Cebir Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3

Sıfırdan farklı $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için

a \cdot (b + c) + c

ifadesi bir çift sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

a + c

b + c

a \cdot b

a + b

a \cdot c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot b$

Cevap

İki sayının çarpımı olan

a \cdot b

ifadesi

Verilen ifadenin çift sayı olması şartı incelendiğinde,

c

tam sayısının tek veya çift olma durumlarının her ikisinde de

a

veya

b

sayılarından en az birinin çift sayı olması gerektiği görülür. Bu durum,

a

ve

b

sayılarının çarpımının kesinlikle çift sayı olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadedeki değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek için

c

sayısının tek ve çift olma durumlarını ayrı ayrı ele alalım.

İki farklı durum belirlendi:

c

çift olduğunda ve

c

tek olduğunda.

Değişkenin tek veya çift olmasına göre ifadenin diğer bileşenlerinin alacağı değerler değişmektedir.

2

c

çift sayısı için

a \cdot (b + c) + c

ifadesinin çift olmasını inceleyelim.

a \cdot (b + c)

ifadesinin çift olması gerekir. Bu durum

a

çift ise ya da

b + c

çift ise sağlanır.

c

çift olduğundan

b + c

ifadesinin çift olması için

b

çift olmalıdır. Dolayısıyla

c

çift olduğunda ya

a

çift ya da

b

çifttir. Her iki durumda da

a \cdot b

çarpımı çift sayı olur.

Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik özelliklerini ve toplamın sonucunu belirlemek.

3

c

tek sayısı için

a \cdot (b + c) + c

ifadesinin çift olmasını inceleyelim.

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek olması gerekir. Çarpımın tek olması için

a

tek ve

b + c

tek olmalıdır.

c

tek olduğundan

b + c

ifadesinin tek olması için

b

çift olmalıdır. Bu durumda da

b

çift olduğundan

a \cdot b

çarpımı çift sayı olur.

Olası tüm durumları inceleyerek her zaman çift olan ortak ifadeyi belirlemek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile çarpma ve toplama işlemlerinin karakterizasyonu.

Soru 42Soru →

Birer tam sayı olan

a

ve

b

için

a \cdot b + a

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift tam sayı belirtir?

a \cdot b

b^a

a + b

a^b

a + 2b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot b$

Cevap

a \cdot b ifadesi

a \cdot b + a

ifadesi ortak çarpan parantezine alındığında

a(b + 1)

elde edilir. Bu çarpımın tek sayı olması için hem

a

hem de

b + 1

ifadelerinin tek sayı olması gerekir. Buradan

a

'nın tek,

b

'nin ise çift tam sayı olduğu sonucu çıkar. Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı (

a \cdot b

) her zaman çift bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak incelemek.

a(b + 1)

ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.

Çarpım durumundaki ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını belirlemek daha kolaydır.

2

a

ve

b

sayılarının teklik-çiftlik durumlarını saptamak.

a

tek sayı,

b + 1

tek sayı yani

b

çift sayı olarak bulunur.

İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift sayı olup olmadığını kontrol etmek.

a \cdot b

ifadesi (tek \times çift) her zaman çift bir tam sayıdır.

Tek sayı ile çift sayının çarpımı her zaman çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Soru 43Soru →

$a$ bir asal sayı, $b$ ve $c$ ise pozitif tam sayılardır.

a + b \cdot c = 29

a \cdot b + c = 41

olduğuna göre, $a + b - c$ ifadesinin değeri kaçtır?

8

10

12

14

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Doğru cevap 14 değeridir.

Verilen iki denklem taraf tarafa çıkarılıp düzenlendiğinde

(b-1)(a-c) = 12

çarpanlara ayrılmış biçimi elde edilir.

a

sayısının asal sayı,

b

ve

c

sayılarının ise pozitif tam sayı olması koşulunu sağlayan tek çözüm kümesi

a = 3

,

b = 13

,

c = 2

değerleridir. Buradan

a + b - c

toplamı 14 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak çarpan parantezine alınabilecek bir ifade elde edin.

(a \cdot b + c) - (a + b \cdot c) = 41 - 29 \implies a \cdot b - b \cdot c - a + c = 12

Denklemler arasındaki ilişkileri analiz edip değişkenleri gruplandırmak amacıyla çıkarma işlemi uygulanır.

2

Elde edilen ifadeyi gruplandırarak ortak paranteze alın ve çarpanlarına ayırın.

b(a - c) - 1(a - c) = 12 \implies (b - 1)(a - c) = 12

Çarpım durumundaki bu ifade sayesinde tam sayı bölenleri üzerinden olası değerleri sınırlandırmak mümkün olur.

3

b

ve

c

pozitif tam sayılar olduğundan,

b - 1

ve

a - c

değerlerinin 12'nin pozitif bölenleri olduğunu dikkate alarak durumları tek tek analiz edin.

12'nin pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.

b - 1 = 12 \implies b = 13

ve

a - c = 1 \implies a = c + 1

durumu birinci denklemde yerine yazıldığında;

a + 13c = 29 \implies (c+1) + 13c = 29 \implies 14c = 28 \implies c = 2

ve

a = 3

elde edilir.

a = 3

bir asal sayıdır. Diğer bölenler denendiğinde

a

ya asal sayı çıkmaz (örneğin

b=4 \implies a=9

asal değildir) ya da pozitif tam sayı çözümü elde edilemez.

a

'nın asal sayı olması ve

b, c

'nin pozitif tam sayı olması koşullarını sağlayan tek geçerli durum belirlenir.

4

Bulunan

a = 3

,

b = 13

ve

c = 2

değerlerini kullanarak

a + b - c

ifadesini hesaplayın.

3 + 13 - 2 = 14

Soru kökünde talep edilen aritmetik işlemi tamamlamak için toplama ve çıkarma yapılır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklem sistemlerinin pozitif tam sayılar kümesinde çarpanlara ayırma yöntemi ve asal sayı tanımı kullanılarak çözülmesi.

Soru 44Soru →

a

,

b

ve

c

pozitif tam sayılardır.

a^2 - b^2 = 2^c

a - b = c - 3

olduğunu göre,

a + b + c

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

12

20

21

23

37

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En küçük toplam 21 değeridir.

Denklemler iki kare farkı ve üslü sayı özellikleri kullanılarak çözüldüğünde,

a

ve

b

tam sayılarının elde edilebilmesi için

a-b

farkının en az 2 olması gerektiği görülür. Buradan

c=5

en küçük pozitif tam sayı değeri olarak bulunur ve

a=9

,

b=7

değerleriyle toplam en az 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1

İki kare farkı özdeşliğini kullanarak birinci denklemi çarpanlarına ayırın.

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 2^c

elde edilir.

Taban pozitif bir çift sayı (2) olduğundan, çarpımın elemanlarının da 2'nin kuvvetleri olması gerektiğini belirlemek için.

2

a

ve

b

pozitif tam sayılar olduğundan,

a-b

ve

a+b

ifadelerinin her ikisinin de 2'nin tam sayı kuvveti olması gerektiğini belirleyin.

a-b = 2^x

ve

a+b = 2^y

(

x < y

ve

x+y=c

olacak şekilde).

a

ve

b

'nin tam sayı olabilmesi için

x \ge 1

olmalıdır.

Eğer

x = 0

olsaydı,

a-b = 1

olurdu ve toplamları çift olan

2^y

ile farkları tek olan

1

'in toplamı tek olacağından

a

ve

b

tam sayı olamazdı.

3

İkinci denklemdeki

a-b = c-3

eşitliğini kullanarak

c

değerini

x

cinsinden yazın.

2^x = c-3 \implies c = 2^x + 3

bulunur.

Değişken sayısını azaltmak ve en küçük

c

değerini bulmak için.

4

x \ge 1

koşulunu sağlayan en küçük

x

değerini vererek

a

,

b

ve

c

değerlerini hesaplayın.

x=1

için

c = 2^1 + 3 = 5

olur. Bu durumda

a-b = 2^1 = 2

ve

a+b = 2^4 = 16

elde edilir. Buradan

a=9, b=7

bulunur.

a

,

b

ve

c

'nin pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük çözüm kümesini bulmak için.

5

Bulunan en küçük değerlerin toplamını hesaplayın.

a+b+c = 9+7+5 = 21

bulunur. Daha büyük

x

değerleri için toplam büyüyecektir.

Soruda istenen en küçük toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği, üslü ifadeler ve tam sayıların teklik-çiftlik özellikleri.

Soru 45Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır.

$a + 3b$ ve $5b + 2c$ sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

a \cdot b + c

a \cdot (b + 1)

(a + 1) \cdot b

b \cdot (c + 1)

a + b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(a + 1) \cdot b$

Cevap

Parantez içinde a artı bir ile b sayısının çarpımı olan ifade her zaman çift sayıdır.

Çözüm adımlarında görüldüğü üzere, iki ifadenin toplamından a sayısının kesinlikle tek sayı olduğu anlaşılır. a tek sayı ise, a + 1 ifadesi kesinlikle çift bir sayıdır. Çift bir sayının pozitif bir tam sayı olan b ile çarpımı her zaman çift sayı olacağından, parantez içinde a artı bir ile b'nin çarpımı olan ifade kesinlikle çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iki ifadenin toplamının tek mi çift mi olduğunu analiz etmek.

İki ifadeden biri tek diğeri çift olduğundan, toplamları tek sayı olmalıdır.

Tek ve çift iki sayının toplamı her zaman tek sayıdır.

2

İfadeleri toplayarak sadeleştirmek.

(a + 3b) + (5b + 2c) = a + 8b + 2c

toplamı elde edilir.

Değişkenleri bir araya getirerek a sayısının teklik veya çiftliğini inceleyebilmek için toplama işlemi yapılır.

3

Elde edilen toplamın terimlerinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

8b

ve

2c

terimleri çift sayıdır, dolayısıyla

a + \text{çift} + \text{çift} = a + \text{çift}

ifadesi teke eşit olmalıdır. Buradan a sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır.

Çift katsayı ile çarpılan tam sayılar her zaman çift olduğundan ve toplamın tek olması gerektiğinden a tek sayı olmalıdır.

4

Seçeneklerdeki ifadelerin değerini a sayısının tek olduğu bilgisiyle test etmek.

a

tek sayı olduğundan

a + 1

çift sayıdır. Dolayısıyla,

(a + 1) \cdot b

ifadesi daima çift sayı olur.

Çift bir sayının herhangi bir tam sayı ile çarpımı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile temel cebirsel çıkarımlar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 46Soru →

a, b

ve

c

birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a \cdot b - b \cdot c - a + c = 6

olduğuna göre,

a + b + c

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

6

8

9

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

En küçük toplam 8'dir.

Verilen denklem

(b - 1)(a - c) = 6

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

a, b, c

pozitif ve birbirinden farklı tam sayılar olduğundan,

b - 1

ve

a - c

pozitif tam sayılar olmalıdır. 6'nın pozitif bölen çiftleri incelendiğinde, toplamı en küçük yapan durumlar

(b - 1, a - c) = (2, 3)

veya

(3, 2)

olur. Buradan

b = 3

ve

a - c = 3

(veya

b = 4

ve

a - c = 2

) elde edilir. En küçük toplam için

c = 1

seçildiğinde

a = 4

(veya

a = 3

) bulunur. Değerler birbirinden farklı pozitif tam sayılar şartını sağlar ve toplam

4 + 3 + 1 = 8

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.

b(a - c) - (a - c) = 6 \Rightarrow (b - 1)(a - c) = 6

Denklemi analiz edebilmek ve bilinmeyenlerin alabileceği değerleri belirleyebilmek için.

2

a, b

ve

c

pozitif tam sayılar olduğundan,

b - 1

ve

a - c

değerlerinin 6'nın pozitif bölenleri olması gerektiğini belirleyin.

b - 1 > 0

ve

a - c > 0

olmalıdır, çünkü

b \ge 1

ve

b \neq 1

(eğer

b=1

ise çarpım 0 olur). Dolayısıyla

a > c

olur.

Bilinmeyenlerin tam sayı sınırlarını belirlemek ve toplamı en aza indirecek değerleri seçmek için.

3

6'nın pozitif çarpan çiftlerini

(b - 1, a - c)

için deneyerek

a, b, c

değerlerini ve toplamlarını bulun.

1)

b - 1 = 1 \implies b = 2

ve

a - c = 6

.

c = 1 \implies a = 7

. Bu durumda

(7, 2, 1) \implies a+b+c = 10

olur.
2)

b - 1 = 2 \implies b = 3

ve

a - c = 3

.

c = 1 \implies a = 4

. Bu durumda

(4, 3, 1) \implies a+b+c = 8

olur.
3)

b - 1 = 3 \implies b = 4

ve

a - c = 2

.

c = 1 \implies a = 3

. Bu durumda

(3, 4, 1) \implies a+b+c = 8

olur.
4)

b - 1 = 6 \implies b = 7

ve

a - c = 1

.

c = 1 \implies a = 2

. Bu durumda

(2, 7, 1) \implies a+b+c = 10

olur.

Birbirinden farklı pozitif tam sayı şartını sağlayan ve toplamı en küçük yapan kombinasyonu seçmek için.

4

Elde edilen sonuçlar arasından en küçük toplamı belirleyin.

En küçük toplam 8'dir. Bu toplam

(4, 3, 1)

veya

(3, 4, 1)

üçlüleri ile elde edilir.

Soru bizden en küçük değeri istediği için.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve tam sayılarda değer verme

Soru 47Soru →

x = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}

y = 2 + \frac{1}{2 - \frac{1}{2}}

olduğuna göre, $x \cdot y$ çarpımının değeri kaçtır?

\frac{4}{3}

-2

-\frac{4}{3}

\frac{7}{6}

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{4}{3}$

Cevap

Çarpımın doğru değeri

-\frac{4}{3}

'tür.

Çarpımın doğru sonucu olan

-\frac{4}{3}

değeri,

x

ifadesinin

-\frac{1}{2}

ve

y

ifadesinin

\frac{8}{3}

olarak hatasız bir şekilde bulunup birbiriyle çarpılması neticesinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x

ifadesindeki en içteki payda işlemini yaparız.

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

x

ifadesini sadeleştirmeye başlamak için en alt basamaktaki çıkarma işlemini tamamlamak gerekir.

2

x

ifadesindeki bölme işlemini gerçekleştiririz.

\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}

Bir sayıyı kesre bölerken, payda ters çevrilerek pay ile çarpılır.

3

x

değerini bulmak için çıkarma işlemini tamamlarız.

x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}

x

değişkeninin nihai rasyonel değerini elde etmek.

4

y

ifadesindeki payda işlemini yaparız.

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

y

ifadesini sadeleştirmeye başlamak için paydadaki çıkarma işlemini tamamlamak gerekir.

5

y

ifadesindeki bölme i��lemini gerçekleştiririz.

\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}

Bölme işlemini rasyonel sayılarda bölme kuralına göre düzenlemek.

6

y

değerini bulmak için toplama işlemini tamamlarız.

y = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}

y

değişkeninin nihai rasyonel değerini elde etmek.

7

x

ve

y

değerlerini çarparız.

x \cdot y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}

Bizden istenen çarpım sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Çok katlı rasyonel ifadelerde işlem önceliği ve rasyonel sayılarda dört işlem kuralları.

İpuçları

1

Çok katlı kesirlerde işlemlere her zaman en alt veya en içteki basamaktan başlayın.

2

x

ve

y

ifadelerinde ana bölme çizgisinin altındaki işlemleri tamamladıktan sonra ters çevirip çarpma kuralını uygulayın.

3

x

ifadesini

-\frac{1}{2}

ve

y

ifadesini

\frac{8}{3}

olarak bulduktan sonra bu iki değeri çarparak sadeleştirme yapın.

Daha Fazla Pratik

Çok katlı rasyonel sayılarda işlem sırası ve işaret yönetimi ile ilgili pratik yapmak adına benzer yapıda negatif sonuçlu rasyonel işlemler çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 48Soru →

x

ve

y

birer tam sayı olmak üzere,

x \cdot y - 4x + 3y = 20

olduğuna göre,

x

tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı ka��tır?

-36

-27

-24

3

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -24

Cevap

-24

(farklı değerlerin toplamı)

Denklem

(x + 3)(y - 4) = 8

şeklinde düzenlendiğinde,

x + 3

ifadesinin 8'in tüm pozitif ve negatif tam sayı bölenlerine (

1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8

) eşit olabileceği görülür. Buradan elde edilen tüm

x

değerlerinin toplamı

-24

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanarak denklem düzenlenir.

x(y - 4) + 3y = 20

ifadesi elde edilir.

Denklemi çarpanlarına ayırarak değişkenler arasındaki ilişkiyi analiz edebilmek için.

2

Sol tarafta

y - 4

ortak çarpanını oluşturmak amacıyla her iki taraftan 12 çıkarılır.

x(y - 4) + 3(y - 4) = 8

ve buradan

(x + 3)(y - 4) = 8

denklemi elde edilir.

İfadeyi çarpım durumuna getirerek tam sayı bölenlerini kullanabilmek için.

3

x

ve

y

tam sayılar olduğundan,

x + 3

ifadesinin 8'in tam sayı bölenleri olması gerektiği belirlenir ve 8'in tam sayı bölenleri listelenir.

8'in tam say�� bölenleri:

1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8

olarak bulunur.

Çarpımları 8 olan tam sayı çiftlerini belirlemek için.

4

Her bir bölen değeri (

d

) için

x = d - 3

formülüyle

x

değerleri hesaplanır ve bu değerler toplanır.

x

değerleri sırasıyla

-2, -1, 1, 5, -4, -5, -7, -11

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı

(-2) + (-1) + 1 + 5 + (-4) + (-5) + (-7) + (-11) = -24

olur.

x

tam sayısının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpanlara ayırma ve bölen analizi

İpuçları

1

Denklemi çarpanlarına ayırmak için sol tarafı gruplandırarak ortak paranteze almaya çalışın.

2

Eşitliğin sol tarafında

(y - 4)

çarpanını elde etmek için denklemin her iki tarafından hangi sayıyı çıkarmanız gerektiğini düşünün.

3

(x + 3)(y - 4) = 8

elde ettikten sonra, 8 sayısının hem pozitif hem de negatif tüm tam sayı bölenlerini listeyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

(x - a)(y - b) = c

formatındaki denklemleri çözerek bu pratik yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kısa yol olarak,

x + 3 = d

(burada

d

, 8'in bir bölenidir) yazılırsa

x = d - 3

olur. 8'in tüm tam sayı bölenlerinin toplamı sıfır (

\sum d = 0

) olduğundan, 8 tane bölen için

x

değerlerinin toplamı

\sum x = \sum d - 3 \times 8 = 0 - 24 = -24

olarak pratik yoldan bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 49Soru →

$x$ , $y$ ve $z$ sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere,

3x + 4y = 5z

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

y

çift sayıdır.

x \cdot y

çift sayıdır.

z

tek sayıdır.

x - z

çift sayıdır.

x \cdot z + y

tek sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x - z$ çift sayıdır.

Cevap

İki sayının farkını belirten ifade her zaman bir çift sayıdır.

Verilen

3x + 4y = 5z

eşitliğinde,

4y

daima çift bir sayı olduğu için

3x

ile

5z

ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynıdır.

3

ve

5

tek sayılar olduğundan

x

ve

z

değişkenlerinin de teklik-çiftlik durumları aynı olmak zorundadır. Pariteleri aynı olan iki tam sayının farkı (yani biri tek iken diğeri de tek, biri çift iken diğeri de çift olduğundan) daima çift sayı olur. Bu yüzden iki sayının farkını belirten ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitlikteki terimlerin katsayılarını ve teklik-çiftlik (parite) durumlarını analiz edin.

3x + 4y = 5z

eşitliğinde,

4y

teriminin katsayısı çift olduğundan

y

ne olursa olsun

4y

ifadesi daima bir çift sayıdır.

Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

2

Eşitliğin her iki tarafının paritesini karşılaştırarak

x

ve

z

arasındaki ilişkiyi kurun.

3x + \text{çift} = 5z

olduğundan,

3x

ve

5z

ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olmak zorundadır.

Eşitliğin her iki yanındaki ifadelerin pariteleri eşit olmalıdır.

3

3x

ve

5z

ifadelerinin paritesinden yararlanarak

x - z

farkını inceleyin.

3

ve

5

tek sayılar olduğundan,

x

tek ise

z

tek,

x

çift ise

z

çift olmak zorundadır. Her iki durumda da iki tek sayının farkı da iki çift sayının farkı da daima çift olacağından

x - z

daima çift sayıdır.

Teklik ve çiftlik temel çıkarma kuralları gereği aynı paritedeki sayıların farkı çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri

Alternatif Yöntem

Genelliği bozmadan basit değerler vererek seçenekleri eleyebilirsiniz. Örneğin eşitliği sağlayan

x=1, y=3, z=3

(hepsi tek) ve

x=2, y=1, z=2

(iki çift, bir tek) durumlarını denediğinizde sadece iki sayının farkının çift sayı olduğu seçeneğin her iki durumu da sağladığını görebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 50Soru →

$AB$ , $BC$ ve $CA$ iki basamaklı doğal sayılardır.

AB + BC + CA = 132

olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı üç basamaklı $ABC$ doğal sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

693

783

792

801

808

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 792

Cevap

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 792 olarak bulunur.

Doğru cevap olan 792 değeri, denklem çözümlemesinden elde edilen

A+B+C=12

eşitliğinden yola çıkılarak, basamak kısıtları dahilinde oluşturulabilecek en büyük üç basamaklı sayı olan 921 ile en küçük üç basamaklı sayı olan 129'un farkıdır.

Adım Adım Çözüm

1

İki basamaklı sayıların çözümlemesini yapın.

10A + B + 10B + C + 10C + A = 132

ifadesinden

11(A + B + C) = 132

ve buradan

A + B + C = 12

elde edilir.

Rakamların toplamını belirlemek amacıyla basamak çözümlemesi yapılır.

2

AB

,

BC

ve

CA

sayılarının iki basamaklı olma şartını ve rakam kısıtlarını belirleyin.

A, B, C

rakamları iki basamaklı sayıların onlar basamağında yer aldığından sıfır olamaz (

A \neq 0

,

B \neq 0

,

C \neq 0

). Ayrıca

ABC

sayısının rakamları birbirinden farklı olmalıdır.

Tanım kümesine uygun basamak koşullarını ve rakamların benzersizliği şartını uygulamak.

3

Koşullara uygun en büyük

ABC

sayısını oluşturun.

En büyük değer için yüzler basamağı

A = 9

seçilir. Buradan

B + C = 3

kalır. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olması gerektiği için

B = 2

ve

C = 1

seçilir. En büyük sayı

921

olur.

Yüzler basamağını en yüksek tutarak sayının değerini maksimize etmek.

4

Koşullara uygun en küçük

ABC

sayısını oluşturun.

En küçük değer için yüzler basamağı

A = 1

seçilir. Buradan

B + C = 11

kalır. Onlar basamağındaki

B

değerini en küçük yapmak için birler basamağındaki

C

rakamı maksimum (

C = 9

) seçilir. Böylece

B = 2

olur. En küçük sayı

129

olur.

Yüzler basamağını en düşük tutarak ve basamak kısıtlarına uyarak sayının değerini minimize etmek.

5

Bulunan en büyük ve en küçük değerlerin farkını hesaplayın.

921 - 129 = 792

elde edilir.

Soruda talep edilen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı basamakları çözümlemesi ve basamak kısıtları (onlar basamağının sıfır olamaması kuralı)

Soru 51Soru →

m

,

n

ve

p

birer tam sayıdır.

\begin{aligned} m \cdot n &= 18 \\ n \cdot p &= 24 \end{aligned}

olduğuna göre,

m + n + p

toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

-13

-23

-43

13

43

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -43

Cevap

-43

Toplamı en küçük yapmak amacıyla değişkenlerin negatif tam sayı değerleri alması gerektiği belirlenir. Ortak olan değişken olan

n

sayısına

-1

değeri verildiğinde,

m = -18

ve

p = -24

elde edilir. Bu değerlerin toplamı

(-18) + (-1) + (-24) = -43

olur ve bu değer alabileceğimiz en küçük toplam değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen çarpım denklemlerini yazıp ortak olan değişkeni belirleme

m \cdot n = 18

ve

n \cdot p = 24

denkleminde ortak değişken

n

sayısıdır.

n

sayısına verilecek değerler diğer iki değişkenin değerlerini doğrudan belirler.

2

m + n + p

toplamının en küçük değerini bulmak için değişkenlerin işaretini belirleme

Değişkenler tam sayı olduğu için negatif değerler alabilirler. Toplamı en küçük yapmak için negatif değerler seçilmelidir.

Negatif sayıların toplamı, pozitif sayıların toplamından her zaman daha küçüktür.

3

Ortak çarpan

n

için olası negatif tam sayı değerlerini ve buna bağlı

m

ile

p

değerlerini hesaplama

n = -1

için

m = -18

ve

p = -24

olur. Bu durumda toplam:

(-18) + (-1) + (-24) = -43

bulunur.

n

sayısının mutlak değerini en küçük tutarak (

n = -1

), diğer çarpanların mutlak değerce en büyük negatif sayı olmalarını sağlamak toplamı minimize eder.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Çarpım-Toplam İlişkisi

Soru 52Soru →

\frac{\left(2 - \frac{3}{4}\right) \div \frac{5}{8}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}

işleminin sonucu kaçtır?

\frac{3}{2}

3

6

-\frac{3}{5}

\frac{10}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

İşlemler doğru sırayla yapıldığında sonuç

3

bulunur.

İşlem önceliği kurallarına göre sırasıyla parantez içi, çarpma/bölme ve ardından toplama/çıkarma işlemleri uygulandığında ifadenin değeri

3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki parantez içi çıkarma işlemini gerçekleştirelim.

2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

2

Pay kısmındaki bölme işlemini tamamlayalım.

\frac{5}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken ilk kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

3

Paydadaki çarpma işlemini işlem önceliğine uygun olarak yapalım.

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

İşlem önceliği kuralına göre çarpma işlemi çıkarma işleminden önce yap��lmalıdır.

4

Paydadaki çıkarma işlemini tamamlayalım.

1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Payda eşitleyerek çıkarma işlemini sonuçlandırırız.

5

Pay değerini payda değerine bölerek sonucu bulalım.

2 \div \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3

Pay ve payda kısımlarında elde edilen değerlerin bölünmesiyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayılarda dört işlem ve işlem önceliği

İpuçları

1

İşlem önceliğine göre, paydadaki çarpma işlemini çıkarma işleminden önce yapmalısınız.

2

Pay kısmında parantez içini tamamladıktan sonra bölme işlemini yapmak için birinci kesri aynen yazıp ikinci kesri ters çevirerek çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde işlem önceliği kuralları içeren rasyonel sayılarda çok adımlı işlemler konusunu pekiştirmek için bölme ve çarpmanın bir arada olduğu karmaşık ifadeleri çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek amacıyla, parantez içi işlemler tamamlandıktan sonra tüm kesirli ifadeleri ortak bir paydada genişleterek bölme işlemini doğrudan gerçekleştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 53Soru →

Üç basamaklı

ABC

ve

CBA

doğal sayıları için

ABC - CBA = 495

olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı kaç farklı

ABC

sayısı yazılabilir?

28

30

32

36

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Rakamları birbirinden farklı 32 farklı ABC sayısı yazılabilir.

Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde

99(A - C) = 495

elde edilir ve buradan

A - C = 5

bağıntısına ulaşılır.

CBA

sayısı üç basamaklı olduğundan

C

sıfır olamaz. Bu koşula uyan

(A, C)

rakam çiftleri

(6,1), (7,2), (8,3), (9,4)

olmak üzere 4 tanedir. Rakamları farklı koşulu gereği

B

rakamı

A

ve

C

değerlerini alamayacağı için geriye kalan 8 rakamdan biri olabilir. Böylece

4 \times 8 = 32

farklı sayı yazılabilir. Bu nedenle 32 değerini veren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC ve CBA üç basamaklı sayılarını çözümleyerek aralarındaki fark ifadesini sadeleştirin.

ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C)

elde edilir.

Sayı basamaklarının çözümleme kuralı uygulanarak B bilinmeyeninin sadeleşmesi sağlanır.

2

Verilen fark değerini kullanarak A ile C arasındaki farkı bulun.

99(A - C) = 495 \Rightarrow A - C = 5

bulunur.

Soruda verilen sayısal fark değerinden basamaklar arası sayısal ilişkiye geçilir.

3

CBA sayısının da üç basamaklı olduğunu göz önünde bulundurarak A ve C rakamlarının alabileceği değerleri belirleyin.

C \neq 0

olmalıdır. Bu durumda

A - C = 5

koşulunu sağlayan

(A, C)

ikilileri

(6,1), (7,2), (8,3), (9,4)

olmak üzere 4 tanedir.

Sayının basamak sayısı kuralı gereği en büyük basamağın s��fır olamayacağı kısıtlaması uygulanır.

4

Rakamları birbirinden farklı olma koşuluna göre B rakamının alabileceği değer sayısını bulun.

B

rakamı toplam 10 rakam arasından seçilebilir ancak

B \neq A

ve

B \neq C

olmalıdır. Dolayısıyla her ikili için

B

'nin alabileceği

10 - 2 = 8

farklı değer vardır.

Soruda belirtilen 'rakamları birbirinden farklı' koşulu her bir basamak için ayrı ayrı sağlanmalıdır.

5

Bulunan durum sayılarını çarparak yazılap bilecek toplam ABC sayısını hesaplayın.

4 farklı

(A, C)

ikilisi ve her biri için 8 farklı

B

değeri olduğundan toplam

4 \times 8 = 32

sayı yazılabilir.

Çarpma yoluyla sayma yöntemi kullanılarak tüm olası durumlar hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve basamak sayısı kısıtlamaları

İpuçları

1

ABC

ve

CBA

sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyerek fark ifadesini

A

ve

C

cinsinden yazın.

2

Elde ettiğiniz

99(A-C) = 495

eşitliğinden

A - C = 5

bağıntısını bulun.

CBA

üç basamaklı olduğu için

C

'nin sıfır olamayacağına dikkat edin.

3

A - C = 5

koşulunu sağlayan 4 adet

(A, C)

ikilisi vardır. Rakamları farklı dendiği için her durum için

B

rakamı

A

ve

C

'den farklı olmalıdır.

B

için kaç seçenek kalacağını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde dört basamaklı sayılar içeren veya basamaklarının yerleri değiştiğinde değeri belirli bir oranda artan/azalan sayı basamakları problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çözümleme yaptıktan sonra

A - C = 5

farkını doğrudan sağlayan değerleri deneyerek de bulabilirsiniz. Örneğin

C=1

için

A=6

olur. Sayımız

6B1

biçimindedir. Rakamları farklı olacağından

B

yerine

6

ve

1

dışındaki tüm rakamlar yazılabilir. Bu mantıkla her durum tek tek doğrulanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 54Soru →

Bir dokuma fabrikasındaki üç farklı makine sırasıyla $\frac{3}{4}$ saat, $\frac{4}{5}$ saat ve $\frac{5}{6}$ saatte bir kumaş dokumaktadır. Bu üç makine aynı anda çalışmaya başladıktan sonra, ilk kez tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başladıkları ana kadar geçen sürede toplam kaç adet kumaş dokunmuştur?

143

47

227

454

37

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 227

Cevap

Makinelerin tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başladıkları ana kadar geçen sürede toplam 227 adet kumaş dokunmuştur.

Üç makinenin tekrar birlikte yeni bir kumaş dokumaya başlaması için geçen süre, makinelerin kumaş dokuma sürelerinin en küçük ortak katı (EKOK) olmalıdır. Rasyonel sayıların EKOK formülüne göre payların EKOK'u paydaların EBOB'una bölünür. Buradan en küçük ortak zaman dilimi 60 saat olarak hesaplanır. Bu 60 saatlik sürede birinci makine 80 adet, ikinci makine 75 adet ve üçüncü makine 72 adet kumaş dokur. Toplam dokunan kumaş sayısı ise bunların toplamı olan 227 adettir.

Adım Adım Çözüm

1

Makinelerin kumaş dokuma sürelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmak.

Makinelerin süreleri

\frac{3}{4}

,

\frac{4}{5}

ve

\frac{5}{6}

saattir. Bu rasyonel sayıların en küçük ortak katı:

\text{EKOK}\left(\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\right) = \frac{\text{EKOK}(3, 4, 5)}{\text{EBOB}(4, 5, 6)} = \frac{60}{1} = 60\text{ saat}

olarak bulunur.

Makinelerin aynı anda tekrar birlikte yeni bir işe başlayabilmesi için geçen sürenin, her birinin üretim periyodunun tam katı olması gerekir.

2

60 saatlik sürede her bir makinenin ürettiği kumaş sayısını hesaplamak.

Birinci makine:

60 \div \frac{3}{4} = 60 \times \frac{4}{3} = 80

adet kumaş.
İkinci makine:

60 \div \frac{4}{5} = 60 \times \frac{5}{4} = 75

adet kumaş.
Üçüncü makine:

60 \div \frac{5}{6} = 60 \times \frac{6}{5} = 72

adet kumaş.

Toplam ortak süreyi her bir makinenin tek bir kumaşı dokuma süresine bölerek o sürede tamamlanan kumaş sayılarını elde ederiz.

3

Makinelerin ürettiği toplam kumaş sayısını hesaplamak.

80 + 75 + 72 = 227

adet kumaş.

Üç makinenin bu süre zarfında ürettiği toplam kumaş miktarını bulmak için her birinin üretim miktarlarını toplarız.

Anahtar Kavram

Rasyonel sayıların EKOK (En Küçük Ortak Kat) hesabı ve periyodik durum problemlerinin çözümü.

İpuçları

1

Makinelerin tekrar aynı anda yeni bir kumaş dokumaya başlaması için geçen süre, her bir makinenin tek başına kumaş dokuma süresinin ortak bir katı olmalıdır.

2

Kesirli sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmak için payların EKOK değerini paydaların EBOB değerine bölmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan ama bu kez dairesel bir pistte farklı hızlardaki üç koşucunun başlangıç noktasında tekrar karşılaşma sürelerini içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Makinelerin 1 saatte ürettikleri kumaş miktarlarını (yani hızlarını) bulup orantı kurabilirsiniz. 1. makine 1 saatte 4/3 kumaş, 2. makine 5/4 kumaş ve 3. makine 6/5 kumaş üretir. Bu üretim miktarlarının tam sayı olması için geçen sürenin her bir hızın paydalarını sadeleştirecek en küçük ortak kat olması gerekir. Paydalar 3, 4 ve 5 olduğundan, süre en az EKOK(3, 4, 5) = 60 saat olmalıdır. Buradan da her bir makinenin 60 saatteki üretimleri hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 55Soru →

Bir depodaki kutular beşerli gruplandırıldığında $3$ kutu, altışarlı gruplandırıldığında $4$ kutu, sekizerli gruplandırıldığında ise $6$ kutu artmaktadır. Depodaki kutu sayısı $500$ 'den fazla olduğuna göre, bu depoda en az kaç kutu vardır?

478

598

600

602

718

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $598$

Cevap

En az

598

kutu vardır.

Verilen bölme işlemlerine göre depodaki kutu sayısı olan

K

değeri

K = 5a + 3 = 6b + 4 = 8c + 6

olarak yazılır. Eşitliğin her tarafına

2

eklendiğinde

K + 2

ifadesi

5

,

6

ve

8

sayılarının tam katı olur.

5

,

6

ve

8

sayılarının en küçük ortak katı

\text{EKOK}(5, 6, 8) = 120

olarak bulunur.

K > 500

koşulunu sağlayan en küçük değer için

K + 2 = 120 \times 5 = 600

eşitliğinden kutu sayısı en az

598

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Depodaki kutu sayısını

K

olarak belirleyip verilen bölme işlemlerini matematiksel eşitlik olarak ifade etmek.

K = 5a + 3 = 6b + 4 = 8c + 6

eşitliği elde edilir (burada

a, b, c

pozitif tam sayılardır).

Kutuların gruplandırılmasından elde edilen kalanları g��steren bir denklem kurmak problemin çözümünün ilk adımıdır.

2

Eşitliğin her tarafına

2

ekleyerek katsayıların tam katı olan bir ifade elde etmek.

K + 2 = 5a + 5 = 6b + 6 = 8c + 8 \Rightarrow K + 2 = 5(a + 1) = 6(b + 1) = 8(c + 1)

elde edilir.

Kalanlar ile bölenler arasındaki fark sabit (her birinde fark

2

) olduğu için, eşitliğe

2

eklemek

K + 2

sayısını

5

,

6

ve

8

sayılarının ortak katı yapar.

3

5

,

6

ve

8

sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamak.

\text{EKOK}(5, 6, 8) = 120

olarak bulunur.

K + 2

ifadesi

5

,

6

ve

8

sayılarının ortak bir katı olmalıdır. En küçük ortak katı bulmak temel referans değerimizi verir.

4

K + 2 = 120k

(burada

k

bir tam sayıdır) eşitliğinde

K > 500

koşulunu sağlayan en küçük

k

değerini belirlemek ve

K

sayısını hesaplamak.

k = 5

için

K + 2 = 120 \times 5 = 600 \Rightarrow K = 598

bulunur (

k = 4

için

K = 478 \le 500

olur).

Soruda kutu sayısının

500

'den fazla ve en az olması istendiği için bu koşulu sağlayan en küçük

k

katı seçilir.

Anahtar Kavram

Eşit kalan farkı içeren durumlarda EKOK kullanarak ortak kat bulma.

Soru 56Soru →

İki basamaklı

AB

ve

BA

doğal sayıları için,

AB + BA = 5 \cdot (A + B + 12)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $A \cdot B$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

1

24

25

36

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Çarpımın alabileceği en b��yük değer 25'tir.

Doğru cevap olan 25 değeri, iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi doğru yapılıp denklem çözüldüğünde elde edilen

A+B=10

eşitliğinden gelir. Toplamları sabit olan iki rakamın çarpımının en büyük olması için bu rakamlar birbirine en yakın (bu durumda eşit) seçilmelidir.

A=5

ve

B=5

rakamları için çarpım

5 \cdot 5 = 25

olur.

Adım Adım Çözüm

1

AB

ve

BA

iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyip toplayalım.

AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A+B)

elde edilir.

Denklemde iki basamaklı sayıları tek bir bilinmeyenli terim cinsinden ifade etmek için çözümleme yapılır.

2

Bulduğumuz çözümleme sonucunu verilen denklemde yerine yazıp dağılma özelliğini uygulayalım.

11(A+B) = 5(A+B) + 60

elde edilir.

Parantezi açarak benzer terimleri bir araya getirmek amaçlanır.

3

A+B

toplamını yalnız bırakalım.

6(A+B) = 60 \implies A+B = 10

bulunur.

Rakamların toplamını bularak çarpım için olası değerleri belirlemek amaçlanır.

4

A

ve

B

birer rakam ve

AB, BA

iki basamaklı sayılar olduğu için

A \neq 0

ve

B \neq 0

koşulunu göz önünde bulundurarak toplamları 10 olan rakam ikililerini yazıp en büyük çarpım değerini belirleyelim.

Olası rakam ikilileri

(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5)

olup en büyük çarpım değeri

5 \cdot 5 = 25

olur.

Toplamı sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları ve Çözümleme

Soru 57Soru →

Bir belediye; uzunluğu $120$ metreden fazla, $150$ metreden az olan düz bir caddenin bir kenarına, caddenin başlangıcında ve bitişinde de birer lamba bulunması koşuluyla eşit aralıklarla sokak lambaları dikecektir. Bu caddedeki ardışık iki lamba arasındaki mesafe metre cinsinden birer tam sayı olup, lambalar $6$ metre veya $8$ metre aralıklarla dikildiğinde her iki durumda da caddenin bitiş noktasına tam olarak bir lamba denk gelmektedir. Buna göre, bu lambalar $6$ metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısı, $8$ metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısından kaç fazladır?

4

5

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Lambalar 6 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısı, 8 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısından 6 fazladır.

Caddenin uzunluğu hem

6

hem de

8

metrelik aralıklarla tam bölünebildiği için bu iki sayının en küçük ortak katı olan

24

metrenin katı olmalıdır. Belirtilen

120

ile

150

metre aralığında

24

'ün katı olan tek sayı

144

metredir. Caddenin başına ve sonuna lamba dikildiği için

6

metre aralıkla

25

lamba,

8

metre aralıkla ise

19

lamba dikilir. İki durum arasındaki lamba sayısı farkı ise

6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Caddenin uzunluğu olan

L

değerinin aralı��ını belirleme ve EKOK ilişkisini kurma.

L

değeri

120

ile

150

arasındadır (

120 < L < 150

). Lambalar hem

6

metre hem de

8

metre aralıklarla tam olarak yerleştirilebildiği için caddenin uzunluğu hem

6

hem de

8

sayılarının ortak bir katı, yani en küçük ortak katlarının (EKOK) bir katı olmalıdır.

Lambaların başlang��çta ve sonda bulunması ve aralıkların tam sayı olması nedeniyle caddenin uzunluğu, aralıkların ortak katı olmak zorundadır.

2

6

ve

8

sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama.

\text{EKOK}(6, 8) = 24

olarak bulunur.

Caddenin uzunluğunun alabileceği ortak katların temel birimini bulmak için EKOK hesabı yapılır.

3

120 < L < 150

koşulunu sağlayan

24

'ün katını bulma.

24 \times 5 = 120

(koşula uymaz, 120'den fazla olmalıdır),

24 \times 6 = 144

(koşula uyar),

24 \times 7 = 168

(koşula uymaz, 150'den az olmalıdır). Dolayısıyla, caddenin uzunluğu

L = 144

metredir.

Caddenin uzunluğu verilen sınırlar arasında

24

'ün tam katı olan tek değer olmalıdır.

4

Her iki durum için dikilecek lamba sayılarını hesaplama.

6

metre aralıklarla lamba sayısı:

\frac{144}{6} + 1 = 24 + 1 = 25

lamba.

8

metre aralıklarla lamba sayısı:

\frac{144}{8} + 1 = 18 + 1 = 19

lamba.

Lamba yerleştirme problemlerinde başlangıç noktasına da lamba dikildiği için lamba sayısı, aralık sayısından 1 fazla olur.

5

Lamba sayıları arasındaki farkı bulma.

25 - 19 = 6

bulunur.

İki farklı yerleşim durumundaki lamba miktarları arasındaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

En Küçük Ortak Kat (EKOK) ve aralık-nokta ilişkisi

İpuçları

1

Lambaların yerleştirilme aralıkları

6

ve

8

metre olduğuna göre, yolun uzunluğu bu iki sayının ortak bir katı olmalıdır.

2

6

ve

8

sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz ve bu katın

120

ile

150

arasındaki değerini belirleyiniz.

3

Bulduğunuz yol uzunluğunu sırasıyla

6

'ya ve

8

'e bölerek aralık sayılarını bulunuz. Hem başlangıca hem de sona lamba dikildiği için lamba sayısının, aralık sayısından

1

fazla olacağını unutmayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki farklı zil veya nöbet probleminde EKOK mantığının nasıl uygulandığını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Lamba sayıları arasındaki farkı doğrudan oranlar üzerinden de bulabilirsiniz. Yolun uzunluğu

L = 144

metre olarak belirlendikten sonra, lamba sayıları farkı

(\frac{L}{6} + 1) - (\frac{L}{8} + 1) = \frac{L}{6} - \frac{L}{8}

şeklinde yazılabilir. Buradan payda eşitlenirse

\frac{4L - 3L}{24} = \frac{L}{24}

elde edilir.

L = 144

değeri yerine yazıldığında fark

\frac{144}{24} = 6

olarak doğrudan hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 58Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a + 2b + 3c = 42

olduğuna göre, $a + b + c$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

14

15

16

17

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

toplamın alabileceği en küçük değer olan 16'dır

Verilen denklemde en küçük toplamı elde etmek için katsayısı büyük olan değişkenlere olabildiğince büyük değerler vermeliyiz. Sayıların birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması koşulu altında,

c = 11

,

b = 4

ve

a = 1

değerleri denklemi sağlar ve en küçük toplamı olan 16 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemi düzenleyerek toplam ifadesini yalnız bırakma.

a + b + c

toplamına

S

diyelim. Verilen

a + 2b + 3c = 42

denklemini

S + b + 2c = 42

şeklinde yazabiliriz. Buradan

S = 42 - (b + 2c)

elde edilir.

S

toplamını en küçük yapmak için çıkarılan

(b + 2c)

ifadesini en büyük yapmamız gerektiğini görmek.

2

a

değişkeninin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanma.

a \geq 1

olduğundan,

42 - 2b - 3c \geq 1 \implies 2b + 3c \leq 41

eşitsizliği elde edilir.

b

ve

c

değişkenlerinin alabileceği üst sınırları belirlemek.

3

c

değişkenine en büyük değerleri vererek

b

ve

a

değerlerini test etme.

c = 13

için

2b \leq 2 \implies b = 1 \implies a = 1

olur (farklı olma koşuluna uymaz).

c = 12

için

2b \leq 5 \implies b = 1

veya

b = 2

olabilir.

b=1

için

a=4

bulunur (toplam

17

olur).

c = 11

için

2b \leq 8 \implies b \leq 4

olur. En büyük

b = 4

için

a = 1

bulunur (toplam

1+4+11 = 16

olur).

Değişkenlerin birbirinden farklı ve pozitif tam sayı olma koşullarına göre en küçük toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Sayı Kümelerinde Değer Verme

İpuçları

1

a + b + c

toplamını en küçük yapmak için katsayısı büyük olan

b

ve

c

değişkenlerini olabildiğince büyük seçmeye çalışmalısınız.

2

a + 2b + 3c = 42

ifadesini

(a+b+c) + b + 2c = 42

olarak düzenleyin. Toplamın en küçük olması için

b + 2c

ifadesi en büyük olmalıdır.

3

c = 13

,

c = 12

ve

c = 11

durumlarını tek tek deneyerek değişkenlerin pozitif tam sayı ve birbirinden farklı olma koşullarını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde katsayıları farklı olan denklemlerde en büyük veya en küçük değer sorularını çözerek değer verme becerilerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde

a

yalnız bırakılırsa

a = 42 - 2b - 3c

olur.

a \geq 1

eşitsizliğinden yola çıkarak

2b + 3c \leq 41

elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük

b + 2c

değerini arayarak da çözüme ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Sıfırdan farklı

a

,

b

ve

c

gerçel sayıları için,

a \cdot b < 0

b - a < 0

a \cdot c > 0

c - a > 0

olduğuna göre;

a

,

b

ve

c

say��larının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

a < c < b

b < c < a

b < a < c

c < a < b

c < b < a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b < a < c$

Cevap

Doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Verilen eşitsizliklerden

a \cdot b < 0

ifadesi

a

ile

b

'nin zıt işaretli olduğunu gösterir.

b - a < 0

ifadesi ise

b < a

demektir. Zıt işaretli iki sayıdan

b

daha küçük olduğu için

b

negatif,

a

ise pozitif olmalıdır (

b < 0 < a

). Diğer yandan,

a \cdot c > 0

ifadesi

a

ile

c

'nin aynı işaretli olduğunu gösterir.

a

pozitif olduğu için

c

de pozitif olmalıdır. Son olarak,

c - a > 0

ifadesinden

c > a

elde edilir. Bu durumda pozitif olan

c

sayısı, pozitif olan

a

sayısından büyüktür. Negatif olan

b

ise en küçük sayıdır. Sonuç olarak doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

a \cdot b < 0

ve

b - a < 0

eşitsizliklerini inceleyerek

a

ve

b

sayılarının işaretlerini belirleyelim.

a

pozitif (

a > 0

) ve

b

negatif (

b < 0

) olmalıdır.

a \cdot b < 0

olduğundan

a

ve

b

zıt işaretlidir.

b - a < 0 \implies b < a

olduğundan, küçük olan sayı (

b

) negatif, büyük olan sayı (

a

) pozitif olmak zorundadır.

2

a \cdot c > 0

eşitsizliğini kullanarak

c

sayısının işaretini belirleyelim.

c

pozitif (

c > 0

) olmalıdır.

a > 0

olarak bulunmuştu. Çarpımları pozitif (

a \cdot c > 0

) olduğuna göre

c

de

a

ile aynı işaretli, yani pozitif olmalıdır.

3

c - a > 0

eşitsizliğini kullanarak

a

ve

c

sayılarını kendi aralarında sıralayalım ve tüm sayıları birleştirelim.

b < a < c

sıralaması elde edilir.

c - a > 0 \implies c > a

olur.

b < 0

,

a > 0

ve

c > 0

olduğunu biliyoruz.

a

ve

c

pozitif sayılarından

c

daha büyük olduğundan sıralama

b < a < c

şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde işaret belirleme ve taraf tarafa işlemlerle sıralama yapılması.

İpuçları

1

Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir, çarpımları pozitif olan iki sayı ise aynı işaretlidir.

2

b - a < 0

eşitsizliğini

b < a

olarak yazıp zıt işaretli olma durumuyla birleştirerek

a

ve

b

'nin işaretlerini bulabilirsiniz.

3

a

'nın işaretini bulduktan sonra

a \cdot c > 0

ve

c - a > 0

eşitsizliklerini kullanarak

c

'nin işaretini ve

a

ile ilişkisini belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üslü ifadeler içeren eşitsizliklerde işaret ve sıralama belirleme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı değerleri vererek de sıralamayı doğrulayabilirsiniz. Örneğin, eşitsizlikleri sağlayacak şekilde

b = -1

,

a = 1

ve

c = 2

değerlerini seçtiğimizde tüm koşulların sağlandığını görebiliriz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 60Soru →

\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{2}{3}} \div \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)

işleminin sonucu kaçtır?

15

-9

9

19

\frac{15}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9$

Cevap

İşlemin doğru sonucu 9 olan seçenektir.

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında, ilk kesrin payı

\frac{5}{2}

ve paydası

\frac{5}{3}

olarak bulunur. Bu iki ifadenin birbirine oranı

\frac{3}{2}

değerini verir. Parantez içindeki çıkarma işleminin sonucu ise

\frac{1}{6}

'dır. Son adımda

\frac{3}{2}

sayısı

\frac{1}{6}

sayısına bölündüğünde doğru sonuç olan

9

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk kesrin payında yer alan çıkarma işlemini yapalım.

3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için tam sayının paydası genişletilerek eşitlenir.

2

İlk kesrin paydasında yer alan toplama işlemini yapalım.

1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

Rasyonel sayılarda toplama işlemi yapabilmek için paydalar ortak kat olan 3'te eşitlenir.

3

Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak birinci kesrin sonucunu bulalım.

\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{2}

İki rasyonel sayının bölme işleminde, birinci kesir aynen yazılırken ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

4

Parantez içerisindeki rasyonel çıkarma işlemini tamamlayalım.

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

Paydaları en küçük ortak katları olan 6 sayısında eşitleyerek çıkarma işlemini gerçekleştiririz.

5

Bulduğumuz birinci kesir değerini, parantez içindeki işlemin sonucuna bölelim.

\frac{3}{2} \div \frac{1}{6} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9

Bölme kuralı gereği ikinci kesri ters çevirip birinci kesirle çarparak sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Cebir

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar