Examkin

Cebir

60 soru

Soru 1Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
3x+2y=113x + 2y = 11
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+3x + 3

Cevap

x+3x + 3 ifadesi
Verilen denklemde 2y2y ifadesi yy tam sayısı ne olursa olsun her zaman çift bir sayıdır. Eşitliğin sağ tarafındaki 1111 sayısı tek olduğundan, 3x3x ifadesi tek bir sayı olmak zorundadır. 3x3x tek ise, xx sayısı kesinlikle tek sayıdır. Tek bir sayıya tek bir sayı (33) eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olacağı için x+3x + 3 ifadesi her zaman çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemdeki terimlerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
2y2y ifadesi çift, 1111 sayısı tek sayıdır.
Bir tam sayının 22 ile çarpımı her zaman çifttir.
2
xx sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
3x3x tek sayı olmalıdır, dolayısıyla xx tek sayıdır.
Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı tektir. Tek bir sayı ile çarpıldığında sonucun tek çıkması için xx tek olmalıdır.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini xx'in tek sayı olmasına göre değerlendirmek.
x+3x + 3 ifadesi her zaman çift sayıdır.
Tek bir sayıya tek bir sayı (33) eklendiğinde sonuç her zaman çifttir (tek + tek = çift).

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 2Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılardır. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi bir tek sayı ve a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ac+ba^c + b

Cevap

ac+ba^c + b ifadesi
Doğru seçenekteki ac+ba^c + b ifadesi her zaman çift sayıdır. bb sayısının tek sayı olduğu varsayımı altında a⋅b+ca \cdot b + c ile a+b⋅ca + b \cdot c ifadeleri aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olmak zorunda kalırdı; bu durum öncüllerle çeliştiğinden bb çift sayıdır. bb çift olduğunda a⋅ba \cdot b çift olur ve a⋅b+ca \cdot b + c tek sayı olduğundan cc tek sayıdır. Aynı şekilde b⋅cb \cdot c çift olur ve a+b⋅ca + b \cdot c çift sayı olduğundan aa çift sayıdır. aa ve bb çift sayılar, cc ise pozitif tam sayı olduğundan aca^c her zaman çift sayıdır. İki çift sayının toplamı olan ac+ba^c + b de her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
bb sayısının tekliği ve çiftliği durumlarını analiz ederek çelişkiyi tespit etme.
bb sayısının kesinlikle çift sayı olduğu belirlenir.
Eğer bb tek sayı olsaydı, parite (teklik-çiftlik) kurallarına göre a⋅ba \cdot b ifadesi ile aa ifadesi aynı pariteye sahip olurdu. Benzer şekilde b⋅cb \cdot c ile cc ifadeleri de aynı pariteye sahip olurdu. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ile a+b⋅ca + b \cdot c ifadelerinin toplam pariteleri aynı olmak zorunda kalırdı. Ancak soruda bu ifadelerden birinin tek, diğerinin çift olduğu verildiğinden bu bir çelişkidir. Dolayısıyla bb tek sayı olamaz, çift sayı olmalıdır.
2
bb sayısının çift olduğu bilgisini kullanarak aa ve cc sayılarının paritelerini bulma.
aa çift sayı ve cc tek sayı olarak bulunur.
bb çift sayı olduğuna göre a⋅ba \cdot b çift sayıdır. a⋅b+ca \cdot b + c tek sayı olarak verildiğinden, çift ile tekin toplamı tek olacağı için cc tek sayı olmalıdır. Benzer şekilde, bb çift olduğundan b⋅cb \cdot c çift sayıdır. a+b⋅ca + b \cdot c çift sayı olarak verildiğinden, çift ile çiftin toplamı çift olacağı için aa çift sayı olmalıdır.
3
Elde edilen parite bilgilerini (aa çift, bb çift, cc tek) kullanarak seçenekleri değerlendirme.
ac+ba^c + b ifadesinin her zaman çift sayı olduğu gösterilir.
aa çift sayı ve cc pozitif tam sayı (c≥1c \geq 1) olduğundan, aca^c ifadesi her zaman çift sayıdır. bb de çift sayı olduğundan, iki çift sayının toplamı olan ac+ba^c + b her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Parite Analizi ve Değerlendirme Kuralları
Soru 3Soru →

xx bir çift tam sayı ve yy bir tek tam sayı olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x+y3x + y

Cevap

3x+y3x + y ifadesinin sonucu her zaman bir tek sayıdır.
Verilen bilgilere göre xx çift, yy tektir. Bir çift sayının herhangi bir tam sayı katı her zaman çifttir, bu yüzden 3x3x çifttir. Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı her zaman tek olacağından, 3x+y3x + y ifadesinin sonucu her zaman bir tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin teklik-çiftlik özelliklerini belirlemek.
xx sayısının çift, yy sayısının ise tek olduğu belirlenir.
Soruda verilen koşullara göre işlem yapabilmek için başlangıç durumları tanımlanmalıdır.
2
Doğru seçenekteki ifadenin teklik-çiftlik analizini yapmak.
3x+y3x + y ifadesi için 3⋅C¸ift+Tek=C¸ift+Tek=Tek3 \cdot \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} sonucu elde edilir.
Çift sayıların tam sayı katları çift sayıdır, çift sayı ile tek sayının toplamı ise tek sayıdır.
3
Diğer seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını kontrol etmek.
Diğer tüm seçeneklerin sonucu çift sayı olarak hesaplanır.
Seçeneklerin her biri için temel teklik-çiftlik kuralları uygulanarak sonuçların çift olduğu teyit edilir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 4Soru →

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa, bb ve cc sayıları için

a+ba + b

ve

a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinin her ikisinin de çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ab+ca^b + c

Cevap

a^b + c ifadesi
Verilen iki koşul birlikte değerlendirildiğinde aa, bb ve cc sayılarının üçünün de aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olması gerektiği anlaşılır. bb pozitif tam sayı olduğundan aba^b ifadesinin teklik-çiftlik durumu aa ile aynıdır. Dolayısıyla aa ve cc sayılarının ikisi de tek ya da ikisi de çift olacağından, bu iki sayının toplamı olan ab+ca^b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a+ba + b toplamının çift sayı olma durumunu analiz etmek
aa ve bb sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlenir.
İki tam sayının toplamının çift olması için her iki sayının da tek veya her iki sayının da çift olması gerekir.
2
a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin çift sayı olma durumunu incelemek
a,b,ca, b, c sayılarının tamamının tek veya tamamının çift olduğu sonucuna ulaşılır.
aa ve bb çift ise a⋅ba \cdot b çift olup toplamın çift olması için cc de çift olmalıdır. aa ve bb tek ise a⋅ba \cdot b tek olup toplamın çift olması için cc de tek olmalıdır.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını elde edilen iki durum için test etmek
ab+ca^b + c ifadesinin her iki durumda da çift sayı olduğu görülür.
Pozitif tam sayı üsleri tabanın teklik-çiftlik karakterini değiştirmediğinden aba^b ile aa aynı karakterdedir. aa ile cc aynı teklik-çiftliğe sahip olduğundan ab+ca^b + c ifadesi her iki durumda da tek + tek veya çift + çift işleminden dolayı daima çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda işlemler ve üs alma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

a,ba, b ve cc pozitif tam sayılardır.

a+bc=42a + \frac{b}{c} = 4{}2

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Toplamın alabileceği en küçük değer 10'dur.
Verilen denklemde 424{}2 ifadesi rasyonel olarak 4+1/54 + 1/5 biçiminde yazılır. En küçük toplamı elde etmek için payda olan cc değeri 5 seçilir. Buradan 5a+b=215a+b=21 denklemi elde edilir. Toplamı en küçük yapmak için katsayısı büyük olan aa değişkeni en büyük seçilerek a=4a=4 ve b=1b=1 bulunur. Böylece en küçük toplam 4+1+5=104+1+5=10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek ve sadeleştirmek.
42=4210=2154{}2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5} olarak yazılır. Bu ifade tam ve kesirli kısımlara ayrıldığında 4+154 + \frac{1}{5} elde edilir.
Ondalık ifadeyi rasyonel sayıya dönüştürmek, bilinmeyen tam sayı değerleri arasındaki ilişkiyi bulmayı kolaylaştırır.
2
Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı değerlerini belirlemek.
a+bc=215a + \frac{b}{c} = \frac{21}{5} denkleminde cc değeri 5'in katı olmalıdır. En küçük toplam için en küçük cc değeri olan c=5c=5 seçilir. Bu durumda denklem a+b5=215⇒5a+b=21a + \frac{b}{5} = \frac{21}{5} \Rightarrow 5a + b = 21 haline gelir.
Toplamın en küçük olması için payda konumundaki cc değerinin mümkün olduğunca küçük bir pozitif tam sayı seçilmesi gerekir.
3
Elde edilen 5a+b=215a + b = 21 denklemini pozitif tam sayılar kümesinde çözmek ve toplamı en küçük yapacak değerleri bulmak.
aa değerine sırasıyla pozitif tam sayı değerleri verildiğinde:
- a=4a = 4 için b=1b = 1 olur. Toplam: a+b+c=4+1+5=10a + b + c = 4 + 1 + 5 = 10.
- a=3a = 3 için b=6b = 6 olur. Toplam: a+b+c=3+6+5=14a + b + c = 3 + 6 + 5 = 14.
- a=2a = 2 için b=11b = 11 olur. Toplam: a+b+c=2+11+5=18a + b + c = 2 + 11 + 5 = 18.
- a=1a = 1 için b=16b = 16 olur. Toplam: a+b+c=1+16+5=22a + b + c = 1 + 16 + 5 = 22.
Buradan en küçük toplam 10 olarak bulunur.
aa'nın katsayısı büyük olduğundan, aa en büyük seçildiğinde bb en küçük değerini alır ve bu durum toplamı minimize eder.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve Tam Sayı İlişkileri
Soru 6Soru →
aa, bb ve cc birer pozitif tam sayı olmak üzere,
a+10b+1c=6a + \frac{10}{b + \frac{1}{c}} = 6
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 33'tür.
Verilen denklemde, a pozitif tam sayı olduğundan bölümlü kısmın alabileceği değerler 1 ile 5 arasındaki tam sayılardır. Bu durumlara karşılık gelen çözümler incelendiğinde elde edilen benzersiz a+b+c toplamları 15, 9, 6 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 33'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenleyip a değişkeninin sınırlarını belirleme
a≥1a \ge 1 bir pozitif tam sayı olduğundan, 10b+1c=6−a\frac{10}{b + \frac{1}{c}} = 6 - a ifadesi de bir pozitif tam sayı olmalıdır. Bu sayıya kk dersek, k=6−a≤5k = 6 - a \le 5 olmalıdır.
Değişkenlerin pozitif tam sayı olma koşulu, denklemin sağ tarafını sınırlar.
2
k de��erine göre durumları analiz etme
k∈{1,2,3,4,5}k \in \{1, 2, 3, 4, 5\} değerleri için b+1c=10kb + \frac{1}{c} = \frac{10}{k} eşitliğini sağlayan bb ve cc pozitif tam sayı ikililerini buluruz.
Her bir k tam sayı değerine karşılık gelen rasyonel ifade çözümlerini bulmak için.
3
Her durum için (a, b, c) üçlülerini ve toplamlarını hesaplama
- k=1  ⟹  a=5,b=9,c=1  ⟹  a+b+c=15k=1 \implies a=5, b=9, c=1 \implies a+b+c=15
- k=2  ⟹  a=4,b=4,c=1  ⟹  a+b+c=9k=2 \implies a=4, b=4, c=1 \implies a+b+c=9
- k=3  ⟹  a=3,b=3,c=3  ⟹  a+b+c=9k=3 \implies a=3, b=3, c=3 \implies a+b+c=9
- k=4  ⟹  a=2,b=2,c=2  ⟹  a+b+c=6k=4 \implies a=2, b=2, c=2 \implies a+b+c=6
- k=5  ⟹  a=1,b=1,c=1  ⟹  a+b+c=3k=5 \implies a=1, b=1, c=1 \implies a+b+c=3
Tüm olası pozitif tam sayı çözümlerini ve bu çözümlerden elde edilen toplamları listelemek için.
4
Farklı toplam değerlerini toplama
a+b+ca+b+c toplamının alabileceği farklı değerler 15, 9, 6 ve 3'tür. Bunların toplamı: 15+9+6+3=3315 + 9 + 6 + 3 = 33 olarak bulunur.
Soru bizden farklı toplamların toplamını istediği için tekrarlayan 9 değerini sadece bir kez dahil ederiz.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve tam sayı içeren denklemlerde değer verme ve sınır analizi

İpuçları

1
a sayısı pozitif bir tam sayı olduğundan, sağ taraftaki rasyonel ifade kesinlikle 6'dan küçük bir pozitif tam sayı olmalıdır.
2
b+1/cb + 1/c ifadesi 10k\frac{10}{k} formatındadır. Burada k sayısı 1, 2, 3, 4 veya 5 olabilir. Her bir durum için b ve c pozitif tam sayılarını bulun.
3
k=3 için b+1/c=10/3=3+1/3b + 1/c = 10/3 = 3 + 1/3 yazarak b=3 ve c=3 elde edebileceğinizi unutmayın. Aynı mantığı k=4 için de uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, rasyonel ifadelerin tam sayı çıktığı diğer denklem tiplerinde sınır değerleri belirleme üzerine pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi b+1c=106−ab + \frac{1}{c} = \frac{10}{6-a} şeklinde yazıp, 6−a6-a ifadesinin alabileceği pozitif değerler için doğrudan b ve c değerlerini çekmek çözümü hızlandırabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →
8x+8x+8x+8x4x+4x=64\frac{8^x + 8^x + 8^x + 8^x}{4^x + 4^x} = 64

olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen rasyonel ifadenin payı 4⋅8x4 \cdot 8^x ve paydası 2⋅4x2 \cdot 4^x şeklinde yazılır. Bu iki ifadenin oranı 4⋅8x2⋅4x=2⋅2x=2x+1\frac{4 \cdot 8^x}{2 \cdot 4^x} = 2 \cdot 2^x = 2^{x+1} olur. 2x+1=642^{x+1} = 64 eşitliğinden 2x+1=262^{x+1} = 2^6 ve buradan x+1=6  ⟹  x=5x+1=6 \implies x=5 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki toplama işlemlerini çarpma biçiminde düzenleyin.
Pay kısmında 4 adet 8x8^x toplandığı için pay 4⋅8x4 \cdot 8^x olur. Payda kısmında 2 adet 4x4^x toplandığı için payda 2⋅4x2 \cdot 4^x olur. Denklem şu hali alır: 4⋅8x2⋅4x=64\frac{4 \cdot 8^x}{2 \cdot 4^x} = 64
Toplama işlemlerini üslü sayı özelliklerini kullanabilmek için çarpım durumuna getirmek gerekir.
2
Katsayıları sadeleştirin ve aynı üsse sahip ifadeleri bölün.
42⋅8x4x=2⋅(84)x=2⋅2x=2x+1\frac{4}{2} \cdot \frac{8^x}{4^x} = 2 \cdot \left(\frac{8}{4}\right)^x = 2 \cdot 2^x = 2^{x+1} olur.
Tabanları farklı üsleri aynı olan ifadelerde bölme işlemi tabanların bölünmesiyle yapılır: ax/bx=(a/b)xa^x / b^x = (a/b)^x.
3
Elde edilen ifadeyi 6464 sayısına eşitleyip xx değerini bulun.
2x+1=64  ⟹  2x+1=26  ⟹  x+1=6  ⟹  x=52^{x+1} = 64 \implies 2^{x+1} = 2^6 \implies x+1 = 6 \implies x = 5 bulunur.
Tabanları eşit olan üslü denklemlerde üsler de birbirine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda toplama, bölme ve taban eşitleme kuralları.
Soru 8Soru →
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılardır.
3a−ba+2b=2\frac{3a - b}{a + 2b} = 2
olduğuna göre, ab\frac{a}{b} oranı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

İçler dışlar çarpım�� yapılarak değişkenler arasındaki ilişki a=5ba = 5b olarak bulunur. Buradan istenen ab\frac{a}{b} oranı 55 değerine eşit olur.
Verilen rasyonel ifadede içler dışlar çarpımı yapıldığında 3a−b=2(a+2b)3a - b = 2(a + 2b) denklemi elde edilir. Parantez dağıtıldığında 3a−b=2a+4b3a - b = 2a + 4b olur. Buradan aa terimleri bir tarafa, bb terimleri diğer tarafa toplandığında a=5ba = 5b bağıntısına ulaşılır. Her iki taraf bb ile bölündüğünde ab=5\frac{a}{b} = 5 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İçler dışlar çarpımı yapılır.
3a−b=2(a+2b)3a - b = 2(a + 2b) denklemi elde edilir.
Rasyonel ifadeden kurtulup doğrusal bir denklem elde etmek için.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki parantez açılır.
3a−b=2a+4b3a - b = 2a + 4b eşitliği bulunur.
Değişkenleri gruplandırabilmek için çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği uygulanır.
3
Benzer terimler eşitliğin aynı tarafında toplanır.
3a−2a=4b+b3a - 2a = 4b + b yani a=5ba = 5b elde edilir.
aa ve bb değişkenleri arasındaki ilişkiyi yalnız bırakarak bulmak için.
4
Elde edilen eşitlik kullanılarak istenen oran hesaplanır.
ab=5\frac{a}{b} = 5 olarak bulunur.
Soruda bizden ab\frac{a}{b} oranı istendiği için her iki taraf bb ye bölünür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerde içler dışlar çarpımı ve değişkenlerin sadeleştirilmesi.
Soru 9Soru →
xx, yy ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,
x<y<zx < y < z
x+yz=12,4x + \frac{y}{z} = 12,4
olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 61

Cevap

En küçük x+y+zx + y + z toplamı 61'dir.
y<zy < z ve pozitif tam sayılar olduklarından yz\frac{y}{z} ifadesi 00 ile 11 arasında bir basit kesirdir. xx tam sayı olduğundan, 12,4=12+0,412,4 = 12 + 0,4 eşitliğinde tam kısım x=12x = 12 ve kesir kısım yz=25\frac{y}{z} = \frac{2}{5} olmalıdır. Buradan y=2ky = 2k ve z=5kz = 5k (kk pozitif tam sayı) olarak ifade edilebilir. x<yx < y koşulu gereği 12<2k12 < 2k olacağından k>6k > 6 elde edilir. Toplamın en küçük değeri için en küçük kk tam sayısı 77 seçilmelidir. Bu durumda y=14y = 14 ve z=35z = 35 olur. Değerlerin toplamı ise 12+14+35=6112 + 14 + 35 = 61 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ondalık sayıyı tam sayı ve kesir kısmı olarak ayrıştırın.
12,4=12+0,4=12+2512,4 = 12 + 0,4 = 12 + \frac{2}{5} elde edilir.
xx bir tam sayı ve yz\frac{y}{z} pozitif basit kesir olduğu için bu ayrım tektir.
2
xx değerini belirleyin ve yy ile zz arasındaki oranı bulun.
x=12x = 12 ve yz=25\frac{y}{z} = \frac{2}{5} olur. Buradan y=2ky = 2k ve z=5kz = 5k (kk pozitif tam sayı) yazılır.
xx tam sayı kısmı, yz\frac{y}{z} ise basit kesir kısmı ile eşleşmelidir.
3
x<y<zx < y < z eşitsizliğini kullanarak kk için alt sınırı bulun.
12<2k<5k  ⟹  12<2k  ⟹  k>612 < 2k < 5k \implies 12 < 2k \implies k > 6 elde edilir.
Soruda verilen sıralama koşulunu sağlamak için x<yx < y olmalıdır.
4
kk tam sayısı için en küçük değeri seçin ve yy ile zz'yi hesaplayın.
En küçük kk tam sayısı 77 olarak seçilir. Buradan y=14y = 14 ve z=35z = 35 bulunur.
Toplamın en küçük değerini bulmak için kk en küçük seçilmelidir.
5
x+y+zx + y + z toplamını hesaplayın.
x+y+z=12+14+35=61x + y + z = 12 + 14 + 35 = 61 olur.
İstenen en küçük toplam değerini elde etmek için değişkenlerin değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda değer verme ve basit kesir özellikleri
Soru 10Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,

a⋅b+ca \cdot b + c çift sayı,
a+b⋅ca + b \cdot c tek sayı

olduğu biliniyor.

Buna göre;

I. ab+ca^b + c
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. ac+baa^c + b^a

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Her zaman çift sayı olan ifade Yalnız II'dir.
Değişkenlerin parite analizi yapıldığında a'nın tek, b'nin çift ve c'nin çift sayı olduğu kesinleşir. Bu durumda, ikinci öncüldeki ifade çift bir sayı olan b ile çarpım durumunda olduğundan, parantez içindeki ifadenin değerinden bağımsız olarak her zaman çift sayı sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap Yalnız II'dir.

Adım Adım Çözüm

1
b değişkeninin tek sayı olma durumunu analiz edelim.
Eğer b tek sayı olsaydı, a * b + c ifadesinin çift olması için a ve c sayılarının her ikisinin de tek ya da her ikisinin de çift olması gerekirdi. Ancak bu iki durum da denendiğinde a + b * c ifadesi her iki senaryoda da çift çıkmaktadır. Soruda bu ifadenin tek sayı olduğu belirtildiğinden, b kesinlikle çift bir sayıdır.
Değişkenlerin paritesini (teklik-çiftlik durumunu) belirlemek için olasılıkları daraltmak.
2
b'nin çift sayı olmasından yola çıkarak a ve c değişkenlerinin paritesini belirleyelim.
b çift sayı olduğundan a * b çarpımı çifttir. a * b + c ifadesinin çift olması için c de çift olmalıdır. a + b * c ifadesinde b * c çarpımı çift olacağından, bu toplamın tek sayı olması için a kesinlikle tek sayı olmalıdır. Sonuç olarak: a tek, b çift ve c çifttir.
Bilinmeyen tüm değişkenlerin kesin parite durumlarını tespit etmek.
3
Elde edilen a (tek), b (çift) ve c (çift) değerlerini öncüllerde yerine koyarak her bir öncülün paritesini değerlendirelim.
I. öncül: a^b + c ifadesinde a tek ve b pozitif tam sayı olduğundan a^b tektir. c çift olduğundan Tek + Çift = Tek olur. II. öncül: b çift sayı olduğundan, b * (a + c) ifadesi her zaman çift sayıdır. III. öncül: a^c + b^a ifadesinde a^c tek ve b^a çift olduğundan Tek + Çift = Tek olur. Bu durumda yalnızca ikinci öncüldeki ifade her zaman çift sayıdır.
Öncüllerin her zaman çift sayı olma şartını sağlayıp sağlamadığını doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile pozitif tam sayı üslerin pariteye etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

I. a+ba + b çift sayıdır.
II. a⋅c+ba \cdot c + b tek sayıdır.
III. b⋅(c+1)b \cdot (c + 1) tek sayıdır.

ifadelerinden yalnızca birinin yanlış olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ab+ca^b + c

Cevap

ab+ca^b + c ifadesi her zaman çift sayıd��r.
Verilen ifadelerden yalnızca birinin yanlış olduğu bilindiğine göre, ifadeler analiz edildiğinde tek tutarlı durum III. ve II. ifadelerin doğru, I. ifadenin ise yanlış olmasıdır. Buradan aa çift, bb tek ve cc çift sayı olarak bulunur. aa ve cc çift pozitif tam sayılar olduğundan, ab+ca^b + c ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
III. ifadenin doğruluğunu analiz etmek.
bb tek sayı, cc çift sayı olmalıdır.
b⋅(c+1)b \cdot (c + 1) çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan bb tek ve c+1c+1 tek olduğundan cc çift olarak bulunur.
2
I. ifadenin yanlış, II. ifadenin ise doğru olması durumunu incelemek.
aa çift sayı olur.
bb tek ve cc çift iken I. ifade yanlışsa a+ba+b tek olmalıdır. Bu durumda aa çift sayı olur. aa çift iken II. ifadeyi kontrol edersek: a⋅c+b=c¸ift⋅c¸ift+tek=teka \cdot c + b = \text{çift} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur ki bu da II. ifadenin doğru olması koşuluyla uyumludur.
3
I. ifadenin doğru, II. ifadenin ise yanlış olması durumunu incelemek.
Çelişki elde edilir.
I. ifade doğru ise a+ba+b çift olmalıdır. bb tek olduğundan aa tek olmalıdır. Bu durumda II. ifade a⋅c+b=tek⋅c¸ift+tek=teka \cdot c + b = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Bu ise II. ifadenin yanlış olması gerektiği varsayımıyla çelişir.
4
III. ifadenin yanlış, I ve II. ifadelerin doğru olması durumunu incelemek.
Çelişki elde edilir.
I. ifade doğru ise aa ve bb aynı parity'ye (teklik-çiftliğe) sahiptir. II. ifade doğru ise a⋅c+ba \cdot c + b tektir. Eğer aa ve bb çift ise a⋅c+ba \cdot c + b çift olur (çelişki). Eğer aa ve bb tek ise a⋅c+ba \cdot c + b tek olması için cc çift olmalıdır. Ancak bu durumda bb tek, cc çift iken b⋅(c+1)b \cdot (c+1) tek olur ki bu da III. ifadenin yanlış olması varsayımıyla çelişir.
5
Elde edilen teklik-çiftlik durumlarına göre seçenekleri değerlendirmek.
ab+ca^b + c ifadesi her zaman çifttir.
aa çift, bb tek ve cc çift pozitif tam sayılardır. Çift bir sayının pozitif tam sayı kuvveti çift olacağından aba^b çift, cc de çift olduğundan bu iki çift sayının toplamı olan ab+ca^b + c daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri ile Mantıksal Çıkarım
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 12Soru →

xx ve yy negatif tam sayılar, zz ise pozitif bir tam sayıdır. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman pozitif bir tam sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅(y−z)x \cdot (y - z)

Cevap

Çarpımları her zaman pozitif olan x⋅(y−z)x \cdot (y - z) ifadesi
Negatif iki sayının farkı ve çarpımı kuralları uygulandığında, yy negatif ve zz pozitif olduğundan −z-z ifadesi negatif olur. Dolayısıyla iki negatif sayının toplamı olan y−zy - z daima negatiftir. Negatif bir sayı olan xx ile negatif olan (y−z)(y - z) ifadesinin çarpımı (x⋅(y−z)x \cdot (y - z)) iki negatif değerin çarpımı olduğundan daima pozitif bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirleme ve analiz etme.
x<0x < 0, y<0y < 0 ve z>0z > 0 olarak verilmiştir.
İfadelerin işaretlerini belirlemek için öncelikle temel değişkenlerin işaret durumlarını netleştirmeliyiz.
2
y−zy - z ifadesinin işaretini belirleme.
z>0z > 0 olduğundan −z<0-z < 0 olur. İki negatif sayının toplamı olan y+(−z)y + (-z) yani y−zy - z ifadesi her zaman negatif (y−z<0y - z < 0) olur.
Seçeneklerdeki parantez içi ifadelerin işaretini bulmak, çarpma işleminin sonucunu belirlememizi sağlar.
3
x⋅(y−z)x \cdot (y - z) çarpımının işaretini hesaplama.
x<0x < 0 ve (y−z)<0(y - z) < 0 olduğundan, iki negatif sayının çarpımı pozitif olur: x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0.
Aynı işaretli iki sayının çarpımının pozitif olduğu kuralını uygulayarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Negatif ve Pozitif Sayılarda İşaret Analizi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 13Soru →
x<0<y<zx < 0 < y < z olmak üzere,
∣x−y∣−∣y−z∣+∣x−z∣|x - y| - |y - z| + |x - z|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2y−2x2y - 2x

Cevap

İfadenin en sade biçimi 2y−2x2y - 2x şeklindedir.
x<0<y<zx < 0 < y < z sıralamasına göre x−yx - y, y−zy - z ve x−zx - z ifadelerinin tamamı negatiftir. Bu nedenle her üç ifade de mutlak değer dışına çıkarılırken eksi ile çarpılarak çıkarılır: ∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x, ∣y−z∣=z−y|y - z| = z - y ve ∣x−z∣=z−x|x - z| = z - x. Bu ifadeler sorudaki işlemde yerine konulup parantezler açıldığında (y−x)−(z−y)+(z−x)=y−x−z+y+z−x=2y−2x(y - x) - (z - y) + (z - x) = y - x - z + y + z - x = 2y - 2x sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerlerin içerisindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek
x<0<y<zx < 0 < y < z sıralamasına göre;
- x−y<0x - y < 0 (negatif)
- y−z<0y - z < 0 (negatif)
- x−z<0x - z < 0 (negatif) olarak bulunur.
Mutlak değer dışına çıkarma kurallarını uygulayabilmek için öncelikle içteki ifadelerin pozitif veya negatif olma durumları tespit edilmelidir.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkarmak
- ∣x−y∣=−(x−y)=y−x|x - y| = -(x - y) = y - x
- ∣y−z∣=−(y−z)=z−y|y - z| = -(y - z) = z - y
- ∣x−z∣=−(x−z)=z−x|x - z| = -(x - z) = z - x elde edilir.
Negatif ifadeler mutlak değer dışına çıkarılırken önlerine eksi işareti alarak (işaretleri değiştirilerek) çıkarlar.
3
Bulunan ifadeleri ana denklemde yerine yazıp sadeleştirmek
(y−x)−(z−y)+(z−x)(y - x) - (z - y) + (z - x)
=y−x−z+y+z−x= y - x - z + y + z - x
=2y−2x= 2y - 2x sonucuna ulaşılır.
Çıkarma işlemindeki eksi işareti parantez içine doğru biçimde da��ıtılarak benzer terimler arasında toplama ve çıkarma işlemleri gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı ve harfli ifadelerde mutlak değer dışına çıkarma kuralları
Soru 14Soru →

aa ve bb pozitif tam sayılar, pp ise bir asal sayıdır.

a⋅b+2a=pa \cdot b + 2a = p

olduğuna göre,

I. aa çift sayıdır.
II. bb tek sayıdır.
III. a+ba+b çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
Verilen denklem a(b+2)=pa(b+2) = p şeklinde yazıldığında, a ve b pozitif tam sayı olduğu için b+2≥3b+2 \geq 3 olur. p asal sayısı sadece 1 ve kendisiyle bölünebildiğinden, 1'den büyük olan b+2b+2 çarpanı p'ye eşit olurken, a çarpanı 1 olmak zorundadır. a'nın 1 olması onun tek sayı olduğunu gösterir. p sayısı 2 olamaz çünkü p'nin 2 olması durumunda b sıfır değerini alır ve pozitif tam sayı olma şartını bozardı. Dolayısıyla p, 2 dışındaki bir tek asal sayıdır. Buradan b=p−2b = p - 2 ifadesi de tek sayıdan çift sayı çıkarıldığı için her zaman tek sayıdır. a ve b tek sayı olduğundan, toplamları olan a + b her zaman çift sayıdır. Bu çıkarımlara göre ikinci ve üçüncü öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklem ortak çarpan parantezine alınır.
a⋅(b+2)=pa \cdot (b + 2) = p
Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırarak asal sayı tanımını uygulamak kolaylaştırılır.
2
Değişkenlerin pozitif tam sayı olması koşulu ile asal sayı tanımı birleştirilerek analiz edilir.
a≥1a \geq 1 ve b≥1b \geq 1 olduğundan, b+2≥3b + 2 \geq 3 olur. pp asal sayısının pozitif çarpanları yalnızca 1 ve kendisi (pp) olabileceğinden, 1'den büyük olan b+2b + 2 çarpanı pp değerine eşit olmalıdır. Bu durumda diğer çarpan olan aa değeri ise kesinlikle 1 olmalıdır.
Bir asal sayının pozitif tam sayılardaki çarpanlarından biri 1, diğeri kendisidir. Çarpanlardan biri en az 3 değerini alabildiği için küçük olan çarpan 1'e eşitlenir.
3
Elde edilen a=1a = 1 ve b=p−2b = p - 2 değerlerinin teklik-çiftlik durumları incelenir.
a=1a = 1 olup tek sayıdır. pp asal sayısı 2 olamaz; çünkü p=2p = 2 olursa b+2=2  ⟹  b=0b + 2 = 2 \implies b = 0 olur ki bu durum bb'nin pozitif tam sayı olması koşuluyla çelişir. Bu sebeple pp sayısı 2 dışındaki tek asal sayılardan biri olmak zorundadır. Tek bir sayıdan çift bir sayı (22) çıkarıldığında sonuç tek olacağından b=p−2b = p - 2 her zaman tek sayıdır. Dolayısıyla II. öncül doğrudur. aa (tek) ve bb (tek) sayılarının toplamı olan a+ba + b ifadesi, iki tek sayının toplamı kuralı gereğince her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.
Öncüllerde yer alan teklik ve çiftlik ifadelerinin doğruluğunu kesinleştirmek için asal sayıların özellikleri ve tek-çift sayı kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Asal sayı tanımı, çarpanlara ayırma ve tek-çift sayı özellikleri
Soru 15Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

a+ba + b ve a⋅b+ca \cdot b + c sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayıdır.

Buna göre;

I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
II. a⋅c+b⋅ca \cdot c + b \cdot c
III. a+b+ca + b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.
Birinci ifadenin her zaman çift olduğu, a,b,ca, b, c sayılarının tamamının tek olmasının başlangıçtaki biri tek diğeri çift koşuluyla çelişmesinden anlaşılır. İkinci ifade c(a+b)c(a+b) şeklinde yazıldığında, a+ba+b tek ise a⋅ba \cdot b çift ve a⋅b+ca \cdot b+c çift olması gerektiğinden cc çift olur, dolayısıyla çarpım çifttir; a+ba+b çift ise çarpım doğrudan çifttir. Bu nedenle birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a+ba + b ve a⋅b+ca \cdot b + c ifadelerinin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.
Bu iki ifadenin toplamı olan (a+b)+(a⋅b+c)(a+b) + (a \cdot b+c) ifadesinin tek sayı olması gerektiği bulunur. Çünkü biri tek, diğeri çifttir.
Tek sayı ile çift sayının toplamı her zaman tek sayıdır.
2
a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
Eğer aa, bb ve cc sayılarının tümü tek sayı olsaydı; a+ba+b çift, a⋅b+ca \cdot b+c de çift olurdu. Bu durum çelişki yarattığı için en az birinin çift olması gerekir. Dolayısıyla çarpımları a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c her zaman çifttir.
En az bir çarpanı çift olan tam sayı çarpımları her zaman çift sayıdır.
3
a⋅c+b⋅ca \cdot c + b \cdot c ifadesini ortak paranteze alarak analiz etmek.
a⋅c+b⋅c=c⋅(a+b)a \cdot c + b \cdot c = c \cdot (a + b) olur. Eğer a+ba+b tek ise, a⋅ba \cdot b çift olur ve a⋅b+ca \cdot b+c çift olacağından cc çift olmalıdır. a+ba+b çift ise sonuç doğrudan çift olur. Her iki durumda da çarpım çifttir.
Çarpımın elemanlarından birinin çift olması sonucun çift olmasını garanti eder.
4
a+b+ca + b + c ifadesinin her zaman çift olup olmadığını test etmek.
a=2,b=2,c=1a=2, b=2, c=1 için a+b=4a+b=4 (çift) ve a⋅b+c=5a \cdot b+c=5 (tek) şartı sağlanır ancak a+b+c=5a+b+c = 5 (tek) olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift değildir.
Karşıt bir örnek bulunması ifadenin her zaman doğru olmadığını kanıtlar.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri ve Parite Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →

aa, bb ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a⋅b+b⋅c=24a \cdot b + b \cdot c = 24

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 35'tir.
Denklem b(a+c)=24b(a+c) = 24 olarak yazıldığında, değişkenlerin pozitif ve birbirinden farklı tam sayılar olma koşulu altında a+b+ca+b+c toplamının alabileceği en büyük değer b=1b=1 için 25, en küçük değer ise b=4b=4 veya b=6b=6 için 10 olmaktadır. Bu iki değerin toplamı 35'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.
b(a+c)=24b(a + c) = 24 elde edilir.
a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesinde bb ortak çarpan parantezine alınarak değişkenler arasındaki ilişki daha net görülür.
2
bb ve a+ca+c çarpanlarının 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olması gerektiğini belirleyelim.
24'ün pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. aa ve cc pozitif tam sayılar ve a≠ca \neq c olduğundan a+c≥1+2=3a+c \ge 1+2=3 olmalıdır.
Değişkenlerin pozitif ve birbirinden farklı olması sınır koşullarını belirler.
3
Her bir bb böleni için a+b+ca+b+c toplamını inceleyelim.
b=1b = 1 için a+c=24  ⟹  {a,c}={2,22}a+c = 24 \implies \{a, c\} = \{2, 22\} seçilebilir. Toplam: 1+24=251 + 24 = 25 (en büyük değer). b=2b = 2 için a+c=12  ⟹  {a,c}={3,9}  ⟹  a+c = 12 \implies \{a, c\} = \{3, 9\} \implies Toplam: 2+12=142 + 12 = 14. b=3b = 3 için a+c=8  ⟹  {a,c}={1,7}  ⟹  a+c = 8 \implies \{a, c\} = \{1, 7\} \implies Toplam: 3+8=113 + 8 = 11. b=4b = 4 için a+c=6  ⟹  {a,c}={1,5}  ⟹  a+c = 6 \implies \{a, c\} = \{1, 5\} \implies Toplam: 4+6=104 + 6 = 10 (en küçük değer). b=6b = 6 için a+c=4  ⟹  {a,c}={1,3}  ⟹  a+c = 4 \implies \{a, c\} = \{1, 3\} \implies Toplam: 6+4=106 + 4 = 10 (en küçük değer). b=8b = 8 için a+c=3  ⟹  {a,c}={1,2}  ⟹  a+c = 3 \implies \{a, c\} = \{1, 2\} \implies Toplam: 8+3=118 + 3 = 11. b=12b = 12 için a+c=2a+c = 2 olur ancak toplamı 2 olan farklı pozitif tam sayılar yoktur (1+1=21+1=2 olup sayılar aynıdır).
Tüm olası çarpan eşlemelerini inceleyerek sınır değerleri tespit etmek gerekir.
4
En büyük ve en küçük toplam değerlerini bulup toplayalım.
En büyük değer 25, en küçük değer 10'dur. Toplamları: 25+10=3525 + 10 = 35 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük değerlerin toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve pozitif tam sayı bölenlerinin sınır koşullarına göre analizi.

İpuçları

1
İfadeyi bb ortak parantezine alarak b(a+c)=24b(a+c) = 24 biçiminde yazın.
2
a,b,ca, b, c sayılarının pozitif tam sayılar olduğunu ve a≠ca \neq c şartını sağladığını göz önünde bulundurarak 24'ün bölenlerini inceleyin.
3
b=1b=1 için toplamın en büyük değerini (25) ve b=4b=4 ya da b=6b=6 için en küçük değerini (10) elde edebileceğinizi doğrulayın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

aa, bb ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.

a⋅(b+c)=110a \cdot (b + c) = 110

olduğuna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 285

Cevap

285
Doğru cevap 285'tir. a⋅(b+c)=110a \cdot (b + c) = 110 denkleminde aa sayısı 110'un bir asal çarpanı olmalıdır. 110 sayısının asal çarpanları 2, 5 ve 11'dir. a=5a = 5 durumunda b+c=22b + c = 22 olur. Toplamları 22 olan ve birbirinden farklı asal sayı çifti {3,19}\{3, 19\} olup çarpımları 5⋅3⋅19=2855 \cdot 3 \cdot 19 = 285 değerini verir. Diğer olası durum olan a=11a = 11 için elde edilen çarpım 231 olduğundan en büyük değer 285'tir.

Adım Adım Çözüm

1
110 sayısını asal çarpanlarına ayırarak aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek.
110=2⋅5⋅11110 = 2 \cdot 5 \cdot 11 olduğundan, aa asal sayısı 2, 5 veya 11 değerlerini alabilir.
aa sayısı 110'u bölen bir asal sayı olmak zorundadır.
2
a=2a = 2 durumunu incelemek.
a=2a = 2 ise b+c=55b + c = 55 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (55) ise bu sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmak zorundadır. Ancak a=2a = 2 olduğundan ve asal sayılar birbirinden farklı olması gerektiğinden bu durumdan çözüm gelmez.
Asal sayıların farklı olması ve tek-çift sayı kurallarının uygulanması gerekir.
3
a=5a = 5 durumunu incelemek.
a=5a = 5 ise b+c=22b + c = 22 olur. Toplamları 22 olan farklı asal sayı çiftleri (3,19)(3, 19) ve (5,17)(5, 17)'dir. a=5a = 5 olduğundan, farklılık koşulunu sağlayan tek çift {3,19}\{3, 19\} olur. Bu durumda çarpım 5⋅3⋅19=2855 \cdot 3 \cdot 19 = 285 bulunur.
Farklı asal sayılar koşulunu sağlayan değerleri bulmak.
4
a=11a = 11 durumunu incelemek ve en büyük değeri belirlemek.
a=11a = 11 ise b+c=10b + c = 10 olur. Toplamları 10 olan farklı asal sayı çiftleri (3,7)(3, 7) ve (5,5)(5, 5)'dir. Farklılık koşulunu sağlayan tek çift {3,7}\{3, 7\} olur. Bu durumda çarpım 11⋅3⋅7=23111 \cdot 3 \cdot 7 = 231 bulunur. Elde edilen değerlerden en büyüğü 285'tir.
Tüm durumları karşılaştırarak en büyük çarpımı elde etmek.

Anahtar Kavram

Asal Sayılar ve Tek-Çift Sayı Özellikleri
Soru 18Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayıdır.
a⋅b+c=13a \cdot b + c = 13
a+b⋅c=13a + b \cdot c = 13
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamın��n alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

26
Denklem sistemi taraf tarafa çıkarılıp ortak çarpan parantezine alındığında (a−c)(b−1)=0(a-c)(b-1) = 0 elde edilir. Buradan iki durum oluşur: Birincisi b=1b = 1 durumudur ki bu durumda a+c=13a + c = 13 ve toplam 1414 olur. İkincisi a=ca = c durumudur ki bu durumda a(b+1)=13a(b+1) = 13 elde edilir. 1313 asal sayısı için en büyük toplamı veren a=13a = 13, b=0b = 0, c=13c = 13 çözümüyle a+b+ca + b + c değeri en fazla 2626 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak bir çarpan bulmaya çalışın.
(a⋅b+c)−(a+b⋅c)=13−13  ⟹  a⋅b−a−b⋅c+c=0(a \cdot b + c) - (a + b \cdot c) = 13 - 13 \implies a \cdot b - a - b \cdot c + c = 0 ifadesi elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak değişkenler arasındaki ilişkileri belirlemek için denklemler sadeleştirilir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
a(b−1)−c(b−1)=0  ⟹  (a−c)(b−1)=0a(b - 1) - c(b - 1) = 0 \implies (a - c)(b - 1) = 0 denklemi bulunur.
Çarpımın sıfır olması, çarpanlardan en az birinin sıfır olmas��nı gerektirir. Bu da bize iki farklı durum sunar.
3
Birinci durum olan b−1=0  ⟹  b=1b - 1 = 0 \implies b = 1 olasılığını inceleyin.
b=1b = 1 için denklemde yerine yazıldığında a+c=13a + c = 13 elde edilir. Bu durumda toplam a+b+c=(a+c)+b=13+1=14a + b + c = (a + c) + b = 13 + 1 = 14 olur.
b=1b = 1 olduğu tüm durumlarda a+b+ca + b + c toplamı sabit kalır ve 14 değerini alır.
4
İkinci durum olan a−c=0  ⟹  a=ca - c = 0 \implies a = c olasılığını inceleyin ve tam sayı çarpanlarını belirleyin.
a=ca = c için birinci denklemde yerine yazılırsa a⋅b+a=13  ⟹  a(b+1)=13a \cdot b + a = 13 \implies a(b + 1) = 13 elde edilir. 1313 asal sayı olduğundan tam sayı çarpanları ±1\pm 1 ve ±13\pm 13'tür.
Tam sayı çözümleri bulmak için asal sayının çarpanları değerlendirilir.
5
En büyük toplamı elde etmek için bu çarpan durumlarını karşılaştırın.
a=13a = 13 ve b+1=1  ⟹  b=0b + 1 = 1 \implies b = 0 alınırsa, a=c=13a = c = 13 olacağından a+b+c=13+0+13=26a + b + c = 13 + 0 + 13 = 26 bulunur. Diğer durumlarda daha küçük toplamlar elde edilir (a=1  ⟹  14a = 1 \implies 14, a=−13  ⟹  −28a = -13 \implies -28, a=−1  ⟹  −16a = -1 \implies -16). Bu durumda en büyük değer 2626 olur.
Olası tüm tam sayı değerleri değerlendirilerek en büyük toplam değeri tespit edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Tam Sayılarda Çarpanlara Ayırma ve Asal Çarpan Analizi

İpuçları

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak bir çarpan bulmaya çalışın.
2
Taraf tarafa çıkarma sonucu (a−c)(b−1)=0(a-c)(b-1) = 0 elde edeceksiniz. Buradan a=ca=c veya b=1b=1 durumlarını ayrı ayrı değerlendirin.

Alternatif Yöntem

Denklemleri taraf tarafa topladığınızda (b+1)(a+c)=26(b+1)(a+c) = 26 elde edilir. Bu denklemi de çarpanlarına ayırarak olası tam sayı gruplarını deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

xx bir tam sayıdır.

5x−35x - 3 sayısı bir tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x+23x + 2

Cevap

Değeri her zaman çift olan ifade 3x+23x + 2 ifadesidir.
3x+23x + 2 ifadesinde, xx çift bir tam sayı olduğu için 3x3x de çift bir tam sayıdır. İki çift tam sayının toplamı her zaman çift olduğundan bu ifade daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
5x−35x - 3 ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz ederek xx tam sayısının paritesini belirleme.
xx sayısının çift bir tam sayı olduğu bulunur.
5x−35x - 3 tek sayı ise, tek sayı olan 33 çıkarıldığında tek elde etmek için 5x5x çift olmalıdır. 55 tek sayı olduğundan, çarpımın çift olması için xx çift tam sayı olmalıdır.
2
xx sayısının negatif ve sıfır değerleri de alabileceğini dikkate alarak seçenekleri değerlendirme.
3x+23x + 2 ifadesinin her durumda çift sayı olduğu, diğer seçeneklerin ise elendiği görülür.
xx çift tam sayı olduğuna göre, 3x3x çift olur ve 22 ile toplandığında sonuç her zaman çifttir. Üslü ifadeler içeren seçenekler xx'in negatif veya sıfır değerleri için çift sayı üretmez.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik-çiftlik özellikleri ve negatif üs kavramı
Soru 20Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.

a2+a⋅b+ba^2 + a \cdot b + b

ifadesi bir çift sayı ve b⋅cb \cdot c bir asal sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅c+ba \cdot c + b

Cevap

a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin değeri her zaman çift sayıdır.
Doğru seçenekte verilen ifade, aa çift sayısı ile c=1c = 1 sayısının çarpımına b=2b = 2 çift sayısının eklenmesiyle oluşur. Çift bir sayının 1 ile çarpımı çift olup, bu sonuca çift bir sayı olan 2 eklendiğinde elde edilen toplam her zaman bir çift sayı olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a⋅b+ba^2 + a \cdot b + b ifadesinin tek-çift durumunu inceleyelim.
a(a+b)+ba(a + b) + b ifadesinin çift sayı olduğunu elde ederiz.
a2+a⋅ba^2 + a \cdot b ifadesi a(a+b)a(a+b) şeklinde ortak çarpan parantezine alınabilir.
2
bb sayısının tek veya çift olma durumlarını analiz edelim.
bb ve aa sayılarının ikisinin de çift sayı olması gerektiğini buluruz.
Eğer bb tek sayı olsaydı, a(a+b)a(a+b) ifadesinin de tek sayı olması gerekirdi. Bunun için hem aa hem de a+ba+b tek olmalıdır. Ancak aa tek ise a+ba+b (tek + tek) çift olur, bu da çelişki yaratır. Dolayısıyla bb kesinlikle çift sayıdır. bb çift iken toplamın çift olması için a(a+b)a(a+b) çift olmalıdır; bu da aa çift olduğunda sağlanır.
3
b⋅cb \cdot c asal sayı bilgisini kullanalım.
b=2b = 2 ve c=1c = 1 değerlerini buluruz.
bb çift bir pozitif tam sayı olduğundan b≥2b \ge 2'dir. cc de pozitif bir tam sayı olduğundan b⋅cb \cdot c çarpımı en az 2'dir. Çarpımın sonucu asal sayı olduğuna ve bb çift çarpanını içerdiğine göre, bu asal sayı yalnızca en küçük ve tek çift asal sayı olan 2 olabilir. Buradan b⋅c=2b \cdot c = 2 ve dolayısıyla b=2b = 2, c=1c = 1 elde edilir.
4
Elde edilen aa çift sayısı, b=2b = 2 ve c=1c = 1 değerlerini seçeneklerde yerine koyarak teklik-çiftlik durumunu kontrol edelim.
a⋅c+b=a⋅1+2=a+2a \cdot c + b = a \cdot 1 + 2 = a + 2 ifadesi çift sayıdır.
aa çift sayı olduğuna göre a+2a + 2 toplamı da daima çift sayı olacaktır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile asal sayıların tanımı ve pozitif tam sayılar kümesindeki sınırları.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 3Sonraki