Examkin

Hareket Problemleri

36 soru

Soru 21Soru →

Bir elektrikli bisiklet sürücüsü, 45 km45\text{ km} uzunluğundaki bir yolun ilk kısmını saatte ortalama 15 km15\text{ km} sabit hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama 30 km30\text{ km} sabit hızla giderek tüm yolculuğu tamamlamıştır.

Sürücünün bu yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 18 km18\text{ km} olduğuna göre, yolun ilk kısmını kaç dakikada almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Yolun ilk k��smının 120 dakika sürdüğünü belirten seçenek doğrudur.
Ortalama hız formülü kullanılarak toplam süre 2,5 saat olarak hesaplanır. Yolun ilk ve ikinci bölümlerinde geçen süreler cinsinden yol denklemi yazılıp çözüldüğünde, saatte 15 km hızla gidilen ilk kısmın 2 saat (120 dakika) sürdüğü bulunur. Bu nedenle 120 değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yolculuğun toplam süresini bulmak için toplam yol uzunluğunu ortalama hıza böleriz.
ttoplam=4518=2,5 saatt_{\text{toplam}} = \frac{45}{18} = 2,5\text{ saat}
Ortalama hız, toplam yolun toplam geçen süreye oranıdır (Vort=XtoplamttoplamV_{\text{ort}} = \frac{X_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}).
2
Yolun ilk kısmı için geçen süreyi t1t_1, ikinci kısmı için geçen süreyi t2t_2 olarak tanımlayıp denklemleri kurarız.
t1+t2=2,5t_1 + t_2 = 2,5 ve yol denklemi: 15⋅t1+30⋅t2=4515 \cdot t_1 + 30 \cdot t_2 = 45 elde edilir.
Yol, hız ile zamanın çarpımına eşittir (x=v⋅tx = v \cdot t).
3
t2=2,5−t1t_2 = 2,5 - t_1 ifadesini yol denkleminde yerine yazarak t1t_1'i çözeriz.
15⋅t1+30⋅(2,5−t1)=45  ⟹  15t1+75−30t1=45  ⟹  −15t1=−30  ⟹  t1=2 saat15 \cdot t_1 + 30 \cdot (2,5 - t_1) = 45 \implies 15 t_1 + 75 - 30 t_1 = 45 \implies -15 t_1 = -30 \implies t_1 = 2\text{ saat}
İlk kısımda geçen süreyi saat cinsinden bulmak için birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözeriz.
4
Saat cinsinden bulduğumuz süreyi dakikaya çeviririz.
2 saat×60 dakika/saat=120 dakika2 \text{ saat} \times 60 \text{ dakika/saat} = 120 \text{ dakika}
Soru bizden süreyi dakika cinsinden istemektedir.

Anahtar Kavram

Hareket problemlerinde ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranı olarak hesaplanır. Parçalı yolculuklarda her bir bölümün süresi ayrı ayrı bulunarak denklem kurulmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →

Bir yüzücü, akıntı hızının dakikada 10 metre10\text{ metre} olduğu bir nehirde akıntıya karşı yüzerek 300 metre300\text{ metre} uzaklıktaki bir iskeleye ulaşmak istemektedir. Yüzücünün durgun sudaki hızı dakikada 40 metre40\text{ metre}'dir.

Buna göre, yüzücü bu iskeleye kaç dakikada ulaşır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Yüzücünün iskeleye ulaşma süresi 10 dakikadır.
Yüzücü akıntıya karşı yüzdüğü için akıntı hızı yüzücünün hızını azaltır. Net hız 40−10=30 m/dk40 - 10 = 30\text{ m/dk} olur. 300 metre300\text{ metre} yolu bu hızla alan yüzücünün varış süresi 300/30=10 dakika300 / 30 = 10\text{ dakika} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzücünün akıntıya karşı hareket ederken sahip olduğu net hızı bulmak için durgun sudaki hızından akıntı hızı çıkarılır.
40−10=30 m/dk40 - 10 = 30\text{ m/dk}
Akıntıya karşı yüzüldüğünde akıntı hızı yüzücüyü yavaşlatıcı yönde etki eder.
2
Bulunan net hız kullanılarak yol formülü (x=v×tx = v \times t) ile süre (tt) hesaplanır.
t=30030=10 dakikat = \frac{300}{30} = 10\text{ dakika}
Zaman, alınan yolun net hıza bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Akıntıya karşı hareket problemleri
Soru 23Soru →

Bir hızlı tren, iki istasyon arasındaki mesafenin ilk yarısını saatte ortalama 60 km60\text{ km} sabit hızla almıştır. Yolun ikinci yarısında ise tren, önce yol çalışması nedeniyle bir süre saatte 30 km30\text{ km} sabit hızla, çalışmanın bitiminden sonra ise kalan kısmı saatte 90 km90\text{ km} sabit hızla giderek ikinci istasyona ulaşmıştır.

Trenin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 48 km48\text{ km} olduğuna göre, trenin yolun ikinci yarısında saatte 30 km30\text{ km} hızla hareket ettiği sürenin, saatte 90 km90\text{ km} hızla hareket ettiği süreye oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Trenin yolun ikinci yarısında saatte 30 km hızla hareket ettiği sürenin, saatte 90 km hızla hareket ettiği süreye oranı 5'tir.
Ortalama hız formülü olan Toplam Yol / Toplam Zaman prensibine göre toplam yol 2S2S ve ilk yarıda geçen süre S/60S/60 olarak belirlenir. Ortalama hız 48 km/sa48\text{ km/sa} olduğuna göre ikinci yarıdaki toplam süre S/40S/40 olur. İkinci yarıda saatte 30 km30\text{ km} hızla gidilen süreye tAt_A, saatte 90 km90\text{ km} hızla gidilen süreye tBt_B denildiğinde toplam yol 30tA+90tB30t_A + 90t_B olur. Bu yol 40(tA+tB)40(t_A + t_B) ifadesine eşitlendiğinde 10tA=50tB10t_A = 50t_B elde edilir ve oran 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yolun bölümlerini tanımlayarak ilk yarıda geçen süreyi belirleme.
İstasyonlar arasındaki toplam mesafeye 2S2S dersek, yolun ilk yarısı SS, ikinci yarısı da SS olur. İlk yarı saatte 60 km60\text{ km} hızla gidildiğinden geçen süre t1=S60t_1 = \frac{S}{60} olur.
Yolun ilk yarısı için harcanan süreyi yol değişkeni cinsinden ifade etmek.
2
Tüm yolculuk için ortalama hız formülünü kullanarak ikinci yarıdaki toplam süreyi bulma.
Vort=Toplam YolToplam Zaman=2St1+t2=48 km/saV_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2S}{t_1 + t_2} = 48\text{ km/sa} eşitliğini kurarız. Buradan 2S=48(t1+t2)2S = 48(t_1 + t_2) elde edilir. t1=S60t_1 = \frac{S}{60} değerini yerine yazarsak:
2S=48(S60+t2)  ⟹  2S=08S+48t2  ⟹  12S=48t2  ⟹  S=40t22S = 48 \left(\frac{S}{60} + t_2\right) \implies 2S = 0{}8S + 48t_2 \implies 1{}2S = 48t_2 \implies S = 40t_2
Yani ikinci yarının toplam süresi t2=tA+tB=S40t_2 = t_A + t_B = \frac{S}{40} olarak bulunur.
Ortalama hız bilgisini kullanarak ikinci yarıdaki toplam süreyi yol cinsinden ifade etmek.
3
İkinci yarıdaki hareket denklemini kurma.
İkinci yarıda tren tAt_A süreyle 30 km/sa30\text{ km/sa} hızla, tBt_B süreyle 90 km/sa90\text{ km/sa} hızla gitmiştir. Bu yarıda alınan toplam yol:
S=30tA+90tBS = 30t_A + 90t_B olur.
Hızlar ve süreler yardımıyla ikinci yarıda alınan yolu yazmak.
4
Elde edilen denklemleri eşitleyerek sürelerin oranını hesaplama.
S=40(tA+tB)S = 40(t_A + t_B) ve S=30tA+90tBS = 30t_A + 90t_B denklemlerini birbirine eşitlersek:
40tA+40tB=30tA+90tB  ⟹  10tA=50tB  ⟹  tAtB=540t_A + 40t_B = 30t_A + 90t_B \implies 10t_A = 50t_B \implies \frac{t_A}{t_B} = 5 elde edilir.
Farklı hızlarda geçen sürelerin oranını bulmak.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. İki bölümden oluşan hareketlerde her bir bölümün aldığı süreler ve yollar arasındaki ilişkiler kurularak denklem çözülür.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme yöntemi: Yolun her bir yarısının mesafesini 240 km240\text{ km} olarak kabul edelim (toplam yol 480 km480\text{ km}). Tüm yolculukta ortalama hız 48 km/sa48\text{ km/sa} olduğundan toplam süre 480/48=10 saat480 / 48 = 10\text{ saat} olmalıdır. Yolun ilk yarısı 240 km240\text{ km} olup saatte 60 km60\text{ km} hızla 240/60=4 saatte240 / 60 = 4\text{ saatte} tamamlanır. Bu durumda yolun ikinci yarısı için kalan süre 10−4=6 saattir10 - 4 = 6\text{ saattir}. İkinci yarıda saatte 30 km30\text{ km} hızla gidilen süreye tAt_A, saatte 90 km90\text{ km} hızla gidilen süreye tBt_B dersek; tA+tB=6t_A + t_B = 6 ve 30tA+90tB=24030t_A + 90t_B = 240 denklemleri elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde tA=5t_A = 5 ve tB=1t_B = 1 bulunur. Buradan oran tAtB=51=5\frac{t_A}{t_B} = \frac{5}{1} = 5 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →

A kentinden B kentine doğru sabit hızla hareket eden bir otomobil ile B kentinden A kentine doğru aynı anda ve sabit hızla yola çıkan bir motosiklet, yol üzerindeki bir C noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaştıkları anda otomobil h��zını 2 katına çıkarıyor, motosiklet ise hızını yarıya indiriyor. Bu hız değişimlerinden sonra yoluna devam eden otomobil B kentine ulaştığı anda, motosikletin A kentine ulaşmasına 150 km150\text{ km} yol kalıyor.

Eğer bu araçlar karşılaştıktan sonra hızlarını değiştirmeselerdi, otomobil B kentine ulaştığı anda motosikletin A kentine ulaşmasına 120 km120\text{ km} yol kalmış olacaktı.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki toplam mesafe kaç km\text{km}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Toplam yol mesafesi olan 240 km
Denklemler kurulup çözüldüğünde, karşılaşma noktasının A kentine olan uzaklığı 160 km160\text{ km} ve B kentine olan uzaklığı 80 km80\text{ km} olarak elde edilir. Bu iki mesafenin toplamı olan 240 km240\text{ km} A ile B kentleri arasındaki toplam mesafeyi verir.

Adım Adım Çözüm

1
Araçların ilk hızlarını ve yol bölümlerini tanımlama
Otomobilin hızı v1v_1, motosikletin hızı v2v_2 olsun. Karşılaşma noktası C olmak üzere, A ile C arası xx km, C ile B arası yy km olsun. Aynı anda yola çıkıp C'de karşılaştıkları için geçen süreler eşittir: xv1=yv2  ⟹  v2v1=yx\frac{x}{v_1} = \frac{y}{v_2} \implies \frac{v_2}{v_1} = \frac{y}{x}
Karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğini kullanarak hızlar ile yollar arasında bir oran kurmak gerekir.
2
Hızların değişmediği durum için denklem kurma
Otomobil C'den B'ye (yy yolu) v1v_1 hızıyla yv1\frac{y}{v_1} sürede gider. Bu sürede motosikletin aldığı yol v2⋅yv1=y2xv_2 \cdot \frac{y}{v_1} = \frac{y^2}{x} km olur. Kalan yol 120 km120\text{ km} olduğuna göre: x−y2x=120  ⟹  y2=x2−120xx - \frac{y^2}{x} = 120 \implies y^2 = x^2 - 120x olur.
Araçların hız değişiminin olmadığı durumda aldıkları yolları ve kalan mesafeyi ilişkilendirerek ilk denklemi oluşturmak.
3
Hızların değiştiği durum için denklem kurma
Otomobilin yeni hızı 2v12v_1, motosikletin yeni hızı 0,5v20,5v_2 olur. Otomobil C'den B'ye y2v1\frac{y}{2v_1} sürede ulaşır. Bu sürede motosikletin aldığı yol 0,5v2⋅y2v1=y24x0,5v_2 \cdot \frac{y}{2v_1} = \frac{y^2}{4x} km olur. Kalan yol 150 km150\text{ km} olduğuna göre: x−y24x=150  ⟹  y2=4x2−600xx - \frac{y^2}{4x} = 150 \implies y^2 = 4x^2 - 600x olur.
Belirtilen hız değişimlerine göre araçların hareket sürelerini ve aldıkları yolları hesaplayıp ikinci denklemi oluşturmak.
4
İki denklemdeki y2y^2 ifadelerini eşitleyerek xx değerini çözme
x2−120x=4x2−600x  ⟹  3x2−480x=0x^2 - 120x = 4x^2 - 600x \implies 3x^2 - 480x = 0. x≠0x \neq 0 olduğundan 3x(x−160)=0  ⟹  x=160 km3x(x - 160) = 0 \implies x = 160\text{ km} bulunur.
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözerek karşılaşma noktasının A kentine olan uzaklığını (xx) hesaplamak.
5
Bulunan xx değeriyle yy değerini ve toplam yolu hesaplama
y2=1602−120⋅160=160(160−120)=6400  ⟹  y=80 kmy^2 = 160^2 - 120 \cdot 160 = 160(160 - 120) = 6400 \implies y = 80\text{ km} olur. Toplam yol D=x+y=160+80=240 kmD = x + y = 160 + 80 = 240\text{ km} olarak bulunur.
A ve B kentleri arasındaki toplam mesafeyi bulmak için elde edilen alt yolları (xx ve yy) toplamak.

Anahtar Kavram

İki hareketlinin karşılaşma problemlerinde geçen zamanın eşitliği ve hız-zaman-yol ilişkisinin oranlar üzerinden modellenmesi.

İpuçları

1
C noktasındaki karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğini kullanarak araçların hızları oranı ile yolların oranı (xx ve yy) arasında bir ilişki kurun.
2
Karşılaşmadan sonra otomobilin B'ye ulaşma sürelerini her iki durum için de ayrı ayrı yazıp bu sürelerde motosikletin A'ya doğru ne kadar yol alabileceğini y2x\frac{y^2}{x} cinsinden ifade edin.
3
y2=x2−120xy^2 = x^2 - 120x ve y2=4x2−600xy^2 = 4x^2 - 600x denklemlerini eşitleyerek önce xx'i, ardından yy'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Karşılaştıktan sonra yönlerini değiştiren veya dairesel bir pistte hareket eden benzer hız değişimli hareket problemlerini çözerek bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla: İkinci durumda otomobil hızını 2 katına çıkardığı için hedefi daha kısa sürede tamamlar. Motosiklet ise hem yarı yarıya daha yavaş hareket eder hem de otomobil hızlandığı için daha kısa süre hareket imkanı bulur. Bu sebeple motosikletin aldığı yol ilk duruma göre 12×12=14\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} oranına düşer. Buradan y2/xy^2/x ifadesinin 34\frac{3}{4}'ünün azalmasının kalan yolu 30 km artırdığı (150−120=30150 - 120 = 30) görülür. Buradan denklem çözümleri daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 25Soru →

Bir alışveriş merkezinde yukarı doğru sabit hızla hareket eden bir yürüyen merdiveni kullanan Hakan, merdivenin hareket yönünde kendi sabit hızıyla yürüyerek çıktığında toplam 20 adım atarak en üst noktaya ulaşıyor. Hakan, yürüyen merdivenin hızı değişmeden kendi yürüme hızını 2 katına çıkarıp aynı yönde yürürse en üst noktaya ulaştığında toplam 24 adım atmış oluyor.

Buna göre, Hakan çalışmakta olan bu yürüyen merdivende hiç adım atmadan sabit dursaydı, merdiven onu en üst noktaya Hakan'ın ilk yürüme hızıyla tek başına atacağı kaç adımın süresine eşit bir sürede ulaştırırdı?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Hakan'ın ilk yürüme hızıyla 60 adım atacağı süre
Hakan'ın ilk yürüme hızıyla attığı adımların süresi ile merdivenin taşıma süresi arasındaki ilişki kurulduğunda, merdivenin Hakan'ı tek başına en üste çıkarma süresinin Hakan'ın ilk hızıyla 60 adım atacağı süreye eşit olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Hakan'ın yürüme hızını vHv_H, merdivenin hızını vev_e ve merdivenin toplam basamak uzunluğunu LL olarak tanımlayarak ilk durum için denklem kuralım.
Hakan ilk hızında 20 adım attığı için geçen süre t1=20vHt_1 = \frac{20}{v_H} olur. Bu sürede merdivenin aldığı yol ve⋅t1=20vevHv_e \cdot t_1 = \frac{20v_e}{v_H} basamaktır. Merdivenin toplam boyu: L=20+20vevHL = 20 + \frac{20v_e}{v_H} şeklinde ifade edilir.
Hakan'ın attığı adım sayısı ile merdivenin onu taşıdığı mesafenin toplamı merdivenin toplam boyuna eşittir.
2
Hakan'ın hızını 2 katına çıkardığı ikinci durum için denklem kuralım.
Hakan yürüme hızını 2vH2v_H yaptığında 24 adım atmıştır. Geçen süre t2=242vH=12vHt_2 = \frac{24}{2v_H} = \frac{12}{v_H} olur. Bu sürede merdivenin aldığı yol ve⋅t2=12vevHv_e \cdot t_2 = \frac{12v_e}{v_H} basamaktır. Merdivenin toplam boyu: L=24+12vevHL = 24 + \frac{12v_e}{v_H} olur.
İkinci durumdaki yürüme süresi ve hız değişimiyle kat edilen toplam yolu belirlemek için.
3
Her iki durum için yazılan LL ifadelerini birbirine eşitleyerek hızlar arasındaki ilişkiyi ve merdivenin basamak cinsinden boyunu bulalım.
20+20vevH=24+12vevH  ⟹  8vevH=4  ⟹  vH=2ve20 + \frac{20v_e}{v_H} = 24 + \frac{12v_e}{v_H} \implies \frac{8v_e}{v_H} = 4 \implies v_H = 2v_e elde edilir. Bu oranı ilk denklemde yerine yazarsak L=20+20⋅(12)=30L = 20 + 20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 30 basamak bulunur.
Yürüyen merdivenin hızı ile Hakan'ın yürüme hızı arasındaki oranı ve merdivenin toplam fiziksel uzunluğunu belirlemek için.
4
Hakan'ın merdiven üzerinde adım atmadan durduğu durumdaki süreyi hesaplayalım ve Hakan'ın adım süresine oranlayalım.
Hakan sabit durduğunda merdiven onu t3=Lve=30vet_3 = \frac{L}{v_e} = \frac{30}{v_e} sürede en üste çıkarır. Hakan'ın ilk yürüme hızıyla (vHv_H) atacağı NN adımın süresi NvH\frac{N}{v_H} olduğuna göre, 30ve=NvH  ⟹  N=30⋅vHve\frac{30}{v_e} = \frac{N}{v_H} \implies N = 30 \cdot \frac{v_H}{v_e} olur. vH=2vev_H = 2v_e olduğundan N=30⋅2=60N = 30 \cdot 2 = 60 adım süresi elde edilir.
Merdivenin tek başına taşıma süresinin Hakan'ın ilk hızıyla kaç adıma karşılık geldiğini bulmak için.

Anahtar Kavram

Yürüyen merdiven problemlerinde bağıl hareket ve hız-zaman-yol ilişkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

Dairesel bir pist etrafında aynı noktadan aynı anda ve zıt yönlerde sabit hızlarla koşmaya başlayan iki sporcudan hızlı olanının hızı, yavaş olanının hızının 22 katıdır. Bu iki sporcu ilk kez karşılaştıktan 1212 dakika sonra, yavaş olan sporcu başlangıç noktasına ulaşıyor. Buna göre, hızlı olan sporcu pistin tamamını tek başına kaç dakikada koşar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Hızlı olan sporcu pistin tamamını 9 dakikada koşar.
Yavaş sporcunun hızı vv, hızlı sporcunun hızı 2v2v alındığında karşılaşma süresi tt için pistin çevresi 3vt3vt olur. Karşılaşma anında hızlı sporcu 2vt2vt yol almıştır. Karşılaşmadan sonra yavaş sporcu başlangıç noktasına dönmek için bu 2vt2vt mesafesini kendi hızı olan vv ile 12 dakikada alır. Buradan 2t=12⇒t=62t = 12 \Rightarrow t = 6 dakika bulunur. Pistin tamamı 18v18v olduğundan hızlı olan sporcu bu yolu 18v/2v=918v / 2v = 9 dakikada tamamlar. Bu nedenle 9 dakika seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sporcuların hızlarını ve pist üzerindeki hareketlerini tanımlama
Yavaş olan sporcunun hızı vv ise hızlı olanın hızı 2v2v olur. Zıt yönlerde hareket ettiklerinden karşılaşma süresi tt olmak üzere, pistin çevresi x=(2v+v)⋅t=3vtx = (2v + v) \cdot t = 3vt olarak yazılır.
Hareketlilerin hızları arasındaki oranı belirlemek ve pistin toplam uzunluğunu hızlar cinsinden ifade etmek için.
2
Karşılaşma noktasına kadar alınan yolları bulma
Karşılaşma anına kadar hızlı olan sporcu 2vt2vt, yavaş olan sporcu ise vtvt kadar yol alır. Toplam yol 3vt3vt olur.
Karşılaşma anında her bir sporcunun pistin ne kadarını katettiğini belirlemek için.
3
Karşılaşmadan sonra yavaş olan sporcunun kalan yolu tamamlamasını denkleme dökme
Karşılaşma noktasından sonra yavaş olan sporcu başlangıç noktasına ulaşmak için hızlı sporcunun geldiği yolu (2vt2vt mesafesini) kendi hızı olan vv ile koşmalıdır. Bu süre 1212 dakika olarak verilmiştir: 2vtv=12⇒2t=12⇒t=6\frac{2vt}{v} = 12 \Rightarrow 2t = 12 \Rightarrow t = 6 dakika bulunur.
Karşılaşma sonrası geçen süreyi kullanarak karşılaşma süresini (t) tespit etmek için.
4
Pistin toplam uzunluğunu ve hızlı olan sporcunun pisti tamamlama süresini hesaplama
Pistin tamamı x=3vt=3v⋅6=18vx = 3vt = 3v \cdot 6 = 18v olur. Hızlı olan sporcunun (hızı 2v2v) tüm pisti koşma süresi ise x2v=18v2v=9\frac{x}{2v} = \frac{18v}{2v} = 9 dakika olarak hesaplanır.
Pistin toplam uzunluğunu belirleyip hızlı sporcunun hızına bölerek sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Zıt yönlü dairesel hareket problemlerinde karşılaşma süresi ve karşılaştıktan sonra kalan yolların hızlar oranıyla ilişkisi.
Soru 27Soru →

Bir kargo dronu, rüzgârsız bir havada saatte ortalama 80 km80\text{ km} sabit hızla uçabilmektedir. Bu dron, rüzgârın A merkezinden B merkezine doğru saatte 20 km20\text{ km} sabit hızla estiği bir günde, A merkezinden B merkezine gidip hiç beklemeden tekrar A merkezine dönmüştür. Dronun bu gidiş-dönü�� yolculuğu toplam 4 saat4\text{ saat} sürdüğüne göre, A ile B merkezleri arasındaki mesafe kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

A ile B merkezleri arasındaki mesafe 150 km150\text{ km}'dir.
Dronun rüzgârla aynı yöndeki gidiş hızı saatte 100 km100\text{ km}, rüzgâra karşı dönüş hızı ise saatte 60 km60\text{ km}'dir. dd mesafesi için gidiş süresi d100\frac{d}{100} ve dönüş süresi d60\frac{d}{60} saattir. Toplam süre 44 saat olduğuna göre, d100+d60=4\frac{d}{100} + \frac{d}{60} = 4 denklemi kurulur. Payda eşitlemesiyle 8d300=4\frac{8d}{300} = 4 ve buradan d=150 kmd = 150\text{ km} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dronun gidiş ve dönüş hızlarını belirleyin.
Gidiş hızı rüzgâr yönünde olduğu için 80+20=100 km/sa80 + 20 = 100\text{ km/sa}; dönüş hızı rüzgâra karşı olduğu için 80−20=60 km/sa80 - 20 = 60\text{ km/sa} olarak bulunur.
Rüzgâr, hareket yönüyle aynı yöndeyken hızı artırır, zıt yöndeyken ise hızı azaltır.
2
Gidiş ve dönüş süreleri için zaman denklemini kurun.
A ile B arası mesafeye dd denirse, gidiş süresi t1=d100t_1 = \frac{d}{100} saat ve dönüş süresi t2=d60t_2 = \frac{d}{60} saat olur.
Zaman formülü t=YolHızt = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}} şeklindedir.
3
Toplam süreyi 44 saate eşitleyip denklemi çöz��n.
d100+d60=4\frac{d}{100} + \frac{d}{60} = 4 denkleminde paydalar 300300 değerinde eşitlendiğinde 3d+5d300=4  ⟹  8d300=4  ⟹  8d=1200  ⟹  d=150 km\frac{3d + 5d}{300} = 4 \implies \frac{8d}{300} = 4 \implies 8d = 1200 \implies d = 150\text{ km} bulunur.
Gidiş ve dönüş sürelerinin toplamı 44 saattir.

Anahtar Kavram

Rüzgâr/akıntı etkisi altındaki hareket problemlerinde hız değişimi ve gidiş-dönüş süreleri üzerinden yol hesabı.

İpuçları

1
Dronun rüzgâr yönünde giderken ve rüzgâra karşı dönerken hızlarının farklı olacağını unutmayın.
2
Gidiş hızı saatte 80+20=100 km80 + 20 = 100\text{ km}, dönüş hızı ise saatte 80−20=60 km80 - 20 = 60\text{ km} olur.
3
Yol dd kilometredir. Gidiş süresi d100\frac{d}{100} saat, dönüş süresi d60\frac{d}{60} saattir. Bu iki sürenin toplamını 44 saate eşitleyip denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı akıntı hızı içeren nehir problemlerinde de uygulayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Gidiş ve dönüş hızları sırasıyla v1=100 km/sav_1 = 100\text{ km/sa} ve v2=60 km/sav_2 = 60\text{ km/sa}'dir. Bu iki hızın harmonik ortalaması alınarak ortalama hız Vort=2⋅100⋅60100+60=75 km/saV_{ort} = \frac{2 \cdot 100 \cdot 60}{100 + 60} = 75\text{ km/sa} olarak bulunur. Toplam uçuş süresi 44 saat olduğundan toplam alınan yol 75⋅4=300 km75 \cdot 4 = 300\text{ km}'dir. Gidiş-dönüş mesafesi eşit olduğundan, tek yönlü mesafe 300/2=150 km300 / 2 = 150\text{ km} olarak elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 28Soru →

Bir kurye, A kentinden B kentine olan teslimat rotasını üç eşit bölüme ayırmıştır. Kurye;
* Yolun birinci bölümünü saatte sabit 48 km48\text{ km} hızla,
* Yolun ikinci bölümünü saatte sabit v2 kmv_2\text{ km} hızla,
* Yolun üçüncü bölümünü saatte sabit v3 kmv_3\text{ km} hızla
gitmiştir. Kuryenin bu teslimat boyunca tüm yol üzerindeki ortalama hızı saatte 48 km48\text{ km} olmuştur.

Eğer kurye yolun ikinci bölümünü de birinci bölümdeki gibi saatte 48 km48\text{ km} hızla, üçüncü bölümünü ise ikinci bölümdeki gibi saatte v2 kmv_2\text{ km} hızla gitseydi, tüm yol boyunca ortalama hızı saatte 60 km60\text{ km} olacaktı.

Buna göre, kuryenin üçüncü bölümdeki hızı (v3v_3) saatte kaç km\text{km}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kuryenin üçüncü bölümdeki hızı saatte 30 km'dir.
Doğru çözümde ortalama hızın genel formülü olan Toplam Yol / Toplam Süre kullanılmıştır. İkinci senaryodaki ortalama hız olan 60 km/sa bilgisinden kuryenin ikinci bölümdeki hızı (v2=120v_2 = 120 km/sa) elde edilmiş, bu değer ilk senaryodaki ortalama hız denklemine yazıldığında ise üçüncü bölümdeki hız (v3=30v_3 = 30 km/sa) hatasız bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Yolun her bir bölümünün uzunluğunu dd km olarak tanımlayıp, verilen durumlar için ortalama hız denklemlerini oluşturmak.
Birinci durum için: Vort1=3dd48+dv2+dv3=48  ⟹  148+1v2+1v3=348=116V_{\text{ort1}} = \frac{3d}{\frac{d}{48} + \frac{d}{v_2} + \frac{d}{v_3}} = 48 \implies \frac{1}{48} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} elde edilir.
İkinci durum için: Vort2=3dd48+d48+dv2=60  ⟹  248+1v2=360=120V_{\text{ort2}} = \frac{3d}{\frac{d}{48} + \frac{d}{48} + \frac{d}{v_2}} = 60 \implies \frac{2}{48} + \frac{1}{v_2} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} elde edilir.
Ortalama hız formülü Toplam Yol/Toplam Zaman\text{Toplam Yol} / \text{Toplam Zaman} olduğundan ve her bölüm için süre t=d/vt = d/v olarak hesaplandığından bu denklemler kurulmalıdır.
2
İkinci durum denkleminden yararlanarak v2v_2 hızını bulmak.
248+1v2=120  ⟹  124+1v2=120  ⟹  1v2=120−124\frac{2}{48} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{24} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{24}
Paydaları 120120 sayısında eşitleyelim:
1v2=6120−5120=1120  ⟹  v2=120 km/sa\frac{1}{v_2} = \frac{6}{120} - \frac{5}{120} = \frac{1}{120} \implies v_2 = 120\text{ km/sa} bulunur.
İkinci denklem tek bilinmeyenli (v2v_2) hale getirilebildiği için öncelikle bu hızın değerini çözmek gerekir.
3
v2v_2 değerini birinci durumda yerine koyarak v3v_3 hızını hesaplamak.
148+1120+1v3=116  ⟹  1v3=116−148−1120\frac{1}{48} + \frac{1}{120} + \frac{1}{v_3} = \frac{1}{16} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} - \frac{1}{120}
Önce 116−148\frac{1}{16} - \frac{1}{48} işlemini yapalım:
348−148=248=124\frac{3}{48} - \frac{1}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}
Şimdi kalan işlemi tamamlayalım:
1v3=124−1120  ⟹  1v3=5120−1120=4120=130  ⟹  v3=30 km/sa\frac{1}{v_3} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{5}{120} - \frac{1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \implies v_3 = 30\text{ km/sa} bulunur.
Bulunan v2v_2 değerini ilk denklemde yerine yazıp rasyonel işlemleri adım adım takip ederek hedef bilinmeyen olan v3v_3 değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız (Harmonik Ortalama Uygulaması)

Alternatif Yöntem

Yolun tamamına 360 km (ya da her bir bölüme 120 km) değer vererek süreler üzerinden işlem yapılabilir. İkinci durumda toplam yol 360 km ve ortalama hız 60 km/sa ise toplam süre 6 saattir. İlk iki bölümü 48 km/sa hızla giden kurye buralarda 120/48=2.5120/48 = 2.5 saatten toplam 5 saat harcar. Kalan 1 saati üçüncü bölümde harcadığı için ikinci bölümdeki hızı 120/1=120120/1 = 120 km/sa olur. Birinci durumda toplam yol 360 km ve ortalama hız 48 km/sa ise toplam süre 7.5 saattir. İlk iki bölümde geçen süre 120/48+120/120=2.5+1=3.5120/48 + 120/120 = 2.5 + 1 = 3.5 saattir. Geriye kalan 4 saat üçüncü bölümde geçmiştir. Buradan üçüncü bölümdeki hız 120/4=30120/4 = 30 km/sa olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Bir otomobil sürücüsü, A ve B kentleri arasındaki 480 km480\text{ km}'lik yolu normal şartlarda saatte ortalama 80 km80\text{ km} sabit hızla giderek planlanan sürede tamamlamaktadır. Ancak bu sürücü, yolculuğun belirli bir kısmında yol yapım çalışması nedeniyle hızını saatte 60 km60\text{ km}'ye düşürmek zorunda kalmıştır. Sürücü B kentine planladığı süreden 15 saat1{}5\text{ saat} geç ulaştığına göre, yolun yol yapım çalışması yapılan bölümü kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

Yolun yol yapım çalışması yapılan bölümünün uzunluğu 360 km360\text{ km}'dir.
Yol yapım çalışması yapılan bölümün uzunluğu 360 km360\text{ km}'dir. Sürücü normalde 6 saat sürecek yolu, hızını bir bölümde 60 km/sa60\text{ km/sa}'e düşürdüğü için 757{}5 saatte tamamlamıştır. Bu durumda iki durum arasındaki süre farkı olan 151{}5 saat doğrudan yol yapım çalışması yapılan bölgedeki hız kaybından kaynaklanmaktadır. x60−x80=15\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1{}5 denklemi çözüldüğünde x=360 kmx = 360\text{ km} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Planlanan normal yolculuk süresini hesaplayın.
Normal süre: Tplanlanan=48080=6 saatT_{\text{planlanan}} = \frac{480}{80} = 6\text{ saat}.
Sürücünün normal şartlarda yolu ne kadar sürede tamamlaması gerektiğini bulmak için toplam yol uzunluğunu normal hıza böleriz.
2
Gecikmeli yolculuğun fiili süresini belirleyin.
Fiili süre: Tfiili=6+15=75 saatT_{\text{fiili}} = 6 + 1{}5 = 7{}5\text{ saat}.
Sürücü planlanan süreden 15 saat1{}5\text{ saat} geç ulaştığı için bu gecikme süresini normal süreye ekleriz.
3
Yol yapım çalışması yapılan böl��mün uzunluğunu xx değişkeni olarak tanımlayıp zaman denklemini kurun.
x60+480−x80=75\frac{x}{60} + \frac{480 - x}{80} = 7{}5
Yolun yol yapım çalışması yapılan x kmx\text{ km}'lik kısmı 60 km/sa60\text{ km/sa} hızla, kalan 480−x km480-x\text{ km}'lik kısmı ise normal hız olan 80 km/sa80\text{ km/sa} ile gidilmiştir. Bu iki sürenin toplamı fiili süreye e��it olmalıdır.
4
Kurulan denklemi çözün.
x60−x80+6=75  ⟹  x60−x80=15  ⟹  4x−3x240=15  ⟹  x240=15  ⟹  x=360 km\frac{x}{60} - \frac{x}{80} + 6 = 7{}5 \implies \frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1{}5 \implies \frac{4x - 3x}{240} = 1{}5 \implies \frac{x}{240} = 1{}5 \implies x = 360\text{ km}.
Paydaları 240'ta eşitleyerek xx değerini yalnız bırak��rız.

Anahtar Kavram

Hareket problemlerinde toplam yol ve farklı hızlarla alınan bölümler arasındaki zaman ilişkisini kullanarak denklem kurma.

Alternatif Yöntem

Gecikme süresi üzerinden doğrudan denklem kurulabilir: Yol yapım çalışmasının yapıldığı bölümün uzunluğu x kmx\text{ km} olsun. Sürücü bu bölümü normalde 80 km/sa80\text{ km/sa} hızla geçecekken yol yapımı nedeniyle 60 km/sa60\text{ km/sa} hızla geçmiştir. Bu iki durum arasındaki süre farkı gecikme süresine (15 saat1{}5\text{ saat}) eşittir: x60−x80=15  ⟹  x240=15  ⟹  x=360 km\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1{}5 \implies \frac{x}{240} = 1{}5 \implies x = 360\text{ km} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →

Bir sporcu, A ve B noktaları arasındaki doğrusal bir parkurda gidiş-dönüş koşusu yapacaktır. Sporcu, gidişte yolun ilk yarısını saatte 12 km12\text{ km} sabit hızla, ikinci yarısını ise saatte 18 km18\text{ km} sabit hızla koşmuştur. Dönüşte ise tüm yolu saatte sabit V kmV\text{ km} hızla koşarak gidiş ve dönüş sürelerini birbirine eşit kılmıştır.

Buna göre, VV kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14,4

Cevap

14,4
Gidiş süresi yolun iki yarısı için ayrı ayrı hesaplanıp toplandığında x12+x18=5x36\frac{x}{12} + \frac{x}{18} = \frac{5x}{36} saat bulunur. Tüm dönüş yolu 2x2x olup VV hızıyla 2xV\frac{2x}{V} saatte alınır. Bu süreler eşitlendiğinde 5x36=2xV\frac{5x}{36} = \frac{2x}{V} eşitliğinden V=14,4V = 14,4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gidiş yolunun bölümlerini tanımlama ve gidiş süresini formüle etme
Yolun tamamına 2x2x dersek, ilk yarısı xx ve ikinci yarısı xx olur. Gidiş süresi: tgidis\c=x12+x18=3x+2x36=5x36t_{gidiş} = \frac{x}{12} + \frac{x}{18} = \frac{3x + 2x}{36} = \frac{5x}{36} saat.
Yol formülü (t=yolhızt = \frac{yol}{hız}) kullanılarak her bir bölüm için harcanan süreler toplanır.
2
Dönüş süresini VV cinsinden ifade etme
Dönüş süresi: tdo¨nu¨s\c=2xVt_{dönüş} = \frac{2x}{V} saat.
Dönüşte tüm yol (2x2x km) sabit VV hızı ile alınmıştır.
3
Gidiş ve dönüş sürelerini eşitleyerek VV'yi bulma
5x36=2xV⇒5V=72⇒V=14,4\frac{5x}{36} = \frac{2x}{V} \Rightarrow 5V = 72 \Rightarrow V = 14,4 olarak hesaplanır.
Gidiş süresi ile dönüş süresinin eşit olduğu soruda verilmiştir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız ve hareket problemlerinde yol-zaman ilişkisi.
Soru 31Soru →

Bir elektrikli otomobil test sürüşünde, batarya verimliliğini ölçmek için iki aşamalı doğrusal bir pistte hareket etmektedir. Otomobil, pistin ilk 13\frac{1}{3}'lük kısmını saatte ortalama v kmv \text{ km} sabit hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama 3v km3v \text{ km} sabit hızla tamamlamıştır.

Bu test sürüşünün tamamında otomobilin ortalama hızı saatte 90 km90 \text{ km} olduğuna göre, vv kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Otomobilin ilk aşamadaki hızı olan v değeri 50'dir.
Toplam yol 3x3x olarak belirlendiğinde, ilk bölüm xx uzunluğunda ve seyahat süresi xv\frac{x}{v} olur. İkinci bölüm 2x2x uzunluğunda ve seyahat süresi 2x3v\frac{2x}{3v} olur. Toplam süre t=5x3vt = \frac{5x}{3v} olarak hesaplanır. Ortalama hız formülünden 90=3x5x/3v=9v590 = \frac{3x}{5x/3v} = \frac{9v}{5} elde edilir ve buradan v=50v = 50 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yolun bölümlerini belirleme
Pistin tamamına 3x3x dersek, ilk bölüm xx ve kalan bölüm 2x2x uzunluğundadır.
Yolun 13\frac{1}{3}'ü gidildiğinde kalan kısmı bulmak ve işlemleri kolaylaştırmak için.
2
Aşamaların geçilme sürelerini yazma
İlk aşama için süre t1=xvt_1 = \frac{x}{v} saat, ikinci aşama için süre t2=2x3vt_2 = \frac{2x}{3v} saattir.
Zaman = Yol / Hız formülünü uygulayarak toplam süreyi bulmak amacıyla.
3
Toplam süreyi hesaplama
ttoplam=xv+2x3v=3x+2x3v=5x3vt_{\text{toplam}} = \frac{x}{v} + \frac{2x}{3v} = \frac{3x + 2x}{3v} = \frac{5x}{3v} saattir.
Rasyonel ifadelerde paydaları 3v3v paydasında eşitleyerek toplam zamanı tek bir ifadeyle göstermek için.
4
Ortalama hız formülünü kurma ve eşitleme
Vort=Toplam YolToplam Zaman⇒90=3x5x3v⇒90=9v5V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} \Rightarrow 90 = \frac{3x}{\frac{5x}{3v}} \Rightarrow 90 = \frac{9v}{5} elde edilir.
Ortalama hızın formüldeki tanımını uygulayıp verilen ortalama hıza eşitleyerek denklem elde etmek için.
5
Bilinmeyen v değerini çözme
90=9v5⇒10=v5⇒v=5090 = \frac{9v}{5} \Rightarrow 10 = \frac{v}{5} \Rightarrow v = 50 bulunur.
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek aranan hız değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam gidilen yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle hesaplanır (Vort=XtoplamttoplamV_{\text{ort}} = \frac{X_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}). Hızların aritmetik ortalaması genel olarak ortalama hızı vermez.
Soru 32Soru →

AA ve BB kentlerinden sırasıyla VAV_A ve VBV_B sabit hızlarıyla aynı anda birbirlerine doğru harekete başlayan iki araç, bir süre sonra CC noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaşma anından sonra;
- AA kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak CC noktasından BB kentine 4 saatte ulaşıyor.
- BB kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak CC noktasından AA kentine 9 saatte ulaşıyor.

Buna göre, bu iki araç harekete başladıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İki aracın harekete başladıktan sonra karşılaştığı süre 9 saattir.
Karşılaşma süresi olan tmt_m saat boyunca araçlar sırasıyla d1=VA⋅tmd_1 = V_A \cdot t_m ve d2=VB⋅tmd_2 = V_B \cdot t_m yollarını alırlar. Karşılaşmadan sonra hızlarını %50 artırdıklarında yeni hızları 1,5VA1,5 V_A ve 1,5VB1,5 V_B olur. Bu hızlarla kalan yolları sırasıyla 4 ve 9 saatte aldıklarına göre d2=1,5VA⋅4=6VAd_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A ve d1=1,5VB⋅9=13,5VBd_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B denklemleri elde edilir. Yol denklemlerini oranladığımızda d1d2=VAVB=13,5VB6VA\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A} eşitliğinden hızların oranı VAVB=32\frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2} olarak bulunur. Bu oran ilk yol denkleminde yerine yazıldığında karşılaşma süresi tm=9t_m = 9 saat olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Karşılaşma noktasına kadar olan hareketin modellenmesi
AC=d1=VA⋅tmAC = d_1 = V_A \cdot t_m ve CB=d2=VB⋅tmCB = d_2 = V_B \cdot t_m yolları bulunur. Buradan yol oranları d1d2=VAVB\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} eşitliğini verir.
Karşılaşma anına kadar geçen süre her iki araç için de ortaktır.
2
Karşılaşma sonrasındaki hareketin modellenmesi
Araçların yeni hızları 1,5VA1,5 V_A ve 1,5VB1,5 V_B olur. Kalan yollar için mesafeler sırasıyla d2=1,5VA⋅4=6VAd_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A ve d1=1,5VB⋅9=13,5VBd_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B şeklinde ifade edilir.
Hız %50 artırıldığında yeni hız eski hızın 1,5 katı olur.
3
Hız oranlar��nın belirlenmesi
d1d2=VAVB=13,5VB6VA\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A} denkleminden 6VA2=13,5VB2  ⟹  VA2VB2=13,56=94  ⟹  VAVB=326 V_A^2 = 13,5 V_B^2 \implies \frac{V_A^2}{V_B^2} = \frac{13,5}{6} = \frac{9}{4} \implies \frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2} elde edilir.
Yol oranlarının eşitliği kullanılarak başlangıç hızlarının oranı bulunur.
4
Karşılaşma süresinin hesaplanması
d1=VA⋅tm=13,5VB  ⟹  tm=13,5⋅VBVA=13,5⋅23=9d_1 = V_A \cdot t_m = 13,5 V_B \implies t_m = 13,5 \cdot \frac{V_B}{V_A} = 13,5 \cdot \frac{2}{3} = 9 saat olarak hesaplanır.
Bulunan hız oranı zaman denkleminde yerine yazılmıştır.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki ile hız değişimlerinin hareket sürelerine etkisi.

Alternatif Yöntem

Geometrik ortalama yöntemi kullanılabilir. Eğer araçlar hızlarını değiştirmeseydi, karşılaşma süresi kalan sürelerin geometrik ortalaması olurdu. Her iki araç da hızını eşit oranda (%50) artırdığı için süreler aynı oranda kısalmıştır. Dolayısıyla hızları artırılmasaydı yolları tamamlama süreleri 4×1,5=64 \times 1,5 = 6 saat ve 9×1,5=13,59 \times 1,5 = 13,5 saat olacaktı. Buradan karşılaşma süresi tm=6×13,5=81=9t_m = \sqrt{6 \times 13,5} = \sqrt{81} = 9 saat olarak doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →

Çevre uzunluğu 600 metre600\text{ metre} olan dairesel bir parkurda, aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde bir koşucu ile bir bisikletli harekete başlıyor. Koşucu saniyede sabit 4 metre4\text{ metre} hızla koşmaktadır. Bisikletli ise ilk 10 saniye10\text{ saniye} boyunca saniyede sabit 8 metre8\text{ metre} hızla gitmekte, sonraki her 10 saniyelik10\text{ saniyelik} zaman diliminde ise hızını saniyede 2 metre2\text{ metre} artırarak yoluna devam etmektedir.

Buna göre, bisikletli ile koşucu ilk kez karşılaştıklarında bisikletli toplam kaç metre yol almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 855

Cevap

Bisikletli ile koşucu ilk kez karşılaştıklarında bisikletli toplam 855 metre yol almıştır.
Dairesel pist üzerinde aynı noktadan aynı yönde harekete başlayan iki aracın karşılaşması için hızlı olanın yavaş olana tam bir tur (600 metre) fark atması gerekir. Kümülatif farklar hesaplandığında 60. saniyede fark 540 metreye ulaşır. Kalan 60 metrelik fark, bu aralıktaki hız farkı olan saniyede 16 metre ile 3,75 saniyede kapatılır. Böylece bisikletli toplam 63,75 saniye hareket ederek 855 metre yol almış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşucu ve bisikletlinin zamana göre aldıkları yolları ve aralarındaki mesafe farkını belirlemek amacıyla 10 saniyelik periyotları inceleyelim.
10'ar saniyelik aralıklarla hızlar ve mesafeler belirlenir.
Dairesel pistte aynı yöne giden iki aracın ilk kez karşılaşması için aralarındaki yol farkının pistin çevresine (600 metre) eşit olması gerekir.
2
Her periyotta bisikletlinin ve koşucunun aldığı yolları ve oluşan net yol farkını hesaplayalım:
- 0-10 sn: Bisikletli 10×8=80 m10 \times 8 = 80\text{ m}, Koşucu 10×4=40 m10 \times 4 = 40\text{ m}, Fark = 40 m40\text{ m}.
- 10-20 sn: Bisikletli hızı 10 m/sn10\text{ m/sn}. Alınan yol 100 m100\text{ m}, Koşucu 40 m40\text{ m}, Fark = 60 m60\text{ m} (Toplam fark: 100 m100\text{ m}).
- 20-30 sn: Bisikletli hızı 12 m/sn12\text{ m/sn}. Alınan yol 120 m120\text{ m}, Koşucu 40 m40\text{ m}, Fark = 80 m80\text{ m} (Toplam fark: 180 m180\text{ m}).
- 30-40 sn: Bisikletli hızı 14 m/sn14\text{ m/sn}. Alınan yol 140 m140\text{ m}, Koşucu 40 m40\text{ m}, Fark = 100 m100\text{ m} (Toplam fark: 280 m280\text{ m}).
- 40-50 sn: Bisikletli hızı 16 m/sn16\text{ m/sn}. Alınan yol 160 m160\text{ m}, Koşucu 40 m40\text{ m}, Fark = 120 m120\text{ m} (Toplam fark: 400 m400\text{ m}).
- 50-60 sn: Bisikletli hızı 18 m/sn18\text{ m/sn}. Alınan yol 180 m180\text{ m}, Koşucu 40 m40\text{ m}, Fark = 140 m140\text{ m} (Toplam fark: 540 m540\text{ m})
60. saniye sonunda bisikletli toplam 780 m780\text{ m} yol almış ve koşucu ile arasındaki mesafe farkı 540 metre540\text{ metre} olmuştur.
Kümülatif farkın hangi 10 saniyelik dilimde 600 metreye ulaşacağını bulmak.
3
Hedeflenen 600 metrelik farka ulaşmak için kalan 60 metrelik farkın 60. saniyeden sonra ka�� saniyede tamamlanacağını bulalım. 60-70 saniye aralığında bisikletlinin hızı 20 m/sn20\text{ m/sn}, koşucunun hızı ise sabit 4 m/sn4\text{ m/sn}'dir. Bu aralıktaki saniyelik fark açma hızı (ba��ıl hız) 20−4=16 m/sn20 - 4 = 16\text{ m/sn} olur. Kalan 60 metrelik fark için gereken süre: t0=60/16=3,75 saniyet_0 = 60 / 16 = 3,75\text{ saniye}.
Karşılaşma toplam 60+3,75=63,75 saniye60 + 3,75 = 63,75\text{ saniye} sonra gerçekleşir.
Buluşma anındaki toplam süreyi belirlemek.
4
Bisikletlinin bu sürede aldığı toplam yolu hesaplayalım: İlk 60 saniyede alınan yol 780 metre780\text{ metre} idi. Son 3,75 saniyede saniyede 20 metre20\text{ metre} hızla alınan yol: 20×3,75=75 metre20 \times 3,75 = 75\text{ metre}. Toplam yol: 780+75=855 metre780 + 75 = 855\text{ metre}.
Bisikletlinin aldığı toplam yol 855 metredir.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dairesel pist hareket problemlerinde bağıl hız ve kümülatif mesafe farkı hesabı.

İpuçları

1
İki hareketlinin dairesel bir pistte aynı noktadan aynı yöne doğru giderek karşılaşması için hızlı olanın yavaş olana 1 tur fark atması (mesafe farkının 600 metre olması) gerekir.
2
İlk 60 saniyedeki 10'ar saniyelik periyotları ayrı ayrı hesaplayarak 60. saniye sonundaki toplam mesafe farkını bulun. Bu değerin 600 metreden az ama 600'e çok yakın olduğunu göreceksiniz.
3
60. saniyede fark 540 metredir. Kalan 60 metrelik farkı kapatmak için 60-70 saniye aralığındaki bağıl hızı (20 - 4 = 16 m/sn) kullanarak ek süreyi bulun.

Daha Fazla Pratik

Hızların zıt yönlü olması veya dairesel pist yerine doğrusal bir hatta belirli sürelerle hız artırma senaryoları içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Her 10 saniyelik periyot için bağıl hızları doğrudan yazabiliriz: Hız farkları sırasıyla 4, 6, 8, 10, 12, 14 m/sn'dir. Her periyotta açılan farklar sırasıyla 40, 60, 80, 100, 120, 140 metredir. Toplam fark 540 metredir. 60. saniyeden sonraki hız farkı 16 m/sn olduğundan, kalan 60 metrelik fark 60/16 = 3,75 saniyede kapanır. Buradan bisikletlinin toplam aldığı yol 780 + 3,75 * 20 = 855 metre olarak pratikçe bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 34Soru →

İki araç, A kentinden B kentine gitmek üzere aynı anda yola çıkıyor. Birinci araç, yolun ilk yarısını saatte 60 km60\text{ km} hızla, kalan yarısını ise saatte 90 km90\text{ km} hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç ise tüm yolculuk süresinin ilk yarısını saatte 60 km60\text{ km} hızla, kalan yarısını ise saatte 90 km90\text{ km} hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç, B kentine birinci araçtan 1010 dakika önce ulaştığına göre, A ile B kentleri arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300300

Cevap

A ile B kentleri arasındaki uzaklık 300 km300\text{ km}'dir.
Birinci aracın toplam yolculuk süresi T1=x72T_1 = \frac{x}{72} saat, ikinci aracın toplam yolculuk süresi T2=x75T_2 = \frac{x}{75} saattir. İki araç arasındaki 1010 dakikalık (yani 16\frac{1}{6} saat) zaman farkı denklemine döküldüğünde x72−x75=16\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6} eşitliğinden yolun uzunluğu 300 km300\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci aracın B kentine ulaşma süresini (T1T_1) belirlemek için yolun her iki yarısında geçen süreleri ayrı ayrı yazarak toplam süreyi bulalım.
Yolun tamamına xx km dersek; yolun ilk yarısı için geçen süre t1=x/260=x120t_1 = \frac{x/2}{60} = \frac{x}{120} saat, ikinci yarısı için geçen süre t2=x/290=x180t_2 = \frac{x/2}{90} = \frac{x}{180} saattir. Buradan toplam süre T1=x120+x180=5x360=x72T_1 = \frac{x}{120} + \frac{x}{180} = \frac{5x}{360} = \frac{x}{72} saat olur.
Hızlar yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre tanımlandığı için süre, her bir bölümün uzunluğunun o bölümdeki hıza bölünmesiyle hesaplanır.
2
İkinci aracın B kentine ulaşma süresini (T2T_2) belirlemek için yolculuk süresinin yarısında alınan mesafeleri toplayıp toplam mesafeye eşitleyelim.
Toplam yolculuk süresine T2T_2 saat dersek; ilk yarıda (T2/2T_2/2 saat) alınan yol 60×T22=30T260 \times \frac{T_2}{2} = 30T_2 km, ikinci yarıda (T2/2T_2/2 saat) alınan yol 90×T22=45T290 \times \frac{T_2}{2} = 45T_2 km'dir. Toplam yol x=30T2+45T2=75T2x = 30T_2 + 45T_2 = 75T_2 km olur. Buradan T2=x75T_2 = \frac{x}{75} saat olarak bulunur.
Hızlar zamana göre tanımlandığı için her bir zaman diliminde alınan yolların toplamı toplam mesafeyi verir.
3
İki aracın varış süreleri arasındaki farkı saat cinsine çevirerek mesafeyi bulalım.
İkinci araç birinci araçtan 1010 dakika önce ulaştığına göre süre farkı T1−T2=10 dakika=1060=16T_1 - T_2 = 10\text{ dakika} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} saattir. Denklemimizi kuralım: x72−x75=16\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6}. Paydaları 18001800 değerinde eşitleyelim: 25x−24x1800=16  ⟹  x1800=16  ⟹  x=300 km\frac{25x - 24x}{1800} = \frac{1}{6} \implies \frac{x}{1800} = \frac{1}{6} \implies x = 300\text{ km}.
Hızlar km/saat cinsinden olduğundan, verilen sürenin de saate çevrilerek denklemde yerine yazılması gerekir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Hareket Denklemleri

İpuçları

1
Birinci aracın hızları yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hızın harmonik ortalamayla ilişkili olduğunu unutmayın.
2
İkinci aracın hızları zaman dilimlerine göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hız aritmetik ortalama ile hesaplanır. İki aracın varış sürelerini xx cinsinden yazın.
3
Birinci aracın toplam süresi T1=x72T_1 = \frac{x}{72} saat, ikinci aracın toplam süresi T2=x75T_2 = \frac{x}{75} saattir. Aralarındaki farkın 10 dakika=16 saat10\text{ dakika} = \frac{1}{6}\text{ saat} olduğunu kullanarak denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, hızların ve sürelerin farklı oranlarda bölündüğü durumları içeren ortalama hız problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ortalama hız formüllerini doğrudan kullanabiliriz. Birinci araç eşit mesafeleri farklı hızlarla gittiği için ortalama hızı: Vort1=2⋅60⋅9060+90=72 km/saV_{ort1} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = 72\text{ km/sa} olur. İkinci araç eşit zaman sürelerinde bu hızlarla gittiği için ortalama hızı: Vort2=60+902=75 km/saV_{ort2} = \frac{60 + 90}{2} = 75\text{ km/sa} olur. Birinci aracın süresi T1=x72T_1 = \frac{x}{72}, ikinci aracın süresi T2=x75T_2 = \frac{x}{75}'tir. T1−T2=16T_1 - T_2 = \frac{1}{6} saat denklemi çözüldüğünde x=300 kmx = 300\text{ km} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 35Soru →

Uzunluğu 150 metre150\text{ metre} olan bir tren, sabit hızla hareket ederek 450 metre450\text{ metre} uzunluğundaki bir tüneli giriş anından tamamen çıkış anına kadar 30 saniyede30\text{ saniyede} geçmektedir. Aynı tren, tüneli geçtikten sonra hızını saatte 18 km18\text{ km} artırarak başka bir köprüyü 20 saniyede20\text{ saniyede} tamamen geçiyor. Buna göre, bu köprünün uzunluğu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 350

Cevap

350 metre
Doğru cevap, trenin tüneli geçerken aldığı yolun tren ve tünel boylarının toplamı (600 m600\text{ m}) olduğunu görerek hızını 20 m/s20\text{ m/s} olarak hesaplayan; ardından hız artışını (18 km/h=5 m/s18\text{ km/h} = 5\text{ m/s}) ekleyip yeni hızını 25 m/s25\text{ m/s} bulan ve 2020 saniyede alınan toplam 500 m500\text{ m} yoldan trenin kendi boyunu (150 m150\text{ m}) çıkararak köprü uzunluğunu 350 metre350\text{ metre} olarak bulan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam mesafeyi belirlemek.
Toplam mesafe = Tren boyu + Tünel boyu = 150+450=600 metre150 + 450 = 600\text{ metre}.
Bir trenin bir tüneli tamamen geçmesi için kendi boyu ile tünel boyunun toplamı kadar yol alması gerekir.
2
Trenin ilk hızını (V1V_1) metre/saniye (m/s) cinsinden hesaplamak.
V1=60030=20 m/sV_1 = \frac{600}{30} = 20\text{ m/s}.
Hız, alınan yolun geçen süreye bölünmesiyle bulunur.
3
Saatte 18 km18\text{ km} (18 km/h18\text{ km/h}) olan hız artışını metre/saniye (m/s) cinsine çevirmek.
18 km/h=18×1000 m3600 s=5 m/s18\text{ km/h} = \frac{18 \times 1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = 5\text{ m/s}.
Sorudaki diğer birimler metre ve saniye cinsinden olduğundan hız artışının da m/s cinsine çevrilmesi gerekir.
4
Trenin yeni hızını (V2V_2) belirlemek.
V2=20+5=25 m/sV_2 = 20 + 5 = 25\text{ m/s}.
Tren hızını 5 m/s5\text{ m/s} artırdığı için yeni hız bu iki değerin toplamıdır.
5
Trenin köprüyü geçerken aldığ�� toplam yolu ve buradan köprünün uzunluğunu hesaplamak.
Toplam yol = 25 m/s×20 s=500 metre25\text{ m/s} \times 20\text{ s} = 500\text{ metre}. Köprü uzunluğu = Toplam yol - Tren boyu = 500−150=350 metre500 - 150 = 350\text{ metre}.
Köprüyü tamamen geçme süresi ve hız kullanılarak toplam yol bulunur; bu yoldan trenin kendi boyu çıkarıldığında köprünün uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Trenlerin tünel ve köprü geçişlerinde toplam yol hesabı ve hız birimi dönüştürme

Alternatif Yöntem

Tüm birimleri saat ve kilometre cinsine çevirerek de çözüme ulaşabiliriz. Trenin boyu 0,15 km0,15\text{ km}, tünelin boyu 0,45 km0,45\text{ km}'dir. Toplam yol 0,6 km0,6\text{ km} olur. Süre 30 saniye=303600=1120 saat30\text{ saniye} = \frac{30}{3600} = \frac{1}{120}\text{ saat}'tir. Buradan ilk hız V1=0,61/120=72 km/hV_1 = \frac{0,6}{1/120} = 72\text{ km/h} bulunur. Hız 18 km/h18\text{ km/h} artırılınca yeni hız 90 km/h90\text{ km/h} olur. Köprüden geçiş süresi 20 saniye=203600=1180 saat20\text{ saniye} = \frac{20}{3600} = \frac{1}{180}\text{ saat}'tir. Alınan toplam yol 90×1180=0,5 km=500 metre90 \times \frac{1}{180} = 0,5\text{ km} = 500\text{ metre} olur. Köprü uzunluğu ise 500−150=350 metre500 - 150 = 350\text{ metre} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →

Kerem, bir alışveriş merkezindeki duran bir yürüyen bandın üzerinde sabit hızla yürürken bandın bir ucundan diğer ucuna 60 saniyede60\text{ saniyede} ulaşmaktadır. Yürüyen bant çalışır durumdayken Kerem aynı hızla yürüdüğünde ise bandın bir ucundan diğer ucuna 20 saniyede20\text{ saniyede} varmaktadır.

Buna göre, Kerem bant üzerinde hiç yürümeden sadece ayakta durursa, çalışan yürüyen bandın Kerem'i bandın bir ucundan diğer ucuna taşıma süresi kaç saniyedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Çalışan yürüyen bandın Kerem'i sadece ayakta dururken taşıma süresi 30 saniyedir.
Kerem'in duran bant üzerindeki hızı birim zamanda yolun altmışta biri, çalışan bant üzerinde yürürkenki toplam hızı ise birim zamanda yolun yirmide biridir. Toplam hızdan Kerem'in kendi hızını çıkardığımızda bandın hızı birim zamanda yolun otuzda biri olarak bulunur. Dolayısıyla bant, üzerinde duran Kerem'i otuz saniyede diğer uca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Yol uzunluğunu ve hız değişkenlerini tanımlama
Yürüyen bandın uzunluğuna xx, Kerem'in yürüme hızına vkv_k ve yürüyen bandın hareket hızına vbv_b diyelim.
Sorudaki fiziksel büyüklükleri matematiksel denklemlere dökebilmek için değişken ataması yapılır.
2
Duran bant üzerindeki hareket denklemini yazma
Kerem duran bantta sadece kendi hızıyla hareket ettiğinden yol denklemi x=vk×60x = v_k \times 60 olur. Buradan Kerem'in hızı vk=x60v_k = \frac{x}{60} olarak bulunur.
Kerem'in hızını yol cinsinden ifade etmek için.
3
Çal��şan bant üzerindeki hareket denklemini yazma
Bant çalışırken Kerem de aynı yönde yürüdüğünde hızlar toplanır: x=(vk+vb)×20x = (v_k + v_b) \times 20. Buradan vk+vb=x20v_k + v_b = \frac{x}{20} elde edilir.
Bileşik harekette toplam hızı ve toplam süreyi ilişkilendirmek için.
4
Yürüyen bandın hızını yalnız bırakarak bulma
vk=x60v_k = \frac{x}{60} değerini bileşik hız denkleminde yerine yazalım:
x60+vb=x20\frac{x}{60} + v_b = \frac{x}{20}
vb=x20−x60v_b = \frac{x}{20} - \frac{x}{60}
Paydaları 60'ta eşitleyip çıkarma işlemini yaparsak:
vb=3x−x60=2x60=x30v_b = \frac{3x - x}{60} = \frac{2x}{60} = \frac{x}{30} bulunur.
Sadece bandın hareket hızını yol cinsinden elde etmek için.
5
Kerem'in bant üzerinde durarak geçireceği süreyi hesaplama
Kerem yürümeyip sadece durduğunda hızı sıfır olur ve sadece bandın vbv_b hızıyla hareket eder. Geçen süre tt ise:
x=vb×tx = v_b \times t
x=x30×t  ⟹  t=30 saniyex = \frac{x}{30} \times t \implies t = 30\text{ saniye} bulunur.
İstenen hareket süresini nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Bileşik hareket ve hız-zaman bağıntısı

İpuçları

1
Yolun uzunluğuna bir değişken atayıp Kerem'in duran banttaki hızını ve çalışan banttaki toplam hızını yol cinsinden yazmaya çalışın.
2
Çalışan bantta yürürken Kerem'in hızı ile bandın hızı toplanır. Bu toplam hız birim zamanda yolun yirmide birine eşittir.
3
Kerem'in hızı birim zamanda yolun 1/60'ı olduğuna göre, bandın hızı 1/20 - 1/60 işleminden yolun kaçta kaçı olur?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, rüzgarlı bir havada rüzgarla aynı yönde ve rüzgara zıt yönde uçan bir dronun hareket sürelerini veren bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yolun uzunluğuna 60 ve 20 sayılarının ortak katı olan 60 metre diyebiliriz. Bu durumda Kerem'in kendi hızı 60/60=1 m/s60 / 60 = 1\text{ m/s} olur. Bant çalışırkenki toplam hızı 60/20=3 m/s60 / 20 = 3\text{ m/s} olur. Buradan bandın hızı 3−1=2 m/s3 - 1 = 2\text{ m/s} olarak bulunur. Kerem bantta durduğunda sadece bandın hızıyla gideceğinden süre 60/2=30 saniye60 / 2 = 30\text{ saniye} olacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2