Examkin

Cebir

60 soru

Soru 21Soru →
aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0
a3⋅b>0a^3 \cdot b > 0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b>0a \cdot b > 0

Cevap

İki negatif sayının çarpımı pozitif olacağından iki sayının çarpımının sıfırdan büyük olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.
Yapılan analiz sonucunda hem a hem de b sayılarının negatif olduğu belirlenmiştir. İki negatif sayının çarpımı her zaman pozitif bir sayı verir. Bu nedenle, iki sayının çarpımının sıfırdan büyük olduğunu belirten seçenek her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinde bb sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğu için b2>0b^2 > 0 olur.
b2b^2 pozitif olduğundan, çarpım��n negatif olması için a<0a < 0 olmalıdır.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatiftir.
2
a<0a < 0 ise a3<0a^3 < 0 olur. a3⋅b>0a^3 \cdot b > 0 eşitsizliğinde a3a^3 yerine negatif yazarak bb değerinin işaretini belirleriz.
Çarpımın pozitif (>0>0) olabilmesi için b<0b < 0 olmalıdır.
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.
3
Bulunan a<0a < 0 ve b<0b < 0 durumlarına göre seçenekleri inceleriz.
İki negatif sayının çarpımı pozitif olacağından a⋅b>0a \cdot b > 0 her zaman doğrudur.
Negatif sayıların çarpımı pozitiftir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayılarda işaret analizi ve eşitsizlik özellikleri

İpuçları

1
Bir gerçel sayının karesi (sıfırdan farklı ise) her zaman pozitiftir.
2
a⋅b2<0a \cdot b^2 < 0 ifadesinde b2b^2 ifadesinin işaretinden yararlanarak a'nın işaretini bulun.
3
a ve b sayılarının her ikisinin de negatif olduğunu bulduktan sonra çarpımlarının işaretini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, üç değişkenli işaret analizi sorularını çözerek bu konudaki pratikliğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değişkenlerin işaretlerini bulduktan sonra (a < 0 ve b < 0), koşullara uygun basit değerler seçerek (örneğin a = -1 ve b = -1) seçenekleri test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 22Soru →

aa ve bb pozitif tam sayılar, pp ise bir asal sayıdır.

a2+ab−2b2=pa^2 + ab - 2b^2 = p

olduğuna göre,

I. aa çift sayıdır.
II. bb çift sayıdır.
III. a+ba + b çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II
Verilen ifadeyi (a−b)(a+2b)=p(a - b)(a + 2b) = p şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan a+2b>1a + 2b > 1 olur. pp asal sayı olduğundan a−b=1a - b = 1 olmalıdır. Buradan a=b+1a = b + 1 elde edilir. Bu durumda p=3b+1p = 3b + 1 olur. pp bir asal sayı ve bb pozitif tam sayı olduğundan pp çift asal sayı (2) olamaz, çünkü 3b+1=2  ⟹  3b=13b + 1 = 2 \implies 3b = 1 tam sayı çözümü vermez. Dolayısıyla pp tek asal sayıdır. 3b+13b + 1 tek ise 3b3b çift, yani bb çift sayıdır. bb çift ise a=b+1a = b + 1 tek sayı olur. Bu durumda yalnızca b'nin çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
a2+ab−2b2=(a−b)(a+2b)=pa^2 + ab - 2b^2 = (a - b)(a + 2b) = p elde edilir.
Asal sayı tanımını kullanabilmek için cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, çarpanların alabileceği değerleri belirleyelim.
a+2b>1a + 2b > 1 ve pp asal sayı olduğundan, küçük olan çarpan a−b=1a - b = 1 olmalıdır. Buradan a=b+1a = b + 1 elde edilir. Diğer çarpan ise a+2b=pa + 2b = p olmalıdır.
Bir asal sayının pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve kendisidir.
3
a=b+1a = b + 1 eşitliğini diğer çarpanda yerine yazarak pp değerini bb cinsinden bulalım ve teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.
(b+1)+2b=p  ⟹  3b+1=p(b + 1) + 2b = p \implies 3b + 1 = p olur. pp bir asal sayı ve bb pozitif tam sayı olduğundan pp çift asal sayı (2) olamaz (3b+1=2  ⟹  3b=13b + 1 = 2 \implies 3b = 1 tam sayı çözümü vermez). Dolayısıyla pp tek asal sayıdır. 3b+13b + 1 tek ise 3b3b çift sayıdır, bu da bb sayısının çift olduğunu gösterir. Buradan a=b+1a = b + 1 tek sayı olur.
2 dışındaki tüm asal sayıların tek sayı olması özelliğinden yararlanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirleriz.
4
Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre öncülleri değerlendirelim.
bb çift ve aa tek sayıdır. Buna göre, I. öncül (aa çift) yanlıştır. II. öncül (bb çift) doğrudur. III. öncül (a+ba + b çift, yani tek + çift = tek) yanlıştır. Dolayısıyla yalnızca II. öncül her zaman doğrudur.
Elde edilen sonuçları öncüllerle karşılaştırarak doğru seçeneğe ulaşırız.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri ve teklik-çiftlik kavramlarının cebirsel ifadelerde analizi
Soru 23Soru →

aa, bb ve cc birer tam sayıdır.
- a−ba - b bir tek sayıdır.
- b−cb - c bir çift sayıdır.
- a⋅ca \cdot c bir asal sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b⋅ca + b \cdot c

Cevap

a + b . c ifadesinin bulunduğu seçenek
Verilen bilgilere göre, a - c = (a - b) + (b - c) ifadesi bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı olduğundan kesinlikle tektir. Farkları tek olan a ve c tam sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Dolayısıyla a . c çarpımı çifttir. Çarpımları asal sayı olduğuna göre bu çarpım çift asal sayı olan 2'ye eşittir. b - c çift olduğundan b ile c aynı pariteye sahiptir. Eğer c çift ise b de çift ve a tek olur; eğer c tek ise b de tek ve a çift olur. a + b . c ifadesi her iki durumda da (Tek + Çift . Çift = Tek veya Çift + Tek . Tek = Tek) her zaman tek sayı sonucunu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
a−ca - c ifadesinin paritesini (teklik-çiftlik durumunu) belirlemek.
a−c=(a−b)+(b−c)a - c = (a - b) + (b - c) eşitliği yazılır. a−ba - b tek ve b−cb - c çift olduğundan, toplamları olan a−ca - c kesinlikle tek sayıdır.
aa ve cc sayılarının paritelerinin birbirinden farklı olduğunu anlamak için.
2
a⋅ca \cdot c ifadesinin asal sayı olma özelliğini kullanarak değerini tespit etmek.
aa ve cc tam sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan çarpımları a⋅ca \cdot c ��ift bir tam sayıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan a⋅c=2a \cdot c = 2 olmalıdır.
Çarpımın çift olduğunu ve asal sayı tanımından ötürü değerinin 2 olması gerektiğini belirlemek için.
3
bb sayısının paritesini aa ve cc'nin durumlarına göre analiz etmek.
b−cb - c çift olduğundan bb ile cc aynı paritededir. Bu durumda iki olasılık vardır: 1) cc çift, bb çift ve aa tek. 2) cc tek, bb tek ve aa çift.
Değişkenlerin alabileceği tüm teklik-çiftlik durumlarını belirlemek için.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin paritelerini her iki durum için de incelemek.
a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi, birinci durumda Tek+C¸ift⋅C¸ift=Tek\text{Tek} + \text{Çift} \cdot \text{Çift} = \text{Tek}, ikinci durumda ise C¸ift+Tek⋅Tek=Tek\text{Çift} + \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \text{Tek} olur. Diğer seçeneklerdeki ifadelerin pariteleri duruma göre değişmektedir.
Her iki durumda da kesinlikle tek sayı değerini alan tek seçeneği tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar ile Asal Sayıların Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →
aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayıdır.
a+b+c=0a + b + c = 0
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
a<ba < b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b⋅c<0b \cdot c < 0

Cevap

İşaretleri zıt olmak zorunda olan bb ve cc sayılarının çarpımı her zaman sıfırdan küçüktür (b⋅c<0b \cdot c < 0).
Üç sayının toplamı sıfır ve çarpımı pozitif olduğundan, bu sayılardan ikisi negatif, biri pozitiftir. a<ba < b koşulundan dolayı aa pozitif olamaz (aksi takdirde bb de pozitif olurdu ve iki pozitif sayı bulunurdu, bu da çelişki yaratır). Dolayısıyla a<0a < 0 olmak zorundadır. Bu durumda geriye kalan bir negatif ve bir pozitif sayı bb ve cc sayılarıdır. Yani bb ve cc zıt işaretlidir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı her zaman negatif olduğundan, b⋅c<0b \cdot c < 0 ifadesi her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ve çarpım ifadelerini kullanarak sayıların işaret durumlarını analiz etmek.
Sayıların üçünün de aynı işaretli olamayacağı ve çarpımlarının pozitif olmas��ndan dolayı tam olarak iki tanesinin negatif, bir tanesinin ise pozitif olduğu sonucuna varılır.
Toplamları sıfır olan üç sayıdan hepsi aynı işaretli olamaz. Çarpımlar�� sıfırdan büyük (>0>0) olduğuna göre, ya üçü de pozitif olmalıdır ya da iki negatif bir pozitif olmalıdır. Üçü de pozitif olamayacağından, sayılardan ikisi negatif, biri pozitiftir.
2
a<ba < b eşitsizliğini kullanarak pozitif olan sayıyı belirlemeye çalışmak.
aa sayısının pozitif olamayacağı, dolayısıyla kesinlikle negatif (a<0a < 0) olduğu tespit edilir.
Eğer a>0a > 0 olsaydı, a<ba < b olduğundan b>0b > 0 olmak zorundaydı. Bu durumda iki pozitif sayı (aa ve bb) elde edilirdi. Ancak toplamları 0 ve çarpımları pozitif olan bu üç sayıdan yalnızca biri pozitif olabilir. Bu çelişkiden dolayı aa kesinlikle negatiftir (a<0a < 0).
3
aa sayısının negatif olduğu bilgisinden yararlanarak bb ve cc sayılarının işaret ilişkisini bulmak.
bb ve cc sayılarından birinin pozitif, diğerinin ise negatif olduğu (zıt işaretli oldukları) bulunur.
Toplamda iki negatif ve bir pozitif sayımız vardır. aa sayısının negatif olduğunu bulduğumuz için, geriye kalan bir negatif ve bir pozitif sayı bb ve cc arasından paylaşılacaktır. Dolayısıyla bb ve cc zıt işaretlidir.
4
bb ve cc sayılarının zıt işaretli olmasının sonucunu değerlendirmek.
b⋅c<0b \cdot c < 0 eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu görülür.
Zıt işaretli iki gerçel sayının çarpımı her zaman negatiftir, bu yüzden b⋅c<0b \cdot c < 0 ifadesi daima doğrudur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Analizi
Soru 25Soru →

aa ve bb pozitif tam sayılar, pp ise bir asal sayıdır.

a2−b2=pa^2 - b^2 = p

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b çarpımı bir çift sayıdır

Cevap

Ard��şık iki pozitif tam sayının çarpımı her zaman çift olduğundan, çarpımı belirten ifade her zaman bir çift sayıdır.
Verilen denklem iki kare farkı şeklinde yazıldığında (a−b)(a+b)=p(a - b)(a + b) = p elde edilir. pp asal sayı ve a,ba, b pozitif tam sayılar olduğundan, bu çarpanlardan küçük olanı a−b=1a - b = 1 ve büyük olanı a+b=pa + b = p olmalıdır. a−b=1a - b = 1 eşitliği aa ve bb sayılarının ardışık tam sayılar olduğunu gösterir. Ardışık iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Dolayısıyla, bu iki sayının çarpımı olan ifade her zaman çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki kare farkı ifadesini çarpanlarına ayırın.
(a−b)(a+b)=p(a - b)(a + b) = p elde edilir.
İki kare farkı özdeşliği (x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)) temel cebirsel çözümlemelerde çarpanları görmek için kullanılır.
2
pp sayısının asal sayı olma özelliğini kullanarak çarpanları belirleyin.
aa ve bb pozitif tam sayılar olduğu için a+b>a−ba + b > a - b olur. pp asal olduğundan çarpanları sadece 1 ve kendisidir. Bu durumda a−b=1a - b = 1 ve a+b=pa + b = p olmalıdır.
Asal sayıların pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve kendisidir.
3
a−b=1a - b = 1 eşitliğinden aa ve bb arasındaki ilişkiyi analiz edin.
a=b+1a = b + 1 olup, aa ve bb ardışık pozitif tam sayılardır. Ardışık iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Dolayısıyla, biri çift sayı olduğundan çarpımları a⋅ba \cdot b her zaman çift sayıdır.
Ardışık tam sayıların çarpımı her zaman bir çift sayı belirtir.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği, asal sayıların çarpan özellikleri ve ardışık sayıların teklik-çiftlik durumlarının analizi.
Soru 26Soru →
xx, yy ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,
x⋅y+z=100x \cdot y + z = 100
x+y⋅z=80x + y \cdot z = 80
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 62

Cevap

Denklem sistemini sağlayan pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 62'dir.
Denklemler taraf tarafa çıkarılıp ortak paranteze alındığında (y−1)(x−z)=20(y-1)(x-z)=20, taraf tarafa toplandığında ise (x+z)(y+1)=180(x+z)(y+1)=180 denklemleri elde edilir. x,y,zx, y, z pozitif tam sayı şartını sağlayan ve x,zx, z değerlerini tam sayı yapan tek bölen çifti y−1=1y-1=1 (y=2y=2) durumudur. Buradan x=40x=40, z=20z=20 bulunur ve toplamları 62 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkaralım.
(x⋅y+z)−(x+y⋅z)=100−80  ⟹  x⋅y−y⋅z+z−x=20(x \cdot y + z) - (x + y \cdot z) = 100 - 80 \implies x \cdot y - y \cdot z + z - x = 20 elde edilir.
Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi sadeleştirip çarpanlarına ayırabilmek için taraf tarafa çıkarma işlemi yapılır.
2
Elde edilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak gruplandıralım.
y(x−z)−(x−z)=20  ⟹  (y−1)(x−z)=20y(x - z) - (x - z) = 20 \implies (y - 1)(x - z) = 20 bulunur.
Çarpımın sonucunun 20 olmasını kullanarak tam sayı bölen analizi yapabilmek için ifade çarpanlarına ayrılır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ikinci bir cebirsel ilişki kuralım.
(x⋅y+z)+(x+y⋅z)=100+80  ⟹  x(y+1)+z(y+1)=180  ⟹  (x+z)(y+1)=180(x \cdot y + z) + (x + y \cdot z) = 100 + 80 \implies x(y + 1) + z(y + 1) = 180 \implies (x + z)(y + 1) = 180 elde edilir.
Değişkenlerin tekil değerlerini belirleyebilmek amacıyla ikinci bir bağıntı kurulur.
4
x,y,zx, y, z pozitif tam sayılar olduğundan y≥1  ⟹  y−1≥0y \ge 1 \implies y - 1 \ge 0 olmalıdır. Çarpım 20 olduğuna göre y−1y - 1 değeri 20'nin pozitif bir böleni olmalıdır. Her bir bölen durumu için parite (teklik-çiftlik) kontrolü yapalım.
y−1=1  ⟹  y=2y - 1 = 1 \implies y = 2 için x−z=20x - z = 20 olur. Bu durumda y+1=3y + 1 = 3 olacağından ikinci denklemden x+z=180/3=60x + z = 180 / 3 = 60 elde edilir. Buradan x=40x = 40 ve z=20z = 20 bulunur. Diğer bölen durumlarında xx ve zz tam sayı çıkmamaktadır.
xx ve zz değerlerinin tam sayı olabilmesi için x−zx - z ve x+zx + z ifadelerinin aynı paritede (her ikisi de çift veya her ikisi de tek) olması zorunluluğu incelenir.
5
Bulunan tek geçerli çözüm kümesindeki değerleri toplayalım.
x+y+z=40+2+20=62x + y + z = 40 + 2 + 20 = 62 sonucuna ulaşılır.
Soruda bizden istenen toplam değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve tam sayıların bölen analizi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 27Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+ca \cdot b + c
ifadesi çift sayı,
a+ba + b
ifadesi tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift bir sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b+a⋅ca \cdot b + a \cdot c

Cevap

a⋅b+a⋅ca \cdot b + a \cdot c ifadesi her zaman çift bir sayıdır.
a⋅b+a⋅ca \cdot b + a \cdot c ifadesi a(b+c)a(b + c) olarak yazılabilir. aa ve bb sayılarından biri tek diğeri çift olduğundan, aa tek olduğunda bb çift olmalıdır. cc de çift olduğu için b+cb + c toplamı çift olur ve çarpım çift çıkar. aa çift olduğunda ise çarpım zaten çift çıkar. Dolayısıyla bu ifade her durumda çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a+ba + b ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak aa ve bb sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
aa ve bb sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu durumda a⋅ba \cdot b çarpımı kesinlikle çift sayıdır.
Biri tek diğeri çift olan iki tam sayının toplamı tek, çarpımı ise çifttir.
2
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin çift sayı olmasını kullanarak cc sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
a⋅ba \cdot b çift olduğundan, toplamın çift olabilmesi için cc sayısının çift sayı olması gerekir.
Çift bir sayı ile ancak çift bir sayı toplandığında sonuç çift sayı olur.
3
Seçenekleri analiz ederek her zaman çift olan ifadeyi tespit edin.
a⋅b+a⋅c=a(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) ifadesinde, aa çift ise sonuç çifttir; aa tek ise bb çift olur, cc çift olduğundan b+cb + c çift olur ve sonuç yine çift olur.
Her iki olası durumda da ifadenin çarpanlarından en az biri çift sayı olmaktadır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik kuralları ile ortak çarpan parantezine alma
Soru 28Soru →
Birbirinden farklı aa, bb ve cc asal sayıları için
a⋅b+b⋅c=75a \cdot b + b \cdot c = 75
a⋅c−b=43a \cdot c - b = 43
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Toplamın doğru değeri 28 olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, ilk denklem ortak çarpan parantezine alınarak b(a+c)=75b(a+c) = 75 elde edildikten sonra bb asal sayısının 33 olması durumunda a+c=25a+c=25 toplamından teklik-çiftlik kuralı gereği çift olan tek asal sayı 22 kullanılarak a=2a=2 ve c=23c=23 olarak bulunur. Bu değerlerin ikinci denklemde de 2⋅23−3=432 \cdot 23 - 3 = 43 eşitliğini sağladığı doğrulanır. Dolayısıyla toplam 2+3+23=282+3+23 = 28 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi ortak çarpan parantezine alma
b(a+c)=75b(a+c) = 75 elde edilir.
Değişkenlerin çarpım durumundaki ortak çarpanlarını belirleyerek çarpanlara ayırma yöntemiyle olası değerleri sınırlandırmak.
2
Asal sayı çarpanlarını analiz etme
bb asal sayısı 7575 sayısının bir asal böleni olmalıdır. 75=3⋅5275 = 3 \cdot 5^2 olduğundan bb değeri 33 veya 55 olabilir.
Asal sayı tanımını kullanarak denklemi sa��layan bb değişkeni için olası durumları belirlemek.
3
Olası durumları deneme ve teklik-çiftlik kuralını uygulama
b=5b=5 için a+c=15a+c=15 olur. Toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri 22 olmalıdır. Bu durumda {a,c}={2,13}\{a, c\} = \{2, 13\} olur. Ancak ikinci denklemde yerine yazıldığında 2⋅13−5=21≠432 \cdot 13 - 5 = 21 \neq 43 olduğundan bu durum elenir.
Teklik-çiftlik kurallarını ve 22 dışındaki tüm asal sayıların tek sayı olması bilgisini kullanarak olası değerleri doğrulamak.
4
Diğer olası durumu kontrol etme ve çözüme ulaşma
b=3b=3 için a+c=25a+c=25 olur. Toplamın tek sayı olması nedeniyle sayılardan biri 22 olmalıdır. Buradan a=2a=2 ve c=23c=23 bulunur. İkinci denklemde denendiğinde 2⋅23−3=432 \cdot 23 - 3 = 43 eşitliği sağlanır.
Kalan olası durumu analiz ederek hem birinci hem de ikinci denklemi aynı anda sağlayan doğru asal sayıları tespit etmek.
5
Bulunan değerlerin toplamını hesaplama
a+b+c=2+3+23=28a+b+c = 2+3+23 = 28 elde edilir.
Soruda bizden istenen toplam ifadesinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Asal sayılar, teklik-çiftlik kuralları ve denklem çözme mantığı.
Soru 29Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için
a2+a+b=ca^2 + a + b = c
eşitliği sağlanmaktadır.

cc bir tek sayı olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b+cb + c

Cevap

b+cb + c ifadesi
a2+a=a(a+1)a^2 + a = a(a+1) ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımı olduğu için her zaman çift bir sayıdır. Çift bir sayı ile bb tam sayısının toplamı tek bir sayı olan cc'ye eşit olduğuna göre bb sayısı mutlaka tek sayıdır. Hem bb hem de cc tek sayı olduğuna göre, iki tek sayının toplamı olan b+cb + c ifadesinin sonucu her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a2+aa^2 + a ifadesinin tekliğini veya çiftliğini inceleyelim.
a2+aa^2 + a ifadesi her zaman çift sayıdır.
a2+a=a(a+1)a^2 + a = a(a + 1) şeklinde yazılabilir. Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayıya eşittir.
2
bb sayısının tek veya çift olduğunu belirleyelim.
bb sayısı tek sayıdır.
a2+aa^2 + a çift sayıdır. Eşitliğin sağ tarafındaki cc sayısı da tek sayı olduğundan, çift + bb = tek eşitliğini sağlayan bb sayısı tek sayı olmak zorundadır.
3
b+cb + c ifadesinin değerini kontrol edelim.
b+cb + c toplamı çift sayıdır.
bb tek ve cc tek sayı olduğundan, iki tek sayının toplamı olan b+cb + c ifadesi her zaman çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

Alternatif Yöntem

aa sayısı için hem tek hem de çift değerler seçilerek (örneğin a=1a = 1 ve a=2a = 2 için) deneme yapılabilir. Her iki durumda da bb ve cc sayılarının tek çıkacağı görülür, ardından seçenekler elenebilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 30Soru →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayıları için
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c<0a \cdot c < 0
b−c>0b - c > 0

eşitsizlikleri sağlandığına göre; a,ba, b ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −,+,+-, +, +

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif, pozitif olan −,+,+-, +, + durumudur.
Verilen birinci eşitsizlikte b2b^2 ifadesi pozitif olduğundan a3<0a^3 < 0 ve dolayısıyla aa negatiftir. İkinci eşitsizlikte aa negatif olduğundan çarpımın negatif kalabilmesi için cc pozitif olmalıdır. Üçüncü eşitsizlikte b>cb > c elde edilir ve pozitif bir sayıdan büyük olan bb sayısı da pozitif olur. Bu durum bizi sırasıyla negatif, pozitif, pozitif işaret dizilimine götürür.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinden yararlanarak aa'nın işaretini belirlemek.
a<0a < 0 (negatif) olduğu bulunur.
Sıfırdan farklı her gerçel sayının çift kuvveti pozitif olduğundan b2>0b^2 > 0'dır. Çarpımın negatif olması için a3<0a^3 < 0 olmalıdır. Tek kuvveti negatif olan sayıların kendisi de negatif olduğundan a<0a < 0 olur.
2
a⋅c<0a \cdot c < 0 eşitsizliğini kullanarak cc'nin işaretini bulmak.
c>0c > 0 (pozitif) olduğu bulunur.
aa'nın negatif olduğu birinci adımda bulunmuştu. Çarpımın negatif olması için zıt işaretli olmaları gerekir, dolayısıyla cc pozitif olmalıdır.
3
b−c>0b - c > 0 eşitsizliğini kullanarak bb'nin işaretini bulmak.
b>0b > 0 (pozitif) olduğu bulunur.
b−c>0  ⟹  b>cb - c > 0 \implies b > c elde edilir. İkinci adımda cc'nin pozitif olduğunu bulmuştuk. Pozitif bir sayıdan daha büyük olan her gerçel sayı da pozitif olmak zorunda olduğundan bb kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı kuvvetlerinin işaret özellikleri ve temel eşitsizlik kuralları.
Soru 31Soru →

xx, yy ve zz birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

xx bir asal sayı olmak üzere,
x⋅y+z=23x \cdot y + z = 23
x+y⋅z=37x + y \cdot z = 37
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru cevap 22'dir.
Denklemler taraf tarafa çıkarılıp düzenlendiğinde (y−1)(z−x)=14(y - 1)(z - x) = 14 bağıntısına ulaşılır. Değişkenlerin pozitif tam sayı ve xx'in asal sayı olması koşulunu sağlayan tek değer grubu x=3x=3, y=2y=2 ve z=17z=17 olup bu sayıların toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi yazıp taraf tarafa çıkaralım.
(x+y⋅z)−(x⋅y+z)=37−23  ⟹  y⋅z−x⋅y+x−z=14(x + y \cdot z) - (x \cdot y + z) = 37 - 23 \implies y \cdot z - x \cdot y + x - z = 14 elde edilir.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi sadeleştirmek amacıyla iki denklem birbirinden çıkarılır.
2
Elde edilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim.
y(z−x)−(z−x)=14  ⟹  (y−1)(z−x)=14y(z - x) - (z - x) = 14 \implies (y - 1)(z - x) = 14 elde edilir.
İfadeyi tam sayı bölenleri üzerinden inceleyebilmek için çarpanlarına ayırırız.
3
Değişkenlerin pozitif tam sayı olma şartını göz önüne alarak çarpanları inceleyelim.
y≥1  ⟹  y−1≥0y \ge 1 \implies y - 1 \ge 0 olur. Çarpım 14 olduğundan y−1y - 1 sıfır olamaz. Dolayısıyla y−1>0y - 1 > 0 ve z−x>0z - x > 0 olmalıdır. 14'ün pozitif bölen çiftleri (1,14)(1, 14), (2,7)(2, 7), (7,2)(7, 2) ve (14,1)(14, 1) olarak belirlenir.
Tanım kümesine uygun olası durumları kısıtlamak için bölen analizi yapılır.
4
Olası durumları denklemlerde yerine koyarak xx'in asal sayı olma şartını kontrol edelim.
1. Durum: y−1=1  ⟹  y=2y - 1 = 1 \implies y = 2 ve z−x=14  ⟹  z=x+14z - x = 14 \implies z = x + 14 olur. İlk denklemde yerine yazıldığında: 2x+(x+14)=23  ⟹  3x=9  ⟹  x=32x + (x + 14) = 23 \implies 3x = 9 \implies x = 3 bulunur. Buradan z=17z = 17 elde edilir. (3,2,17)(3, 2, 17) üçlüsünde x=3x = 3 asal sayı olduğundan bu durum şartları sağlar. 2. Durum: y−1=2  ⟹  y=3y - 1 = 2 \implies y = 3 ve z−x=7  ⟹  z=x+7z - x = 7 \implies z = x + 7 olur. İlk denklemde yerine yazıldığında: 3x+(x+7)=23  ⟹  4x=16  ⟹  x=43x + (x + 7) = 23 \implies 4x = 16 \implies x = 4 bulunur. Ancak x=4x = 4 asal sayı olmadığından bu durum elenir. Diğer bölen çiftleri tam sayı çözümü vermez.
Asal sayı koşulunu sağlayan tekil çözümü belirlemek için her olası durum değerlendirilir.
5
Bulunan uygun değerlerin toplamını hesaplayalım.
x+y+z=3+2+17=22x + y + z = 3 + 2 + 17 = 22 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar, Tam Sayı Denklemleri ve Asal Sayılar
Soru 32Soru →

aa ve bb pozitif tam sayılar, pp ise 22'den büyük bir asal sayıdır.

a2−b2=p2a^2 - b^2 = p^2

olduğuna göre, aa sayısının pp türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: p2+12\frac{p^2 + 1}{2}

Cevap

p2+12\frac{p^2 + 1}{2} ifadesi aa sayısının pp türünden eşiti olan doğrudur.
Verilen a2−b2=p2a^2 - b^2 = p^2 denkleminde sol taraf iki kare farkı olarak (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) biçiminde yazılır. pp sayısı 22'den büyük bir asal sayı olduğu için p2p^2 ifadesinin pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 11, pp ve p2p^2'dir. aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan a+b>a−ba+b > a-b eşitsizliği geçerlidir. Bu durumda tek olasılık a−b=1a-b = 1 ve a+b=p2a+b = p^2 olmasıdır. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplandığında 2a=p2+12a = p^2 + 1 elde edilir. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde a=p2+12a = \frac{p^2 + 1}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliği kullanılarak denklem çarpanlarına ayrılır.
(a−b)(a+b)=p2(a - b)(a + b) = p^2 elde edilir.
Verilen cebirsel ifadeyi analiz etmek ve asal sayı özelliklerini uygulayabilmek için.
2
pp asal sayı olduğundan, p2p^2'nin pozitif tam sayı bölenleri belirlenir ve pozitif tam sayı koşullarına göre çarpanlar eşleştirilir.
p2p^2 sayısının pozitif bölenleri 11, pp ve p2p^2'dir. aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan a+b>a−ba+b > a-b olmalıdır. Bu nedenle a−b=1a - b = 1 ve a+b=p2a + b = p^2 olarak bulunur.
Asal sayı tanımını ve pozitif tam sayı sınırlamalarını kullanarak denklem sistemini kurmak için.
3
Elde edilen denklem sistemi taraf tarafa toplanarak aa değişkeni yalnız bırakılır.
(a−b)+(a+b)=1+p2  ⟹  2a=p2+1  ⟹  a=p2+12(a - b) + (a + b) = 1 + p^2 \implies 2a = p^2 + 1 \implies a = \frac{p^2 + 1}{2} bulunur.
aa değerini pp cinsinden elde etmek için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği ve asal sayı bölenleri analizi ile denklem sistemi çözümü.
Soru 33Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a⋅(b+2)=c2+3c+5a \cdot (b + 2) = c^2 + 3c + 5
eşitliği veriliyor.

Buna göre,
I. a+ba + b
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen eşitlikte sağ taraf, yani c2+3c+5=c(c+3)+5c^2 + 3c + 5 = c(c+3) + 5 ifadesi, ardışık sayıların çarpımı kuralı gereği c(c+3)c(c+3) çift olduğundan daima tektir. Eşitliğin sol tarafındaki a⋅(b+2)a \cdot (b+2) çarpımının tek olması için hem aa hem de b+2b+2 tek olmalıdır. Buradan aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu anlaşılır; ancak cc sayısı tek veya çift olabilir. Bu durumda, iki tek sayının toplamı olan a+ba + b ifadesi daima çift olur (I. öncül). bb tek ve cc pozitif tam sayı olduğundan bcb^c daima tek, aa da tek olduğundan bc+ab^c + a toplamı da daima çift olur (III. öncül). Dolayısıyla, I ve III ifadeleri her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
c2+3c+5c^2 + 3c + 5 ifadesinin tekliğini veya çiftliğini analiz etmek.
c2+3c+5=c(c+3)+5c^2 + 3c + 5 = c(c+3) + 5 olarak yazılır. Ardışık iki tam sayının veya aralarında 3 fark olan iki tam sayının çarpımı (cc ve c+3c+3 sayılarından biri çift, diğeri tek olacağından) her zaman çifttir. Çift bir sayı olan c(c+3)c(c+3) ile tek bir sayı olan 5'in toplamı ise daima tektir. Dolayısıyla eşitliğin sağ tarafı her zaman tektir.
Eşitliğin sağ taraf��nın kesinlikle tek sayı olduğunu belirleyerek sol taraf hakkında çıkarımda bulunmak.
2
a⋅(b+2)a \cdot (b + 2) ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak aa ve bb hakkında çıkarım yapmak.
Çarpımın sonucunun tek sayı olması için çarpanların her birinin tek sayı olması gerekir. Buradan aa tek ve b+2b + 2 tek bulunur. b+2b + 2 tek ise bb de tektir. cc sayısının tekliği veya çiftliği hakkında ise kesin bir bilgiye ulaşılamaz.
aa ve bb değişkenlerinin tek sayı olduğunu saptamak.
3
Verilen öncülleri elde edilen bilgilere göre değerlendirmek.
I. a+ba + b ifadesi iki tek sayının toplamı (tek+tektek + tek) olduğundan daima çifttir. II. a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde cc çift ise sonuç tek (tek⋅c\cift+tek=tektek \cdot çift + tek = tek), cc tek ise sonuç çift (tek⋅tek+tek=c\cifttek \cdot tek + tek = çift) olur; dolayısıyla her zaman çift değildir. III. cc pozitif bir tam sayı ve bb tek sayı olduğundan bcb^c daima tektir. Tek sayı olan aa ile toplandığında bc+ab^c + a ifadesi daima çifttir.
Hangi öncüllerin her zaman çift sayı belirttiğini bulmak.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri
Soru 34Soru →

xx, yy ve zz birer tam sayıdır.

x⋅y+zx \cdot y + z
y⋅(x+z)y \cdot (x + z)

ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift tam sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y2+z2+1y^2 + z^2 + 1

Cevap

y2+z2+1y^2 + z^2 + 1 ifadesi her zaman bir çift tam sayıdır.
yy çift ve zz tek tam sayılar olduğundan, y2y^2 çift ve z2z^2 tek tam sayı olur. Buna göre y2+z2+1y^2 + z^2 + 1 ifadesi c¸ift+tek+tek=c¸ift\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} tam sayı sonucunu verir ve her zaman çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek için bir durum analizi başlatalım.
x⋅y+zx \cdot y + z ve y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadelerinden biri tek, diğeri çifttir.
Hangi ifadenin tek, hangisinin çift olduğunu belirlemek ve x,y,zx, y, z sayılarının teklik-çiftlik karakterlerini çözmek amacıyla varsayımlar yapılır.
2
yy sayısının tek sayı olduğu varsayımını inceleyelim.
Eğer yy tek sayı olsaydı, y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadesinin çift olabilmesi için x+zx + z toplamının çift olması gerekirdi. Bu durumda xx ve zz aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olurdu. Eğer xx ve zz çift ise x⋅y+z=c¸ift⋅tek+c¸ift=c¸iftx \cdot y + z = \text{çift} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} olur. Eğer xx ve zz tek ise x⋅y+z=tek⋅tek+tek=c¸iftx \cdot y + z = \text{tek} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olur. Her iki durumda da x⋅y+zx \cdot y + z çift çıkmaktadır. Ancak bu durum, ifadelerden birinin tek sayı olması şartıyla çelişir.
Varsayımın doğruluğunu denetlemek ve çelişkiyi göstererek yy sayısının paritesini kesinleştirmek için.
3
yy sayısının çift sayı olduğu durumu analiz edelim.
Eğer yy çift sayı ise y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadesi kesinlikle çift sayı olur. Bu durumda diğer ifade olan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin tek sayı olması zorunludur. yy çift olduğundan x⋅yx \cdot y çarpımı çift olur. Dolayısıyla x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin tek sayı olması için zz sayısının tek sayı olması gerekir. xx sayısı ise tek veya çift olabilir, bu konuda kesin bir çıkarım yapılamaz.
yy sayısının çift ve zz sayısının tek sayı olduğunu kesin olarak belirlemek için.
4
Elde edilen yy çift, zz tek ve xx belirsiz durumunu seçeneklerde yerine koyalım.
y2+z2+1y^2 + z^2 + 1 ifadesinde yy çift olduğu için y2y^2 çift tam sayıdır. zz tek olduğu için z2z^2 tek tam sayıdır. Bu durumda y2+z2+1=c¸ift+tek+1=c¸ifty^2 + z^2 + 1 = \text{çift} + \text{tek} + 1 = \text{çift} olur. yy ve zz tam sayı olduğundan karesel ifadeler de tam sayıdır ve sonuç her zaman çift bir tam sayıdır.
Seçenekleri analiz ederek her zaman çift tam sayı sonucunu veren doğru ifadeyi belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik kuralları ile negatif üs durumlarının incelenmesi.
Soru 35Soru →

pp, qq ve rr birbirinden farklı asal sayılardır.

p+q⋅r=31p + q \cdot r = 31

olduğuna göre, p+q+rp + q + r toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Eşitliği sağlayan birbirinden farklı asal sayılar p=5p=5, q=2q=2 ve r=13r=13 olup, toplamları 20 değerine eşittir.
Doğru cevap 20 değeridir. p>2p > 2 tek asal sayısı için q⋅rq \cdot r çarpımının çift sayı olması gerektiğinden, çarpanlardan biri çift asal sayı olan 2'dir. q=2q=2 seçildiğinde p+2r=31p + 2r = 31 eşitliğini sağlayan birbirinden farklı asal sayılar p=5p=5 ve r=13r=13 olarak bulunur. Bu durumda p+q+r=5+2+13=20p+q+r = 5+2+13 = 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
p+q⋅r=31p + q \cdot r = 31 denkleminde eşitliğin sağ tarafı (31) tek sayıdır.
Toplama işleminde sonucun tek olması için terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
p=2p = 2 (çift asal sayı) durumunu incelemek.
p=2p=2 ise 2+q⋅r=31  ⟹  q⋅r=292 + q \cdot r = 31 \implies q \cdot r = 29 olur. 29 bir asal sayı olduğundan çarpanları sadece 1 ve 29'dur.
Ancak 1 asal sayı olmadığından, qq ve rr asal sayı şartını sağlayamaz. Dolayısıyla p=2p=2 olamaz.
3
p>2p > 2 (tek asal sayı) durumunu incelemek.
pp tek sayı olduğundan, q⋅rq \cdot r çarpımı çift sayı olmalıdır (Tek+C\cift=TekTek + Çift = Tek). qq ve rr asal sayı olduğundan, çarpımın çift olması için içlerinden en az birinin çift asal sayı olan 2 olması gerekir. Kolaylık için q=2q=2 olsun.
Çift olan tek asal sayı 2'dir. Bu kuralı kullanarak değişkenlerden birini kesinleştiririz.
4
p+2r=31p + 2r = 31 denklemini sağlayan birbirinden farklı asal sayıları bulmak.
rr yerine asal sayılar yazılarak p=31−2rp = 31 - 2r ifadesinin asal olma durumu incelenir:
- r=3r=3 için p=25p = 25 (asal değil)
- r=5r=5 için p=21p = 21 (asal değil)
- r=7r=7 için p=17p = 17 (asal). Sayılar {2,7,17}\{2, 7, 17\} olur. Toplam: 2+7+17=262+7+17 = 26
- r=11r=11 için p=9p = 9 (asal değil)
- r=13r=13 için p=5p = 5 (asal). Sayılar {2,5,13}\{2, 5, 13\} olur. Toplam: 2+5+13=202+5+13 = 20
- r≥17r \ge 17 için pp negatif olur.
Tüm ihtimalleri inceleyerek koşulları sağlayan asal sayı üçlülerini belirleriz.

Anahtar Kavram

Asal Sayılar ve Parite (Tek-Çift Sayı) İlişkisi

İpuçları

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 31 sayısı bir tek sayıdır. İki sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerektiğini unutmayın.
2
Çift olan tek asal sayı 2'dir. Bu bilgiyi kullanarak değişkenlerden hangilerinin çift sayı olması gerektiğini belirleyin.
3
qq ve rr sayılarından biri 2 olmalıdır. q=2q=2 kabul edip denklemi p+2r=31p + 2r = 31 haline getirerek rr asal sayısına değerler verin ve pp'nin asal çıkıp çıkmadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer parite sorularında asal sayıların teklik-çiftlik kuralları sıklıkla test edilir. Özellikle 2 sayısının tek çift asal sayı olduğunu hatırlamak sorularda kritik ipucudur.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, denklemi 2r=31−p2r = 31 - p şeklinde düzenleyebilirsiniz. pp ve rr farklı asal sayılar olacağından, 31'den tek asal sayıları çıkararak elde edilen sonuçların 2'ye bölünüp bölünmediğine ve bölümün asal bir sayı olup olmadığına bakarak da çözüme hızlıca gidebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a+bc=13a + \frac{b}{c} = 13
b+ac=17b + \frac{a}{c} = 17
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

İki farklı durumdan elde edilen toplamlar��n değeri olan 52'dir.
Verilen denklem sisteminden a−ba-b farkı çekildiğinde, cc değerinin pozitif tam sayı olabilmesi için sadece iki geçerli durum (c=2c=2 ve c=5c=5) olduğu görülür. Bu durumlardan elde edilen a+b+ca+b+c toplamları sırasıyla 22 ve 30 olup, bunların toplamı 52 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak terimleri gruplandırın.
a−b+b−ac=−4⇒(a−b)(1−1c)=−4⇒(a−b)(c−1)=−4ca - b + \frac{b - a}{c} = -4 \Rightarrow (a - b)\left(1 - \frac{1}{c}\right) = -4 \Rightarrow (a - b)(c - 1) = -4c elde edilir.
Değişkenler arasındaki farkı ve bölme ilişkisini tek bir denklemde birleştirmek için.
2
a−b=ka - b = k diyerek cc değişkenini kk cinsinden ifade edin.
k(c−1)=−4c⇒c(k+4)=k⇒c=kk+4k(c - 1) = -4c \Rightarrow c(k + 4) = k \Rightarrow c = \frac{k}{k + 4} elde edilir. Burada cc pozitif tam sayı olduğundan k<−4k < -4 olmalıdır. Buradan c=1−4k+4c = 1 - \frac{4}{k + 4} şeklinde yazılabilir.
cc ifadesinin tam sayı olma koşullarını belirlemek için parçalama yöntemi uygulamak gerekir.
3
cc ifadesinin pozitif tam sayı olabilmesi için k+4k + 4 ifadesinin 4'ün negatif bölenleri olmasını inceleyin.
k+4k + 4 ifadesi −1,−2-1, -2 veya −4-4 olabilir. Bu durumlarda sırasıyla c=5c = 5, c=3c = 3 ve c=2c = 2 değerleri bulunur.
Bölen analizini tamamlayıp olası tüm cc değerlerini tespit etmek için.
4
Bulunan cc değerlerini ana denklemlerde yerine yazarak aa ve bb değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol edin.
c=2c = 2 için a=6,b=14a = 6, b = 14 (uygun); c=5c = 5 için a=10,b=15a = 10, b = 15 (uygun); c=3c = 3 için a=8,25a = 8,25 (tam sayı değil, uygun değil).
Tanım kümesi olan pozitif tam sayılar koşulunun sağlanıp sağlanmadığını doğrulamak için.
5
Uygun olan durumlardan elde edilen a+b+ca + b + c değerlerini bulup toplayın.
c=2c = 2 için 6+14+2=226 + 14 + 2 = 22 ve c=5c = 5 için 10+15+5=3010 + 15 + 5 = 30 olur. Toplamları 22+30=5222 + 30 = 52 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadeler içeren denklem sistemlerinde değer analizi ve tam sayı kısıtlamaları.

İpuçları

1
İki denklemi taraf tarafa çıkararak a−ba-b ortak parantezine almayı deneyin.
2
(a−b)(c−1)=−4c(a-b)(c-1) = -4c eşitliğini elde ettikten sonra cc ifadesini yalnız bırakın ve tam sayı bölen analizi yapın.
3
cc için bulduğunuz her değerin (2,3,52, 3, 5) aa ve bb sayılarını pozitif tam sayı yapıp yapmadığını tek tek kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çalışan fakat çarpım durumunda verilen temel kavramlar sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemleri cc paydasıyla genişleterek ac+b=13cac + b = 13c ve bc+a=17cbc + a = 17c yazdıktan sonra, taraf tarafa toplama ve çıkarma işlemleriyle a+ba+b ve a−ba-b ifadelerini cc cinsinden bulup tam bölünebilme kurallarına göre inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 37Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayıları için
a⋅(b+c)=45a \cdot (b + c) = 45
b⋅(a+c)=33b \cdot (a + c) = 33

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen denklemlerden yola çıkılarak elde edilen pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 14'tür.
Denklemler taraf tarafa çıkarıldığında elde edilen (a−b)⋅c=12(a - b) \cdot c = 12 eşitliği ve b⋅(a+c)=33b \cdot (a + c) = 33 eşitliği kullanılarak cc değişkeninin alabileceği tam sayı değerleri elenir. Sağlayan değerler (9,3,2)(9, 3, 2) ve (5,3,6)(5, 3, 6) olup her iki durumda da a+b+ca + b + c toplamı 14 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemleri açarak taraf tarafa çıkarma işlemi yapın.
a⋅b+a⋅c=45a \cdot b + a \cdot c = 45
b⋅a+b⋅c=33b \cdot a + b \cdot c = 33
İlk denklemden ikinci denklem çıkarıldığında:
a⋅c−b⋅c=12a \cdot c - b \cdot c = 12
(a−b)⋅c=12(a - b) \cdot c = 12 elde edilir.
Değişkenler arasındaki farkı ve ortak çarpanı belirlemek için.
2
cc değerinin 12'nin pozitif tam sayı bölenlerinden biri olması gerektiğini belirleyin.
cc sayısı 1,2,3,4,61, 2, 3, 4, 6 veya 1212 olabilir. Ayrıca aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan ve a⋅(b+c)>b⋅(a+c)a \cdot (b+c) > b \cdot (a+c) olduğundan a>ba > b, yani a−ba - b pozitif bir tam sayıdır.
Pozitif tam sayı sınırlandırmalarını kullanarak olası değerleri daraltmak için.
3
cc değerlerini ikinci denklemde yerine yazarak kontrol edin.
İkinci denklem: b⋅(a+c)=33b \cdot (a + c) = 33
a=b+12ca = b + \frac{12}{c} yazıp yerine koyarsak:
b⋅(b+12c+c)=33b \cdot \left(b + \frac{12}{c} + c\right) = 33
- c=2c = 2 için: b⋅(b+6+2)=33⇒b⋅(b+8)=33⇒b=3b \cdot (b + 6 + 2) = 33 \Rightarrow b \cdot (b + 8) = 33 \Rightarrow b = 3 (çünkü 3⋅11=333 \cdot 11 = 33). Buradan a=3+6=9a = 3 + 6 = 9 bulunur. Değerler: (a,b,c)=(9,3,2)(a,b,c) = (9,3,2).
- c=6c = 6 için: b⋅(b+2+6)=33⇒b⋅(b+8)=33⇒b=3b \cdot (b + 2 + 6) = 33 \Rightarrow b \cdot (b + 8) = 33 \Rightarrow b = 3. Buradan a=3+2=5a = 3 + 2 = 5 bulunur. Değerler: (a,b,c)=(5,3,6)(a,b,c) = (5,3,6).
Diğer bölenler için bb pozitif tam sayı çıkmaz.
Denklemleri sağlayan uygun pozitif tam sayı üçlülerini bulmak için.
4
Bulunan değerler için a+b+ca + b + c toplamını hesaplayın.
İlk durum için: 9+3+2=149 + 3 + 2 = 14
İkinci durum için: 5+3+6=145 + 3 + 6 = 14
Her iki durumda da toplam 14 olarak bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli veya üç bilinmeyenli denklemlerde değer verme ve tam sayı bölen analizi.

İpuçları

1
İki denklemde de ortak olan çarpımları sadeleştirmek için denklemleri taraf tarafa çıkarmayı deneyin.
2
Denklemleri taraf tarafa çıkardığınızda c⋅(a−b)=12c \cdot (a - b) = 12 elde edersiniz. Burada cc sayısının 12'nin pozitif bir böleni olması gerektiğini kullanın.
3
c=2c = 2 ve c=6c = 6 değerlerini ikinci denklemde yerine yazarak bb ve aa tam sayılarını bulmaya çalışın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde çarpım durumundaki ifadelerin asal çarpanlarını analiz etmeye yönelik diğer temel kavram sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemleri taraf tarafa oranlayarak da çözüme gitmek mümkündür: a(b+c)b(a+c)=4533=1511\frac{a(b+c)}{b(a+c)} = \frac{45}{33} = \frac{15}{11}. Buradan içler dışlar çarpımı yapılarak 11ab+11ac=15ab+15bc⇒11ac−15bc=4ab11ab + 11ac = 15ab + 15bc \Rightarrow 11ac - 15bc = 4ab elde edilir. Ancak taraf tarafa çıkarma yöntemi tam sayı bölenlerini doğrudan verdiği için çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 38Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a+3b−2c=27a + 3b - 2c = 27
2a−b+c=152a - b + c = 15
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük de��er kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Toplamın alabileceği en küçük değer 19'dur.
Verilen denklem sisteminde ikinci denklem 2 ile çarpılıp ilk denklemle toplandığında 5a+b=575a + b = 57 elde edilir. Buradan b=57−5ab = 57 - 5a yazılabilir. Bu ifade ikinci denklemde yerine yazıldığında c=72−7ac = 72 - 7a bulunur. aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, 57−5a≥1  ⟹  a≤1157 - 5a \geq 1 \implies a \leq 11 ve 72−7a≥1  ⟹  a≤1072 - 7a \geq 1 \implies a \leq 10 koşulları sağlanmalıdır. Dolayısıyla aa en fazla 10 olabilir. a+b+ca + b + c toplamı 129−11a129 - 11a ifadesine eşit olduğundan, toplamın en küçük değeri a=10a = 10 için 129−110=19129 - 110 = 19 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi 2 ile genişletip birinci denklemle taraf tarafa toplayalım.
5a+b=575a + b = 57 elde edilir.
cc değişkenini yok ederek aa ile bb arasında bir bağıntı kurmak.
2
Elde edilen bağıntıdan bb değişkenini çekelim ve ikinci denklemde yerine yazarak cc değişkenini aa cinsinden ifade edelim.
b=57−5ab = 57 - 5a ve c=72−7ac = 72 - 7a bulunur.
Tüm değişkenleri tek bir değişken (aa) türünden yazarak sınır koşullarını belirlemek.
3
aa, bb ve cc değişkenlerinin pozitif tam sayı olma koşullarını inceleyelim.
a≥1a \geq 1, 57−5a≥1  ⟹  a≤1157 - 5a \geq 1 \implies a \leq 11 ve 72−7a≥1  ⟹  a≤1072 - 7a \geq 1 \implies a \leq 10 olur. Buradan ortak çözüm kümesi 1≤a≤101 \leq a \leq 10 olarak bulunur.
Pozitif tam sayı kısıtlamalarını sağlayan geçerli aa aralığını bulmak.
4
a+b+ca + b + c toplamını aa değişkeni cinsinden yazıp en küçük değerini bulalım.
a+b+c=a+(57−5a)+(72−7a)=129−11aa + b + c = a + (57 - 5a) + (72 - 7a) = 129 - 11a elde edilir. Bu toplamın en küçük olması için en büyük aa değeri olan 1010 seçilmelidir. Toplam 129−11(10)=19129 - 11(10) = 19 olur.
Katsayısı negatif olan ifadenin değerini en küçük yapmak için değişkeni en büyük seçmek.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli veya üç bilinmeyenli denklem sistemlerinde pozitif tam sayı kısıtlamaları altında en küçük ve en büyük değerlerin bulunması.

İpuçları

1
Denklemlerden birini uygun bir katsayı ile çarparak değişkenlerden birini (örneğin cc değişkenini) yok etmeye çalışın.
2
cc değişkenini yok ettikten sonra elde ettiğiniz bağıntıda aa, bb ve cc değerlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç bilinmeyenli ve iki denklemli sistemlerde en büyük veya en küçük değerler sorulduğunda, değişkenlerin tam sayı sınır koşullarına dikkat edilerek çözüm yapılmalıdır.

Alternatif Yöntem

Denklemleri taraf tarafa topladıktan sonra elde edilen 5a+b=575a + b = 57 eşitliğinde aa ve bb değerlerine pozitif tam sayı değerleri verilerek deneme yapılabilir. aa değeri büyüdükçe cc'nin pozitif kalma koşulu göz önünde bulundurularak uygun en büyük aa değeri belirlenebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 39Soru →

xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,

x2−xy−2y2=7x^2 - xy - 2y^2 = 7

eşitliğini sağlayan xx değerlerinden pozitif olanların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen denklem (x−2y)(x+y)=7(x - 2y)(x + y) = 7 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 7 asal sayı olduğundan tam sayı çarpan çiftleri (1, 7), (7, 1), (-1, -7) ve (-7, -1) olabilir. Bu sistemler çözüldüğünde elde edilen pozitif x değerleri 5 ve 3 olup toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
(x−2y)(x+y)=7(x - 2y)(x + y) = 7 elde edilir.
Çarpımları 7 olan tam sayı çarpan gruplarını belirleyebilmek için.
2
7 asal bir sayı olduğundan, çarpımları 7 olan tam sayı çarpan çiftlerini (1, 7), (7, 1), (-1, -7) ve (-7, -1) olarak belirleyip denklem sistemlerini kurarız.
Dört farklı denklem sistemi oluşur:
1) x−2y=1x - 2y = 1 ve x+y=7x + y = 7
2) x−2y=7x - 2y = 7 ve x+y=1x + y = 1
3) x−2y=−1x - 2y = -1 ve x+y=−7x + y = -7
4) x−2y=−7x - 2y = -7 ve x+y=−1x + y = -1
Her bir çarpan çifti için xx ve yy tam sayı değerlerini hesaplamak için.
3
Denklem sistemlerini çözerek xx değerlerini buluruz.
1) Sistemden: 3y=6⇒y=23y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=5x = 5
2) Sistemden: −3y=6⇒y=−2-3y = 6 \Rightarrow y = -2 ve x=3x = 3
3) Sistemden: −3y=6⇒y=−2-3y = 6 \Rightarrow y = -2 ve x=−5x = -5
4) Sistemden: 3y=6⇒y=23y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=−3x = -3 elde edilir.
xx sayısının alabileceği tüm tam sayı değerlerini tespit etmek için.
4
Pozitif olan xx değerlerini belirleyip toplarız.
5+3=85 + 3 = 8 bulunur.
Soruda istenen pozitif xx değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli ifadelerin çarpanlara ayrılması, asal sayıların çarpan özellikleri ve tam sayı denklem sistemlerinin çözümü.
Soru 40Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a−b=5a - b = 5
b−c=3b - c = 3
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Değişkenlerin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değerleri için toplam 14 olarak bulunur.
En küçük pozitif tam sayı olan c=1c = 1 seçildiğinde, denklemlerden b=4b = 4 ve a=9a = 9 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 9+4+1=149 + 4 + 1 = 14 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemleri birbiri cinsinden ifade etme
a=b+5a = b + 5 ve b=c+3b = c + 3 eşitliklerinden a=c+8a = c + 8 elde edilir.
Tüm değişkenleri en küçük sınır değerine bağlı olarak tek bir değişken cinsinden yazmak çözümü kolaylaştırır.
2
En küçük pozitif tam sayı değerini belirleme
cc değişkeni en küçük pozitif tam sayı olan 11 olarak seçilir.
aa, bb ve cc toplamının en küçük olması için bağımsız olan cc değişkeninin en küçük pozitif tam sayı değeri olan 1 olması gerekir.
3
Diğer değişkenleri hesaplama ve toplama
c=1c = 1 için b=4b = 4 ve a=9a = 9 bulunur. Toplam 9+4+1=149 + 4 + 1 = 14 olur.
Belirlenen en küçük değişken değerleri yardımıyla diğer bilinmeyenler bulunur ve toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Pozitif tam sayılar kümesinde en küçük değer belirleme ve temel cebirsel yerine koyma yöntemi.
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki