Examkin

Cebir

424 soru

Soru 281Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣3x−6∣=∣x+10∣ |3x - 6| = |x + 10|

eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Eşitliği sağlayan xx değerlerinin çarpımı -8'dir.
Mutlak değerli iki ifadenin birbirine eşit olduğu durumda, içerideki ifadeler ya birbirine tam olarak eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir. Birinci durumdan x=8x=8, ikinci durumdan ise x=−1x=-1 kökleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı −8-8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli ifadelerin eşitliği kuralını uygulayın.
3x−6=x+103x - 6 = x + 10 veya 3x−6=−(x+10)3x - 6 = -(x + 10)
∣a∣=∣b∣|a| = |b| eşitliği, a=ba = b veya a=−ba = -b durumlarını gerektirir.
2
Birinci durumu (a=ba = b) çözerek ilk kökü bulun.
3x−x=10+6⇒2x=16⇒x=83x - x = 10 + 6 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8
Eşitliğin her iki tarafındaki ifadelerin aynı işaretli olduğu durumu inceleriz.
3
İkinci durumu (a=−ba = -b) çözerek diğer kökü bulun.
3x−6=−x−10⇒3x+x=−10+6⇒4x=−4⇒x=−13x - 6 = -x - 10 \Rightarrow 3x + x = -10 + 6 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1
Eşitliğin her iki tarafındaki ifadelerin zıt işaretli olduğu durumu inceleriz.
4
Elde edilen farklı xx değerlerini çarpın.
8×(−1)=−88 \times (-1) = -8
Soruda bizden istenen köklerin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde ∣f(x)∣=∣g(x)∣|f(x)| = |g(x)| formundaki ifadeler çözülürken her iki tarafın aynı işaretli veya zıt işaretli olduğu iki ayrı durum incelenmelidir.

İpuçları

1
∣a∣=∣b∣|a| = |b| ise a=ba = b veya a=−ba = -b olmalıdır.
2
Denklemi iki parçaya ayırın: 3x−6=x+103x - 6 = x + 10 ve 3x−6=−x−103x - 6 = -x - 10.
3
Her iki denklemi de çözüp bulduğunuz iki farklı xx değerini birbiriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli ifadelerin bir sayıya eşit olduğu (∣ax+b∣=c|ax+b|=c) ve iki mutlak değerin toplamının bir sayıya eşit olduğu soru tiplerini inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemin her iki tarafının karesini alarak da çözüme ulaşabilirsiniz: (3x−6)2=(x+10)2(3x-6)^2 = (x+10)^2. Bu işlemden elde edilecek 2. derece denklemin kökleri, mutlak değerli denklemin kökleriyle aynı olacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 282Soru →
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x+y+z=4 x + y + z = 4

x2+y2+z2=18 x^2 + y^2 + z^2 = 18

x3+y3+z3=58 x^3 + y^3 + z^3 = 58

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Verilen üç denklem, x,y,zx, y, z değişkenlerinin simetrik özdeşliklerini kullanmayı gerektirir. Öncelikle (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılarak ikili çarpımların toplamı bulunur, ardından x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3xyz özdeşliği kullanılarak çarpım değeri elde edilir. İşlemler doğru takip edildiğinde sonuç -6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) özdeşliğini kullanarak xy+yz+zxxy+yz+zx değerini bul.
42=18+2(xy+yz+zx)⇒16=18+2(xy+yz+zx)⇒2(xy+yz+zx)=−2⇒xy+yz+zx=−14^2 = 18 + 2(xy+yz+zx) \Rightarrow 16 = 18 + 2(xy+yz+zx) \Rightarrow 2(xy+yz+zx) = -2 \Rightarrow xy+yz+zx = -1
Üç terimli küp açılımını kullanabilmek için ikili çarpımların toplamına ihtiyacımız var.
2
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)⋅[(x2+y2+z2)−(xy+yz+zx)]x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z) \cdot [ (x^2+y^2+z^2) - (xy+yz+zx) ] özdeşliğinde bilinen değerleri yerine yaz.
58−3xyz=4⋅[18−(−1)]58 - 3xyz = 4 \cdot [ 18 - (-1) ]
Bu özdeşlik, kareler toplamı, küpler toplamı ve sayıların çarpımı arasındaki ilişkiyi kurar.
3
Elde edilen denklemi çözerek xyzxyz değerini hesapla.
58−3xyz=4⋅19⇒58−3xyz=76⇒−3xyz=18⇒xyz=−658 - 3xyz = 4 \cdot 19 \Rightarrow 58 - 3xyz = 76 \Rightarrow -3xyz = 18 \Rightarrow xyz = -6
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üç Terimlilerin Kare ve Küp Özdeşlikleri

İpuçları

1
Soruda verilenler x,y,zx, y, z toplamı, kareleri toplamı ve küpleri toplamıdır. Bu üç ifadeyi birbirine bağlayan iki temel özdeşliği hatırlamalısın.
2
Önce (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımını yaparak xy+yz+zxxy+yz+zx değerini hesapla.
3
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) formülünü kullan.

Alternatif Yöntem

Newton Toplamları (Newton Sums) yöntemiyle de S1,S2,S3S_1, S_2, S_3 kullanılarak polinom katsayıları bulunabilir, ancak KPSS müfredatı için yukarıdaki özdeşlik yöntemi esastır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 283Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya aşağıdaki denklemi yazmış ve bir öğrencisinden bu denklemi adım adım çözmesini istemiştir.

2(x−1)3−x−24=1 \frac{2(x-1)}{3} - \frac{x-2}{4} = 1

Öğrencinin çözüm adımları şöyledir:

I. Adım:
8(x−1)12−3(x−2)12=1212 \frac{8(x-1)}{12} - \frac{3(x-2)}{12} = \frac{12}{12}

II. Adım:
8(x−1)−3(x−2)=12 8(x-1) - 3(x-2) = 12

III. Adım:
8x−8−3x−6=12 8x - 8 - 3x - 6 = 12

IV. Adım:
5x−14=12 5x - 14 = 12

V. Adım:
5x=26⇒x=265 5x = 26 \Rightarrow x = \frac{26}{5}

Buna göre, öğrenci ilk hatayı kaçıncı adımda yapmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: III

Cevap

Öğrenci ilk hatayı III. adımda yapmıştır.
Doğru cevap III. adımdır. II. adımda elde edilen
8(x−1)−3(x−2)=128(x-1) - 3(x-2) = 12
ifadesi açılırken,
−3-3
katsayısı parantez içindeki
−2-2
ile çarpıldığında sonuç
+6+6
olmalıdır. Ancak öğrenci bu çarpımı
−6-6
olarak yazarak işaret hatası yapmıştır. Doğru açılım
8x−8−3x+6=128x - 8 - 3x + 6 = 12
şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
I. ve II. Adımları kontrol et
I. adımda paydalar doğru eşitlenmiş (12), II. adımda paydalar doğru atılmıştır.
Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpıldığında eşitlik bozulmaz.
2
III. Adımı analiz et (Dağılma özelliği)
−3(x−2)-3(x-2)
ifadesinin açılımı
−3x+6-3x + 6
olmalıdır.
Negatif bir katsayı parantez içine dağıtılırken, parantez içindeki her terimin işareti değişir (
−3×−2=+6-3 \times -2 = +6
).
3
Hatayı tespit et
Öğrenci
−3x−6-3x - 6
yazarak işaret hatası yapmıştır.
Eksi ile eksinin çarpımının artı olduğu gözden kaçırılmıştır.

Anahtar Kavram

Dağılma Özelliği ve İşaret Yönetimi

İpuçları

1
Parantez önündeki katsayı negatif olduğunda, bu katsayıyı parantez içindeki tüm terimlerle çarparken işaretlere dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

İç içe parantezlerin ve negatif katsayıların olduğu benzer denklemler çözülmelidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 284Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde Δ\Delta işlemi, her x,yx, y gerçel sayısı için
xΔy=2x+2y+xy+kx \Delta y = 2x + 2y + xy + k

biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemin etkisiz (birim) elemanı olduğuna göre, kk sabiti kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k değeri 2 olarak bulunur.
İşlemin etkisiz elemanı ee olsun. Tanım gereği her xx için xΔe=xx \Delta e = x sağlanmalıdır. Verilen kuralı yerine yazdığımızda 2x+2e+xe+k=x2x + 2e + xe + k = x elde edilir. Bu ifadeyi xx parantezine alırsak x(2+e)+(2e+k)=xx(2+e) + (2e+k) = x olur. Eşitliğin her xx değeri için sağlanması adına, xx'in katsayısı 1'e (2+e=12+e=1), sabit terim ise 0'a (2e+k=02e+k=0) eşit olmalıdır. İlk denklemden e=−1e=-1 bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında 2(−1)+k=0⇒k=22(-1) + k = 0 \Rightarrow k=2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Etkisiz eleman tanımını uygula.
xΔe=xx \Delta e = x olmalıdır.
Bir işlemin etkisiz elemanı (ee), işleme girdiği diğer elemanı değiştirmemelidir.
2
Verilen işlem kuralını tanım denklemine yerleştir.
2x+2e+xe+k=x2x + 2e + xe + k = x
İşlem kuralında yy yerine ee yazılarak eşitlik kurulur.
3
Eşitliği xx parantezine alarak düzenle.
x(2+e)+(2e+k)=1⋅x+0x(2 + e) + (2e + k) = 1 \cdot x + 0
Polinom eşitliği ilkesine göre xx'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşit olmalıdır.
4
xx'in katsayısından ee'yi bul.
2+e=1⇒e=−12 + e = 1 \Rightarrow e = -1
Eşitliğin her iki tarafındaki xx'in katsayısı aynı olmalıdır.
5
Bulunan ee değerini sabit terim eşitliğinde yerine yazarak kk'yi bul.
2e+k=0⇒2(−1)+k=0⇒−2+k=0⇒k=22e + k = 0 \Rightarrow 2(-1) + k = 0 \Rightarrow -2 + k = 0 \Rightarrow k = 2
Sabit kısımların toplamı, sağ taraftaki sabit (0) değerine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

İşlemde Etkisiz Eleman
Soru 285Soru →

AA ve BB, EE evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
s(A∩B)=s(B∖A)+2s(A \cap B) = s(B \setminus A) + 2
s(A∪B)=22s(A \cup B) = 22

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 17'dir.
Kümelerin her bir bölgesi s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x değişkenine bağlı olarak ifade edildiğinde, toplam birleşim 4x+2=224x+2=22 denklemini verir. Buradan x=5x=5 bulunur. A kümesi s(A∖B)+s(A∩B)=3x+2s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3x+2 olduğundan sonuç 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgeleri için bir değişken tanımlanması
s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x olsun.
Diğer tüm bölge eleman sayıları bu ifadeye bağlı olarak verildiği için temel değişken olarak seçilmiştir.
2
Diğer bölge eleman sayılarının xx cinsinden ifade edilmesi
s(A∖B)=2xs(A \setminus B) = 2x ve s(A∩B)=x+2s(A \cap B) = x + 2 olur.
Soruda verilen oranlar ve bağıntılar bu değişken üzerinden tanımlanmıştır.
3
Birleşim kümesi eleman sayısı formülünün oluşturulması
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)=2x+x+(x+2)=4x+2s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 2x + x + (x + 2) = 4x + 2
Birleşim kümesi, birbirine ayrık olan üç bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.
4
xx değerinin bulunması
4x+2=22⇒4x=20⇒x=54x + 2 = 22 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5
Bulunan 4x+24x + 2 ifadesi, soruda verilen 22 değerine eşitlenerek denklem çözülmüştür.
5
A kümesinin toplam eleman sayısının hesaplanması
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=2x+(x+2)=3x+2=3(5)+2=17s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 2x + (x + 2) = 3x + 2 = 3(5) + 2 = 17
A kümesi, sadece A'ya ait olan bölge ile kesişim bölgesinin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Bölge Analizi ve Eleman Sayısı Bağıntıları

İpuçları

1
Kümeleri temsil eden iki kesişen çember çizip bölgelere isim vermeyi deneyin.
2
s(B∖A)s(B \setminus A) bölgesine xx derseniz, kesişim bölgesi x+2x+2 ve s(A∖B)s(A \setminus B) bölgesi 2x2x olur.
3
Şemadaki üç farklı bölgenin toplamı 22'dir. Bu bilgiyi kullanarak xx değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, eleman sayıları yerine 'alt küme sayıları' arasındaki oranları kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 286Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı,
3(x−x−12)=2(x+1−2x3)+1 3 \left( x - \frac{x-1}{2} \right) = 2 \left( x + \frac{1-2x}{3} \right) + 1

denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/5

Cevap

Denklemi sağlayan x değeri 1/5 olarak bulunur.
Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde (3x+3)/2(3x+3)/2, sağ tarafı sadeleştirildiğinde (2x+5)/3(2x+5)/3 elde edilir. Bu iki ifade birbirine eşitlenip içler dışlar çarpımı yapıldığında 9x+9=4x+109x+9=4x+10 denklemi oluşur. Buradan 5x=15x=1 ve x=1/5x=1/5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki parantez içini sadeleştirin.
x−x−12=2x−(x−1)2=2x−x+12=x+12x - \frac{x-1}{2} = \frac{2x - (x-1)}{2} = \frac{2x - x + 1}{2} = \frac{x+1}{2}
Parantez içindeki çıkarma işlemini yapmak için payda eşitlemek gerekir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki parantez içini sadeleştirin.
x+1−2x3=3x+1−2x3=x+13x + \frac{1-2x}{3} = \frac{3x + 1 - 2x}{3} = \frac{x+1}{3}
Sağ taraftaki rasyonel ifadeyi tek payda altında toplamak işlemleri kolaylaştırır.
3
Sadeleştirilmiş ifadeleri ana denklemde yerine koyun ve katsayıları dağıtın.
3⋅(x+12)=2⋅(x+13)+1⇒3x+32=2x+23+13 \cdot \left( \frac{x+1}{2} \right) = 2 \cdot \left( \frac{x+1}{3} \right) + 1 \Rightarrow \frac{3x+3}{2} = \frac{2x+2}{3} + 1
Katsayılar parantez içindeki pay ile çarpılır.
4
Sağ taraftaki toplama işlemini tamamlayın ve içler dışlar çarpımı yapın.
3x+32=2x+2+33⇒3x+32=2x+53⇒3(3x+3)=2(2x+5)\frac{3x+3}{2} = \frac{2x+2+3}{3} \Rightarrow \frac{3x+3}{2} = \frac{2x+5}{3} \Rightarrow 3(3x+3) = 2(2x+5)
Denklemi doğrusal hale getirmek için rasyonel ifadelerden kurtulmak gerekir.
5
Denklemi çözerek x değerini bulun.
9x+9=4x+10⇒9x−4x=10−9⇒5x=1⇒x=1/59x + 9 = 4x + 10 \Rightarrow 9x - 4x = 10 - 9 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = 1/5
Bilinmeyenler bir tarafa, sabit sayılar diğer tarafa toplanarak çözüm elde edilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerde payda eşitleme ve işaret dağıtma kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 287Soru →

Bir kamu kurumu, proje destek bütçesini A, B ve C birimlerine sırasıyla 3, 4 ve 6 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırmayı planlamıştır. Ancak yapılan bir değerlendirme sonucunda, bu bütçenin aynı sayılarla doğru orantılı olarak paylaştırılmasına karar verilmiştir. Bu değişiklik sonucunda A birimine düşen payın 25.000 TL azaldığı görülmüştür. Buna göre, dağıtılan toplam bütçe kaç Türk Lirasıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 117.000

Cevap

Dağıtılan toplam bütçe 117.000 TL'dir.
Sorunun çözümü için hem ters orantı hem de doğru orantı mantığının aynı toplam miktar üzerinde kurulması gerekir. İlk durumda (ters orantı), 3, 4 ve 6 ile ters orantılı paylaşım yapıldığında A'nın payı toplamın 4/9'u olur. İkinci durumda (doğru orantı), aynı sayılarla doğru orantılı paylaşım yapıldığında A'nın payı toplamın 3/13'ü olur. Bu iki değer arasındaki farkın 25.000 TL olduğu bilgisini kullanarak kurulan (4/9−3/13)T=25.000(4/9 - 3/13)T = 25.000 denklemi, toplam bütçenin 117.000 TL olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters orantı durumunda (İlk Durum) payların oranını hesapla.
3, 4, 6 ile ters orantılı paylar: k/3, k/4, k/6. Paydalar 12'de eşitlenir: 4k/12, 3k/12, 2k/12. Paylar sırasıyla 4, 3 ve 2 ile orantılıdır. Toplam pay birimi: 4+3+2 = 9 birim. A biriminin payı = (4/9) * Toplam.
Ters orantıda sayılar çarpım durumundadır (3A = 4B = 6C), bu da payların sayıların katları tersine (EKOK üzerinden) orantılı olması demektir.
2
Doğru orantı durumunda (İkinci Durum) payların oranını hesapla.
3, 4, 6 ile doğru orantılı paylar sırasıyla 3, 4 ve 6 birimdir. Toplam pay birimi: 3+4+6 = 13 birim. A biriminin payı = (3/13) * Toplam.
Doğru orantıda paylar sayılarla direkt kat ilişkisindedir (A/3 = B/4 = C/6).
3
İki durum arasındaki fark denklemini kur ve toplam bütçeyi (T) çöz.
A'nın payı azaldığına göre: (4/9)T - (3/13)T = 25.000. Payda eşitle (117): (52T - 27T)/117 = 25.000 → 25T/117 = 25.000. 25'ler sadeleşir: T/117 = 1.000 → T = 117.000 TL.
Soruda verilen '25.000 TL azaldı' bilgisi iki durum arasındaki farkı ifade eder.

Anahtar Kavram

Bileşik Orantı Problemleri

İpuçları

1
Önce toplam bütçeye 'T' deyip, her iki durum için A biriminin alacağı payı T cinsinden kesirli olarak ifade etmeye çalışın.
2
Ters orantı durumunda paylar 1/3, 1/4 ve 1/6 ile orantılıdır. Paydaları 12'de eşitleyerek payların 4, 3 ve 2 ile doğru orantılı olduğunu bulabilirsiniz.
3
İlk durumda A'nın payı toplamın 4/9'u, ikinci durumda ise 3/13'üdür. Bu iki kesir arasındaki farkı (4/9 - 3/13) bulup 25.000'e eşitleyerek toplamı bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üç kişi yerine iki kişi ve 'biri artarken diğeri azalır' mantığıyla kurgulayan bir problemi çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam bütçeye, hem ters orantıdaki paydaların toplamı (9) hem de doğru orantıdaki paydaların toplamı (13) ile bölünebilen bir sayı (örneğin 117x) vererek işlem yapmak kesirlerden kurtulmanızı sağlar.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 288Soru →
11−623−2+3+222+1 \frac{\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}}{3 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} + 1}


işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Verilen işlemin sonucu 2'dir.
İşlemdeki her iki rasyonel ifade incelendiğinde, pay kısımlarındaki iç içe köklü ifadelerin sadeleşmiş hallerinin payda kısımlarıyla birebir aynı olduğu görülür. Birinci terimde 11−218=3−2\sqrt{11 - 2\sqrt{18}} = 3 - \sqrt{2} sadeleşmesiyle 11 değeri, ikinci terimde ise 3+22=2+1\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 sadeleşmesiyle 11 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı olan 2 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk pay kısmındaki 11−62\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} ifadesini düzenleyin.
11−218\sqrt{11 - 2\sqrt{18}}
İç içe kök kuralını (a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}) uygulamak için içteki kökün katsayısını 2 yapmalıyız. 6=2×36 = 2 \times 3 olduğundan 3 içeri 32=93^2=9 olarak girer.
2
11−218\sqrt{11 - 2\sqrt{18}} ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
3−23 - \sqrt{2}
Çarpımları 18, toplamları 11 olan sayılar 9 ve 2'dir. Kural gereği ifade 9−2=3−2\sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2} olur.
3
İkinci pay kısmındaki 3+22\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} ifadesini sadeleştirin.
2+1\sqrt{2} + 1
Çarpımları 2, toplamları 3 olan sayılar 2 ve 1'dir. Kural gereği ifade 2+1=2+1\sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{2} + 1 olur.
4
Bulunan değerleri ana kesirlerde yerine yazarak bölme işlemlerini yapın.
3−23−2+2+12+1=1+1\frac{3 - \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = 1 + 1
Pay ve payda kısımları aynı olduğu için her iki terim de 1'e eşittir.
5
Sonuçları toplayın.
22
İki terimin toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

İç içe köklerin (x+y)±2xy=x±y\sqrt{(x+y) \pm 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} kuralı kullanılarak sadeleştirilmesi.

İpuçları

1
İç içe geçmiş kareköklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formunu yakalamaya çalışın.
2
626\sqrt{2} ifadesindeki 3 çarpanını kök içine alarak 2182\sqrt{18} haline getirin ve çarpımları 18, toplamları 11 olan sayıları bulun.
3
Pay kısımlarını sadeleştirdiğinizde payda kısımlarıyla aynı ifadeleri elde edeceksiniz. Bu da her bir kesrin 1'e eşit olduğunu gösterir.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde katsayının 2 olmadığı durumlar için (örneğin katsayısız kökler) genişletme yöntemini içeren sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Paydayı eşleniğiyle çarparak da çözüme gidilebilir, ancak iç içe kök kuralı bu soru için çok daha hızlı bir yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 289Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, kültürel etkinlikler kapsamında üç farklı semt kütüphanesine (KK, LL ve MM) toplam 700700 adet yeni kitap dağıtacaktır. Bu dağıtımla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* KK kütüphanesine verilen kitap sayısının LL kütüphanesine oranı 23\frac{2}{3}'tür.
* LL kütüphanesine verilen kitap sayısının MM kütüphanesine oranı 45\frac{4}{5}'tir.

Buna göre, LL kütüphanesine dağıtılan kitap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

L kütüphanesine dağıtılan kitap sayısı 240'tır.
Verilen iki farklı oran birleştirildiğinde kütüphanelerin aldığı paylar sırasıyla 8, 12 ve 15 ile orantılıdır. Toplam 35 birimlik pay 700 kitaba karşılık geldiği için 1 birimlik pay 20 kitaba eşittir. Bu durumda 12 birimlik paya sahip olan kütüphane 240 kitap alır.

Adım Adım Çözüm

1
Oranları ortak terim olan LL üzerinden eşitleyiniz.
KL=23\frac{K}{L} = \frac{2}{3} ve LM=45\frac{L}{M} = \frac{4}{5} oranlarında LL'nin karşısındaki sayıları (33 ve 44) 1212'de eşitlemek için birinci oranı 44 ile, ikinci oranı 33 ile genişletiriz: KL=812\frac{K}{L} = \frac{8}{12} ve LM=1215\frac{L}{M} = \frac{12}{15}.
Üç değişken arasındaki ilişkiyi tek bir orantı sabiti (kk) ile ifade edebilmek için ortak değişkeni eşitlemek gerekir.
2
Kütüphanelerin aldığı miktarları kk cinsinden belirleyiniz.
K=8kK = 8k, L=12kL = 12k ve M=15kM = 15k olarak tanımlanır.
Eşitlenen oranlar sayesinde tüm kütüphaneler aynı orantı sabitine bağlanmış olur.
3
Toplam kitap sayısını kullanarak orantı sabitini (kk) bulunuz.
8k+12k+15k=35k=7008k + 12k + 15k = 35k = 700 ise k=70035=20k = \frac{700}{35} = 20 olur.
Verilen toplam miktar, parçaların toplamına eşittir.
4
Soruda istenen kütüphanenin (LL) miktarını hesaplayınız.
L=12k=12×20=240L = 12k = 12 \times 20 = 240.
LL kütüphanesinin orantıdaki payı 1212 birimdir.

Anahtar Kavram

İkili oranları birleştirme ve toplam miktar üzerinden parça değerini bulma.

İpuçları

1
Her iki oranda da bulunan ortak kütüphaneyi (L) bulun ve oranlardaki değerlerini eşitleyin.
2
L'nin karşısındaki 3 ve 4 sayılarını EKOK(3,4) = 12 olacak şekilde genişletin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, en çok alan ile en az alan arasındaki farkı bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 290Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
4x4+3x2+1 4x^4 + 3x^2 + 1

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x2−x+12x^2 - x + 1

Cevap

2x2−x+12x^2 - x + 1 ifadesi doğru çarpandır.
Verilen 4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesi standart yöntemlerle çarpanlarına ayrılamaz. Bu tip ifadelerde 'terim ekleyip çıkarma' yöntemi kullanılır. İfadeye x2x^2 ekleyip çıkarırsak: (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 elde ederiz. İlk kısım (2x2+1)(2x^2+1)'in karesidir. Böylece ifade (2x2+1)2−x2(2x^2+1)^2 - x^2 şeklinde iki kare farkına dönüşür. Buradan ((2x2+1)−x)((2x2+1)+x)((2x^2+1)-x)((2x^2+1)+x) çarpanları bulunur. Seçeneklerdeki 2x2−x+12x^2 - x + 1 bu çarpanlardan biridir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi tam kareye tamamlayacak şekilde uygun bir terim ekleyip çıkaralım.
4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesini (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 şeklinde yazarız.
Bu sayede ifade iki kare farkı formatına dönüştürülebilir.
2
İlk parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım.
4x4+4x2+1=(2x2+1)24x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2 olduğu için ifade (2x2+1)2−x2(2x^2 + 1)^2 - x^2 halini alır.
Tam kare özdeşliğinin tanınması.
3
İki kare farkı özdeşliğini (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) uygulayalım.
((2x2+1)−x)((2x2+1)+x)((2x^2 + 1) - x)((2x^2 + 1) + x)
Çarpanlara ayırma işleminin tamamlanması.
4
Çarpanları düzenleyelim ve seçenekleri kontrol edelim.
Çarpanlar (2x2−x+1)(2x^2 - x + 1) ve (2x2+x+1)(2x^2 + x + 1) olarak bulunur.
Bulunan çarpanların seçeneklerle eşleştirilmesi.

Anahtar Kavram

Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
İfadeyi standart yöntemlerle (paranteze alma veya gruplandırma) çarpanlarına ayıramıyorsanız, ifadeyi bir tam kareye tamamlamayı düşünün.
2
4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1 ifadesini (2x2+1)2(2x^2+1)^2 formuna benzetmek için ne eklenip çıkarılmalıdır?
3
İfadeye x2x^2 ekleyip x2x^2 çıkarın. Böylece (4x4+4x2+1)−x2(4x^4 + 4x^2 + 1) - x^2 elde edeceksiniz. Şimdi iki kare farkı özdeşliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılması sorusunu inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi denenerek x2=tx^2 = t dönüşümü yapılabilir, ancak 4t2+3t+14t^2 + 3t + 1 ifadesinin reel kökü olmadığı (diskriminant < 0) görüldüğünde, bu yolun kapalı olduğu anlaşılır ve terim ekleme yöntemine dönülür.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 291Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+3f(−x)=4x2−2x+8 f(x) + 3f(-x) = 4x^2 - 2x + 8

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

f(2) değeri 8 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel eşitlikte xx ve −x-x değişkenleri birbirine bağlıdır. f(2)f(2) değerini bulmak için x=2x=2 ve x=−2x=-2 değerlerini ayrı ayrı yerine koyarak iki bilinmeyenli (f(2)f(2) ve f(−2)f(-2)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer olan 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x yerine 2 yazarak birinci denklemi oluştur.
f(2)+3f(−2)=4(22)−2(2)+8=16−4+8=20f(2) + 3f(-2) = 4(2^2) - 2(2) + 8 = 16 - 4 + 8 = 20
Aranan f(2) değeri ile f(-2) arasında bir ilişki kurmak için.
2
Verilen eşitlikte x yerine -2 yazarak ikinci denklemi oluştur.
f(−2)+3f(2)=4(−2)2−2(−2)+8=16+4+8=28f(-2) + 3f(2) = 4(-2)^2 - 2(-2) + 8 = 16 + 4 + 8 = 28
İki bilinmeyenli denklem sistemi elde etmek için simetrik değeri kullanmak gerekir.
3
Elde edilen iki denklemi f(2)'yi bulmak için çöz (Yok etme metodu).
1. Denklem: f(2)+3f(−2)=20f(2) + 3f(-2) = 20
2. Denklem: 3f(2)+f(−2)=283f(2) + f(-2) = 28
İkinci denklemi -3 ile çarpıp birinciyle topla:
f(2)+3f(−2)=20f(2) + 3f(-2) = 20
−9f(2)−3f(−2)=−84-9f(2) - 3f(-2) = -84
----------------------
−8f(2)=−64-8f(2) = -64
f(-2) terimini yok ederek f(2) değerine ulaşmak için.
4
Sonucu hesapla.
f(2)=8f(2) = 8
İşlemi tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Denklem Sistemleri)

İpuçları

1
Eşitlikte sadece x=2 yazmak yeterli değildir, bilinmeyen bir f(-2) terimi ortaya çıkar.
2
f(-2) değerini içeren başka bir denklem bulmak için x yerine -2 yazmayı dene.
3
Elde ettiğin iki denklemi taraf tarafa yok etme metodunu kullanarak çöz ve f(2)'yi yalnız bırak.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki f(x) + 2f(1/x) = 3x sorularını incele.

Alternatif Yöntem

Genel fonksiyon kuralını bulmak: Denklem sistemini genel x için çözerek f(x) = x^2 + x + 2 olduğunu bulup, sonra x=2 yazabilirsin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 292Soru →

x,yx, y ve zz gerçel sayıları aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x=(−23)−2 x = (-2^3)^{-2}

y=−20+(−1)2026 y = -2^0 + (-1)^{2026}

z=(−2−1)3 z = (-2^{-1})^3

Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: z < y < x

Cevap

Doğru sıralama z < y < x şeklindedir.
Verilen ifadeler işlem önceliği ve üslü sayı kurallarına göre hesaplandığında; x pozitif bir kesir (1/64), y sıfır (0) ve z negatif bir kesir (-1/8) olarak bulunur. Bu nedenle en küçük z, sonra y, en büyük x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x sayısının değerini hesapla.
x=(−23)−2=(−8)−2=1(−8)2=164x = (-2^3)^{-2} = (-8)^{-2} = \frac{1}{(-8)^2} = \frac{1}{64}
Parantez içindeki ifade önce hesaplanır, ardından negatif üs işlemi yapılır. Çift kuvvet sonucu pozitiftir.
2
y sayısının değerini hesapla.
y=−20+(−1)2026=−1+1=0y = -2^0 + (-1)^{2026} = -1 + 1 = 0
−20-2^0 ifadesinde parantez olmadığı için eksi işareti etkilenmez (−1-1). (−1)2026(-1)^{2026} ifadesinde kuvvet çift olduğu için sonuç +1+1 olur.
3
z sayısının değerini hesapla.
z=(−2−1)3=(−12)3=−18z = (-2^{-1})^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}
Negatif tabanın tek kuvveti (3) alındığı için sonuç negatif kalır.
4
Bulunan değerleri karşılaştır.
z=−18z = -\frac{1}{8} (Negatif), y=0y = 0 (Sıfır), x=164x = \frac{1}{64} (Pozitif)
Negatif sayı en küçüktür, pozitif sayı en büyüktür. Sıralama: z < y < x.

Anahtar Kavram

Negatif Taban ve Üs Özellikleri

İpuçları

1
-2^0 ile (-2)^0 arasındaki farka dikkat ediniz. Parantez yoksa işaret üsten etkilenmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 293Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=x+yx⋅yx \triangle y = \frac{x+y}{x \cdot y}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (3△3)△k=2(3 \triangle 3) \triangle k = 2 eşitliğini sağlayan kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlem tanımı uygulandığında denklemi sağlayan kk değeri 2 olarak bulunur.
Verilen işlem kuralı adım adım uygulandığında parantez içindeki ifadenin değeri 2/32/3 olarak hesaplanır. Bu değer ile kk değişkeni tekrar işleme sokulduğunda elde edilen rasyonel denklem çözüldüğünde kk sayısının 2 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki 3△33 \triangle 3 işleminin sonucunu bulalım.
3△3=3+33⋅3=69=233 \triangle 3 = \frac{3+3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
İşlem önceliği gereği önce parantez içindeki ifade hesaplanmalıdır.
2
Bulunan değeri ana denklemde yerine yazalım.
23△k=2\frac{2}{3} \triangle k = 2
Parantez içindeki ifadenin sayısal değeri denklemdeki yerine yerleştirilir.
3
İşlem kuralını rasyonel ifadeye uygulayalım.
23+k23⋅k=2\frac{\frac{2}{3} + k}{\frac{2}{3} \cdot k} = 2
Tanımlanan △\triangle kuralı yeni değerler için çalıştırılır.
4
Pay kısmında payda eşitleyip ifadeyi düzenleyelim.
2+3k32k3=2⇒2+3k2k=2\frac{\frac{2+3k}{3}}{\frac{2k}{3}} = 2 \Rightarrow \frac{2+3k}{2k} = 2
Kompleks rasyonel ifade sadeleştirilerek çözülebilir bir denklem haline getirilir.
5
İçler-dışlar çarpımı yaparak kk değerini çözelim.
2+3k=4k⇒2=4k−3k⇒k=22+3k = 4k \Rightarrow 2 = 4k - 3k \Rightarrow k = 2
Birinci dereceden denklem çözülerek bilinmeyen değer bulunur.

Anahtar Kavram

İşlem konusu, tanımlanan sembolik kuralın verilen değerlere doğru şekilde uygulanmasını ve rasyonel ifadelerde işlem yeteneğini ölçer.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki 3△33 \triangle 3 ifadesinin sayısal değerini bulmalısınız.
2
Bulduğunuz 2/32/3 değerini kuralda tekrar yerine yazarak 2+3k2k=2\frac{2+3k}{2k} = 2 denklemini kurun.
3
Denklemdeki içler-dışlar çarpımından sonra kk terimlerini eşitliğin bir tarafında toplayarak sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

İşlem kuralı birim eleman veya yutan eleman sorsaydı, işlem tanımını x△e=xx \triangle e = x veya x△y=yx \triangle y = y şeklinde kurmanız gerekecekti.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 294Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle ve ◯\bigcirc işlemleri için aşağıdaki tanımlar verilmiştir.

[Visual Hint: Definitions of the operations]

Buna göre,
△(◯(1))=◯(△(2))\triangle(\bigcirc(1)) = \bigcirc(\triangle(2))
eşitliğini sağlayan mm gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitliği sağlayan m değeri -2'dir.
Verilen tanımlara göre adım adım işlem yapıldığında; sol taraf 18−m18-m, sağ taraf ise 16−2m16-2m olarak bulunur. Bu iki ifadenin eşitliğinden m=−2m = -2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki iç işlemi hesapla.
◯(1)=2(1)+4=6\bigcirc(1) = 2(1) + 4 = 6
Önce parantez içindeki daire işlemi uygulanır.
2
Eşitliğin sol tarafındaki dış işlemi hesapla.
△(6)=3(6)−m=18−m\triangle(6) = 3(6) - m = 18 - m
Bulunan 6 değeri üçgen kuralına göre işlenir.
3
Eşitliğin sağ tarafındaki iç işlemi hesapla.
△(2)=3(2)−m=6−m\triangle(2) = 3(2) - m = 6 - m
Önce parantez içindeki üçgen işlemi uygulanır.
4
Eşitliğin sağ tarafındaki dış işlemi hesapla.
◯(6−m)=2(6−m)+4=12−2m+4=16−2m\bigcirc(6 - m) = 2(6 - m) + 4 = 12 - 2m + 4 = 16 - 2m
Bulunan (6-m) ifadesi daire kuralına göre işlenir. 2 katsayısının parantez içine dağıtılmasına dikkat edilmelidir.
5
Elde edilen iki ifadeyi eşitle ve denklemi çöz.
18−m=16−2m⇒2m−m=16−18⇒m=−218 - m = 16 - 2m \Rightarrow 2m - m = 16 - 18 \Rightarrow m = -2
Birinci dereceden denklem çözülerek bilinmeyen bulunur.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler ve Bileşke Fonksiyon Mantığı ile Denklem Çözme

İpuçları

1
Önce eşitliğin her iki tarafındaki 'iç' işlemleri (parantez içlerini) hesaplayarak başlayın.
2
Sol tarafta ◯(1)\bigcirc(1) değerini bulup üçgen kuralına koyun. Sağ tarafta △(2)\triangle(2) değerini bulup daire kuralına koyun. Daire kuralını uygularken (6−m)(6-m) ifadesini parantez içinde yazmayı unutmayın.
3
Sağ taraftaki işlemde 2(6−m)+42(6-m) + 4 ifadesini açarken 2'yi hem 6 ile hem de -m ile çarpmalısınız. Denklem 18−m=16−2m18 - m = 16 - 2m h haline gelecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, xx değişkeninin her iki tarafta da olduğu ve 'her x gerçel sayısı için sağlanır' koşulunu içeren denklemleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi mm parametresine bağlı fonksiyonlar olarak yazıp f(g(1))=g(f(2))f(g(1)) = g(f(2)) şeklinde bileşke fonksiyon kuralı ile de çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 295Soru →
xx bir gerçel sayı ve x2−8x+13=0x^2 - 8x + 13 = 0 olduğuna göre,
(x−2)2+1(x−2)2(x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2}

ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İfadenin değeri 14 olarak bulunur.
Verilen denklem (x−2)2−4(x−2)+1=0(x-2)^2 - 4(x-2) + 1 = 0 şeklinde düzenlenip her terim (x−2)(x-2)'ye bölündüğünde (x−2)+1/(x−2)=4(x-2) + 1/(x-2) = 4 eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin karesi alındığında (x−2)2+2+1/(x−2)2=16(x-2)^2 + 2 + 1/(x-2)^2 = 16 bağıntısına ulaşılır ve buradan istenen değer 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x2−8x+13=0x^2 - 8x + 13 = 0 denklemini (x−2)(x-2) terimine göre düzenleyin.
(x−2)2−4(x−2)+1=0(x-2)^2 - 4(x-2) + 1 = 0
Soruda sorulan ifadenin tabanı (x−2)(x-2) olduğu için denklem bu terim cinsinden yazılmalıdır.
2
Elde edilen denklemin her terimini (x−2)(x-2) ile bölün.
(x−2)−4+1x−2=0⇒(x−2)+1x−2=4(x-2) - 4 + \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow (x-2) + \frac{1}{x-2} = 4
İstenen kareli ifadeye ulaşmak için toplam biçimindeki temel özdeşlik yapısını kurmak gerekir.
3
Her iki yanın karesini alın.
((x−2)+1x−2)2=42⇒(x−2)2+2+1(x−2)2=16((x-2) + \frac{1}{x-2})^2 = 4^2 \Rightarrow (x-2)^2 + 2 + \frac{1}{(x-2)^2} = 16
Tam kare özdeşliği (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kuralını uygulamak için karesi alınır.
4
Sabit terimi karşıya atarak sonucu bulun.
(x−2)2+1(x−2)2=16−2=14(x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2} = 16 - 2 = 14
Denklemin sol tarafında yalnızca istenen ifadeyi bırakmak için çarpım teriminden gelen 2 sayısı karşıya geçirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemleri değişken değiştirme ve tam kare özdeşliği yardımıyla rasyonel ifadelere dönüştürme.

Daha Fazla Pratik

Değişkeni kaydırılmış benzer rasyonel özdeşlik soruları çözerek terim benzetme becerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemin kökleri x=4±3x = 4 \pm \sqrt{3} olarak bulunabilir. Bu köklerden biri yerine yazıldığında (4+3−2)=2+3(4 + \sqrt{3} - 2) = 2 + \sqrt{3} elde edilir. (2+3)2+1/(2+3)2(2 + \sqrt{3})^2 + 1/(2 + \sqrt{3})^2 ifadesi hesaplandığında 7+43+7−43=147 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14 sonucuna yine ulaşılacaktır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 296Soru →
x≠1x \neq 1 ve x≠−1x \neq -1 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x−1x+1)=4x+4x−1−5f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{4x+4}{x-1} - 5

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen değer 3'tür.
Soruda verilen fonksiyon yapısında, parantez içindeki ifade x−1x+1\frac{x-1}{x+1} ile eşitliğin sağ tarafındaki x+1x−1\frac{x+1}{x-1} ifadesi birbirinin çarpımsal tersidir. İçeriye uu dersek, sağ taraftaki kesirli kısım 1/u1/u olur. Katsayılarla birlikte fonksiyon f(u)=4(1/u)−5f(u) = 4(1/u) - 5 şeklini alır. Bizden f(1/2)f(1/2) istendiği için, uu yerine 1/21/2 yazdığımızda sonuç 4/(1/2)−5=8−5=34/(1/2) - 5 = 8 - 5 = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içindeki ifade ile eşitliğin karşı tarafındaki ifade arasındaki ilişkiyi analiz et.
İçerideki ifade u=x−1x+1u = \frac{x-1}{x+1} iken, karşı tarafta x+1x−1\frac{x+1}{x-1} çarpanı bulunmaktadır. Bu ifade 1u\frac{1}{u}'ya eşittir.
Fonksiyonun kuralını (f(u)f(u)) genel bir formda yazmak çözümü kolaylaştırır.
2
Eşitliği uu cinsinden yeniden yaz.
RHS (Sağ Taraf): 4(x+1)x−1−5=4⋅(x+1x−1)−5=4⋅1u−5\frac{4(x+1)}{x-1} - 5 = 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-1}\right) - 5 = 4 \cdot \frac{1}{u} - 5. Yani f(u)=4u−5f(u) = \frac{4}{u} - 5.
Karmaşık x ifadeleri yerine sadeleştirilmiş fonksiyon kuralını elde etmek için.
3
İstenen u=1/2u = 1/2 değerini fonksiyonda yerine yaz.
f(1/2)=41/2−5=(4⋅2)−5=8−5=3f(1/2) = \frac{4}{1/2} - 5 = (4 \cdot 2) - 5 = 8 - 5 = 3.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değişken Dönüştürme

İpuçları

1
Fonksiyonun içindeki x−1x+1\frac{x-1}{x+1} ifadesi ile eşitliğin sağındaki 4x+4x−1\frac{4x+4}{x-1} ifadesi arasında bir ilişki kurmaya çalışın.
2
Eşitliğin sağ tarafını 4⋅x+1x−1−54 \cdot \frac{x+1}{x-1} - 5 şeklinde paranteze alırsanız, içerideki ifadenin tersini görebilirsiniz.
3
Eğer x−1x+1=u\frac{x-1}{x+1} = u derseniz, x+1x−1=1u\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{u} olur. Fonksiyonu f(u)f(u) cinsinden yazıp u=1/2u=1/2 değerini koyun.

Daha Fazla Pratik

Bileşke fonksiyon sorularında f(g(x))f(g(x)) yapısını ve f(x)f(x) ile f(1/x)f(1/x) arasındaki ilişkileri inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce xx değerini bulma yöntemi: Fonksiyonun içinin 1/21/2 olması için x−1x+1=12\frac{x-1}{x+1} = \frac{1}{2} denklemini çözerek x=3x=3 bulursunuz. Sonra eşitliğin sağ tarafında xx yerine 3 yazarak sonucu doğrudan hesaplayabilirsiniz: 4(3)+43−1−5=162−5=3\frac{4(3)+4}{3-1} - 5 = \frac{16}{2} - 5 = 3.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 297Soru →

Uzunluğu sabit olan bir metal tel, hiç artmayacak şekilde bükülerek bir kare elde ediliyor. Aynı tel düzeltilip tekrar bükülerek bir düzgün altıgen elde edildiğinde, kenar uzunluğunun kareye göre 55 cm daha kısa olduğu görülüyor. Buna göre, kullanılan telin toplam uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Telin toplam uzunluğu 60 cm'dir.
Soruda aynı telin iki farklı geometrik şekle (kare ve düzgün altıgen) dönüştürülmesi anlatılmaktadır. Telin uzunluğu değişmediği için iki şeklin çevresi eşittir. Karenin bir kenarına xx denilirse çevresi 4x4x, düzgün altıgenin bir kenarı (x−5)(x-5) olacağından çevresi 6(x−5)6(x-5) olur. Bu iki ifade eşitlendiğinde (4x=6x−304x = 6x - 30) karenin kenarı 15 cm, telin toplam uzunluğu ise 60 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin bir kenar uzunluğuna xx diyelim. Bu durumda telin toplam uzunluğu karenin çevresine, yani 4x4x'e eşit olur.
Tel Uzunluğu = 4x4x
Karenin çevresi 4 kenarının toplamıdır.
2
Düzgün altıgenin kenar uzunluğu, karenin kenar uzunluğundan 5 cm kısa olduğuna göre, altıgenin bir kenarı (x−5)(x-5) cm olur. Telin uzunluğu altıgenin çevresine de eşittir.
Tel Uzunluğu = 6(x−5)6(x-5)
Düzgün altıgenin çevresi 6 kenarının toplamıdır.
3
Telin uzunluğu sabit olduğundan iki ifadeyi birbirine eşitleyip denklemi çözelim.
4x=6(x−5)4x = 6(x-5)
Aynı tel kullanıldığı için çevre uzunlukları eşittir.
4
Denklemi çözelim: 4x=6x−30⇒30=2x⇒x=154x = 6x - 30 \Rightarrow 30 = 2x \Rightarrow x = 15.
Karenin kenarı x=15x = 15 cm
Birinci dereceden denklem çözümü.
5
Telin toplam uzunluğunu bulmak için xx değerini yerine yazalım: 4×154 \times 15.
6060 cm
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Denklemlerle Geometrik Problemlerin Modellenmesi

İpuçları

1
Telin uzunluğu her iki durumda da aynıdır. Karenin 4, düzgün altıgenin 6 kenarı olduğunu hatırlayınız.
2
Karenin bir kenarına xx cm derseniz, telin uzunluğu 4x4x olur. Altıgenin bir kenarı bundan 5 cm kısadır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu çevre uzunlukları yerine alan ilişkileri üzerinden kurgulayarak ikinci dereceden denklemlere geçiş yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 298Soru →
x<y<0<zx < y < 0 < z olmak üzere,
∣x+y∣+∣y−z∣−∣z−x∣|x + y| + |y - z| - |z - x|

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2y-2y

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde sonuç −2y-2y olarak bulunur.
Verilen eşitsizliklere göre x+yx+y negatif, y−zy-z negatif ve z−xz-x pozitiftir. Bu bilgiler ışığında ifadeler mutlak değerden sırasıyla −x−y-x-y, z−yz-y ve z−xz-x olarak çıkar. Toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında (−x−y)+(z−y)−(z−x)(-x-y) + (z-y) - (z-x) işlemi −2y-2y sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x+y∣|x + y| ifadesinin işaretini belirle.
x<0x < 0 ve y<0y < 0 olduğundan x+y<0x + y < 0 olur. Bu durumda ∣x+y∣=−(x+y)=−x−y|x + y| = -(x + y) = -x - y şeklinde dışarı çıkar.
Negatif bir sayının mutlak değeri, o sayının eksi ile çarpılmış halidir.
2
∣y−z∣|y - z| ifadesinin işaretini belirle.
y<0y < 0 ve z>0z > 0 olduğundan y−zy - z farkı negatiftir (y<zy < z ise y−z<0y - z < 0). Dolayısıyla ∣y−z∣=−(y−z)=z−y|y - z| = -(y - z) = z - y olur.
Küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında sonuç negatif olur.
3
∣z−x∣|z - x| ifadesinin işaretini belirle.
z>0z > 0 ve x<0x < 0 olduğundan z−xz - x farkı pozitiftir (z>xz > x ise z−x>0z - x > 0). Bu yüzden ∣z−x∣=z−x|z - x| = z - x olarak aynen çıkar.
Pozitif bir sayı mutlak değer dışına aynen çıkar.
4
Bulunan ifadeleri ana denklemde yerine yaz ve sadeleştir.
(−x−y)+(z−y)−(z−x)=−x−y+z−y−z+x=−2y(-x - y) + (z - y) - (z - x) = -x - y + z - y - z + x = -2y.
Parantezleri açıp benzer terimleri topladığımızda xx ve zz değişkenleri birbirini yok eder.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içerisindeki ifade negatifse eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen dışarı çıkarılır.

İpuçları

1
Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini (pozitif mi negatif mi) belirlemek için verilen x<y<0<zx < y < 0 < z sıralamasını kullanın.
2
xx ve yy negatif sayılar olduğuna göre, toplamları olan x+yx+y de negatiftir. Negatif bir ifade mutlak değerden önüne eksi alarak çıkar.
3
∣z−x∣|z-x| ifadesinde zz, xx'den daha büyük olduğu için içerisi pozitiftir ve aynen çıkar. Ancak önündeki eksi işaretini tüm ifadeye dağıtmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin yerlerini veya eşitsizlik yönlerini değiştirerek benzer sadeleştirme soruları çözmek konuyu pekiştirecektir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 299Soru →
xx değişkenine bağlı
ax−2−1x+1=2x2−x−2\frac{a}{x-2} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-x-2}

denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53\frac{5}{3}

Cevap

a sayısının alabileceği değerler 1 ve 2/3 olup, bunların toplamı 5/3 tür.
Çözüm kümesinin boş olması iki durumda mümkündür: 1) Değişkenin yok olması ve geriye yanlış bir eşitlik kalması (a=1a=1 durumu), 2) Bulunan kökün paydayı sıfır yaparak tanımsız olması (a=2/3a=2/3 durumu). Bu değerlerin toplamı 5/35/3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki paydalar incelenir ve ortak payda belirlenir.
x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2-x-2 = (x-2)(x+1) olduğundan, sol taraftaki kesirlerin paydaları eşitlenerek ifade düzenlenir: a(x+1)−1(x−2)(x−2)(x+1)=2(x−2)(x+1)\frac{a(x+1) - 1(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{(x-2)(x+1)}
Rasyonel denklemlerde işlem yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Paydalar eşit olduğu için paylar birbirine eşitlenir ve denklem düzenlenir. (Tanım kümesi: x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1)
ax+a−x+2=2⇒(a−1)x+a=0⇒(a−1)x=−aax + a - x + 2 = 2 \Rightarrow (a-1)x + a = 0 \Rightarrow (a-1)x = -a
Birinci dereceden denklem formuna (Ax=BAx = B) getirilerek çözüm analizi yapılır.
3
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 1. Durum (Katsayıların Sıfırlanması) incelenir.
xx'in katsayısı 00 ve sonuç 00'dan farklı olmalıdır. a−1=0⇒a=1a-1=0 \Rightarrow a=1. Bu durumda denklem 0=−10 = -1 olur, çözüm yoktur. Yani a=1a=1 bir değerdir.
0x=k0x = k (k≠0k \neq 0) formatındaki denklemlerin çözüm kümesi boş kümedir.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması için gereken 2. Durum (Tanımsızlık) incelenir.
Bulunan xx değeri paydayı sıfır yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilemez. x=−aa−1x = \frac{-a}{a-1}. Paydayı sıfır yapan değerler 22 ve −1-1'dir.
x=2x=2 için: −aa−1=2⇒−a=2a−2⇒3a=2⇒a=2/3\frac{-a}{a-1} = 2 \Rightarrow -a = 2a-2 \Rightarrow 3a=2 \Rightarrow a=2/3.
x=−1x=-1 için: −aa−1=−1⇒−a=−a+1\frac{-a}{a-1} = -1 \Rightarrow -a = -a+1 (Çözüm yok).
Denklemi sağlayan kök, başlangıçtaki paydayı sıfır yapıyorsa bu kök çözüm kümesine alınmaz, dolayısıyla küme boş kalır.
5
Bulunan uygun aa değerleri toplanır.
aa değerleri 11 ve 23\frac{2}{3}'tür. Toplam: 1+23=531 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} bulunur.
Soruda aa'nın alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesinin boş küme olması için ya 0x=k(k≠0)0x=k (k \neq 0) durumu oluşmalı ya da bulunan kök tanım kümesi dışında (paydayı sıfır yapan değer) olmalıdır.

İpuçları

1
Denklemdeki rasyonel ifadeleri toplamak için paydaları eşitleyin ve payları birbirine eşitleyerek doğrusal bir denklem (Ax+B=0Ax+B=0 formatında) elde edin.
2
Bir denklemin çözüm kümesi boşsa, iki ihtimal vardır: Ya 0x=k0x = k (k≠0k \neq 0) gibi bir çelişki oluşuyordur ya da bulunan xx değeri paydayı sıfır yaptığı için kabul edilemiyordur.
3
(a−1)x=−a(a-1)x = -a denklemini inceleyin. Katsayı sıfır olursa ne olur? Ayrıca, bu denklemin kökü olan xx, başlangıçtaki x−2x-2 paydasını sıfır yaparsa ne olur?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 300Soru →
a<0<ba < 0 < b olduğuna göre,
(a−b)2+a2−b44\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{a^2} - \sqrt[4]{b^4}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2a-2a

Cevap

İfadenin en sade hali −2a-2a olarak bulunur.
Verilen a<0<ba < 0 < b koşulu altında, çift dereceli köklerin içindeki ifadeler mutlak değer içinde dışarı çıkar. ∣a−b∣|a-b| ifadesi a<ba < b olduğu için b−ab-a, ∣a∣|a| ifadesi a<0a < 0 olduğu için −a-a ve ∣b∣|b| ifadesi b>0b > 0 olduğu için bb olarak çıkar. Bu değerler yerlerine yazıldığında (b−a)+(−a)−b=−2a(b-a) + (-a) - b = -2a elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök derecelerine göre mutlak değer kuralını uygulayın.
∣a−b∣+∣a∣−∣b∣|a-b| + |a| - |b|
Çift dereceli kökler için xnn=∣x∣\sqrt[n]{x^n} = |x| kuralı geçerlidir.
2
Mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretlerini belirleyin.
a−b<0a-b < 0, a<0a < 0 ve b>0b > 0
aa negatif ve bb pozitif olduğu için a−ba-b farkı negatiftir.
3
İfadeleri mutlak değer dışına çıkarın.
(b−a)+(−a)−(b)(b-a) + (-a) - (b)
Negatif ifadeler işaret değiştirerek, pozitif ifadeler ise aynen dışarı çıkar.
4
Benzer terimleri sadeleştirin.
b−a−a−b=−2ab - a - a - b = -2a
Pozitif ve negatif bb terimleri birbirini yok eder, −a-a terimleri toplanır.

Anahtar Kavram

Çift dereceli köklü ifadelerin mutlak değer ile dışarı çıkması

İpuçları

1
Çift dereceli bir kökün içindeki sayının karesi dışarı çıkarken mutlak değer kullanmayı unutmayın.
2
a<0a < 0 ve b>0b > 0 ise a−ba-b işleminin sonucunun negatif olacağını düşünerek mutlak değerden çıkarın.
3
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralına göre, aa negatif olduğu için ∣a∣=−a|a| = -a şeklinde yazılmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin işaretlerinin değiştiği veya tek dereceli köklerin de dahil olduğu benzer sadeleştirme sorularını çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 15 / 22Sonraki
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 15 | Examkin