Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı ile her iki olayın da birlikte gerçekleşme olasılığı arasındaki fark $\frac{1}{2}$ 'dir.

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

olduğuna göre, $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{3}{8}

\frac{5}{8}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{8}$

Cevap

A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

'dir.

Tümleyenlerin olasılık kurallarından

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir. Birleşim olasılığı formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

ifadesi, soruda verilen

P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}

eşitliğinde yerine konulursa

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

elde edilir. Burada bulunan toplam yerine yazıldığında

\frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

denklemi çözülerek her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tümleyen özelliklerini kullanarak olayların kendi olasılıkları toplamını bulun.

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

P(A') = 1 - P(A)

ve

P(B') = 1 - P(B)

eşitlikleri

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

denkleminde yerine yazıldığında,

2 - (P(A) + P(B)) = \frac{5}{4} \implies P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir.

2

Birleşim olasılığı formülünü kullanarak soruda verilen fark ifadesini düzenleyin.

P(A \cup B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

olduğu bilindiğinden, bu ifadeden

P(A \cap B)

çıkarıldığında elde edilen eşitlik kullanılır.

3

Bulunan değerleri ve denklemleri birleştirerek kesişim olasılığ��nı hesaplayın.

P(A \cap B) = \frac{1}{8}

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies \frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies 2P(A \cap B) = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{8}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonunun özellikleri, tümleyen olayın olasılığı ve iki olayın birleşiminin olasılığı.

Soru 22Soru →

Bir dil kursundaki öğrencilerin İngilizce ve Almanca dillerini bilme durumlarına göre dağılımı aşağıdaki gibidir:

- Öğrencilerin $12$ 'si yalnız İngilizce,
- $8$ 'i yalnız Almanca,
- $6$ 'sı her iki dili de bilmektedir.
- $4$ 'ü ise bu iki dili de bilmemektedir.

Buna göre, bu kurstan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce bildiği bilindiğine göre, Almanca da bilme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{3}{7}

\frac{3}{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

İngilizce bildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da bilme olasılığı 1/3'tür.

Seçilen öğrencinin İngilizce bildiği bilindiğine göre örnek uzayımız sadece İngilizce bilen öğrencilerden oluşur. İngilizce bilen öğrenci sayısı 12 + 6 = 18'dir. Bu 18 öğrenciden Almanca da bilenler (yani her iki dili bilenler) 6 kişidir. İstenen olasılık 6/18 yani sadeleştirildiğinde 1/3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılık için yeni örnek uzayın (paydanın) belirlenmesi

İngilizce bilen öğrenci sayısı = 18

Seçilen öğrencinin İngilizce bildiği verildiği için örnek uzay sadece İngilizce bilen öğrencilerden oluşur. Bu sayı, yalnız İngilizce bilenler (12) ile her iki dili de bilenlerin (6) toplamıdır.

2

İstenen durumun (payın) belirlenmesi

Hem İngilizce hem Almanca bilen öğrenci sayısı = 6

İngilizce bilen bu öğrencinin Almanca da bilmesi istendiği için, her iki dili de bilen ortak gruptaki öğrencilerin sayısı aranır.

3

Olasılık değerinin hesaplanması

6 / 18 = 1/3

İstenen durum sayısının, koşulun sınırladığı örnek uzaydaki eleman sayısına bölünmesiyle olasılık değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula bağlı olarak daralır ve olasılık hesabı bu yeni kısıtlanmış örnek uzay üzerinden yapılır.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 23Soru →

Bir okulda düzenlenecek olan bilim şenliğinde sergilenmek üzere projeler seçilecektir. Şenlik için:

* Fizik alanından $3$ farklı proje,
* Kimya alanından $4$ farklı proje,
* Biyoloji alanından $2$ farklı proje

hazırlanmıştır. Şenlik komitesi, bu projeler arasından her bir alandan en fazla birer proje seçerek sergilenecek projeleri belirleyecektir.

Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi zorunlu olduğuna göre, sergilenecek projeler kaç farklı şekilde seçilebilir?

9

24

59

60

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $59$

Cevap

Sergilenecek projeler

59

farklı şekilde seçilebilir.

Her alandan en fazla bir proje seçilebileceği için her alandaki seçenek sayısı, o alandaki proje sayısının 1 fazlasıdır (hiç seçmeme durumu dahil). Bu durumlar çarpıldığında toplam

60

olası seçim elde edilir. Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi gerektiğinden, hiçbir projenin seçilmediği tek bir durum bu toplamdan çıkarılır ve doğru cevap

59

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Fizik alanı için olası seçim durumlarını belirleme

Fizik alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya

3

projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı:

3 + 1 = 4

olur.

Soruda her alandan 'en fazla bir' proje seçilebileceği belirtilmiştir.

2

Kimya alanı için olası seçim durumlarını belirleme

Kimya alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya

4

projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı:

4 + 1 = 5

olur.

Her alan bağımsız olarak değerlendirilir.

3

Biyoloji alanı için olası seçim durumlarını belirleme

Biyoloji alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya

2

projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı:

2 + 1 = 3

olur.

Her alan bağımsız olarak değerlendirilir.

4

Çarpma kuralını uygulayarak toplam olası durum sayısını bulma

Tüm alanlardaki seçimlerin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı:

4 \times 5 \times 3 = 60

olur.

Bağımsız olayların ardışık olarak gerçekleşme durumları çarpma kuralı ile hesaplanır.

5

Hiçbir projenin seçilmediği durumu çıkartma

Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi zorunlu olduğundan, hiçbir projenin seçilmediği tek bir durum (

1

durum) toplamdan çıkarılır:

60 - 1 = 59

bulunur.

'En az bir proje' koşulunun sağlanması için tüm projelerin seçilmeme durumu elenmelidir.

Anahtar Kavram

Saymanın çarpma kuralı ve tüm durumlardan istenmeyen durumun (boş küme) çıkarılması prensibi.

Soru 24Soru →

Bir torbada kırmızı, mavi ve yeşil renkli bilyeler bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yeşil renkli olma olasılığı $\frac{2}{7}$ 'dir. Buna göre, bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yeşil renkli olmama olasılığı kaçtır?

\frac{2}{7}

\frac{2}{5}

\frac{7}{2}

\frac{5}{7}

\frac{1}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{7}$

Cevap

Yeşil renkli olmama olasılığı

\frac{5}{7}

'dir.

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, 1'den o olayın gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur. Yeşil renkli olma olasılığı

\frac{2}{7}

olduğuna göre, yeşil renkli olmama olasılığı

1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tümleyen olasılık formülünü belirleme

P(A') = 1 - P(A)

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

2

Verilen olasılık değerini formülde yerine yazarak hesaplama yapma

P(\text{Yeşil değil}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}

Yeşil renkli olma olasılığı

\frac{2}{7}

olarak verildiği için, yeşil olmama olasılığını bulmak için bu değer 1'den çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir (

P(A) + P(A') = 1

).

Soru 25Soru →

Bir düzlemde bulunan $9$ doğrudan $3$ tanesi birbirine paralel, bunlardan farklı diğer $3$ tanesi de kendi aralarında birbirine paraleldir. Geriye kalan $3$ doğru ise sabit bir $A$ noktasında kesişmektedir.

$A$ noktası paralel doğruların hiçbirinin üzerinde olmadığına ve bu $9$ doğrudan herhangi üçü $A$ noktası dışında ortak bir noktada kesişmediğine göre, bu doğruların kesişimiyle elde edilebilecek üçgen sayısı kaçtır?

27

45

46

48

81

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $45$

Cevap

Düzlemdeki doğruların kesişimiyle elde edilebilecek toplam üçgen sayısı

45

'tir.

Düzlemde seçilen 3 doğrunun üçgen oluşturabilmesi için hiçbir ikisinin paralel olmaması ve üçünün aynı noktada kesişmemesi gerekir. Bu doğrultuda yapılan analizde, 3 paralel doğrudan oluşan G1 grubundan en fazla 1 doğru, diğer 3 paralel doğrudan oluşan G2 grubundan en fazla 1 doğru ve A noktasında kesişen 3 doğrudan oluşan G3 grubundan en fazla 2 doğru seçilebilir. Bu koşulları sağlayan seçimler: G1'den 1, G2'den 1, G3'ten 1 doğru (27 adet); G1'den 1, G3'ten 2 doğru (9 adet); G2'den 1, G3'ten 2 doğru (9 adet) şeklindedir. Toplamda 45 farklı üçgen elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların gruplandırılması ve toplam seçim sayısının hesaplanması

G1 grubu: 3 paralel doğru, G2 grubu: 3 paralel doğru, G3 grubu: A noktasında kesişen 3 doğru. Toplam 9 doğru arasından oluşturulabilecek tüm 3'lü seçimlerin sayısı:

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

adettir.

Üçgen oluşturmak için düzlemde 3 doğruya ihtiyaç duyulduğundan öncelikle tüm olası 3'lü doğru kombinasyonları hesaplanır.

2

Doğruların üçgen oluşturabilme şartlarının belirlenmesi

Bir 3'lü doğru grubunun üçgen oluşturabilmesi için: 1) Doğrulardan herhangi ikisi birbirine paralel olmamalıdır. 2) Üç doğru aynı noktada kesişmemelidir (noktadaş olmamalıdır).

Hangi durumların üçgen oluşturup hangilerinin oluşturamayacağını belirlemek için geometrik kurallar uygulanır.

3

Üçgen oluşturabilecek durumların gruplara göre analiz edilmesi

Üçgen oluşumu için G1 ve G2 gruplarından en fazla 1'er doğru seçilebilir (çünkü kendi içlerinde paraleldirler). G3 grubundan ise en fazla 2 doğru seçilebilir (3 doğru seçilirse A noktasında kesişirler). Bu kurallara uyan durumlar: Case 1: G1'den 1, G2'den 1, G3'ten 1 doğru. Case 2: G1'den 1, G2'den 0, G3'ten 2 doğru. Case 3: G1'den 0, G2'den 1, G3'ten 2 doğru.

Koşullara uygun doğrudan üçgen oluşturacak durumları belirlemek için gruplar bazında ayrıntılı analiz yapılır.

4

Belirlenen durumların kombinasyon sayılarının hesaplanması ve toplanması

Case 1:

\binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 3 \times 3 \times 3 = 27

. Case 2:

\binom{3}{1} \times \binom{3}{0} \times \binom{3}{2} = 3 \times 1 \times 3 = 9

. Case 3:

\binom{3}{0} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 1 \times 3 \times 3 = 9

. Toplam:

27 + 9 + 9 = 45

adet üçgen oluşur.

Her bir bağımsız durumun olasılığı kombinasyon formülüyle hesaplanıp toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişiminden oluşan üçgen sayısının geometrik yorumu.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumların çıkarılması (tümleme yöntemi) alternatif bir yol olarak kullanılabilir. Toplam durum

\binom{9}{3} = 84

'tür. Üçgen oluşturmayan durumlar: Tümü paralel olanlar

2

adet, sadece ikisi paralel olanlar

2 \times \binom{3}{2} \times 6 = 36

adet ve üçü tek noktada kesişenler

\binom{3}{3} = 1

adettir. Buradan

84 - (2 + 36 + 1) = 45

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 26Soru →

n \geq 2

olmak üzere,

\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{n! - (n-1)!}

ifadesini tam sayı yapan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

5

6

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadeyi tam sayı yapan değerlerin toplamı 6 sayısıdır.

Doğru seçenekte belirtilen 6 sayısı, ifadenin pay ve paydasındaki faktöriyel terimlerinin doğru bir şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilir. Sadeleştirme sonucunda ulaşılan

n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1}

ifadesinin tam sayı olması için

n-1

ifadesi 3'ün pozitif bölenleri olan 1 ve 3 değerlerini almalıdır. Buradan

n

değerleri 2 ve 4 olarak bulunur ve toplamları 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak olan

n!

parantezine alarak düzenlemek.

(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot (n^2 + 2n)

İfadeyi sadeleştirmek amacıyla en küçük faktöriyelli terim cinsinden yazmamız gerekir.

2

Payda kısmındaki ifadeleri ortak olan

(n-1)!

parantezine alarak düzenlemek.

n! - (n-1)! = (n-1)! \cdot (n-1)

Pay ve payda arasındaki ortak faktöriyel terimlerini sadeleştirebilmek için tabanları eşitlemeliyiz.

3

Bulunan ifadeleri yerlerine yazıp sadeleştirme işlemini yapmak.

\frac{n! \cdot (n^2 + 2n)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n \cdot (n-1)! \cdot n(n+2)}{(n-1)! \cdot (n-1)} = \frac{n^2(n+2)}{n-1}

n! = n \cdot (n-1)!

özelliğini kullanarak paydadaki

(n-1)!

terimini sadeleştirmek.

4

Elde edilen rasyonel ifadeyi polinom bölmesi yöntemiyle tam ve kesirli kısımlarına ayırmak.

\frac{n^3 + 2n^2}{n-1} = n^2 + 3n + 3 + \frac{3}{n-1}

n

değerlerinin hangi koşulda tam sayı üreteceğini daha net görebilmek için kesri parçalamalıyız.

5

\frac{3}{n-1}

ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için

n-1

değerinin 3'ün pozitif bölenleri olmasını sağlamak.

n-1 = 1 \implies n = 2

ve

n-1 = 3 \implies n = 4

elde edilir. Bu değerlerin toplamı

2 + 4 = 6

olur.

n \geq 2

koşulunu sağlayan ve ifadeyi tam sayı yapan tüm

n

tam sayılarını bulup toplamak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alma ve rasyonel ifadelerin tam sayı yapılması

Alternatif Yöntem

İfadeyi sadeleştirmek yerine

n \geq 2

koşuluna uyan tam sayılar (2, 3, 4, ...) sırasıyla formülde yerine yazılarak doğrudan test edilebilir. Örneğin

n=2

için ifade

\frac{24-6-2}{2-1} = 16

(tam sayı),

n=3

için ifade

\frac{120-24-6}{6-2} = 22.5

(tam sayı değil),

n=4

için ifade

\frac{720-120-24}{24-6} = 32

(tam sayı) değerlerini üretir. Bu şekilde

n=2

ve

n=4

değerleri tespit edilebilir, fakat bu yöntem zaman alıcıdır ve daha büyük değerler için kesin bir sınır çizmek zordur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 27Soru →

Bir torbada $1$ 'den $10$ 'a kadar ( $1$ ve $10$ dahil) numaralandırılmış $10$ kart bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki kart çekiliyor. Çekilen kartların üzerindeki sayıların toplamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu kartların her ikisinin de asal sayı olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{10}

\frac{3}{20}

\frac{2}{15}

\frac{2}{9}

\frac{1}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{20}$

Cevap

Çekilen kartların toplamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, her ikisinin de asal sayı olma olasılığı

\frac{3}{20}

'dir.

Toplamı çift olan iki kart seçme durumu (örnek uzay), ya iki tek kartın ya da iki çift kartın seçilmesiyle oluşur ve toplam durum sayısı

\binom{5}{2} + \binom{5}{2} = 20

'dir. Bu durumlar arasından her iki kartın da asal sayı olması ve toplamlarının çift olması için ikisinin de tek asal sayı (yani

3, 5, 7

arasından) seçilmesi gerekir. Bu da

\binom{3}{2} = 3

farklı şekilde gerçekleşebilir. O halde koşullu olasılık

\frac{3}{20}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılık için kısıtlanmış örnek uzayı belirleyin.

Torbada

5

tek (

1, 3, 5, 7, 9

) ve

5

çift (

2, 4, 6, 8, 10

) sayı bulunmaktadır. İki sayının toplamının çift olması için sayıların ya ikisinin de tek ya da ikisinin de çift olması gerekir. İki tek sayı seçme sayısı

\binom{5}{2} = 10

, iki çift sayı seçme sayısı

\binom{5}{2} = 10

'dur. Dolayısıyla koşullu örnek uzayın eleman sayısı

10 + 10 = 20

olur.

Soruda verilen 'toplamın çift sayı olduğu bilindiğine göre' koşuluna uygun tüm durumların sayısını bulmak.

2

İstenen durum sayısını (toplamları çift olan asal sayı çiftlerini) belirleyin.

1

'den

10

'a kadar olan asal sayılar

\{2, 3, 5, 7\}

'dir. Bu asal sayılardan seçilecek iki sayının toplamının çift olması için ikisinin de tek sayı olması gerekir. Çünkü

2

dışındaki tüm asallar tektir ve çift olan

2

sayısı ile bir tek asalın toplamı her zaman tek sayıdır. Tek asallar

\{3, 5, 7\}

kümesinden seçilecek iki kartın sayısı

\binom{3}{2} = 3

olur (Bu kartlar

\{3, 5\}

,

\{3, 7\}

ve

\{5, 7\}

'dir).

Koşula uyan durumlar içinde, her iki kartın da asal sayı olduğu durum sayısını bulmak.

3

Koşullu olasılık oranını hesaplayın.

Koşullu Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Koşullu Örnek Uzay Sayısı}} = \frac{3}{20}

elde edilir.

İstenen olayın gerçekleşme olasılığını bulmak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru 28Soru →

Bir

E

örnek uzayında tanımlı

A

ve

B

olayları için

P(A) = \frac{3}{5}

P(B) = \frac{3}{4}

olduğu bilinmektedir.
Buna göre,

P(A' \cap B)

ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

\frac{3}{10}

\frac{3}{5}

\frac{9}{20}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$

Cevap

\frac{1}{4}

Verilen olasılık aksiyomları ve kümeler arası ilişkiler doğrultusunda, birleşim olayının olasılığının en fazla 1 olması kuralından hareketle kesişim kümesinin en küçük olasılık değeri

\frac{7}{20}

olarak bulunur. Kesişim kümesi

A

kümesinin alt kümesi olduğundan en büyük olasılık değeri

P(A) = \frac{12}{20}

olur. Bu sınırlar

P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)

formülünde yerine konulduğunda ifadenin alabileceği en büyük değer

\frac{8}{20}

, en küçük değer ise

\frac{3}{20}

olarak elde edilir. İki sınır değerin farkı alındığında sonuç

\frac{1}{4}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen olasılık ifadesini kesişim cinsinden yazma

P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)

Bir olayın tümleyeninin başka bir olayla kesişimi, o olayın fark kümesinin olasılığına eşittir.

2

Kesişim olasılığının alt sınırını bulma

P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1 \implies P(A \cap B) \geq \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{7}{20}

Birleşim olayının olasılığı en fazla 1 olabilir (

P(A \cup B) \leq 1

).

3

Kesişim olasılığının üst sınırını bulma

P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B)) \implies P(A \cap B) \leq \frac{3}{5} = \frac{12}{20}

Kesişim kümesinin olasılığı, kesişen kümelerin kendi olasılıklarından büyük olamaz.

4

P(A' \cap B)

ifadesinin sınır değerlerini hesaplama

En büyük değer:

\frac{15}{20} - \frac{7}{20} = \frac{8}{20}

, En küçük değer:

\frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{3}{20}

P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)

ifadesinde kesişim olasılığının en küçük değeri en büyük sonucu, en büyük değeri ise en küçük sonucu verir.

5

En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı bulma

\frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

Soruda istenen farkı bulmak için iki sınır değer birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Kesişim/Birleşim Sınırları

İpuçları

1

P(A' \cap B)

ifadesini Venn şemasında göstererek

P(B) - P(A \cap B)

biçiminde yazmayı deneyin.

2

Birleşim olayının olasılığının maksimum 1 olabileceğini (

P(A \cup B) \leq 1

) kullanarak kesişim olasılığının alabileceği en küçük değeri bulun.

3

P(A \cap B) \leq P(A)

olduğunu dikkate alarak kesişim olasılığının alabileceği en büyük değeri belirleyin ve bunları

P(B) - P(A \cap B)

ifadesinde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer sınır değer mantığıyla,

P(A \cup B)

ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin çarpımını bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebiliriz.

A \setminus B = x

,

A \cap B = y

,

B \setminus A = z

ve dış bölge

w

olsun.

x + y = 3/5

,

y + z = 3/4

ve

x + y + z + w = 1

eşitlikleri yazılır. Buradan

z = P(A' \cap B)

ifadesinin sınırlarını doğrudan bu denklem sisteminden

w

'ya bağlı olarak inceleyebiliriz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 29Soru →

$KELEBEK$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız $7$ harfli kelimelerin kaç tanesinde $E$ harfinin hemen ard��ndan $L$ harfi gelmez?

180

240

300

330

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği kelime sayısı 240'tır.

Tüm olası 7 harfli kelime dizilimlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile 420 olarak bulunur. E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği durumları bulmak için 'EL' harfleri tek bir grup olarak bağlanır; bu durumda dizilebilecek nesneler 2 adet K, 2 adet E, 1 adet B ve 1 adet 'EL' grubu olmak üzere 6 tanedir ve dizilim sayısı 180'dir. Tüm durumlardan (420) bu istenmeyen durum (180) çıkarıldığında geriye kalan 240 dizilimde E harfinden hemen sonra L harfi gelmez. Bu nedenle 240 sayısı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

KELEBEK

kelimesindeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyerek oluşturulabilecek tüm 7 harfli kelimelerin sayısını hesaplamak.

Kelime 7 harflidir. Harflerin dağılımı: K harfi 2 adet, E harfi 3 adet, L harfi 1 adet, B harfi 1 adettir. Tüm durumların sayısı:

\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{5040}{2 \times 6} = 420

olur.

Harflerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin toplam sayısını tekrarl�� permütasyon formülüyle bulmamız gerekir.

2

E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği (yani 'EL' yan yana olan) durumların say��sını hesaplamak.

'EL' harflerini tek bir paket (blok) olarak kabul ederiz. Geriye kalan harfler: K, K, E, E, B ve (EL) bloğudur. Toplam nesne sayısı 6 olur. Bu nesnelerden K harfi 2 kez, E harfi 2 kez tekrarlamaktadır. Bu durumdaki dizilim sayısı:

\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{4} = 180

olur.

İstenmeyen durumları (E'den hemen sonra L gelen kelimeleri) tek bir eleman gibi düşünerek tüm durumların içindeki payını hesaplarız.

3

Tüm olası kelime sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkarmak.

420 - 180 = 240

bulunur.

Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarıldığında geriye yalnızca E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği dizilimler kalır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 30Soru →

Bir kutuda bulunan kalemlerin renklerine ve türlerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Renk / Tür	Tükenmez	Diğer	Toplam
Mavi	4	8	12
Kırmızı	5	3	8
Toplam	9	11	20

Kutudan rastgele seçilen bir kalemin tükenmez kalem olduğu bilindiğine göre, bu kalemin kırmızı renkli olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{4}

\frac{5}{8}

\frac{5}{9}

\frac{4}{9}

\frac{2}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{9}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{5}{9}

'dur.

Tükenmez kalem olduğu bilinen bir kalemin kırmızı olma olasılığını bulmak için koşullu olasılık uygulanır. Tabloya göre toplam tükenmez kalem sayısı

4

(mavi)

+ 5

(kırmızı)

= 9

'dur. Bu tükenmez kalemlerden kırmızı olanların sayısı

5

olduğuna göre, aranan olasılık

\frac{5}{9}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tükenmez kalemlerin toplam sayısını belirlemek.

Mavi tükenmez kalem sayısı

4

ve kırmızı tükenmez kalem sayısı

5

olduğundan, toplam tükenmez kalem sayısı

4 + 5 = 9

olur.

Koşullu olasılıkta verilen koşul (seçilen kalemin tükenmez olması), yeni örnek uzayımızı oluşturur.

2

İstenen durumun (kırmızı ve tükenmez kalemlerin) eleman sayısını belirlemek.

Kırmızı renkli ve tükenmez olan kalem sayısı tabloda

5

olarak verilmiştir.

Koşul altında istenen durumun olasılığını hesaplamak için bu sayı yeni örnek uzayının eleman sayısına bölünecektir.

3

Koşullu olasılık değerini hesaplamak.

Olasılık

= \frac{5}{9}

olarak bulunur.

Koşullu olasılık formülü gereği, istenen durum sayısının koşul durum sayısına oranı alınır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Alternatif Yöntem

Formül üzerinden: P(Kırmızı | Tükenmez) = P(Kırmızı ∩ Tükenmez) / P(Tükenmez) = (5/20) / (9/20) = 5/9 şeklinde de hesaplanabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 31Soru →

Bir tiyatro oyunu için bir oyuncuya şapka, gömlek ve pantolondan oluşan bir kombinasyon seçilecektir. Oyuncunun gardırobunda;
* $3$ farklı şapka (mavi, kırmızı, yeşil),
* $4$ farklı gömlek (mavi, kırmızı, yeşil, beyaz),
* $3$ farklı pantolon (mavi, siyah, gri)
bulunmaktadır.

Kıyafet seçiminde şu kurallara uyulacaktır:
- Seçilen şapka ve gömlek aynı renkte olmamalıdır.
- Seçilen gömlek ve pantolon aynı renkte olmamalıdır.

Buna göre, bu oyuncu için şapka, gömlek ve pantolondan oluşan $3$ parçalık bir kıyafet kombinasyonu kaç farklı şekilde seçilebilir?

10

20

25

36

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

25

Gömlek rengine göre durumlar ayrıştırılıp incelendiğinde; beyaz gömlek için 9, mavi gömlek için 4, kırmızı gömlek için 6 ve yeşil gömlek için 6 farklı durum oluşur. Bu ayrık durumların toplamı olan 25 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Gömlek rengine göre durum analizi yapılır. İlk olarak gömlek renginin beyaz olması durumu incelenir.

Eğer gömlek beyaz seçilirse (

1

durum), şapka için mavi, kırmızı, yeşil (

3

durum) ve pantolon için mavi, siyah, gri (

3

durum) seçilebilir. Buradan

1 \times 3 \times 3 = 9

farklı kombinasyon elde edilir.

Beyaz rengi şapka ve pantolon renk listelerinde bulunmadığından herhangi bir kısıtlamaya yol açmaz.

2

Gömlek renginin mavi olması durumu incelenir.

Eğer gömlek mavi seçilirse (

1

durum), şapka mavi olamayacağından kırmızı veya yeşil (

2

durum); pantolon da mavi olamayacağından siyah veya gri (

2

durum) seçilebilir. Buradan

1 \times 2 \times 2 = 4

farklı kombinasyon elde edilir.

Gömlek mavi olduğunda, şapka ve pantolon mavi seçilemez.

3

Gömlek renginin kırmızı veya yeşil olması durumları incelenir.

Gömlek kırmızı seçilirse (

1

durum), şapka kırmızı olamayacağından mavi veya yeşil (

2

durum) seçilebilir. Pantolon renkleri arasında kırmızı olmadığından pantolon için mavi, siyah, gri (

3

durum) seçilebilir. Buradan

1 \times 2 \times 3 = 6

kombinasyon elde edilir. Benzer şekilde, gömlek yeşil seçildiğinde de şapka için yeşil hariç

2

durum, pantolon için

3

durum olmak üzere

1 \times 2 \times 3 = 6

kombinasyon elde edilir.

Kırmızı ve yeşil renkleri pantolon seçeneklerinde bulunmadığı için pantolon seçimini kısıtlamaz ancak şapka seçimini kısıtlar.

4

Elde edilen tüm ayrık durumların kombinasyon sayıları toplanır.

9 + 4 + 6 + 6 = 25

farklı kombinasyon bulunur.

Ayrık durumların toplam seçenek sayısını bulmak için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın çarpma ve toplama kurallarının kısıtlı durumlarda ayrı ayrı incelenerek uygulanması.

Soru 32Soru →

Bir süsleme için kullanılacak özdeş $3$ sarı ve özdeş $2$ kırmızı balon, düz bir ipe yan yana asılacaktır.

Buna göre, bu balonlar ip üzerinde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

10

120

20

60

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Balonlar ip üzerinde yan yana 10 farklı şekilde sıralanabilir.

Doğru cevap 10'dur. Toplam 5 balonun (3 sarı ve 2 kırmızı) yan yana sıralanma sayısı, özdeş balonların kendi aralarındaki yer değiştirmeleri durumu değiştirmeyeceğinden tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplanır. Formül

\frac{5!}{3! \cdot 2!}

şeklindedir. Buradan hesaplama yapıldığında

\frac{120}{6 \cdot 2} = 10

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nesne (balon) sayısını belirleme

Toplam

3 + 2 = 5

balon vardır.

Sıralanacak tüm elemanların toplam sayısını bulmamız gerekir.

2

Özdeş (tekrar eden) nesne sayılarını belirleme

Sarı balonlar

3

kez, kırmızı balonlar ise

2

kez tekrar etmektedir.

Aynı renkteki balonlar özdeş olduğu için kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir sıralama oluşturmaz.

3

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayarak farklı sıralama sayısını hesaplama

\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10

Toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden eleman sayılarının faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon, bazı elemanları özdeş olan bir kümenin elemanlarının farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için kullanılır. Toplam

n

elemandan

n_1, n_2, \dots, n_r

tanesi kendi aralarında özdeş ise sıralama sayısı

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!}

formülüyle bulunur.

Soru 33Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce, Almanca veya Fransızca dillerinden yalnız birini konuşabilmektedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuşma olasılığı $\frac{1}{3}$ , Almanca konuşma olasılığı ise $\frac{2}{5}$ 'tir.

Buna göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Fransızca konuşma olasılığı kaçtır?

\frac{11}{15}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{4}{5}

\frac{1}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{15}$

Cevap

Fransızca konuşma olasıl��ğı olan

\frac{4}{15}

İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerini konuşan öğrencilerin grupları ayrık olaylar oluşturur ve sınıfın tamamını kapsar. Bu nedenle bu üç grubun olasılıkları toplamı

1

'e eşit olmalıdır. İngilizce konuşma olasılığı olan

\frac{1}{3}

ile Almanca konuşma olasılığı olan

\frac{2}{5}

değerleri toplandığında, payda eşitleme işlemiyle

\frac{11}{15}

elde edilir. Fransızca konuşma olasılığı ise tümleyen kuralı gereği bu toplamın

1

'den çıkarılmasıyla hesaplanır:

1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}

bulunur. Dolayısıyla doğru cevap

\frac{4}{15}

olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Sınıftaki öğrencilerin konuşabildiği tüm dillerin olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyin.

P(\text{İngilizce}) + P(\text{Almanca}) + P(\text{Fransızca}) = 1

olur.

Sınıftaki herkes bu dillerden yalnızca birini konuştuğu için bu dillerin olasılıkları ayrık olaylar oluşturur ve toplamları kesin olaya (

1

) eşittir.

2

İngilizce ve Almanca konuşan öğrencilerin olasılıklarını toplayın.

\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}

olur.

Fransızca dışındaki dilleri konuşan öğrencilerin toplam olasılığını belirlemek için paydalar eşitlenerek toplama yapılır.

3

Fransızca konuşma olasılığını bulmak için elde edilen toplamı

1

'den çıkarın.

P(\text{Fransızca}) = 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}

bulunur.

Tümleyen kuralı uygulanarak geriye kalan grubun olasılığı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Olasılık Kuralı ve Ayrık Olaylar

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 34Soru →

Üç adet hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

\frac{7}{8}

\frac{91}{216}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{8}$

Cevap

Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı

\frac{5}{8}

'dir.

Çarpımın 4'ün katı olması olasılığı, tüm durumların olasılığı olan 1'den, çarpımın 4'ün katı olmama olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanır. Çarpımın 4'ün katı olmaması için ya tüm zarlar tek sayı gelmeli (

27

durum) ya da zarlardan yalnız biri 2 veya 6 gelip diğerleri tek sayı gelmelidir (

54

durum). Bu durumda tümleyen durum sayısı

81

olup olasılığı

\frac{81}{216} = \frac{3}{8}

'dir. İstenen olasılık ise

1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların (örnek uzayın) sayısını belirleme.

Üç zar atıldığında toplam olası durum sayısı

6 \times 6 \times 6 = 216

olur.

Her bir zarın 6 farklı yüzü olduğundan çarpım kuralı uygulanır.

2

Tümleyen olay olan 'çarpımın 4'ün katı olmama' durumunun koşullarını belirleme.

Çarpımın 4'ün katı olmaması için iki durum vardır: 1) Üç zarın da tek sayı gelmesi, 2) Zarlardan sadece birinin çift sayı gelmesi ve bu çift sayının 4 olmaması (yani 2 veya 6 olması), diğer iki zarın ise tek sayı gelmesi.

Çarpımın 4 ile bölünememesi için içerisinde en fazla bir tane 2 çarpanı bulunabilir, 4 çarpanı ise hiç bulunamaz.

3

Tümleyen olaya ait durum sayılarını hesaplama.

Birinci durum (üçü de tek):

\{1, 3, 5\}

kümesinden

3 \times 3 \times 3 = 27

durum. İkinci durum (bir çift 2 veya 6, iki tek): Çift sayının geleceği zar 3 farklı şekilde seçilir. Bu zar için 2 veya 6 olmak üzere 2 seçenek vardır. Diğer iki tek zar için

3 \times 3 = 9

seçenek vardır. Buradan

3 \times 2 \times 9 = 54

durum elde edilir. Toplam tümleyen durum sayısı

27 + 54 = 81

olur.

Her iki durum ayrık olaylar olduğundan durum sayıları toplanır.

4

Tümleyen olayın olasılığını ve ardından istenen olayın olasılığını tümleyen kuralıyla hesaplama.

Çarpımın 4'ün katı olmama olasılığı

\frac{81}{216} = \frac{3}{8}

'dir. İstenen durumun (çarpımın 4'ün katı olma) olasılığı ise

1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

olarak bulunur.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı 1'e eşittir (

P(A) + P(A') = 1

).

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) o olayın gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanabilir:

P(A) = 1 - P(A')

.

Alternatif Yöntem

Çözüm doğrudan sayılarak da yapılabilir. Çarpımın 4'ün katı olması için zarların en az birinin 4 gelmesi veya en az iki zarda çift sayı (2 veya 6) gelmesi gerekir. Bu durumlar tek tek toplanarak da 135 sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 35Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan personelin \%70'i Python, \%50'si ise Java programlama dilini bilmektedir. Bu şirkette her iki dili de bilmeyen personel bulunmamaktadır.

Buna göre, bu şirketten rastgele seçilen bir personelin Python bildiği bilindiğine göre, Java da bilme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{5}

\frac{2}{7}

\frac{2}{5}

\frac{3}{7}

\frac{5}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{7}$

Cevap

İki bölü yedi

Şirketteki personelin tamamı en az bir dil bildiğinden, Python veya Java bilenlerin oranı \%100'dür. Python bilenlerin oranı \%70, Java bilenlerin oranı ise \%50 olduğuna göre, her iki dili de bilenlerin oranı \%70 + \%50 - \%100 = \%20'dir. Seçilen kişinin Python bildiği bilindiğinden yeni örnek uzayımız Python bilenlerdir (yani \%70'lik kısımdır). Bu \%70'lik kısım içinden aynı zamanda Java da bilenlerin oranı ise \%20 olduğuna göre, aranan koşullu olasılık

\frac{20}{70} = \frac{2}{7}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeler yardımıyla her iki dili de bilenlerin oranını bulun.

Python bilenler

P

, Java bilenler

J

olsun. Şirketteki tüm personel en az bir dili bildiğinden, birleşim kümesinin oranı \%100'dür. Buradan kesişim kümesinin (her iki dili bilenlerin) oranı:

P(P \cap J) = P(P) + P(J) - P(P \cup J) = \%70 + \%50 - \%100 = \%20

olarak hesaplanır.

Koşullu olasılık formülündeki ortak olasılığı (payı) belirlemek için kesişim kümesinin eleman sayısını veya oranını bilmemiz gerekir.

2

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak sonucu hesaplayın.

Seçilen kişinin Python bildiği bilindiğine göre örnek uzayımız Python bilenlerdir (

P(P) = \%70

). Bu kişinin Java da bilme olasılığı:

P(J | P) = \frac{P(J \cap P)}{P(P)} = \frac{\%20}{\%70} = \frac{2}{7}

bulunur.

Koşullu olasılıkta örnek uzay verilen koşul kümesi ile sınırlanır, bu yüzden kesişim olasılığı koşul kümesinin olasılığına bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Kümeler

Soru 36Soru →

$MASAL$ kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek $5$ harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

10

24

30

60

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $60$

Cevap

MASAL kelimesindeki harfler yer değiştirilerek 60 farklı kelime yazılabilir.

MASAL kelimesinde toplam

5

harf bulunur. Bu harflerden

A

harfi

2

defa tekrar ederken,

M

,

S

ve

L

harfleri birer defa bulunur. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm harflerin sıralanma sayısı olan

5!

, tekrar eden

A

harflerinin kendi aralarındaki sıralanma sayısı olan

2!

değerine bölünür. Buradan

\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme

MASAL kelimesinde toplam

5

harf vardır. Bu harflerden

A

harfi

2

kez tekrar etmektedir, diğer harfler (

M

,

S

,

L

) ise birer kez bulunmaktadır.

Tekrarlı permütasyon uygulayabilmek için toplam eleman sayısı ve her bir elemanın tekrar sıklığı bilinmelidir.

2

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulama

\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60

Özdeş elemanların kendi aralarındaki yer değişimleri yeni bir kelime oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı, tekrar eden harflerin faktöriyel değerine bölünür.

Anahtar Kavram

Özdeş elemanların sıralanmasında tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.

n

elemanın

n_1, n_2, \dots, n_r

tanesi özdeş ise bu elemanların farklı dizilişlerinin sayısı

\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!}

formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1

Kelimenin içindeki harflerin toplam sayısını ve hangi harflerin kaçar kez tekrar ettiğini bulun.

2

Tekrarlanan elemanların sıralamayı değiştirmeyeceğini hatırlayarak, genel sıralama sayısını tekrar eden elemanların faktöriyeline bölün.

Daha Fazla Pratik

İçinde birden fazla harfin tekrar ettiği (örneğin 'MAKAS' kelimesi gibi) durumlar için de benzer yöntemi uygulayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Öncelikle benzersiz harfleri (

M

,

S

,

L

) ve iki adet özdeş

A

harfini yerleştirmek için basamakları düşünebiliriz.

5

boş kutudan

2

tanesini

A

harfleri için seçeriz:

\binom{5}{2} = 10

durum. Kalan

3

boş kutuya ise farklı olan

M

,

S

,

L

harflerini sıralarız:

3! = 6

durum. Toplam durum sayısı

10 \times 6 = 60

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 37Soru →

Bir çember üzerinde 5 farklı nokta ve bu çemberi kesmeyen bir $d$ doğrusu üzerinde 4 farklı nokta işaretleniyor.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

84

80

74

70

480

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en fazla 80 farklı üçgen oluşturulabilir.

Üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır. Toplam 9 noktadan oluşturulabilecek tüm 3'lü grupların sayısı 84 tanedir. Ancak doğru üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu 4 noktadan seçilecek 3 nokta bir üçgen oluşturmaz. Bu durumların sayısı 4 tanedir. Dolayısıyla, oluşturulabilecek en fazla üçgen sayısı tüm durumlardan doğrusal durumların çıkarılmasıyla 80 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve herhangi bir kısıtlama olmaksızın oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısını hesaplayın.

Toplam nokta sayısı

5 + 4 = 9

tanedir. Bu 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı:

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

tanedir.

Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan en fazla

\binom{9}{3}

farklı üçgen oluşturulabilir.

2

Doğrusal oldukları için üçgen oluşturamayacak nokta gruplarının sayısını belirleyin.

d

doğrusu üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu noktalardan seçilen hiçbir 3'lü grup üçgen belirtmez. Bu durumların sayısı:

\binom{4}{3} = 4

tanedir.

Aynı doğru üzerindeki noktalar doğrusal olduğundan üçgen oluşturmaz.

3

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan doğrusal durumları çıkararak sonucu bulun.

84 - 4 = 80

farklı üçgen oluşturulabilir.

Ge��erli üçgen sayısı, tüm olası seçimlerden doğrusal olan seçimlerin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla geometrik şekillerin (üçgen vb.) sayısını bulma ve doğrusallık koşullarını uygulama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak durum analizi yapılabilir: 1) Çemberden 3 nokta seçilmesi: C(5,3) = 10. 2) Çemberden 2, doğrudan 1 nokta seçilmesi: C(5,2) * C(4,1) = 10 * 4 = 40. 3) Çemberden 1, doğrudan 2 nokta seçilmesi: C(5,1) * C(4,2) = 5 * 6 = 30. Toplam: 10 + 40 + 30 = 80.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 38Soru →

Bir çember üzerinde bulunan $6$ farklı nokta ile bu çemberi kesmeyen bir doğru üzerinde bulunan $4$ farklı nokta verilmiştir.

Buna göre, köşeleri bu $10$ noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

120

116

96

24

696

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 116

Cevap

En çok 116 farklı üçgen çizilebilir.

Toplam 10 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı olan 120 durumdan, aynı doğru üzerindeki 4 doğrusal noktanın üçgen oluşturamadığı 4 durum çıkarıldığında en çok 116 farklı üçgen çizilebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm nokta sayısını belirlemek ve kısıtlama olmaksızın oluşturulabilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesaplamak.

Toplam nokta sayısı

6 + 4 = 10

'dur. Herhangi bir kısıtlama olmaksızın bu

10

noktadan seçilebilecek 3'lü grupların sayısı:

\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

'dir.

Üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan 3 nokta seçilmesi gerektiğinden, başlangı�� noktası olarak tüm olası üçlü seçimleri buluyoruz.

2

Aynı doğru üzerindeki noktaların oluşturduğu ve üçgen belirtmeyen durumların sayısını belirlemek.

Doğru üzerindeki

4

nokta doğrusal olduğundan, bu noktalardan seçilecek 3 nokta bir üçgen oluşturamaz. Bu durumların sayısı:

\binom{4}{3} = 4

'tür.

Doğrusal noktalar birleştirildiğinde üçgen yerine doğru parçası oluşturduğundan, bu seçimler geçersizdir.

3

Tüm olası durumlardan geçersiz olan durumları çıkararak çizilebilecek üçgen sayısını hesaplamak.

Çizilebilecek maksimum üçgen sayısı:

120 - 4 = 116

'dır.

Geçerli tüm üçgen durumlarını elde etmek için toplam seçim sayısından doğrusal olanların sayısını çıkarmamız gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla geometrik şekil (üçgen) sayısı hesaplama

Soru 39Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere toplam $9$ nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan $4$ tanesi $AB$ kenarı üzerinde (köşeler dahil), $5$ tanesi ise $BC$ kenarı üzerinde (köşeler dahil) yer almaktadır.

Buna göre, köşeleri bu $9$ noktadan herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

60

69

70

73

84

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 69

Cevap

Köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan 69 farklı üçgen çizilebilir.

Doğru cevaba ulaşmak için tüm olası 3'lü seçimlerin sayısından (

\binom{9}{3} = 84

), doğrusal oldukları için üçgen oluşturmayan durumlar çıkarılır. Bu durumlar

AB

kenarındaki 4 noktadan seçilen 3 nokta (

\binom{4}{3} = 4

),

BC

kenarındaki 5 noktadan seçilen 3 nokta (

\binom{5}{3} = 10

) ve

CA

kenarındaki 3 noktadan seçilen 3 noktadır (

\binom{3}{3} = 1

). Çıkarma işlemi yapıldığında

84 - (4 + 10 + 1) = 69

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin kenarları üzerindeki nokta dağılımlarını ve doğrusal nokta gruplarını belirlemek.

AB

kenarında

4

,

BC

kenarında

5

ve

CA

kenarında

3

doğrusal nokta bulunur.

Aynı kenar üzerinde yer alan doğrusal noktaların kendi aralarında üçgen oluşturamayacağını belirlemek için her bir kenardaki nokta sayısını bilmemiz gerekir.

2

Herhangi bir doğrusallık kısıtlaması olmaksızın, toplam

9

noktadan seçilebilecek tüm 3'lü kombinasyonların sayısını hesaplamak.

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

farklı 3'lü grup seçilebilir.

Seçilebilecek tüm olası durumların üst sınırını bulmak için.

3

Aynı kenar (doğru) üzerinde yer alan ve dolayısıyla üçgen oluşturmayan doğrusal 3'lü nokta gruplarının sayısını hesaplayıp toplam durumdan çıkarmak.

Çizilebilecek üçgen sayısı:

\binom{9}{3} - \left(\binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{3}{3}\right) = 84 - (4 + 10 + 1) = 69

olarak bulunur.

Doğrusal noktaların üçgen oluşturmayacağı kuralını uygulayarak yalnızca üçgen oluşturan durumları elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

İpuçları

1

Üçgen oluşturabilmek için seçeceğiniz 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir.

2

Toplam 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını bulup, aynı kenar üzerinde yer alan (doğrusal olan) 3'lü grupları bundan çıkarın.

3

Toplam durum

\binom{9}{3}

'tür.

AB

kenarında 4 nokta,

BC

kenarında 5 nokta ve

CA

kenarında 3 nokta doğrusaldır. Bu doğrusal grupların kombinasyonlarını (

\binom{4}{3}

,

\binom{5}{3}

,

\binom{3}{3}

) toplam durumdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Bir çember üzerinde 6 nokta ve bir doğru üzerinde 4 nokta verildiğinde oluşabilecek üçgen sayısını bulmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Üçgen oluşturabilecek 3 noktayı farklı kenarlardan seçerek de hesaplayabiliriz. Ancak tüm durumlardan doğrusal durumları çıkarmak en pratik metottur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 40Soru →

a

,

b

ve

c

pozitif tam sayılardır.

a! + b! = 9 \cdot 2^c

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(a, b)

sıralı ikilisi vardır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.

Denklemin sağ tarafında 5 asal çarpanı bulunmadığı için

a

ve

b

değerlerinden en az biri 5'ten küçük olmak zorundadır. Yapılan ayrıntılı durum analizleri sonucunda bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikililerinin

(4, 5)

ve

(5, 4)

olduğu görülür. Dolayısıyla eşitliği sağlayan 2 farklı sıralı ikili vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Asal çarpan analizi ile değer sınırlandırması yapılması.

a! + b! = 9 \cdot 2^c

eşitliğinde sağ tarafın asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. Sol tarafta eğer

a \geq 5

ve

b \geq 5

olsaydı, her iki faktöriyel de 5 ile tam bölüneceğinden toplam da 5'in katı olurdu. Sağ taraf 5 ile b��lünemediği için

a

ve

b

sayılarından en az biri 5'ten küçük olmalıdır.

Değişkenlerin alabileceği değer aralığını daraltmak.

2

Simetri kabulü ile durum sayısının azaltılması.

Simetriden dolayı

a \leq b

kabul edilirse

a < 5

olmalıdır. Bu durumda

a \in \{1, 2, 3, 4\}

değerleri incelenmelidir.

Analiz edilecek durum sayısını azaltmak.

3

Belirlenen

a

değerleri için denklemin tek tek çözülmesi.

a=1, 2, 3

değerleri için sağ tarafı

9 \cdot 2^c

biçiminde olan bir tam sayı çözümü bulunamaz.

a=4

için

24 + b! = 9 \cdot 2^c

elde edilir. Burada

b \geq 6

için

b!

sayısı 9'un tam katı olacağından

24 + b!

ifadesi 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir ve

9 \cdot 2^c

ile eşitlenemez. Dolayısıyla

b < 6

olmalıdır.

b \geq a = 4

olduğundan

b=4

veya

b=5

olabilir.

b=4 \implies 48 = 9 \cdot 2^c

(çözüm yok).

b=5 \implies 144 = 9 \cdot 2^c \implies 2^c = 16 \implies c=4

elde edilir. Bu durum geçerli bir çözümdür.

Olası durumları tek tek analiz ederek doğru değerleri tespit etmek.

4

Simetri kaldırılarak tüm sıralı ikililerin belirlenmesi.

a \leq b

koşulu altında bulunan tek çözüm

(4, 5)

olduğundan, tüm pozitif tam sayı çözümleri

(4, 5)

ve

(5, 4)

olmak üzere 2 tanedir.

Sıralı ikili tanımı gereği elemanların yer değiştirmesini hesaba katmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırma.

İpuçları

1

a!

ve

b!

ifadelerinin hangi durumlarda 5 ile tam bölünebileceğini düşünün. Eşitliğin sağ tarafı 5 ile bölünebilir mi?

2

a \geq 5

ve

b \geq 5

durumunda sol tarafın 5'in katı olduğunu, ancak sağ tarafın olmadığını görün. Bu durumda değişkenlerden en az biri 5'ten küçük olmalıdır.

3

a \le b

kabul edip

a

için

1, 2, 3, 4

değerlerini deneyin.

a=4

için

24 + b! = 9 \cdot 2^c

olur. Burada

b \geq 6

için

b!

sayısı 9'un katı olacağından sol taraf 9 ile bölündüğünde 6 kalanını verir. Bu yüzden

b < 6

olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Faktöriyel sorularında taban ve asal çarpan sınırlamalarını kavramak adına

x! - y! = 3^c \cdot 5

denklemini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Sayma ve Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem