Mantık Problemleri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 11

Soru 201Soru →

Bir diş kliniğinde muayene olmak için bekleyen Kaan, Leyla, Murat, Nalan ve Ömer isimli beş hastanın muayene sıralarıyla ( $1$ 'den $5$ 'e kadar) ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Murat, Kaan'dan hemen sonraki bir sırada muayene olacaktır.
* Nalan, ��mer'den daha önceki bir sırada muayene olacaktır.
* Leyla, ilk veya son sırada muayene olmamıştır.
* Kaan ile Ömer'in muayene sıraları arasında tam olarak bir kişi vardır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Nalan

1.

sırada muayene olmuştur.

Leyla

2.

sırada muayene olmuştur.

Kaan

3.

sırada muayene olmuştur.

Ömer

5.

sırada muayene olmuştur.

Murat

2.

sırada muayene olmuştur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Nalan $1.$ sırada muayene olmuştur.

Cevap

Nalan

1.

sırada muayene olmuştur.

Oluşturulabilen her iki geçerli sıralama durumunda da (

N, L, K, M, Ö

ve

N, Ö, L, K, M

), Nalan'ın muayene sırası kesinlikle birinci (

1.

) sıradır. Bu nedenle Nalan'ın birinci sırada muayene olduğunu belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen öncülleri simgeleştirerek sıralama şablonu oluşturma.

5

kişilik bir sıra (

1, 2, 3, 4, 5

) belirlenir. Murat Kaan'dan hemen sonra olacağı için

(K, M)

şeklinde bir blok oluşturulur. Nalan Ömer'den önce olacağı için

N < Ö

yazılır. Leyla

1.

ve

5.

sırada olamaz (

L \neq 1

ve

L \neq 5

). Kaan ile Ömer arasında tam olarak bir kişi olmalıdır (

K - Ö

veya

Ö - K

şeklinde).

Problemdeki kısıtları netleştirmek ve olası durumları sistematik olarak analiz etmek.

2

Kaan ile Ömer arasındaki ilişkiyi

(K, M)

bloğuyla birleştirme.

Eğer Kaan Ömer'den önce ise, aralarında tam olarak bir kişi olmalıdır. Bu kişi Murat olmak zorundadır (çünkü Murat, Kaan'dan hemen sonradır). Bu durumda

K, M, Ö

şeklinde

3

'lü bir blok oluşur. Eğer Ömer Kaan'dan önce ise, aralarındaki kişi Leyla veya Nalan olabilir. Bu durumda

Ö - L - K - M

veya

Ö - N - K - M

şeklinde

4

'lü bir blok oluşur.

En kısıtlayıcı öncülleri birleştirerek olası sıralama bloklarını elde etmek.

3

Birinci durum (

K, M, Ö

bloğu) için yerleştirme yapma.

Eğer

K, M, Ö

bloğu

3.

,

4.

ve

5.

sıralarda olursa (

K=3, M=4, Ö=5

), geriye

1.

ve

2.

sıralar kalır. Leyla

1.

sırada olamayacağı için

2.

sırada olmalıdır (

L=2

). Bu durumda Nalan

1.

sıraya kalır (

N=1

). Bu sıralama (

N, L, K, M, Ö

) tüm kurallara uyar. Diğer yerleşim denemelerinde (örneğin bloğun

1, 2, 3

veya

2, 3, 4.

sıralarda olması) Leyla'nın konumu veya

N < Ö

kuralı ihlal edilir.

Birinci olası senaryodaki yerleşimleri belirlemek.

4

İkinci durum (

Ö - X - K - M

bloğu) için yerleştirme yapma.

Eğer

X = L

ise,

Ö, L, K, M

bloğu oluşur. Bu blok

2.

,

3.

,

4.

,

5.

sıralarda yer alırsa (

Ö=2, L=3, K=4, M=5

), Nalan

1.

sırada olur (

N=1

). Bu sıralama da (

N, Ö, L, K, M

) tüm kurallara uyar.

X = N

olması durumunda veya bloğun

1.

,

2.

,

3.

,

4.

sıralara yerleştirilmesinde kurallar ihlal edilir.

İkinci olası senaryodaki yerleşimleri belirlemek.

5

Elde edilen iki geçerli sıralamayı karşılaştırarak kesin doğruları bulma.

Bulunan iki sıralama şöyledir:
1. Sıralama:

N, L, K, M, Ö

2. Sıralama:

N, Ö, L, K, M

Her iki durumda da Nalan kesinlikle

1.

sırada muayene olmaktadır.

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu kesinlik kuralına göre test etmek.

Anahtar Kavram

Koşullu Sıralama ve Olasılık Senaryoları

İpuçları

1

Murat'ın Kaan'dan hemen sonra olması bilgisini

(K, M)

şeklinde tek bir blok olarak düşünün.

2

Kaan ile Ömer arasında tam olarak bir kişi olması kuralını

(K, M)

bloğu ile birleştirin. Kaan Ömer'den önceyse

(K, M, Ö)

şeklinde bir blok oluşur.

3

Oluşan iki farklı ana durumu (Ömer'in Kaan'dan önce veya sonra olması) ve Leyla'nın 1. veya 5. sırada olamayacağı kısıtını kullanarak iki farklı sıralama tablosu oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Benzer sıralama sorularında değişkenlerin konumlarını sabitlemek için en kısıtlayıcı kuraldan (örneğin 'hemen sonra' veya 'ilk/son sırada olamama' kuralları) başlamak çözümü hızlandıracaktır.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri doğrudan öncüllere göre elerken, alternatif sıralamaların varlığını test edebilirsiniz. Örneğin Leyla'nın 3. sırada olduğu bir sıralama şeması oluşturabildiğinizi gördüğünüzde, 'Leyla 2. sırada muayene olmuştur' seçeneğinin kesinlik taşımadığını hızlıca anlayabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 202Soru →

Dört takım��n ( $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ ) katıldığı tek devreli lig usulü (her takımın diğerleriyle birer kez karşılaştığı) bir futbol turnuvasında galibiyete $3$ , beraberliğe $1$ ve mağlubiyete $0$ puan verilmektedir.

Turnuva sonunda takımlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* $A$ takımı turnuvayı namağlup (hiç maç kaybetmeden) tamamlamıştır.
* $B$ takımı turnuvadaki hiçbir maçında berabere kalmamıştır.
* $C$ takımı turnuvada en az bir galibiyet almıştır.
* $D$ takımının turnuva sonundaki toplam puanı, $C$ takımının toplam puanının $2$ katıdır.

Buna göre, $B$ takımının turnuva sonunda topladığı puan kaçtır?

6

4

0

3

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

B takımının turnuva sonunda topladığı puan 0'dır.

D'nin puanı C'nin 2 katı olduğu ve 8 puan alınamadığı için C'nin puanı 3, D'nin puanı 6 olmak zorundadır. Bu durumda C ve D takımlarının hiç beraberliği yoktur. B takımının da beraberliği olmadığı için turnuvadaki toplam beraberlik sayısı çift olmalıdır kuralından A'nın da beraberliği olamaz. Namağlup A takımı 3 galibiyet almıştır. Toplam galibiyet sayısı 6 olması gerektiğinden, B takımına hiç galibiyet kalmaz ve tüm maçlarını kaybeden B takımı 0 puanla turnuvayı tamamlar.

Adım Adım Çözüm

1

Bir takımın 3 maçta alabileceği olası puanları belirlemek

Olası puanlar: 9 (3G), 7 (2G 1B), 6 (2G 1M), 5 (1G 2B), 4 (1G 1B 1M), 3 (1G 2M veya 3B), 2 (2B 1M), 1 (1B 2M) ve 0 (3M).

Takımların alabileceği puan sınırlarını ve kombinasyonlarını görmek için.

2

C ve D takımlarının puanlarını bulmak

C'nin puanı 3, D'nin puanı 6'dır.

D'nin puanı C'nin 2 katı olduğuna göre C en az 3 puan almalıdır (en az 1 galibiyeti var). C = 4 olsaydı D = 8 olurdu ancak 8 puan almak imkansızdır. Dolayısıyla tek seçenek C = 3 ve D = 6'dır.

3

Turnuvadaki beraberlik durumlarını analiz etmek

Turnuvada hiç beraberlik yaşanmamıştır.

D = 6 puan için 2 galibiyet 1 mağlubiyet almalıdır (0 beraberlik). C = 3 puan ve en az 1 galibiyet için 1 galibiyet 2 mağlubiyet almalıdır (0 beraberlik). B'nin de beraberliği yoktur. Toplam beraberlik sayısı çift olmak zorunda olduğundan, A'nın da beraberliği olamaz. Yani tüm maçlar galibiyet/mağlubiyet ile bitmiştir.

4

B takımının galibiyet sayısını ve puanını hesaplamak

B takımı 0 galibiyet almıştır, dolayısıyla puanı 0'dır.

Beraberlik olmadığından toplam galibiyet sayısı toplam maç sayısına (6) eşittir. A namağlup ve beraberliksiz olduğu için 3 galibiyet almıştır. Toplam galibiyet: 3 (A) + 2 (D) + 1 (C) + B = 6 ise B = 0 galibiyet alır. B'nin puanı 0'dır.

Anahtar Kavram

Turnuva lig usulü puanlama ve mantıksal çıkarım

Soru 203Soru →

Bir şirkette çalışan Arda, Beren, Ceyda ve Derin; Ankara, Antalya, İstanbul ve İzmir şehirlerindeki şubelere geçici görevle gönderilmiştir. Bu kişilerin gittikleri şehirler ve seyahat ederken kullandıkları ulaşım araçları (uçak, tren, otobüs, özel araç) ile ilgili bilgiler şu şekildedir:

* Her bir kişi farklı bir şehre farklı bir ulaşım aracıyla gitmiştir.
* Beren, Ankara'ya gitmiştir.
* Ceyda, özel araçla seyahat etmiştir.
* İzmir'e otobüs veya trenle gidilmemiştir.
* Uçakla seyahat eden kişi İstanbul'a gitmiştir.
* Arda, Antalya'ya gitmemiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Arda, trenle seyahat etmiştir.

Beren, otobüsle seyahat etmiştir.

Ceyda, İzmir'e gitmiştir.

Derin, trenle seyahat etmiştir.

Derin, İstanbul'a gitmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ceyda, İzmir'e gitmiştir.

Cevap

Ceyda, İzmir'e gitmiştir.

Ceyda'nın İzmir'e gittiği ifadesi kesinlikle doğrudur. Öncüller analiz edildiğinde, İzmir'e tren veya otobüsle gidilmediği ve uçakla giden kişinin İstanbul'a gittiği bilindiğinden, İzmir için tek ulaşım aracı seçeneği özel araç olarak kalır. Ceyda'nın özel araçla seyahat ettiği belirtildiğinden, Ceyda'nın İzmir'e gittiği kesin bir şekilde çıkarılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kesin bilgileri belirlemek ve listelemek.

Beren'in Ankara'ya gittiği (

Beren \rightarrow Ankara

) ve Ceyda'nın özel araçla seyahat ettiği (

Ceyda \rightarrow Özel\ Araç

) belirlenir.

Çözüme en doğrudan ve kesin bilgilerle başlamak eşleştirmeyi kolaylaştırır.

2

İzmir şubesi için kullanılan ulaşım aracını tespit etmek.

İzmir'e özel araçla gidildiği (

İzmir \rightarrow Özel\ Araç

) ve bu kişinin Ceyda olduğu (

Ceyda \rightarrow İzmir

) bulunur.

Uçakla giden kişinin İstanbul'a gittiği bilindiğinden İzmir'e uçakla gidilemez. Öncüle göre İzmir'e tren veya otobüsle de gidilmediğinden, İzmir için tek seçenek özel araçtır. Ceyda özel araç kullandığına göre İzmir'e giden kişi Ceyda'dır.

3

Arda'nın gittiği ��ehri ve kullandığı aracı tespit etmek.

Arda'nın İstanbul'a uçakla gittiği (

Arda \rightarrow İstanbul \rightarrow Uçak

) bulunur.

Ceyda İzmir'e, Beren de Ankara'ya gittiğinden Arda ve Derin için kalan şehirler İstanbul ve Antalya'dır. Arda Antalya'ya gitmediğine göre İstanbul'a gitmiştir. Uçakla giden kişinin İstanbul'a gittiği bilindiğinden Arda uçakla seyahat etmiştir.

4

Derin'in gittiği şehri belirlemek.

Derin'in Antalya'ya gittiği (

Derin \rightarrow Antalya

) bulunur.

Arda, Beren ve Ceyda'nın gidecekleri şehirler kesinleştiğinden, Derin'e kalan tek şehir Antalya'dır.

5

Kalan ulaşım araçlarını eşleştirip seçenekleri değerlendirmek.

Beren ve Derin'in seyahat ettiği araçların tren ve otobüs olduğu belirlenir. Kesinlikle doğru olan ifadenin Ceyda'nın İzmir'e gittiği olduğu görülür.

Beren ve Derin'in araçları kendi aralarında yer değiştirebildiğinden onlar hakkındaki ifadeler kesinlik taşımaz. Ancak Ceyda'nın İzmir'e gittiği bilgisi kesin bir çıkarımdır.

Anahtar Kavram

Eşleştirme Problemleri

Alternatif Yöntem

Sorunun çözümünü kolaylaştırmak için satırlarında kişilerin, sütunlarında ise şehirlerin ve ulaşım araçlarının yer aldığı bir tablo çizilebilir. Öncüllerden elde edilen kesin bilgiler tabloya yerleştirildikten sonra elenen seçenekler üzerinden doğru eşleştirmelere ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 204Soru →

Koordinat düzleminde köşelerinin koordinatları $A(1, 2)$ , $B(3, 2)$ , $C(3, 4)$ , $D(2, 4)$ , $E(2, 3)$ ve $F(1, 3)$ olan kapalı bir geometrik şekil yer almaktadır.

Bu şekle sırasıyla aşağıdaki dönüşümler uygulanıyor:
1. Adım: Şekil, $x = 2$ doğrusuna göre yansıtılıyor.
2. Adım: Yansıtma sonucu elde edilen şekil, $(2, 2)$ noktası etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$ döndürülüyor.

Buna göre, son durumda elde edilen şeklin köşe noktalarından biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?

(0, 3)

(0, 1)

(2, 1)

(1, 3)

(0, 2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0, 3)$

Cevap

Koordinatı

(0, 3)

olan nokta

Verilen iki adımlı dönüşüm sırasıyla uygulandığında oluşan son köşe koordinatları

(2, 3)

,

(2, 1)

,

(0, 1)

,

(0, 2)

,

(1, 2)

ve

(1, 3)

şeklindedir. Seçenekler incelendiğinde, koordinatı

(0, 3)

olan noktanın bu köşeler arasında yer almadığı görülür. Bu hatalı nokta, birinci adımdaki yansıma dönüşümü yapılmadan doğrudan döndürme işlemi yapıldığında elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal şeklin köşe noktalarını

x = 2

doğrusuna göre yansıtın.

Yansıma sonrası koordinatlar

A'(3, 2)

,

B'(1, 2)

,

C'(1, 4)

,

D'(2, 4)

,

E'(2, 3)

ve

F'(3, 3)

olur.

Dikey

x = a

doğrusuna göre yansıtma kuralı

(x, y) \rightarrow (2a - x, y)

şeklindedir. Burada

a = 2

olduğundan kural

(4 - x, y)

olur.

2

Elde edilen

A', B', C', D', E', F'

noktalarını

(2, 2)

noktası etrafında saat yönünün tersine

90^\circ

döndürün.

Döndürme sonrası yeni köşe noktaları

A''(2, 3)

,

B''(2, 1)

,

C''(0, 1)

,

D''(0, 2)

,

E''(1, 2)

ve

F''(1, 3)

olarak bulunur.

Bir

(x, y)

noktasının

P(x_0, y_0)

etrafında saat yönünün tersine

90^\circ

döndürülmesiyle

(x_0 - (y - y_0), y_0 + (x - x_0))

noktası elde edilir.

P(2, 2)

için bu kural

(4 - y, x)

halini alır.

3

Elde edilen nihai köşe noktaları kümesini seçeneklerle karşılaştırın.

(0, 3)

koordinatının son köşe noktaları arasında yer almadığı görülür.

Seçeneklerdeki diğer tüm koordinatlar (

B

,

C

,

D

,

E

) son köşe kümesinde bulunurken, koordinatı

(0, 3)

olan nokta bu kümenin dışındadır.

Anahtar Kavram

Koordinat düzleminde doğruya göre yansıma ve belirli bir nokta etrafında döndürme işlemleri.

İpuçları

1

Şeklin her bir köşe noktasını tek tek ele alıp sırasıyla dönüşümleri uygulayın. İlk olarak

x = 2

dikey doğrusuna göre mesafeleri koruyarak yansıtma yapın.

2

Bir

(x, y)

noktasını

(2, 2)

noktası etrafında saat yönünün tersine

90^\circ

döndürmek için, noktayı önce

(2, 2)

orijin olacak şekilde öteleyin,

(-y_{yeni}, x_{yeni})

dönüşümünü uygulayıp tekrar geri öteleyin. Bu size

(4-y, x)

koordinatını verir.

3

Örneğin

C(3, 4)

noktası

x=2

doğrusuna göre yansıtıldığında

C'(1, 4)

olur. Bu noktayı

(2, 2)

etrafında saat yönünün tersine

90^\circ

döndürdüğünüzde koordinatları

(4-4, 1) = (0, 1)

olur. Bu şekilde tüm köşeleri deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda şeklin yansıma doğrusunu

y = x

olarak belirleyip döndürme açısını saat yönünde

180^\circ

yaparak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Matematiksel formüller yerine bir milimetrik kağıt veya koordinat düzlemi çizerek L şeklindeki cismi görsel olarak yansıtabilir ve ardından

(2, 2)

merkezine bir pergel yerleştirip saat yönünün tersine çeyrek tur döndürerek yeni konumunu doğrudan çizebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 205Soru →

Alp, Burak, Cemre ve Deniz adlı dört şef; fıstık, ceviz, fındık ve badem malzemelerini kullanarak baklava, künefe, kadayıf ve güllaç tatlılarını hazırlamışlardır. Her bir şef farklı bir tatlı hazırlamış ve her tatlıda farklı bir malzeme kullanılmıştır. Şeflerin hazırladıkları tatlılar ve kullandıkları malzemelere ilişkin bilgiler şu şekildedir:

* Cemre'nin hazırladığı tatlıda fındık kullanılmıştır.
* Baklava ve künefe tatlılarında fındık veya ceviz kullanılmamıştır.
* Alp, baklava hazırlamamıştır.
* Deniz, fıstık kullanılan bir tatlı hazırlamıştır.
* Burak, güllaç hazırlamıştır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Burak'ın hazırladığı güllaçta fındık kullanılmıştır.

Cemre, ceviz kullanarak kadayıf hazırlamıştır.

Alp, badem kullanarak künefe hazırlamıştır.

Deniz, badem kullanarak baklava hazırlamıştır.

Alp, fıstık kullanarak künefe hazırlamıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Alp, badem kullanarak künefe hazırlamıştır.

Cevap

Alp, badem kullanarak künefe hazırlamıştır.

Eşleştirme tablosu oluşturulduğunda şeflerin hazırladığı tatlılar ve kullandıkları malzemeler şu şekildedir: Alp künefe (badem), Burak güllaç (ceviz), Cemre kadayıf (fındık), Deniz baklava (fıstık). Bu durumda Alp'in badem kullanarak künefe hazırladığı ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Malzeme ve tatlı eşleştirmesini başlatmak üzere kısıtlamaları gruplandırın.

Baklava ve künefe tatlılarında fındık veya ceviz kullanılmadığına göre, bu iki tatlıda fıstık veya badem kullanılmalıdır. Dolayısıyla kadayıf ve güllaç tatlılarında fındık veya ceviz kullanılmalıdır.

Soruda verilen olumsuz kısıtlamalar, malzemelerin tatlılara dağılımını ikişerli gruplara ayırmamızı sağlar.

2

Cemre ve Burak'ın hazırladığı tatlılar ile malzemeleri eşleştirin.

Cemre'nin tatlısında fındık kullanılmıştır (kadayıf veya güllaç). Burak ise güllaç hazırlamıştır. Güllaç ve kadayıf tatlılarında fındık ve ceviz kullanıldığına ve Cemre fındık kullandığına göre, Burak'ın hazırladığı güllaçta ceviz kullanılmıştır. Böylece Cemre'nin fındıklı kadayıfı hazırladığı kesinleşir.

Kişilerin hazırladığı tatlılar ve malzemeler arasındaki çelişkileri çözerek kesin eşleştirmelere ulaşmak gerekir.

3

Geriye kalan şeflerin (Alp ve Deniz) tatlı ve malzemelerini belirleyin.

Geriye kalan tatlılar baklava ve künefe; malzemeler ise fıstık ve bademdir. Deniz fıstıklı bir tatlı hazırladığına göre, Alp bademli bir tatlı hazırlamıştır. Alp baklava hazırlamadığına göre bademli künefeyi hazırlamıştır. Deniz ise fıstıklı baklavayı hazırlamıştır.

Tüm değişkenler yerleştirildiğinde boşta kalan şef, tatlı ve malzeme eşleşmesi tek bir olasılığa düşer.

Anahtar Kavram

Öncüllerden yola çıkarak çoklu kategorileri (şef, tatlı, malzeme) birbiriyle çelişmeyecek şekilde eşleştirme mantığı.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 206Soru →

Bir havaalanına iniş yapacak olan Albatros, Doğan, Fırtına, Kartal, Şahin ve Şimşek adlı altı uçağın iniş sıralarıyla ( $1$ 'den $6$ 'ya kadar) ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Şahin, Albatros'tan hemen sonra iniş yapmıştır.
* Doğan ve Kartal'ın iniş sıraları arasında tam iki uçak iniş yapmıştır.
* Fırtına, Şimşek'ten daha önce iniş yapmıştır.
* Eğer Doğan $1$ . sırada iniş yapmışsa, Fırtına $2$ . sırada iniş yapmıştır.

Buna göre, Albatros'un $3$ . sırada iniş yaptığı biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Doğan,

2

. sırada iniş yapmıştır.

F��rtına,

1

. sırada iniş yapmıştır.

Şimşek,

5

. sırada iniş yapmıştır.

Kartal,

2

. sırada iniş yapmıştır.

Şahin,

5

. sırada iniş yapmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: F��rtına, $1$ . sırada iniş yapmıştır.

Cevap

Fırtına,

1

. sırada iniş yapmıştır.

Albatros'un

3

. sırada olduğu durumda Şahin

4

. sıradadır. Doğan ve Kartal aralarında iki uçak olacak şekilde yalnızca

2

. ve

5

. sıralara yerleşebilir. Bu durumda geriye kalan

1

. ve

6

. sıralara Fırtına ve Şimşek yerleşir. Fırtına, Şimşek'ten önce iniş yaptığı için Fırtına'nın

1

. sırada iniş yaptığı kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Albatros'un

3

. sırada iniş yaptığı bilgisinden yola çıkarak Şahin'in sırasını belirlemek.

Şahin, Albatros'tan hemen sonra iniş yaptığı için Şahin

4

. sırada iniş yapmıştır.

Ardışıklık belirten kural gereğince elemanların konumları birbirine bağlıdır.

2

Doğan ve Kartal'ın yerleşebilece��i olası sıraları incelemek.

Geriye kalan boş sıralar

1.

,

2.

,

5.

ve

6.

'dır. Doğan ve Kartal'ın arasında tam iki uçak olması gerektiğinden, bu uçaklar ancak

2

. ve

5

. sıralara yerleşebilir (aralarındaki

3

. ve

4

. sıralar Albatros ve Şahin ile doludur).

Aralarında iki uçak bulunma kısıtını sağlayan tek alternatif

2.

ve

5.

sıralardır.

3

Kalan boşluklara Fırtına ve Şimşek'i yerleştirerek sıralamayı tamamlamak.

Geriye kalan

1

. ve

6

. sıralara Fırtına ve Şimşek yerleşmelidir. Fırtına, Şimşek'ten daha önce iniş yaptığı için Fırtına kesinlikle

1

. sırada, Şimşek ise

6

. sırada iniş yapmıştır.

Fırtına'nın Şimşek'ten önce iniş yaptığı kısıtından dolayı küçük olan sıra numarası Fırtına'ya aittir.

Anahtar Kavram

Sıralama problemlerinde kesin bilgileri yerleştirdikten sonra, kalan elemanların kısıtları sağlayan olası konumlarını belirleyerek kesin olan ve olası olan durumları ayırt etme.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 207Soru →

Ahmet, Burak, Cem, Deniz ve Elif isimli $5$ oyuncunun katıldığı bir masa tenisi turnuvasında, her oyuncu diğer her bir oyuncuyla tam birer kez maç yapmıştır. Turnuvadaki maçlarda beraberlik olmamakta; her maçın mutlaka bir kazananı ve bir kaybedeni olmaktadır.

Turnuvanın puanlama ve bonus sistemi şu şekildedir:
- Kazanılan her maç için oyuncuya $3$ puan verilir, mağlubiyet durumunda ise puan verilmez veya düşülmez ( $0$ puan).
- Turnuvada arka arkaya (üst üste) yapılan maçlardan tam $2$ galibiyet alan oyuncuya fazladan $1$ bonus puan verilir.
- Arka arkaya yapılan maçlardan $3$ veya daha fazla galibiyet alan oyuncuya ise fazladan $2$ bonus puan verilir.
(Bir oyuncunun aldığı bonus puan, o oyuncunun elde ettiği en uzun galibiyet serisine göre belirlenir.)

Turnuvadaki $10$ maç sırasıyla şu şekilde oynanmıştır:

Maç Sırası	Karşılaşan Oyuncular
1. Maç	Ahmet - Deniz
2. Maç	Burak - Cem
3. Maç	Ahmet - Elif
4. Maç	Cem - Deniz
5. Maç	Burak - Elif
6. Maç	Ahmet - Cem
7. Maç	Burak - Deniz
8. Maç	Cem - Elif
9. Maç	Ahmet - Burak
10. Maç	Deniz - Elif

Turnuva sonunda oyuncuların topladıkları toplam puanlar (normal galibiyet puanları ile bonus puanlarının toplamı) şu şekildedir:

Oyuncu	Toplam Puan
Ahmet	$11$
Burak	$7$
Cem	$6$
Deniz	$3$

Buna göre, Elif turnuva sonunda toplam kaç puan kazanmıştır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Elif'in turnuva sonunda kazandığı toplam puan 6'dır.

Elif'in turnuvada oynadığı maçların kronolojik sırası ve sonuçları incelendiğinde, toplam

2

galibiyet aldığı ve bu galibiyetlerin arasında en az bir mağlubiyet bulunduğu için ardışık galibiyet serisi yakalayamadığı görülmektedir. Bu nedenle bonus puan kazanamamış ve sadece galibiyetlerinden

6

puan elde etmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Oyuncuların puanlarına göre galibiyet sayılarını ve serilerini belirlemek.

Deniz

3

puan aldığından

1

galibiyet; Cem

6

puan aldığından ardışık olmayan

2

galibiyet; Burak

7

puan aldığından ardışık

2

galibiyet; Ahmet

11

puan aldığından ardışık

3

galibiyet almıştır.

Her galibiyet

3

puan getirdiğinden ve bonuslar sadece ardışık galibiyetlerde eklendiğinden bu puan dağılımları tek bir galibiyet sayısına karşılık gelir.

2

Elif'in galibiyet sayısını hesaplamak.

Turnuvada toplam

10

maç yapılmış olup her maçın

1

kazananı olduğundan toplam galibiyet sayısı

10

'dur. Ahmet (

3

), Burak (

2

), Cem (

2

) ve Deniz (

1

) galibiyetlerinin toplamı

8

olduğundan, Elif'in galibiyet sayısı

10 - 8 = 2

olarak bulunur.

Turnuvadaki toplam galibiyet sayısı, yapılan toplam maç sayısına eşit olmak zorundadır.

3

Maç sıralamasını takip ederek maçların kazananlarını adım adım analiz etmek.

Ahmet oynadığı ilk

3

maçı kazanmış (1, 3 ve 6. maçlar) ve son maçını (9. maç) kaybetmiştir. Ahmet'in 9. maçta yenilmesiyle Burak bu maçı kazanmıştır. Deniz ise tek galibiyetini 4. maçta Cem'e karşı almıştır. Buradan yola çıkılarak tüm maçlar analiz edildiğinde Elif'in galibiyet aldığı maçlar 5. maç (Burak'a karşı) ve 10. maç (Deniz'e karşı) olarak kesinleşir.

Ahmet'in

11

puan alması için ardışık

3

galibiyet alması gerektiğinden oynadığı ilk

3

maçı kazanmış olmalıdır. Bu kesin veri diğer maç sonuçlarının tek bir olasılıkla çözülmesini sağlar.

4

Elif'in puanını hesaplamak.

Elif'in galibiyet aldığı maçlar 5. ve 10. maçlardır. Elif bu maçlar arasında 8. maçı (Cem'e karşı) kaybettiği için galibiyetleri ardışık değildir. Bu nedenle bonus puan alamaz ve toplam puanı

2 \times 3 = 6

olur.

Elif'in galibiyet serisi kesintiye uğradığından bonus puan alamaz, sadece normal galibiyet puanı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Turnuva fikstürü ve koşullu puanlama sistemlerinde geriye dönük mantıksal çıkarım yapma

Soru 208Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $\triangle$ işlemi, her $n$ pozitif tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

\triangle(n) = \begin{cases} 2n + 1, & n \text{ tek ise} \\ \frac{n}{2} + 3, & n \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, $\triangle(5) + \triangle(8)$ işleminin sonucu kaçtır?

15

18

19

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18

Soruda verilen işlemde 5 tek sayı olduğundan ilk formül uygulanarak 11 sayısı elde edilir. 8 çift sayı olduğundan ikinci formül uygulanarak 7 sayısı elde edilir. Bu iki sonucun toplamı 18 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

5 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili formülü uygulayalım.

5 sayısı tek sayı olduğundan, \triangle(n) = 2n + 1 formülü kullanılır: \triangle(5) = 2 \times 5 + 1 = 11 elde edilir.

Tanımlanan işlemde tek sayılar için ilk koşul geçerlidir.

2

8 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili formülü uygulayalım.

8 sayısı çift sayı olduğundan, \triangle(n) = \frac{n}{2} + 3 formülü kullanılır: \triangle(8) = \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 elde edilir.

Tanımlanan işlemde çift sayılar için ikinci koşul geçerlidir.

3

Elde edilen sonuçları toplayalım.

\triangle(5) + \triangle(8) = 11 + 7 = 18 bulunur.

Soruda bizden bu iki işlemin sonuçlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Koşula bağlı olarak tanımlanmış özel matematiksel operatörleri sırasıyla ve doğru kuralları takip ederek uygulama.

İpuçları

1

İşlemdeki sayıların (5 ve 8) tek mi yoksa çift mi olduğuna dikkat ederek hangisi için hangi kuralın geçerli olduğunu belirleyin.

2

5 tek sayı olduğu için üstteki formülü, 8 çift sayı olduğu için alttaki formülü kullanarak ayrı ayrı sonuçları hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, üç farklı koşula bağlı olarak tanımlanan tek/çift/asal sayı durumlarını içeren özel tanımlı işlem sorularını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 209Soru →

Bir kenarı $4$ birim olan kare şeklindeki şeffaf bir asetat kâğıdı, yatay ve dikey çizgilerle $4 \times 4$ boyutlarında $16$ eş kareye bölünmüştür. Bu karelerden bazıları siyaha boyanmıştır. Boyalı karelerin satır ve sütun numaralarına göre konumları şu şekildedir:
* $1.$ satır, $2.$ sütun
* $2.$ satır, $4.$ sütun
* $3.$ satır, $1.$ sütun
* $4.$ satır, $3.$ sütun

(Sol üst köşedeki kare $1.$ satır, $1.$ sütun; sağ alt köşedeki kare ise $4.$ satır, $4.$ sütun olarak tanımlanmıştır.)

Bu kâğıt önce dikey simetri ekseni boyunca soldan sağa doğru ikiye katlanıyor. Ardından elde edilen dikdörtgen şekil, yatay simetri ekseni boyunca yukarıdan aşağıya doğru ikiye katlanıyor.

Kâğıt şeffaf olduğundan, üst üste gelen boyalı kareler tek bir boyalı kare gibi görünmektedir.

Buna göre, son durumda elde edilen $2 \times 2$ boyutundaki katlanmış kâğıtta boyalı olmayan (şeffaf kalan) kare sayısı kaçtır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru katlama işlemleri gerçekleştirildiğinde son durumda elde edilen ikiye iki boyutundaki katlanmış kâğıtta boyalı olmayan kare sayısı iki olur.

Katlama işlemleri adım adım uygulandığında, ilk adımda dikey simetriyle (1, 2) -> (1, 3) ve (3, 1) -> (3, 4) dönüşümleri gerçekleşir. İkinci adımda yatay simetriyle (1, 3) -> (4, 3) ve (2, 4) -> (3, 4) üst üste gelmeleri oluşur. Sonuç olarak elde edilen 2x2'lik karede boyalı olan 2 hücre üst üste çakışmalardan dolayı 2 adet görünür, geriye kalan 2 hücre ise şeffaf kalır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk katlama işlemini (soldan sağa) uygulamak.

Boyalı hücreler dikey simetri eksenine göre yansıtılır. Soldaki (1. ve 2. sütundaki) boyalı hücreler sağdaki (3. ve 4. sütundaki) hücrelerin üzerine gelir. (1, 2) hücresi dikey simetri eksenine göre katlandığında (1, 3) konumuna; (3, 1) hücresi ise (3, 4) konumuna gelir. Sağdaki hücreler ise yerinde kalır. Sonuçta oluşan 4x2'lik gridde boyalı hücreler (1, 3), (2, 4), (3, 4) ve (4, 3) olur.

Dikey simetri ekseni boyunca katlama, sütun indislerinin orta çizgiye göre simetriğinin (c -> 5-c) alınmasını gerektirir.

2

İkinci katlama işlemini (yukarıdan aşağıya) uygulamak.

Oluşan 4x2'lik şekil yatay simetri ekseni boyunca katlanır. Üstteki (1. ve 2. satırdaki) hücreler alttaki (3. ve 4. satırdaki) hücrelerin üzerine gelir. (1, 3) hücresi katlandığında (4, 3) konumuna gelir. Bu konumda zaten bir boyalı hücre olduğu için iki boyalı bölge üst üste gelir. (2, 4) hücresi katlandığında (3, 4) konumuna gelir. Bu konumda da zaten bir boyalı hücre olduğu için bunlar da üst üste gelir.

Yatay simetri ekseni boyunca katlama, satır indislerinin orta çizgiye göre simetriğinin (r -> 5-r) alınmasını gerektirir.

3

Son durumda boyalı ve şeffaf kareleri saymak.

Elde edilen 2x2'lik gridde (satırlar 3-4, sütunlar 3-4); (3, 4) ve (4, 3) kareleri boyalıdır. (3, 3) ve (4, 4) kareleri ise boyasız (şeffaf) kalmıştır. Toplamda 2 adet kare şeffaftır.

Soruda bizden son durumdaki boyalı olmayan (şeffaf kalan) kare sayısı istendiği için boş kalan hücreler sayılır.

Anahtar Kavram

Görsel Zeka ve Uzamsal Mantık

Soru 210Soru →

Bir masa tenisi turnuvasında Arda, Berk ve Ceyda isimli ü�� oyuncu maç yapmaktadır. Her bir maçta iki oyuncu karşılaşmakta, üçüncü oyuncu ise sırasını beklemektedir. Bir maçı kazanan oyuncu masada kalarak bir sonraki maçta bekleyen oyuncuyla oynamakta, kaybeden oyuncu ise sıradaki bekleyen oyuncu olmaktadır. Beraberlik olmayan bu turnuvada günün sonunda Arda'nın $10$ , Berk'in $8$ ve Ceyda'nın $12$ maç yaptığı bilinmektedir. Buna göre, Arda ile Ceyda kendi aralarında toplam kaç maç yapmıştır?

3

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7$

Cevap

Arda ile Ceyda kendi aralarında 7 maç yapmıştır.

Arda, Berk ve Ceyda'nın yaptıkları maç sayıları sırasıyla

10

,

8

ve

12

'dir. Her maç iki kişi arasında oynandığı için, oyuncuların ikili eşleşmelerde yaptıkları maç sayılarına sırasıyla

x

(Arda-Berk),

y

(Berk-Ceyda) ve

z

(Arda-Ceyda) dersek; Arda'nın maç sayısı

x + z = 10

, Berk'in maç sayısı

x + y = 8

ve Ceyda'nın maç sayısı

y + z = 12

olur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

z = 7

olarak bulunur. Bu nedenle doğru cevap

7

sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Oyuncuların ikili maç sayılarını değişkenlerle ifade edin.

Arda ve Berk arasındaki maç sayısı

x

, Berk ve Ceyda arasındaki maç sayısı

y

, Arda ve Ceyda arasındaki maç sayısı

z

olsun.

Her maçta iki oyuncu yer aldığı için her bir oyuncunun toplam maç sayısı, oynadığı diğer iki oyuncuyla yaptığı maçların toplamına eşittir.

2

Verilen maç sayılarına göre denklem sistemini kurun.

Arda'nın toplam maçı:

x + z = 10

, Berk'in toplam maçı:

x + y = 8

, Ceyda'nın toplam maçı:

y + z = 12

.

Soruda verilen bireysel toplam maç sayılarını ikili eşleşmeler cinsinden ifade etmek için.

3

Denklem sistemini çözerek istenen

z

değerini bulun.

Denklemleri taraf tarafa toplarsak:

2(x+y+z) = 10 + 8 + 12 = 30 \implies x+y+z = 15

elde edilir.

x+y=8

olduğunu biliyoruz. Bu değeri toplamda yerine yazarsak:

8 + z = 15 \implies z = 7

bulunur.

Arda ile Ceyda arasındaki maç sayısını (

z

) bulmak için.

Anahtar Kavram

İkili eşleşme mantığı ve doğrusal denklem sistemlerinin kurulması

Soru 211Soru →

Efe, Figen, Gamze ve Hakan adlı dört arkadaş; gitar, resim, seramik ve tiyatro kurslarına gitmektedir. Bu kursların yapıldığı günler Pazartesi, Çarşamba, Cuma ve Cumartesi'dir. Her bir kişi farklı bir kursa ve farklı bir günde gitmektedir.

Bu kişilerin gittikleri kurslar ve günlere ilişkin bazı bilgiler şu şekildedir:
* Efe, kursa Çarşamba günü gitmektedir.
* Resim kursuna giden kişi Hakan değildir ve bu kursun günü Cumartesi'dir.
* Gamze, Tiyatro kursuna gitmektedir ve kurs günü Pazartesi değildir.
* Gitar kursunun günü Pazartesi'dir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Gitar kursuna giden kişi Figen'dir.

Hakan, kursa Cuma günü gitmektedir.

Seramik kursuna giden kişi Efe'dir.

Figen, seramik kursuna gitmektedir.

Efe, gitar kursuna gitmektedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Seramik kursuna giden kişi Efe'dir.

Cevap

Seramik kursuna giden kişi Efe'dir.

Tüm öncüller yerleştirildiğinde Gamze'nin Cuma günü Tiyatro'ya, Figen'in Cumartesi günü Resim'ye, Hakan'ın Pazartesi günü Gitar'a ve Efe'nin Çarşamba günü Seramik kursuna gittiği bulunur. Dolayısıyla, seramik kursuna giden kişinin Efe olduğu ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Gamze'nin kurs gününü belirlemek için kısıtlamaları incelemek.

Gamze, Tiyatro kursuna Cuma günü gitmektedir.

Gamze Tiyatro kursuna gittiği için Cumartesi günü olan Resim kursuna gidemez. Pazartesi günü de gitmediği ve Çarşamba günü Efe'ye ait olduğu için geriye sadece Cuma günü kalır.

2

Resim kursuna giden kişiyi belirlemek.

Resim kursuna Cumartesi günü giden kişi Figen'dir.

Resim kursunun günü Cumartesi'dir ve bu kişilerden biri Hakan değildir. Efe Çarşamba, Gamze ise Cuma günü gittiği için Cumartesi günü Resim kursuna gidebilecek tek kişi Figen kalır.

3

Hakan ve Efe'nin günlerini ve kurslarını eşleştirmek.

Hakan Pazartesi günü Gitar kursuna, Efe ise Çarşamba günü Seramik kursuna gitmektedir.

Geriye kalan günler Pazartesi ve Çarşamba'dır. Efe Çarşamba günü gittiğine göre, Hakan Pazartesi günü gitmelidir. Gitar kursunun günü Pazartesi olduğu için Hakan Gitar'a gider. Kalan son kurs olan Seramik ise Efe'ye kalır.

Anahtar Kavram

Eşleştirme problemlerinde kısıtlamaları kullanarak tablo yardımıyla kesin çıkarımlar yapma.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 212Soru →

Kaan, Leyla, Mert ve Selin isimli dört oyuncunun katıldığı bir kelime türetme oyununda toplam $10$ tur oynanmış ve her turda yalnızca bir oyuncu kelime türetmiştir. Oyunun kuralları ve puanlama sistemi şu şekildedir:
- Kelime türeten oyuncu ba��arılı olursa (kurallara uygun kelime türetirse) kendisi $5$ puan kazanır, diğer üç oyuncunun her birinden ise $1$ 'er puan eksilir.
- Kelime türeten oyuncu başarısız olursa (kurallara uygun olmayan kelime türetirse) kendisinden $3$ puan eksilir, diğer üç oyuncunun her birine ise $2$ 'şer puan eklenir.

Oyun sonunda oyuncuların puanlarının başlangıçtaki puanlarına göre değişimiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Mert ve Leyla, oyun boyunca kurallara uygun hiçbir kelime türetememiştir.
- Mert, oyun boyunca kurallara uygun olmayan hiçbir kelime de türetmemiştir.
- Kaan'ın puanı başlangıca göre $14$ artmıştır.
- Leyla'nın puanı başlangıca göre $8$ azalmıştır.

Buna göre, Selin'in oyun sonundaki puanının başlangıçtaki puanına göre değişimi aşağıdakilerden hangisidir?

12 artmıştır

14 artmıştır

16 artmıştır

18 artmıştır

20 artmıştır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16 artmıştır

Cevap

Selin'in puanı başlangıçtaki puanına göre 16 artmıştır.

Kurallar analiz edilip denklemler kurulduğunda, toplam başarılı tur sayısı

6

, toplam başarısız tur sayısı ise

4

olarak belirlenir. Bu değerler altında Selin'in

4

başarılı ve

2

başarısız tur gerçekleştirdiği ve puanının net olarak 16 puan arttığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Oyunun puanlama kurallarını matematiksel denkleme dönüştürme

Oyuncu

i

için başarılı tur sayısı

x_i

, başarısız tur sayısı

y_i

olsun. Toplam başarılı tur sayısı

X

ve başarısız tur sayısı

Y

olmak üzere

X+Y=10

olur. Oyuncu

i

'nin net puan değişimi:

\Delta P_i = 6x_i - 5y_i + 20 - 3X

olarak formüle edilir.

Her turdaki puan değişimlerinin oyuncuların kendi turlarından ve diğer oyuncuların turlarından aldıkları/kaybettikleri puanların toplam etkisini tek bir formülde birleştirmek için.

2

Verilen oyuncu bilgilerini formüle uygulayarak olası durumları belirleme

Mert için

x_M = 0

ve

y_M = 0

, Leyla için

x_L = 0

ve

\Delta P_L = -8

yazılır. Buradan

-8 = -5y_L + 20 - 3X \implies 5y_L + 3X = 28

elde edilir. Bu denklemi sağlayan tamsayı çiftleri

(y_L, X)

için iki olası durum vardır: ya

y_L=2, X=6

ya da

y_L=5, X=1

.

Mert ve Leyla'nın net tur sayıları üzerinden toplam başarılı tur sayısı

X

için olası aday değerleri bulmak için.

3

Kaan'ın puan değişimi bilgisiyle çelişki analizi yaparak tek bir durumu kesinleştirme

Kaan için

6x_K - 5y_K = 3X - 6

denkleminde

X=1

yazılırsa

6x_K - 5y_K = -3 \implies 5y_K = 6x_K + 3

olur.

y_K \leq 4

sınırına göre tek çözüm

y_K=3, x_K=2

'dir. Ancak

x_K=2

olması, toplam başarılı tur sayısı

X=1

kabulüyle çelişir. Dolayısıyla

X=6

ve

y_L=2

olmalıdır.

Toplam başarılı tur sayısının 1 mi yoksa 6 mı olduğunu kesin olarak belirlemek için.

4

Selin'in başarılı ve başarısız tur sayılarını bularak puan değişimini hesaplama

X=6 \implies Y=4

olur. Kaan için denklemden

5y_K = 6x_K - 12

elde edilir ve

y_K \leq 2

olduğundan tek çözüm

y_K=0, x_K=2

'dir. Buradan Selin için

x_S = 6 - (2+0+0) = 4

ve

y_S = 4 - (0+2+0) = 2

bulunur. Selin'in puan değişimi:

\Delta P_S = 6(4) - 5(2) + 20 - 3(6) = 16

artış olarak hesaplanır.

Selin'in gerçekleştirdiği tur sayılarını doğrudan belirleyip net puan değişimini bulmak için.

Anahtar Kavram

Turnuva ve oyun kurallarının denkleştirilmesi ve tam sayı kısıtları altında doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesi

Soru 213Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde $\otimes$ ve $\oplus$ işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

a \otimes b = a^2 - b

a \oplus b = 2a + b

Buna göre,

(x \otimes 3) \oplus 5 = 17

eşitliğini sağlayan

x

pozitif tam sayısı kaçtır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliği sağlayan

x

pozitif tam sayısı 3'tür.

Verilen işlemlere göre

(x \otimes 3) \oplus 5 = 17

ifadesinde önce dıştaki işlem çözülür. Geçici olarak

u = x \otimes 3

dersek,

2u + 5 = 17 \implies u = 6

olur. Buradan

x \otimes 3 = 6

denklemi elde edilir. İlk işlemin tanımına göre

x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9

olur.

x

pozitif tam sayı olduğu için

x = 3

bulunur. Bu nedenle 3 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez içindeki

x \otimes 3

ifadesine geçici bir değişken atayalım.

u = x \otimes 3

olsun. Bu durumda denklem

u \oplus 5 = 17

şekline dönüşür.

İki aşamalı işlemi daha kolay çözebilmek ve işlem sırasını doğru takip edebilmek için dıştaki işlemden başlanır.

2

u \oplus 5 = 17

denklemini

\oplus

işleminin tanımını kullanarak çözelim.

2u + 5 = 17 \implies 2u = 12 \implies u = 6

bulunur.

a \oplus b = 2a + b

tanımında

a

yerine

u

,

b

yerine

5

yazılarak

u

değeri elde edilir.

3

u = 6

değerini yerine koyarak

x \otimes 3 = 6

denklemini çözelim.

x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9 \implies x = 3

(çünkü

x

pozitif bir tam sayıdır) bulunur.

a \otimes b = a^2 - b

tanımında

a

yerine

x

,

b

yerine

3

yazılıp denklem çözülerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki farklı özel tanımlı işlemin iç içe uygulanması ve bilinmeyen girdinin geriye doğru işlem (ters işlem) yapılarak bulunması.

Soru 214Soru →

Aşağıda, sayıların belirli bir mantıksal kurala göre yerleştirildiği bir sayı ve şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir:

1. Adım:

2
5 3
13

2. Adım:

3
7 4
25

3. Adım:

4
9 5
41

Her adımda üstte, solda, sağda ve altta bulunan sayılar arasında aynı mantıksal kural geçerlidir.

Buna göre, bu örüntünün 6. adımındaki düzeneğin altında bulunan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

85

113

127

145

161

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 113

Cevap

113

6. adımdaki düzenek için üstteki sayı 7, soldaki sayı 15, sağdaki sayı ise 8'dir. Bu sayılar arasındaki kural (Sol × Üst) + Sağ şeklinde uygulandığında 15 × 7 + 8 = 113 sayısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her adımdaki üst, sol ve sağ sayıların değişim kuralını belirlemek ve 6. adımdaki karşılıklarını hesaplamak.

Üstteki sayılar: 2, 3, 4... ��eklinde 1'er artar; 6. adımda 7 olur. Soldaki sayılar: 5, 7, 9... şeklinde 2'şer artar; 6. adımda 15 olur. Sağdaki sayılar: 3, 4, 5... şeklinde 1'er artar; 6. adımda 8 olur.

6. adımdaki düzeneğin çevre sayılarını bulmak için.

2

Çevre sayıları ile alttaki sayı arasındaki ortak matematiksel ilişkiyi bulmak.

Alttaki sayı = (Sol × Üst) + Sağ şeklinde hesaplanır. Örneğin 1. adımda: (5 × 2) + 3 = 13; 2. adımda: (7 × 3) + 4 = 25; 3. adımda: (9 × 4) + 5 = 41 olur. (Alternatif olarak Sol × Sa�� - Üst = 5 × 3 - 2 = 13 ilişkisi de geçerlidir ve aynı sonucu verir).

Alttaki sayıyı elde etmek için gereken kuralı doğrulamak.

3

Belirlenen kuralı 6. adımın çevre sayılarına uygulamak.

(15 × 7) + 8 = 105 + 8 = 113.

6. adımdaki düzeneğin altında bulunması gereken sayıyı elde etmek.

Anahtar Kavram

Sayı ve şekil örüntülerinde kural çözümleme ve genel terim formülü oluşturma

İpuçları

1

Üstteki, soldaki ve sağdaki sayıların her adımda nasıl değiştiğini inceleyin.

2

Çevre sayıları ile ortadaki veya alttaki büyük sayı arasındaki matematiksel işlemi bulmaya çalışın. Sol ve üst sayıların çarpımını kullanmayı deneyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki boyutlu ızgaralardaki sayısal örüntü kurallarını içeren soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Örüntüyü alttaki sayıların farkı üzerinden de inceleyebilirsiniz: 13, 25, 41... Sayılar arasındaki artış miktarları sırasıyla 12, 16, 20... şeklinde dörder dörder artarak devam eder. Bu ardışık farkları ekleyerek 6. adımdaki sayıya ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 215Soru →

Kerem, Leyla, Murat ve Nihan’ın katıld��ğı 4 kişilik bir kutu oyununda toplam 6 raunt oynanmıştır. Bu oyunun kuralları ve puanlama sistemi şu şekildedir:

* Her rauntta sadece bir oyuncu galip gelmiş, diğer üç oyuncu mağlup olmuştur.
* Bir rauntta galip gelen oyuncu 3 puan kazanmakta, mağlup olan her bir oyuncu ise 1 puan kaybetmektedir.
* Oyuna başlarken her oyuncunun 10 puanı bulunmaktadır.

6 raunt sonunda Kerem’in 16, Leyla’nın 8 ve Murat’ın 4 puanı olduğu bilindiğine göre; Nihan bu 6 raundun kaçında galip gelmiştir?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Nihan bu 6 raundun 2'sinde galip gelmiştir.

Her rauntta dağıtılan net puan sıfır olduğundan toplam puan 40 olarak sabit kalır. Kerem, Leyla ve Murat'ın puanları toplamı 28 olduğundan Nihan'ın puanı 12 olmalıdır. Bir oyuncunun

w

galibiyeti ve

6-w

mağlubiyeti varken puanı

4w + 4

formülüyle hesaplanır.

4w + 4 = 12

eşitliğinden Nihan'ın galibiyet sayısı 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her raunt için puan değişimini ve toplam puanın korunduğunu belirleme

Bir rauntta bir galip (+3 puan) ve üç mağlup (-1'er puan) olduğundan, raunt başına toplam puan değişimi

+3 + 3 \times (-1) = 0

olur. Dolayısıyla 6 raunt sonunda da gruptaki toplam puan başlangıçtaki gibi

4 \times 10 = 40

olarak kalır.

Oyunun kapalı bir sistem olduğunu ve toplam puanın sabit kaldığını fark ederek işlemlerimizi kolaylaştırmak.

2

Nihan'ın 6. raunt sonundaki puanını hesaplama

Kerem, Leyla ve Murat'ın toplam puanları

16 + 8 + 4 = 28

'dir. Toplam puan 40 olması gerektiğinden, Nihan'ın puanı

40 - 28 = 12

olarak bulunur.

Nihan'ın galibiyet sayısını bulabilmek için öncelikle son durumdaki puanını tespit etmek.

3

Nihan'ın galibiyet sayısını denklem yardımıyla bulma

Nihan'ın galip geldiği raunt sayısı

w

olsun. Toplam 6 raunt oynandığı için mağlup olduğu raunt sayısı

6 - w

olur. Nihan'ın puan denklemi:

10 + 3w - 1(6 - w) = 12 \implies 4w + 4 = 12 \implies 4w = 8 \implies w = 2

bulunur.

Belirlenen puanı sağlayan galibiyet sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Oyunlarda toplam puanın korunumu ilkesi ve doğrusal denklem kurarak galibiyet/mağlubiyet sayılarını bulma.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine doğrudan seçenekler denenebilir. Örneğin, 2 galibiyet alan bir oyuncu 4 kez mağlup olmuştur. Bu durumda alacağı puan

10 + 2 \times 3 - 4 \times 1 = 12

olur. Toplam puan dengesinden Nihan'ın puanının 12 olması gerektiği bilindiğinden, doğru cevabın 2 olduğu kolayca doğrulanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 216Soru →

Birim karelerden oluşan bir şekil örüntüsünün adımlarındaki mavi ve beyaz birim karelerin yerleşimi belirli bir kurala göre yapılmaktadır. Bu örüntünün ilk dört adımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 1. Adım: $1$ adet beyaz birim kare bulunmaktadır (mavi kare yoktur).
* 2. Adım: $1$ . adımdaki beyaz karenin etrafına $4$ adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 3. Adım: $2$ . adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına $16$ adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 4. Adım: $3$ . adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına $24$ adet mavi birim kare eklenmiştir.

Bu şekilde devam eden örüntünün her yeni adımında, bir önceki adımdaki mavi kareler beyaza dönüşmekte ve şeklin en dış kısmına belirli bir kurala göre yeni mavi kareler eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün $8$ . adımında elde edilen şekildeki beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından kaç fazladır?

101

109

113

69

165

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 109

Cevap

Beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından 109 fazladır.

Doğru cevap olan 109 sayısı, örüntüdeki beyaz ve mavi karelerin sayıları belirlenerek bulunur. 8. adımdaki beyaz kare sayısı, 7. adımdaki toplam kare sayısına eşittir ve

13^2 - 4 = 165

olarak hesaplanır. 8. adımdaki mavi kare sayısı ise

8 \times (8-1) = 56

'dır. Aralarındaki fark

165 - 56 = 109

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Örüntünün her adımındaki toplam birim kare sayısının formülünü belirlemek.

n \ge 2

için toplam birim kare sayısı

T_n = (2n-1)^2 - 4

ve

T_1 = 1

olarak bulunur.

Her adımda oluşan şekil,

(2n-1) \times (2n-1)

boyutunda bir kareden köşelerdeki 4 adet birim karenin çıkarılmasıyla elde edilmektedir.

2

Her adımda eklenen yeni mavi kare sayısının genel kuralını belirlemek.

n \ge 3

için mavi kare sayısı

M_n = 8(n-1)

,

M_2 = 4

ve

M_1 = 0

şeklindedir.

Mavi kare sayıları 3. adımdan itibaren sırasıyla 16, 24, 32... şeklinde 8'er artan bir dizi oluşturmaktadır.

3

Her adımdaki beyaz kare sayısının kuralını belirlemek.

n

. adımdaki beyaz kare sayısı, bir önceki adımdaki toplam kare sayısına yani

B_n = T_{n-1}

değerine eşittir.

Her yeni adımda, bir önceki adımda var olan tüm mavi ve beyaz kareler beyaza dönüşmektedir.

4

8. adımdaki mavi ve beyaz kare sayılarını hesaplamak.

Mavi kare sayısı:

M_8 = 8 \times (8-1) = 56

. Beyaz kare sayısı:

B_8 = T_7 = (2 \times 7 - 1)^2 - 4 = 13^2 - 4 = 165

.

Genel kurallarda

n = 8

yazılarak istenen adımdaki değerler elde edilir.

5

Beyaz kare sayısı ile mavi kare sayısı arasındaki farkı hesaplamak.

165 - 56 = 109

olarak bulunur.

Soruda beyaz karelerin mavi karelerden kaç fazla olduğu sorulduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri

Soru 217Soru →

Furkan, Gamze, Hakan ve Irmak’ın katıldığı dört kişilik bir satranç turnuvasında her oyuncu diğer oyuncuların her biriyle tam birer kez karşılaşmıştır. Turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilirken mağlubiyete ise puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda oyuncuların topladıkları puanlarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Furkan $7$ puan almıştır.
* Gamze $5$ puan almıştır.
* Hakan $3$ puan almıştır.

Buna göre, Irmak turnuva boyunca toplam kaç puan almıştır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

Irmak turnuva boyunca toplam 1 puan alm��ştır.

Irmak’ın turnuvada yaptığı maçların analizi sonucu Furkan'a yenildiği (

0

puan), Gamze ile berabere kaldığı (

1

puan) ve Hakan'a yenildiği (

0

puan) görülür. Dolayısıyla Irmak'ın toplamda 1 puan aldığı sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Oyuncuların alabileceği puan kombinasyonlarını belirleme.

Furkan'ın

7

puanı

2

galibiyet,

1

beraberlikle; Gamze'nin

5

puanı

1

galibiyet,

2

beraberlikle açıklanabilir. Hakan'ın

3

puanı ise ya

1

galibiyet,

2

mağlubiyet ya da

3

beraberlikle mümkündür.

Her oyuncu

3

maç yaptığı için alabilecekleri skor dağılımlarını sınırlamak gerekir.

2

Hakan'ın maç sonuçlarındaki çelişkiyi inceleme.

Hakan

3

beraberlik alsaydı, Furkan ve Gamze ile de berabere kalmalıydı. Ancak Furkan'ın tek beraberliği Hakan ile olsaydı Furkan Gamze'yi yenmiş olurdu. Bu durumda Gamze'nin alabileceği maksimum puan

2

olurdu (çünkü en fazla

2

beraberlik,

1

mağlubiyet alabilirdi). Gamze

5

puan aldığı için bu durum çelişki yaratır. Yani Hakan hiç berabere kalmamış,

1

galibiyet ve

2

mağlubiyet almıştır.

Turnuva kuralları ve puan tablosunun tutarlılığını test etmek için.

3

Oyuncular arasındaki maçların sonuçlarını netleştirme.

Furkan'ın tek beraberliği Gamze ile olmalıdır (Hakan'ın beraberliği olmadığı için). Bu durumda Furkan; Hakan ve Irmak'ı yenmiştir. Gamze'nin

2

beraberliğinden biri Furkan ile, diğeri ise (Hakan'ın beraberliği olmadığı için) Irmak ile olmalıdır. Gamze'nin tek galibiyeti de Hakan'a karşıdır. Hakan'ın tek galibiyeti ise Irmak'a karşıdır.

Irmak'ın yaptığı her bir maçın sonucunu kesinleştirmek için.

4

Irmak'ın toplam puanını hesaplama.

Irmak; Furkan'a yenilmiş (

0

puan), Gamze ile berabere kalmış (

1

puan) ve Hakan'a yenilmiştir (

0

puan). Toplamda

0 + 1 + 0 = 1

puan almıştır.

Irmak'ın maç sonuçlarına göre aldığı nihai puanı bulmak için.

Anahtar Kavram

Turnuva maç eşleşmelerinde puan ve sonuç analizi

İpuçları

1

Her oyuncunun toplam 3 maç yaptığını ve Furkan ile Gamze'nin puanlarının hangi maç sonuçlarıyla elde edilebileceğini düşünün.

2

Hakan'ın 3 puanı ya 1 galibiyet ya da 3 beraberlikle mümkündür. 3 beraberlik durumunun Furkan ve Gamze'nin puanlarıyla çelişip çelişmediğini inceleyin.

3

Hakan'ın hiç beraberliği olmadığını bulduktan sonra, Gamze'nin beraberliklerinden birinin Furkan ile diğerinin ise Irmak ile olması gerektiğini görebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 5 takımın katıldığı ve galibiyete 2, beraberliğe 1 puan verilen bir turnuva problemi çözerek mantık yürütme becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Turnuvadaki toplam puan denklemini kurabilirsiniz: Toplam maç sayısı 6'dır. Beraberlikle biten her maç toplamda 2 puan, bir galibiyetle biten her maç ise 3 puan kazandırır. Oyuncuların puanları toplamı üzerinden beraberlik sayısını sınırlandırarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 218Soru →

Bir şifreleme sisteminde, alfabedeki bazı harfler aşağıdaki $3 \times 3$ boyutundaki tabloda satır ve sütun numaralarıyla gösterilmiştir:

1	2	3
1	A	E	İ
2	K	L	M
3	N	R	T

Bu sistemde bir harfin kodu; harfin bulunduğu satır numarası $s$ ve sütun numarası $d$ olmak üzere,

s^2 + d^2

formülü ile hesaplanmaktadır. Bir kelimenin kodu ise kelimeyi oluşturan harflerin kodlarının soldan sağa doğru yan yana yazılmasıyla elde edilmektedir.

Buna göre, kodu $101013518$ olan 5 harfli Türkçe anlamlı kelime aşağıdakilerden hangisidir?

METİN

TEKİN

NİMET

LİMAN

TERİM

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: NİMET

Cevap

NİMET

Verilen 101013518 sayısı, tablodaki harflerin kod değerlerine göre ayrıştırıldığında yalnızca 10-10-13-5-18 şeklinde bölünebilir. Bu kodların karşılık geldiği harf grupları sırasıyla \{N, İ\} - \{N, İ\} - \{M, R\} - \{E, K\} - \{T\} şeklindedir. Bu harflerle oluşturulabilecek tek anlamlı Türkçe kelime NİMET kelimesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabloda verilen tüm harflerin satır (

s

) ve sütun (

d

) numaralarını belirleyip

s^2 + d^2

formülü ile kodlarını hesaplarız.

A(1,1) = 2, E(1,2) = 5, İ(1,3) = 10, K(2,1) = 5, L(2,2) = 8, M(2,3) = 13, N(3,1) = 10, R(3,2) = 13, T(3,3) = 18

Kelimeyi oluşturan harflerin kod değerlerini bulmak için bu adım gereklidir.

2

Verilen

101013518

şifresini, elde ettiğimiz kod değerlerini (

2, 5, 8, 10, 13, 18

) kullanarak anlamlı parçalara ayırırız.

Şifre benzersiz şekilde

10 - 10 - 13 - 5 - 18

olarak ayrılır.

Sayı dizisinin hangi harf kodlarından oluştuğunu bulmak için bu ayrıştırma yapılmalıdır.

3

Ayrıştırılan kodlara karşılık gelen harfleri tablodan bularak kelimeyi oluştururuz.

10 kodu (N veya İ), 13 kodu (M veya R), 5 kodu (E veya K), 18 kodu (T) harfine karşılık gelir. Buradan oluşturulabilecek tek Türkçe anlamlı kelime NİMET'tir.

Kod dizilimine uyan anlamlı kelimeyi tespit etmek için bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Şifreleme ve Kodlama

Soru 219Soru →

Bir üniversitede Pelin, Rıza, Sude ve Tolga adlı dört öğrenci; Ekoloji, Yapay Zekâ, Yenilenebilir Enerji ve Siber Güvenlik projelerinden birini seçmiştir. Bu öğrencilerin danışmanları ise Ahmet, Burak, Can ve Deniz adlı akademisyenlerdir. Her öğrencinin projesi ve danışmanı birbirinden farklıdır.

Bu kişilerin projeleri ve danışmanları ile ilgili şunlar bilinmektedir:
* Ekoloji projesini seçen kişi Pelin'dir ve danışmanı Burak'tır.
* Rıza, Yapay Zekâ projesini seçmiştir ve danışmanı Burak değildir.
* Siber Güvenlik projesini seçen kişinin danışmanı Deniz'dir.
* Tolga'nın projesi Yenilenebilir Enerji'dir ve danışmanı Ahmet değildir.

Buna göre, öğrenciler ve danışmanları ile ilgili aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi doğrudur?

Tolga'nın danışmanı Burak'tır

Sude'nin danışmanı Can'dır

Rıza'nın danışmanı Ahmet'tir

Pelin'in danışmanı Deniz'dir

Rıza'nın danışmanı Can'dır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Rıza'nın danışmanı Ahmet'tir

Cevap

Rıza'nın danışmanı Ahmet'tir.

Rıza'nın danışmanının Ahmet olduğunu belirten seçenek doğrudur. Pelin'in projesi Ekoloji (danışmanı Burak), Rıza'nın projesi Yapay Zekâ ve Tolga'nın projesi Yenilenebilir Enerji olarak verildiğinden, geriye kalan Siber Güvenlik projesi Sude'ye aittir. Siber Güvenlik projesinin danışmanı Deniz olduğuna göre Sude'nin danışmanı Deniz'dir. Tolga'nın danışmanı Ahmet olamadığına göre, kalan iki danışmandan (Ahmet ve Can) Can, Tolga'nın danışmanı olur. Bu durumda Rıza'nın danışmanı Ahmet olarak kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Öğrencilerin seçtiği projeleri belirleyin.

Pelin Ekoloji, Rıza Yapay Zekâ, Tolga Yenilenebilir Enerji projelerini seçmiştir. Geriye kalan tek proje olan Siber Güvenlik projesini Sude seçmiştir.

Öncüllerde üç öğrencinin projesi doğrudan veya dolaylı olarak verilmiştir. Kalan son proje son öğrenciyle eşleşir.

2

Sude'nin danışmanını bulun.

Siber Güvenlik projesinin danışmanı Deniz olarak verilmiştir. Sude bu projeyi seçtiği için Sude'nin danışmanı Deniz'dir.

Siber Güvenlik projesini seçen kişinin danışmanı Deniz'dir öncülünü uygulamak için.

3

Kalan öğrencilerin danışmanlarını belirleyin.

Geriye kalan danışmanlar Ahmet ve Can'd��r. Tolga'nın danışmanı Ahmet olamadığına göre Tolga'nın danışmanı Can'dır. Bu durumda Rıza'nın danışmanı Ahmet olur.

Kalan danışmanlar ile kalan öğrenciler (Rıza ve Tolga) arasındaki kısıtlamaları (Tolga'nın danışmanı Ahmet değildir) değerlendirmek için.

Anahtar Kavram

Mantıksal öncüllerden yola çıkarak çoklu değişkenleri (öğrenci, proje, danışman) birbiriyle eşleştirme ve tablo yardımıyla eleme yöntemi.

İpuçları

1

Öncelikle öğrencilerin projelerini kesin olarak belirleyin. Pelin, Rıza ve Tolga'nın projeleri verildiğine göre Sude'nin projesini kolayca bulabilirsiniz.

2

Sude'nin projesini bulduktan sonra, 'Siber Güvenlik projesini seçen kişinin danışmanı Deniz'dir' öncülünü kullanarak Sude'nin danışmanını kesinleştirin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 220Soru →

Her

x

ve

y

gerçel sayısı için

\odot

ve

\otimes

işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

x \odot y = 2x - y + 1

x \otimes y = \begin{cases} x \odot y, & x \geq y \\ y \odot x, & x < y \end{cases}

Buna göre,

(3 \otimes a) \otimes 2 = 13

eşitliğini sağlayan

a

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

0

\frac{3}{2}

\frac{9}{2}

\frac{33}{2}

\frac{39}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{2}$

Cevap

\frac{9}{2}

Verilen eşitlikte

(3 \otimes a) = k

dönüşümü yapıldığında

k \otimes 2 = 13

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü için

k \geq 2

ve

k < 2

durumları incelenir. İlk durumdan

k = 7

(koşula uygun), ikinci durumdan

k = -8

(koşula uygun) bulunur. Ardından

3 \otimes a = 7

denklemi çözüldüğünde

3 \geq a

durumundan

a = 0

,

3 < a

durumundan

a = 4,5

bulunur ve her iki değer de tanımlı oldukları koşulları sağlar. Son olarak

3 \otimes a = -8

denklemi çözüldüğünde elde edilen

a = 15

ve

a = -3

değerleri, tanımlı oldukları aralık koşullarını sağlamadıkları için elenir. Dolayısıyla denklemi sağlayan geçerli değerlerin toplamı sıfır ile dört buçuğun toplamından dokuz bölü iki olur.

Adım Adım Çözüm

1

(3 \otimes a) \otimes 2 = 13

denkleminde

3 \otimes a = k

dönüşümü uygulanır.

k \otimes 2 = 13

denklemi elde edilir.

Dıştaki işlemden başlayarak değişkeni yalnız bırakmak.

2

k \otimes 2 = 13

denklemi,

\otimes

işleminin tanımına göre

k \geq 2

ve

k < 2

durumları için ayrı ayrı çözülür.

k \geq 2

için

k \odot 2 = 2k - 1 = 13 \Rightarrow k = 7

(koşulu sağlar).

k < 2

için

2 \odot k = 5 - k = 13 \Rightarrow k = -8

(koşulu sağlar).

Parçalı tanımın sınır değerlerini kontrol ederek olası ara değerleri bulmak.

3

3 \otimes a = 7

denklemi

3 \geq a

ve

3 < a

durumlarına göre çözülür.

3 \geq a

için

3 \odot a = 7 - a = 7 \Rightarrow a = 0

(koşulu sağlar).

3 < a

için

a \odot 3 = 2a - 2 = 7 \Rightarrow a = 4,5

(koşulu sağlar).

İlk ara değer için geçerli kökleri belirlemek.

4

3 \otimes a = -8

denklemi

3 \geq a

ve

3 < a

durumlarına göre çözülür ve sınır şartları denetlenir.

3 \geq a

için

7 - a = -8 \Rightarrow a = 15

(

15 \leq 3

olmadığı için geçersizdir).

3 < a

için

2a - 2 = -8 \Rightarrow a = -3

(

-3 > 3

olmadığı için geçersizdir).

İkinci ara değerden gelen köklerin tanımlı oldukları aralıkta kalıp kalmadığını kontrol etmek.

5

Koşulları sağlayan geçerli

a

değerleri (

0

ve

4,5

) toplanır.

0 + 4,5 = 4,5

yani

\frac{9}{2}

bulunur.

Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı özel işlemlerde sınır koşullarının ve eşitsizliklerin çözüm kümesi üzerindeki belirleyici etkisi.

Tahmini Süre:2m 30s

Mantık Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm