)=64, (40+48)=88, (8+12)=20, (12+16)=28, (36-28)=8, (48-40)=8, (12-8)=4, (16-12)=4.

Üç faktörlü (

2^3

) tasarımda toplam 3 iterasyon (sütun) gereklidir.

3

Elde edilen S2 değerlerine son kez aynı işlem uygulanarak 3. sütun (S3) yani kontrast değerleri bulunur.

Sütun 3 (S3): (64+88)=152 [Toplam], (20+28)=48 [A Kontrastı], (8+8)=16 [B Kontrastı], (4+4)=8 [AB], (88-64)=24 [C], (28-20)=8 [AC], (8-8)=0 [BC], (4-4)=0 [ABC].

k=3

faktör olduğu için 3. sütun son kontrast değerlerini verir. Standart sırada 2. satır A faktörüne karşılık gelir.

4

A faktörü kontrast değeri formüle yerleştirilerek ana etki tahmini hesaplanır.

A_{etki} = \frac{\text{A Kontrastı}}{r \cdot 2^{k-1}} = \frac{48}{1 \cdot 2^{3-1}} = \frac{48}{4} = 12

Kontrast değerinden faktörün ortalama etkisine geçmek için ilgili serbestlik derecesi katsayısına bölünmesi gerekir.

Key Concept

Yates algoritması kullanılarak faktöriyel tasarımlarda etkilerin hesaplanması

Estimated Time:1m 30s

Question 16Question →

Bir endüstri ve örgüt psikolojisi araştırmacısı, $3$ farklı "Stres Yönetimi Eğitimi" programının (A faktörü) çalışanların kaygı düzeyi üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı bu $3$ eğitim programını özel olarak seçmiş (sabit faktör), ancak bulguların genellenebilirliğini sağlamak amacıyla ülkedeki tüm kurumsal firmalar arasından şansa bağlı olarak $4$ firma (B faktörü, tesadüfi faktör) belirlemiştir.

Analiz sonucunda elde edilen kısıtlı (restricted) karma model iki yönlü ANOVA tablosuna ait bazı kareler ortalaması (KO) değerleri aşağıda özetlenmiştir:
- Eğitim Programı ( $KO_A$ ): $120$
- Firma ( $KO_B$ ): $80$
- Eğitim $\times$ Firma Etkileşimi ( $KO_{AB}$ ): $30$
- Hata ( $KO_{Hata}$ ): $15$

Buna göre, Eğitim Programının (A faktörü) ana etkisinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

4,00

8,00

5,33

2,00

1,50

Show answer & explanation

Answer: $4,00$

Answer

Doğru

F

istatistiği değeri

4,00

'dır. Karma modelde sabit faktör olan Eğitim Programının ana etkisi test edilirken, paydada etkileşim kareler ortalaması kullanılır.

Karma model (mixed model) tasarımında sabit faktörün temel etkisini test etmek için, ilgili faktörün kareler ortalaması her zaman etkileşim kareler ortalamasına bölünür. Bunun teorik sebebi, kısıtlı karma modelde sabit faktörün beklenen kareler ortalamasının (

E(KO)

) etkileşim varyansını da barındırmasıdır. Soru kökünde verilen değerlere göre A faktörü kareler ortalaması (

KO_A

)

120

, etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) ise

30

'dur. Bu nedenle F istatistiği

120 / 30 = 4,00

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Araştırmanın istatistiksel tasarımını ve modelin özelliklerini belirleme

A faktörü (Eğitim Programı) araştırmacı tarafından özel olarak seçildiği için 'sabit', B faktörü (Firma) evrenden rastgele seçildiği için 'şansa bağlı' (tesadüfi) bir faktördür. Bu durum tasarımı bir Karma Model (Mixed Model) yapar.

Varyans analizi (ANOVA) F testlerinde hangi kareler ortalamasının hangisine bölüneceği, modelin yapısına (sabit, tesadüfi veya karma) göre değişir.

2

Kısıtlı karma modelde sabit faktörün (A faktörü) test kurallarını hatırlama

Kısıtlı karma modelde, sabit faktörün beklenen kareler ortalaması hata ve etkileşim varyanslarını içerir. Bu nedenle test paydasına Hata Kareler Ortalaması değil, Etkileşim Kareler Ortalaması (

KO_{AB}

) yazılmalıdır.

Tip I hatayı kontrol altında tutmak ve yalnızca A faktörünün temel etkisini izole edebilmek için, H0 doğru olduğunda payın beklenen değerini veren varyans kaynağı paydaya alınır.

3

Verilen değerleri kullanarak A faktörünün F test istatistiğini hesaplama

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

işlemi uygulanır. Verilenlere göre

KO_A = 120

ve

KO_{AB} = 30

'dur. Buradan

F = \frac{120}{30} = 4,00

olarak bulunur.

Doğru test oranını formül üzerinden sayısal değerleri yerine koyarak hesaplamak gerekir.

Key Concept

Karma (Mixed) Faktöriyel Tasarımlarda Beklenen Kareler Ortalaması ve F Testi

Question 17Question →

Bir eğitim araştırmacısı, üç farklı öğretim stratejisinin (Faktör A) ve bölgedeki okullar arasından rastgele seçilen dört farklı okulun (Faktör B) öğrencilerin matematik sınavı başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Araştırmacı, öğretim stratejilerini önceden kendi belirlediği için sabit faktör, okulları ise rastgele seçtiği için şansa bağlı faktör olarak tanımlamıştır. Deney, her bir strateji ve okul kombinasyonunda $5$ öğrenci ( $n=5$ ) olacak şekilde, tam faktöriyel düzende ve etkileşimli model varsayımıyla yürütülmüştür.

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarına göre, bu karma (mixed) modelde öğretim stratejisinin (Faktör A) temel etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için kullanılacak F istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?
*(Not: $KT$ ilgili varyasyon kaynağının kareler toplamını ifade etmektedir.)*

\frac{KT_A / 2}{KT_{AB} / 6}

\frac{KT_A / 2}{KT_{Hata} / 48}

\frac{KT_A / 3}{KT_{AB} / 12}

\frac{KT_{AB} / 6}{KT_{Hata} / 48}

\frac{KT_A / 2}{KT_B / 3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{KT_A / 2}{KT_{AB} / 6}$

Answer

Sabit faktör olan öğretim stratejisinin temel etkisini test etmek için doğru F istatistiği

\frac{KT_A / 2}{KT_{AB} / 6}

formülüdür.

İki yönlü karma (mixed) modelde, Faktör A sabit ve Faktör B şansa bağlı olduğunda, Faktör A'nın Beklenen Kareler Ortalaması (

E(KO_A)

) terimi,

\sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\frac{\sum\alpha^2}{a-1}

şeklindedir. İlgili faktörün etkisini (

\alpha

) test edebilmek için bu ifadenin, paydaki ana etki hariç diğer tüm varyans unsurlarını içeren bir terime bölünmesi gerekir. Bu terim

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2

'dir. Serbestlik dereceleri hesaplandığında;

sd_A = 3-1=2

ve

sd_{AB} = (3-1)(4-1) = 2 \times 3 = 6

bulunur. Dolayısıyla doğru test istatistiği

F = KO_A / KO_{AB} = \frac{KT_A / 2}{KT_{AB} / 6}

olarak formülize edilir.

Step-by-Step Solution

1

Deney tasarımı modelini ve faktör özelliklerini belirlemek.

Model, Faktör A'nın sabit (

a=3

), Faktör B'nin şansa bağlı (

b=4

) olduğu ve hücre başına tekrarın

n=5

olduğu iki yönlü karma (mixed) faktöriyel bir tasarımdır.

F testinde kullanılacak Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kuralları, faktörlerin sabit veya şansa bağlı olmasına göre farklılık gösterir.

2

İlgili varyasyon kaynaklarının serbestlik derecelerini (sd) hesaplamak.

Faktör A için

sd_A = a-1 = 3-1 = 2

, Etkileşim için

sd_{AB} = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6

ve Hata için

sd_{Hata} = a \cdot b \cdot (n-1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

olarak bulunur.

Kareler Ortalamalarını (KO) bulmak için Kareler Toplamlarını (KT) doğru serbestlik derecelerine bölmek gerekir.

3

E(KO) kurallarını uygulayarak Faktör A için uygun test istatistiğini belirlemek.

Karma modelde sabit faktörün (A) beklenen kareler ortalaması etkileşim varyansını içerdiğinden (

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + \dots

), uygun payda etkileşim kareler ortalamasıdır (

KO_{AB}

). Test istatistiği:

F = KO_A / KO_{AB}

.

Sabit faktörün temel etkisini izole edebilmek için F oranının paydasında, paydaki temel etki dışındaki tüm varyans unsurlarını içeren uygun hata terimi kullanılmalıdır.

4

F istatistiğini açık formül olarak yazmak.

F = \frac{KT_A / sd_A}{KT_{AB} / sd_{AB}} = \frac{KT_A / 2}{KT_{AB} / 6}

ifadesi elde edilir.

Kareler Ortalaması (KO), Kareler Toplamının (KT) serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edildiği için matematiksel karşılığı oluşturulur.

Key Concept

İki yönlü karma modellerde (mixed models), E(KO) kuralları gereği sabit faktörün ana etkisini test etmek için hata terimi olarak etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) kullanılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 18Question →

Kamu yönetimi alanında yapılan bir araştırmada, vatandaşların hizmet başvuru onay süreleri (gün) üzerinde başvuru kanalı (A faktörü: e-Devlet ve Yüz Yüze) ile işlem türü (B faktörü: Standart ve Kapsamlı) olmak üzere iki faktörün etkisi incelenmektedir.

Araştırmacı $2^2$ faktöriyel tasarım kullanmış ve her bir deney hücresinde (kombinasyonda) 5 başvuru dosyası (toplam 20 gözlem) incelemiştir. Elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (SS)	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Ortalaması (MS)	F
A Faktörü (Kanal)	120	?	?	?
B Faktörü (İşlem)	80	?	?	?
Etkileşim ( $A \times B$ )	?	?	?	?
Hata	?	?	10
Genel (Toplam)	450	?

Buna göre, A ve B faktörleri arasındaki etkileşime ( $A \times B$ ) ait F test istatistiği ( $F_{AxB}$ ) kaçtır?

5.0

6.0

9.0

25.0

Show answer & explanation

Answer: 9.0

Answer

Etkileşime ait F test istatistiği 9.0'dır.

Doğru yanıt 9.0 değerini gösteren seçenektir.

2^2

faktöriyel tasarımda 20 gözlem için hata serbestlik derecesi 16'dır (20-4). Tabloda verilen hata kareler ortalaması 10 olduğuna göre, hata kareler toplamı

16 \times 10 = 160

'tır. Kareler toplamlarının toplanabilirliği kuralına göre (Genel SS = A SS + B SS + AxB SS + Hata SS), etkileşim kareler toplamı

450 - (120 + 80 + 160) = 90

olarak bulunur. Etkileşim serbestlik derecesi

(2-1)(2-1)=1

olduğundan kareler ortalaması da 90'dır. F istatistiği

90 / 10 = 9.0

işleminin sonucudur.

Step-by-Step Solution

1

Hata serbestlik derecesinin (

sd_{Hata}

) hesaplanması

sd_{Hata} = 20 - 4 = 16

bulunur.

2^2

faktöriyel tasarımda

a=2

ve

b=2

düzey vardır, toplam hücre sayısı 4'tür. Toplam gözlem sayısı

N=20

olduğundan, hata serbestlik derecesi

N - (a \times b)

formülü ile hesaplanır.

2

Hata kareler toplamının (

SS_{Hata}

) bulunması

SS_{Hata} = 10 \times 16 = 160

olarak elde edilir.

Hata kareler ortalaması (

MS_{Hata}

) 10 olarak verilmiştir.

MS = SS / sd

olduğundan,

SS = MS \times sd

işlemi uygulanır.

3

Etkileşim kareler toplamının (

SS_{AxB}

) bulunması

450 = 120 + 80 + SS_{AxB} + 160

işleminden

SS_{AxB} = 90

bulunur.

Varyans analizinde kareler toplamı toplanabilirlik ilkesine uyar:

SS_{Genel} = SS_A + SS_B + SS_{AxB} + SS_{Hata}

.

4

Etkileşim serbestlik derecesi ve F istatistiğinin hesaplanması

MS_{AxB} = 90 / 1 = 90

ve

F_{AxB} = 90 / 10 = 9.0

bulunur.

Etkileşim serbestlik derecesi

(a-1)(b-1) = 1 \times 1 = 1

'dir. F istatistiği, etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilir (

F = MS_{AxB} / MS_{Hata}

).

Key Concept

2^2

faktöriyel tasarımlarda ANOVA tablosunun tamamlanması ve kareler toplamlarının toplanabilirliği

Estimated Time:2m 0s

Question 19Question →

Bir tarım araştırmacısı, sera koşullarında yetiştirilen bir bitkinin verimine etki eden çeşitli faktörleri $2^k$ faktöriyel tasarım kullanarak incelemektedir. Seradaki alanın kısıtlı olması nedeniyle, tüm deneme kombinasyonlarının tek bir homojen ortamda (tek bir blokta) yürütülmesi mümkün olmamış ve denemeler farklı fiziki bölmelere (bloklara) ayrılmıştır. Bu yerel kontrol stratejisi sonucunda bazı etkilerin bloklarla 'karışması' (confounding) zorunluluğu doğmuştur.

Buna göre, araştırmadaki bloklama stratejisi ve karışma (confounding) kavramıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bloklar arasındaki farklılıklar ile karışan etkinin varyansı birbirinden istatistiksel olarak ayırt edilemez; bu yüzden genellikle yorumlanması daha zor olan en yüksek dereceli etkileşimler blokla karıştırılır.

Karışma işlemine tabi tutulan etki modelden tamamen silindiği için, bu etkinin açıkladığı varyans doğrudan hata kareler toplamına (SSE) eklenir.

Bloklamanın bu tasarımdaki temel amacı, deneme birimlerindeki heterojenliği artırarak faktörlerin ana etkilerinin daha belirgin hale gelmesini sağlamaktır.

Tasarım gereği, faktörlerin tek başlarına yarattıkları ana etkiler bloklarla karışırken, faktörlerin birlikte yarattıkları etkileşim etkileri her zaman net olarak tahmin edilir.

Tasarımdaki blok sayısının artırılması, analizdeki toplam serbestlik derecesini artıracağı için testin istatistiksel gücünü doğrudan yükseltir.

Show answer & explanation

Answer: Bloklar arasındaki farklılıklar ile karışan etkinin varyansı birbirinden istatistiksel olarak ayırt edilemez; bu yüzden genellikle yorumlanması daha zor olan en yüksek dereceli etkileşimler blokla karıştırılır.

Answer

Doğru ifade, karışan etkinin varyansının blok farklılıklarından ayırt edilemeyeceğini ve bu nedenle en yüksek dereceli etkileşimlerin bilerek blokla karıştırıldığını belirten seçenektir.

Faktöriyel tasarımlarda bloklama yaparken bazı etkilerin blok kontrastlarıyla aynı yapıya sahip olması kaçınılmazdır. Bu duruma 'karışma' (confounding) denir. Karışan etki ile blok etkisi aynı serbestlik derecesini paylaştığı için birbirlerinden ayırt edilemezler. Etkilerin seyreltikliği ilkesi gereği, yüksek dereceli etkileşimlerin istatistiksel olarak anlamsız olma olasılığı yüksek olduğundan, bilgi kaybını en aza indirmek için bu etkiler bilerek blokla karıştırılır.

Step-by-Step Solution

1

Faktöriyel tasarımlarda bloklama ihtiyacını tanımlama

2^k

tasarımlarında tüm kombinasyonlar tek bloğa sığmadığında, deney tam olmayan bloklara bölünür.

Deneysel hatayı kontrol altında tutmak için homojen çevre koşulları (bloklar) oluşturulmalıdır.

2

Karışma (confounding) kavramını analiz etme

Bloklara bölme işlemi matematiksel olarak bazı etkilerin (genellikle yüksek dereceli etkileşimlerin) blok farklılıklarıyla tamamen aynı işarete sahip olmasına neden olur.

Bu durum, söz konusu etkinin blok etkisinden istatistiksel olarak ayrılamaması (karışması) anlamına gelir.

3

Tasarım stratejisini belirleme

Araştırmacı için en önemli bilgiler ana etkiler ve ikili etkileşimlerdir. Üçlü veya daha yüksek dereceli etkileşimlerin anlamlı olma ihtimali düşüktür.

Bu yüzden karışma zorunluluğu doğduğunda, kasıtlı olarak en yüksek dereceli etkileşimler blokla karıştırılır.

4

Seçenekleri değerlendirme

Doğru ifade, karışmanın ayrıştırılamamazlık yarattığını ve pratikte en yüksek dereceli etkileşimlerin feda edildiğini açıklayan ifadedir.

Diğer ifadeler karışmanın veya bloklamanın amacını ve matematiksel sonuçlarını yanlış yorumlamaktadır.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Karışma (Confounding) İlkesi

Question 20Question →

Bir tarım il müdürlüğünde görevli bir ziraat mühendisi, yeni geliştirilen bir gübrenin buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek üzere iki faktörlü bir deney tasarlamıştır. Deneyde:

- Faktör A (Gübre Dozu): Araştırmacı tarafından özel olarak belirlenmiş $4$ farklı seviyeye sahip sabit (fixed) bir faktördür.
- Faktör B (Tarımsal İşletme): Bölgedeki çok sayıdaki işletme arasından rastgele seçilmiş $6$ farklı işletmeyi temsil eden şansa bağlı (random) bir faktördür.

Deney, her bir doz-işletme kombinasyonunda (hücrede) $n=3$ tekrar olacak şekilde tam faktöriyel tasarım olarak yürütülmüştür. İki faktör arasındaki etkileşim de modele dahil edilmiştir.

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarına göre, bu karma (mixed) modelde Faktör A'nın (Gübre Dozu) temel etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için oluşturulması gereken uygun $F$ test istatistiği ve bu istatistiğin (pay, payda) serbestlik dereceleri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
(Not: $KO$ , Kareler Ortalamasını ifade etmektedir.)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

test istatistiği ve

(3, 15)

serbestlik dereceleri

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

test istatistiği ve

(3, 48)

serbestlik dereceleri

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

test istatistiği ve

(3, 23)

serbestlik dereceleri

F = \frac{KO_A}{KO_B}

test istatistiği ve

(3, 5)

serbestlik dereceleri

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

test istatistiği ve

(3, 71)

serbestlik dereceleri

Show answer & explanation

Answer: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ test istatistiği ve $(3, 15)$ serbestlik dereceleri

Answer

Modelde uygun test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

oranıdır ve serbestlik dereceleri

(3, 15)

olarak hesaplanmalıdır.

İki faktörlü karma (mixed) tasarımlarda, sabit faktörün temel etkisini test etmek için Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kuralları uygulanır. Faktör A sabit ve Faktör B şansa bağlı olduğunda, A'nın beklenen kareler ortalaması içerisinde hem hata varyansı hem de etkileşim varyansı yer alır. Bu nedenle, sadece Faktör A'nın etkisini izole edebilmek için

KO_A

değerinin

KO_{Hata}

'ya değil, doğrudan

KO_{AB}

'ye bölünmesi gerekir. Test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

olur. Serbestlik dereceleri ise sırasıyla pay için

(a-1) = 4-1 = 3

ve payda için

(a-1)(b-1) = 3 \times 5 = 15

olarak hesaplanır. Doğru cevabı veren seçenek bu değerleri eksiksiz ve hatasız biçimde yansıtmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Modeldeki faktörlerin özelliklerini ve düzey sayılarını belirleme

A Faktörü (sabit,

a=4

), B Faktörü (rastgele,

b=6

), Tekrar sayısı (

n=3

). Toplam gözlem sayısı

N = 4 \times 6 \times 3 = 72

.

Serbestlik derecelerinin doğru hesaplanabilmesi için düzey ve tekrar sayılarının netleşmesi gerekir.

2

A faktörünün temel etkisi için serbestlik derecesini (pay) hesaplama

sd_A = a - 1 = 4 - 1 = 3

.

Test istatistiğinin pay kısmındaki serbestlik derecesi, test edilen faktörün düzey sayısının bir eksiğidir.

3

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarına göre doğru paydayı belirleme

Faktör A sabit ve Faktör B şansa bağlı olduğunda

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2 + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

olur. A'nın sadece kendi etkisini yalıtabilmek için

\sigma^2 + n\sigma_{\alpha\beta}^2

değerini veren

KO_{AB}

ile bölünmesi gerekir.

Karma modellerde sabit faktörün testinde hata varyansının yanı sıra etkileşim varyansı da dikkate alınmalıdır.

4

Test istatistiği için payda olan etkileşimin serbestlik derecesini hesaplama

sd_{AB} = (a - 1)(b - 1) = (4 - 1)(6 - 1) = 3 \times 5 = 15

.

F

istatistiğinin anlamlılık testi için kullanılacak payda serbestlik derecesini bulmak gereklidir.

5

Elde edilen tüm değerleri birleştirerek doğru oranı ifade etme

Test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

olmalı ve

F

tablosuna bakarken

(3, 15)

serbestlik dereceleri kullanılmalıdır.

Hipotez testi prosedürünün eksiksiz bir şekilde tanımlanması amaçlanmıştır.

Key Concept

Karma (Mixed) Modellerde Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları

Faktöriyel Tasarımlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept