Ardışık Sayılar ve Toplamları Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 3

Question 41Question →

Bir fırında üretilen ekmekler kasalara konulmaktadır. 1. kasaya bir miktar ekmek konulduktan sonra, sonraki her kasaya bir önceki kasadakinden $4$ ekmek fazla konulmaktadır. Bu şekilde devam edilerek $15$ kasa tamamen doldurulmuştur. Son $5$ kasadaki toplam ekmek sayısı, ilk $5$ kasadaki toplam ekmek sayısın��n $2$ katından $30$ eksiktir. Buna göre, fırında doldurulan bu $15$ kasadaki toplam ekmek sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 990

Answer

15 kasadaki toplam ekmek sayısı 990'dır.

Kasalardaki ekmek miktarları ardışık olarak yazılıp ilk 5 ve son 5 kasanın toplamları oranlandığında ilk kasadaki ekmek sayısı

38

olarak bulunur. Bu değer kullanılarak 15 kasanın genel toplamı 990 adet olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

1. kasadaki ekmek sayısına

x

diyelim. Her bir kasadaki ekmek sayısı bir öncekinden

4

fazla olduğuna göre tüm kasalardaki ekmek sayılarını listeleyelim.

Kasalardaki ekmek sayıları sırasıyla

x, x+4, x+8, \dots, x + 4(n-1)

şeklindedir. 15. kasada

x + 4 \times 14 = x + 56

adet ekmek bulunur.

Artış miktarı sabit olduğundan bu sayılar ortak farkı

4

olan ardışık bir aritmetik dizi oluşturur.

2

İlk 5 kasanın ve son 5 kasanın toplam ekmek sayılarını

x

cinsinden yazalım.

İlk 5 kasanın toplamı:

5x + 40

, Son 5 kasanın toplamı:

5x + 240

olarak bulunur.

İlk 5 kasa:

x + (x+4) + (x+8) + (x+12) + (x+16) = 5x + 40

olur. Son 5 kasa (11, 12, 13, 14 ve 15. kasalar):

(x+40) + (x+44) + (x+48) + (x+52) + (x+56) = 5x + 240

olur.

3

Son 5 kasadaki ekmek sayısının, ilk 5 kasadaki ekmek sayısının

2

katından

30

eksik olduğunu belirten denklemi kuralım ve çözelim.

x = 38

bulunur.

5x + 240 = 2(5x + 40) - 30

denkleminden

5x + 240 = 10x + 80 - 30 \implies 5x + 240 = 10x + 50 \implies 5x = 190 \implies x = 38

elde edilir.

4

Toplam 15 kasadaki ekmek sayısını hesaplayalım.

990

Toplam ekmek sayısı:

15x + 4 \times (1 + 2 + \dots + 14) = 15x + 4 \times 105 = 15x + 420

olur.

x = 38

değeri yerine yazıldığında:

15 \times 38 + 420 = 570 + 420 = 990

adet ekmek hesaplanır.

Key Concept

Ardışık terimlerin aritmetik toplam formülleri ve doğrusal denklem kurma

Question 42Question →

n \geq 2

bir çift doğal sayı olmak üzere, aşağıda tanımlanan toplamları en küçük değerden en büyük değere doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

I, III, II

I, III ve II numaralı toplamların cebirsel ifadeleri sırasıyla

3n^2 - n

,

3.5n^2 - 0.5n

ve

6n^2

şeklindedir.

n \geq 2

pozitif çift sayısı için bu ifadeler karşılaştırıldığında en küçük değerin I, ortanca değerin III ve en büyük değerin II olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

I numaralı toplamın genel cebirsel ifadesini bulunuz.

I =

3n^2 - n

İlk terimi

2n

, terim sayısı

n

ve ortak farkı

2

olan aritmetik serinin toplam formülü

S_n = \frac{n}{2} [2(2n) + (n-1)2] = n(3n - 1) = 3n^2 - n

şeklinde hesaplanır.

2

II numaralı toplamın genel cebirsel ifadesini bulunuz.

II =

6n^2

n

çift sayı olduğundan,

n

'den büyük en küçük tek sayı

n+1

'dir. İlk terimi

n+1

, terim sayısı

2n

ve ortak farkı

2

olan aritmetik serinin toplam formülü

T_{2n} = \frac{2n}{2} [2(n+1) + (2n-1)2] = n(6n) = 6n^2

şeklinde hesaplanır.

3

III numaralı toplamın genel cebirsel ifadesini bulunuz.

III =

3.5n^2 - 0.5n

İlk terimi

3n

, terim sayısı

n

ve ortak farkı

1

olan ardışık sayıların toplam formülü

U_n = \frac{n}{2} [2(3n) + (n-1)1] = \frac{n(7n-1)}{2} = 3.5n^2 - 0.5n

şeklinde hesaplanır.

4

Bulunan cebirsel ifadeleri

n \geq 2

koşulu altında karşılaştırınız.

I < III < II

III - I = 0.5n^2 + 0.5n > 0

olduğundan III > I ve

II - III = 2.5n^2 + 0.5n > 0

olduğundan II > III elde edilir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Aritmetik Dizi Toplamları ve Cebirsel Eşitsizlik Karşılaştırmaları

Estimated Time:2m 0s

Question 43Question →

Bir hedef tahtasında 1'den $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış $n$ adet bölge bulunmaktadır. Bu hedef tahtasına bir ok atan Melih, bu bölgelerden yalnız birini vurmuştur.

Vurulan bölge dışındaki diğer tüm bölgelerin numara ortalaması $13,25$ olduğuna göre, Melih'in vurduğu bölgenin numarası kaçtır?

5

7

9

11

13

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Vurulan bölgenin numarası 7'dir.

Doğru olan seçenekteki 7 değeri,

n=25

toplam bölge sayısı için tüm koşulları eksiksiz sağlar. 1'den 25'e kadar sayıların toplamı 325'tir. 7 numaralı bölge vurulduğunda geriye kalan 24 bölgenin toplamı 318 olur. Bu sayıların ortalaması ise

318 / 24 = 13,25

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Vurulan bölgenin numarasına

x

diyelim. Kalan bölgelerin sayısını ve bu bölgelerin numaralar�� toplamını tanımlayalım.

Başlangıçta

n

adet bölge olduğundan, 1 bölge vurulduktan sonra geriye

n-1

adet bölge kalır. Kalan bölgelerin numaraları toplamı

S_{\text{kalan}} = \frac{n(n+1)}{2} - x

olur.

Ortalama hesabı için kalan sayıların toplamını kalan terim sayısına bölmemiz gerekir.

2

Ortalama değerini kullanarak kalan sayıların toplamı için bir eşitlik kuralım.

Ortalama

13,25 = 13 + \frac{1}{4} = \frac{53}{4}

olduğuna g��re,

\frac{S_{\text{kalan}}}{n-1} = \frac{53}{4} \implies S_{\text{kalan}} = \frac{53(n-1)}{4}

elde edilir.

Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirerek tam sayı bölünebilme ilişkilerini kullanabiliriz.

3

S_{\text{kalan}}

bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, terim sayısı olan

n-1

ifadesinin alabileceği değerleri analiz edelim.

S_{\text{kalan}}

tam sayı olduğundan

n-1

, 4'ün bir katı olmalıdır (

n-1 = 4m

). 1'den

n

'ye kadar ardışık sayıların ortalaması yaklaşık olarak ortanca terim olan

\frac{n+1}{2}

değerine yakın olmalıdır.

\frac{n+1}{2} \approx 13,25 \implies n \approx 25,5

olur.

n-1

ifadesi 4'ün katı olacağına göre en uygun aday

n-1 = 24 \implies n = 25

değeridir.

Ardışık sayıların ortalaması her zaman sınır değerlerin ortalamasına yakındır, bu da bize

n

için dar bir aralık verir.

4

n = 25

değerini yerine koyarak silinen

x

sayısını hesaplayalım.

Eğer

n = 25

ise toplam bölge puanı

\frac{25 \times 26}{2} = 325

olur. Kalan bölgelerin toplamı ise

24 \times 13,25 = 318

olur. Buradan

x = 325 - 318 = 7

elde edilir. Bu değer

1 \le x \le 25

şartını sağladığından çözümdür.

Toplam puandan kalan puanı çıkardığımızda vurulan bölgenin puanını buluruz.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplam formülü, terim sayısı ve aritmetik ortalama arasındaki bölünebilme ilişkisi.

Alternative Method

Ortalama yaklaşık olarak ortanca terimi verdiğinden, 1'den

n

'ye kadar olan sayıların ortalaması

\frac{n+1}{2} \approx 13,25 \implies n \approx 25,5

olur. Buradan

n

değerinin 25 veya 26 olabileceği tahmin edilebilir. Kalan sayıların adedi olan

n-1

ifadesi, ortalamanın paydasındaki 4 değerinden ötürü 4'ün katı olmalıdır.

n=25

için

n-1=24

(4'ün katı) olduğundan

n=25

doğrudan belirlenir.

Estimated Time:2m 0s

Question 44Question →

Bir spor salonundaki basamaklar aşağıdan yukarıya doğru $1, 3, 5, \dots$ şeklinde ardışık tek sayılarla numaralandırılmıştır. Bu salonda en üstteki basamağın numarası $29$ olduğuna göre, salonda toplam kaç tane basamak vardır?

14

15

16

29

30

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Salondaki toplam basamak sayısı 15'tir.

Ardışık tek sayıların oluşturduğu bu dizide ilk terim 1, son terim 29 ve ardışık terimler arasındaki fark (artış miktarı) 2'dir. Terim sayısı formülüne göre, terim sayısı (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında (29 - 1) / 2 + 1 = 15 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dizinin ilk terimini, son terimini ve artış miktarını belirleme

İlk terim = 1, Son terim = 29, Artış miktarı = 2

Ardışık tek sayılar 1'den başlayarak ikişer ikişer artar.

2

Terim sayısı formülünü uygulayarak basamak sayısını hesaplama

Terim Sayısı = \frac{29 - 1}{2} + 1 = \frac{28}{2} + 1 = 14 + 1 = 15

Ardışık sayı dizilerinde toplam kaç terim olduğunu bulmak için terim sayısı formülü kullanılır.

Key Concept

Ardışık sayıların terim sayısı formülü

Estimated Time:1m 0s

Question 45Question →

$a$ , $b$ ve $c$ ardışık tek sayma sayılarıdır. $a < b < c$ olmak üzere;

X = a + b

Y = b + c

Z = a + c

olarak tanımlan��yor. Buna göre; $X$ , $Y$ ve $Z$ ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı X < Z < Y şeklindedir.

Sayılar arasındaki

a < b < c

sıralaması doğrultusunda, en küçük iki terimin toplamı olan

X

en küçük değere, en büyük iki terimin toplamı olan

Y

en büyük değere, en küçük ve en büyük terimlerin toplamı olan

Z

ise aralarındaki değere sahip olur. Bu nedenle doğru sıralama X < Z < Y şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Ardışık tek sayılar arasındaki büyüklük ilişkisini cebirsel olarak ifade etmek.

a < b < c

sıralamasında sayılar ardışık tek sayılar olduğu için

b = a + 2

ve

c = a + 4

olarak yazılabilir.

Sayılar arasındaki ilişkiyi tek bir değişken türünden ifade ederek kıyaslamayı kolaylaştırmak.

2

Tanımlanan X, Y ve Z ifadelerini a değişkeni türünden yazarak hesaplamak.

X = a + b = a + (a + 2) = 2a + 2

,

Y = b + c = (a + 2) + (a + 4) = 2a + 6

ve

Z = a + c = a + (a + 4) = 2a + 4

elde edilir.

Tüm ifadeleri ortak bir değişken cinsinden karşılaştırma yapılabilir hale getirmek.

3

Elde edilen ifadelerin değerlerini kar��ılaştırarak küçükten büyüğe sıralamak.

2a + 2 < 2a + 4 < 2a + 6

eşitsizliğinden dolayı

X < Z < Y

sıralaması bulunur.

Sıralama işlemini tamamlamak.

Key Concept

Ardışık sayıların cebirsel gösterimi ve sıralama kuralları

Alternative Method

Sayılar yerine koşulu sağlayan herhangi ardışık tek sayılar seçilebilir. Örneğin;

a = 1

,

b = 3

ve

c = 5

alınırsa

X = 1 + 3 = 4

,

Y = 3 + 5 = 8

,

Z = 1 + 5 = 6

olur. Buradan

4 < 6 < 8

yani

X < Z < Y

sıralaması kolayca elde edilir.

Estimated Time:1m 0s

Question 46Question →

Bir öğrenci, hafta içi günlerinde (Pazartesi gününden Cuma gününe kadar) her gün bir önceki günden $2$ fazla soru çözmüştür.

Bu öğrencinin hafta içi çözdüğü toplam soru sayısı $115$ olduğuna göre, Cuma günü çözdüğü soru sayısı kaçtır?

19

23

25

27

29

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Cuma günü çözülen soru sayısı 27'dir.

Pazartesi gününden Cuma gününe kadar her gün bir önceki günden

2

fazla soru çözüldüğü için günlerin soru sayıları sırasıyla

x

,

x+2

,

x+4

,

x+6

ve

x+8

şeklindedir. Toplam soru sayısı olan

5x + 20 = 115

denkleminden Pazartesi günü çözülen soru sayısı

x = 19

bulunur. Buradan Cuma günü çözülen soru sayısı

19 + 8 = 27

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Günlük soru sayılarını temsil eden cebirsel ifadeleri yazma

Pazartesi günü çözülen soru sayısı

x

ise; Salı

x+2

, Çarşamba

x+4

, Perşembe

x+6

, Cuma

x+8

olur.

Her gün bir önceki güne göre

2

fazla soru çözüldüğü belirtilmiştir.

2

Hafta içi çözülen toplam soru sayısı ifadesini oluşturma ve

x

değerini bulma

x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 115 \implies 5x + 20 = 115 \implies 5x = 95 \implies x = 19

Toplam soru sayısının

115

olduğu bilgisi kullanılarak ilk günkü soru sayısı hesaplanır.

3

Cuma günü çözülen soru sayısını hesaplama

x + 8 = 19 + 8 = 27

Cuma günü çözülen soru sayısı

x+8

ifadesiyle temsil edilmektedir.

Key Concept

Ardışık sayılar belirli bir kurala göre artan sayılardır. Terim sayısı tek olduğunda, toplamın terim sayısına bölümü ortanca terimi verir.

Alternative Method

Ardışık

5

terimin toplamı

115

ise, ortanca terim (Çarşamba günü çözülen soru sayısı)

\frac{115}{5} = 23

olarak bulunur. Cuma günü, Çarşamba gününden

2

gün sonra olduğu için çözülen soru sayısı

23 + 2 \times 2 = 27

olur.

Estimated Time:1m 0s

Question 47Question →

Bir okuldaki yan yana bulunan ve en az iki sınıftan oluşan bir gruptaki her bir sınıfın öğrenci sayıları, soldan sağa doğru artan ardışık pozitif tam sayılardır. Bu sınıflardaki toplam öğrenci sayısı, grupta öğrenci sayısı en az olan sınıf ile en çok olan sınıfın öğrenci sayılarının çarpımına eşittir.

Buna göre, bu sınıflardaki toplam öğrenci sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

12

15

18

24

28

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Toplam öğrenci sayısı 18 olabilir.

Toplam öğrenci sayısının 18 olması durumunda, ardışık 4 sınıfın öğrenci sayıları 3, 4, 5 ve 6 olur. Bu sayıların toplamı 18'dir. En küçük sayı (3) ile en büyük sayının (6) çarpımı da 18 olduğundan koşul sağlanır.

Step-by-Step Solution

1

Sınıf sayısını ve öğrenci sayılarını cebirsel olarak ifade etme.

Gruptaki sınıf sayısı

k

(

k \ge 2

) ve en küçük öğrenciye sahip sınıftaki öğrenci sayısı

x

olsun. Sınıflardaki öğrenci sayıları soldan sağa sırasıyla

x, x+1, x+2, \dots, x+k-1

olur.

Ardışık sayıların toplamı ve çarpımı arasındaki ilişkiyi kurabilmek için değişken tanımlanmalıdır.

2

Toplam ve çarpım ifadelerini eşitleme.

Toplam öğrenci sayısı:

T = \frac{k(2x + k - 1)}{2}

olur. En az ve en çok öğrenciye sahip sınıfların çarpımı:

P = x(x + k - 1)

olur. İfadeler eşitlendiğinde:

\frac{k(2x + k - 1)}{2} = x(x + k - 1) \implies k(k-1) = 2x(x-1)

elde edilir.

Soruda sınıflardaki toplam öğrenci sayısının, en küçük ve en büyük öğrenci sayılarının çarpımına eşit olduğu verilmiştir.

3

Toplam formülüne göre seçenekleri inceleme.

Toplamın 18 olması durumunda,

x(x+k-1) = 18

olur. 18'in pozitif çarpan çiftleri incelendiğinde,

x=3

ve

x+k-1=6

(yani

k=4

) için

k(k-1) = 4 \times 3 = 12

ve

2x(x-1) = 2 \times 3 \times 2 = 12

eşitliği sağlanır.

Toplamın alabileceği değerler,

x

ve

x+k-1

pozitif tam sayılarının çarpımı şeklinde olmalıdır.

Key Concept

Ardışık sayıların toplam formülü ve çarpanlara ayırma analizi.

Alternative Method

Toplamın alabileceği değer olan T'yi çarpanlarına ayırarak doğrudan deneme yöntemiyle

x

ve

x+k-1

değerleri belirlenebilir. Örneğin 18'in çarpanları 3 ve 6'dır. Buradan en küçük sayı 3, en büyük sayı 6 olarak alındığında aradaki sayıların (3, 4, 5, 6) toplamının da 18'i verdiği doğrudan doğrulanabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 48Question →

Bir öğretmen, tahtaya yazılı olan ardışık $n$ tane pozitif tam sayının toplamını hesaplamak istemektedir. Ancak öğrencilerden biri tahtadaki sayılardan en küçüğünü ve en büyüğünü siliyor. Geriye kalan sayıların toplamı $180$ oluyor.

Buna göre, $n$ iki basamaklı bir doğal sayı ise $n$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

İki basamaklı

n

değerlerinin toplamı 38'dir.

Kalan sayıların toplam formülünden elde edilen

(2x+n-1)(n-2) = 360

denkleminde çarpanların tek/çiftlik durumları ve

x \geq 1

koşulu incelendiğinde,

n

sayısının alabileceği iki basamaklı değerlerin 10, 11 ve 17 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı 38'i verir.

Step-by-Step Solution

1

Kalan terimlerin ifadesini ve terim sayısını belirleme

Başlangıçtaki sayılar

x

ile başlayıp

x+n-1

ile sonlanır. En küçük ve en büyük terimler silindiğinde geriye kalan terimler

x+1

ile

x+n-2

arasında olup terim sayısı

n-2

'dir.

Toplam formülünü kalan sayılar üzerinden oluşturabilmek için ilk terim, son terim ve terim sayısını belirlememiz gerekir.

2

Kalan sayıların toplam denklemini kurma ve sadeleştirme

\frac{(x+1) + (x+n-2)}{2} \cdot (n-2) = 180 \implies (2x+n-1)(n-2) = 360

denklemi elde edilir.

Verilen toplam değerini kullanarak bilinmeyenler arasındaki cebirsel ilişkiyi bulmak için.

3

Çarpan analizi ile uygun

n

değerlerini tespit etme

2x+n-1

ve

n-2

çarpanlarının farkı

2x+1

(tek sayı) olduğundan, 360'ın çarpan çiftlerinden biri tek diğeri çift olmalıdır. Buradan

n

değerleri

3, 5, 7, 10, 11, 17

bulunur.

x

'in pozitif tam sayı olma koşuluna bağlı olarak denklemi sağlayan tüm olası tam sayı çözümlerini bulmak için.

4

İki basamaklı

n

değerlerini seçip toplama

İki basamaklı olan

n

değerleri

10, 11

ve

17

olup, toplamları

10 + 11 + 17 = 38

olur.

Soruda sadece iki basamaklı

n

doğal sayı değerlerinin toplamı istendiği için.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Estimated Time:2m 0s

Question 49Question →

$n > 1$ bir tam sayı olmak üzere, aşağıda verilen üç farklı ardışık sayı toplamını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sıralama küçükten büyüğe doğru; sıfırdan başlayan ardışık ilk n tane çift doğal sayının toplamı, birden başlayan ardışık ilk n tane tek sayma sayısının toplamı ve ikiden başlayan ardışık ilk n tane çift sayma sayısın��n toplamı şeklindedir.

Sırasıyla elde edilen toplam formülleri

n^2 - n

,

n^2

ve

n^2 + n

şeklindedir.

n > 1

koşulu altında bu ifadeler karşılaştırıldığında en küçük değerin sıfırdan başlayan çift doğal sayıların toplamı, ortanca değerin tek sayıların toplamı ve en büyük değerin ise ikiden başlayan çift sayıların toplamı olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Birinci toplamın genel formülünü belirleme

1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2

1

'den başlayan ilk

n

tane ardışık tek sayının toplamı

n^2

formülü ile bulunur.

2

İkinci toplamın genel formül��nü belirleme

2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1) = n^2 + n

2

'den başlayan ilk

n

tane ardışık çift sayının toplamı

n(n+1)

formülü ile bulunur.

3

Üçüncü toplamın genel formülünü belirleme

0 + 2 + 4 + \dots + (2n-2) = n(n-1) = n^2 - n

0

elemanı toplamı etkilemediğinden, bu toplam aslında

2

'den başlayan ilk

n-1

tane ardışık çift sayının toplamıdır ve

(n-1)n

şeklinde ifade edilir.

4

Bulunan ifadeleri karşılaştırma

n^2 - n < n^2 < n^2 + n

n > 1

pozitif tam sayısı için, her bir ifadedeki

n^2

terimine göre yapılan çıkarma ve ekleme işlemleri büyüklük ilişkisini belirler.

Key Concept

Ardışık sayıların toplam formülleri ve terim sayısına göre toplamın genel gösterimi

Alternative Method

n

değişkenine

n > 1

koşulunu sağlayan en küçük değer olan

2

verilerek her bir durum tek tek hesaplanabilir.

n = 2

için: Birinci toplam

1 + 3 = 4

, ikinci toplam

2 + 4 = 6

, üçüncü toplam

0 + 2 = 2

olur. Elde edilen değerlerin büyüklük sıralaması

2 < 4 < 6

olduğundan sıralama III < I < II şeklinde bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 50Question →

Bir kütüphanedeki yan yana bulunan raflara, soldan sağa doğru artacak biçimde ardışık çift sayılarla ifade edilen miktarlarda kitap yerleştirilmiştir. Bu rafların en sağında bulunan raftaki kitap sayısı, en solda bulunan raftaki kitap sayısından $38$ fazladır.

Bu raflardan kitap sayıları en az olan iki raf kütüphaneden kaldırıldığında kalan raflardaki toplam kitap sayısı $A$ , kitap sayıları en çok olan iki raf kütüphaneden kaldırıldığında kalan raflardaki toplam kitap sayıs�� $B$ olmaktadır.

Buna göre, $A - B$ farkı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Kitap sayıları en az olan iki raf çıkarıldığında elde edilen toplam ile en çok olan iki raf çıkarıldığında elde edilen toplam arasındaki fark 72'dir.

Toplam kitap sayısından en az kitaba sahip ilk iki raf çıkarıldığında elde edilen A toplamı ile en çok kitaba sahip son iki raf çıkarıldığında elde edilen B toplamı arasındaki fark, son iki rafın kitap sayıları toplamından ilk iki rafın kitap sayıları toplamının çıkarılmasına eşittir. Ardışık çift sayılar arasındaki 2'şer fark bağıntısı kullanılarak bu fark 72 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Raflardaki kitap sayılarını ardışık çift sayılar olarak tanımlama

k_1, k_2, \dots, k_n

kitap sayıları olsun. Her bir raftaki kitap sayısı bir öncekinden 2 fazla olacağından genel terim

k_i = k_1 + 2(i-1)

şeklindedir.

Soruda belirtilen ardışık çift sayı kuralını cebirsel olarak modellemek için.

2

Toplam raf sayısını (

n

) bulma

k_n - k_1 = 38 \implies 2(n-1) = 38 \implies n-1 = 19 \implies n = 20

bulunur.

En soldaki ve en sağdaki raflar arasındaki kitap sayısı farkından yararlanarak toplam raf sayıs��na ulaşmak için.

3

A

ve

B

toplamlarını tüm rafların toplam kitap sayısı (

S

) cinsinden yazma

A = S - k_1 - k_2

ve

B = S - k_{19} - k_{20}

Kaldırılan en az ve en çok kitaplı ikişer rafın toplamı nasıl etkilediğini belirlemek için.

4

A - B

farkını hesaplama

A - B = (S - k_1 - k_2) - (S - k_{19} - k_{20}) = k_{19} + k_{20} - k_1 - k_2

olur. Ardışık terim farklarından

k_{19} = k_1 + 36

ve

k_{20} = k_2 + 36

yazarak yerine yerleştirdiğimizde:

A - B = (k_1 + 36) + (k_2 + 36) - k_1 - k_2 = 72

elde edilir.

İstenen farkı ortak terimlerden kurtararak sadece uç terimlerin farkı cinsinden çözmek için.

Key Concept

Ardışık sayılarda terim sayısı formülü ve ardışık terimler arasındaki sabit fark ilişkisini kullanarak toplamların farkını bulma.

Question 51Question →

Bir spor salonundaki merdiven basamakları aşağıdan yukarıya doğru $1$ 'den başlayarak ardışık sayma sayılarıyla numaralandırılmıştır. Bu merdivenden seçilen ardışık $7$ basamağın numaraları toplamı, bu basamaklardan hemen sonra gelen ardışık $5$ basamağın numaraları toplamına eşittir.

Buna göre, seçilen bu $12$ basamaktan numarası en küçük olan basamağın numarası kaçtır?

7

11

12

16

24

Show answer & explanation

Answer: $12$

Answer

En küçük basamağın numarası

12

olmalıdır.

En küçük basamak numarası

x

olarak seçildiğinde, ardışık ilk

7

basamağın toplamı

7x + 21

olur. Bunlardan hemen sonra gelen

5

basamak ise

x+7

ile başlar ve toplamları

5x + 45

olur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde

7x + 21 = 5x + 45

denklemi elde edilir. Buradan

2x = 24

ve

x = 12

bulunur. Dolayısıyla en küçük basamağın numarası

12

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Seçilen ardışık 12 basamaktan en küçüğünün numarasını

x

değişkeni ile ifade ederek ilk 7 basamağın numaralarını belirleme.

İlk 7 basamağın numaraları sırasıyla

x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6

olur.

Ardışık sayma sayıları birer birer arttığı için ilk terim

x

ise diğer terimler buna göre yazılır.

2

Bu ilk 7 basamağın numaralarının toplamını (

S_1

) hesaplama.

S_1 = 7x + 21

olarak bulunur.

x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6) = 7x + 21

toplam formülüyle elde edilir.

3

İlk 7 basamaktan hemen sonra gelen ardışık 5 basamağın numaralarını belirleme ve toplamını (

S_2

) hesaplama.

Sonraki 5 basamak

x+7, x+8, x+9, x+10, x+11

olur ve toplamları

S_2 = 5x + 45

olarak bulunur.

Bu basamaklar ilk 7 basamağın bittiği yerin bir fazlası olan

x+7

'den başlayarak birer artar. Toplamı ise

(x+7) + (x+8) + (x+9) + (x+10) + (x+11) = 5x + 45

olur.

4

İki toplamın birbirine eşitliğini kullanarak denklemi kurma ve

x

değerini çözme.

7x + 21 = 5x + 45 \implies 2x = 24 \implies x = 12

elde edilir.

Soruda ilk 7 basamağın numaraları toplamının, sonraki 5 basamağın numaraları toplamına eşit olduğu belirtilmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Toplamı ve Cebirsel Modelleme

Estimated Time:1m 30s

Question 52Question →

Bir sporcu, katıldığı bir turnuvada yaptığı ardışık $5$ maçın her birinde, bir önceki maçta attığı sayıdan $3$ sayı fazla atmıştır. Bu sporcunun bu $5$ maçta attığı toplam sayı, ilk $3$ ma��ta attığı toplam sayının $2$ katından $15$ eksiktir. Buna göre, bu sporcu son maçta kaç sayı atmıştır?

23

27

33

39

48

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

Sporcunun son maçta attığı sayı 39'dur.

Sporcunun ilk maçta attığı sayı

x

olsun. Maçlarda attığı sayılar sırasıyla

x

,

x+3

,

x+6

,

x+9

ve

x+12

olur. Toplam sayı

5x + 30

'dur. İlk üç maçın toplamı ise

3x + 9

'dur. Denklem kurulduğunda

5x + 30 = 2(3x + 9) - 15

elde edilir. Buradan

x = 27

bulunur. Son maçta atılan sayı

x + 12 = 27 + 12 = 39

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sporcunun ilk maçta attığı sayıya

x

denilerek ardışık 5 maçta attığı sayıların cebirsel ifadeleri yazılır.

x

,

x+3

,

x+6

,

x+9

,

x+12

Her maçtaki sayı bir öncekinden 3 fazla olduğundan terimler üçer artarak ilerler.

2

5 maçta atılan toplam sayı ile ilk 3 maçta atılan toplam sayının cebirsel ifadeleri oluşturulur.

Toplam sayı:

5x + 30

, İlk 3 maçın toplamı:

3x + 9

Soruda verilen bağıntıya göre eşitlik kurabilmek için bu toplamlar gereklidir.

3

Toplam sayının, ilk 3 maçın toplamının 2 katından 15 eksik olduğu bilgisiyle denklem kurulur ve çözülür.

5x + 30 = 2(3x + 9) - 15 \implies 5x + 30 = 6x + 3 \implies x = 27

İlk maçta atılan sayıyı (

x

) bulmak için kurulan birinci dereceden denklem çözülmüştür.

4

Sporcunun son maçta (5. maçta) attığı sayı hesaplanır.

x + 12 = 27 + 12 = 39

Soruda bizden son maçta atılan sayı istendiği için ilk terime 12 eklenir.

Key Concept

Ardışık sayılarda terimlerin belirlenmesi, toplam formülleri ve birinci dereceden denklem kurma.

Question 53Question →

Bir torbada üzerinde ardışık tek sayılar yazılı olan kartlar bulunmaktadır. Bu kartlardan üzerinde en küçük sayı yazan kart çıkarıldığında kalan kartların üzerindeki sayıların toplamı $208$ , en büyük sayı yazan kart çıkarıldığında ise kalan kartların üzerindeki sayıların toplamı $192$ olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta torbada kaç adet kart vardır?

7

8

9

10

17

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Başlangıçta torbada bulunan kart sayısı 9'dur.

Torbada

n

adet kart olduğunu varsayalım. Bu kartların üzerindeki ardışık tek sayıları küçükten büyüğe sırasıyla

x_1, x_2, \dots, x_n

şeklinde sıralayabiliriz. Tüm kartların üzerindeki sayıların toplamı

S

olsun. En küçük kart (

x_1

) çıkarıldığında kalanların toplamı

S - x_1 = 208

olur. En büyük kart (

x_n

) çıkarıldığında kalanların toplamı ise

S - x_n = 192

olur. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkardığımızda,

(S - x_1) - (S - x_n) = 208 - 192

işleminden

x_n - x_1 = 16

sonucuna ulaşırız. Ardışık tek sayılar ikişer ikişer arttığı için,

n

terimli bu dizide en büyük terim ile en küçük terim arasındaki fark

2(n-1)

'dir. Dolayısıyla,

2(n-1) = 16

eşitliğinden

n-1 = 8

ve buradan da başlangıçtaki kart sayısı

n = 9

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Torbada bulunan kart sayısını

n

ve kartların üzerindeki sayıları küçükten büyüğe sırasıyla

x_1, x_2, \dots, x_n

olarak tanımlayıp toplamlarını

S

ile ifade etmek.

Tüm kartların toplamı

S

, en küçük kart

x_1

ve en büyük kart

x_n = x_1 + 2(n-1)

olur.

Soruda verilen çıkarma işlemlerini matematiksel denklemlere dönüştürmek için değişken tanımlamamız gerekir.

2

En küçük kart çıkarıldığında kalanların toplam��nı (

S - x_1 = 208

) ve en büyük kart çıkarıldığında kalanların toplamını (

S - x_n = 192

) yazıp taraf tarafa çıkarmak.

(S - x_1) - (S - x_n) = 208 - 192 \Rightarrow x_n - x_1 = 16

bulunur.

En büyük kart ile en küçük kart arasındaki farkı elde ederek terim sayısı (

n

) ile ilişkilendirmek.

3

Ardışık tek sayılar arasındaki ortak fark

2

olduğundan, en büyük terim ile en küçük terim arasındaki farkı

2(n-1)

şeklinde yazıp

n

değerini bulmak.

2(n-1) = 16 \Rightarrow n-1 = 8 \Rightarrow n = 9

elde edilir.

n

terimli bir ardışık tek sayı dizisinde en büyük terim ile en küçük terim arasındaki fark

2(n-1)

formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Ardışık tek sayıların genel terimleri ve iki terim arasındaki farkın terim sayısı ile ilişkisi

Question 54Question →

Bir matematik öğretmeni tahtaya ardışık sayılardan oluşan üç farklı küme yazmıştır:

* $K_1$ kümesi: Elemanlarının toplamı $135$ olan ardışık $9$ tek tam sayıdan oluşmaktadır. Bu kümenin en küçük elemanı $x$ 'tir.
* $K_2$ kümesi: Elemanlarının toplamı $150$ olan ardışık $10$ çift tam sayıdan oluşmaktadır. Bu kümenin en küçük elemanı $y$ 'dir.
* $K_3$ kümesi: Elemanlarının toplamı $154$ olan ardışık $11$ tam sayıdan oluşmaktadır. Bu kümenin en küçük elemanı $z$ 'dir.

Buna göre; $x, y$ ve $z$ değerlerinin doğru sıralaması en küçükten en büyüğe doğru nasıl olmalıdır?

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama y < x < z şeklindedir.

Ardışık sayılar ve toplam formülleri uygulandığında K1 kümesinin en küçük elemanı x = 7, K2 kümesinin en küçük elemanı y = 6 ve K3 kümesinin en küçük elemanı z = 9 olarak elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değer y, ardından x ve en büyük değer z olarak sıralanır.

Step-by-Step Solution

1

K1 kümesinin en küçük elemanı olan x değerini hesaplayalım.

x = 7

Ardışık 9 tek sayının toplamı 135 ise, ortanca terim 135 / 9 = 15 olur. 9 terimli bir dizide ortanca terim 5. terimdir. En küçük terim olan 1. terim (x), ortanca terimden 4 adım geridedir. Ardışık tek sayılar 2'şer 2'şer azaldığı için x = 15 - (4 * 2) = 7 bulunur.

2

K2 kümesinin en küçük elemanı olan y değerini hesaplayalım.

y = 6

Ardışık 10 çift sayın��n en küçüğüne y dersek, sayılar y, y+2, y+4, ..., y+18 olur. Bu sayıların toplamı 10y + (2 + 4 + ... + 18) = 10y + 90 olur. Toplam 150 olduğuna göre, 10y + 90 = 150 ise 10y = 60 ve y = 6 bulunur.

3

K3 kümesinin en küçük elemanı olan z değerini hesaplayalım.

z = 9

Ardışık 11 tam sayının toplamı 154 ise, ortanca terim 154 / 11 = 14 olur. 11 terimli bir dizide ortanca terim 6. terimdir. En küçük terim (z), ortanca terimden 5 adım geridedir. Ardışık sayılar 1'er 1'er azaldığı için z = 14 - 5 = 9 bulunur.

4

Bulunan değerleri karşılaştırıp sıralayalım.

y < x < z

Değerler y = 6, x = 7 ve z = 9 olarak bulunduğundan, küçükten büyüğe doğru sıralama 6 < 7 < 9 yani y < x < z şeklindedir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde toplam, terim sayısı ve artış miktarları arasındaki ilişkilerin kullanılması.

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes