All practice questions

Question 121Question →

$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ olmak üzere, aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Verilen

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığı için ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \sec x

,

b = \cos x

ve

c = \cos(2x)

elde edilir. Bu aralıkta

\sec x > 1

olduğundan en büyük değerdir. Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede azalan olduğundan açısı daha büyük olan

\cos(2x)

ifadesi,

\cos x

ifadesinden daha küçüktür. Bu durumda sıralama

c < b < a

şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

İlk ifadenin özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilmesi

a = \tan x \cdot \sqrt{\csc^2 x} = \tan x \cdot |\csc x|

elde edilir.

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığında

\csc x > 0

olduğundan ifade aynen çıkar:

a = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \sec x

.

Karekök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi ve mutlak değer dışına işaret kontrolü yapılarak çıkarılması gerekir.

2

İkinci ifadenin sadeleştirilmesi

b = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2} + \sin x = |\cos x - \sin x| + \sin x

elde edilir.

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

aralığında

\cos x > \sin x

olduğundan ifade pozitif olarak dışarı çıkar:

b = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x

.

Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken terimlerin büyüklük sıralamasına göre mutlak değer içi kontrol edilmelidir.

3

Üçüncü ifadenin sadeleştirilmesi

c = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)

elde edilir.

İki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü kullanılarak ifade daha yalın hale getirilir.

4

Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıkta karşılaştırılması

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

için

\sec x > 1

,

\cos x < 1

ve

\cos(2x) < 1

olur. Ayrıca birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan

x < 2x \implies \cos(2x) < \cos x

yazılır. Buradan

c < b < a

sıralamasına ulaşılır.

Açıların bölgelerine göre fonksiyonların monotonluk (artanlık/azalanlık) özellikleri ve değer aralıkları karşılaştırılır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Estimated Time:2m 30s

Question 122Question →

$\theta$ gerçel sayısı için $\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4}$ eşitsizliği verilmiştir. Buna göre, aşağıda tanımlanan $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir. İkinci bölgede yer alan açı için sinüs pozitif, kosinüs negatiftir. Dolayısıyla çarpımları olan

c

ifadesi kesinlikle negatiftir.

a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos(2\theta)

yarım açı dönüşümüyle pozitif bir değer alır ve en fazla

0.5

olabilir.

b

ifadesi sadeleştirildiğinde

-\tan \theta

değerine eşit olup, bu aralıkta

1

'den büyük bir değer alır. Bu durum sıralamayı doğrular.

Step-by-Step Solution

1

A��ının bölgesini belirleyip temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini incelemek.

\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4})

aralığı derece cinsinden

(120^\circ, 135^\circ)

aralığına denk gelir ve II. bölgededir. Bu bölgede

\sin \theta > 0

,

\cos \theta < 0

,

\tan \theta < 0

ve

\cot \theta < 0

olur.

Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bölgelerdeki işaret kurallarını uygulamak gerekir.

2

c

ifadesinin işaretini ve değer aralığını bulmak.

c = \sin \theta \cos \theta

ifadesinde

\sin \theta > 0

ve

\cos \theta < 0

olduğundan çarpım negatiftir. Yarım açı formülüyle

c = \frac{\sin(2\theta)}{2}

yazılır.

2\theta \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})

yani

(240^\circ, 270^\circ)

aralığındadır. Bu aralıkta

\sin(2\theta) \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2})

olduğundan,

c \in (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{4})

olur.

c

teriminin sıfırdan küçük olduğunu ve değer sınırlarını netleştirmek sıralamada kesinlik sağlar.

3

a

ifadesini yarım açı formülüyle analiz etmek.

a = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = -\cos(2\theta)

olur.

2\theta \in (240^\circ, 270^\circ)

aralığında kosinüs negatiftir ve

\cos(2\theta) \in (-0.5, 0)

aralığındadır. Önündeki eksi işaretiyle birlikte

a = -\cos(2\theta) \in (0, 0.5)

olur.

a

ifadesinin pozitif olduğunu ve üst sınırının

0.5

olduğunu saptayarak diğer terimlerle karşılaştırma altyapısını kurmak.

4

b

ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirip aralığını bulmak.

b = \frac{1 - \tan \theta}{1 - \frac{1}{\tan \theta}} = \frac{1 - \tan \theta}{\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta}} = -\tan \theta

elde edilir.

\theta \in (120^\circ, 135^\circ)

aralığında

\tan \theta \in (-\sqrt{3}, -1)

olduğundan,

b = -\tan \theta \in (1, \sqrt{3})

aralığındadır.

b

ifadesinin sadeleşmiş halini bulup sayısal değer sınırlarını diğer ifadelerle kıyaslanabilir hale getirmek.

5

Elde edilen değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı oluşturmak.

c < 0

,

0 < a < 0.5

ve

b > 1

aralıkları birleştirildiğinde

c < a < b

sıralaması elde edilir.

Bulunan alt ve üst sınırları sayı doğrusu mantığıyla dizerek nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Question 123Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, aşağıda verilen

a

,

b

ve

c

trigonometrik ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

b

ifadesisinin değeri negatif,

c

ifadesinin değeri

1

ve

a

ifadesinin değeri

2

'den büyüktür. Bu durumda küçükten büyüğe doğru doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesinin kareköklü terimlerini ortak paydaya getirerek veya eşlenik kullanarak sadeleştirme.

a = 2\tan x

elde edilir.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığında

\tan x > 1

olduğundan

a > 2

bulunur.

Üçüncü bölgede

\sin x \in (-1, 0)

olduğundan

1 - \sin x > 0

ve

1 + \sin x > 0

olur. Ayrıca

\cos x < 0

olduğundan kök dışına çıkarılırken işaretlere dikkat edilmelidir.

2

b

ifadesinin payındaki iki kare farkını uygulayarak sadeleştirme yapma.

b = \sin x + \cos x

elde edilir.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığında hem

\sin x

hem de

\cos x

negatif olduğundan

b < 0

bulunur.

Pay kısmındaki

\sin^4 x - \cos^4 x

ifadesi

(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğu için pay

(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

halini alır ve paydadaki terimle sadeleşir.

3

c

ifadesindeki fonksiyonları temel

\sin x

ve

\cos x

cinsinden yazarak sadeleştirme.

c = 1

elde edilir.

Paydaki

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ve paydadaki

\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ifadeleri birbirini sadeleştirerek sabit

1

değerini verir.

4

Elde edilen

a > 2

,

b < 0

ve

c = 1

değerlerini karşılaştırarak sıralama.

b < c < a

sıralaması bulunur.

Negatif bir değer (

b

) her zaman

1

'den (

c

) ve

2

'den büyük bir değerden (

a

) küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Question 124Question →

x = \cos\left(\frac{17\pi}{5}\right)

y = \sin\left(-\frac{23\pi}{10}\right)

z = \tan\left(\frac{32\pi}{5}\right)

w = \cot\left(-\frac{13\pi}{5}\right)

Yukarıda tanımlanan $x$ , $y$ , $z$ ve $w$ değerlerini artan sırada olacak şekilde sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik ifadeler indirgendiğinde oluşan sıralama

y < x < w < z

şeklindedir.

Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri uygulandığında

y = -\sin(54^\circ)

ve

x = -\sin(18^\circ)

negatif;

w = \tan(18^\circ)

ve

z = \tan(72^\circ)

pozitif olmaktadır. Negatif değerler kendi aralarında kıyaslandığında mutlak değerce büyük olan

y

en küçük olup

y < x

elde edilir. Pozitif değerlerde ise

\tan(72^\circ) > 1

iken

\tan(18^\circ) < 1

olduğundan

w < z

olur. Bu durumda artan sırada dizilim

y < x < w < z

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x

ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme

x = -\sin(18^\circ)

\frac{17\pi}{5}

açısının esas ölçüsü

\frac{17\pi}{5} - 2\pi = \frac{7\pi}{5}

(

252^\circ

) olur. Bu açı 3. bölgede yer alır. 3. bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle:

\cos(180^\circ + 72^\circ) = -\cos(72^\circ) = -\sin(18^\circ)

elde edilir.

2

y

ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme

y = -\sin(54^\circ)

-\frac{23\pi}{10}

açısının üzerine

4\pi

eklenerek esas ölçüsü

\frac{17\pi}{10}

(

306^\circ

) olarak bulunur. 4. bölgede yer alan bu açının sinüsü negatiftir. İndirgeme formülüyle:

\sin(360^\circ - 54^\circ) = -\sin(54^\circ)

elde edilir.

3

z

ifadesinin esas ölçüsünü bulup değer aralığını belirleme

z = \tan(72^\circ) > 1

\frac{32\pi}{5}

açısının esas ölçüsü

\frac{32\pi}{5} - 6\pi = \frac{2\pi}{5}

(

72^\circ

) olur. 1. bölgede tanjant pozitiftir.

72^\circ > 45^\circ

olduğundan

\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

elde edilir.

4

w

ifadesinin esas ölçüsünü bulup dar açı cinsinden indirgeme ve değer aralığını belirleme

w = \tan(18^\circ)

(

0 < w < 1

)

-\frac{13\pi}{5}

açısının üzerine

4\pi

eklenerek esas ölçüsü

\frac{7\pi}{5}

(

252^\circ

) olarak bulunur. 3. bölgede kotanjant pozitiftir. İndirgeme formülüyle:

\cot(180^\circ + 72^\circ) = \cot(72^\circ) = \tan(18^\circ)

elde edilir.

0^\circ < 18^\circ < 45^\circ

olduğundan

0 < \tan(18^\circ) < 1

olur.

5

Elde edilen değerleri karşılaştırarak nihai sıralamayı oluşturma

y < x < w < z

Negatif sayılardan

y = -\sin(54^\circ)

ve

x = -\sin(18^\circ)

kıyaslandığında;

\sin(54^\circ) > \sin(18^\circ)

olduğundan

-\sin(54^\circ) < -\sin(18^\circ)

, yani

y < x

bulunur. Pozitif sayılardan

w = \tan(18^\circ)

ve

z = \tan(72^\circ)

kıyaslandığında;

w < 1 < z

olduğu için

w < z

olur. Negatif sayılar pozitif sayılardan küçük olduğundan genel sıralama

y < x < w < z

şeklindedir.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Question 125Question →

$\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ koşulunu sağlayan bir $x$ gerçel sayısı için aşağıdaki ifadeler tanımlanıyor:

a = \sqrt{1 - 2\sin x \cos x}

b = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

c = \frac{\tan x + \cot x}{\sec x \cdot \csc x}

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin doğru sıralaması küçükten büyüğe b < c < a şeklindedir.

Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda

a = \sin x - \cos x

,

b = \sin x + \cos x

ve

c = 1

elde edilir. Verilen aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten daha büyük ve işareti negatif olduğundan, bu iki değerin toplamı olan

b

ifadesi negatiftir (

b < 0

).

a

ifadesinde ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için sonuç

1

'den büyüktür (

a > 1

).

c

değeri ise her durumda

1

'e eşit olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla

b

,

c

ve

a

şeklinde olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip sinüs ve kosinüs de��erlerinin işaret ve büyüklük ilişkilerini analiz edin.

\frac{3\pi}{4} < x < \pi

aralığı birim çemberde ikinci bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu aralıkta

\sin x > 0

(pozitif) ve

\cos x < 0

(negatif) olup, mutlak değerce

|\cos x| > \sin x

(yani

-\cos x > \sin x

) ilişkisi vardır.

Açının sinüs değeri

0

ile

\frac{\sqrt{2}}{2}

arasında değerler alırken, kosinüs değeri

-1

ile

-\frac{\sqrt{2}}{2}

arasında değerler alır.

2

a

ifadesini sadeleştirip değer aralığını bulun.

a = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|

olur.

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, mutlak değerin içi pozitiftir:

a = \sin x - \cos x

.

\sin x > 0

ve

-\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}

olduğundan

a > 1

bulunur.

Tam kare özdeşliği ve kareköklü ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması kuralı uygulanmıştır.

3

b

ifadesini sadeleştirip işaretini belirleyin.

İki küp toplamı özdeşliğinden pay

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

olarak yazılır. Paydadaki

1 - \sin x \cos x

terimi ile sadeleştirme yapıldığında

b = \sin x + \cos x

elde edilir. Bu aralıkta

|\cos x| > \sin x

ve

\cos x < 0

olduğu için

b < 0

olur.

Çarpanlara ayırma kuralları ve

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliği kullanılmıştır.

4

c

ifadesini sadeleştirip değerini bulun.

c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \frac{\frac{1}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = 1

bulunur.

Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının temel tanımları yerine yazılarak rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılmıştır.

5

Elde edilen sonuçları büyüklüklerine göre sıralayın.

b < 0

,

c = 1

ve

a > 1

olduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama

b < c < a

olur.

Negatif sayılar daima pozitif sayılardan küçüktür ve

a

değeri

c

sabitinden büyüktür.

Key Concept

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember yardımıyla değerlerin bölgelere göre sıralanması.

Estimated Time:2m 30s

Question 126Question →

$x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ olmak üzere,

a = \sin x + \cos x

b = \tan x + \cot x

c = \sec x + \csc x

ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

a < b < c

Verilen aralıkta

a < 2

,

b > 2

ve

c = a \cdot b > b

olduğundan doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Tanım aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların sınırlarını belirlemek.

x \in (\pi/4, \pi/2)

aralığı için

\sin x > \cos x > 0

ve

\tan x > 1 > \cot x > 0

eşitsizlikleri geçerlidir. Ayrıca,

2x \in (\pi/2, \pi)

olduğundan

0 < \sin 2x < 1

olur.

Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını tespit ederek sıralama kriterlerini oluşturmak.

2

a

ve

b

değerlerinin sınırlarını analiz etmek.

a = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4)

yazılır.

x + \pi/4 \in (\pi/2, 3\pi/4)

olduğundan

\sin(x+\pi/4) \in (\sqrt{2}/2, 1)

ve buradan

a \in (1, \sqrt{2}]

elde edilir.

b = \tan x + \cot x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}

olur.

\sin 2x < 1

olduğundan

b > 2

'dir. Buradan

a < b

sonucu çıkar.

İfadeleri sadeleştirerek net sayısal aralıklara ulaşmak.

3

c

değerini

a

ve

b

cinsinden yazıp karşılaştırmak.

c = \sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = a \cdot b

olur.

a > 1

ve

b > 2

olduğundan,

c = a \cdot b > b

elde edilir.

Çarpımsal ilişkiyi kullanarak en büyük değeri belirlemek.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların belirli bölgelerde aldığı değer aralıklarının karşılaştırılması ve özdeşlikler yardımıyla sadeleştirilmesi.

Question 127Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} - \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

b = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{1 - \cos x}{\sin x}

c = \frac{\cos x}{1 - \sin x} - \frac{1 - \sin x}{\cos x}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilen ifadelerin işaretleri ve değer aralıkları belirlendiğinde c < b < a sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

a ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.

a = -2\cot x

Kök içindeki ifadeler eşlenikleriyle çarpılarak kareleri elde edilir. İkinci bölgede

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak sadeleştirme tamamlanır.

2

b ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.

b = 2\cot x

Paydalar eşitlenip ortak çarpan parantezine alındığında pay kısmında

2\cos x(1 - \cos x)

ve paydada

\sin x(1 - \cos x)

ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade

\frac{2\cos x}{\sin x}

olur.

3

c ifadesini payda eşitleyerek sadeleştiriniz.

c = 2\tan x

Paydalar eşitlenip

\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x

özdeşliği kullanıldığında pay kısmında

2\sin x(1 - \sin x)

ve paydada

\cos x(1 - \sin x)

ifadeleri elde edilir. Sadeleştirme sonucu ifade

\frac{2\sin x}{\cos x}

olur.

4

Tanımlı

x

açısının bulunduğu aralığa göre değerlerin işaret ve büyüklüklerini karşılaştırınız.

c < b < a

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığında

\tan x < -1

ve

-1 < \cot x < 0

dır. Buna göre

c = 2\tan x < -2

,

b = 2\cot x \in (-2, 0)

ve

a = -2\cot x \in (0, 2)

elde edilerek sıralama bulunur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Question 128Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

K = \sin x + \cos x

L = \sin x \cdot \cos x

M = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; $K$ , $L$ ve $M$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.

Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1

Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede:

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

olur.

Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.

2

K ifadesinin değer aralığını bulma

K = \sin x + \cos x

ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan

K < 0

olur. Hatta bu aralıkta

K \in (-\sqrt{2}, -1)

aralığındadır.

Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.

3

L ifadesinin değer aralığını bulma

L = \sin x \cdot \cos x

ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından

L > 0

olur. Yarım açı formülünden

L = \frac{\sin(2x)}{2}

yazılabilir.

2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right)

yani ikinci bölgeye düştüğü için

\sin(2x) \in (0, 1]

olur. Buradan

L \in (0, 0{}5]

elde edilir.

Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.

4

M ifadesinin değer aralığını bulma

M = \tan x + \cot x

ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında

\tan x > 1

ve

\cot x < 1

'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (

a + \frac{1}{a} \ge 2

). Dolayısıyla

M \ge 2

'dir.

Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.

5

Elde edilen aralıkları karşılaştırma

K < 0

,

0 < L \le 0{}5

ve

M \ge 2

olduğundan

K < L < M

sıralaması elde edilir.

Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternative Method

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin

x = 240^\circ

) yaklaşık değerler hesaplanabilir:

\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86

,

\cos(240^\circ) = -0{}5

. Buradan

K \approx -1{}36

,

L = 0{}43

,

M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3

bulunur ve

K < L < M

şeklinde sıralanır.

Estimated Time:1m 30s

Question 129Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere, aşağıda verilen

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.

Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

a = \sin x - \cos x > 0

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı

\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)

şeklinde yazılır.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

olduğundan ifade

\sin^2 x - \cos^2 x

haline gelir. Bu da

(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)

olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye

a = \sin x - \cos x

kalır. İkinci bölgede

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.

2

b

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

b = -\sin x - \cos x > 0

1 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde

|\sin x + \cos x|

olarak çıkar.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek

b = -\sin x - \cos x

olarak çıkar.

3

c

ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.

c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0

\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}

ve

\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x}

ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki

\sin x \cos x

terimleri sadeleşir ve

c = \sin^2 x - \cos^2 x

kalır. Verilen aralıkta

\cos^2 x > \sin^2 x

olduğundan fark negatiftir.

4

Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.

c < b < a

c

negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan

a

ve

b

değerleri kıyaslandığında ise,

a - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x

elde edilir. Verilen aralıkta

\sin x > 0

olduğundan

a - b > 0 \implies a > b

olur. Buradan doğru sıralama

c < b < a

olarak bulunur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Question 130Question →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \frac{\cos x}{\cot x}

b = \sqrt{\sec^2 x - 1}

c = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}

olarak veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < c < b şeklindedir.

Üçüncü bölgede sinüs negatif, tanjant ise pozitiftir. Bu nedenle pozitif olan b en büyük değerdir. Negatif olan a'yı basit kesir olan tanjant ile çarptığımızda sıfıra yaklaşacağından c değeri a'dan büyük olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sadeleştiriniz.

a = \sin x

,

b = \tan x

ve

c = \sin x \cdot \tan x

olarak bulunur.

İfadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırabilmek için en sade hallerine ulaşmak gerekir.

2

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyiniz.

Bu aralıkta (üçüncü bölge)

\sin x < 0

,

\cos x < 0

ve

0 < \tan x < 1

olur.

Açının bulunduğu bölge, trigonometrik değerlerin işaretini ve büyüklük ilişkisini belirler.

3

Bulunan değerleri ve işaretleri karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.

a < c < b

sıralaması elde edilir.

b > 0

olduğundan en büyüktür.

a

ve

c

negatif olup,

0 < \tan x < 1

olduğundan

a \cdot \tan x > a

yani

c > a

olur.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Estimated Time:2m 0s

Question 131Question →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.

Kotanjantın negatif olması

d

değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri

b = \sin(20^\circ)

,

c = \tan(40^\circ)

ve

a = \sin(80^\circ)

şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden

\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ)

gelmesi nedeniyle doğru sıralama

d < b < c < a

olur.

Step-by-Step Solution

1

Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.

d = \cot(310^\circ) < 0

(IV. bölge),

b = \cos(290^\circ) > 0

(IV. bölge),

c = \tan(220^\circ) > 0

(III. bölge) ve

a = \sin(100^\circ) > 0

(II. bölge) bulunur.

Negatif olan

d

değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.

2

Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.

b = \sin(20^\circ)

,

c = \tan(40^\circ)

ve

a = \sin(80^\circ)

değerleri elde edilir.

Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.

3

b = \sin(20^\circ)

ile

c = \tan(40^\circ)

değerlerini karşılaştırma.

0 < x < 90^\circ

için

\sin x < \tan x

olduğundan

\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)

'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan

\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ)

olur. Buradan

b < c

elde edilir.

Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.

4

c = \tan(40^\circ)

ile

a = \sin(80^\circ)

değerlerini karşılaştırma.

\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ)

yarım açı açılımı ile

\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)}

kıyaslanır. İki ifade oranlandığında

\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ)

elde edilir.

40^\circ < 45^\circ

olduğundan

\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

ve dolayısıyla

\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2}

olur. Buradan

2\cos^2(40^\circ) > 1

yani

a > c

elde edilir.

Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Key Concept

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.

Estimated Time:2m 0s

Question 132Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

olarak veriliyor. Buna göre;

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Verilen aralıkta

b

ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (

b \le -2

).

c

ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat

-0.5

ile

0

arasındadır.

a

ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (

a > 0

). Bu nedenle en küçük değer

b

, ardından

c

ve en büyük değer

a

olup doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (

90^\circ < x < 135^\circ

) karşılık gelir. Bu aralıkta

\sin x > 0

,

\cos x < 0

,

\tan x < 0

ve

\cot x < 0

olur.

Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.

2

Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme

a = \sin x + \cos x

ifadesinde

\sin x > |\cos x|

olduğundan toplam pozitif olur (

a > 0

).

b = \tan x + \cot x

ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca

|\tan x| + |\cot x| \ge 2

olduğundan

b \le -2

elde edilir.

c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)

ifadesinde

2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})

olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak

-0.5 < c < 0

bulunur.

Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.

3

Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma

b \le -2 < c < 0 < a

aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama

b < c < a

olur.

Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternative Method

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin

x = 120^\circ

) değerler doğrudan hesaplanabilir:

a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366

,

b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31

,

c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433

bulunur ve buradan

b < c < a

sıralaması kolaylıkla görülebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 133Question →

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < a < b

Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede

c = \sin x - \cos x

ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (

c < 0

).

a = \sin x - \tan x

ifadesinde

\tan x < \sin x < 0

olduğundan sonuç pozitiftir (

a > 0

).

b = \cos x - \cot x

ifadesinde ise

\cot x < -1 \implies -\cot x > 1

ve

\cos x > 0

olduğundan

b > 1

olur. Bu durumda doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

x

açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.

x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)

aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede

\sin x < 0

,

\cos x > 0

,

\tan x < 0

ve

\cot x < 0

değerlerini alır. Daha spesifik olarak

-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0

,

\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1

,

-1 < \tan x < 0

ve

\cot x < -1

aralıklarındadır.

Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.

2

c = \sin x - \cos x

ifadesinin işaretini incelemek.

Negatif bir değer olan

\sin x

ifadesinden pozitif bir değer olan

\cos x

çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani

c < 0

elde edilir.

c

değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.

3

a = \sin x - \tan x

ifadesinin işaretini incelemek.

IV. bölgede

0 < \cos x < 1

olduğundan

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

ifadesi

\sin x

değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla

\sin x - \tan x > 0

olur. Yani

a

pozitiftir (

a > 0

).

a

değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan

c

değerinden büyük olduğunu belirlemek.

4

b = \cos x - \cot x

ifadesinin değer aralığını incelemek.

IV. bölgede

\cos x > 0

ve

\cot x < -1

dir. Buradan

-\cot x > 1

olur. Pozitif olan

\cos x

ile

1

'den büyük olan

-\cot x

toplandığında

b > 1

elde edilir.

b

değerinin

1

'den büyük olduğunu göstererek

0 < a < 1

aralığında kalan

a

değerinden büyük olduğunu doğrulamak.

5

Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.

c < 0

,

0 < a < 1

ve

b > 1

olduğundan küçükten büyüğe sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Nihai sıralamayı oluşturmak.

Key Concept

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.

Question 134Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

a < b < c

şeklindedir.

Verilen aralıkta

\sin x

ve

\cos x

negatif iken

\tan x > 1

ve

0 < \cot x < 1

olmaktadır. Bu durumda

c

ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür.

a

ve

b

değerleri negatif olup,

a - b

farkının negatif çıkmasından ötürü

a < b

sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe

a < b < c

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.

Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

olur. Ayrıca bu alt aralıkta

\sin x < \cos x < 0

ve

0 < \cot x < 1 < \tan x

koşulları sağlanır.

Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.

2

a

,

b

ve

c

değerlerinin işaretlerini incelemek.

a = \sin x \cdot \tan x

ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (

a < 0

).

b = \cos x \cdot \cot x

ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (

b < 0

).

c = \sin x \cdot \cos x

ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (

c > 0

).

Pozitif olan

c

değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan

a

ile

b

değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.

3

a

ve

b

negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için

a - b

farkını incelemek.

a - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x}

ifadesinde,

\sin x < \cos x < 0

olduğundan pay kısmı

\sin^3 x - \cos^3 x < 0

olur. Payda ise

\sin x \cos x > 0

olur. Dolayısıyla

a - b < 0

yani

a < b

elde edilir.

Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Key Concept

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması

Estimated Time:2m 0s

Question 135Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

b < c < a sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta

b

ifadesi negatif bir değer alırken,

a

ve

c

ifadeleri pozitif değerler alır.

a = \cos(2x)

değeri bu aralıkta

0.5

ile

1

arasında,

c = \frac{1}{2}\sin(2x)

değeri ise

0

ile yaklaşık

0.433

arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru

b < c < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.

a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)

özdeşliği yazılır.

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

olduğundan

a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)

elde edilir.

Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.

2

b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

aralığında

\tan x

artan bir fonksiyondur ve

0 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}}

aralığındadır. Bu durumda

\tan^2 x < \frac{1}{3}

olur. Benzer şekilde

\cot x > \sqrt{3}

olduğundan

\cot^2 x > 3

elde edilir. Buradan

b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}

bulunur.

Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.

3

c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

özdeşliği kullanıldığında;

c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)

elde edilir.

2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)

aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve

\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

olduğundan

c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)

aralığındadır.

Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.

4

Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.

b < -2.67

,

0 < c < 0.433

ve

0.5 < a < 1

aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için

b < c < a

sıralaması bulunur.

Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Question 136Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büy��ğe doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

İkinci bölgenin

\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant

-1

'den küçük, tanjant ise

-1

'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
-

\sin x > 0

ve

\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}

-

\cos x < 0

ve

\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}

-

\tan x \in (-1, 0)

-

\cot x < -1

olur.

Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı

\frac{3\pi}{4}

değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.

2

a

,

b

ve

c

ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.

-

a = \cos x - \sin x \rightarrow

(Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
-

b = \tan x - \cot x \rightarrow

\tan x > -1

ve

-\cot x > 1

olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (

b > 0

).
-

c = \sin x + \cos x \rightarrow

Bu aralıkta

|\cos x| > \sin x

olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (

c < 0

).

İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan

b

ifadesi en büyük değere sahiptir.

3

Negatif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.

c - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x

elde edilir. Bu aralıkta

\sin x > 0

olduğundan

2\sin x > 0

olur, yani

c > a

bağıntısı bulunur.

İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir.

c > a

ve

b > 0

olduğundan, nihai sıralama

a < c < b

olarak kesinleşir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.

Question 137Question →

Hinduizm'in toplumsal yapısını şekillendiren kast (varna) sistemine ait aşağıdaki tabakaları, geleneksel hiyerarşik düzene göre en üst (en saygın) sınıftan en alt sınıfa doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Geleneksel kast hiyerarşisinde do��ru sıralama yukarıdan aşağıya doğru Brahmanlar, Kşatriyalar, Vaişyalar ve Şudralar şeklindedir.

Hinduizm'in kutsal metinlerinden Rigveda'da geçen yaratılış anlatısına göre, kast sınıfları (varnalar) kozmik varlık Puruşa'nın bedeninden türemiştir: Ağzından Brahmanlar, kollarından Kşatriyalar, uyluklarından Vaişyalar ve ayaklarından Şudralar yaratılmıştır. Bu kutsal hiyerarşiye göre doğru sıralama Brahmanlar, Kşatriyalar, Vaişyalar ve Şudralar şeklinde yukarıdan aşağıya doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

En üst kast seviyesini belirleme

Brahmanlar (Din adamları)

Dini bilgiye ve kutsal ritüellere sahip olan rahipler, kast hiyerarşisinin en tepesinde yer alır.

2

İkinci sıradaki kast seviyesini belirleme

Kşatriyalar (Askerler ve yöneticiler)

Toplumu korumak ve yönetmekle görevli olan yöneticiler ve askerler, Brahmanlardan hemen sonra gelir.

3

Üçüncü sıradaki kast seviyesini belirleme

Vaişyalar (Tüccarlar ve toprak sahipleri)

Ekonomik faaliyetleri yürüten tüccarlar ve çiftçiler, yönetici sınıfın altında yer alan üçüncü tabakayı oluşturur.

4

En alt sıradaki kast seviyesini belirleme

Şudralar (İşçiler ve hizmetkarlar)

Üstteki üç kasta hizmet etmekle yükümlü olan işçiler, resmi kast hiyerarşisinin en altında konumlandırılmıştır.

Key Concept

Hinduizm Kast (Varna) Sisteminin Yapısı ve Tabakaları

Question 138Question →

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.

Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Step-by-Step Solution

1

Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.

x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)

aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede

\sin x < 0

,

\cos x < 0

,

\tan x > 0

ve

\cot x > 0

değerlerini alır.

Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.

2

Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.

a = \sin x \cdot \tan x < 0

(negatif ile pozitifin çarpımı),

b = \cos x \cdot \cot x < 0

(negatif ile pozitifin çarpımı),

c = \sin x \cdot \cos x > 0

(iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.

İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.

3

Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.

\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2}

aralığında

|\sin x| > |\cos x|

olduğundan,

|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|}

ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla

|a| > |b|

elde edilir. Sayılar negatif olduğundan

a < b

olur.

Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 139Question →

\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

a < b < d < c

şeklindedir.

Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar

a = -\cos(15^\circ)

ve

b = -\cos(18^\circ)

olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan

\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ)

olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında

a < b

sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise

d = \tan(40^\circ)

ve

c = \tan(80^\circ)

şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve

\tan(45^\circ) = 1

referans alındığında

d < 1 < c

bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama

a < b < d < c

olarak netleşir.

Step-by-Step Solution

1

Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.

\frac{19\pi}{12}

açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (

a < 0

).

\frac{11\pi}{10}

açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (

b < 0

).

\frac{13\pi}{9}

açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (

c > 0

).

\frac{23\pi}{18}

açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (

d > 0

).

Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.

2

Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.

a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ)

,

b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ)

,

c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ)

,

d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ)

.

Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.

3

Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.

Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından

\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ)

olur. Eksi ile çarptığımızda

-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ)

elde edilir, yani

a < b

'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar.

\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ)

olduğundan

d < 1 < c

elde edilir.

Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması

Question 140Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.

Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta

\sin x > 0

,

\cos x < 0

,

\tan x < -1

ve

-1 < \cot x < 0

olur.

Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.

2

b = \tan x - \cot x

ifadesinin işaretini belirleyin.

\tan x < -1

ve

\cot x > -1

olduğundan

\tan x < \cot x

yazılır. Dolayısıyla

b = \tan x - \cot x < 0

bulunur.

Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.

3

c = \cos x - \cot x

ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.

c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right)

olarak yazılır.

\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

olduğundan

\frac{1}{\sin x} > 1

ve

1 - \frac{1}{\sin x} < 0

olur. Negatif olan

\cos x

ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir:

c > 0

. Çarpanların sınırlarından

c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293

olduğu görülür.

c

değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.

4

a = \sin x - \cos x

ifadesini analiz edip

c

değeriyle karşılaştırın.

a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

şeklinde yazılabilir.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

için

\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olur. Bu aralıkta sinüs değeri

\frac{\sqrt{2}}{2}

'den büyük olduğundan

a > 1

elde edilir. Bu durumda

b < 0 < c < 1 < a

sıralaması kesinleşir.

Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Key Concept

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması

Estimated Time:2m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer