Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir kütüphanede ödünç alınan romanlar için ilk $8$ gün ücretsiz, sonraki her gün için ise $3$ TL gecikme cezası uygulanmaktadır. Bilimsel kitaplar için ise ilk $4$ gün ücretsiz, sonraki her gün için ise $5$ TL gecikme cezası uygulanmaktadır. Bu kütüphaneden aynı gün biri roman, diğeri bilimsel kitap olmak üzere iki kitap ödünç alan ve bu kitapları aynı gün kütüphaneye iade eden Buket, toplam $84$ TL gecikme cezası ödemiştir. Buna göre, Buket kitapları ödünç aldıktan kaç gün sonra iade etmiştir?

5

12

16

17

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16$

Cevap

Buket kitapları ödünç aldıktan 16 gün sonra iade etmiştir.

Roman ve bilimsel kitapların ücretsiz günleri çıkarıldıktan sonra gecikilen gün sayıları sırasıyla

x-8

ve

x-4

olur. Bu sürelerin günlük ceza ücretleri olan

3

TL ve

5

TL ile çarpımlarının toplamı

84

TL'ye eşitlendiğinde elde edilen

3(x-8) + 5(x-4) = 84

denklemi çözülerek doğru cevap

16

gün olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitapların kütüphanede kaldığı gün sayısına

x

diyelim ve ceza ödenen gün sınırlarını belirleyelim.

Eğer

x \leq 8

olsaydı, roman için ceza ödenmeyecek ve bilimsel kitap için en fazla

5 \times (8 - 4) = 20

TL ceza ödenecekti. Toplam ceza

84

TL olduğundan

x > 8

olmalıdır.

Kitapların ücretsiz süre sınırlarını aşan ceza durumunu tespit etmek için.

2

Her iki kitap için ödenecek ceza miktarını

x

cinsinden yazıp toplam ceza denklemini kuralım.

Roman için

3(x - 8)

TL, bilimsel kitap için

5(x - 4)

TL ceza hesaplanır. Denklem:

3(x - 8) + 5(x - 4) = 84

olur.

Kitapların kütüphanede kaldığı toplam süreyi veren cebirsel ifadeyi oluşturmak için.

3

Denklemi düzenleyip bilinmeyeni yalnız bırakalım.

3x - 24 + 5x - 20 = 84 \implies 8x - 44 = 84 \implies 8x = 128 \implies x = 16

bulunur.

Kitapların kütüphanede kaldığı toplam gün sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemleri ve doğrusal denklemler kurma

Soru 22Soru →

Bir spor salonunun üyelik paketleri "Gündüz Üyeliği" ve "Tam Zamanlı Üyelik" olmak üzere iki tiptir. Bu spor salonuna bir ayda toplam $150$ kişi yeni üye olmuştur. Gündüz üyeliği paketini tercih eden her üyeden $1000$ TL, tam zamanlı üyelik paketini tercih eden her üyeden ise $1800$ TL kayıt ücreti alınmaktadır. Ayrıca, tam zamanlı üyelik alan her üyeye promosyon olarak spor salonu tarafından maliyeti $200$ TL olan bir spor çantası hediye edilmektedir.

Spor salonunun bu yeni üyelerden elde ettiği net kazanç (toplam kayıt ücretinden hediye edilen çantaların toplam maliyeti düşülerek hesaplanan tutar) $198.000$ TL olduğuna göre, yeni üyelerden kaç tanesi tam zamanlı üyelik paketini tercih etmiştir?

50

60

70

80

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Yeni üyelerden 80 tanesi tam zamanlı üyelik paketini tercih etmiştir.

Tam zamanlı üyelik alan her bir üye için spor salonuna gelen brüt gelir

1800

TL, çanta maliyeti nedeniyle oluşan gider ise

200

TL'dir. Dolayısıyla bu paketten elde edilen net kazanç üye başına

1600

TL'dir. Toplam üye sayısı

150

olduğuna göre, Gündüz üyeliği alan

150 - y

kişi ve Tam Zamanlı üyelik alan

y

kişi için net kazanç denklemi

1000(150 - y) + 1600y = 198000

şeklinde kurulur. Bu denklem çözüldüğünde

y = 80

(tam zamanlı üye sayısı) değeri bulunur. Bu nedenle 80 değerini veren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve üye sayıları arasındaki ilişkinin yazılması

Gündüz üyeliği alan üye sayısı

x

, tam zamanlı üyelik alan üye sayısı

y

olsun. Toplam üye sayısı için denklem:

x + y = 150

olur.

Soruda verilen toplam yeni üye sayısını matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Her bir üyelik tipinden elde edilen net kazancın belirlenmesi

Gündüz üyeliğinden net kazanç üye başına

1000

TL'dir. Tam zamanlı üyelikten net kazanç ise kayıt ücretinden hediye çanta maliyeti çıkarılarak

1800 - 200 = 1600

TL olarak bulunur.

Spor salonunun net kazancını doğru bir şekilde hesaplayabilmek için hediye edilen ürünlerin maliyetini brüt gelirden düşmemiz gerekir.

3

Net kazanç denkleminin kurulması ve sadeleştirilmesi

Toplam net kazanç denklemi:

1000x + 1600y = 198000

olur. Denklemin her iki tarafı da

200

'e bölünerek sadeleştirildiğinde

5x + 8y = 990

elde edilir.

İşlemleri kolaylaştırmak ve bilinmeyenleri çözebilmek amacıyla sade bir denklem elde etmek için.

4

Kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesi

İlk denklem

-5

ile çarpılarak ikinci denklemle toplanır:

-5(x + y) = -5(150) \Rightarrow -5x - 5y = -750

Bu ifade

5x + 8y = 990

denklemi ile taraf tarafa toplandığında:

3y = 240 \Rightarrow y = 80

bulunur.

Tam zamanlı üyelik paketini tercih eden üye sayısını (

y

) bulmak için.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerinin çözümü

Soru 23Soru →

Bir manav, elmaların bir kısmını $2$ kg'lık, geri kalanını ise $5$ kg'lık paketler hâlinde satmaktadır. Bu manavda bir günde toplam $20$ paket elma satılmış ve satılan elmaların toplam ağırlığı $58$ kg olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, manavda satılan $2$ kg'lık paket sayısı kaçtır?

6

8

14

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Satılan 2 kg'lık paket sayısı 14'tür.

Toplam paket sayısı

x + y = 20

ve toplam ağırlık

2x + 5y = 58

olarak modellenir. İlk denklemden

y = 20 - x

yazılarak ikinci denklemde yerine konduğunda,

2x + 5(20 - x) = 58

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

-3x = -42

yani

x = 14

bulunur. Bu da satılan 2 kg'lık paket sayısı olan 14 değerini veren seçeneğin doğru olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

2 kg'lık paket sayısına

x

, 5 kg'lık paket sayısına

y

diyelim. Toplam paket sayısını veren denklemi yazalım.

x + y = 20

Toplam 20 paket satıldığı belirtilmiştir.

2

Toplam ağırlığı veren denklemi yazalım.

2x + 5y = 58

2 kg'lık paketlerin toplam ağırlığı

2x

ve 5 kg'lık paketlerin toplam ağırlığ��

5y

olup, toplam ağırlık 58 kg'dır.

3

Birinci denklemden

y = 20 - x

ifadesini çekip ikinci denklemde yerine koyarak

x

değerini çözelim.

2x + 5(20 - x) = 58 \implies 2x + 100 - 5x = 58 \implies -3x = -42 \implies x = 14

Soru bizden 2 kg'lık paketlerin sayısı olan

x

değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme

Alternatif Yöntem

Tüm paketlerin 5 kg'lık olduğunu varsayarak da çözebiliriz. Eğer tüm paketler 5 kg'lık olsaydı, toplam ağırlık

20 \times 5 = 100

kg olurdu. Gerçek ağırlık 58 kg olduğundan aradaki fark

100 - 58 = 42

kg'dır. Her bir 2 kg'lık paket yerine 5 kg'lık paket alındığında ağırlık

5 - 2 = 3

kg artmaktadır. Dolayısıyla, 2 kg'lık paketlerin sayısı

\frac{42}{3} = 14

olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 24Soru →

Bir çiçekçi; kırmızı ve beyaz güller kullanarak $A$ ve $B$ olmak üzere iki farklı türde çiçek buketi hazırlamaktadır.

* $A$ türü buketlerin her birinde $3$ kırmızı ve $5$ beyaz gül,
* $B$ türü buketlerin her birinde $5$ kırmızı ve $2$ beyaz gül

bulunmaktadır. Bu çiçekçi, toplam $185$ gül kullanarak $25$ adet buket hazırlamıştır.

Buna göre, hazırlanan buketlerde kullanılan toplam beyaz gül sayısı kaçtır?

50

30

80

95

105

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $80$

Cevap

Hazırlanan buketlerde kullanılan toplam beyaz gül sayısı 80'dir.

Doğru cevap olan 80 seçeneği, buketlerin toplam gül sayısı üzerinden kurulan denklem çözülerek elde edilir. Her bir

A

buketinde

8

,

B

buketinde ise

7

gül vardır. Toplam

25

buketten

A

türünde olanların sayısı

10

,

B

türünde olanların sayısı

15

olarak hesaplanır. Buradan toplam beyaz gül sayısı

10 \times 5 + 15 \times 2 = 80

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir buket türünün toplam gül sayısını bulalım.

A

türü buket için

3 + 5 = 8

gül,

B

türü buket için

5 + 2 = 7

gül bulunur.

Buket sayısı ile gül sayısını ilişkilendirerek denklem kurabilmek için her buketin içerdiği toplam gül miktarını bilmemiz gerekir.

2

Buket sayıları için değişken tanımlayıp denklem kuralım.

A

türü buket sayısı

x

ise toplam

25

buket olduğundan

B

türü buket sayısı

25 - x

olur. Toplam gül denklemi:

8x + 7(25 - x) = 185

şeklindedir.

Toplam kullanılan gül miktarını veren birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde etmek için bu adım gereklidir.

3

Kurulan denklemi çözelim.

8x + 175 - 7x = 185 \implies x = 10

bulunur.

A

türü buketlerin kesin adedine ulaşmak için denklem çözülür.

4

Buket türlerinin adetlerini belirleyelim.

10

adet

A

türü buket ve

25 - 10 = 15

adet

B

türü buket vardır.

Toplam beyaz gül miktarını hesaplarken her iki buket türünün ayrı ayrı miktarlarına ihtiyaç duyulur.

5

Toplam beyaz gül sayısını hesaplayalım.

A

türündeki beyaz güller:

10 \times 5 = 50

,

B

türündeki beyaz güller:

15 \times 2 = 30

. Toplam:

50 + 30 = 80

beyaz gül.

Soruda istenen toplam beyaz gül sayısına ulaşmak için buket adetleri ile içlerindeki beyaz gül sayıları çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

İpuçları

1

Her bir buket türünün içerisinde toplam kaçar adet gül (kırmızı + beyaz) bulunduğunu belirleyerek işe başlayın.

2

Toplam buket sayısı

25

olduğuna göre,

A

türü buket sayısına

x

derseniz

B

türü buket sayısı

25 - x

olur. Toplam gül sayısı

185

olduğuna göre, denklemi kurun.

3

8x + 7(25 - x) = 185

denklemini çözüp buket sayılarını bulun, ardından buketlerdeki beyaz gül miktarlarını (

5

ve

2

) kullanarak toplam beyaz gül sayısına ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir denklem kurma mantığını pekiştirmek için, iki farklı fiyat tarifesi uygulayan bir otoparktaki otomobil ve motosiklet sayıları ile toplam gelir ilişkisini sorgulayan problemleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Varsayım yöntemiyle çözelim: Hazırlanan

25

buketin tamamının

B

türü olduğunu düşünelim. Bu durumda toplam gül sayısı

25 \times 7 = 175

olurdu. Gerçekte kullanılan gül sayısı

185

olduğuna göre,

185 - 175 = 10

adet gül eksiktir. Her bir

A

türü buket,

B

türü buketten

8 - 7 = 1

gül daha fazla içerdiğine göre;

A

türü buket sayısı

10 / 1 = 10

adet olmalıdır. Buradan

B

türü buket sayısı

25 - 10 = 15

adet bulunur. Toplam beyaz gül sayısı da

10 \times 5 + 15 \times 2 = 80

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 25Soru →

Bir tiyatro salonunda bulunan koltuklar; $A$ , $B$ ve $C$ olmak üzere üç farklı blokta yer almaktadır. $A$ bloğundaki koltuk sayısı, $B$ bloğundaki koltuk sayısının $2$ katından $10$ eksiktir. $C$ bloğundaki koltuk sayısı ise $A$ ve $B$ bloklarındaki toplam koltuk sayısının yarısından $5$ fazladır. Bu tiyatro salonundaki toplam koltuk sayısı $260$ olduğuna göre, $B$ bloğunda kaç koltuk vardır?

45

50

60

90

110

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

B bloğunda 60 koltuk vardır.

B bloğundaki koltuk sayısına

x

dediğimizde, A bloğundaki koltuk sayısı

2x - 10

olur. C bloğundaki koltuk sayısı ise bu ikisinin toplamının yarısından 5 fazla olduğu için

1.5x

olarak bulunur. Üç bloğun toplamı

4.5x - 10 = 260

eşitliğini verir. Buradan

x = 60

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

B bloğundaki koltuk sayısına değişken atayarak diğer blokların koltuk sayılarını bu değişken cinsinden ifade edelim.

B bloğundaki koltuk sayısı

x

olsun. Bu durumda A bloğundaki koltuk sayısı

2x - 10

olur. C bloğundaki koltuk sayısı ise A ve B'nin toplamının yarısından 5 fazla olduğundan,

\frac{(2x - 10) + x}{2} + 5 = \frac{3x - 10}{2} + 5 = 1.5x - 5 + 5 = 1.5x

olarak bulunur.

Sözel olarak verilen ilişkileri tek bilinmeyenli denklemlere dönüştürmek için.

2

Tüm bloklardaki koltuk sayılarının toplamını, salonun toplam koltuk kapasitesine eşitleyelim.

A + B + C = 260 \Rightarrow (2x - 10) + x + 1.5x = 260 \Rightarrow 4.5x - 10 = 260

denklemi elde edilir.

Salonun toplam koltuk kapasitesi 260 olarak verildiği için.

3

Elde edilen denklemi çözerek B bloğundaki koltuk sayısını bulalım.

4.5x = 270 \Rightarrow 9x = 540 \Rightarrow x = 60

olarak bulunur.

B bloğundaki koltuk sayısını temsil eden

x

değişkeninin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri tek bilinmeyenli doğrusal denklemlere dönüştürme ve bu denklemleri çözme.

Soru 26Soru →

Bir sinema salonundaki izleyiciler koltuklara $3$ 'erli oturduğunda $8$ izleyici ayakta kalmaktadır. Salonda toplam $15$ koltuk sırası olduğuna göre, bu salondaki toplam izleyici sayısı kaçtır?

21

37

45

53

69

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $53$

Cevap

Toplam izleyici sayısı 53'tür.

Toplam izleyici sayısı, koltuklarda oturanların sayısı (

15 \times 3 = 45

) ile ayakta kalanların sayısı (

8

) toplanarak

45 + 8 = 53

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koltuklara oturan izleyici sayısını bulun.

15 \times 3 = 45

izleyici koltuklardadır.

15

sıranın her birinde

3

kişi oturmaktadır.

2

Ayakta kalan izleyicileri ekleyerek toplam izleyici sayısını hesaplayın.

45 + 8 = 53

toplam izleyici.

Ayakta kalan izleyiciler de salondaki toplam mevcuda dahildir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde temel denklem kurma ve mevcudiyet hesabı.

Soru 27Soru →

Bir kahve dükkanında Klasik Blend ve Premium Blend olmak üzere iki farklı kahve paketinin satışı yapılmaktadır. Bir ay boyunca bu dükkanda toplam $60$ paket kahve satılmış ve bu satışlardan toplam $3400$ TL gelir elde edilmiştir. Bu ayda:
- Satılan Premium Blend kahve paketi sayısı, Klasik Blend kahve paketi sayısının $3$ katından $20$ eksiktir.
- Bir paket Premium Blend kahvenin satış fiyatı, bir paket Klasik Blend kahvenin satış fiyatının $2$ katından $10$ TL fazladır.
Buna göre, bu dükkanda satılan bir paket Klasik Blend kahvenin satış fiyatı kaç TL'dir?

26

30

33

34

38

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Bir paket Klasik Blend kahvenin satış fiyatı

30

TL'dir.

Satış fiyatının

30

TL olduğunu belirten seçenek doğrudur. Sorudaki verilere göre satılan Klasik Blend paket sayısı

20

, Premium Blend paket sayısı ise

40

adettir. Fiyatlar arasında Premium Blend'in Klasik Blend'in

2

katından

10

TL fazla olduğu belirtildiğinden

P = 2K + 10

denklemi yazılır. Toplam gelir denkleminde (

20K + 40P = 3400

) bu ilişki yerine yazılıp denklem çözüldüğünde

K = 30

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kahve paketlerinin satış miktarlarını bulmak için paket sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak bir bilinmeyenli denklem kurarız.

Klasik Blend adedi

x

ise Premium Blend adedi

3x - 20

olur. Toplam paket sayısı

60

olduğundan:

x + (3x - 20) = 60 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20

(Klasik) ve Premium adedi

60 - 20 = 40

bulunur.

Her bir paket türünden kaçar adet satıldığın�� belirleyerek toplam gelir denklemine geçiş yapabilmek amacıyla bu adım gereklidir.

2

Fiyatlar arasındaki ilişkiyi belirleyip toplam gelir denklemini kurarız.

Klasik Blend fiyatı

K

ise Premium Blend fiyatı

P = 2K + 10

olur. Toplam gelir denklemi:

20K + 40(2K + 10) = 3400

şeklinde kurulur.

Satılan ürün miktarları ile birim fiyatların çarpımının toplam geliri vermesi kuralını uygulamak için.

3

Kurulan gelir denklemini çözerek Klasik Blend paket fiyatını buluruz.

20K + 80K + 400 = 3400 \Rightarrow 100K + 400 = 3400 \Rightarrow 100K = 3000 \Rightarrow K = 30

TL elde edilir.

Bilinmeyeni yalnız bırakarak doğru fiyat değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri denkleme dönüştürme ve birinci dereceden denklem sistemleri çözme.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir üniversite kampüsündeki akıllı geri dönüşüm makinesi; pet şişe, cam şişe ve alüminyum kutu olmak üzere üç farklı türde atık kabul etmektedir. Makineye atılan her bir pet şişe için $2$ , cam şişe için $3$ ve alüminyum kutu için $5$ puan verilmektedir.

Bir gün boyunca bu makineye toplam $120$ adet atık atılmıştır. Bu günle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Atılan cam şişelerin sayısı, alüminyum kutuların sayısının $2$ katından $10$ fazladır.
* Pet şişelerden kazanılan toplam puan, cam şişelerden kazanılan toplam puandan $10$ fazladır.

Buna göre, bu gün boyunca makineye atılan tüm atıklardan kazanılan toplam puan kaçtır?

265

325

340

445

300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $325$

Cevap

Makineden kazanılan toplam puan 325'tir.

Doğru yanıt olan 325 puan, kurulan denklem sisteminin doğru şekilde çözülmesiyle elde edilir. Alüminyum kutu sayısı

x

kabul edilip cam şişeler

2x+10

, pet şişeler ise

110-3x

olarak ifade edilir. Puan eşitliği kurulduğunda

2(110-3x) = 3(2x+10) + 10

denklemi çözülerek alüminyum kutu sayısı 15 bulunur. Buradan hareketle adetler 15 alüminyum, 40 cam ve 65 pet şişe şeklinde hesaplanarak toplam puan 325 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Atık sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade etme

Alüminyum kutu sayısı

x

olsun. Bu durumda cam şişe sayısı

2x + 10

olur. Toplam atık sayısı

120

olduğuna göre, pet şişe sayısı:

120 - (x + 2x + 10) = 110 - 3x

olarak bulunur.

Problemdeki sözel verileri tek bir bilinmeyene indirgeyerek denklem sistemini basitleştirmek.

2

Puan ilişkisini kullanarak denklem kurma ve bilinmeyeni bulma

Pet şişelerin toplam puanı:

2(110 - 3x)

, cam şişelerin toplam puanı:

3(2x + 10)

olarak yazılır. Verilen ilişkiye göre:

2(110 - 3x) = 3(2x + 10) + 10

220 - 6x = 6x + 30 + 10

220 - 6x = 6x + 40

12x = 180 \implies x = 15

elde edilir.

Atıkların puan katsayılarını kullanarak alüminyum kutu sayısını belirlemek.

3

Her atık türünün adet değerlerini hesaplama

Alüminyum kutu sayısı:

15

Cam şişe sayısı:

2(15) + 10 = 40

Pet şişe sayısı:

110 - 3(15) = 65

Toplam puan hesabında kullanılacak atık adetlerini netleştirmek.

4

Toplam puanı hesaplama

Toplam Puan =

(65 \times 2) + (40 \times 3) + (15 \times 5) = 130 + 120 + 75 = 325

puan bulunur.

Atık adetlerini birim puan değerleriyle çarparak gün sonu toplam puanını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma

İpuçları

1

En az veri ipucu bulunan atık türünü (alüminyum kutu)

x

değişkeni olarak seçip diğer atık sayılarını

x

cinsinden yazın.

2

Pet ve cam şişe sayılarını bulduktan sonra, bunları kendi birim puanlarıyla (pet için 2, cam için 3) çarparak puan eşitliği kurun.

3

2 \times (\text{Pet Şişe Sayısı}) = 3 \times (\text{Cam Şişe Sayısı}) + 10

eşitliğini çözerek bilinmeyen

x

değerine ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenler arasındaki ilişkilerin dolaylı (örneğin katsayılar ve toplam değerler üzerinden) kurulduğu üç bilinmeyenli sayı problemleri üzerinde pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Cam şişe sayısının çift sayı olması gerektiği analiz edilerek değer verme yöntemi denenebilir. Cam şişelerin puan katsayısı 3, pet şişelerin puan katsayısı 2'dir. Puan farkı 10 olduğuna göre,

2P = 3C + 10

denkleminde sol taraf çift olduğundan sağ tarafın da çift olması gerekir. Bu da

C

(cam şişe) sayısının çift olmasını gerektirir.

C = 2A + 10

bağıntısında

A

(alüminyum) yerine verilecek tamsayı değerleri denenerek tüm koşulların sağlandığı

A=15

değerine hızlıca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 29Soru →

Bir tur şirketi, $150$ turisti taşımak için $12$ ve $18$ yolcu kapasiteli iki farklı tipte minibüs kiralayacaktır. Minibüslerin tamamen dolması ve her iki tip minibüsten de en az birer tane kiralanması şartıyla, bu taşıma işlemi için kiralanabilecek toplam minibüs sayısı en fazla kaçtır?

9

10

11

12

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En fazla 12 minibüs kiralanabilir.

Denklemi sadeleştirdiğimizde

2x + 3y = 25

elde ederiz. Toplam araç sayısı olan

x + y

değerinin en büyük olması için, kapasitesi küçük olan (

12

kişilik) araçların sayısını maksimum yapmalıyız. Bu doğrultuda kapasitesi büyük olan (

18

kişilik) araç sayısını en az seçmeliyiz.

y

için en küçük pozitif tam sayı değeri

1

seçildiğinde

2x + 3 = 25 \implies 2x = 22 \implies x = 11

olur. Buradan toplam araç sayısı en fazla

11 + 1 = 12

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlama ve temel denklemi kurma

12

kişilik minibüs sayısı

x

,

18

kişilik minibüs sayısı

y

olsun. Toplam turist sayısı

150

olduğuna göre denklemimiz:

12x + 18y = 150

olur.

Sözel problemi matematiksel modele dökmek için.

2

Denklemi sadeleştirme

Denklemin her iki tarafı da

6

'ya bölünerek sadeleştirilirse

2x + 3y = 25

elde edilir.

Daha küçük sayılarla çalışarak işlemleri kolaylaştırmak için.

3

Değişkenlerin alabileceği değerleri belirleme ve maksimizasyon

x

ve

y

pozitif tam sayılar olmalıdır (

x \geq 1, y \geq 1

). Toplam minibüs sayısı olan

x + y

toplamının en büyük olması için, katsayısı küçük olan

x

değişkenini mümkün olduğunca büyük, katsayısı büyük olan

y

değişkenini ise mümkün olduğunca küçük seçmeliyiz. En küçük pozitif tam sayı olan

y = 1

değerini seçtiğimizde:

2x + 3(1) = 25 \implies 2x = 22 \implies x = 11

bulunur.

Toplamı maksimum yapacak en uygun pozitif tam sayı ikilisini bulmak için.

4

Toplam minibüs sayısını hesaplama

x = 11

ve

y = 1

değerleri için toplam minibüs sayısı

x + y = 11 + 1 = 12

olur.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin pozitif tam sayılardaki çözümleri ve katsayılara göre en büyük/en küçük değer analizi yapma.

İpuçları

1

Sorudaki verilerle

12x + 18y = 150

denklemini kurun ve her iki tarafı ortak bölenleri kullanarak sadeleştirin.

2

Sadeleşmiş denklem olan

2x + 3y = 25

ifadesinde

x

ve

y

değerlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın. Toplamı (

x+y

) en büyük yapmak için

x

katsayısı küçük olan değişkeni olabildiğince büyük seçmelisiniz.

3

y

değerini alabileceği en küçük pozitif tam sayı olan 1 olarak seçtiğinizde

2x + 3 = 25

denkleminden

x

değerini bulun ve bu değerleri toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan 'bir sınıftaki sıralara öğrencilerin oturma düzeni' veya 'kumbaradaki madeni paraların toplam değeri' sorularını çözerek denklem kurma ve değer verme becerilerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değerleri doğrudan deneyerek de çözüme ulaşabilirsiniz.

y

değerine sırasıyla

1, 2, 3...

gibi değerler vererek

2x = 25 - 3y

ifadesini sağlayan

x

tam sayılarını bulabiliriz. Bu durumda

(11, 1)

,

(8, 3)

,

(5, 5)

ve

(2, 7)

ikilileri elde edilir. Bu ikililerin toplamları sırasıyla

12, 11, 10

ve

9

olduğundan en büyük toplamın 12 olduğu görülür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Bir belediyeye ait spor tesisinde halı saha, tenis kortu ve basketbol sahasının saatlik kiralama ücretleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Tenis kortunun saatlik kiralama ücreti, basketbol sahasının saatlik kiralama ücretinin 2 katından 40 TL eksiktir.
- Halı sahanın saatlik kiralama ücreti, tenis kortunun saatlik kiralama ücretinin 1,5 katıdır.
- Bu tesiste bir gün içinde toplam 24 saatlik kiralama yapılm��ş olup bu kiralamaların bir kısmı basketbol sahası, kalan kısmı ise eşit saatlerde tenis kortu ve halı saha için gerçekleştirilmiştir.
Yapılan toplam kiralama bedeli 4440 TL olduğuna göre, basketbol sahasının saatlik kiralama ücreti kaç TL'dir? (Kiralama ücretleri birer tam sayıdır.)

90

100

110

120

130

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Basketbol sahasının saatlik kiralama ücreti 120 TL'dir.

Basketbol sahasının saatlik ücretine

x

denilerek kurulan denklemde tenis kortunun saatlik ücreti

2x-40

, halı sahanın saatlik ücreti ise

3x-60

olarak belirlenir. Tenis ve halı sahaların kiralama süreleri eşit (

t

) seçildiğinde, basketbol sahasının kiralama süresi

24-2t

olur. Toplam ücreti veren denklem sadeleştirildiğinde

3x(8+t) = 4440 + 100t

bağıntısı elde edilir. Ücretlerin tam sayı çıkmasını sağlayan ve kiralama süresi sınırlarına uyan tek

t

değeri 6 olup, bu değer yerine yazıldığında basketbol sahasının saatlik kiralama ücreti 120 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Basketbol sahasının saatlik kiralama ücretini

x

değişkeni ile tanımlayalım ve diğer kiralama ücretlerini

x

cinsinden yazalım.

Tenis kortunun saatlik kiralama ücreti

2x - 40

TL olur. Halı sahanın saatlik kiralama ücreti ise

1,5(2x - 40) = 3x - 60

TL olarak bulunur.

Tüm kiralama ücretlerini tek bir değişken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Kiralama sürelerini paylaştıralım. Tenis kortu ve halı sahanın kiralama süreleri eşit olup her birine

t

saat diyelim. Kalan süreyi basketbol sahasına atayarak toplam ücret denklemini kuralım.

Basketbol sahasının kiralama süresi

24 - 2t

saat olur. Toplam ücret denklemi:

(24 - 2t)x + t(2x - 40) + t(3x - 60) = 4440

şeklinde kurulur.

Kiralama sürelerinin toplamının 24 saat olması ve toplam ücretin 4440 TL olması bilgilerini bir araya getirmek.

3

Elde edilen denklemi parantezleri dağıtarak sadeleştirelim ve

x

değişkenini yalnız bırakalım.

24x - 2tx + 2tx - 40t + 3tx - 60t = 4440 \implies 24x + 3tx - 100t = 4440 \implies 3x(8+t) = 4440 + 100t \implies x = \frac{4440 + 100t}{3(8+t)}

elde edilir.

x

ücretini

t

süresine bağlı bir rasyonel ifade olarak çözümlemek.

4

Ücretlerin ve sürelerin tam sayı olması koşulunu kullanarak

t

ve

x

değerlerini belirleyelim.

x

bir tam sayı olduğundan,

4440 + 100t

ifadesi 3'ün katı olmalıdır.

4440

zaten 3'ün katı olduğu için

100t

de 3'ün katı, yani

t

sayısı 3'ün katı olmalıdır. Pozitif kiralama süreleri için

2t < 24 \implies t < 12

olmalıdır. Dolayısıyla

t \in \{3, 6, 9\}

olabilir.
-

t = 3

için:

x = \frac{4740}{33}

(tam sayı değil)
-

t = 6

için:

x = \frac{5040}{42} = 120

TL (tam sayı)
-

t = 9

için:

x = \frac{5340}{51}

(tam sayı değil)
Buna göre

x = 120

TL bulunur.

Tam sayı kısıtlamaları altındaki tek geçerli çözümü tespit etmek.

Anahtar Kavram

Bilinmeyenler ve kısıtlamalar içeren sözel problemleri denklemlere aktarma ve tam sayı değer kısıtları altında çözme.

Soru 31Soru →

Bir kafede A, B ve C olmak üzere üç farklı kahve menüsü satılmaktadır. Bu menülerin birer adedinin satış fiyatları sırasıyla $120$ TL, $150$ TL ve $180$ TL'dir. Bir gün boyunca bu kafede bu üç menüden toplam $60$ adet satılmış ve toplam $9300$ TL gelir elde edilmiştir.

Gün boyunca satılan B menüsü sayısının, A menüsü sayısının $2$ katından fazla olduğu bilinmektedir.

Buna göre, gün boyunca satılan C menüsü sayısı en fazla kaç olabilir?

20

21

22

23

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $22$

Cevap

Maksimum C menüsü sayısı 22 olmalıdır.

Kurulan denklem sisteminde

x+y+z=60

ve

120x+150y+180z=9300

denklemleri ortak çözüldüğünde

2x+y=50

ve

z=10+x

bağıntılarına ulaşılır. Sorudaki

y > 2x

koşulu uygulandığında

50-2x > 2x \implies 4x < 50 \implies x < 12.5

sınırlandırması bulunur. C menüsü adedini temsil eden

z

değerinin en büyük olması için

x

en büyük tam sayı olan 12 seçilmelidir. Buradan

z = 10 + 12 = 22

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımlama ve temel denklemleri kurma

Satılan A menüsü sayısı

x

, B menüsü sayısı

y

ve C menüsü sayısı

z

olsun. Bu durumda

x + y + z = 60

ve

120x + 150y + 180z = 9300

denklemleri elde edilir.

Sözel problemi matematiksel eşitliklere dönüştürmek.

2

Fiyat denklemini sadeleştirme ve değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma

120x + 150y + 180z = 9300

denkleminin her iki tarafı da

30

ile bölündüğünde

4x + 5y + 6z = 310

denklemi elde edilir.

Büyük katsayılı işlemlerden kaçınmak ve çözümü basitleştirmek.

3

Değişken sayısını azaltmak için yerine koyma yöntemini uygulama

x + y + z = 60 \implies z = 60 - x - y

ifadesini sadeleştirilmiş denklemde yerine yazalım:

4x + 5y + 6(60 - x - y) = 310 \implies 4x + 5y + 360 - 6x - 6y = 310 \implies -2x - y = -50 \implies 2x + y = 50

elde edilir. Buradan

y = 50 - 2x

bulunur.

Sistemdeki değişkenleri birbirine bağlayarak tek bir değişkene indirgemek.

4

z

değişkenini

x

cinsinden ifade etme

z = 60 - x - y \implies z = 60 - x - (50 - 2x) \implies z = 10 + x

bağıntısı elde edilir.

z

değerini en büyük yapmak için hangi değişkeni optimize etmemiz gerektiğini görmek.

5

Eşitsizlik kısıtını uygulama ve en büyük değeri bulma

Satılan B menüsü sayısının, A menüsü sayısının

2

katından fazla olduğu (

y > 2x

) belirtilmiştir.

y = 50 - 2x

ifadesini yerine yazarsak:

50 - 2x > 2x \implies 50 > 4x \implies x < 12.5

elde edilir.

x

bir tam sayı olması gerektiğinden alabileceği en büyük değer

12

olur. Bu durumda en büyük

z

değeri

z = 10 + 12 = 22

olarak hesaplanır.

Soruda verilen eşitsizlik koşuluna göre sınır tespiti yapmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklem sistemleri ve doğrusal eşitsizliklerin sınır değer analiziyle çözümü.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 32Soru →

Bir kırtasiyeci, elindeki kalemleri ince ve kalın olmak üzere iki farklı türde paketlemektedir. Bu paketleme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İnce paketlerin her birinde $4$ kalem, kalın paketlerin her birinde ise $9$ kalem bulunmaktadır.
* Kırtasiyeci, elindeki toplam $180$ kalemi bu paketlere yerleştirdiğinde toplam $30$ paket elde etmiştir.

Buna göre, kalın paketlerdeki toplam kalem sayısı, ince paketlerdeki toplam kalem sayısından kaç fazladır?

18

6

12

36

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Kalın paketlerdeki toplam kalem sayısı, ince paketlerdeki toplam kalem sayısından 36 fazladır.

Kalın paketlerdeki toplam kalem sayısı ile ince paketlerdeki toplam kalem sayısının farkı doğru şekilde 36 olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve birinci denklemin kurulması.

x + y = 30

İnce paketlerin sayısına

x

, kalın paketlerin sayısına

y

dersek, toplam paket sayısı

30

olduğundan bu denklem elde edilir.

2

Kalem sayısına göre ikinci denklemin kurulması.

4x + 9y = 180

Her ince pakette

4

kalem ve her kalın pakette

9

kalem olup toplam kalem sayısı

180

olduğundan bu denklem yazılır.

3

Denklem sisteminin çözülmesi (y değerinin bulunması).

y = 12

Birinci denklem

-4

ile çarpılıp ikinci denklemle toplandığında

-4x - 4y = -120

ve

4x + 9y = 180

ifadelerinden

5y = 60

ve buradan

y = 12

elde edilir.

4

İnce paket sayısının (x değerinin) bulunması.

x = 18

x + y = 30

denkleminde

y = 12

yazılarak

x = 18

bulunur.

5

Toplam kalem sayılarının hesaplanması ve farkın bulunması.

36

Kalın paketlerdeki kalem sayısı

12 \times 9 = 108

, ince paketlerdeki kalem sayısı

18 \times 4 = 72

olup, aralarındaki fark

108 - 72 = 36

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma ve Çözme)

İpuçları

1

İnce paketlerin sayısına x, kalın paketlerin sayısına y diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmayı deneyin.

2

Paket sayısı için x + y = 30 ve kalem sayısı için 4x + 9y = 180 denklemlerini elde ettikten sonra x ve y değerlerini bulun.

3

Kalın paket sayısını 12, ince paket sayısını 18 bulduktan sonra, bu paketlerdeki toplam kalem sayılarını (12 * 9 ve 18 * 4) hesaplayıp farkını alın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, farklı bilet fiyatlarına sahip iki gruba bilet satılan bilet satış problemlerini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm paketlerin ince paket (4 kalemli) olduğunu varsayalım. Bu durumda 30 pakette toplam 30 * 4 = 120 kalem olurdu. Gerçekte 180 kalem olduğuna göre, aradaki 180 - 120 = 60 kalemin nedeni kalın paketlerdir. Her kalın paket, ince paketten 9 - 4 = 5 kalem daha fazla barındırdığına göre, kalın paket sayısı 60 / 5 = 12 olur. Buradan ince paket sayısı 30 - 12 = 18 bulunur. Sonrasında kalem farkları aynı şekilde hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Bir köy okuluna gönderilmek üzere hazırlanan kitap kolileri A ve B olmak üzere iki çeşittir.

* A tipi kolilerin her birinde $15$ adet kitap, B tipi kolilerin her birinde ise $20$ adet kitap bulunmaktadır.
* Bu kolilerle okula toplam $340$ adet kitap ulaştırılmıştır.
* Gönderilen A tipi koli sayısı, B tipi koli sayısının $2$ katından $6$ fazladır.

Buna göre, bu kitapların taşınmasında kullanılan toplam koli sayısı kaçtır?

14

16

18

21

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Kitapların taşınmasında kullanılan toplam koli sayısı 21'dir.

B tipi koli sayısı

x

olarak alındığında, A tipi koli sayısı

2x + 6

olur. Toplam kitap sayısı üzerinden kurulan

15(2x + 6) + 20x = 340

denklemi çözüldüğünde

x = 5

bulunur. Bu durumda A tipi koli sayısı

2(5) + 6 = 16

olup, toplam koli sayısı

16 + 5 = 21

olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koli sayılarını temsil edecek değişkeni belirleyin.

B tipi koli sayısı

x

olsun. Bu durumda A tipi koli sayısı

2x + 6

olur.

A tipi koli sayısının, B tipi koli sayısının 2 katından 6 fazla olduğu belirtilmiştir.

2

Kolilerin içindeki kitap sayıları ve toplam kitap miktarı bilgisini kullanarak denklemi kurun.

15 \times (2x + 6) + 20 \times x = 340

Her bir A tipi kolide 15 adet, B tipi kolide 20 adet kitap bulunduğundan, toplam kitap sayısı bu iki koli grubundaki kitap sayılarının toplamıdır.

3

Denklemi çözerek

x

değerini bulun.

30x + 90 + 20x = 340 \implies 50x + 90 = 340 \implies 50x = 250 \implies x = 5

B tipi koli sayısını (

x

) bulmak için parantezi dağıtıp benzer terimleri birleştirerek bilinmeyeni yalnız bırakırız.

4

A tipi koli sayısını ve toplam koli sayısını hesaplayın.

A tipi koli sayısı:

2(5) + 6 = 16

. Toplam koli sayısı:

16 + 5 = 21

.

Soruda toplam koli sayısı istendiği için bulunan koli sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri doğrusal denklemlere dönüştürme ve denklem çözme.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerden giderek çözüm denenebilir. Örneğin toplam koli sayısının 21 olduğu varsayılırsa; B tipi koli sayısı

y

ise A tipi koli sayısı

21 - y

olur. A tipi koli sayısı B'nin 2 katından 6 fazla olduğundan

21 - y = 2y + 6 \implies 3y = 15 \implies y = 5

bulunur. Buradan B = 5 ve A = 16 olur. Kitap sayısı kontrol edildiğinde

15 \times 16 + 20 \times 5 = 240 + 100 = 340

eşitliği sağlandığı için toplam koli sayısının 21 olduğu kesinleşir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir tekstil atölyesinde çalışan Aslı, Burak ve Cenk isimli üç terzi, diktikleri gömlekleri paketleyerek kutulara yerleştirmektedir. Bu terzilerin çalışma düzeni ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Aslı her kutuya $x$ adet, Burak her kutuya $y$ adet, Cenk ise her kutuya $z$ adet gömlek koymaktadır. Burada $x$ , $y$ ve $z$ ardışık pozitif tam sayılar olup $x < y < z$ ilişkisi vardır.
* Gün sonunda Aslı $a$ adet kutu, Burak $b$ adet kutu, Cenk ise $c$ adet kutu doldurmuştur.
* Terzilerin doldurdukları kutu sayıları arasında $a < b < c$ ilişkisi vardır.
* Aslı ve Cenk'in doldurduğu toplam kutu sayısı, Burak'ın doldurduğu kutu sayısının $2$ katıdır.
* Üç terzinin g��n sonunda kutulara koyduğu toplam gömlek sayısı $126$ 'dır.
* Cenk'in kutulara koyduğu toplam gömlek sayısı, Aslı'nın koyduğu toplam gömlek sayısından $46$ fazladır.

Buna göre, Burak'ın doldurduğu kutu sayısı ( $b$ ) kaçtır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Burak'ın doldurduğu kutu sayısı 8'dir.

Doğru seçenekte belirtilen değer olan 8, Aslı, Burak ve Cenk'in kutu sayıları (

a, b, c

) ile kutu başı gömlek sayılarının (

x, y, z

) ardışık ve aritmetik dizi koşullarını sağladığı, toplam gömlek sayısının 126 ve gömlek farkının 46 olduğu denklem sisteminin tek pozitif tam sayı çözümüdür.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenler arasındaki ilişkileri belirlemek için ardışık sayı ve aritmetik dizi kurallarını uygulayın.

x, y, z

ardışık pozitif tam sayılar olduğundan

x = y - 1

ve

z = y + 1

olur.

a, b, c

kutu sayıları için

a + c = 2b

ve

a < b < c

olduğundan

a = b - k

ve

c = b + k

(

k \ge 1

tam sayı) olarak yazılabilir.

Bilinmeyen sayısını azaltmak ve denklemleri basitleştirmek için.

2

Toplam gömlek sayısı olan 126 bilgisini kullanarak ilk denklemi kurun ve sadeleştirin.

a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = 126 \implies (b-k)(y-1) + b \cdot y + (b+k)(y+1) = 126 \implies 3by + 2k = 126

elde edilir.

Toplam ürün miktarını veren matematiksel ifadeyi oluşturmak için.

3

Cenk ve Aslı'nın gömlek sayıları farkı olan 46 bilgisini kullanarak ikinci denklemi kurun ve sadeleştirin.

c \cdot z - a \cdot x = 46 \implies (b+k)(y+1) - (b-k)(y-1) = 46 \implies 2b + 2ky = 46 \implies b + ky = 23

elde edilir.

İki grubun ürün sayıları farkını veren matematiksel ifadeyi oluşturmak için.

4

Elde edilen

3by + 2k = 126

ve

b + ky = 23

denklemlerini ortak çözerek değişkenlerin tam sayı değerlerini bulun.

İkinci denklemden

b = 23 - ky

çekilip ilk denklemde yerine yazılırsa:

3(23-ky)y + 2k = 126 \implies 69y - 3ky^2 + 2k = 126 \implies k(3y^2 - 2) = 69y - 126 \implies k = \frac{69y - 126}{3y^2 - 2}

elde edilir.

y \ge 2

ve

k \ge 1

pozitif tam sayılar olduğundan bu ifadeyi tam sayı yapan tek değer

y = 5

için

k = 3

olur. Buradan

b = 23 - 3(5) = 8

bulunur.

Değişkenlerin tam sayı olma ve eşitsizlik koşullarını sağlayan tek çözümü bulmak için.

Anahtar Kavram

Çok bilinmeyenli denklem sistemlerinde tam sayı çözümlerinin (Diophantus denklemleri) sınır koşullarıyla bulunması.

İpuçları

1

Terzilerin kutu sayılarını tek bir değişken (

b

) ve ortak fark (

k

) cinsinden yazarak işe başlayın.

2

Aslı'nın kutu başı gömlek sayısını

y-1

, Cenk'inkini ise

y+1

olarak alarak toplam gömlek sayısı ve gömlek farkı denklemlerini

b, y, k

cinsinden oluşturun.

3

b + ky = 23

ve

3by + 2k = 126

denklemlerinde

b

değişkenini yalnız bırakıp yerine koyun ve

k = \frac{69y-126}{3y^2-2}

ifadesini tam sayı yapan

y

değerlerini inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde ardışık tek veya çift sayılar kullanılarak kurulan ve sınır koşullarına dayalı ikinci dereceden bilinmeyenler içeren sayı problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem sisteminde

b + ky = 23

eşitliğinden

b

ve

ky

değerlerinin alabileceği sınırlı tam sayı değerleri üzerinden deneme yanılma yapılarak da çözüme ulaşılabilir. Örneğin

ky

çarpımı

23

'ten küçük olmalıdır.

y

ve

k

pozitif tam sayılar olduğundan bu sınır çözümü oldukça daraltır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 35Soru →

Bir otoparkta araçlar için iki farklı ücret tarifesi uygulanmaktadır:

* 1. Tarife: Giriş ücreti $20$ TL'dir. Girişten sonraki ilk $3$ saat ücretsizdir, sonraki her saat için ise $8$ TL ücret alınmaktadır.
* 2. Tarife: Giriş ücreti $15$ TL'dir. Girişten sonraki ilk $1$ saat ücretsizdir, sonraki her saat için ise $10$ TL ücret alınmaktadır.

Bu otoparka aynı anda giren ve aynı süre boyunca kalan iki araçtan biri 1. tarifeyi, diğeri ise 2. tarifeyi seçmiştir. Araçlar otoparktan çıkarken 1. tarifeyi seçen araç, 2. tarifeyi seçen araçtan $27$ TL daha az ödeme yaptığına göre, bu araçlar otoparkta kaç saat kalmıştır?

4

9

13

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Araçların otoparkta kaldığı süre 9 saattir.

Birinci tarife için toplam ücret

20 + 8(x-3) = 8x - 4

TL, ikinci tarife için toplam ücret

15 + 10(x-1) = 10x + 5

TL olarak bulunur. İkinci tarife ücretinden birinci tarife ücreti çıkarılıp

27

TL'ye eşitlendiğinde,

(10x + 5) - (8x - 4) = 27

denkleminden

2x + 9 = 27

ve buradan

x = 9

saat olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci tarife için toplam ücret denklemini oluşturun.

T_1(x) = 20 + 8(x - 3) = 8x - 4

TL

Toplam kalış süresi

x

saat olduğunda, ilk 3 saat ücretsiz olduğu için ücretli saat sayısı

x-3

olur. Bu süre saatlik

8

TL ile çarpılır ve

20

TL giriş ücreti eklenir.

2

İkinci tarife için toplam ücret denklemini oluşturun.

T_2(x) = 15 + 10(x - 1) = 10x + 5

TL

Toplam kalış süresi

x

saat olduğunda, ilk 1 saat ücretsiz olduğu için ücretli saat sayısı

x-1

olur. Bu süre saatlik

10

TL ile çarpılır ve

15

TL giriş ücreti eklenir.

3

Tarifeler arasındaki ücret farkını veren denklemi kurarak çözün.

T_2(x) - T_1(x) = 27 \implies (10x + 5) - (8x - 4) = 27 \implies 2x + 9 = 27 \implies 2x = 18 \implies x = 9

saat

Birinci tarifeyi seçen aracın 27 TL daha az ödediği belirtilmiştir. Dolayısıyla ikinci tarifenin ücretinden birinci tarifenin ücreti çıkarıldığında aradaki fark 27 TL'ye eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma ve Çözme)

Soru 36Soru →

Bir kitapçı, düzenlediği bir kampanya kapsamında müşterilerine iki farklı seçenek sunmaktadır:

* 1. Seçenek: Satın alınan her kitaba $20\text{ TL}$ indirim uygulanmaktadır.
* 2. Seçenek: Satın alınan her $4$ kitaptan en ucuz olanı ücretsiz verilmekte, diğer kitaplara ise indirim uygulanmamaktadır.

Tüm kitapların fiyatlarının aynı olduğu bu kitapçıdan $12$ adet kitap alan bir müşteri, 2. seçeneği tercih ettiğinde 1. seçeneğe göre $60\text{ TL}$ daha az ödeme yapmıştır.

Buna göre, bu kitapçıdaki bir kitabın campaignsiz satış fiyatı kaç TL'dir?

60

80

100

120

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Bir kitabın campaignsiz satış fiyatı

100\text{ TL}

'dir.

Bir kitabın campaignsiz satış fiyatına

x

denilirse, birinci seçenekte her kitaba

20\text{ TL}

indirim uygulanarak

12(x - 20)\text{ TL}

ödenir. İkinci seçenekte

12

kitabın

3

'ü ücretsiz olacağından sadece

9

kitap için tam ücret ödenerek

9x\text{ TL}

verilir. İkinci seçenekte

60\text{ TL}

daha az ödendiği için

12(x - 20) - 9x = 60

denklemi kurulur. Buradan

12x - 240 - 9x = 60 \Rightarrow 3x = 300 \Rightarrow x = 100\text{ TL}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bir kitabın campaignsiz fiyatını

x

olarak belirleyip birinci seçenek için ödenecek toplam tutarı yazmak.

Birinci seçenek tutarı =

12(x - 20)

Her kitapta

20\text{ TL}

indirim yapıldığından bir kitabın indirimli fiyatı

x - 20\text{ TL}

olur.

12

kitap satın alındığı için bu tutar

12

ile çarpılır.

2

İkinci seçenekte ücretsiz alınacak kitap sayısını ve ödenecek toplam tutarı belirlemek.

Ücretsiz kitap sayısı =

3

, Ödenecek tutar =

9x

Her

4

kitaptan biri ücretsiz olduğundan,

12

kitap alan biri

12 \div 4 = 3

adet ücretsiz kitap alır. Müşteri yalnızca kalan

9

kitabın tam ücretini (

9x

) öder.

3

İki seçenek arasındaki farkı kullanarak denklemi kurmak ve çözmek.

12(x - 20) - 9x = 60 \Rightarrow 3x - 240 = 60 \Rightarrow 3x = 300 \Rightarrow x = 100

İkinci seçeneğin birinci seçenekten

60\text{ TL}

daha ucuz olduğu belirtildiğinden, birinci seçenek tutarından ikinci seçenek tutarı çıkarılıp fark

60

'a eşitlenir ve bilinmeyen değer bulunur.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma

Soru 37Soru →

Bir yarışmada yarışmacılara doğru cevapladıkları her soru için $10$ puan verilmekte, yanlış cevapladıkları her soru için $6$ puan ve boş bıraktıkları her soru için $2$ puan silinmektedir.

$30$ sorudan oluşan bu yarışmaya katılan bir yarışmacı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* En az bir soruyu boş bırakmıştır.
* Doğru cevapladığı soru sayısı, yanlış cevapladığı soru sayısının $2$ katından fazladır.
* Boş bıraktığı soru sayısı, yanlış cevapladığı soru sayısından azdır.

Bu yarışmacı yarışma sonunda toplam $136$ puan aldığına göre, boş bıraktığı soru sayısı kaçtır?

2

3

5

7

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Boş bırakılan soru sayısı 3'tür.

Doğru, yanlış ve boş bırakılan soru sayıları sırasıyla 19, 8 ve 3 olarak belirlendiğinde hem toplam soru sayısı 30 olmakta hem de toplam puan 136'ya eşitlenmektedir. Ayrıca doğru sayısı (19), yanlış sayısının iki katından (16) fazla olup boş sayısı (3), yanlış sayısından (8) azdır. Bu nedenle boş bırakılan soru sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru, yanlış ve boş bırakılan soru sayılarını harflendirip toplam soru sayısı ve puan denklemlerini kurmak.

Doğru sayısı

d

, yanlış sayısı

y

ve boş bırakılan soru sayısı

b

olsun. Bu durumda

d + y + b = 30

ve

10d - 6y - 2b = 136

denklemleri elde edilir.

Soruda verilen toplam soru sayısı ve toplam puan bilgilerini matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Boş bırakılan soru sayısı ifadesini (

b = 30 - d - y

) puan denkleminde yerine yazarak iki bilinmeyenli bir denklem elde etmek.

10d - 6y - 2(30 - d - y) = 136 \implies 12d - 4y - 60 = 136 \implies 12d - 4y = 196 \implies 3d - y = 49

denklemi bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltarak doğru ve yanlış sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak için.

3

Elde edilen

y = 3d - 49

ilişkisini kullanarak ve soru sayılarının negatif olamayacağı gerçeğinden hareketle doğru sayısı (

d

) için olası değerleri belirlemek.

y \ge 0

olmalıdır, bu yüzden

3d \ge 49 \implies d \ge 17

olur. Ayrıca en az bir soru boş bırakıldığı için

d + y \le 29 \implies d + 3d - 49 \le 29 \implies 4d \le 78 \implies d \le 19

bulunur. Buradan

d

değerinin 17, 18 veya 19 olabileceği görülür.

Soru sayılarının alabileceği sınır değerleri belirlemek için.

4

Bulunan

d

değerlerine göre

(d, y, b)

üçlülerini oluşturup 'doğru sayısının yanlış sayısının 2 katından fazla olması' ve 'boş sayısının yanlış sayısından az olması' koşullarını test etmek.

d = 17

için

y = 2

ve

b = 11

olur (boş sayısı yanlış sayısından az olmadığı için elenir).

d = 18

için

y = 5

ve

b = 7

olur (boş sayısı yanlış sayısından az olmadığı için elenir).

d = 19

için

y = 8

ve

b = 3

olur. Bu durumda tüm koşullar (

3 \ge 1

,

19 > 16

ve

3 < 8

) sağlanır.

Tüm koşulları sağlayan tek ve benzersiz çözümü bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri ve eşitsizlik kısıtlarını kullanarak denklem kurma ve sayı problemini çözme.

Soru 38Soru →

Bir müzeye giriş ücreti yetişkinler için $40\text{ TL}$ , öğrenciler için $25\text{ TL}$ 'dir. Bu müzeyi ziyaret eden $10$ kişilik bir grup toplam $310\text{ TL}$ giriş ücreti ödediğine göre, bu grupta kaç öğrenci vardır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Gruptaki öğrenci sayısı 6'dır.

Gruptaki öğrenci sayısı

x

olarak alındığında, yetişkin sayısı

10-x

olur. Ödenen toplam ücret

25x + 40(10-x) = 310

denklemi ile gösterilir. Bu denklemin çözülmesiyle elde edilen

x = 6

değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Gruptaki öğrenci sayısını temsil edecek bir değişken belirleyelim ve toplam kişi sayısından yararlanarak yetişkin sayısını bu değişken cinsinden yazalım.

Öğrenci sayısı

x

ise yetişkin sayısı

10 - x

olur.

S��zel ifadeleri matematiksel modele dönüştürmek için değişken tanımlamak gerekir.

2

Öğrencilerin ve yetişkinlerin ödediği toplam ücreti

310\text{ TL}

'ye eşitleyen doğrusal denklemi kuralım.

25 \cdot x + 40 \cdot (10 - x) = 310

Toplam giriş ücreti bilgisini kullanarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek için.

3

Kurulan denklemi parantezi dağıtarak ve benzer terimleri birleştirerek çözelim.

25x + 400 - 40x = 310 \implies 400 - 15x = 310 \implies 15x = 90 \implies x = 6

Öğrenci sayısı olan

x

değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla sayı problemlerini çözme.

Soru 39Soru →

Bir çiftçi topladığı domatesleri her birinde eşit sayıda domates olacak şekilde 12 kasaya doldurmuştur. Çiftçi her kasaya başlangı��takinden 5 domates daha az koysaydı aynı miktar domatesi doldurmak için 15 kasaya ihtiyacı olacaktı. Buna göre, çiftçinin topladığı toplam domates sayısı kaçtır?

180

240

25

300

375

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Çiftçinin topladığı toplam domates sayısı 300'dür.

Doğru cevap olan seçenekteki 300 değeri, başlangıçta bir kasada bulunan domates sayısına

x

denilerek kurulan

12x = 15(x - 5)

denkleminin doğru çözülmesiyle elde edilir. Bu denklemden

x = 25

bulunur ve toplam domates sayısı

12 \times 25 = 300

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki ve durum değiştikten sonraki durumlar için değişkenleri tanımlayarak denklemi kurmak.

Başlangıçta bir kasadaki domates sayısı

x

olsun. Toplam domates sayısı

12x

olur. Her kasaya 5 domates az konulduğunda kasadaki domates sayısı

x - 5

ve kasa sayısı 15 olur. Bu durumda toplam domates sayısı

15(x - 5)

olur. Domates miktarı değişmediği için denklem

12x = 15(x - 5)

olarak kurulur.

Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitli��e dönüştürmek için.

2

Kurulan denklemi çözerek başlangıçta bir kasadaki domates sayısı olan

x

değerini bulmak.

12x = 15x - 75 \Rightarrow 15x - 12x = 75 \Rightarrow 3x = 75 \Rightarrow x = 25

bulunur.

Kasa başına düşen domates miktarını elde etmek için.

3

Bulunan

x

değerini kullanarak toplam domates sayısını hesaplamak.

Toplam domates sayısı =

12x = 12 \times 25 = 300

olarak hesaplanır.

Soruda bizden başlangıçtaki toplam domates sayısı istendiği için.

Anahtar Kavram

Bir çokluğun farklı gruplama durumlarındaki eşitliğinden faydalanarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme.

İpuçları

1

Toplam domates miktarının her iki durumda da değişmediğini düşünerek bir eşitlik kurmaya çalışın.

2

Başlangıçta bir kasada

x

tane domates olduğunu varsayın. Bu durumda toplam domates sayısı

12x

olur. İkinci durumda her kasada kaç domates olur?

3

İkinci durumda her kasada

x - 5

domates olur ve kasa sayısı 15'tir. Buradan

12x = 15(x - 5)

denklemini çözerek

x

değerini bulun ve ardından toplam domates sayısını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan, sıralara öğrencilerin ikişerli veya üçerli oturması sorularını çözerek denklem kurma becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kasa sayıları olan 12 ve 15'in en küçük ortak katı (EKOK) üzerinden gidilebilir. EKOK(12, 15) = 60'tır. Toplam domates sayısı 60k olsun. Bu durumda başlangıçta bir kasada 5k domates, ikinci durumda ise 4k domates olur. Kasadaki domates sayısındaki azalış 5k - 4k = k = 5 olur. Buradan toplam domates sayısı 60k = 60 * 5 = 300 olarak kolayca bulunabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 40Soru →

Bir su deposunda başlangıçta $80\text{ litre}$ su bulunmaktadır. Bu depoya her saat eşit miktarda su eklenmektedir. $5$ saat sonra depodaki toplam su miktarı $180\text{ litre}$ olduğuna göre, depoya bir saatte kaç litre su eklenmektedir?

20

36

52

16

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

Depoya bir saatte

20\text{ litre}

su eklenmektedir.

Doğru cevap, saatte

20\text{ litre}

su eklendiğini gösteren seçenektir. Depodaki net artış olan

100\text{ litre}

(

180 - 80

) suyun

5

saate bölünmesiyle saatte

20\text{ litre}

su eklendiği sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Depoya sonradan eklenen toplam su miktarın�� bulmak için, 5 saat sonraki su miktarından başlangıçtaki su miktarını çıkarırız.

180 - 80 = 100\text{ litre}

Depodaki artışın sadece sonradan eklenen sudan kaynaklandığını belirlemek için.

2

Bir saatte eklenen su miktarını bulmak için toplam artış miktarını geçen süreye böleriz.

100 \div 5 = 20\text{ litre/saat}

Her saat eşit miktarda su eklendiği için toplam artışı saat sayısına bölerek saatlik miktara ulaşırız.

Anahtar Kavram

Sayı problemleri ve doğrusal denklem kurma

Tahmini Süre:45s

Sayı Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm