Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 5

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 4xy, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

$U = X^2$ ve $V = Y^2$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 4\sqrt{uv}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 16uv, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = 4uv, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

Show answer & explanation

Answer: $h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Answer

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = 1

olup tanım aralığı

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

şeklinded{ir}.

Doğru cevap olan ifade,

x = \sqrt{u}

ve

y = \sqrt{v}

ters dönüşümleri kullanılarak hesaplanan

\frac{1}{4\sqrt{uv}}

Jakobiyen değerinin orijinal yoğunluk fonksiyonuna uygulanmasıyla elde edilen

h(u, v) = 1

sonucunu ve doğru sınırları içermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = \sqrt{u}

ve

y = \sqrt{v}

Orijinal değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek Jakobiyen yönteminin ilk adımıdır.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{1}{2\sqrt{u}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{v}} \end{vmatrix} = \frac{1}{4\sqrt{uv}}

Dönüşüm altındaki alan/hacim değişimini dengelemek için bu katsayı gereklidir.

3

Dönüşüm formülünü (

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

) uygulayın.

h(u, v) = 4(\sqrt{u})(\sqrt{v}) \cdot \frac{1}{4\sqrt{uv}} = 1

Yeni yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için orijinal PDF, ters dönüşüm değerleri ve Jakobiyen ile birleştirilir.

4

Yeni değişkenlerin tanım aralığını belirleyin.

0 < \sqrt{u} < 1 \Rightarrow 0 < u < 1

ve

0 < \sqrt{v} < 1 \Rightarrow 0 < v < 1

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dönüşümle birlikte değişebilir.

Key Concept

İki değişkenli bir dönüşümde yeni yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun ters dönüşüm değerleri ile Jakobiyen determinantının mutlak değerinin çarpımıyla bulunur.

Practice More

Değişkenlerin bağımsız olup olmadığını inceleyerek marjinal yoğunluk fonksiyonlarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 82Question →

Bir belediyenin fen işleri biriminde yürütülen projelerin tamamlanma süresinin hedeflenen süreden sapma miktarı (hafta olarak) $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmiştir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-2	0	2
$P(X=x)$	0,20	0,50	0,30

Buna göre, projelerin hata maliyet katsayısını temsil eden $Y = \frac{X^2}{4}$ rastgele değişkeni için $P(Y=1)$ olasılığı kaçtır?

0,20

0,30

0,50

0,70

0,80

Show answer & explanation

Answer: 0,50

Answer

Dönüşüm sonucunda

Y=1

değerini veren durumların olasılıkları toplamı 0,50'dir.

Verilen

Y = \frac{X^2}{4}

dönüşümünde,

Y=1

sonucunu veren iki farklı

X

değeri bulunmaktadır:

X=-2

ve

X=2

. Bu iki durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğu için,

Y=1

olasılığı bu iki değerin olasılıklarının toplamına (

0,20 + 0,30 = 0,50

) eşittir.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkeninin her bir değeri için

Y = \frac{X^2}{4}

dönüşümünün sonuçlarını hesaplayın.

X = -2 \Rightarrow Y = \frac{(-2)^2}{4} = 1

;

X = 0 \Rightarrow Y = \frac{0^2}{4} = 0

;

X = 2 \Rightarrow Y = \frac{2^2}{4} = 1

.

Dönüşüm fonksiyonunun yeni rastgele değişkenin destek kümesini (değer aralığını) nasıl belirlediğini anlamak için.

2

Y = 1

olayına karşılık gelen

X

değerlerini belirleyin.

Y = 1

olduğu durumlar

X = -2

ve

X = 2

değerleridir.

Bire-bir olmayan bir dönüşümde, aynı

Y

değerine karşılık gelen tüm

X

değerlerini bulmak gerekir.

3

Y = 1

olasılığını hesaplamak için ilgili

X

değerlerinin olasılıklarını toplayın.

P(Y=1) = P(X=-2) + P(X=2) = 0,20 + 0,30 = 0,50

.

Kesikli rastgele değişkenlerde, bir değerin olasılığı o değere karşılık gelen tüm orijinal olayların olasılıkları toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan (non-monotonic) dönüşümler ve olasılıkların toplanması.

Estimated Time:45s

Question 83Question →

Bir kamu kurumunda yürütülen verimlilik analizinde, personelin günlük işlem hızı $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = 2x, \quad 0 < x < 1

olarak tanımlanmıştır. Kurum yönetimi, bu verileri kullanarak $Y = 2X + 1$ dönüşümü ile yeni bir performans skoru hesaplamaya karar vermiştir. Buna göre, yeni performans skoru $Y$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 1 < y < 3

f_Y(y) = y-1, \quad 1 < y < 3

f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 0 < x < 1

f_Y(y) = 2(y-1), \quad 1 < y < 3

f_Y(y) = \frac{y+1}{2}, \quad 1 < y < 3

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 1 < y < 3$

Answer

Yeni performans skoru

Y

için olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 1 < y < 3

şeklindedir.

Doğru yanıt, ters dönüşümün

x = (y-1)/2

olarak belirlenmesi, Jakobiyen değerinin

1/2

olarak hesaplanması ve sınırların

1

ile

3

arasına taşınmasıyla elde edilen fonksiyondur. Bu adımlar uygulandığında

f_Y(y) = 2((y-1)/2) \times (1/2) = (y-1)/2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm fonksiyonunu bulun

x = g^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}

Olasılık yoğunluk fonksiyonu dönüşümünde

x

değişkenini

y

cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen değerini (ters türevin mutlak değeri) hesaplayın

|J| = |\frac{dx}{dy}| = |\frac{d}{dy}(\frac{y-1}{2})| = \frac{1}{2}

Yoğunluk korunumu ilkesi gereği türev çarpanı eklenmelidir.

3

Yeni değişken için tanım aralığını (sınırları) belirleyin

x=0 \Rightarrow y=2(0)+1=1

ve

x=1 \Rightarrow y=2(1)+1=3

x

değişkeninin

[0, 1]

aralığı,

y

düzleminde

[1, 3]

aralığına dönüşür.

4

Fonksiyonu birleştirerek nihai PDF'i yazın

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = 2(\frac{y-1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{y-1}{2}

Tüm bileşenler formülde yerine koyularak sonuç basitleştirilir.

Key Concept

Tek Değişkenli Sürekli Rastgele Değişken Dönüşümü

Question 84Question →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenler olup $U = \frac{X}{Y}$ oran değişkeninin dağılımı araştırılmaktadır. Bu amaçla $U = \frac{X}{Y}$ ve $V = X$ yardımcı değişken dönüşümü yapılmıştır. Ters dönüşümler $x = v$ ve $y = \frac{v}{u}$ olarak elde edildiğine göre, bu dönüşümün **Jacobian determinantı ( $J$ )** aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{v}{u}

\frac{v}{u^2}

\frac{u^2}{v}

\frac{1}{u}

1

Show answer & explanation

Answer: $\frac{v}{u^2}$

Answer

Dönüşüme ait Jacobian determinantı

\frac{v}{u^2}

olarak hesaplanır.

Doğru cevap, ters dönüşüm fonksiyonlarının (

x=v

ve

y=v/u

) yeni değişkenlere göre kısmi türevlerinin alınması ve elde edilen matrisin determinantının hesaplanmasıyla bulunur. İşlem sonucunda

0 - (-v/u^2) = v/u^2

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ters dönüşüm denklemlerini kullanarak kısmi türevleri hesaplayın.

x = v

için:

\frac{\partial x}{\partial u} = 0

,

\frac{\partial x}{\partial v} = 1

;

y = \frac{v}{u}

için:

\frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{v}{u^2}

,

\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{u}

Jacobian matrisini oluşturmak için her bir orijinal değişkenin (

x, y

) yeni değişkenlere (

u, v

) göre değişim oranları gereklidir.

2

Hesaplanan türevleri Jacobian matrisine yerleştirin.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{v}{u^2} & \frac{1}{u} \end{vmatrix}

Matris yapısı, değişken dönüşümündeki alan değişim oranını temsil eder.

3

Matrisin determinantını hesaplayın.

J = (0) \times (\frac{1}{u}) - (1) \times (-\frac{v}{u^2}) = 0 + \frac{v}{u^2} = \frac{v}{u^2}

2 \times 2

bir matrisin determinantı

ad - bc

formülü ile bulunur.

Key Concept

İki değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşümlerinde, olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) taşınması için Jacobian determinantının kullanılması esastır.

Hints

1

Jacobian matrisini oluşturmak için

x

ve

y

'nin

u

ve

v

'ye göre kısmi türevlerini içeren

2 \times 2

bir matris kurun.

2

y = v/u

ifadesinin

u

'ya göre türevini alırken

\frac{d}{du}(u^{-1}) = -u^{-2}

kuralını hatırlayın.

Practice More

Eğer

X

ve

Y

bağımsız standart normal dağılıma sahip olsaydı, bu Jacobian'ı kullanarak

U = X/Y

oranının Cauchy dağılımına sahip olduğunu ispatlayabilirdiniz.

Alternative Method

Önce

x

ve

y

'yi

u

ve

v

cinsinden tam diferansiyel formunda yazıp (

dx = 0 \cdot du + 1 \cdot dv

), (

dy = -v/u^2 \cdot du + 1/u \cdot dv

) katsayılar matrisinden de gidebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 85Question →

İstatistiksel modelleme çalışmalarında kullanılan $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, $[0, 1]$ aralığında bağımsız düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu iki değişkenin çarpımı ile tanımlanan $U = XY$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ , $0 < u < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

-\ln u

1

u

e^{-u}

\frac{1}{u}

Show answer & explanation

Answer: $-\ln u$

Answer

Bağımsız iki düzgün değişkenin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonu

-\ln u

şeklindedir.

Bağımsız iki

[0, 1]

düzgün değişkenin çarpımı olan

U=XY

için yapılan dönüşümde

|J|=1/v

çarpanı gelir. Ortak yoğunluk

1/v

ifadesinin

v

değişkeninin tanımlı olduğu

[u, 1]

aralığında integre edilmesiyle elde edilen

-\ln u

sonucu, bu tür temel çarpım dönüşümlerinin standart sonucudur.

Step-by-Step Solution

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyin.

f_{X,Y}(x, y) = 1 \cdot 1 = 1

, (

0 < x, y < 1

)

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak yoğunluk, marjinal yoğunlukların çarpımıdır.

2

Değişken dönüşümü ve Jakobiyen determinantını hesaplayın.

U = XY, V = X \Rightarrow X = V, Y = U/V

ve

|J| = 1/v

Çok değişkenli dönüşüm yönteminde yeni değişkenlerin ortak yoğunluğunu bulmak için Jakobiyen çarpanı gereklidir.

3

Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu (

f_{U,V}

) yazın.

f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(v, u/v) \cdot |J| = 1 \cdot (1/v) = 1/v

Dönüşüm formülü uygulanarak

U

ve yardımcı değişken

V

'nin ortak dağılımı elde edilir.

4

V

üzerinden integral alarak

U

'nun marjinal yoğunluğunu bulun.

f_U(u) = \int_u^1 \frac{1}{v} dv = [\ln v]_u^1 = \ln 1 - \ln u = -\ln u

0 < u/v < 1 \Rightarrow v > u

olduğundan integral sınırları

u

ile

1

arasındadır.

Key Concept

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin çarpımının dağılımı ve Jakobiyen yöntemi.

Practice More

Bağımsız standart normal değişkenlerin oranı olan

X/Y

ifadesinin Cauchy dağılımına sahip olduğunu kanıtlamayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 86Question →

Bir banka şubesinde müşterilerin işlem süreleri sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmiştir. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olarak tanımlanmıştır. Verilerin analizi ve standartlaştırılması amacıyla $Y = F(X)$ şeklinde bir olasılık integral dönüşümü uygulanmıştır. Buna göre, rastgele seçilen bir işlemin normalize edilmiş değeri olan $Y$ ’nin $0,75$ ’ten büyük olma olasılığı $P(Y > 0,75)$ kaçtır?

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

Show answer & explanation

Answer: $0,25$

Answer

Doğru cevap

0,25

olarak hesaplanan değerdir.

Olasılık integral dönüşümü (Probability Integral Transform) prensibine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

Y = F(X)

dönüşümü yapıldığında

Y

değişkeni her zaman

[0, 1]

aralığında standart düzgün dağılım sergiler. Standart düzgün dağılımda olasılık, doğrudan ilgili aralığın uzunluğuna karşılık gelir. Dolayısıyla

P(Y > 0,75)

olasılığı,

1 - 0,75 = 0,25

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık integral dönüşümü teoremini uygula.

Y = F(X) \sim \text{Uniform}(0, 1)

Sürekli bir

X

rastgele değişkeni kendi birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

ile dönüştürüldüğünde, elde edilen

Y

değişkeni her zaman

(0, 1)

aralığında standart düzgün (tekdüze) dağılım gösterir.

2

Standart düzgün dağılım için birikimli olasılık değerini belirle.

P(Y \leq 0,75) = 0,75

Standart düzgün dağılımda

P(Y \leq y) = y

(burada

0 < y < 1

) olduğu bilinmektedir.

3

İstenen "büyüktür" olasılığını hesaplamak için tamlayan olay kuralını kullan.

P(Y > 0,75) = 1 - 0,75 = 0,25

Bir olayın gerçekleşme olasılığı, toplam olasılık olan

1

’den olayın gerçekleşmeme olasılığının çıkarılmasına eşittir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü

Question 87Question →

$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenlerdir. $X$ değişkeni $(0, 1)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahipken ( $f_X(x)=1$ ), $Y$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y) = 2y, 0 < y < 1$ olarak verilmiştir. Buna göre, $Z = XY$ çarpım değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

2(1-z), \quad 0 < z < 1

-2z \ln z, \quad 0 < z < 1

2z(1-z), \quad 0 < z < 1

2z, \quad 0 < z < 1

-\ln z, \quad 0 < z < 1

Show answer & explanation

Answer: 2(1-z), \quad 0 < z < 1

Answer

Çarpım değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Z(z) = 2(1-z), 0 < z < 1

şeklindedir.

Verilen yoğunluk fonksiyonları ve bağımsızlık varsayımı altında,

Z=XY

dönüşümü yapıldığında Jakobiyen çarpanı

1/v

olur. Ortak yoğunluk

2z/v^2

ifadesinin

v

değişkeninin tanım aralığı olan

[z, 1]

üzerinde integrali alındığında

2(1-z)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirle.

f(x, y) = f_X(x) f_Y(y) = 1 \times 2y = 2y, \quad 0 < x, y < 1

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunlukların çarpımına eşittir.

2

Değişken dönüşümü ve Jakobiyen hesapla.

Z = XY

ve

V = X

olsun. Buradan

X = V

ve

Y = Z/V

elde edilir. Jakobiyen:

|J| = |\frac{\partial(x, y)}{\partial(z, v)}| = |\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/v & -z/v^2 \end{pmatrix}| = 1/v

Çarpım dağılımını bulmak için iki değişkenli dönüşüm yöntemi kullanılır.

3

Z

ve

V

değişkenlerinin ortak yoğunluk fonksiyonunu yaz.

f(z, v) = f_X(v) f_Y(z/v) |J| = 1 \times 2(z/v) \times (1/v) = 2z/v^2

Dönüşüm formülü gereği orijinal fonksiyon yeni değişkenler cinsinden yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.

4

Sınırları belirle ve marjinal yoğunluğu bulmak için integral al.

0 < z/v < 1 \implies v > z

olduğu için

f_Z(z) = \int_z^1 \frac{2z}{v^2} dv = 2z [-\frac{1}{v}]_z^1 = 2z(-1 + \frac{1}{z}) = 2(1-z)

Yardımcı değişken üzerinden uygun sınırlar dahilinde integral alınarak hedef değişkenin marjinal dağılımına ulaşılır.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişkenin çarpımının dağılımı Jakobiyen yöntemiyle bulunur.

Practice More

Benzer bir işlemi oran değişkeni (

U = X/Y

) için yaparak bölme işlemlerindeki Jakobiyen farkını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 88Question →

Bir finansal risk modelinde $X$ değişkeni günlük getiri oranını temsil etmektedir. Bir analist, bu değişkeni kullanarak $Y = 10 - 2X$ formülüyle yeni bir risk puanı oluşturmuştur. $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olduğuna göre, $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

e^{10t} M_X(-2t)

e^{-2t} M_X(10t)

e^{10t} M_X(2t)

10 - 2 M_X(t)

e^{10} M_X(-2t)

Show answer & explanation

Answer: $e^{10t} M_X(-2t)$

Answer

Yeni risk puanının moment çıkaran fonksiyonu

e^{10t} M_X(-2t)

ifadesi ile bulunur.

Doğrusal bir dönüşüm olan

Y = aX + b

için moment çıkaran fonksiyon özelliği

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

şeklindedir. Soruda

Y = -2X + 10

olarak verildiği için

a = -2

ve

b = 10

değerleri yerlerine konulduğunda

e^{10t} M_X(-2t)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) temel tanımını yazın.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

Dönüşümün sonucunu bulmak için beklenti operatörü altındaki tanım kullanılır.

2

Y

yerine soruda verilen

10 - 2X

ifadesini koyun.

M_Y(t) = E[e^{t(10 - 2X)}]

Tanımlanan yeni değişkenin

X

cinsinden değeri beklenti içine yerleştirilir.

3

Üstel fonksiyon özelliklerini kullanarak ifadeyi parçalayın.

M_Y(t) = E[e^{10t} \cdot e^{-2tX}]

Üstlerin toplamı, aynı tabanlı sayıların çarpımı olarak yazılabilir.

4

Sabit terimi beklenti dışına çıkarın ve kalan ifadeyi MGF cinsinden tanımlayın.

M_Y(t) = e^{10t} E[e^{(-2t)X}] = e^{10t} M_X(-2t)

e^{10t}

terimi

X

değişkenine bağlı olmadığı için sabittir ve beklenti dışına alınır; kalan ifade ise

M_X(t)

fonksiyonunun

-2t

noktasındaki değeridir.

Key Concept

Moment çıkaran fonksiyonlar için doğrusal dönüşüm özelliği:

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

.

Estimated Time:45s

Question 89Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin günlük performans puanındaki sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$0$	$2$
$P(X=x)$	$0,15$	$0,50$	$0,35$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y=4)$ olasılığı kaçtır?

0,15

0,35

0,50

0,65

1,00

Show answer & explanation

Answer: $0,50$

Answer

Dönüşüm sonucunda

Y=4

olasılığı

0,50

olarak hesaplanır.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde,

Y

değişkeninin

4

değerini alabilmesi için

X^2 = 4

olmalıdır. Bu eşitlik

X

değişkeninin tanım kümesindeki hem

-2

hem de

2

değerleri için sağlanır. Kesikli rastgele değişkenlerin dönüşüm kurallarına göre,

Y

değişkeninin bir noktadaki olasılığı, o noktaya eşlenen tüm

X

değerlerinin olasılıklarının toplamıdır. Dolayısıyla

P(Y=4) = P(X=-2) + P(X=2) = 0,15 + 0,35 = 0,50

hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Y

değişkeninin

4

değerini almasını sağlayan

X

değerlerini belirleyin.

X = -2

ve

X = 2

Y = X^2

olduğundan,

X^2 = 4

denklemi

X = \pm 2

çözümlerini verir.

2

Belirlenen

X

değerlerine karşılık gelen olasılıkları toplayın.

P(X = -2) + P(X = 2) = 0,15 + 0,35 = 0,50

Kesikli rastgele değişkenlerde bir dönüşümün olasılığı, o değeri üreten tüm kaynak değerlerin olasılıklarının toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan dönüşümlerde olasılıkların toplanması kuralı.

Question 90Question →

Bir lojistik deposuna sabah ve öğleden sonra gelen iki bağımsız sevkiyat grubundaki hasarlı paket sayıları sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu değişkenlerin olasılık dağılımları aşağıda verilmiştir:

$X$	$P(X=x)$
0	0,8
1	0,2

$Y$	$P(Y=y)$
0	0,7
1	0,3

Buna göre, her iki sevkiyattaki toplam hasarlı paket sayısının 1 olma olasılığı ( $P(X+Y=1)$ ) kaçtır?

0,06

0,14

0,24

0,38

0,50

Show answer & explanation

Answer: 0,38

Answer

Toplam hasarlı paket sayısının 1 olma olasılığı 0,38'dir.

İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dağılımı konvolüsyon yöntemiyle bulunur.

X+Y=1

durumu, ya ilk değişkenin 0 ikincinin 1 olması ya da ilkinin 1 ikincinin 0 olmasıyla gerçekleşir. Bağımsızlık varsayımı altında bu durumların olasılıkları

0,8 \times 0,3 = 0,24

ve

0,2 \times 0,7 = 0,14

olarak hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı 0,38 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Toplamın 1 olmasını sağlayan (X, Y) çiftlerini belirle.

X+Y=1

olması için ya

(X=0, Y=1)

ya da

(X=1, Y=0)

olmalıdır.

Kesikli rastgele değişkenlerin toplamının belirli bir değeri alması için bu değerin tüm kombinasyonları değerlendirilmelidir.

2

Değişkenlerin bağımsızlığını kullanarak ortak olasılıkları hesapla.

P(X=0, Y=1) = 0,8 \times 0,3 = 0,24

ve

P(X=1, Y=0) = 0,2 \times 0,7 = 0,14

.

Bağımsız değişkenler için ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

3

Bulunan olasılıkları topla (Konvolüsyon toplamı).

0,24 + 0,14 = 0,38

.

Ayrık durumların toplam olasılığı, her bir durumun olasılığının toplamıdır.

Key Concept

Bağımsız Kesikli Rastgele Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon

Alternative Method

Toplam olasılık kuralı kullanılarak,

P(X+Y=1) = P(X+Y=1|X=0)P(X=0) + P(X+Y=1|X=1)P(X=1)

şeklinde de hesaplanabilir. Burada

P(Y=1)P(X=0) + P(Y=0)P(X=1)

ifadesine ulaşılır.

Estimated Time:45s

Question 91Question →

$X$ sürekli rastgele değişkeni $(-2, 2)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. $Y = |X|$ olarak tanımlanan rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ , $0 < y < 2$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{y}{2}

\frac{y}{4}

\frac{y+2}{4}

y

\frac{y^2}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{y}{2}$

Answer

Rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu

\frac{y}{2}

olarak bulunur.

Verilen

X \sim U(-2, 2)

dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu

1/4

değerindedir.

Y = |X|

dönüşümü yapıldığında,

Y \le y

olması durumu

X

değişkeninin

-y

ile

y

arasında olması anlamına gelir. Bu aralıkta yapılan integral işlemi

\frac{y - (-y)}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirle.

f_X(x) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{4}, \quad -2 < x < 2

X

değişkeni belirtilen aralıkta düzgün dağılıma sahiptir.

2

Y

değişkeni için birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) tanımını yaz.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(|X| \le y)

Birikimli dağılım fonksiyonu, değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.

3

Mutlak değer eşitsizliğini

X

cinsinden ifade et ve integrali kur.

P(-y \le X \le y) = \int_{-y}^{y} \frac{1}{4} dx

|X| \le y

eşitsizliği

-y \le X \le y

aralığına karşılık gelir.

4

İntegral işlemini tamamla.

F_Y(y) = \left[ \frac{x}{4} \right]_{-y}^{y} = \frac{y}{4} - (-\frac{y}{4}) = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}

Belirli integral sınırları yerine konularak sonuç elde edilir.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Estimated Time:45s

Question 92Question →

Bir belediyenin sosyal yardım merkezine günlük gelen ziyaretçi sayısının haftalık ortalamadan farkı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,20$	$0,50$	$0,30$

İstatistiksel bir analiz kapsamında $Y = X^2 + 2$ şeklinde bir dönüşüm tanımlanmıştır. Buna göre $Y$ rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

P(Y=2) = 0,50

ve

P(Y=3) = 0,50

P(Y=1) = 0,20

,

P(Y=2) = 0,50

ve

P(Y=3) = 0,30

P(Y=2) = 0,50

ve

P(Y=3) = 0,30

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,50

P(Y=3) = 0,20

,

P(Y=2) = 0,50

ve

P(Y=3) = 0,30

Show answer & explanation

Answer: $P(Y=2) = 0,50$ ve $P(Y=3) = 0,50$

Answer

Rastgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonu

P(Y=2) = 0,50

ve

P(Y=3) = 0,50

şeklindedir.

Doğru yanıt olan

P(Y=2) = 0,50

ve

P(Y=3) = 0,50

ifadesi,

X

değişkeninin

-1, 0, 1

değerlerinin

Y = X^2 + 2

kuralıyla

2

ve

3

değerlerine dönüşmesi ve çakışan değerlerin (

X=-1

ve

X=1

) olasılıklarının toplanmasıyla elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

X

değişkeninin her bir değeri için

Y = X^2 + 2

fonksiyonu hesaplanarak

Y

değişkeninin destek kümesi bulunur.

x = -1 \Rightarrow y = (-1)^2 + 2 = 3

x = 0 \Rightarrow y = (0)^2 + 2 = 2

x = 1 \Rightarrow y = (1)^2 + 2 = 3

Y

kümesi:

\{2, 3\}

.

Dönüşüm sonrası yeni değişkenin hangi değerleri alabileceğini belirlemek için.

2

Y

değişkeninin her bir değeri için ilgili

X

olasılıkları toplanır.

P(Y=2) = P(X=0) = 0,50

P(Y=3) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50

Kesikli değişkenlerde dönüşüm sonrası aynı değere giden noktaların olasılıkları kütle fonksiyonunda toplanır.

3

Sonuçlar olasılık kütle fonksiyonu formatında yazılır.

P(Y=2) = 0,50

,

P(Y=3) = 0,50

Tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımını ifade etmek için.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan (non-monotonic) dönüşümlerde olasılık kütle fonksiyonu, aynı çıktıya sahip giriş değerlerinin olasılıkları toplanarak elde edilir.

Alternative Method

Önce

Y

değişkeninin alabileceği değerler kümesi

\{y_1, y_2, ...\}

belirlenir. Ardından her bir

y_i

için

P(Y=y_i) = \sum_{x: g(x)=y_i} P(X=x)

formülü uygulanarak sonuç teyit edilebilir.

Estimated Time:45s

Question 93Question →

Bir üretim tesisinde imal edilen elektronik parçaların kullanım ömrü, birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ olan sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kalite kontrol mühendisleri, bu parçaların dayanıklılık verilerini simülasyon ortamında test etmek amacıyla $Y = F(X)$ dönüşümünü uygulamaktadır.

Buna göre, elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

(0, 1)

aralığında düzgün (üniform) dağılım

Standart normal dağılım

(0, 1)

aralığında üstel dağılım

Parametresi

p=0,5

olan Bernoulli dağılımı

(-1, 1)

aralığında düzgün dağılım

Show answer & explanation

Answer: $(0, 1)$ aralığında düzgün (üniform) dağılım

Answer

(0, 1)

aralığında düzgün (üniform) dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, eğer

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F

bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ise,

Y = F(X)

rastgele değişkeni daima

(0, 1)

aralığında düzgün dağılıma (Standart Uniform) sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda herhangi bir dağılımdan rastgele sayı üretmek için temel teşkil eder.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(y)

) tanımlayın.

G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu incelemektir.

2

F

fonksiyonunun sürekli ve artan olma özelliğini kullanarak eşitsizliği çözün.

P(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y

F(x)

birikimli dağılım fonksiyonu olduğu için tanım gereği

P(X \leq x) = F(x)

eşitliği kullanılır.

3

Elde edilen

G(y) = y

sonucunu bilinen dağılımlarla karşılaştırın.

Y \sim Uniform(0, 1)

Birikimli dağılım fonksiyonu

[0, 1]

aralığında

G(y) = y

olan tek dağılım Standart Düzgün dağılımdır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Alternative Method

Yoğunluk dönüşüm yöntemi (Jakobiyen) kullanılarak da çözülebilir.

Y = F(X)

ise

dY/dX = f(X)

olur. Buradan

f_Y(y) = f_X(x) / |dY/dX| = f_X(x) / f_X(x) = 1

elde edilir. Yoğunluğu 1 olan ve

[0, 1]

aralığında tanımlı bu fonksiyon

Uniform(0, 1)

dağılımıdır.

Estimated Time:45s

Question 94Question →

Ulaştırma Bakanlığı tarafından işletilen bir otoyol gişesinde, geçiş yapan araçların belirlenen hız limitinden sapma miktarları (km/sa cinsinden) $X$ kesikli rastgele değişkeni ile temsil edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-2	-1	1	2
$P(X=x)$	0,15	0,35	0,35	0,15

Bu gişedeki sistemde, hız limitinden sapmanın karesini temel alan bir ceza endeksi $Y = X^2$ olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, ceza endeksinin 1 olma olasılığı ( $P(Y=1)$ ) kaçtır?

0,15

0,35

0,50

0,70

1,00

Show answer & explanation

Answer: 0,70

Answer

Ceza endeksinin 1 olma olasılığı 0,70 değeridir.

Dönüşüm fonksiyonu

Y = X^2

olduğunda,

Y = 1

sonucunu veren

X

değerleri hem

-1

hem de

1

'dir. Bu nedenle

P(Y=1)

olasılığını bulmak için bu iki bağımsız durumun olasılıkları (

0,35 + 0,35

) toplanarak

0,70

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2

dönüşümü altında

Y

değişkeninin alabileceği değerler kümesini belirle.

Y \in \{(-2)^2, (-1)^2, 1^2, 2^2\} = \{1, 4\}

Dönüşümün sonucunda ortaya çıkan yeni rastgele değişkenin destek kümesini tanımlamak gerekir.

2

Y = 1

eşitliğini sağlayan

X

değerlerini tespit et.

X^2 = 1 \Rightarrow X = -1

veya

X = 1

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm olasılığı, o değeri veren tüm başlangıç değerlerinin olasılıkları toplamıdır.

3

İlgili

X

değerlerinin olasılıklarını topla.

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,35 + 0,35 = 0,70

Dönüşüm bire-bir olmadığı için (non-monotonic), aynı

Y

değerine giden tüm

X

noktaları toplanmalıdır.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan dönüşümlerin olasılık kütle fonksiyonunun hesaplanması (çakışan değerlerin toplamı).

Practice More

Benzer bir mantıkla

Y = |X|

dönüşümü için

P(Y=2)

değerini hesaplayarak çakışan değerlerin toplamı kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Olasılık tablosunu doğrudan

Y

değerleri için yeniden düzenleyebiliriz:

Y=1

için

P(X=-1)+P(X=1)=0,70

ve

Y=4

için

P(X=-2)+P(X=2)=0,30

. Bu yeni tablo üzerinden

Y=1

satırına bakılabilir.

Estimated Time:45s

Question 95Question →

Bir gümrük limanında günlük beyanname kontrollerinde saptanan hata sayısının hedeften sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$x$	$-2$	$0$	$2$
$P(X=x)$	$0,25$	$0,40$	$0,35$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile elde edilen yeni rastgele değişken için $P(Y = 4)$ olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,60

0,35

0,25

0,40

0,10

Show answer & explanation

Answer: 0,60

Answer

0,60 olasılık değeri, rastgele değişkenin karesi 4 olan tüm durumların olasılıkları toplamıdır.

Verilen

Y = X^2

dönüşümünde

Y = 4

sonucuna ulaşmak için

X

değişkeninin karesi

4

olan tüm değerleri (

x = -2

ve

x = 2

) alması gerekir. Kesikli rastgele değişkenlerde bu olayların olasılıkları toplanarak (

0,25 + 0,35 = 0,60

) yeni değişkenin ilgili noktadaki olasılık değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Y = 4

durumunu sağlayan

X

değerlerini belirleyiniz.

X = -2

ve

X = 2

Y = X^2

dönüşümünde

X^2 = 4

denkleminin kökleri

-2

ve

2

sayılarıdır.

2

Bu

X

değerlerine karşılık gelen olasılıkları tespit ediniz.

P(X = -2) = 0,25

ve

P(X = 2) = 0,35

Olasılık kütle fonksiyonu tablosunda her bir

x

değerine karşılık gelen olasılıklar tanımlanmıştır.

3

Kesikli rastgele değişkenlerde toplama kuralını uygulayınız.

P(Y = 4) = 0,25 + 0,35 = 0,60

Bir fonksiyonun belirli bir değeri alma olasılığı, o değeri üreten tüm bağımsız girdilerin olasılıklarının toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde fonksiyonel dönüşüm (PMF dönüşümü)

Estimated Time:45s

Question 96Question →

Bir kamu kurumundaki A ve B birimlerine bir saat içinde gelen evrak sayıları sırasıyla $X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu değişkenlerin olasılık fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

$P(X=0) = 0,6$ ; $P(X=1) = 0,4$
$P(Y=0) = 0,7$ ; $P(Y=1) = 0,3$

Buna göre, bir saat içinde bu iki birime gelen toplam evrak sayısının ( $Z = X + Y$ ) tam olarak 1 olma olasılığı kaçtır?

0,12

0,18

0,46

0,54

0,70

Show answer & explanation

Answer: $0,46$

Answer

İki birime gelen toplam evrak sayısının 1 olma olasılığı

0,46

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan seçenekte,

Z=1

olması için gereken (

0,1

) ve (

1,0

) durumları bağımsızlık kuralına göre hesaplanmış (

0,18

ve

0,28

) ve bu iki ayrık durumun olasılıkları toplanarak

0,46

sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam değişkeni

Z = X + Y

için

Z=1

olmasını sağlayan durumları belirleme

Durumlar: (

X=0

ve

Y=1

) veya (

X=1

ve

Y=0

)

Kesikli değişkenlerin toplamında hedef değere ulaşan tüm ikililer dikkate alınmalıdır.

2

Belirlenen durumların olasılıklarını bağımsızlık varsayımı altında hesaplama

P(X=0, Y=1) = 0,6 \times 0,3 = 0,18

P(X=1, Y=0) = 0,4 \times 0,7 = 0,28

X

ve

Y

bağımsız olduğundan ortak olasılık marjinal olasılıkların çarpımıdır.

3

Toplam olasılığı bulmak için bireysel olasılıkları toplama

0,18 + 0,28 = 0,46

Ayrık durumların olasılıkları toplanarak toplam değişkenin olasılık kütle fonksiyonu değeri (konvolüsyon toplamı) bulunur.

Key Concept

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının olasılığı, bu toplamı veren tüm olası durumların olasılıklarının toplamı (konvolüsyon) ile bulunur.

Practice More

Benzer bir mantıkla

Z=0

ve

Z=2

olasılıklarını da hesaplayarak tüm olasılık dağılımını oluşturabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 97Question →

$X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{3}{2}x^2, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

$Y = |X|$ olarak tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ , $0 < y < 1$ aralığında aşağıdakilerden hangisidir?

y

y^2

y^3

\frac{y^3}{2}

\sqrt{y}

Show answer & explanation

Answer: $y^3$

Answer

Birikimli dağılım fonksiyonu

y^3

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan fonksiyon,

Y = |X|

dönüşümü gereği

P(-y \le X \le y)

olasılığının hesaplanmasıyla elde edilir. Verilen PDF'in

(-y, y)

aralığındaki integrali alındığında

\frac{1}{2}x^3

ilkel fonksiyonu üzerinden

y^3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Y = |X|

değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu tanımını

X

cinsinden yazın.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(|X| \le y)

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) her zaman rastgele değişkenin bir değerden küçük veya eşit olma olasılığını temsil eder.

2

Mutlak değer eşitsizliğini

X

değişkeninin tanım aralığına uygun şekilde açın.

P(-y \le X \le y)

|X| \le y

ifadesi,

X

değerinin

-y

ile

y

arasında olması gerektiğini gösterir.

3

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu ilgili aralıkta entegre edin.

F_Y(y) = \int_{-y}^{y} \frac{3}{2}x^2 dx = [\frac{1}{2}x^3]_{-y}^{y}

Sürekli bir değişkenin belirli bir aralıktaki olasılığı, PDF'in o aralıktaki integraline eşittir.

4

Belirli integral sınırlarını yerine koyarak sonucu hesaplayın.

\frac{1}{2}(y)^3 - \frac{1}{2}(-y)^3 = \frac{1}{2}y^3 - (-\frac{1}{2}y^3) = y^3

İntegral sınırları yerine konulurken çift fonksiyon simetrisinden veya doğrudan hesaplamadan yararlanılır.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Question 98Question →

Kamu kurumlarındaki veri işleme süreçlerini analiz eden bir istatistik uzmanı, $X$ rastgele değişkeni için moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak belirlemiştir. Veri standardizasyonu çalışmaları kapsamında bu değişken $Y = 4X + 7$ şeklinde bir doğrusal dönüşüme tabi tutulmuştur. Buna göre, yeni oluşturulan $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

e^{7t} M_X(4t)

4 M_X(t) + 7

e^{7t} M_X(t)

M_X(4t) + 7

e^{4t} M_X(7t)

Show answer & explanation

Answer: $e^{7t} M_X(4t)$

Answer

Dönüşüm altındaki moment çıkaran fonksiyon

e^{7t} M_X(4t)

olarak elde edilir.

Moment çıkaran fonksiyonların en temel özelliklerinden biri doğrusal dönüşümler altındaki davranışıdır.

Y = aX + b

şeklindeki bir dönüşümde,

M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralı geçerlidir. Soruda

a=4

ve

b=7

değerleri verildiği için bu kural doğrudan uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Y

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu tanımını yazınız.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

Moment çıkaran fonksiyonun temel tanımı beklenen değer üzerindedir.

2

Y = 4X + 7

dönüşümünü tanımda yerine koyunuz.

M_Y(t) = E[e^{t(4X + 7)}]

Y

değişkeni

X

cinsinden ifade edilerek

X

'in moment fonksiyonuna ulaşılmaya çalışılır.

3

Üstel fonksiyon özelliklerini kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.

M_Y(t) = E[e^{4tX} \cdot e^{7t}]

e^{a+b} = e^a \cdot e^b

kuralı uygulanır.

4

Beklenen değerin lineerlik özelliğini kullanarak sabit terimi dışarı alınız.

M_Y(t) = e^{7t} E[e^{(4t)X}]

e^{7t}

terimi

X

değişkeninden bağımsız bir sabit olduğu için beklenen değer dışına çarpan olarak çıkar.

5

Son ifadeyi

X

değişkeninin moment fonksiyonu cinsinden yazınız.

M_Y(t) = e^{7t} M_X(4t)

E[e^{(4t)X}]

ifadesi,

M_X(t)

fonksiyonunda

t

yerine

4t

yazılmasına karşılık gelir.

Key Concept

Doğrusal Dönüşüm Altında MGF Özelliği

Practice More

Bağımsız iki değişkenin toplamının moment fonksiyonunun, bu değişkenlerin ayrı ayrı moment fonksiyonlarının çarpımına eşit olduğu özelliğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 99Question →

Akademik bir çalışmada, gözlemlenen sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin tüm değerleri, değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu ( $F$ ) kullanılarak yeni bir $Y = F(X)$ değişkenine dönüştürülmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) prensibine göre, elde edilen bu $Y$ değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

0

ile

1

arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Ortalaması

0

ve varyansı

1

olan normal dağılım

Parametresi

1

olan üstel dağılım

-1

ile

1

aralığında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Parametresi

p=0,5

olan binom dağılımı

Show answer & explanation

Answer: $0$ ile $1$ arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Answer

0

ile

1

arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre,

X

rastgele değişkeni sürekli ise,

Y=F(X)

dönüşümü sonucunda elde edilen rastgele değişken her zaman

(0, 1)

aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda rastgele sayı üretimi için temel teşkil eder.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşüm değişkenini tanımla

Y = F(X)

Soruda verilen olasılık integral dönüşümünün temel formülüdür.

2

Y'nin birikimli dağılım fonksiyonunu (

F_Y(y)

) hesapla

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Dağılımı belirlemek için CDF tanımından başlanır.

3

X üzerinden ifadeyi çöz

P(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y

F

fonksiyonu sürekli ve artan olduğu için tersi alınabilir.

4

Sonucu yorumla

F_Y(y) = y

(burada

0 \leq y \leq 1

)

Birikimli dağılım fonksiyonu

F(y)=y

olan dağılım,

U(0,1)

düzgün dağılımıdır.

Key Concept

Olasılık integral dönüşümü teoremi, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi CDF'si kullanılarak Standart Düzgün Dağılıma (

U(0,1)

) dönüştürülebileceğini ifade eder.

Alternative Method

Teoremin tersini düşünerek; eğer

U \sim U(0,1)

ise

X = F^{-1}(U)

dönüşümünün

X

dağılımını verdiğini hatırlamak,

F(X)=U

ilişkisini kurmayı kolaylaştırabilir.

Estimated Time:45s

Question 100Question →

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen günlük sıcaklık değerleri $X$ (Celsius) rastgele değişkeni ile ifade edilmekte olup bu değişkenin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak belirlenmiştir. İstasyon verileri, uluslararası raporlama standartlarına uyum sağlamak amacıyla $Y = 1,8X + 32$ dönüşümü kullanılarak Fahrenheit birimine çevrilmektedir. Buna göre, Fahrenheit cinsinden ifade edilen $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

e^{32t} M_X(1,8t)

1,8 M_X(t) + 32

e^{1,8t} M_X(32t)

M_X(1,8t + 32)

32 e^{1,8t} M_X(t)

Show answer & explanation

Answer: $e^{32t} M_X(1,8t)$

Answer

Yeni değişkenin moment çıkaran fonksiyonu

e^{32t} M_X(1,8t)

ifadesidir.

Moment çıkaran fonksiyonlar için temel özellik

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

şeklindedir. Soruda verilen

Y = 1,8X + 32

dönüşümünde

a = 1,8

ve

b = 32

değerleri bu genel formülde yerine yazıldığında, yeni moment çıkaran fonksiyonun üstel teriminde sabit çarpanın (

e^{32t}

), fonksiyonun argümanında ise katsayının (

1,8t

) yer aldığı görülür.

Step-by-Step Solution

1

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını yazın.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

MGF, rastgele değişkenin üstel fonksiyonunun beklenen değeridir.

2

Y = 1,8X + 32

dönüşümünü tanımda yerine koyun.

M_Y(t) = E[e^{t(1,8X + 32)}]

Dönüşümü fonksiyona yerleştirerek

X

cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Üslü sayıların çarpım özelliğini kullanarak ifadeyi ayrıştırın.

M_Y(t) = E[e^{1,8tX} \cdot e^{32t}]

e^{A+B} = e^A \cdot e^B

kuralı uygulanır.

4

e^{32t}

terimi

X

'e bağlı olmadığı için beklenen değer dışına alın.

M_Y(t) = e^{32t} E[e^{(1,8t)X}]

Sabit çarpanlar beklenen değerin dışına çıkarılabilir.

5

Beklenen değer kısmını

M_X(t)

tanımıyla ilişkilendirin.

M_Y(t) = e^{32t} M_X(1,8t)

E[e^{uX}] = M_X(u)

olduğu için

u = 1,8t

alınarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonun Doğrusal Dönüşüm Özelliği

Practice More

Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının MGF'sinin, bu değişkenlerin bireysel MGF'lerinin çarpımına eşit olduğu özelliğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept