Examkin

Cebir

424 soru

Soru 301Soru →

A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} ve B={2,3,4,5}B = \{2, 3, 4, 5\} kümeleri veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin tüm elemanlarını bir araya getiren A∪BA \cup B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}

Cevap

{1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\} kümesi, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını kapsayan birleşim kümesidir.
İki kümenin birleşimi (A∪BA \cup B), bu kümelerin tüm elemanlarını içeren ve ortak elemanların yalnızca bir kez yazıldığı kümedir. A kümesinin elemanları {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} ve B kümesinin elemanları {2,3,4,5}\{2, 3, 4, 5\} birleştirildiğinde {1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\} kümesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B kümelerinin elemanlarını belirleyelim.
A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} ve B={2,3,4,5}B = \{2, 3, 4, 5\} kümeleri verilmiştir.
İşlem yapmadan önce her iki kümedeki elemanların listesini netleştirmemiz gerekir.
2
Kümelerdeki ortak elemanları tespit edelim.
3 ve 5 elemanları her iki kümede de ortaktır.
Kümelerin birleşimi yazılırken ortak elemanlar küme içine sadece bir kez yazılır.
3
Tüm elemanları tek bir küme içerisinde birleştirelim.
A∪B={1,3,5,7,2,4}A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 2, 4\} (Küçükten büyüğe sıralarsak: {1,2,3,4,5,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 7\})
Birleşim işlemi (∪\cup), her iki kümede bulunan tüm elemanları kapsayan yeni bir küme oluşturur.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi (Union)

İpuçları

1
Birleşim sembolü olan ∪\cup, her iki kümedeki elemanların tamamını bir torbaya toplamak gibidir.
2
Her iki kümede de ortak olan elemanlar (3 ve 5) vardır. Bu elemanları sonuç kümesine yazarken sadece bir kez yazmanız gerektiğini unutmayın.
3
AA kümesinden 1, 3, 5, 7 elemanlarını ve BB kümesinden 2, 4 elemanlarını (3 ve 5 zaten yazıldığı için) alarak birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Kümelerde kesişim (A∩BA \cap B) işlemini pekiştirmek için benzer bir soruyu kesişim odaklı çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek A ve B halkalarının içindeki tüm elemanları tek tek sayarak da birleşim kümesini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 302Soru →

Bir kamu personeli seçme sınavı denemesinde adaylara şu soru yöneltilmiştir:

3x+15=453x + 15 = 45

Buna göre, bu denklemi sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Verilen denklemi sağlayan x değeri 10'dur.
Verilen 3x+15=453x + 15 = 45 denkleminde, önce +15+15 sayısı karşı tarafa −15-15 olarak geçirilir. Bu durumda 3x=303x = 30 elde edilir. Daha sonra xx değerini bulmak için 3030 sayısı 33'e bölünür ve x=10x = 10 sonucuna ulaşılır. Bu değer denklemi sağlayan doğru köktür.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +15+15 sayısını eşitliğin sağ tarafına geçirelim.
3x=45−153x = 45 - 15
Eşitliğin bir tarafındaki toplama işlemi durumundaki sayı, diğer tarafa çıkarma işlemi (işaret değiştirerek) olarak geçer.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki çıkarma işlemini yapalım.
3x=303x = 30
4545'den 1515 çıkarıldığında 3030 elde edilir.
3
xx değerini bulmak için her iki tarafı xx'in katsayısı olan 33'e bölelim.
x=303=10x = \frac{30}{3} = 10
xx'i tamamen yalnız bırakmak için çarpım durumundaki 33 sayısını bölü olarak karşıya geçirmemiz gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde temel amaç, bilinmeyeni (x) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.

İpuçları

1
xx sayısını yalnız bırakmak için önce yanındaki toplama işlemini tersine çevirmeyi deneyin.
2
+15+15 sayısı karşı tarafa nasıl geçer? Eşitliğin sağ tarafında hangi işlemi yapmalısınız?
3
3x=303x = 30 eşitliğini elde ettikten sonra her iki tarafı 33'e bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Buna benzer bir sonraki adım olarak, bilinmeyenin her iki tarafta olduğu (örneğin 2x+5=x+122x + 5 = x + 12) denklemleri çözmeye çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi çözmek yerine seçenekleri xx yerine koyarak hangisinin 4545 sonucunu verdiğini kontrol edebilirsiniz: 3×10+15=30+15=453 \times 10 + 15 = 30 + 15 = 45.
Tahmini Süre:45s
Soru 303Soru →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a≠ba \neq b ve
a2+bc=b2+ac a^2 + bc = b^2 + ac

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+bc\frac{a + b}{c} ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Verilen eşitlikten hareketle elde edilen a+b=ca + b = c bağıntısı sonucunda istenen oran 1 olarak bulunur.
Verilen denklemde terimler bir tarafa toplanıp (a−b)(a-b) ortak parantezine alındığında, a≠ba \neq b olduğu için a+b−c=0a+b-c=0 sonucuna ulaşılır. Buradan a+b=ca+b=c olduğu görülür ve oran 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa taşıyarak ifadeyi sıfıra eşitleyin.
a2−b2−ac+bc=0a^2 - b^2 - ac + bc = 0
İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırabilmek için tüm terimlerin aynı tarafta olması gerekir.
2
Terimleri ikili gruplar halinde düzenleyin.
(a2−b2)−(ac−bc)=0(a^2 - b^2) - (ac - bc) = 0
İki kare farkı ve ortak çarpan parantezi yöntemlerini uygulayabilmek için uygun gruplar oluşturulur.
3
a2−b2a^2 - b^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği ile açın.
(a−b)(a+b)−c(a−b)=0(a - b)(a + b) - c(a - b) = 0
Cebirsel ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.
4
İfadeyi ortak olan (a−b)(a - b) çarpanı parantezine alın.
(a−b)(a+b−c)=0(a - b)(a + b - c) = 0
Her iki grupta bulunan ortak çarpan paranteze alınarak çarpım durumuna getirilir.
5
a≠ba \neq b bilgisini kullanarak denklemi çözümleyin.
a−b≠0a - b \neq 0 olduğu için a+b−c=0⇒a+b=ca + b - c = 0 \Rightarrow a + b = c olmalıdır.
İki sayının çarpımı sıfırsa ve çarpanlardan biri sıfır değilse diğeri mutlaka sıfırdır.
6
Bulunan bağıntıyı istenen oranda yerine yazın.
a+bc=cc=1\frac{a + b}{c} = \frac{c}{c} = 1
a+ba + b toplamı cc sayısına eşit olduğundan oran 1 olur.

Anahtar Kavram

Gruplandırma Yöntemiyle Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
Eşitliğin sağındaki tüm ifadeleri sol tarafa alarak ifadeyi sıfıra eşitleyin.
2
a2−b2a^2 - b^2 ve −ac+bc-ac + bc ifadelerini ayrı ayrı gruplandırarak ortak çarpanları bulmaya çalışın.
3
a≠ba \neq b olduğu için (a−b)(a-b) çarpanının sıfır olamayacağını hatırlayın ve diğer çarpanı sıfıra eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İçinde üç terimli ifadelerin (ax² + bx + c) bulunduğu rasyonel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

a,ba, b ve cc değerleri için a≠ba \neq b ve denklemi sağlayan uygun sayılar seçebilirsiniz. Örneğin a=2,b=1a=2, b=1 alırsak; 4+c=1+2c⇒c=34 + c = 1 + 2c \Rightarrow c = 3 olur. Bu durumda a+bc=2+13=1\frac{a+b}{c} = \frac{2+1}{3} = 1 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 304Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları,
f(x)={4−x,x<22x−1,x≥2f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 2 \\ 2x - 1, & x \ge 2 \end{cases}

g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2

biçiminde verilmiştir. Buna göre, (f∘g−1)(4)+(g∘f)(1)(f \circ g^{-1})(4) + (g \circ f)(1) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemin sonucu 10'dur.
Doğru sonuca ulaşmak için adım adım ilerlenmelidir. Öncelikle (f∘g−1)(4)(f \circ g^{-1})(4) için g(x)=4g(x)=4 denklemi çözülerek x=2x=2 bulunur. f(2)f(2) hesaplanırken x=2x=2 noktası x≥2x \ge 2 aralığına dahil olduğundan 2x−12x-1 kuralı uygulanır ve sonuç 3 çıkar. İkinci kısımda (g∘f)(1)(g \circ f)(1) için önce f(1)f(1) hesaplanır; 1<21 < 2 olduğundan 4−x4-x kuralı ile f(1)=3f(1)=3 bulunur. Son olarak g(3)=3(3)−2=7g(3) = 3(3)-2 = 7 elde edilir. Toplam 3+7=103+7=10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan (f∘g−1)(4)(f \circ g^{-1})(4) ifadesini hesaplamak için önce g−1(4)g^{-1}(4) değeri bulunur.
3x−2=4⇒3x=6⇒x=23x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2, yani g−1(4)=2g^{-1}(4) = 2.
Ters fonksiyon değeri bulmak için g(x) ifadesi verilen değere eşitlenip x çözülür.
2
Bulunan değeri ff fonksiyonunda yerine yazarak bileşke tamamlanır.
x=2x = 2 değeri x≥2x \ge 2 koşulunu sağladığından alttaki kural kullanılır: f(2)=2(2)−1=3f(2) = 2(2) - 1 = 3.
Parçalı fonksiyonda x değeri tanım aralığına göre uygun dala yazılmalıdır.
3
İkinci terim olan (g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesini hesaplamak için önce f(1)f(1) değeri bulunur.
x=1x = 1 değeri x<2x < 2 koşulunu sağladığından üstteki kural kullanılır: f(1)=4−1=3f(1) = 4 - 1 = 3.
x=1 kritik nokta olan 2'den küçüktür.
4
Bulunan f(1)f(1) değeri gg fonksiyonunda yerine yazılır.
g(3)=3(3)−2=7g(3) = 3(3) - 2 = 7.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği g(f(1)) hesaplanır.
5
İki terimin sonuçları toplanır.
3+7=103 + 7 = 10.
Soruda istenen toplam işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalara göre değerlendirilmesi ve ters fonksiyon kavramı.

İpuçları

1
Parçalı fonksiyonlarda xx değerinin hangi aralıkta (kritik nokta 2'den büyük mü küçük mü) olduğuna dikkat ediniz.

Daha Fazla Pratik

Bileşke fonksiyon sorularında tersten gelme (ters fonksiyon) ve kritik nokta analizini pekiştiren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 305Soru →
Aşağıda verilen birinci dereceden denklemde xx bir gerçel sayıyı temsil etmektedir:
4(x−2)−3(x+1)=−54(x - 2) - 3(x + 1) = -5

Buna göre, bu denklemi sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 6 olarak bulunur.
Denklemde parantezler katsayılar dağıtılarak açıldığında 4x−8−3x−3=−54x - 8 - 3x - 3 = -5 ifadesi elde edilir. Benzer terimler sadeleştirildiğinde x−11=−5x - 11 = -5 olur. Buradan −11-11 sayısı eşitliğin karşı tarafına +11+11 olarak geçtiğinde x=6x = 6 sonucuna ulaşılır. Bu değer denklemi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Parantezleri katsayıları dağıtarak açın.
4x−8−3x−3=−54x - 8 - 3x - 3 = -5
Çarpmanın toplama/çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak denklemi basitleştirmek gerekir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri (bilinmeyenler ve sabit sayılar) gruplandırın.
(4x−3x)+(−8−3)=−5⇒x−11=−5(4x - 3x) + (-8 - 3) = -5 \Rightarrow x - 11 = -5
Denklemi çözmek için terimleri sadeleştirmek gerekir.
3
Sabit terimi (-11) eşitliğin sağ tarafına geçirin.
x=−5+11⇒x=6x = -5 + 11 \Rightarrow x = 6
Bilinmeyeni (xx) yalnız bırakmak için sabit terimi karşı tarafa işareti değişecek şekilde (negatiften pozitife) taşırız.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde parantez açma ve terim taşıma kuralları.

İpuçları

1
Parantezlerin önündeki katsayıları içeriye dağıtırken hem sayıya hem de işaretine dikkat edin.
2
xx içeren terimleri kendi aralarında, sayıları kendi aralarında toplayarak denklemi x+a=bx + a = b formatına getirin.
3
x−11=−5x - 11 = -5 denklemini çözmek için −11-11 sayısını eşitliğin karşı tarafına +11+11 olarak geçirin.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel katsayılı birinci dereceden denklemlerle ilgili alıştırmalar yaparak işlem hızınızı artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bulduğunuz sonuçları denklemde xx yerine koyarak denklemin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin x=6x=6 için: 4(6−2)−3(6+1)=4(4)−3(7)=16−21=−54(6-2) - 3(6+1) = 4(4) - 3(7) = 16 - 21 = -5 olur, bu da sonucun doğruluğunu kanıtlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 306Soru →
aa ve bb gerçel sayıları için,
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a|

a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b>a+ba \cdot b > a + b

Cevap

Çarpımları toplamlarından büyüktür (a⋅b>a+ba \cdot b > a + b)
Doğru cevap, aa ve bb sayılarının her ikisinin de −1-1'den küçük olduğunu tespit ettikten sonra işaret incelemesi yapılarak bulunur. aa ve bb negatif olduğu için çarpımları pozitif, toplamları ise negatiftir. Pozitif bir değer, negatif bir değerden her zaman büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini analiz edelim.
a<−1a < -1
Bir sayının küpünün kendisinden küçük, mutlak değerinden de küçük olması için (−1<a<0-1 < a < 0 aralığında a3>aa^3 > a olduğu için) aa sayısının −1-1'den küçük olması gerekir.
2
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0 eşitsizliğini çarpanlara ayırarak inceleyelim.
a(b+1)>0a(b + 1) > 0
Ortak çarpan parantezine alma işlemi uygulanır.
3
bb'nin aralığını belirleyelim.
b<−1b < -1
Çarpımın pozitif olması için çarpanların aynı işaretli olması gerekir. a<−1a < -1 olduğundan negatiftir. Bu durumda b+1b+1 de negatif olmalıdır (b+1<0  ⟹  b<−1b+1 < 0 \implies b < -1).
4
Seçenekleri değerlendirelim.
a⋅b>a+ba \cdot b > a + b daima doğrudur.
aa ve bb negatif olduğu için çarpımları (a⋅ba \cdot b) pozitif, toplamları (a+ba + b) negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayısının hangi aralıkta (pozitif mi, negatif mi, 0-1 arası mı vb.) olduğunu belirlemeye çalışın.
2
Eğer aa pozitif olsaydı a<∣a∣a < |a| (a<aa < a) imkansız olurdu. Demek ki aa negatif. Negatif sayılarda küpü kendisinden küçük olan aralık hangisidir?
3
a<−1a < -1 olduğunu bulduktan sonra, ikinci eşitsizliği a(b+1)>0a(b+1) > 0 şeklinde yazın. aa negatif olduğuna göre b+1b+1 ne olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli ve üslü eşitsizliklerin grafik üzerindeki bölgelerini inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 307Soru →

2x=52^x = 5 ve 5y=645^y = 64 olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen denklemlerin yerine koyma yöntemiyle birleştirilmesi sonucunda x⋅yx \cdot y çarpımı 6 olarak hesaplanır.
Verilen iki denklem (2x)y=2x⋅y=64(2^x)^y = 2^{x \cdot y} = 64 şeklinde birleştirildiğinde, 64'ün 262^6 olduğu gerçeğiyle x⋅yx \cdot y çarpımının 6 olduğu sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki değeri ikinci denklemde yerine koyun.
5=2x5 = 2^x olduğu için 5y=645^y = 64 denkleminde 55 yerine 2x2^x yazılırsa (2x)y=64(2^x)^y = 64 elde edilir.
Farklı tabanlara sahip üslü ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.
2
Üslü sayıların 'kuvvetin kuvveti' özelliğini uygulayın.
(2x)y=2x⋅y(2^x)^y = 2^{x \cdot y} olur. Dolayısıyla 2x⋅y=642^{x \cdot y} = 64 denklemine ulaşılır.
Üslü bir ifadenin tekrar kuvveti alındığında üslerin çarpılacağı kuralı ((an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} ) uygulanır.
3
64 sayısını 2'nin kuvveti olarak ifade edin ve üsleri eşitleyin.
64=2664 = 2^6 olduğundan 2x⋅y=262^{x \cdot y} = 2^6 eşitliği yazılır. Buradan x⋅y=6x \cdot y = 6 bulunur.
Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üslerin de birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Üslü ifadelerde yerine koyma ve kuvvetin kuvveti özelliği

İpuçları

1
İkinci denklemdeki 5 sayısı yerine, birinci denklemde verilen eşitini yazmayı deneyin.
2
Üslü sayıların kuvvetinin kuvveti alındığında üslerin çarpıldığını ((an)m=an⋅m (a^n)^m = a^{n \cdot m} ) hatırlayın.
3
Son aşamada 2x⋅y=642^{x \cdot y} = 64 eşitliğine ulaşacaksınız. 64'ü 2'nin bir kuvveti olarak yazarak üsleri karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 3a=53^a = 5 ve 5b=815^b = 81 ise a⋅ba \cdot b çarpımını bularak pratiğinizi geliştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 308Soru →

x+y≠−2x + y \neq -2 olmak üzere,

x2−y2+x−3y−2x+y+2+y \frac{x^2 - y^2 + x - 3y - 2}{x + y + 2} + y

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x - 1

Cevap

İfadenin en sade hâli x - 1 şeklindedir.
İfadenin payı olan x2−y2+x−3y−2x^2 - y^2 + x - 3y - 2 çokterimlisi, (x−y−1)(x+y+2)(x - y - 1)(x + y + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki x+y+2x + y + 2 terimi ile paydaki aynı çarpan sadeleştiğinde geriye x−y−1x - y - 1 kalır. Bu ifadeye ifadenin devamındaki +y+y eklendiğinde −y-y ve +y+y birbirini götürür ve sonuç x−1x - 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi gruplandırarak düzenleyin.
x2+x−(y2+3y+2)x^2 + x - (y^2 + 3y + 2)
Değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak üçterimli çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak için hazırlık yapılır.
2
yy değişkenine bağlı olan üçterimliyi çarpanlarına ayırın.
y2+3y+2=(y+1)(y+2)y^2 + 3y + 2 = (y + 1)(y + 2)
Çarpımları 2, toplamları 3 olan sayılar 1 ve 2 olduğu için ifade bu şekilde ayrılır.
3
Tüm ifadeyi çarpraz çarpım yöntemi ile çarpanlarına ayırın.
x2+x−(y+1)(y+2)=(x−(y+1))(x+(y+2))=(x−y−1)(x+y+2)x^2 + x - (y + 1)(y + 2) = (x - (y + 1))(x + (y + 2)) = (x - y - 1)(x + y + 2)
x2x^2 terimi x⋅xx \cdot x olarak, sabit terim ise −(y+1)⋅(y+2)-(y+1) \cdot (y+2) olarak ayrıldığında, toplamları ortadaki xx terimini verir.
4
Bulunan çarpanları rasyonel ifadede yerine yazarak sadeleştirme ve toplama işlemlerini yapın.
(x−y−1)(x+y+2)x+y+2+y=(x−y−1)+y=x−1\frac{(x - y - 1)(x + y + 2)}{x + y + 2} + y = (x - y - 1) + y = x - 1
x+y+2x + y + 2 çarpanları birbirini sadeleştirir ve kalan ifadeye y eklendiğinde değişkenler sadeleşerek sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki değişkenli ifadelerde gruplandırma ve üçterimli çarpanlara ayırma yöntemlerinin rasyonel ifadelerde kullanımı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 309Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için verilen,
x2−xy−12y2−x+4y x^2 - xy - 12y^2 - x + 4y

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x - 4y

Cevap

İfadenin çarpanlarından biri x−4yx - 4y dir.
Verilen ifade gruplandırma yöntemiyle çözülür. İlk üç terim x2−xy−12y2=(x−4y)(x+3y)x^2 - xy - 12y^2 = (x - 4y)(x + 3y) şeklinde ayrılır. Kalan kısım ise −(x−4y)-(x - 4y) dir. Ortak çarpan olan (x−4y)(x - 4y) parantezine alındığında ifade (x−4y)(x+3y−1)(x - 4y)(x + 3y - 1) halini alır. Şıklarda bu çarpanlardan x−4yx - 4y bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi gruplandırarak analiz et
İfade (x2−xy−12y2)−(x−4y)(x^2 - xy - 12y^2) - (x - 4y) şeklinde iki gruba ayrılır.
İlk üç terim ikinci dereceden bir üçlü (trinom), son iki terim ise doğrusal bir ifadedir.
2
İlk kısmı (x2−xy−12y2x^2 - xy - 12y^2) çarpanlarına ayır
Carpımları −12y2-12y^2, toplamları −y-y olan iki terim −4y-4y ve +3y+3y dir. Bu kısım (x−4y)(x+3y)(x - 4y)(x + 3y) olur.
x2+bx+cx^2+bx+c biçimindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması kuralı uygulanır.
3
Tüm ifadeyi ortak çarpan parantezine al
(x−4y)(x+3y)−1(x−4y)(x - 4y)(x + 3y) - 1(x - 4y) ifadesinde (x−4y)(x - 4y) ortaktır. Sonuç: (x−4y)(x+3y−1)(x - 4y)(x + 3y - 1).
Her iki terimde de (x−4y)(x - 4y) bulunduğu için ortak çarpan parantezine alınır.

Anahtar Kavram

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
İfadeyi 5 terimli olarak değil, (x2−xy−12y2)(x^2 - xy - 12y^2) ve (−x+4y)(-x + 4y) olmak üzere iki grup halinde düşünün.
2
İlk gruptaki ifadeyi (x+a)(x+b)(x+a)(x+b) formunda çarpanlarına ayırın. Çarpımları −12y2-12y^2, toplamları −y-y olan sayılar nelerdir?
3
İlk kısım (x−4y)(x+3y)(x-4y)(x+3y) olur. İkinci kısım ise −(x−4y)-(x-4y) dir. Şimdi ortak olan (x−4y)(x-4y) parantezine alın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki a2−b2−2a+2ba^2 - b^2 - 2a + 2b tipindeki soruları çözerek gruplandırma yeteneğinizi pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yöntemini kullanarak şıklardaki ifadelerin P(x,y)=0P(x,y) = 0 yapıp yapmadığını kontrol edebilirsiniz (örneğin x=4yx=4y koyduğunuzda sonuç 0 çıkıyorsa çarpan odur).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 310Soru →
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
x−y=6x - y = 6

x⋅y=4x \cdot y = 4

olduğuna göre, (x+y)2(x + y)^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

Toplamın karesi ile farkın karesi arasındaki ilişki kullanıldığında sonuç 52 olarak bulunur.
Toplamın karesi (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 iken farkın karesi (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 şeklindedir. Bu iki ifade arasındaki fark 4xy4xy terimidir. Dolayısıyla (x+y)2=(x−y)2+4xy(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy eşitliği sağlanır. Verilen değerlerle 62+4⋅4=36+16=526^2 + 4 \cdot 4 = 36 + 16 = 52 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki tam kare özdeşliği arasındaki ilişkiyi kur.
(x+y)2=(x−y)2+4xy(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
(x+y)2=x2+2xy+y2(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ve (x−y)2=x2−2xy+y2(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 açılımları karşılaştırıldığında, aradaki farkın 4xy4xy olduğu görülür.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine yaz.
(x+y)2=62+4(4)(x + y)^2 = 6^2 + 4(4)
Soruda x−y=6x - y = 6 ve x⋅y=4x \cdot y = 4 olarak verilmiştir.
3
İşlemleri tamamlayarak sonucu bul.
36 + 16 = 52
Karesini alma ve çarpma işlemlerinden sonra toplama yapılarak nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşlikleri Arasındaki İlişki

İpuçları

1
(x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 açılımlarını yan yana yazarak aralarındaki farkı görmeye çalışın.
2
(x+y)2=(x−y)2+4xy(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy özdeşliği bu tarz sorularda doğrudan sonuca ulaşmanızı sağlar.
3
Farkın karesi olan 62=366^2=36 değerine, çarpımlarının 4 katı olan 4⋅4=164 \cdot 4=16 değerini eklemelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (x−y)2(x-y)^2 sorulsaydı hangi işlemi yapmanız gerekirdi? (Bu kez 4xy4xy çıkarılırdı).

Alternatif Yöntem

Önce (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 açılımından 36=x2−2(4)+y2⇒x2+y2=4436 = x^2 - 2(4) + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 44 bulunur. Ardından bu değer (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 açılımında yerine yazılarak 44+2(4)=5244 + 2(4) = 52 sonucuna iki aşamada ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 311Soru →
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x⋅z<0x \cdot z < 0

x−y>z−yx - y > z - y

y2<∣y∣y^2 < |y|

x+y<zx + y < z

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x,yx, y ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y<z<xy < z < x

Cevap

y<z<xy < z < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler adım adım analiz edildiğinde; önce xx'in pozitif, zz'nin negatif olduğu, ardından yy'nin -1 ile 0 arasında olduğu ve son olarak zz'nin yy'den büyük olduğu (y<zy < z) kesin olarak ispatlanabilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x−y>z−yx - y > z - y eşitsizliğini sadeleştirme
Her iki taraftaki −y-y terimleri sadeleştirildiğinde x>zx > z elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya çıkarıldığında eşitsizlik yön değiştirmez.
2
xx ve zz sayılarının işaretlerini belirleme
x>zx > z ve x⋅z<0x \cdot z < 0 olduğundan, xx pozitif (x>0x > 0) ve zz negatif (z<0z < 0) olmalıdır.
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir. Büyük olan sayı pozitif olmak zorundadır.
3
yy sayısının aralığını belirleme
y2<∣y∣y^2 < |y| eşitsizliği, ∣y∣2<∣y∣|y|^2 < |y| anlamına gelir. Bu durum ancak 0<∣y∣<10 < |y| < 1 olduğunda, yani y∈(−1,1)y \in (-1, 1) ve y≠0y \neq 0 iken sağlanır.
Karesi kendisinin mutlak değerinden küçük olan sayılar, sayı doğrusunda -1 ile 1 arasındaki (0 hariç) sayılardır.
4
yy sayısının işaretini kesinleştirme
x+y<zx + y < z eşitsizliğinde x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğu bilinmektedir. Eğer yy pozitif olsaydı toplam pozitif olurdu ve negatif bir sayıdan küçük olamazdı. Bu nedenle yy negatif olmalıdır (y<0y < 0).
Pozitif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif bir sayıdan küçük olamaz.
5
yy ve zz sayılarını karşılaştırma
x+y<zx + y < z eşitsizliği x<z−yx < z - y şeklinde yazılabilir. x>0x > 0 olduğundan z−y>0z - y > 0 olmalıdır, bu da z>yz > y anlamına gelir.
Pozitif bir sayı (xx), ancak pozitif bir ifadeden (z−yz-y) küçük olabilir.
6
Sonuç sıralamasını oluşturma
Bulunan ilişkiler birleştirildiğinde: y<zy < z (Adım 5), z<0z < 0 (Adım 2) ve 0<x0 < x (Adım 2). Sonuç: y<z<xy < z < x.
Sayılar sayı doğrusu üzerindeki konumlarına göre küçükten büyüğe sıralanır.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemlerinde İşaret ve Aralık Analizi
Soru 312Soru →

xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

∣x−y∣=∣x∣+∣y∣ |x - y| = |x| + |y|

∣x∣=−x |x| = -x
olduğuna göre,
∣x−y∣+∣2x∣−∣y∣x \frac{|x - y| + |2x| - |y|}{x}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İfadenin değeri -3'tür.
Verilen ∣x∣=−x|x| = -x şartından x<0x < 0 olduğu, ∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x-y| = |x| + |y| şartından ise xx ile yy sayılarının zıt işaretli olduğu anlaşılır. Bu durumda xx negatif ise yy pozitif olmalıdır. Bu işaretlere göre mutlak değerli terimler dışarı çıkarılıp işlem yapıldığında pay kısmında −3x-3x elde edilir, paydadaki xx ile sadeleştiğinde sonuç −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının işaretini belirleme
x<0x < 0
∣x∣=−x|x| = -x eşitliği, mutlak değerin içindeki ifadenin negatif veya sıfır olduğunu gösterir. Soruda xx sıfırdan farklı dendiği için x<0x < 0 olmalıdır.
2
yy sayısının işaretini belirleme
y>0y > 0
∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x - y| = |x| + |y| özelliği, xx ve yy sayılarının zıt işaretli veya en az birinin sıfır olduğunu belirtir. x<0x < 0 ve x,y≠0x, y \neq 0 olduğu için y>0y > 0 olmalıdır.
3
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarma
∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x, ∣2x∣=−2x|2x| = -2x, ∣y∣=y|y| = y
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için x−y<0x - y < 0 (negatif), 2x<02x < 0 (negatif) ve y>0y > 0 (pozitif) olur. Mutlak değer içi negatifse işaret değiştirerek, pozitifse aynen çıkar.
4
İfadeyi sadeleştirme
−3-3
(y−x)+(−2x)−yx=−3xx=−3\frac{(y - x) + (-2x) - y}{x} = \frac{-3x}{x} = -3
işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin dışarı çıkarılması kuralı (∣a∣=−a|a| = -a ise a≤0a \leq 0) ve üçgen eşitsizliğinin özel durumu (∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x-y| = |x|+|y| ise x⋅y≤0x \cdot y \leq 0).

İpuçları

1
∣x∣=−x|x| = -x bilgisini kullanarak xx sayısının işaretini belirleyin.
2
∣x−y∣=∣x∣+∣y∣|x-y| = |x| + |y| eşitliği, sayı doğrusu üzerinde xx ve yy noktalarının başlangıç noktasının (0) farklı taraflarında olduğunu söyler.
3
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğuna göre x−yx - y ifadesinin işaretini belirleyip mutlak değerden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soru olarak, eşitsizlik içeren mutlak değer sistemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı değerleri vererek kontrol edebilirsiniz. Örneğin; x=−1x = -1 ve y=1y = 1 seçilirse tüm şartlar sağlanır. Bu değerleri ifadede yerine yazdığınızda sonucu doğrudan bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 313Soru →
xx bir tam sayı ve yy bir gerçel sayı olmak üzere;
−3≤x<4-3 \leq x < 4

−1<y≤3-1 < y \leq 3

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, x2−2yx^2 - 2y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10, en küçük tam sayı değeri -6 olduğundan aradaki fark 16'dır.
Verilen xx bir tam sayı olduğu için x2x^2 ifadesi sadece belirli değerleri (0, 1, 4, 9) alabilir. yy gerçel sayısı için oluşturulan −2y-2y aralığı [−6,2)[-6, 2) şeklindedir. Bu iki yapının toplamı sonucunda ifadenin alabileceği en küçük değer −6-6 (dahil), en büyük değer ise 1111 (açık) sınırına yaklaşır. Dolayısıyla en büyük tam sayı 1010, en küçük tam sayı −6-6 olur; farkları ise 1616 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerini ve x2x^2 değerlerini belirleyelim.
x∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olduğundan x2∈{0,1,4,9}x^2 \in \{0, 1, 4, 9\} olur.
xx tam sayı olarak tanımlandığı için aralıktaki her bir değerin karesi ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
2
yy gerçel sayısı için −2y-2y ifadesinin değer aralığını bulalım.
−1<y≤3-1 < y \leq 3 eşitsizliğini −2-2 ile çarptığımızda yön değiştirir: −6≤−2y<2-6 \leq -2y < 2 olur.
Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir.
3
x2−2yx^2 - 2y ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini belirleyelim.
Maksimum değer: 9+(2’den ku¨c¸u¨k en bu¨yu¨k deg˘er)<119 + (\text{2'den küçük en büyük değer}) < 11 (10 olur). Minimum değer: 0+(−6)=−60 + (-6) = -6 (dahil).
Tam sayı olan x2x^2 değerleri ile gerçel sayı olan −2y-2y aralığı toplanarak ifadenin sınırı belirlenir.
4
Bulunan değerler arasındaki farkı hesaplayalım.
10−(−6)=1610 - (-6) = 16.
Soru kökünde en büyük ve en küçük değer arasındaki fark sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Tam sayı ve gerçel sayı kısıtlamaları altında değişkenlerin aralık operasyonları ve kuvvet alma kuralları.

Alternatif Yöntem

x2x^2 için tam sayı değerlerini tek tek deneyerek (x=−3,−2,−1,0,1,2,3x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) ifadenin yy aralığı ile birleşimini her durum için kontrol etmek.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 314Soru →

A={x∈Z∣10<x≤100, x=3k, k∈Z}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 10 < x \le 100, \: x = 3k, \: k \in \mathbb{Z}\}

B={x∈Z∣20≤x<110, x=4k, k∈Z}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 20 \le x < 110, \: x = 4k, \: k \in \mathbb{Z}\}

olduğuna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Birleşim kümesinin eleman sayısı 46 olarak bulunur.
Verilen aralıklarda 3'ün katı olan 30 eleman ve 4'ün katı olan 23 eleman bulunmaktadır. Bu kümelerin kesişimi olan ve her iki şarta da uyan 12'nin katı olan 7 eleman mevcuttur. Birleşim kümesi formülü gereği bu ortak elemanların bir kez çıkarılmasıyla 46 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.
s(A)=30s(A) = 30
10<x≤10010 < x \le 100 aralığında 3'ün katı olan sayılar 12,15,…,9912, 15, \dots, 99 şeklindedir. Terim sayısı: 99−123+1=29+1=30\frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 olur.
2
BB kümesinin elemanlarını ve sayısını belirleyelim.
s(B)=23s(B) = 23
20≤x<11020 \le x < 110 aralığında 4'ün katı olan sayılar 20,24,…,10820, 24, \dots, 108 şeklindedir. Terim sayısı: 108−204+1=22+1=23\frac{108 - 20}{4} + 1 = 22 + 1 = 23 olur.
3
Kesişim kümesini (A∩BA \cap B) belirleyelim.
s(A∩B)=7s(A \cap B) = 7
A∩BA \cap B kümesi, hem 3'ün hem de 4'ün katı olan (yani EKOK(3,4)=12EKOK(3,4) = 12'nin katı olan) elemanlardan oluşur. Aralık ise her iki kümenin kesişimi olan 20≤x≤10020 \le x \le 100 aralığıdır. Bu sayılar 24,36,48,60,72,84,9624, 36, 48, 60, 72, 84, 96 olup toplam 7 tanedir.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayalım.
s(A∪B)=46s(A \cup B) = 46
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünden; 30+23−7=4630 + 23 - 7 = 46 bulunur.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin kendi eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

İpuçları

1
Önce her iki kümenin eleman sayılarını ayrı ayrı terim sayısı formülünü kullanarak bulun.
2
İki kümenin ortak elemanlarını (yani hem 3'e hem de 4'e bölünebilenleri) belirleyip kesişim kümesini oluşturun.
3
Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken, toplamdan kesişimin çıkarılması gerektiğini unutmayın: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).

Daha Fazla Pratik

Kümelerdeki fark işlemini pekiştirmek için s(A∖B)s(A \setminus B) değerini hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 315Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, (x+4)2(x+4)^2 ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+8x+16x^2 + 8x + 16

Cevap

x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ifadesi verilen parantez karesinin doğru açılımıdır.
x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ifadesi, tam kare açılımı kuralına (a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2) tam olarak uymaktadır: xx'in karesi, xx ile 44'ün çarpımının iki katı (8x8x) ve 44'ün karesi (1616).

Adım Adım Çözüm

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirle.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimin toplamının karesini açmak için temel özdeşlik kuralı kullanılır.
2
Verilen ifadede aa ve bb değerlerini yerleştir.
a=xa = x ve b=4b = 4
Soruda verilen (x+4)2(x+4)^2 ifadesini formüle uyarlamak gerekir.
3
Terimlerin karelerini ve çarpımlarının iki katını hesapla.
x2+2⋅(x⋅4)+42x^2 + 2 \cdot (x \cdot 4) + 4^2
Formüldeki her bir bileşeni tek tek hesaplayarak toplama işlemini hazırlarız.
4
İşlemleri sadeleştirerek sonucu bul.
x2+8x+16x^2 + 8x + 16
Çarpma ve üs alma işlemlerini tamamlayarak en sade hali elde ederiz.

Anahtar Kavram

İki Terim Toplamının Karesi Özdeşliği

İpuçları

1
Bu bir tam kare açılımı sorusudur. Hatırlaman gereken formül: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
2
Formülde aa yerine xx, bb yerine ise 44 yazarak terimleri tek tek hesaplamayı dene.
3
Birinci terimin karesi x2x^2, ikinci terimin karesi 1616 ve ikisinin çarpımının iki katı 8x8x olmalıdır. Bu üç terimi topla.

Daha Fazla Pratik

Şimdi de (x−3)2(x-3)^2 ifadesinin açılımını yaparak işaretlerin nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Özdeşliği hatırlamıyorsan, (x+4)2(x+4)^2 ifadesini (x+4)⋅(x+4)(x+4) \cdot (x+4) şeklinde yazıp her bir terimi diğeriyle tek tek çarparak (dağılma özelliği) sonucu bulabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 316Soru →

Sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı 1212 birim olan aa sayısı negatif bir tam sayıdır. Başlangıç noktasına olan uzaklığı 55 birim olan bb sayısı ise pozitif bir tam sayıdır.

Buna göre, a+ba + b toplamının sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −7-7

Cevap

Negatif olan aa sayısı −12-12, pozitif olan bb sayısı 55 değerini alır ve toplamları −7-7 olur.
Mutlak değer bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklığı 1212 olan sayı ya 1212 ya da −12-12 olabilir; soru aa'nın negatif olduğunu belirttiği için a=−12a = -12 olur. Benzer şekilde uzaklığı 55 olan ve pozitif olduğu belirtilen bb sayısı 55 olur. Bu iki değerin toplamı (−12)+5=−7(-12) + 5 = -7 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
aa sayısının değerini belirleme
a=−12a = -12
Bir sayının başlangıç noktasına uzaklığı o sayının mutlak değeridir. ∣a∣=12|a| = 12 ve a<0a < 0 olduğu için a=−12a = -12 olur.
2
bb sayısının değerini belirleme
b=5b = 5
∣b∣=5|b| = 5 ve b>0b > 0 olduğu için b=5b = 5 olur.
3
Toplamı hesaplama
−12+5=−7-12 + 5 = -7
Belirlenen aa ve bb değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık anlamı ve tam sayılarda işlemler.

İpuçları

1
Mutlak değerin bir uzaklık olduğunu ve her zaman pozitif veya sıfır olarak ifade edildiğini hatırla.
2
Uzaklığı 1212 birim olan sayılar 1212 ve −12-12'dir. Hangisinin negatif olduğunu bulmalısın.
3
a=−12a = -12 ve b=5b = 5 değerlerini bulduktan sonra bu sayıları birbiriyle topla.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içindeki bir ifadenin dışarıya nasıl çıktığını pekiştirmek için değişkenli (x, y gibi) mutlak değer sorularına göz atabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 317Soru →
3(2x−1)−4(x−2)=193(2x - 1) - 4(x - 2) = 19

Yukarıda verilen denklemi sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Denklemi sağlayan değer 7'dir.
Verilen denklemde parantezler sırasıyla açıldığında 6x−3−4x+8=196x - 3 - 4x + 8 = 19 elde edilir. Benzer terimler düzenlendiğinde 2x+5=192x + 5 = 19 denklemi bulunur. Buradan 2x=142x = 14 ve x=7x = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantezleri dağıt
6x−3−4x+8=196x - 3 - 4x + 8 = 19
Parantez dışındaki katsayılar, parantez içindeki her bir terimle çarpılır. İkinci parantezdeki -4 katsayısına dikkat edilmelidir.
2
Benzer terimleri topla
(6x−4x)+(−3+8)=19⇒2x+5=19(6x - 4x) + (-3 + 8) = 19 \Rightarrow 2x + 5 = 19
xx'li terimler kendi aralarında, sabit sayılar kendi aralarında işleme alınır.
3
Sabit terimi karşıya at
2x=19−5⇒2x=142x = 19 - 5 \Rightarrow 2x = 14
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +5 sayısı eşitliğin diğer tarafına -5 olarak geçer.
4
Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına böl
x=142=7x = \frac{14}{2} = 7
xx'in değerini bulmak için katsayısı olan 2'ye bölünür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde çözüm kümesi bulunurken, parantezlerin doğru dağıtılması ve işaret kurallarına dikkat edilerek bilinmeyenin yalnız bırakılması esastır.
Soru 318Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−2<1−3x4≤1 -2 < \frac{1 - 3x}{4} \le 1

eşitsizliği veriliyor. Buna göre, 2x+52x + 5 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.
xx gerçel sayı olduğu için çözüm kümesi bir aralık olarak düşünülmelidir. Eşitsizlik çözüldüğünde x∈[−1,3)x \in [-1, 3) bulunur. İstenen ifadeyi elde etmek için bu aralık genişletildiğinde 2x+5∈[3,11)2x+5 \in [3, 11) aralığı elde edilir. 11 sayısı aralığa dahil olmadığından (küçüktür sembolü), bu ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği düzenleyerek x'i yalnız bırakalım.
−8<1−3x≤4-8 < 1 - 3x \le 4
Paydadaki 4 pozitif olduğu için her taraf 4 ile çarpılır, eşitsizlik yön değiştirmez.
2
Her taraftan 1 çıkaralım.
−9<−3x≤3-9 < -3x \le 3
x'li terimi yalnız bırakmak için sabit terim yok edilir.
3
Her tarafı -3'e bölelim.
3>x≥−13 > x \ge -1
yani
−1≤x<3-1 \le x < 3
Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik sembolleri YÖN DEĞİŞTİRİR.
4
İstenen 2x+52x + 5 ifadesinin aralığını oluşturalım.
−2≤2x<6-2 \le 2x < 6
⇒\Rightarrow
3≤2x+5<113 \le 2x + 5 < 11
Bulunan x aralığı önce 2 ile genişletilir, sonra her tarafa 5 eklenir.
5
Aralıktaki en büyük tam sayıyı belirleyelim.
10
Aralık [3,11)[3, 11) şeklindedir. 11 dahil olmadığından (açık aralık), 11'den küçük en büyük tam sayı 10'dur.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken önce aralık genişletilir, sonra değer seçilir. Tam sayı seçip yerine yazmak hatalıdır.

İpuçları

1
Soruda x'in 'tam sayı' değil, 'gerçel sayı' olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden x'e değer vererek başlamayınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 319Soru →
a=11+7 a = \sqrt{11} + \sqrt{7}

b=14+2 b = \sqrt{14} + 2

c=13+5 c = \sqrt{13} + \sqrt{5}

olduğuna göre, a,ba, b ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

Sayıların küçükten büyüğe sıralanışı b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen köklü ifadelerin kareleri alındığında sabit kısımların (tam sayıların toplamı) hepsinde 18 olduğu görülür. Bu durumda büyüklüğü belirleyen kısım, kök içindeki çarpım değerleridir (2x⋅y2\sqrt{x \cdot y}). Çarpımı en küçük olan bb (56), ortanca olan cc (65) ve en büyük olan aa (77) olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin yaklaşık değerlerini tahmin etmek zor olduğundan, sıralama yapabilmek için her üç ifadenin de karesini alınız.
a2=(11+7)2a^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{7})^2, b2=(14+2)2b^2 = (\sqrt{14} + 2)^2, c2=(13+5)2c^2 = (\sqrt{13} + \sqrt{5})^2
Pozitif sayıların kareleri arasındaki sıralama ilişki, sayıların kendileriyle aynıdır (x<y  ⟺  x2<y2x < y \iff x^2 < y^2).
2
Tam kare özdeşliğini (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy kullanarak ifadeleri açınız. bb ifadesindeki 22 sayısını 4\sqrt{4} olarak düşününüz.
a2=11+7+211⋅7=18+277a^2 = 11 + 7 + 2\sqrt{11 \cdot 7} = 18 + 2\sqrt{77}
b2=14+4+214⋅4=18+256b^2 = 14 + 4 + 2\sqrt{14 \cdot 4} = 18 + 2\sqrt{56}
c2=13+5+213⋅5=18+265c^2 = 13 + 5 + 2\sqrt{13 \cdot 5} = 18 + 2\sqrt{65}
Toplamları eşit olan köklü ifadelerin çarpımları kıyaslanarak sonuca gidilir.
3
Elde edilen sonuçlardaki sabit terimler (18) aynı olduğu için, kök içindeki çarpım değerlerini karşılaştırınız.
Kök içleri: 77,56,6577, 56, 65. Sıralama: 56<65<7756 < 65 < 77.
Büyük kök içi değere sahip olan sayı daha büyüktür.
4
Bulunan eşitsizliği ana değişkenlere (a,b,ca, b, c) uyarlayarak sonucu yazınız.
256<265<2772\sqrt{56} < 2\sqrt{65} < 2\sqrt{77} olduğundan b<c<ab < c < a elde edilir.
Sonuç tespiti.

Anahtar Kavram

Toplamları eşit olan iki pozitif sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. Köklü sayılarda sıralama yapılırken kare alma yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Köklü sayıların yaklaşık değerlerini tahmin etmek zordur. Bunun yerine, sıralamayı değiştirmeyecek bir işlem olan 'kare alma' yöntemini deneyin.
2
Her bir ifadenin parantez karesini alın: (x+y)2=x2+y2+2xy(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy. bb ifadesindeki 22 sayısını 4\sqrt{4} olarak düşünerek işleme devam edin.
3
Karelerini aldığınızda tüm ifadelerde 1818 tam sayısını göreceksiniz. Sıralamayı belirlemek için sadece 2A⋅B2\sqrt{A \cdot B} kısımlarını, yani kök içindeki çarpımları kıyaslamanız yeterlidir.

Daha Fazla Pratik

Toplamları değil, çarpımları sabit olan köklü ifadelerin toplamlarının sıralandığı bir soru çözerek (örn: 2+12\sqrt{2}+\sqrt{12} vs 4+6\sqrt{4}+\sqrt{6}) konuyu pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Sayıların birbirine olan yakınlığına bakılabilir. Toplamları sabit olan iki pozitif sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. aa şıkkında 11 ve 7 (fark 4), cc şıkkında 13 ve 5 (fark 8), bb şıkkında 14 ve 4 (fark 10). Sayılar birbirine en yakın olan aa en büyüktür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 320Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
f(x)=x2−4x f(x) = x^2 - 4x

(g∘f)(x)=x2−4x+5 (g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, g(3)g(3) ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Fonksiyonun birebir ve örten olması için parçaların kritik nokta olan x=2'de birbirini tamamlaması gerekir. x=2 için üst parçadan gelen değer 1'dir. Alt parçanın da 2'ye yaklaşırken 1 değerini alması gerekir, buradan k=-1 bulunur. f tersinde 1 değeri, fonksiyonun sonucunun 1 olduğu x değeridir (x=2). f tersinde -2 değeri ise sonucun -2 olduğu x değeridir; bu değer 1'den küçük olduğu için alt parça kullanılır ve x=-1 bulunur. Toplamları 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (g∘f)(x)(g \circ f)(x) ifadesini g(f(x))g(f(x)) olarak yazmak.
g(f(x))=x2−4x+5g(f(x)) = x^2 - 4x + 5
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği (g∘f)(x)(g \circ f)(x), f(x)f(x)'in gg fonksiyonunda yerine yazılmasıdır.
2
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yaparak g(u)g(u) fonksiyonunu elde etmeye çalışmak.
f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x olduğuna göre, eşitliğin sağ tarafında da x2−4xx^2 - 4x ifadesi görüldüğünden, bu ifade yerine doğrudan uu yazılabilir. Böylece g(u)=u+5g(u) = u + 5 elde edilir.
Eşitliğin her iki tarafındaki benzer ifadeleri bir değişkenle temsil ederek fonksiyonun kuralını basitleştirmek.
3
g(3)g(3) değerini hesaplamak için u=3u=3 yazmak.
g(3)=3+5=8g(3) = 3 + 5 = 8.
Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer hesaplanır.
4
Alternatif durumları ve sorunun 'alabileceği değerler toplamı' ifadesini analiz etmek. f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözüm kümesini incelemek.
f(x)=3⇒x2−4x=3⇒x2−4x−3=0f(x) = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0. Bu denklemin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(−3)=16+12=28>0\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28 > 0 olduğundan iki farklı reel kökü (x1,x2x_1, x_2) vardır. Ancak her iki xx değeri için de f(x)=3f(x)=3 olacağından, g(f(x))g(f(x)) ifadesi her zaman g(3)g(3) değerini verecektir ve bu değer tektir: 8.
Soruda 'değerlerin toplamı' sorulması, öğrenciyi şaşırtmaya yönelik olabilir veya fonksiyonun tanım kümesiyle ilgili kısıtlamalar olup olmadığı kontrol edilmelidir. Burada g(u)=u+5g(u) = u+5 tek bir fonksiyon kuralı olarak çıktığı için g(3)g(3) tek bir değer alır. *Düzeltme:* Sorunun yapısı gereği g(u)g(u) fonksiyonu tek türlü belirlenmiştir. Ancak 'alabileceği değerler toplamı' ifadesi genellikle birden fazla değer iması taşır. Eğer soru f(x)f(x) yerine g(x)g(x) sorulsaydı durum değişebilirdi. Bu kurguda g(3)g(3) sabittir. Soru kökünü ve çözümü zorluk seviyesine (Level 4) uygun hale getirmek için revize ediyorum.

*Revize Çözüm Mantığı:* g(f(x))=x2−4x+5g(f(x)) = x^2 - 4x + 5 ve f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Buradan g(u)=u+5g(u) = u+5 bulunur. Ancak, f(x)f(x)'in görüntü kümesi f(x)=(x−2)2−4≥−4f(x) = (x-2)^2 - 4 \geq -4'tür. Yani uu değişkeni u≥−4u \geq -4 olmalıdır. u=3u=3 değeri bu aralıkta olduğu için (3≥−43 \geq -4) g(3)g(3) tanımlıdır ve değeri 8'dir. Soru kökünde 'toplamı' denmesi şaşırtmaca olabilir veya soru kurgusunu değiştirmem gerekebilir.

*Zorluk Artırma:* Fonksiyon kuralını f(x)=∣x−2∣f(x) = |x-2| gibi mutlak değerli veya parçalı vererek gg'nin birden fazla form almasını sağlayabilirim. Veya soruyu şu hale getirebilirim: (g∘f)(x)=x2−4x+5(g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5 yerine ∣x2−4x∣+5|x^2 - 4x| + 5 gibi bir ifade verip f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x olduğunda gg'nin durumlarını inceletmek.

Eğer (g∘f)(x)=∣x2−4x∣+5(g \circ f)(x) = |x^2 - 4x| + 5 ise ve f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x ise; f(x)=uf(x)=u dersek g(u)=∣u∣+5g(u) = |u| + 5 olur. g(3)=∣3∣+5=8g(3) = |3| + 5 = 8. Yine tek değer.

Başka bir yaklaşım: f(x)=x2f(x) = x^2 ve (g∘f)(x)=x4−2x2+3(g \circ f)(x) = x^4 - 2x^2 + 3. f(x)=u⇒u=x2(u≥0)f(x)=u \Rightarrow u=x^2 (u \ge 0). g(u)=u2−2u+3g(u) = u^2 - 2u + 3. g(3)=9−6+3=6g(3) = 9 - 6 + 3 = 6.

Zor soru örneği:
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
(g∘f)(x)=x2−2x+∣x−1∣(g \circ f)(x) = x^2 - 2x + |x-1|.
Burada f(x)=(x−1)2−1f(x) = (x-1)^2 - 1.
∣x−1∣=f(x)+1|x-1| = \sqrt{f(x)+1}.
Öyleyse g(f(x))=f(x)+f(x)+1g(f(x)) = f(x) + \sqrt{f(x)+1}.
g(u)=u+u+1g(u) = u + \sqrt{u+1}.
g(3)=3+3+1=3+2=5g(3) = 3 + \sqrt{3+1} = 3 + 2 = 5.
Bu da tek değer.

Çoklu değer alabilmesi için ters fonksiyon veya mutlak değer içi işaret değişimi gereklidir.
Soru tipi: f(x)=x2f(x) = x^2 ve g(x2)=x4−6x2+5g(x^2) = x^4 - 6x^2 + 5. g(2)g(2) kaçtır?
x2=2⇒x=±2x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}. Sonuç değişmez.

Soru Tipi Değişikliği: Fonksiyon denklemi üzerinden gidelim.
f(x)+f(2−x)=x2−2x+5f(x) + f(2-x) = x^2 - 2x + 5 ve f(1)f(1) sorulabilir. (Orta seviye)

Level 4 için 'Fonksiyonlarda Değer Bulma' üzerine kurgulu, değişken değiştirmeli ve dikkat gerektiren bir soru:
f(x+1x−1)=x−1x+1+x−1f(\frac{x+1}{x-1}) = \frac{x-1}{x+1} + x - 1.
f(2)f(2) nedir?
x+1x−1=2⇒x+1=2x−2⇒x=3\frac{x+1}{x-1} = 2 \Rightarrow x+1 = 2x-2 \Rightarrow x=3.
f(2)=12+3−1=2.5f(2) = \frac{1}{2} + 3 - 1 = 2.5.

Yeni Kurgu (Zor):
f:R−{0}→Rf: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R},
3f(x)−f(1x)=2x3f(x) - f(\frac{1}{x}) = 2x
Olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Bu soru tipi sistem çözümü gerektirir.
1) x=3x=3 yaz: 3f(3)−f(1/3)=63f(3) - f(1/3) = 6
2) x=1/3x=1/3 yaz: 3f(1/3)−f(3)=2/33f(1/3) - f(3) = 2/3
3) İki bilinmeyenli denklem çöz.
f(1/3)f(1/3)'ü yok et.
Üstteki denklemi 3 ile çarp: 9f(3)−3f(1/3)=189f(3) - 3f(1/3) = 18
Alttaki denklem: −f(3)+3f(1/3)=2/3-f(3) + 3f(1/3) = 2/3
Taraf tarafa topla: 8f(3)=18+2/3=56/38f(3) = 18 + 2/3 = 56/3
f(3)=7/3f(3) = 7/3.
Bu kurgu Level 4 için uygundur, işlemsel yükü ve strateji gereksinimi vardır.

Ancak çeşitlilik kuralları gereği daha önce benzeri sorulmuş mu kontrol etmeliyim. Listede "f(x)+3f(1/x)=4xf(x) + 3f(1/x) = 4x" var. Bu çok benzer. Bunu kullanamam.

Farklı bir Level 4 kurgusu: Tanım kümesi ve görüntü kümesi analizi içeren parça parça tanımlı fonksiyon.

f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve (g∘f−1)(x)=x2+x(g \circ f^{-1})(x) = x^2 + x.
g(5)g(5) kaçtır?
f−1(x)=uf^{-1}(x) = u olsun. x=f(u)=2u−3x = f(u) = 2u-3.
g(u)=(2u−3)2+(2u−3)g(u) = (2u-3)^2 + (2u-3).
g(5)g(5) için u=5u=5 yazarız.
g(5)=(10−3)2+(10−3)=49+7=56g(5) = (10-3)^2 + (10-3) = 49 + 7 = 56.
Bu işlem yoğunluğu açısından Level 3-4 olabilir. Biraz daha karmaşıklaştıralım.

f(x+1)=3x−2f(x+1) = 3x - 2 ve (f∘g−1)(x)=x+4(f \circ g^{-1})(x) = x + 4.
g(4)g(4) değeri kaçtır?

Çözüm:
(f∘g−1)(x)=f(g−1(x))=x+4(f \circ g^{-1})(x) = f(g^{-1}(x)) = x + 4.
Burada x=4x=4 verelim.
f(g−1(4))=8f(g^{-1}(4)) = 8.
f(x+1)=3x−2f(x+1) = 3x - 2 fonksiyonunda sonucun 8 olması için:
3x−2=8⇒3x=10⇒x=10/33x - 2 = 8 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3.
Bu xx değeri için f(10/3+1)=8f(10/3 + 1) = 8. Yani f(13/3)=8f(13/3) = 8.
Demek ki g−1(4)=13/3g^{-1}(4) = 13/3.
g(13/3)=4g(13/3) = 4. Ama bize g(4)g(4) soruluyor. g−1(4)=a  ⟺  g(a)=4g^{-1}(4) = a \iff g(a)=4. Bu bize g(4)g(4)'ü vermez. Bize g−1(x)g^{-1}(x) değil g(x)g(x) lazım.
Bu yol g(4)g(4)'ü buldurmaz. Soruyu g−1(4)g^{-1}(4) sorusu yapabiliriz veya g(a)=4g(a)=4 ise a kaçtır diye sorabiliriz.

Kurguyu değiştirelim:
f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x fonksiyonu verilsin. ff birebir ve örtendir.
f−1(10)f^{-1}(10) değeri kaçtır?
Deneme yoluyla x=2x=2 için 8+2=108+2=10. Cevap 2.
Bu Level 2-3 olur.

Level 4 Hedefi için:
Fonksiyonel Denklem ve Simetri
f(x)+2f(2−x)=x2f(x) + 2f(2-x) = x^2 eşitliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre f(3)f(3) değeri kaçtır?

Çözüm:
1) x=3x=3 yaz: f(3)+2f(−1)=9f(3) + 2f(-1) = 9
2) x=−1x=-1 yaz (simetriği): f(−1)+2f(3)=(−1)2=1f(-1) + 2f(3) = (-1)^2 = 1
Sistem:
f(3)+2f(−1)=9f(3) + 2f(-1) = 9
2f(3)+f(−1)=1⇒f(−1)=1−2f(3)2f(3) + f(-1) = 1 \Rightarrow f(-1) = 1 - 2f(3)
Yerine koy:
f(3)+2(1−2f(3))=9f(3) + 2(1 - 2f(3)) = 9
f(3)+2−4f(3)=9f(3) + 2 - 4f(3) = 9
−3f(3)=7-3f(3) = 7
f(3)=−7/3f(3) = -7/3

Bu soru tipi listedeki 1. soruya (f(x)−2f(1−x)=3x+1f(x) - 2f(1-x) = 3x + 1) benziyor. "Diversity" kuralına takılabilirim. Farklı bir yapı bulmalıyım.

Yeni Yapı: Fonksiyon Grafiği Okuma ve Bileşke (Sözel Kurgu)
Doğrusal fonksiyonların bileşkesi üzerinden gidelim.
f(x)=ax+bf(x) = ax+b ve g(x)=bx+ag(x) = bx+a doğrusal fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(1)=11(f \circ g)(1) = 11 ve (g∘f)(1)=7(g \circ f)(1) = 7 olduğuna göre a2+b2a^2 + b^2 kaçtır?

Çözüm:
g(1)=b+ag(1) = b+a
f(g(1))=f(a+b)=a(a+b)+b=a2+ab+b=11f(g(1)) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11

f(1)=a+bf(1) = a+b
g(f(1))=g(a+b)=b(a+b)+a=ab+b2+a=7g(f(1)) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7

Taraf tarafa toplayalım:
a2+b2+2ab+a+b=18a^2 + b^2 + 2ab + a + b = 18
(a+b)2+(a+b)−18=0(a+b)^2 + (a+b) - 18 = 0
(a+b+9)(a+b−2)=0(a+b+9)(a+b-2) = 0
a+ba+b ya −9-9 ya da 22.

Farkı alalım:
(a2+ab+b)−(ab+b2+a)=4(a^2 + ab + b) - (ab + b^2 + a) = 4
a2−b2+b−a=4a^2 - b^2 + b - a = 4
(a−b)(a+b)−(a−b)=4(a-b)(a+b) - (a-b) = 4
(a−b)(a+b−1)=4(a-b)(a+b-1) = 4

Durum 1: a+b=2a+b=2
(a−b)(2−1)=4⇒a−b=4(a-b)(2-1) = 4 \Rightarrow a-b = 4
Denklem sistemi: a+b=2,a−b=4⇒2a=6,a=3,b=−1a+b=2, a-b=4 \Rightarrow 2a=6, a=3, b=-1.
Kontrol edelim: a2+b2=9+1=10a^2+b^2 = 9+1=10.

Durum 2: a+b=−9a+b=-9
(a−b)(−9−1)=4⇒−10(a−b)=4⇒a−b=−0.4(a-b)(-9-1) = 4 \Rightarrow -10(a-b) = 4 \Rightarrow a-b = -0.4
Denklem: a+b=−9,a−b=−0.4⇒2a=−9.4,a=−4.7,b=−4.3a+b=-9, a-b=-0.4 \Rightarrow 2a=-9.4, a=-4.7, b=-4.3.
a2+b2a^2+b^2 tam sayı çıkmaz. Şıklarda tam sayı varsa Durum 1 geçerlidir.

Bu soru gayet kaliteli ve Level 4 (Hard) seviyesine uygun. Cebirsel manipülasyon yeteneğini ölçüyor. Mevcut yasaklı listesinde bu tarz bir soru yok.

Soru metnini oluşturalım.
5
Sonuçları kontrol etmek.
a=3,b=−1a=3, b=-1 için f(x)=3x−1,g(x)=−x+3f(x)=3x-1, g(x)=-x+3. (f∘g)(1)=f(2)=5≠11(f \circ g)(1) = f(2) = 5 \neq 11. Hata var.
Tekrar çözüm:
f(x)=ax+bf(x)=ax+b, g(x)=bx+ag(x)=bx+a
g(1)=a+bg(1) = a+b
(f∘g)(1)=f(a+b)=a(a+b)+b=a2+ab+b=11(f \circ g)(1) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11 (1. Denklem)
f(1)=a+bf(1) = a+b
(g∘f)(1)=g(a+b)=b(a+b)+a=ab+b2+a=7(g \circ f)(1) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7 (2. Denklem)

Çözümdeki f(2)=5f(2)=5 kontrolüm yanlıştı çünkü a,ba,b değerlerini yerine koyarken g(1)=2g(1)=2 buldum (b+a=−1+3=2b+a = -1+3=2).
f(2)=3(2)−1=5f(2) = 3(2)-1 = 5. Denklemde 11 verilmişti. Nerede hata yaptım?
a2+ab+b=11a^2+ab+b = 11 denkleminde a=3,b=−1a=3, b=-1 koyarsak: 9+(−3)+(−1)=59 + (-3) + (-1) = 5. Eşitlik sağlanmıyor.
Demek ki (a+b−2)=0(a+b-2)=0 kökü bu sistemi sağlamıyor. Neden?
(a−b)(a+b−1)=4(a-b)(a+b-1)=4 denkleminde a+b=2a+b=2 koyunca a−b=4a-b=4 bulduk. Ama bu değerler ilk denklemi sağlamıyor.
a=3,b=−1a=3, b=-1 ise a2+ab+b=9−3−1=5≠11a^2+ab+b = 9-3-1=5 \neq 11.
Demek ki cebirsel çözümde (a+b)2+(a+b)=18(a+b)^2+(a+b)=18 yaklaşımı gerekli şart ama yeterli değil. Özgün denklemlere dönmeliyiz.

Bu yol karmaşık ve hataya açık. Daha net bir soru kurgulayalım.

Yeni Kurgu 2: Sabit Fonksiyon ve Birim Fonksiyon
ff birim fonksiyon, gg sabit fonksiyon olmak üzere,
f(2x+g(x))+g(3x−1)=12f(2x+g(x)) + g(3x-1) = 12
Olduğuna göre, xx kaçtır?

Çözüm:
f(x)=xf(x)=x (Birim)
g(x)=cg(x)=c (Sabit)
f(2x+c)+g(3x−1)=12f(2x+c) + g(3x-1) = 12
(2x+c)+c=12(2x+c) + c = 12
2x+2c=12⇒x+c=62x + 2c = 12 \Rightarrow x + c = 6.
Burada cc bilinmediği için xx bulunamaz. Soru eksik.

Yeni Kurgu 3: Parçalı Fonksiyon ve Ters Fonksiyon (Level 4)
f(x)={2x−3,x≥23x−a,x<2f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x \geq 2 \\ 3x-a, & x < 2 \end{cases}
fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre f−1(7)f^{-1}(7) kaçtır?

Çözüm:
Birebir ve örten olması için x=2x=2 kritik noktasında süreklilik veya sıçrama olmaması, değerlerin örtüşmesi gerekir. (Bu KPSS müfredatında genellikle süreklilik/limit değil, "kopma olmaması" ve "örtmesi" şeklinde basitleştirilir).
x≥2x \geq 2 için görüntü kümesi [1,∞)[1, \infty).
x<2x < 2 için görüntü kümesi (−∞,6−a)(-\infty, 6-a).
Örtenlik için 6−a=16-a = 1 olmalı, yani a=5a=5. (Kümelerin birleşimi R\mathbb{R} olmalı).
Eğer a=5a=5 ise f(x)=3x−5f(x) = 3x-5 (x<2x<2).
Soru: f−1(7)f^{-1}(7). Yani f(x)=7f(x)=7 olan xx nedir?
1. Durum: 2x−3=7⇒2x=10⇒x=52x-3 = 7 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5. (Koşul: x≥2x \ge 2. 5≥25 \ge 2 sağlar.)
2. Durum: 3x−5=7⇒3x=12⇒x=43x-5 = 7 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4. (Koşul: x<2x < 2. 4<24 < 2 SAĞLAMAZ.)
Cevap x=5x=5.
Bu soru aa değerini buldurup sonra ters görüntü sorduğu için çok adımlı ve güzel. Ancak aa'yı sormazsa öğrenci direkt 2x−3=72x-3=7'den 5'i bulabilir, aa'ya ihtiyaç duymaz. Bu da soruyu Level 1 yapar. Yanıltıcı şık lazım.

Soruyu şöyle revize edelim: f−1(1)f^{-1}(1) kaçtır?
2x−3=1⇒x=22x-3=1 \Rightarrow x=2. (x≥2x \ge 2 sağlar).
3x−5=1⇒x=23x-5=1 \Rightarrow x=2. (x<2x < 2 sağlamaz).

Zorlaştıralım: f−1(−2)f^{-1}(-2) soralım.
2x−3=−2⇒x=0.52x-3 = -2 \Rightarrow x=0.5 (Koşul x≥2x \ge 2 sağlamaz).
3x−5=−2⇒3x=3⇒x=13x-5 = -2 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1. (Koşul x<2x < 2 sağlar).
Burada öğrenci aa'yı bulmak zorundadır.

Soru:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,
f(x)={2x−3,x≥2x+k,x<2 f(x) = \begin{cases} 2x - 3, & x \geq 2 \\ x + k, & x < 2 \end{cases}

fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre, f−1(1)+f−1(−2)f^{-1}(1) + f^{-1}(-2) toplamı kaçtır?

Çözüm:
1. Adım: Örtenlik şartı. x=2x=2 sınırında değerler "kavuşmalı" veya boşluk kalmamalı.
Sağ limit/değer: 2(2)−3=12(2)-3 = 1.
Sol limit: 2+k2+k.
Örten olması için 2+k=1⇒k=−12+k = 1 \Rightarrow k = -1.
Fonksiyon:
x≥2→[1,∞)x \ge 2 \rightarrow [1, \infty)
x<2→(−∞,1)x < 2 \rightarrow (-\infty, 1)

2. Adım: f−1(1)f^{-1}(1)'i bul.
f(x)=1f(x)=1. Üst parça 2x−3=1⇒x=22x-3=1 \Rightarrow x=2. (Dahil)
Alt parça x−1=1⇒x=2x-1=1 \Rightarrow x=2. (Dahil değil)
O halde f−1(1)=2f^{-1}(1) = 2.

3. Adım: f−1(−2)f^{-1}(-2)'yi bul.
f(x)=−2f(x)=-2. Bu değer 1'den küçük olduğu için alt parçadan gelmeli.
x−1=−2⇒x=−1x-1 = -2 \Rightarrow x = -1. (Koşul x<2x<2 sağlar).

4. Adım: Toplam.
2+(−1)=12 + (-1) = 1.

Bu soru Level 4 için uygundur. Kavramsal bilgi (birebir-örtenlik şartı) ve işlem içerir.

Şıklar:
A) 0
B) 1 (Doğru)
C) 2
D) 3
E) 4

Hatalı Mantıklar (Çeldiriciler):
- kk'yi bulmadan işlem yapmaya çalışmak (yapamaz).
- kk'yi yanlış bulmak (x=0x=0 verip f(0) vs. gibi).
- Ters fonksiyonu yanlış kolda aramak.
- 2x−3=−2⇒x=0.52x-3=-2 \Rightarrow x=0.5 deyip bunu almak (tanım kümesi hatası). Eğer bunu yaparsa: 2+0.5=2.52 + 0.5 = 2.5. Şıklarda yok.
- x+k=−2x+k=-2'de kk'yi bulamayıp k=0k=0 almak: x=−2x=-2. Toplam 2−2=02-2=0. (Şık A).

Güzel, A şıkkı güçlü bir çeldirici oldu.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olması için kritik noktadaki süreklilik/uyum şartının sağlanması ve ters fonksiyon değerlerinin uygun aralıkta aranması.

İpuçları

1
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, görüntü kümesinde boşluk kalmamalıdır. Parçalı fonksiyonlarda kritik noktadaki (burada x=2) değerleri kontrol edin.
2
x=2 noktasında üstteki parça hangi değeri alıyor? Alttaki parça (x < 2) 2'ye yaklaşırken bu değere ulaşmalı ki kopukluk olmasın. Buradan k sayısını bulabilirsiniz.
3
k = -1'dir. Şimdi f(x) = 1 denklemini sağlayan x'i ve f(x) = -2 denklemini sağlayan x'i (uygun aralıklarda) bulun.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örtenlik şartının sağlanmadığı durumda fonksiyonun tersinin neden olamayacağını araştırın.

Alternatif Yöntem

Grafik çizerek çözüm: x=2'den başlayan y=2x-3 doğrusunu ve x<2 için y=x+k doğrusunu çizip, bunların y ekseninde (görüntü kümesinde) boşluk bırakmayacak şekilde birleştiğini görselleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 16 / 22Sonraki
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 16 | Examkin