Problemler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 41

Question 801Question →

Bir tur şirketi; kapasiteleri sırasıyla 15, 20 ve 25 kişilik olan A, B ve C tipi otobüslerden oluşan toplam 18 adet araçla bir gezi düzenleyecektir. Geziye katılacak toplam kişi sayısı 320'dir.

Bu otobüslerin kullanımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* A tipi otobüs sayısı, C tipi otobüs sayısının 2 katından fazladır.
* B tipi otobüslerden en az bir adet kullanılacaktır.
* Tüm otobüsler tam kapasiteyle doldurulacaktır.

Buna göre, bu gezi için kullanılan C tipi otobüs sayısı en fazla kaçtır?

3

4

5

6

7

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

En fazla 4 adet C tipi otobüs kullanılabilir.

A, B ve C tipi otobüs sayıları sırasıyla

a

,

b

ve

c

olarak belirlendiğinde, toplam araç sayısı

a + b + c = 18

ve toplam kapasite

15a + 20b + 25c = 320

denklemleri kurulur. İkinci denklem sadeleştirilip birinci denklem yerine yazıldığında

a = c + 8

elde edilir.

a > 2c

koşulundan

c < 8

bulunur. Ayrıca en az bir B tipi otobüs kullanılması gerektiğinden,

b = 10 - 2c \geq 1 \implies c \leq 4,5

elde edilir. Bu iki koşulu birden sağlayan en büyük

c

tam sayısı 4'tür.

Step-by-Step Solution

1

Otobüs sayılarını değişkenlerle ifade edip toplam araç sayısı ve toplam yolcu kapasitesi denklemlerini kuralım.

A tipi otobüs sayısı

a

, B tipi

b

ve C tipi

c

olsun. Bu durumda

a + b + c = 18

ve

15a + 20b + 25c = 320

elde edilir.

Sayı problemlerindeki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.

2

Yolcu kapasitesi denklemini sadeleştirip

b

değişkenini yok edelim.

3a + 4b + 5c = 64

olur. İlk denklemden

b = 18 - a - c

ifadesi yerine yazılırsa:

3a + 4(18 - a - c) + 5c = 64 \implies a = c + 8

ilişkisi bulunur.

Değişken sayısını azaltarak iki değişken arasındaki ilişkiyi bulmak için.

3

A tipi otobüs sayısı ile C tipi otobüs sayısı arasındaki eşitsizliği kullanalım.

a > 2c

olduğu verilmiştir.

a = c + 8

ifadesini yerine yazarsak

c + 8 > 2c \implies c < 8

elde edilir.

Eşitsizlik sınırlarından birini belirlemek için.

4

B tipi otobüs sayısının en az 1 olması koşulunu kullanalım.

b = 18 - a - c = 18 - (c + 8) - c = 10 - 2c

olur.

b \geq 1 \implies 10 - 2c \geq 1 \implies 2c \leq 9 \implies c \leq 4,5

bulunur.

Diğer sınır koşulunu belirleyip olası değer aralığını daraltmak için.

5

Elde edilen sınırları birleştirerek

c

için en büyük tam sayı değerini bulalım.

c < 8

ve

c \leq 4,5

koşullarını sağlayan en büyük

c

tam sayısı 4'tür. Bu durumda

a = 12

ve

b = 2

olup tüm koşullar sağlanır.

Soruda istenen en büyük değeri tespit etmek için.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Eşitsizlik Sınır Koşulları

Estimated Time:2m 0s

Question 802Question →

Bir geri dönüşüm merkezindeki otomat; içerisine atılan her bir plastik şişe için 15 puan, her bir cam şişe için ise 25 puan vermektedir. Bu otomatta biriktirilen her 100 puan karşılığında 5 TL değerinde bir alışveriş kuponu kazanılmaktadır.

Otomata belirli sayıda plastik ve cam şişe atan bir kişinin kazandığı toplam puan ile alabileceği maksimum tutarda alışveriş kuponu alınmış ve bu işlemden sonra otomatın ekranında geriye hiç puan kalmadığı görülmüştür.

Alınan alışveriş kuponlarının toplam değeri 45 TL'dir.

Bu kişinin otomata attığı cam şişe sayısı, plastik şişe sayısının 2 katından 3 eksik olduğuna göre, otomata atılan toplam şişe sayısı kaçtır?

36

38

40

42

48

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Toplam şişe sayısı 42'dir.

Toplam kupon değeri 45 TL olup her 5 TL kupon için 100 puan toplandığından, otomat ekranında biriken toplam puan 9 * 100 = 900 puandır. Plastik şişe sayısı x olarak seçilirse, cam şişe sayısı 2x - 3 olur. Plastik şişelerden 15x puan, cam şişelerden ise 25(2x - 3) puan kazanılır. Toplam puan denklemi 15x + 25(2x - 3) = 900 şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 65x - 75 = 900 ve buradan x = 15 bulunur. Plastik şişe sayısı 15, cam şişe sayısı 2 * 15 - 3 = 27'dir. Toplam şişe sayısı ise 15 + 27 = 42 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kupon değerinden yararlanarak otomatta biriken toplam puanı hesaplayınız.

900 puan

Her 100 puan karşılığında 5 TL değerinde kupon verilmektedir. Toplamda 45 TL değerinde kupon alındığına göre, alınan kupon sayısı 45 / 5 = 9 adettir. Her kupon için 100 puan gerektiğinden ve geriye hiç puan kalmadığından toplam puan 9 * 100 = 900 olmalıdır.

2

Plastik ve cam şişe sayılarını değişkenler cinsinden ifade ederek toplam puan denklemini kurunuz.

15x + 25(2x - 3) = 900

Plastik şişe sayısı x olsun. Cam şişe sayısı, plastik şişe sayısının 2 katından 3 eksik olduğuna göre 2x - 3 olur. Plastik şişelerden 15x puan, cam şişelerden 25(2x - 3) puan kazanılır. Bu iki değerin toplamı 900 puana eşitlenir.

3

Kurulan denklemi çözerek plastik ve cam şişe sayılarını, ardından da toplam şişe sayısını hesaplayınız.

Plastik şişe sayısı = 15, Cam şişe sayısı = 27, Toplam şişe sayısı = 42

15x + 50x - 75 = 900 denklemi düzenlenirse 65x = 975 bulunur. Buradan x = 15 (plastik şişe sayısı) elde edilir. Cam şişe sayısı ise 2 * 15 - 3 = 27 olur. Toplam şişe sayısı 15 + 27 = 42 olarak bulunur.

Key Concept

Değişken atama, oran kurma ve birinci dereceden doğrusal denklem sistemlerini modelleyerek sayı problemlerini çözme.

Question 803Question →

Bir A4 kağıdı ambalajının üzerinde yazan iki basamaklı $ab$ sayısı, paketin içindeki toplam kağıt sayısını göstermektedir. Bu paketten $18$ adet kağıt alındığında, alınan kağıt sayısı başlangıçtaki kağıt sayısı ile rakamları toplamı arasındaki farktan fazla olmaktadır.

Buna göre, bu pakette başlangıçta en fazla kaç kağıt olabilir?

19

29

91

39

9

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Başlangıçtaki kağıt sayısı en fazla 19 olabilir.

Başlangıçtaki kağıt sayısı

10a + b

ve rakamları toplamı

a+b

olduğundan fark

9a

'dır. Soruda

18 > 9a

olduğu verilmiştir. Buradan

a < 2

bulunur.

ab

iki basamaklı sayı olduğundan onlar basamağındaki rakam sıfır olamaz, bu yüzden

a = 1

olmalıdır. Sayının en büyük değeri için birler basamağına en büyük rakam olan

9

seçildiğinde başlangıçtaki kağıt sayısının en fazla 19 olabileceği görülür.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki kağıt sayısını basamak analizi kullanarak yazalım ve soruda verilen farkı ifade edelim.

İki basamaklı

ab

sayısı

10a + b

şeklinde yazılır. Rakamları toplamı

a + b

olduğundan, başlangıçtaki kağıt sayısı ile rakamları toplamı arasındaki fark:

(10a + b) - (a + b) = 9a

olur.

Sözel problemi matematiksel modele dönüştürmek için basamak çözümlemesi yapılır.

2

Alınan kağıt sayısının bu farktan fazla olduğunu belirten eşitsizliği kuralım ve sadeleştirelim.

18 > 9a

eşitsizliğinin her iki tarafı

9

'a bölündüğünde

a < 2

elde edilir.

Soruda alınan 18 adet kağıdın, elde edilen farktan daha fazla olduğu belirtilmiştir.

3

a < 2

eşitsizliğini sağlayan en büyük

a

rakamını belirleyip, iki basamaklı

ab

sayısını en büyük yapacak

b

rakamını seçelim.

ab

iki basamaklı bir sayı olduğundan onlar basamağındaki

a

sıfır olamaz. Dolayısıyla

a < 2

koşulunu sağlayan tek rakam

a = 1

'dir. Sayının en büyük olması istendiğinden, birler basamağındaki

b

rakamı en büyük değer olan

9

seçilir. Buradan

ab = 19

bulunur.

İki basamaklı sayının değerini en büyük yapmak için onlar basamağı sabitken birler basamağına alabileceği en büyük rakam değeri verilir.

Key Concept

Sayı problemlerinde basamak analizi ve eşitsizliklerin birlikte kullanımı

Estimated Time:1m 30s

Question 804Question →

Bir metro hattındaki A ve B istasyonlarında bulunan bilet yükleme otomatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A istasyonundaki otomat sadece $10\text{ TL}$ 'lik ve $20\text{ TL}$ 'lik banknotları kabul etmektedir.
* B istasyonundaki otomat sadece $20\text{ TL}$ 'lik ve $50\text{ TL}$ 'lik banknotları kabul etmektedir.
* Bir gün içinde A istasyonundaki otomata yüklenen toplam banknot sayısı, B istasyonundaki otomata yüklenen toplam banknot sayısının $2$ katıdır.
* A istasyonundaki otomata yüklenen toplam para miktarı $800\text{ TL}$ , B istasyonundaki otomata yüklenen toplam para miktarı ise $1100\text{ TL}$ 'dir.

A istasyonundaki otomata atılan $10\text{ TL}$ 'lik banknot sayısı, B istasyonundaki otomata atılan $50\text{ TL}$ 'lik banknot sayısına eşit olduğuna göre, bu iki otomata atılan toplam $20\text{ TL}$ 'lik banknot sayısı kaçtır?

25

30

35

40

45

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Her iki otomata atılan toplam

20\text{ TL}

'lik banknot sayısı

35

adettir.

A ve B istasyonlarındaki banknot adetleri sırasıyla

x, y

ve

z, w

olarak tanımlandığında elde edilen

x + 2y = 80

,

2z + 5w = 110

,

x = w

ve

y = 2z + x

denklem sisteminin ortak çözümünden

y = 30

ve

z = 5

bulunur. Toplam

20\text{ TL}

'lik banknot sayısı

30 + 5 = 35

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

A istasyonundaki banknot adetleri için değişkenler tanımlanır ve toplam para miktarı denklemine dönüştürülür.

A istasyonundaki

10\text{ TL}

'lik banknot sayısı

x

,

20\text{ TL}

'lik banknot sayısı

y

olsun. Toplam para denklemi:

10x + 20y = 800 \implies x + 2y = 80

elde edilir.

Verilen toplam para miktarını cebirsel olarak ifade etmek için.

2

B istasyonundaki banknot adetleri için değişkenler tanımlanır ve toplam para miktarı denklemine dönüştürülür.

B istasyonundaki

20\text{ TL}

'lik banknot sayısı

z

,

50\text{ TL}

'lik banknot sayısı

w

olsun. Toplam para denklemi:

20z + 50w = 1100 \implies 2z + 5w = 110

elde edilir.

B istasyonundaki toplam para miktarını cebirsel olarak ifade etmek için.

3

Banknot sayıları arasındaki ilişkiler kullanılarak denklem sistemi çözülür.

A istasyonundaki

10\text{ TL}

'lik banknot sayısı ile B istasyonundaki

50\text{ TL}

'lik banknot sayısı eşit olduğundan

x = w

yazılır. A istasyonundaki toplam banknot sayısı, B istasyonundakinin 2 katı olduğundan

x + y = 2(z + w) \implies x + y = 2z + 2w

olur.

w

yerine

x

yazılırsa

x + y = 2z + 2x \implies y = 2z + x

elde edilir. Birinci adımdaki denklemden

y = 40 - 0.5x

, ikinci adımdaki denklemden

z = 55 - 2.5x

değerleri bu eşitlikte yerine yazılırsa:

40 - 0.5x = 2(55 - 2.5x) + x \implies 40 - 0.5x = 110 - 4x \implies 3.5x = 70 \implies x = 20

bulunur. Buradan

y = 30

ve

z = 5

elde edilir.

Bilinmeyen banknot adetlerini bulmak için.

4

Toplam

20\text{ TL}

'lik banknot sayısı hesaplanır.

Toplam

20\text{ TL}

'lik banknot sayısı

y + z = 30 + 5 = 35

olarak bulunur.

Soruda istenen toplam

20\text{ TL}

'lik banknot sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Sayı Problemleri

Estimated Time:2m 0s

Question 805Question →

Bir kahve dükkanı, kendi termosunu getiren müşterilerine her kahve alışverişinde 5 TL indirim uygulamaktadır. Bu kahve dükkanından termos getirmeden kahve alan bir müşteri, bir adet kahve için 45 TL ödemektedir.

Bir arkadaş grubu bu dükkandan toplam 12 adet kahve siparişi vermiş ve gruptan bazı kişiler kendi termosunu getirdiği için toplam 520 TL ödenmiştir.

Her termos en fazla bir kahve için kullanılabildiğine göre, indirimli fiyat üzerinden alınan kahve sayısı kaçtır?

2

4

5

6

8

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İndirimli fiyat üzerinden alınan kahve sayısı 4'tür.

Toplam 12 kahvenin tamamı indirimsiz alınsaydı

12 \times 45 = 540

TL ödenmesi gerekirdi. Ancak toplam ödeme 520 TL olmuştur. Aradaki 20 TL'lik fark, termos indirimi sayesindedir. Her bir termos için 5 TL indirim uygulandığına göre, indirimli kahve sayısı

20 / 5 = 4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Normal kahve fiyatı 45 TL'dir. Termos getirenlere uygulanan indirim 5 TL olduğuna göre, indirimli kahve fiyatı hesaplanır:

45 - 5 = 40

TL.

Normal fiyat: 45 TL, İndirimli fiyat: 40 TL.

Her bir kahve türünün birim fiyatını bilmek denklem kurmak için gereklidir.

2

İndirimli kahve sayısına

x

dersek, normal fiyat üzerinden alınan kahve sayısı

12 - x

olur. Toplam ödenen miktar 520 TL olduğuna göre denklem kurulur:

40x + 45(12 - x) = 520

.

40x + 540 - 45x = 520 \implies 540 - 5x = 520

.

Sayı problemi durumunu matematiksel bir denklemle ifade etmek gerekir.

3

Elde edilen denklem çözülerek bilinmeyen

x

değeri bulunur:

540 - 520 = 5x \implies 5x = 20 \implies x = 4

.

x = 4

.

İndirimli kahve sayısını belirlemek.

Key Concept

Birinci dereceden denklem kurma ve çözme yardımıyla sayı problemlerini çözme.

Alternative Method

Tüm kahvelerin indirimsiz (normal) fiyatla alındığı varsayılırsa ödenecek toplam tutar

12 \times 45 = 540

TL olurdu. Ödenen gerçek tutar 520 TL olduğuna göre, yapılan toplam indirim

540 - 520 = 20

TL'dir. Kahve başına 5 TL indirim yapıldığından, indirimli kahve sayısı

20 / 5 = 4

bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 806Question →

Bir mobil kelime oyununda oyuncular, bildikleri her doğru kelime için $12$ puan kazanmakta, yazamadıkları her yanlış kelime için ise $5$ puan kaybetmektedir. Oyuncuların puanı sıfırın altına düşmemektedir (örneğin; puanı $3$ olan bir oyuncu yanlış bir kelime yazdığında puanı $0$ olmaktadır).

Oyuna $0$ puanla başlayan bir yarışmacı, toplam $40$ kelime yazmış ve oyunun sonunda $220$ puan elde etmiştir.

Buna göre, bu yarışmacının yanlış yazdığı kelime sayısı en fazla kaçtır?

15

16

20

22

24

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Bu yarışmacının yanlış yazdığı kelime sayısı en fazla 20 olabilir.

Yarışmacının puanının sıfırın altına düşmemesi kuralı nedeniyle, oyunun en başında yapılan yanlışlar puanı azaltmaz. Yarışmacı oyuna 16 yanlış ile başlayıp puanını 0'da tutabilir. Ardından gelen 20 doğru (+240 puan) ve sonrasında yapılan 4 yanlış (-20 puan) ile toplamda 20 doğru ve 20 yanlış kelime yazarak 220 puana ulaşabilir. Bu durum, toplam kelime sayısı olan 40'ı sağlar ve yanlış sayısını maksimum 20 yapar.

Step-by-Step Solution

1

Toplam kelime sayısını doğru (

x

) ve yanlış (

y

) olarak iki gruba ayıralım ve temel denklemi kuralım.

x + y = 40

olur.

Yarışmacının yazdığı toplam kelime sayısı 40 olarak verilmiştir.

2

Yarışmacının puanının sıfırın altına düşmediği (sıfırda sabitlendiği) son anı belirleyelim. Bu andan sonra puan hiç sıfıra düşmeden 220'ye ulaşmıştır. Bu andan sonraki doğru kelime sayısını

x'

, yanlış kelime sayısını

y'

olarak tanımlayalım.

12x' - 5y' = 220

denklemi elde edilir.

Son sıfır puan olunan andan sonra puan hiç sıfırlanmadığı için standart puan hesabı geçerlidir.

3

12x' - 5y' = 220

denkleminde

x'

ve

y'

değerlerini tam sayı kısıtlarına göre bulalım.

12x' = 220 + 5y'

ifadesinde sağ taraf 5'in katı olduğundan

12x'

de 5'in katı olmalıdır, yani

x'

değeri 5'in katı olmalıdır. Puanın sıfıra düşmemesi için

12x' \ge 220

olmalıdır, buradan

x' \ge 19

bulunur. En küçük 5'in katı olan

x' = 20

olur. Bu durumda

5y' = 12(20) - 220 = 20 \Rightarrow y' = 4

elde edilir.

Son sıfırdan sonraki doğru ve yanlış sayılarının alabileceği en küçük değerleri tespit etmek için.

4

Toplam yanlış sayısını (

y

) en fazla yapmak için toplam doğru sayısını (

x

) en az yapmalıyız.

Toplam doğru sayısı

x \ge x' = 20

olmalıdır. Dolayısıyla

x = 20

için maksimum yanlış sayısı

y = 40 - 20 = 20

olur. Bu durumda oyunun başında yapılan 16 yanlış puanı sıfırda tutmuş, ardından gelen 20 doğru ve 4 yanlış ile oyun 220 puanla tamamlanmıştır.

Toplam kelime sayısı sabit olduğundan, doğru sayısını minimum tutmak yanlış sayısını maksimum yapar.

Key Concept

Sayı Problemleri (Sınır Durum Analizi)

Question 807Question →

Bir çikolata fabrikasında üretilen çikolatalar; A, B ve C kutularına her kutu tam dolacak şekilde yerleştirilecektir. Bu kutularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bir A kutusuna $12$ adet, bir B kutusuna $18$ adet, bir C kutusuna ise $30$ adet çikolata konulabilmektedir.
* Paketlemede kullanılan A ve B kutularının toplam sayısı, C kutularının toplam sayısının $3$ katıdır.
* Paketlenen toplam çikolata sayısı $720$ 'dir.
* A kutularına yerleştirilen toplam çikolata sayısı, B kutularına yerleştirilen toplam çikolata sayısından fazladır.
* Her kutu tipinden en az $1$ adet kullanılmıştır.

Buna göre, bu paketlemede kullanılan toplam kutu sayısı kaçtır?

28

36

38

40

42

Show answer & explanation

Answer: $40$

Answer

40

Toplam çikolata sayısı denklemi kurulup sadeleştirildiğinde

11a + 14b = 360

elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümlerinden yalnızca A=20, B=10 ve C=10 değerleri A kutularındaki çikolataların B kutularındakilerden fazla olması koşulunu (

12a > 18b

) sağlar. Bu durumda toplam kutu sayısı 40 olur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımlama ve kutu sayıları arasındaki ilişkiyi yazma

a + b = 3c

A, B ve C kutularının sayıları sırasıyla

a

,

b

ve

c

olsun. Soruda A ve B kutularının toplam sayısının, C kutularının sayısının 3 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Toplam çikolata sayısı denklemini kurma ve birinci denklemi yerine yazma

11a + 14b = 360

Kutulardaki toplam çikolata sayısı:

12a + 18b + 30c = 720

olarak verilir. İlk denklemden

3c = a + b

yazarak

30c = 10(a + b)

elde edilir. Bu ifadeyi yerine yazarsak:

12a + 18b + 10(a + b) = 720 \Rightarrow 22a + 28b = 720

elde edilir. Her iki tarafı da 2 ile sadeleştirdiğimizde denklem

11a + 14b = 360

halini alır.

3

Pozitif tam sayı çözüm kümelerini bulma

(a, b) = (20, 10)

veya

(a, b) = (6, 21)

11a + 14b = 360

Diophantine denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümlerini bulmak için mod 11 aritmetiği kullanılabilir:

14b \equiv 360 \pmod{11} \Rightarrow 3b \equiv 8 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10 \pmod{11}

elde edilir. Buradan

b = 10

için

a = 20

,

b = 21

için

a = 6

bulunur. Daha büyük

b

değerleri için

a

negatif olacağından başka pozitif tam sayı çözüm yoktur.

4

Eşitsizlik koşulunu uygulama ve toplam kutu sayısını hesaplama

a + b + c = 40

A kutularındaki çikolata sayısı (

12a

), B kutularındaki çikolata sayısından (

18b

) fazla olmalıdır:

12a > 18b \Rightarrow 2a > 3b

. Çözümler test edildiğinde;

(20, 10)

için

2(20) > 3(10) \Rightarrow 40 > 30

(Sağlar).

(6, 21)

için

2(6) > 3(21) \Rightarrow 12 > 63

(Sağlamaz). Dolayısıyla

a = 20

,

b = 10

ve

c = (a+b)/3 = 10

bulunur. Toplam kutu sayısı

20 + 10 + 10 = 40

olur.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve tam sayı kısıtlı doğrusal denklem sistemlerini çözme.

Estimated Time:2m 30s

Question 808Question →

Bir kahve dükkanında satılan küçük, orta ve büyük boy kahvelerin adet fiyatları sırasıyla $30$ TL, $45$ TL ve $60$ TL'dir. Bu dükkandan bir günde toplam $15$ adet kahve satın alan bir arkadaş grubunun siparişleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En çok tercih edilen kahve boyu orta boydur.
* En az tercih edilen kahve boyu küçük boydur.
* Satın alınan küçük ve büyük boy kahveler için ödenen toplam tutar, orta boy kahveler için ödenen toplam tutara eşittir.

Buna göre, bu grup kaç adet büyük boy kahve satın almıştır?

2

4

5

6

8

Show answer & explanation

Answer: $5$

Answer

Büyük boy kahve sayısı 5'tir.

Büyük boy kahve sayısı olan 5 değeri, gruptaki kahve adetlerinin toplamı 15'e eşitlendiğinde ve ödenen ücretlerin eşitliği (

30x + 60z = 45y

) sadeleştirilerek yerine koyma yöntemi uygulandığında elde edilen

5x + 7z = 45

denklemini ve

x < z < y

sıralama şartını sağlayan tek tam sayı çözümüdür.

Step-by-Step Solution

1

Kahve adetlerini değişkenlerle tanımlayıp toplam kahve adedi denklemini kuralım.

Küçük boy kahve sayısı

x

, orta boy kahve sayısı

y

, büyük boy kahve sayısı

z

olsun. Toplam kahve sayısı:

x + y + z = 15

olur. Buradan

y = 15 - x - z

elde edilir.

Değişken sayısını azaltmak ve ortak bir denklem kurabilmek için.

2

Ödenen ücretler arasındaki eşitlikten faydalanarak ikinci bir denklem oluşturalım.

Küçük ve büyük boy kahvelere ödenen toplam tutar:

30x + 60z

TL'dir. Orta boy kahvelere ödenen toplam tutar:

45y

TL'dir. Bu tutarlar eşit oldu��undan

30x + 60z = 45y

olur. Her iki tarafı da 15 ile sadeleştirirsek

2x + 4z = 3y

elde edilir.

Soruda verilen fiyat ve harcama ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek için.

3

Birinci adımdaki

y

ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım.

2x + 4z = 3(15 - x - z) \implies 2x + 4z = 45 - 3x - 3z \implies 5x + 7z = 45

denklemi elde edilir.

İki bilinmeyenli tek bir denklem elde ederek tam sayı çözümlerini bulmak için.

4

Kahve adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğini ve verilen sıralama koşulunu kullanarak değerleri belirleyelim.

5x + 7z = 45

denkleminde

x

ve

z

pozitif tam sayılar olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi

z = 5

ve

x = 2

değerleridir. Bu durumda

y = 15 - 2 - 5 = 8

bulunur. Sıralama koşulu incelendiğinde en az tercih edilen küçük boy (

x = 2

), en çok tercih edilen orta boy (

y = 8

) ve büyük boy (

z = 5

) olduğundan

2 < 5 < 8

sıralaması doğrulanır.

Soruda belirtilen tercih miktarı sıralamasına (

x < z < y

) uygunluğu kontrol etmek için.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve tam sayı çözümlerini analiz etme

Estimated Time:2m 0s

Question 809Question →

Bir metro istasyonunda bulunan akıllı emanet dolabı ünitesinde küçük ve büyük boy olmak üzere iki farklı boyutta toplam $80$ adet dolap vardır. Bu dolaplar ve kiralama durumları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Küçük boy dolabın günlük kiralama ücreti $40$ TL, büyük boy dolabın günlük kiralama ücreti ise $70$ TL'dir.
* Gün sonunda küçük boy dolapların $\frac{3}{5}$ 'inin, büyük boy dolapların ise yarısının kiralandığı ve diğer dolapların boş kaldığı görülmüştür.
* Kiralanan dolaplardan o gün elde edilen toplam gelir $2250$ TL'dir.

Buna göre, bu ünitede kiralanmayan (boş kalan) k��çük boy dolap sayısı kaçtır?

15

20

30

40

50

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Boş kalan küçük boy dolap sayısı 20'dir.

Küçük boy dolap sayısı

x

ve büyük boy dolap sayısı

y

olarak belirlendiğinde, toplam sayıdan

y = 80 - x

yazılır. Gelir denklemi

24x + 35y = 2250

olarak düzenlenip yerine koyma metodu uygulandığında

x = 50

elde edilir. Küçük boy dolapların

\frac{3}{5}

'i kiralandığına göre boş kalan kısım

\frac{2}{5}

olup bu değer de

50 \cdot \frac{2}{5} = 20

adettir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımlama ve toplam dolap sayısı denklemini kurma

Küçük boy dolap sayısı

x

, büyük boy dolap sayısı

y

olsun.

x + y = 80 \implies y = 80 - x

elde edilir.

İki bilinmeyenli denklemi tek bir değişkene indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.

2

Kiralanan dolap sayılarını ve elde edilen geliri ifade etme

Kiralanan küçük boy dolap sayısı

\frac{3}{5}x

, kiralanan büyük boy dolap sayısı ise

\frac{1}{2}y

olur. Toplam gelir denklemi:

40 \cdot \left(\frac{3}{5}x\right) + 70 \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) = 2250 \implies 24x + 35y = 2250

olarak yazılır.

Kiralama ücretleri ile kiralanan dolap adetlerini çarparak toplam gelir bağıntısını kurmak.

3

Denklem sistemini çözerek küçük boy dolap sayısını bulma

24x + 35(80 - x) = 2250 \implies 24x + 2800 - 35x = 2250 \implies 11x = 550 \implies x = 50

(toplam küçük boy dolap sayısı).

Gelir denkleminde

y

yerine

80 - x

yazarak bilinmeyen

x

değerine ulaşmak.

4

Boş kalan küçük boy dolap sayısını hesaplama

Boş kalan küçük boy dolap oranı

1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

'tir. Buradan boş dolap sayısı

50 \cdot \frac{2}{5} = 20

bulunur.

Küçük boy dolapların kiralanmayan kısmının adet bazındaki karşılığını bulmak.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden denklemlere dönüştürme ve ortak çözüm yapma.

Estimated Time:2m 0s

Question 810Question →

Bir kafede iki farklı kahve demleme ünitesi bulunmaktadır. 1. ünitede hazırlanan her bir bardak filtre kahve için $15$ gram kahve çekirdeği, 2. ünitede hazırlanan her bir bardak filtre kahve için ise $25$ gram kahve çekirde��i kullanılmaktadır.

Bu kafede belirli bir günde:
* Her iki ünitede de eşit sayıda bardak filtre kahve hazırlanmıştır.
* Günün sonunda 1. ünitede kahve demleme işlemi bittikten sonra kullanılan toplam kahve çekirdeği miktarının, 2. ünitede kalan kahve çekirdeği miktarına eşit olduğu görülmüştür.
* Başlangıçta 2. ünitede bulunan kahve çekirdeği miktarı, 1. ünitede bulunan kahve çekirdeği miktarının $2$ katıdır.

Buna göre, gün sonunda her iki ünitede kalan toplam kahve çekirdeği miktarının başlangıçtaki toplam kahve çekirdeği miktarına oranı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{3}$

Answer

Gün sonunda her iki ünitede kalan toplam kahve çekirdeği miktarının başlangıçtaki toplam kahve çekirdeği miktarına oranı \frac{1}{3} olmalıdır.

Her iki ünitede hazırlanan kahve bardağı sayısı

x

olarak belirlendikten sonra, başlangıçtaki kahve miktarları sırasıyla

20x

ve

40x

olarak hesaplanır. Gün sonunda 1. ünitede

5x

gram, 2. ünitede

15x

gram olmak üzere toplam

20x

gram kahve kalır. Başlangıçtaki toplam kahve miktarı olan

60x

grama oranlandığında

\frac{20x}{60x} = \frac{1}{3}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyenleri ve değişkenleri tanımlayalım.

Her iki ünitede hazırlanan bardak kahve sayısı

x

olsun. 1. ünitede kullanılan kahve çekirdeği miktarı

15x

gram, 2. ünitede kullanılan kahve çekirdeği miktarı ise

25x

gram olur. 1. ünitedeki başlangıç kahve miktarına

I_1

, 2. ünitedeki başlangıç kahve miktarına

I_2

diyelim. Verilen bilgiye göre

I_2 = 2I_1

olur.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için ortak bir değişken (

x

) ve başlangıç değerleri tanımlanmalıdır.

2

Gün sonunda kalan kahve miktarlarını ifade edelim ve verilen eşitliği kullanarak başlangıç miktarlarını

x

cinsinden bulalım.

2. ünitede kalan kahve miktarı:

I_2 - 25x

gramdır. Bu miktar, 1. ünitede kullanılan miktar olan

15x

grama eşittir. Buradan

I_2 - 25x = 15x \Rightarrow I_2 = 40x

bulunur.

I_2 = 2I_1

olduğundan,

2I_1 = 40x \Rightarrow I_1 = 20x

elde edilir.

1. ünitede kullanılan miktar ile 2. ünitede kalan miktar arasındaki eşitliği kullanarak başlangıç miktarlarını kahve bardak sayısı cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Kalan toplam kahve miktarını ve başlangıçtaki toplam kahve miktarını hesaplayıp birbirine oranlayalım.

Başlangıçtaki toplam kahve miktarı:

I_1 + I_2 = 20x + 40x = 60x

gramdır.
1. ünitede kalan kahve miktarı:

I_1 - 15x = 20x - 15x = 5x

gramdır.
2. ünitede kalan kahve miktarı:

I_2 - 25x = 40x - 25x = 15x

gramdır.
Kalan toplam kahve miktarı:

5x + 15x = 20x

gramdır.
İstenen oran:

\frac{20x}{60x} = \frac{1}{3}

olarak bulunur.

Soruda istenen kalan toplam miktarın başlangıçtaki toplam miktara oranını bulmak için elde edilen tüm değerler sadeleştirilmelidir.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler yardımıyla doğrusal denklemlere dönüştürme ve oran-orantı prensiplerini uygulama.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine

x = 1

alınarak da işlem yapılabilir. Her iki ünitede de 1'er bardak kahve yapıldığı varsayılırsa, 1. ünitede kullanılan miktar 15 gram, 2. ünitede kullanılan miktar 25 gram olur. 2. ünitede kalan miktar 1. ünitede kullanılana eşit olacağından 2. ünitede kalan miktar da 15 gram olur. Buradan 2. ünitenin başlangıç miktarı

15 + 25 = 40

gram olarak bulunur. 2. ünitenin başlangıç miktarı 1. ünitenin 2 katı olduğundan 1. ünitenin başlangıç miktarı 20 gramdır. Böylece başlangıçtaki toplam miktar

20 + 40 = 60

gram olur. Gün sonunda 1. ünitede kalan miktar

20 - 15 = 5

gram, 2. ünitede kalan miktar 15 gram olmak üzere toplam kalan miktar

5 + 15 = 20

gram olur. İstenen oran buradan

\frac{20}{60} = \frac{1}{3}

olarak hızlıca hesaplanabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 811Question →

Bir otoparktaki özdeş araçlar, düz bir otopark sırasına yan yana iki farklı düzende park edilebilmektedir.

* 1. Düzen: Yan yana park eden her iki araç arasında $1,5$ metre boşluk bırakılmakta ve baştaki ile sondaki araçların otoparkın sınır duvarlarına olan uzaklıkları da $1,5$ metre olmaktadır.
* 2. Düzen: Yan yana park eden her iki araç arasında $1$ metre boşluk bırakılmakta ve baştaki ile sondaki araçların otoparkın sınır duvarlarına olan uzaklıkları da $1$ metre olmaktadır.

Bu otopark sırasına 1. düzende park edilebilen maksimum araç sayısı, 2. düzende park edilebilen maksimum araç sayısından $4$ eksiktir.

Park eden tüm araçlar özdeş olup genişlikleri $2,5$ metre olduğuna göre, bu otopark sırasının uzunluğu kaç metredir?

101,5

105,5

109,5

112

114,5

Show answer & explanation

Answer: 109,5

Answer

109,5

Otopark sırasının toplam uzunluğu her iki yerleşim düzeninde de değişmez. 1. düzendeki araç sayısı

N

kabul edildiğinde, araçların başında, arasında ve sonunda boşluk bulunduğu için toplam

N+1

adet boşluk oluşur. Bu düzenin uzunluğu

2,5N + 1,5(N+1) = 4N + 1,5

metredir. 2. düzende araç sayısı

N+4

olduğundan boşluk sayısı

N+5

olur ve bu düzenin uzunluğu

2,5(N+4) + 1(N+5) = 3,5N + 15

metredir. Bu iki cebirsel ifadenin eşitliğinden

4N + 1,5 = 3,5N + 15 \implies N = 27

bulunur. Buradan toplam sıra uzunluğu

4 \cdot 27 + 1,5 = 109,5

metre olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

1. düzendeki maksimum araç sayısına

N

diyelim. Bu durumda 2. düzendeki araç sayısı

N + 4

olur.

Araç sayıları sırasıyla

N

ve

N + 4

olarak belirlendi.

İki düzen arasındaki araç sayısı farkını kullanarak tek bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmak.

2

Araçların genişliği

2,5

metredir. 1. düzende

N

araç için

N + 1

boşluk vardır ve her biri

1,5

metredir. Otopark sırasının uzunluğu

L_1 = 2,5 \cdot N + 1,5 \cdot (N + 1) = 4N + 1,5

olur. 2. düzende

N + 4

araç için

N + 5

boşluk vardır ve her biri

1

metredir. Otopark sırasının uzunluğu

L_2 = 2,5 \cdot (N + 4) + 1 \cdot (N + 5) = 3,5N + 15

olur.

Sıra uzunluğunu veren iki farklı cebirsel ifade elde edildi:

L_1 = 4N + 1,5

ve

L_2 = 3,5N + 15

.

Farklı düzenlerin toplam uzunluklarını matematiksel olarak ifade etmek.

3

Otopark sırasının uzunluğu her iki düzende de aynı olduğundan

4N + 1,5 = 3,5N + 15

denklemini çözelim.

0,5N = 13,5 \implies N = 27

olarak bulunur.

Ortak uzunluk üzerinden araç sayısını elde etmek.

4

Bulunan

N = 27

değerini herhangi bir uzunluk denkleminde yerine yazalım:

L = 4 \cdot 27 + 1,5

.

L = 108 + 1,5 = 109,5

metre olarak hesaplanır.

Otopark sırasının toplam uzunluğunu bulmak.

Key Concept

Sayı problemlerinde sözel olarak ifade edilen nesne ve boşluk ilişkilerini değişkenler kullanarak cebirsel denklemlere dönüştürme ve bu denklemleri çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 812Question →

Bir kargo firmasının deposunda küçük ve büyük boy olmak üzere toplam $80$ adet boş kutu bulunmaktadır. Küçük boy kutuların her birine en fazla $6$ kg, büyük boy kutuların her birine ise en fazla $15$ kg ağırlığında ürün konulabilmektedir. Bu depodaki kutuların bir kısmı, her kutu tamamen dolacak şekilde toplam $540$ kg ağırlığındaki ürünlerle dolduruluyor.

Doldurma i��lemi tamamlandığında;
* Doldurulan büyük boy kutu sayısı, doldurulan küçük boy kutu sayısından $8$ fazladır.
* Depoda boş kalan küçük boy kutu sayısı, boş kalan büyük boy kutu sayısının $3$ katıdır.

Buna göre, başlangıçta depoda bulunan büyük boy kutu sayısı kaçtır?

28

36

44

48

52

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Başlangıçta depoda bulunan büyük boy kutu sayısı 36'dır.

Doldurulan toplam kutu ağırlığı denkleminden dolu büyük boy kutu sayısı 28, dolu küçük boy kutu sayısı 20 bulunur. Toplam 80 kutunun 48'i dolu olduğundan geriye kalan 32 boş kutunun oran ilişkisinden 8 tanesinin büyük boy boş kutu olduğu hesaplanır. Dolu ve boş büyük boy kutular toplandığında 36 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Doldurulan küçük ve büyük boy kutu sayılarını belirlemek için denklem kurma

Doldurulan küçük boy kutu sayısı

20

, büyük boy kutu sayısı

28

'dir.

Doldurulan küçük boy kutu sayısına

x

dersek, doldurulan büyük boy kutu sayısı

x + 8

olur. Toplam ürün ağırlığı

6x + 15(x + 8) = 540

denklemi ile gösterilir. Buradan

21x + 120 = 540 \implies 21x = 420 \implies x = 20

bulunur. Büyük boy kutu sayısı

20 + 8 = 28

olur.

2

Boş kalan toplam kutu sayısını bulma

Boş kalan toplam kutu sayısı

32

'dir.

Depoda başlangıçta toplam

80

kutu vardı. Doldurulan toplam kutu sayısı

20 + 28 = 48

olduğuna göre, geriye kalan boş kutu sayısı

80 - 48 = 32

olarak hesaplanır.

3

Oran bilgisini kullanarak boş kalan büyük boy kutu sayısını bulma

Boş kalan büyük boy kutu sayısı

8

'dir.

Boş kalan büyük boy kutu sayısına

y

dersek, boş kalan küçük boy kutu sayısı

3y

olur. Toplam boş kutu sayısı

y + 3y = 32 \implies 4y = 32 \implies y = 8

olarak bulunur.

4

Başlangıçtaki toplam büyük boy kutu sayısını hesaplama

Başlangıçtaki büyük boy kutu sayısı

36

'dır.

Doldurulan büyük boy kutu sayısı (

28

) ile boş kalan büyük boy kutu sayısı (

8

) toplanarak depodaki toplam büyük boy kutu sayısı

28 + 8 = 36

olarak elde edilir.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri ve oran-orantı mantığı ile sayı problemlerini modelleme.

Alternative Method

Büyük boy kutuların tamamının dolu olduğu varsayılarak toplam ağırlıktan geriye kalan fark üzerinden de gidilebilir; ancak doğrudan denklem kurup adım adım boş/dolu ayrımı yapmak en güvenli çözüm yoludur.

Estimated Time:2m 0s

Question 813Question →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda AC (yavaş) ve DC (hızlı) olmak üzere iki farklı tipte toplam $24$ adet şarj ünitesi bulunmaktadır.

* AC şarj ünitesini kullanan bir aracın bataryası $45$ dakikada tamamen dolmaktadır.
* DC şarj ünitesini kullanan bir aracın bataryası ise $15$ dakikada tamamen dolmaktadır.

Bu istasyondaki tüm şarj üniteleri boş ve tam kapasite çalışır durumdayken, aynı anda birer aracın şarj işlemine başlanmıştır. Şarjı biten aracın yerine hiç zaman kaybetmeden yeni bir araç şarj edilmeye başlanmıştır.

$45$ dakikalık süre sonunda bu ünitelerde toplam $56$ aracın bataryası tamamen doldurulduğuna göre, istasyondaki DC şarj ünitesi sayısı kaçtır?

8

12

14

16

18

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İstasyondaki DC şarj ünitesi sayısı 16'dır.

Doğru yanıt olan 16 değerine ulaşmak için öncelikle ünitelerin 45 dakikalık sürede kaçar araç şarj edebileceği belirlenmelidir. AC ünitesi 45 dakikada 1 araç doldururken, DC ünitesi 15 dakikada bir araç doldurduğundan 45 dakikada 3 araç doldurur. Toplam ünite sayısı 24 olduğundan AC ünitesi sayısına x, DC ünitesi sayısına y denirse x + y = 24 denklemi elde edilir. Toplam şarj edilen araç sayısı 56 olduğundan x + 3y = 56 denklemi kurulur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde 2y = 32 ve buradan y = 16 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

��nitelerin 45 dakikada şarj edebileceği araç sayılarını belirleme.

AC ünitesi 45 dakikada 1 araç şarj eder. DC ünitesi 15 dakikada 1 araç şarj ettiğinden 45 dakikada 45/15 = 3 araç şarj eder.

Toplam araç sayısını ünite sayıları cinsinden ifade edebilmek için her bir ünite tipinin belirtilen süredeki kapasitesi bulunmalıdır.

2

Ünite sayılarına göre denklem sistemini kurma.

AC ünitesi sayısı x, DC ünitesi sayısı y olsun. Toplam ünite sayısı: x + y = 24. Toplam şarj edilen araç sayısı: x + 3y = 56.

Soruda verilen toplam ünite sayısı ve toplam şarj edilen araç sayısı bilgileri iki bilinmeyenli iki denklem oluşturur.

3

Kurulan denklem sistemini çözerek y (DC ünitesi sayısı) değerini bulma.

İkinci denklemden birinci denklem çıkarılırsa: (x + 3y) - (x + y) = 56 - 24 => 2y = 32 => y = 16 bulunur.

Yok etme metodu kullanılarak doğrudan istenen değişken olan DC ünitesi sayısı elde edilir.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini modelleme ve çözme.

Question 814Question →

Bir kargo dağıtım merkezinde bulunan A, B ve C taşıma konteynerlerine; ağırlıkları $4$ kg, $6$ kg ve $10$ kg olan paketler yerleştirilecektir. Konteynerlerin kapasiteleri ve içerebilecekleri paketlerin ağırlıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Konteyner	Kapasite (Paket Sayısı)	Yerleştirilecek Paket Ağırlıkları
A	$45$	$4$ kg ve $6$ kg
B	$60$	$6$ kg ve $10$ kg
C	$75$	$4$ kg ve $10$ kg

Bu yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
- Her üç konteyner de tamamen doldurulacaktır.
- Konteynerlere yerleştirilen $4$ kg'lık toplam paket sayısı, $10$ kg'lık toplam paket sayısının $2$ katıdır.
- B konteynerine yerleştirilen $6$ kg'lık paket sayısı, A konteynerine yerleştirilen $6$ kg'lık paket sayısının $2$ katıdır.
- B konteynerindeki paketlerin toplam ağırlığı $400$ kg'dır.

Buna göre, C konteynerine yerleştirilen $4$ kg'lık paket sayısı kaçtır?

15

25

35

50

70

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

C konteynerine yerleştirilen 4 kg'lık paket sayısı 50'dir.

B konteynerindeki ağırlık denklemi (

6b_6 + 10b_{10} = 400

) ve kapasite denklemi (

b_6 + b_{10} = 60

) çözüldüğünde

b_{10} = 10

ve

b_6 = 50

bulunur. Buradan A konteynerindeki 6 kg'lık paket sayısı

a_6 = 25

ve 4 kg'lık paket sayısı

a_4 = 20

olarak elde edilir. Toplam 4 kg'lık ve 10 kg'lık paketler arasındaki oran kullanılarak

c_4 = 2c_{10}

ilişkisi bulunur. C konteynerinin kapasitesi olan

c_4 + c_{10} = 75

denkleminde yerine yazıldığında

c_4 = 50

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

B konteynerindeki paketlerin sayısını ve ağırlıklarını veren denklemleri kurup çözerek B'deki paket dağılımını bulun.

B konteynerindeki 10 kg'lık paket sayısı 10 adet, 6 kg'lık paket sayısı ise 50 adettir.

B'nin kapasitesi 60 olup, yalnızca 6 kg ve 10 kg'lık paketler bulundurmaktadır. Toplam ağırlık 400 kg olduğundan,

6 \times b_6 + 10 \times b_{10} = 400

ve

b_6 + b_{10} = 60

denklem sistemi çözüldüğünde

4 \times b_{10} = 40 \implies b_{10} = 10

ve

b_6 = 50

elde edilir.

2

A ve B konteynerlerindeki 6 kg'lık paket sayıları arasındaki ilişkiden yararlanarak A konteynerindeki paket da��ılımını belirleyin.

A konteynerindeki 6 kg'lık paket sayısı 25 adet, 4 kg'lık paket sayısı ise 20 adettir.

B'deki 6 kg'lık paket sayısı (

50

), A'dakinin 2 katı olduğuna göre A'da

50 / 2 = 25

adet 6 kg'lık paket vardır. A'nın toplam kapasitesi 45 olduğundan, 4 kg'lık paket sayısı

45 - 25 = 20

adettir.

3

4 kg ve 10 kg'lık toplam paket sayıları arasındaki 2 kat ilişkisini kullanarak C konteynerindeki paket sayılarını belirlemek için denklem kurun.

C konteynerindeki 4 kg'lık paket sayısı 50 adet, 10 kg'lık paket sayısı ise 25 adettir.

Toplam 4 kg'lık paket sayısı

20 + c_4

, toplam 10 kg'lık paket sayısı

10 + c_{10}

'dur. Verilen orana göre

20 + c_4 = 2(10 + c_{10}) \implies c_4 = 2c_{10}

elde edilir. C'nin toplam kapasitesi 75 olduğundan,

c_4 + c_{10} = 75 \implies 2c_{10} + c_{10} = 75 \implies 3c_{10} = 75 \implies c_{10} = 25

ve

c_4 = 50

bulunur.

Key Concept

Doğrusal denklem sistemleri kurarak çok değişkenli sayı problemlerini adım adım çözme.

Estimated Time:2m 30s

Question 815Question →

Bir kırtasiyede A ve B kategorilerindeki kitaplar için aşağıdaki gibi iki farklı kampanya düzenlenmiştir:

* A kategorisinden satın alınan (ücreti ödenen) her $3$ kitap için $1$ kitap hediye edilmektedir.
* B kategorisinden satın alınan (ücreti ödenen) her $2$ kitap için $1$ kitap hediye edilmektedir.

Bu kırtasiyeden A ve B kategorilerinden kitap alan bir müşteri, toplam $22$ kitabın ücretini ödemiş ve bu alışverişten toplam $8$ kitap hediye kazanmıştır.

Buna göre, bu müşterinin A kategorisinden aldığı toplam kitap sayısı (satın alınan ve hediye edilenler dahil) kaçtır?

8

12

24

18

16

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

A kategorisinden alınan toplam kitap sayısı 24'tür.

Verilen bilgilere göre kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde, A kategorisi kampanyasının 6 kez uygulandığı tespit edilir. Her bir kampanya döngüsü 3 adet satın alınan ve 1 adet hediye kitap olmak üzere toplam 4 kitaptan oluştuğu için, A kategorisinden alınan toplam kitap sayısı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1

A ve B kategorilerindeki kampanyalardan yararlanma sayılarını tanımlayalım.

A kampanyasının uygulanma sayısı

a

, B kampanyasının uygulanma sayısı

b

olsun. Buna göre, A kategorisinden satın alınan kitap sayısı

3a

, hediye kitap sayısı

a

; B kategorisinden satın alınan kitap sayısı

2b

, hediye kitap sayısı

b

olur.

Verilen bilgileri matematiksel ifadelere dönüştürerek denklem kurabilmek için değişkenleri tanımlar��z.

2

Satın alınan ve hediye edilen kitap sayılarına göre denklem sistemini oluşturalım.

Satın alınan (ücreti ödenen) kitap sayısı:

3a + 2b = 22

Hediye edilen kitap sayısı:

a + b = 8

Soruda verilen toplam satın alınan kitap ve hediye kitap sayılarını denkleştirip ortak çözüm yapmak için.

3

Denklem sistemini çözerek

a

değerini bulalım.

a + b = 8

denklemini

2

ile çarparsak

2a + 2b = 16

elde edilir. Bu denklemi ilk denklemden çıkardığımızda:

(3a + 2b) - (2a + 2b) = 22 - 16 \implies a = 6

bulunur.

A kategorisine ait kitap sayısına ulaşmak amacıyla bu kategorideki kampanya döngüsü sayısını bulmak için.

4

A kategorisinden alınan toplam kitap sayısını hesaplayalım.

A kategorisinden alınan toplam kitap sayısı

3a + a = 4a

olduğundan,

4 \times 6 = 24

olarak bulunur.

Soruda istenen satın alınan ve hediye edilen A kategorisi kitaplarının toplamını bulmak için.

Key Concept

Sayı Problemleri (Kampanya ve Denklem Kurma Problemleri)

Question 816Question →

Bir bankada gişe işlemleri için sıra alan Ahmet'in sıra numarası iki basamaklı $ab$ doğal sayısı, Mehmet'in sıra numarası ise iki basamaklı $ba$ doğal sayısıdır.

Ahmet, sırasını Mehmet'ten sonra aldığına göre Ahmet'in sıra numarası daha büyüktür.

Ahmet ve Mehmet'in sıra numaraları arasındaki fark, Ahmet'in sıra numarasının rakamları toplamının $5$ katına eşittir.

Buna göre, Ahmet'in sıra numarası kaçtır?

27

62

72

83

90

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Ahmet'in sıra numarası 72'dir.

Ahmet'in sıra numarası Mehmet'inkinden büyük olduğu için

ab > ba \implies a > b

olmalıdır. İki sayının farkı

ab - ba = 9(a-b)

olarak çözümlenir. Soruda verilen eşitlikten

9(a-b) = 5(a+b) \implies 2a = 7b

elde edilir.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olmak zorunda olduğundan bu eşitliği sadece

a=7

ve

b=2

değerleri sağlar. Bu durumda Ahmet'in sıra numarası 72 olur.

Step-by-Step Solution

1

Ahmet ve Mehmet'in sıra numaralarını basamak çözümlemesi kullanarak yazma ve farklarını bulma.

Ahmet'in sıra numarası

ab = 10a + b

, Mehmet'in sıra numarası

ba = 10b + a

ve aralarındaki fark

ab - ba = 9(a - b)

olur.

Sayılar arasındaki matematiksel ilişkiyi basamak değerleri cinsinden ifade etmek için.

2

Verilen eşitliği kurma ve sadeleştirme.

9(a - b) = 5(a + b) \implies 9a - 9b = 5a + 5b \implies 4a = 14b \implies 2a = 7b

eşitliği elde edilir.

Ahmet'in sıra numarasının rakamları toplamının 5 katı ile farkın eşitliğini kullanmak için.

3

2a = 7b

eşitliğini sağlayan rakamları belirleme ve iki basamaklı sayı şartlarını kontrol etme.

a

ve

b

sıfırdan farklı birer rakam olmak zorunda olduğundan tek çözüm

a = 7

ve

b = 2

olur. Buradan Ahmet'in sıra numarası

ab = 72

olarak bulunur.

Ahmet'in sıra numarası daha büyük (

ab > ba \implies a > b

) ve her iki sayı da iki basamaklı olduğu için sıfırdan farklı rakamlar seçilmelidir.

Key Concept

Basamak analizi yardımıyla sayı problemleri kurma ve çözme

Estimated Time:2m 0s

Question 817Question →

Bir yazılım şirketinde çalışan mühendislerin sayısı iki basamaklı $ab$ sayısı, tasarımcıların sayısı ise iki basamaklı $ba$ sayısıdır. Bu şirkette çalışan mühendis ve tasarımcıların toplam sayısı 66'dır.

Tasarımcıların sayısı mühendislerin sayısından fazla olduğuna göre, bu çalışanların A ve B projelerindeki görevleri ve haftalık çalışma süreleri hakkında şunlar bilinmektedir:

* Şirketteki tüm mühendisler hem A hem de B projesinde görev almıştır.
* Tasarımcıların bir kısmı sadece A projesinde, geri kalanları ise sadece B projesinde görev almıştır.
* A projesinde görev alan her bir mühendis haftalık 10 saat, her bir tasarımcı ise haftalık 15 saat çalışmıştır.
* B projesinde görev alan her bir mühendis haftalık 8 saat, her bir tasarımcı ise haftalık 12 saat çalışmıştır.
* A projesindeki toplam haftalık çalışma süresi, B projesindeki toplam haftalık çalışma süresinden 30 saat fazladır.

Buna göre, bu şirkette sadece A projesinde çalışan tasarımcı sayısı kaçtır?

4

8

18

22

24

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Sadece A projesinde ��alışan tasarımcı sayısı 18'dir.

Doğru seçenekte belirtilen 18 değeri, basamak çözümlemesi ve çalışma sürelerine ait denklemlerin pozitif tam sayılar kümesindeki tek ortak çözümü olan

M = 24

,

D = 42

durumundan elde edilir. Bu durumda A projesindeki tasarımcı sayısı 18, B projesindeki ise 24 olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Mühendis ve tasarımcı sayılarını iki basamaklı sayılar olarak tanımlayıp toplam çalışan sayısından yararlanarak rakamlar arasındaki ilişkiyi bulma.

a + b = 6

elde edilir.

Mühendislerin sayısı

M = ab = 10a + b

ve tasarımcıların sayısı

D = ba = 10b + a

olarak yazıldığında, toplam çalışan sayısı

M + D = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b) = 66 \implies a + b = 6

olur.

2

Tasarımcı sayısının mühendis sayısından fazla olması koşulunu kullanarak uygun rakam ikililerini belirleme.

(a, b)

ikilisi

(1, 5)

veya

(2, 4)

olabilir. Bu durumda

(M, D)

çifti sırasıyla

(15, 51)

veya

(24, 42)

olur.

D > M \implies ba > ab \implies 10b + a > 10a + b \implies b > a

olmalıdır.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olduğundan,

a+b = 6

ve

b > a

koşulunu sağlayan durumlar incelenir.

3

Haftalık çalışma sürelerini kullanarak projelerdeki tasarımcı sayıları için genel denklemi kurma.

2M + 27D_A - 12D = 30

denklemi elde edilir.

A projesinde çalışan tasarımcı sayısı

D_A

olsun. Bu durumda B projesinde çalışan tasarımcı sayısı

D_B = D - D_A

olur. Projelerin toplam çalışma süreleri farkı

T_A - T_B = (10M + 15D_A) - (8M + 12D_B) = 30 \implies 2M + 15D_A - 12(D - D_A) = 30

denklemini verir.

4

Belirlenen

(M, D)

durumlarını denklemde yerine yazarak çalışan sayılarının tam sayı olma koşulunu kontrol etme.

M = 24, D = 42

için

D_A = 18

tam sayı çözümü bulunur. Diğer durum olan

M = 15, D = 51

için

D_A \approx 22.67

tam sayı çıkmaz.

Kişi sayısı tam sayı olmak zorunda olduğundan, yalnızca

D_A = 18

değeri geçerli bir çözümdür.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi ile tam sayı sınırlarının analizi.

Alternative Method

Seçenekleri doğrudan denemek yerine, toplam çalışan sayısının 66 olmasından yola çıkıp basamak analizi ile mühendis (

ab

) ve tasarımcı (

ba

) sayıları için olası durumları (

15-51

,

24-42

) listeleyerek ve her iki durum için de haftalık çalışma saatlerini test ederek hızlıca sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 818Question →

Bir lojistik deposunda bulunan A ve B tipi kolilerin sayıları sırasıyla 3 ve 4 ile ters orantılıdır. Bu depoda bulunan toplam koli sayısı 56'dır. Ayrıca kolilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A tipi kolilerin her birinin ağırlığı, B tipi kolilerin her birinin ağırlığından 7 kg fazladır.
* Depodaki tüm kolilerin toplam ağırlığı 840 kg'dır.

Buna göre, bir adet B tipi kolinin ağırlığı kaç kg'dır?

8

11

12

18

19

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

B tipi bir kolinin ağırlığı 11 kg'dır.

B tipi bir kolinin ağırlığı

x

olarak tanımlandığında, A tipi kolilerin her birinin ağırlığı

x+7

olur. Kolilerin sayıları sırasıyla 3 ve 4 ile ters orantılı olduğundan, A tipi kolilerin sayısı 32, B tipi kolilerin sayısı ise 24'tür. Bu değerler kullanılarak yazılan toplam ağırlık denklemi

32(x+7) + 24x = 840

olur. Denklem çözüldüğünde

56x = 616

ve

x=11

kg elde edilir. Bu nedenle 11 kg değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

A ve B tipi kolilerin sayılarını belirlemek için ters oranti denklemini kurmak.

A tipi kolilerin sayısı

N_A = 4k

ve B tipi kolilerin sayısı

N_B = 3k

olur.

Sayılar sıras��yla 3 ve 4 ile ters orantılı olduğundan

3 \times N_A = 4 \times N_B

bağıntısı geçerlidir.

2

Toplam koli sayısı bilgisini kullanarak orantı sabitini (

k

) bulmak.

4k + 3k = 56 \Rightarrow 7k = 56 \Rightarrow k = 8

olarak bulunur. Buradan koli sayıları

N_A = 32

ve

N_B = 24

olur.

Depodaki toplam koli sayısı 56 olarak verilmiştir.

3

Kolilerin ağırlık ilişkisini ve toplam ağırlığı veren denklemi kurup çözmek.

B tipi bir kolinin ağırlığı

x

kg ise A tipi bir kolinin ağırlığı

x + 7

kg olur. Ağırlık denklemi:

32(x + 7) + 24x = 840 \Rightarrow 32x + 224 + 24x = 840 \Rightarrow 56x = 616 \Rightarrow x = 11

kg bulunur.

Toplam ağırlık 840 kg'dır ve A tipi kolilerin ağırlığı B tipinden 7 kg fazladır.

Key Concept

Ters orantı kuralları yardımıyla değişken sayısını azaltma ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme.

Estimated Time:2m 0s

Question 819Question →

Bir matbaada basılan bir kitabın iki farklı sürümüne ait bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kitap Sürümü	Basım Adedi (Adet)	Birim Baskı Maliyeti (TL)
A serisi	$ab$	8
B serisi	$ba$	15

Burada $ab$ ve $ba$ iki basamaklı doğal sayılardır.

A serisi kitapların toplam baskı maliyeti, B serisi kitapların toplam baskı maliyetinden fazla olduğuna göre, bu iki sürümden basılan toplam kitap sayısı en fazla kaçtır?

110

132

143

154

198

Show answer & explanation

Answer: 143

Answer

143

Kitapların adetleri

ab

ve

ba

olarak çözümlendiğinde toplam maliyet ilişkisi

8(10a+b) > 15(10b+a)

olur. Bu eşitsizlik sadeleştirildiğinde

65a > 142b

elde edilir. Toplam kitap sayısı

11(a+b)

ifadesine eşittir ve bu toplamı en büyük yapmak için

a+b

toplamı en yüksek seçilmelidir.

a

ve

b

birer rakam olduğu için

b=4

seçildiğinde

a

en fazla

9

olabilir. Bu durumda

a+b = 13

olur ve toplam kitap sayısı en fazla

11 \times 13 = 143

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kitap adetlerini temsil eden iki basamaklı sayıları basamak çözümlemesi kullanarak yazalım.

ab = 10a + b

ve

ba = 10b + a

Maliyet hesaplamalarında kullanabilmek için sayıları çözümlenmiş halde ifade etmeliyiz.

2

A ve B serisi kitapların toplam maliyetlerini veren eşitsizliği kuralım.

8 \times (10a + b) > 15 \times (10b + a)

A serisinin toplam maliyetinin B serisinden fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Eşitsizlikteki parantezleri dağıtıp benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirelim.

80a + 8b > 150b + 15a \implies 65a > 142b

a

ve

b

değişkenleri arasındaki temel ilişkiyi bulmak için.

4

a

ve

b

birer sıfırdan farklı rakam olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en büyük

a+b

toplamını bulalım.

b = 4

için

65a > 568 \implies a = 9

olur. Buradan

a+b = 13

elde edilir.

b = 5

için

65a > 710

olur ki bu durumda en büyük rakam olan

a = 9

bile eşitsizliği sağlamaz.

5

Basılan toplam kitap sayısını hesaplayalım.

ab + ba = 11(a + b) = 11 \times 13 = 143

En büyük toplam kitap adedine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı basamakları çözümlemesi ve birinci dereceden eşitsizlik içeren sayı problemleri

Estimated Time:2m 0s

Question 820Question →

Bir şehirdeki paylaşımlı bisiklet sisteminde kullanıcılara iki farklı tarife seçeneği sunulmaktadır:

* Klasik Tarife: Bisikletin kilidini açmak için $3\text{ TL}$ ve bisikletin kullanıldığı her dakika için $0,5\text{ TL}$ ücret alınmaktadır.
* Avantajlı Tarife: Aylık $45\text{ TL}$ sabit abonelik ücreti ödenmekte ve bu tarifede bisikletin kilidini açmak için ücret alınmayıp, bisikletin kullanıldığı her dakika için $0,2\text{ TL}$ ücret alınmaktadır.

Bir ay boyunca bu bisiklet sistemini $N$ kez kullanan ve toplamda $120$ dakika bisiklet süren bir kullanıcının, Avantajlı Tarife yerine Klasik Tarife'yi seçmiş olması durumunda ödeyeceği toplam ücretin daha az olacağı hesaplanmıştır.

Buna göre, bu kullanıcının bisikleti kiralama sayısı $N$ en fazla kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kullanıcının bisikleti kiralama sayısı en fazla 2 olabilir.

Avantajlı Tarife'nin toplam maliyeti

45 + 120 \times 0,2 = 69\text{ TL}

'dir. Klasik Tarife'nin maliyeti ise kiralama sayısı

N

olmak üzere

3N + 120 \times 0,5 = 3N + 60\text{ TL}

şeklinde yazılır. Klasik Tarife'nin daha ucuz olması beklendiğinden

3N + 60 < 69

eşitsizliğinden

3N < 9

ve buradan da

N < 3

elde edilir. Bu koşula uyan en büyük tam sayı değeri 2 olduğundan doğru cevap 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Avantajlı Tarife seçildiğinde ödenecek aylık toplam ücreti hesaplayın.

45 + 120 \times 0,2 = 45 + 24 = 69\text{ TL}

Kullanıcının Avantajlı Tarife'deki sabit ve dakika başına ödeyeceği toplam tutarı belirlemek için.

2

Klasik Tarife seçildiğinde ödenecek aylık toplam ücreti kiralama sayısı olan

N

cinsinden ifade edin.

3N + 120 \times 0,5 = 3N + 60\text{ TL}

Klasik Tarife'deki kilit açma ücreti kiralama sayısı olan

N

ile, dakika ücreti ise toplam süre ile çarpılmalıdır.

3

Klasik Tarife ücretinin Avantajlı Tarife ücretinden daha az olmasını sağlayan eşitsizliği kurun ve çözün.

3N + 60 < 69 \implies 3N < 9 \implies N < 3

Klasik Tarife'nin daha ucuz olacağı belirtildiği için strict (kesin) küçüktür eşitsizliği kurulur.

4

N

kiralama sayısının pozitif bir tam sayı olması gerektiğini dikkate alarak en büyük

N

değerini belirleyin.

N < 3

koşulunu sağlayan en büyük tam sayı değeri 2'dir.

Kiralama işlemi yarım veya küsuratlı olamayacağından kiralama sayısı tam sayı olmalıdır.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Birinci Dereceden Eşitsizlik Kurma

Estimated Time:2m 0s

Problemler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept