Hareket Problemleri Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir elektrikli scooter sürücüsü, $6400\text{ metre}$ uzunluğundaki bir yolun ilk $1600\text{ metresini}$ dakikada ortalama $160\text{ metre}$ ( $160\text{ m/dk}$ ) hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama $14.4\text{ km}$ ( $14.4\text{ km/sa}$ ) sabit hızla gitmiştir.

Buna göre, bu sürücünün tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

11,52

12

12,8

13,2

21,3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12,8

Cevap

Sürücünün tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı saatte 12,8 kilometredir.

Ortalama hız, katedilen toplam mesafenin bu mesafeyi katetmek için geçen toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Yolun ilk bölümü 10 dakika (1/6 saat) ve kalan 4,8 km'lik ikinci bölümü ise 20 dakika (1/3 saat) sürmüştür. Toplamda 6,4 km olan bu yolculuk 30 dakika (0,5 saat) sürdüğü için ortalama hız 12,8 km/sa olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk bölümdeki yolculuk süresini dakika cinsinden bulup saate çevirelim.

İlk bölümün süresi

t_1 = \frac{1600\text{ m}}{160\text{ m/dk}} = 10\text{ dakika} = \frac{10}{60}\text{ saat} = \frac{1}{6}\text{ saat}

olur.

Hız birimleri arasındaki dönüşümleri doğru yaparak toplam zamana ulaşmak gerekir.

2

İkinci bölümdeki mesafeyi ve yolculuk süresini saat cinsinden bulalım.

İkinci bölümün mesafesi

6400 - 1600 = 4800\text{ metre} = 4.8\text{ km}

'dir. Süre ise

t_2 = \frac{4.8\text{ km}}{14.4\text{ km/sa}} = \frac{1}{3}\text{ saat}

(yani 20 dakika) olur.

Toplam süreyi elde etmek için ikinci kısmın süresi hesaplanmalıdır.

3

Toplam mesafeyi kilometre, toplam süreyi ise saat cinsinden toplayalım.

Toplam yol

S = 6.4\text{ km}

'dir. Toplam zaman

t = t_1 + t_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} = 0.5\text{ saat}

olur.

Ortalama hız formülü için toplam yol ve toplam zaman değerleri gereklidir.

4

Toplam yolu toplam zamana bölerek ortalama hızı saatte kilometre cinsinden hesaplayalım.

v_{ort} = \frac{6.4\text{ km}}{0.5\text{ saat}} = 12.8\text{ km/sa}

bulunur.

Ortalama hızın temel formülü

v_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

bağıntısıdır.

Anahtar Kavram

Hareket Problemleri - Ortalama Hız

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir koşucu, dairesel bir pistteki antrenmanında ilk turu dakikada $200$ metre sabit hızla, ikinci turu ise saatte $18$ kilometre sabit hızla koşmuştur.

Buna göre, koşucunun bu iki turdaki tüm koşusu boyunca ortalama hızı dakikada kaç metredir?

120

240

250

500

600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $240$

Cevap

Koşucunun tüm koşu boyunca ortalama hızı dakikada

240

metredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranıdır. Koşucunun ikinci turdaki hızı dakikada

300

metreye dönüştürüldükten sonra, iki tur için geçen toplam süre

\frac{x}{200} + \frac{x}{300} = \frac{x}{120}

olarak bulunur. Toplam yol olan

2x

bu süreye bölündüğünde ortalama hız dakikada

240

metre olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Saatte

18

kilometre olan hızı, soruda istenen birim olan dakikada metre cinsine dönüştürün.

Saatte

18\text{ km} = 18000\text{ m}

'dir.

1\text{ saat} = 60\text{ dakika}

olduğundan, dakikadaki hız

\frac{18000}{60} = 300\text{ m/dk}

olarak bulunur.

Ortalama hız hesabı yapabilmek için tüm hız birimlerinin aynı olması gerekir.

2

Pistin bir tur uzunluğuna

x

metre diyerek, koşucunun ilk turu ve ikinci turu alma sürelerini (

t_1

ve

t_2

) belirleyin.

t_1 = \frac{x}{200}

dakika ve

t_2 = \frac{x}{300}

dakika olur.

Süre, yolun hıza bölünmesiyle elde edilir (

t = \frac{x}{v}

).

3

Koşucunun toplam geçen süresini bulmak için iki turdaki süreleri toplayın.

Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{200} + \frac{x}{300} = \frac{3x + 2x}{600} = \frac{5x}{600} = \frac{x}{120}

dakika olur.

Ortalama hız formülünde payda kısmında yer alacak olan toplam zamanı elde etmek için payda eşitleyerek toplama işlemi yapılır.

4

Toplam yolu toplam zamana oranlayarak ortalama hızı hesaplayın.

Toplam yol iki tur olduğu için

2x

metredir. Ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2x}{\frac{x}{120}} = 2 \times 120 = 240\text{ m/dk}

olarak hesaplanır.

Ortalama hızın temel tanımı, toplam yolun toplam zamana oranıdır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Birim Dönüşümü

Soru 3Soru →

Bir otomobil sürücüsü, A kentinden B kentine saatte $90\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir. Dönüş yolunda ise yol yapım çalışması nedeniyle, yolun ilk yarısını saatte $45\text{ km}$ , ikinci yarısını ise saatte $90\text{ km}$ sabit hızla tamamlayarak A kentine geri dönmüştür.

Buna göre, bu otomobilin tüm gidiş-dönüş yolculuğundaki ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

45

60

67,5

72

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Tüm gidiş-dönüş yolculuğundaki ortalama hız saatte

72\text{ km}

'dir.

Gidiş-dönüş yolculuğunun toplam mesafesi

2d

olup, bu mesafenin tamamlanması için geçen toplam süre

t_{\text{toplam}} = \frac{d}{36}

saattir. Toplam yol toplam zamana bölündüğünde ortalama hız saatte

72\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A ile B kentleri arasındaki mesafeyi

d

km olarak belirleyip gidiş süresini yazalım.

Gidiş süresi:

t_1 = \frac{d}{90}

saat.

Yol = Hız

\times

Zaman formülünden zaman, yolun hıza bölünmesiyle elde edilir.

2

Dönüş yolundaki iki farklı bölüm için geçen süreleri yazalım.

Dönüşün ilk yarısı için geçen süre:

t_{2a} = \frac{d/2}{45} = \frac{d}{90}

saat.
Dönüşün ikinci yarısı için geçen süre:

t_{2b} = \frac{d/2}{90} = \frac{d}{180}

saat.

Dönüş yolunun her bir yarısı

d/2

km uzunluğundadır.

3

Yolculuk boyunca geçen toplam süreyi bulalım.

Toplam zaman:

T = t_1 + t_{2a} + t_{2b} = \frac{d}{90} + \frac{d}{90} + \frac{d}{180} = \frac{2d + 2d + d}{180} = \frac{5d}{180} = \frac{d}{36}

saat.

Paydaları

180

sayısında eşitleyerek toplama işlemini gerçekleştiririz.

4

Toplam gidiş-dönüş mesafesini toplam süreye bölerek ortalama hızı hesaplayalım.

Ortalama hız:

V_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2d}{\frac{d}{36}} = 2d \cdot \frac{36}{d} = 72\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız formülü

V_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle bulunur ve süreler eşit olmadığında hızların aritmetik ortalaması doğrudan kullanılamaz.

Alternatif Yöntem

Mesafe yerine

90

,

45

ve

180

sayılarının ortak katı olan uygun bir değer seçilerek de soru çözülebilir. Örneğin A ve B kentleri arasındaki mesafe

90\text{ km}

olsun. Bu durumda gidiş süresi

90 / 90 = 1

saat sürer. Dönüş yolunun ilk yarısı (

45\text{ km}

)

45 / 45 = 1

saat, ikinci yarısı (

45\text{ km}

)

45 / 90 = 0,5

saat sürer. Toplam yol

180\text{ km}

ve toplam zaman

1 + 1 + 0,5 = 2,5

saat olur. Buradan ortalama hız

180 / 2,5 = 72\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir elektrikli bisiklet kullanıcısı, gideceği yolun toprak olan ilk yarısını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, asfalt olan diğer yarısını ise saatte $60\text{ km}$ sabit hızla tamamlamıştır. Buna göre, bu bisikletlinin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

45

36

40

20

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Ortalama hız saatte 40 kilometredir.

Ortalama hızı bulmak için toplam gidilen yol, toplam geçen süreye bölünmelidir. Yolun her bir yarısına

x

dersek, toplam yol

2x

olur. Saatte 30 km hızla gidilen ilk yarı için süre

\frac{x}{30}

saat, saatte 60 km hızla gidilen ikinci yarı için ise

\frac{x}{60}

saattir. Bu süreler toplandığında toplam süre

\frac{x}{20}

saat olarak bulunur. Toplam yol olan

2x

ifadesi toplam süre olan

\frac{x}{20}

değerine bölündüğünde ortalama hız saatte 40 km olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamını iki eşit parçaya bölerek toplam yol ve her bir bölüm için harcanan süreleri tanımlamak.

Yolun ilk yarısı

x

km ve ikinci yarısı

x

km olmak üzere toplam yol

2x

km olur. İlk yarı için geçen süre

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarı için geçen süre

t_2 = \frac{x}{60}

saattir.

Ortalama hız formülü olan Toplam Yol / Toplam Zaman oranını kurabilmek için gerekli değişkenleri belirlemek gerekir.

2

Toplam geçen süreyi hesaplamak için payda eşitleyerek süreleri toplamak.

Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = t_1 + t_2 = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{2x}{60} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saat.

Toplam zamanı tek bir rasyonel ifade olarak yazarak ortalama hız formülünde yerine koymak.

3

Toplam yolu, toplam zamana bölerek ortalama hızı hesaplamak.

V_{\text{ort}} = \frac{2x}{\frac{x}{20}} = 2x \times \frac{20}{x} = 40

km/sa.

Ortalama hızın matematiksel tanımını uygulayarak nihai sonucu bulmak.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız Problemleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

A ve B kentleri arasındaki uzaklık $200\text{ km}$ 'dir. A kentinden saatte $60\text{ km}$ sabit hızla, B kentinden ise saatte $40\text{ km}$ sabit hızla iki araç aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyor. Buna göre, bu iki araç hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar?

10

4

2

5

0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İki araç hareketlerinden 2 saat sonra karşılaşırlar.

Araçlar birbirlerine doğru hareket ettikleri için aralarındaki mesafeyi hızlarının toplamı kadar sürede kapatırlar. Toplam yol

200\text{ km}

ve toplam hız

100\text{ km/sa}

olduğuna göre, karşılaşma süresi

200 / 100 = 2\text{ saat}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Araçların birbirlerine doğru hareket ederken sahip oldukları toplam yaklaşma hızını belirleyin.

Araçların hızları toplamı:

60 + 40 = 100\text{ km/sa}

'dir.

Birbirlerine doğru hareket eden araçların aralarındaki mesafe, hızlarının toplamı oranında kısalır.

2

Karşılaşma süresini bulmak için toplam yolu toplam hıza bölün.

Süre =

\frac{200}{100} = 2\text{ saat}

'tir.

Yol formülü olan

\text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman}

bağıntısından zamanı çekmek için

\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Birbirine doğru hareket eden araçlarda karşılaşma süresi, aralarındaki mesafenin hızları toplamına bölünmesiyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Her iki aracın 1 saatte katettiği yolları bulup (A aracı 60 km, B aracı 40 km) saatte toplam 100 km yol kapattıklarını görebiliriz. 200 km yolun tamamının kapanması için 2 saat geçmesi gerektiği doğrudan oran-orantı ile de bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 6Soru →

Aynı noktadan aynı yöne doğru sabit hızlarla hareket eden iki araçtan birinin saatteki hızı $80\text{ km}$ , diğerinin saatteki hızı ise $40\text{ km}$ 'dir. Hızlı olan araç, yavaş olan araçtan $120\text{ km}$ geride harekete başladığına göre, hızlı olan araç yavaş olan araca kaç saat sonra yetişir?

2

3

1

6

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Hızlı olan araç yavaş olan araca 3 saat sonra yetişir.

Hızlı olan aracın yavaş olan araca yetişme süresi, aralarındaki mesafenin hızları farkına bölünmesiyle bulunur. Hızlı olan aracın hızı

80\text{ km/sa}

, yavaş olan aracın hızı

40\text{ km/sa}

ve aralarındaki mesafe

120\text{ km}

'dir. Buna göre, yetişme süresi

\frac{120}{80 - 40} = \frac{120}{40} = 3\text{ saat}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Araçların hızlarının farkını bulunuz.

80 - 40 = 40\text{ km/sa}

Aynı yönde hareket eden araçların birbirine göre bağıl hızını bulmak için hızlarının farkı alınır.

2

Aralarındaki mesafeyi hız farkına bölerek yetişme süresini hesaplayınız.

\frac{120}{40} = 3\text{ saat}

Yetişme süresi, başlangıçtaki mesafenin hız farkına bölünmesiyle bulunur (

t = \frac{x}{v_1 - v_2}

).

Anahtar Kavram

Aynı yönde hareket eden araçların birbirini yakalama süresi

Soru 7Soru →

Bir otomobil, iki şehir arasındaki yolu saatte $60\text{ km}$ sabit hızla giderek $6$ saatte tamamlamaktadır.

Buna göre, bu otomobilin aynı yolu $4$ saatte tamamlayabilmesi için saatteki hızını kaç $\text{km}$ artırması gerekir?

15

20

30

40

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Otomobilin saatteki hızını 30 km artırması gerekir.

Doğru seçenekteki 30 değeri, yol formülü kullanılarak elde edilen yeni hız (90 km/s) ile ilk hızın (60 km/s) farkını doğru şekilde gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

İki şehir arasındaki toplam yol mesafesini hesaplamak.

\text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman}

formülünden,

\text{Yol} = 60 \times 6 = 360\text{ km}

olarak bulunur.

Hız ve süre bilindiği için toplam yol uzunluğu elde edilir.

2

Aynı yolun 4 saatte alınabilmesi için gereken yeni hızı bulmak.

\text{Yol} = \text{Hız} \times \text{Zaman}

formülünden,

360 = V_{\text{yeni}} \times 4 \implies V_{\text{yeni}} = 90\text{ km/s}

bulunur.

Hedef süre 4 saat olduğundan, bu sürede 360 km yol almak için gereken hız belirlenir.

3

Hızdaki artış miktarını hesaplamak.

\text{Artış Miktarı} = 90 - 60 = 30\text{ km/s}

olarak hesaplanır.

Soruda yeni hız değil, hızın ne kadar artırılması gerektiği sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki temel doğrusal ilişki (Yol = Hız x Zaman) ve ters orantı mantığı.

İpuçları

1

Hız ile zaman ters orantılıdır; süre azaldığı için hızın artması gerekir.

2

Önce yolun toplam uzunluğunu bulmak için verilen ilk hız ile ilk süreyi çarpın. Ardından bu yolu 4 saate bölün.

Daha Fazla Pratik

Hız ile zaman arasındaki ters orantı ilişkisini pekiştirmek için, sürenin arttığı ve hızın azaltılması gereken benzer bir problemi çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Hız ile zaman ters orantılı olduğu için

60 \times 6 = V_{\text{yeni}} \times 4

eşitliğini kurabiliriz. Buradan

V_{\text{yeni}} = 90\text{ km/s}

bulunur. Hızdaki artış ise

90 - 60 = 30\text{ km/s}

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir kurye teslimat dronu, rüzgarsız bir havada A noktası ile B noktası arasındaki mesafeyi saatte $80\text{ km}$ sabit hızla gidip zaman kaybetmeden aynı hızla geri dönmektedir. Bir gün dron gidiş yolculuğuna başladığı anda, A noktasından B noktasına doğru saatte $20\text{ km}$ sabit hızla esen bir rüzgar başlamış ve dronun dönüş yolculuğu tamamlanana kadar aynı hız ve yönde esmeye devam etmiştir. Dronun bu rüzgarlı havada gidiş-dönüş yolculuğu toplam $8$ saat sürdüğüne göre, rüzgarsız bir havada aynı gidiş-dönüş yolculuğu kaç saat sürerdi?

6

7,2

7,5

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,5

Cevap

Rüzgarsız havada gidiş-dönüş yolculuğu 7,5 saat sürerdi.

Dronun rüzgarlı havada gidiş hızı saatte 100 km, dönüş hızı ise saatte 60 km'dir. Toplam 8 saat süren bu yolculukta gidilen ve dönülen mesafeler eşit olduğundan ortalama hız harmonik ortalama formülüyle 75 km/sa olarak bulunur. Toplam mesafe 75 * 8 = 600 km olup, rüzgarsız havadaki sabit 80 km/sa hızla bu mesafe 600 / 80 = 7,5 saatte tamamlanır.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B noktaları arasındaki mesafeyi d, dronun rüzgarsız havadaki hızını v = 80 km/sa ve rüzgar hızını w = 20 km/sa olarak belirleyip rüzgarlı havada gidiş ve dönüş hızlarını bulun.

Gidiş hızı (rüzgar yönünde): v_gidiş = 80 + 20 = 100 km/sa. Dönüş hızı (rüzgara karşı): v_dönüş = 80 - 20 = 60 km/sa.

Rüzgar, gidişte dronun hızını artırırken dönüşte azaltacaktır.

2

Toplam gidiş-dönüş süresi olan 8 saati kullanarak mesafe (d) için bir denklem kurun ve d değerini hesaplayın.

t_toplam = d / 100 + d / 60 = 8. Paydaları 300'de eşitlediğimizde: (3d + 5d) / 300 = 8 => 8d = 2400 => d = 300 km.

Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak rüzgarlı yolculuğun aşamalarını birleştirmek gerekir.

3

Hesaplanan d = 300 km mesafesini kullanarak rüzgarsız havada gidiş-dönüş süresini (t_rüzgarsız) hesaplayın.

Toplam gidiş-dönüş mesafesi 2d = 2 * 300 = 600 km'dir. Rüzgarsız süresi: t_rüzgarsız = 600 / 80 = 7,5 saat.

Rüzgarsız havada dron her iki yönde de 80 km/sa sabit hızla hareket edecektir.

Anahtar Kavram

Rüzgar/akıntı gibi dış etkenlerin hıza olan etkisiyle oluşan ortalama hız ve süre ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Formül bazlı çözüm: Rüzgarlı havada geçen süre ile rüzgarsız havada geçen süre arasındaki oran t_rüzgarsız = t_rüzgarlı * (1 - w^2 / v^2) formülüyle doğrudan hesaplanabilir. Burada v = 80 ve w = 20 değerleri yerine yazıldığında t_rüzgarsız = 8 * (1 - 400/6400) = 8 * (15/16) = 7,5 saat elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

Bir araç, yolculuğunun ilk $3$ saatinde saatte ortalama $80\text{ km}$ sabit hızla, kalan $2$ saatinde ise saatte ortalama $100\text{ km}$ sabit hızla hareket etmiştir. Buna göre, bu aracın tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı kaç kilometredir?

84

86

88

90

92

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

Aracın tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı 88 kilometredir.

Ortalama hızı bulmak için toplam alınan yol toplam geçen zamana bölünmelidir. İlk etapta 80 km/s hızla 3 saatte 240 km, ikinci etapta ise 100 km/s hızla 2 saatte 200 km yol alınmıştır. Toplam yol 440 km, toplam zaman ise 5 saattir. Bu iki değerin oranı bize 88 km/s olan doğru ortalama hızı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Aracın ilk 3 saatte aldığı yolu hesaplamak

80 \times 3 = 240\text{ km}

Bir hareketlinin aldığı yol, hızı ile hareket süresinin çarpımına eşittir (

x = v \cdot t

).

2

Aracın kalan 2 saatte aldığı yolu hesaplamak

100 \times 2 = 200\text{ km}

Yol formülü (

x = v \cdot t

) kullanılarak yolculuğun ikinci kısmındaki mesafe bulunur.

3

Yolculuk boyunca katedilen toplam yolu ve toplam süreyi bulmak

Toplam Yol =

240 + 200 = 440\text{ km}

, Toplam Zaman =

3 + 2 = 5\text{ saat}

Ortalama hız hesabında kullanılacak toplam mesafe ve toplam hareket süresi belirlenir.

4

Aracın ortalama hızını hesaplamak

Ortalama Hız =

\frac{440}{5} = 88\text{ km/s}

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Yol Denklemi

İpuçları

1

Ortalama hızı bulmak için 'Toplam Yol / Toplam Zaman' formülünü kullanmalısınız.

2

Aracın her iki aşamada aldığı yolları ayrı ayrı bulup toplayarak toplam yolu bulun, ardından toplam süre olan 5 saate bölün.

3

İlk aşamada yol = 80 * 3 = 240 km, ikinci aşamada yol = 100 * 2 = 200 km'dir. Toplam yolu (440 km) toplam zamana (5 saat) bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, gidilen yolların eşit olduğu fakat hızların farklı olduğu durumlarda ortalama hızın nasıl hesaplanacağını inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ağırlıklı ortalama mantığı kullanılabilir. Ortalama Hız = (3 * 80 + 2 * 100) / (3 + 2) = (240 + 200) / 5 = 88 km/s şeklinde doğrudan tek bir denklemle de hesaplanabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Sabit hızla hareket eden bir tren, $800\text{ metre}$ uzunluğundaki birinci tüneli giriş anından tamamen çıkış anına kadar $45\text{ saniyede}$ , $1200\text{ metre}$ uzunluğundaki ikinci tüneli ise $60\text{ saniyede}$ tamamen geçmektedir. Buna göre, bu trenin boyu kaç metredir?

300

400

500

600

800

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $400$

Cevap

Trenin boyu

400\text{ metredir}

.

Trenin boyu

L

ve hızı

v

olsun. Trenin bir tüneli tamamen geçmesi için kendi boyu ile tünel boyunun toplamı kadar yol alması gerekir. Bu durumda birinci tünel için

L + 800 = 45v

ve ikinci tünel için

L + 1200 = 60v

denklemleri elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında, trenin iki tünel arasındaki

400\text{ metrelik}

farkı

15\text{ saniyede}

aldığı görülür. Buradan trenin hızı

v = \frac{400}{15} = \frac{80}{3}\text{ m/s}

bulunur. Bulunan hız birinci denklemde yerine yazıldığında

L + 800 = 45 \times \frac{80}{3} \implies L + 800 = 1200 \implies L = 400\text{ metre}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Trenin tüneli geçme mantığını kullanarak denklemleri kurun.

Trenin boyuna

L

ve sabit hızına

v

dersek; birinci tünel için

L + 800 = 45v

, ikinci tünel için

L + 1200 = 60v

denklemleri elde edilir.

Trenin bir tünelden tamamen çıkabilmesi için tünelin uzunluğu ile kendi boyunun toplamı kadar yol alması gerekir (

Yol = Hız \times Zaman

).

2

Denklemleri taraf tarafa çıkararak trenin hızını bulun.

(L + 1200) - (L + 800) = 60v - 45v \implies 400 = 15v \implies v = \frac{400}{15} = \frac{80}{3}\text{ m/s}

bulunur.

İki denklem arasındaki fark, trenin tünel boylarındaki farkı ne kadar sürede aldığını gösterir.

3

Bulunan hız değerini birinci denklemde yerine yazarak trenin boyunu (

L

) hesaplayın.

L + 800 = 45 \times \frac{80}{3} \implies L + 800 = 15 \times 80 \implies L + 800 = 1200 \implies L = 400\text{ metre}

.

Hız ve süre bilgisi kullanılarak trenin toplamda aldığı yol bulunur ve tünel boyu çıkarılarak trenin boyuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken yol, tünelin uzunluğu ile trenin kendi uzunluğunun toplamına eşittir.

İpuçları

1

Trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam yol nedir?

2

Trenin boyuna

L

ve hızına

v

diyerek birinci ve ikinci tüneller için iki ayrı denklem yazın.

3

İki denklemi taraf tarafa çıkararak trenin hızını (

v

) bulun, ardından bu hızı kullanarak

L

'yi hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Bir trenin sabit hızla giden bir yayayı veya başka bir treni geçme süresiyle ilgili problemleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla: Tren

15\text{ saniyede}

(

60 - 45

) tünel farkı olan

400\text{ metre}

(

1200 - 800

) yol almıştır. Buradan trenin

45\text{ saniyede}

alacağı toplam yol

3 \times 400 = 1200\text{ metre}

olur. Birinci tünelin boyu

800\text{ metre}

olduğuna göre, trenin boyu

1200 - 800 = 400\text{ metre}

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir elektrikli otomobil, test sürüşü yaparken iki şehir arasındaki yolun ilk yarısını saniyede ortalama $25\text{ metre}$ ( $25\text{ m/sn}$ ), ikinci yarısını ise saatte ortalama $60\text{ kilometre}$ ( $60\text{ km/sa}$ ) sabit hızla gitmiştir. Buna göre, bu otomobilin tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

36

72

75

20

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Otomobilin tüm yol boyunca ortalama hızı saatte 72 kilometredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. Yol iki eşit parçaya bölündüğü için harmonik ortalama formülü geçerlidir. İlk hız olan saniyede 25 metre, saatte 90 kilometreye eşdeğerdir. Bu değer ve ikinci yarıdaki hız olan saatte 60 kilometre formülde yerine yazıldığında saatte 72 kilometre sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk yarıdaki hız birimini km/sa cinsine dönüştürmek.

25\text{ m/sn} = 25 \times 3.6 = 90\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Soruda ortalama hızın saatte kilometre (km/sa) cinsinden değeri sorulduğu için tüm hız birimlerinin km/sa olması gerekir. Saniyede 25 metre giden bir araç, bir saatte (3600 saniye)

25 \times 3600 = 90000\text{ metre} = 90\text{ km}

yol alır.

2

Eşit mesafeler için ortalama hız formülünü uygulamak.

v_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 90 \cdot 60}{90 + 60} = \frac{10800}{150} = 72\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Yolun iki yarısı da eşit uzunlukta olduğu için, gidilen toplam yolun geçen toplam süreye oranı olan ortalama hız, hızların harmonik ortalaması ile bulunur.

Anahtar Kavram

Eşit uzunluktaki yollarda ortalama hız, hızların harmonik ortalamasına eşittir.

Alternatif Yöntem

Yolun tamamına hem 90'a hem de 60'a tam bölünebilen bir sayı (örneğin 180 km) verilebilir. Yolun yarısı 180 km ise tamamı 360 km olur. İlk yarısı 90 km/sa hızla 2 saatte, ikinci yarısı 60 km/sa hızla 3 saatte tamamlanır. Toplam süre 5 saat, toplam yol 360 km olduğundan ortalama hız 360 / 5 = 72 km/sa olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Aynı noktadan aynı anda zıt yönlere doğru sabit hızlarla hareket eden iki bisikletliden birinin saatteki hızı $18\text{ km}$ , diğerinin saatteki hızı ise $22\text{ km}$ 'dir. Buna göre, hareketlerinden kaç saat sonra bu iki bisikletli arasındaki mesafe $120\text{ km}$ olur?

2

3

4

6

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki bisikletli arasındaki mesafenin 120 km olması için geçen süre 3 saattir.

Zıt yönlü hareketlerde araçların birbirine göre uzaklaşma hızları, kendi bireysel hızlarının toplamına eşittir. Bu soruda bisikletlilerin hızları toplamı

18 + 22 = 40\text{ km/sa}

olarak bulunur. Aralarındaki mesafenin

120\text{ km}

olması için geçen süre, mesafenin bu toplam hıza bölünmesiyle

120 / 40 = 3\text{ saat}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Zıt yönlü hareketlerde saatteki toplam uzaklaşma hızını bulmak için bisikletlilerin hızlarını toplayın.

18 + 22 = 40\text{ km/sa}

Bisikletliler zıt yönlerde hareket ettikleri için birbirlerinden saatte hızlarının toplamı kadar uzaklaşırlar.

2

İstenen mesafeye ulaşılması için gereken süreyi bulmak amacıyla toplam yolu toplam hıza bölün.

t = \frac{120}{40} = 3\text{ saat}

Zaman, yolun hıza bölünmesiyle (

t = \frac{x}{v}

) elde edilir.

Anahtar Kavram

Zıt Yönlü Hareketlerde Bağıl Hız

Soru 13Soru →

Bir bisikletli, $120\text{ km}$ uzunluğundaki bir yolun ilk yarısını saatte ortalama $30\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte ortalama $20\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir.

Buna göre, bisikletlinin tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

12

24

25

22

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Bisikletlinin tüm yol boyunca ortalama hızı saatte 24 km'dir.

Toplam yol 120 km'dir. Yolun ilk yarısı olan 60 km, saatte 30 km hızla 2 saatte tamamlanır. Kalan yarısı olan 60 km ise saatte 20 km hızla 3 saatte tamamlanır. Toplam geçen süre 2 + 3 = 5 saattir. Ortalama hız, toplam yol olan 120 km'nin toplam süre olan 5 saate bölünmesiyle saatte 24 km olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun ilk ve ikinci yarılarının uzunluklarını hesaplayalım.

İlk yarı

60\text{ km}

, ikinci yarı

60\text{ km}

'dir.

Yolun tamamı

120\text{ km}

olduğu için yarısı

120 / 2 = 60\text{ km}

olur.

2

Yolun her bir yarısı için geçen süreleri bulalım.

İlk yarı için

t_1 = 2\text{ saat}

, ikinci yarı için

t_2 = 3\text{ saat}

sürer.

Süre = Yol / Hız formülünden, ilk yarı

60 / 30 = 2\text{ saat}

, ikinci yarı

60 / 20 = 3\text{ saat}

olarak hesaplanır.

3

Toplam yolu toplam zamana bölerek ortalama hızı hesaplayalım.

Ortalama hız

24\text{ km/sa}

'tir.

Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman formülünden

120 / (2 + 3) = 120 / 5 = 24\text{ km/sa}

bulunur.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız, hareketlinin aldığı toplam yolun, bu yolu almak için geçen toplam süreye bölünmesiyle hesaplanır. Aritmetik ortalama ile karıştırılmamalıdır.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 14Soru →

Dairesel bir pist üzerinde aynı noktadan, aynı anda ve sabit hızlarla koşmaya başlayan iki sporcudan hızlı olanının hızı $V_1$ , yavaş olanının hızı ise $V_2$ 'dir. Bu sporcular aynı yönde koşarlarsa $60$ dakika sonra ilk kez yan yana geliyorlar. Zıt yönde koşarlarsa $12$ dakika sonra ilk kez karşılaşıyorlar.

Buna göre, hızlı olan sporcu pistin tamam��nı tek başına kaç dakikada koşar?

20

15

24

30

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Hızlı olan sporcu pistin tamamını tek başına 20 dakikada koşar.

Hızlı sporcunun hızı

V_1

ve yavaş sporcunun hızı

V_2

olmak üzere; aynı yöndeki hareketten

x = 60(V_1 - V_2)

ve zıt yöndeki hareketten

x = 12(V_1 + V_2)

denklemleri kurulur. Bu iki denklem birbirine eşitlendiğinde

60(V_1 - V_2) = 12(V_1 + V_2) \implies 5(V_1 - V_2) = V_1 + V_2 \implies 4V_1 = 6V_2 \implies V_2 = \frac{2}{3}V_1

elde edilir. Pistin çevresi olan

x

ifadesinde

V_2

yerine bu değer yazılırsa

x = 12(V_1 + \frac{2}{3}V_1) = 20V_1

bulunur. Buradan da hızlı sporcunun pisti tek başına tamamlama süresi

\frac{x}{V_1} = 20

dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşucuların pisti tamamlama sürelerini değişkenlerle ifade edelim.

Hızlı sporcunun pisti tamamlama süresi

t_1

, yavaş sporcunun süresi

t_2

ve pistin çevresi

x

olsun. Hızlar:

V_1 = \frac{x}{t_1}

ve

V_2 = \frac{x}{t_2}

olur.

Süreler ve hızlar arasında yol formülüne dayalı bir ilişki kurmak için.

2

Aynı yönde ve zıt yönde karşılaşma sürelerine göre denklemleri kuralım.

Aynı yönde koşarlarsa aralarındaki mesafe farkı 1 tur (

x

) olmalıdır:

x = (V_1 - V_2) \cdot 60 \implies \frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60}

. Zıt yönde koşarlarsa toplam aldıkları yol 1 tur (

x

) olmalıdır:

x = (V_1 + V_2) \cdot 12 \implies \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}

.

Hareket yönlerinin hızlar üzerindeki etkisini denkleme yansıtmak için.

3

Elde edilen denklem sistemini taraf tarafa toplayarak hızlı sporcunun süresini (

t_1

) bulalım.

\left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right) + \left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) = \frac{1}{60} + \frac{1}{12}

\frac{2}{t_1} = \frac{1}{60} + \frac{5}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}

Taraf tarafa toplama yaparak

t_2

terimini yok etmek ve

t_1

değerine ulaşmak için.

4

\frac{2}{t_1} = \frac{1}{10}

denkleminden

t_1

değerini çekelim.

t_1 = 20

dakika.

İçler dışlar çarpımı yaparak hızlı koşucunun süresini netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Dairesel pistlerde karşılaşma ve yakalama problemlerinde hızlar toplamı ve hızlar farkının yol ile ilişkisi.

İpuçları

1

Dairesel pistteki hareketlerde aynı yönde koşulduğunda hızlar farkı, zıt yönde koşulduğunda ise hızlar toplamı kullanılır.

2

Pistin çevresini

x

kabul edip iki durum için de

x

değerini veren denklemleri kurun ve bu denklemleri birbirine eşitleyerek

V_1

ile

V_2

arasındaki oranı bulun.

3

5(V_1 - V_2) = V_1 + V_2

eşitliğinden

V_2 = \frac{2}{3}V_1

bağıntısını elde ettikten sonra, bu oranı zıt yönde hareket formülünde yerine koyarak pistin çevresinin

V_1

cinsinden değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, koşucuların hızlarının oranını doğrudan soran veya pistin çevresinin belirli bir uzunlukta verildiği problemleri çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Süreler üzerinden işçi problemi mantığıyla da çözülebilir. Hızlı koşucunun bitirme süresi

t_1

, yavaş koşucunun bitirme süresi

t_2

olsun. Aynı yönde hareket ettiklerinde birim zamandaki tur farkı

\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60}

olur. Zıt yönde hareket ettiklerinde ise birim zamandaki tur toplamı

\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}

olur. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak

\frac{2}{t_1} = \frac{1}{60} + \frac{1}{12} \implies \frac{2}{t_1} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \implies t_1 = 20

dakika bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir motosikletli, A şehrinden B şehrine saatte ortalama $60\text{ km}$ hızla gitmiş ve hiç durmadan aynı yoldan saatte ortalama $90\text{ km}$ hızla geri dönmüştür.

Buna göre, bu motosikletlinin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı kaç $\text{km}$ 'dir?

70

72

74

75

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Motosikletlinin tüm yolculuk boyunca saatteki ortalama hızı 72 km'dir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. Motosikletlinin gittiği yol

x

ise, gidiş süresi

\frac{x}{60}

saat, dönüş süresi

\frac{x}{90}

saat ve toplam zamanı

\frac{x}{36}

saat olur. Toplam gidiş-dönüş yolu

2x

olduğuna göre, ortalama hız

\frac{2x}{\frac{x}{36}} = 72\text{ km/sa}

olarak bulunur. Bu nedenle 72 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

A ile B şehirleri arasındaki tek yönlü mesafeyi

x

olarak belirleyip gidiş ve dönüş sürelerini ifade edin.

Gidiş süresi

t_1 = \frac{x}{60}

saat, dönüş süresi

t_2 = \frac{x}{90}

saat olur.

Zaman, yolun hıza bölünmesiyle (

\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

) bulunur.

2

Gidiş ve dönüşteki toplam süreyi bulmak için

t_1

ve

t_2

ifadelerini toplayın.

Toplam zaman

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{60} + \frac{x}{90} = \frac{3x + 2x}{180} = \frac{5x}{180} = \frac{x}{36}

saat olarak bulunur.

Ortalama hız formülünde paydada yer alacak toplam hareket süresini elde etmek gerekir.

3

Tüm yolculuk boyunca alınan toplam yolu toplam zamana bölerek ortalama hızı hesaplayın.

Ortalama hız

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2x}{\frac{x}{36}} = 2x \cdot \frac{36}{x} = 72\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Ortalama hız, katedilen toplam mesafenin bu mesafeyi almak için geçen toplam süreye oranıdır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 16Soru →

Bir otomobil, iki şehir arasındaki yolun $\frac{2}{5}$ 'sini saatte $V\text{ km}$ sabit hızla, kalan kısmını ise saatte $3V\text{ km}$ sabit hızla giderek tüm yolculuğunu 6 saatte tamamlamıştır.

Buna göre, bu otomobil aynı yolun tamamını saatte $2V\text{ km}$ sabit hızla gitseydi, tüm yolculuğunu kaç saatte tamamlardı?

3

5

6

10

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Yolculuk süresi 5 saat olurdu.

Hareketlinin birinci kısımda geçirdiği süre

\frac{2x}{5V}

ve ikinci kısımda geçirdiği süre

\frac{x}{5V}

saat olup, bu sürelerin toplamı

\frac{3x}{5V} = 6

saattir. Bu eşitlikten

\frac{x}{V} = 10

değeri elde edilir. Yolun tamamı saatte

2V

hızıyla gidildiğinde ise geçen süre

\frac{x}{2V} = \frac{10}{2} = 5

saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun tamamına ve kısımlarına değişken tanımlama

Yolun tamamı

x

, ilk kısmı

\frac{2}{5}x

, kalan kısmı ise

x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x

olarak belirlenir.

Yolun kısımlarını toplam yol cinsinden ifade etmek için.

2

İlk kısım için geçen süreyi hız ve yol cinsinden yazma

İlk kısım saatte

V

hızıyla gidildiğinden geçen süre

t_1 = \frac{\frac{2}{5}x}{V} = \frac{2x}{5V}

saat olur.

Zaman = Yol / Hız formülünü uygulamak için.

3

Kalan kısım için geçen süreyi hız ve yol cinsinden yazma

İkinci kısım saatte

3V

hızıyla gidildiğinden geçen süre

t_2 = \frac{\frac{3}{5}x}{3V} = \frac{x}{5V}

saat olur.

Zaman = Yol / Hız formülünü ikinci kısım için uygulamak için.

4

Toplam süreyi kullanarak denklem kurma ve çözme

t_1 + t_2 = \frac{2x}{5V} + \frac{x}{5V} = \frac{3x}{5V} = 6

denklemi kurulur. Buradan

\frac{3x}{5V} = 6 \implies 3x = 30V \implies \frac{x}{V} = 10

elde edilir.

Toplam sürenin 6 saat olduğu bilgisini kullanarak yol ile hız arasındaki oranı bulmak için.

5

İstenen yeni hızla yolun tamamının kaç saatte alınacağını hesaplama

Yolun tamamı (

x

) saatte

2V

hızıyla gidilirse süre

t_{\text{yeni}} = \frac{x}{2V} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{V} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

saat olarak bulunur.

Yeni hıza göre hareket denklemini kurup önceden bulduğumuz oranı yerine yazmak için.

Anahtar Kavram

Bir hareketlinin farklı bölümlerde farklı hızlarla gitmesi durumunda geçen toplam süre ile yol ve hız arasındaki ilişkilerin kurulması.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir sporcu, $360$ metre uzunluğundaki doğrusal bir pistin ilk $120$ metresini saniyede ortalama $6$ metre sabit hızla, kalan kısmını ise saniyede ortalama $8$ metre sabit hızla koşmuştur.

Buna göre, bu sporcunun tüm koşu boyunca ortalama hızı saniyede kaç metredir?

6,4

6,8

7,0

7,2

7,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7,2$

Cevap

Sporcunun tüm koşu boyunca ortalama hızı saniyede

7,2

metredir.

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle hesaplanır. Sporcunun ilk kısmı ko��ma süresi

20

saniye, kalan

240

metrelik kısmı koşma süresi ise

30

saniyedir. Toplam süre

50

saniye olduğundan, ortalama hız

\frac{360}{50} = 7,2

m/s olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk kısımda ge��en süreyi hesaplama

t_1 = 20

saniye

Sporcu

120

metrelik ilk kısmı saniyede

6

metre hızla koşmuştur. Süre, yolun hıza bölünmesiyle

t_1 = \frac{120}{6} = 20

saniye olarak bulunur.

2

Kalan kısmı koştuğu süreyi hesaplama

t_2 = 30

saniye

Pistin kalan kısmı

360 - 120 = 240

metredir. Sporcu bu kısmı saniyede

8

metre hızla koştuğu için geçen süre

t_2 = \frac{240}{8} = 30

saniye olarak hesaplanır.

3

Toplam yol ve toplam süreyi kullanarak ortalama hızı bulma

V_{ort} = 7,2

m/s

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Toplam yol

360

metre, toplam süre ise

20 + 30 = 50

saniyedir. Buradan ortalama hız

\frac{360}{50} = 7,2

m/s olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Bir kurye, $180\text{ km}$ uzaklıktaki bir şehre gitmek için yola çıkıyor. Kuryenin planı, gidiş yolunda saatte ortalama $v\text{ km}$ sabit hızla seyahat etmek ve dönüşte hiç durmadan saatte ortalama $(v - 15)\text{ km}$ sabit hızla geri dönmektir.

Kurye, gidiş yolunun tam yarısına geldiğinde teslimat işlemleri için $30$ dakika durmak zorunda kalmıştır. Şehre planladığı sürede ulaşabilmek için yolun kalan yarısında hızını saatte $15\text{ km}$ artırmıştır.

Dönüş yolunda ise yolun ilk $\frac{1}{3}$ 'ini planladığı dönüş hızıyla gittikten sonra $15$ dakika mola vermiştir. Kuryenin başlangıç noktasına planlanan dönüş süresinde ulaşabilmesi için dönüş yolunun kalan kısmında hızını saatte kaç $\text{km}$ artırmalıdır?

2

3

4

5

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Kuryenin dönüş yolunun kalan kısmında hızını saatte 2 km artırması gerekir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, kuryenin dönüş yolunu zamanında tamamlayabilmesi için hızını planlanan dönüş hızına göre saatte ne kadar artırması gerektiğini (2 km/sa) doğru şekilde ifade etmektedir. Gidiş yolundaki verilerden

v

hızı 45 km/sa olarak bulunur, buradan dönüş hızı 30 km/sa ve planlanan süre 6 saat olarak elde edilir. Dönüş yolundaki 15 dakikalık mola ve ilk etap düşüldüğünde kalan 120 km yol için 3,75 saat kalır. Bu sürede yolu tamamlamak için gereken hız 32 km/sa olup, planlanan hızdan 2 km/sa fazladır.

Adım Adım Çözüm

1

Gidiş yolculuğu için zaman denkleminin kurulması.

\frac{90}{v} + 0{}5 + \frac{90}{v+15} = \frac{180}{v}

Kurye gidiş yolunda teslimat için durduğu süreyi telafi etmek için hızını artırmıştır. Toplam süre planlanan süreye eşitlenir.

2

Denklemin sadeleştirilmesi ve planlanan gidiş hızının (

v

) bulunması.

v(v+15) = 2700 \Rightarrow v = 45\text{ km/sa}

Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek pozitif kök bulunur.

3

Dönüş planının ve planlanan dönüş süresinin hesaplanması.

Planlanan dönüş hızı:

45 - 15 = 30\text{ km/sa}

, Planlanan dönüş süresi:

180 / 30 = 6\text{ saat}

.

Dönüş hızı gidiş hızından

15\text{ km/sa}

azdır.

4

Dönüş yolculuğunun gerçekleşen kısımlarının hesaplanması.

İlk

60\text{ km}

yolculuk için geçen süre:

60/30 = 2\text{ saat}

. Mola süresi:

15\text{ dk} = 0{}25\text{ saat}

. Kalan yol:

180 - 60 = 120\text{ km}

.

Dönüş yolunun ilk üçte biri planlanan hızla gidilmiştir.

5

Kalan yol için gereken hızın ve hız artışının bulunması.

Kalan süre:

6 - 2 - 0{}25 = 3{}75 = \frac{15}{4}\text{ saat}

. Gereken hız:

120 / (15/4) = 32\text{ km/sa}

. Gereken hız artışı:

32 - 30 = 2\text{ km/sa}

.

Toplam sürenin 6 saat olması için kalan sürede kalan yolun tamamlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Çok adımlı hareket problemlerinde zaman denklemlerinin kurulması, rasyonel denklemlerin çözülmesi ve birim dönüşümlerinin uygulanması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 19Soru →

Paralel raylarda birbirine doğru hareket eden iki trenden birinin boyu $120\text{ metre}$ , diğerinin boyu ise $180\text{ metre}$ 'dir. Hızlı olan trenin hızı, yavaş olan trenin hızının $2$ katıdır. Bu iki tren, karşılaşmaya başladıktan $10\text{ saniye}$ sonra birbirini tamamen geçmektedir.

Buna göre, hızlı olan trenin hızı saniyede kaç metredir?

10

12

20

30

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Hızlı olan trenin hızı saniyede 20 metredir.

Trenlerin birbirini tamamen geçebilmesi için katetmesi gereken toplam yol kendi boylarının toplamıdır (

120 + 180 = 300\text{ metre}

). Karşılaşma süresi

10\text{ saniye}

olduğuna göre trenlerin saniyedeki bağıl hızları toplamı

300 / 10 = 30\text{ m/sn}

olmalıdır. Hızlı olan trenin hızı, yavaş olanın

2

katı olduğundan, yavaş olanın hızı

10\text{ m/sn}

ve hızlı olanın hızı saniyede

20\text{ metre}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Trenlerin birbirini tamamen geçebilmesi için katetmesi gereken toplam mesafeyi belirleyin.

Toplam mesafe =

120 + 180 = 300\text{ metre}

'dir.

İki trenin birbirini tamamen geçmesi, trenlerin arka uçlarının birbirini kurtarması anlamına gelir. Bu durumda alınması gereken yol trenlerin boyları toplamına eşittir.

2

Trenlerin birbirlerine doğru hareket ettiğini dikkate alarak saniyedeki toplam (bağıl) hızlarını hesaplayın.

Toplam bağıl hız =

\frac{300\text{ m}}{10\text{ sn}} = 30\text{ m/sn}

'dir.

Zıt yönlü (birbirine doğru) hareket eden cisimlerin birbirine göre bağıl hızları, hızlarının toplamına eşittir (

V_{\text{bağıl}} = V_1 + V_2

).

3

Hızlar arasındaki oranı kullanarak bir denklem kurun ve yavaş olan trenin hızını hesaplayın.

Yavaş trenin hızı

V_2 = 10\text{ m/sn}

'dir.

Hızlı trenin hızı yavaş trenin hızı cinsinden ifade edilirse; yavaş tren hızı

V

ise hızlı tren hızı

2V

olur. Toplam bağıl hız

V + 2V = 3V = 30\text{ m/sn}

olduğundan

V = 10\text{ m/sn}

bulunur.

4

Bulunan yavaş tren hızı yardımıyla hızlı trenin hızını hesaplayın.

Hızlı trenin hızı =

2 \times 10 = 20\text{ m/sn}

'dir.

Hızlı olan trenin hızı, yavaş olan trenin hızının

2

katı olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Birbirine doğru hareket eden araçların bağıl hızı ve trenlerin birbirini geçme problemlerinde alınan yolun boyları toplamına eşit olması.

Soru 20Soru →

A ve B kentleri arasındaki mesafe $d\text{ km}$ 'dir. A kentinden saatteki hızı $v_1\text{ km}$ olan bir araç, B kentinden ise saatteki hızı $v_2\text{ km}$ olan başka bir araç aynı anda sabit h��zlarla birbirlerine doğru harekete başlıyor. Bu iki araç, A kentinden $120\text{ km}$ uzaklıktaki bir C noktasında karşılaşıyorlar. Karşılaştıktan sonra, A'dan gelen araç hızını yarıya indirirken B'den gelen araç hızını $2$ katına çıkarıyor ve her iki araç da durmaksızın yollarına devam ediyor. A'dan gelen araç B kentine ulaştığı anda, B'den gelen araç A kentine ulaşıyor.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki mesafe ( $d$ ) kaç $\text{ km}$ 'dir?

150

180

240

300

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

A ve B kentleri arasındaki mesafe 180 km'dir.

Karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğinden

\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d-120}

oranı kurulur. Karşılaşmadan sonraki hız değişimleriyle birlikte varış sürelerinin eşitliğinden ise

\frac{v_1}{v_2} = \frac{d-120}{30}

oranı elde edilir. Bu iki hız oranının eşitlenmesiyle

(d-120)^2 = 3600

denklemi bulunur. Uzaklık negatif olamayacağından

d-120=60 \implies d=180\text{ km}

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Karşılaşma anına kadar geçen süreyi kullanarak hızlar oranını yazın.

A'dan hareket eden araç C noktasına ulaşana kadar

120\text{ km}

yol alır ve geçen süre

t_1 = \frac{120}{v_1}

olur. B'den hareket eden araç C noktasına ulaşana kadar

d - 120\text{ km}

yol alır ve geçen süre

t_1 = \frac{d - 120}{v_2}

olur. Buradan hızlar oranı

\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d - 120}

olarak bulunur.

Her iki aracın da harekete başlama ve karşılaşma anları aynı olduğundan C noktasına ulaşma süreleri eşittir.

2

Karşılaşmadan sonraki yeni hızları ve kalan mesafeleri kullanarak varış sürelerini yazın.

A'dan gelen aracın yeni hızı

\frac{v_1}{2}

, kalan yolu

d - 120\text{ km}

ve varış süresi

t_2 = \frac{2(d - 120)}{v_1}

olur. B'den gelen aracın yeni hızı

2v_2

, kalan yolu

120\text{ km}

ve varış süresi

t_3 = \frac{60}{v_2}

olur.

Karşılaşma noktasından sonra A'dan gelen araç B kentine, B'den gelen araç ise A kentine doğru hareket eder.

3

Varış sürelerini eşitleyerek hızlar oranı için ikinci bir denklem elde edin.

t_2 = t_3 \implies \frac{2(d - 120)}{v_1} = \frac{60}{v_2}

yazılır. Buradan

\frac{v_1}{v_2} = \frac{d - 120}{30}

elde edilir.

Soruda araçların hedeflerine aynı anda ulaştıkları belirtildiği için bu süreler eşittir.

4

Ende edilen iki hız oranını eşitleyerek toplam mesafeyi hesaplayın.

\frac{d - 120}{30} = \frac{120}{d - 120} \implies (d - 120)^2 = 3600

olur. Buradan

d - 120 = 60 \implies d = 180\text{ km}

bulunur.

Her iki durumda da ilk hızların oranı (

v_1/v_2

) sabit olduğundan bulunan oran ifadeleri birbirine eşittir.

d - 120 = -60 \implies d = 60

kökü, karşılaşma noktası olan

120\text{ km}

'den küçük olamayacağı için elenir.

Anahtar Kavram

Karşılaşma süresi, kalan yol ve hız değişimlerinin orantısal olarak modellenmesi

İpuçları

1

C noktasında karşılaşana kadar geçen sürenin her iki araç için de aynı olduğunu kullanarak araçların hızları oranı (

v_1/v_2

) için bir denklem yazın.

2

Karşılaşma sonrasında A'dan gelen aracın yeni hızının

v_1/2

ve kalan yolunun

d-120

, B'den gelen aracın ise yeni hızının

2v_2

ve kalan yolunun

120

olduğunu kullanarak her birinin kalan yoldaki sürelerini yazın.

Daha Fazla Pratik

Karşılaşma noktasından sonra hızlarını farklı oranlarda artıran veya azaltan iki aracın hareketini modelleyen benzer soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Araçlar C noktasında karşılaştıktan sonra hedeflerine aynı sürede ulaştıkları için, bu kısımdaki hızlarının oranı aldıkları yolların oranına eşittir. Yani

\frac{v_1'}{v_2'} = \frac{d-120}{120}

yazılabilir. Yeni hızları yerlerine koyarsak,

\frac{v_1/2}{2v_2} = \frac{d-120}{120} \implies \frac{v_1}{4v_2} = \frac{d-120}{120} \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{d-120}{30}

elde edilir. İlk durumdaki

\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d-120}

oranı ile bu oran eşitlenerek sonuca daha hızlı ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Hareket Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram