Examkin

Sayma ve Olasılık

160 questions

All types160Multiple choice92Numeric64Matching4
Question 1Question →

Bir torbada üzerinde 11'den 1212'ye kadar olan tam sayıların yazılı olduğu 1212 kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele seçilen iki farklı kartın üzerinde yazan sayıların toplamının, bu sayıların çarpımını tam bölme olasılığı 1x\frac{1}{x} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

İki kartın üzerinde yazan sayıların toplamının çarpımlarını tam bölme olasılığı 122\frac{1}{22} olduğundan, xx değeri 22'dir.
Seçilebilecek tüm iki elemanlı alt kümelerin sayısı 66'dır. Koşulu sağlayan eleman çiftleri {3,6}\{3, 6\}, {4,12}\{4, 12\} ve {6,12}\{6, 12\} olup 3 tanedir. Bu durumda olasılık 366=122\frac{3}{66} = \frac{1}{22} olur ve xx değeri 22 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası durumların sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
Torbada 12 kart olduğundan, rastgele seçilen iki farklı kartın tüm olası durum sayısı (122)=12×112=66\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 olur.
Olasılık hesabında örnek uzayın eleman sayısını (tüm durumları) belirlemek gerekir.
2
Toplamları çarpımlarını bölen uygun kart çiftlerini belirlemek.
Seçilen sayılar aa ve bb (a<ba < b) olsun. a⋅ba+b\frac{a \cdot b}{a+b} ifadesinin tam sayı olması istenir. Bu koşulu sağlayan çiftler {3,6}\{3, 6\}, {4,12}\{4, 12\} ve {6,12}\{6, 12\} olmak üzere 3 tanedir.
a+ba+b ve a⋅ba \cdot b arasındaki bölünebilme ilişkisini sağlayan sayı çiftlerini bulmak gerekir. Matematiksel olarak, a=d⋅xa = d \cdot x ve b=d⋅yb = d \cdot y (burada d=EBOB(a,b)d = \text{EBOB}(a, b) ve EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1) yazıldığında, x+yx+y toplamı dd sayısını tam bölmelidir. d=k(x+y)d = k(x+y) (k≥1k \geq 1) yazılarak b=k(x+y)y≤12b = k(x+y)y \leq 12 eşitsizliğini sağlayan çözümler incelenirse sadece bu 3 çift elde edilir.
3
İstenen olasılığı ve dolayısıyla xx değerini bulmak.
Olasılık 366=122\frac{3}{66} = \frac{1}{22} olarak bulunur. Bu değer 1x\frac{1}{x} ifadesine eşitlendiğinde x=22x = 22 elde edilir.
İstenen durum sayısını tüm durum sayısına bölerek basit olayların olasılığı kuralını uygulamak ve sorulan xx değişkenini çekmek.

Key Concept

Bir örnek uzayda tanımlı basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranı ile hesaplanır.
Question 2Question →
(2x3−1x)8\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)^8

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında x12x^{12}'li terimin katsayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1792

Answer

İfadenin açılımındaki x12x^{12}'li terimin katsayısı −1792-1792 olarak bulunur.
Genel terim formülü uygulandığında x12x^{12}'li terimi veren rr değeri 33 olarak bulunur. Bu değer yerine yazıldığında katsayı (83)⋅25⋅(−1)3=56⋅32⋅(−1)=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = 56 \cdot 32 \cdot (-1) = -1792 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü yazma
Tr+1=(8r)(2x3)8−r(−1x)rT_{r+1} = \binom{8}{r} (2x^3)^{8-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r
Binom açılımındaki herhangi bir terimi bulmak için genel terim formülünü kullanmalıyız.
2
Terimi sadeleştirerek değişkenin üssünü belirleme
Tr+1=(8r)28−r(−1)rx24−4rT_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} (-1)^r x^{24-4r}
Değişkenin kuvvetini rr cinsinden bulmak için üslü ifade kurallarını uygulayarak sadeleştirme yaparız.
3
Değişkenin üssünü istenen değere eşitleyerek rr değerini bulma
24−4r=12  ⟹  4r=12  ⟹  r=324 - 4r = 12 \implies 4r = 12 \implies r = 3
x12x^{12}'li terimi aradığımız için değişkenin kuvvetini 1212'ye eşitleriz.
4
Bulunan rr değerini genel terimde yerine yazarak katsayıyı hesaplama
Katsayı = (83)⋅25⋅(−1)3=56⋅32⋅(−1)=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = 56 \cdot 32 \cdot (-1) = -1792
Katsayıyı bulmak için elde edilen kombinasyon değerini, katsayı kuvvetini ve işaret çarpanını çarparız.

Key Concept

Binom açılımında genel terim katsayısının, terimlerin kendi katsayıları ve işaretleri dikkate alınarak hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →

MAKARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerden kaç tanesi M harfi ile başlar?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

M harfi ile başlayan 20 farklı kelime yazılabilir.
M harfi başa sabitlendiğinde geriye kalan A, K, A, R, A harfleri dizilecektir. Bu harflerden 3 tanesi A olduğundan tekrarlı permütasyon formülüyle 5!3!=20\frac{5!}{3!} = 20 farklı kelime elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Başa gelecek harfi sabitleyip kalan harfleri belirlemek.
Kelimenin M harfi ile başlaması istendiğinden ilk harf M olarak sabitlenir. Geriye kalan 5 pozisyon için kullanılacak harfler A, K, A, R, A olur.
M harfi sabitlendikten sonra geri kalan harflerin dizilimi tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
2
Tekrarlı harflerin sayılarını belirlemek ve tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak.
Geriye kalan harfler içinde 3 adet A, 1 adet K ve 1 adet R harfi vardır. Bu harflerin farklı dizilişlerinin sayısı: 5!3!=1206=20\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20 olarak bulunur.
Özdeş nesnelerin kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir dizilim oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı özdeş elemanların sayısının faktöriyeline bölünür.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon formülünün belirli bir elemanın sabitlendiği durumlara uygulanması.
Question 4Question →

Bir hastanenin acil servis ünitesinde görev yapan 4 doktor ve 5 hemşire arasından; en az 1 doktor ve en az 2 hemşirenin yer aldığı 4 kişilik bir acil müdahale ekibi oluşturulacaktır.

Bu çalışanlar arasında bulunan Doktor Ahmet ile Hemşire Canan aynı ekipte birlikte yer almak istemediklerine göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 82

Answer

İstenen koşullara uygun 82 farklı ekip oluşturulabilir.
En az 1 doktor ve en az 2 hemşire koşulunu sağlayan 100 farklı ekip içinden, Doktor Ahmet ve Hemşire Canan'ın birlikte bulunduğu 18 ekip çıkarıldığında geriye kalan 82 ekip istenen koşulların tamamını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
En az 1 doktor ve en az 2 hemşireden oluşan 4 kişilik tüm ekiplerin sayısını belirlemek.
4 kişilik ekipteki meslek dağılımı 1 doktor ve 3 hemşire veya 2 doktor ve 2 hemşire olabilir. 1 doktor ve 3 hemşire için (41)×(53)=4×10=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{3} = 4 \times 10 = 40 durum; 2 doktor ve 2 hemşire için (42)×(52)=6×10=60\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} = 6 \times 10 = 60 durum bulunur. Toplam durum sayısı: 40+60=10040 + 60 = 100 olur.
Genel koşullara uygun başlangıç kümesini oluşturmak için.
2
Doktor Ahmet ile Hemşire Canan'ın birlikte bulunduğu ve koşulları sağlayan ekip sayısını hesaplamak.
Doktor Ahmet ve Hemşire Canan ekibe seçildiğinde, geriye 3 doktor ve 4 hemşire arasından seçilecek 2 kişi kalır. Ekipte en az 1 doktor (Ahmet zaten var) ve en az 2 hemşire (Canan var, en az 1 hemşire daha lazım) olmalıdır. Kalan 2 kişi; 1 doktor ve 1 hemşire ya da 2 hemşire olarak seçilebilir. Bu durumlar (31)×(41)=12\binom{3}{1} \times \binom{4}{1} = 12 ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 şeklindedir. Toplamda 18 ekipte ikisi birlikte yer alır.
İstenmeyen durumların sayısını belirlemek için.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak.
Ahmet ve Canan'ın birlikte bulunmadığı ekip sayısı: 100−18=82100 - 18 = 82 olarak bulunur.
İstenen koşula uyan nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Seçim Problemleri
Question 5Question →

Tanım kümesi A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} ve değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olan f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre,
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3)
ve
f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5)
koşullarını aynı anda sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?
Show answer & explanation

Answer: 371

Answer

Koşulları sağlayan toplam 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Koşulları sağlayan fonksiyon sayısını bulmak için tepe noktası olan f(3)f(3) değeri kk olarak belirlenir. f(3)f(3) değerinin solundaki iki eleman (f(1),f(2)f(1), f(2)) ve sağındaki iki eleman (f(4),f(5)f(4), f(5)) için kk'den küçük olan elemanlar arasından bağımsız olarak ikişer eleman seçilir. Her bir k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} değeri için hesaplanan durumların kareleri toplanarak 371 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
f(3)f(3) değerinin alabileceği değer aralığını belirleme.
f(3)=kf(3) = k olmak üzere k∈{3,4,5,6,7}k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} olmalıdır.
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3) ve f(3)>f(4)>f(5)f(3) > f(4) > f(5) koşullarının sağlanabilmesi için f(3)f(3) elemanından küçük en az ikişer farklı değer seçilebilmelidir. Değer kümesi B={1,2,3,4,5,6,7}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan, f(3)f(3) en az 3, en fazla 7 olabilir.
2
Sabit bir f(3)=kf(3) = k değeri için f(1),f(2)f(1), f(2) ve f(4),f(5)f(4), f(5) değerlerinin seçim sayısını formüle etme.
Her bir f(3)=kf(3) = k durumu için toplam seçim sayısı (k−12)×(k−12)=((k−12))2\binom{k-1}{2} \times \binom{k-1}{2} = \left(\binom{k-1}{2}\right)^2 şeklindedir.
f(1)<f(2)<kf(1) < f(2) < k koşulu için {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman kombinasyonla seçilir. Benzer şekilde, k>f(4)>f(5)k > f(4) > f(5) koşulu için de {1,2,…,k−1}\{1, 2, \dots, k-1\} kümesinden 2 farklı eleman seçilir. Bu iki seçim birbirinden bağımsız olduğu için çarpım kuralı uygulanır.
3
Her bir kk değeri için olası durumları hesaplayıp toplama.
1+9+36+100+225=3711 + 9 + 36 + 100 + 225 = 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
k=3k=3 için (22)2=1\binom{2}{2}^2 = 1, k=4k=4 için (32)2=9\binom{3}{2}^2 = 9, k=5k=5 için (42)2=36\binom{4}{2}^2 = 36, k=6k=6 için (52)2=100\binom{5}{2}^2 = 100, k=7k=7 için (62)2=225\binom{6}{2}^2 = 225 değerleri bulunur ve bu durumlar ayrık olduğundan toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Sayma İlkeleri
Question 6Question →

Bir sınıftaki öğrencilerin %40\%40'ı erkek, %60\%60'ı kızdır. Erkek öğrencilerin yarısı, kız öğrencilerin ise üçte biri gözlük kullanmaktadır. Buna göre, bu sın��ftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.4

Answer

Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 0.4'tür.
Sınıftaki toplam öğrenci mevcudu 100 kabul edildiğinde, 40 erkek öğrenciden 20'si ve 60 kız öğrenciden 20'si gözlüklüdür. Toplamda 40 gözlüklü öğrenci bulunur. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı ise 40/100 = 0.4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sınıftaki toplam öğrenci sayısını 100 olarak varsayalım.
Sınıfta 40 erkek ve 60 kız öğrenci bulunur.
Yüzde hesaplamalarını tam sayılarla daha rahat yapabilmek için sınıf mevcudunu 100 seçmek kolaylık sağlar.
2
Gözlüklü erkek ve kız öğrencilerin sayılarını ayrı ayrı hesaplayalım.
Gözlüklü erkek sayısı: 40×12=2040 \times \frac{1}{2} = 20, Gözlüklü kız sayısı: 60×13=2060 \times \frac{1}{3} = 20.
Soruda verilen oranları erkek ve kız gruplarının sayılarına uygulayarak gözlüklü birey sayılarını bulmak için.
3
Sınıftaki toplam gözlüklü öğrenci sayısını belirleyelim.
Toplam gözlüklü öğrenci sayısı: 20+20=4020 + 20 = 40.
İstenen olayın (gözlüklü öğrenci seçilmesi) eleman sayısını bulmak için.
4
Gözlüklü bir öğrenci seçilme olasılığını hesaplayalım.
Olasılık = 40100=0.4\frac{40}{100} = 0.4.
Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı
Question 7Question →

Bir şirkette 6 kadın ve 6 erkek çalışan arasından 5 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak bu ekip ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Ekipte en az 2 kadın ve en az 2 erkek çalışan bulunmalıdır.
* Erkek çalışanlardan Ahmet ve Mehmet aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.
* Kadın çalışanlardan Ayşe ve Fatma ise bu ekipte ya birlikte yer alacak ya da ikisi de yer almayacaktır.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 224

Answer

Bu proje ekibi 224 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevapta, en az ikişer kadın ve erkek çalışan bulunması koşulu altında oluşabilecek iki farklı cinsiyet dağılımı (3 kadın - 2 erkek ve 2 kadın - 3 erkek) ayrı ayrı incelenmiştir. Her iki durumda da Ayşe ve Fatma'nın ya birlikte yer alması ya da ikisinin de yer almaması koşulu ile Ahmet ve Mehmet'in birlikte bulunmama koşulları kombinasyon formülleriyle hatasız uygulanmıştır. Bu iki durumun toplamı olan 224 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Ekipteki cinsiyet dağılımı seçeneklerini belirleme
5 kişilik ekipte en az 2 kadın ve en az 2 erkek bulunması gerektiğinden, dağılım ya 3 kadın ve 2 erkek ya da 2 kadın ve 3 erkek olmalıdır.
Toplam kişi sayısı 5 olup alt sınır kısıtlamaları sadece bu iki durumu mümkün kılmaktadır.
2
3 kadın ve 2 erkekten oluşan ekipleri hesaplama
Ayşe ve Fatma'nın birlikte yer alması durumunda (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı kadın grubu; yer almaması durumunda ise (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı kadın grubu seçilebilir. Ahmet ve Mehmet'in birlikte yer almadığı erkek grubu sayısı (62)−(40)=15−1=14\binom{6}{2} - \binom{4}{0} = 15 - 1 = 14 tanedir. Toplamda (4+4)×14=112(4 + 4) \times 14 = 112 farklı ekip oluşturulur.
Kadın ve erkek seçimleri bağımsız olaylar olduğundan durum sayıları çarpılır.
3
2 kadın ve 3 erkekten oluşan ekipleri hesaplama
Ayşe ve Fatma'nın birlikte yer alması durumunda (40)=1\binom{4}{0} = 1 farklı kadın grubu; yer almaması durumunda ise (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı kadın grubu seçilebilir. Ahmet ve Mehmet'in birlikte yer almadığı erkek grubu sayısı (63)−(41)=20−4=16\binom{6}{3} - \binom{4}{1} = 20 - 4 = 16 tanedir. Toplamda (1+6)×16=112(1 + 6) \times 16 = 112 farklı ekip oluşturulur.
İkinci cinsiyet dağılımı senaryosunun kısıtlamalar altındaki kombinasyon hesabı bu şekilde yapılır.
4
Elde edilen durum sayılarını toplama
112+112=224112 + 112 = 224 farklı ekip oluşturulabilir.
İki ana cinsiyet dağılım senaryosu birbirinin alternatifi ve ayrık durumlar olduğu için sonuçlar toplanır.

Key Concept

Kombinasyon hesaplamalarında çoklu koşulların ayrık durumlar halinde incelenmesi ve seçme işlemlerinin yapılması.
Estimated Time:3m 0s
Question 8Question →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(nn−2)+(n+1n−1)=36\binom{n}{n-2} + \binom{n+1}{n-1} = 36

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Simetri özelliği ile sadeleştirilen kombinasyon ifadeleri açıldığında n2=36n^2 = 36 denklemine ulaşılır. Buradan nn değeri 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kombinasyonun simetri özelliğini uygulama
(n2)+(n+12)=36\binom{n}{2} + \binom{n+1}{2} = 36 denklemi elde edilir.
(xy)=(xx−y)\binom{x}{y} = \binom{x}{x-y} özelliği kullanılarak (nn−2)=(n2)\binom{n}{n-2} = \binom{n}{2} ve (n+1n−1)=(n+12)\binom{n+1}{n-1} = \binom{n+1}{2} şeklinde sadeleştirme yapılır.
2
Kombinasyon formüllerini yerine yazma
n(n−1)2+(n+1)n2=36\frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2} = 36 ifadesi elde edilir.
(x2)=x(x−1)2\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2} açılımı her iki terim için de uygulanır.
3
Cebirsel sadeleştirme yapma ve denklemi çözme
n2=36n^2 = 36 ve buradan n=6n = 6 elde edilir.
Pay kısımları açılıp toplandığında n2−n+n2+n=2n2n^2 - n + n^2 + n = 2n^2 olur. 22 ile sadeleşince n2=36n^2 = 36 kalır. nn doğal sayı olduğundan pozitif kök olan 66 seçilir.

Key Concept

Kombinasyonun özellikleri ve formül uygulamaları
Estimated Time:1m 30s
Question 9Question →

Aşağıda verilen sayma durumlar��nı, bu durumların gerçekleşebileceği farklı yolların sayılarını veren matematiksel ifadelerle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Items

44 farklı matematik kitabı ve 55 farklı fizik kitabı arasından yalnızca 11 kitap seçmek
44 farklı matematik kitabı ve 55 farklı fizik kitabı arasından 11 matematik ve 11 fizik kitabı seçmek
44 farklı meze, 55 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı arasından her birinden birer tane seçmek

Matches

Show answer & explanation

Answer

Birinci durum toplama yoluyla sayma kuralı gereği 4+5=94 + 5 = 9 ifadesiyle, ikinci durum çarpma yoluyla sayma kuralı gereği 4×5=204 \times 5 = 20 ifadesiyle, üçüncü durum ise yine çarpma yoluyla sayma kuralı gereği 4×5×2=404 \times 5 \times 2 = 40 ifadesiyle eşleşir.
Doğru eşleştirmede; tek bir nesne seçilen ayrık durumlarda toplama yoluyla sayma, birden fazla nesnenin birlikte seçildiği bağımlı durumlarda ise çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Yalnız bir kitap seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.
Seçim ya matematik ya da fizik kitabından yapılacağından ve bu olaylar ayrık olduğundan toplama yoluyla sayma yapılır: 4+5=94 + 5 = 9.
Ayrık iki olaydan birinin veya diğerinin gerçekleşme sayısı toplanarak bulunur.
2
Bir matematik ve bir fizik kitabının birlikte seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.
İki seçim birlikte ve art arda yapıldığından çarpma yoluyla sayma yapılır: 4×5=204 \times 5 = 20.
Birbirine bağlı veya art arda gerçekleşen olayların toplam seçim sayısı çarpılarak bulunur.
3
Üç farklı yemek grubundan birer tane seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.
Meze, ana yemek ve tatlı seçimleri art arda yapılan bağımlı olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma yapılır: 4×5×2=404 \times 5 \times 2 = 40.
Çarpma kuralı ikiden fazla bağımlı olay için de geçerlidir ve seçenek sayıları çarpılır.

Key Concept

Toplama ve çarpma yoluyla sayma prensiplerinin farkını anlamak ve uygun duruma göre uygulamak.
Estimated Time:1m 0s
Question 10Question →

Bir öğrencinin dolabında birbirinden farklı 3 pantolon, 4 tişört ve 2 ceket bulunmaktadır. Bu öğrenci; bir pantolon, bir tişört ve bir ceket seçerek bir kombin oluşturmak istemektedir.

Ö��renci, belirli bir yeşil tişört ile belirli bir siyah ceketi aynı kombinde bir arada kullanmamak şartıyla bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Öğrenci, yeşil tişört ile siyah ceketi bir arada kullanmamak şartıyla bu kombini 21 farklı şekilde oluşturabilir.
Toplamda kısıtlamasız 24 farklı seçim yapılabilir. Ancak yeşil tişört ile siyah ceketin aynı anda seçildiği durumlar istenmemektedir. Bu iki giysi sabitlendiğinde kalan 3 pantolondan biri seçilebileceği için 3 adet istenmeyen durum oluşur. Tüm durumlardan bu 3 durum çıkarıldığında geriye 21 geçerli seçenek kalır.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtlamasız tüm kombinasyonların sayısını hesaplama
3×4×2=243 \times 4 \times 2 = 24
Çarpma yoluyla sayma kuralına göre; 3 farklı pantolon, 4 farklı tişört ve 2 farklı ceket arasından birer tane seçildiğinde toplam seçim sayısı her bir grubun eleman sayısının çarpımıdır.
2
Yeşil tişört ve siyah ceketin birlikte kullanıldığı istenmeyen durumların sayısını hesaplama
3×1×1=33 \times 1 \times 1 = 3
Yeşil tişört ve siyah ceket kesin olarak seçildiğinde (1'er seçenek), pantolon için hâlâ 3 farklı seçenek mevcuttur. Bu nedenle istenmeyen durum sayısı 3'tür.
3
Geçerli kombin sayısını bulma
24−3=2124 - 3 = 21
Tüm olası durumların sayısından, kısıtlamayı ihlal eden istenmeyen durumların sayısı çıkarılarak istenen durumların sayısı elde edilir.

Key Concept

Çarpma Yoluyla Sayma ve Koşullu Sayma Durumları
Question 11Question →

Bir spor kulübünde bulunan 7 sporcu arasından, bir turnuvaya katılmak üzere 5 kişilik bir takım seçilecektir.

Buna göre, bu takım kaç farklı şekilde seçilebilir?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Takım 21 farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen sporcuların kendi aralarında sıralanması önemsiz olduğundan, bu bir kombinasyon problemidir. 7 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı alt kümelerin sayısı C(7,5)=C(7,2)=21C(7, 5) = C(7, 2) = 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Seçim problemini matematiksel olarak ifade etmek
7 sporcu arasından sırası önemsiz olacak şekilde 5 sporcu seçileceğinden kombinasyon kullanılmalıdır. Bu durum C(7,5)C(7, 5) ile gösterilir.
Gruptaki sporcuların kendi aralarındaki dizilişi veya rolleri belirtilmemiştir; sadece kimlerin gruba dahil olduğu önemlidir.
2
C(7,5)C(7, 5) kombinasyon değerini hesaplamak
C(7,5)=C(7,7−5)=C(7,2)C(7, 5) = C(7, 7-5) = C(7, 2) özelliğinden yararlanılarak işlem kolaylaştırılır:

C(7,2)=7×62×1=21C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
Kombinasyon hesaplama formülü C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} şeklindedir ve C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r) eşitliği hesaplamayı kolaylaştırır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) Hesaplaması
Estimated Time:45s
Question 12Question →

(2x−y)5(2x - y)^5 ifadesinin açılımındaki x3y2x^3 y^2 teriminin katsayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

İfadenin açılımındaki x3y2x^3 y^2 teriminin katsayısı 80'dir.
Genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r ifadesinde n=5n=5, a=2xa=2x ve b=−yb=-y değerleri yerine konur. İstenen x3y2x^3 y^2 terimi için r=2r=2 olmalıdır. Buradan (52)(2x)3(−y)2=10⋅8x3⋅y2=80x3y2\binom{5}{2} (2x)^3 (-y)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80 x^3 y^2 elde edilir. Dolayısıyla aranan katsayı 80 olur.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülü kurulur.
(5r)(2x)5−r(−y)r\binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-y)^r
Binom açılımındaki terimleri bulmak amacıyla genel terim formülü oluşturulur.
2
İstenen terimin üslerine göre rr değeri belirlenir.
r=2r = 2
x3y2x^3 y^2 teriminde yy değişkeninin üssü 2 olduğu için genel formüldeki rr parametresi 2 olarak seçilir.
3
r=2r = 2 değeri formülde yerine yazılıp katsayı hesaplanır.
(52)(2)3(−1)2=10⋅8⋅1=80\binom{5}{2} (2)^3 (-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80
Seçilen rr değerine karşılık gelen katsayılar çarpılarak aranan terimin katsayısına ulaşılır.

Key Concept

Binom Açılımı Genel Terim Formülü
Question 13Question →

Bir okulun basketbol takımında bulunan 66 sporcu arasından 44 kişilik bir grup seçilecektir. Bu sporcular arasında yer alan takım kaptanı Can'ın seçilecek grupta kesinlikle bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Seçilecek grupta takım kaptanı Can kesinlikle bulunacağından, geriye kalan 5 sporcu arasından 3 sporcu seçilmelidir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde yapılır.
Grupta Can kesinlikle yer alacağı için geriye kalan 5 kişiden 3 kişinin seçilmesi gerekir. Bu da kombinasyon formülü ile hesaplandığında 10 olur.

Step-by-Step Solution

1
Grupta kesinlikle bulunacak olan takım kaptanı Can'ı gruba yerleştirmek.
Seçilmesi gereken sporcu sayısı 4−1=34 - 1 = 3 olur. Can dışındaki aday sayısı ise 6−1=56 - 1 = 5 olur.
Can zaten seçildiği için hem grup kontenjanı hem de aday sayısı 11 azalır.
2
Geriye kalan 55 aday arasından 33 kişiyi kombinasyon yöntemiyle seçmek.
Seçim sayısı (53)=10\binom{5}{3} = 10 olarak bulunur.
Sıralama önemli olmayıp sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.

Key Concept

Koşullu kombinasyon (belirli elemanın bulunması durumu)
Estimated Time:1m 0s
Question 14Question →

Bir grafik tasarımcı, bilgisayarının masaüstündeki yatay menü çubuğuna 33 farklı tasarım programının ve 22 farklı oyunun simgesini yan yana sıralayacaktır.

Buna göre, oyun simgelerinin yan yana bulunması koşuluyla bu 55 simge menü çubuğuna kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Oyun simgelerinin bir blok kabul edilerek tasarım programlarıyla birlikte 4!4! ve oyun simgelerinin kendi arasında 2!2! sıralanmasıyla elde edilen 4848 değeri doğru cevaptır.
Oyun simgeleri tek bir blok olarak düşünüldüğünde, 3 tasarım simgesiyle birlikte toplam 4 nesne elde edilir. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanabilir. Oyun simgeleri de kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden, toplam dizilim sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.

Step-by-Step Solution

1
Oyun simgelerini yan yana tutmak için onları tek bir eleman (blok) olarak kabul edin.
2 oyun simgesi tek bir blok (O1,O2)(O_1, O_2) haline getirilir. Geriye kalan 3 tasarım programı simgesi ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Yan yana olması istenen elemanlar tek bir paket gibi düşünülmelidir.
2
Oluşan 4 nesnenin yan yana sıralanma sayısını hesaplayın.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Farklı nesnelerin düz bir hatta sıralanma sayısı permütasyon formülü (n!n!) ile bulunur.
3
Blok içindeki oyun simgelerinin kendi aralarındaki yer değiştirme sayısını hesaplayın.
2!=22! = 2 farklı yer değişim durumu oluşur.
Aynı blok içindeki farklı nesneler de kendi aralarında sıralanabilir.
4
Toplam sıralama sayısını bulmak için elde edilen durumları çarpma yoluyla sayma kuralına göre çarpın.
24×2=4824 \times 2 = 48 farklı sıralama elde edilir.
Birbirine bağlı bağımsız adımların oluşturduğu toplam durum sayısı çarpılarak hesaplanır.

Key Concept

Koşullu Permütasyon (Elemanların yan yana olması durumu)
Question 15Question →

Bir yazılım şirketinde çalışan 4 yazılımcı ve 5 tasarımcı arasından 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak ekip ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Ekipte en az 2 yazılımcı yer almalıdır.
* Yazılımcılardan Can ile tasarımcılardan Deniz aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Proje ekibi 66 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap 66'dır. En az 2 yazılımcının yer aldığı tüm ekiplerin sayısı 81'dir. Bu ekiplerden Can ve Deniz'in birlikte yer aldığı 15 ekip çıkarıldığında, koşulları sağlayan 66 farklı ekip oluşturulabileceği görülür.

Step-by-Step Solution

1
En az 2 yazılımcının bulunduğu tüm 4 kişilik ekip kombinasyonlarını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 60+20+1=8160 + 20 + 1 = 81 olur.
Ekipte en az 2 yazılımcı olması gerekti��inden; 2 yazılımcı ve 2 tasarımcı için (42)⋅(52)=6⋅10=60\binom{4}{2} \cdot \binom{5}{2} = 6 \cdot 10 = 60 durum, 3 yazılımcı ve 1 tasarımcı için (43)⋅(51)=4⋅5=20\binom{4}{3} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 5 = 20 durum veya 4 yazılımcı için (44)⋅(50)=1⋅1=1\binom{4}{4} \cdot \binom{5}{0} = 1 \cdot 1 = 1 durum oluşabilir.
2
Can ve Deniz'in aynı ekipte birlikte bulunduğu ve en az 2 yazılımcı barındıran durumları hesaplayalım.
İstenmeyen durum sayısı 12+3=1512 + 3 = 15 olur.
Can ve Deniz ekipte kesinlikle yer alacağından kalan 2 kişi seçilmelidir. Can zaten 1 yazılımcı olduğundan, ekibin en az 2 yazılımcı barındırması için kalan 2 kişiden en az 1'i yazılımcı olmalıdır. Bu durumlar; Can hariç 3 yazılımcı ve Deniz hariç 4 tasarımcı arasından 1 yazılımcı ve 1 tasarımcı seçilmesi (31)⋅(41)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} = 3 \cdot 4 = 12 veya 2 yazılımcı seçilmesi (32)⋅(40)=3⋅1=3\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{0} = 3 \cdot 1 = 3 şeklindedir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak sonucu bulalım.
81−15=6681 - 15 = 66 farklı şekilde ekip kurulabilir.
Can ve Deniz'in birlikte bulunmadığı geçerli durumların sayısını bulmak için tüm geçerli durumlardan onların birlikte olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon ve Tüm Durumlar Yöntemi
Estimated Time:2m 0s
Question 16Question →

Bir okulun düzenleyeceği bilim şenliğine katılmak üzere 4 öğretmen ve 6 öğrenciden oluşan bir gruptan 4 kişilik bir proje ekibi seçilecektir.

Seçilecek ekipte en az 1 ��ğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması zorunludur. Ancak, öğretmenlerden Ahmet Bey ve öğrencilerden Burak arasında bir anlaşmazlık olduğu için ikisi aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 166

Answer

Proje ekibi 166 farklı şekilde oluşturulabilir.
Ekipte en az bir öğretmen ve bir öğrenci bulunma kuralına göre oluşturulabilecek tüm ekiplerin sayısı 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 olarak bulunur. Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunduğu ve bu kuralı sağlayan ekiplerin sayısı ise kalan 8 kişiden 2 kişinin seçilmesiyle (82)=28\binom{8}{2} = 28 olarak hesaplanır. İstenmeyen durumlar tüm durumlardan çıkarıldığında geriye 166 farklı şekilde ekip oluşturulabileceği görülür.

Step-by-Step Solution

1
En az 1 öğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması koşuluna uygun tüm 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 194'tür.
4 öğretmen ve 6 öğrenci arasından seçilecek 4 kişilik ekipte öğretmen sayısı tt ve öğrenci sayısı o¨ö olmak üzere (t≥1t \ge 1 ve o¨≥1ö \ge 1):
- 1 öğretmen, 3 öğrenci: (41)×(63)=4×20=80\binom{4}{1} \times \binom{6}{3} = 4 \times 20 = 80
- 2 öğretmen, 2 öğrenci: (42)×(62)=6×15=90\binom{4}{2} \times \binom{6}{2} = 6 \times 15 = 90
- 3 öğretmen, 1 öğrenci: (43)×(61)=4×6=24\binom{4}{3} \times \binom{6}{1} = 4 \times 6 = 24
Toplam: 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 durum bulunur.
2
Ahmet Bey ve Burak'ın aynı ekipte birlikte yer aldığı ve aynı zamanda 'en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci' koşuluna uyan durumların sayısını hesaplayalım.
Birlikte bulundukları durum sayısı 28'dir.
Ahmet Bey (öğretmen) ve Burak (öğrenci) ekibe dahil edildiğinde, ekipte en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci bulunma koşulu kendiliğinden sağlanır. Kalan 2 kişilik yer için geriye kalan 3 öğretmen ve 5 öğrenci (toplam 8 kişi) arasından seçim yapılmalıdır: (82)=28\binom{8}{2} = 28 durum.
3
Toplam geçerli durum sayısından istenmeyen durum sayısını çıkartarak sonuca ulaşalım.
İstenen durum sayısı 194−28=166194 - 28 = 166 olur.
Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunmadığı, koşula uygun ekiplerin sayısını bulmak için tüm durumlardan ikisinin bir arada olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Key Concept

Kısıtlar altında kombinasyon (seçme) hesaplamaları
Question 17Question →

Bir öğrenci, bir kütüphanede sergilenen ve tamamı birbirinden farklı olan 66 roman arasından okumak üzere 22 roman seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15 farklı şekilde yapabilir
Seçilen romanların sırası önemli olmayıp sadece gruplandırma (seçim) yapıldığı için kombinasyon hesabı kullanılır. 6 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısı C(6, 2) = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Soruda sıranın önemli olup olmadığını belirleme
Romanların seçilme sırası önemli değildir, sadece hangi romanların seçildiği önemlidir. Bu nedenle kombinasyon kullanılmalıdır.
Kombinasyon (seçme), permütasyondan (sıralama) farklı olarak sıraya bakmaksızın alt küme oluşturma işlemidir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(6, 2) = \frac{6!}{2! \times (6 - 2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
6 farklı eleman arasından 2 eleman seçmek için C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} formülü kullanılır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) kavramı ve formülü

Alternative Method

Kombinasyon formülü yerine, seçilecek elemanları tek tek yazarak da kontrol edebilirsiniz. Örneğin elemanlar A, B, C, D, E, F olsun. Seçilebilecek ikililer: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF olmak üzere toplam 15 tanedir.
Estimated Time:45s
Question 18Question →

Bir şirketin yönetim kurulunda bulunan 55 kişi, yan yana duran 55 sandalyeye oturacaktır. Bu kişilerden başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturması koşuluyla, bu kişiler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturduğu durumların sayısı 48'dir.
Başkan ve başkan yardımcısını tek bir kişi olarak grupladığımızda sıralanacak nesne sayısı 4'e düşer. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Yan yana olan iki kişi de kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden, toplam sıralama sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Koşula uygun gruplama yapılması
Başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturması istendiğinden, bu iki kişi tek bir eleman (grup) olarak kabul edilir. Bu durumda geriye kalan 3 üye ile birlikte sıralanacak toplam eleman sayısı 4 olur.
Yan yana oturması istenen elemanlar birlikte hareket ettikleri için tek bir eleman gibi düşünülür.
2
Oluşan yeni grupların ve kişilerin yan yana sıralama sayısının hesaplanması
4 elemanın yan yana sıralanma sayısı 4!=244! = 24 olarak bulunur.
Farklı n eleman yan yana n!n! farklı şekilde sıralanabilir.
3
Grup içindeki elemanların yer değişiminin hesaplanması ve toplam sonucun bulunması
Başkan ve başkan yardımcısı kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma kuralı gereği toplam sıralama sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
Hem ana grubun sıralanması hem de grup içi elemanların sıralanması bağımsız olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Key Concept

Koşullu permütasyon (belirli elemanların yan yana bulunması durumunda bloklama yöntemi kullanımı)
Question 19Question →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 55 ile tam bölünürken 88 ile tam bölünmez?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Kümenin elemanlarının çarpımının 5 ile bölünüp 8 ile bölünmediği 4 elemanlı alt küme sayısı 13'tür.
Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için kümede mutlaka 5 bulunmalıdır. 8 ile bölünmemesi için 8 kümede olmamalı ve kalan çift sayılardan 4 ile (2 veya 6) bir arada seçilmemelidir. Geriye kalan 6 elemandan seçilecek 3 eleman için (63)=20\binom{6}{3} = 20 durum vardır. Bu durumlardan 8 ile bölünen {2,4,x}\{2, 4, x\} (4 durum) ve {4,6,y}\{4, 6, y\} (3 durum) olmak üzere 7 durum çıkarıldığında geriye 13 adet küme kalır.

Step-by-Step Solution

1
Koşullara göre seçilecek eleman havuzunu belirleme
Seçilen alt kümede 5 elemanı bulunmalı, 8 elemanı ise bulunmamalıdır. Seçim yapılacak elemanlar {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesidir.
Çarpımın 5 ile tam bölünmesi için asal çarpan olarak 5'in bulunması zorunludur. 8 ile tam bölünmemesi için ise doğrudan 8 çarpanı bulunmamalıdır.
2
Kalan elemanlarla yapılabilecek tüm 3 elemanlı seçimlerin sayısını bulma
Toplam olası seçim say��sı (63)=20\binom{6}{3} = 20 adettir.
4 elemanlı kümenin 1 elemanı (5 sayısı) sabitlendiği için kalan 6 elemandan 3 eleman seçilerek kombinasyon oluşturulur.
3
Çarpımı 8'in katı yapan istenmeyen durumları hesaplama
İstenmeyen durum sayısı 4+3=74 + 3 = 7 adettir.
Seçilen elemanlar arasında 4 ile 2'nin veya 4 ile 6'nın bir arada bulunması çarpımı 8'e tam bölünür hale getirir.
4
İstenen durum sayısını hesaplama
İstenen alt küme sayısı 20−7=1320 - 7 = 13 adettir.
Tüm kombinasyonlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi kullanılmıştır.

Key Concept

Kombinasyon hesabı ile koşullu alt küme seçimi ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma prensibi.

Alternative Method

İkinci bir yol olarak, {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesinden seçilecek 3 elemanı çift sayıların sayısına göre gruplandırarak seçebiliriz:
- Hiç çift sayı seçilmemesi (hepsi {1,3,7}\{1, 3, 7\} arasından): (33)=1\binom{3}{3} = 1 durum.
- Sadece bir çift sayı seçilmesi (2, 4 veya 6'dan biri): (31)×(32)=3×3=9\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9 durum.
- İki çift sayı seçilmesi (çarpımın 8'e bölünmemesi için sadece {2,6}\{2, 6\} çifti seçilebilir): (11)×(31)=3\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} = 3 durum.
Toplam durum: 1+9+3=131 + 9 + 3 = 13 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Question 20Question →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı tek sayıdır ve en az bir asal sayı içerir?
Show answer & explanation

Answer: 92

Answer

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 92'dir.
Toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı (100) ile hiç asal sayı barındırmayan ve toplamı tek olan alt kümelerin sayısı (8) arasındaki fark alınarak en az bir asal içeren ve toplamı tek olan küme sayısı 92 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin elemanlarını özelliklerine göre ayırın.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} (4 adet)
Asal olmayan sayılar: {1,4,6,8,9,10}\{1, 4, 6, 8, 9, 10\} (6 adet)
Tek sayılar: {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} (5 adet)
Çift sayılar: {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\} (5 adet)
Kombinasyon seçimlerinde teklik-çiftlik ve asallık koşullarını ayrı ayrı uygulayabilmek için.
2
Toplamın tek sayı olma koşulunu analiz edin.
Toplamın tek olması için kümede tek sayıda tek sayı bulunmalıdır. 4 elemanlı küme için bu durumlar: (1 Tek, 3 Çift) veya (3 Tek, 1 Çift) şeklindedir.
Çift sayıda tek sayının toplamı çift, tek sayıda tek sayının toplamı tek olduğundan.
3
Koşulsuz olarak toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısını hesaplayın.
- 1 Tek ve 3 Çift seçimi: (51)×(53)=5×10=50\binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 10 = 50
- 3 Tek ve 1 Çift seçimi: (53)×(51)=10×5=50\binom{5}{3} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50
Toplam = 50+50=10050 + 50 = 100 durum.
Toplamı tek olan tüm olası durumları bulmak için.
4
Hiç asal sayı içermeyen ve toplamı tek olan alt kümeleri (istenmeyen durumları) hesaplayın.
Asal olmayan tek sayılar: {1,9}\{1, 9\} (2 adet)
Asal olmayan çift sayılar: {4,6,8,10}\{4, 6, 8, 10\} (4 adet)
- 1 Tek (asal olmayan) ve 3 Çift (asal olmayan) seçimi: (21)×(43)=2×4=8\binom{2}{1} \times \binom{4}{3} = 2 \times 4 = 8
- 3 Tek (asal olmayan) ve 1 Çift (asal olmayan) seçimi: (23)×(41)=0\binom{2}{3} \times \binom{4}{1} = 0
Toplam = 8+0=88 + 0 = 8 durum.
Tüm durumlardan bu istenmeyen durumları çıkararak en az bir asal sayı içerenleri bulmak için.
5
İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yapın.
100−8=92100 - 8 = 92
Tüm toplamı tek olan durumlardan, içinde hiç asal bulunmayan durumları çıkararak en az bir asal sayı içeren durumları bulmak için.

Key Concept

Kombinasyon (seçme) kullanarak belirli özelliklere (teklik/çiftlik, asallık) sahip alt kümelerin sayısını hesaplama.

Alternative Method

Doğrudan çözüm yöntemi: İstenen koşulu sağlayan durumları asal sayıların dağılımına göre gruplayarak toplayabiliriz. 1) Kümede sadece 2 (çift asal) olup tek olan asalların olmadığı durumlar, 2) Kümede tek olan asalların olup 2'nin olmadığı durumlar, 3) Hem 2'nin hem de tek asalların olduğu durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanarak da 92 sonucuna ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Page 1 / 8Next
Sayma ve Olasılık Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin