Examkin

Sayma ve Olasılık

63 soru

Soru 41Soru →

Bir kargo firmasının teslim ettiği paketlerin %60\%60’ı A şubesi, geri kalanı ise B şubesi tarafından dağıtılmaktadır. A şubesinin dağıttığı paketlerin %5\%5’i, B şubesinin dağıttığı paketlerin ise %10\%10’u alıcıya zamanında ulaştırılamamıştır.

Buna göre, bu firmadan gönderilen ve alıcıya zamanında ulaştırılamadığı bilinen bir paketin, A şubesi tarafından dağıtılmış olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37\frac{3}{7}

Cevap

Zamanında ulaştırılamayan bir paketin A şubesinden gelmiş olma olasılığı 3/7'dir.
Zamanında ulaştırılamayan paketlerin toplam sayısı yeni örnek uzayımızı oluşturur. A şubesinden gelen ve zamanında ulaşmayan paket sayısı 3, B şubesinden gelen ve zamanında ulaşmayan paket sayısı 4 olduğundan, toplam zamanında ulaşmayan paket sayısı 7'dir. Bu paketler arasından rastgele seçilen bir paketin A şubesine ait olma olasılığı ise ulaşılamayan paketler içerisindeki A şubesi paketlerinin oranı olan 3/7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam paket sayısı üzerinden şubelerin dağıttığı paket sayılarını belirleme
Toplam paket sayısı 100100 kabul edilirse, A şubesi 6060 paket, B şubesi ise 4040 paket dağıtır.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak amacıyla toplam paket sayısı 100100 birim olarak alınmıştır.
2
Şubelerdeki zamanında ulaştırılamayan paket sayılarını hesaplama
A şubesinde 60×5100=360 \times \frac{5}{100} = 3 paket, B şubesinde 40×10100=440 \times \frac{10}{100} = 4 paket zamanında ulaştırılamamıştır.
Her şubenin kendi teslimat hatası oranına göre geciken paket miktarları belirlenir.
3
Koşula bağlı olarak yeni örnek uzayın eleman sayısını bulma
Zamanında ulaştırılamayan toplam paket sayısı 3+4=73 + 4 = 7 olarak bulunur.
Paketin zamanında ulaştırılamadığı bilindiğinden, olasılık hesabı sadece bu durumlar arasından yapılmalıdır.
4
Koşullu olasılık değerini hesaplama
İstenen olasılık 37\frac{3}{7} olarak hesaplanır.
Ulaştırılamayan 77 paketten 33 tanesi A şubesine ait olduğundan, istenen durum sayısı toplam durum sayısına oranlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Örnek Uzayın Sınırlandırılması

Alternatif Yöntem

Bayes Teoremi formülü kullanılarak da çözülebilir. P(A∣G)=P(A)⋅P(G∣A)P(G)P(A|G) = \frac{P(A) \cdot P(G|A)}{P(G)} formülünde; P(A)=0,60P(A) = 0,60, P(G∣A)=0,05P(G|A) = 0,05 ve P(G)=0,60⋅0,05+0,40⋅0,10=0,07P(G) = 0,60 \cdot 0,05 + 0,40 \cdot 0,10 = 0,07 değerleri yerine yazılarak P(A∣G)=0,030,07=37P(A|G) = \frac{0,03}{0,07} = \frac{3}{7} elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 42Soru →

MAKARAMAKARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120
Toplam 6 harf içeren kelimede 'A' harfi 3 kez tekrarlamaktadır. Tekrarlı permütasyon gereği tüm dizilimlerin sayısı 6! değerinin tekrar sayısı olan 3!'e bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda 120 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme.
MAKARAMAKARA kelimesinde toplam 6 harf vardır. Bu harflerden 'A' harfi 3 kez tekrar etmektedir.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ve her bir tekrar eden elemanın sıklığı bilinmelidir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurma.
6!3!\frac{6!}{3!} ifadesi elde edilir.
Toplam nn elemanlı bir kümede tekrar eden eleman sayıları n1,n2,...n_1, n_2, ... ise farklı dizilim sayısı n!n1!⋅n2!⋅...\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...} formülüyle bulunur.
3
Matematiksel hesabı gerçekleştirme.
6!3!=6⋅5⋅4⋅3!3!=6⋅5⋅4=120\frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 bulunur.
Pay kısmındaki 6! ifadesi, paydadaki 3! ile sadeleştirilerek işlem kolayca tamamlanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 43Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB ayrık olayları için AA olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A′)=23P(A') = \frac{2}{3} ve AA veya BB olayının gerçekleşme olasılığı P(A∪B)=34P(A \cup B) = \frac{3}{4}'tür.

Buna göre, BB olayının gerçekleşme olasılığı P(B)P(B) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

Bolayınıngerc\cekles\cmeolasılıg˘ı512′dir.B olayının gerçekleşme olasılığı \frac{5}{12}'dir.
B olayının gerçekleşme olasılığı \frac{5}{12} olarak bulunur. Öncelikle A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A′)=23P(A') = \frac{2}{3} olarak verildiğinden, gerçekleşme olasılığı P(A)=1−23=13P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} olur. A ve B ayrık olaylar olduğu için kesişimleri boştur ve birleşim olasılıkları P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) formülü ile hesaplanır. Buradan 34=13+P(B)\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) eşitliği elde edilir. Eşitlik çözüldüğünde P(B)=34−13=9−412=512P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) değerini hesaplamak için P(A) + P(A') = 1 özelliğini kullanın.
P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} elde edilir.
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.
2
A ve B olayları ayrık olaylar olduğu için P(A \cup B) = P(A) + P(B) formülünü uygulayın.
\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) denklemi kurulur.
Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşittir.
3
Denklemdeki P(B) değerini yalnız bırakarak rasyonel sayılarda çıkarma işlemini gerçekleştirin.
P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} bulunur.
Farklı paydalara sahip rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için paydalar eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Ayrık olayların birleşim olasılığı ve tümleyen olay ilişkisi

İpuçları

1
Bir olayın gerçekleşme olasılığı P(A) ile gerçekleşmeme olasılığı P(A') toplamının 1 olduğunu hatırlayın.
Tahmini Süre:45s
Soru 44Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 232

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı 232'dir.
İfadeyi sağlayan ardışık çarpan durumları incelendiğinde xx sayısının alabileceği değerlerin 210210, 1515 ve 77 olduğu görülür. Bu pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel ifadesini ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.
x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=210\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 210 eşitliği elde edilir.
Faktöriyel tanımı gereği x!x!, y!y! cinsinden yazılarak sadeleştirilebilir.
2
210 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazmak.
210 sayısı tek terimli olarak 210; iki ardışık terim olarak 15⋅1415 \cdot 14; üç ardışık terim olarak 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 şeklinde yazılabilir. Dört veya daha fazla terimli ardışık çarpım durumunda pozitif tam sayı çözümü bulunmamaktadır.
Çarpımın sonucunun 210 olabilmesi için tüm olası ardışık çarpan grupları incelenmelidir.
3
Bulunan her bir durum için xx değerlerini belirlemek ve toplamak.
Birinci durumdan x=210x = 210 (ve y=209y = 209), ikinci durumdan x=15x = 15 (ve y=13y = 13), üçüncü durumdan x=7x = 7 (ve y=4y = 4) elde edilir. Bu değerlerin toplamı 210+15+7=232210 + 15 + 7 = 232 olur.
xx ve yy pozitif tam sayı koşulunu sağladığından tüm bu xx değerleri geçerlidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme ve ardışık sayılarla ilişkilendirme.
Soru 45Soru →

3 evli çift, yan yana bulunan 6 koltuğa yan yana oturacaktır. Her evli çiftin eşleri yan yana olmak şartıyla, hiçbir iki kadının yan yana gelmediği kaç farklı oturma düzeni vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24
Doğru cevap olan yirmi dört değeri; 3 çiftin kendi aralarındaki 3!=63! = 6 farklı sıralaması ile hiçbir iki kadının yan yana gelmediği 4 geçerli cinsiyet diziliminin çarpımıyla elde edilir (6×4=246 \times 4 = 24).

Adım Adım Çözüm

1
Her evli çifti birer grup olarak ele alalım ve bu 3 grubun kendi aralarındaki sıralama sayısını hesaplayalım.
3!=63! = 6 farklı sıralama
Eşlerin yan yana oturması istendiğinden her çift tek bir eleman gibi hareket eder.
2
Kadınları K, erkekleri E ile göstererek her grubun kendi içindeki cinsiyet sıralamasını inceleyelim.
Her grup için 2 seçenek (KE veya EK)
Her çift kendi içinde 2 farklı şekilde sıralanabilir.
3
Hiçbir iki kadının yan yana gelmeme koşuluna göre olası 8 cinsiyet dizilimini (23=82^3 = 8) filtreleyelim. İki kadının yan yana gelmesi ancak bir grubun EK şeklinde bitip ardındaki grubun KE şeklinde başlamasıyla (...EK, KE...) mümkündür.
4 geçerli dizilim: (KE, KE, KE), (KE, KE, EK), (KE, EK, EK), (EK, EK, EK)
EK-KE ardışıklığı içeren diğer 4 dizilimde (örneğin KE, EK, KE) iki kadın yan yana gelmiş olur.
4
Geçerli cinsiyet dizilim sayısı ile grupların kendi aralarındaki sıralama sayısını çarparak toplam oturma düzeni sayısını bulalım.
4×3!=4×6=244 \times 3! = 4 \times 6 = 24
Her geçerli cinsiyet dizilimi için çiftler kendi aralarında 3!3! farklı şekilde sıralanabilir.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve gruplama yöntemi

İpuçları

1
Her çifti tek bir eleman gibi düşünerek önce 3 grubun kendi arasındaki sıralanışını (3!3!) bulun.
2
Her çiftin kendi içindeki dizilimi (KE veya EK) için 8 olası durumdan hangilerinde iki kadının yan yana geldiğini analiz edin.
3
İki kadının yan yana gelmesi sadece bir grubun EK (Erkek-Kadın) ile bitip sonraki grubun KE (Kadın-Erkek) ile başlaması durumunda gerçekleşir. Bu geçişi içermeyen durumları sayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 4 evli çiftin aynı kurallarla yan yana dizilmiş 8 koltuğa kaç farklı şekilde oturabileceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası oturma düzenlerinin sayısından (3!×23=483! \times 2^3 = 48), en az iki kadının yan yana oturduğu istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →

Bir kütüphanede 55 farklı roman ve 44 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bir öğrenci, bu kitaplar arasından en az 22 tanesi roman olmak üzere toplam 33 kitap seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci kitap seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

En az iki romanın bulunduğu durumların toplam sayısı olan 50
En az 2 roman seçilmesi istendiği için iki farklı durum mevcuttur. İlk durum, 5 romandan 2'sinin ve 4 tarih kitabından 1'inin seçilmesidir ki bu (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 farklı yol sunar. İkinci durum ise 5 romandan 3'ünün seçilmesidir ki bu da (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı yol sunar. Bu iki alternatif durumun toplamı 40+10=5040 + 10 = 50 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
En az 2 roman seçilmesi koşuluna uygun olası durumları belirlemek.
Seçim 2 farklı durumda gerçekleşebilir: (2 Roman ve 1 Tarih kitabı) veya (3 Roman).
Toplam 3 kitap seçilecektir ve bu kitaplardan en az 2'sinin roman olması istenmektedir.
2
2 roman ve 1 tarih kitabının seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(52)×(41)=10×4=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 2 roman ve 4 tarih kitabı arasından 1 tarih kitabı seçilir. Bu seçimler bağımsız ve eş zamanlı olduğundan çarpılır.
3
3 romanın seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(53)×(40)=10×1=10\binom{5}{3} \times \binom{4}{0} = 10 \times 1 = 10 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 3 roman seçilir ve hiç tarih kitabı seçilmez.
4
Bulunan durum sayılarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını elde etmek.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı şekilde seçim yapılabilir.
Belirlenen iki durum birbirinin alternatifi (ayrık olaylar) olduğu için durum sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Kuralları

İpuçları

1
En az 2 roman seçimi, ya tam olarak 2 roman ya da 3 roman seçilebileceği anlamına gelir.
2
Her iki durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalı ve bu durumları toplamalısınız.
3
5 romandan 2 ve 4 tarih kitabından 1 seçimi için (52)×(41)\binom{5}{2} \times \binom{4}{1}, 5 romandan 3 seçimi için ise (53)\binom{5}{3} kombinasyonunu kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, en az bir tarih kitabının seçilmesi koşuluyla oluşturulabilecek grupların sayısını hesaplayarak kombinasyon mantığınızı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası 3 kitap seçimlerinden, içinde hiç roman olmayan veya sadece 1 roman olan durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tüm durumlar: (93)=84\binom{9}{3} = 84. Hiç roman olmama durumu (3 tarih kitabı): (43)=4\binom{4}{3} = 4. Sadece 1 roman olma durumu (1 roman, 2 tarih kitabı): (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30. İstenmeyen durumlar toplamı: 4+30=344 + 30 = 34. Sonuç: 84−34=5084 - 34 = 50 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 47Soru →

Bir düzlemde kesişen iki doğrudan birinin üzerinde kesim noktası dahil 55 farklı nokta, diğerinin üzerinde ise kesim noktası dahil 44 farklı nokta işaretleniyor.

Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

En çok 42 farklı üçgen oluşturulabilir.
Kesişim noktası ortak olduğundan toplamda 8 nokta vardır. Tüm 3'lü seçimlerin sayısından (56), aynı doğru üzerindeki doğrusal noktaların 3'lü seçimleri (10 ve 4) çıkarıldığında 42 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını belirleme
Kesişen iki doğru üzerinde toplam 5+4−1=85 + 4 - 1 = 8 farklı nokta bulunur.
Kesişim noktası her iki doğru için de ortak olduğundan iki kez sayılmamalıdır.
2
Doğrusal olmayan noktaların oluşturacağı üçgen sayısı için genel kombinasyon formülünü uygulama
Seçilebilecek tüm 3'lü nokta gruplarının sayısı (83)=56\binom{8}{3} = 56 olarak bulunur.
Herhangi 3 nokta seçilerek bir üçgen oluşturulması hedeflenir.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan doğrusal noktaları çıkarma
İlk doğru üzerindeki 5 noktadan üçgen oluşturmayan durumlar (53)=10\binom{5}{3} = 10, ikinci doğru üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşturmayan durumlar (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür.
Doğrusal noktalar üçgen oluşturamaz.
4
Toplam durumdan doğrusal olan durumları çıkarma
56−10−4=4256 - 10 - 4 = 42
Oluşturulabilecek gerçek üçgen sayısını bulmak için tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında doğrusal noktaların üçgen oluşturamayacağı kuralı ve kesişim noktalarının ortak sayılması.
Soru 48Soru →

Bir spor kulübünde 55 koşucu ve 33 atlayıcı olmak üzere toplam 88 atlet bulunmaktadır. Bu atletler arasından bir yarışma için 44 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Oluşturulacak grupta en az 22 koşucu bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6565

Cevap

Grup 6565 farklı şekilde seçilebilir.
Grupta en az 22 koşucu bulunması koşulu; 22 koşucu ve 22 atlayıcı, 33 koşucu ve 11 atlayıcı ya da 44 koşucu ve 00 atlayıcı seçilmesi durumlarını gerektirir. Bu durumların kombinasyonları sırasıyla 3030, 3030 ve 55 olarak hesaplanır ve toplandığında 6565 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan grupları belirleme
Grupta en az 22 koşucu olması istendiğinden, 44 kişilik grupta 22 koşucu ve 22 atlayıcı, 33 koşucu ve 11 atlayıcı veya 44 koşucu ve 00 atlayıcı bulunabilir.
En az 22 koşucu koşulu, koşucu sayısının 22, 33 veya 44 olabileceği anlamına gelir.
2
Her durum için kombinasyon hesaplama
2 koşucu ve 2 atlayıcı seçimi: C(5,2)×C(3,2)=10×3=30C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30, 3 koşucu ve 1 atlayıcı seçimi: C(5,3)×C(3,1)=10×3=30C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30, 4 koşucu ve 0 atlayıcı seçimi: C(5,4)×C(3,0)=5×1=5C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5
Sıralama önemsiz olup sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.
3
Farklı durumların sonuçlarını toplama
30+30+5=6530 + 30 + 5 = 65 farklı seçim yapılabilir.
Farklı olasılıklar veya durumlar toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında belirli kısıtlar altında seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını uygulama.
Soru 49Soru →
Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için
P(A′)=23P(A') = \frac{2}{3}
P(B′)=25P(B') = \frac{2}{5}
P(A∪B)=45P(A \cup B) = \frac{4}{5}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan P(A∩B)P(A \cap B) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 215\frac{2}{15}

Cevap

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan kesişim olasılı��ı 215\frac{2}{15}'tir.
Doğru cevap olan 215\frac{2}{15} seçeneği, olasılık teorisindeki temel tümleyen kuralı (P(X)=1−P(X′)P(X) = 1 - P(X')) ve iki olayın birleşim olasılığı formülü (P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)) kullanılarak sırasıyla P(A)=13P(A) = \frac{1}{3} ve P(B)=35P(B) = \frac{3}{5} değerlerinin bulunması ve ardından birleşim formülünde yerine yazılarak rasyonel işlemlerin doğru yapılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı 1'dir. Bu kural kullanılarak birinci olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.
P(A)=1−P(A′)=1−23=13P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
P(A)+P(A′)=1P(A) + P(A') = 1 eşitliğinden yararlanarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak.
2
Aynı tümleyen kuralı kullanılarak ikinci olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.
P(B)=1−P(B′)=1−25=35P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
P(B)+P(B′)=1P(B) + P(B') = 1 eşitliğinden yararlanarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak.
3
İki olayın birleşiminin olasılık formülü olan P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) eşitliğinde bilinen değerler yerine yazılır.
45=13+35−P(A∩B)\frac{4}{5} = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)
Aranan kesişim olasılığı terimini denklem içinde yalnız bırakmak.
4
Kesişim olasılığı eşitliğin sol tarafına alınarak rasyonel sayılarda payda eşitleme işlemi yapılır.
P(A∩B)=13+35−45=13−15=515−315=215P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}
Paydaları 15'te eşitleyerek rasyonel çıkarma işlemini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Olasılık kuralları ve tümleyen kavramı

İpuçları

1
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamının 1'e eşit olduğunu göz önünde bulundurun.
2
Verilen tümleyen olasılıklarından yola çıkarak önce P(A)P(A) ve P(B)P(B) değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.
3
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) formülünde bulduğunuz değerleri yerine yazarak kesişim olasılığını çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kuralları içeren ancak bu kez koşullu olasılık veya bağımsızlık durumlarının incelendiği soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 50Soru →

Bir üniversitede dönem başında açılan 99 seçmeli dersten 33'ü aynı gün ve aynı saatte verilmektedir.

Bu dersler arasından haftalık ders programında çakışma olmayacak şekilde 44 ders seçmek isteyen bir öğrenci, bu seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Seçim çakışma olmayacak şekilde 75 farklı şekilde yapılabilir.
Öğrenci, haftalık programda çakışma olmaması için aynı saatte verilen 33 dersten en fazla 11 tanesini seçebilir. Bu durumda iki geçerli senaryo vardır: Çakışan derslerden hiçbirinin seçilmemesi (kalan 66 dersten 44'ü seçilir, (64)=15\binom{6}{4} = 15 durum) veya çakışan derslerden tam 11 tanesinin seçilmesi (çakışan 33 dersten 11'i ve çakışmayan 66 dersten 33'ü seçilir, (31)×(63)=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 60 durum). Bu iki durumun toplamı olan 7575 sonucu doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Çakışan ve çakışmayan ders gruplarını belirleme
Toplam 99 dersin 33 tanesi aynı saatte verilmektedir (çakışan grup). Geriye kalan 9−3=69 - 3 = 6 ders ise çakışmamaktadır (çakışmayan grup).
Derslerin çakışma durumlarına göre gruplandırılması, seçim senaryolarını doğru analiz etmek için gereklidir.
2
Hiçbir çakışan dersin seçilmediği durumu hesaplama
Seçilecek 44 dersin tamamı çakışmayan 66 ders arasından seçilir: (64)=15\binom{6}{4} = 15 durum.
Aynı saatte çakışan derslerden hiçbirinin programa dahil edilmediği geçerli durumu bulmak için.
3
Çakışan derslerden tam olarak 1 tanesinin seçildiği durumu hesaplama
Çakışan 33 dersten 11 tane ve çakışmayan 66 dersten 33 tane seçilir: (31)×(63)=3×20=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60 durum.
Aynı saatte çakışan derslerden en fazla 1 tane seçilebileceği için tam 1 ders seçilen durumu bulmak için.
4
Toplam geçerli durum sayısını bulma
Toplam seçim sayısı = 15+60=7515 + 60 = 75 durumdur.
Tüm olası geçerli senaryoların toplamını alarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Kombinasyon (Grup Seçimi ve Durum Analizi)

İpuçları

1
Aynı saatte verilen 33 dersten aynı anda en fazla kaç tanesini seçebileceğinizi düşünün.
2
Aynı saatte verilen derslerden ya hiç seçmemelisiniz ya da tam olarak 11 tane seçmelisiniz. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz.
3
Hiç çakışan seçilmeyen durum: (64)\binom{6}{4}. Sadece 11 çakışan seçilen durum: (31)×(63)\binom{3}{1} \times \binom{6}{3}. Bu iki değeri toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çalışan ama bu kez en az bir tane çakışan dersin seçilmesinin zorunlu olduğu bir senaryo tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası seçimlerden, istenmeyen (çakışma yaratan) durumları çıkarabilirsiniz. Toplam durum (94)=126\binom{9}{4} = 126'dır. İstenmeyen durumlar, çakışan derslerden 22 tane seçilmesi ((32)×(62)=45\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 45) ve çakışan derslerden 33 tane seçilmesidir ((33)×(61)=6\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 6). Tüm durumlardan bu istenmeyenleri çıkardığımızda: 126−(45+6)=75126 - (45 + 6) = 75 sonucuna ulaşırız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 51Soru →

10 soruluk bir sınavda bir öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmek şartıyla toplam 6 soru cevaplaması gerekmektedir. Buna göre, bu öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95

Cevap

Bu öğrenci cevaplayacağı soruları 95 farklı şekilde seçebilir.
Öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmesi gerektiği için iki farklı senaryo mevcuttur. İlk senaryoda ilk gruptan 3, ikinci gruptan 3 soru seçilir ve bu seçim (43)⋅(63)=4⋅20=80\binom{4}{3} \cdot \binom{6}{3} = 4 \cdot 20 = 80 farklı yolla gerçekleşir. İkinci senaryoda ilk gruptan 4, ikinci gruptan 2 soru seçilir ve bu seçim (44)⋅(62)=1⋅15=15\binom{4}{4} \cdot \binom{6}{2} = 1 \cdot 15 = 15 farklı yolla gerçekleşir. Bu iki bağımsız senaryonun toplamı olan 95 değeri doğru yanıtı verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 4 sorudan tam olarak 3 sorunun seçildiği 1. durumu hesaplamak.
İlk 4 sorudan 3 soru (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan da 3 soru seçilmelidir. Bu seçim ise (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı: 4⋅20=804 \cdot 20 = 80 olur.
Koşuldaki 'en az 3' ifadesi, tam olarak 3 sorunun ilk gruptan seçilme olasılığını içerir.
2
İlk 4 sorunun tamamının (4 sorunun da) seçildiği 2. durumu hesaplamak.
İlk 4 sorunun 4'ü de (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan 2 soru seçilmelidir. Bu seçim ise (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı: 1⋅15=151 \cdot 15 = 15 olur.
'En az 3' koşulu, ilk gruptan 4 sorunun da seçilebileceğini belirtir.
3
Elde edilen bağımsız iki durumun sonuçlarını toplamak.
Toplam farklı seçim sayısı: 80+15=9580 + 15 = 95 bulunur.
Farklı durumlar birbirine alternatif (bağımsız) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında 'en az' koşulu içeren problemlerin alt durumlara ayrılarak çözülmesi ve saymanın toplama/çarpma kurallarının uygulanması.
Soru 52Soru →

Bir kahve dükkanına gelen müşterilerin %60\%60'ı espresso tabanlı kahveleri, geri kalanı ise filtre kahveyi tercih etmektedir. Espresso tabanlı kahve tercih eden müşterilerin %40\%40'ı içeceklerini yulaf sütü ile, filtre kahve tercih edenlerin ise %10\%10'u yulaf sütü ile sipariş etmektedir. Buna göre, bu kahve dükkanından yulaf sütlü bir kahve siparişi verdiği bilinen bir müşterinin, espresso tabanlı bir kahve tercih etmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67\frac{6}{7}

Cevap

Yulaf sütlü kahve sipariş ettiği bilinen bir müşterinin espresso tabanlı kahve tercih etmiş olma olasılığı 67\frac{6}{7}'dir.
Yulaf sütlü kahve sipariş ettiği bilinen müşterilerin sayısı paydada yer almalıdır. Bu sayı, espresso içip yulaf sütlü alanlar (2424 kişi) ile filtre kahve içip yulaf sütlü alanların (44 kişi) toplamı olan 2828 kişidir. İstenen durum ise bu grup içindeki espresso tabanlı kahve sipariş edenlerin sayısı olan 2424 kişidir. Buradan istenen koşullu olasılık 2428=67\frac{24}{28} = \frac{6}{7} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla kahve dükkanına gelen toplam müşteri sayısını 100100 olarak kabul edelim ve kahve türlerine göre dağılımı bulalım.
Espresso tabanlı kahve tercih edenler: 100×060=60100 \times 0{}60 = 60 kişi. Filtre kahve tercih edenler: 100−60=40100 - 60 = 40 kişi olur.
Yüzde hesaplamalarını tam sayılar üzerinden yürüterek hata payını azaltmak için.
2
Her iki gruptan yulaf sütü tercih eden müşterilerin sayılarını ayrı ayrı hesaplayalım.
Espresso grubundan yulaf sütü alanlar: 60×040=2460 \times 0{}40 = 24 kişi. Filtre kahve grubundan yulaf sütü alanlar: 40×010=440 \times 0{}10 = 4 kişi olur.
Koşullu olasılıktaki pay ve payda değerlerini oluşturacak alt küme eleman sayılarını bulmak için.
3
Koşul uyarınca toplam yulaf sütlü kahve sipariş edenlerin sayısını (yeni örnek uzay) paydaya, yulaf sütlü ve espresso tabanlı sipariş edenlerin sayısını paya yazarak oranı bulalım.
Toplam yulaf sütlü sipariş sayısı: 24+4=2824 + 4 = 28 kişi. İstenen olasılık: 2428=67\frac{24}{28} = \frac{6}{7} olarak elde edilir.
Müşterinin yulaf sütlü kahve aldığı bilindiği için örnek uzay bu koşula göre daraltılmıştır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 53Soru →

Bir şirketin toplantı salonundaki yan yana duran 77 koltuğa, 33 yönetici ve 44 uzman oturacaktır.

Yöneticilerin herhangi ikisinin yan yana oturmaması koşuluyla bu 77 kişi koltuklara kaç farklı şekilde oturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14401440

Cevap

Doğru cevap 1440 seçeneğidir.
Doğru yanıt olan 1440 değerine ulaşmak için, yan yana oturmama kısıtlaması olan yöneticiler yerine kısıtlaması olmayan uzmanlar yerleştirilir. 4 uzman 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Bu uzmanların oluşturduğu 5 boşluğa 3 yönetici P(5,3)=60P(5, 3) = 60 farklı şekilde oturabilir. Çarpma kuralı gereği toplam durum sayısı 24×60=144024 \times 60 = 1440 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Öncelikle kısıtlaması olmayan uzmanların koltuklara sıralanma sayısı hesaplanır.
4!=244! = 24 farklı s��ralama elde edilir.
Uzmanlar kendi aralarında serbestçe yer değiştirebilirler.
2
Uzmanların arasında ve uç kısımlarında oluşan boşluklar belirlenir.
44 uzman yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarda toplam 55 boşluk oluşur.
Yöneticilerin yan yana gelmemesi için bu boşluklara oturmaları gerekir.
3
33 yöneticinin bu 55 boşluğa kaç farklı şekilde oturabileceği hesaplanır.
P(5,3)=5×4×3=60P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 farklı yerleşim elde edilir.
Yöneticiler farklı kişiler olduğundan yer seçiminin yanında kendi aralarındaki sıralama da önemlidir.
4
Bulunan bu iki durumun sayısı çarpılarak toplam oturma düzeni sayısı hesaplanır.
24×60=144024 \times 60 = 1440 farklı şekilde oturulabilir.
Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca bağımsız durumların sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı permütasyon problemlerinde boşluk yöntemi kullanılarak yan yana gelmesi istenmeyen elemanların yerleşimi hesaplanır.
Soru 54Soru →

Bir spor salonuna kayıt yaptıran Elif, kendisine bir antrenman programı hazırlayacaktır. Haftanın belirli günlerinde yapabileceği aktiviteler için seçenekler şu şekildedir:

* Hafta içi günlerinden (55 farklı gün) en fazla bir gün kardiyo yapacaktır.
* Hafta sonu günlerinden (22 farklı gün) en fazla bir gün ağırl��k antrenmanı yapacaktır.

Elif, antrenman yapmadığı günlerde dinlenecektir.

Buna göre, Elif bir hafta için kardiyo ve ağırlık antrenman günlerini kaç farklı şekilde planlayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Elif bir hafta için kardiyo ve ağırlık antrenman günlerini 18 farklı şekilde planlayabilir.
Doğru yanıt 18'dir. Hafta içi antrenman gününün belirlenmesi için 5 alternatif gün ve 1 antrenman yapmama seçeneği ile birlikte 6 farklı durum vardır. Hafta sonu antrenman gününün belirlenmesi için ise 2 alternatif gün ve 1 antrenman yapmama seçeneğiyle birlikte 3 farklı durum mevcuttur. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu iki bağımsız seçimin birleşimi 6×3=186 \times 3 = 18 farklı program oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Hafta içi günlerinde yapılabilecek kardiyo antrenmanı için tüm olası seçeneklerin sayısını bulun.
Hafta içi 5 gün bulunmaktadır. Elif bu günlerden en fazla birinde kardiyo yapacaktır. Bu durumda ya 5 günden birini seçer ya da hiç kardiyo yapmaz. Toplam durum sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olur.
En fazla bir gün antrenman yapma koşulu, antrenman yapmama seçeneğini de kapsadığı için toplama kuralı uygulanır.
2
Hafta sonu günlerinde yapılabilecek ağırlık antrenmanı için tüm olası seçeneklerin sayısını bulun.
Hafta sonu 2 gün bulunmaktadır. Elif bu günlerden en fazla birinde ağırlık antrenmanı yapacaktır. Bu durumda ya 2 günden birini seçer ya da hiç ağırlık antrenmanı yapmaz. Toplam durum sayısı 2+1=32 + 1 = 3 olur.
Benzer şekilde, en fazla bir gün ağırlık antrenmanı yapma koşulu antrenman yapmama seçeneğini de içerir.
3
Hafta içi ve hafta sonu planlamalarını birleştirerek toplam program sayısını hesaplayın.
Hafta içi ve hafta sonu yapılan seçimler bağımsız olaylar olduğundan, çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır: 6×3=186 \times 3 = 18 farklı program planlanabilir.
İki farklı bağımsız seçimin birlikte oluşturabileceği tüm durumların sayısını bulmak için çarpma kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 55Soru →

Bir kutuda bulunan özdeş kartların 2 tanesinin üzerinde 44, 3 tanesinin üzerinde 77 ve 2 tanesinin üzerinde 99 rakamı yazılıdır. Bu kartların tamamı yan yana dizilerek 7 basamaklı sayılar oluşturulacaktır.

Buna göre, bu kartlar kullanılarak kaç farklı 7 basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Kartlar kullanılarak 60 farklı çift sayı oluşturulabilir.
Çift sayı oluşturabilmek amacıyla birler basamağına tek seçenek olan 4 rakamlarından biri sabitlenir. Kalan 6 basamağa ise geriye kalan bir adet 4, üç adet 7 ve iki adet 9 rakamları tekrarlı permütasyon formülüyle sıralanır. Bu işlem sonucunda 6! / (3! * 2!) = 60 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının çift olması için birler basamağına yerleştirilmesi gereken rakamı belirleme
Birler basamağına bir adet 44 rakamı yerleştirilir.
Oluşturulacak sayının çift sayı olabilmesi için birler basamağındaki rakamın çift olması gerekir. Kartlar üzerindeki rakamlar (44, 77, 99) arasında tek çift rakam 44'tür.
2
Geriye kalan basamaklar için kullanılabilir durumda olan rakamları tespit etme
Geriye kalan rakamlar: bir adet 44, üç adet 77 ve iki adet 99 (toplam 6 rakam).
Başlangıçta iki adet 44 rakamı vardı. Bunlardan biri birler basamağında sabitlendiği için geriye dizilmesi gereken bir adet 44 rakamı kalmıştır.
3
Kalan 6 rakamın kendi aralarındaki dizilim sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplama
6!1!×3!×2!=7201×6×2=60 \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60
Dizilecek 6 rakam içinde 77 rakamı 3 kez, 99 rakamı ise 2 kez tekrar etmektedir. Bu nedenle toplam permütasyon sayısı, tekrar sayılarına ait fakt��riyellerin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Bir sayının çift olması birler basamağına bağlıdır. Kutudaki kartlardan hangilerinin birler basamağına gelebileceğini belirleyin.
2
Birler basamağına bir adet 4 rakamını koyduktan sonra, kalan 6 basamak için hangi kartların elinizde kaldığını yazın ve bunların kaçar kez tekrar ettiğini bulun.
3
Geriye kalan rakamlar bir tane 4, üç tane 7 ve iki tane 9'dur. Bu 6 rakamın dizilimini tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak 6!1!×3!×2!\frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kalan 6 basamaktaki yerleri seçme (kombinasyon) yöntemiyle de çözebiliriz. 6 basamaktan 3 tanesini 7 rakamları için C(6,3)=20C(6,3) = 20 farklı şekilde, kalan 3 basamaktan 2 tanesini 9 rakamları için C(3,2)=3C(3,2) = 3 farklı şekilde ve son kalan 1 basamağı ise kalan tek 4 rakamı için C(1,1)=1C(1,1) = 1 farklı şekilde seçebiliriz. Çarpım kuralı gereğince 20×3×1=6020 \times 3 \times 1 = 60 farklı dizilim elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →

Bir sanat galerisinde yan yana bulunan 55 boş duvara 33 farklı modern ve 22 farklı klasik tablo asılacaktır. Klasik tabloların yan yana gelmemesi şartıyla, bu tablolar duvarlara kaç farklı şekilde asılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Klasik tabloların yan yana gelmediği durumların sayısı 72'dir.
Klasik tabloların yan yana gelmediği durumların sayısı, tüm dizilimlerin sayısından (120120) klasik tabloların yan yana olduğu dizilimlerin sayısının (4848) çıkarılmasıyla 7272 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası dizilimlerin sayısını hesaplayın.
5 farklı tablonun 5 duvara herhangi bir koşul olmadan asılma sayısı 5!=1205! = 120 olur.
Koşulsuz tüm durumları bulup istenmeyen durumları çıkarmak (tümleyen yöntemi) kolaylık sağlar.
2
Klasik tabloların yan yana olduğu durumların sayısını hesaplayın.
2 klasik tabloyu tek bir paket (1 tablo) gibi düşünelim. Bu durumda 3 modern tablo ve 1 paket olmak üzere toplam 4 nesne vardır. Bu nesneler 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Paket içindeki 2 klasik tablo da kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Dolayısıyla klasik tabloların yan yana olduğu durumların sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
İstenmeyen durum, klasik tabloların yan yana olması durumudur.
3
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarın.
120−48=72120 - 48 = 72 farklı şekilde asılabilir.
Tüm durumlardan klasik tabloların yan yana olduğu durumlar çıkarıldığında yan yana olmadığı durumlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Permütasyon

İpuçları

1
Tüm olası dizilimlerin sayısından, klasik tabloların yan yana geldiği istenmeyen durumları çıkarmayı deneyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 4 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabının yan yana dizileceği ve fizik kitaplarının yan yana gelmeyeceği durum sayısını hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Modern tabloları yerleştirdikten sonra aralarında ve uçlarında oluşan boşluklara klasik tabloları yerleştirme (boşluk yöntemi) metodunu da kullanabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 57Soru →

aa ve bb birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

(a−1)!+(b+1)!=126(a-1)! + (b+1)! = 126

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Farklı pozitif tam sayıların çarpımı 12'dir.
Toplamları 126 olan faktöriyel değerleri sadece 120120 (5!5!) ve 66 (3!3!) olabilir. Bu durumda a−1=5⇒a=6a-1=5 \Rightarrow a=6 ve b+1=3⇒b=2b+1=3 \Rightarrow b=2 olur. Sayılar birbirinden farklı olduğu için bu durum geçerlidir ve çarpımları 12'dir. Diğer durumda ise a=4a=4 ve b=4b=4 çıkmaktadır fakat bu durum sayıların farklı olması koşuluna uymamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamı 126 olan iki faktöriyel ifadesini belirlemek.
(a−1)!+(b+1)!=120+6(a-1)! + (b+1)! = 120 + 6
Faktöriyel değerlerini incelediğimizde (0!=10!=1, 1!=11!=1, 2!=22!=2, 3!=63!=6, 4!=244!=24, 5!=1205!=120), toplamı 126 yapan tek ikilinin 120 ve 6 olduğu görülür.
2
aa ve bb sayıları için olası durumları bulmak.
Birinci durum: a−1=5⇒a=6a-1=5 \Rightarrow a=6 ve b+1=3⇒b=2b+1=3 \Rightarrow b=2. İkinci durum: a−1=3⇒a=4a-1=3 \Rightarrow a=4 ve b+1=5⇒b=4b+1=5 \Rightarrow b=4.
5!=1205! = 120 ve 3!=63! = 6 eşitlikleri kullanılarak değişkenlerin değerleri hesaplanır.
3
Birbirinden farklı olma koşulunu kontrol ederek çarpımı hesaplamak.
a=6a=6 ve b=2b=2 için a⋅b=12a \cdot b = 12 elde edilir.
aa ve bb sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması istendiğinden a=4,b=4a=4, b=4 durumu elenir. Bu durumda tek geçerli çözüm a=6,b=2a=6, b=2 olur.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı ve temel faktöriyel değerlerinin denklemlerde kullanımı

İpuçları

1
Küçük sayıların faktöriyel değerlerini (1!,2!,3!,4!,5!1!, 2!, 3!, 4!, 5!) listeleyip, hangi ikisinin toplamının 126 ettiğini bulun.
2
Toplamları 126 yapan faktöriyeller 5!=1205! = 120 ve 3!=63! = 6 sayılarıdır. Buradan iki farklı durum elde edersiniz.
3
aa ve bb sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğunu unutmayın. Bu bilgi elde ettiğiniz iki durumdan birini elemenizi sağlayacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç terimli faktöriyel toplamları içeren denklemleri ve bu denklemlerdeki kısıtlamaları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 58Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki çift sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

En az iki çift sayı bulunduran alt kümelerin sayısı 53'tür.
Doğru cevaba ulaşmak için kümedeki tek ve çift sayılar ayrılır. 4 tek ve 4 çift sayı vardır. 4 elemanlı alt kümelerde en az iki çift sayı olması istendiğinden, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı bulunabilir. Bu durumlar ayrı ayrı hesaplanır: 2 çift ve 2 tek sayı seçimi (42)×(42)=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 36 farklı şekilde, 3 çift ve 1 tek sayı seçimi (43)×(41)=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 16 farklı şekilde, 4 çift sayı seçimi ise (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde yapılır. Bu üç durum toplanarak 36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet), Çift sayılar: {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} (4 adet)
Kombinasyon hesaplamalarında kullanılacak grupların eleman sayılarını tespit etmek için.
2
En az iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerin durumlarını belirleme
Durum 1: 2 çift ve 2 tek sayı. Durum 2: 3 çift ve 1 tek sayı. Durum 3: 4 çift ve 0 tek sayı.
'En az iki çift' koşulunu sağlayan tüm olası senaryoları ayrık durumlar olarak incelemek için.
3
Her bir durum için kombinasyon hesaplama
Durum 1: (42)×(42)=6×6=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36. Durum 2: (43)×(41)=4×4=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16. Durum 3: (44)×(40)=1×1=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1.
Belirlenen senaryoların her biri için kaç farklı seçim yapılabileceğini bulmak için.
4
Durumların sonuçlarını toplayarak toplam sayıyı bulma
36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53
Ayrık durumların toplamı, koşulu sağlayan tüm alt kümelerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Ayrık Durumların Toplanması

İpuçları

1
Kümedeki elemanları tek ve çift sayılar olarak iki gruba ayırarak işe başlayın.
2
4 elemanlı bir alt kümede 'en az iki çift sayı' bulunması, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı olabileceği anlamına gelir.
3
İkinci bir yol olarak tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısından, hiç çift sayı içermeyen veya sadece 1 çift sayı içeren alt kümelerin sayısını çıkarabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, aynı kümenin en çok iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz. Kümenin tüm 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı (84)=70\binom{8}{4} = 70'tir. İstenmeyen durumlar: 1) Hiç çift sayı olmaması (4 tek sayı): (44)×(40)=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1. 2) Sadece 1 çift sayı olması (1 çift, 3 tek sayı): (41)×(43)=16\binom{4}{1} \times \binom{4}{3} = 16. İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 70−(1+16)=5370 - (1 + 16) = 53 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →

Bir spor kulübündeki sporcuların tamamı yüzme veya tenis branşlarından en az biriyle ilgilenmektedir. Bu kulüpten rastgele seçilen bir sporcunun yüzme branşıyla ilgilenme olasılığı 23\frac{2}{3}, tenis branşıyla ilgilenme olasılığı ise 35\frac{3}{5}'tir. Buna göre, bu kulüpten rastgele seçilen bir sporcunun hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 415\frac{4}{15}

Cevap

Hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığı 415\frac{4}{15}'tir.
Yüzme ve tenis branşlarının her ikisiyle de ilgilenme olasılığı olan 415\frac{4}{15} doğru cevaptır. Sporcuların tamamı en az bir branşla ilgilendiği için birleşim olasılığı 1'dir. Toplamsallık kuralına göre P(Y∪T)=P(Y)+P(T)−P(Y∩T)P(Y \cup T) = P(Y) + P(T) - P(Y \cap T) formülünden kesişim olasılığı 415\frac{4}{15} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzme branşıyla ilgilenme olayını YY, tenis branşıyla ilgilenme olayını TT ile tanımlayal��m.
P(Y)=23P(Y) = \frac{2}{3}, P(T)=35P(T) = \frac{3}{5} ve sporcuların tamamı en az bir branşla ilgilendiği için P(Y∪T)=1P(Y \cup T) = 1 olur.
Verilen sözel ifadeleri matematiksel sembollerle göstermek ve örnek uzayın sınırlarını belirlemek için.
2
İki olayın birleşim olasılığı formülünü yazalım.
P(Y∪T)=P(Y)+P(T)−P(Y∩T)P(Y \cup T) = P(Y) + P(T) - P(Y \cap T)
Hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığını yani kesişim kümesinin olasılığını bulmak amacıyla bu temel kuralı uygularız.
3
Bilinen olasılık değerlerini formülde yerine yazalım ve kesişim olasılığını yalnız bırakalım.
1=23+35−P(Y∩T)⇒P(Y∩T)=23+35−11 = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - P(Y \cap T) \Rightarrow P(Y \cap T) = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - 1
Aranan kesişim olasılığı değerini hesaplamak için gerekli cebirsel düzenlemeyi yapmak amacıyla.
4
Rasyonel sayılarda ortak paydayı 15 yaparak çıkarma işlemini tamamlayalım.
P(Y∩T)=1015+915−1515=415P(Y \cap T) = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} - \frac{15}{15} = \frac{4}{15}
Paydaları eşitleyip işlemi gerçekleştirerek nihai olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Olasılık Birleşim Özelliği ve Kesişim Olasılığı

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek de çözülebilir. Yüzme ve tenis branşları için kesişen iki küme çizilir, birleşimin olasılığı 1'e eşitlenerek kesişim bölgesi bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 60Soru →

Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için, AA olayının gerçekleşip BB olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A∩B′)=13P(A \cap B') = \frac{1}{3}, BB olayının gerçekleşip AA olayının gerçekleşmeme olasılığı P(B∩A′)=14P(B \cap A') = \frac{1}{4} ve bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı P(A∪B)=35P(A \cup B) = \frac{3}{5} olarak verilmektedir.

Buna göre, hem AA hem de BB olayının birlikte gerçekleşme olasılığı olan P(A∩B)P(A \cap B) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160\frac{1}{60}

Cevap

Hem AA hem de BB olayının birlikte gerçekleşme olasılığı 160\frac{1}{60}'tır.
İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların kesişimi ile sadece birinin gerçekleşip diğerinin gerçekleşmediği fark olaylarının olasılıklarının toplamıdır. P(A∪B)=P(A∩B′)+P(B∩A′)+P(A∩B)P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B) formülünde verilen değerleri yerine yazdığımızda 35=13+14+P(A∩B)\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B) denklemi elde edilir. Buradan 13+14=712\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} toplamı bulunup birleşim olasılığı olan 35\frac{3}{5}'ten çıkarıldığında P(A∩B)=160P(A \cap B) = \frac{1}{60} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim formülünü fark ve kesişim kümeleri cinsinden ifade etme
P(A∪B)=P(A∩B′)+P(B∩A′)+P(A∩B)P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)
İki olayın birleşimi; sadece ilk olayın gerçekleştiği, sadece ikinci olayın gerçekleştiği ve her ikisinin de gerçekleştiği ayrık bölgelerin toplamına eşittir.
2
Verilen olasılık değerlerini formülde yerine koyma
35=13+14+P(A∩B)\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)
Soruda verilen P(A∩B′)=13P(A \cap B') = \frac{1}{3}, P(B∩A′)=14P(B \cap A') = \frac{1}{4} ve P(A∪B)=35P(A \cup B) = \frac{3}{5} değerlerini formüle yerleştirmek için.
3
Rasyonel sayıları toplama ve payda eşitleme
13+14=412+312=712\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} ve denklem 35=712+P(A∩B)\frac{3}{5} = \frac{7}{12} + P(A \cap B) halini alır.
Bilinmeyen kesişim olasılığını yalnız bırakmak amacıyla bilinen değerleri toplamak için.
4
P(A∩B)P(A \cap B) değerini bulmak için çıkarma işlemi yapma
P(A∩B)=35−712=3660−3560=160P(A \cap B) = \frac{3}{5} - \frac{7}{12} = \frac{36}{60} - \frac{35}{60} = \frac{1}{60}
Denklemin her iki tarafından 712\frac{7}{12} çıkarıp paydaları 60'ta eşitleyerek kesi��im olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların ayrık alt bölgelerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

İpuçları

1
Birleşim kümesinin, kesişim kümesi ve fark kümelerinin birleşiminden oluştuğunu hatırlayın.
2
Venn şeması çizerek A fark B, B fark A ve A kesişim B bölgelerini yerleştirin. Bu üç bölgenin toplam olasılığı A birleşim B olasılığına eşit olacaktır.
3
3/5 = 1/3 + 1/4 + P(A kesişim B) denklemini kurun ve rasyonel sayılarda paydaları eşitleyerek bilinmeyeni çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda bağımsız olaylar verildiğinde kesişim olasılığının nasıl hesaplanacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması üzerinde tüm olasılıkları ortak bir payda olan 60'a genişleterek düşünebilirsiniz: P(A fark B) = 20/60, P(B fark A) = 15/60 ve P(A birleşim B) = 36/60 olur. Birleşim bölgesi bu üç parçanın toplamı olduğundan, kesişim bölgesi 36/60 - (20/60 + 15/60) = 1/60 olarak kolayca bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3 | Examkin