Examkin

All practice questions

852 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 361Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu yalnızca (−3,5)(-3, 5) açık aralığında pozitif değerler almaktadır.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun artan olduğu sınırlı aralıklarda yer alan farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Sınırlı artanlık aralıklarında yer alan tam sayıların toplamı 15'tir.
Fonksiyonun artan olduğu sınırlı aralıklar [1,2][1, 2] ve [3,5][3, 5] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla {1, 2} ve {3, 4, 5} olup toplamları 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevi alınır.
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesinin pozitif olduğu xx değerleri belirlenir.
x∈(−1,1)∪(3,5)x \in (-1, 1) \cup (3, 5) için f′(x2−4x)>0f'(x^2 - 4x) > 0 ve diğer durumlarda f′(x2−4x)≤0f'(x^2 - 4x) \le 0 olur.
f′(u)f'(u) fonksiyonu yalnızca u∈(−3,5)u \in (-3, 5) için pozitif olduğundan −3<x2−4x<5-3 < x^2 - 4x < 5 eşitsizlik sistemi çözülür.
3
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)≥0g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x) \ge 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturulur.
İşaret tablosu incelendiğinde g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıklar (−∞,−1]∪[1,2]∪[3,5](-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5] olarak bulunur.
Çarpanların işaret de��işimleri x=−1,1,2,3,5x = -1, 1, 2, 3, 5 noktalarında gerçekleşir.
4
Sınırlı artanlık aralıklarındaki tam sayılar belirlenip toplanır.
[1,2][1, 2] aralığından 1,21, 2 ve [3,5][3, 5] aralığından 3,4,53, 4, 5 sayıları alınarak toplam 1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15 bulunur.
Soru sınırlı aralıkları istediğinden (−∞,−1](-\infty, -1] aralığı dahil edilmez.

Key Concept

Bileşke fonksiyon türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların bulunması.
Estimated Time:2m 0s
Question 362Question →
f(x)=(x2+2x)3f(x) = (x^2 + 2x)^3

olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Doğru cevap 108'dir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır. f(x)=(x2+2x)3f(x) = (x^2 + 2x)^3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3(x2+2x)2⋅(2x+2)f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2) şeklindedir. Burada x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=3⋅(1+2)2⋅(2+2)=3⋅9⋅4=108f'(1) = 3 \cdot (1 + 2)^2 \cdot (2 + 2) = 3 \cdot 9 \cdot 4 = 108 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon türev kuralını uygulayarak fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3(x2+2x)2⋅(2x+2)f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)
Zincir kuralı gereğince dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadenin türevi ile çarpılması gerekir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazın.
f′(1)=3(12+2⋅1)2⋅(2⋅1+2)f'(1) = 3(1^2 + 2 \cdot 1)^2 \cdot (2 \cdot 1 + 2)
f′(1)f'(1) değerini bulmak için türev fonksiyonundaki xx değişkenlerinin yerine 11 koyulmalıdır.
3
İşlemleri tamamlayarak nihai sonucu hesaplayın.
108
3⋅9⋅4=1083 \cdot 9 \cdot 4 = 108 çarpımı yapılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanır: [g(x)n]′=n⋅g(x)n−1⋅g′(x)[g(x)^n]' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)
Question 363Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir y=f(t)y = f(t) ve t=g(x)t = g(x) fonksiyonları

y=t2−3ty = t^2 - 3t
t=x2+5t = \sqrt{x^2 + 5}

eşitlikleriyle veriliyor.

Buna göre, x=2x = 2 değeri için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

x = 2 değeri için dy/dx türevinin değeri 2'dir.
Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi, y'nin t'ye göre türevi ile t'nin x'e göre türevinin çarpımına eşittir. x = 2 değeri için t = 3 olur. Bu noktalardaki dy/dt = 3 ve dt/dx = 2/3 değerleri çarpıldığında doğru türev değeri 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x = 2 değeri için t değişkeninin değerini bulma
t = 3
Zincir kuralında türev değerlerini doğru noktalarda değerlendirebilmek için x'e karşılık gelen t değerini bilmemiz gerekir.
2
y fonksiyonunun t değişkenine göre türevini alıp t = 3 için değerini hesaplama
dy/dt = 3
y = t^2 - 3t ifadesinin t'ye göre türevi dy/dt = 2t - 3'tür. t = 3 yazıldığında 2(3) - 3 = 3 elde edilir.
3
t fonksiyonunun x değişkenine göre t��revini alıp x = 2 için değerini hesaplama
dt/dx = 2/3
t = (x^2 + 5)^(1/2) fonksiyonunun x'e göre türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: dt/dx = (1/2) * (x^2 + 5)^(-1/2) * 2x = x / \sqrt{x^2 + 5} olur. x = 2 için bu değer 2 / \sqrt{9} = 2/3 olarak bulunur.
4
Zincir kuralını uygulayarak dy/dx değerini hesaplama
dy/dx = 2
Zincir kuralına göre dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx) olur. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak dy/dx = 3 * (2/3) = 2 elde edilir.

Key Concept

Zincir Kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonların türevinin hesaplanması.

Alternative Method

Zincir kuralını doğrudan uygulamak yerine y fonksiyonunda t yerine eşiti olan ifadeyi yazarak y'yi doğrudan x cinsinden elde edebiliriz: y=(x2+5)2−3x2+5=x2+5−3x2+5y = (\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3\sqrt{x^2 + 5} = x^2 + 5 - 3\sqrt{x^2 + 5}. Buradan doğrudan x'e göre türev alırsak: y′=2x−3⋅2x2x2+5=2x−3xx2+5y' = 2x - 3 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = 2x - \frac{3x}{\sqrt{x^2+5}}. x=2x = 2 için y′=2(2)−3(2)22+5=4−63=4−2=2y' = 2(2) - \frac{3(2)}{\sqrt{2^2+5}} = 4 - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Question 364Question →
x+y=π4x + y = \frac{\pi}{4} ve tan⁡x\tan x, tan⁡y\tan y tanımlı olduğuna göre,
(1+tan⁡x)⋅(1+tan⁡y)(1 + \tan x) \cdot (1 + \tan y)

çarpımının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen x+y=π4x+y = \frac{\pi}{4} eşitliğinden faydalanarak tan⁡(x+y)=1\tan(x+y) = 1 olduğu görülür. Tanjant toplam formülü olan tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=1\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 eşitliğinden tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 bağıntısı elde edilir. Sorulan çarpım ifadesi dağıtıldığında 1+tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y elde edilir ve elde edilen bağıntı burada yerine yazıldığında sonuç 2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant toplam formülünü yazma
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
Açıların toplamı ile tanjant değerleri arasındaki bağlantıyı kurmak amacıyla formül yazılır.
2
x+y=π4x+y = \frac{\pi}{4} bilgisini kullanma ve içler dışlar çarpımı yapma
tan⁡(π4)=1  ⟹  tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=1  ⟹  tan⁡x+tan⁡y=1−tan⁡xtan⁡y  ⟹  tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 \implies \tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y \implies \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1
Tanjant terimlerinin toplamı ve çarpımı arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.
3
İstenen çarpım ifadesini parantezleri açarak genişletme
(1+tan⁡x)(1+tan⁡y)=1+tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y
Elde edilen cebirsel ilişkiyi sorulan ifade içerisinde yerine yazabilmek için.
4
Elde edilen bağıntıyı yerine yazarak sonucu bulma
1+(tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y)=1+1=21 + (\tan x + \tan y + \tan x \tan y) = 1 + 1 = 2
tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 eşitliği yerine koyularak sayısal değere ulaşılır.

Key Concept

İki açının toplamının tanjantı formülü: tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
Question 365Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x2−5x+4∣x−1+2a,x<1ax2−7,x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 5x + 4|}{x - 1} + 2a, & x < 1 \\ ax^2 - 7, & x \ge 1 \end{cases}
fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

İstenen a gerçel sayısı -4'tür.
Fonksiyonun x=1x=1 noktasında limitinin var olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan x2−5x+4x^2 - 5x + 4 ifadesi pozitif değerler alır ve mutlak değer dışına aynen çıkar. Sadeleşme sonrasında sol limit 2a−32a - 3 bulunur. Sağdan limit ise a−7a - 7 olarak elde edilir. Eşitlik kurulduğunda 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit varlığı için sağdan ve soldan limit eşitliği koşulunun belirlenmesi.
x→1−x \to 1^- ve x→1+x \to 1^+ limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bir fonksiyonun kritik bir noktada limitinin olması için, o noktaya sağdan ve soldan yaklaşıldığında elde edilen limit değerlerinin eşit olması şarttır.
2
Soldan limitin hesaplanması ve mutlak değer için işaret analizi yapılması.
lim⁡x→1−f(x)=2a−3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2a - 3
x→1−x \to 1^- yaklaşımında x<1x < 1 olur. Bu durumda x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) ifadesinin her iki çarpanı da negatif olacağından çarpım pozitif olur. Dolayısıyla ifade mutlak değer dışına aynen çıkar: ∣x2−5x+4∣=(x−1)(x−4)|x^2 - 5x + 4| = (x-1)(x-4). Pay ve paydadaki (x−1)(x-1) terimleri sadeleştiğinde limit lim⁡x→1−(x−4+2a)=2a−3\lim_{x \to 1^-} (x - 4 + 2a) = 2a - 3 olarak bulunur.
3
Sağdan limitin hesaplanması.
lim⁡x→1+f(x)=a−7\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - 7
x→1+x \to 1^+ yaklaşımında x≥1x \ge 1 olduğundan f(x)=ax2−7f(x) = ax^2 - 7 kuralı geçerlidir. Polinom fonksiyonlarında limit doğrudan yerine koyarak bulunur: a(1)2−7=a−7a(1)^2 - 7 = a - 7.
4
Elde edilen limit değerlerinin birbirine eşitlenerek a parametresinin çözülmesi.
a=−4a = -4
Limitin var olması için sol limit (2a−32a - 3) ile sağ limit (a−7a - 7) birbirine eşit olmalıdır. Buradan 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değerli ifadelerde limit noktasına yaklaşılan yöne göre iç kısmın işareti belirlenip mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır.
Question 366Question →
Her noktada türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(x)⋅g(x)=x3−2x2+5f(x) \cdot g(x) = x^3 - 2x^2 + 5
ilişkisi bulunmaktadır.
g(2)=5g(2) = 5
g′(2)=3g'(2) = 3
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.2

Answer

Hesaplanan f'(2) türev değeri 0.2 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonların çarpım ilişkisinden öncelikle f(2)=1f(2) = 1 bulunur. Daha sonra her iki tarafın türevi çarpım kuralıyla alınarak f′(2)⋅g(2)+f(2)⋅g′(2)=3x2−4xf'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2) = 3x^2 - 4x eşitliğine ulaşılır. Burada x=2x=2 ve bilinen değerler yerine yazılarak f′(2)=0.2f'(2) = 0.2 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x=2x = 2 için eşitliği kullanarak f(2)f(2) değerini bulunuz.
f(2)=1f(2) = 1
f(2)⋅g(2)=23−2(2)2+5f(2) \cdot g(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 5 ve g(2)=5g(2) = 5 olduğundan f(2)⋅5=5f(2) \cdot 5 = 5 ve f(2)=1f(2) = 1 elde edilir.
2
Eşitliğin her iki tarafının türevini alınız.
f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)=3x2−4xf'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 3x^2 - 4x
Sol tarafta çarpımın türevi kuralı, sağ tarafta ise kuvvet kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x=2x = 2 yazarak f′(2)f'(2) değerini hesaplayınız.
f′(2)=0.2f'(2) = 0.2
f′(2)⋅5+1⋅3=3(2)2−4(2)  ⟹  5f′(2)+3=4  ⟹  5f′(2)=1  ⟹  f′(2)=0.2f'(2) \cdot 5 + 1 \cdot 3 = 3(2)^2 - 4(2) \implies 5f'(2) + 3 = 4 \implies 5f'(2) = 1 \implies f'(2) = 0.2 olur.

Key Concept

Çarpımın Türevi ve Temel Türev Kuralları
Question 367Question →

tt ve uu gerçel sayılar olmak üzere,

t=x2−xt = x^2 - x
u=t2−3tu = t^2 - 3t
y=u3−2u2y = u^3 - 2u^2

eşitlikleri tanımlanıyor.

Buna göre, dydx\frac{dy}{dx} ifadesinin x=2x = 2 için değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

İfadelerin birbirine bağlı türevleri zincir kuralı yardımıyla çarpıldığında x = 2 için türevin değeri 60 olarak elde edilir.
Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi alınırken dy/du, du/dt ve dt/dx türevleri sırasıyla hesaplanıp çarpılmalıdır. x = 2 noktası için t = 2 ve u = -2 değerleri bulunur. Bu noktalardaki türevlerin çarpımı 20 * 1 * 3 = 60 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Zincir kuralı ilişkisini belirleme
dydx=dydu⋅dudt⋅dtdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
yy değişkeni uu ya, uu değişkeni tt ye, tt değişkeni de xx e bağlı olduğu için türev zincir kuralı ile hesaplanır.
2
x=2x = 2 noktasındaki tt ve uu değerlerini hesaplama
t=22−2=2t = 2^2 - 2 = 2 ve u=22−3(2)=−2u = 2^2 - 3(2) = -2
Türev fonksiyonlarının hangi noktalarda değerlendirileceğini bulmak için ara değişken değerleri hesaplanmalıdır.
3
Her bir ifadenin türevini alıp değerlerini yerine yazma
dtdx=2x−1  ⟹  x=2 ic¸in 3\frac{dt}{dx} = 2x - 1 \implies x = 2 \text{ için } 3
dudt=2t−3  ⟹  t=2 ic¸in 1\frac{du}{dt} = 2t - 3 \implies t = 2 \text{ için } 1
dydu=3u2−4u  ⟹  u=−2 ic¸in 3(−2)2−4(−2)=20\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \implies u = -2 \text{ için } 3(-2)^2 - 4(-2) = 20
Zincir kuralı bileşenlerinin sayısal değerlerini bulmak için her aşamadaki türevler hesaplanır.
4
Türev değerlerini çarparak nihai sonucu elde etme
3⋅1⋅20=603 \cdot 1 \cdot 20 = 60
Elde edilen türev değerleri zincir kuralında çarpım durumundadır.

Key Concept

Zincir kuralı (Chain Rule) yardımıyla çok katmanlı bağlı değişkenlerin türevini alma
Question 368Question →
f(x)={ax−3,x<42x+5,x≥4f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Süreklilik şartını sağlayan aa değeri 4'tür.
Fonksiyonun her noktada sürekli olabilmesi için parçalandığı x=4x = 4 sınır değerinde de sürekli olması şarttır. x=4x = 4'teki soldan limit 4a−34a - 3, sağdan limit ve f(4)f(4) değeri ise 13'tür. Bu iki değerin birbirine eşitlenmesiyle 4a−3=134a - 3 = 13 denklemi elde edilir ve buradan a=4a = 4 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kritik noktada süreklilik şartını belirleme
lim⁡x→4−f(x)=lim⁡x→4+f(x)=f(4)\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.
2
x=4x = 4 noktasındaki soldan limiti hesaplama
lim⁡x→4−(ax−3)=4a−3\lim_{x \to 4^-} (ax - 3) = 4a - 3
x<4x < 4 için fonksiyon ax−3ax - 3 kuralını kullanır.
3
x=4x = 4 noktasındaki sağdan limiti ve fonksiyon değerini hesaplama
lim⁡x→4+(2x+5)=f(4)=13\lim_{x \to 4^+} (2x + 5) = f(4) = 13
x≥4x \geq 4 için fonksiyon 2x+52x + 5 kuralını kullanır.
4
Elde edilen limit değerlerini eşitleyip aa değerini çözme
4a−3=13  ⟹  a=44a - 3 = 13 \implies a = 4
Sürekliliğin sağlanması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarında limit ve süreklilik incelemesi
Question 369Question →
Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen ff fonksiyonu için
f(1)=1f(1) = 1
f′(1)=3f'(1) = 3
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, g(x)=f(2x−f(x))g(x) = f(2x - f(x)) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

g fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri -3'tür.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulandığında g'(x) = f'(2x - f(x)) * (2 - f'(x)) elde edilir. x = 1 için bu ifade g'(1) = f'(1) * (2 - f'(1)) = 3 * (2 - 3) = -3 olur.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(2x−f(x))g(x) = f(2x - f(x)) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak ifade etme.
g′(x)=f′(2x−f(x))⋅(2−f′(x))g'(x) = f'(2x - f(x)) \cdot (2 - f'(x))
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre (f(u(x)))′=f′(u(x))⋅u′(x)(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x) şeklindedir. Burada u(x)=2x−f(x)u(x) = 2x - f(x) olup, u′(x)=2−f′(x)u'(x) = 2 - f'(x)'tir.
2
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 değerini yerine yazma.
g′(1)=f′(2(1)−f(1))⋅(2−f′(1))g'(1) = f'(2(1) - f(1)) \cdot (2 - f'(1))
x=1x = 1 noktasındaki türev değerini bulmak için g′(x)g'(x) ifadesinde xx yerine 11 yazılır.
3
Verilen f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=3f'(1) = 3 değerlerini yerine koyarak hesaplama yapma.
g′(1)=f′(1)⋅(2−3)=3⋅(−1)=−3g'(1) = f'(1) \cdot (2 - 3) = 3 \cdot (-1) = -3
Soru kökündeki bilinen değerler yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Question 370Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun grafiğine x=−1x = -1 noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eğrinin belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 3'tür.
Türevin geometrik yorumuna göre, bir fonksiyonun grafiğine x=x0x = x_0 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi f′(x0)f'(x_0) değeridir. f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5 olup, x=−1x = -1 için bu değer f′(−1)=3f'(-1) = 3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5
Bir fonksiyona herhangi bir noktadan ��izilen teğet doğrusunun eğimi, o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda teğet noktasının apsisi olan x=−1x = -1 değerini yerine yazın.
f′(−1)=3f'(-1) = 3
x=−1x = -1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimi f′(−1)f'(-1) değerine karşılık gelir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine x=x0x = x_0 noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine (f′(x0)f'(x_0)) eşittir.
Question 371Question →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

f(2)=3f(2) = 3 olmak üzere, gg fonksiyonu
g(x)=f(x2−f(x)+1x−1)g(x) = f\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, g′(2)g'(2) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.75

Answer

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için zincir kuralı ve bölüm türevi kuralları uygulanarak g′(2)g'(2) değeri 0.750.75 olarak bulunur.
Orijinden ve (2,3)(2,3) noktasından geçen teğet doğrusunun eğimi 32\frac{3}{2}'dir. Dolayısıyla f′(2)=1.5f'(2) = 1.5 olur. Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı ve bölüm türevi uygulandığında içteki fonksiyonun türevi 0.50.5 olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı 1.5⋅0.5=0.751.5 \cdot 0.5 = 0.75 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun eğimini hesaplama
f′(2)=1.5f'(2) = 1.5
x=2x=2 apsisli teğet noktası (2,3)(2, 3) olup bu noktadan çizilen teğet doğrusu (0,0)(0,0) noktasından geçtiği için eğimi m=3−02−0=1.5m = \frac{3-0}{2-0} = 1.5 olur. Bu eğim değeri fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonuna zincir kuralını uygulama
g′(x)=f′(x2−f(x)+1x−1)⋅(x2−f(x)+1x−1)′g'(x) = f'\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)'
Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun içinin türevi ile dıştaki fonksiyonun türevinin çarp��mı alınmalıdır.
3
İçteki fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki değerini ve türevini hesaplama
u(2)=2u(2) = 2 ve u′(2)=0.5u'(2) = 0.5
u(x)=x2−f(x)+1x−1u(x) = \frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1} olsun. Bölüm türevi kuralı uygulandığında u′(x)=(2x−f′(x))(x−1)−(x2−f(x)+1)(x−1)2u'(x) = \frac{(2x - f'(x))(x-1) - (x^2 - f(x) + 1)}{(x-1)^2} elde edilir. x=2x=2 için bu değerler yerine konulur.
4
Elde edilen tüm değerleri birleştirerek nihai türevi bulma
g′(2)=0.75g'(2) = 0.75
g′(2)=f′(u(2))⋅u′(2)=f′(2)⋅u′(2)=1.5⋅0.5=0.75g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot u'(2) = 1.5 \cdot 0.5 = 0.75 bulunur.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Question 372Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=x33−4x2+5f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 5

olarak veriliyor.

Buna göre, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Verilen f(x) fonksiyonunun türevi alınıp g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonuna zincir kuralı uygulandığında g'(x) = 2x(x - 2)(x - 4)(x + 2)(x - 1) türev fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif gerçel sayılar kümesindeki azalan aralıklar [0, 1] ve [2, 4] olarak belirlenir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4 olup toplamları 10 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun birinci türevini bulma
f′(x)=x2−8xf'(x) = x^2 - 8x
Bileşke fonksiyonun türevini alırken dıştaki fonksiyonun türevi kullanılacaktır.
2
g(x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama
g′(x)=2(x2−2x)(x2−2x−8)(x−1)g'(x) = 2(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 8)(x - 1)
Bileşke fonksiyon türevlenirken içteki fonksiyonun türevi olan (2x - 2) terimi çarpan olarak eklenmelidir.
3
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bularak kritik noktaları belirleme
x1=−2x_1 = -2, x2=0x_2 = 0, x3=1x_3 = 1, x4=2x_4 = 2, x5=4x_5 = 4
İşaret tablosunda kullanılacak sınır değerleri ve tek/çift katlı kök durumları bu noktalar üzerinden incelenir.
4
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri belirleme
Azalan olduğu bölgeler: (−∞,−2]∪[0,1]∪[2,4](-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, 4]
Bir fonksiyon türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda azalandır.
5
Tanım kümesine uygun pozitif tam sayıları seçip toplama
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
g(x) fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlı olduğundan, azalan aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür. 0 sayısı pozitif olmadığından işleme dahil edilmez.

Key Concept

Bileşke fonksiyonlarda türev yardımıyla artanlık ve azalanlık durumunun incelenmesi.
Question 373Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−6x2+8x−3f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x - 3 eğrisine çizilen ve y=8x+5y = 8x + 5 doğrusuna paralel olan teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -38

Answer

Teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı −38-38'dir.
Doğru cevap olan −38-38 sayısı, paralel teğetlerin eğrinin üzerindeki apsislerinin türev yardımıyla bulunup teğet denklemlerinin yazılması ve bu doğruların yy-kesenlerinin ordinatlarının toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini belirlemek ve teğet doğrularının eğimiyle eşitlemek.
Teğet doğrularının eğimi m=8m = 8 olmalıdır.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini alıp teğet eğimi olan 88'e eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini bulmak.
x1=0x_1 = 0 ve x2=4x_2 = 4 doğruları elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Apsis değerlerini fonksiyonda yerine yazarak teğet noktalarının ordinatlarını hesaplamak.
f(0)=−3f(0) = -3 ve f(4)=−3f(4) = -3. Teğet noktaları P1(0,−3)P_1(0, -3) ve P2(4,−3)P_2(4, -3)'tür.
Değme noktaları fonksiyonun grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlarlar.
4
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülüyle teğet doğrularının denklemlerini yazıp yy eksenini kestikleri ordinatları bulmak.
Birinci teğet doğrusunun yy-keseni −3-3, ikinci teğet doğrusunun yy-keseni −35-35'tir.
Teğet denklemlerinde x=0x = 0 yazılarak doğruların yy eksenini kestiği noktalar belirlenir.
5
Bulunan yy-keseni değerlerini toplamak.
(−3)+(−35)=−38(-3) + (-35) = -38.
Soruda bizden teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı istenmiştir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu uyarınca, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Paralel doğruların eğimleri eşittir.
Question 374Question →
L=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−cos⁡(2x)x2L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - \cos(2x)}{x^2}

olduğuna göre, 2L2L değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Hesaplanan limit değerinin iki katı olan 7'dir.
Limit ifadesi parçalandığında köklü terimlerin oluşturduğu birinci kısmın limiti eşlenik yardımıyla 3/2, trigonometrik terimlerin oluşturduğu ikinci kısmın limiti ise yarım açı formülüyle 2 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı olan L sayısı 7/2'dir. Soruda istenen 2L ifadesinin değeri ise 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→0x \to 0 için payda 02=00^2 = 0 ve pay 1+0−cos⁡(0)=1−1=0\sqrt{1+0} - \cos(0) = 1-1 = 0 olduğundan 00\frac{0}{0} belirsizliği mevcuttur.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü tespit etmek gerekir.
2
Limit ifadesinin iki parçaya ayrılması
L=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1x2+1−cos⁡(2x)x2)L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} + \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \right)
Buradan L1=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−1x2L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} ve L2=lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} olsun.
Toplamsal ifadeleri ayrı ayrı limitler halinde incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
Eşlenik çarpımı ile birinci limitin (L1L_1) hesaplanması
L1=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1)(1+xsin⁡(3x)+1)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1)(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0xsin⁡(3x)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(3x)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0sin⁡(3x)x⋅lim⁡x→011+xsin⁡(3x)+1L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1}
L1=3⋅12=32L_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır ve lim⁡x→0sin⁡(ax)x=a\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a kuralı kullanılır.
4
Trigonometrik yarım açı formülü ile ikinci limitin (L2L_2) hesaplanması
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)  ⟹  1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \implies 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
L2=lim⁡x→02sin⁡2(x)x2=2⋅(lim⁡x→0sin⁡(x)x)2=2⋅12=2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2
Trigonometrik belirsizliklerde yarım açı dönüşümü yapılarak lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 kuralı uygulanır.
5
L ve 2L değerlerinin elde edilmesi
L=L1+L2=32+2=72L = L_1 + L_2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}
Buradan,
2L=2⋅72=72L = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 bulunur.
İki ayrı parçadan elde edilen limit değerleri toplanarak L değeri ve ardından sorulan 2L değeri bulunur.

Key Concept

0/0 belirsizliği durumunda köklü ifadeler için eşlenik çarpımı ve trigonometrik ifadeler için yarım açı formülleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Question 375Question →

f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yazıldığında elde edilen sonuç −5-5 sayısıdır.
Verilen rasyonel fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı yardımıyla alınır. Payın türevi 22 ve paydanın türevi 11 olup türev fonksiyonu f′(x)=2(x−1)−1(2x+3)(x−1)2=−5(x−1)2f'(x) = \frac{2(x-1) - 1(2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=−5(2−1)2=−5f'(2) = \frac{-5}{(2-1)^2} = -5 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=−5(x−1)2f'(x) = \frac{-5}{(x-1)^2}
Bölümün türevi kuralı (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklindedir. Payın türevi 22, paydanın türevi 11 olduğundan bu kural uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(2)=−5f'(2) = -5
Soruda istenen f′(2)f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunda xx değişkeni yerine 22 sayısı yazılır.

Key Concept

Bölümün Türevi Kuralı
Question 376Question →
f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Türevin geometrik yorumuna göre, bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bu fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi −4-4 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi f′(a)f'(a) değeridir. f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x olur. Bu türevde x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=3(2)2−8(2)=12−16=−4f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x
Teğetin eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=−4f'(2) = -4
İstenen noktadaki teğetin eğimi, türevin o noktadaki değerine eşit olduğundan x=2x = 2 değeri türev fonksiyonunda yerine yerleştirilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Question 377Question →
Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x)⋅x2−x)=x3+2[g(x)]3f(g(x) \cdot x^2 - x) = x^3 + 2[g(x)]^3
eşitliği sağlanmaktadır. gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=3x−5y = 3x - 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

f'(2) değeri 2 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi zincir ve çarpım kuralları kullanılarak alınmıştır. x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi olan y = 3x - 5 kullanılarak g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri tespit edilmiştir. Bu değerler türev denkleminde yerlerine yazıldığında f'(2) * 15 = 30 bağıntısı elde edilmiş ve buradan f'(2) değeri 2 olarak hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusu denkleminden g(2) ve g'(2) değerlerini bulma
g(2) = 1 ve g'(2) = 3
g fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu y = 3x - 5 olduğundan, teğet noktası olan (2, g(2)) noktası bu doğrunun üzerindedir. Buradan g(2) = 3(2) - 5 = 1 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi ise fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g'(2) = 3 olur.
2
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alma
f'(g(x) * x^2 - x) * [g'(x) * x^2 + 2x * g(x) - 1] = 3x^2 + 6[g(x)]^2 * g'(x)
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı, içteki g(x) * x^2 ifadesi için ise çarpım kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x = 2 yazarak f'(2) değerini bulma
f'(2) = 2
x = 2 için g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri türev denkleminde yerine yazıldığında, sol taraf f'(2) * [3 * 4 + 4 * 1 - 1] = f'(2) * 15 olur. Sağ taraf ise 3 * 4 + 6 * (1)^2 * 3 = 30 olur. f'(2) * 15 = 30 eşitliğinden f'(2) = 2 bulunur.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı ve teğet eğimi ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Question 378Question →
f(x)={∣x2−9∣x−3+ax,x<3x2−2ax+a2−1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x - 3} + ax, & x < 3 \\ x^2 - 2ax + a^2 - 1, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 9'dur.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin olması için soldan limiti olan 3a−63a - 6 ile sağdan limiti olan a2−6a+8a^2 - 6a + 8 değerleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen a2−9a+14=0a^2 - 9a + 14 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 77 olup, bu değerlerin toplamı 99 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit varlığı şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) olmalıdır.
Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.
2
Soldan limiti hesaplama ve mutlak değer analizi
lim⁡x→3−f(x)=3a−6\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a - 6
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan x2−9<0x^2 - 9 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−9∣=−(x2−9)=−(x−3)(x+3)|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3) olarak dışarı çıkar ve paydadaki x−3x-3 terimi ile sadeleşir.
3
Sağdan limiti hesaplama
lim⁡x→3+f(x)=a2−6a+8\lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 8
x→3+x \to 3^+ için x≥3x \ge 3 aralığındaki x2−2ax+a2−1x^2 - 2ax + a^2 - 1 kuralı kullanılır ve xx yerine 3 yazılır.
4
Limit eşitliğini kurma ve ikinci dereceden denklemi çözme
a2−9a+14=0  ⟹  (a−2)(a−7)=0  ⟹  a=2a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a - 2)(a - 7) = 0 \implies a = 2 veya a=7a = 7
Sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenerek aa parametresine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.
5
Değerlerin toplamını bulma
2+7=92 + 7 = 9
aa'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin incelenmesi, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaret analizi ve sadeleştirme yöntemleri.
Question 379Question →

Tanımlı olduğu kümede f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(1−2h)−f(1+4h)3h \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - 2h) - f(1 + 4h)}{3h}
limitinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Limit ifadesinin değeri 4'tür.
Verilen limit ifadesi türevin limit tanımı kullanılarak −2f′(1)-2f'(1) şeklinde yazılabilir. f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonunun türevi f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2} olduğundan, f′(1)=−2f'(1) = -2 olur. Buradan limitin değeri −2⋅(−2)=4-2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2}
f(x)=18(x+2)−1f(x) = 18(x+2)^{-1} şeklinde yazılarak türev alma kuralı uygulandığında f′(x)=−18(x+2)−2f'(x) = -18(x+2)^{-2} elde edilir.
2
Türevin x=1x = 1 noktasındaki değerini bulalım.
f′(1)=−2f'(1) = -2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazılarak f′(1)=−18(1+2)2=−2f'(1) = -\frac{18}{(1+2)^2} = -2 bulunur.
3
Limit ifadesini türevin tanımına göre düzenleyelim.
−2f′(1)-2f'(1)
Pay kısmına f(1)f(1) eklenip çıkarılarak limit parçalandığında, lim⁡h→0f(1−2h)−f(1)3h−lim⁡h→0f(1+4h)−f(1)3h=−23f′(1)−43f′(1)=−2f′(1)\lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{3h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(1+4h)-f(1)}{3h} = -\frac{2}{3}f'(1) - \frac{4}{3}f'(1) = -2f'(1) elde edilir.
4
Limit değerini hesaplayalım.
4
−2f′(1)=−2⋅(−2)=4-2f'(1) = -2 \cdot (-2) = 4 elde edilir.

Key Concept

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı
Question 380Question →
Türevlenebilir ve sıfırdan farklı değerler alan bir ff fonksiyonu için
g(x)=f(x+1f(x))g(x) = f\left(\frac{x+1}{f(x)}\right)
biçiminde tanımlanıyor.
f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=4f'(1) = 4
olduğuna göre, g′(1)g'(1) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

Doğru cevap -6'dır.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve bölümün türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp x=1x=1 değeri yerine yazıldığında, içteki fonksiyonun değeri 11 ve bu noktadaki türevi −32-\frac{3}{2} olarak bulunur. Dıştaki fonksiyonun türevi olan f′(1)=4f'(1)=4 ile içteki kısmın türevi olan −32-\frac{3}{2} çarpıldığında doğru cevap −6-6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türevi kuralını uygulayarak genel türev denklemini oluşturun.
g′(x)=f′(x+1f(x))⋅(x+1f(x))′g'(x) = f'\left(\frac{x+1}{f(x)}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{f(x)}\right)'
Bileşke fonksiyon türevlenirken dıştaki fonksiyonun türevi alınıp içi aynen bırakılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
Bölümün türevi kuralını kullanarak içteki x+1f(x)\frac{x+1}{f(x)} ifadesinin türevini bulun.
h′(x)=1⋅f(x)−(x+1)⋅f′(x)[f(x)]2h'(x) = \frac{1 \cdot f(x) - (x+1) \cdot f'(x)}{[f(x)]^2}
Bölüm durumundaki bir ifadenin türevi; payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
3
x = 1 için içteki fonksiyonun değerini ve türevini hesaplayın.
İçteki fonksiyonun değeri: h(1)=1+1f(1)=22=1h(1) = \frac{1+1}{f(1)} = \frac{2}{2} = 1. İçteki fonksiyonun türevi: h′(1)=f(1)−2⋅f′(1)[f(1)]2=2−2⋅422=−32h'(1) = \frac{f(1) - 2 \cdot f'(1)}{[f(1)]^2} = \frac{2 - 2 \cdot 4}{2^2} = -\frac{3}{2}.
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazılarak her bir bileşenin değeri hesaplanır.
4
Tüm değerleri birleştirerek g′(1)g'(1) sonucuna ulaşın.
g′(1)=f′(1)⋅h′(1)=4⋅(−32)=−6g'(1) = f'(1) \cdot h'(1) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6
Zincir kuralından elde edilen bileşenler çarpılarak nihai türev değeri elde edilir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpan olarak eklenir.
PreviousPage 19 / 43Next
All practice questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin